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Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9 Cadernos PDE OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE Produções Didático-Pedagógicas

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Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

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FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA

TURMA - PDE/2013

TÍTULO: AS DIFERENTES REPRESENTAÇÕES DE UM NÚMERO RACIONAL POR MEIO DA INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA COM ESTUDANTES DO 6º ANO

Autor Celina Maria Negro Disciplina/Área (ingresso no PDE) Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização

Colégio Estadual Marcelino Champagnat – Ensino Fundamental e Médio Rua São Salvador, 998 – Centro CEP 86026-480 Fone: (43) 3322-3652

Município da Escola Londrina Núcleo Regional de Educação Londrina Professor Orientador Drª Magna Natalia Marin Pires Instituição de Ensino Superior Universidade Estadual de Londrina – UEL Relação Interdisciplinar Não há Resumo

O presente Projeto de Intervenção Pedagógica tem como tema Diferentes Representações de um Número Racional em uma abordagem Investigativa. O objetivo é fazer com que os estudantes compreendam e construam o conhecimento das diversas representações do número racional, bem como, estabelecer conexões entre elas. Pretende-se, com o desenvolvimento desse projeto, propor tarefas diferenciadas e conduzir os estudantes ao interesse e envolvimento e, com isso, contribuir para uma melhor compreensão dos desafios que eles enfrentam no referido tema. Indo ao encontro das expectativas citadas, o objeto de estudo é usar a estratégia de Investigação Matemática porque é uma prática pedagógica indicada por muitos educadores, por acreditarem que ela possibilita ao estudante compreender melhor os conteúdos a serem estudados, pautados numa fundamentação teórico/metodológico.

Palavras -chave Investigação Matemática; Número Racional; Educação Matemática.

Formato do Material Didático Unidade Didática Público Alvo Estudantes do 6º ano - Ensino Fundamental

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1. APRESENTAÇÃO

Esta é uma Unidade Didática que visa o estudo das diferentes

representações de um número racional em uma abordagem investigativa.

É proposta para o 6º ano do Ensino Fundamental, entretanto pode ser

utilizada em outros anos devido as dificuldades que os estudantes enfrentam na

complexidade das relações que envolvem o número racional, mesmo estando

presente no dia a dia nos mais diversos meios de comunicação e inseridos em

contextos significativos da sua vida diária, ou seja, no senso comum.

Apresenta cinco tarefas a serem desenvolvidas com os alunos com a

intenção de oportunizar que eles estabeleçam conexões entre essas diferentes

representações.

E, considerando que:

a aprendizagem da Matemática consiste em criar estratégias que possibilitam ao aluno atribuir sentido e construir significado às idéias matemáticas de modo a tornar-se capaz de estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar (PARANÁ, 2008, p.45).

foi fundamentada na estratégia de Investigação Matemática que possibilita ao

estudante compreender e construir o conhecimento das diferentes representações

citadas, pois a estratégia “envolve o estudo de processos que investigam como o

estudante compreende e se apropria da própria Matemática” (PARANÁ, 2008,

p.48).

Esta perspectiva “implica em pensar na transposição didática que regula a

ligação entre a Matemática como campo de conhecimento e disciplina escolar”

(PARANÁ, 2008, p.49).

No desenvolvimento das tarefas os estudantes terão apoio e orientação

da professora explicitando todo o processo construtivo e fazendo interações com

o intuito de promover um aprendizado significativo.

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2. DAS TAREFAS

Serão desenvolvidas no 1º bimestre de 2014.

São investigativas e relacionadas com as diferentes representações de

um número racional.

Possuem caráter exploratório, de descobertas. Têm a intenção de

conduzir o estudante a estabelecer as conexões fração – número decimal –

porcentagem.

São diversificadas e abrangem regularidades, relações entre medidas de

capacidade e de comprimento, construção de diagramas, comparação e

operações com fração, número decimal e porcentagem, fração inversa, classe de

equivalência de uma fração, número misto, dízima periódica, área do quadrado,

representação geométrica de conjuntos numéricos.

3. OS ALUNOS

Os participantes deste estudo são estudantes do 6º ano do Ensino

Fundamental e realizarão suas tarefas em grupos.

O estudo está pautado em atividade investigativa em Matemática e

portanto os alunos deverão seguir os seguintes passos:

― interpretar a tarefa;

― envolver-se ativamente na tarefa proposta e explorá-la de diversas

formas possíveis;

― formular questões e conjecturas;

― testar, reformular conjecturas e validar seu estudo;

― discutir e argumentar com o grupo, a classe e com o professor os

resultados obtidos;

― apresentar os resultados por meio de produção escrita para o

professor;

― apropriar-se do sentido da tarefa.

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4. O PROFESSOR

O papel do professor é de fundamental importância nesta atividade

investigativa atribuindo a ele:

― propor a tarefa ao estudante;

― ajudá-lo a compreender o sentido de investigar;

― garantir que todos entendam o que é para ser feito e o que se espera

deles no desenvolvimento da atividade;

― estimular a atividade investigativa na resolução da tarefa promovendo

diálogo entre os integrantes do grupo;

― observar o desenvolvimento da atividade ficando na retaguarda e dar

apoio quando for necessário;

― conhecer os alunos e propiciar a eles um ambiente agradável para a

aprendizagem;

― ficar atento as interações geradas no grupo verificando se estão

atingindo os objetivos propostos fazendo perguntas e promovendo reflexões;

― recolher informações durante todo o processo e procurar compreender

o que estão pensando por meio de perguntas e solicitando informações;

― valorizar as descobertas dos estudantes estimulando a criatividade na

exploração da tarefa;

― estar atento à forma com a qual os alunos desenvolvem seus trabalhos

e desafiá-los no decorrer da atividade;

― estimular os estudantes a refletir sobre o raciocinar matematicamente

(estabelecer conexões) privilegiando posturas interrogativas;

― ajudar o estudante a fazer síntese da atividade;

― ser flexível quando enfrentar as situações novas que surgirão.

5. ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO

Ainda hoje o estudante está acostumado a ler o enunciado, seja do

exercício e ou problema e, prontamente indicar o que é dado e o que é pedido.

Na Investigação Matemática o estudante precisa ir além, é necessário

que se envolva, que estabeleça relações matemáticas não conhecidas por ele até

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o momento, porque faz descobertas utilizando o processo explorar/investigar a fim

de desenvolver a produção do conhecimento.

De imediato, o estudante pode sentir dificuldades, cabendo ao professor

incentivá-lo ao introduzir a tarefa utilizando expressões que ajudam a entender o

seu sentido. Por exemplo, “O que devo explorar”? ou “O que devo descobrir”?,

são perguntas que auxiliam o estudante a perceber a diferença da tarefa proposta

em relação a tarefa que estava acostumado a realizar, pois este é o sentido de

investigar.

Segundo Porfírio e Oliveira (1999, p.111),

investigar é um termo que, muitas vezes, é usado em sentido lato para descrever um certo tipo de actividade a que se associam características, tais como, descoberta, exploração, pesquisa, autonomia, tomada de decisões, espírito crítico.

6. AS TAREFAS

1ª TAREFA (OBMEP 2006, 2ª Fase, Nível 1, Questão 5)

Diadorim, Mimita e Riobaldo dividiram todo o conteúdo de uma garrafa de suco

em três copos iguais, enchendo metade do copo de Diadorim, um terço do copo

de Mimita e um quarto do copo de Riobaldo.

(a) Como cada um queria um copo cheio de suco, eles abriram outras garrafas

iguais à primeira até encher completamente os copos. Quantas garrafas a

mais eles tiveram que abrir?

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(b) Se o suco de uma garrafa tivesse sido dividido igualmente entre eles, que

fração de cada copo conteria suco?

Para auxiliar na compreensão, caso seja necessário, o professor pode fazer os

seguintes questionamentos:

― Quantas vezes preciso colocar suco em cada copo? Por quê?

― Quantas garrafas preciso abrir para encher todos os copos?

― Existe alguma relação com a distribuição do suco de Diadorim e de

Riobaldo? Justifique.

― Depois do 3º momento de colocar suco nos copos, qual a porcentagem

de Riobaldo?

― Descubra o que precisa ser feito para que Riobaldo tenha seu copo

cheio.

Esta é uma tarefa que permite ao estudante explorá-la na malha quadriculada

(representação geométrica).

1º MOMENTO

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2º MOMENTO

3º MOMENTO

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No 3º momento, sobra a metade ( de Diadorim que é repartida com Riobaldo.

= + - =

4º MOMENTO

Chegando à conclusão de que é necessário três garrafas, no mínimo, para encher

os três copos e sobra um quarto ( de copo na terceira garrafa, logo é preciso

abrir mais duas garrafas.

Pode também ser explorada na tabela (representação algébrica).

DIADORIM MIMITA RIOBALDO

1º Momento

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2º Momento

3º Momento

4º Momento

Espera-se que o estudante construa cada momento da distribuição do suco nos

copos estabelecendo relações entre as diferentes medidas.

Por exemplo:

Diadorim = = 50%

Mimita = = menos de 50% = 50%

Riobaldo = = metade de 50% = = 25%

A tarefa propicia reflexão promovendo análises e discussões no decorrer do

processo de realização.

Na distribuição do suco, o estudante se assegura de que um meio é maior que um

terço e também maior que um quarto.

E um meio representa a metade, igual a cinquenta por cento, igual a cinco

décimos.

= 50% = 0,5

Assim o copo de Diadorim tem o dobro da capacidade do copo de Riobaldo ou o

copo de Riobaldo é a metade do copo de Diadorim.

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Isto é, metade da metade é igual a um quarto.

da =

E cinquenta por cento dividido por dois é igual a vinte e cinco por cento.

= 25%

E cinco décimos dividido por dois é igual a vinte e cinco centésimos.

= 0,25

O estudante faz uso de estimativas e aproximações quando reconhece que um

terço é menor que um meio e maior que um quarto.

E trinta e três centésimos é menor que cinco décimos e maior que vinte e cinco

centésimos.

0,25 0,33 ... 0,5

Fazendo raciocínio análogo com as porcentagens correspondentes.

Relaciona-se as grandezas, capacidade da garrafa com a capacidade do copo,

como também estabelece relação de proporcionalidade entre elas.

Percebe-se que quando somamos ou subtraímos frações com o mesmo

denominador, conserva-se o denominador e soma-se ou subtrai-se os

numeradores, porque o denominador representa em quantas partes o inteiro é

dividido.

É possível que apareça este raciocínio para se chegar a resposta da parte (a).

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Um meio menos um quarto ( - ), que corresponde a um quarto mais um

quarto menos um quarto que resulta em um quarto.

+ - =

Considerando que o copo de Riobaldo tem a capacidade de 250 ml que

significa ter 0,25 l ou l .

a) Quantos copos preciso para ter 1 l?

b) Quantos ml tem 1 l?

c) Qual o significado de ml?

― E, se o copo tiver a capacidade de:

a) 100 ml?

b) l?

c) 0,5 l?

d) l?

― Faça a tabela com a capacidade de cada copo do exercício anterior e relacione

com:

Capacidade

(copo)

litro

(l)

Mililitro

(ml)

Fração Porcentagem

(%)

100 ml

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0,5 l

Em se tratando do contexto matemático, fração com significado de quociente,

temos:

1 inteiro dividido por 2

= 0,5

1 inteiro dividido por 4

= 0,25

1 inteiro dividido por 3

0,333 ... (noção de dízima periódica)

Quais outras frações podemos escrever que resulta 50% a partir de ?

50% = , ...

E:

25% = , ...

12,5% = , ...

20% = , ...

10% = , ...

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5% = , ...

33,3...% , ...

Investigue

― O que você descobriu? Explique.

― Represente na forma de número decimal as porcentagens (%) acima

mencionadas.

Neste momento da tarefa o estudante estará construindo a classe de

equivalência das frações solicitadas.

Tendo dificuldade recorre a malha quadriculada para a compreensão do sentido

de equivalência, que será de grande importância para resolver a parte (b).

Na parte (b), para saber o suco de uma garrafa, terá que somar um meio mais um

terço mais um quarto.

+ +

+ + = + + =

Para, depois, dividir por três e chegar ao resultado esperado.

: 3 = x =

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2ª TAREFA (OBM 2010, 1ª FASE, Nível 1, Questão 14)

Ana começou a descer uma escada no mesmo instante em que Beatriz começou

a subi-la. Ana tinha descido da escada quando cruzou com Beatriz.

a) Represente na malha quadriculada a situação descrita acima.

Ana

________________________I________________________I

desceu

Beatriz

subiu

b) Qual é a relação matemática existente entre as partes que Ana andou com

a parte que Beatriz andou?

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c) Qual a fração e a porcentagem correspondente que falta para Ana descer a

escada?

d) Qual a fração e a porcentagem correspondente que falta para Beatriz subir

a escada?

Investigue

e) Quanto cada uma andará até se cruzarem, quando a escada medir 1m,

1,2m, 1,4m, 1,6m, 1,8m, 2 m.

f) Registre os dados em uma tabela. O que você descobriu?

Escada

(m)

1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 4 10

Ana

Beatriz

g) Quando medir 4m? E 10m? Justifique.

h) Para qualquer medida da escada a relação inversa é a mesma? Justifique.

i) Represente por meio de uma expressão matemática quanto Beatriz e Ana

andaram até se encontrarem em relação ao comprimento da escada.

j) Como ficaria representado na forma de porcentagem?

Agora vamos voltar ao problema.

k) No momento em que Ana terminar de descer, que fração da escada

Beatriz ainda terá que subir?

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l) Represente na malha quadriculada.

Ana

faltam

Beatriz

________________________I_____________________I___I

faltam

m) Qual é o número decimal correspondente a fração da escada que Beatriz

ainda terá que subir? E a porcentagem correspondente a essa fração?

A tarefa oportuniza ao estudante descobrir que enquanto Ana desce três quartos

( ) Beatriz sobe um quarto ( estabelecendo a relação de triplo.

Verificando que Ana é três vezes mais rápida que Beatriz ou Beatriz é três vezes

mais lenta que Ana (relação inversa).

Como também pode relacionar com porcentagem (%) em relação ao todo.

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Permite trabalhar com divisão e multiplicação com números decimais ao

investigar o item (e).

Descobrir regularidades e generalizar ao final da exploração ao desenvolver os

itens (e), (f) e (g), somar e subtrair frações, noção de fração equivalente, fração

inversa, estabelecer relação entre fração – número decimal – porcentagem .

No desenvolvimento da atividade construir tabela, visualizar na representação

geométrica o desenvolvimento do processo de resolução o que leva a uma

produção de conhecimento significativo.

3ª TAREFA (OBM 2010, 2ª FASE, Nível 1 – PARTE B, Pr oblema 1)

Com cinco quadrados com lados de 27 cm, formamos uma sequência de figuras,

das quais as quatro primeiras são

a) Na 4ª figura, qual é a área do quadrado cinza?

b) Na 5ª figura, qual é a área do quadrado cinza?

c) Explique como uma figura se transforma na seguinte.

d) Qual é a área da 10ª figura? E da 15ª figura? E da 20ª figura? O que você

fez para descobrir?

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e) Existe uma maneira de descobrir a área de qualquer figura da sequência, a

partir da 4ª figura? Explique.

A tarefa permite que o estudante desenvolva a capacidade de observação sendo

levado a explorar as figuras procurando descobrir qual é a regularidade da

sequência estabelecendo um padrão.

A medida que compreende que o lado é dividido em três partes, o todo (inteiro)

tem nove partes.

Ao analisar as figuras seguintes descobre que o lado também é dividido em três

partes e assim sucessivamente.

E conclui que a área procurada será sempre quatro nonos da área anterior.

A partir da 4ª figura consegue visualizar uma forma de generalizar para as demais

figuras.

Intuitivamente estabelece a idéia de que a área procurada fica cada vez menor a

medida que se divide o quadrado, logo tendendo a infinito.

Agora que você achou a razão quatro nonos ( ), faça a representação

geométrica. Utilizando-a explique como determina o número decimal e a

porcentagem correspondente a fração.

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100%

_______________________________I_________________________________

10

+1

+0,1

_____

11,1

10

+1

+0,1

_____

11,1

10

+1

+0,1

_____

11,1

10

+1

+0,1

_____

11,1

10

+1

+0,1

_____

11,1

10

+1

+0,1

_____

11,1

10

+1

+0,1

_____

11,1

10

+1

+0,1

_____

11,1

10

+1

+0,1

_____

11,1

______________I______________I

44,4...%

Nesta parte da tarefa o estudante é levado a uma abordagem diferente de

maneira a desenvolver conexões entre fração – número decimal – porcentagem

fazendo uso da representação geométrica (diagrama).

O estudante deve determinar como as quatro partes do inteiro se relacionam com

as nove partes (o inteiro), na forma de número decimal e de porcentagem.

Ao fazer o diagrama, o estudante, estabelece a compreensão que nove nonos

corresponde a um inteiro e a cem por cento.

= 1 = 100%

― Dividi o inteiro (100%) em nove partes. Cada parte do inteiro ( ) corresponde

a 10% e sobra 10%.

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― Dividi 10% que sobrou no inteiro. Cada parte do inteiro ( ) corresponde a 1%

e sobra 1%.

― Dividi 1% que sobrou no inteiro. Cada parte do inteiro ( ) corresponde a

0,1% e sobra 0,1%.

― Dividi 0,1% que sobrou no inteiro. Cada parte do inteiro ( ) corresponde a

0,01% e sobra 0,01%.

― Dividi 0,01% que sobrou no inteiro. Cada parte do inteiro ( ) corresponde a

0,001% e sobra 0,001%.

E assim as ordens decimais vão surgindo: décimos, centésimos,

milésimos , ...

Diante deste estudo o estudante irá concluir que:

10% + 1% + 0,1% 11,1...%

11,1% + 11,1% + 11,1% + 11,1% 44,4 ...%

Ao fazer o diagrama, o estudante, já visualizou que quatro nonos é menor

que cinquenta por cento ( 50%) e ao resolver percebe que o

resultado não será um número natural (inteiro), será aproximado.

Podemos também trabalhar a fração com significado de razão.

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0,444... 4 dividido por 9 quociente 0,444...

(noção de dízima periódica)

• Nove não cabe em 4, então transforma em décimos (40).

― Cabe quatro noves em 40 (décimos) e sobra 4 (décimos).

• 4 décimos transforma em centésimos (40).

― Cabe quatro noves em 40 (centésimos) e sobra 4 (centésimos).

• 4 centésimos transforma em milésimos (40).

― Cabe quatro noves em 40 (milésimos) e sobra 4 (milésimos).

E a divisão segue infinitamente com as ordens decimais: décimos,

centésimos, milésimos, ...

Para transformar em porcentagem

0,444... x 100 44,4...%

4ª TAREFA: DESCUBRA A REGRA - CENP - SP (5ª série)

Descubra a regra e continue as sequências:

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a) Qual a diferença entre dois números consecutivos da primeira sequência?

E das demais sequências?

b) Escreva as diferenças nas três representações: fração, número decimal,

porcentagem.

No item (a) observa-se que “a regra de formação é dada por uma adição ou por

uma subtração” de fração.

As frações, a seguir, são as diferenças entre dois números consecutivos das

sequências acima.

1ª sequência .................. 1 - = + - =

2ª sequência .................. - 0 =

3ª sequência .................. 1 - = - + =

4ª sequência .................. - 1= + - =

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No item (b) irá estabelecer a relação com número decimal e com porcentagem.

= 0,5 = 50%

= 0,25 = 25%

= 0,2 = 20%

= 0,333 ... 33,3 ... %

Exemplificando a 2ª sequência, temos:

0 + =

+ =

+ =

+ = = 1 inteiro

+ = = 1 inteiro e

+ = = 1 inteiro e

+ = = 1 inteiro e

c) O que você observa de comum entre as frações que estão entre zero e

um?

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d) E entre um e dois?

Reescreva as sequências usando a representação deci mal.

a) Como são os números decimais que estão entre zero e um?

b) No que eles diferem dos que estão entre um e dois?

c) E entre os que estão entre dois e três?

d) E entre oito e nove?

e) Para quaisquer números inteiros consecutivos, o processo é o mesmo?

Justifique.

Neste momento, o estudante, irá perceber que os números decimais que estão:

• entre zero e um são menores que um inteiro (décimos, centésimos).

• entre um e dois, tem parte inteira um e parte não inteira correspondente aos

números decimais que estão entre zero e um.

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• entre dois e três, parte inteira dois e na parte não inteira as ordens decimais se

repetem.

Assim, a regularidade está observada e conclui-se que para qualquer intervalo de

números inteiros consecutivos, a parte inteira será o menor número do intervalo e

a parte não inteira sempre se repetirá.

Reescreva as sequências usando a representação na f orma percentual (%).

― O que você observou na representação decimal acontece na

representação percentual? Justifique.

Quando o estudante terminar de fazer as sequências poderá ter concluído que:

• entre zero e um, menor que 100%.

• entre um e dois, 100% mais a diferença da sequência.

• entre dois e três, 100% + 100% = 200% mais a diferença da sequência.

E, assim a regularidade se faz presente.

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5ª TAREFA: CONVERSANDO SOBRE OS NÚMEROS – CENP - SP (8ª série)

Divida a classe em pequenos grupos, distribua folhetos de propaganda que

contempla as diferentes representações de um número racional e diga aos

estudantes que a tarefa é conversar sobre os números estudados.

Eles poderão falar, por exemplo, a respeito:

• da utilidade do número

• do sistema de numeração decimal

• das operações com número

• dos conjuntos numéricos

• da representação geométrica

Dê o tempo que julgar necessário para o desenvolvimento do tema e peça aos

grupos que façam exposição oral dos tópicos da conversa que acharam mais

interessantes e suas conclusões.

.

Durante a exposição observe os tópicos em que os estudantes apresentaram

mais dificuldades para, posteriormente, propor a eles que façam um trabalho de

pesquisa.

Aproveitando a conversa que tiveram sobre os números, comente com eles o

caminho que percorreram na aprendizagem dos números desde os anos iniciais.

Deixe que comentem livremente sobre os tipos de números que já estudaram:

números naturais (inteiros positivos), fracionários, decimais, dízimas.

Agora, vamos fazer as representações dos conjuntos numéricos que conhecem.

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CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA

Aqui podemos introduzir os números inteiros negativos.

a) Qual é o menor número que vocês conhecem?

b) Se estivermos em um edifício, no térreo, qual número representaria este

andar?

c) Se subirmos três andares? E cinco andares? E dezenove andares?

d) Se descermos um andar (subsolo)? E dois andares? E três andares?

Podemos relacionar com outras situações como: dívida, saldo bancário,

temperatura, profundidade e outras.

Na conversa, com eles, estabeleça estas relações para que o estudante tenha

conhecimento que a reta é infinita e o zero é o número central dela, ou seja, a reta

segue infinitamente para a direita e para a esquerda (+ , - ), não tem fim.

Para ilustrar o(a) professor(a) confecciona em duas tiras de papel as relações

citadas e mostra aos estudantes.

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Pode também representar com os próprios estudantes.

Em linha reta, um dos estudantes corresponde ao ponto central da reta, o zero.

Os demais ficarão dispostos em sentido contrário, um ao lado do outro, com a

mesma distância, simbolizando a parte positiva da reta e a parte negativa da reta

e cada estudante é referenciado com um número.

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS

Q = {..., 0,,,, ..., , ...}

REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA

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Vimos que ao escrever o conjunto dos números racionais (Q) aparecem

pontinhos entre os números.

― Por que devemos colocar os pontinhos entre dois números racionais?

Se os estudantes não souberem responder, o que é possível acontecer, peça que

faça a reta numérica com a representação de alguns números.

Por exemplo:

Investigue

― Entre quais números representados na reta acima se encontram cada um dos

números abaixo:

0,01 - 0,001 - 0,0001

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Naturalmente os estudantes devem ter percebido a dificuldade na representação

geométrica do conjunto dos números racionais (Q).

E ao término da tarefa faça com que eles percebam:

― que entre dois números racionais sempre existem infinitos números racionais.

― a relação de inclusão entre os conjuntos:

• todo número natural também é inteiro;

• todo número inteiro também é racional;

• todo número fracionário também é racional.

7. REFERÊNCIAS

ALMEIDA, Arthur C.; CORRÊA, Francisco J. S. de A. O Papiro de Rhind e as frações unitárias. In: DRUCK, S. et al (Org). Explorando o ensino da Matemática . Brasília: MEC/SEB, 2004, v.1, p. 61-67.

BERTONI, Nilza E. Frações : da forma fracionária à decimal. A lógica do processo. In: DRUCK, S. et al (Org). Explorando o ensino da Matemática. Brasília: MEC/SEB, 2004, v.1, p. 96-100.

BEZERRA, Francisco J. B. Introdução ao conceito de número fracionário e de suas representações: uma abordagem criativa para a sala de aula . (Mestrado em Educação Matemática), Pontifícia Universidade Católica – PUC – SP, 2001.

BOYER, Carl B. História da Matemática . Trad. Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blucher, 1974.

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais. Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998.

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BRUMFIEL, Robert F.; EICHOLZ, Robert E.; SHANKS, Merrill E. Conceitos fundamentais da matemática elementar. Trad. Renate Watanabe. Rio de Janeiro,1972.

CUNHA, Micheline R. K. da. A quebra da unidade e o número decimal . (Mestrado em Educação Matemática), Pontifícia Universidade Católica - PUC - SP, 2002.

PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica. Matemática. Curitiba, 2008.

PONTE, J. P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações Matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2005.

PORFÍRIO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Uma reflexão em torno das tarefas de investigação . 1999. Disponível em: www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/sd/textos/porfírio_oliveira.pdf. Acesso em: 19 set. 2013.

SÃO PAULO. Secretaria de Estado da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas - CENP. Experiências matemáticas : 5ª e 8ª séries. São Paulo, 1994.

VENTURA, Hélia; OLIVEIRA, Hélia. Conexões entre fracções, números decimais e percentagens no 5º ano: explorações com uma applet. 2006. Disponível em: http://spiem.pt/DOCS/ATAS_ENCONTROS/2008/2008_28_HVentura.pdf. Acesso em: 11 abr. 2013.