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Versão On-line ISBN 978-85-8015-076-6Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Artigos

UM ESTUDO SOBRE OS NÚMEROS INTEIROS: Resultados de

uma intervenção com alunos do 1º ano de Formação de

Docentes

Autor: Ivanilda Ferreira Bueno1

Orientadora: Profª Drª. Veridiana Rezende2

Resumo

Este artigo apresenta os resultados da implementação do projeto “Contribuição da Teoria dos Campos Conceituais para o Estudo dos Números Inteiros: Uma Intervenção com Alunos do 1º Ano de Formação de Docentes”, desenvolvido junto aos alunos do Colégio Estadual Duque de Caxias, e que faz parte dos requisitos do Programa de Desenvolvimento Educacional - PDE. O projeto teve como objetivo favorecer a compreensão do conceito de números inteiros por meio de uma sequência de atividades matemáticas, considerando diferentes situações presentes no Campo Conceitual dos Números Inteiros. A escolha dessas atividades foi baseada em pressupostos de Vergnaud (2009), que considera fundamental diferentes situações para a compreensão de um conceito. Dessa forma, a problemática que se pretendeu responder foi: Será que uma sequência de atividades matemáticas, fundamentada na Teoria dos Campos Conceituais, no que diz respeito a analisar um conceito por meio de diversos outros conceitos interligados e diferentes situações relacionadas aos números inteiros, pode contribuir para a compreensão desses números pelos alunos? No decorrer desse trabalho, observou-se que os alunos reagiram de maneira positiva, mostrando que é possível melhorar a compreensão que eles têm em relação aos números inteiros e suas relações. A forma de trabalho empregada foi motivadora, permitindo ao aluno uma participação ativa, compartilhando conhecimentos prévios e modificando-os favorecendo, portanto, a aprendizagem do conceito envolvido. Desta forma, observou-se que o trabalho desenvolvido favoreceu a melhoria na compreensão dos conceitos dos números inteiros pelos alunos, amenizando de forma satisfatória os erros antes cometidos. Palavras-chave: Educação Matemática. Campo Conceitual. Números Inteiros.

1.INTRODUÇÃO

Minha trajetória profissional consiste de quase vinte anos como

professora de matemática em escolas da rede pública do Estado do Paraná,

lecionando para alunos do Ensino Fundamental, Médio e Formação de

Docentes, fez com que no decorrer desse tempo em sala de aula, por meio de

observações, e também tendo como base os relatos de pesquisas, observasse

1Professora da Rede Pública de Educação do Estado do Paraná, Colégio Estadual Duque de

Caxias de Goioerê. Licenciatura em Matemática pela Faculdade de Umuarama (1992). Especialização em Ciências pela Universidade Estadual de Maringá (1998). ²Professora Doutora do Curso de Matemática da UNESPAR.

as dificuldades apresentadas pelos alunos em relação aos conhecimentos

sobre os números inteiros, conceito essencial para a compreensão de diversos

outros conceitos matemáticos estudados ao longo da escolarização. Nas

situações que envolvem operações com esses números, as dificuldades são

maiores e fazem muitos alunos sentirem insegurança em relação aos

conhecimentos matemáticos que possuem, visto que para quase todos os

conteúdos da disciplina em questão se exige um domínio dessas operações.

Segundo Glaeser, as dificuldades dos números inteiros são antigas:

[...] Um minucioso estudo de textos dos melhores autores – de Diofantes (fim do século lll d.c.) aos nossos dias – permitiu a identificação de alguns dos obstáculos que se opunham à compreensão dos números negativos. Pretendemos que, através de experiências diversas, se pesquise a possibilidade de as dificuldades vividas por Euler ou D`Alembert serem as mesmas que perturbam os jovens estudantes de hoje (1985, p.29).

Diante disso, realizei um trabalho no qual o objetivo foi analisar as

soluções envolvidas na produção de respostas durante a resolução de uma

sequência de atividades matemáticas, fundamentada em pressupostos da

Teoria dos Campos Conceituais, no que diz respeito a analisar um conceito por

meio de diversos outros conceitos interligados e diferentes situações

relacionadas aos números inteiros, a qual contribuiria para a compreensão

desses números pelos alunos do 1º ano de Formação de Docentes.

Assim, neste artigo, pretendo apresentar os avanços em relação aos

conhecimentos adquiridos pelos alunos após o desenvolvimento de uma

sequência de atividades voltadas aos números inteiros e os desafios

vivenciados por mim como professora durante a implementação pedagógica

desenvolvida em cumprimento ao calendário de atividades do PDE, turma

2013, a qual visava à validação ou reformulação de conceitos envolvidos com

os números inteiros buscando assim uma melhoria no processo de ensino

aprendizagem.

O material sugerido na implementação pode ser trabalhado a partir do

sétimo ano, pois, em geral, é nessa fase escolar que é introduzido esse novo

campo numérico, e que diante de tantas constatações sobre as atuais

dificuldades observadas em relação ao uso desses números pelos alunos,

temos que concordar que se faz necessário rever a forma pela qual é

introduzido e trabalhado esse conjunto numérico, assim, destaco as

sequências de atividades como exemplos de uma metodologia que proporciona

ao aluno um aprendizado contextualizado que auxilia na formulação de

conceitos que, muitas vezes, só é trabalhado de forma teórica, com

apresentação de regras prontas e sem a participação do aluno nessa

construção, deixando-os sem o entendimento dos conceitos que lhes servirão

para o desenvolvimento de outros que se relacionam ao longo de sua vida

escolar e até mesmo no seu dia a dia. As atividades sugeridas não precisam

ser trabalhadas seguindo a ordem estabelecida e nem de forma integral

conforme aparece na Unidade Didática, pois para cada encontro são atribuídos

objetivos específicos que podem ser trabalhados conforme a necessidade,

realidade de cada turma e do objetivo que se deseja alcançar. No entanto,

sugiro que seja dada atenção especial às atividades propostas no quarto,

quinto e sétimo encontros, pois são atividades voltadas para as operações com

números inteiros e, a meu ver, é onde os alunos apresentam mais dificuldades,

principalmente nas operações de adição e subtrações as quais são resolvidas

utilizando as mesmas regras da multiplicação.

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Conforme as Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do

Paraná – DCE (PARANÁ, 2008), o ensino da matemática para o Ensino Médio,

assim como nas demais modalidades, no caso o curso de Formação de

Docentes passou a ser visto como instrumento para compreensão, a

investigação, a inter-relação com o ambiente de maneira que esse

conhecimento possa ser um agente transformador, deixando de ser um simples

acúmulo de conhecimento técnico.

A matemática é uma ciência que está e sempre esteve presente na

vida da humanidade. Com o passar dos anos, essa ciência sofreu adaptações,

mas nunca deixou de ser um conhecimento necessário na vida das pessoas.

Apesar da necessidade de ter esses conhecimentos em seu dia-a-dia, alguns

indivíduos sentem dificuldades na apropriação de certos conceitos em relação

a muitos conteúdos inseridos na matemática básica, em especial os números

inteiros objeto desta pesquisa.

Conforme Eves e Boyer (apud SILVA, 2011, p.14) os números

negativos aparecem pela primeira vez na China antiga (250 a.C). Os chineses

estavam acostumados a calcular com duas coleções de barras, vermelha para

os números positivos e preta para os números negativos. No entanto, não

aceitavam a ideia de um número negativo poder ser solução de uma equação.

Os Matemáticos indianos descobriram por volta do século Vll d. C, os números

negativos quando tentavam formular um algoritmo para a resolução de

equações quadráticas, e a partir desse século os números negativos

começaram, mesmo sem muita convicção, a desenvolver-se pelo mundo.

Para Glaeser:

Embora desejassem evitar o emprego dos números negativos, a prática do cálculo vai forçá-los à sua introdução, como intermediários do cálculo. Durante muito tempo eles se espantaram ao perceber que cálculos efetuados com "falsos números" levavam afinal ao resultado exato (1985, p.50).

Graças ao progresso da matemática e ao uso de símbolos, hoje

podemos trabalhar com números negativos e sua representatividade,

utilizando-os nas mais diversas situações do cotidiano, o qual seria impossível

nos dias atuais ficar sem o seu uso.

Sabemos que todos os indivíduos, de modo geral, têm um

entendimento intuitivo sobre esses números e até operam com os mesmos,

pois a atual economia faz com que as pessoas usem os termos lucro, prejuízo

e saldo devedor. Mas quando o tema está relacionado à instrução formal

escolar torna-se um obstáculo na vida de muitos alunos. Assim podemos

relatar que as formas de abordagens desse tema não estão sendo satisfatórias,

devendo então ser revistas.

Borba relata:

A constatação das dificuldades observadas na história da matemática quanto à aceitação dos números negativos deve levar a escola a refletir sobre as dificuldades que os alunos podem ter na compreensão dos relativos. Além disso, se inicialmente transmite-se ao aluno a ideia de que número é algo que pode ser contado e regras que afirmam ser taxativamente proibido ou impossível subtrair um número maior de um menor, não esclarecendo que há outras classes de números que permitem essa operação, a aceitação e a compreensão dos relativos está fadada a ser problemática (2003, p.123).

Portanto a proposta de trabalho aqui analisada consistia em aplicar

uma sequência de atividades matemáticas, fundamentada em pressupostos da

Teoria dos Campos Conceituais, para alunos do 1º ano do Curso Formação de

Docentes do Colégio Estadual Duque de Caxias no município de Goioerê.

Através do desempenho obtido com as resoluções, pretende-se analisar se a

sequência de atividades auxilia na compreensão dos conceitos em relação aos

números inteiros, provocando uma superação das dificuldades de

aprendizagem durante a resolução de atividades propostas. Pois segundo o

documento da Avaliação de Rendimento Escolar de matemática do Ensino

Médio (BRASIL, 2011).

A reflexão sobre as estratégias de ensino deve considerar a resolução de problemas como eixo norteador da atividade matemática. A resolução de problemas possibilita o desenvolvimento de capacidades tais como: observação, estabelecimento de relações, comunicação (diferentes linguagens), argumentação e validação de processos, além de estimular formas de raciocínio como intuição, dedução e estimativa. Essa opção traz implícita a convicção de que o conhecimento matemático ganha significado quando os alunos têm situações desafiadoras para resolver e trabalham para desenvolver estratégias de resolução (p.129).

Dessa forma procurou-se com as atividades estimular nos alunos a

autoconfiança na busca de caminhos diferentes para se chegar à solução das

situações envolvendo o conteúdo números inteiros, concentração e

principalmente revalidar conceitos que até então poderiam estar sendo

aplicados erroneamente por falta de compreensão de alguns conceitos

envolvidos e assim, propor uma melhoria na participação dos alunos no

processo de ensino aprendizagem, onde eles puderam participar ativamente de

todo o processo opinando e relatando o desenvolvimento das atividades

propostas. Pois para Smole e Diniz (2001, apud PARANÁ, 2008, p. 63):

Cabe ao professor assegurar um espaço de discussão para que os alunos pensem sobre os problemas que irão resolver, elaborem uma estratégia, apresentem suas hipóteses e façam o registro da solução encontrada ou de recurso que utilizaram para chegarem ao resultado. Isso favorece a formação do pensamento matemático, livre do apego às regras. O aluno pode lançar mão de recurso como da oralidade, o desenho e outros, até se sentir à vontade para utilizar sinais matemáticos.

Ainda segundo Borba (2003), uma maneira de estimular o aluno a usar

corretamente as regras na resolução das operações com números inteiros é

elaborar de forma participativa os procedimentos para isso. No entanto, esse

processo demanda tempo, pois essa construção deve estar sempre atrelada à

compreensão dos conceitos envolvidos e cabe ao professor investir esse

tempo para superar as dificuldades encontradas no aprendizado dos números

inteiros. Durante esse processo, deve-se proporcionar aos alunos diversidade

de situações das quais partem os problemas, desde que, não levem a

reproduções mecânicas, favorecendo a abstração e possibilitando a

generalização das abstrações e assim permitindo uma construção efetiva dos

conceitos.

Levando em consideração os relatos acima, foi realizada a

implementação que foi composta pelas atividades da Unidade Didática a qual

teve a participação ativa dos alunos durante a resolução das atividades

propostas e tendo, sempre que necessário a complementação do professor.

Foram realizados oito encontros de quatro horas cada, em contra turno,

trabalhando de maneira progressiva as possíveis dificuldades através de uma

sequência de atividades variadas envolvendo os números inteiros, a qual era

entregue aos alunos que através dos conhecimentos já adquiridos, a

resolveriam. Terminada essa sequência de atividades, era realizada a

exposição do caminho seguido para se atingir a resposta final, sendo que,

nesse momento, poderiam ser validados ou reformulados conceitos ali

embutidos.

Cada encontro tinha seu objetivo, conforme pode ser observado na

tabela abaixo:

Tabela 1 - Cronograma das ações prevista da implementação PDE 2013

ENCONTROS PERÍODO CARGA HORÁRIA

OBJETIVO

1 3ª semana de fevereiro

4 horas

Identificar os números negativos e positivos em situações do dia-a-dia.

2 4ª semana de fevereiro

4 horas

Localizar os números inteiros na reta numérica; Reconhecer números opostos, ordem crescente e decrescente e sucessor e antecessor no conjunto dos números inteiros.

3 1ª semana de março

4 horas

Interpretar textos com dados matemáticos envolvendo números inteiros; Definir maior e menor dentro do conjunto dos inteiros.


4 horas

Introduzir as operações de adição e subtração com sinais iguais e diferentes sem usar as regras conhecidas.


4 horas

Utilizar a reta numérica dos números inteiros na resolução de problemas; Relembrar as regras para adição e subtração desses números.


4 horas

Aplicar as regras da adição e subtração na resolução de situações envolvendo números inteiros; Escrever expressões matemáticas a partir de uma situação problema.

7 1ª semana de abril

4 horas

Conhecer a história da regra de sinal usada na multiplicação e divisão e operação inversa.

8 2ª semana de abril

4 horas

Conhecer um pouco da história sobre a invenção da calculadora: Conhecer as funções das teclas desse instrumento e resolver situações problemas utilizando esse recurso.

Fonte: Autora deste trabalho

3. DESCRIÇÃO DA IMPLEMENTAÇÃO

Este trabalho relata a implementação de uma sequência variada de

atividades considerando diferentes situações presentes no Campo Conceitual

dos números inteiros nas quais os alunos puderam testar seus conceitos a

respeito desse conjunto numérico, buscando sua validação ou reformulação.

Dessa forma, evidenciou-se a importância de se considerar diferentes

situações relacionadas ao conceito de números inteiros para que os alunos

pudessem compreender as especificidades, as regras, as diferenças em se

operar com números inteiros e números naturais e as situações cotidianas

relacionadas a esses conceitos.

Foi adotado uma metodologia que incentivava os alunos participarem

ativamente realizando as atividades individualmente, em dupla ou em

pequenos grupos, proporcionando sempre tempo para que eles refletissem,

explorassem os caminhos possíveis e relatassem como chegaram ao

resultado. Dessa forma, os alunos se comportaram como sujeitos ativos no

processo de buscar novos conhecimentos em relação a um conteúdo, tendo

assim, oportunidade de trabalhar a matemática de modo criativo.

O caminho percorrido durante a resolução das atividades foi registrado,

procurando anotar as dúvidas, dificuldades ou mesmo as facilidades

encontradas. Ao final, havia o relato da trajetória, ocorrendo as intervenções

Fonte: http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br

necessárias, feitas por mim, quando algum conceito era citado de forma

equivocada, esclarecendo possíveis dúvidas e sistematizando os conceitos,

chegando, dessa forma, à construção de novos conhecimentos.

Do total de trinta e oito atividades que compõem a Unidade Didática e

que foram desenvolvidas durante os encontros, farei a descrição daquelas que

a meu ver foram mais significativas no processo de construção ou reformulação

de conceitos envolvidos. Procurei analisar as atividades nas quais os alunos

demonstraram mais interesse e/ou dificuldades. As respostas postadas foram

obtidas através dos relatos dos alunos nos encontros durante o

desenvolvimento das atividades propostas.

Descrição das atividades e análises de respostas dos alunos

Figura 1 - dinheiro.png

1-Com quais números podemos representar dívida e com

quais podemos representar dinheiro no bolso?2

Objetivo: Relacionar os números negativos e positivos com situações

que aparecem no dia-a-dia.

Figura 2- Resposta 1

Fonte: Produção do aluno

Figura 3 – Resposta 2

Figura 1: Disponível em: <https://lh4.googleusercontent.com/WaMEtX58JlxnYBuSFLGpCPBY61z5oNn2dIEd6eHJVENV=s203-p-no>. Acesso em Set/2013.

Fonte: http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br


Ao analisar as respostas dadas as atividades desse primeiro encontro,

observei que a maioria dos alunos relacionava os números negativos somente

a situações que envolvem lucro ou prejuízo, e poucos lembraram a relação que

os números inteiros negativos exercem no registro de temperaturas abaixo de

zero, na representação de saldos bancários negativos, em relatos de altitudes

e fatos históricos exigindo assim a minha intervenção para uma ampliação

dessa relação dos números inteiros negativos com atividades do cotidiano. No

entanto, recorrer aos conhecimentos prévios é de grande importância para a

aquisição de novos conhecimentos (VERGNAUD, 1993).

Figura 4 - plano-aula.png

2-Desenhe um prédio onde dois andares são garagem e

fica na parte subterrânea, um andar térreo e cinco

andares para cima.3

Objetivos: Localizar pontos na reta numérica, definir números opostos

ou simétricos, sucessor e antecessor e ordem crescente e decrescente no

conjunto dos números inteiros.

A atividade em questão faz parte do segundo encontro e tinha como

objetivo favorecer aos alunos a compreensão da disposição dos números

inteiros na reta numérica. Os alunos puderam apresentar suas compreensões e

dúvidas em relação aos conceitos envolvidos como: os opostos ou simétricos e

ordem crescente e decrescente. Tais dúvidas foram sendo sanadas no

Figura 4: Disponível em: <https://lh3.googleusercontent.com/-PkqnKH8lzNQ/UKOUiMMvQcI/AAAAAAAAnIs/OEuKJF8Yqxg/s64-no/plano-aula-64X64.png>. Acesso em Set/2013.

decorrer do encontro por meio de explicações por parte da professora e até

mesmo pelos alunos o que enriquece o processo de construção do

conhecimento, pois para Vergnaud (1993), as explicações verbais têm grande

importância para que o aluno possa compreender tanto conceitos científicos

como cotidianos.

Percebi que o fato de iniciar a atividade com um desenho proporcionou

aos alunos motivação e segurança diante da dificuldade em posicionar os

valores negativos na reta numérica.

Figura 5 – desenho do prédio Figura 6 – desenho do prédio

Fonte: Material do aluno Fonte: Material do aluno

Figura 7 – desenho do prédio Figura 8 – desenho do prédio

Fonte: Material do aluno Fonte: Material do aluno

As respostas visualizadas nas figuras 5 e 6 indicam que os alunos

conseguiram fazer uma analogia entre o desenho e a reta numérica

encaixando os valores referentes em ordem, enquanto que as respostas das

figuras 7 e 8 não deixam explicito esse conceito. Diante das respostas fiz

intervenções em relação ao termo subterrâneo e logo me disseram “é tudo que

fica embaixo da terra”, então questionei a esses alunos: é possível escrever os

números citados na atividade anterior em uma reta numérica?

O conceito de reta numérica já era conhecido pelos alunos que haviam

usado os números no desenho, no entanto os demais tiveram que desenvolver

outras atividades nas quais se trabalhou o conceito de reta numérica, ficando

evidente que quando se trabalha uma sequência variada de atividades onde os

alunos possam apresentar resultados a partir de discussões favorece um real

domínio do conhecimento em relação ao conteúdo trabalhado.

Figura 9 – Exemplo de atividade


Objetivos: Resolver as operações de adição e subtração de números

inteiros com sinais iguais e diferentes sem usar as regras.

Essa atividade faz parte do quarto encontro, optei por iniciar o trabalho

das operações de adição e subtração com números inteiros com uma atividade

na qual o aluno não iria precisar usar as regras já conhecidas. Para a utilização

do material descrito os alunos foram agrupados e então distribui em cada grupo

duas tiras de cores diferentes sendo que uma delas foi fixada na carteira e a

outra ficou solta para ser movida para a esquerda ou para a direita de acordo

com cada um dos cálculos. Após explicação no quadro de como seria a

realização da atividade, os alunos começaram a resolvê-la. Alguns grupos

precisaram de novas explicações, no entanto, as imagens abaixo mostram os

alunos realizando as atividades com as tiras de papel, processo que não

apresentou grandes dificuldades quanto ao manuseio do material, moveram as

tiras de acordo com os cálculos pedidos obtendo assim a solução correta e

3- Com as tiras abaixo, resolver as operações de adição e subtração, considerando uma das tiras como o ponto de referência que ficará fixa enquanto a outra é movida para esquerda ou direita dependendo da operação envolvida.

Instruções: Para efetuar o cálculo -4 + 1, a tira de papel verde terá que se

mover para a esquerda fazendo com que o número 1 fique embaixo do

zero da tira amarela (referência) e o resultado da operação estará

posicionado abaixo do - 4 na tira verde, conforme mostra o esquema.

sem a necessidade de lembrar-se das regras da adição e subtração de

números inteiros.

Figura 10 – Alunos manuseando as tiras de papel

Fonte: Arquivo da autora

Foram oferecidas várias atividades nas quais os alunos usaram as tiras

como recurso didático. Pois segundo Vergnaud (1993), a construção de um

conceito é um processo demorado e depende das situações que os estudantes

tiveram oportunidade de vivenciar durante o processo escolar.

Ao final, quando perguntado se já conheciam o método usado nas

resoluções das atividades e o que acharam dele, obtive respostas que

comprovam que para os alunos que dominavam o conceito da adição e

subtração de números inteiros e sabiam usar as regras, o método é

interessante, mas eles preferem usar aquilo que já dominam (resposta 1), no

entanto, para alguns que ainda não dominam esse conceito, o método é, além

de interessante, valioso para o um desempenho seguro na resolução das

atividades (resposta 2).

Figura 11 – Resposta 1 Figura 12 – Resposta 2

Fonte: Produção do aluno Fonte: Produção do aluno

Figura 13 – Imagens?

4-Observem e escrevam os resultados das operações, explicando como cada

resposta foi obtida.4

a)2 . (- 3)=

b)(- 4) . 5=

c)(- 6) . (- 5)=

Objetivos: Trabalhar situações que envolvam multiplicações e

divisões; operações inversas e elaborar regras para essas operações com

números inteiros.

Com o desenvolvimento da atividade que fez parte do sétimo encontro,

buscou-se saber se os alunos fazem relação entre as operações de

multiplicação com a adição de parcelas iguais, pois caso isso fosse

argumentado por algum aluno, eu usaria esse conhecimento para registrar a

demonstração da regra de sinal quando um dos fatores é positivo. Pois para

Borba (2003), os resultados obtidos nos diversos estudos que tratam de

números inteiros devem levar a escola a considerar vários aspectos relevantes

no ensino desse conteúdo, como os conhecimentos anteriores. Nesse caso

específico, o conhecimento anterior era a tentativa de se fazer uma

comparação entre as operações de adição e multiplicação onde se obtém a

mesma resposta nas questões a e b, sendo que o mesmo não acontece na

questão c por ter os dois fatores negativos. As respostas dos alunos não

mostram tal conceito, usaram somente as regras aprendidas anteriormente.



Figura 13: Disponível em: <https://encrypted-tbn1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcS_u4gWVB9MHIMxYz0oV2o9bR7O-apbAGofz3pQF5rdDnH0Ly1r>. Acesso em Out/2013.

Fonte: www.dominiopublico.gov.br



Diante das resoluções apresentadas, percebe-se que os alunos já

dominam as regras de sinais, no entanto, fiz questionamentos sobre outros

modos de se chegar as respostas dessas operações. Como não obtive

nenhuma resposta, fiz minhas colocações indicando a soma de parcelas iguais

nas alternativas a e b, como demonstração para a regra de sinal (-). (+)= -

Para apresentar a questão c onde a regra de sinal (-). (-)= +, optei por

uma sequência parecida com a tabuada ( figura 16), onde na primeira coluna

os valores decrescem e na segunda o valor é constante, como ocorre na

tabuada normal. Prosseguindo multiplicamos os valores e então analisamos os

resultados.

Figura 16 – Sequência


3. (- 4) = -12

2. (- 4) = -8

1. (- 4) = -4

0. (- 4) = 0

-1. (- 4) = +4

-2. (- 4) = +8

-3. (-4) = + 12

Prossegui com um trecho da história que conta como foi criada, pela

primeira vez, a regra de sinais para as operações de multiplicação com

números inteiros, os alunos mostraram-se interessados.

Para Glaeser:

A origem da regra dos sinais é atribuída geralmente a Diofantes de Alexandria ( fim do século lll d.C.). Esse autor não faz qualquer referência aos números negativos. No entanto, no inicio do livro l da sua “Aritmética” Diofantes, aludindo sem dúvida ao desenvolvimento do produto de duas diferenças, ele escreve: “ O que está em falta multiplicado pelo que está em falta dá o que é positivo; enquanto que o que está em falta multiplicado pelo que é positivo, dá o que está em falta” (1985, p.47, grifo do autor).

Em seguida os alunos escreveram as regras para a multiplicação e

continuaram desenvolvendo atividades que envolviam essa operação e a

divisão, pois se pretendia investigar se os alunos tinham conhecimento sobre

essas operações serem conhecidas como inversas e assim terem as mesmas

regras de sinais. Diante das respostas observadas, os alunos já dominavam o

conceito de que a multiplicação e a divisão são operações inversas e que

possuem as mesmas regras de sinais.


Fonte: Produção do aluno Fonte: Produção do aluno

Objetivos: Utilizar a calculadora como instrumento para resolver

situações problema, conhecer a função das teclas da calculadora.

Considerando necessário oportunizar aos alunos um contato maior

com atividades variadas que possam favorecer o desenvolvimento de

habilidades cognitivas, visto que as mesmas são desenvolvidas lentamente,

mas isso pode se tornar mais rápido com o uso de metodologias,

desenvolvendo o raciocínio e ampliando a construção de novos conceitos.

Sabemos que o professor é componente indispensável nesse processo de

aquisição de novos conhecimentos, o aluno precisará sempre das intervenções

dele, que poderá direcionar de forma a transformar a atividade em uma

situação enriquecedora na qual o aluno venha a visualizar e aprender os

conceitos ali embutidos. Essa diversidade de situações é, segundo Vergnaud

(1994), o ponto chave para a compreensão de um conceito.

Vindo ao encontro do princípio de que se deve oferecer situações

variadas, propus no oitavo encontro atividades que envolvam o uso da

calculadora nas resoluções de situações com números inteiros. Muitos são os

pesquisadores, como Sá e Noronha (2002), Medeiros (2004), Santos, Andrade

e Gitirana (2004) que pesquisam e escrevem sobre o uso da calculadora como

recurso didático nas aulas de matemática.

Como forma de motivação, apresentei, inicialmente, um trecho sobre a

história da calculadora, muitos alunos disseram nunca ter ouvido falar sobre

como surgiu tal objeto, não sabiam que era tão antigo e que havia passado por

tantas transformações.

Os homens sempre buscaram maneiras de realizar seus cálculos com

mais facilidade, um exemplo disso foi a invenção do ábaco, considerado a

forma mais elementar da calculadora. O ábaco foi criado pelos chineses no

século VI a.C., era formado de fios paralelos e arruelas deslizantes as quais

eram usadas para realizar operações de adição e subtração. Mesmo com suas

limitações, foi usado durante muitos séculos como principal instrumento na

realização de cálculos. Em 1642, o ábaco passou por uma grande evolução

quando Pascal idealizou uma máquina automática de cálculos, a qual realizava

de forma mais rápida os cálculos, diferente do que ocorria na utilização do

ábaco. No entanto, essa criação também deixava a desejar, pois só realizava

as operações de adição e subtração. Mas, em 1671, o filósofo e matemático

alemão Gottfried Wilhelm von Leibniz desenvolveu a chamada”roda graduada“

,mecanismo capaz de realizar as outras operações, no entanto esse

instrumento ficou sendo de uso restrito até o final do século XX, e a partir daí

houve a criação de máquinas cada vez menores e mais baratas facilitando o

acesso e a transformando em um instrumento popular.

Para o desenvolvimento das atividades proposta nesse oitavo

encontro, sugeriu-se que as calculadoras fossem todas iguais, de modelo

simples, sem muitas funções e que os alunos fossem agrupados, pois haveria

momentos de discussões e debates.

Figura 19 – Exemplo de atividade

1- Usando a calculadora, resolva as seguintes operações:

a) - 3 – 5= c) -1 – 9 = e) -5 -17=

b)- 8 – 6= d) – 4 – 7= f) -11 – 5=


Assim que a atividade da figura 19 foi entregue todos os alunos

começaram a resolvê-la de forma direta. Isso era o esperado, pois haviam

trabalhado as regras das operações com inteiros. No entanto, eles foram

desafiados a descobrir como realizar os cálculos nas calculadoras que lhes

foram apresentadas. Logo apresentaram as respostas dizendo “é só digitar os

sinais dos números e aí o resultado aparece no visor”. Nessa primeira atividade

na qual os dois valores eram negativos, os alunos não apresentaram

dificuldades em resolver as questões usando a calculadora. Então foi entregue

outra lista com operações onde o primeiro valor era negativo e estava sendo

adicionados a outro valor positivo, os alunos efetuaram os cálculos usando a

calculadora e assim como na primeira atividade não apresentaram dificuldades.

Como forma de investigar até onde os alunos dominavam o uso da calculadora

em cálculos com números inteiros, entreguei-lhes uma terceira atividade

composta por operações de multiplicações e divisões, como mostra o modelo

(figura 20).

Figura 20: Exemplo de atividade

3-Agora resolva as operações abaixo usando a calculadora:

a)( + 2) x ( - 3) = d) ( - 12) ÷ ( + 4)=

b) ( - 5) x ( - 6) = e) ( + 20) ÷ ( - 5)=

c) ( - 7) x ( + 4) = f) ( - 27) ÷ ( - 9)=


Durante a resolução apareceram dúvidas como:

“Nas questões c e d, a resposta dá certo, no entanto nas questões a,

b, c, e e f, as respostas não batem.” Então surgiu o questionamento o que

fazer para podermos resolver esses cálculos usando a calculadora?

Nesse momento houve a minha intervenção proporcionando a

aquisição de um conceito não dominado até o momento em relação a uso da

calculadora simples em cálculos de multiplicação e divisão de inteiros. A

explicação dada foi a seguinte: sempre que for efetuar cálculos com valores

negativos, é necessário que a calculadora tenha a tecla +/-, pois ela será

digitada após o valor numérico negativo, assim para a letra b digitaremos as

seguintes teclas:

5 +/- x 6 +/- = 30

Em seguida os alunos resolveram as demais questões obtendo assim o

resultado correto.

Figura 21 – Alunos manuseando calculadoras

Fonte: Arquivo da autora

No decorrer do desenvolvimento das atividades, percebi a motivação

dos alunos em conseguir resolver as questões de forma correta usando a

calculadora. As descobertas quanto ao uso da calculadora nas operações com

números inteiros foram evidenciadas nos relatos dos alunos, quando

questionados sobre o que eles haviam aprendido no decorrer do

desenvolvimento da sequência de atividades propostas nesse oitavo encontro.




4. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Ao término desse estudo, posso dizer que quando se trabalha de forma

integrada com os alunos, ouvindo suas ideias em relação ao caminho

percorrido durante a resolução de uma atividade, os conceitos ali envolvidos

ficam mais claros e dessa forma podem se transformar em uma aprendizagem

de maior eficácia se comparado com outros métodos nos quais os conceitos

são apresentados pelo professor sem uma discussão ou análise dos

conhecimentos que os alunos já detêm. Essa metodologia proporciona um

envolvimento maior dos alunos, pois eles não têm respostas prontas, eles

sempre terão que analisar e pensar nos conceitos que já possuem para assim

chegar a uma conclusão, transformando o conhecimento social em um

conhecimento científico.

Tendo como material de análise as respostas registradas pelos alunos

relacionadas a uma sequência variada de atividades envolvendo os números

inteiros, apresentada e trabalhada durante os encontros, pude perceber que

isso proporcionou aos alunos do 1º ano do Curso de Formação de Docentes

uma visão bem contextualizada desses números, através das discussões,

resoluções e materiais usados constataram que muitos dos erros cometidos

estavam ligados à troca de conceitos aplicados, principalmente em relação à

adição e a subtração dos números inteiros que no caso de alguns alunos

aplicavam as regras de sinais da multiplicação. Com tais observações, foram

reformulados esses conceitos e a meu ver, irão auxiliar os alunos em futuras

aplicabilidades.

O conteúdo da sequência de atividades foi avançando, tendo como

referencial aquilo que o aluno já dominava, pois de forma gradativa, as

atividades foram repassadas, e assim era observado onde havia necessidade

de uma retomada ou um trabalho mais específico com dedicação de um tempo

maior. Diante disso, é sabido que por si só a sequência variada de atividades

com números inteiros, oferecida aos alunos do 1º ano do Curso de Formação

de Docentes não foi a responsável pela reformulação ou revalidação dos

conceitos, isso exigiu uma mobilização tanto por parte da professora como dos

alunos. Também percebi que o uso de materiais manipuláveis foi muito

interessante e importante para estudo e reformulação dos conceitos, pois

motiva os alunos e desenvolve neles segurança nas resoluções. Através

desses materiais, muitas vezes são observadas regras e conceitos presentes

nos conteúdos matemáticos que quando trabalhados de forma teórica não são

vistas, assim as aulas ficam mais dinâmicas e atrativas, unindo teoria e prática.

Isso é importante, pois os alunos que frequentaram os encontros da

implementação serão futuros professores e espero que, de certa forma, eles

tenham entendido a importância de se trabalhar metodologias diferenciadas

que levem em consideração os conhecimentos prévios dos alunos e usar

sempre que possível materiais manipuláveis.

É importante citar que no decorrer do desenvolvimento dessa

implementação, enfrentei algumas dificuldades, pois foi adotado uma

metodologia na qual incentivava os alunos participarem ativamente, realizando

as atividades individualmente, em dupla ou em pequenos grupos,

proporcionando sempre tempo para que refletissem, explorassem os caminhos

possíveis, usando sempre os conceitos que já possuíam e relatassem como

chegavam ao resultado. Assim, estariam sendo sujeitos ativos no processo de

buscar novos conhecimentos em relação ao conteúdo “Números Inteiros”,

tendo assim, oportunidade de trabalhar a matemática de modo criativo. No

entanto, como muitos alunos não estão acostumados com tal metodologia e

que o trabalho em grupo às vezes gera indisciplina, principalmente com turmas

numerosas, como essa na qual realizei a implementação, num total de trinta e

seis alunos. Mas mesmo assim considero que o trabalho desenvolvido atingiu

seu objetivo, os resultados poderão ser observados durante as aulas e assim

serão concretizados no decorrer da vida escolar de cada um. Dessa forma,

com o desenvolvimento desse trabalho, percebi que muitas vezes, por pressa

em vencer conteúdos previstos, não consideramos os conhecimentos dos

alunos e não buscamos analisar a forma pela qual eles chegam às respostas

das atividades, considerando-as erradas sem, no entanto, questioná-los,

causando prejuízos na aprendizagem deles. Diante disso, acredito que esse

trabalho ajudou-me a ter uma visão mais ampla sobre o que está por trás dos

erros que os alunos comentem numa questão matemática e que caminho

tomar para ajudá-los a evitar.

REFERÊNCIAS

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números relativos. In: SCHLIEMANN, Analúcia. A compreensão de conceitos

aritméticos: Ensino e Pesquisa. 2. ed. São Paulo: Papirus, 2003. cap. 6,

p.121-150.

BRASIL. Ministério da Educação; Secretaria de Educação Básica; Instituto

Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira; Avaliação do

Rendimento Escolar-Prova Brasil: matrizes de referências, tópicos e

descritores. Brasília: MEC/Inep,2011.

GLEASER, G. Epistemologia dos Números Relativos. Boletim do GEPEM, Rio de Janeiro, n 17, 1985. PARANÁ. Diretrizes Curriculares da Rede Pública de Educação Básica do

Estado. Curitiba, PR: SEED, 2008.

SÁ, Pedro Franco de; SILVA, Rosangela Cruz da; NETO, Antônio José de

Barros; ALVES, Fábio da Costa. Ensino de números relativos por meio de

atividades com calculadoras e jogos de regras. BOLETIM GEPEM, Nº 54,

JAN./ JUN., 2009, p. 121-138.

SILVA, Janaina Cardoso da. Obstáculos com os Números Inteiros e a Calculadora. Trabalho de Conclusão de curso (Graduação em Matemática), UEPB, 2011. Disponível em http://dspace.bc.uepb.edu.br:8080/xmlui/handle/123456789/441. Acesso em Maio de 2013.

http://dspace.bc.uepb.edu.br:8080/xmlui/handle/123456789/441

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