os desafios da escola pÚblica paranaense na … · áreas para ensinar produtos notáveis e das...
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Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE
OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Produções Didático-Pedagógicas
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO - SEED SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO - SUED DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS – DPPE
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
TURMA PDE-2013
1- FICHA DE IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA
Título: Resolução de Problemas: um meio para ensinar equações.
Autor: Khelen Cristian Thomé Lopes
Disciplina/Área: Matemática
Escola de Implementação do Projeto e sua localização:
Colégio Estadual Olavo Bilac. Ensino Fundamental e Médio.
Rua Bom Jesus Nº 273, Centro.
Município da escola: Cantagalo-PR
Núcleo Regional de Educação: Laranjeiras do Sul
Professor Orientador: Dirceu Pereira da Silva
Instituição de Ensino Superior: Universidade Estadual do Centro Oeste
Relação Interdisciplinar: Não
Resumo:
A presente unidade pretende encontrar na Resolução de problema, um meio para mediar o processo de ensino aprendizagem na introdução do cálculo algébrico. A dificuldade observada nos alunos dos 7º anos, nos conteúdos relacionadas ao cálculo algébrico, alertou quanto a necessidade de rever as metodologias aplicadas no processo de ensino e aprendizagem dos conteúdos de álgebra, no caso deste ano do ensino fundamental, as equações. A resolução de problema oportuniza ao aluno estabelecer estratégias, elaborar um plano a partir de conhecimentos prévios e ao professor perceber as estratégias, os conceitos utilizados na solução do problema, e intervir sempre que houver necessidade,
Secretaria de Educação
é essa prática que torna possível visualizar as deficiências nos conteúdos. O problema levantado na pesquisa é norteado pela seguinte indagação: A resolução de problemas oportuniza ao aluno meios para o desenvolvimento do pensamento algébrico? O objetivo central do trabalho é promover com a resolução de problemas meios para desenvolver o pensamento algébrico, mais especificamente possibilitar ao aluno: utilizar os conhecimentos (aritméticos) sobre as operações numéricas e suas propriedades para construir estratégias de cálculo algébrico; traduzir situações problemas para a linguagem algébrica; resolver equações obtidas a partir dos problemas propostos. Para tanto a resolução de problemas articulada a outras metodologias pode ser um caminho para desmistificar o pensamento algébrico como sendo difícil e de compreensão para alguns poucos privilegiados. O trabalho se desenvolverá com situações problemas, as atividades serão pautadas nas teorias de Polya, e quanto ao ensino da álgebra, esta referenciará a proposta de ensino sugerida por Lins e Gimenez.
Palavras-chave: Resolução de problemas; Cálculo algébrico; Ensino e aprendizagem
Formato do Material Didático: Unidade Didática Público:
Alunos do 7º Ano
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO - SEED SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO - SUED DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS – DPPE
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
TURMA PDE-2013
2 TEMA DE ESTUDO DO PROFESSOR PDE: Dificuldades no desenvolvimento do
pensamento algébrico no 7º ano
3 TÍTULO: RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: UM MEIO PARA ENSINAR
EQUAÇÕES.
4 OBJETIVO GERAL
Promover com a resolução de problemas meios para desenvolver o
pensamento algébrico.
5 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
- Utilizar os conhecimentos (aritméticos) sobre as operações numéricas e
suas propriedades para construir estratégias de cálculo algébrico.
-Traduzir situações problemas para a linguagem algébrica.
-Resolver equações obtidas a partir dos problemas propostos.
Secretaria de Educação
PRODUÇÃO DA UNIDADE DIDÁTICO-PEDAGÓGICA
6 APRESENTAÇÃO
A proposta desta Unidade Didática, necessita de uma avaliação (pré-teste)
para observar como os alunos resolvem os problemas os quais requerem equações
para solucioná-los, quais estratégias são usadas por eles, com a pretensão de
verificar se após trabalhar os conceitos relacionados ao cálculo algébrico a partir da
resolução de problemas, eles compreenderão melhor a álgebra e sua linguagem.
Esta Unidade visa trabalhar o cálculo algébrico e as equações a partir das
etapas da resolução de problemas proposta por Polya, com o intuito de desenvolver
a leitura, a escrita e a interpretação, levando o aluno compreender a álgebra e sua
importância para a matemática.
A metodologia utilizada tem como objetivo desafiar e envolver os alunos no
contexto das atividades propostas. A abordagem dada aos conteúdos é feita a partir
de uma história criada com o intuito de enfatizar a leitura, a interpretação, fatores
essenciais à resolução de problemas e também como uma forma de comprometer
os alunos numa atmosfera de investigação. Cada capitulo é a introdução ao
conteúdo a ser desenvolvido com a turma.
A implementação da Unidade Didática ocorrerá com o 7º Ano do Ensino
Fundamental, no Colégio Estadual Olavo Bilac. Ensino Fundamental e Médio., no
município de Cantagalo PR.
A Resolução de Problemas aliada a outras metodologias de ensino mediará o
processo de ensino-aprendizagem tem como foco desmistificar o pensamento
algébrico como algo difícil, será usada como alternativa para a introdução do cálculo
algébrico, na expectativa de melhorar a relação dos educandos com os conteúdos.
.
7 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Para melhor entendimento desta unidade didática, faz-se necessário salientar
os apontamentos de Lins e Gimenez quanto a forma de ensinar e aprender álgebra e
também a resolução de problemas segundo a abordagem de Polya, Dante, Smole e
Diniz. Essa tendência “resolução de problemas” condiz com a pretensão de ensino
da álgebra defendida por Lins e Gimenez, os quais saem da abordagem letrista e da
facilitadora.
Para Baunmgart1, a introdução dos símbolos é o divisor de águas entre a
álgebra elementar e a moderna. Na atualidade, esse é um dos motivos de muitas
dúvidas para os alunos que não relacionam essa notação, essa linguagem, as
situações problemas a eles apresentadas. Para auxiliar na discussão referente ao
ensino da álgebra no ensino fundamental, recorre-se a estratégia indicada por Lins e
Gimenez no livro Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI. Os
autores fazem uma análise do ensino da aritmética e da álgebra e sugerem
encaminhamentos que vem de encontro com os questionamentos que
desencadearam essa unidade didática.
Na aritmética sugere-se o desenvolvimento do sentido numérico e para a
álgebra uma nova forma de ensinar a qual enfatiza que as abordagens dadas são
profundamente equivocadas. Neste momento é válido referenciar as abordagens
letristas e as facilitadoras por eles citadas.
A abordagem letrista resume-se em cálculos com letras, ou seja, é utilizado a
aritmética de relacionar técnicas (algoritmos) / práticas (atividades). Técnica esta
usada por muitos livros didáticos. Eles questionam por que essa prática é tão
popular?
Primeiro, que seria ingenuidade pensar que a enorme aceitação dessas práticas ‘letristas’ ocorre apenas por resignação dos professores: é preciso entender que elas correspondem bem a uma certa visão da atividade algébrica, caso contrário não sobreviveriam. Em segundo lugar, e até como consequência do primeiro ponto, é preciso ter consciência de que qualquer proposta de mudança vai ter de passar por convencer muita gente de que a atividade algébrica não é “cálculo literal” e falamos aqui de fazer bem mais do que pressioná-las a mudarem a rotina. (LINS e GIMENEZ ,1997, p.106)
A abordagem facilitadora parte do concreto para a abstração. 'Ainda numa
linha letrista, mas incorporando outros elementos, encontramos propostas que
afirmam que a capacidade para lidar com expressões literais vem por abstração por
meio do trabalho com situações concretas. '(idem, p.107). Sendo comum o uso de
áreas para ensinar produtos notáveis e das balanças para explicar equações.
1 BAUMGART, John K.;traduzido por DOMINGUES, Hygino H. História da Matemática. São Paulo:Atual, 1992. (Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula; v.4).
Segundo Hart e Sinkinson, apud LINS e GIMENEZ(1997, p.107) concluíram
que as crianças não viam relação entre o que haviam feito no ‘concreto’ e o que
faziam no ‘formal’ (registro), na pesquisa elas trabalharam com a manipulação de
material concreto no conteúdo soluções de equações. É neste ponto de análise que
ocorre o elo entre a teoria por eles apresentada e o anseio deste projeto.
Para entendermos a metodologia aplicada por Lins e Gimenez faz-se
necessário conhecer a forma como conduzem as atividades.
Primeiro é a intervenção legítima do professor que abre a possibilidade de constituir um novo núcleo, um processo que deve ser negociado com os alunos, isto é, eles devem ver como legítimo operar em relação a esse novo núcleo, e nisso o papel do professor – como autoridade e como interlocutor – é fundamental. Em vez de tentar “escorregar suavemente” para um novo modo de produzir significado, como se tudo fosse o mesmo de antes, e, portanto, deixando o aluno com a sensação de que ele deve “descobrir” como as coisas se passam “de fato', o professor torna explícita sua intervenção de tentar algo novo e diferente do que se fazia antes. (…) é que as expressões que serão objetos das transformações já são objetos, isto é, já se produziu algum significado elas. (...) (ib., p.130-131)
Lins e Gimenez (ib, p.137)apontam 'a atividade algébrica consiste no
processo de produção de significado para a álgebra e esta consiste em um conjunto
de afirmações para as quais é possível produzir significado em termos de números e
operações aritméticas possivelmente envolvendo igualdade e desigualdade'. A
caracterização da atividade algébrica dada por eles depende de “conteúdos” de
modo muito particular, na medida em que explicitam um recorte de mundo,
produzindo significados que estabelecem fronteiras para a álgebra, uma vez que
esse recorte não é necessariamente da matemática acadêmica.
Após familiarizar-se com a metodologia estabelecida por Lins e Gimenez
(1997), nota-se que a argumentação sugerida aos professores justifica a tendência
metodológica Resolução de Problemas, pois a dinâmica adotada por Lins e Gimenez
possui pontos semelhantes às etapas propostas por Polya.
Trabalhar com a resolução de problemas requer clareza na definição de
“problema” para tanto se recorre às teorias de Polya, Dante , Smole e Diniz, onde
um completa o outro com sua singularidade. Visando o melhor andamento das
atividades, recorre-se a definição dada por Smole e Diniz.
Primeiramente, a Resolução de Problemas baseia-se na proposição e no enfrentamento do que chamaremos de situação problema. Isto é, ampliando o conceito de problema, devemos considerar que a Resolução de Problemas trata de situações que não possuem solução evidente e que exigem que o resolvedor combine seus conhecimentos e decida pela maneira de usá-los em busca da solução.(....) A primeira característica da perspectiva metodológica Resolução de Problemas é considerar como problema toda situação que permita alguma problematização.Essas situações podem ser atividades planejadas, jogos, busca e seleção de informações, resolução de problemas não-convencionais e mesmo convencionais, desde que permitam o processo investigativo.(SMOLE e DINIZ, 2001, p.89 e 90) ( Grifo da autora).
Com essa perspectiva de situação problema combinada às etapas de Polya,
pode ser possível trabalhar o cálculo algébrico de modo significativo tanto para o
aluno quanto para o professor. As atividades a serem desenvolvidas pautam-se nos
autores acima citados buscando explorar os métodos por eles sugeridos de forma a
mediar a compreensão e aprendizagem da álgebra elementar.
É viável esclarecer as etapas da resolução de problemas proposta por Polya,
as quais se encaixam no perfil descrito acima da crença-afirmação e as justificativas
descritas na metodologia de Lins e Gimenez. As etapas evidenciadas constam no
sumário da obra de Polya, A arte de resolver problemas:
1º - COMPREENSÃO DO PROBLEMA
Primeiro é preciso compreender o problema. Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é condicionante? É possível satisfazer a condicionante? A condicionante é suficiente para determinar a incógnita? Ou é insuficiente? Trace uma figura. Adote uma notação adequada. Separe as diversas partes da condicionante. É possível anotá-las? 2º - ESTABELECIMENTO DE UM PLANO Encontre a conexão entre os dados e a incógnita. É possível considerar problemas auxiliares se não puder encontrar uma conexão imediata. É preciso chegar afinal a um plano para a resolução. Já o viu antes? Ou já viu o mesmo problema apresentado sob uma forma ligeiramente diferente?
3º - EXECUÇÃO DO PLANO Execute seu plano. Ao executar seu plano de resolução verifique cada passo. É possível verificar claramente que o passo está correto? É possível demonstrar que ele está correto?
4º - RETROSPECTO Examine a solução obtida. É possível verificar o resultado? É possível verificar o argumento? É possível chegar ao resultado por um caminho diferente? É possível perceber isso num relance? É possível utilizar o resultado, ou o método, em algum outro problema?
Em síntese, estes são os passos descritos pelo autor como método para
resolver um problema, muitos podem tê-lo como ultrapassado pela forma detalhada
como cada etapa é dividida. Entretanto, entende-se que elas acontecem
simultaneamente e ainda que poucos resolvedores parem para uma análise tão rica
das situações problemas, é necessário retomar tais pontos com os alunos para que
haja nessa metodologia o momento de se formular a crença-afirmação e as
justificativas, as quais creem irão mediar à abstração.
Diante das etapas analisadas, Polya fala sobre a postura do professor.
O Professor que deseja desenvolver nos estudantes a capacidade de resolver problemas deve incutir em sua mente algum interesse por problemas e proporcionar-lhe muitas oportunidades de imitar [não gosto deste termo] e de praticar. (...) quando o professor resolve um problema em sala de aula, deve dramatizar um pouco as suas idéias e fazer a si próprio as mesmas indagações que utiliza para ajudar os alunos.(...) Primeiro temos que compreender o problema, temos de ver como os diversos itens estão inter-relacionados, como a incógnita está ligada aos dados, para termos a idéia da resolução, para estabelecermos um plano.Terceiro, executamos o nosso plano. Quarto, fazemos um retrospecto da resolução completa, revendo-a e discutindo-a. (POLYA, 2006, p.4 e 5)
Dante (2005) aponta os objetivos da Resolução de Problemas, tais como:
fazer o aluno pensar produtivamente; ensinar aluno a enfrentar situações novas; dar
ao aluno a oportunidade de se desenvolver com as aplicações da matemática; tornar
as aulas de matemática mais interessantes e desafiadoras; equipar o aluno com
estratégias para resolver problemas; dar uma boa base matemática às pessoas.
DANTE (2005, p.11-15). Ele também enfatiza as quatro etapas principais para a
resolução de problemas segundo Polya, mas faz uma ressalva:
É claro que essas etapas não são rígidas, fixas e infalíveis. O processo de resolução de um problema é algo mais complexo e rico, que não se limita seguir instruções passo a passo que levarão à solução, como se fosse um algoritmo. Entretanto, de um modo geral elas ajudam o solucionador a se orientar durante o processo. (Idem, p.22)
O quadro a seguir relaciona as etapas de resolução de problemas
recomendada por Polya e a metodologia de ensino álgebra estabelecida por Lins e
Gimenez.
POLYA LINS E GIMENEZ
1º - COMPREENSÃO DO PROBLEMA
Primeiro é preciso compreender o problema.
Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é condicionante?
É possível satisfazer a condicionante? A condicionante é suficiente para determinar a incógnita? Ou é insuficiente?
Trace uma figura. Adote uma notação adequada.
Separe as diversas partes da condicionante. É possível anotá-las?
Primeiro é apresentada aos alunos uma situação problema, após, são escritas no quadro as afirmações feitas pelos alunos referentes a um núcleo (uma perspectiva de análise do problema), representadas pela letra C -A1 que quer dizer crença-afirmação, algo que os alunos acreditam ser verdade, e usam C -A2 para a próxima crença-afirmação e assim por diante.
2º - ESTABELECIMENTO DE UM PLANO
Encontre a conexão entre os dados e a incógnita.
É possível considerar problemas auxiliares se não puder encontrar uma conexão imediata.
É preciso chegar afinal a um plano para a resolução.
Já o viu antes? Ou já viu o mesmo problema apresentado sob uma forma ligeiramente diferente?
Equacione o problema.
Questionando as crenças obtém-se as justificativas J1A , J1B e assim por diante , para cada crença temos uma justificativa.
Para C -A1 que quer dizer crença-afirmação temos, J1A que é a justificativa para essa crença.
3º - EXECUÇÃO DO PLANO
Execute seu plano.
Ao executar seu plano de resolução verifique cada passo.
É possível verificar claramente que o passo está correto?
É possível demonstrar que ele está correto?
Resolva a equação
Para registrar as crenças introduzem as notações algébricas de comum acordo com os alunos, os quais vão se familiarizando com essa nova escrita de forma natural, ocorrendo à legitimação desse tipo de notação, assim atividade produz significado para esse tipo de texto (algébrico)
4º - RETROSPECTO
Examine a solução obtida.
É possível verificar o resultado? É possível verificar o argumento?
É possível chegar ao resultado por um caminho diferente?
É possível perceber isso num relance? É possível utilizar o resultado, ou o método, em algum outro problema?
Os registros e justificações geram uma lógica das operações que satisfazem o problema proposto.
Fonte: Quadro elaborado com base nos estudos realizados nas obras já citadas de Polya e de Lins e Gimenez ,pela autora,2013.
A resolução de Problemas, como metodologia para ensinar cálculo algébrico
no ensino fundamental, corrobora com LINS e GIMENEZ apud PARANÁ (2008,
p.52):
Na Educação Básica, é preciso estabelecer uma relação intrínseca entre pensamento e linguagem, ou seja, a linguagem algébrica entendida como expressão do pensamento matemático. ’pensar algebricamente é produzir significado para situações em termos de números e operações aritméticas (e igualdades ou desigualdades) e, com base nisso, transformar as expressões obtidas’
Ao trabalhar com a metodologia evidenciada por Polya, aliada às habilidades
básicas para aprender matemática, referenciadas por SMOLE e DINIZ, almeja-se um
ensino diferenciado. Ler, escrever e resolver problemas são as habilidades
enfatizadas pelas autoras, que são pesquisadoras do ensino fundamental básico,
motivo pelo qual se tornam ainda mais relevantes esses apontamentos, haja vista
que muitos julgam o fracasso do aprendizado matemático às metodologias aplicadas
nas séries iniciais.
Para as pesquisadoras a linguagem materna é responsável pela oralidade e
as significações das palavras servem como suporte para a troca de informações,
(idem, p.17) conceito pertinente aos anseios do projeto, uma vez que a linguagem
algébrica se dá por meio da abstração dos significados expressos na língua
materna. Durante toda a obra é salientado a importância da oralidade e da leitura de
textos de matemática, devido à especificidade da escrita, dos símbolos e das regras.
Elas valorizam a escrita e os textos nas atividades ofertadas.
Nesse sentido, podemos atribuir à linguagem materna dois papéis em relação à matemática. Por um lado, a língua materna é aquela na qual são lidos os enunciados, na qual são feitos os comentários e a qual permite interpretar o que se ouve ou lê de modo preciso ou aproximado. Por outro, a língua materna é parcialmente aplicada no trabalho matemático, já que os elos de raciocínio matemático apóiam-se na língua, em sua organização sintática e em seu poder dedutivo.(Idem, p.17)
Nesta perspectiva da linguagem é relevante destacar GARCIA(1997) apud TELES:
Em Matemática, o simbolismo constitui uma verdadeira linguagem em forma escrita, necessário para a comunicação do pensamento matemático que opera em dois níveis. O primeiro é o nível semântico: os símbolos e as notações carregam um significado em paralelo com a linguagem natural [materna]. O segundo nível é puramente sintático, em que se podem aplicar regras manipulativas, sem referência direta ao significado.(TELES, 2004, p.5)
A tendência Resolução de Problemas, é uma ação a ser implementada a fim
de sanar as dificuldades do processo ensino-aprendizagem da álgebra no 7º ano do
ensino fundamental. Pretende-se com este trabalho pautado nas teorias acima
comentadas, apontar caminhos que sinalizem para uma nova perspectiva de ensino
do cálculo algébrico, na qual o interesse do aluno seja despertado para um ensino
significativo.
É necessário que o processo pedagógico em Matemática contribua para que o estudante tenha condições de constatar regularidades, generalizações e apropriação da linguagem adequada para descrever e interpretar fenômenos matemáticos e de outras áreas do conhecimento. (PARANÁ, 2008, p.49)
8 ESTRATÉGIAS DE AÇÃO
O material didático desenvolvido será implementado no Colégio Estadual
Olavo Bilac, com aproximadamente 35 alunos do 7º ano do Ensino Fundamental, no
turno matutino. O referido colégio oferta Ensino Fundamental e Médio a comunidade
da zona rural e urbana do município de Cantagalo-PR, atualmente conta com 59
turmas e 1576 alunos matriculados.
As ações e atividades sugeridas serão implementadas a partir da segunda
quinzena de março a primeira quinzena de junho de 2014, sendo necessárias 32 h/a
para efetuar o trabalho de inserção didático-pedagógica.
AÇÕES PREVISTAS
Nº PERÍODO AÇÃO Nº DE
AULA
1 17-21(março/ 2014) Pré-teste (avaliação diagnóstica) 2
2 17-21(março/ 2014) Reconhecendo os símbolos 3
3 24-28(março/ 2014) As viagens de Neper - História dos
símbolos, conhecendo a Álgebra
3
4 24 a 28(março/ 2014) Etapas para resolução de problemas,
segundo Polya.
1
5 31de março a 11 de
abril/ 2014
Resolvendo equações: As portas de
Neper
7
6 15 de abril a 09 de
maio de 2014
Gincana das equações 14
7 12 a 16( maio/2014) Pós-teste 2 Fonte: A autora,2013.
AÇÃO- 1 (2 aulas)
Professor, nesta atividade pretende-se coletar informações a respeito do conhecimento dos alunos sobre os conteúdos, observar possíveis dificuldades encontradas. De acordo com a DCE p.31 “a avaliação diagnóstica nos propicia uma reflexão sobre a ação pedagógica e nos dá subsídios para as decisões a serem tomadas a respeito do processo educativo que envolve professor e aluno no acesso ao conhecimento”.
Fonte: CARTELLI,2013.
Cantagalo – Paraná
Professora Khelen Cristian Tomé Lopes
PDE/2013
Data: ___/___/___
Aluno(a):_______________________________________ Série 7º Ano Turma____
Avaliação Diagnóstica de Matemática (10,0)
INSTRUÇÕES:
Leia com atenção.
Use caneta azul ou preta.
Para fazer os cálculos use lápis e borracha se precisar.
Marque apenas uma alternativa em cada sentença.
Questões rasuradas (borradas) serão anuladas.
Não é permitido consultar o colega, a professora ou qualquer material de
apoio.
Questão com mais de uma alternativa assinalada será anulada.
1- João é irmão de Lucas, sua idade é o triplo da idade de Lucas mais 6 anos.João
tem 18 anos .Qual idade de Lucas.?
a) 8 anos.
b) 21 anos
c) 9 anos
d) 36 anos e) 4 anos
2 -(Questão adaptada do livro Praticando matemática, 2002) Bruno é dono de uma
papelaria este ano ao invés de sortear um bônus para seus clientes ele fez diferente,
para o dia do estudante bolou o seguinte desafio quem descobrisse o número de
lápis que cada caixa contém, teria um vale promocional de trinta reais para gastar na
papelaria. Ele colocou sobre o balcão as caixas e a inscrição: “As caixas das
extremidades juntas têm o mesmo número de lápis que a outra.”
12
3x
x
a) 12;42;14
b) 12;9; 3
c) 12;18;6
d) 12;3;10
e) 12;8;24
3- O perímetro de um triângulo equilátero é igual ao perímetro de um quadrado de
lado 3 cm. Qual o perímetro e a medida do lado do triângulo?
a)Perímetro 12 e lado 4.
b) Perímetro 6 e lado 2.
c) Perímetro 9 e lado 3.
d) Perímetro 81 e lado 27.
e) Perímetro 27 e lado 9.
Seus conhecimentos sobre Álgebra:
4- O termo “álgebra” é originário do:
a) Chinês
b) Inglês
c) Árabe
d) Alemão
e) Português
5- Uma característica marcante da álgebra é:
a) O uso dos símbolos e das letras na escrita algébrica para resolver situações
problemas.
b) O uso de gráficos e tabelas.
c) Usa somente letras para escrever problemas na linguagem matemática.
d) Não usa símbolos, nem letras na escrita algébrica para representar situações
problemas.
e) Usa exclusivamente números.
6- Marcos gosta muito de matemática e nas aulas de cálculo algébrico aprendeu as
equações e com isso ele vem desfrutando do título de “adivinha”, pois ele acerta
sempre o resultado sem saber o número que a pessoa pensou. Ele propõe “a
alguém:” Pense em um número, some cinco; o resultado multiplique por oito, o
número obtido divida por quatro; do novo resultado subtraia dez; quanto deu? Agora,
divida esse número pelo que você havia pensado, e o resultado é dois. Qual
equação representa essa situação?
a)
b)
c)
d)
e)
AÇÃO – 2 (3 aulas)
Atividades
1- Formar grupos de 5 a 6 componentes, entregar folhas( sulfite), uma cartolina e
pincéis para que os grupos possam apresentar seu trabalho para a classe. O
trabalho consiste num desafio em que os alunos devem comunicar uma idéia, uma
mensagem, usando apenas os símbolos do teclado do celular, exceto o alfabeto.
2- Os grupos apresentam suas produções para a turma.
3- Apresentar slides com imagens de scraps e winks formados a partir de símbolos
originários da matemática
( + - ) : ) /\ /\ ;-) :-( :-P
( + + )
( / \ / \ )
Professor, nesta atividade valorize os símbolos mais usados destaque-os para que possa
contextualizar historicamente e relacioná-lo com a matemática e o seu significado para a
disciplina. Nesta atividade pretende-se melhorar a relação dos alunos com a linguagem
simbólica, proporcionando a eles momentos que os façam refletir sobre uso destes no
seu cotidiano, para que percebam que a linguagem simbólica está presente na vida deles
e que em contextos de seus interesses eles a compreendem e a dominam. Fazer um
paralelo ao uso do código/símbolo pela matemática a fim de desmistificar a linguagem
algébrica. O uso do celular é interessante desde que se tenha a devida autorização da
direção e equipe pedagógica. Professor você pode montar slides com mensagens, usando
scraps e winks, emoticons do face relacionando a linguagem, o símbolo usado como
entrada no teclado e a imagem que aparece no monitor. (Sugestão para a letra c)
Esse quadro relaciona a imagem com os códigos de entrada para obtê-las.
Fonte:https://www.facebook.com/photo.php?fbid=724455014246160&set=a.628549597170
036.1073741830.535517259806604&type=1&theater
4-Tema de casa pesquisar a origem dos símbolos + - × ÷ ( ) =
Dica !!! Alunos acessem o site para pesquisar os temas propostos : http://www.somatematica.com.br/sinais.php
AÇÃO- 3 ( 3 aulas)
Ler o capitulo I da história As viagens de Neper (Apêndice)
Atividades: Pesquisa no laboratório de informática
1) O que é o Papiro Hind citado por Neper na história, ele existiu ou é ficção?
2) Quem foi Diofante?
3) Distribua uma matemático para cada grupo pesquisar quais as contribuições de
François Viète, Robert Record, Thomas Harriot, William Outhred, Gottfried Wilhem
Professor neste momento relate os estágios pela qual a álgebra passou até assumir essa
característica simbólica que lhe é atribuída na atualidade. Diferencie a álgebra retórica, da
sincopada e da simbólica. Para que o aluno saiba que esta foi construída ao longo da
história da humanidade a qual não é pronta e acabada, cite os principais matemáticos.
Sugestões de leitura de apoio:
Contando a história da MATEMÁTICA volume 2 Equação: o Idioma da álgebra, de Oscar
Gueli
Tópicos para uso em sala de aula ÁLGEBRA de John K.Baumgart, Cápsula 1: Equações e
as maneiras como são escritas.
Símbolos e notações matemática artigo da Coleção Explorando o Ensino Matemática-
volume 3,2004. p.211 e 212.
Professor sugiro retomar o tema a atividade 4 da ação 1 e fazer um fechamento sobre a
relação dos símbolos matemáticos e a álgebra
Dica !!! Para pesquisar os temas propostos acessem os sites:
http://www.brasilescola.com/matematica/simbolos-logicos.htm que apresenta os
símbolos lógicos
http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=603 resumo da história da
álgebra e a história da equação do 1º grau
Letra a:
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm36/papiro_de_rhind.htm
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/rhind/inicio.htm
Letra b:
http://www.infopedia.pt/$algebra Sobre a história da álgebra
Letra c:
http://www.infopedia.pt/$francois-viete
http://www.somatematica.com.br/biograf/francois.php
http://www.somatematica.com.br/biograf/recorde.php
http://www.somatematica.com.br/biograf/recorde.php
http://www.matematica.com.br/site/index.php?option=com_content&view=article&i
d=787:robert-recorde&catid=40:biografias&Itemid=183
http://www.dec.ufcg.edu.br/biografias/ThomaHar.html
http://www.dec.ufcg.edu.br/biografias/WilliOug.html
http://www.e-escola.pt/personalidades.asp?nome=leibniz-gottfried-wilhelm-von
http://www.ime.unicamp.br/~calculo/history/leibniz/leibniz.html
http://www.brasilescola.com/matematica/a-matematica-rene-descartes-
15961650.htm
Fonte: CARTELLI, 2013.
AÇÃO – 4 (1 aula)
Ler o Capitulo II
Atividades:
1- Qual o problema de Neper neste capítulo?
2 - Ele escolheu bem os objetos necessários para sua sobrevivência, o que você
levaria?
3- Por que Neper recorreu à professora? O que você pensa sobre essa atitude?
Professor neste momento relate os estágios propostos por Polya para resolução de
problemas os quais se encontram no sumário do livro A arte de resolver problemas, de G.
Polya, este exemplar faz parte da biblioteca do professor.
Fonte: CARTELLI, 2013.
AÇÃO – 5
Nesta etapa é necessário confeccionar envelopes com os problemas
encaminhados. Escritos no lado de fora e dentro deve estar lacrado a resposta do
problemas e a sequência da história que leva ao segredo de Equation os quais se
encontram no apêndice. Também confeccione cinco fichas com o número das
portas para que distribua aos grupos, pois eles deverão receber o envelope somente
na aula, para que todos os grupos tenham a mesma situação-problema, o grupo do
dia anunciará a resposta do enigma e compartilhando com a turma. A intenção é
que cada problema seja relacionado a um tema a ser trabalhado com a turma,
portanto todos devem ter a mesma atividade, pois essa será a chamada para o
conteúdo.
Atividade 1- (2 aulas)
Introdução da ação 5 - Capitulo III - As portas de Neper
Neper ficou perplexo diante das possibilidades, agora vocês serão os guias e
o ajudarão a desvendar o mistério que envolve o lado sombrio de Equation. Para
tanto basta resolver a inscrição e terão acesso ao segredo.
Professor as atividades referentes as Portas de Neper devem ser desenvolvidas em
grupos cada grupo escolhe uma porta, e receberá uma ficha com o número da sua porta
que será relativo ao seu envelope, porém como a ideia é iniciar o conteúdo de
equações e dar sequência através das portas(situação-problema), é interessante que
todos os grupos recebam o mesmo envelope, para facilitar a dinâmica da aula. Na aula
1 , grupo1 e o envelope referente a sua porta para a turma toda; aula 2 grupo 2 e o
envelope referente a sua porta para a turma toda; na aula 3 , grupo 3 e o envelope
referente a sua porta para a turma toda; assim até chegar no último grupo.
Primeira porta
Situação Problema – envelope 1
Luís é um pai de família que se preocupa com a educação financeira de seus
filhos, pensando em ensiná-los a lidar com a moeda corrente, decidiu dar uma
mesada a cada um de seus filhos. Para isso elaborou uma regra: Cada filho
receberá o dobro de sua idade em moeda corrente. Marcos recebe 8 moedas, Junior
o filho do meio é 6 anos mais velho que Marcos e Jair é o mais velho.para pagar a
mesada dos filhos Luís desembolsa 58 moedas.Qual a idade dos filhos de Luís?
No fim da atividade o grupo1 confere a resposta do problema e lê o segredo do
enigma para a turma. ( Apêndice).
Atividade 2-( 1 aula)
Segunda porta
Situação problema – envelope 2 Sou o Dr Alberto, responsável pelo problema
da porta 2, quando aceitei vir para Equation trouxe em meus guardados alguns
dados estatísticos da minha cidade natal, Cantagalo no Paraná, apesar de ter saído
de lá ainda muito jovem tenho muitas recordações. Segundo dados do IBGE em
2013 Cantagalo tinha 12.952 habitantes. Para o meu desafio é preciso explicar ou
Professor neste momento é necessário o diálogo colocar em prática os passos para
resolução de problema explore todos os conteúdos que forem necessários a sua resolução,
é muito importante salientar a transcrição da linguagem materna para a linguagem algébrica,
explicar qual a função do uso das letras, apresentar a equação seus termos e sua solução. , A forma de resolução da equação fica a seu critério, sabe-se cada professor tem uma
metodologia para trabalhar com as equações, apenas lembro da importância de destacar o
Princípio de Equivalência, o Aditivo e o Multiplicativo. Muitos alunos ficam sem entender a
resolução de equação, devido ao chamado método prático devemos estar atentos ao
momento de inserir esse método, e mesmo assim tomar cuidado com a linguagem adotada(
passa prá lá, prá cá).
relembrar ao caro resolvedor que o crescimento populacional de uma determinada
região depende de alguns fatores tais como número de nascimentos, número de
óbitos, imigração, emigração, a população inicial, a população final num o intervalo
de tempo em que se observa tal população. Como o planeta Equation foi povoado
com fins científicos, não há imigração e emigração, ou seja, não há trocas com
outras populações e sabendo que a taxa de natalidade e mortalidade se anulam,
logo posso afirmar que a taxa de crescimento populacional é constante. Então, me
diga:
Qual a população de Equation? Sabendo a população de Cantagalo em 2013
é o sêxtuplo da população de Equation. Escreva essa afirmação usando a
linguagem algébrica e responda qual a população de Equation.
No término da resolução abra o envelope com a resposta e o enigma! Este
estará com o grupo 2.
Atividade 3- (1 aula)
Terceira porta
Professor, não se esqueça de destacar as quatro etapas de resolução de problemas
apontadas por Polya, instigue os alunos a resolverem, nesta atividade pretende-se
enfatizar a escrita algébrica. Você pode enriquecer com outras atividades, nada impede
que proponha atividade do livro didático adotado pela sua escola.
Professor nesta atividade o intuito é explorar a transcrição da linguagem materna para a
linguagem algébrica, introduzir o conceito de variáveis, fazer com que o aluno veja
vantagem de usar a linguagem algébrica gerando um termo geral, uma regra para os
padrões, para tanto sugira que encontre a 35ª figura, deixe-os tentar, depois faça-os ver
a facilidade do cálculo algébrico. É importante diferenciar incógnita e variável, equação e expressão algébrica.
Situação problema – envelope 3
O desafio é descobrir a 7ª figura. A partir dela escrever a relação entre a
posição da figura e o número de pontos que a formam. Escreva a expressão
algébrica para a figura de posição n.
Fo Fonte: A autora,2013
O grupo 3 deve compartilhar a resposta com os demais alunos.
Atividade 4- (1 aula)
Quarta porta
Situação Problema - envelope 4
Papiro Rhind, problema 24
Uma quantidade e seus sétimos, somadas juntas, dão 19, Qual é a
quantidade?
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
Professor, nesta situação problema pretende-se trabalhar com os alunos a necessidade
de reduzir todos os termos da equação a um denominador comum, usando a
equivalência de frações, sempre que houver termos fracionários, é importante recordar
com os alunos que se “não aparecer o denominador” ele vale um. É um problema
histórico retirado do Papiro Rhind com o intuito de exercitar a leitura, a interpretação e a
escrita algébrica.
Atividade 5 – (2 aula)
Quinta Porta
Situação-problema – envelope5
A Fortaleza da Sabedoria tem a forma de um círculo e fica no centro do vale
sombrio, o corredor de acesso à fortaleza tem comprimento central igual ao raio do
círculo que a forma, se a área da fortaleza é 314m², quantos metros têm da porta do
corredor de acesso ao centro da fortaleza?
Fonte: A autora, 2013
Professor, nesta atividade a ideia é trabalhar a aplicação das equações relacionando-as
as fórmulas matemáticas. A resolução de problemas é uma metodologia que possibilita
buscar a solução nos conhecimentos prévios e também oportuniza inserirmos novos
conceitos. Dessa forma, algumas fórmulas devem ser apresentadas e outras
relembradas, é importante enfatizar o significado de cada letra(variável) na fórmula,
como fazer as substituições e evidenciar a resolução da equação a qual obtivestes.
AÇÃO – 6 Gincana das Equações-(14 aulas)
Essa atividade ocorrerá pelas próximas 14 aulas, logo a diversidade de
situações fará a riqueza da prática pretendida. Você pode propor situações que
recaiam em conteúdos ainda não trabalhados, pois a Resolução de Problemas
propicia a abordagem de novas situações, sugiro trabalhar os sistemas de
equações.
Organizar um banco de questões com situações problemas, para trabalhar a
fixação dos conteúdos. Os grupos pegarão aleatoriamente uma atividade, cada
grupo receberá a atividade dos demais, todos os grupos terão que resolver todas as
atividades, entretanto socializarão a solução de uma atividade no quadro com os
demais, apenas da sua atividade (do sorteio). Recomende a seguinte pontuação 10
pontos para cada problema resolvido corretamente e 5 pontos caso o grupo resolva
e tenha algum erro. Essa dinâmica é para incentivar todos a realizarem as
atividades, você pode estar criando as regras para a atividade em sala com os
alunos.
Para essa atividade destinei cinco situações problemas ( uma de cada grupo)
a serem trabalhados em três aulas, devido aos tempos destinados a solução dos
problemas pelos grupos, a interação dos grupos com correção das atividades
enfatizando as etapas da resolução de problemas e as inferências do professor.
O intuito é trabalhar com os grupos e que os mesmos sigam as etapas de
Polya para resolver as situações problemas. No final da aula cada grupo fecha sua
pontuação. No término do conteúdo os grupos somarão a pontuação e farão a
analise para ver quem foi o vencedor. Sugiro ao professor que faça (oportunize) uma
planilha com os problemas e marque a pontuação de cada grupo. Isso facilitará o
“seu contole” e também auxiliará a relembrar a data da aula ministrada.
AÇÃO - 7 (2 aulas) Aplicar o pós teste
10 REFERÊNCIAS
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PARANÁ, Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica, Governo do Estado do Paraná, 2008.
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de Souza, Patricia Rosana Moreno Pataro, São Paulo:FTD,2009.(Coleção Vontade de saber) SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez.Ler, escrever e resolver problemas habilidades básicas para aprender matemática.Porto Alegre: Artmed,2006. 203p. THOMPSON, Frances M. “O ensino de álgebra para crianças mais novas” IN:COXFORD,Arthur F.;SHULTE, Alberto p.;traduzido por DOMINGUES, Hygino H. As ideias da álgebra. 4 ed. São Paulo:Atual,200. 285p. Sites consultados:
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CARTELLI, Tibério César. Figura 6 – capitulo 6. 2013. Cantagalo, PR.(1gravura-coleção particular) CARTELLI, Tibério César. Figura 7 – capitulo 7. 2013. Cantagalo, PR.(1gravura-coleção particular) CARTELLI, Tibério César. Figura 8 – O menino Neper. 2013. Cantagalo, PR.(1gravura-coleção particular) LOPES, Khelen Cristian Thomé. Ação 5 Sequência - terceira porta. 2013. Cantagalo, PR. (1 Gravura- Coleção particular) LOPES, Khelen Cristian Thomé. Ação 5 Àrea da fortaleza - quinta porta. 2013. Cantagalo, PR. (1 Gravura- Coleção particular) LOPES, Khelen Cristian Thomé. Atividade 6 - Perímetro. 2013. Cantagalo, PR. (1 Gravura- Coleção particular) LOPES, Khelen Cristian Thomé. Atividade 10 – Planta baixa. 2013. Cantagalo, PR. (1 Gravura- Coleção particular) LOPES, Khelen Cristian Thomé. Atividade 17 – Enigma. 2013. Cantagalo, PR. (1 Gravura- Coleção particular) LOPES, Khelen Cristian Thomé. Atividade 23 – Perímetro. 2013. Cantagalo, PR. (1 Gravura- Coleção particular) LOPES, Khelen Cristian Thomé. Atividade 24 – Praça. 2013. Cantagalo, PR. (1 Gravura- Coleção particular) LOPES, Khelen Cristian Thomé. Atividade 25 – tabela. 2013. Cantagalo, PR. (Coleção particular)
Apêndices
Capitulo I
As viagens de Neper
Neper um menino muito curioso e inteligente nunca ficava satisfeito, buscava
sempre mais, a cada palavra nova que ele ouvia ela ficava pensando como ela
surgiu, de onde veio, quem a inventou e porquê? Neper nasceu num planeta
chamado Equation, onde a tecnologia era muito avançada, há muitos modos de
pesquisar além das leituras em livros e periódicos eles tinham acesso livre a rede
de informações, com essa facilidade Neper aprendeu a ler e a pesquisar por conta
própria. Ele tinha muito interesse pela história dos terráqueos, uma nação que
povoava um planeta chamado Terra no qual as ciências eram muito avançadas, mas
o povo sofria com falta de alimento e água.
Isso despertou em Neper o gosto por tudo que era da Terra. Ele pensava
como um povo com tanto conhecimento podia sofrer com tanta desigualdade, ele
estudou muito sobre as ciências desenvolvidas pelos humanos. Mas, uma delas
chamou mais sua atenção, à matemática. Quando Neper começou a frequentar a
escola seu primeiro professor senhor Ptolomeu percebeu que ele era diferente das
outras crianças a curiosidade era tamanha que ele viajava no tempo a cada palavra
que o professor falava e isso era mais intenso quando o conteúdo abordado tinha
relação com a Terra. Passado anos, Neper se tornou um fenômeno, pois aos quinze
anos ele conhecia toda a história da humanidade.
No planeta Equation eles tinham o ecossistema similar ao da terra, logo o
estudo do planeta Terra fazia parte dos currículos das escolas, quando se falava
qualquer palavra relacionada à Terra, Neper, disparava a falar. A professora de
matemática dona Hipotenusa, falou que iriam estudar álgebra e Neper começou:
___ Álgebra vem do árabe al jabr,que aparece no título do livro Hisab al jabr
w’ al-muqabalah, escrito por volta do ano 825 pelo matemático árabe Mohammed
ibn-Musa Khowarizmi. Mas, a álgebra já acontecia no Egito registrada no Papiro
Hind um dos documentos mais antigos de matemática e lá a álgebra era escrita em
palavras e a isso chamaram de álgebra retórica.
Mais tarde em Alexandria no século IV d.C. Diofanto foi o primeiro sábio que
fez uso de abreviações nos problemas e nas operações com números. A essa forma
de abreviações para quantidades e operações chamaram álgebra Sincopada e...
Interrompe a professora:
___ Calma Neper !!
Neper continua:
___ Professora, depois do Al Khowarizmi, muitos contribuíram para que a
álgebra se tornasse simbólica, só para citar François Viète, Thomas Harriot, William
Outhred, Gottfried Wilhem Leibniz, Rennè Descartes...
Então a professora...
___ Muito bem!! Neper, complementando al jabr significa restauração e se
refere a transposição de termos uma equação. Mas este é assunto para outra aula.
É hora de intervalo bom lanche para todos!
Fonte: CARTELLI, 2013
Capitulo II
O problema de Neper
No planeta Equation tudo é muito harmonioso, é característica do planeta o
equilíbrio, ele se divide em duas partes de mesma extensão, porém uma é iluminada
e a outra é sombria, isso mexe com a imaginação de seus habitantes. Nenhum
morador havia tido coragem de desbravar a face oculta do planeta, Neper muito
astuto pensou que se levasse uma lanterna poderia descobrir o que havia lá e foi o
que fez pegou sua mochila colocou alguns objetos (lanterna, água, comida, aparelho
de comunicação e a bússola) os quais julgou essenciais à sua sobrevivência e
partiu. Ao sair de casa se despediu dos pais e dos amigos do bairro. Onde ele
passava todos ficavam admirados e os mais velhos diziam: “Cuidado! Falam que no
vale sombrio há um buraco negro que faz você voltar no tempo.” Neper respondeu:
___ Bobagem !!!
Entretanto, isso fez Neper refletir ele decidiu passar na escola e falar com a
professora Hipotenusa.
___ Professora, decidi conhecer o lado sombrio de Equation e como não sei
quais desafios encontrarei, creio que reforçar os passos para resolver uma situação
problema me será muito útil, a senhora pode revisá-los, por gentileza?
___Claro! Primeiro fique atento, leia , entenda a situação em que se
encontra, verifique as condicionantes, ou seja, as condições impostas pelo seu
problema, então trace um plano, projete uma solução e verifique a sua eficácia,
retorne ao problema e observe a coerência de sua resposta. Tenho certeza Neper
que se você seguir esses passos propostos por um pesquisador terráqueo chamado
Polya, terá êxito em sua expedição.
Neper segue rumo ao bairro Nebuloso que faz fronteira com o vale sombrio.
Respirou fundo deu dez passos e pronto escuridão total, parou, pegou sua lanterna
e observou tudo a sua volta e se viu dentro de um enorme corredor com muitas
portas. Ele olhou atento, verificou que em todas elas havia uma inscrição.
Fonte: CARTELLI, 2013
Porta ! Cada filho receberá
o dobro de sua
idade em moeda
corrente. Marcos
recebe 8 moedas,
Junior o filho do
meio é 6 anos
mais velho que
Marcos e Jair é o
mais velho.para
pagar a mesada
dos filhos Luís
desembolsa 58
moedas.Qual a
idade dos filhos de
Porta 2 Qual a
população de
Equation?
Sabendo a
população de
Cantagalo em
2013 é o
sêxtuplo da
população de
Equation.
Escreva essa
afirmação
usando a
linguagem
algébrica e
responda qual
Porta 3
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Porta 4 Uma quantidade e seus sétimos, somadas juntas, dão 19, Qual é a quantidade?
Porta 5 A Fortaleza da
Sabedoria tem a
forma de um
círculo e fica no
centro do vale
sombrio, o
corredor de acesso
à fortaleza tem
comprimento
igual ao raio do
círculo que a
forma, se a área
da fortaleza é
314m², quantos
metros têm da
porta do corredor
de acesso ao centro
da fortaleza?
Capitulo III
As portas de Neper
Neper ficou perplexo diante das possibilidades, agora vocês serão os guias e
o ajudarão a desvendar o mistério que envolve o lado sombrio de Equation. Para
tanto basta resolver a inscrição e terão acesso ao segredo.
Primeira porta.
Luís é um pai de família que se preocupa com a educação financeira de seus filhos,
pensando em ensiná-los a lidar com a moeda corrente, decidiu dar uma mesada a
cada um de seus filhos. Para isso elaborou uma regra: Cada filho receberá o dobro
de sua idade em moeda corrente. Marcos recebe 8 moedas, Junior o filho do meio é
6 anos mais velho que Marcos e Jair é o mais velho.para pagar a mesada dos filhos
Luís desembolsa 58 moedas.Qual a idade dos filhos de Luís?
Resposta: A idade de Marcos é 4 anos, do Junior é 10 anos e do Jair é 15
anos.
Fonte: CARTELLI, 2013
Parabéns você acertou a idade dos filhos do seu Luís.!!
Errou. Tente novamente. Reavalie seus passos descubra o seu erro, seu
professor o ajudará!
Deixo está carta se algum dia, um dos equatienses tiver desrespeitado o limite
entre a cidade e o vale sombrio.
Se você chegou até aqui resolvendo o problema que deixei na porta é seu
dever repassar esse acordo a todos os equatienses para que você e as futuras
gerações saibam que nosso povo descende dos terráqueos, mas não cometeremos
os mesmos erros queremos um planeta auto-sustentável e isso depende de vocês.
Pois eu já terei feito minha parte e descanso em paz. Por causa desse acordo que
seus antepassados cumpriram criou-se, acredito um mito sobre esse lado do
território de Equation
Sou Luís Albert um renomado cientista terrestre que percebi a necessidade de
trabalhar nos meus filhos o fator consumismo. Pensei que desta forma conseguiria
conscientizá-los dos males que o consumo desenfreado trouxe para Terra. O
aumento da poluição, a falta de água, o lixo tecnológico, a falta de respeito com o
próximo quando não se pensa em que planeta ficará para as próximas gerações.
Eu fazia parte de um grupo de pesquisa que descobriu o planeta Equation, a
missão deste grupo era povoá-lo e não deixar os recursos naturais se esgotarem,
teríamos que viver em harmonia com a natureza. Vendo nesta pesquisa a
possibilidade de consertar os erros que minha geração tinha cometido com a Terra e
a perspectiva de meus filhos formarem um novo povo, outros cientistas e eu
aceitamos o desafio e juntos a vários profissionais de todas as áreas do
conhecimento e suas famílias e nos empenhamos a povoar Equation.
A primeira decisão tomada em assembleia ao desembarcar neste planeta é
que não seria necessário povoar todo o seu território então o dividimos em duas
partes iguais, em uma delas formamos a cidade e na outra não mexeríamos e
permaneceria intacta para a preservação do ecossistema. E essa decisão deve ser
respeitada para sempre.
Capitulo IV
Segunda porta
Sou o Dr Alberto, responsável pelo problema da porta 2, quando aceitei vir
para Equation trouxe em meus guardados alguns dados estatísticos da minha cidade
natal, Cantagalo no Paraná, apesar de ter saído de lá ainda muito jovem tenho
muitas recordações. Segundo dados do IBGE em 2013 Cantagalo tinha 12.952
habitantes. Para o meu desafio é preciso explicar ao caro resolvedor que o
crescimento populacional de uma determinada região depende de alguns fatores,
tais como: número de nascimentos, número de óbitos, imigração, emigração, a
população inicial, a população final num o intervalo de tempo em que se observa tal
população. Como o planeta Equation foi povoado com fins científicos, não há
imigração e emigração, por isso, não há trocas com outras populações e sabendo
que a taxa de natalidade e mortalidade se anulam, logo posso afirmar que a taxa de
crescimento populacional é constante. Então, me diga:
Qual a população de Equation? Sabendo a população de Cantagalo em 2013
é o sêxtuplo da população de Equation. Escreva essa afirmação usando a
linguagem algébrica e responda qual a população de Equation.
Resposta: A população de Equation é de 2 159 habitantes.
Ótimo! Você encontrou a população de Equation igual 2 159 habitantes,
parabéns. Como conseguiram resolver o problema podem ter acesso ao mistério do
lado sombrio.
Eu, Dr Alberto fazia parte da Fortaleza da Sabedoria e junto a outros
pesquisadores prometemos nunca revelar a existência deste local, sob pena de
sermos banidos de Equation. Porém, eu e outros quatro amigos resolvemos deixar
enigmas caso algum dia alguém perdesse o medo deste vale e viesse buscar
respostas.
Resolvendo a inscrição da primeira porta já descobriram que Equation foi
povoado por humanos preocupados com a sobrevivência da espécie. O lado
sombrio é assim conhecido devido sua densa vegetação, a floresta que se formou é
tão fechada que há pouca luz no seu interior, esse clima místico criou uma
atmosfera de magia e muitos dos habitantes acreditam que o lado sombrio é
habitado por gnomos, fadas e magos. Isso não posso afirmar, porém fica neste lado
da cidade a Fortaleza da Sabedoria, que abriga todos os conhecimentos científicos,
os resultados de muitas pesquisas, trazidos da terra e por medida de segurança a
população desconhecia essa fortaleza, sendo permitido apenas o acesso aos
cientistas diretamente envolvidos nos estudos os quais visavam à criação de um
planeta ecologicamente correto.
Numa tentativa de evitar o que aconteceu com a terra, para que não houvesse
nenhum um tipo de ganância e disputa pelo poder os equatienses nunca deveriam
saber sobre essas pesquisas afim de que se mantivesse a ordem, a paz e o respeito
entre todos os habitantes. Os líderes mantinham constante diálogo com o povo
Fonte: CARTELLI, 2013
através de assembleias, nas quais eram expostos os problemas e suas possíveis
soluções e assim longe da ganância, do status e do poder todos eram iguais e
tinham os mesmos direitos e deveres.
Capitulo V
Terceira porta
O desafio é descobrir a 7ª figura. A partir dela escrever a relação entre a
posição da figura e o número de pontos que a formam. Escreva a expressão
algébrica para a figura de posição n.
Fonte: a autora, 2013.
Resposta:
Figura 7
Fonte: a autora, 2013.
A relação é o triplo da posição mais um, sendo a expressão algébrica para a
figura n, 3n + 1
Acertou a 7ª figura e a expressão algébrica que a formou, parabéns!!
Não acertou, que pena! Não desista, refaça os passos para resolver um
problema, analise suas estratégias, discuta com seus colegas de grupo e o professor
a sua resposta e juntos descobrirão a falha, assim o aprendizado ocorrerá com a
compreensão do seu erro.
Muito bem, para chegar a terceira porta vocês resolveram outras duas
situações problemas, a primeira e a segunda porta, agora já sabem quem habitou
Equation e porquê, também devem lembrar da Fortaleza da Sabedoria. Pois bem,
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
para que o acesso a fortaleza fosse dificultado caso alguém chegasse até lá a porta
de entrada possuía cinco chaves uma para cada membro da cúpula. As chaves
foram feitas a partir do modelo da sequência que vocês resolveram e quem
descobrisse a forma e a quantidade de pontos que formam a 7ª figura teria o modelo
da chave mestra que abre todas as outras simultaneamente e poderia adentrar a
Fortaleza da Sabedoria.
Vocês acabam de receber a chave, a Fortaleza da Sabedoria que parecia
intransponível se abre, ela é um labirinto com inúmeras opções, no portal de acesso
há uma inscrição: A sabedoria depende da vontade de aprender, ninguém é
mais ou menos capaz, a diferença está na curiosidade, na busca, na coragem!
Fonte: CARTELLI, 2013
Capitulo VI
Quarta porta
Papiro Rhind, problema 24
Uma quantidade e seus sétimos, somadas juntas, dão 19, Qual é a
quantidade?
Resposta:
Legal! Você resolveu o 4º enigma.
Você recebeu a chave da Fortaleza da Sabedoria ao resolver o 3º problema,
com o 4º problema descobrirá como surgiu a fortaleza .
Eu sou o professor Arquimedes fui responsável em formar a biblioteca com
um acervo que contemplasse todas as áreas do conhecimento, com todos os fatos
relevantes para o desenvolvimento da nova geração que habitaria Equation. Assim
nasceu a Fortaleza da Sabedoria, com o meu acervo mais o material dos cientistas
que embarcaram nesse desafio. Trouxemos em nosso acervo obras que
referenciam fatos históricos importantes na evolução das ciências e da humanidade.
Escolhi esse problema, pois a matemática é uma ferramenta para ler o mundo, ela
necessita de leitura e interpretação ingredientes essenciais a um bom enigma.
A quantia é
Fonte: CARTELLI, 2013
Capitulo VII
Quinta porta
A Fortaleza da Sabedoria tem a forma de um círculo e fica no centro do vale
sombrio, o corredor de acesso à fortaleza tem comprimento central igual ao raio do
círculo que a forma, se a área da fortaleza é 314m², quantos metros têm da porta do
corredor de acesso ao centro da fortaleza?
Resposta: A distância é 20 m.
Parabéns você resolveu o último problema!
Toc toc toc... bate a porta a mãe de Neper.
_ Neper Henrique está na hora de acordar, o ônibus para escola passa às
6h45min
Fonte: A autora, 2013.
Fonte: CARTELLI, 2013.
__ Ah! Mãe tive um sonho maluco estou exausto resolvi muitos problemas,
morei em outro planeta, mas sabe foi muito legal . É isso, gostei de ser curioso,
corajoso, de descobrir novas coisas, isso me deu uma ideia vou ser assim na escola,
quanto deve ser legal conhecer novas culturas e tradições sem sair do lugar, apenas
pesquisando participando das atividades, lendo...
__ Neper, você está bem? Tem certeza que não está com febre? Você nunca
havia se interessado assim pelos seus estudos.
__ Mãe, sempre ouvi meus professores falarem que a leitura nos transporta a
outras realidades, mas nunca dei muita importância, o meu sonho foi tão legal que
aprendi essa lição, se apenas ouvindo as aulas sem muita dedicação eu absorvi
tanta informação, imagine se eu me dedicar. Sabe mãe, quero ser um grande
cientista e fazer a diferença na sociedade.
__ Que felicidade vê-lo assim tão motivado.Então vamos, meu pequeno
cientista, que seu ônibus chegou e o motorista está buzinando...Bipipipibibiiiiii...
__ Já vou! Já Vou!
GINCANA DAS EQUAÇÕES:
1- Marcos e Flávio são irmãos, eles resolveram poupar juntos. A soma de suas
economias, mais a diferença entre elas é igual a 1200 reais. Quanto cada um
economizou sabendo que Marcos guardou o dobro de Flávio?
Resposta: Marcos tem 600reais e Flávio 300 reais
2-O dobro de uma quantia menos sua quinta parte é igual a 270. Que quantia é
essa?
Resposta: A quantia é 150.
3-Escreva as sentenças usando a linguagem algébrica:
a) O dobro de um número
b) A sexta parte de um número qualquer
c) O quadrado de um número
d) O consecutivo de um número
e) O triplo de um número somado a sua metade
f) O quádruplo de um número
g) O cubo de um número n
h) A diferença de um número x com doze
i) A soma entre quadrado e o dobro de um número
j) O quíntuplo de um número, mais a sua terça parte.
k) A soma de três números quaisquer
l) A metade de um número, menos nove
m) Um número par
n) Um número ímpar
o) O produto de dois números consecutivos
4- Escreva a equação para cada uma das situações abaixo e encontre o valor da
incógnita:
a) O número y aumentado de 15 é igual a 5.
e b) O dobro de um número, menos 20 é igual a 80
e c)A soma de três números inteiros consecutivos é igual a 33.
e d) A diferença entre a terça parte de um número e 20 é igual a 10.
e
5- Chamamos de raiz da equação o valor que substituído no lugar da incógnita torna
verdadeira a equação. Então encontre mentalmente as raízes das equações abaixo:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
6- Encontre o valor de x ou y conhecendo o perímetro de cada figura:
Fonte: A autora, 2013
Respostas: a) x=8 b) x= 2 c) y = 13
c)
7-(Imenes & Lellis,1998 apud Colombo e Lagos,2005,p.62)
Diofante
Segundo a lenda, no túmulo do matemático grego, Diofante,estava escrito o
seguinte: “ Foi menino da sua vida. Passou-se mais de sua vida e ficou barbudo.
Passou mais da vida e casou-se. Depois de cinco anos teve um filho que,
infelizmente, viveu apenas da vida do pai. Depois disso, o sábio viveu apenas 4
anos mais, e seu único consolo foi a Matemática”. Se tudo isso é verdade, quantos
anos viveu Diofante?
Resposta: 84 anos 8- Carla trabalha numa loja de Eletrônicos, seu sonho é comprar um ultrabook, como
seu salário é comprometido com as despesas domésticas, pensou em economizar
sua comissão sobre as vendas. Ela tomou como base a comissão do mês de março
e constatou que o ultrabook mais acessível que custa R$ 1.599,00, é o triplo de sua
comissão. De quanto foi a comissão dela?Quanto foi a venda no mês de março, se a
porcentagens que ela recebe sobre as vendas é de 3%?
Resposta: A comissão foi de R$533,00. A venda foi de R$17.766,67
9-(Imatica, 2004 apud Colombo e Lagos,2005,p.64)
O colar de pérolas
Até o século XVI, as equações eram expressas por meio de palavras. Veja o que
dizia um famoso quebra-cabeça hindu do século VII:
“ Um colar se rompeu quando brincavam dois namorados
Uma fileira de pérolas escapou
A sexta parte ao solo caiu
A quinta parte na cama ficou
Um terço pela jovem se salvou
A décima parte o namorado recolheu
E com seis pérolas o colar ficou
Diga-me, leitor, quantas pérolas tinha o colar dos namorados” (Imatica, 2004)
Resposta: 30 pérolas
10 - Ivete é vendedora de uma loja de móveis e eletrodomésticos, ela se
especializou em móveis projetados, uma cliente passou a planta baixa da casa por
e-mail e solicitou o orçamento para o quarto de visitas. O modelo dos móveis e a cor
a cliente escolheu pelo site, porém no desenho ficou faltando algumas medidas.
Ajude Ivete a calcular essas medidas para ela não perder a venda. Qual o tamanho
destas paredes?
Resposta: A parede inteira mede 2,95 m, aparede ao lado da porta 2,05 m, as
paredes dos lados da janela medem 0,925 m.
11- Um encanador cobra R$ 45,00 fixo mais R$ 4,00 por hora trabalhada.
Fonte: A autora, 2013
a) Escreva uma expressão algébrica para o preço cobrado por y horas de trabalho.
Resposta: 4.y + 45
b) Quanto ele receberá por 7 horas de trabalho?
Resposta: R$ 73,00. (4.7 + 45 = 73)
12- A fórmula para calcular o índice de massa corpórea é dada por:
Segundo , informações de saúde, este não é o único fator a ser analisado para
relacionar riscos de obesidade. Entretanto, muitos levam esse parâmetro como um
sinal de alerta, vamos ver como vai sua saúde, calcule o seu IMC e verifique em que
grupo se encontra, de acordo com a tabela dada:
Fonte: http://www.teucorpo.com.br/tabela-imc/
13- (Adaptada -Souza e Parato, 2009, p157)
A distribuição espacial dos municípios é totalmente desigual, a região Sudeste tem o
menor território sendo uma das regiões com maior número de municípios.Você sabia
que a região Sudeste tem o triplo mais 270 municípios, que a região Centro-
Oeste.Chamando de X o número de municípios e sabendo que juntas as regiões
Sudeste e Centro-Oeste, têm 2.134 municípios:
Fonte: http://www.geografia.seed.pr.gov.br/modules/galeria/detalhe.php?foto=348&evento=5
a) Escreva uma equação para representar essa situação. X+( 3x + 270)= 2.134
b) Resolva a equação e descubra quantos municípios tem cada região. A região
Centro-Oeste tem 466 municípios e a Sudeste tem 1668
14- Joana tem 250 reais a menos que Lucas, como são irmãos, resolveram comprar
juntos, um game chamado X BOX , pesquisaram e compraram o de menor preço,
que custou R$ 870,00. Quanto cada um tinha em dinheiro para comprar o game?
Fonte:http://compare.buscape.com.br/ Resposta: Joana tinha 310 reais e Lucas tinha 560 reais. 15- (Super Interessante, ano15, nº5, maio-2001)
Peças Casadas
A ideia é formar duplas com os estranhos dominós colocados abaixo, de maneira
que, em cada dupla uma peça venha do conjunto que tem as letras e a outra do que
tem os números. O desafio é evitar que as duas peças de uma dupla tenham os
mesmos símbolos geométricos. Note que o conjunto numerado tem um dominó a
mais: Qual deles vai ficar solteiro?Fonte: Super Interessante, ano15, nº5, maio-2001
Fonte: Super Interessante, ano15, nº5, maio-2001) Resposta:4(A1, B6, D5,E3) 16- O problemas das abelhas
Fonte: http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=26
A obra de Bháskara tornou-se célebre, entre tantos motivos, por mostrar que
problemas complicados podem ser apresentados de uma forma viva e até graciosa.
O problema que segue foi citado no livro “O Homem que Calculava”, de Malba
Tahan, e tem essa característica.A quinta parte de um enxame de abelhas pousou
na flor de Kadamba, a terça parte numa flor de Silinda, o triplo da diferença entre
esses dois números voa sobre uma flor de Krutaja, e uma abelha adeja sozinha, no
ar, atraída pelo perfume de um jasmim e de um pandnus. Dize-me, bela menina, qual o número de abelhas?
Resposta: É 15 Abelhas
17- ( Adaptado-Super Interessante, ano14, nº11, novembro-2000)
Cada número representado nos quadrinhos abaixo representa um
algarismo,Símbolos iguais são os mesmos algarismos. A soma das cinco primeiras
linhas está indicada.Descubra o resultado da sexta soma.
= 24 = 29 = 14 = 20 = 16 = Fonte: A autora, 2013 Resposta: 7.
18- João, Inácio e Luís são sócios em um supermercado. João possui a terça parte
das ações que Luís tem, Inácio tem o dobro das ações de Luís, se a empresa está
avaliada em 980 mil reais, quanto cada um tem em reais? Qual o maior acionista?
Resposta: (x+2x+x/3 = 980)
Luís tem 294 mil reais, Inácio tem 588 mil reais e João tem 98 mil reias.
Maior acionista é o Inácio
19-(Super Interessante, ano7, nº4, abril-1993)
Planejamento Familiar
Uma senhora vai ter um bebê. Se ele for menino, faltará mais para que o número de
filho homens seja igual ao de mulheres. Entretanto, se for menina o número de
mulheres será o dobro do de homens. Quantos filhos ela tem e de qual sexo?
Fonte: Super Interessante, ano 7,nº4,abril-1993 Resposta: Três meninos e cinco meninas 20 - Escreva uma situação problema para a equação proposta: a) 2.x -5 = 60
b) x/3 = 51
Resposta aberta
21- Invente um enunciado, um problema para ser o enigma da sexta porta da história
As viagens de Neper, mostre a sua solução e escreva outro final para a história. A
regra é que a situação problema seja resolvida através do conteúdo estudado,
equações.
Resposta aberta
22- ( Adaptada de Souza e Parato, 2009, p.158) Alunos MAtriculAdos eM escolAs de Cantagalo (PR) – 2013 da Rede
Estadual dE Ensino
Nível educacional Número de alunos
Fundamental 3x+554
Médio x+358
Educação de jovens e adultos X
Total 1 712
Fonte: http://www.consultaescolas.pr.gov.br/consultaescolas/f/fcls/escola/visao A partir da tabela, calcule quantos alunos havia em cada nível de ensino no
município de Cantagalo (PR).
Resposta: Educação de jovens e Adultos 160 alunos.
Ensino Fundamental 1034 alunos.
Ensino Médio 518 alunos.
23- Escreva o perímetro de cada uma das seguintes figuras:
Resposta: a) 4x+6y b) 4a+b c) 5r d) 3x+s+b+g+t
24- Um terreno tem a forma de um quadrado foi desapropriado pela prefeitura de um
município, para a construção de um lago, a fim de formar um parque ecológico para
a população ter mais um espaço para lazer. O arquiteto responsável, fez o seguinte
desenho, descubra através dele quanto espaço restará para formar a trilha e colocar
a academia ao ar livre? Se o lado do quadrado mede 120 m, e o lago terá diâmetro
igual a metade do lado do quadrado. (Use π igual a 3,14).
Resposta: Restará 11 574m² de área.
120 m
Fonte: A autora,2013
25- Complete a tabela com a expressão algébrica ou a equação correta:
Linguagem Materna(comum) Linguagem simbólica
Um número mais oito X + 8
O triplo de um número menos nove é
igual a sessenta 3x – 9 = 60
O quadrado de um número X²
O produto de um número pelo seu
quíntuplo X .5x
A sexta parte de um número é igual a
trinta x/6=30
O dobro da soma entre um número e
vinte 2(x+20)
Fonte: A autora, 2013
PLANILHA DE ACOMPANHAMENTO DA GINCANA DAS EQUAÇÕES
NOME DO GRUPO E COMPONENTES
ATIVIDADE DESENVOLVIDA OBSERVAÇÕES/DATA PONTUAÇÃO
