OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

Versão Online ISBN 978-85-8015-079-7Cadernos PDE

II

FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

TÍTULO: Analise do desempenho de alunos do 3º Ano do ensino médio na

resolução de problemas envolvendo funções exponenciais e logarítmicas Autor: Maria Lucia Pedrini

Disciplina/Área: Matemática

Escola de Implementação do

Projeto e sua localização:

Colégio Estadual Santana de Tapejara –

Ensino Médio e Normal.

Avenida Presidente Tancredo de Almeida

Neves, 218

Município da Escola: Tapejara, Estado do Paraná

Núcleo Regional de Educação: Cianorte, Estado do Paraná

Professor Orientador: Dr. Ricardo Cardoso de Oliveira

Instituição de Ensino Superior: UEM – MARINGÁ

Relação Interdisciplinar: Matemática

Resumo Esta Produção Didático-Pedagógica tem

como objetivo utilizar uma Unidade

Didática envolvendo resolução de

problemas para favorecer o aprendizado

dos alunos do 3º ano do Ensino médio do

conteúdo de funções exponenciais e

logarítmicas, uma vez que, a maioria dos

alunos demonstram certa falta de

interesse pela matemática, por acharem

muito difícil. Sendo assim pretende-se

colaborar no desempenho dos alunos nas

aulas de matemática com intuito de fixar

conceitos importantes relacionados aos

conteúdos trabalhados. Desta forma serão

oferecidas atividades diferenciadas, com

metodologias e estratégias motivadoras

que visa aperfeiçoar e melhorar o ensino

da matemática com resolução de

problemas, em que de fato possam

desempenhar importante papel para

descrever e estudar através de leitura,

interpretação e construção de gráficos os

conceitos de função exponencial e

logarítmica. Vale ressaltar que com a

implementação do projeto pretende-se

tornar a matemática mais agradável ao

aluno, contribuindo de maneira diferente a

construção de conhecimentos,

favorecendo assim o futuro cidadão, que

de forma atuante possa ser mais

participativo no seu meio social

transformando sua realidade.

Palavras chave: Educação matemática; Aprendizagem;

Função exponencial e logarítmica;

Resolução de problemas.

Formato do Material didático Unidade didática

Público Alvo Alunos do 3º ano do Ensino Médio

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS

UNVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA UNIDADE DIDÁTICA

ANALISE DO DESEMPENHO DE ALUNOS DO 3º ANO DO ENSINO

MÉDIO NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO

FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

MARINGÁ/PARANÁ 2014

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS

UNVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA UNIDADE DIDÁTICA

ANALISE DO DESEMPENHO DE ALUNOS DO 3º ANO DO ENSINO

MÉDIO NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO

FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

Professora PDE – 2014 Maria Lucia Pedrini

Professor Orientador Dr. Ricardo Cardoso de Oliveira

MARINGÁ/PARANÁ 2014

INTRODUÇÃO

O ensinar matemática é essencial, leva as pessoas a agir com prudência e

tomar decisões durante sua vida, ser um consumidor prudente. A mesma no Ensino

Médio tem um valor formativo, que ajuda a estruturar o pensamento e o raciocínio

dedutivo, também desempenha um papel instrumental, é uma ferramenta que serve

para a vida cotidiana e para muitas tarefas específicas em quase todas as atividades

humanas. No entanto, um número significativo de alunos, embora possuindo certo

nível de habilidades, manifestam dificuldades para adquiri-la e relacioná-la com seu

cotidiano.

Por meio desta Unidade Didática pretende-se oportunizar aos alunos a

construção de conceitos importantes na estrutura curricular do Ensino Médio,

aplicados com frequência em situações onde o saber matemático possibilita o

entendimento de questões necessárias para a formação de cidadãos defensores de

seus direitos.

Essa unidade didática prevê dentro de um quadro de atividades, a fixação de

conceitos envolvendo definições e propriedades operatórias e gráficos que facilitem

para o aluno a compreensão da relação existente entre função exponencial e

logarítmica, tornando assim a matemática mais agradável ao educando e

contribuindo com uma maneira diferente para uma construção de conhecimentos,

que permitam aos estudantes relacionar teoria e prática, promovendo a construção

do conhecimento.

A proposta apresentada busca trazer para a educação escolar, que serão

aplicadas, junto aos alunos do 3º ano do Ensino Médio, do Colégio Estadual

Santana de Tapejara, um ensino de matemática diferenciado com uso de

tecnologias para experimentação matemática aplicada a função exponencial e

logarítmica. Permitindo assim aos estudantes construção, interação, novas

possibilidades de investigação para construir um conhecimento menos formal.

Visando propiciar aos alunos uma aprendizagem significativa, contribuindo para o

efetivo saber matemático e formação do cidadão.

Para efetivar a execução do projeto a estratégia de ação contará com

vídeos que abordará o assunto dos problemas propostos, levando assim o aluno a

vivenciar os fenômenos naturais, aplicado em diversas áreas de conhecimento.

Segundo Dante (2008) no início do século XVII, os cálculos envolvidos nos

assuntos de Astronomia e Navegação eram longos e trabalhosos. Para simplificar

essas atividades que envolviam cálculos, surgiram as primeiras tábuas de

logaritmos, inventadas independentemente por Jost Bürgi (1552-1632) e John

Napier (1550-1617). Logo depois, Henry Briggs (1561-1631) aperfeiçoou essas

tábuas, apresentado os logaritmos decimais.

De acordo com Smole & Diniz (2005) acredita-se que foi a publicação do livro

Arithmetica Integra do matemático alemão Michel Stifel, em 1544, que inspirou o

trabalho de Napier e Bürgi. Em seu livro, Stifel comparou as seguintes sequências

numéricas:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

Baseando-se nestas sequências para calcular 16 x 64 na linha de cima (4 +

6=10). O resultado da multiplicação era o número correspondente a 10 na linha

debaixo, ou seja, 1024.

Assim, 16 x 64 = 1024.

Multiplicar números da segunda linha se reduzia a somar números da primeira

linha.

Para calcular 512 : 32, bastava subtrair os números correspondentes a 512 e

a 32 na linha de cima. Como 9 - 5 = 4, o resultado da divisão era o número que

correspondia a 4 na linha debaixo, isto é 16. Daí, 512 : 32 = 16.

É interessante observar, que se ampliar essas duas sequência poderá fazer

cálculos de forma mais rápida envolvendo números bem grandes, usando como

apoio a adição para multiplicações e a subtração para as divisões. Napier e Bürgi

notaram que quando os números não estivessem na linha debaixo trocariam as

potências de base 2 por potências de um número muito perto de 1, os valores da

lista debaixo estariam bem próximos. Com isso, poderiam construir uma tabela em

que a maioria dos números que interessavam aos cálculos pudessem ser

encontrados. Foi ai que nasceram as conhecidas tábuas de logaritmos.

Para Napier, 1 – 10-7 = 0,9999999

Para Bürgi, 1 + 10-4 = 1,0001

A palavra logaritmo foi inventada por Napier juntando a palavras logos e

arithmos, que significam números e razão. (SMOLE & DINIZ, 2005, p. 197 e 198).

No mesmo século o conteúdo de logaritmos surgiu como um instrumento

auxiliar dos cálculos aritméticos, transformando produtos em somas, quociente em

diferenças. Sua utilidade, desde aquela época até há pouco tempo foi incontestável

(BOYER, 1968).

Nesse intervalo de tempo, além do seu emprego generalizado para tornar

possíveis operações aritméticas complicadas, as funções logarítmicas, juntamente

com suas inversas as exponenciais, levando em conta suas propriedades notáveis,

as qualificavam como modelos ideais para certos fenômenos de variação, nos quais

a grandeza estudada aumenta ou diminui com taxa de variação proporcional à

quantidade de grandeza existente.

Essas descobertas aumentaram muito a capacidade de cálculo numérico dos

que estavam envolvidos em Astronomia e Navegação. Na época dizia que a

invenção dos logaritmos duplicou a vida dos astrônomos, alusão ao fato de que o

trabalho de cálculo diminuíra tanto com a introdução dos logaritmos, que os

astrônomos poderiam produzir o equivalente ao que produzia antes, se pudessem

viver duas vidas. E logo surgiram as réguas de cálculos, baseadas nessas

propriedades dos logaritmos.

Dante (2008) e Lima (1991) destacam que:

Um matemático ou astrônomo do século XVII achava os logaritmos importantes porque eles lhe permitiam efetuar cálculos com rapidez e eficiência. Um matemático de hoje acha que a função logarítmica e sua Matemática por causa de suas propriedades funcionais, especialmente a equação diferencia x’ = c.x, que descreve a evolução de grandezas que, em cada instante, sofrem uma variação proporcional ao valor naquele instante (DANTE, 2008 apud LIMA, 1991, p. 28-30).

Por esse motivo é que, mesmo com o uso universal das calculadoras e a

consequente perda do interesse nos logaritmos como instrumento de cálculo

aritmético, a importância científica de não diminuir nos dias de hoje. Segundo Corrêa

(1989):

As aulas que antecedem o estudo de logaritmos têm o objetivo de preparar o terreno para esse estudo, isto é, constituem pré-requisitos importantes para a construção gradativa do conceito e propriedade que envolvem os logaritmos(CORRÊA, 1989, p. 22).

Para Ávila (2010) a introdução de conceitos só se deve ser feita quando for

necessário ao próprio desenvolvimento do ensino.

Só faz sentido falar de função injetiva, quando tal conceito estiver sendo necessitado numa situação concreta, como no caso de se falar de função inversa. Mesmo aqui, somente se tivermos algo importante a fazer com a inversa, como é o caso no estudo de exponenciais e logaritmos. (ÁVILA, 2010, p. 10).

A principal contribuição dos logaritmos para facilitar os cálculos foi a de

transformar as operações de multiplicação em adição e de divisão em subtração ao

estudar as propriedades operatórias.

As atividades a serem desenvolvidas encontram-se definidas nesta Unidade

Didática.

MATERIAL DIDÁTICO

Partindo de atividades serão feitas intervenções como: vídeos(que abordará o

tema de alguns problemas propostos), apresentação, discussão sobre propriedades

de cada função exponencial e logarítmica, aplicações e representação dentro da

linguagem matemática quando necessário nos gráficos em papel quadriculado e no

Excel.

Propriedades das potências

1ª: Uma multiplicação de potências de mesma base pode ser escrita como uma

única potência.

Para a ∈ℝ, m ∈ℤ* e n ∈ℤ*, temos: . =

2ª: Uma divisão de potências de mesma base (não nula) pode ser escrita como uma

única potência.

Para a ∈ℝ*, m ∈ℤ* e n ∈ℤ*, temos: : = , a≠0

3ª: Em uma multiplicação de dois ou mais fatores elevados a um expoente, podemos

elevar cada um dos fatores a esse mesmo expoente.

Para a ∈ℝ, b ∈ℝ e m ∈ℤ*, temos: = .

4ª: Em uma divisão elevada a um expoente, podemos elevar o dividendo e o divisor

a esse mesmo expoente.

Para a ∈ℝ, b ∈ℝ* e m ∈ℤ*, temos:( = :

5ª: Uma potência elevada a um expoente pode ser escrita como uma única potência.

Para a ∈ℝ, m ∈ℤ* e n ∈ℤ*, temos: m =

6ª: Uma potência com expoente inteiro.

Para a ∈ℝ* e m ∈ N, temos:a-m=1/am, a ≠ 0

ATIVIDADE 1

Propriedades da Potência

Material: Exercícios envolvendo as cinco propriedades de potenciação

Objetivo: Demonstrar aos alunos as diferenças existentes em cada propriedade

Comentários: Espera-se, que por meio dessa atividade o aluno seja capaz de

reconhecer nas propriedades que para potências de expoentes naturais são válidas

para quaisquer expoentes m e n inteiros, bem como perceber a importância de

conhecer as propriedades da potência.

1) Complete as tabelas:

Objetivo: Observação de padrão com expoente (regularidade)

x 2x f(x)

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

n 3n Y

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

X 5x f(x)

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

2) Calcule as potências:

a) d) -2

b) e)

c) f)

3) Calcule o valor de cada expressão:

a) . e)

b) : f) . ³

c) : g) + ²

d) : 10 h) .

4) Vamos calcular o valor da expressão (29.211.23) : (25)4 .

5)Vamos simplificar as expressões:(2 . 3)5 . 2² .3

6) Se a=2³. 3².7eb=2³.3, encontre o quociente de a por b:

7)(CEFET- AL) As potências de base dez são úteis para representar números muito

grandes. Veja os exemplos:

A distância da Terra e a Lua que é de aproximadamente 400 000 km, pode ser

indicada por 4 x 105 km.

Cometas são astros que giram em torno do Sol. O cometa Halley se aproxima da

Terra de setenta e seis anos em setenta e seis anos - seu período de rotação em

torno do Sol - a uma velocidade de 200 000 km/h.

Um coração humano bate em média cento e vinte mil vezes por dia. Admitindo-se o

ano com trezentos e sessenta e cinco dias e desprezando a diferença no número de

dias nos anos bissextos, o número de vezes que, desde o nascimento, já bateu o

coração de uma pessoa ao completar meio século é de aproximadamente:

a) 2,19 x 109 b)2,28 x 10-9 c)2,2 x 1010 d) 2,19 x 107 e)2,2 x 10-8

No primeiro momento os alunos irão resolver os exercícios da atividade1, e

em seguida será abordadas as propriedades da potência com indagações e

explicações do professor para levar o conhecimento, memorização e desenvolver a

autonomia do educando em rever e aprender o referido conteúdo.

Tempo previsto para essa atividade: 3 horas aula

ATIVIDADE 2

Objetivo: Essa atividade tem por objetivo trabalhar a aplicação das propriedades da

função exponencial com resolução de problemas.

Estratégias: Os problemas serão trabalhados com tabelas e fórmulas

Comentários: Espera-se, que com essa atividade de aplicação de função

exponencial os alunos possam tomar consciência de seus avanços, dificuldades e

possibilidades, e assim acontecer uma aprendizagem significativa.

Para iniciar essa atividade os alunos irão assistir ao vídeo: Bactérias de

Estimação, que mostra a formação de colônia de bactérias. Disponível em:

www.youtube.com/watch?v=vDXvGQ_d0jY.Acesso 05 de Nov.2014.

PROBLEMAS DE APLICAÇÃO

Figura 1: Banco de Imagem - mercado de zurique, coli, bactérias, without Fonte:http://www.fotosearch.com.br/ULY079/u19686224/ . Acesso: 05 Nov. 2014.

1)Sabendo que determinada colônia, iniciada por uma única bactéria, dobra a cada

10 minutos, quantas bactérias existirão após 1 horas e 30 minutos?

2)O número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de certo experimento,

é dado pela expressão N(t) = 1200 . . Nessas condições, quanto tempo após o

início do experimento a cultura terá 38 400 bactérias?

3)Os biólogos determinam que, sob condições ideais, o número de bactérias em

uma certa cultura cresce de tal forma que a taxa de crescimento é proporcional ao

número de bactérias presentes no início do intervalo de tempo considerado.

Suponhamos que 2000 bactérias estejam inicialmente presente em uma certa

cultura e que 4000 estejam presentes 30 minutos depois. Quantas bactérias estarão

no final de 3 horas?

4)Para analisar o efeito de um remédio no extermínio de determinada bactéria,

cientistas fizeram experimentos expondo uma população desse microorganismo ao

remédio e verificando o tempo necessário para que fosse exterminada. Ao final,

verificou-se que a população da bactéria d dias após a exposição ao remédio

poderia ser estimada por meio da função P(d)=6000. d.

Dois dias após a exposição ao remédio, a população da bactéria reduziu-se a

quantos por cento da população inicial?

5)Em pesquisa realizada, constatou-se que a população P de determinada bactéria

cresce segundo a expressão P(t)=25 . 2t, onde t representa o tempo (em horas).

Para atingir uma população de 400 bactérias, será necessário um tempo de:

6) O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece à função N(t)=200 . 3kt,

onde N representa o número de bactérias no instante t (em horas) e k é uma

constante a ser obtida.

A produção tem início para t=0. Decorridas doze horas, há um total de seiscentas

bactérias.

Calcule:

a) a constante k

b) o número de bactérias, 36 horas depois que se iniciou a produção.

7)Um estudo em laboratório constatou que, depois de se administrar certo

medicamento a um indivíduo, a concentração C(t) da substância ativa do

medicamento no organismo reduz em função do tempo t, em horas, de acordo com

a função C(t) = Ci .( )0,25t, onde Ci representa a concentração inicial de tal substância

no organismo do indivíduo ao receber a medicação. De acordo com essas

informações, após quantas horas a concentração dessa substância no organismo de

um indivíduo equivalerá à oitava parte da concentração inicial (Ci) ?

8)(UECE - CE) Uma certa árvore frutífera cresce e desenvolve-se anualmente

segundo as seguintes características:

- a cada ano, o número de seus galhos triplica com relação ao ano anterior;

- por ano cada galho produz 30 frutos,

Se no ano 2000 está árvore produziu 2430 frutos, então no ano 2003 o número de

galhos dessa árvore foi:

a)729 b)2187 c)4433 d)6561

9)(UESPI - PI) Um botânico, após registrar o crescimento diário de uma planta,

verificou que o mesmo se dava de acordo co a função f(t) = 0,7+ 0,04(3)0,14t, com t

representando o número de dias contado a partir do primeiro registro e f(t), a altura

(em cm) da planta no dia t. Nessas condições, é correto afirmar que o tempo

necessário para que essa planta atinja a altura de 88,18 centímetros é :

a) 30 dias b)40 dias c) 46 dias d) 50 dias e) 55 dias

10)( UFBB - PB) O valor de certo imóvel, em reais, daqui a t anos é dado pela

função V(t)=1000(0,8)t. Daqui a 2 anos, esse imóvel sofrerá, em relação ao valor

atual, uma desvalorização de:

a)R$ 800,00 b) R$ 640,00 c) R$ 512,00 d) R$ 360,00 e) R$ 200,00

11)(UFV - MG) Uma pessoa deposita uma quantia em dinheiro na caderneta de

poupança. Sabendo-se que o montante na conta, após t meses, é dado por

M(t)=C.20,01t, em que C é uma constante positiva, o tempo mínimo para duplicar a

quantia depositada é:

a) 6 anos e 8 meses c) 8 anos e 4 meses e)10 anos e 2 meses

b)7 anos e 6 meses d) 9 anos e 3 meses

Tempo previsto para essa atividade: 4 horas aula

DEFINIÇÃO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

Uma função f:ℝ→ℝ*˖, definida por f(x)= ax ou y=ax, com a>0 e a≠1, é

denominada função exponencial. Na definição, as restrições a >0 e a≠o são

necessárias, pois, caso contrário, não seria possível caracterizar uma função

exponencial.

- Se a =1, f(x) = ax seria uma função constante.

- Se a≤ 0, f(x) = ax não é definida para todo x∈ℝ.

Uma função exponencial é crescente se a > 1. Sempre que aumentarem os valores

de x, os valores correspondentes de y também aumentarão. Uma função

exponencial é decrescente; Se 0 < a < 1. Sempre que aumentarem os valores de x,

os valores correspondentes de y diminuirão.

ATIVIDADE 3

Objetivo: Construir gráficos no papel quadriculado e no Microsoft Excel de funções

crescente e decrescente.

A intervenção didática do professor durante essa atividade é fundamental

para que o aluno perceba a importância de se calcular usando lápis e borracha e

fazer relações entre os valores encontrados nos cálculos para representá-los tanto

no papel quadriculado como no Excel.

Nesse momento argumentar com os alunos quais os conceitos que têm sobre

as bases da potência, observando sempre que se a>1 a função é crescente, e se

0<a<1 é decrescente, levando-os a refletir a importância dessa construção para seu

desempenho escolar no conteúdo.

CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS

1)Construa os gráficos de funções exponenciais utilizando papel quadriculado e

Microsoft Excel.

a)f(x)=2x b)g(x)= X

Tempo previsto para essa atividade: 4 horas/ aula

DEFINIÇÃO DE LOGARITMO

Seja os números reais positivos a e b com a ≠ 1 . Denomina-se logaritmo de na base

a expoente x, tal que b=axisto é: Se b>0, a>0 e a≠1, então ↔

Destacamos os seguintes elementos:

a=base do logaritmo;

b = logaritmando;

x = logaritmo;

Para iniciar está atividade, os alunos irão assistir ao vídeo intitulado

“Logaritmos – Que saco” referente aplicação de logaritmos, Disponível em:

http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=7339.

Acesso: 13 out. 2014.

ATIVIDADE 4

Objetivo: O objetivo dessa atividade é de fazer com que o aluno perceba logaritmo

por meio de exercícios e caracterize a operação logarítmica além de compará-la

sempre com exponencial a fim de identificá-la como sendo a operação inversa da

exponencial.

1) Complete a tabela, utilizando a calculadora ( se achar necessário) e o logaritmo

de base 10, determine x:

EQUAÇÃO NA FORMA

EXPONENCIAL

EQUAÇAO NA FORMA

LOGARÍTMICA

CÁLCULO DO

LOGARITMO

2X=8 x=3

5x=125 x=

10x=30 =x ou =x x=

2x=32 x=

3x=243 x=

10x=50 x=

10x=0,98 x=

10x=950 x=

10x=15000 x=

2)Aplicando a definição, determine o valor de cada logaritmo:

a) = x d) =-5

b) =y e)

c) f)

3)Em cada item, determine o valor de cada base a.

a) = 2 c) 3

b) 3 d) 5

4)Com a calculadora científica, calcule os logaritmos decimais.

a) c) e)

b) d) f)

5)Utilizando a definição, calcule os logaritmos.

a) c) e)

b) d) f)

Tempo previsto para essa atividade: 3 horas / aula

CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO

A partir da definição de logaritmo podemos compreender alguns resultados, que

comumente denominamos de consequências da definição. Sendo b >0, a > 0 e a ≠ 1

e x um número real qualquer, temos a seguir algumas consequências da definição

1ª) → , temos : →ax=1 →ax =a0 →x=0

2ª) , temos: →ax =a1 →x=1

3ª) n=n, temos: n=x →ax=an→ n=x

4ª) = ↔b=c, temos: = x e = x→ax = b e ax =c →b=c

5ª) temos: →ax=b, substituindo x= em ax=b

→a

ATIVIDADE 5

Objetivo: Definir valores para a existência de logaritmo

Comentários: Por meio dessa atividade espera-se, que o aluno lembre-se das

propriedades da potência para chegar a um resultado.

1)Usando as consequências da definição, determine o valor de a nas igualdades:

a) ac) a

b) ad) a

2)Calcule o valor de y em cada equação:

a) =3 d) =1

b) =3 e) =-4

c) =6 f) =2

3)Calcule:

a) d)

b) e)8

c) f) =

4)Utilizando a calculadora científica calcule cada equação:

a) =x c) =x

b) = 0, d) - = x

5) Dê o valor de x nas igualdades:

a) 1 = c) =

b) 0 = d) =

6) Escreva uma igualdade logarítmica utilizando os números dados:

a)9, 2 e 81 d) 4, -4 e 1/256

b)7, 0 e 1 e) 2, 6 e 36

c) 3, 125 e 5 f) -3, 5 e 1/125

Tempo previsto para essa aula: 3 horas / aula

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS

LOGARITMO DO PRODUTO

Em uma mesma base, o logaritmo do produto de dois ou mais números positivos é

igual à soma dos logaritmos de cada um desses números.

Se a > o, b >o,c>0 e a ≠1, então = +

LOGARITMO DO QUOCIENTE

Em uma mesma base, o logaritmo do quociente de dois números positivos é igual à

diferença dos logaritmos de cada um desses números.

Se 0 <a ≠ 1, b > 0 e c > 0, então = loga b – loga c.

LOGARITMO DA POTÊNCIA

O logaritmo de uma potência de base positiva é igual ao produto do expoente pelo

logaritmo da base da potência.

Se 0 <a ≠ 1 e b > 0, então loga(b)n = n . logab, com a>0, b>0 e a≠1

ATIVIDADE 6

Objetivo: Demonstrar as propriedades operatórias dos logaritmos

Comentário: Por meio dessa atividade espera-se que o aluno veja a importância

das propriedades operatórias do logaritmo para a resolução de exercícios.

1) Em calculadoras científicas, a tecla log serve para calcular logaritmos de base 10.

Por exemplo, se digitamos 100 e, em seguida, apertamos a tecla log, o resultado

obtido é 2. A tabela a seguir apresenta alguns resultados, com aproximação de três

casas decimais, obtidos por Paulo ao utilizar a tecla log de sua calculadora científica.

Número digital Resultado obtido após

apertar a tecla log

2 0,301

3 0,477

7 0,845

Utilizando-se os valores anotados por Paulo na tabela acima, a solução da

equação + x = é:

(A) 0,563 (B) 0,669 (C) 0,966 (D)1,623 (E) 2,402

2) Considerando log2 = 0,3 e log5 = 0,7, determine:

a)log2/5 c)log32 b)log25 d)log200

3) Considerando que 100,301 =2 e 100,477 =3, calcule:

a) d)

b) e)

c)

4)Escreva na forma de um único log:

a) + c) +

b) 4. d)2 - 3

5)Sabendo que log a =1,25, log b = 2,07 e log c = 0,75, determine o valor de log( ).

6)Calcule:

a) + + -

b) + -

7) (UEFS) Sendo = 0,301, o número de algarismo de 520 é:

8) Se log N = 2 + log2 - log3 - 2log5, calcule o valor de 30N.

9)(PUC-SP) Se x + y = 20 e x - y = 5, então log(x² - y²) é igual a :

a)100 d)12,5

b)2 e)1000

c)25

Tempo previsto para essa atividade: 3horas / aula

DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Uma função f:ℝ*˖→ℝ, definida por f(x)= ou y= , com a> 0 e a≠ 1, é

denominada função logarítmica.

ATIVIDADE 7

Objetivos: Reconhecer no gráfico quando a função logarítmica é crescente ou

decrescente.

Comentários: Por meio dessa atividade espera-se, que o aluno possa compreender

que existem infinitos valores para x, e consequentemente, infinitos pares ordenados,

e assim unindo os pontos formando gráficos.

1) Construa os gráficos das funções logarítmicas utilizando papel quadriculado e

Microsoft Excel e explique se é crescente ou decrescente.

a)f(x) =

b)f(x) =

Tempo previsto para essa atividade: 4hora/aula.

ATIVIDADE 8

Objetivos: Realizar análise gráfica das funções exponenciais e logarítmica.

Comentários: Por meio dessa atividade espera-se, que os alunos notem que a

função é inversa e que os gráficos que as representam são simétricos em relação à

reta correspondente ao gráfico da função, e que essa reta é a bissetriz do 1º e do 3º

quadrantes do plano cartesiano.

1)Calcular e representar no mesmo plano cartesiano as funções f(x) = 2x e de sua

inversa g(x) = .

2)Calcular e representar no mesmo plano cartesiano as funções f(x) = x e de sua

inversa g(x) = .

MUITO IMPORTANTE

O gráfico da função f(x) = , para x igual a , , 1, 2 e 4, é capaz de nos mostrar

uma das prováveis fórmulas que delineou o perfil do cartão postal francês, a Torre

Eiffel.

Veja:

Figura 2: Torre Eiffel, com seus mais de 300 metros de altura Fonte:http://x-tudonline.blogspot.com.br/2013/02/fotos-da-torre-eiffel.html . Acesso 26 Nov. 2014.

Tempo previsto para essa atividade: 4hora/aula.

ATIVIDADE 9

APLICAÇÃO DOS LOGARTIMOS EM OUTRA ÁREAS DE CONHECIMENTO

Os alunos irão assistir ao vídeo: Acidente radioativo com Césio 137 em Goiânia,

1987, disponível no:www.youtube.com/watch?v=63UWTcXDdpA .Acesso em 07

Nov. 2014.

1)(ENEM 2013) Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente

radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um

aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulado inadvertidamente por parte da

população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a

massa desse material se reduza a metade.

A meia-vida do césio-137 é de 30 anos e a quantidade restante de massa de um

material radioativo, após t anos é calculado pela expressão M(t)=A.(2,7)kt onde A é

a massa inicial e k uma constante negativa.

(Considere 0,3 como aproximação para .)

Qual o tempo necessário, em anos, para uma quantidade de massa do césio-137 se

reduza a 10% da quantidade inicial? (Enem 2013-Questão 162-página 26 -Prova

amarela.)

2) A quantidade q de átomos de um isótopo de certa substância radioativa é dada

pela função q(t) = 105 . 4-10t , em que t é a quantidade de milênios passados a partir

de t = 0. Determine após quantos anos a quantidade de átomos de um isótopo dessa

substância será um sexto da inicial. (Adote log2 =030 e log3 = 0,48.)

3) A tireoide é uma das glândulas mais importantes do corpo humano. Encontrada

próxima à laringe, é responsável por regular a ''velocidade'' do funcionamento do

organismo. Essa glândula produz os chamados hormônios tiroidianos, como a

triiodotironina (T3) e a tiroxina (T4). Os altos e baixos desses hormônios são os

principais causas das doenças de tireoide: hipertireoidismo e hipotireoidismo,

respectivamente. Para exames de tireoide, é utilizado o elemento químico radioativo

iodo-131, que tem meia vida de 8 dias, ou seja dias metade do número de átomos

radioativo se desintegra. A fórmula que calcula a quantidade de material radioativo

em função do tempo de meia-vida é n = n0.2-t , em que n é a quantidade restante, n0

é a quantidade inicial do elemento radioativo e t é o número de períodos de meia-

vida.

a)Qual é a quantidade de Iodo-131 restante de um material contaminado com 4g,

passados 6 períodos de meia-vida?

b)Supondo que uma clínica especializada em exames de tireoide tenha em seu

estoque 10g de Iodo-131, quantos dias aproximadamente serão necessários para

que o mesmo fique reduzido a 10-2 g?(Use =3,3.)

4) O iodo-131 é um elemento radioativo utilizado em medicina nuclear para exames

de tireoide e possui meia - vida de 8 dias. Para descartar de material contaminado

com 1g de iodo-131, sem prejuízo para o meio ambiente, o laboratório aguarda que

ele fique reduzido a 10-6 g de material radioativo.

Nessa condições, o prazo mínimo para descarte do material é de: (Dado:

0,3)

a) 20 dias b)90 dias c)140 dias d)160 dias e)200dias

5) (UNESP - SP) Numa experiência para obter cloreto de sódio (sal de cozinha),

coloca-se num recipiente uma certa quantidade de água do mar e expõe-se o

recipiente a uma fonte de calor para que a água evapore lentamente. A experiência

termina quando toda a água se evaporar. Em cada instante t, a quantidade de água

existente no recipiente (em litros) é dada pela expressão:

Q(t) = log10(10k) ,sendo k uma constante positiva e t em horas. (t+1)

a)Sabendo que havia inicialmente 1 L de água no recipiente, determine a constante

k.

b) Ao final de quanto tempo a experiência terminará?

6) (UFPR-PR) Em um experimento feito em laboratório, um pesquisador colocou

numa mesma lâmina dois tipos de bactérias, sabendo que as bactérias do I são

predadoras das bactérias do tipo II. Após acompanhar o experimento por alguns

minutos, o pesquisador concluiu que o número de bactérias tipo I era dado pela

função f(t) = 2 .3t+1, e que o número de bactérias do tipo II era dado pela função g(t)

= 3 . 24-2t, ambas em função do número t de horas.

a) Qual era o número de bactérias, de cada um dos tipos, no instante inicial do

experimento?

b) Esboce, no plano cartesiano, o gráfico das funções f e g apresentadas acima.

c) Após quantos minutos a lâmina terá o mesmo número de bactérias do tipo I e II?

(Use log2 = 0,30e log 3 = 0,47)

7)(UFPR - PR) O teste de alcoolemia informa a quantidade de álcool no sangue

levando em conta fatores como a quantidade e o tipo de bebida ingerida. O código

de Trânsito Brasileiro determina que limite tolerável de álcool no sangue, para uma

pessoa dirigir um automóvel, é de até 0,6 g/L. suponha que um teste de alcoolemia

acusou a presença de 1,8 g/L de álcool no sangue de um indivíduo. A partir do

momento em que ele para de beber, a quantidade, em g/L, de álcool no sangue

decresce e segundo a função Q(t) = 1,8 . 2-0,5t, sendo o tempo t medido em horas.

a) Quanto t = 3, qual é a quantidade de álcool no sangue desse indivíduo?

b)Quantas horas após esse indivíduo parar de beber a quantidade de álcool no seu

sangue atingirá o limite tolerável para ele poder dirigir? ( Use log2 = 0,30 e log3 =

o,47.)

8) A escala proposta por Charles Francis Richter ( 1900 - 1985) para medir a

magnitude de terremotos é definida por:

M = 3. -2,92

Em que: M é a magnitude do terremoto na Escala Richter; A é a amplitude máxima

registrada no papel do sismógrafo, em milímetros; é o tempo decorrido, em

segundos, entre a chegada das ondas primárias ou de compressão (ondas P) e a

chegada das ondas secundárias ou de cisalhamento (ondas S). Certa vez, um

sismógrafo registrou um abalo sísmico cuja amplitude máxima no sismograma era

de 12 milímetros e cujo intervalo de tempo foi de 24 segundos. Determine a

magnitude do abalo, na Escala Richter.

9)A altura média do tronco de um eucalipto , que se destina à produção de madeira,

evolui desde que é plantado, segundo o modelo matemático:

h(t)=1,5 +

Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 4,5m de altura, qual o

tempo (em anos) transcorrido do momento do plantio até o corte?

10)O pH de uma solução iônica pode ser obtida pela relação pH= , onde H+ é

a concentração de hidrogênio em íons- grama por litro de solução.

Qual o pH de uma solução em que H+ = 1,0 . 10-8?

Tempo previsto para essa atividade: 4 hora/aulas

CONSIDERAÇÕES FINAIS

As atividades propostas nessa unidade didática visam propiciar ao professor

por meio da função exponencial e logarítmica, atividades envolvendo situações

problemas, onde será um desafio para inovar seu dia a dia na sala de aula.

Espera-se que a leitura e a reflexão do trabalho apresentado possam

contribuir para uma aprendizagem significativa, e principalmente para reflexão da

prática docente dos amigos professores de matemática.

As atividades aqui sugeridas poderão ser adaptadas e modificadas de acordo

com a necessidade da turma, se assim o professor achar necessário.

REFERÊNCIAS

Acidente radiativo com o Césio-137 em Goiânia, 1987. Disponível em: www.youtube.com/watch?v=63UWTcXDdpA .Acesso: 07 de Out. 2014. ÁVILA, Geraldo Severo de Souza, Várias Faces da Matemática: tópicos para licenciatura e leitura geral. 2 ed. São Paulo: Blucher, 2010. BOYER, Carl B. História da Matemática.4.ed. São Paulo: E. Blucher. 1968.

DANTE, Luíz Roberto. Matemática, volume único: livro do professor / Luíz Roberto Dante. --1. ed. --São Paulo : Ática 2005. Figura 1: Banco de Imagem - mercado de zurique, coli, bactérias, without. Disponível em: http://www.fotosearch.com.br/ULY079/u19686224/ . Acesso: 05 Nov. 2014. Figura 2: Torre Eiffel, com seus mais de 300 metros de altura. Disponível em:http://x-tudonline.blogspot.com.br/2013/02/fotos-da-torre-eiffel.html . Acesso 26 Nov. 2014. Infoenem o mais portal do Enem. Disponível em: www.infoenem.com.br .Acesso: 08Ago. 2014. LIMA, Patrick de Oliveira. Uma trajetória hipotética de aprendizagem sobre funções logarítmicas. 2009. 213 f; Dissertação (Mestrado) Programa de Pós- Graduação em Matemática; Universidade Católica de São Paulo. PUC/SP, 2009. LOGARITMOS – QUE SACO. Disponível em: http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=7339.Acesso: 13 out. 2014. RIBEIRO, Jackson da Silva - Projeto radix: Matemática, 8º ano / Jackson da Silva Ribeiro.--São Paulo: Scipione,2009. RIBEIRO, Jackson, Matemática: ciência, linguagem e tecnologia,1: Ensino médio/ Jackson Ribeiro - São Paulo: Scipione, 2010. SMOLE, Kátia Cristina Stocco. Matemática-ensino médio -volume1- 1ª série/Kátia Cristina Stocco Smole, Maria Ignez de Souza Vieira Diniz. -5.ed. São Paulo : Saraiva, 2005. SOUZA, Joamir Roberto de- Novo olhar matemática ( Ensino Médio v. 1 ) /Joamir Roberto de Souza --1. ed. --São Paulo : FTD, 2010.