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Órbitas Periódicas, Regiões de Estabilidade e

Manobras Orbitais no Sistema Terra- Lua

Othon Cabo Winter (1,2), Cristiano Fiorilo de Melo (2) e Ernesto Vieira Neto (1)(1) Grupo de Dinâmica Orbital e Planetologia – UNESP

Caixa Postal 205 – CEP 12.516- 410 - Guaratinguetá – SP

(2) Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, INPEAv. dos Astronautas 1758 - CEP 12.227 - 010 - São José dos Campos - SP

E- mail: ocwinter@feg.unesp.br cristianofiorilo@terra.com.br ernesto@feg.unesp.br

1 Introdução

1.1 Motivação

A exploração do espaço teve início emoutubro de 1957 com o lançamento doSputnik (satélite artificial) pela ex- UniãoSoviética. Nos anos seguintes, década de 60 einício da década de 70, a Lua foi o alvo dediversas missões espaciais, inclusive tripu -ladas. O último vôo tripulado para a Luaocorreu em dezembro de 1972 e nenhumaoutra missão tripulada retornou à superfícieLunar. Entretanto, a exploração espacial nãocessou e diversos estudos das principaisagências espaciais do mundo prevêem aexploração do solo e do subsolo Lunar, bemcomo consideram a Lua como “trampolim”para futuros vôos interplanetários.

Neste contexto, a utilização de órbitasestáveis ao redor da Lua possibilitariaconsiderável econômica de combustível pro-piciando o transporte de maior quanti - dadede carga útil. Assim, o estudo de regiões deestabilidade no sistema Terra - Lua ondeexistem trajetórias estáveis é de granderelevância para a exploração espacial.

1.2 Objetivos

O objetivo deste trabalho é investigarnumericamente a existência de regiões deestabilidade no sistema Terra - Lua, identi -ficar a razão da estabilidade e fazer ummapeamento global em duas e três di-mensões destas regiões. Com isso, reuni-remos informações suficientes para propor ouso de trajetórias estáveis que ocorrem

nestas regiões como órbitas alternativas debaixo custo de manutenção ao redor da Lua.Também apresentaremos um conjunto deprocedimentos para manobras de aquisição emanutenção para estas órbitas.

1.3 Sistema Terra- Lua

Neste trabalho, estaremos chamando desistema Terra - Lua toda região contida den -tro da esfera de influência da Terra cujo raioé de aproximadamente 900.000km. Astrajetórias de veículos espaciais neste siste -ma podem ser classificadas de maneirasimplista por (Roy, 1988):

- Órbitas terrestres;- Transferências de órbitas das vizi -

nhanças da Terra para as vizinhançasda Lua e vice- versa;

- Órbitas Lunares;- Aterrissagem sobre a Terra ou sobre

a Lua.

Um bom exemplo da combinação dosquatro tipos de trajetórias acima foram asmissões do projeto Apollo.

As principais forças que atuam sobre umveículo espacial no sistema Terra - Lua sãodevido:

1 – Aos propulsores do próprio veículo; 2 – Campo gravitacional da Terra; 3 – Arrasto atmosférico; 4 – Campo gravitacional da Lua; 5 – Campo gravitacional do Sol; 6 – Campos gravitacionais dos outros

planetas do Sistema Solar; 7 – Pressão de Radiação solar;

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8 – Marés; 9 – Campos Eletromagnéticos e fluxos

de plasmas provenientes do Sol.

É difícil expressar imediatamente aimportância relativa de cada uma destasinterações, mesmo porque, isto dependeriamuito da missão do veículo espacial. Porisso, tendo em vista os objetivos descritos naseção anterior, não é nosso interesse prin -cipal estudar as forças experimentadas peloveículo devido aos seus próprios propul -sores, nem devido ao arrasto atmosférico.Por outro lado, também vamos negligenciarcompletamente os efeitos dos campos gravi-tacionais dos outros planetas e do fluxo deplasma do Sol. Assim, daremos ênfase àsinterações do veículo com os campos gravi-tacionais da Terra (incluindo o achatamento),da Lua e do Sol, à pressão de radiação solar edevido às marés.

1.4 Metodologia

Para atingirmos a meta de fazer ummapeamento global das regiões de esta -bilidade no sistema Terra- Lua, dividimosnosso trabalho em etapas a fim de obtermos,gradativamente, informações que nos permi-tam descrever estas regiões detalhadamente.Assim, primeiramente, estudamos os efeitosda atração gravitacional da Terra e da Luasobre o veículo (partícula) considerando ocaso planar no qual o veículo se move nomesmo plano que contém as órbitas da Terrae da Lua. Para isto, consideramos o problemacircular, planar, restrito de três corpos,Terra - Lua- Partícula. Tomamos este proble -ma como ponto de partida, pois o mesmo jáfoi estudado por vários pesquisadores(Broucke, 1968; Hénon, 1970; Jefferys, 1971;Winter, 2000 e Winter e Vieira Neto, 2002)que relatam em seus trabalhos a existênciade regiões de estabilidade onde ocorremórbitas lunares estáveis, periódicas e quase -periódicas, prógradas e retrógradas,distantes do corpo central (Lua).

Em aplicações à Astronomia, estudossobre a existência de tais regiões, baseadosno problema restrito de três corpos, têm sidorealizados na tentativa de explicar a origemde satélites naturais irregulares que orbitamalguns dos planetas do Sistema Solar externo(Huang e Innanen, 1983; Brunini, 1996;Winter e Vieira Neto, 2001).

Associado ao problema circular, planar,restrito de três corpos utilizamos assuperfícies de seção de Poincaré, comotécnica de mapeamento, para encontrarmos aestrutura das regiões de estabilidade noespaço de fase. Com este procedimento,podemos medir a estabilidade de uma órbitaperiódica em termos da amplitude demáxima oscilação em torno dela (Winter2000).

Depois do estudo prévio considerando oproblema planar, circular, restrito de trêscorpos, investigamos, ainda no caso planar, ainfluência da atração gravitacional do Solsobre as possíveis regiões de estabilidade.Feito isto, terminamos a fase inicial das in-vestigações numéricas.

As próximas etapas consistiram em, pri-meiramente, considerar o caso tridimensi -onal, isto é, a inclinação da órbita da Luaalém das excentricidades das órbitas daTerra e da Lua. Posteriormente, considera -mos outras interações relevantes ao proble -ma como a pressão de radiação e as marés.

Ainda como forma de mapear as regiõesde estabilidade, tanto no caso planar comono caso tridimensional, as investigaçõesnuméricas geraram dados que nos permitecompreender uma enorme gama de proprie -dades de eventuais trajetórias estáveis deuma partícula ao redor da Lua, tais como aevolução temporal da excentricidade, semi-eixo maior, velocidade, energia e etc. Comeste conjunto de dados temos condições deverificar a viabilidade do uso de tais traje-tórias em futuras missões espaciais, bemcomo, os procedimentos necessários para asmanobras de aquisição e manutenção dasmesmas.

2 Determinação de Regiões de Órbi-tas Diretas Estáveis ao Redor da Lua- Família H2

2.1. Reprodução de Resultados de Winter eVieira Neto (2002)

A meta desta etapa do trabalho é darcontinuidade à investigação iniciada porWinter e Vieira Neto (2002) sobre regiões deórbitas estáveis diretas ao redor da Luaadotando como sistemas dinâmicos Terra -Lua- partícula (problema circular planarrestrito de três corpos) e Sol- Terra- Lua-partícula (problema circular planar restrito

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de quatro corpos). Aqui, estamos chamandode estável toda órbita que permanece emtorno da Lua por um período de integraçãomínimo de 1000 dias com energia dapartícula em relação à Lua menor que zero.Primeiramente, com a intenção de continuareste estudo de maneira sistemática repro -duzimos alguns resultados de Winter e VieiraNeto (2002). A Figura 1 mostra as reprodu -ções dos diagramas exa (excentricidadeversus semi- eixo maior) para os problemascircular planar restrito de três corpos Terra-Lua- partícula (Fig. 1.a), e quatro corpos Sol-Terra - Lua- partícula (Fig. 1.b), tal comomostrado na Figura 10 de Winter e Vieira

Neto (2002). Cada ponto dos diagramas dasFiguras 1.a e 1.b corresponde aos valores daexcentricidade e semi- eixo maior da órbitaosculadora inicial da partícula em relação aum sistema de coordenadas fixo à Lua(sistema lunicêntrico). Os demais elementosorbitais da órbita osculadora inicial são ω = π.e Ω = i = τ = 0. O tempo de captura, ou depermanência da partícula em torno da Luacom energia de dois corpos em relação à Luamenor que zero, é dado por um código decores cuja legenda mostrando os intervalosde tempo considerados está do lado superiordireito de cada diagrama. As regiões brancas

Figura 1. Regiões de estabilidade em termos do tempo de captura. Cada condição inicial temseu tempo de captura indicado por um código de cores. As áreas brancas dentro das regiõescoloridas correspondem a condições iniciais que permanecem capturadas para um período deintegração de 1000 dias. Dois sistemas dinâmicos foram considerados: (a) Problema restritode três corpos Terra- Lua- partícula e (b) Problema restrito de quatro corpos Sol- Terra - Lua-partícula .

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dentro das áreas coloridas são as regiõesde órbitas estáveis da família H2 oraestudadas. Analisando os diagramas daFigura 1, pode - mos verificar claramente quea perturbação devido ao Sol reduz pelametade o tamanho da região de estabilidade.

Há uma sutil diferença entre o sistema dereferências adotado por Winter e Vieira Netoe o sistema adotado para obter os diagramasda Figura 1. Estamos considerando um siste-ma de referência cuja origem está fixa nocentro de massa do sistema Sol- Terra - Lua(neste sistema o Sol possui um movimentoorbital em torno do centro de massa).Portanto, nossas equações de movimentoestão escritas em um sistema de coorde -nadas inercial, enquanto as equações demovimento de Winter e Vieira Neto (2002)foram escritas em um sistema de coordena -das cuja origem estava fixa ao Sol. Apesardesta diferença, nenhuma mudança signifi -cativa no tamanho das regiões ou na estru -tura dos diagramas foi detectada.

As Figuras 2 e 3 são reproduções dasFiguras 11 e 12 de Winter e Vieira Neto(2002) respectivamente. Nelas são mostradasduas trajetórias que permanecem estáveisnos dois sistemas considerados. Nas colunasda esquerda para o problema restrito de trêscorpos e nas colunas da direita para oproblema restrito de quatro corpos. Na pri -meira linha, estão as trajetórias da partículano sistema baricêntrico girante Terra - Luapara 1000 dias, na segunda e terceira linhassão mostradas respectivamente a variação dosemi- eixo maior e excentricidade da partí -cula, ambos em relação ao sistema lunicên-trico para um intervalo de tempo de 100dias. Aqui, o sistema de referência adotado éo mesmo, ou seja, considera a origem fixa nocentro de massa do sistema Sol- Terra - Lua.

Como podemos observar, há umaexcelente concordância entre as Figuras 2 e 3com as Figuras 11 e 12 de Winter e VieiraNeto (2002).

Cabe reportar dois problemas encontradosno desenvolvimento desta etapa do trabalho.Um deles relacionado ao movimento médioda Lua que deixa de ser constante quando aperturbação devido ao Sol é considerada, eoutro com relação à definição das coorde -nadas da Terra e da Lua no sistema baricên -trico girante Terra- Lua.

2.2. Efeitos das Propriedades DinâmicasIntrínsecas do Sistema Sol- Terra- Lua

Após reproduzir os resultados de Winter eVieira Neto (2002) e com o objetivo deinvestigar todos os efeitos perturbativos quepodem afetar a estabilidade da família H2,nós passamos a analisar os efeitos pertur -bativos sobre as órbitas estáveis devido àsexcentricidades da Terra e da Lua e à incli-nação da Lua. Estes parâmetros são introdu -zidos em nossos programas via condiçõesiniciais dos corpos considerados no sistemadinâmico. Nas subseções a seguir discuti -remos como definimos as condições iniciaisda Terra, da Lua e da Partícula levando emconta suas excentricidades e inclinação.

É necessário escrever as equações demovimento em um sistema de coordenadasque garanta o máximo de precisão possível eque permita a introdução das propriedadesdinâmicas dos corpos considerados demaneira simples. Temos trabalhado com trêssistemas de referências até o momento: oprimeiro com a origem fixa no Sol, sistemaheliocêntrico, o segundo tem origem fixa nocentro de massa do sistema Sol- Terra - Lua, eo terceiro possui sua origem fixa no centrode massa do sistema solar (Sol mais os noveplanetas). Em primeira aproximação, todospodem ser considerados como sistemasinerciais, no entanto, o terceiro é o maispreciso. No caso de órbitas periódicas nosistema Terra - Lua observa- se que ascorreções devido a atração gravitacional dosoutros planetas do sistema solar não ésignificativa. Portanto, estaremos adotando osegundo sistema de referências cuja origemse encontra no centro de massa do sistemaSol- Terra- Lua.

Para estabelecer as condições iniciaisexatas dos quatro corpos envolvidos emnossas investigações numéricas é fundamen -tal conhecer os parâmetros orbitais da Terrae da nossa Lua. Em especial, suas excentrici -dades e inclinações orbitais. Um fatorrelevante na geometria das condições iniciaisé a obliquidade da eclíptica, ou seja, o ânguloentre o eixo perpendicular ao equadorterrestre e o plano orbital da Terra.

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Figura 2. Exemplo de trajetória com condição inicial a = 27.751,7 km e e = 0,3227, a qual éestável em ambos os sistemas dinâmicos: Terra- Lua- partícula (coluna da esquerda), e Sol-Terra - Lua- partícula (coluna da direita). Na primeira linha é mostrada a trajetória no sistemabaricêntrico girante Terra - Lua para 1000 dias. As variações do semi- eixo maior e daexcentricidade no tempo são mostradas para 100 dias, mas o comportamento é o mesmopara 1000 dias.

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Figura 3. Exemplo de trajetória com condição inicial a = 27.248,3 km e e = 0,4638, a qual éestável em ambos os sistemas dinâmicos: Terra- Lua- partícula (coluna da esquerda), e Sol-Terra - Lua- partícula (coluna da direita). Na primeira linha é mostrada a trajetória no sistemabaricêntrico girante Terra - Lua para 1000 dias. As variações do semi- eixo maior e daexcentricidade no tempo são mostradas para 100 dias, mas o comportamento é o mesmopara 1000 dias.

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O eixo de rotação da Terra possui umainclinação de 23º 27’ em relação ao plano desua órbita. Esta inclinação é a responsávelpelas estações do ano. A Figura 4 mostraestá inclinação para um sistema decoordenadas fixo no Sol de tal forma que oseixos xy deste sistema definem o planoorbital da Terra. Nas subseções anteriores,adotamos um sistema de coordenadas seme -lhante a esse, porém com a origem fixa nocentro de massa do sistema Sol- Terra - Lua.

A Figura 5 mostra a inclinação do eixo derotação da Terra em relação ao seu eixoorbital supondo que este seja perpendicularao plano da página. O plano orbital da Luapor sua vez, possui uma inclinação de 5,1454graus em relação ao plano equatorial daTerra, tal como ilustra a Figura 6.

Desta forma, levando em conta estes doisaspectos das órbitas da Lua e da Terrapodemos concluir que o plano orbital da Luapossui uma inclinação de 18,3546 graus emrelação ao plano orbital da Terra, assimcomo mostra a Figura 7

Figura 4. Inclinação do eixo de rotação da Terra em relação ao seu plano orbital e o inicio dasestações do ano.

Figura 5. Inclinação da Terra em relação ao seu plano orbital supondo que este sejaperpendicular ao plano da página.

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Figura 6. Inclinação da Lua com relação ao plano equatorial da Terra.

Figura 7. Posições relativas entre os planos orbitais da Terra e da Lua e do plano do equadorterrestre. Todos os três planos da figura são perpendiculares ao plano da página.

A introdução das excentricidades da Terrae da Lua e da inclinação da Lua leva a umnúmero infinito de configurações iniciais quepodem ser tomadas para alimentar osprogramas que irão determinar a região deórbitas estáveis. No entanto, após efetuar -mos vários testes com diferentes configura -ções iniciais verificamos que a posição relati -va da Terra e da Lua em suas respectivasórbitas não afeta o resultado final.

A partir destas considerações nós defini -mos as condições iniciais dos quatro corposconsiderados: Sol, Terra, Lua e partícula e,então, passamos a investigar, um a um, osefeitos das excentricidades da Terra e da Lua

e da inclinação da Lua sobre a região deestabilidade que define a família H2. AFigura 8 exibe cinco diagramas exa emfunção do tempo de captura na seguinteordem: Figura 8.a diagrama exa conside -rando apenas a excentricidade da Terra, coma Lua em órbita circular sem inclinação;Figura 8.b diagrama exa considerandoapenas a excentricidade da Lua, sem inclina -ção e com a Terra em órbita circular; Figura8.c diagrama exa levando em conta apenas ainclinação da órbita da Lua em relação aoplano orbital da Terra, e com a Terra e a Luaem órbitas circulares; finalmente, a Figura8.d mostra o diagrama exa considerando aexcentricidade e a inclinação da Lua. Figura

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8.e mostra o diagrama exa levando em contatodos estes parâmetros ao mesmo tempo.

Nota- se, após uma análise comparativaentre os diagramas da Figura 8 e os diagra -mas da Figura 1, uma variação no tamanhoda região de estabilidade definido pelafamília de órbitas estáveis H2. A excentrici -dade da Terra não afetou o tamanho daregião de estabilidade, por outro lado, aexcentricidade e a inclinação da Lua nãocontribuiram para diminuír ainda mais otamanho da região de órbitas estáveis comotambém alteraram a estrutura do diagrama.São estas duas propriedades dinâmicas daórbita da Lua que determinam, de fato, a

forma e o tamanho da região de estabilidadecomo podemos observar comparando asFiguras 11.d e 11.e. Com relação ao tamanhoda região de estabilidade, quando comparadacom a região encontrada para o problemacircular, planar, restrito de três corpos porWinter e Vieria Neto (2002), Figura 1.a,verifica- se que ela ficou aproximada mentecinco vezes menor. Mesmo assim, e embora,tenhamos simulado um sistema dinâmicomuito próximo do real, o tamanho da regiãode estabilidade é significativo o que viabilizaa utilização das trajetórias estáveis nelacontidas em futuras missões com destino àLua.

Figura 8. Regiões de estabilidade em termos do tempo de captura. Cada condição inicial temseu tempo de captura indicado por um código de cores. As áreas brancas dentro das regiõescoloridas correspondem a condições iniciais que permanecem capturadas para um período deintegração de 1000 dias. O sistema dinâmico considerado é o problema restrito de quatrocorpos levando em conta: (a) a excentricidade da Terra. (b) a excentricidade da Lua. (c) ainclinação da Lua. (d) a excentricidade e a inclinação da Lua. (e) todos juntos.

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Figura 8. Continuação da página anterior.

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Seguindo a mesma linha de Winter e VieiraNeto (2002) (seção1), mostraremos nasFiguras 12, 13, 14 e 15 o comportamento dequatro trajetórias em dois dos sistemasdinâmicos considerados – o sistema Terra -Lua- partícula (problema restrito de trêscorpos) na coluna da esquerda, e o sistemaSol- Terra - Lua- partícula - geral (com asexcentricidades da Terra e da Lua e ainclinação da Lua) na coluna da direita. Nosmesmos moldes das Figuras 2 e 3, nós temosna primeira linha as trajetórias no sistemabaricêntrico girante Terra - Lua por 1000 dias,na segunda e terceira linhas mostramos asvariações do semi- eixo maior e daexcentricidade para um tempo de 100 diasno sistema lunicêntrico, respectivamente. Naquarta linha mostramos as variações,também no sistema lunicêntrico damagnitude da velocidade em função dotempo também para 100 dias, porém, assimcomo para o semi- eixo maior e aexcentricidade, o compor tamen to é o mesmopara o período de 1000 dias. Na quinta linha,temos a variação da inclinação da partículaem relação ao plano equatorial da Lua, para100 dias na coluna da esquerda e 1000 diasna coluna da direita, mostrando que ainclinação da partícula aumenta de formacontínua e suave quando se considera oproblema Sol- Terra- Lua- partícula - geral, ouseja, a órbita da partícula sai do plano epassa a “envolver a Lua”. Na Figura 9mostramos a mesma trajetória da Figura 2no sistema baricêntrico girante Terra - Luacujas condições iniciais da órbita osculadorano sistema lunicêntrico são a = 27.751,7kme e = 0,3227. Esta trajetória é estável por mildias no sistema Terra Lua- partícula,contudo, no sistema Sol- Terra - Lua- partícu -la- geral ela escapa da influência da Lua após156 dias (para a Figura 9, a evoluçãotemporal do semi- eixo maior, da excentri -cidade, da velocidade e a inclinação da partí -cula em relação à Lua são mostradas paraum período de 160 dias). Na Figura 10

mostramos a mesma trajetória da Figura 3 aqual é estável em todos os dois sistemasdinâmicos considerados. Como se podeverificar, tanto na Figura 3 quanto na Figura10 a órbita se torna mais larga, mesmoassim, ela ainda é uma trajetória estáveldentro do parâmetro de estabilidadeadotado. Na Figura 11, também mostramosuma órbita estável em todos os dois sistemaconsiderados.

Um fato interessante pode ser visto apartir da Figura 12, cujas condições da órbitaosculadora inicial no sistema lunicêntrico sãoa = 27.200 km e e = 0,3100, escapa dainfluência da Lua em torno de 116 dias nosistema Terra - Lua- partícula, no entanto,quando consideramos o sistema Sol- Terra -Lua- partícula - geral, ela passa a ser umatrajetória estável dentro dos critérios deestabilidade considerados. Observando odiagrama 11.e verifica - se que as condiçõesiniciais desta órbita pertence a uma pequenaárea branca localizada logo abaixo da áreamaior, ambas na região central do diagrama.Por outro lado, também podemos observarcomparando os diagramas das Figuras 1.b e11.e que esta pequena região de estabilidadepresente no sistema Sol- Terra - Lua- partí -cula- geral não faz parte da região de esta -bilidade para o sistema Terra- Lua- partícula.

Os resultados exibidos nesta seção podemser considerados satisfatórios, pois apesarde mostrarem nítida diminuição da região deestabilidade quando comparamos o casomais simples, o problema restrito de trêscorpos Terra - Lua- partícula, Figura 1.a, comsistema dinâmico mais próximo do real, oproblema Sol- Terra - Lua- partícula - geral, Fi-gura 11.e, eles também mostram que aregiões finais ainda têm tamanhos expres -sivos. Os seja, as possibilidades de utilizaçãodas trajetórias estáveis pertencentes a estasregiões em futuras missões ao redor da Luacontinuam existindo concretamente.

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Figura 9. Exemplo de trajetória com condição inicial a = 27.751,7 km e e = 0,3227; a qual éestável no sistema dinâmico Terra - Lua- partícula e (coluna da esquerda), e escapa do domíniogravitacional da Lua em 156 dias no sistema dinâmico Sol- Terra - Lua- partícula - geral (colunada direita). Na primeira linha é mostrada a trajetória no sistema baricêntrico girante Terra -Lua para 1000 dias. Nas linhas subsequentes, as variações do semi- eixo maior, da excen-tricidade e da velocidade da partícula no tempo, respectivamente, todos em relação à Lua. Aquinta e última linha, mostra a variação no tempo para a inclinação da partícula em relaçãoao plano equatorial da Lua para 100 dias, na coluna da esquerda, e para 1000 dias na colunada direita.

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Figura 10. Exemplo de trajetória com condição inicial a = 27.248,3 km e e = 0,4368; a qual éestável nos dois sistemas dinâmicos considerados Terra - Lua- partícula e (coluna daesquerda), e Sol- Terra - Lua- partícula - geral (coluna da direita). Na primeira linha é mostradaa trajetória no sistema baricêntrico girante Terra - Lua para 1000 dias. Nas linhassubsequentes, as variações do semi- eixo maior, da excentricidade e da velocidade dapartícula no tempo, respectivamente, todos em relação à Lua, para 100 dias, mas ocomportamento é o mesmo para 1000 dias. A quinta e última linha, mostra a variação notempo para a inclinação da partícula em relação ao plano equatorial da Lua para 100 dias, nacoluna da esquerda, e para 1000 dias na coluna da direita.

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Figura 11. Exemplo de trajetória com condição inicial a = 27.600,0 km e e = 0,4000; a qual éestável nos dois sistemas dinâmicos considerados Terra - Lua- partícula e (coluna daesquerda), e Sol- Terra - Lua- partícula - geral (coluna da direita). Na primeira linha é mostradaa trajetória no sistema baricêntrico girante Terra - Lua para 1000 dias. Nas linhassubsequentes, as variações do semi- eixo maior, da excentricidade e da velocidade dapartícula no tempo, respectivamente, todos em relação à Lua, para 100 dias, mas ocomportamento é o mesmo para 1000 dias. A quinta e última linha, mostra a variação notempo para a inclinação da partícula em relação ao plano equatorial da Lua para 100 dias, nacoluna da esquerda, e para 1000 dias na coluna da direita.

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Figura 12. Exemplo de trajetória com condição inicial a = 27.300,0 km e e = 0,3100; a qualescapa do domínio gravitacional da Lua no sistema dinâmico Terra- Lua- partícula (coluna daesquerda) em torno de 116 dias, e é estável no sistema Sol- Terra - Lua- partícula- geral (colunada direita). Na primeira linha é mostrada a trajetória no sistema baricêntrico girante Terra -Lua para 1000 dias. Nas linhas subsequentes, as variações do semi- eixo maior, da excen-tricidade e da velocidade da partícula no tempo, respectivamente, todos em relação à Lua,para 120 dias. A quinta e última linha, mostra a variação no tempo para a inclinação dapartícula em relação ao plano equatorial da Lua para 120 dias, na coluna da esquerda, e para1000 dias na coluna da direita.

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2.3. Efeitos da Pressão de Radiação Solar

Veículos espaciais cuja razão entre suaárea e sua massa é muito grande (áreagrande massa pequena) podem sofrerperturbações significativas em suas traje-tórias devido à força de pressão de radiaçãosolar. Esta força é causada pela troca demomento linear entre os fótons da radiaçãoemitida pelo Sol quando estes colidem com asuperfície externa do veículo. O momentolinear transferido pelos fótons depende,basicamente, da distância entre o Sol e oveículo. Para um satélite em órbita da Terra,por exemplo, a intensidade da energia trans -ferida é constante (não varia com a atividadesolar) e vale, aproximadamente, 1350 W/m2.

A a razão entre a área efetiva do veículoexposta à radiação solar e a sua massa (A/m )é um fator crítico e deve ser sempreconsiderado, pois varia de veículo paraveículo. Uma razão muito alta pode afastar oveículo de sua trajetória original.

Um estudo mais detalhado sobre osefeitos da pressão de radiação mostra que apressão de radiação solar causa variaçãosenoidais de longo período nos elementosorbitais, em especial na excentricidade. Amagnitude desta variação depende da razãoentre a área do veículo exposta à radiaçãosolar e sua massa. Para um satélite decomunicação geosíncrono, a variação naexcentricidade é da ordem de 0,001 a 0,004em seis meses.

Para estimar o quão destrutivos são osefeito da pressão de radiação sobre asórbitas estáveis encontradas na subseçãoanterior, consideramos um caso extremoonde a razão A/m é considerada grande.Adotamos os parâmetros da sonda SMART- 1(Figura 13), onde o efeito da pressão deradiação pode ser bastante significativo

Nosso objetivo é estimar a aceleraçãoexperimentada pela SMART- 1 devido àpressão de radiação solar calculada a partirde um modelo padrão. A SMART- 1 é umasonda de 1m

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onde estão alojados osinstrumentos científicos, sensores, motoriônico e etc. Acoplado ao cubo estão doispainéis de 14m de comprimento quandoabertos capazes de fornecer 1900W depotência. A massa total da sonda é de 307kg.Para aplicarmos um modelo padrão, bemsimplificado, vamos assumir as seguinteshipóteses: 1) a área efetiva da sonda exposta

à radiação solar é 14m 2, e permanecerá comeste valor constante por todo o período deintegração como sua massa, assim, a razãoA/m = 0,0456 m 2/kg . 2) o coeficiente deeclipse também será constante e igual a 1por toda integração e 3) consideraremos ? =2, isto é, consideraremos que toda radiaçãoincidente sobre a sonda é refletida, o que nãoé verdade. Desta forma, estamos de fatosuperestimando a aceleração experimentadapela sonda. Assim, de acordo com estemodelo, a aceleração estimada é aproxima -damente 4,1 x 10^(- 7)m/s ² .

Figura 13. Ilustração da sonda SMART- 1 coma Lua ao fundo (ESA).

Os resultados das investigações numéricas

considerando esta aceleração nas equaçõesde movimento podem ser vistos nas Figuras14 e 15. Na Figura 14 mostramos doisdiagramas exa em termos do tempo decaptura para o sistema Sol- Terra - Lua- geral,sem a pressão de radiação (Figura 14.a) ecom a aceleração devido a pressão deradiação (Figura 14.b). O diagrama da Figura14.a é o mesmo da Figura 8.e, porém, comum zoom nas regiões de estabilidade. Asdiferenças entre os dois diagramas da Figura14 são quase imperceptíveis em umaprimeira observação, na verdade, são peque -nos detalhes pontuais que diferem os doisdiagramas. Na Figura 15, são exibidas astrajetórias de uma sonda com as caracte -rísticas descritas acima no sistema baricên -trico girante Terra - Lua para os dois casosconsiderados: sem pressão de radiação solar(coluna da esquerda) e com a pressão deradiação (coluna da direita). As variações dosemi- eixo maior e da excentricidade emrelação à Lua estão na segunda e terceiralinhas respectivamente. Notemos que os

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efeitos da perturbação devido à pressão deradiação solar não podem ser vistos a partirdas trajetórias nem tão pouco a partir dasvariações do semi- eixo maior e da excen-tricidade. Contudo, tomando um zoom emduas pequenas regiões dos gráficos do semi-eixo e da excentricidade, simbolizados pelospequenos retângulos nos gráficos nóspodemos ver a ordem de grandeza daperturbação. Na Figura 16.a mostramos ozoom dos gráficos da variação do semi- eixono tempo superpostos. Em vermelho temosum “pico” representando o valor do semi-eixo de aproximadamente 33.423,57km em91,11 dias sem a perturbação devido àpressão de radiação. Em verde, temos um“pico” ligeiramente maior com, aproxima -damente, 33.425,5 km, e um pouco deslo-

cado para direita, em 91,15 dias. Isto querdizer que a perturbação fez com que o valormáximo do semi- eixo maior, no intervalo detempo considerado, fosse maior, cerca de2km e ocorresse 57,6 minutos mais tarde.Com relação à excentricidade, verificamos,neste mesmo intervalo de tempo, umavariação da ordem de 0,00035, tal mostra aFigura 16.b.

Como podemos perceber, a perturbaçãodevido à pressão de radiação solar não chegaa causar efeitos significativos na trajetória deum veículo espacial com as características daSMART- 1, nem é capaz de reduzir significa -tivamente o tamanho das regiões de estabi -lidade da família H2.

Figura 14. Diagramas exa em termos do tempo de captura: (a) para o sistema Sol- Terra - Lua-partícula - geral sem pressão de radiação solar, e (b) para sistema Sol- Terra- Lua- partícula -geral com pressão de radiação solar, para uma sonda com as características da SMART- 1

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Figura 15. Exemplo de trajetória com condição inicial a = 27.200 km e e = 0,4500 estável nosistema Sol- Terra- Lua- partícula - geral sem levar em conta a pressão de radiação (coluna daesquerda) e com a pressão de radiação (coluna da direita).

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Figura 16. (a) Zoom de uma pequena região do gráfico da variação do semi- eixo maior notempo sem a perturbação devido à pressão de radiação solar (linha vermelha) e com apressão de radiação solar (linha verde) para o intervalo de tempo de 91,10 a 91,17dias.Verifica- se uma diferença da ordem de 2km entre os valores máximos do semi- eixo maiorneste intervalo de tempo, e também uma diferença no instante de tempo no qual cada picoocorre, cerca de 56,7 minutos mais considerando a pressão de radiação. (b) Zoom da regiãocorrespondente ao mesmo intervalo de tempo da Figura 15.a, para a variação daexcentricidade no tempo. Verifica- se que a variação de 2km no semi- eixo corresponde a umavariação de 0,00035 na excentricidade.

2.4. Problema Tridimensional

A seguir apresentamos um conjunto dediagramas que mostram a evolução da regiãode estabilidade em função da inclinação daórbitas das sondas espaciais. Os diagramassão dados na Figura 17 de (a) até (r), sendo avariação de inclinações iniciais de 10 em 10graus, respectivamente.

Os resultados mostram que a região deestabilidade só existe para órbitas muitopróximas do plano, com menos de 30 grausde inclinação. A partir de 60 graus o espaçode condições iniciais é quase que comple -tamente tomado por órbitas de colisão. Istose explica em função da ressonância deKozai que gera instabilidade para inclinaçõesrelativamente altas (Yokoyama et. al, 2003).

2.5. Manobras Orbitais

Com os resultados das subseções anterio -res chegamos ao ponto de delimitar precisa -

mente regiões de órbitas que são estáveispor período mínimo de 1000 dias. Nestecontexto, a utilização destas órbitas estáveisao redor da Lua possibilitará consideráveleconômica de combustível propiciando otransporte de maior quantidade de carga útil.A economia se dá com as manobras demanutenção. Como as órbitas estão imersasem regiões de estabilidade, elas nãonecessitam de manutenção para semanterem nas vizinhanças das órbitasdesejadas (estáveis por 1000 dias).

Com relação às manobras de aquisição,poderão ser adotados diversos tipos deabordagem, como a dos tempos de capturana vizinhança das regiões estáveis (Winter et.al, 2003).

Agradecimentos

Este trabalho contou com o suporte finan-ceiro do CNPq, da Fapesp e da Capes.

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Figura 17. Veja legenda na última página.

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Figura 17. Veja legenda na última página.

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Figura 17. Evolução da região de estabilidade em função da inclinação da órbitas das sondasespaciais. Os diagramas são dados de (a) até (r), sendo a variação de inclinações iniciais de 10em 10 graus, respectivamente.

Referências

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