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Modelação e Simulação 2012/2013 – Guia do Trabalho 2

João Pedro Gomes, António Pascoal, J. Miranda Lemos – IST – DEEC/Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo 1

Modelação e Simulação 2012/13

Trabalho de Laboratório nº 2 Optimização do servomecanismo dum disco rígido

Objectivo Após realizar este trabalho, o aluno deverá ser capaz de utilizar o SIMULINK

para optimizar um funcional de custo que envolve a resolução duma equação

diferencial e avaliar o desempenho de soluções sub-óptimas.

Bibliografia

• Manuais do MATLAB e SIMULINK (disponíveis em pdf na secção

“Laboratórios” da página da disciplina).

Elementos a entregar Cada grupo deverá entregar por email um relatório sucinto respondendo às

questões do enunciado. As respostas às questões de preparação prévia,

identificadas nos enunciados como “Em casa”, deverão ser manuscritas e

entregues em papel. A parte correspondente às questões de simulação

deverá ser gerada automaticamente através da função “Publish” do MATLAB,

e entregue por via electrónica conjuntamente com os ficheiros

MATLAB/SIMULINK utilizados. Ambas as partes deverão conter um

cabeçalho com a identificação do trabalho e a identificação dos alunos

(número e nome). As respostas a cada questão deverão ser identificadas

pelo seu número. As respostas devem ser concisas.



Nota importante:

Quer neste trabalho, quer nos subsequentes, os relatórios devem ser

originais e corresponder ao trabalho efectivamente realizado pelo grupo que

o subscreve. Relatórios não originais ou correspondentes a software ou

outros elementos copiados terão nota zero, sem prejuízo de procedimentos

disciplinares previstos pela Lei Portuguesa ou pelos regulamentos do IST.



Descrição do problema Neste trabalho estuda-se o posicionamento das cabeças de leitura/escrita de

um disco rígido, avaliando-se estratégias de actuação do braço que as

suporta para conseguir um reposicionamento rápido.

Fig. 1 – Estrutura mecânica dum disco rígido.

A fig. 1 mostra a estrutura mecânica dum disco rígido. A superfície do disco

contém milhares de pistas de gravação (tracks) concêntricas, que são lidas

ou escritas por uma cabeça magnética. A cabeça é suportada por um sistema

de suspensão e transporte, pairando a muito curtas distâncias (da ordem de

μm) da superfície do disco em rotação. Um servomotor movimenta o braço,

posicionando a cabeça sobre a pista pretendida, sendo desejável que esta

operação seja precisa e rápida. O sistema mecânico em estudo consiste no

servomotor, braço, e cabeça magnética. A entrada do sistema é uma tensão,

𝑢, aplicada ao servomotor, sendo a saída, 𝑦, a posição radial da cabeça

sobre o disco. É comum aproximar-se a dinâmica deste sistema por um

modelo de duplo integrador ideal

!!y = au

onde 𝑎 é uma constante de aceleração, e o módulo da entrada de controlo

não pode exceder um dado valor máximo umax. Por simplicidade, admite-se

neste trabalho que tanto 𝑎 como umax tomam o valor numérico 1.

O posicionamento da cabeça pode ser formulado, de forma canónica, como

um problema de actuação que leva o estado do sistema duma configuração

inicial (em unidades apropriadas) 𝑦 0 = 1,𝑦 0 = 0 para 𝑦 𝑇 = 0,𝑦 𝑇 = 0,

initial values during mode switching of controllers onthe servo performance. Here the initial value means thevalues of the states during mode switching. However,the robust perfect tracking (RPT) controllers developedby Chen (2000) have enough robustness against externaldisturbances and are independent of initial values. It iscapable of rendering the Lp-norm !1ppoN" of theresulting tracking error arbitrarily small for any initialconditions. Hence, the use of these controllers duringmode switching eliminates the need for initial valuecompensation. In this paper, such a controller is used intrack following mode to follow the track preciselyagainst various disturbances and plant uncertainty athigh frequency. We propose in this paper a new MSCdesign, which uses a proximate time-optimal servome-chanism (PTOS) controller for track seeking, and anRPT controller for track following. These controllersare combined through a suitable mode switchingcondition.

This paper first briefly describes a head-positioningsystem of disk drives. Also, a plant model is derived toimplement the proposed method. This is done in Section2. Section 3 gives the main theoretical framework of thepaper. In particular, Sections 3.1 and 3.2 recall thedesign procedures of the PTOS and RPT techniques,whereas in Section 3.3, the MSC technique is proposedtogether with a detailed derivation of a set of modeswitching conditions. The application of these control-lers to an HDD is given in Section 4 and the simulationand experimental results are reported in Section 5.Finally, the concluding remarks are drawn in Section 6.

2. An HDD

Fig. 1 shows a typical HDD with a voice-coil motor(VCM) actuator servo system. On the surface of a disk,there are thousands of data tracks. A magnetic head issupported by a suspension and a carriage, and it issuspended several microinches above the disk surface.The VCM actuator initiates the carriage and moves the

head to a desired track. The mechanical part of theplant, that is, the controlled object, consists of the VCM,the carriage, the suspension, and the heads. Thecontrolled variable is the relative head position. Thecontrol input u is a voltage to a current amplifier forthe VCM and the measurement output y is the headposition in tracks. The frequency response of acommercially available HDD servo system from u to yis shown as a solid line in Fig. 2. This drive will be usedin our experimental test. It is quite conventional toapproximate the dynamics of the VCM actuator by asecond-order state space model as

’x # Ax$ Bu #0 1

0 0

" #

x$0

a

" #

u; x #y

v;

!

; !1"

where x is the state, which consists of the displacement y(in micrometer) and the velocity v of the [read/write] (R/W) head; u is the control input (in V) constrained by

ju!t"jpumax !2"

and a # Kt=Ja is the acceleration constant, with Kt beingthe torque constant and Ja being the moment of inertiaof the actuator mass. Thus, the transfer function from uto y of the VCM model can be written as

Gv1!s" #a

s2: !3"

The frequency response shows that the servo system hasmany mechanical resonance frequencies over 1 kHz: Ingeneral, it is difficult to model these high-frequencymodes exactly. However, if we only consider the firstdominating resonance frequency, a more realistic modelfor the VCM actuator should be given as

Gv!s" #a

s2o2

n

s2 $ 2zons$ o2n

; !4"

where on corresponds to the resonance frequency and zis the associated damping coefficient. To design andimplement the proposed controller, an actual HDD istaken and the model is identified through a series offrequency response tests. Fig. 2 shows the frequencyresponse of a Maxtor HDD (Model 51536U3). It isobtained using a laser doppler vibrometer (LDV) and anHP make dynamic signal analyzer (HP35670A). Usingthe measured data from the actual system (see, Fig. 2),and the algorithms of Eykhoff (1981) and Wang, Yuan,Chen, and Lee (1998), we obtain a fourth-order modelfor the HDD actuator as

Gv!s" #6:4013% 107

s2

%2:467% 108

s2 $ 2:513% 103s$ 2:467% 108: !5"

This model will be used throughout the rest of the paperin designing appropriate controllers and in simulation.Fig. 1. A hard disk drive with a VCM actuator servo system.

V. Venkataramanan et al. / Control Engineering Practice 10 (2002) 925–939926



sendo desejável que o intervalo T seja o menor possível. O objectivo deste trabalho é comparar diferentes estratégias para controlo do braço da

unidade de disco.

O trabalho proposto enfatiza os aspectos relacionados com a optimalidade do

sinal de comando do braço, e com a forma de lidar com os erros de

posicionamento. A obtenção duma solução analítica para um problema formal

de controlo óptimo não se enquadra nos objectivos da disciplina de

Modelação e Simulação1, adoptando-se aqui uma abordagem baseada em

simulação.

Trabalho a realizar 1. (Em casa) Dado um horizonte temporal [0, T1], calcule analiticamente

a evolução do estado do sistema 𝑥 𝑡 = 𝑦 𝑡 𝑦 𝑡 partindo do repouso

para uma entrada constante e para uma arcada de sinusoide ([0, π]).

2. (Em casa) Considere agora sinais de controlo obtidos por

concatenação de pares de formas de onda referidas na alínea anterior (fig.

2). Começando pela combinação constante/constante, relacione as

amplitudes dos dois sinais, U1 e U2, para que 𝑦 𝑇 = 0. De seguida calcule

𝑦(𝑇) em função de U1, T1, e 𝛼 > 0. Atendendo a que 𝑦 𝑇 − 𝑦 0 = −1,

expresse U1 em função de T1. Finalmente, imponha a restrição 𝑈! , 𝑈! ≤ 1,

para obter o valor mínimo admissível para T1 (e T). Repita o cálculo para

sinusoide/sinusoide e combinações de constante com sinusoide.

1 A solução analítica é dada pelas técnicas de Controlo Óptimo e estuda-se no 2º ciclo, na disciplina de Controlo em Espaço de Estados.

Fig. 2 – Estrutura dos sinais a aplicar ao sistema.



Opcionalmente, considere também outras formas de onda (por exemplo,

rampas começando/terminando em 0)

3. Simule o sistema com entradas compostas de acordo com a alínea

anterior, testando o seu comportamento para diferentes valores de 𝛼.

Interprete os resultados que obteve, concluindo sobre a estratégia de

actuação óptima.

4. (Em casa) Considere agora o caso constante/constante com U1 = ±1,

U2 = ∓1, 𝛼 = 1. Quando a entrada do sistema é constante mostre que no

plano de fase 𝑦,𝑦 o estado do sistema percorre uma trajectória parabólica.

A fig. 3 ilustra a estratégia de actuação correspondente, que conduz o estado

do sistema para a origem em dois passos. Ao conjunto dos dois ramos de

parábola que convergem na origem chama-se curva de comutação. A fig. 4

ilustra uma forma de realizar esta actuação usando uma arquitectura de

Fig. 3 – Diagrama de comutação com entrada bi-nível simétrica.

Fig. 4 – Controlo do sistema em cadeia fechada.



controlo em malha fechada. Determine a função que deve ser realizada pelo

subsistema da figura.

5. Realize simulações que ilustrem o funcionamento do sistema em

malha fechada, verificando a sua equivalência com a estratégia de malha

aberta usada anteriormente2. Discuta vantagens e inconvenientes dos dois

tipos de solução. Comente as caraterísticas do sinal de controlo que obteve

em malha fechada (o fenómeno visível após convergência do estado do

sistema para a vizinhança da origem é conhecido por chaffing).

6. A fig. 5 apresenta uma arquitectura de controlo modificada que evita o

chaffing na entrada. Em traços gerais este método altera a curva de

comutação, especificando um intervalo ±𝑦! em torno da origem onde o seu

andamento passa a ser linear, e atribuindo à curva uma espessura não nula

no plano de fase. O mapeamento do subsistema “Subsys” é dado pela

expressão

onde as constantes 𝑘! = 1/𝑦!, 𝑘! = 2𝑘! asseguram que a curva de

comutação e a sua derivada são contínuas. Implemente este sistema em

SIMULINK e compare a evolução do estado e da entrada com o caso do

sistema básico em cadeia fechada. Quantifique a degradação no tempo de

resposta e discuta o seu impacto.

2 Para evitar problemas numéricos no cálculo da evolução do modelo é aconselhável substituir o bloco “Sign” por uma saturação em ±1 com uma estreita zona linear. Isto consegue-se ligando um bloco de ganho elevado em cascata com um bloco de saturação em ±1.

Fig. 5 – Arquitectura de controlo modificada que evita oscilações da entrada.



7. (Em casa) Dê um significado mais preciso à descrição sumária dada

na alínea anterior, analisando o sistema da fig. 5 e representando a sua

característica de comutação no plano de fase.

8. Simule os sistemas em cadeia fechada com referências não nulas.

Teste com sinais constantes por troços e com outros que lhe pareçam

relevantes.

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