Óptica geométrica: letromagnéticas · 66 3 Óptica geométrica: reflexão 1 quando a distância...

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LICENCIATURA EM CIÊNCIAS · USP/ UNIVESP Luiz Nunes de Oliveira Daniela M.L.B. Jacobovitz 3 ÓPTICA GEOMéTRICA: REFLEXãO Luz e Ondas Eletromagnéticas 3.1 Introdução 3.2 Espelhos: estudando a reflexão 3.2.1 Espelhos planos 3.2.2 Espelhos côncavos 3.2.2.1 Posição da imagem 3.2.2.2 Tamanho da imagem 3.2.3 Espelhos convexos 3.2.3.1 Posição da imagem 3.2.3.2 Tamanho da imagem 3.3 Conclusão Referências

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  • Licenciatura em cincias USP/ Univesp

    Luiz Nunes de OliveiraDaniela M.L.B. Jacobovitz

    3ptica GeOMtrica: refLexO

    Luz e

    Ond

    as e

    letro

    mag

    ntic

    as

    3.1 introduo 3.2 espelhos: estudando a reflexo

    3.2.1 espelhos planos3.2.2 espelhos cncavos

    3.2.2.1 posio da imagem3.2.2.2 tamanho da imagem3.2.3 espelhos convexos

    3.2.3.1 posio da imagem3.2.3.2 tamanho da imagem

    3.3 conclusoreferncias

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    Luz e Ondas eletromagnticas

    Licenciatura em Cincias USP/Univesp Mdulo 1

    3.1 Introduo Nesta aula e na prxima, trataremos da propagao da luz em espaos delimitados por

    objetos muito maiores do que comprimento de onda. Estamos no domnio da ptica geom-

    trica. Podemos visualizar a radiao como um conjunto de ftons em que prevalece a dinmica

    descrita na aula sobre Ftons. Nesta aula discutiremos a reflexo da luz, analisaremos e identi-

    ficaremos as diferenas entre as imagens produzidas pelos espelhos planos, cncavos e convexos

    e, na prxima, abordaremos a refrao e falaremos de alguns dos instrumentos mais complexos.

    3.2 Espelhos: estudando a reflexo A reflexo pode ser definida como o retorno, total ou parcial,

    de um feixe de partculas ou de ondas quando estes encontram

    a fronteira entre dois meios diferentes. Essas superfcies refletoras

    podem ser planas ou curvas. Os espelhos so superfcies com a

    propriedade de refletir praticamente toda luz incidente. Uma

    pequena parte, apenas, absorvida e convertida em calor.

    Os espelhos planos so conhecidos desde a Antiguidade

    por ser os mais simples. Os espelhos curvos, que permitem

    concentrar ou dispersar os ftons, uma tecnologia mais recente. Mesmo assim, ela um dos frutos

    mais antigos da cincia moderna. Atravs do estudo da reflexo da luz nos espelhos planos e curvos,

    ser possvel entendermos as caractersticas das imagens geradas e o seu domnio de aplicaes.

    3.2.1 Espelhos planos

    A Figura 3.2 mostra a geometria da reflexo por um espelho plano. A partir do ponto P, um fton refletido pela superfcie espelhada. Como vimos na aula sobre Ftons, os ngulos

    de reflexo e incidncia so iguais. Assim, a trajetria da luz aps a reflexo o prolongamento

    da linha tracejada, que simula um raio de luz proveniente do ponto Q, simtrico de P em relao ao espelho. O observador tem a iluso de que a luz provm de Q.

    Figura 3.1: Exemplos de espelhos.

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    3 ptica Geomtrica: reflexo

    Licenciatura em Cincias USP/Univesp Mdulo 1

    A imagem de um objeto refletido em uma superfcie plana parece estar atrs do espelho e,

    por isso, chamada imagem virtual.

    3.2.2 Espelhos cncavos

    Os espelhos cncavos permitem concentrar a luz.

    Para que a concentrao seja perfeita, a superfcie do

    espelho, vista em corte, precisar formar uma parbola.

    Como esse formato exige tcnica especial de construo,

    a grande maioria dos espelhos cncavos constituda

    por pequenas calotas esfricas, como a mostrada na

    Figura 3.3. A calota concentra adequadamente os raios

    que chegam a ela com pequena inclinao em relao

    ao seu eixo de simetria.

    Figura 3.2: Reflexo por um espelho plano. A linha cheia mostra a trajetria de um fton proveniente do ponto P. O observador tem a iluso de que o fton provm do ponto Q, que simtrico do ponto P em relao superfcie refletora. / Fonte: USPSC.

    Assista ao experimento sobre espelho plano.

    Figura 3.3: Esquema de um espelho cncavo: eixo principal, vrtice (V ), centro de curvatura (O) e raio de curvatura (R ).

    Assista ao experimento que mostra como a luz pode ser concentrada em um ponto.

    http://www.saocarlos.usp.br/http://midia.atp.usp.br/video/cepa/Optica_Espelho_Plano_01.avihttp://midia.atp.usp.br/video/cepa/Optica_Espelho_Concavo_01.avi

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    Luz e Ondas eletromagnticas

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    3.2.2.1 Posio da imagem

    Como exemplo, a Figura 3.4 considera um

    raio de luz proveniente do ponto P sobre o eixo da calota, que atinge o espelho no ponto E e ref le-tido em direo ao ponto Q, tambm sobre o eixo. Os ngulos de incidncia e ref lexo, iguais, so

    denotados por . Para facilitar a visualizao, a

    figura mostra ngulos grandes, mas estamos inte-

    ressados em , e inferiores a 5.Relacionar a distncia p, entre o ponto P e o espelho,

    com a distncia q, entre o ponto Q e o espelho, um problema simples de geometria. Levando em conta

    que o ngulo entre o raio incidente e a normal

    superfcie do espelho igual ao ngulo entre o raio

    refletido e a normal, o texto desta aula mostra que:

    3.1

    onde R o raio da calota espelhada.Desde que o ngulo entre os raios de luz incidentes e a normal superfcie do espelho sejam

    pequenos, todos os raios provenientes do ponto P na Figura 3.4 sero focalizados no mesmo ponto Q. Alm disso, como a Equao 3.1 no muda quando se troca p por q, vemos que, se a fonte de luz estiver no ponto Q, os ftons por ela emitidos sero focalizados no ponto P.

    Nas Figuras 3.5 a 3.8 veremos as imagens formadas pela reflexo da luz provinda de

    fontes a diferentes distncias do espelho. Na Figura 3.5, a luz proveniente de uma fonte muito

    distante focalizada no ponto F, a meia distncia entre o espelho e o seu centro O. Em outras palavras, a distncia entre o espelho e a imagem 2q R= , resultado que tambm decorre da Equao 3.1, j que P . O ponto de convergncia F conhecido como foco ou ponto focal do espelho, e a distncia entre ele e o espelho chamada distncia focal f. Vemos, portanto, que f = R/2 e podemos escrever a Equao 3.1 na forma:

    3.2

    Figura 3.4: Reflexo por um espelho cncavo. Um fton proveniente do ponto P sobre o eixo de simetria do espelho volta a cruzar o eixo no ponto Q, aps ser refletido. O ponto O marca o centro da calota esfrica espelhada. / Fonte: USPSC.

    1 1 2p q R

    + =

    1 1 1p q f

    + =

    http://www.saocarlos.usp.br/

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    3 ptica Geomtrica: reflexo

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    Quando a distncia p diminui, entre a fonte e o espelho, a distncia q entre a imagem e o espelho inicialmente aumenta, como mostra a Figura 3.6, com a fonte no centro do espelho,

    a luz refletida sobre si mesma e a posio da imagem se confunde com a da fonte.

    Quando a fonte se encontra entre o foco e

    o centro do espelho, a imagem se forma alm do

    centro O, situao que equivale a trocar P por Q na Figura 3.6a. Se P estiver muito prximo de F, como na Figura 3.7 a imagem se forma muito alm

    do centro do espelho, em configurao que equivale

    a trocar Q por P na Figura 3.5.

    Figura 3.5: Concentrao da luz no foco do espelho. Quando recebe raios paralelos ao seu eixo, o espelho os focaliza no ponto F, distncia R / 2 do espelho: p q = R / 2. / Fonte: USPSC.

    Figura 3.6: (a) Imagem de uma fonte de luz situada alm do centro O do espelho. A imagem se forma entre o foco F e o centro O: p= 1,5 R q= 0,75 R. (b) Imagem de uma fonte de luz situada no centro O do espelho. Em todos os pontos do espelho, a incidncia normal, os raios de luz so refletidos sobre si mesmos, e a posio da imagem coincide com a da fonte luminosa: p= R q= R. / Fonte: USPSC.

    a b

    Figura 3.7: Fonte de luz um pouco direita do foco do espelho. A imagem se forma to longe do espelho que os raios refletidos so praticamente paralelos: p = 0,51 R q = 25,5 R. / Fonte: USPSC.

    http://www.saocarlos.usp.br/http://www.saocarlos.usp.br/http://www.saocarlos.usp.br/

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    Na Figura 3.8a, a fonte de luz foi deslocada para uma posio aqum do ponto focal.

    Os ftons refletidos pelo espelho do a iluso de provir do ponto Q atrs da superfcie refletora. Como a formada por um espelho plano, a imagem virtual e, por isso, a Equao 3.2 resulta

    em valor negativo para q.E se a fonte se aproximar ainda mais do espelho, como na Figura 3.8b, a curvatura da

    superfcie passar a ser pouco importante, assim como a curvatura da Terra pouco importante

    no nosso dia a dia. O espelho cncavo passar a se comportar como se fosse plano, de forma

    que a fonte e sua imagem ficaro praticamente equidistantes do espelho.

    3.2.2.2 Tamanho da imagem

    To importante quanto encontrar a posio da

    imagem determinar o seu tamanho. A imagem de

    uma fonte extensa, com dimenses e posio conhe-

    cidas, pode ser facilmente construda por meio do

    procedimento indicado na Figura 3.9. A partir da

    extremidade P' da fonte, acompanhamos os dois feixes de luz indicados por segmentos orientados laranja na

    figura. O primeiro paralelo ao eixo horizontal da

    figura e, portanto, refletido pelo espelho em direo

    ao foco F. O segundo passa pelo ponto O e refletido sobre si mesmo. A interseo dos dois raios refletidos determina a extremidade Q' da imagem. A interseo da perpendicular ao eixo

    Figura 3.8: (a) Fonte luminosa entre o espelho e o seu foco. Os ngulos de incidncia so agora to grandes que os raios refletidos passam a divergir em lugar de convergir sobre o eixo horizontal. A luz refletida parece divergir de um ponto Q atrs do espelho, situao que define uma imagem virtual: p = 0,25 R q = 0,5 R. (b) Fonte de luz muito prxima do espelho. Uma vez que a distncia p muito menor do que o raio R da superfcie esfrica, o espelho se comporta como se fosse plano. O ponto Q virtual assim aproximadamente o simtrico do ponto P: p = 0,1 R q = 0,125 R. / Fonte: USPSC.

    a b

    Figura 3.9: Construo de imagem formada por espelho cncavo. A fonte de luz est compreendida entre os pontos P e P.Sua imagem formada entre Q e Q. / Fonte: USPSC. (Clique no cone para visualizar a animao)

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    3 ptica Geomtrica: reflexo

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    a partir de Q' com o prprio eixo determina a posio Q do p da imagem. Alternativamente, poderamos acompanhar o raio que sai de P' e passa pelo ponto focal F antes de atingir o espelho; refletido na direo paralela ao eixo horizontal, esse raio tambm passa pelo ponto Q'.

    De qualquer forma, vemos que a imagem real:

    ela pode ser colhida numa folha de papel posicionada

    frente do espelho, da mesma forma que uma tela de

    cinema colhe a imagem formada pelo projetor.

    Enquanto o segmento orientado que representa a fonte de luz na figura aponta para cima, a

    imagem aponta para baixo: a imagem real invertida em relao fonte.

    Quando a fonte caminha em direo ao foco, a imagem se afasta do espelho e cresce.

    Quando a fonte alcana o centro O do espelho, a imagem, embora invertida, tem o tamanho da fonte, como mostra a Figura 3.10.

    Quando a fonte se desloca para a regio entre o centro e o foco do espelho, a imagem se torna

    maior do que ela. A Figura 3.11 mostra que a imagem continua sendo real e invertida, mas ela

    agora est mais distante do espelho do que a fonte e maior do que a fonte luminosa.

    Quando a fonte de luz se aproxima ainda mais do

    ponto focal, sua imagem cresce e se afasta ilimitada-

    mente do espelho. Transposto o foco F, h uma sbita inverso. Como ilustrado pela Figura 3.12, a imagem

    deixa de ser invertida e passa a ser virtual forma-se

    atrs do espelho. Ela continua, porm, a ser maior do

    que a fonte. Quando a fonte est prxima, a reflexo

    se assemelha de um espelho plano, mas a imagem

    ampliada. A ampliao se reduz medida que a fonte se Figura 3.12: Imagem de uma fonte de luz entre o espelho e o ponto focal. A imagem agora virtual, tem o sentido de orientao da fonte e maior do que ela. / Fonte: USPSC.

    Figura 3.10: Imagem de uma fonte posicionada sobre o centro de um espelho esfrico. A imagem real, invertida e tem tamanho idntico ao da fonte. / Fonte: USPSC.

    Figura 3.11: Imagem de uma fonte de luz entre o foco e o centro do espelho. A imagem real, invertida e maior do que a fonte se forma alm do centro. / Fonte: USPSC.

    Para compreender o conceito de imagem real, assista ao experimento.

    http://www.saocarlos.usp.br/http://www.saocarlos.usp.br/http://www.saocarlos.usp.br/http://midia.atp.usp.br/video/cepa/Optica_Espelho_Convergente_01.avi

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    aproxima e, no limite de distncia zero entre a superfcie espelhada e o objeto nela refletido, tudo

    se passa como se o espelho fosse plano: a imagem virtual e simtrica em relao fonte de luz.

    Exerccio Resolvido 1

    Um objeto est a 14 cm de um espelho cncavo, cujo raio de curvatura 7 cm. Determine a distncia focal, e a posio da imagem. A imagem formada real, ou virtual? direta ou invertida?

    Soluo:Na Figura 3.9 (reproduzida aqui) podemos ver a situ-ao descrita no exerccio. O objeto est posicionado alm do centro do espelho. Assim a imagem ser real e invertida.O foco dado por f = R/2 = 3,5, e a posio da imagem pode ser calculada usando a equao:

    Neste caso p = 14 cm, assim temos

    A imagem ser formada entre o foco e o centro O do espelho.

    Acesse o link e assista a um interessante experimento com espelho cncavo.

    A distncia q tem valor positivo quando a imagem for real, valor negativo quando a imagem for virtual. Para espelhos cncavos a imagem ser virtual sempre que o objeto estiver entre o foco e o vrtice.

    Figura 3.91 1 1p q f

    + =

    1 1 214 7

    4,67 cmq

    q

    + =

    =

    http://midia.atp.usp.br/video/cepa/Optica_Espelho_Concavo_03.avi

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    Exerccio Resolvido 2

    Um espelho cncavo tem 280 mm de raio. Olhando para ele de uma distncia de 70 mm, onde parece que seu rosto estar?

    Soluo:Na Figura 3.12 (reproduzida aqui) podemos ver a situ-ao descrita no exerccio.O foco do espelho f = R/2 = 140 mm e a posio da imagem pode ser calculada usando a equao:

    Neste caso p = 70 mm, assim temos:

    Neste caso a imagem do seu rosto ser virtual atrs do espelho, por isso o valor de q negativo.

    3.2.3 Espelhos convexos

    Na comparao com uma superfcie cncava, a formao da imagem por um espelho convexo

    mais simples. Como mostra a Figura 3.13, a luz provinda de um ponto P sobre um eixo, que passa pelo centro O da calota esfrica espelhada, refletida para longe do centro. O observador que recebe a luz espalhada tem a iluso de que ela provm do ponto Q atrs do espelho.

    Figura 3.12

    1 1 1p q f

    + =

    1 1 270 280

    140 mmq

    q

    + =

    =

    Figura 3.13: Reflexo por um espelho convexo. Os raios de luz provenientes do ponto P divergem aps serem refletidos pelo espelho. Quem observa tem a iluso de estar vendo a fonte de luz no ponto Q atrs do espelho. / Fonte: USPSC.

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    3.2.3.1 Posio da imagem

    A posio q da imagem, isto , a distncia a que ela formada atrs do espelho dada por uma expresso anloga Equao 3.1

    3.3

    Aqui tambm se define a distncia focal f R / 2, o que permite reescrever a Equao 3.3 na forma

    3.4

    Dada a distncia focal e a posio da fonte de luz, fcil extrair dessa expresso a posio

    da imagem. Se p for muito grande, por exemplo, isto , se a fonte estiver muito distante do espelho, podemos desprezar o primeiro termo esquerda na Equao 3.4, e resulta que

    q = f. Vemos assim que a imagem de um objeto muito distante est no foco, a uma distncia f atrs do espelho. Quando o objeto, isto , a fonte de luz se aproxima do espelho, a imagem virtual tambm se aproxima, como indicado pela sequncia na Figura 3.14.

    1 1 2q p R

    =

    1 1 1p q f

    =

    Figura 3.14: Reflexo por um espelho convexo. Em (a), a luz incidente constituda por raios paralelos. A imagem virtual Q se forma no foco virtual F. Em (b), a luz provm de um ponto P. A imagem virtual Q agora se forma entre F e o espelho. Em (c), a fonte de luz est a uma distncia do espelho bem menor do que o seu raio R. Nesse caso, o espelho se comporta aproximadamente como se fosse plano, e os pontos P e Q esto em posies aproximadamente simtricas. / Fonte: USPSC.

    a b c

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    3.2.3.2 Tamanho da imagem

    mais instrutivo, porm, empregar um procedimento anlogo ao da Figura 3.9 para encontrar

    a posio e o tamanho da imagem virtual. A Figura 3.15 serve de ilustrao. A fonte de luz se

    estende de P a P'. Para encontrar a imagem da extremidade P', examinamos a trajetria de dois ftons nascidos em P'. O primeiro corre paralelamente ao eixo horizontal. Aps colidir com a superfcie espelhada, ele passa a se mover como se proviesse do foco F atrs do espelho. Traamos, portanto, a reta orientada azul, que comea em F e passa pelo ponto em que o fton colide com o espelho.

    O segundo fton corre em direo ao foco e, por isso, refletido na direo horizontal.

    Traamos a reta azul horizontal para representar a sua trajetria, que parece provir de um ponto

    esquerda da figura. As duas trajetrias azuis se interceptam em um ponto um pouco direita

    do foco F, que marca a posio da extremidade da imagem. Para encontrar o p da imagem, basta baixar uma perpendicular at o eixo horizontal. A imagem, como se v, muito pequena,

    tem a mesma orientao que a fonte de luz e, como se forma atrs do espelho, virtual.

    Quando a fonte se aproxima do espelho, a imagem cresce, como mostram as Figuras 3.15a,

    b e c. Na Figura 3.15c, em particular, a fonte est to perto do espelho que este comea a se

    comportar como se fosse plano: a imagem virtual quase o simtrico da fonte.

    Figura 3.15: (a) Tamanho da imagem de uma fonte extensa de luz distante do espelho convexo. A pequena imagem se forma junto ao ponto focal F atrs do espelho. (b) Imagem de uma fonte prxima ao espelho. Na comparao com (a), a imagem substancialmente maior e se forma mais perto da superfcie do espelho. (c) Imagem de uma fonte muito prxima ao espelho. A imagem atrs do espelho apenas um pouco menor do que a fonte e a distncia que a separa da superfcie espelhada um pouco menor do que a distncia entre a fonte e a superfcie. / Fonte: USPSC. (Clique no cone para visualizar a animao)

    a b c

    Para espelhos convexos a imagem ser sempre virtual. O tamanho da imagem formada depende da posio do objeto.

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    Exerccio Resolvido 3

    Um espelho convexo tem raio de curvatura de 10 cm. Se um objeto estiver situado a 10 cm do espelho, onde sua imagem ser formada?

    Soluo:Na Figura 3.15b (reproduzida aqui) podemos ver a situao descrita no exerccio.A posio da imagem pode ser calculada usando a equao:

    Neste caso p = 10 cm, assim temos:

    A imagem formada virtual e menor que o objeto. Note que podemos obter o mesmo resultado se usarmos a equao 3.4.

    As equaes 3.3. e 3.4 levam em conta que a imagem virtual.

    Podemos encontrar o tamanho da imagem formada, atravs da relao entre o tamanho da

    imagem y e o tamanho do objeto z:

    3.5

    Atravs de semelhana de tringulos pode ser mostrado que esta relao a mesma entre a

    posio do objeto e a posio da imagem:

    3.6

    Figura 3.15b

    1 1 2q p R

    =

    1 1 210 103,33 cm

    qq

    =

    =

    .ymz

    =

    .y qmz p

    = =

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    3 ptica Geomtrica: reflexo

    Licenciatura em Cincias USP/Univesp Mdulo 1

    Vamos supor que o tamanho do objeto nos exerccios resolvidos 1, 2 e 3, seja 3 cm (30 mm).

    No exerccio 1 a imagem real q = 4,67 cm e seu tamanho

    O resultado negativo indica que a imagem invertida.

    No exerccio resolvido 2, a imagem virtual q = 140 mm, e seu tamanho

    Neste caso a imagem direta, pois m positivo.No exerccio 3, a imagem virtual q = 3,33 cm, e seu tamanho

    Assim como no exerccio 2, a imagem direta.

    3.3 ConclusoNesta aula estudamos a reflexo da luz por espelhos planos e esfricos. Vimos que existem

    imagens virtuais, formadas atrs do espelho e imagens reais, aquelas que podem ser projetadas

    em uma tela.

    O tipo e tamanho da imagem dependem da posio e do tipo de espelho. No caso do espelho

    plano a imagem sempre virtual. Os espelhos esfricos tem caractersticas geomtricas importantes,

    como eixo principal, vrtice (V), centro de curvatura (O) e raio de curvatura (R). Quando sabemos a posio do objeto e o raio de curvatura do espelho, podemos calcular o ponto onde a imagem

    formada, desta maneira identificamos se a imagem real ou virtual. No caso do espelho cncavo, a

    imagem pode ser real ou virtual, direta ou invertida, dependendo da posio do objeto. No caso do

    espelho convexo, a imagem ser sempre virtual e direta, haver apenas variao do tamanho.

    4,67 1,0 cm3 14ym = = =

    ( 140) 60 mm 6 cm.30 70ym = = = =

    ( 3,33) 0,99 cm.30 10ym = = =

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    Luz e Ondas eletromagnticas

    Licenciatura em Cincias USP/Univesp Mdulo 1

    Como voc j deve ter observado, os espelhos convexos so usados em retrovisores de automveis

    e em lojas para ajudar na segurana. Os espelhos cncavos podem ser usados em consultrios

    odontolgicos, para uso pessoal (barba, maquiagem), e tambm em telescpios e projetores.

    Agora que voc sabe como funciona a formao de imagens, voc seria capaz de construir

    um projetor de slides?

    RefernciasNuSSeNzveig, H. M. Curso de Fsica Bsica. So Paulo: Edgard Blucher, 1998.

    RichaRd, P. F., RobeRt b. l., Matthew, S. Lies de Fsica de Feynman. Porto Alegre:

    Bookman, 2008.

    tiPleR, P. A. Fsica. 4. ed. So Paulo: LTC, 2000.

    FRedeRick, J. k; gettyS, w. e; MalcolM, J. S. Fsica. Vol. 2, 2. ed. So Paulo: Makron Books, 1999.

    SeaRS & zeMaNSky, youNg & FReedMaN. Fsica IV. 12.ed. So Paulo: Addison Wesley, 2009.

    Agora a sua vezAcesse o Ambiente Virtual de Aprendizagem

    e realize a(s) atividade(s) proposta(s).

    Complementos e destaques Espelho plano

    vdeo Optica_Espelho_Plano_01.avi Espelho cncavo

    vdeo Optica_Espelho_concavo_01.avivdeo Optica_Espelho_Concavo_03.avi

    Espelho convergentevdeo Optica_Espelho_Convergente_01.avi

    Figura 3.9 - animao Figura 3.15 - animao

    http://midia.atp.usp.br/video/cepa/Optica_Espelho_Plano_01.avihttp://midia.atp.usp.br/video/cepa/Optica_Espelho_Concavo_01.avihttp://midia.atp.usp.br/video/cepa/Optica_Espelho_Concavo_03.avihttp://midia.atp.usp.br/video/cepa/Optica_Espelho_Convergente_01.avi

    3.1 Introduo 3.2 Espelhos: estudando a reflexo3.2.1 Espelhos planos3.2.2 Espelhos cncavos3.2.2.1 Posio da imagem

    3.2.2.2 Tamanho da imagem3.2.3 Espelhos convexos3.2.3.1 Posio da imagem3.2.3.2 Tamanho da imagem

    3.3 ConclusoReferncias