OPERADOR DE COMPUTADOR

MATEMÁTICA

CAPITULO 1 - NÚMEROS NATURAIS

Os números 0, 1, 2, 3, 4, 5...; são chamados naturais, e a sequência dos

números naturais é infinita.

Assim como você, todas as pessoas usam números; por exemplo:

● Para indicar quantidade: Esta turma tem 21 alunas, que estão fazendo o curso

profissionalizante para ingressar no mercado de trabalho.

● Para encontrar a página de um livro ou para saber onde colar uma figurinha

num álbum;

● Como códigos: Em placas de automóveis, em números telefônicos ou em

endereços – para enviar uma correspondência, é preciso indicar o nome da rua, o

número da casa e o CEP (código de endereçamento postal). Muitas vezes, os

números expressam o resultado de uma medida; por exemplo, o percurso de

determinada maratona tem 45 quilômetros.

Todo número natural tem um sucessor. Exemplo:

1) O sucessor de é .

2) O sucessor de é .

De modo geral, o sucessor de um número natural é obtido adicionando uma

unidade a esse número.

Com exceção do zero que é o menor número natural, todo número natural

tem um antecessor. Exemplo:

1) O antecessor de é

2) O antecessor de é .

1.1 ESCRITA E LEITURA DOS NÚMEROS NATURAIS

A leitura e a escrita por extenso de números fica mais fácil se separamos os

algarismos de 3 em 3, da direita para a esquerda. Como mostra o quadro abaixo.

10ª

Ordem

9ª

Ordem

8ª

Ordem

7ª

Ordem

6ª

Ordem

5ª

Ordem

4ª

Ordem

3ª

Ordem

2ª

Ordem

1ª

Ordem

Unidade

de

bilhão

Unidade

de

milhão

Unidade

de

milhão

Unidade

de

milhão

Unidade

de

milhar

Unidade

de

milhar

Unidade

de

milhar

Centenas

de

unidades

simples

Dezenas

de

unidades

simples

Unidades

simples

Exemplo:

Pelo quadro de ordens que apresentamos, observe como se escreve o número

natural 3246:

U.M. C D U

3 2 4 6

três unidades de milhar mais duas centenas mais quatro dezenas mais

seis unidades, ou:

ou ainda;

Cada grupo de três algarismos constitui uma classe e cada classe tem um

nome, como se pode observar no quadro seguinte:

Classe dos bilhões Classe dos milhões Classe dos milhares Classe das unidades simples Dezenas

de

bilhão

Unidades

de

bilhão

Centenas

de

milhão

Dezenas

de

milhão

Unidades

de

milhão

Centenas

de

milhar

Dezenas

de

milhar

Unidades

de

milhar

Centenas Dezenas Unidades

simples

4 1 6 5 4

2 7 5 0 0 2 5

6 2 8 3 1 0 4 6 4 0

5 0 0 0 2 5 4

Considerando os números que estão no quadro:

600 + 50 + 4 (seiscentos e cinquenta e quatro)

40 + 1 (quarenta e um) mil

Onde se lê: quarenta e um mil, seiscentos e cinquenta e quatro.

6 283 104 640 600 + 40 (seiscentos e quarenta)

100 + 4 (cento e quatro) mil

200 + 80 + 3 (duzentos e oitenta e três) milhões

6 (seis) bilhões

Onde se lê: seis bilhões, duzentos e oitenta e três milhões, cento e quatro mil,

seiscentos e quarenta.

EXERCICIO

1) Escreva o número formado por:

a) Nove centenas mais seis dezenas mais oito unidades.

⏟ ⏟

b) Três unidades de milhar mais quatro centenas mais sete dezenas mais três

unidades.

c) Quatro unidades de milhar mais cinco dezenas.

d) Cinco dezenas de milhar mais duas unidades de milhar mais sete centenas

mais três dezenas mais uma unidade.

e) Duas unidades de milhão mais cinco centenas de milhar.

2) Usando os algarismos 5, 2 e 7 sem repeti-los, escreva todos os números

formados por esses três algarismos.

3) Maria ao preencher um cheque no valor de R$ 2 106 565,00 deverá escrever

por extenso. Nessa condição ajude a Maria a escrever por extenso a quantia do

cheque.

4) Escreva por extenso os seguintes números.

a) 318 064

b) 16 205 943

c) 265 144

d) 92 619 213 001

CAPITULO 2 – NÚMEROS INTEIROS

INTRODUÇÃO: Observe que, no conjunto dos números naturais, a operação de

subtração nem sempre é possível.

Exemplos:

a) 5 – 3 = 2 (possível: 2 é um número natural)

b) 9 – 9 = 0 (possível: 0 é um número natural)

c) 3 – 5 = ? (impossível nos números naturais).

Para tonar sempre possível a subtração, foi criado o conjunto dos números

inteiros relativos, -1, -2, -3,...

lê-se: menos um ou 1 negativo;

lê-se: menos dois ou dois negativo;

lê-se: menos três ou três negativo;

Reunindo os números negativos, o zero e os números positivos, formamos o

conjunto dos números inteiros, que será representado por .

= {...-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,…}

Obs.: os números inteiros positivos podem ser indicados sem o sinal de +.

Exemplo:

a) +7 = 7

b) +2 = 2

c) +13 = 13

d) +45 = 45

Sendo que o zero não é positivo nem negativo

EXERCICIOS

1) Observe os números e diga:

-15, +6, -1, 0, +54, +12, -93, -8, +23, -72, +72

a) Quais os números inteiros negativos?

b) Quais são os números inteiros positivos?

2) Qual o número inteiro que não é nem positivo nem negativo?

3) Escreva a leitura dos seguintes números inteiros:

a) -8

b) +6

c) -10

d) 12

e) +75

f) -100

4) Quais das seguintes sentenças são verdadeiras?

a) ( ) +4 = 4

b) ( ) -6 = 6

c) ( ) -8 = 8

d) ( ) 54 = +54

e) ( ) 93 = -93

5) As temperaturas acima de 0°C (zero grau) são representadas por números

positivos e as temperaturas abaixo de 0°C, por números negativos. Represente a

seguinte situação com números inteiros relativos:

a) 5° acima de zero

b) 3° abaixo de zero

c) 9°C abaixo de zero

d) 15° acima de zero

2.1 REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS NA RETA

Vamos traçar uma reta e marcar o ponto zero. À direta do ponto zero, com

uma certa unidade de medida, assinalemos os pontos que correspondem aos

números positivos e à esquerda de zero, com a mesma unidade, assinalaremos

os pontos que correspondem aos números negativos.

EXERCÍCIOS

1) Escreva os números inteiros:

a) compreendidos entre 1 e 7

... ... 0 - 1 - 2 - 3 - 4 1 2 3 4 5 4

b) compreendidos entre -3 e 3

c) compreendidos entre -4 e 2

d) compreendidos entre -2 e 4

e) compreendidos entre -5 e -1

f) compreendidos entre -6 e 0

2) Qual é o número maior ?

a) +1 ou -10 (R:+1)

b) +30 ou 0 (R: +30)

c) -20 ou 0 ( R: 0)

d) +10 ou -10 (R: +10)

e) -20 ou -10 (R: -10)

f) +20 ou -30 (R: +20)

g) -50 ou +50 (R:+50)

h) -30 ou -15 (R:-15)

3) compare os seguintes pares de números, dizendo se o primeiro é maior, menor

ou igual.

a) +2 e + 3

b) 0 e -5

c) -2 e 0

d) -2 e -4

e) -4 e -3

f) 5 e -5

g) 40 e +40

h) -30 e -10

i) 100 e -200

j) -450 e 300

l) -500 e 400

3) coloque os números em ordem crescente.

a) -9,-3,-7,+1,0 (R: -9,-7,-3,0,1)

b) -2, -6, -5, -3, -8 (R: -8, -6,-5, -3,-2)

c) 5,-3,1,0,-1,20 (R: -3,-1,0,1,5,20)

d) 25,-3,-18,+15,+8,-9 (R: -18,-9,-3,+8,+15,+25)

e) +60,-21,-34,-105,-90 ( R: -105,-90,-34,-21, +60)

f) -400,+620,-840,+1000,-100 ( R: -840,-400,-100,+620,+1000)

2.2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS

2.2.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM NÚMEROS INTEIROS

2.2.2 ADIÇÃO

Adição de números positivos

A soma de dois números positivos é um número positivo.

EXEMPLO:

a) (+2) + (+5) = +7

b) (+1) + (+4) = +5

c) (+6) + (+3) = +9

Simplificando a maneira de escrever

a) +2 +5 = +7

b) +1 + 4 = +5

c) +6 + 3 = +9

Adição de números negativos.

A soma de dois números negativos é um número negativo

Exemplo:

a) (-2) + (-3) = -5

b) (-1) + (-1) = -2

c) (-7) + (-2) = -9

Simplificando a maneira de escrever.

a) -2 – 3 = -5

b) -1 -1 = -2

c) -7 – 2 = -9

EXERCÍCIOS

1) Calcule

a) +5 + 3

b) +1 + 4

c) -4 – 2

d) -3 – 1

e) +6 + 9

f) +10 + 7

g) -8 -12

h) -4 -15

i) -10 – 15

j) +5 +18

l) -31 – 18

m) +20 +40

n) -60 – 30

o) +75 +15

p) -50 -50

2) Responda:

a) Qual é o sucessor de +8?

b) Qual é o sucessor de -6?

c) Qual é o sucessor de 0?

d) Qual é o antecessor de +8?

e) Qual é o antecessor de -6?

f) Qual é o antecessor de 0?

Adição de números com sinais diferentes

A soma de dois números inteiros de sinais diferentes é obtida subtraindo-se os

valores absolutos, dando-se o sinal do número que tiver maior valor absoluto.

Exemplos:

a) (+6) + ( -1) = +5

b) (+2) + (-5) = -3

c) (-10) + ( +3) = -7

Simplificando a maneira de escrever

a) +6 – 1 = +5

b) +2 – 5 = -3

c) -10 + 3 = -7

Note que o resultado da adição tem o mesmo sinal que o número de maior valor

absoluto.

Observação:

Quando as parcelas são números opostos, a soma é igual a zero.

Exemplo:

a) (+3) + (-3) = 0

b) (-8) + (+8) = 0

Simplificando a maneira de escrever

a) +3 – 3 = 0

b) -8 + 8 = 0

c) +1 – 1 = 0

Um dos números dados é zero.

Quando um dos números é zero, a soma é igual ao outro número.

Exemplo:

a) (+5) +0 = +5

b) 0 + (-3) = -3

c) (-7) + 0 = -7

Simplificando a maneira de escrever

a) +5 + 0 = +5

b) 0 – 3 = -3

c) -7 + 0 = -7

EXERCÍCIOS

1) Calcule:

a) 1 – 6

b) -9 + 4

c) -9 + 11 = +2

d) 15 – 6 = +9

e) -2 + 14 = +12

f) +13 -1 = +12

g) +23 -17 = +6

h) -14 + 21 = +7

i) (+5) + (-9) = -4

j) (-6) + (+2) = -4

l) (+9) + (-1) = +8

m) (-7) + (+15) = +8

2.2.3 PROPRIEDADE DA ADIÇÃO

1) Fechamento : a soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro

exemplo (-4) + (+7) =( +3)

2) Comutativa: a ordem das parcelas não altera a soma.

exemplo: (+5) + (-3) = (-3) + (+5)

3) Elemento neutro: o número zero é o elemento neutro da adição.

exemplo: (+8) + 0 = 0 + (+8) = +8

4) Associativa: na adição de três números inteiros, podemos associar os dois

primeiros ou os dois

últimos, sem que isso altere o resultado.

exemplo: [(+8) + (-3) ] + (+4) = (+8) + [(-3) + (+4)]

5) Elemento oposto: qualquer número inteiro admite um simétrico ou oposto.

exemplo: (+7) + (-7) = 0

2.2.4 ADIÇÃO DE TRÊS OU MAIS NÚMEROS

Para obter a soma de três ou mais números adicionamos os dois primeiros

e, em seguida, adicionamos esse resultado com o terceiro, e assim por diante.

Exemplos:

1) -12 + 8 – 9 + 2 – 6 =

= -4 – 9 + 2 – 6 =

= -13 + 2 – 6 =

= -11 – 6 =

= -17

2) +15 -5 -3 +1 – 2 =

= +10 -3 + 1 – 2 =

= +7 +1 -2 =

= +8 -2 =

= +6

EXERCÍCIOS

1) Calcule

a) 4 + 10 + 8

b) -15 + 8 – 7

c) 24 + 6 – 12

d) -14 – 3 – 6 – 1

e) -4 + 5 + 6 + 3 – 9

f) -1 + 2 – 4 – 6 – 3 – 8

g) 6 – 8 – 3 – 7 – 5 – 1 + 0 – 2

h) 2 – 10 – 6 + 14 – 1 + 20

2) Efetue, cancelando os números opostos:

a) 6 + 4 – 6 + 9 – 9

b) -7 + 5 – 8 + 7 – 5

c) -3 + 5 + 3 – 2 + 2 + 1

d) -6 + 10 + 1 – 4 + 6

e) 15 – 8 + 4 – 4 + 8 – 15

6) Dados os números x= 6, y = 5 e z= -6, calcule

a) x + y = (R: +11)

b) y + z = (R: -1)

c) x + z = (R: o)

2.2 SUBTRAÇÃO

A operação de subtração é uma operação inversa à da adição.

Exemplos:

a) (+8) – (+4) = (+8) + (-4) = +4

b) (-6) – (+9) = (-6) + (-9) = -15

c) (+5) – (-2) = ( +5) + (+2) = +7

Conclusão: Para subtraímos dois números, basta que adicionemos ao primeiro o

oposto do segundo.

2.2.1 ELIMINAÇÃO DE PARÊNTESES PRECEDIDOS DE SINAL NEGATIVO

Para facilitar o cálculo, eliminamos os parênteses usando o significado do oposto.

a) -(+8) = -8 (significa o oposto de +8 é -8 )

b) -(-3) = +3 (significa o oposto de -3 é +3)

Analogicamente:

a) -(+8) – (-3) = -8 +3 = -5

b) -(+2) – (+4) = -2 – 4 = -6

c) (+10) – (-3) – +3) = 10 + 3 – 3 = 10

Conclusão: podemos eliminar parênteses precedidos de sinal negativo trocando-

se o sinal do número que está dentro dos parênteses.

EXERCÍCIOS

1) Elimine os parênteses.

a) -(+5)

b) -(-2)

c) -(-15)

d) -(-42)

e) -(+56)

2) Calcule:

a) (+7) – (+3)

b) (+5) – (-2)

c) (-3) – ( +8)

d) (-1) -(-4)

e) (+3) – (+8)

f) (+9) – (+9)

g) (-8) – ( +5)

h) (+5) – (-6)

i) (-2) – (-4)

j) (-7) – (-8)

l) (+4) -(+4)

m) (-3) – ( +2)

n) -7 + 6

o) -8 -7

4) Calcule:

a) (-4) -(-2)+(-6)

b) (-7)-(-5)+(-8)

c) (+7)-(-6)-(-8)

d) (-8) + (-6) -(+3)

e) (-4) + (-3) – (+6)

f) 20 – (-6) – (-8)

g) 5 – 6 – (+7) + 1

h) -10 – (-3) – (-4)

i) (+5) + (-8)

j) (-2) – (-3)

l) (-3) -(-9)

m) (-7) – (-8)

n) (-8) + (-6) – (-7)

2.2.3 PARÊNTESES PRECEDIDOS PELO SINAL NEGATIVO.

Ao eliminarmos os parênteses e o sinal negativo que os precede, devemos trocar

os sinais dos números contidos nesses parênteses.

Exemplo:

a) -(4 – 5 + 3) = -4 + 5 -3

b) -(-6 + 8 – 1) = +6 -8 +1

EXERCICIOS

1) Elimine os parênteses.

a) +(-3 +8)

b) -(-3 +8)

c) +(5 – 6)

d) -(-3-1)

2) Elimine os parênteses e calcule:

a) + 5 + (7 – 3)

b) 8 – (-2-1)

c) -6 – (-3 +2)

d) 18 – ( -5 -2 -3 )

e) 30 – (6 – 1 +7)

f) 4 + (-5 + 0 + 8 -4)

g) 4 + (3 – 5) + ( -2 -6)

h) 8 -(3 + 5 -20) + ( 3 -10)

i) 20 – (-6 +8) – (-1 + 3)

j) 35 -(4-1) – (-2 + 7)

2.3 EXPRESSÕES COM NÚMEROS INTEIROS

Lembre-se de que os sinais de associação são eliminados obedecendo à seguinte

ordem:

1°) PARÊNTESES ( ) ;

2°) COLCHETES [ ] ;

3°) CHAVES { } .

Exemplos:

1°) exemplo

8 + ( +7 -1 ) – ( -3 + 1 – 5 ) =

8 + 7 – 1 + 3 – 1 + 5 =

23 – 2 = 21

2°) exemplo

10 + [ -3 + 1 - ( -2 + 6 ) ] =

10 + [ -3 + 1 + 2 - 6 ] =

10 – 3 + 1 + 2 – 6 =

13 – 9 =

= 4

3°) exemplo

-17 + { +5 – [ +2 - ( -6 +9 ) ]} =

-17 + { +5 – [ +2 + 6 - 9]} =

-17 + { +5 – 2 – 6 + 9 } =

-17 +5 – 2 – 6 + 9 =

-25 + 14 =

= – 11

EXERCICIOS

1) Calcule o valor das seguintes expressões :

a) 15 -(3-2) + ( 7 -4)

b) 25 – ( 8 – 5 + 3) – ( 12 – 5 -8)

c) ( 10 -2 ) – 3 + ( 8 + 7 – 5)

d) ( 9 – 4 + 2 ) – 1 + ( 9 + 5 – 3)

e) 18 – [ 2 + ( 7 - 3 - 8 ) - 10 ]

f) -4 + [ -3 + ( -5 + 9 - 2 )]

g) -6 – [10 + (-8 -3 ) -1]

h ) -8 – [ -2 - (-12) + 3 ]

i) 25 – { -2 + [ 6 + ( -4 -1 )]}

j) 17 – { 5 – 3 + [ 8 - ( -1 - 3 ) + 5 ] }

l) 3 – { -5 -[8 - 2 + ( -5 + 9 ) ] }

m) -10 – { -2 + [ + 1 - ( - 3 - 5 ) + 3 ] }

n) { 2 + [ 1 + ( -15 -15 ) - 2] }

o) { 30 + [ 10 - 5 + ( -2 -3)] -18 -12}

2.4 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS

2.4.1 MULTIPLICAÇÃO DE DOIS NÚMEROS DE SINAIS IGUAIS.

EXEMPLO:

a) (+5) . (+2) = +10

b) (-3) . (-7) = +21

Conclusão: Se os fatores tiverem sinais iguais o produto é positivo

2.4.1.2 MULTIPLICAÇÃO DE DOIS PRODUTOS DE SINAIS DIFERENTES

Observe os exemplos.

a) (+3) . (-2) = -6

b) (-5) . (+4) = -20

Conclusão: Se dois produtos tiverem sinais diferentes o produto é negativo.

2.4.1.3 REGRA PRATICA DOS SINAIS NA MULTIPLICAÇÃO

SINAIS IGUAIS: O resultado é positivo +

a) (+) . (+) = (+)

b) (-) . (-) = (+)

SINAIS DIFERENTES: O resultado é negativo -

a) (+) . (-) = (-)

b) (-) . (+) = (-)

EXERCÍCIOS

1) Efetue as multiplicações.

a) (+8) . (+5)

b) (-8) . ( -5)

c) (+8) .(-5)

d) (-8) . (+5)

e) (-3) . (+9)

f) (+3) . (-9)

g) (-3) . (-9)

h) (+3) . (+9)

i) (+7) . (-10)

j) (+7) . (+10)

l) (-7) . (+10)

m) (-7) . (-10)

n) (+4) . (+3)

o) (-5) . (+7)

p) (+9) . (-2)

q) (-16) . 0

2.4.1.4 MULTIPLICAÇAO COM MAIS DE DOIS NÚMEROS

Multiplicamos o primeiro número pelo segundo, o produto obtido pelo terceiro e

assim sucessivamente, até o ultimo fator.

Exemplos:

a) (+3) . (-2) . (+5) = (-6) . (+5) = -30

b) (-3) . (-4) . (-5) . (-6) = (+12) . (-5) . (-6) = (-60) . (-6) = +360

EXERCÍCIOS

1) Determine o produto:

a) (-2) . (+3) . ( +4)

b) (+5) . (-1) . (+2)

c) (-6) . (+5) .(-2)

d) (+8) . (-2) .(-3)

e) (+1) . (+1) . (+1) .(-1)

d) (+1) . (+3) . (-6) . (-2) . (-1) .(+2)

e) (+3) . (-2) . (+4) . (-1) . (-5) . (-6)

f) 5 . (-3) . (-4)

g) 1 . (-7) . 2

h) 8 . ( -2) . 2

i) (-2) . (-4) .5

j) -18 + (-6) . (+7)

l) 15 + (-7) . (-4)

m) (+3) . (-5) + 35

2.4.1.5 PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO

1) Fechamento: o produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro.

Exemplo: (+2) . (-5) = (-10)

2) Comutativa: A ordem dos fatores não altera o produto.

Exemplo: (-3) . (+5) = (+5) . (-3)

3) Elemento Neutro: o número +1 é o elemento neutro da multiplicação.

Exemplos: (-6) . (+1) = (+1) . (-6) = -6

4) Associativa: na multiplicação de três números inteiros, podemos associar os

dois primeiros ou os dois últimos, sem que isso altere o resultado.

Exemplo: (-2) . [(+3) . (-4) ] = [ (-2) . (+3) ] . (-4)

5) Distributiva

Exemplo: (-2) . [(-5) +(+4)] = (-2) . (-5) + (-2) . (+4)

2.4.2 DIVISÃO

Você sabe que a divisão é a operação inversa da multiplicação, observe:

a) (+12) : (+4) = (+3) , porque (+3) . (+4) = +12

b) (-12) : (-4) = (+3) , porque (+3) . (-4) = -12

c) (+12) : (-4) = (-3) , porque (-3) . (-4) = +12

d) (-12) : (+4) = (-3), porque (-3) . (+4) = -12

2.4.3 REGRA PRÁTICA DOS SINAIS NA DIVISÃO

As regras de sinais na divisão é igual a da multiplicação:

SINAIS IGUAIS: o resultado é +

(+) : (+) = (+)

(-) : (-) = (-)

SINAIS DIFERENTES : o resultado é -

(+) : (-) = (-)

(-) : (+) = (-)

EXERCÍCIOS

1) Calcule o quocientes:

a) (+15) : (+3)

b) (+15) : (-3)

c) (-15) : (-3)

d) (-5) : (+1)

e) (0) : (+5)

f) 49 : (-7)

g) 48 : (-6)

h) (+265) : (-5)

i) (+824) : (+4)

j) (-180) : (-12)

3) Calcule o valor das expressões.

a) 20 : 2 -7

b) -8 + 12 : 3

c) 6 : (-2) +1

d) 8 : (-4) – (-7)

e) (-15) : (-3) + 7

f) 40 – (-25) : (-5)

g) (-16) : (+4) + 12

h) 18 : 6 + (-28) : (-4)

i) -14 + 42 : 3

j) 40 : (-2) + 9

l) (-12) 3 + 6

m) (-54) : (-9) + 2

CAPITULO 3 - NÚMEROS FRACIONÁRIOS E DECIMAIS

3.1 NÚMEROS FRACIONÁRIOS E DECIMAIS:

Durante muito tempo, os números naturais eram os únicos números que o

homem utilizava. Mas, com o passar do tempo, o homem foi encontrando

situações mais difíceis para resolver. No antigo Egito, por exemplo, as terras

próximas ao rio Nilo eram muito disputadas por isso os faraós tinham funcionários

que mediam e demarcavam os terrenos. Eles usavam cordas com nós separados

sempre pela mesma distância. Em muitos casos, principalmente para efetuar

medições, precisou criar outros números que não fossem apenas os números

naturais. Surgiram assim, os números fracionários ou racionais. Para representar

os números fracionários foi criado um símbolo, que é a fração. Sendo a e b

números racionais e b ≠ 0, indicamos a divisão de a por b com o símbolo a : b ou,

ainda a/b. Chamamos o símbolo a/b de fração. Assim, a fração 10/2 é igual a 10 :

2. Na fração a/b, a é o numerador e b é o denominador Efetuando, por exemplo, a

divisão de 10 por 2, obtemos o quociente 5. Assim, 10/2 é um número natural,

pois 10 é múltiplo de 2. Mas efetuando a divisão de 3 por 4 não obtemos um

número natural. Logo 3/4 não é um número natural. A fração envolve a idéia de

alguma coisa que foi dividida em partes iguais, por exemplo:

Agenor comeu 3/4 de uma barra de chocolate. Que quantidade de chocolate

Agenor comeu? Que parte da barra de chocolate sobrou?

Dividindo o chocolate em 4 partes, iguais temos;

Agenor comeu 3/4, portanto sobrou 3/4.

3.1.1 LEITURA DE UMA FRAÇÃO

Algumas frações recebem nomes especiais: as que têm denominadores

2,3,4,5,6,7,8,9.

1/2 um meio

1/4 um quarto

1/6 um sexto

1/8 um oitavo

2/5 dois quintos

As que têm denominadores 10, 100, 1000, etc.…

1/10 um décimo

1/100 um centésimo

1/1000 um milésimo

As decimais que são lidas acompanhadas da palavra avos:

1/11 um onze avos

7/120 sete cento e vinte avos

4/13 quatro treze avos

1/300 um trezentos avos

6/220 seis duzentos e vinte avos

EXERCICIO

3) Em uma fração, o numerador é 5 e o denominador é 6

a) Em quantas partes o todo foi dividido?

b) Quantas partes do todo foram consideradas?

4) Escreva como se lê as seguintes frações:

a) 5/8

b) 9/10

c) 4/200

d) 7/1000

3.1.2 TIPOS DE FRAÇÕES

a) Fração própria: é aquela cujo o numerador é menor que o denominador.

Exemplos: 2/3, 4/7, 1/8

b) Fração imprópria: é a fração cujo numerador é maior ou igual ao denominador

Exemplo: 3/2, 5/5

c) Fração aparente: é a fração imprópria cujo o numerador é múltiplo do

denominador

Exemplo: 6/2, 19/19, 24/12, 7/7

3.2.3 SIMPLIFICANDO FRAÇÕES

Cláudio dividiu a pizza em 8 partes iguais e comeu 4 partes. Que fração da

pizza ele comeu?

Cláudio comeu 4/8 da pizza. Mas 4/8 é equivalente a 2/4. Assim podemos dizer

que Cláudio comeu 2/4 da pizza. A fração 2/4 foi obtida dividindo-se ambos os

termos da fração 4/8 por 2 veja:

4/8 : 2/2 = 2/4

Dizemos que a fração 2/4 é uma fração simplificada de 4/8.

A fração 2/4 ainda pode ser simplificada, ou seja, podemos obter uma fração

equivalente dividindo os dois termos da fração por 2 e vamos obter 1/2

3.2.4 TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÃO DECIMAL EM NÚMERO DECIMAL

Procedimentos:

1) O numerador é um número decimal sem a virgula

2) O denominador é o número 1 acompanhado de tantos zeros quantos forem os

algarismos do número decimal depois da vírgula.

Exemplos:

a) 0,7 = 7/10

b) 8,34 / 834 /100

0,005 = 5/ 1000

EXERCÍCIOS

1) Transforme os números decimais em frações

a) 0,4

b) 7,3

c) 4,29

d) 0,674

e) 8,436

f) 69,37

3.3 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

Colocamos vírgula debaixo de vírgula e operamos como se fossem

números naturais.

E

Exemplo:

1) Efetuar 2,64 + 5,19 2) Efetuar 8,42 – 5,61

2,64

5,19 +

---—--

7,83

8,42

5,61 +

------- 2,81

Se o número de casas depois da vírgula for diferente, igualamos com zeros

à direita.

3) Efetuar 2,7 + 5 + 0,42 4) efetuar 4,2 – 2,53

2,70

5,00 +

---—--

6,12

4,20

2,53 +

------- 1,67

EXERCÍCIOS

1) Calcule

a) 1 + 0,75

b) 0,8 + 0,5

c) 0,5 + 0,5

d) 2,5 + 0,5 + 0,7

h) 5,3 + 8,2 + 0,048

3) Efetue as subtrações

c) 4,92 – 0,48

d) 12,3 – 1,74

e) 3 – 0,889

f) 4,329 – 2

g) 15,8 – 9,81

5) Calcule o valor das expressões

a) (1 + 0,4) – 0,6

b) 0,75 + ( 0,5 – 0,2 )

c) ( 5 – 3,5 ) – 0,42

d) 45 – ( 14,2 – 8,3 )

e) 12 + ( 15 – 10,456)

f) 1,503 – ( 2,35 – 2,04)

3.4 MULTIPLICAÇÃOS DE NÚMEROS DECIMAIS

Multiplicamos os números decimais como se fossem números naturais. O

números de casas decimais do produto é igual a soma do número de casas

decimais dos fatores.

Exemplo:

1) efetuar 2,45 x 3,2 2) efetuar 0,27 x 0,003

2,46

x 3,2

---—--

7,872

0,27

x 0,003

------- 1,67

EXERCÍCIOS

2) Efetue as multiplicações

a) 5,7 x 1,4

b) 0,42 x 0,3

c) 7,04 x 5

d) 21,8 x 0,32

e) 3 x 1,5 x 0,12

f) 5 x 0,24 x 0,1

4) calcule o valor das expressões

a) 3 x 2,5 – 1,5

b) 2 x 1,5 + 6

c) 3,5 x 4 – 0,8

3.4.1 MULTIPLICAÇÃO POR POTENCIA DE 10

Para multiplicar por 10, 100, 1000, etc., basta deslocar a vírgula para a

direita, uma, duas, três, casas decimais.

Exemplos.

a) 3,785 x 10 = 37,85

b) 3,785 x 100 = 378,5

c) 3,785 x 1000 = 3785

d) 0,0928 x 100 = 9,28

EXERCÍCIOS

1) Efetue as multiplicações:

a) 4,723 x 10 = (R: 47,23)

b) 8,296 x 100 = (R: 829,6)

c) 73,435 x 1000 = ( R: 73435)

d) 6,49 x 1000 = (R: 6490)

e) 0,478 x 100 = (R: 478)

f) 0,5 x 10 = (R: 5)

3.5 DIVISÃO

Igualamos as casas decimais do dividendo e do divisor e dividimos como

se fossem números naturais.

Exemplos:

1) Efetuar 17,568 : 7,32

Igualando as casas decimais fica: 17568 : 7320 = 2,4

2) Efetuar 12,27 : 3

Igualando as casas decimais fica: 1227 : 300 = 4,09

EXERCÍCIO

1) Efetuar as divisões:

a) 38,6 : 2

b) 7,6 : 1,9

c) 3,5 : 0,7

3.6 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

3.6.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

1°) Adicionarmos ou subtrairmos números fracionários escritos sob a forma de

fração de denominadores iguais, somamos os numeradores e conservamos o

denominador comum.

Exemplo:

a) 5/7 – 2/7 = 3/7

b) 4/9+ + 2/9 = 6/9 = 2/3

Exercícios

1) Efetue as operações:

a) 5/6 + 1/6

b) 8/6 + 6/6

c) 5/5 – 2/5

d) 5/7 – 2/7

e) 7/3 – 2/3 + 1/3

f) 7/5 + 2/5 – 1/5

g) 5/7 – 2/7 – 1/7

2°) Adicionarmos ou subtrairmos números fracionários escritos sob a forma de

fração de denominadores diferentes, tiramos o m.m.c. dos denominadores .

Exemplo:

a) 2/3 +1/2 = 4/6 + 3/6 = 7/6

3, 2 I 2

3, 1 I 3

1, 1 I 2 . 3 = 6

b) 2/3 – 1/4 = 8/12 – 3/12 = 5/12

3, 4 I 2

3, 2 I 2

3, 1 I 3

1, 1 I 2 . 2. 3 = 12

Exercícios

1) Efetue

a) 1/3 + 1/5

b) 2/4 + 2/3

c) 2/5 + 3/10

d) 5/6 – 2/3

e) 13/4 – 5/6

f) 7/8 – 1/6

g) 4/5 – 1/3

h) 3/5 + 4

i) 8 + 7/9

j) 2/3 + 5/6 – ¼

l) 4/5 – ½ + ¾

m) 5/7 – 1/3 + ½

n) 1/3 + ½ – ¼

3.6.2 MULTIPLICAÇÃO

Multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si.

Exemplo:

a) 4/7 x 3/5 = 12/35

b) 5/6 x 3/7 = 15//42 = 5/14 simplificando

EXERCÍCIOS

1) Efetue as multiplicações.

a) 4/7 x 2/5

b) 5/3 x 2/7

c) 3/7 x 1/5

e) 5/4 x 1/3 x 4/7

d) 6/7 x 3

e) 2 x 2/3 x 1/7

f) 2/5 x 3 x 4/8

3.6.3 DIVISÃO

Para dividir uma fração por outra, basta multiplicar a primeira fração pela inversa

da segunda.

Exemplos:

a) 2/3 : 5/2 = 2/3 x 2/5 = 4/15

b) 7/9 : 1/5 = 7/9 x 5/1 = 35//9

Exercícios

1) Efetue as divisões.

a) 5/7 : 2/3

b) 4/5 : 3/7

c) 2/7 : 5/3

d) 3/7 : 2

e) 3/2 : 5/7

f) 3/8 : 4/7

2) Determine 2/3 de R$ 1200,00

3) Numa caixa existem 80 bombons. Calcule 2/5 desses bombons.

4) O comprimento de uma peça de tecido é de 42 metros. Quanto mede 3/7 dessa

peça?

5) Um automóvel percorreu 3/5 de uma estrada de 600 km. Quantos quilômetros

percorreu?

6) Um livro tem 240 páginas., Você estudou 5/6 do livro. Quantas paginas você

estudou?

7) Um time de futebol marcou 35 gols, correspondendo a 7/15 do total de gols do

campeonato. Quantos gols foram marcados no campeonato?

8) Para encher 1/5 de um reservatório são necessários 120 litros de água. Quanto

é a capacidade desse reservatório?

9) Se 2/9 de uma estrada corresponde a 60 km, quantos quilômetros tem essa

estrada?

10) De um total de 240 pessoas,1/8 não gosta de futebol. Quantas pessoas

gostam de futebol?

11) Numa prova de 40 questões um aluno errou 1/4 da prova. Quantas questões

ele acertou?

12) Numa classe de 45 alunos, 3/5 são meninas. Quantos meninos há nessa

classe?

18) Um brinquedo custou R$ 152,10, Paguei 1/6 do valor desse objeto. Quanto

estou devendo?

CAPITULO 4 – RAZÃO

Trata-se de um conceito antigo e essencial para o conhecimento

matemático que, a princípio, é usado para comparar duas quantidades ou duas

medidas. Na sociedade moderna, o conceito de razão surge nos jornais e nas

revistas para comunicar a concentração de pessoas em uma determinada cidade

ou o fluxo de carros em um pedágio. Aparecem também nas mais variadas áreas

do conhecimento, sempre para melhorar a comparação de vários dados de um

problema. A palavra razão, vem do latim ratio, e significa “divisão”, isto é, razão é

o quociente entre dois números. Assim, razão de um número a para um número,

sendo b, diferente de zero, é o quociente de a / b. O número a é chamado

antecedente e o número b é chamado consequente. Podemos ler a razão como: a

razão de a está para b, ou a está para b, ou a para b.

4.1 Razões Especiais

Existem algumas razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano,

entre as quais, velocidade, escala e densidade demográfica.

4.1.2 Velocidade Média

Denomina-se velocidade média de algum corpo a razão entre a distância

total percorrida pelo veículo e o tempo por ele gasto para percorrê-la, em outras

palavras a "velocidade média", em geral, é uma grandeza obtida pela razão entre

uma distância percorrida (expressa em quilômetros ou metros) e um tempo por

ele gasto (expresso em horas, minutos ou segundos).

Exemplo 1: Suponhamos que um carro de Fórmula 1 percorreu 328Km em 2h.

Qual foi a velocidade média do veículo nesse percurso?

A partir dos dados do problema, teremos:

vmédia = 328 Km / 2h = 164 Km/h

Isso significa que a velocidade média do veículo durante a corrida foi de 164

Km/h, ou seja, para cada hora percorrida, o carro se deslocou 164 Km.

4.1.3 Escala

Uma das aplicações da razão entre duas grandezas se encontra na escala

de redução ou escala de ampliação, conhecidas simplesmente como escala.

Chamamos escala de um desenho a razão entre o comprimento considerado no

desenho e o correspondente ao comprimento real, medidos com a mesma

unidade.

Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos

como móveis, planta de uma casa ou de uma cidade, fachada de prédios, mapas,

maquetes, entre outros.

Exemplo: Em um mapa, a distância entre Caruaru - Santa Cruz do Capibaribe é

de 5,6 cm e, sabendo-se que a distância real entre as cidades é de 56 km, qual a

escala utilizada no mapa?

A escala de 1:1000000 significa que 1 cm no desenho corresponde a 1000000

cm no real, ou seja, a 10 km no real.

4.1 4 Densidade Demográfica

Atribui-se densidade demográfica de uma região como a razão entre o

número de seus habitantes e a área ocupada pela região. Ela expressa o número

de habitantes por quilômetro quadrado da mesma.

Exemplo 1: Santa Cruz do Capibaribe ocupa uma área aproximada de 335,526

km². De acordo com o censo realizado pelo IBGE em 2011, a cidade tinha uma

população aproximada de 89 772 habitantes. Qual era, então, a densidade

demográfica de Santa Cruz do Capibaribe?

Portanto, a densidade demográfica da cidade de Santa Cruz do Capibaribe era de

267,56 hab/km², aproximadamente.

= =

Escala

Exemplo 2: O Brasil ocupa uma área aproximada de 8 514 876,599 km². De

acordo com o censo realizado pelo IBGE em 2011, o país tinha uma população

aproximada de 192 376 496 habitantes. Qual era, então, a densidade

demográfica do Brasil?

Portanto, a densidade demográfica do Brasil era de 22,59 hab/km²,

aproximadamente.

Exercício

1) Em um mapa geográfico, a distância entre Santa Cruz do Capibaribe e Recife é

de 19,4 cm. Sabemos que a distância entre as cidades é de 194 Km. Qual a

escala utilizada no mapa?

2) Em uma planta estrutural de uma escola, o comprimento frontal do terreno é

representado por 50 cm. Sabemos que essa medida, na realidade, é 50 m. Qual a

escala utilizada nessa planta?

3) Um aluno vai à escola de bicicleta. A distância de sua casa até a escola é 3000

m, e ele gasta 10 minutos para chegar. Qual a velocidade média nesse trecho?

4) Em um carro, o aluno gasta apenas 3 min. para ir à escola, que fica a uma

distância de 3000 m. Qual a velocidade média nesse trecho?

5) Em uma cidade de área 10000 km², há uma população de 150000 habitantes.

Qual a densidade demográfica dessa cidade?

6) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), a população

estimada de Manaus, em 2009, era de 1.738.641 habitantes para uma área de

11.401 quilômetros quadrados. Qual a densidade demográfica de Manaus?

CAPITULO 5 – PROPORÇÃO

A igualdade entre razões denomina-se proporção. Os números a, b, c e d, todos

diferentes de zero, formam nesta ordem, uma proporção se, e somente se, a

razão a : b for igual à razão c : d.

Indicamos esta proporção por:

Chamamos aos termos a e d de extremos e aos termos b e c chamamos de

meios

Veja que a razão de 10 para 5 é igual a 2 (10 : 5 = 2).

A razão de 14 para 7 também é igual a 2 (14 : 7 = 2).

Podemos então afirmar que estas razões são iguais e que a igualdade abaixo

representa uma proporção:

Lê-se a proporção acima da seguinte forma: "10 está para 5, assim como 14 está

para 7".

5.1 Propriedades

1ª propriedade:

Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º ) termo,

assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º ).

Demonstração:

Exemplo:

Determine x e y na proporção , sabendo que x + y = 84.

x + y = 84 => x = 84 - y => x = 84 - 48 => x = 36.

Logo, x = 36 e y = 48.

2ª propriedade: Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para

o 2º (ou 1º ) termo, assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou

3º).

Demonstração:

Sabendo-se que x – y = 18, determine x e y na proporção.

Solução:

x - y = 18 => x = 18 + y => x = 18+12 => x = 30.

Logo, x = 30 e y = 12.

3ª propriedade: Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos

consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente.

Demonstração:

4ª propriedade: Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a

diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu

consequente.

Demonstração:

Exemplo:

Sabendo que a - b = -24, determine a e b na proporção;

Solução:

5ª propriedade: Numa proporção, o produto dos antecedentes está para o produto

dos consequentes, assim como o quadrado de cada antecedente está para

quadrado do seu consequente.

Demonstração:

CAPITULO 6 - REGRA DE TRÊS

6.1 Regra de Três Simples e Composta

Grandezas

É tudo aquilo que pode ser contado e medido, como o tempo, a velocidade,

comprimento, preço, idade, temperatura entre outros. Assim, a altura de uma

árvore, o volume de um tanque, o peso de um corpo, a quantidade pães, entre

outros, são grandezas.

Proporcionalidade entre Grandezas

As grandezas são classificadas em: diretamente proporcionais e inversamente

proporcionais.

Grandezas diretamente proporcionais

O aumento de uma implica no aumento da outra.

A redução de uma implica na redução da outra.

Exemplo 1:

Se três cadernos custam R$ 8,00, o preço de seis cadernos custará R$ 16,00.

Observe que se dobramos o número de cadernos também dobramos o valor dos

cadernos. Confira pela tabela:

Grandezas inversamente proporcionais

O aumento de uma implica na redução da outra.

A redução de uma implica no aumento da outra

Exemplo 2:

Um professor de matemática tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores

alunos. Se ele escolher apenas 2 alunos, cada um deles receberá 12 livros. Se

ele escolher 4 alunos, cada um deles receberá 6 livros. Se ele escolher 6 alunos,

cada um deles receberá 4 livros. Se o número de aluno dobra, a quantidade de

livros cai pela metade. Se o número de alunos triplica, a quantidade de livros cai

para a terça parte.

Exercício 1: 1) Classifique as relações em diretamente proporcionais e inversamente

proporcionais:

a) Velocidade de uma impressora e páginas impressas por minuto.

b) Velocidade de uma impressora e tempo necessário para imprimir 100 páginas.

c) Quantidade de Kw/h (Quilowatt-hora) consumidos e conta de energia.

d) Desconto promocional e valor pago por um produto.

e) Comprimento de uma peça de tecido e seu preço.

f) Quantidade de cimento e área da obra.

g) Quantidade de animais e água ingerida.

h) Plantação de milho e espigas de milho.

i) Máquinas trabalhando e dias gastos para asfaltar.

2) Escreva 3 exemplos de grandezas diretamente proporcionais e 3 exemplos de

grandezas inversamente proporcionais.

6.1. Regra de Três

Consta na história da matemática que os gregos e os romanos

conhecessem as proporções, porem não chegaram a aplicá-las na resolução de

problemas. Na idade média, os árabes revelaram ao mundo a regra de três. Nos

século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu

livro Líber Abaci, com o nome de Regra de Três Números Conhecidos. Regra de

Três é o cálculo ou processo matemático utilizado para resolver problemas que

envolvam duas ou mais grandezas. As grandezas podem ser diretas ou

grandezas inversamente proporcionais.

A Regra de Três pode ser simples ou composta:

Simples: envolve somente duas grandezas. Composta: envolve mais de duas

grandezas.

6.1.1 Regra de três simples direta

Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas

diretamente proporcionais.

Para resolver problemas, tomaremos duas grandezas diretamente proporcionais

X e Y e outras duas grandezas W e Z também diretamente proporcionais, de

forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.

X

Y

= K e W

Z

= K

Logo

X

Y

= W

Z

Exemplo: Se 3 garrafinhas de água mineral custa R$ 4,50. Quanto custa 7 garrafinhas?

Resolução:

Garrafa Valor

3 4,507 X

As grandezas são diretamente proporcionais, aumentando a quantidade de

garrafas aumenta na mesma proporção o preço a ser pago.

Assim, 7 garrafas de água custam R$ 10,50.

6.1.1.2 Regra de três simples inversa

Uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas

inversamente proporcionais para obter uma proporção.

Na resolução de problemas, consideremos duas grandezas inversamente

proporcionais A e B e outras duas grandezas também inversamente proporcionais

C e D de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.

A

C

= D

B

Exemplo

1) Um carro, à velocidade de 60 km/h, faz certo percurso em 4 horas. Se a

velocidade do carro fosse de 80 km/h, em quantas horas seria feito o mesmo

percurso?

Resolução:

Velocidade Tempo

60 480 X

As grandezas são inversamente proporcionais, aumentando a velocidade o tempo

diminui na razão inversa.

O tempo a ser gasto é de 3 horas.

Exercícios de regra de três simples:

1) Com 10 kg de soja pode fabricar 7 kg de farelo de soja. Quantos quilogramas

de soja são necessários para fabricar 28 kg de farelo?

2) Um corredor gastou 2 minutos para dar uma volta num circuito à velocidade

média de 210 km/h. Quanto tempo o corredor gastaria

para percorrer o circuito à velocidade média de 140 km/h?

3) Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de quirela. Quantas sacas de 60 kg de

quirela podemos obter com 1200 kg de milho?

4) Sete litros de leite dão 1,5 kg de manteiga. Quantos litros de leite serão

necessários para se obterem 9 kg de manteiga?

5) Um livro possui 240 páginas e cada página 40 linhas. Qual seria o número de

páginas desse livro se fossem colocadas apenas 30 linhas em cada página?

6) Paguei R$ 6,00 por 1,250 kg de um queijo. Quanto pagaria por 750 g desse

mesmo queijo?

7) Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas

serão necessárias para escavar esse túnel em um dia e meio?

8) Para construir a cobertura de um barracão, 25 operários levaram 48 dias. Se

fosse construída uma cobertura idêntica em outra

fazenda e fossem contratados 30 operários de mesma capacidade que os

primeiros, em quantos dias a cobertura estaria pronta?

9) Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá em

uma hora e meia?

6.1.2 Regra de Três composta

Ao lado da coluna que contém a incógnita (x), colocamos uma seta para baixo

(por convenção). Esta coluna serve de referência. Verifica-se para cada uma das

demais grandezas, se elas são direta ou inversamente proporcionais à grandeza

de referência.

Exemplos:

1) Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 2 420 kg de

ração. Se mais 02 bois são comprados, quantos quilogramas de ração serão

necessários para alimentá-los durante 12 dias?

Resolução:

Ração dias bois

2420 8 2 x 12 4

Assim, serão necessários 7 260 kg de ração.

2) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160 de milho. Em 5 horas,

quantos caminhões serão necessários para descarregar 125 ?

Resolução:

Hora caminhões milho

8 20 160 5 x 125

Diminuindo o número de horas de trabalho, temos que aumentar o número de

caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional. Diminuindo o volume

de milho, devemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é

diretamente proporcional. Devemos igualar a razão que contém o termo x com o

produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Será preciso 20 caminhões.

Exercícios de regra de três composta:

1) Um caminhão percorre 1 116 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia.

Quantos quilômetros percorrerá em 10 dias, correndo 14 horas por dia?

2) Certa máquina, funcionando 4 horas por dia, fabrica 12 000 pregos durante 6

dias. Quantas horas por dia essa máquina deveria funcionar para fabricar 20 000

pregos em 20 dias?

3) Um ciclista percorre 75 km em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos

dias faria uma viagem 200 km, pedalando 4 horas por dia?

4) Foram empregados 4 kg de fio para tecer 14 m de tecido de 80 cm de largura.

Quantos quilogramas serão precisos para produzir 350 m de tecido com 1,2 m de

largura?

5) Em 30 dias, uma frota de 25 taxis consome 100 000 litros de combustível. Em

quantos dias uma frota de 36 taxis consumiria 240 000 de combustível?

6) Um folheto enviado pela Saneago informa que uma torneira, pingando 20 gotas

por minuto, em 30 dias, ocasiona um desperdício de 100 litros de água. Na casa

de Helena, uma torneira esteve pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias.

Calcule quantos litros de água foram desperdiçados.

7) Numa fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas

de serviço diário, 240 pares de bota. Quantos operários são necessários para

produzir 600 pares de bota por dia, com 10 horas de trabalho diário?

8) Meia dúzia de datilógrafos preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias

8 datilógrafos, com a mesma capacidade dos primeiros, prepararão 800 páginas?

9) Para erguer um muro com 2,5 m de altura e 30 m de comprimento, certo

número de operários levou 24 dias. Em quantos dias esse mesmo número de

operários ergueria um muro de 2 m de altura e 25 m de comprimento?

10) Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 h por dia e leva 6

dias para fazer certo percurso. Se a sua velocidade fosse de 80 km/h e se

rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso?

11) O consumo de 8 lâmpadas, acesas durante 5 horas por dia, em 18 dias, é de

14 quilowatts. Qual será o consumo em 15 dias, deixando apenas 6 dessas

lâmpadas acesas durante 4 horas por dia?

12) Em 6 dias, 6 galinhas botam 6 ovos. Quantos ovos botam 12 galinhas em 12

dias?

13) Se 5 gatos pegam 5 ratos em 5 minutos, 100 gatos pegam 100 ratos em

quantos minutos?

14) Com 16 máquinas de costura confeccionaram 720 uniformes em 6 dias de

trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 2 160

uniformes em 24 dias?

CAPITULO 7 - UNIDADES DE MEDIDAS

Nas situações do dia a dia é comum ver números relacionados à medidas:

Quanto eu peso?

Quanto tempo gasto no banho?

Qual minha altura?

7.1 Comprimento

O sistema métrico é uma escala decimal de grandezas, ou seja.

Milímetro (mm).........0,001 m

Centímetro (cm)............0,01 m

Decímetro (dm).............0,1 m

Metro ( m )...............1 m

Decâmetro (dam).............10 m

Hectômetro ( hm )...........100 m

Quilômetro ( km )........1000 m

Exemplo:

Para convertermos 2,5 metros em centímetros, devemos multiplicar 2,5 por 10

duas vezes, pois para passarmos de metros para centímetros saltamos dois

níveis. Primeiro passamos de metros para decímetros e depois de decímetros

para centímetros:

7.2 Massa

Para construção de padrão representativo da unidade ter-se-ia adotado por

convenção a massa de 1000 g; o quilograma. Estabeleceram também que os

submúltiplos deste padrão de massa deveria obedecer a uma escala decimal,

assim:

grama (g) decagrama (dag) hectograma (hg) quilograma

(kg)

0,001 kg 0,01 kg 0,1 kg 1 kg

Para passarmos 5.200 gramas para quilogramas, devemos dividir 5.200 por 10

três vezes, pois para passarmos de gramas para quilogramas saltamos três níveis

à esquerda. Primeiro passamos de grama para decagrama, depois de decagrama

para hectograma e finalmente de hectograma para quilograma: Isto equivale a

passar a vírgula três casas para a esquerda.

7.3 TEMPO

7.3.1 Tabela para Conversão entre Unidades de Medidas de Tempo

Exemplos:

1) Converta 25 minutos em segundos

A unidade de tempo minuto é maior que a unidade segundo, já que 1 minuto

contém 60 segundos, portanto, de acordo com o explicado acima, devemos

realizar uma multiplicação, mas devemos multiplicar por quanto?

Ora, devemos multiplicar por 60, pois cada minuto equivale a 60 segundos:

Visto que:

1 min = 60 s

Então: 25.60 = 1500

Logo 25 min é igual a 1500 s

2) 10080 minutos são quantos dias?

Semelhante ao exemplo anterior, só que neste caso precisamos converter de uma

unidade menor para uma unidade maior. Como as unidades não são vizinhas,

vamos então precisar de uma série de divisões.

De minutos para horas precisamos dividir por 60 e de horas para dias temos que

dividir por 24. O cálculo será então:

10080 / 60 / 24 = 7

10080 minutos são 7 dias

7.3.2 Semana, Quinzena, Mês, Ano, Década, Século e Milênio

Além das unidades estudas acima, podemos também relacionar algumas outras:

Unidade Equivale a

Semana 7 dias

Quinzena 15 dias

Mês 30 dias *

Bimestre 2 meses

Trimestre 3 meses

Quadrimestre 4 meses

Semestre 6 meses

Ano 12 meses

Década 10 anos

Século 100 anos

Milênio 1000 anos

7.4 Área

Medidas de Área

Transformando 1m² (metro quadrado) em cm² (centímetro quadrado)

1º passo: transformar m² em dm²

2º passo: transformar dm² em cm²

Pelo processo prático podemos multiplicar o m² por 100x100 (10000)

1 x 100 x 100 = 10 000 → 1m² = 10000cm²

Exemplo 1

Um muro com as seguintes medidas: 20m de comprimento e 2m de altura foi

construído com tijolos de dimensões 20cm de comprimento e 20cm de altura.

Quantos tijolos foram gastos na construção desse muro, descartando a hipótese

de desperdício?

Área do muro

20m x 2m = 40m²

Área do tijolo

20cm x 20cm = 400cm²

A área do muro e a do tijolo estão em unidades diferentes, para isso devemos

utilizar a tabela de conversões no intuito de igualar as medidas. Podemos

escolher entre as seguintes transformações:

m² em cm² ou cm² em m²

Vamos transformar m² em cm²:

40 x 100 x100 = 400000cm²

Para descobrir quantos tijolos foram gastos, basta dividirmos a área do muro em

cm² pela área de um tijolo:

400000 cm² / 400 cm² = 1000

Foram gastos 1000 tijolos na construção do muro.

7.5 Volume

Observe o quadro das unidades de volume:

1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000

Pode-se afirmar que:

Da esquerda para a direita, cada unidade contém 1000 vezes a unidade seguinte.

Da direita para a esquerda cada unidade representa 1/1000 da unidade anterior.

Exemplos:

1) Transformar 8,2 em .

8,2 ( ) .

2) Transformar 50 000 em .

50 000 = (50 000 / 1 000) = 50 .

Obs: Um é equivalente a um litro.

CAPITULO 8 - ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

8.1 Quadrado

O quadrado é a figura geométrica onde todos os seus lados e ângulos internos

tem as mesmas medidas. Cada ângulo do quadrado é reto, e a área da região

quadrada é dada por:

8.2 Retângulo

O quadrado é uma caso particular do retângulo, pois o retângulo é a figura

geométrica cuja seus lados opostos são paralelos, e cada um de seus ângulos

internos é reto. E a área da região retangular é dada por:

8.3 Triangulo

O triangulo é uma figura geométrica convexa formada por três lados. Pode-se

observa que de um retângulo pode-se obter dois triângulos como mostra a figura

abaixo; logo a área da região triangular é:

b

a

a

h

h

8.4 Circulo

A área da região circular é o produto de seu semiperímetro pelo raio, ou seja:

Onde o número irracional

Exercícios

1) Qual é a área da região retangular cujas medidas são 24m por 12,5m?

2) Um terreno retangular tem 8,4m por 15m e esta sendo gramado. Sabendo que

um quilo de semente de grama é suficiente para gramar 3 de terreno, quantos

quilos de semente de grama são necessários para gramar o terreno todo?

3) Um lajota retangular tem 30cm por 20cm. Qual é a área da lajota? Quantas

lajotas são necessárias para cobrir o piso de uma garagem de 96m de área?

4) Quantos de azulejo são necessários para revestir até uma parede

retangular de 4m por 2,75m?

6) Qual é a área de um quadrado que tem 26 cm de diagonal?

7) Um terreno tem forma quadrada, de lado 30,2m. Calcule a área desse terreno.

8) Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de lado. Qual é a área desse

ladrilho?

9) A área de um triângulo equilátero (três lados iguais) é de √ . Nessas

condições, Quanto vale a soma dos lados desse triangulo?

10) Qual é a área de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 13cm e um dos

catetos mede 5cm?

21) O piso (ou fundo) de uma piscina circular tem 10m de diâmetro

(internamente). Calcule a área do piso desta piscina.

22) Num campo de futebol, o grande círculo tem 10m de raio. Qual é a área do

grande círculo?

r

d

(

)

ou