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Operações com Números Reais

Prof. Pedro Felippe (Pedrinho)

1

www.hashtagmatematica.com.br Página 1

Operações nos Números Reais

SUMÁRIO PÁGINA

0. Apresentação 1

1. Operações com Números Reais 3

2. Lista de questões com comentários 89

4. Lista das questões da aula sem comentários 117

5. Gabarito 132

Bom dia, boa tarde, boa noite e boa madrugada! Sejam bem vindos ao curso de Operações com Números Reais. Eu sou o professor Pedro

Felippe, conhecido nos cursos preparatórios presenciais em Brasília como “Pedrinho”. É uma honra iniciar este curso contigo que decidiu ter um

preparo de qualidade almejando uma ótima pontuação nas provas do ENEM, vestibulares, carreiras militares e concursos públicos!

Falando um pouco sobre mim, formei em matemática pela Universidade

de Brasília – UnB (2010), além de obter aprovação para outros cursos como Estatística (2011), Ciências Contábeis – diurno (2014) e

noturno (2015); tenho mestrado em matemática pela Universidade

Federal de Goiás – UFG; dou aula em cursos preparatórios presenciais para vestibulares, ENEM e concursos militares em Brasília; e sou

professor efetivo da Secretaria de Educação do Distrito Federal desde 2011.

O nosso curso será totalmente voltado para esses certames, no qual

comentarei as questões de provas anteriores de cada curso, Tudo para você garantir, uma ótima pontuação nas provas de

matemática!

Suas ferramentas de estudo serão:

1) Os PDF`s, com listas de exercícios; 2) As vídeo aulas, com o comentário de todas as questões e algumas

com conteúdos essenciais para a sua prova; e 3) O e-mail para tirar dúvidas, que nos deixará mais próximos, mais

que em algum curso presencial –

[email protected].

Você, futuro universitário, perceberá que gosto de usar marcações importantes em palavras chaves para ajudar na sua assimilação, sem

contar uma linguagem mais informal, para que você se sinta num ensino presencial, como se estivesse te dando aula pessoalmente e o material



2


não ficar muito ―aburricido‖, afinal matemática é... você sabe! (rs) Mas

não deixarei de lado o rigor matemático necessário para a prova. A ideia é tornar o conteúdo mais agradável e com um entendimento melhor.

Nesta aula nós iremos aprender operações com números reais, relembrando as partes fundamentais da matemática básica aprendida no

ensino fundamental.

Pronto para se divertir? Seja bem vindo ao mundo da matemágica e vamo que vamo!



3


1. Operações com Números Reais.

É de extrema importância para a prova saber realizar operações básicas

da matemática, além de saber quando utilizá-las. Detalhe pra alguns dependentes eletrônicos: GUARDE, DOE, FAÇA QUALQUER COISA,

EXCETO UTILIZAR CALCULADORA NOS SEUS ESTUDOS, QUANDO POSSÍVEL!! Se você não for, meus parabéns, pois estará à frente de

muitos candidatos (muitos mesmo).

Então vamos relembrar as quatro operações da matemática e suas propriedades.

1.1. Adição

Você se lembra como somar pelo ―método da tia Teteia‖?

- Aluno: ―Pedrinho, quem é tia Teteia?‖

- Pedrinho: ―Sua professora que te deu aula no ensino infantil. Aqueeeeela que te ensinou a somar, diminuir, multiplicar e dividir... Falou

que você tem que decorar a tabuada... Lembrou?‖

Caso não tenha lembrado, basta seguir os passos abaixo:

I) Coloque os números um abaixo do outro, ajustando-os da direita para a esquerda, tais que os algarismos1 de mesma classe2 estejam

na mesma coluna, ou melhor, um abaixo do outro;

II) Efetue a soma dos algarismos de cada coluna, da direita para a esquerda;

III) A partir do resultado da soma, a unidade ficará abaixo da linha

horizontal na mesma coluna; se houver outra classe, todo o resto do número irá para cima da próxima coluna (é o velho: “fica isso” e “sobe

aquilo”).

1 Cada dígito que compõe o número, por exemplo, os algarismos do número 2301 são: 2, 3, 0 e 1. 2 O nome da classe de um depende da posição do algarismo. Temos a unidade, dezena, centena, unidade de milhar, dezena de milhar, centena de milhar, etc. Por exemplo, no número 2301 temos que: unidade = 1, dezena = 0; centena = 3; e unidade de milhar = 2.

Adição: é o mesmo que juntar, somar, acrescentar, aumentar. Qualquer problema que envolva algo nesse

sentido, você deverá utilizar essa operação.



4


Então, veja abaixo alguns exemplos para você relembrar como se faz.

Apenas, por favor, tente fazer as operações antes de ver as respostas. Coloca o ―cucuruto‖(cabeça) pra trabalhar! Deixa de besteira! (rs)

1) 2) 3) 4)

72

53

9

54

83

79

512

1

0

9

8

1

1

Resolvendo cada uma, passo a passo:

1)

“somando “somando

a 1ª coluna” a 2ª coluna”

“fica 2 e sobe 1”

2)



45

9

54

1

4

9

54

1

9

54

5411495

“fica 4 e sobe 1” 3) “somando “somando “somando

a 1ª coluna” a 2ª coluna” a 3ª coluna”

053

8

7

5

3

9

1

2

2

1

05

8

7

5

3

9

1

2

2

1

0

8

7

5

3

9

1

2

2

83

79

512

32115391220875

“fica 0 e sobe 2” “fica 5 e sobe 1”

26

7

5

2

3

1

2

7

5

2

3

1

72

53

62311275



5


4)




Depois desse flash-back, é importante aprendermos algumas

propriedades da adição, para facilitar alguns cálculos, inclusive ―de cabeça". Vamos a elas!

Propriedades da Adição

Por exemplo, se eu fizer 5 + 8, é a mesmo que fazer 8 + 5. Isto que quer

dizer a propriedade comutativa. Intuitivamente, pode ser mais simples para o seu cérebro efetuar a primeira operação (5 + 8), do que a segunda

(8 + 5). Você apenas precisa lembrar que a posição das parcelas não altera o resultado da soma.

Essa propriedade diz que podemos efetuar a soma na ordem que a gente quiser, pois o resultado sempre será o mesmo.

Perceba que essa propriedade, a partir de muito treinamento, muito mesmo, ajuda-nos a resolver somas de forma bastante simples. Por

exemplo, tente resolver essas somas de cabeça (tente mesmo viu?):

1) 27 + 23

2) 37 + 84

Comutativa: a + b = b + a “a ordem das parcelas não altera o resultado.”

Associativa: a + (b + c) = (a +b) + c “independente da ordem que é efetuada, a soma sempre será igual.”

83

1

0

9

8

1

1

1

8

1

0

9

8

1

1

1

1

0

9

8

1

1

3111181098



6


3) 371 + 1468

4) 2793 + 3318

Conseguiu? Espero que sim! Senão dê uma olhada nessas possíveis ideias (efetuando da direita para a esquerda):

1) 27 + 23 = (20 + 7) + (20 + 3) = 40 + 10 = 50.

2) 37 + 84 = (30 + 7) + (80 + 4) = 110 + 11 = 121.

3) 371 + 1468 = (300 + 70 + 1) + (1000 + 400 + 60 + 8)

= 1000 + 700 + 130 + 9 = 1839.

4) 2793 + 3318 = (2000 + 700 + 90 + 3) + (3000 + 300 + 10 + 8) = 5000 + 1000 + 100 + 11 = 6111.

1.2. Subtração

Agora numa viagem ao passado, vamos relembrar como Tia Teteia nos ensinava esse cálculo:

I) Coloque os números um abaixo do outro, ajustando-os da direita

para a esquerda, tais que os algarismos de mesma classe estejam na mesma coluna, ou melhor, um abaixo do outro;

II) Diminua os algarismos de cada coluna, da direita para a esquerda;

III) Caso em uma dada classe o algarismo do número de cima – minuendo – seja inferior ao algarismo do número de baixo – subtraendo–,

retira-se uma unidade do algarismo posterior e se acrescenta uma dezena àquele algarismo (esse é o velho ―pegar emprestado e não devolver‖).

Então, veja abaixo alguns exemplos para você relembrar como se faz. Já

sabe né?! Tente primeiro!

Subtração: é o mesmo que resto, diferença,

exceder, diminuir. Qualquer problema que envolva algo nesse sentido, você deverá utilizar essa operação.



7


1) 2) 3) 4)

72

53

9

54

96

54

1

3

92

001


1)

“diminuindo “diminuindo


“pega 1 emprestado

do 3, fica 2; o 5 vira 15”

2)

“diminuindo “diminuindo


“pega 1 emprestado

do 4, fica 3; o 5 vira 15”

3)

“diminuindo “diminuindo “diminuindo


“pega 1 emprestado “pega 1 emprestado

do 4, fica 3; o 5 vira 15” do 3, fica 2; o 3 vira 13”

671

9

5

15

6

4

13

1

3

2

6

9

5

15

6

4

3

1

3

96

54

1

3

133

213

155

314

80

7

5

15

2

3

2

72

53

155

213

63

9

5

15

4

3

9

54

155

314



8


4)


a 1ª coluna” a 1ª coluna” todas as colunas”

“pega 1 emprestado “pega 1 emprestado

do 1, fica 0; o 1º 0 vira 10” do 10, fica 9; o 2º 0 vira 10”

Uma forma de você verificar se os cálculos estão certos é a aplicação da

operação inversa da subtração: a adição. Note que ao somar o resultado da subtração com o segundo número, obtém-se o primeiro

(uma boa oportunidade para você treinar a adição de cabeça e ganhar tempo na prova).

1) 8 + 27 = 35;

2) 36 + 9 = 45;

3) 176 + 169 = 345;

4) 71 + 29 = 100.

Diferente da Adição, a subtração não é uma operação comutativa.

Tanto que você deve ter aprendido em algum momento da sua vida aqueles velhos ―jogos de sinais.‖

- Aluno: ―Pedrinho, esses sinais são o meu ponto fraco! Sempre erro algum sinal...

- Pedrinho: ―Calma! Você só precisa relembrar as regras, atenção e prática! É possível aprender! Vem comigo!‖.

Siga as dicas abaixo e tenho certeza que você não terá problemas.

Continue a leitura atentamente.

OBSERVAÇÃO: A Adição é a operação inversa da Subtração.

170

9

0

10

2

0

01

9

1

0

9

0

2

0

10

1

0

92

001

100

9110

100

011



9


Exemplos:

1) – 3 – 5 =

2) – 4 + 10 =

3) – 1 – 2 + 3 + 4 =

4) 1 – 2 + 3 – 4 + 5 =

Coloquei abaixo de cada operação realizada o número da regra utilizada

no quadro só para reforçar:

I) Com sinais iguais: repete-se o sinal e se soma os números;

II) Com sinais diferentes: repete-se o sinal do maior e se subtrai o maior do menor.

Isso quando? Resposta: quando estiver somando ou subtraindo.

I

1) – 3 – 5 = – 8 II

2) – 4 + 10 = + 6

I II

3) – 1 – 2 + 3 + 4 = – 3 + 3 + 4 = 0 + 4 = 4

II II II II 4) 1 – 2 + 3 – 4 + 5 = –1 + 3 – 4 + 5 = 2 – 4 + 5 = – 2 + 5 = 3

Quando você fizer uma adição ou uma subtração:

I) Com sinais iguais: repete-se o sinal e se soma os

números;

II) Com sinais diferentes: repete-se o sinal do maior e se

subtrai o maior do menor.



10


1.3. Multiplicação

É exatamente isso mesmo que você leu: a multiplicação equivale a uma

soma de um mesmo número repetidas vezes. Portanto cada operação abaixo pode ser vista como segue (lembre-se que a multiplicação pode

ser representada por um ―x‖ ou um ―.‖).

4 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 (4 vezes o 3 numa soma)

5 x 4 = 4 + 4 + 4 + 4 (5 vezes o 4 numa soma)

Inclusive, com esse raciocínio, pode-se contar a quantidade de quadrados no retângulo abaixo utilizando a multiplicação: basta multiplicar a

quantidade de quadrado que há na horizontal – no comprimento –

pelo número de quadrados que há na vertical – na largura ou altura.

6 quadrados

Total = 6 x 4 = 24 quadrados.

Achou que eu esqueci? Tia teteia na veia agora mesmo! Detalhe:

estude a tabuada!

Refrescando a memória...

I) Multiplique cada algarismo do segundo número – 2º fator – por

todos os algarismos do primeiro número – 1º fator – lembrando que, como na adição, ―fica” o algarismo das unidades e ―sobe” todo o resto

para a próxima coluna.

II) Se houver algum número acima do algarismo do primeiro fator, primeiro se efetua a multiplicação e depois se soma com aquele número;

Multiplicação: é o mesmo que produto. Equivale a uma soma de números repetidos.

4 quadrados



11


III) Ao terminar a multiplicação de um algarismo, coloca-se a resposta

do segundo algarismo com uma casa de diferença;

IV) Quando terminar todas as multiplicações de cada algarismo do 2º

fator, somam-se os resultados para obter a resposta final.

Vamos aos exemplos:

1) 2) 3)

9

54

72

53

96

54

1

3

Resolvendo cada um deles:

1)

“multiplicando com o 1º algarismo do segundo fator”

“fica 5 e sobe 4” 2)


542

7

5

2

3

3

50

7

5

2

3

3

72

53

)24337()3557(



549

07

542

7

5

2

3

1

07

542

7

5

2

3

1

0

542

7

5

2

3

1

542

72

53

)7132()1052(

“Pula-se uma casa; fica 0 e sobe 1” “somam-se os resultados”

504

9

54

4

5

9

54

4

9

54

)40449()4559(



12


3) “multiplicando com o 1º algarismo do segundo fator”

5013

9

5

6

4

4

1

3

4

5013

9

5

6

4

4

1

3

4

5

9

5

6

4

4

1

3

96

54

1

3

)31439()40449()4559(



0702

5013

9

5

6

4

3

1

3

2

07

5013

9

5

6

4

3

1

3

2

0

5013

9

5

6

4

3

1

3

5013

9

5

6

4

1

3

)20236()27346()3056(



543

0702

5013

9

5

6

4

1

3

54

0702

5013

9

5

6

4

1

3

5

0702

5013

9

5

6

4

1

3

0702

5013

9

5

6

4

1

3

)331()441()551(

“somam-se os resultados”

50385

543

0702

5013

9

5

6

4

1

3

Há algumas expressões cobradas em prova que você deve memorizar!

Veja-as abaixo:

Dobro de um número: equivale ao número multiplicado por 2;



13


Triplo de um número: equivale ao número multiplicado por 3;

Quádruplo: equivale ao número multiplicado por 4;

Quíntuplo: equivale ao número multiplicado por 5.

Agora vamos às propriedades da multiplicação:

Significa que independente da ordem que você efetuar o produto, o resultado sempre será o mesmo. Por exemplo, 8 x 5 tem o mesmo

resultado que 5 x 8. Por incrível que pareça, para algumas pessoas é mais fácil resolver o segundo produto do que o primeiro. Então lembre-

se: a ordem dos fatores não altera o produto.

É importante você levar esse treinamento, para raciocinar mais rápido na

resolução das questões. Esse é um treinamento que não se deve deixar para a prova, mas leva-lo durante todo seu período de estudo ao resolver

as questões.

Como exemplo...

9 x 5 x 4 = 9 x (5 x 4) = 9 x 20 = 180

9 x 5 x 4 = (9 x 5) x 4 = 45 x 4 = 180

- Aluno: ―Pedrinho, em que essa propriedade pode me ajudar?‖ - Pedrinho: ―Provavelmente você sentiu mais facilidade ao resolver da

primeira forma do que pela segunda. A ideia é que você multiplique os números mais ―fáceis‖ para depois multiplicar pelos ―chatinhos‖.

Comutativa: a . b = b . a “a ordem dos fatores não altera o produto.”

Associativa: a . (b . c) = (a . b) . c “independente da sequência que é efetuada, o produto sempre terá o mesmo resultado.”

Distributiva: a . (b + c) = a . b + a. c “O produto de um número por uma soma é igual a soma do produto daquele número por cada parcela”.



14


Este é o famoso ―chuveirinho‖! O qual você multiplica o número de fora

por cada número de dentro.

Agora note uma coisa: cada propriedade dessa pode ser realizada tanto

da esquerda para a direita (ida), quanto da direita para a esquerda (volta).

Olhe como essa propriedade pode ser útil ao realizar multiplicações ―de

cabeça‖:

7 x 18 = 7 x (10 + 8) = 7 x 10 + 7 x 8 = 70 + 56 = 126;

19 x 18 = (20 – 1) x 18 = 20 x 18 – 1 x 18 = 360 – 18 = 342;

37 x 43 = (30 + 7) x (40 + 3) = 30 x 40 + 30 x 3 + 7 x 40 + 7 x 3 = 1200 + 90 + 280 + 21 = 1591.

Percebeu como a multiplicação pode ficar simples tendo essa propriedade

em mente? Agora é só praticar ao resolver os exercícios. Note que a

propriedade pode ser aplicada tanto do lado esquerdo, quanto do lado direito do parênteses. Além disso, pode ser aplicada multiplicando-se

termo a termo para todos os parênteses.

Dicas de Mestre!

1) Ao multiplicar um número por outro que termine em zero, multiplique somente pelo que está a frente do zero do segundo

número e depois repita 0.

Exemplos:

14 x 20 =280

3 x 1050 = 3150 (só repita os que estão no final!)

OBSERVAÇÃO: 1) Todo número vezes 1 é igual a ele mesmo; 2) todo número vezes zero é igual a zero.



15


3 x 10500000 = 31500000 (enquanto houver zeros no final, pode-se repetir todos)

2) Ao multiplicar um número que tenha dois algarismos por 11, separe um algarismo do outro; o algarismo do meio será a soma

deles.

Exemplos:

14 x 11 = 1 5 4 (1 + 4 = 5)

72 x 11 = 7 9 2 (7 + 2 = 9)

- Aluno: ―Pedrinho, num tô acreditando nisso não... Sempre funciona?!‖ - Pedrinho: ―Sim! Sempre funciona! ;)‖

1.3. Divisão

Primeiro vamos relembrar como se efetua essa operação a partir dos

exemplos abaixo, sabendo-se que:

I) Seleciona-se uma parte do dividendo – número da esquerda – de tal forma que ele seja maior ou igual ao divisor – número da direita;

II) Escolhe-se um número – o qual ficará abaixo do divisor – que

vezes o quociente é imediatamente menor ou igual ao número do

passo I;

III) Efetua-se a subtração do número do passo I pelo número do passo II vezes o quociente;

IV) “desça” o próximo algarismo, juntando-o com o resultado da

subtração do passo III, se houver;

V) Repita o processo a partir do passo II até que se tenha utilizado todos os algarismos do dividendo. O número formado abaixo do divisor será o

resultado da divisão – quociente – e se náo for mais possível dividir pelo divisor, ela é chamada de resto ou diferença.

Divisão: é o mesmo que razão, dividir, repartir. É a

operação inversa da multiplicação.



16


DICA: Enquanto estiver pegando a prática, para facilitar, escreva a

tabuada do divisor para consulta do zero ao 9!

1) 45 : 3 2) 145 : 4 3) 540 : 5 4) 283 : 23 Vamos às resoluções...3

1) “4 > 3, ok!” “4 – 3 = 1”

51

11

354

1

13

354

1

354354

“1 x 3 = 3” “desce o 5”

“15 > 3, ok!” “15 – 15 = 0”

0

51

51

514

354

51

514

354

51

13

354

“5 x 3 = 15”

3 Quando a divisão deixa resto igual a zero, diz-se que ela é exata e o segundo número divide o primeiro; caso seja maior que zero, diz-se que ela é inexata ou não exata.

OBSERVAÇÃO: Se em algum momento que você descer o algarismo e o número formado for menor que o divisor, basta acrescentar um zero um zero naquele

número e no quociente.

SIMBOLOGIA: “<” significa “ menor que”; “>” significa “ maior que”;

“ ” significa “ menor ou igual a”; “ ” significa “maior ou igual a”;

quociente

resto

Fique Atento!



17


2)

1 < 4, não pode;

“14 > 3, ok!” “14 – 12 = 2”

52

321

4541

2

321

4541

3

45414541

“3 x 4 = 12” “desce o 5”

“25 > 4, ok!” “25 – 24 = 1”

1

42

52

6321

4541

52

6321

4541

52

321

4541

“6 x 4 = 24” 3)

5 = 5, ok!” “5 – 5 = 0”

40

15

5045

0

15

5045

1

50455045

“1 x 5 = 5” “desce o 4”

“4 < 5, desce o

0 e coloca o 0 no quociente” “8 x 5 – 40 = 0”

00

04

040

8015

5045

040

8015

5045

040

015

5045

“40 > 5, ok! 4)

2 < 23, não pode;

“28 > 23, ok!” “28 – 23 = 5”

35

132

23382

5

132

23382

1

2338223382

“1 x 23 = 23” “desce o 3”

quociente

resto

quociente

resto



18


“53 > 23, ok!” “53 – 46 = 7”

7

64

35

2132

23382

35

2132

23382

35

132

23382

“2 x 23 = 46”

Para saber se os cálculos estão corretos, lembra-se que a Tia Teteia mandava tirar a ―prova real‖? Ela tem um nome mais bonito pra gente.

Chama-se Algoritmo de Euclides.

Nossa! Cansou? Para um pouco, bebe uma água, dá uma volta na casa... Pronto? Então arrocha! Ainda temos bastante coisa para conversar!

A divisão é utilizada nos mostra a quantidade de vezes que um

número “cabe” dentro do outro. Por exemplo, ao dividir 10 por 5, note que o cinco ―cabe‖ 2 vezes dentro do 10, por isso falamos que a

multiplicação é a operação inversa da divisão.

Além disso, pode-se com essa operação identificar a quantidades de repetições ou ciclos que vários termos fazem – representada pelo

divisor -, onde o quociente (resultado da divisão) é exatamente esse número de repetições e o resto da divisão (a sobra) equivale ao

termo no qual se para o ciclo.

Por exemplo, veja essa questão comentada (agora a gente vai começar

a brincar de verdade):

quociente

resto

Algoritmo de Euclides: Dividendo = Quociente x Divisor + Resto

Caiu na Prova



19


1 (ENEM 2014/2ª aplicação – QUESTÃO 140 – CADERNO CINZA). Uma loja decide premiar seus clientes. Cada cliente receberá um dos seis

possíveis brindes disponíveis, conforme sua ordem de chegada na loja. Os

brindes a serem distribuídos são: uma bola, um chaveiro, uma caneta, um refrigerante, um sorvete e um CD, nessa ordem. O primeiro cliente da

loja recebe uma bola, o segundo recebe um chaveiro, o terceiro recebe uma caneta, o quarto recebe um refrigerante, o quinto recebe um

sorvete, o sexto recebe um CD, o sétimo recebe uma bola, o oitavo recebe um chaveiro, e assim sucessivamente, segundo a ordem dos

brindes. O milésimo cliente receberá de brinde um(a)

A) bola.

B) caneta. C) refrigerante.

D) sorvete. E) CD.

Comentários:

A ordem dos brindes é dada por:

bola, chaveiro, caneta, refrigerante, sorvete, CD, 1 2 3 4 5 6

bola, chaveiro, caneta, refrigerante, sorvete, CD,

7 8 9 10 11 12

bola,... 13

Note que os brindes se repetem, periodicamente, de 6 em 6 pessoas.

Com isso, para encontrar o brinde do milésimo cliente, basta dividir

1000 (o termo que queremos encontrar) por 6 (tamanho da repetição), onde o quociente representará a quantidade de repetições e o resto a

posição do cliente, no qual:

Resto = 1: bola;

Resto = 2: chaveiro;

Resto = 3: caneta;

Resto = 4: refrigerante;

Resto = 5: sorvete;



20


Resto = 0: CD (lembre-se que ao dividir 6 por 6, obtém-se resto = 0).

Logo, tem-se que:

1664

61000

Portanto, o milésimo cliente receberá como brinde um refrigerante (que

brinde ridículo! Eu não bebo, então, pra mim, é ridículo! Kkk).

Resposta: Letra “C”

Da mesma forma que a multiplicação, também se pode fazer aa

propriedade distributiva, com o detalhe de manter a ordem que os números aparecem, pois a propriedade comutativa não é válida.

Essa propriedade pode ser aplicada para facilitar na divisão de alguns números como na multiplicação. Veja como pode ser feito:

125 : 5 = (100 + 25) : 5 = 100 : 5 + 25 : 5 = 20 + 5 = 25

256 : 2 = (250 + 6) : 2 = 250 : 2 + 6 : 2 = 125 + 3 = 128

Número de repetições

Posição do milésimo cliente

Distributiva: a : (b + c) = a : b + a : c OU (a + b) : c = a : c + b : c “O divisão de um número por uma soma é igual a soma da divisão daquele número por cada parcela, mantendo-se a ordem”.

OBSERVAÇÃO: 1) Todo número dividido por 1 é igual a ele mesmo; 2) NÃO EXISTE DIVISÃO POR ZERO!

Fique atento!



21


Agora veremos como funciona o jogo de sinais na multiplicação e na divisão, que, por sinal, é bem fácil.

Basta analisar o seguinte:

Ou seja, preste atenção nas diferenças das regras, as quais dependem da operação que você está fazendo. Não lembra mais das outras regras?

Então olhe os dois quadros simultaneamente:

Então, quando você trabalhar com os sinais, responda sempre às

perguntas:

1) Qual operação você realizará? 2) Os sinais são iguais ou diferentes?

E depois siga as regras correspondentes, lembrando que sempre se

resolvem primeiro as multiplicações e divisões.

Quando você fizer uma multiplicação ou uma divisão:

I) Com sinais iguais: SEMPRE POSITIVO;

II) Com sinais diferentes: SEMPRE NEGATIVO.

Quando você fizer uma

multiplicação ou uma divisão:

III) Com sinais iguais:

SEMPRE POSITIVO;

IV) Com sinais diferentes:

SEMPRE NEGATIVO.

Quando você fizer uma

adição ou uma subtração:

I) Com sinais iguais: repete-se

o sinal e se soma os números;

II) Com sinais diferentes:

repete-se o sinal do maior e se

subtrai o maior do menor.

Cuidado!



22


Exemplos: IV I

1) 3 x (– 5) – 10 = – 15 – 10 = – 25

III II 2) (–3) x (–5) + 10 = + 15 - 10 = 25 III III IV II 3) (–1):(–1) + (+1).(–1) – 1 = + 1 + (–1) – 1 = 1 – 1 – 1 = –1

1.5. Potenciação

Potenciação é o produto de um mesmo número repetidas vezes. O

número que se multiplica compõe a base e o número de vezes que ele aparece na multiplicação equivale ao expoente.

an: potência;

a: base;

n: expoente.

Exemplos4:

1) 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

5 vezes

2) (-5)2 = (-5) x (-5) = 25

2 vezes

4 Quando um número é elevado a 2 ou 3, pode-se utilizar a expressões ao quadrado ao cubo, respectivamente.

Notação: an: lê-se “a elevado a n”

Olha o pega!



23


3) -52 = - 5 x 5 = - 25 (cuidado quando não houver parênteses!)

2 vezes

4) (-4)3 = (-4) x (-4) x (-4) = -64 3 vezes

5) 110 = 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 = 1 10 vezes

Há algumas propriedades das potências muito importantes, que devem ser memorizadas. Vamos a elas.

Exemplos:

9990 = 1

(-10)0 = 1

( 2 )0 = 1

9991 = 999

(-10)1 = -10

( 2 )1 = 2

OBSERVAÇÃO: 1) Com expoente par, o resultado é SEMPRE POSITIVO; 2) Com expoente ímpar, o sinal da resposta é igual ao da base.

Propriedades: I) a0 = 1: todo número elevado a zero é igual a 1 (exceto 0); II) a1 = a: todo número elevado a 1 é igual a ele mesmo.

Propriedades: III) am . an = am + n: multiplicação de potências com a mesma base – conserva-se a base e se somam os expoentes.



24


Exemplos:

52 . 53 = 52 + 3 = 55 = 3125

3 . 33 = 31 . 33 = 31 + 3 = 34 = 81

2 . 22 . 23 . 24 = 21 + 2 + 3 + 4 = 210 = 1024

Exemplos:

53 : 52 = 53 – 2 = 51 = 5

2

2100

= 2100 : 21 = 2100 – 1 = 299 (toda fração é uma divisão)

105 : 105 = 105 – 5 = 100 = 1

Exemplos:

(23)4 = 23x4 = 212

[(-3)2]10 = (-3)2x10 = (-3)20

813 224

10242 )3()3(10

Propriedades: IV) am : an = am – n: divisão de potências com a mesma base – conserva-se a base e se subtraem os expoentes.

Propriedades: IV) (am)n = am x n: potência de potência – conserva-se a base e multiplica os expoentes.

Olha o pega!



25


Exemplos:

(2.3)5 = 25 . 35 = 32 . 243 = 7776 (não se somam os expoentes,

pois as bases são diferentes)

25 . 35 = (2.3)5 = 65 = 7776 (quando há potências com o mesmo Expoente, pode-se colocá-lo em

Evidências)

16

81

2

3

2

3

3

24

444

2– 3 = 8

1

2

1

2

1

1

23

333

251

25

1

5

1

5

5

12

222

Propriedades: V) (a.b)m = am.bm: um produto elevado ao mesmo expoente é igual ao produto de cada fator elevado ao expoente.

Propriedades:

VI) : Com expoente negativo, inverte-se a

fração e troca o sinal do expoente.

Propriedades: I) a0 = 1

II) a1 = a

III) am.an = am + n

IV) am:an = am – n

V) (a.b)n = an . bn

VI)

Decore!!



26


Tanta coisa pra lembrar né... Realmente tem que ter muita perseverança, disciplina e força de vontade. Você vai conseguir! Continue dando seu

melhor! Para você ficar animado, que tal mais uma Dica de Mestre?

Dicas de Mestre!

Quando se eleva a base 10 para um expoente natural, a quantidade de zeros é igual ao valor do expoente.

Exemplos:

103 = 1 000 (1 mil)

3 zeros

106 = 1 000 000 (1 milhão)

6 zeros

109 = 1 000 000 000 (1 bilhão)

9 zeros

1.6. Radiciação

Agora iremos aprender a calcular raízes de qualquer número.

Primeiramente, o que é uma raiz?

a: radicando; n: índice;

n a : raiz “n” de “a”.

Começaremos com os cálculos das raízes quadradas. Como exposto,

então o objetivo será encontrar um número que multiplicado por ele

mesmo duas vezes, isto é, que ao quadrado é igual ao radicando.

Notação:

: lê-se “raiz n-ésima de a”

Deve-se encontrar um número que multiplicado por ele mesmo n vezes é igual a a.



27


Veja as 21 primeiras raízes quadradas que tem como resultado um

número natural, ou seja, têm raiz quadrada exata.

0000,00 2 pois

1111,11 2 pois

4222,24 2 pois

9333,39 2 pois

16444,416 2 pois

25555,525 2 pois

36666,636 2 pois

49777,749 2 pois

64888,864 2 pois

81999,981 2 pois

100101010,10100 2 pois

121111111,11121 2 pois

144121212,12144 2 pois

169131313,13169 2 pois

196141414,14196 2 pois

225151515,15225 2 pois

256161616,16256 2 pois

289171717,17289 2 pois

324181818,18324 2 pois

361191919,19361 2 pois

400202020,20400 2 pois

1) Para um número possuir raiz quadrada, o algarismo das

unidades deve ser igual a 0, 1, 4, 5, 6 ou 9;

2) Os números que possuem raiz quadrada exata são obtidos pela

soma dos primeiros números ímpares. Dá uma olhadinha abaixo:

Decore!!

Curiosidade!



28


1 = 1

4 = 1 + 3

9 = 1 + 3 + 5

16 = 1 + 3 + 5 + 7

25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 ...

169 = 1 + 3 + 5 + ... + 23 + 25 ...

Agora vamos as 11 primeiras raízes cúbicas exatas. São aquelas que multiplicando um mesmo número por ele mesmo 3 vezes, ou seja,

elevando-se ao cubo, é igual ao radicando.

00000,00 33 pois

11111,11 33 pois

82222,28 33 pois

273333,327 33 pois

44444,464 33 pois

1255555,5125 33 pois

2166666,6216 33 pois

3437777,7343 33 pois

5128888,8512 33 pois

7299999,9729 3 pois

100010101010,101000 33 pois

Agora, como de costume, vamos a algumas propriedades importantes das

raízes. Podem facilitar alguns cálculos para você.

Exemplos:

205425162516

4010410016100161600

50105100252500

Propriedades:

I) : a raiz do produto é igual ao

produto das raízes, para o mesmo índice e para radicandos maiores ou iguais a zero.



29


41628 (também pode ser feito o contrário)

Exemplos:

5

4

25

16

25

16

11

13

121

169

121

169

3

8

27

64

27

643

3

3

1.7. Múltiplos e Divisores: Números Primos e Compostos, Casos de Divisibilidade, Fatoração, MMC, e MDC

Agora aprenderemos algumas propriedades importantes dos números naturais, como a diferença de um número primo e composto, quando um

número pode ser dividido por outro, as propriedades da fatoração e quando usaremos o MMC e o MDC na resolução de problemas.

1.7.1. Múltiplos e Divisores.

Um número a é múltiplo de outro número b quando existe um número

inteiro que multiplicado por b é igual a a.

Propriedades:

I) : a raiz da divisão é igual à divisão das raízes,

para o mesmo índice e para o primeiro radicando maior ou igual a zero e o segundo maior que zero ( não pode dividir por zero!)

Observação: Quando o índice é par, a raiz só existe quando o radicando for positivo; Se o índice for ímpar, a raiz existe independente do sinal do radicando.



30


Exemplos:

1) 6 é múltiplo de 2, porque existe um número inteiro (3) que multiplicado por 2 é igual a 6 (3 x 2 = 6);

2) 10 é múltiplo 5, porque existe um número inteiro (2) que multiplicado

por 5 é igual a 10 (2 x 5 = 10);

3) 7 é múltiplo de 1, porque existe um número inteiro (7) que multiplicado por 1 é igual a 7 (7 x 1 = 7).

Com isso, podemos afirmar, por exemplo que:

1) M(0) = {0};

2) M(1) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...};

3) M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...};

4) M(10) = {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, ...}.

É como se estivéssemos montando a ―tabuada‖ desses números.

Agora preste muita atenção em algumas propriedades dos múltiplos, pois

elas podem ser exploradas em prova!

Exemplo:

Sejam os conjuntos dos múltiplos de 2 e 3, respectivamente:

Notação: m(x) representa o conjuntos dos múltiplos naturais do número x.

Observação: 1) todo número é múltiplo de 1 e dele mesmo; 2) Zero é múltiplo de todos os números.

Propriedade:

M(x) ∩ M(y) = M(x.y): O conjunto dos múltiplos comuns de x e y

– interseção – equivale ao conjuntos dos múltiplos de x.y.



31


M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, ...}

M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...}

Note os múltiplos comuns de 2 e 3 são:

M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, ...}

M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...}

Que podem ser obtidos a partir dos múltiplos do produto deles: 2 x 3 = 6, logo, tem-se que:

M(2) ∩5 M(3) = M(2 x 3) = M(6)

M(2) ∩ M(3) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, ...}.

Agora falaremos sobre os divisores de um número.

Um número é divisor de outro, se o primeiro divide o segundo. Por exemplo:

1) 2 é divisor de 8, pois 2 divide 8; (8:2 = 4)



4) 50 é divisor de 0, pois 50 divide 0. (0:50 = 0)

Diz-se que o segundo número é divisível pelo primeiro, pois o

resto da divisão é igual a zero.

5 Este símbolo significa interseção. Ele equivale ao conjuntos dos elementos que são comuns a ambos os conjuntos. Costuma-se utilizar a conjunção “e” para fazer referência a ele.

Notação: d(x) representa o conjuntos dos divisores naturais do número x.



32


Com isso, podemos afirmar, por exemplo, que:

1) d(6) = {1, 2, 3, 6};

2) d(50) = {1, 2, 5, 10, 25, 50};

3) d(3) = {1, 3};

4) d(1) = {1}.

5) d(0) = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

Note que, em geral, os números possuem pelo menos 2 divisores naturais, o número 1 e ele mesmo – com exceção do número 1, que

possui um único divisor, e o zero que possui infinitos divisores. Quando um número possui 2 divisores naturais, nós o chamamos de número

primo; quando ele possui mais de dois divisores, nós o chamamos de número composto.

No exemplo acima, note que os números 6 e 50 são compostos, pois

possuem mais de 2 divisores; o número 3 é primo, pois possui 2

divisores; o número 1 e o zero não têm classificação alguma, isto é, não é primo, nem composto.

O Matemático grego Eratóstenes inventou, no século III a.C., um método para determinar os números primos inferiores a um dado número. A esse

método dá-se o nome de Crivo de Eratóstenes. Por exemplo, para se

Observação: 1) o número é 1 é divisor de todos os números, ou seja, o 1 divide todos os números; 2) todo número é divisor de 0, exceto o próprio zero, ou seja, qualquer número divide o zero.

Curiosidade!



33


determinar os números primos até 100, começa-se construindo o quadro seguinte:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 78 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

No quadro acima, procede-se, então da seguinte maneira:

1) risca-se o 1, que não é primo;

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 78 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

2) Risca-se todo o múltiplo de 2, exceto o próprio 2, que é primo (único número primo par);

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 78 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100



34


3) Como o primeiro número riscado pelo passo anterior foi o 4, significa que o 3 é primo, logo se risca todo múltiplo de 3, com exceção dele

próprio;

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 78 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

4) Como o primeiro número riscado pelo passo anterior foi o 6, significa

que o 5 é primo, logo se risca todo múltiplo de 5, com exceção dele próprio;

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 78 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

5) Como o primeiro número riscado pelo passo anterior foi o 25, significa

que o 7 é primo, logo se risca todo múltiplo de 7, com exceção dele próprio. O processo é finalizado no momento que se identifica o próximo

primo superior a raiz quadrada da quantidade de números, isto é, neste

exemplo até 10100 .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90



35


91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Logo os números primos inferiores a 100 são os números

destacados de amarelo, isto é:

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97}.

Lembrando que o conjunto dos números primos é infinito!

Continuando a ―brincadeira‖ – acho que vocês alunos odeeeeiam quando

falamos ―brincadeira‖ ao dar aula de matemática rs -, vamos aprender agora alguns casos de divisibilidade, isto é, quando um número pode

ser dividido por outro. Vamos aos principais para a sua prova.

Divisibilidade por 2: todos os números pares, isto é, números que terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8.

Logo, 500, 312 e 136, dividem por 2, pois todos são pares.

Divisibilidade por 3: quando a soma dos algarismos é divisível por 3.

Logo 126 divide por 3, pois, como 1 + 2 + 6 = 9, 9 divisível por 3.

Divisibilidade por 4: quando os dois últimos algarismos do número é

divisível por 4.

Logo 3 512 e 65100 dividem por 4, pois 12 e 00 são divisíveis por 4.

Divisibilidade por 5: quando o número termina em 0 ou 5.

Logo 500, 125, 6430 e 98495 dividem por 5, pois terminam em 0 ou 5.

Divisibilidade por 6: quando um número for divisível por 2 e 3, ao

mesmo tempo, isto é, valem as regras do 2 e do 3 simultaneamente.

Decore!!



36


Logo 126 divide por 6, pois divide por 2 (é par) e divide por 3 (a soma dos algarismos divide por 3).

Divisibilidade por 8: quando os três últimos algarismos do número é

divisível por 4.

Logo 3 000 e 65800 dividem por 8, pois 000 e 800 são divisíveis por 8.

Divisibilidade por 9: quando a soma dos algarismos é divisível por 9.

Logo 126 divide por 9, pois, como 1 + 2 + 6 = 9, 9 divisível por 9.

Divisibilidade por 10: quando o número termina em 0.

Logo 500, 6430 e 1000 dividem por 10, pois terminam em 0.

Como o teste do 7 é mais ―chato‖ que tentar dividir, faça a divisão e

verifique se o resto é zero (nulo), se isso acontecer, o número será divisível por 7.

1.7.2. Fatoração.

- Aluno: ―Ah não, Pedrinho! Eu odiava esse trem na escola...‖

- Pedrinho: ―Relaxa, fi! Desespera não que o trem é facin, facin! Apenas continue lendo e treinando!‖

A fatoração ou decomposição em fatores primos – para os íntimos –

é a transformação de um número composto em um produto de

números primos e esse produto é único. Lembra que a tia Teteia te ensinou isso, colocando uma barra e tudo mais? Olha os passos abaixo:

I) Coloque uma linha vertical à direita do número;

II) Divida-o por um número primo – o menor possível -, colocando este à

direita da linha vertical e a resposta da divisão abaixo do número que se quer fatorar;

III) Faça isso até que o resultado da divisão seja igual a 1;

IV) A fatoração é dada pelo produto dos números primos em forma de

potência, onde o expoente será a quantidade de vezes que cada número se repete.

Vamos aos exemplos (Tá lembrado de resolvê-los antes né?! Eu num

esqueci! Rs)



37


1) 24 2) 72 3) 700 4) 81

Agora vamos resolver as fatorações desses números.

1)

13 32

3

2

2

2

1

3

6

12

24

3

2

2

2

1

3

6

12

24

2

2

2

3

6

12

24

2

2

6

12

242

12

2424

Logo 24 = 23 . 3

2)

23 32

3

3

2

2

2

1

3

9

18

36

72

3

3

2

2

2

1

3

9

18

36

72

3

2

2

2

3

9

18

36

72

2

2

2

9

18

36

72

2

2

18

36

722

36

7272

Logo 72 = 23 . 32

3)

122 752

7

5

5

2

2

1

7

35

175

350

700

7

5

5

2

2

1

7

35

175

350

700

5

5

2

2

7

35

175

350

700

5

2

2

35

175

350

700

2

2

175

350

7002

350

700700

Logo 700 = 22 . 52.71



38


4)

43

3

3

3

3

1

3

9

27

81

3

3

3

3

1

3

9

27

81

3

3

3

3

9

27

81

3

3

9

27

813

27

8181

Logo 81 = 34

Com a fatoração, podem-se descobrir algumas coisas sobre o número, a qual uma delas já caiu em prova! Podemos descobrir a quantidade de

divisores naturais de um número e quais são esses divisores. Vamos a elas.

Descobrindo os divisores de um número natural:

I) Coloque uma linha vertical a direita dos números primos que participaram da fatoração;

II) Coloque o número 1 a direita da linha vertical e acima da linha do

primeiro número primo – lembre-se que o 1 é divisor de todos os

números;

III) Multiplique cada número primo pelos números que estão a direita da linha do passo 1, na ordem em que eles aparecem. As respostas ficam na

linha do número primo que você está multiplicando – não é necessário repetir os resultados.

Utilizando os mesmo exemplos, acompanhe a solução do primeiro e, ao

entende-lo, tente fazer os outros sem olhar. ;)

1) 24 2) 72 3) 700 4) 81



39


1)

8

4

2

1

3.2

3

2

2

2

1

3

6

12

24

4

2

1

3.2

3

2

2

2

1

3

6

12

242

1

3.2

3

2

2

2

1

3

6

12

24

1

3.2

3

2

2

2

1

3

6

12

24

3.2

3

2

2

2

1

3

6

12

24

1313131313

241263

8

4

2

1

3.2

3

2

2

2

1

3

6

12

24

13

Logo d(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

2)

8

4

2

1

3.2

3

3

2

2

2

1

3

9

18

36

72

4

2

1

3.2

3

3

2

2

2

1

3

9

18

36

722

1

3.2

3

3

2

2

2

1

3

9

18

36

72

1

3.2

3

3

2

2

2

1

3

9

18

36

72

3.2

3

3

2

2

2

1

3

9

18

36

72

2323232323

72

24

36

12

18

6

9

3

8

4

2

1

3.2

3

3

2

2

2

1

3

9

18

36

72

241263

8

4

2

1

3.2

3

3

2

2

2

1

3

9

18

36

72

2323

Logo d(72) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}



40


3)

4

2

1

7.5.2

7

5

5

2

2

5

7

35

175

350

7002

1

7.5.2

7

5

5

2

2

5

7

35

175

350

700

1

7.5.2

7

5

5

2

2

5

7

35

175

350

700

7.5.2

7

5

5

2

2

5

7

35

175

350

700

22222222

100

20

50

10

25

5

4

2

1

7.5.2

7

5

5

2

2

5

7

35

175

350

700

20105

4

2

1

7.5.2

7

5

5

2

2

5

7

35

175

350

700

2222

700350175140703528

100

20

14

50

10

7

25

5

4

2

1

7.5.2

7

5

5

2

2

5

7

35

175

350

700

22

Logo d(700) = {1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 25, 28, 35, 50, 70, 100, 175, 350, 700}

4)

27

9

3

1

3

3

3

3

3

1

3

9

27

81

9

3

1

3

3

3

3

3

1

3

9

27

813

1

3

3

3

3

3

1

3

9

27

81

1

3

3

3

3

3

1

3

9

27

81

3

3

3

3

3

1

3

9

27

81

44444



41


81

27

9

3

1

3

3

3

3

3

1

3

9

27

81

4

Logo d(81) = {1, 3, 9, 27, 81}

Quantidade de Divisores Naturais de um Número:

- Pedrinho: ―Esse trem aqui é fácil demaaaais!!! Você vai adorar! Tenho certeza!‖

- Aluno: ―Sério mesmo, Pedrin?‖ - Pedrinho: ―Seríssimo! Porque você só precisa fazer uma coisa: soma 1

a cada expoente da fatoração e multiplique-os.‖

- Aluno: ―Pára de brincadeira, professor!‖ - Pedrinho: ―É sério mesmo! Acompanha os exemplos abaixo, lembrando

que você já encontrou os divisores, ou seja, conte-os para ver que realmente dá certo.‖

1) 24 2) 72 3) 700 4) 81

1) Como 24 = 23 . 31, a quantidade de divisores de um número é:

(3 + 1) x (1 + 1) = 4 x 2 = 8.

2) Como 72 = 23 . 32, a quantidade de divisores de um número é:

(3 + 1) x (2 + 1) = 4 x 3 = 12.

3) Como 700 = 22 . 52.71, a quantidade de divisores de um número é:

(2 + 1) x (2 + 1) x (1 + 1) = 3 x 3 x 2 = 18.

Todo quadrado perfeito possui uma quantidade ímpar de divisores!

Curiosidade!



42


4) Como 81 = 34, a quantidade de divisores de um número é:

(4 + 1) = 5

Outra aplicação que temos para a fatoração, por sinal uma das mais utilizadas, é o cálculo de raízes com índice n. Para isso, basta utilizar a

propriedade do expoente racional.

- Aluno: ―Pedrinho, eu nunca ouvi falar disso na minha vida!‖ - Pedrinho: ―Tenho certeza que já! Porém a tia Teteia utilizava uma

frase para memorização – ‗o que tá na sombra, vai pro Sol; o que tá no Sol vai pra sombra...‘‖

- Aluno: ―Aaaaahhhhh... É isso!‖

Resumindo: “o que tá na sombra – expoente do radicando - vai

pro Sol - numerador; o que tá no Sol – índice – vai pra sombra - denominador.”

Então, para retirar a raiz de qualquer número natural, faça o

seguinte:

I) Fatore o radicando – número dentro da raiz;

II) Aplique a propriedade do expoente racional a cada número primo

gerado;

III) Multiplique as potências resultantes.

Vamos a alguns exemplos:

1) 1024 2) 324 3) 8 4) 24 5) 3 8 6) 3 27 7) 3 216

1) Fatorando o radicando, tem-se que 1024 = 210. Então:

322221024 5210

2 10

Portanto, 321024 .

Propriedade do expoente racional:

“toda raiz pode ser transformada em uma potência cujo expoente tem como numerador o expoente do radicando e como denominador o índice da raiz.”



43


2) Fatorando o radicando, tem-se que 324 = 22.34. Então:

189.23.23.23.2324 2124

22

2 42

Portanto, 18324 .


2.22.22.22.228 122

2 122 3

Portanto, 228 .


6.26.23.2.23.2.23.28 122

2 122 3

Portanto, 6224 .


22228 133

3 33

Portanto, 283 .


333327 133

3 33

Portanto, 3273 .

Só existe raiz quadrada exata para números cuja fatoração somente possua expoentes pares!

Fique atento!



44



63.23.23.23.2216 1133

33

3 333

Portanto, 2162163 .

Veja que é uma forma para se calcular as raízes sem a

necessidade de decorá-las!

1.7.3. MMC e MDC

Primeiramente, vamos retomar um exemplo que dei na explicação sobre

os múltiplos comuns de 2 e 3:

Sejam os conjuntos dos múltiplos de 2 e 3, respectivamente:

M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, ...}

M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...}

Note os múltiplos comuns de 2 e 3 são:

M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, ...}

M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...}

Que podem ser obtidos a partir dos múltiplos do produto deles: 2 x 3 =

6, logo, tem-se que: M(2) ∩ M(3) = M(2 x 3) = M(6)

M(2) ∩ M(3) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, ...}.

O Objetivo do MMC é obter o menor múltiplo comum de vários números, que seja diferente de zero, ou seja, o menor número que

pode ser dividido por esses vários números.

A forma que se utiliza para calculá-lo é a ―fatoração simultânea‖ dos números que se deseja calcular o MMC, de tal forma que:

I) o número primo que se coloca divida pelo menos 1 número, ou

seja, não precisa dividir todos ao mesmo tempo.



45


II) O processo termina quando todos os números do lado esquerdo se tornem 1;

III) O MMC é dado pelo produto dos números primos obtidos.

Veja os exemplos abaixo (larga de preguiça e tenta antes! Matemática é

treino!):

1) 24 e 32 2) 8, 12 e 15 3) 2, 3 e 5 4) 8 e 24

Eu deixo você ler o primeiro exemplo, mas tente os outros, viu?! Bora lá!

1)

23

243

286

21612

232,24

43

286

21612

232,24

86

21612

232,24

1612

232,2432,24

3211

313

223

243

286

21612

232,24

11

313

223

243

286

21612

232,24

13

223

243

286

21612

232,24

5

Logo, o MMC (24, 32) = 25 x 3 = 32 x 3 = 96

2)

1531

21532

21564

215,12,8

1532

21564

215,12,8

1564

215,12,815,12,8



46


5.3.2111

5511

31531

21532

21564

215,12,8

111

5511

31531

21532

21564

215,12,8

511

31531

21532

21564

215,12,8

3

Logo, o MMC (8, 12, 15) = 23 x 3 x 5 = 8 x 3 x 5 = 120.

3)

5.3.2111

5511

3531

2532

111

5511

3531

2532

511

3531

2532

531

25325,3,2

Logo, o MMC (2, 3, 5) = 2 x 3 x 5 = 30.

3.211

331

262

2124

224,8

11

331

262

2124

224,8

31

262

2124

224,8

62

2124

224,8

124

224,824,8

3

Logo, o MMC (8, 24) = 23 x 3 = 8 x 3 = 24.

DICA: O MMC de números primos é igual ao produto desses mesmos números primos!

Fique atento!



47


O MMC pode ser utilizado em problemas que envolvem a ideia de

frequência e na soma ou subtração de frações com denominadores diferentes.

Como exemplo do uso da frequência, primeiramente temos que saber o

que é frequência. Frequência equivale a quantidade de repetições, num

dado espaço de tempo. Por exemplo, a frequência que você escova os dentes por dia é de 3 a 4 vezes; a frequência que você toma banho por

dia é 1 ou 2 vezes (outros nem isso kkk); a frequência da prova do ENEM é 1 vez por ano.

Agora, imagine que, ao contar os números a partir do 1, você bata palma

quando falar os múltiplos de 2, isto é:

M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, ...}

Imagine que eu (imagine mesmo), bata palma, juntamente contigo, porém nos múltiplos de 3, isto é:

M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...}

Portanto nós bateremos palmas nos múltiplos comuns de 2 e 3, isto é, nos múltiplos de 6:

M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, ...}

M(3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...}

M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, ...}.

Se estivermos interessados no primeiro instante no qual batemos

palmas juntos, ele ocorreria exatamente no 6, ou seja, no menor

DICA: Quando ao calcular o MMC um número for divisível pelos demais, então o MMC será igual àquele número!

Fique atento!



48


múltiplo comum de 2 e 3, basta calcularmos

diretamente o MMC desses números e resolveremos o problema. Tranquilo, não é?!

A soma e a subtração de frações com o mesmo denominador

veremos mais adiante.

Agora o MDC, equivale o maior número que pode dividir todos os demais, isto é, ao máximo divisor comum de ambos os números.

Como exemplo, veja o conjuntos dos divisores do 72 e do 700, já vistos

em aula:

d(72) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}

d(700) = {1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 25, 28, 35, 50, 70, 100, 175,

350, 700}

Portanto, o maior número que divide o 72 e o 700, simultaneamente, é o 4, por isso podemos afirmar que o MDC destes números é igual a 4.

O cálculo do MDC é muito semelhante ao do MMC. A única diferença é que o número primo da fatoração simultânea deve dividir todos os

números.

Vamos aos exemplos.

1) 24 e 32 2) 8, 12 e 15 3) 2, 3 e 5 4) 8 e 24

OBSERVAÇÃO: Quando o MDC de dois números é igual a 1, diz-se que eles são primos entre si.

Indo mais a fundo:



49


1)

3243

286

21612

232,24

43

286

21612

232,24

86

21612

232,24

1612

232,2432,24

Logo, o MDC (24, 32) = 23 = 8

2) 11512815128

Logo, o MDC (8, 12, 15) = 1, pois é o único número que divide todos ao mesmo tempo – eles são primos entre si.

3) 1532532

Logo, o MDC (2, 3, 5) = 1, pois é o único número que divide todos ao mesmo tempo – eles são primos entre si.

4)

3231

262

2124

224,8

31

262

2124

224,8

62

2124

224,8

124

224,824,8

Logo, o MDC (8, 24) = 23 = 8.

O MDC pode ser utilizado em problemas que envolvem a ideia de otimização. Por exemplo, imagine que você queira colocar azulejos

quadrados em uma parece da sua casa - com 3 metros de altura (300cm) e 800 metros de comprimento (800cm) – sem desperdício. Qual deve ser

o tamanho do lado do azulejo, de tal forma que você utilize a menor quantidade possível?



50


Percebeu a ideia da ―otimização‖? Como se você quisesse o melhor aproveitamento do espaço, com menor quantidade possível. Agora, por

que utilizamos o MDC para resolver esse tipo de problema?

Como queremos a menor quantidade possível, significa que o divisor deve ser o maior possível. Além disso, como desejamos repartir em pedaços

com a mesmo medida – afinal o quadrado possui os lados com a mesma medida -, temos que utilizar um número que divida a altura e o

comprimento ao mesmo tempo. Sacou?!

Com isso, tem-se que:

83

54015

520075

2400150

2800,300

4015

520075

2400150

2800,300

20075

2400150

2800,300

400150

2800,300800,300

22 5.283

54015

520075

2400150

2800,300

Logo, o MDC(300,800) = 22.52 = 4.25 = 100 cm, que é o lado do azulejo que se deseja encontrar.

Os números que se chegam do lado esquerdo no cálculo do MDC –

os números circulados no exemplo –, representam o resultado da

divisão dos números pelo MDC. Então, neste problema, o 3 e o 8 representam a quantidade de azulejos na altura e no comprimento,

respectivamente, ou seja, o total de azulejos é 3 x 8 = 24.

8 quadrados

3 quadrados



51


1.8. Frações

1.8.1. Introdução

Caramba, meu amigo(a). Você já prestou atenção em quanta coisa leu e aprendeu (assim espero rs)? Vamos dar continuidade a nossa aula, com

um dos conteúdos mais importantes a meu ver: Frações. Aqui aprenderemos o que é uma fração e suas operações.

Primeiramente, o que é uma fração?

Pense numa fração como uma proporção, na qual o número do

denominador – número que está embaixo – representa o total de

partes que se divide algo e o numerador – número que está em cima – a quantidade de partes que se deseja do total.

b

a

Veja os exemplos abaixo com suas representações fracionárias:

1) 4

1 2)

8

5 3)

5

3 4)

2

1

Perceba que o total de partes que foi dividido o objeto em cada exemplo

ficou representado no denominador, enquanto as partes pintadas – a quantidade que ―desejamos‖ – ficou no numerador.

Então, se você quiser completar o objeto inteiro, você o teria por inteiro,

isto é, como dizemos em matemática, você completaria para 1 inteiro, bastando para isso pegar a quantidade branca, melhor que isso, a

quantidade que falta para o total.



52


Dicas de Mestre!

Para completar para 1 inteiro, basta repetir o denominador;

depois disso, o numerador será a diferença entre o denominador e o numerador. Veja abaixo:

4-1=3 8-5=3 5-3=2 2-1=1

1) 4

3

4

1 2)

8

3

8

5 3)

5

2

5

3 4)

2

1

2

1

- Aluno: ―Pedrinho, mas há casos que o denominador é menor que o

numerador. Como se explica isso?‖ - Pedrinho: ―Esses casos chamamos de fração imprópria. Acompanhe

comigo como esses casos funcionam.‖

Neste casos temos um ou mais valores inteiros e o valor fracionário que

expliquei pra você, dando-nos a noção de fração mista. ―Tá‖ lembrado? Senão, veja alguns exemplos ilustrativos abaixo:

1) 1 inteiro e 5 oitavos: 8

51 2) 2 inteiros e 3 oitavos: 8

32



53


3) 3 inteiro e 1 meio: 2

13 4) 4 inteiros e 3 quintos: 5

34

Agora, como fazemos para transformar uma fração mista em fração

imprópria e vice-versa?

1) Transformando fração imprópria em fração mista:

I) Repete-se o denominador;

II) Para encontrar o numerador, multiplica-se o denominador pela

parte inteira, depois se soma o resultado com o numerador da fração mista.

Exemplos:

1) 8

13

8

518

8

51

2) 8

19

8

328

8

32

3) 2

7

2

132

2

13

4) 5

23

5

345

5

34

2) Transformando fração imprópria em fração mista:

I) Faça a divisão do numerador pelo denominador com o método de chaves – método tia Teteia (rs);

II) O quociente será a parte inteira, o divisor será o denominador

e o resto será o numerador da fração mista (lembre-se que a divisão calcula quantas vezes um número ―cabe‖ dentro do outro).



54


Exemplos:

1) 8

13

15

813

Logo, 8

51

8

13 .

2) 8

19

23

819

Logo, 8

32

8

19 .

3) 2

7

31

27

Logo, 2

13

2

7 .

4) 5

23

43

523

Logo, 5

34

5

23 .

Uma pergunta fácil que frequentemente cai em prova é o cálculo de

uma fração sobre um valor qualquer. Para isso, basta multiplicar a fração pelo valor. Você terá uma preposição ―de‖ indicando a

multiplicação.

2 (ENEM 2014/ 2ª aplicação – QUESTÃO 175 CADERNO CINZA).

Um clube de futebol abriu inscrições para novos jogadores. Inscreveram-

X

A fração de qualquer valor é dada pelo produto dessa fração pelo valor correspondente, dividindo-se pelo denominador e multiplicando o resultado pelo numerador.

Caiu na prova!



55


se 48 candidatos. Para realizar uma boa

seleção, deverão ser escolhidos os que

cumpram algumas exigências: os jogadores deverão ter mais de 14 anos, estatura igual ou superior à mínima exigida e bom preparo físico. Entre os

candidatos, 7/8 têm mais de 14 anos e foram pré-selecionados. Dos pré-selecionados, ½ têm estatura igual ou superior a mínima exigida e,

destes, 2/3 têm bom preparo físico.

A quantidade de candidatos selecionados pelo clube de futebol foi

A) 12. B) 14.

C) 16.

D) 32. E) 42.

Comentários:

O total de candidatos é igual a 48. A partir desse valor, ele coloca várias

frações para cada momento, até se chegar ao resultado desejado: os jogadores deverão ter mais de 14 anos, estatura igual ou superior

à mínima exigida e bom preparo físico. I) “Entre os candidatos, 7/8 têm mais de 14 anos e foram pré-

selecionados‖

Pré-selecionados com idade igual ou superior a 14 = 8

7 do total

Pré-selecionados com idade igual ou superior a 14 = 8

7 x 48

Pré-selecionados com idade igual ou superior a 14 = 7 x 6

Pré-selecionados com idade igual ou superior a 14 = 42.

II) “Dos pré-selecionados, ½ têm estatura igual ou superior a mínima

exigida‖

Estatura = 2

1 dos pré-selecionados

Estatura = 2

1 x 42



56


Estatura = 1 x 21

Estatura = 21.

II) “...e, destes (pré-selecionados com estatura mínima exigida), 2/3 têm bom preparo físico‖

Bom preparo físico = 3

2 dos pré-selecionados com estatura

mínima exigida

Bom preparo físico = 3

2 x 21

Bom preparo físico = 2 x 7

Bom preparo físico = 14.

Portanto, a quantidade de pessoas que possuem idade e estatura mínima

exigida, além de bom preparo físico, é igual a 14.

Resposta: Letra “B”

É possível que duas frações, mesmo com valores diferentes, apresentem o mesmo resultado. A essas frações chamamos de frações

equivalentes. Para obtê-las, basta escolher um número natural para dividir (por um número diferente de 1) ou multiplicar o numerador e

o denominador, simultaneamente.

Veja alguns exemplos: x2 x10 :5 :8

1) 6

4

3

2 2)

30

20

3

2 3)

4

5

20

25 4)

2

3

16

24

OBSERVAÇÃO: TODA FRAÇÃO É UMA DIVISÃO.

Fique atento!



57


x2 x10 :5 :8

Quando ―reduzimos‖ uma fração, isto é, dividimos o numerador e o denominador até que se chegue a uma fração irredutível, nós estamos

fazendo uma simplificação de fração. A ideia de simplificar uma fração É DE EXTREMA IMPORTÂNCIA PRA SUA PROVA, AINDA MAIS POR

NÃO SE USAR CALCULADORA. Como um conselho, estude bem os casos de divisibilidade, pois eles te ajudarão muito nas simplificações de

frações.

Como alguns exemplos, veja os exemplos 3 e 4 acima. Tanto a fração 5/4 quanto a fração 3/2 são irredutíveis, pois não há um número diferente de

1 que os divida simultaneamente.

Dicas de Mestre!

Sempre que o numerador e o denominador terminar com

algarismos 0, você pode cortá-los na mesma quantidade. Veja abaixo:

1) 3

2

30

20 2)

3

1

300

100 3)

204

105

2040

1050 4)

500

4

50000

400

Então, já que sabemos que as frações equivalentes representam o mesmo valor, podemos comparar as frações, podendo acontecer duas

situações distintas:

1) 1) 1) 1)

OBSERVAÇÃO: Quando não é possível dividir o numerador e o denominador de uma fração por um diferente de 1, ela é chamada de fração irredutível.

Indo mais a fundo:



58


1) quando elas tiverem o mesmo denominador:

Basta comparar os numeradores para saber quem é maior ou menor.

2) quando as frações tiverem denominadores diferentes:

Basta que as deixemos com o mesmo denominador tirando o MMC.

Para encontrar o numerador, dividimos o MMC pelo denominador da fração e somamos o resultado ao numerador dela.

Veja, como exemplo, uma questão de prova:

3 (ENEM 2014/S.P. – QUESTÃO 173 CADERNO CINZA). André, Carlos e Fábio estudam em uma mesma escola e desejam saber quem

mora mais perto da escola. André mora a cinco vinte avos de um quilômetro da escola. Carlos mora a seis quartos de um quilômetro da

escola. Já Fábio mora a quatro sextos de um quilômetro da escola. A ordenação dos estudantes de acordo com a ordem decrescente das

distâncias de suas respectivas casas à escola é

A) André, Carlos e Fábio. B) André, Fábio e Carlos.

C) Carlos, André e Fábio. D) Carlos, Fábio e André.

E) Fábio, Carlos e André.

Comentários:

Perceba que todas as frações tem o mesmo referencial: 1km. Por isso,

tem-se que maior valor corresponderá a maior fração, ou seja, basta fazer a comparação entre elas para responder à questão.

Vamos aos alunos com suas respectivas frações:

André: cinco vinte avos = 20

5

Carlos: seis quartos = 4

6



59


Fábio: quatro sextos = 6

4

Primeiramente, faça a simplificação das frações para tornar os cálculos

mais fáceis:

André: 4

1

20

5 5

5

Carlos: 2

3

4

6 2

2

Fábio: 3

2

6

4 2

2

Agora, como exposto acima, veja que os denominadores são

diferentes, por isso devemos primeiro tirar o MMC:

12111

3311

2312

2324

3311

2312

2324

2

2324

312

2324324

O 12 será o denominador das novas frações. Para encontrar o

numerador, dividimos o MMC pelo denominador das frações anteriores e multiplicamos pelo numerador (lembre-se dessa frase: divide pelo

debaixo e multiplica pelo decima).

André: 12

3

4

1

Carlos: 12

18

2

3

Fábio: 12

8

3

2

1)

1)

1)



60


Comparando os numeradores das frações equivalentes obtidas, tem-se

que primeiro vem o 18 (Carlos), depois o 8 (Fábio) e, por fim, o 3 (André), que é a sequência em ordem decrescente de distância ate a

escola.

Reposta: Letra “D”

Perceba que a única fração que possui o numerador maior que o

denominador – o debaixo maior que o decima – é a de Carlos, logo, necessariamente, ele corresponde a maior fração.

Dicas de Mestre!

Sempre que você quiser comparar duas frações, basta multiplicar

cruzado os valores das frações, isto é, multiplicar o denominador de uma pelo numerador da outra SEMPRE DEBAIXO PARA CIMA. O

lado que possui o maior resultado, corresponde a maior fração.

Exemplo:

3x1 = 3 4x2=8

3

2

4

1

Fique atento!



61


Portanto o 2/3 corresponde a maior fração.

1.8.2. Operações com Frações

1.8.2.1. Adição e Subtração de Frações

Para se somar frações, primeiramente temos que prestar atenção no

denominador.

I) Soma e subtração de fração com o mesmo denominador:

Lembra da frase da tia Teteia? Não mudou até hoje, ou seja, ela continua

resolvendo seus problemas. Veja-a abaixo:

“Conserva-se o denominador e se somam os numeradores.”

Exemplos:

1) 82

16

2

7531

2

7

2

5

2

3

2

1

2) 35

15

5

573

5

5

5

7

5

3

3) 2

1

100

50

100

201020

100

20

100

10

100

20 5

5

3) 10

1

100

10

100

201020

100

20

100

10

100

20

II) Soma e Subtração de frações com o denominador diferente:

Lembra da tia Teteia nesse caso também? Continua sem mudanças até para esse tipo de operação. Dá uma olhadinha em como fazê-las, afinal

recordar é viver:

a) Tira-se o MMC dos denominadores;

b) Dividimos o MMC pelo denominador das frações anteriores e

multiplicamos pelo numerador (lembre-se dessa frase: divide pelo debaixo e multiplica pelo decima, para cada fração).



62


c) efetue a soma/subtração no numerador.

Exemplos:

“30 : 2 = 15 “30 : 5 = 6 “30 : 6 = 5

15 x 1 = 15” 6 x 2 = 12” 5 x 3 = 15”

1) 5

7

30

42

30

15

30

12

30

15

6

3

5

2

2

1 6

6

Sabendo-se que MMC (2,5,6) = 30

ERRADO: CERTO:

6

3

5

2

2

1

6

3

5

2

2

1

Continuando...

“60 : 20 = 3 “60 : 3 = 20 “60 : 2 = 30

3 x 1 = 3” 20 x 2 = 40” 30 x 3 = 90”

2) 60

90

60

40

60

3

2

3

3

2

20

1

10

15

3

2

100

5

25

35

205

15

60

133

10

15

3

2

100

5

Sabendo-se que MMC (20,3,2) = 60 e lembrando que se pode

simplificar na mesma fração.

CUIDADO: NÃO SE PODE SIMPLIFICAR DENOMINADOR E NUMERADOR DE FRAÇÕES DIFERENTES NA SOMA E NA SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES!

Fique atento!



63


“20 : 1 = 20 “20 : 20 = 1

20 x 3 = 60” 1 x 1 = 1”

3) 20

61

20

1

20

60

20

1

1

3

20

13

“Coloca o 1 embaixo do 3, Para ficar na forma fracionária”

“20 : 1 = 20 “20 : 20 = 1

20 x 3 = 60” 1 x 1 = 1”

4) 20

59

20

1

20

60

20

1

1

3

20

13

“Coloca o 1 embaixo do 3, Para ficar na forma fracionária”

Dicas de Mestre!

Quando você fizer uma soma ou uma subtração de um número

inteiro por uma fração, faça dessa forma para ganhar tempo:

I) Repita o denominador;

II) Multiplique o denominador pela parte inteira e some o resultado ao numerador.

Exemplos:

1) 20

61

20

1320

20

13

1)



64


2) 20

59

20

1)3(20

20

13

1.8.2.2. Multiplicação de frações

A multiplicação de fração é uma das operações mais simples, futuro universitário! Basta você multiplicar numerador com numerador e

denominador com denominador ou, como gosto de falar, multiplica todos os decima e multiplica todos os debaixo.

Agora, para facilitar os cálculos, é interessante que você simplifique

as frações, como veremos nos exemplos abaixo. Lembre-se que que simplificar é escolher um número que possa dividir o numerador e o

denominador simultaneamente.

Exemplos:

1) 10

1

6

3.

5

2.

2

1

23

1312

12

2) 116

645

2

5.

145

018.

012

215

23

15

295

36

26

3) 41

4

5

4.

1

5

5

4.5

4) 1

1

1

5

3.

6

25.

5

2

632

2555

Note no exemplo 4 que, se ao multiplicar vários número decima obtermos como resultado um número debaixo, podemos cortar

todos. O mesmo vale para o contrário.

1.8.2.2. Divisão de frações

1)

DICA: DIFERENTE DA ADIÇÃO E DA SUBTRAÇÃO, QUE SÓ PODEMOS EFETUAR SIMPLIFICAÇÕES NA MESMA FRAÇÃO, NA MULTIPLICAÇÃO PODEMOS SIMPLIFICAR EM FRAÇÕES DIFERENTES, MAS SEMPRE COM UM NÚMERO DE CIMA E OUTRO DEBAIXO.

Fique atento!



65


Tenho certeza que nas profundezas de seu ser, existe uma frase dormindo que foi inserida pela tia Teteia. Você deve ter perdido algumas

noites de sono com ela na sua infância, mas agora está na hora de tornar

esse pesadelo um sonho (tô viajando...). Então vamos ao que interessa.

Para fazer uma divisão de fração, basta fazer o seguinte:

“Conserva a primeira fração e a multiplique pelo inverso da segunda”

Só tome cuidado com a seguinte diferença:

I) Inverso de uma fração equivale a trocar o numerador e o denominador de lugar um com o outro;

II) Oposto (ou simétrico) de um número equivale a trocar o sinal

deste número.

Vamos aos exemplos de divisão de fração:

1) 21

2

1

5.

5

2

5

1:

5

2

1) 10

1

2

1.

5

1

1

2:

5

12:

5

1

2) 21

2

1

5.

5

2

5

1:

5

2

3) 3

7

3

2.

2

7

2

32

7

4) 6

7

3

1.

2

7

1

32

7

3

2

7

5) 3

14

3

2.

1

7

2

31

7

2

3

7



66


1.9. Números Decimais

1.9.1. Introdução

- Aluno: ―Caramba, Pedrinho... Essa aula num acaba não?‖

- Pedrinho: ―Calma rapaz (ou mocinha)! Relaxa! Essa é uma aula de extrema importância para as demais... Perceba quantos cálculos

importantes estamos aprendendo e que inclusive aparece em questões de prova em uma forma interpretativa.‖

Os números decimais são aqueles números com vírgula que não gostávamos muito (eu particularmente, quando possível, tento fugir deles

rs). Eles podem aparecer das seguintes formas:

1) Números decimais finitos:

São aqueles que possuem uma quantidade finita de algarismos após a vírgula. Por exemplo: 3,25; 43,125; 3,4 etc.

Note que a quantidade de algarismos após a vírgula (parte decimal), é

limitada. Além disso, eles podem ser escritos na forma de fração, isto é, podem ser escritos como uma divisão de dois números

naturais.

2) Números decimais com dízima periódica:

Período significa repetição, como já vimos nessa aula. Uma dízima

periódica significa uma repetição de algarismos nas casas decimais. Por exemplo: 3,2222... ; 10,2525252525... ; 2,7211111... etc.

Note que a quantidade de algarismos após a vírgula (parte decimal), é

ilimitada. Além disso, eles podem ser escritos na forma de fração,

DICA: Para que um número seja decimal finito, basta que seu divisor fatorado seja composto somente por potências de 2 ou 5 (este ou não é exclusivo).

Indo mais a fundo:



67


isto é, podem ser escritos como uma

divisão de dois números naturais.

2) Números decimais sem dízima periódica:

São número que com uma quantidade ilimitada de algarismos nas casas decimais, sem dízima periódica, isto é, sem repetições periódicas. Por

exemplo:

2 = 1,4142135...;

3 = 1,7320508...;

5 = 2,2360679...;

= 3,1415926... (pi);

e = 2,7182818284... (base de Euler).

etc.

Além disso, eles NÃO podem ser escritos na forma de fração, isto é,

NÃO podem ser escritos como uma divisão de dois números naturais.

Com o exposto até aqui em toda a aula, já introduzimos todos os Conjuntos Numéricos. Veja a seguir:

Notação: Quando houver uma barra acima de algarismos na parte decimal, ela indica a repetição da dízima periódica.

Ex:

É IMPORTANTE SABER PARA A PROVA ATÉ A SEGUNDA CASA DECIMAL DOS NÚMEROS ABAIXO!

Decore!



68


Números Naturais:

= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}6

Números Inteiros:

= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Números Racionais:

=

NbeZab

a;

Todos as frações, números decimais finitos e infinitos com dízima periódica.

Números Irracionais:

II = – São todas as dízimas não-periódicas.

Representando graficamente, teremos o seguinte:

Agora iremos ver como se transforma uma fração em número decimal e vice-versa. Começaremos com o primeiro caso.

6 As reticências significam a continuidade desse conjunto, isto é, que esse conjunto é infinito.

Simbologia: ; ou / significa a expressão “tal que”;

e significam pertence e não pertence, respectivamente.

II

0

1 2

-1

-2

-3

2,5

6,666...

e



69


I) Transformando fração em número decimal:

1º) Basta realizar a divisão do numerador pelo denominador. Se o numerador for menor que o denominador, acrescente um 0 ao dividendo

e um 0 e uma vírgula ao quociente;

2º) No momento que se chega ao resto, acrescente um zero a ele e uma vírgula ao quociente e efetue a divisão. Se oresto continuar inferior ao

divisor, acrescente um zero a ele e um zero ao quociente, sem a necessidade de acrescentar mais vírgulas;

3º) Após a divisão, se o resto não for zero, repita o segundo passo até

que você chegue ao resto zero ou perceba a formação da dízima

periódica.

Exemplos:

1) 2

5 2)

10

25 3)

3

1 4)

6

17

1)

“5 > 2, ok!” “5 – 4 = 1” “2 x 2 = 4”

0

10

10

5,24

25

10

5,24

25

10

,24

25

1

24

25

2

2525

“2 x 2 = 4” “1 < 2, acrescenta “10 – 10 = 0”

Um 0 a esquerda e uma

Vírgula no quociente”

Portanto, 5,22

5 .



70


2)

“5 > 2, ok!” “25 – 20 = 5” “5 x 10 = 50”

0

50

50

5,220

1025

50

5,220

1025

50

,220

1025

5

220

1052

2

10251025

“2 x 10 = 20” “5 < 10, acrescenta “50 – 50 = 0”



Portanto, 5,210

25 .

Veja que essas duas frações são equivalentes, pois a divisão de ambas dão o mesmo resultado.

3)

“1<3, acrescenta “10 – 9 = 1” “3 x 3 = 9”

um 0 a esquerda e

um 0 e uma vírgula

no quociente”

10

33,09

310

10

3,09

310

1

3,09

310

3,0

310

,0

31031

“3 x 3 = 9” “1 < 3, acrescenta

Um 0 a esquerda”

...

1

9

10

33,09

310

“50 – 50 = 0”

Portanto, 3,0...333,03

1 .



71


4)

“17 > 6, ok!” “17 – 12 = 5” “8 x 6 = 48”

2

48

50

8,212

617

50

8,212

617

50

,212

617

5

212

617

2

617617

“2 x 6 = 12” “5 < 6, acrescenta “50 – 48 = 2”



“17 – 12 = 5” “3 x 6 = 18” “2 < 6, acrescenta

Um 0 a esquerda”

20

18

20

48

50

83,212

617

2

18

20

48

50

83,212

617

20

48

50

83,212

617

20

48

50

8,212

617

2

48

50

8,212

617

“2 < 6, acrescenta “20 – 18 = 2”

Um 0 a esquerda” “3 x 6 = 18”

...

2

28

20

18

20

48

50

833,212

617

20

18

20

48

50

833,212

617

“20 – 18 = 2”



72


Portanto, 38,2...8333,26

17 .

Dicas de Mestre!

Sempre que se divide um número por 1 seguido de zeros, basta

andar com a vírgula para a esquerda uma quantidade de casas igual a quantidade de zeros.

Exemplos:

1) 5,1210

0,125

10

125

2) 25,1100

0,125

100

125

3) 125,01000

0,125

1000

25

4) 0125,010000

0,125

10000

25

II) Transformando número decimal finito em fração:

1º) escreva o número sem a vírgula no numerador (sem zeros a

esquerda dele, se houver).

2º) Coloque o número 1 no denominador seguido de uma quantidade de zeros igual a quantidade de casas decimais do

número que você está transformando.

Exemplos:

1) 0,5 2) 0,25 3) 9,426 4) 1,5

1) 2

1

10

55,0

5

5

2) 4

1

100

2525,0

25

25



73


3)

50

4713

1000

9426426,9

2

2

4) 2

3

10

155,1

5

5

Muito fácil, né?! Agora vamos a última transformação, que já caiu em prova!

III) Transformando número decimal infinito com dízima periódica

em fração:

1º) No numerador, faça a diferença entre dois números: o primeiro é dado pelos algarismos do número decimal até o

primeiro período da dízima periódica; o segundo é dado pelos

algarismos do número decimal até o algarismo imediatamente anterior ao primeiro período da dízima periódica;

2º) No denominador, teremos uma quantidade de 9 igual a

quantidade de algarismos do período da dízima periódica, seguido por uma quantidade de zeros igual a quantidade de algarismos, da

parte decimal, que não compõem o período da dízima periódica.

- Aluno: ―Pedrinho, esse daí eu não entendi nada!‖ - Pedrinho: ―Dá uma olhada nos exemplos abaixo que ficará muito mais

claro! Você verá que não é difícil assim como você pensa! ‖

Exemplos:

1) 3,0 2) 52,0 1) 32,1 1) 1312,2

1)

Período da dízima periódica = 3 Algarismos até o primeiro período

Numerador = 03 – 0 = 3 – 0 = 3

Algarismos até imediatamente anterior ao período

Quantidade de algarismos do período

Denominador = 9



74


Portanto, 3

1

9

33,0

3

3

.

2)

Período da dízima periódica = 5

Algarismos até o primeiro período

Numerador = 025 – 02 = 25 – 2 = 23

Algarismos até imediatamente anterior ao primeiro período


Denominador = 90 = 90

Quantidade de algarismos, da parte decimal, que não compõem o período

Portanto, 90

2352,0 .

3)


Numerador = 123 – 12 = 123 – 12 = 111




75





Portanto, 30

37

90

11132,1

3

3

.

4)


Numerador = 21213 – 212 = 21213 – 212 = 21001





Portanto, 9900

210011312,2 .

Vamos à questão que rolou no ENEM?

4 (ENEM 2014/2ª aplicação – QUESTÃO 142 CADERNO CINZA). Um estudante se cadastrou numa rede social na internet que exibe o índice de

popularidade do usuário. Esse índice é a razão entre o número de admiradores do usuário e o número de pessoas que visitam seu perfil na



76


rede. Ao acessar seu perfil hoje, o estudante descobriu que seu índice de popularidade é 0,3121212...

O índice revela que as quantidades relativas de admiradores do estudante

e pessoas que visitam seu perfil são

A) 103 em cada 330. B) 104 em cada 333.

C) 104 em cada 3333. D) 139 em cada 330.

E) 1039 em cada 3330.

Comentários:

Quando ele diz que ―Esse índice é a razão entre o número de

admiradores do usuário e o número de pessoas que visitam seu perfil na rede‖, lembre-se que razão é o mesmo que divisão; e divisão

é o mesmo que fração.

Como o índice é igual a 0,3121212..., Basta transformá-lo em forma de fração, para obter a proporção pedida. Veja que o número possui uma

dízima periódica, logo ele entrará no terceiro caso. Com isso, tem-se que:


Numerador = 0312 – 03 = 312 – 3 = 309





Portanto, 330

103

990

309...3121212,0

3

3

.



77


Logo 103 em cada 330 é a quantidade relativa de admiradores do estudante e pessoas que visitam o perfil, respectivamente.

Resposta: Letra “A”

1.9.2. Operações com Números Decimais.

Esse é um dos pontos mais importantes da aula, porque sei que muitos alunos têm dificuldade ao realizar essas operações. O meu objetivo será

―arrancar‖ esse medo de muitos e mostrar como você tem capacidade de realizar esses cálculos. Vamos ver? ;)

1.9.2.1. Adição e Subtração de Números Decimais

Começaremos com as mais simples de todas, pois, com elas, basta colocar parte inteira abaixo de parte inteira e parte decimal abaixo

de parte decimal. Depois, só efetuar os cálculos como aprendemos para os números inteiros. Veja os exemplos abaixo:

1) 3 + 2,7 2) 21,5 + 9,7 + 3,8 3) 34,5 – 16,9 4) 10 – 2,9


1)



“fica 7” “desce a vírgula”

7,5

7

0

,2

,3

7

7

0

,2

,3

7,2

0,3

523770



78


2) “somando “somando “somando


0,53

8

7

5

,3

,9

,1

2

2

1

05

8

7

5

,3

,9

,1

2

2

1

0

8

7

5

,3

,9

,1

2

2

8,3

7,9

5,12

)321(15391220875

“fica 0 e sobe 2” “fica 5 e sobe 1” “fica 3 e desce a vírgula” 3)



“pega 1 emprestado “pega 1 emprestado “desce a vírgula”

do 4, fica 3; o 5 vira 15” do 3, fica 2; o 3 vira 13”

4)


a 1ª coluna” a 1ª coluna” todas as colunas”

“pega 1 emprestado “pega 1 emprestado “desce a vírgula”

do 1, fica 0; o 1º 0 vira 10” do 10, fica 9; o 2º 0 vira 10”

Muito tranquilo, né?! Não precisa desesperar tanto assim com matemática. Apenas lembre-se para esses casos: deixar a vírgula

embaixo da vírgula. Se necessário, complete com zeros a direita

número tenha a mesma quantidade de casas decimais.

6,71

9

5

15

,6

,4

13

1

3

2

6

9

5

15

,6

,4

3

1

3

9,6

5,4

1

3

133

213

155

314

1,70

9

0

10

,2

,0

01

9

1

0

9

0

,2

,0

10

1

0

9,2

0,01

100

9110

100

011



79


1.9.2.2. Multiplicação de Números Decimais

Para fazer a multiplicação de números decimais, basta realizar a multiplicação como se não houvesse vírgula. No resultado final, conte a

quantidade de casas decimais dos números multiplicados e coloque a vírgula, contando da direita para a esquerda, a mesma quantidade obtida

na soma. Veja abaixo:

1) 2) 3)

9

5,4

7,2

5,3

9,6

54

1

,3

Resolvendo cada um deles:

1)




542

7

5

,2

,3

3

50

7

5

,2

,3

3

7,2

5,3

)24337()3557(


5,13

9

5,3

4

50

9

5,3

4

9

5,3

)31439()4559(

1 casa decimal

1 casa decimal



80



07

542

7

5

,2

,3

1

0

542

7

5

,2

,3

1

542

7,2

5,3

)7132()1052(

“Pula-se uma casa; “somam-se os resultados”

fica 0 e sobe 1”

54,9

07

542

7

5

,2

,3

1


5013

9

5

,6

4

4

1

,3

4

5013

9

5

,6

4

4

1

,3

4

5

9

5

,6

4

4

1

,3

9,6

54

1

,3

)31439()40449()4559(



0702

5013

9

5

,6

4

3

1

,3

2

07

5013

9

5

,6

4

3

1

,3

2

0

5013

9

5

,6

4

3

1

,3

5013

9

5

,6

4

1

,3

)20236()27346()3056(


1 casa decimal

1 casa decimal

2 casa decimais



81



543

0702

5013

9

5

,6

4

1

,3

54

0702

5013

9

5

,6

4

1

,3

5

0702

5013

9

5

,6

4

1

,3

0702

5013

9

5

,6

4

1

,3

)331()441()551(

“somam-se os resultados”

503,85

543

0702

5013

9

5

,6

4

1

,3

1.9.2.3. Divisão de Números Decimais

Para efetuar divisão com números decimais, ande a mesma quantidade de casas decimais com a vírgula para a direita com os dois números e efetue

a divisão normalmente.

1) 0,5 : 0,2 2) 0,25 : 0,1 3) 0,01 : 0,03 4) 1,7 : 0,6

1) 0,5 : 0,2 5 : 2

“5 > 2, ok!” “5 – 4 = 1” “2 x 2 = 4”

0

10

10

5,24

25

10

5,24

25

10

,24

25

1

24

25

2

2525

“2 x 2 = 4” “1 < 2, acrescenta “10 – 10 = 0”



Portanto, 5,22

5 .

2) 0,25 : 0,1 = 0,25 : 0,10 = 25 : 10

2 casa decimais

1 casa decimal

3 casa decimais



82


“5 > 2, ok!” “25 – 20 = 5” “5 x 10 = 50”

0

50

50

5,220

1025

50

5,220

1025

50

,220

1025

5

220

1052

2

10251025

“2 x 10 = 20” “5 < 10, acrescenta “50 – 50 = 0”



Portanto, 5,210

25 .

3) 0,01 : 0,03 = 1 : 3

“1<3, acrescenta “10 – 9 = 1” “3 x 3 = 9”

um 0 a esquerda e

um 0 e uma vírgula

no quociente”

10

33,09

310

10

3,09

310

1

3,09

310

3,0

310

,0

31031

“3 x 3 = 9” “1 < 3, acrescenta

Um 0 a esquerda”

...

1

9

10

33,09

310

“50 – 50 = 0”

Portanto, 3,0...333,03

1 .

4) 1,7 : 0,6 = 17 : 6



83


“17 > 6, ok!” “17 – 12 = 5” “8 x 6 = 48”

2

48

50

8,212

617

50

8,212

617

50

,212

617

5

212

617

2

617617

“2 x 6 = 12” “5 < 6, acrescenta “50 – 48 = 2”



“17 – 12 = 5” “3 x 6 = 18” “2 < 6, acrescenta

Um 0 a esquerda”

20

18

20

48

50

83,212

617

2

18

20

48

50

83,212

617

20

48

50

83,212

617

20

48

50

8,212

617

2

48

50

8,212

617

“2 < 6, acrescenta “20 – 18 = 2”

Um 0 a esquerda”

“3 x 6 = 18”

...

2

28

20

18

20

48

50

833,212

617

20

18

20

48

50

833,212

617

“20 – 18 = 2”

Portanto, 38,2...8333,26

17 .



84


1.10. Expressões Numéricas

Agora nós iremos aprender como resolver TODAS AS OPERAÇÕES JUNTAS. Para isso, há uma ordem de preferências para elas:

Lembrando que, para cada quadro, as operações são realizadas na

ordem que aparecem da esquerda para a direita.

Exemplos:

1) 5

3.

25

6:

5

2 2)

4

6:

8

1

2

6.

3

1 3)

7

8:

21

16

3

1.

4

7:

8

21

Vamos as soluções...

1) 5

3.

25

6:

5

21

1

1

5

3.

6

25.

5

2

2) 12

13

12

11

6

4.

8

1

1

1

4

6:

8

1

2

6.

3

1

4

6:

8

1

2

6.

3

114

24

3) 6

1

6

43

3

2

2

1

8

7.

21

16

3

1.

7

4.

8

21

7

8:

21

16

3

1.

4

7:

8

21

18

17

37

2814

24

Agora, dependendo da situação e do contexto, é necessário ―quebrar‖ essa ordem de prioridade nas operações. Para isso, há alguns símbolos

que terão preferências sobre aquelas. São esses abaixo:

Potenciação ou Radiciação

Multiplicação ou Divisão

Adição ou Subtração

1)

Parênteses ( )

Conchetes [ ]

Chaves { }



85


Então perceba que primeiro há uma ordem nos símbolos e, depois,

segue-se a ordem das operações. Veja nos exemplos abaixo:

1)

10

71

2

1

5

1

4

13

2)

6

1

15

13.

13

5:

8

1

4

9:

2

1.1

3)

4

3

2

1:1

2

3

2

1.2

32

4)

9

1:

3

21

5

9.

3

1

2

132

5)

2

2

1

4

1:

8

32

51

- Aluno: ―Pedrinho, sei nem errar!‖

- Pedrinho: ―Calma, fi! Desespera não! Siga a ordem que te ensinei acima, passo-a-passo.‖

1º siga a ordem dos símbolos:

Depois siga a ordem das operações:

Parênteses ( )

Conchetes [ ]

Chaves { }

Potenciação ou Radiciação

Multiplicação ou Divisão

Adição ou Subtração

Fique atento!

Operações com Números Reais Prof. Pedro Felippe (Pedrinho)

86


Agora mãos a obra!

1)

10

71

2

1

5

1

4

13

10

3

20

10453

10

3

20

19

1

3

4

7

20

35

20

61960 5

5

2)

6

1

15

13.

13

5:

8

1

4

9:

2

1.1

35

15

6

1

3

1:

8

1

4

9:

2

1

6

12:

8

1

9

4.

2

122

12

6

1:

8

1

9

2

6

1:

72

916

6

1:

72

25

1)


87


12

25

1

6.

72

2516

126

3)

4

3

2

1:1

2

3

2

1.2

32

4

3

8

1:

2

1

1

12

4

3

1

8.

2

1

1

1

4

341

4

15

4

191

4)

9

1:

3

21

5

9.

3

1

2

132

9

1:

3

1

5

9.

6

2332

9

1:

27

1

5

9.

6

52

9

1:

27

1

5

9.

36

25

15

19

49

55

1

1)

1)


88


1

9.

27

1

4

519

39

3

1

4

5

12

19

12

415

5)

2

2

1

4

1:

8

32

51

(há um parênteses implícito no numerador

E no denominador da fração maior)

4

1

1

4.

8

3

2

7

14

24

4

1

2

32

7

4

1

3

2.

2

7

4

1

3

7

12

25

12

328

1)


89


A partir do momento que você tem prática, para realizar esses cálculos, eles se tornam mais rápidos, porque, naturalmente, você ―pula‖ alguns

passos. Mas se lembre de treinar para que isso aconteça!

Agora iremos trabalhar de verdade! Resolveremos todas as questões Sobre este tópico das últimas provas! Tente resolver

antes sem ler os comentários.

6 (ENEM 2014/2ª aplicação – QUESTÃO 141 CADERNO CINZA). O

ferro é um mineral fundamental para que as células mantenham seu bom funcionamento. Ele é essencial ao transporte do oxigênio, síntese de DNA

e metabolismo energético. É recomendado para meninos de 9 a 13 anos ingerirem, pelo menos, 8 mg de ferro por dia. Pesquisadores elaboraram

a tabela com alguns alimentos e as suas respectivas quantidades de ferro:

A diretora de uma escola sabe que deve escolher para o almoço de seus

alunos o máximo de cardápios possíveis entre três cardápios existentes, no(s) qual(is) cada porção equivale a 100g e cada copo a 50g.

Para ter a certeza que seus alunos estão ingerindo a quantidade mínima de ferro recomendada, a diretora deve escolher o(s) cardápio(s)


90


A) 1. B) 2.

C) 3. D) 1 ou 2.

E) 1 ou 3.

Comentários:

Note pela 1ª tabela fornecida que a quantidade de ferro é para cada 100g

de alimento, que corresponde a quantidade da porção. Como 50g, que corresponde ao copo, é metade de 100g, todos os valores

correspondentes ao ferro também serão considerados pela metade.

Resumindo: se no cardápio falar ―porção‖, valor da tabela; se falar

―copo‖, metade do valor da tabela. De boa¿

Lembrando que os cardápios selecionados serão aqueles cuja quantidade de ferro é no mínimo igual a 8mg, isto é, maior ou igual a 8mg.

Agora vamos calcular a quantidade de ferro total para cada cardápio:

Cardápio 1: 2,6 + 6,5 + 3,1 = 12,2mg (ok)

2 porções de feijão carioca = 2 x 1,3 = 2,6mg

1 porção de coração de frango = 1 x 6,5 = 6,5mg

1 porção de amêndoa = 1 x 3,1 = 3,1mg

Cardápio 2: 2,3 + 3,5 + 2,6 = 8,4mg (ok)

2 copos de caldo de cana = 2 x 2

1 x 2,3 = 2,3mg

1 porção de sardinha em conserva = 1 x 3,5 = 3,5mg

2 porções de feijão carioca = 2 x 1,3 = 2,6mg

Cardápio 3: 3,0 + 0,9 + 3,0 = 6,9mg (incompatível)

2 porções de lentilha = 2 x 1,5 = 3,0mg


91


3 porções de filé de frango = 3 x 0,3 = 0,9mg

2 porções de batata doce = 2 x 1,5 = 3,0mg

Logo os únicos cardápios que podem ser utilizados são o 1 e o 2.

Resposta: Letra “D”

7 (ENEM 2014/2ª aplicação – QUESTÃO 163 CADERNO CINZA). Pesquisas indicam que o número de bactérias X é duplicado a cada quarto

de hora. Um aluno resolveu fazer a observação para verificar a veracidade

dessa afirmação. Ele usou uma população inicial de 105 bactérias X e encerrou a observação ao final de uma hora.

Suponha que a observação do aluno tenha confirmado que o número de

bactérias X se duplica a cada quarto de hora.

Após uma hora do início do período de observação desse aluno, o número de bactérias X foi de

A) 2–2.105.

B) 2–1.105.

C) 22.105.

D) 23.105.

E) 24.105.

Comentários:

Para cada quarto de hora (1/4), a quantidade de bactérias X é duplicada, isto é, multiplicada por 2. Para se completar uma hora, necessita-se de

quatro quartos de hora (4/4 = 1 inteiro). Com isso, sabendo-se que a quantidade inicial é de 105, tem-se que:

542

1)4/4(

532

)4/3(

522

)4/2(

52

)4/1(

5 10.210.210.210.210

hhhhh

Logo a quantidade de bactérias ao final de uma hora é de 24.105. Lembre-se que uma multiplicação de números repetidos equivale a uma

potência, cujo expoente representa a quantidade de vezes que se multiplica esse número.

Resposta: Letra “E”

8 (ENEM 2013/2ª aplicação – QUESTÃO 137 CADERNO CINZA).

Médicos alertam sobre a importância de educar as crianças para terem hábitos alimentares saudáveis. Por exemplo, analisando-se uma bolacha


92


com recheio de chocolate (25 g) e um pé de alface (25 g), observam-se as seguintes quantidades de nutrientes, respectivamente:

• carboidratos: 15 g e 0,5 g; • proteínas: 1,9 g e 0,5 g.

Disponível em: http://veja.abril.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).

Considerando as informações apresentadas, qual deve ser o número de

pés de alface consumidos para se obter a mesma quantidade de carboidratos de uma bolacha?

A) 50

B) 30 C) 14

D) 8 E) 7

Comentários:

Pelo trecho

―... uma bolacha com recheio de chocolate (25 g) e um pé de alface

(25 g), observam-se as seguintes quantidades de nutrientes,

respectivamente:

• carboidratos: 15 g e 0,5 g...‖

Podemos afirmar que a quantidade de carboidratos na bolacha é 15g e quantidade do pé de alface 0,5g, devido a palavra ―respectivamente‖,

obedecendo-se a ordem que foi escrita.

Para sabermos quanto do pé de alface ―cabe‖ para cada bolacha, basta dividir o valor do segundo pelo primeiro, ou seja:

15 : 0,5 150 : 5 = 30.

OBS: na divisão com número decimal, anda-se com a vírgula para

a direita com ambos os números (pode-se acrescentar zeros para

cada casa).

Portanto se deve consumir 30 pés de alface, para se obter a mesma quantidade de carboidrato da bolacha.



93


9 (ENEM 2013/2ª aplicação – QUESTÃO 139 CADERNO CINZA). O cometa Halley orbita o Sol numa trajetória elíptica periódica. Ele foi

observado da

Terra nos anos de 1836 e 1911. Sua última aparição foi em 1986 e sua

próxima aparição será em 2061.

Qual é o ano da segunda aparição do cometa anterior ao ano de 2012?

A) 1836

B) 1862 C) 1911

D) 1937 E) 1986

Comentários:

Ordenando a ordem de aparição do cometa Halley em cada momento,

tem-se:

“Ele foi observado da Terra nos anos de 1836 e 1911”

1836 1911

“Sua última aparição foi em 1986 e sua próxima aparição será em

2061”

1836 1911 1986 2061

Pergunta-se qual o ano da segunda aparição antes de 2012.

1836 1911 1986 2012 2061

1ª vez 2ª vez 3ª vez

Logo a segunda aparição antes de 2012 foi em 1911.



94


10 (ENEM 2013/2ª aplicação – QUESTÃO 145 CADERNO CINZA adaptada). Estudos revelam que, independentemente de etnia, idade e

condição social, as pessoas têm padrões estéticos comuns de beleza facial e que as faces

consideradas bonitas apresentam-se em proporção áurea. A proporção áurea é a

constante Φ = 1,618...

Uma agência de modelos reconhece a

informação citada e utiliza-a como critério de beleza facial de suas contratadas. Para

entrevistar uma nova candidata a modelo, a referida agência pede uma fotografia de rosto

no ato da inscrição e, com ela, determina as medidas mostradas na figura.

2

3

3

1

M

M

M

M

Analisando a fotografia de cinco candidatas, I, II, III, IV e V, para a seleção de uma única garota, foram constatadas estas medidas:

• Candidata I: M1 = 11 cm; M2 = 5,5 cm e M3 = 7 cm.

• Candidata II: M1 = 10,5 cm; M2 = 4,5 cm e M3 = 6,5 cm. • Candidata III: M1 = 11,5 cm; M2 = 3,5 cm e M3 = 6,5 cm.

• Candidata IV: M1 = 10 cm; M2 = 4 cm e M3 = 6,5 cm. • Candidata V: M1 = 10,5 cm; M2 = 4 cm e M3 = 6,5 cm.

CONTADOR, P. R. M. A matemática na arte e na vida.

São Paulo: Livraria da Física, 2007 (adaptado).

A candidata selecionada pela agência de modelos, segundo os critérios da

proporção áurea, foi

A) I. B) II.

C) III. D) IV.

E) V.

Comentários:


95


Para que uma modelo seja selecionada, tanto a primeira divisão 3

1

M

M,

quanto a segunda 2

3

M

M devem estar o mais próximas possíveis do valor da

razão áurea Φ = 1,618...

Como em todos os casos faremos uma divisão de números decimais, ande

uma casa para a direita com a vírgula para efetuá-la, lembrando que, se não houver vírgula, basta acrescentar um zero. Com isso, teremos os

seguintes valores para as modelos:

• Candidata I: M1 = 110 cm; M2 = 55 cm e M3 = 70 cm. • Candidata II: M1 = 105 cm; M2 = 45 cm e M3 = 65 cm.

• Candidata III: M1 = 115 cm; M2 = 35 cm e M3 = 65 cm. • Candidata IV: M1 = 100 cm; M2 = 40 cm e M3 = 65 cm.

• Candidata V: M1 = 105 cm; M2 = 40 cm e M3 = 65 cm.

Logo as seguintes razões serão:

• Candidata I: M1 = 110 cm; M2 = 55 cm e M3 = 70 cm.

57,170

110

3

1 M

M e 27,1

55

70

2

3 M

M

• Candidata II: M1 = 105 cm; M2 = 45 cm e M3 = 65 cm.

61,165

105

3

1 M

M e 44,1

45

65

2

3 M

M

• Candidata III: M1 = 115 cm; M2 = 35 cm e M3 = 65 cm.

76,165

115

3

1 M

M e 85,1

35

65

2

3 M

M

• Candidata IV: M1 = 100 cm; M2 = 40 cm e M3 = 65 cm.

53,165

100

3

1 M

M e 62,1

40

65

2

3 M

M

• Candidata V: M1 = 105 cm; M2 = 40 cm e M3 = 65 cm.


96


61,165

105

3

1 M

M e 62,1

40

65

2

3 M

M

Veja que a candidata V teve os resultados mais próximos da razão áurea, logo ela deve ser selecionada.


11 (ENEM 2013/2ª aplicação – QUESTÃO 162 CADERNO CINZA). Em um jogo educativo, o tabuleiro é uma representação da reta numérica

e o jogador deve posicionar as fichas contendo números reais corretamente no tabuleiro, cujas linhas pontilhadas equivalem a 1 (uma)

unidade de medida.

Cada acerto vale 10 pontos. Na sua vez de jogar, Clara recebe as seguintes fichas:

Para que Clara atinja 40 pontos nessa rodada, a figura que representa seu jogo, após a colocação das fichas no tabuleiro, é:

A)

B)

C)

D)


97


E)

Comentários:

Para que Clara atinja 40 pontos, ela deve acertar a posição de todos os pontos. A partir do ponto 0 (que é a origem da reta), o ponto fica cada

vez mais positivo para a direita e cada vez mais negativo para a esquerda.

Para facilitar, colocaremos todos os números na forma decimal:

7,13 X (uma das raízes que pedi para você decorar o valor)

5,02

1Y

5,12

3Z

5,2T

Ordenando-se em ordem crescente esses números, tem-se:

-2,5 , -0,5 , 1,5 , 1,7

(T) (Y) (Z) (X)

Com isso já descartamos as alternativas B e E.

Agora, note que, da esquerda para a direita:

-3 < -2,5 < -2 (-2,5 está entre -3 e -2), logo T está antes da primeira linha tracejada;

-1 < -0,5 < 0 -0,5 está entre -1 e 0), Logo Y está entre a 2ª e 3ª linhas

tracejadas;

1 < 1,5 < 2 (1,5 está entre 1 e 2), Logo Z está entre a 4ª e 5ª linhas tracejadas;

1 < 1,7 < 2 (1,7 está entre 1 e 2), Logo X está entre a 4ª e 5ª linhas

tracejadas;


98


1,5 < 1,7, logo Z vem antes de X.

Portanto teremos o seguinte formato:

-2 -1 0 1 2 3


12 (ENEM 2013/2ª aplicação – QUESTÃO 162 CADERNO CINZA). O matemático americano Eduardo Kasner pediu ao filho que desse um nome

a um número muito grande, que consistia do algarismo 1 seguido de 100

zeros. Seu filho batizou o número de gugol. Mais tarde, o mesmo matemático criou um número que apelidou de gugolplex, que consistia

em 10 elevado a um gugol.

Quantos algarismos tem um gugolplex?

A) 100 B) 101

C) 10100 D) 10100 + 1

E) 101000 + 1

Comentários:

O gugol consiste no seguinte número:

100

100

100...0001 vezes

,

Afinal, como exposto em aula, a quantidade de zeros equivale ao expoente na base 10, quando temos o número 1 seguido de zeros.

Agora o gugolplex equivale a:

vezes100

100

10

10 0...00000110 ,

Que é um número que possui 10100 zeros e um algarismo 1, logo ele possui 10100 + 1 algarismos.



99


13 (ENEM 2013/2ª aplicação – QUESTÃO 178 CADERNO CINZA). Uma característica interessante do som é sua frequência. Quando uma

fonte sonora se aproxima do ouvinte, o som ouvido por ele tem uma frequência maior do que o som produzido pela mesma fonte sonora, se

ela estiver parada. Entretanto, se a fonte sonora se afasta do ouvinte, a frequência é menor. Esse fenômeno é conhecido como efeito Doppler.

Um ouvinte parado junto a uma fonte ouve o seu som com uma

frequência constante, que será denotada por ƒ. Quatro experimentos foram feitos com essa fonte sonora em movimento. Denotaremos por ƒ1,

ƒ2, ƒ3 e ƒ4 as frequências do som da fonte sonora em movimento ouvido

pelo ouvinte, que continua parado, nos experimentos 1, 2, 3 e 4, respectivamente.

Depois de calculadas as frequências, as seguintes relações foram obtidas:

ƒ1 = 1,1ƒ, ƒ2 = 0,99ƒ1, ƒ1 = 0,9ƒ3 e ƒ4= 0,9ƒ

Em quais experimentos a fonte sonora se afastou do ouvinte?

A) Somente nos experimentos 1, 2 e 3.

B) Somente nos experimentos 2, 3 e 4. C) Somente nos experimentos 2 e 4.

D) Somente nos experimentos 3 e 4. E) Somente no experimento 4.

Comentários:

Segundo o contexto, para que uma fonte esteja se aproximando, ―o som ouvido por ele tem uma frequência maior do que o som produzido

pela mesma fonte sonora‖, isto é, a razão entre a frequência fx e f é maior que 1. De modo contrário, para que uma fonte esteja se

afastando, ―...a frequência é menor‖, isto é, a mesma razão é menor que 1.

Com isso, tem-se que:

1) .1,11,1 11

f

fff

(a fonte está se aproximando)

2) ffffff 089,11,199,099,0 2212



100


3) ffffffff 2,19,0

1,11,19,09,0 33313


4) .9,09,0 44

f

fff

(a fonte está se afastando)

Está vendo a importância da divisão de números com vírgula? Por

favor! Treine isso!


14 (ENEM 2012/2ª aplicação – QUESTÃO 137 CADERNO CINZA). Cinco times de futebol (A, B, C, D e E) ocuparam as primeiras colocações

em um campeonato realizado em seu país. A classificação final desses clubes apresentou as seguintes características:

• O time A superou o time C na classificação;

• O time C ficou imediatamente à frente do time E;

• O time B não ficou entre os 3 últimos colocados; • O time D ficou em uma classificação melhor que a do time A.

Assim, os dois times mais bem classificados foram

A) A e B.

B) A e C. C) B e D.

D) B e E. E) C e D.

Comentários:

Aqui temos que organizar os times segundo a sua classificação. Veremos

as várias possibilidades a partir das afirmações da questão. Começaremos

com a 2ª afirmação:

―O time C ficou imediatamente à frente do time E.‖

Teremos as seguintes disposições:

__ , __ , __ , E , C ou __ , __ , E , C , __ ou

__ , E , C , __ , __ ou E , C , __ , __ , __


101


Pela primeira afirmação ―O time A superou o time C na classificação‖, então A deve ficar a frente de C, isto é, deve sobrar alguma posição a

frente de C. Note que não precisa ser imediatamente depois, como é o caso de E e C, com isso, descartamos a primeira possibilidade

acima.

__ , __ , E , C , __ ou __ , E , C , __ , __ ou E , C , __ , __ , __

Pela última afirmação ―O time D ficou em uma classificação melhor que a do time A‖, Como A está a frente de C e D está a frente de A,

então D também está a frente de C, devendo sobrar pelo menos duas

posições a frente de C. Com isso, descartamos a 1ª opção acima e teremos as possíveis configurações:

__ , E , C , A , D ou E , C , A , D , __ ou E , C , A , __ , D .

Pela terceira afirmação ―O time B não ficou entre os 3 últimos

colocados‖, tem-se que B ficará em 1º ou 2º lugar, fazendo com que descartemos a 1ª opção acima.

E , C , A , D , B ou E , C , A , B , D .

Note que em ambos os casos temos B e D nas duas primeiras

colocações, que é o pedido da questão. Com os dados da questão, não é possível afirmar suas posições exatas.


15 (ENEM 2012/2ª aplicação – QUESTÃO 146 CADERNO CINZA). Em uma floresta, existem 4 espécies de insetos, A, B, C e P, que têm um

ciclo de vida semelhante. Essas espécies passam por um período, em anos, de desenvolvimento dentro de seus casulos. Durante uma

primavera, elas saem, põem seus ovos para o desenvolvimento da próxima geração e morrem.

Sabe-se que as espécies A, B e C se alimentam de vegetais e a espécie P

é predadora das outras 3. Além disso, a espécie P passa 4 anos em desenvolvimento dentro dos casulos, já a espécie A passa 8 anos, a

espécie B passa 7 anos e a espécie C passa 6 anos.

As espécies A, B e C só serão ameaçadas de extinção durante uma

primavera pela espécie P, se apenas uma delas surgirem na primavera junto com a espécie P.

Nessa primavera atual, todas as 4 espécies saíram dos casulos juntas.


102


Qual será a primeira e a segunda espécies a serem ameaçadas de extinção por surgirem sozinhas com a espécie predadora numa próxima

primavera?

A) A primeira a ser ameaçada é a espécie C e a segunda é a espécie B.

B) A primeira a ser ameaçada é a espécie A e a segunda é a espécie B.

C) A primeira a ser ameaçada é a espécie C e a segunda é a espécie A.

D) A primeira a ser ameaçada é a espécie A e a segunda é a

espécie C. E) A primeira a ser ameaçada é a espécie B e a segunda é a

espécie C.

Comentários:

Considerando o ano atual como sendo o ano zero – ano inicial –, os anos que elas saíram dos casulos correspondem aos múltiplos de seus períodos

de desenvolvimento, isto é:

P: m(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...}

A: m(8) = {0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 64, 72, 80, ...}

B: m(7) = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, ...}

C: m(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, ...}

Como ‖As espécies A, B e C só serão ameaçadas de extinção

durante uma primavera pela espécie P, se apenas uma delas surgirem na primavera junto com a espécie P‖, Basta analisar quais

são os primeiros múltiplos comuns de A, B, C e P, com o detalhe que eles não podem se repetir entre A, B e C. Veja abaixo:

P: m(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...}

A: m(8) = {0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 64, 72, 80, ...}

B: m(7) = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, ...}

C: m(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, ...} Veja que os números com a mesma cor equivalem aos primeiros múltiplos

comuns entre P e A, B e C. Com isso, as espécies a serem ameaçadas serão A e C, nessa ordem.


103



16 (ENEM 2012/2ª aplicação – QUESTÃO 150 CADERNO CINZA). O sistema de numeração romana, hoje em desuso, já foi o principal sistema

de numeração da Europa. Nos dias atuais, a numeração romana é usada no nosso cotidiano essencialmente para designar os séculos, mas já foi

necessário fazer contas e descrever números bastante grandes nesse sistema de numeração. Para isto, os romanos colocavam um traço sobre

o número para representar que esse número deveria ser multiplicado por

1 000. Por exemplo, o número X representa o número 10 × 1000, ou

seja, 10000.

De acordo com essas informações, os números MCCV e XLIII são,

respectivamente, iguais a

A) 1 205 000 e 43 000. B) 1 205 000 e 63 000.

C) 1 205 000 e 493 000.

D) 1 250 000 e 43 000. E) 1 250 000 e 63 000.

Comentários:

Agora ressuscitaremos das profundezas de seu ensino fundamental os

números romanos:

I 1 XI 11 XXX 30 CD 400

II 2 XII 12 XL 40 D 500

III 3 XIII 13 L 50 DC 600

IV 4 XIV 14 LX 60 DCC 700

V 5 XV 15 LXX 70 DCCC 800

VI 6 XVI 16 LXXX 80 CM 900

VII 7 XVII 17 XC 90 M 1000

VIII 8 XVIII 18 C 100 MM 2000

IX 9 XIX 19 CC 200 MMM 3000

X 10 XX 20 CCC 300 IV 4000

Note que quando temos uma letra de valor menor primeiro que uma letra de valor maior, fazemos a diferença dos valores da segunda pela

primeira. Por exemplo, no caso do número romano IX, note que I = 1 e X = 10 e, como I apareceu primeiro que X, o número IX = 10 – 1 = 9.

Vejas os destaques em vermelho.


104


Portanto, para os números pedidos, lembrando que a barra acima do número romano equivale a multiplicá-lo por 1000 – que é o mesmo

que acrescentar 3 zeros -, tem-se:

12050001000)52001000( VCCM

MCCV

430001000)340( IIIXL

XLIII


17 (ENEM 2012/2ª aplicação – QUESTÃO 155 CADERNO CINZA). O

Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) mede a qualidade de vida dos países para além dos indicadores econômicos. O IDH do Brasil tem

crescido ano a ano e atingiu os seguintes patamares: 0,600 em 1990; 0,665 em 2000; 0,715 em 2010. Quanto mais perto de 1,00, maior é o

desenvolvimento do país. O Globo. Caderno Economia, 3 nov. 2011 (adaptado).

Observando o comportamento do IDH nos períodos citados, constata-se que, ao longo do período 1990-2010, o IDH brasileiro

A) diminuiu com variações decenais crescentes.

B) diminuiu em proporção direta com o tempo. C) aumentou com variações decenais decrescentes.

D) aumentou em proporção direta com o tempo.

E) aumentou em proporção inversa com o tempo.

Comentários:

Pelo texto, quanto mais próximo de 1,00, maior o IDH do país. Note que o IDH do Brasil aumentou nos anos citados no texto:

0,600 ; 0,665 ; 0,715.

1990 2000 2010

Agora analisaremos as suas variações para cada ano, isto é, a diferença do ano posterior pelo ano anterior:

1990 para 2000: 0,665 – 0,600 = 0,065.

2000 para 2010: 0,715 – 0,665 = 0,050.

Note que as variações decresceram de dez em dez anos, isto é, houve variações decenais decrescentes.


105



18 (ENEM 2012/2ª aplicação – QUESTÃO 177 CADERNO CINZA). O Índice de Massa Corporal, abreviadamente IMC, é uma medida

internacional adotada pela Organização Mundial de Saúde (OMS) para indicar se uma pessoa está com ―peso‖ excessivo para sua altura. O

cálculo do IMC é dado pela fórmula IMC = m/h2, sendo m a massa da pessoa, medida em kg, e h a sua altura, em metros. Os valores da tabela

foram ligeiramente adaptados com relação aos adotados pela OMS, para simplicidade nos cálculos.

Assim, segundo a OMS, um indivíduo de 2,10 metros de altura que pesa

80 kg tem IMC inferior a 19, sendo classificado como ―abaixo do peso‖.

Se um indivíduo de 144 kg e 2 metros de altura perder 64 kg numa dieta, então este indivíduo migrará da classe

A) obesidade mórbida para a classe abaixo do peso.

B) obesidade mórbida para a classe peso normal. C) obesidade do tipo 1 para a classe abaixo do peso.

D) obesidade do tipo 1 para a classe peso normal. E) sobrepeso para a classe peso normal.

Comentários:

Para sabermos a classificação da pessoa, basta calcularmos o IMC da

pessoa pela fórmula dada no texto - 2h

mIMC - sendo m a massa da

pessoa, medida em kg, e h a sua altura, em metros.

Em um primeiro momento, temos as seguintes informações da pessoa:

m = 144kg;

h = 2m.


106


Substituindo na fórmula, tem-se:

364

144

2

1442

IMCIMCIMC .

Como 403630 (36 está entre 30 e 40, incluindo o 30), então esse

indivíduo está com obesidade do tipo I.

Ao perder 64kg numa dieta, teremos agora as seguintes informações

(note que não há mudança na altura da pessoa):

m = 144 – 64 = 80kg;

h = 2m.

Substituindo na fórmula, tem-se:

204

80

2

802

IMCIMCIMC .

Como 252019 (20 é maior que 19), então esse indivíduo estará com

peso normal.


19 (ENEM 2011/2ª aplicação – QUESTÃO 148 CADERNO CINZA). Uma agência de viagens de São Paulo (SP) está organizando um pacote

turístico com destino à cidade de Foz do Iguaçu (PR) e fretou um avião com 120 lugares. Do total de lugares, reservou 2/5 das vagas para as

pessoas que residem na capital do estado de São Paulo, 3/8 para as que moram no interior desse estado e o restante para as que residem fora

dele.

Quantas vagas estão reservadas no avião para as pessoas que moram fora do estado de São Paulo?

A) 27

B) 40 C) 45

D) 74

E) 81

Comentários:

Como o total de lugares equivale a 120, tem-se que:


107


―Do total de lugares, reservou 2/5 das vagas para as pessoas que residem na capital do estado de São Paulo...‖

capital do estado de São Paulo: 482421205

2 lugares.

―Do total de lugares, ..., 3/8 para as que moram no interior desse

estado‖

interior do estado de São Paulo: 451531208

3 lugares.

Finalmente, como a questão pede ―o restante para as que residem fora dele‖, isto é, do Estado de São Paulo, tem-se que essa quantidade

de pessoas será:

fora do estado de São Paulo: 120 – 48 – 45 = 27 lugares.



Em uma sala de aula, três alunos resolveram fazer uma brincadeira de medição. Cada um escolheu um objeto próprio para medir o comprimento

da lousa. O primeiro foi até a lousa e, usando o comprimento de um livro, verificou que era possível enfileirar 13 deles e ainda sobrava um pequeno

espaço igual à metade do comprimento do livro. O segundo pegou seu lápis e começou a medir a lousa. No final, percebeu que esse

comprimento era igual a 20 lápis. O terceiro, para economizar tempo, pegou uma régua graduada e mediu o comprimento do livro que o colega

havia usado, obtendo 28 cm.

Com base nessas informações, qual é a medida mais aproximada do

comprimento do lápis?

A) 10 cm B) 18 cm

C) 19 cm D) 26 cm

E) 41 cm

Comentários:

Como o terceiro descobriu que o livro possui 28cm e o primeiro necessitou de 13 livros e metade de outro para medir o quadro, então o

quadro possui, em cm:


108


quadro = 13 x livro + ½ x livro

quadro = 13 x 28 + ½ x 28

quadro = 364 + 14

quadro = 378cm.

A partir do segundo aluno, como se necessita 20 lápis para medir o quadro, ou seja, ―cabem‖ 20 lápis em 378cm, a medida, em cm, do lápis

será dada por:

Lápis = 378/20

Lápis = 18,9cm

Portanto, a medida mais aproximada do tamanho do lápis é 19cm.



Os medicamentos, imediatamente após a ingestão, começam a ser metabolizados pelo organismo, o que faz com que sua concentração no

sangue diminua gradualmente, num processo denominado decaimento. Denomina-se meia-vida de uma substância o tempo necessário para que

o teor dessa substância no sangue se reduza à metade do valor inicial.

Considere a situação em que um médico prescreveu a um paciente uma

dosagem de 800 mg de um medicamento cuja meia-vida é 6 horas, com recomendação de tomar um comprimido a cada 12 horas, durante 3 dias.

Para esse medicamento, considera-se superdosagem um teor superior a 1 520 mg, o que causa riscos de intoxicação.

Apressado em recuperar-se a tempo de ir a uma festa, o paciente sugeriu

ao médico que mudasse a prescrição para 6 em 6 horas, imaginando que, assim, reduziria o tempo de tratamento. O médico contra-argumentou,

informando ao paciente que, caso antecipasse as doses, correria o risco de estar intoxicado em

A) 12 horas.

B) 24 horas.

C) 36 horas. D) 48 horas.

E) 72 horas.

Comentários:


109


A partir do texto, ele define meia-vida como o tempo necessário para a massa da substância cair para a metade do valor anterior. Com isso, para

o devido medicamento, com quantidade inicial de 800mg, a cada 6 horas a quantidade inicial se reduzirá a metade.

Considerando a superdosagem superior a 1520mg e a sugestão ao

médico de tomar de 6 em 6 horas, tem-se o seguinte:

1ª dose 2ª dose 3ª dose

mgmgmgmgmgmgmghorashoras

140080060012008004008002

6

2

6

4ª dose 5ª dose

mgmgmgmgmgmghorashoras

155080075015008007002

6

2

6

Portanto, em 6 x 4 = 24 horas, o medicamento atinge um valor superior a superdosagem.


22 (ENEM 2010/2ª aplicação – QUESTÃO 138 CADERNO AZUL).

Desde 2005, o Banco Central não fabrica mais a nota de R$ 1,00 e, desde então, só produz dinheiro nesse valor em moedas. Apesar de ser mais

caro produzir uma moeda, a durabilidade do metal é 30 vezes maior que a do papel. Fabricar uma moeda de R$ 1,00 custa R$ 0,26, enquanto uma

nota custa R$ 0,17, entretanto, a cédula dura de oito a onze meses. Disponível em: http://noticias.r7.com. Acesso em: 26 abr. 2010.

Com R$ 1 000,00 destinados a fabricar moedas, o Banco Central

conseguiria fabricar, aproximadamente, quantas cédulas a mais?

A) 1 667 B) 2 036

C) 3 846 D) 4 300

E) 5 882

Comentários:

A ideia da questão é o cálculo da quantidade de moedas e notas de 1,00

que se pode fabricar com R$:1000,00. Sabendo-se que o valor da fabricação da moeda e da nota são R$:0,26 e R$:0,17, respectivamente,

para se calcular a quantidade que será fabricada, basta fazer a divisão


110


entre 1000 e o valor da moeda e do papel, afinal, queremos saber quantos 0,26 (e quantos 0,17) ―cabe‖ dentro do 1000, dando a

quantidade pedida. Portanto, tem-se que:

Quantidade de moedas = 384626

100000

26,0

1000

Quantidade de notas = 588217

100000

17,0

1000

Portanto a diferença entre a quantidade de notas e moedas equivale a

quantas notas a mais serão fabricadas em relação às moedas. Logo, tem-se que:

5882 – 3846 = 2036 notas a mais.


23 (ENEM 2010/2ª aplicação – QUESTÃO 152 CADERNO AZUL). Grandes times nacionais e internacionais utilizam dados estatísticos para

a definição do time que sairá jogando numa partida. Por exemplo, nos últimos treinos, dos chutes a gol feito pelo jogador I, ele converteu 45

chutes em gol. Enquanto isso, o jogador II acertou 50 gols. Quem deve ser selecionado para estar no time no próximo jogo, já que os dois jogam

na mesma posição?

A decisão parece simples, porém deve-se levar em conta quantos chutes a gol cada um teve oportunidade de executar. Se o jogador I chutou 60

bolas a gol e o jogador II chutou 75, quem deveria ser escolhido?

A) O jogador I, porque acertou 3/4 dos chutes, enquanto o

jogador II acertou 2/3 dos chutes. B) O jogador I, porque acertou 4/3 dos chutes, enquanto o

jogador II acertou 2/3 dos chutes. C) O jogador I, porque acertou 3/4 dos chutes, enquanto o

jogador II acertou 3/2 dos chutes. D) O jogador I, porque acertou 12/25 dos chutes, enquanto o

jogador II acertou 2/3 dos chutes. E) O jogador I, porque acertou 9/25 dos chutes, enquanto o

jogador II acertou 2/5 dos chutes.

Comentários:

Para sabermos qual jogador foi mais eficiente, faça a razão entre a

quantidade de chutes que ele acertou e a quantidade de chutes


111


total, como se fosse a própria ideia de fração explicada em aula: o que quero dividido pelo total. Com isso, teremos para cada jogador:

―jogador I, ele converteu 45 chutes em gol...‖ e ―...jogador I

chutou 60 bolas a gol...‖

Jogador I: 4

3

60

45 15

15

.

―...o jogador II acertou 50 gols...‖ e ―... e o jogador II chutou 75...‖

Jogador I: 3

2

75

50 25

25

.


24 (ENEM 2010/2ª aplicação – QUESTÃO 160 CADERNO AZUL). O

Pantanal é um dos mais valiosos patrimônios naturais do Brasil. É a maior área úmida continental do planeta — com aproximadamente 210 mil km2,

sendo 140 mil km2 em território brasileiro, cobrindo parte dos estados de Mato Grosso e Mato Grosso do Sul. As chuvas fortes são comuns nessa

região. O equilíbrio desse ecossistema depende, basicamente, do fluxo de

entrada e saída de enchentes. As cheias chegam a cobrir até 2/3 da área pantaneira.

Disponível em: http://www.wwf.org.br. Acesso em: 23 abr. 2010 (adaptado).

Durante o período chuvoso, a área alagada pelas enchentes pode chegar

a um valor aproximado de

A) 91,3 mil km². B) 93,3 mil km².

C) 140 mil km². D) 152,1 mil km².

E) 233,3 mil km².

Comentários:

Como ―As cheias chegam a cobrir até 2/3 da área pantaneira‖ e a

área pantaneira equivale a aproximadamente 210 mil km2, então a área alagada, aproximada, é dada pela fração 2/3 de 210 mil, isto é:

Área alagada = 1407022103

2 mil km2.



112


25 (ENEM 2010/2ª aplicação – QUESTÃO 171 CADERNO AZUL).

Nosso calendário atual é embasado no antigo calendário romano, que, por sua vez, tinha como base as fases da lua. Os meses de janeiro, março,

maio, julho, agosto, outubro e dezembro possuem 31 dias, e os demais, com exceção de fevereiro, possuem 30 dias. O dia 31 de março de certo

ano ocorreu em uma terça-feira. Nesse mesmo ano, qual dia da semana será o dia 12 de outubro?

A) Domingo.

B) Segunda-feira.

C) Terça-feira. D) Quinta-feira.

E) Sexta-feira.

Comentários:

Primeiramente, vamos calcular quantos dias há até o dia 12 de outubro, a depois do dia 31 de março:

+30 +31 +30 +31 +31 +30 +12

abril maio junho julho agosto setembro outubro

Total de dias = 195 dias.

Note que de 7 em 7 dias, o dia da semana se repete. Veja abaixo,

considerando a terça-feira o dia 0 – dia inicial - como na questão:

Terça quarta quinta sexta sábado domingo segunda 0 1 2 3 4 5 6

Terça quarta quinta sexta sábado domingo segunda 7 8 9 10 11 12 13

Portanto, como há uma repetição de 7 em 7 dias, basta dividir a

quantidade de dias que se passou (195 dias) pelo período da repetição (7 dias) e observar o resto da divisão, sabendo-se que:

Resto = 0: terça-feira;

Resto = 1: quarta-feira;

Resto = 2: quinta-feira;

Resto = 3: sexta-feira;

Resto = 4: sábado;


113


Resto = 5: domingo;

Resto = 6: segunda-feira.

Logo, tem-se que:

276

7195

Portanto, o 195º dia será na segunda-feira.


26 (ENEM 2009/2ª aplicação – QUESTÃO 150 CADERNO CINZA). A

figura a seguir informa como se constitui o preço da gasolina no Brasil, a

partir da extração da matéria-prima no fundo do mar, até o produto final nos postos de venda.

DO POÇO À BOMBA

Como se forma o preço da gasolina no Brasil (por litro)

Revista Veja, 2 de julho de 2008. Disponível em: <http://veja.abril.com.br/020708/p_076.shtml>. Acesso em: 18 set. 2008.

Considerando as informações na figura, desde a prospecção até a

comercialização da gasolina, qual o fator que, sozinho, representa aproximadamente a metade do preço da gasolina nas bombas?

A) a extração B) as refinarias

C) a distribuição

Número de repetições

Posição do 195º dia


114


D) os postos E) o imposto

Comentários:

Se a questão nos pede o valor que representa a metade do valor final da

gasolina (na bomba), significa que a gasolina tem o dobro (produto por 2) do valor verificado em cada caso. Vejamos a seguir o dobro de cada

situação:

Prospecção = 2 x 0,08 = R$: 0,16;

Refino = 2 x 2,15 = R$: 4,30;

Distribuição = 2 x 2,20 = R$: 4,40;

Imposto = 2 x 1,15 = R$: 2,30.

Portanto o fator que representa metade do valor da gasolina nas bombas

é o imposto.


27 (ENEM 2009/2ª aplicação – QUESTÃO 174 CADERNO CINZA). Carros de motor a álcool ou a gasolina poluem de maneiras diferenciadas.

Considere que cada litro de álcool consumido no motor corresponde a

retirar 6,5 kg de CO2 (gás carbônico) e injetar na atmosfera 4,7 kg de O2 (gás oxigênio), enquanto cada litro de gasolina consumida no motor retira

2,6 kg de O2 da atmosfera e lança 2,3 kg de CO2. Suponha, ainda, que uma cidade possua uma frota de 20.000 veículos, sendo metade dos

veículos movidos a álcool e que cada veículo a gasolina consome, em média, 2.000 litros de gasolina por ano, enquanto cada veículo a álcool

consome, em média, 2.800 litros a mais de álcool.

De acordo com o texto, o consumo anual de combustível da frota de veículos daquela cidade corresponde a

A) retirar 136.000.000 kg de CO2 da atmosfera e injetar

79.600.000 kg de O2. B) retirar 84.000.000 kg de CO2 da atmosfera e injetar 42.600.000

kg de O2.

C) retirar 228.000.000 kg de CO2 da atmosfera e injetar 183.600.000 kg de O2.

D) retirar 136.000 kg de CO2 da atmosfera e injetar 7.960 kg de O2.


115


E) retirar 42.000 kg de CO2 da atmosfera e injetar 21.000 kg de O2.

Comentários:

Segundo o texto:

―...uma cidade possua uma frota de 20.000 veículos, sendo

metade dos veículos movidos a álcool...‖

Com isso, temos 10000 carros que se movem à álcool e 10000 à gasolina.

Além disso:

―...cada veículo a gasolina consome, em média, 2.000 litros de

gasolina por ano, enquanto cada veículo a álcool consome, em média, 2.800 litros a mais de álcool.‖

Esse trecho nos leva a concluir que a quantidade de consumo de gasolina

é de 2000 litros por veículo e de álcool 2800 litros por veículo.

OBS: O correto para o álcool seria 2000 + 2800 = 4800 litros, pois o trecho fala em “2800 litros a mais.” Porém não haveria

alternativa correta utilizando esse valor (não adianta brigar com o ENEM...)

Portanto a quantidade total de gasolina e álcool consumida é:

Gasolina = 2000 x 10000 = 20 000 000 litros;

Álcool = 2800 x 10000 = 28 000 000 litros.

Agora vamos ao início do texto. Ele nos diz que:

―Considere que cada litro de álcool consumido no motor corresponde a retirar 6,5 kg de CO2 (gás carbônico) e injetar na

atmosfera 4,7 kg de O2 (gás oxigênio),...”

Logo para o álcool temos que:

Álcool:

CO2 retirado = 28 000 000 x 6,5 = 182 000 000 kg

O2 injetado = 28 000 000 x 4,7 = 131 600 000 kg

Agora para a gasolina, diz que:


116


―...enquanto cada litro de gasolina consumida no motor retira 2,6

kg de O2 da atmosfera e lança 2,3 kg de CO2.‖

Portanto, para a gasolina:

Gasolina:

CO2 injetado = 20 000 000 x 2,3 = 46 000 000 kg

O2 retirado = 20 000 000 x 2,6 = 52 000 000 kg

Por fim, a quantidade final de CO2 retirado (maior valor de CO2) e de O2

injetado (maior valor de O2) é:

CO2 retirado = 182 000 000 – 46 000 000 = 136 000 000 kg;

O2 injetado = 131 600 000 – 52 000 000 = 79 600 000kg.



117


4. Questões comentadas em aula

1 (ENEM 2014/S.P. – QUESTÃO 140 – CADERNO CINZA). Uma loja decide premiar seus clientes. Cada cliente receberá um dos seis possíveis

brindes disponíveis, conforme sua ordem de chegada na loja. Os brindes a serem distribuídos são: uma bola, um chaveiro, uma caneta, um

refrigerante, um sorvete e um CD, nessa ordem. O primeiro cliente da loja recebe uma bola, o segundo recebe um chaveiro, o terceiro recebe

uma caneta, o quarto recebe um refrigerante, o quinto recebe um sorvete, o sexto recebe um CD, o sétimo recebe uma bola, o oitavo

recebe um chaveiro, e assim sucessivamente, segundo a ordem dos brindes.

O milésimo cliente receberá de brinde um(a)

A) bola. B) caneta.

C) refrigerante.

D) sorvete. E) CD.

2 (ENEM 2014/ S.P. – QUESTÃO 175 CADERNO CINZA). Um clube de futebol abriu inscrições para novos jogadores. Inscreveram-se 48

candidatos. Para realizar uma boa seleção, deverão ser escolhidos os que cumpram algumas exigências: os jogadores deverão ter mais de 14 anos,

estatura igual ou superior à mínima exigida e bom preparo físico. Entre os candidatos, 7/8 têm mais de 14 anos e foram pré-selecionados. Dos pré-

selecionados, ½ têm estatura igual ou superior a mínima exigida e, destes, 2/3 têm bom preparo físico.

A quantidade de candidatos selecionados pelo clube de futebol foi

A) 12. B) 14.

C) 16. D) 32.

E) 42.

3 (ENEM 2014/S.P. – QUESTÃO 173 CADERNO CINZA). André, Carlos e Fábio estudam em uma mesma escola e desejam saber quem

mora mais perto da escola. André mora a cinco vinte avos de um quilômetro da escola. Carlos mora a seis quartos de um quilômetro da

escola. Já Fábio mora a quatro sextos de um quilômetro da escola. A ordenação dos estudantes de acordo com a ordem decrescente das

distâncias de suas respectivas casas à escola é


118


A) André, Carlos e Fábio. B) André, Fábio e Carlos.

C) Carlos, André e Fábio. D) Carlos, Fábio e André.

E) Fábio, Carlos e André.

4 (ENEM 2014/S.P. – QUESTÃO 142 CADERNO CINZA). Um estudante se cadastrou numa rede social na internet que exibe o índice de

popularidade do usuário. Esse índice é a razão entre o número de admiradores do usuário e o número de pessoas que visitam seu perfil na

rede. Ao acessar seu perfil hoje, o estudante descobriu que seu índice de

popularidade é 0,3121212...

O índice revela que as quantidades relativas de admiradores do estudante e pessoas que visitam seu perfil são

A) 103 em cada 330.

B) 104 em cada 333. C) 104 em cada 3333.

D) 139 em cada 330. E) 1039 em cada 3330.

5 (ENEM 2012/S.P. – QUESTÃO 176 CADERNO CINZA). Parece que

foi ontem. Há 4,57 bilhões de anos, uma gigantesca nuvem de partículas entrou em colapso e formou o nosso Sistema Solar. Demoraram míseros

28 milhões de anos — um piscar de olhos em termos geológicos — para

que a Terra surgisse. Isso aconteceu há 4,54 bilhões de anos. No começo, a superfície do planeta era mole e muito quente, da ordem de 1 200 °C.

Não demorou tanto assim para a crosta ficar mais fria surgirem os mares e a terra; isso aconteceu há 4,2 bilhões de anos.

História da Terra. Superinteressante, nov. 2011 (adaptado).

O nosso Sistema Solar se formou, em anos, há

A) 4 570.

B) 4 570 000. C) 4 570 000 000.

D) 4 570 000 000 000. E) 4 570 000 000 000 000.

6 (ENEM 2014/S.P. – QUESTÃO 141 CADERNO CINZA). O ferro é um mineral fundamental para que as células mantenham seu bom

funcionamento. Ele é essencial ao transporte do oxigênio, síntese de DNA e metabolismo energético. É recomendado para meninos de 9 a 13 anos

ingerirem, pelo menos, 8 mg de ferro por dia. Pesquisadores elaboraram a tabela com alguns alimentos e as suas respectivas quantidades de

ferro:


119


A diretora de uma escola sabe que deve escolher para o almoço de seus

alunos o máximo de cardápios possíveis entre três cardápios existentes, no(s) qual(is) cada porção equivale a 100g e cada copo a 50g.

Para ter a certeza que seus alunos estão ingerindo a quantidade mínima de ferro recomendada, a diretora deve escolher o(s) cardápio(s)

A) 1.

B) 2.

C) 3. D) 1 ou 2.

E) 1 ou 3.

7 (ENEM 2014/S.P. – QUESTÃO 163 CADERNO CINZA). Pesquisas indicam que o número de bactérias X é duplicado a cada quarto de hora.

Um aluno resolveu fazer a observação para verificar a veracidade dessa afirmação. Ele usou uma população inicial de 105 bactérias X e encerrou a

observação ao final de uma hora.

Suponha que a observação do aluno tenha confirmado que o número de bactérias X se duplica a cada quarto de hora.


120


Após uma hora do início do período de observação desse aluno, o número de bactérias X foi de

A) 2–2.105.

B) 2–1.105.

C) 22.105.

D) 23.105.

E) 24.105.

8 (ENEM 2013/S.P. – QUESTÃO 137 CADERNO CINZA). Médicos

alertam sobre a importância de educar as crianças para terem hábitos

alimentares saudáveis. Por exemplo, analisando-se uma bolacha com recheio de chocolate (25 g) e um pé de alface (25 g), observam-se as

seguintes quantidades de nutrientes, respectivamente:

• carboidratos: 15 g e 0,5 g; • proteínas: 1,9 g e 0,5 g.

Disponível em: http://veja.abril.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).

Considerando as informações apresentadas, qual deve ser o número de pés de alface consumidos para se obter a mesma quantidade de

carboidratos de uma bolacha?

A) 50

B) 30 C) 14

D) 8 E) 7

9 (ENEM 2013/S.P. – QUESTÃO 139 CADERNO CINZA). O cometa

Halley orbita o Sol numa trajetória elíptica periódica. Ele foi observado da Terra nos anos de 1836 e 1911. Sua última aparição foi em 1986 e sua

próxima aparição será em 2061.

Qual é o ano da segunda aparição do cometa anterior ao ano de 2012?

A) 1836 B) 1862

C) 1911

D) 1937 E) 1986

10 (ENEM 2013/S.P. – QUESTÃO 145 CADERNO CINZA adaptada).

Estudos revelam que, independentemente de etnia, idade e condição social, as pessoas têm padrões estéticos comuns de beleza facial e que as


121


faces consideradas bonitas apresentam-se em proporção áurea. A proporção áurea é a constante Φ = 1,618...

Uma agência de modelos reconhece a informação citada e utiliza-a como

critério de beleza facial de suas contratadas. Para entrevistar uma nova candidata a modelo, a referida agência pede uma fotografia de rosto no

ato da inscrição e, com ela, determina as medidas mostradas na figura.

2

3

3

1

M

M

M

M

Analisando a fotografia de cinco candidatas, I, II, III, IV e V, para a seleção de uma única garota, foram constatadas estas medidas:

• Candidata I: M1 = 11 cm; M2 = 5,5 cm e M3 = 7 cm.

• Candidata II: M1 = 10,5 cm; M2 = 4,5 cm e M3 = 6,5 cm. • Candidata III: M1 = 11,5 cm; M2 = 3,5 cm e M3 = 6,5 cm.

• Candidata IV: M1 = 10 cm; M2 = 4 cm e M3 = 6,5 cm. • Candidata V: M1 = 10,5 cm; M2 = 4 cm e M3 = 6,5 cm.

CONTADOR, P. R. M. A matemática na arte e na vida.

São Paulo: Livraria da Física, 2007 (adaptado).

A candidata selecionada pela agência de modelos, segundo os critérios da

proporção áurea, foi

A) I. B) II.

C) III. D) IV.

E) V.

11 (ENEM 2013/S.P. – QUESTÃO 162 CADERNO CINZA). Em um jogo educativo, o tabuleiro é uma representação da reta numérica e o

jogador deve posicionar as fichas contendo números reais corretamente


122


no tabuleiro, cujas linhas pontilhadas equivalem a 1 (uma) unidade de medida.

Cada acerto vale 10 pontos. Na sua vez de jogar, Clara recebe as

seguintes fichas:

Para que Clara atinja 40 pontos nessa rodada, a figura que representa

seu jogo, após a colocação das fichas no tabuleiro, é:

A)

B)

C)

D)

E)

12 (ENEM 2013/S.P. – QUESTÃO 162 CADERNO CINZA). O matemático americano Eduardo Kasner pediu ao filho que desse um nome

a um número muito grande, que consistia do algarismo 1 seguido de 100 zeros. Seu filho batizou o número de gugol. Mais tarde, o mesmo

matemático criou um número que apelidou de gugolplex, que consistia em 10 elevado a um gugol.


123


Quantos algarismos tem um gugolplex?

A) 100 B) 101

C) 10100 D) 10100 + 1

E) 101000 + 1

13 (ENEM 2013/S.P. – QUESTÃO 178 CADERNO CINZA). Uma característica interessante do som é sua frequência. Quando uma fonte

sonora se aproxima do ouvinte, o som ouvido por ele tem uma frequência

maior do que o som produzido pela mesma fonte sonora, se ela estiver parada. Entretanto, se a fonte sonora se afasta do ouvinte, a frequência é

menor. Esse fenômeno é conhecido como efeito Doppler.

Um ouvinte parado junto a uma fonte ouve o seu som com uma frequência constante, que será denotada por ƒ. Quatro experimentos

foram feitos com essa fonte sonora em movimento. Denotaremos por ƒ1, ƒ2, ƒ3 e ƒ4 as frequências do som da fonte sonora em movimento ouvido

pelo ouvinte, que continua parado, nos experimentos 1, 2, 3 e 4, respectivamente.

Depois de calculadas as frequências, as seguintes relações foram obtidas:

ƒ1 = 1,1ƒ, ƒ2 = 0,99ƒ1, ƒ1 = 0,9ƒ3 e ƒ4= 0,9ƒ

Em quais experimentos a fonte sonora se afastou do ouvinte?

A) Somente nos experimentos 1, 2 e 3. B) Somente nos experimentos 2, 3 e 4.

C) Somente nos experimentos 2 e 4. D) Somente nos experimentos 3 e 4.

E) Somente no experimento 4.

14 (ENEM 2012/S.P. – QUESTÃO 137 CADERNO CINZA). Cinco times de futebol (A, B, C, D e E) ocuparam as primeiras colocações em um

campeonato realizado em seu país. A classificação final desses clubes apresentou as seguintes características:

• O time A superou o time C na classificação;

• O time C ficou imediatamente à frente do time E;

• O time B não ficou entre os 3 últimos colocados; • O time D ficou em uma classificação melhor que a do time A.

Assim, os dois times mais bem classificados foram

A) A e B.


124


B) A e C. C) B e D.

D) B e E. E) C e D.

15 (ENEM 2012/S.P. – QUESTÃO 146 CADERNO CINZA). Em uma

floresta, existem 4 espécies de insetos, A, B, C e P, que têm um ciclo de vida semelhante. Essas espécies passam por um período, em anos, de

desenvolvimento dentro de seus casulos. Durante uma primavera, elas saem, põem seus ovos para o desenvolvimento da próxima geração e

morrem.

Sabe-se que as espécies A, B e C se alimentam de vegetais e a espécie P

é predadora das outras 3. Além disso, a espécie P passa 4 anos em desenvolvimento dentro dos casulos, já a espécie A passa 8 anos, a

espécie B passa 7 anos e a espécie C passa 6 anos.

As espécies A, B e C só serão ameaçadas de extinção durante uma primavera pela espécie P, se apenas uma delas surgirem na primavera

junto com a espécie P.

Nessa primavera atual, todas as 4 espécies saíram dos casulos juntas.

Qual será a primeira e a segunda espécies a serem ameaçadas de extinção por surgirem sozinhas com a espécie predadora numa próxima

primavera?

A) A primeira a ser ameaçada é a espécie C e a segunda é a

espécie B. B) A primeira a ser ameaçada é a espécie A e a segunda é a

espécie B. C) A primeira a ser ameaçada é a espécie C e a segunda é a

espécie A. D) A primeira a ser ameaçada é a espécie A e a segunda é a

espécie C. E) A primeira a ser ameaçada é a espécie B e a segunda é a

espécie C.

16 (ENEM 2012/S.P. – QUESTÃO 150 CADERNO CINZA). O sistema de numeração romana, hoje em desuso, já foi o principal sistema de

numeração da Europa. Nos dias atuais, a numeração romana é usada no

nosso cotidiano essencialmente para designar os séculos, mas já foi necessário fazer contas e descrever números bastante grandes nesse

sistema de numeração. Para isto, os romanos colocavam um traço sobre o número para representar que esse número deveria ser multiplicado por

1 000. Por exemplo, o número X representa o número 10 × 1000, ou seja, 10000.


125


De acordo com essas informações, os números MCCV e XLIII são,

respectivamente, iguais a

A) 1 205 000 e 43 000. B) 1 205 000 e 63 000.

C) 1 205 000 e 493 000.

D) 1 250 000 e 43 000. E) 1 250 000 e 63 000.

17 (ENEM 2012/S.P. – QUESTÃO 155 CADERNO CINZA). O Índice de

Desenvolvimento Humano (IDH) mede a qualidade de vida dos países para além dos indicadores econômicos. O IDH do Brasil tem crescido ano

a ano e atingiu os seguintes patamares: 0,600 em 1990; 0,665 em 2000; 0,715 em 2010. Quanto mais perto de 1,00, maior é o desenvolvimento

do país. O Globo. Caderno Economia, 3 nov. 2011 (adaptado).

Observando o comportamento do IDH nos períodos citados, constata-se que, ao longo do período 1990-2010, o IDH brasileiro

A) diminuiu com variações decenais crescentes. B) diminuiu em proporção direta com o tempo.

C) aumentou com variações decenais decrescentes. D) aumentou em proporção direta com o tempo.

E) aumentou em proporção inversa com o tempo.

18 (ENEM 2012/S.P. – QUESTÃO 177 CADERNO CINZA). O Índice de Massa Corporal, abreviadamente IMC, é uma medida internacional

adotada pela Organização Mundial de Saúde (OMS) para indicar se uma pessoa está com ―peso‖ excessivo para sua altura. O cálculo do IMC é

dado pela fórmula IMC = m/h2, sendo m a massa da pessoa, medida em kg, e h a sua altura, em metros. Os valores da tabela foram ligeiramente

adaptados com relação aos adotados pela OMS, para simplicidade nos cálculos.

Assim, segundo a OMS, um indivíduo de 2,10 metros de altura que pesa

80 kg tem IMC inferior a 19, sendo classificado como ―abaixo do peso‖.


126


Se um indivíduo de 144 kg e 2 metros de altura perder 64 kg numa dieta,

então este indivíduo migrará da classe

A) obesidade mórbida para a classe abaixo do peso. B) obesidade mórbida para a classe peso normal.

C) obesidade do tipo 1 para a classe abaixo do peso. D) obesidade do tipo 1 para a classe peso normal.

E) sobrepeso para a classe peso normal.

19 (ENEM 2011/S.P. – QUESTÃO 148 CADERNO CINZA). Uma

agência de viagens de São Paulo (SP) está organizando um pacote turístico com destino à cidade de Foz do Iguaçu (PR) e fretou um avião

com 120 lugares. Do total de lugares, reservou 2/5 das vagas para as pessoas que residem na capital do estado de São Paulo, 3/8 para as que

moram no interior desse estado e o restante para as que residem fora dele.

Quantas vagas estão reservadas no avião para as pessoas que moram

fora do estado de São Paulo?

A) 27 B) 40

C) 45 D) 74

E) 81

20 (ENEM 2011/S.P. – QUESTÃO 150 CADERNO CINZA). Em uma

sala de aula, três alunos resolveram fazer uma brincadeira de medição. Cada um escolheu um objeto próprio para medir o comprimento da lousa.

O primeiro foi até a lousa e, usando o comprimento de um livro, verificou que era possível enfileirar 13 deles e ainda sobrava um pequeno espaço

igual à metade do comprimento do livro. O segundo pegou seu lápis e começou a medir a lousa. No final, percebeu que esse comprimento era

igual a 20 lápis. O terceiro, para economizar tempo, pegou uma régua graduada e mediu o comprimento do livro que o colega havia usado,

obtendo 28 cm.

Com base nessas informações, qual é a medida mais aproximada do comprimento do lápis?

A) 10 cm B) 18 cm

C) 19 cm D) 26 cm

E) 41 cm


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21 (ENEM 2011/S.P. – QUESTÃO 158 CADERNO CINZA). Os medicamentos, imediatamente após a ingestão, começam a ser

metabolizados pelo organismo, o que faz com que sua concentração no sangue diminua gradualmente, num processo denominado decaimento.

Denomina-se meia-vida de uma substância o tempo necessário para que o teor dessa substância no sangue se reduza à metade do valor inicial.

Considere a situação em que um médico prescreveu a um paciente uma

dosagem de 800 mg de um medicamento cuja meia-vida é 6 horas, com recomendação de tomar um comprimido a cada 12 horas, durante 3 dias.

Para esse medicamento, considera-se superdosagem um teor superior a 1

520 mg, o que causa riscos de intoxicação.

Apressado em recuperar-se a tempo de ir a uma festa, o paciente sugeriu ao médico que mudasse a prescrição para 6 em 6 horas, imaginando que,

assim, reduziria o tempo de tratamento. O médico contra-argumentou, informando ao paciente que, caso antecipasse as doses, correria o risco

de estar intoxicado em

A) 12 horas. B) 24 horas.

C) 36 horas. D) 48 horas.

E) 72 horas.

22 (ENEM 2010/S.P. – QUESTÃO 138 CADERNO AZUL). Desde 2005,

o Banco Central não fabrica mais a nota de R$ 1,00 e, desde então, só produz dinheiro nesse valor em moedas. Apesar de ser mais caro produzir

uma moeda, a durabilidade do metal é 30 vezes maior que a do papel. Fabricar uma moeda de R$ 1,00 custa R$ 0,26, enquanto uma nota custa

R$ 0,17, entretanto, a cédula dura de oito a onze meses. Disponível em: http://noticias.r7.com. Acesso em: 26 abr. 2010.

Com R$ 1 000,00 destinados a fabricar moedas, o Banco Central conseguiria fabricar, aproximadamente, quantas cédulas a mais?

A) 1 667

B) 2 036 C) 3 846

D) 4 300

E) 5 882

23 (ENEM 2010/S.P. – QUESTÃO 152 CADERNO AZUL). Grandes times nacionais e internacionais utilizam dados estatísticos para a

definição do time que sairá jogando numa partida. Por exemplo, nos últimos treinos, dos chutes a gol feito pelo jogador I, ele converteu 45

chutes em gol. Enquanto isso, o jogador II acertou 50 gols. Quem deve


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ser selecionado para estar no time no próximo jogo, já que os dois jogam na mesma posição?

A decisão parece simples, porém deve-se levar em conta quantos chutes

a gol cada um teve oportunidade de executar. Se o jogador I chutou 60 bolas a gol e o jogador II chutou 75, quem deveria ser escolhido?

A) O jogador I, porque acertou 3/4 dos chutes, enquanto o

jogador II acertou 2/3 dos chutes. B) O jogador I, porque acertou 4/3 dos chutes, enquanto o

jogador II acertou 2/3 dos chutes.

C) O jogador I, porque acertou 3/4 dos chutes, enquanto o jogador II acertou 3/2 dos chutes.

D) O jogador I, porque acertou 12/25 dos chutes, enquanto o jogador II acertou 2/3 dos chutes.

E) O jogador I, porque acertou 9/25 dos chutes, enquanto o jogador II acertou 2/5 dos chutes.

24 (ENEM 2010/S.P. – QUESTÃO 160 CADERNO AZUL). O Pantanal é

um dos mais valiosos patrimônios naturais do Brasil. É a maior área úmida continental do planeta — com aproximadamente 210 mil km2,

sendo 140 mil km2 em território brasileiro, cobrindo parte dos estados de Mato Grosso e Mato Grosso do Sul. As chuvas fortes são comuns nessa

região. O equilíbrio desse ecossistema depende, basicamente, do fluxo de entrada e saída de enchentes. As cheias chegam a cobrir até 2/3 da área

pantaneira. Disponível em: http://www.wwf.org.br. Acesso em: 23 abr. 2010 (adaptado).

Durante o período chuvoso, a área alagada pelas enchentes pode chegar

a um valor aproximado de

A) 91,3 mil km². B) 93,3 mil km².

C) 140 mil km². D) 152,1 mil km².

E) 233,3 mil km².

25 (ENEM 2010/S.P. – QUESTÃO 171 CADERNO AZUL). Nosso calendário atual é embasado no antigo calendário romano, que, por sua

vez, tinha como base as fases da lua. Os meses de janeiro, março, maio,

julho, agosto, outubro e dezembro possuem 31 dias, e os demais, com exceção de fevereiro, possuem 30 dias. O dia 31 de março de certo ano

ocorreu em uma terça-feira. Nesse mesmo ano, qual dia da semana será o dia 12 de outubro?

A) Domingo.

B) Segunda-feira.


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C) Terça-feira. D) Quinta-feira.

E) Sexta-feira.

26 (ENEM 2009/S.P. – QUESTÃO 150 CADERNO CINZA). A figura a

seguir informa como se constitui o preço da gasolina no Brasil, a partir da extração da matéria-prima no fundo do mar, até o produto final nos

postos de venda.

DO POÇO À BOMBA

Como se forma o preço da gasolina no Brasil (por litro)

Revista Veja, 2 de julho de 2008. Disponível em: <http://veja.abril.com.br/020708/p_076.shtml>. Acesso em: 18 set. 2008.

Considerando as informações na figura, desde a prospecção até a

comercialização da gasolina, qual o fator que, sozinho, representa aproximadamente a metade do preço da gasolina nas bombas?

A) a extração

B) as refinarias C) a distribuição

D) os postos

E) o imposto

27 (ENEM 2009/S.P. – QUESTÃO 174 CADERNO CINZA). Carros de motor a álcool ou a gasolina poluem de maneiras diferenciadas. Considere

que cada litro de álcool consumido no motor corresponde a retirar 6,5 kg de CO2 (gás carbônico) e injetar na atmosfera 4,7 kg de O2 (gás

oxigênio), enquanto cada litro de gasolina consumida no motor retira 2,6 kg de O2 da atmosfera e lança 2,3 kg de CO2. Suponha, ainda, que uma

cidade possua uma frota de 20.000 veículos, sendo metade dos veículos movidos a álcool e que cada veículo a gasolina consome, em média,


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2.000 litros de gasolina por ano, enquanto cada veículo a álcool consome, em média, 2.800 litros a mais de álcool.

De acordo com o texto, o consumo anual de combustível da frota de

veículos daquela cidade corresponde a

A) retirar 136.000.000 kg de CO2 da atmosfera e injetar 79.600.000 kg de O2.

B) retirar 84.000.000 kg de CO2 da atmosfera e injetar 42.600.000 kg de O2.

C) retirar 228.000.000 kg de CO2 da atmosfera e injetar

183.600.000 kg de O2. D) retirar 136.000 kg de CO2 da atmosfera e injetar 7.960 kg de

O2. E) retirar 42.000 kg de CO2 da atmosfera e injetar 21.000 kg de

O2.


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1.C 6.D 11.D 16.A 21.B 26.E

2.B 7.E 12.D 17.C 22.B 27.A

3.D 8.B 13.E 18.C 23.A

4.A 9.C 14.C 19.A 24.C

5.C 10.E 15.D 20.C 25.B

Espero que você tenha gostado desta aula demonstrativa. Ela realmente é

enorme, pois fiz questão de detalhar conhecimentos básicos, os quais você deve ter percebido a frequência nas provas. Ótimos estudos e

continue em busca do seu sonho! Bora Estudar!

Gabarito


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