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ONDAS SONORAS

Nesta aula estudaremos ondas sonoras e nos

concentraremos nos seguintes tópicos:

•Velocidade das ondas sonoras.

•Relação entre a amplitude do deslocamento e a pressão.

•Interferência de ondas sonoras.

•Intensidade sonora e o nível de som.

•Batimentos.

•O efeito Doppler.

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As ondas sonoras são ondas mecânicas longitudinais que se

propagam em sólidos, líquidos e gases.

As ondas sísmicas utilizadas pelos exploradores de petróleo se

propagam na crosta terrestre. As ondas sonoras geradas por um

sistema de sonar se propagam no mar. Uma orquestra cria ondas

sonoras que se propagam no ar.

O local dos pontos de uma onda sonora que tem o mesmo

deslocamento é chamado de “frente de onda”.

Linhas perpendiculares às frentes de onda são chamadas de “raios” e

que apontam na direção que a onda sonora se propaga.

3

Frente de

onda

Raio

Raio

Assumimos que o meio circundante é isotrópico, ou seja, o som se

propaga com a mesma velocidade para todas as direções.

Neste caso, a onda sonora se propaga para o exterior de forma

uniforme e as frentes de onda são esferas centradas no ponto de

origem.

As setas simples indicam os raios. As setas duplas indicam o

movimento das moléculas do meio em que o som se propaga.

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Modulo de compressão volumétrica

Se aplicarmos uma pressão Δp sobre um objeto de volume

V, isso resulta numa mudança de volume ΔV como mostra a

figura. O módulo de compressão volumétrico do material é

definido como: Unidade no SI: Pa (Pascal).

Nota: O sinal negativo denota o decréscimo no volume

quandoΔp é positivo.

Δp

Bv

A velocidade do som

Usando a definição do módulo e combinando com a segunda lei de Newton pode-se

mostrar que a velocidade do som em um meio isotrópico homogêneo com módulo B e

densidade ρ é dado pela equação: .

Nota 1: o B é menor para um meio mais compressível. Os referidos meios

apresentam menor velocidade do som.

Nota 2: materiais mais densos (maior ρ) têm menor velocidade do som.

Exemplo: Problema 5 Casa: Problema 7

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Compressão

Expansão

Posição de

Equilíbrio

Elemento de fluido oscilante

Deslocamento

Variação de Pressão

Amplitude de Pressão

Amplitude de

Deslocamento

Termo

Oscilante

sen

Ondas sonoras progressivas.

Considere o tubo preenchido com ar mostrado na

figura. Geramos uma onda sonora harmônica que

viaja para a direita ao longo do eixo do tubo. Um

método simples é colocar um alto-falante na

extremidade esquerda do tubo operando em uma

frequência particular. Considere um elemento de ar

de espessura Δx que está localizado na posição x

antes da chegada da onda sonora. Esta é a “posição

de equilíbrio” do elemento. Nestas condições, a

pressão no interior do tubo é constante. Na presença

da onda sonora o elemento oscila em torno da

posição de equilíbrio. Ao mesmo tempo, a pressão

no local do elemento oscila em torno de seu valor

estático. A onda sonora no tubo pode ser descrita

através de um dos dois parâmetros

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Compressão

Expansão

Posição de

Equilíbrio

Elemento de fluido oscilante

Deslocamento

Variação de Pressão

Amplitude de Pressão

Amplitude de

Deslocamento

Termo

Oscilante

sen

m mp v s Ondas sonoras progressivas.

Um desses parâmetros é a distância s(x,t) do

elemento até a posição de equilíbrio:

s(x,t) = smcos(kx – ωt).

A constante sm é a amplitude do deslocamento da

onda. O número angular de onda k e a frequência

angular ω tem o mesmo significado, como no caso

das ondas transversais estudadas anteriormente. A

segunda possibilidade é usar a variação de pressão

Δp a partir do valor estático:

Δp(x,t) = Δpmsen(kx – ωt).

A constante Δpm é a amplitude da onda de pressão.

As duas amplitudes estão relacionadas pela equação:

Δpm = (νρω)sm.

Nota: O deslocamento e a variação de pressão tem

uma diferença de fase de 90º. Como resultado,

quando um parâmetro tem um máximo o outro tem

um mínimo e vice-versa.Exemplos: Problemas 12 e 14

Casa: Problema 15

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No tempo t a fase da onda sonora 1 chegando de S1 no ponto P é ϕ1= kL1 – ωt.

No tempo t a fase da onda sonora 2 chegando de S2 no ponto P é ϕ2= kL2 – ωt.

Geralmente as duas ondas em P tem uma diferença de fase.

A diferença L2 – L1 é conhecida como a “diferença de comprimento do caminho”

(ΔL) entre as duas ondas. Assim

Aqui λ é o comprimento de onda das duas ondas.

Interferência

Considere duas fontes pontuais de ondas sonoras

S1 e S2 mostrada na figura. As duas fontes estão

em fase e emitem ondas sonoras com mesma

frequência.

Ondas de duas fontes chegam no ponto P, cuja

distância entre S1 e S2 é L1 e L2, respectivamente.

As duas ondas interferem no ponto P.

Δ𝜙 =2𝜋

𝜆Δ𝐿

Δ𝜙 =2𝜋

𝜆Δ𝐿

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Interferência construtiva.

A onda em P resultante da interferência de duas

ondas que chegam de S1 e S2 tem uma amplitude

máxima quando a diferença de fase ϕ = 2πm

Interferência destrutiva.

A onda em P resultante da interferência de duas ondas que chegam de S1 e

S2 tem uma amplitude mínima quando a diferença de fase

ΔL igual a um múltiplo inteiro de λ → interferência construtiva.

ΔL igual a um múltiplo impar de meio λ → interferência destrutiva.

Exemplos:

Problemas 18 e 22

Casa:

Problemas 19 e 23

9

Intensidade de uma onda sonora

Considere uma onda que incide normalmente sobre

uma superfície de área A. A onda transporta energia.

Como resultado, teremos uma potência P (energia por

unidade de tempo) que passa por A. Definimos como

intensidade da onda I a relação P/A.

Unidade no SI: W.m-2

A intensidade de uma onda harmônica com amplitude de deslocamento sm é dada

por: Em termos de pressão será .

Considere uma fonte pontual S emitindo uma potência P na forma de ondas sonoras

de uma frequência particular. O meio ambiente é isotrópico de modo que as ondas

se propaguem uniformemente. As frentes de ondas correspondentes são esferas que

tem S como seu centro. A intensidade sonora com uma distância r de S é:

A intensidade de uma onda sonora para uma fonte pontual é proporcional a

10

O decibel

A sensação auditiva em humanos é proporcional ao logaritmo da intensidade

sonora I. Isso permite que o ouvido perceba uma ampla gama de intensidades

sonoras. O limiar de audição I0 é definida como a menor intensidade de som

que pode ser detectado pelo ouvido humano I0 = 10-12 W.m-2.

O nível sonoro β é definido de tal modo a imitar a resposta do ouvido humano

β é expresso em decibéis (dB):

Podemos inverter a equação acima e expressar I em função de β como:

I = I0.10(β/10).

Nota 1: Para I = I0 temos β = 10 x log 1 = 0

Nota 2: β aumentado em 10 decibéis implica I aumenta por um fator de 10.

Por exemplo: β = 40 dB corresponde a I = 104 I0.

Exemplo: Problema 37

Casa: Problemas 35 e 36

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Ondas sonoras estacionárias em tubos

Considere um tubo preenchido com ar que é aberto em

ambas extremidades. Ondas sonoras que tem

comprimento de ondas que satisfazem uma relação

particular com o comprimento L do tubo configuram

ondas estacionárias que tem amplitudes sustentadas.

O padrão mais simples pode ser configurado em um tubo aberto em ambas as

extremidades como mostra a figura a. O tubo de ondas estacionárias tem um anti-nó

(máximo) na amplitude de deslocamento. A amplitude da onda estacionária está plotada

em função da distância na figura b. O padrão tem um nó no centro da tubulação já que

dois anti-nós adjacentes são separados por um nó (mínimo). A distância entre dois anti-

nós adjacentes é λ/2.

Assim L = λ/2 → λ = 2L, sua frequência:

A onda estacionária da figura b é conhecida como o “modo fundamental” ou

“primeira harmônica” do tubo.

Nota: Anti-nós na amplitude de deslocamento corresponde aos nós na amplitude de

pressão. Isto é porque sm e Δpm são defasados de 90º.

12

2

n

L

n

1 2

2

/n

L

n

Ondas estacionárias em tubos abertos em

ambas extremidades

Na figura a são apresentados três modos de ondas

estacionárias. O comprimento de onda

quando n = 1, 2, 3, ... O inteiro n é conhecido

como número do harmônico.

As freqüências correspondentes:

Ondas estacionárias em tubos abertos em

uma extremidade e fechados na outra

Os primeiros quatro modos de ondas

estacionárias são mostradas na figura b. Elas

tem um anti-nó na extremidade aberta e um

nó na extremidade fechada.

O comprimento de onda:

Exemplo: Problema 46 Casa: Problemas 41 e 49

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Batimento

Se ouvirmos duas ondas sonoras de igual amplitude e frequências f1 e f2 ( f1 > f2 e

f1 ≈ f2) percebemos um som de frequência , além também percebemos

“batimentos”, que são variações na intensidade do som com uma frequência

fbatimento = f1 – f2. Como isso acontece?

Os deslocamentos dos duas ondas sonoras são dadas pelas equações: s1 = smcosω1t

e s2 = smcosω2t. Estas estão representadas nas figuras a e b. Usando o princípio da

superposição, podemos determinar o deslocamento resultante como:

s = [2smcosω’t]cosωt , quando e

14

Tbatimento

T'

fbatimento = f1 – f2

s = [2smcosω’t]cosωt quando

O deslocamento está desenhado em função do tempo na figura. Podemos

considerá-lo como uma função cosseno cuja amplitude é igual a 2smcosω’t. A

amplitude é dependente do tempo, mas varia lentamente com o tempo. As

amplitudes máximas ocorrem quando cosω’t é igual a +1 ou -1, ou seja,

acontecem duas vezes dentro de um período da função cosω’t.

Assim a frequência angular do batimento ωbatimento = 2ω’=

A frequência do batimento fbatimento = 2πωbatimento = 2πω1 – 2πω2 = f1 – f2.

e

Exemplo: Problema 54 Casa: Problema 55

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O efeito Doppler

Considere a fonte e o detector de ondas sonoras

mostrado na figura. Assumimos que a frequência

da fonte é igual a f.

Tomamos como referência o ar circundante através do qual as ondas sonoras se

propagam. Se houver movimento relativo entre a fonte e o detector, em seguida, o

detector percebe a frequência do som que será f’ ≠ f. Se a fonte ou o detector se mover

em direção ao outro f’ > f. Se por outro lado, a fonte ou o detector se distanciarem um

do outro f’ < f. Isto é conhecido como o “efeito Doppler”. A frequência f’ é dada pela

equação . Aqui νS e νD são a velocidade da fonte e do detector em relação

ao ar, respectivamente.

Quando o movimento do detector ou fonte é em direção ao outro o sinal da velocidade

deve ter uma mudança crescente na frequência. Se por outro lado, o movimento é o de

afastar um em relação ao outro, o sinal da velocidade deve dar um deslocamento

decrescente da frequência.

As quatro possíveis combinações estão ilustradas no próximo slide.

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vS

vS

vS

vS

vD

vD

vD

vD

D

S

v vf f f f

v v

D

S

v vf f f f

v v

D

S

v vf f

v v

D

S

v vf f

v v

D

S

v vf f

v v

17

Exemplos: Problemas 59, 64

Casa: Problemas 61 e 63

Perguntas: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9