ondas mecanicas física 2 06

9
www.profafguimaraes.net 1 Prof. A.F.Guimarães Física 2 – Questões 6 Questão 1 Uma onda ultrassônica possui frequência de 30 kHz. Esta onda quando se propaga num determinado meio, possui comprimento de onda igual a 2 dm; ao passar para outro meio, o comprimento de onda torna-se igual a 3 dm. Calcule a velocidade de propagação desta onda ultrassônica: (a) no meio onde λ = 2 dm, (b) no meio onde λ = 3 dm. Resolução: a) 3 1 1 1 1 1 0,2 30 10 6 v v v km s λυ = = = (1.1) b) 3 1 2 2 0,3 30 10 9 v v km s = = (1.2) Questão 2 Os morcegos emitem ultrassônicas. O comprimento de onda mínimo, no ar, da onda emitida por um morcego é aproximadamente igual a 0,33 m. Calcule a frequência máxima que pode ser emitida por um morcego. Resolução: 331,3 1003 0,33 v Hz υ λ = = = (2.1) Questão 3 O módulo de elasticidade de um tipo de aço vale 2,4 x 10 11 N·m -2 . A massa específica deste aço vale ρ0 = 7,8 g·cm -3 . Calcule a velocidade de propagação do som neste material. Resolução: 1 2 0 B v ρ = 1 11 2 1 3 2,4 10 5547 7,8 10 v ms = (3.1) Questão 4 A velocidade do som em um determinado metal é V. Uma das extremidades de um tubo longo desse metal, de comprimento l, recebe um golpe forte. Uma pessoa, na outra extremidade, ouve dois sons, um oriundo da onda que se propagou através do tubo e o outro, da onda que se propagou no ar. (a) Se v é a velocidade do som no ar, qual o intervalo de tempo t que decorre entre os dois sons? (b) Suponha t = 1,0 s e que o metal seja ferro. Determine o comprimento l. Resolução: a) No metal: m l t V = (4.1) No ar: ar l t v = (4.2) A diferença será: 1 1 m ar ar m ttl Vv Vv tttl Vv = ∴= = (4.3) b) 5130 331,3 1 354, 2 5130 331,3 l l m = ∴≅ (4.4)

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exercicios resolvidos de ondas fisica 2

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Page 1: Ondas Mecanicas Física 2 06

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1

Prof. A.F.Guimarães Física 2 – Questões 6

Questão 1

Uma onda ultrassônica possui frequência de

30 kHz. Esta onda quando se propaga num

determinado meio, possui comprimento de onda

igual a 2 dm; ao passar para outro meio, o

comprimento de onda torna-se igual a 3 dm.

Calcule a velocidade de propagação desta onda

ultrassônica: (a) no meio onde λ = 2 dm, (b) no

meio onde λ = 3 dm.

Resolução:

a) 3

1 1 1

1

1

0,2 30 10

6

v v

v km s

λυ−

= ⇒ = ⋅ ⋅

∴ = ⋅

(1.1)

b) 3 1

2 20,3 30 10 9v v km s−= ⋅ ⋅ ∴ = ⋅

(1.2)

Questão 2

Os morcegos emitem ultrassônicas. O

comprimento de onda mínimo, no ar, da onda

emitida por um morcego é aproximadamente

igual a 0,33 m. Calcule a frequência máxima que

pode ser emitida por um morcego.

Resolução:

331,31003

0,33

vHzυ

λ= = =

(2.1)

Questão 3

O módulo de elasticidade de um tipo de aço

vale 2,4 x 1011 N·m-2. A massa específica deste aço

vale ρ0 = 7,8 g·cm-3. Calcule a velocidade de

propagação do som neste material.

Resolução: 12

0

Bv

ρ

=

111 2

1

3

2,4 105547

7,8 10v m s− ⋅

= ≅ ⋅ ⋅

(3.1)

Questão 4

A velocidade do som em um determinado

metal é V. Uma das extremidades de um tubo

longo desse metal, de comprimento l, recebe um

golpe forte. Uma pessoa, na outra extremidade,

ouve dois sons, um oriundo da onda que se

propagou através do tubo e o outro, da onda que

se propagou no ar. (a) Se v é a velocidade do som

no ar, qual o intervalo de tempo t que decorre

entre os dois sons? (b) Suponha t = 1,0 s e que o

metal seja ferro. Determine o comprimento l.

Resolução:

a)

No metal:

m

lt

V=

(4.1)

No ar:

ar

lt

v=

(4.2)

A diferença será:

1 1m ar

ar m

t t lV v

V vt t t l

Vv

− = −

− ∴ = − =

(4.3)

b)

5130 331,31 354,2

5130 331,3l l m

− = ∴ ≅ ⋅

(4.4)

Page 2: Ondas Mecanicas Física 2 06

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2

Questão 5

No caso particular de um sólido homogêneo, o

módulo de elasticidade B é numericamente igual

ao módulo de Young Y. (a) Escreva a expressão

da velocidade de propagação do som numa barra

sólida em função do módulo de Young do

material. (b) O módulo de Young do alumínio é

dado aproximadamente por: Y = 6,9 x 1010 N·m-2;

calcule a velocidade de propagação do som numa

barra de alumínio. Supor ρ = 2,6 g·cm-3.

Resolução:

a) 12

0

Yv

ρ

=

(5.1)

b) Utilizando a expressão de (5.1), teremos:

1

10 2

1

3

6,9 105151,5

2,6 10v m s− ⋅

= = ⋅ ⋅

(5.2)

Questão 6

O número de onda k para a propagação de uma

onda sonora na água vale 2 m-1. Seja ym a

amplitude da onda de uma partícula no interior

da água. Escreva a expressão do deslocamento y

para esta onda.

Resolução:

( )

( )2

1

;

2 1450 2900

2 2900

m

H O

m

y y cos kx t

kv s

y y cos x t

ω

ω −

= −

= = ⋅ =

∴ = −

(6.1)

Questão 7

Seja B = kx – ωt. Considere as seguintes ondas:

( ) ( )1 2 1 3 2; 2 ; 4y sen B y sen B y sen Bϕ ϕ= = − = − .

Obtenha a equação da onda resultante da

superposição destas três ondas. As unidades são

homogêneas e y é dado em centímetros.

Considere 1 20,4; .

5

πϕ ϕ= =

Resolução:

Em Física 2 – 05, página 7, a questão 12 foi

resolvida tomando a derivada para determinar a

amplitude da onda resultante. Aqui, também

poderemos tomar o mesmo caminho. Porém,

vamos resolver de uma forma diferente. A

resultante será dada por:

( )

( )

2 0,4 45

y senB sen B sen B

sen a b sena cosb senbcos a

π = + − + −

− = −

(7.1)

Logo,

[ ]2 0,4 0, 4

45 5

1 2 0,4 45

2 0,4 45

y sen B sen Bcos cos B sen

sen Bcos cos B sen

y cos cos sen B

sen sen cos B

π π

π

π

= + −

+ −

= + + −

+

(7.2)

A resultante da soma de ondas senoidas será uma

senoidal. Logo, teremos:

( )y Acos senB Asen cosB Asen Bφ φ φ= − = −

(7.3)

Utilizando o resultado de (7.2) em (7.3), temos:

1 2 0,92 4 0,81 6,08

2 0,39 4 0,59 3,14

0, 4 0,92; 0,4 0,39;

0,81 0,595 5

Acos

Asen

cos sen

cos e sen

φφ

π π

= + ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ =

≅ ≅

≅ ≅

(7.4)

E, como ( )2 2 2 2A sen a cos a A+ = , teremos de (7.4):

1 3,146,84;

6,84A senφ −≅ =

(7.5)

Page 3: Ondas Mecanicas Física 2 06

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3

Questão 8

Duas ondas produzem variações na pressão,

em um certo ponto do espaço, dadas por:

( )1

2

2

2

p Psen t

p Psen t

πυ

π υ φ

=

= −

Qual a amplitude da onda resultante neste ponto,

para os casos 1 1

0,6 8eφ φ φ= = = ? Os valores de

φ são dados em radianos.

Resolução: Para 0φ = :

1 22 2p p Psen tπυ+ =

(8.1)

Para 1

6φ = :

1 22 2

3

2 23

23

1 2 23 3

p p Psen t Psen t

Psen t P sen tcos

cos t sen

cos Psen t Psen cos t

ππυ πυ

ππυ πυ

ππυ

π ππυ πυ

+ = + −

= + −

= + −

(8.2)

Assim, de (8.2) temos:

2 2

3cos 1,5 ;

2

9 33 1,73

4 4

PA P Asen

A P A P P

φ φ= =

= + ⇒ = ≅

(8.3)

Para 1

8φ = :

1 22 2

4

2 2 24 4

p p Psen t Psen t

Psen t P sen tcos cos t sen

ππυ πυ

π ππυ πυ πυ

+ = + −

= + −

1 2 24 4

cos Psen t Psen cos tπ π

πυ πυ = + −

Logo, cos 1,71 ; 0,71

1,85

A P Asen P

A P

φ φ≅ ≅

∴ ≅

(8.4)

Questão 9

Na figura é mostrado um interferômetro

acústico, usado para demonstrar a interferência

de ondas sonoras. S é um diafragma que vibra sob

a influência de um microfone. O comprimento do

caminho SBD pode ser variado, mas a trajetória

SAD é fixa. O interferômetro contém ar e verifica-

se que a intensidade do som apresenta um valor

mínimo de 100 unidades para certa posição de B

e cresce continuamente até o valor máximo de

900 unidades para uma segunda posição, a 1,65

cm da primeira. Calcule (a) a frequência do som

emitido pela fonte e (b) a relação entre as

amplitudes das ondas que chegam ao detector,

para cada posição de B. (c) Como é possível que

estas ondas tenham amplitudes diferentes, se

foram produzidas pela mesma fonte?

Resolução:

a) Para uma interferência destrutiva temos:

1

2SBD SAD n λ − = −

(9.1)

E para uma interferência construtiva temos:

SB D SAD nλ′ − =

(9.2)

Tomando a diferença entre as equações (9.1) e

(9.2), teremos para o comprimento de onda:

2 0,0165 0,0662

λ⋅ = ⇒ =

(9.3)

A B

S

D

Page 4: Ondas Mecanicas Física 2 06

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4

Com o resultado de (9.3), poderemos determinar

a frequência utilizando a velocidade do som no

ar. Assim, teremos:

331,3 0,066

5019

v

Hz

λυ υυ

= ⇒ =

∴ ≅

(9.4)

b) A intensidade da onda também pode ser

escrita como:

dWv dWdtI

A A v dt

I v e

= = ⋅⋅

∴ = ⋅

(9.5)

Em que e é a densidade de energia, A é a área

transversal e v a velocidade da onda no meio. No

caso, metade da energia é transferida para cada

lado. Como será mostrado na questão 10, a

intensidade da onda também depende da

amplitude da onda. Assim, para o lado direito

(SBD) temos, de (9.5):

2 2 2

0

12

2 2

0

22 ;

4

m

SBD

m

SBD

W

vy e v eA L

Wy

A L

π ρ υ

π ρ υ

= ⋅ =/ /⋅

∴ = ⋅ ⋅

(9.6)

c) A amplitude depende da densidade de energia.

Como o caminho SBD é variável e a densidade de

energia depende do comprimento do caminho,

observa-se que as amplitudes são diferentes.

Questão 10

Mostre que a intensidade de uma onda sonora

(a) quando expressa em função da amplitude de

pressão, P, é dada por

2

02

PI

vρ= ,

onde v é a velocidade da onda e ρ0 é a densidade

do ar em condições normais e (b) quando

expressa em função da amplitude de

deslocamento, ym, é dada por

2 2

02 mI vyπ ρ υ= ,

(c) Admitindo agora que duas ondas sonoras,

uma no ar e a outra na água, tem a mesma

intensidade, qual é a razão entre as amplitudes

de pressão da onda na água e da onda no ar?(d)

Se, em vez disso, fossem iguais as amplitudes de

pressão, qual seria a razão entre as intensidades

das duas ondas?

Resolução:

a) De (9.5), temos:

3 2 2

0

2

2

0

0

1 1;

2

;2

m

m

v y kW WI

A t A t

PI P k v y

v

ρ

ρρ

∂ ∂⋅ = = ⋅

∂ ∂

∴ = =

(10.1)

b) De (10.1), temos:

3 2 2 2

20

2

2 2 2

0

; ; 22

2

m

m

v y kI v

k

I vy

ρ ωω πυ

π ρ υ

= = =

∴ =

(10.2)

c) Para 2ar H OI I= , temos:

2

2 2

2 2 2

22

12

2 2

H Oar

ar ar H O H O

H O H O H O

ar ar ar

PP

v v

P v

P v

ρ ρ

ρ

ρ

=

=

2 2

13 2

10 146057,7

1, 29 340

H O H O

ar ar

P P

P P

⋅= ∴ ≅ ⋅

(10.3)

d) Para 2ar H OP P= , temos:

( ) ( )2 2 2

2 2

2

11222 2

3328,8

ar ar ar H O H O H O

H O H Oar

H O ar ar

I v I v

vI

I v

ρ ρ

ρ

ρ

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

⋅= =

(10.4)

Page 5: Ondas Mecanicas Física 2 06

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5

Questão 11

Uma nota cuja frequência é de 400 Hz possui

uma intensidade igual a 1,5 μW·m-2. Estime a

amplitude das vibrações do ar, causadas por este

som.

Resolução:

Sejam 31,29ar kg mρ −= ⋅ e 1

340arv m s−= ⋅ , logo,

teremos, de (10.2):

6 2

8

1,5 10 19,7 1,29 340 160000

3,29 10

m

m

y

y m

⋅ ≅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∴ = ⋅

(11.1)

Questão 12

Duas fontes de som estão separadas por uma

distância d = 8 m. Ambas emitem sons com a

mesma amplitude e com a mesma frequência (de

400 Hz), mas estas ondas possuem uma diferença

de fase de 1800. Considere a reta mediatriz

perpendicular ao segmento que une as duas

fontes. Determine os pontos ao longo desta reta

para os quais a intensidade do som terá valores

mínimos por causa da interferência destrutiva.

Resolução:

O comprimento de onda para essa frequência

vale: 340 400

0,85

v

m

λυ λλ

= ⇒ = ⋅

∴ =

(12.1)

Sabemos que sobre a mediatriz, as ondas devem

percorrer a mesma distância para que ocorra

uma interferência destrutiva. Logo:

1 2L L nλ= =

(12.2)

Onde n é um número inteiro. Assim, para que,

1 24L L m= > devemos ter 5n ≥ . Assim sobre a

mediatriz, teremos, para n = 5:

( )22 24 5 0,85

1, 44

med

med

x

x m

+ = ⋅

∴ =

(12.3)

Para n = 6:

( )22 24 6 0,85

3,16

med

med

x

x m

+ = ⋅

∴ ≅

(12.4)

Questão 13

Um certo alto-falante produz um som com

uma frequência de 2000 Hz e uma intensidade de

9,6 x 10-4 W·m-2 a uma distância de 6,1 m. Admita

que não haja reflexões e que o alto-falante emite

igualmente em todas as direções. (a) Qual seria a

intensidade a 30 m?(b) Qual é a amplitude de

deslocamento a 6,1 m? (c) Qual é a amplitude de

pressão a 6,1 m?

Resolução:

a) Para a intensidade temos:

dWdWdtI I A

A dt= ⇒ = ⋅

(13.1)

Assim, de (13.1), teremos:

2 2

6 30

4

30

5 2

30

4 6,1 4 30

9,6 10 37,21 900

3,97 10

I I

I

I W m

π π−

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅ = ⋅

∴ = ⋅ ⋅

(13.2)

b) Da expressão de (10.2), teremos:

4 2 2 6

7

9,6 10 2 1,29 340 4 10

1,7 10

m

m

y

y m

π−

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∴ = ⋅

(13.3)

c) Da expressão de (10.1), temos:

2 4

2

9,6 10 2 1,29 340

0,92

P

P N m

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∴ = ⋅

(13.4)

Questão 14

Dois alto-falantes, A e B, emitem sons de

frequência 172 Hz uniformemente em todas as

Page 6: Ondas Mecanicas Física 2 06

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6

direções (ondas tridimensionais), no ar a 200C. A

potência acústica emitida por A é igual a 8,00 x

10-4 W, e a potência de B é igual a 6,00 x 10-5 W.

Os alto-falantes estão vibrando em fase e estão

distanciados 7,0 m. Considere um ponto P que

está a 4,0 m de A e 3,0 m de B. (a) Qual é a

diferença de fase entre as duas ondas que chegam

a P? Qual é a intensidade de som em P se (b) B for

desligado (A ligado), (c) A for desligado (B ligado)

e (d) com A e B ligados?

Resolução:

A velocidade do som na temperatura de 200 é de

344 m·s-1. Logo o comprimento de onda para essa

frequência vale:

344 172

2

v

m

λυ λλ

= ⇒ =

∴ =

(14.1)

a) Estando P a 4 m de A, temos:

4 42 2

2AP λ

λ= = ⇒ =

(14.2)

E estando P a 3 m de B, temos:

3 31,5 1,5

2BP λ

λ= = ⇒ =

(14.3)

Tomando a diferença dos resultados de (14.2) e

(14.3), teremos:

0,5AP BP λ− = (14.4)

Assim, para a diferença de fase vale:

0,5λ π=

(14.5)

b) A intensidade para A ligado e S2 desligado:

( )2

4

6 2

4

8,00 103,98 10

4 16

AA

A

A

dWdt

Ir

I W m

π

π

−− −

=

⋅= ≅ ⋅ ⋅

(14.6)

c) Para S2 ligado e S1 desligado, teremos:

( )2

5

7 2

4

6,00 105,31 10

4 9

BB

B

B

dWdt

Ir

I W m

π

π

−− −

=

⋅= ≅ ⋅ ⋅

(14.7)

d) Poderemos determinar a amplitude das duas

ondas utilizando a expressão de (10.2)

juntamente com os resultados de (14.6) e (14.7).

Assim, teremos:

6 2 2 2

7

3,98 10 2 1,29 340 172

1,24 10

mAP

mAP

y

y m

π−

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅

(14.8)

7 2 2 2

8

5,31 10 2 1,29 344 172

4,53 10

mBP

mBP

y

y m

π−

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅

(14.9)

A amplitude resultante em P será:

( )( )8 7

8

4,53 10 1 1,24 10

7,87 10

mP mBP mAP

mP

mP

y y cos y

y

y m

π− −

= +

= ⋅ ⋅ − + ⋅

∴ ≅ ⋅

(14.10)

Assim, em P teremos uma intensidade dada por:

( )22 8 2

6 2

2 1,29 344 7,87 10 172

1,61 10

P

P

I

I W m

π −

− −

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∴ ≅ ⋅ ⋅

(14.11)

Questão 15

Uma corda de violino de 31,6 cm, cuja

densidade linear é de 0,65 g·m-1 está colocada

junto a um alto-falante que é alimentado por um

oscilador de áudio de frequência variável.

Verifica-se que quando a frequência do oscilador

varia continuamente na faixa de 500 a 1500 Hz, a

corda oscila apenas nas frequências de 880 Hz a

1320 Hz. Qual é a tensão da corda?

Page 7: Ondas Mecanicas Física 2 06

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7

Resolução:

Para as frequências de ressonância na corda

temos:

2n

nv

lυ = ⋅

(15.1)

Assim, utilizando as frequências de oscilação da

corda, teremos:

880 5561663,2

nvnv= ⇒ =

(15.2)

e

1320 8342463,2

n vn v

′′= ⇒ =

(15.3)

Agora, sabendo que n’=n+1 (os dois modos de

ressonância devem ser consecutivos), teremos:

( )1 83424

83424

n v

nv v

+ =

+ =

(15.4)

Agora substituindo o valor de (15.2) em (15.4),

teremos:

1

55616 83424

27808

v

v m s−

+ =

∴ = ⋅

(15.5)

Agora que temos a velocidade da onda na corda,

poderemos utilizar o valor da densidade linear e

determinar a tensão na corda:

2

3

5

278080,65 10

5 10

F

F N

−=

∴ = ⋅

(15.6)

Questão 16

Um tubo de 1,0 m de comprimento é fechado

em um dos extremos. Um arame esticado é

colocado junto à extremidade aberta. O

comprimento do arame é de 0,30 m e sua massa é

de 0,010 kg. Está fixado por ambas as pontas e

vibra na sua frequência fundamental. Ele faz com

que a coluna de ar no tubo vibre na sua

frequência fundamental, por ressonância. Ache

(a) a frequência de oscilação da coluna de ar e (b)

a tração no arame.

Resolução:

a) A frequência fundamental do arame é igual à

frequência do tubo de ar. E por sua vez, a

frequência do tubo vale:

4 1 4

340 4

85

T

T T T T

T

m

v

Hz

λ

λ υ υ

υ

= ⋅ =

= ⋅ ⇒ =

∴ =

(16.1)

b) Com a frequência do tubo, poderemos

determinar a velocidade da onda no arame e

consequentemente a tração. Logo:

1

2 1

; 2 0,60

51

; 0,0330,033

86

AT A A

A

A

A

vl m

v m s

T mv kg m

l

T N

υ υ λλ

µ

= = = =

= ⋅

= = = ⋅

(16.2)

Questão 17

Duas cordas de piano idênticas têm frequência

fundamental de 600 Hz quando mantidas à

mesma tensão. Que aumento relativo de tensão

de uma das cordas provocará a ocorrência de seis

batimentos por segundo quando as cordas

vibrarem simultaneamente?

Resolução:

A diferença de frequência será igual ao número

de batimentos por segundo. Assim, teremos:

1 1600 6 606Hzυ υ′ ′− = ∴ =

(17.1)

Page 8: Ondas Mecanicas Física 2 06

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8

A relação de velocidade será dada por:

1

1

1

1

2 600

2 606

600

606

v l

v l

v

v

= ⋅

′ = ⋅

∴ =′

(17.2)

Assim, podemos determinar a relação de tensão.

Assim:

1 2

1

11

2

1 1

600 600

606 606

606

600

TT

TT

T T

µ

µ

= ⇒ = ′′

′∴ =

(17.3)

Para determinar o aumento relativo:

2

12 2

1 1

2

1 1

1 1

1

6061

600 606 600

600

0,02 2%

TT T

T T

T T

T

− ′− − = =

′−∴ ≅ =

(17.4)

Questão 18

Um avião reflete as micro-ondas emitidas por

uma fonte distante, da qual ele se aproxima; a

velocidade de propagação das micro-ondas é a

mesma da luz. Quando as ondas refletidas se

superpõem às ondas emitidas pela fonte,

produzem-se batimentos cuja frequência é de

990 Hz. Determinar a velocidade com a qual o

avião se aproxima da fonte, sabendo que o

comprimento das micro-ondas é de 0,10 m.

Resolução:

A frequência das micro-ondas vale:

8

93 103 10

0,1

cHzυ

λ⋅

= = = ⋅

(18.1)

A frequência que chega até o avião devido ao

movimento do mesmo é dado por:

93 10 10Av

Av

c vv

cυ υ

+ ′ = = ⋅ +

(18.2)

O avião por sua vez reflete essas ondas e para o

observador o avião passa a ser uma fonte em

movimento. Logo:

81 ;3 10

AvAv

vc vυ υ ′′ ′≅ + ⋅ ≫

(18.3)

Substituindo (18.2) em (18.3), teremos:

2

9

73 10 20

3 10

AvAv

vvυ′′ − ⋅ = +

(18.4)

A frequência da amplitude dos batimentos é dada

por:

2amp

υ υυ

′′ −=

(18.5)

Assim, utilizando a expressão de (18.5), teremos:

2 8 10

1

6 10 5,94 10 0

356,4

Av Av

Av

v v

v km h−

+ ⋅ − ⋅ =

∴ ≅ ⋅

(18.6)

Questão 19

Uma fonte sonora se desloca com velocidade u

da direita para a esquerda. Um observador, que

se move com velocidade u’ da esquerda para a

direita, detecta uma frequência υ (em vez da

frequência υ0 da fonte). O meio se desloca da

esquerda para a direita com velocidade vm. Ache

a razão υ/υ0.

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9

Resolução:

Para vm = 0, temos:

0

v u

v uυ υ

′+ = −

(19.1)

Em que v é a velocidade do som no meio. Agora

para vm≠0, o som sofre arreste. Logo vsom = v±vm.

No caso, vsom = v – vm. Logo:

0

m

m

v v u

v v u

υυ

′− +=

− −

(19.2)