ondas electromagnéticas - paginas.fe.up.ptmines/ope/acetatos/ondas... · análise vectorial...
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1
Faculdade de Engenharia
Ondas Electromagnéticas
OpE - MIB 2007/2008
OpE 0708OnEl 2
Faculdade de EngenhariaPrograma de Óptica e Electromagnetismo
Análise Vectorial (revisão) à 2 aulas
Electrostática e Magnetostática à 8 aulas
Ondas Electromagnéticas à 6 aulas
Óptica Geométrica à 3 aulas
Fibras Ópticas à 3 aulas
Lasers à 3 aulas
2
OpE 0708OnEl 3
Faculdade de EngenhariaOndas Electromagnéticas (6 aulas)
Equações de Maxwell
Equação de onda em meios LHI sem perdas e sem fontes
Campos harmónicos
Ondas electromagnéticas em meios infinitos sem perdas
Potência de uma onda electromagnética
Incidência
Leis de Snell
Incidência normal
Incidência oblíqua
Interferência
Difracção
(1ª aula)
(2ª aula)
(3ª aula)
(6ª aula)
(5ª aula)
(4ª aula)
OpE 0708OnEl 4
Faculdade de EngenhariaEnergia transportada por uma onda
tH
E∂
∂−=×∇
rr
µ
tE
JH∂∂
+=×∇r
rrε
EJrr
σ=
( ) ( ) ( )HEEHHErrrrrr
×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇ (igualdade vectorial)
( )
∂∂
+⋅−
∂∂
−⋅=×⋅∇tE
JEt
HHHE
rrr
rrrr
εµ
( ) ∫∫∫ −
+
∂∂
−=⋅×VVS
dvEdvEHt
sdHE222
22
rrrrrrσ
εµ
( ) ( ) ( ) JEEEt
HHt
HErrrrrrrr
⋅−⋅∂∂
−⋅∂∂
−=×⋅∇21
21
εµ
( )AAtt
AA
rrr
r⋅
∂∂
=∂∂
⋅21
( ) 222
22EEH
tHE
rrrrrσ
εµ−
+
∂∂
−=×⋅∇
( )dvAsdAVS∫∫ ⋅∇=⋅
rrr
Nota: expressões instantâneas
2W/m
3
OpE 0708OnEl 5
Faculdade de EngenhariaTeorema de Poynting
( ) ∫∫∫ −
+
∂∂
−=⋅×VVS
dvEdvEHt
sdHE222
22
rrrrrrσ
εµ
potência queatravessa S
diminuição da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo
potência dissipadapor condução
conservação de energia
Nota: expressões instantâneas
OpE 0708OnEl 6
Faculdade de EngenhariaVector de Poynting
( ) ∫∫∫ −
+
∂∂
−=⋅×VVS
dvEdvEHt
sdHE222
22
rrrrrrσ
εµ
vector de Poynting à ( )2W/mHESrrr
×=
representa a densidade de potência instantânea transportada pela onda electromagnética
( ) ∫∫∫ −+∂∂
−=⋅VV
emS
dvpdvwwt
sdS σrr
2Epr
σσ =
2
21
Hwm
rµ=
2
21
Ewe
rε=
Nota: expressões instantâneas
4
OpE 0708OnEl 7
Faculdade de EngenhariaVector de Poynting – campos harmónicos
{ }tjerEtrE ω)(Re),(rrrr
=
{ }tjerHtrH ω)(Re),(rrrr
=
{ } { }tjtj erHerEtrHtrEtrS ωω )(Re)(Re),(),(),(rrrrrrrrrr
×=×=
{ } { }*
21
Re XXXrrr
+=
{ } { } { } { }**
21
21
ReRe BBAABArrrrrr
+×+=×
{ }****
41
BABABABArrrrrrrr
×+×+×+×=
{ }BABArrrr
×+×= *Re21
{ }tjerHrErHrEtrS ω2* )()()()(Re21
),(rrrrrrrrrr
×+×=
valor instantâneo fasores
OpE 0708OnEl 8
Faculdade de EngenhariaVector de Poynting médio
{ }tjerHrErHrEtrS ω2* )()()()(Re21
),(rrrrrrrrrr
×+×=
∫=T
dttrST
rS ),(1
)(medrrrr
densidade de potência média à
{ } ( )2*med W/m)()(Re
21
)( rHrErSrrrrrr
×= vector de Poynting médio
5
OpE 0708OnEl 9
Faculdade de EngenhariaVector de Poynting médio – ondas TEM
ondas TEM
vector de Poynting médio aponta na direcção e sentido de propagação da onda
{ }*med Re
21
HESrrr
×=
naHE ˆ⊥⊥rr
{ } naEHES ˆ1Re
21
Re21
*
2*med
=×=η
rrrr
EaH n
rr×= ˆ1
η ( )∗××=× EaEHE n
rrrrˆ1
**
η
( ) ( ){ }nn aEEaEEHE ˆˆ1 ***
* ⋅−⋅=×rrrrrr
η naE ˆ1 2
*
r
η=
( ) ( ) ( )BACBCACBArrrrrrrrr
⋅−⋅=××
meios sem perdas à é realη naES ˆ21 2
med
rr
η=
Nota
OpE 0708OnEl 10
Faculdade de EngenhariaIncidência de uma onda TEM numa interface plana
meio 1
( )111 ,, σµε
z
x
meio 2
( )222 ,, σµε
iθ
tθrθ
plano de incidênciaà plano xz
ângulo de incidência à iθ
plano formado pela normal à interfacee pela direcção de propagação daonda incidente
nta
transmitida
zixini uua ˆcosˆsinˆ θθ +=
ztxtnt uua ˆcosˆsinˆ θθ +=zrxrnr uua ˆcosˆsinˆ θθ −=
direcções de propagação:
nia
incidente
nrareflectida
6
OpE 0708OnEl 11
Faculdade de Engenharia
pontos e têm mesma fase
Leis de Snell – lei da reflexão
meio 1( )111 ,, σµε
z
x
meio 2( )222 ,, σµε
nia
nra
nta
iθ
tθrθ
frente de onda à mesma fase
O
/O
B
/A
A
naondas planas à frentes de onda são planos normais a
ri OOOO θθ sinsin // =
/1
/1 OAkAOk =
pontos e têm mesma fase O A/O /A
fase = dist.⋅k
ri θθ =
OpE 0708OnEl 12
Faculdade de Engenharia
pontos e têm mesma fase
Leis de Snell – lei da refracção
meio 1( )111 ,, σµε
z
x
meio 2( )222 ,, σµε
nia
nra
nta
iθ
tθrθ
O
/O
B
/A
A fase = dist.⋅k
ti OOkOOk θθ sinsin /2
/1 =
2
1
sinsin
kk
i
t =θθ
1
2
f
f
v
v=
naondas planas à frentes de onda são planos normais a
pontos e têm mesma fase O A
B/O
OBkAOk 2/
1 =
fvk
ω=
7
OpE 0708OnEl 13
Faculdade de EngenhariaÍndice de refracção
Índice de refracção à quociente entre velocidades depropagação no vazio e no meio
fvc
n =
2
1
sinsin
nn
i
t =θθ
ß lei de Snell da refracção
Ex: meio sem perdasεµ
1=fv 00 εµ
εµ=n
rr εµ=
1≥n
n elevado à velocidade baixa
1
2
sinsin
f
f
i
t
v
v=
θθ
OpE 0708OnEl 14
Faculdade de EngenhariaCondições fronteira
( ) 0ˆ 21 =−× EEun
rr
( ) Sn JHHurrr
=−× 21ˆ
meio 1( )111 ,, σµε
nu
meio 2( )222 ,, σµε
( ) Sn DDu ρ=−⋅ 21ˆrr
( ) 0ˆ 21 =−⋅ BBun
rr
densidade superficial de corrente
densidade superficial de carga
tan,2tan,1 EE =
norm,2norm,1 BB =
contínuonormB
0secontínuotan =SJHr
0secontínuonorm =SD ρNota
0e0 ≠≠ SSJ ρr
apenas em condutores perfeitos
contínuotanE
8
OpE 0708OnEl 15
Faculdade de EngenhariaCondições fronteira – condutores perfeitos
00
00
condcond
condcond
==
==
BD
HErr
rr
condutores perfeitos à
0e0 ≠≠ SSJ ρr
∞=σ
Exemplo
∞=2σ
( )21ˆ HHuJ nS
rrr−×=
( )21ˆ DDunS
rr−⋅=ρ
1ˆ Hun
r×= tuH ˆtan,1=
1ˆ Dun
r⋅= norm,1D=
meio 1( )111 ,, σµε
nu
meio 2( )222 ,, σµε
OpE 0708OnEl 16
Faculdade de EngenhariaIncidência normal
incidência normal à 0=iθ
2
1
sinsin
nn
i
t =θθ
ri θθ =0== tr θθ
meio 1
z
xmeio 2
nra
yiE
r
iHr
nta
tEr
tHr
nia
rEr
rHr
incidente à xzjk
ii ueEE ˆ10
−=r
yzjki
i ueE
H ˆ1
1
0 −=η
r
reflectida à xzjk
rr ueEE ˆ10
+=r
yzjkr
r ueE
H ˆ1
1
0 +−=η
r
transmitida à xzjk
tt ueEE ˆ20
−=r
yzjkt
r ueE
H ˆ2
2
0 −=η
r
( ) xzjk
rzjk
i ueEeE ˆ1100
+− +=
yzjkrzjki ue
Ee
E ˆ11
1
0
1
0
−= +−
ηη
ri EEErrr
+=1
ri HHHrrr
+=1
meio 1
meio 2
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OpE 0708OnEl 17
Faculdade de EngenhariaIncidência normal – coeficientes de reflexão e transmissão
condições fronteira à
meio 1
z
x
meio 2
yiEr
nta
tEr
tHr
iHr
nia
nra
rEr
rHr
contínuotanE
contínuotanH ( )0se =SJr
1Er ( ) x
zjkr
zjki ueEeE ˆ11
00+− +=
1Hr
yzjkrzjki ue
Ee
E ˆ11
1
0
1
0
−= +−
ηη
meio 1
meio 2
xzjk
t ueEE ˆ202
−=r
yzjkt ue
EH ˆ2
2
02
−=η
r
2
0
1
0
1
0
000
ηηηtri
tri
EEE
EEE
=−
=+
em z =0 à21
21
HH
EErr
rr
=
=
12
2
0
0
12
12
0
0
2ηη
ηηηηη
+=
+−
=
i
t
i
r
EEEE
OpE 0708OnEl 18
Faculdade de EngenhariaIncidência normal – coeficientes de reflexão e transmissão
meio 1
z
x
meio 2
nra
yiEr
iHr
nta
tEr
tHr
nia
rEr
rHr
meio 1
meio 2
12
12
0
0
ηηηη
+−
=i
r
EE
ηηηη
+−
=Γ2
12
ηηη
τ+
=2
22
12
2
0
0 2ηη
η+
=i
t
EE
coeficiente de transmissão
coeficiente de reflexão
τ=Γ+1
Notas
1.
2. 1≤Γ
3. 0≥τ
4.
1Er ( ) x
zjkr
zjki ueEeE ˆ11
00+− +=
1Hr
yzjkrzjki ue
Ee
E ˆ11
1
0
1
0
−= +−
ηη
xzjk
t ueEE ˆ202
−=r
yzjkt ue
EH ˆ2
2
02
−=η
r( ) x
zjkzjki ueeEE ˆ1101
+− Γ+=r
xzjk
i ueEE ˆ202
−=τr
10
OpE 0708OnEl 19
Faculdade de EngenhariaIncidência normal – onda estacionária
meio 1
z
x
meio 2
nra
yiEr
iHr
nta
tEr
tHr
nia
rEr
rHr
( ) xzjkzjk
i ueeEE ˆ1101
+− Γ+=r
ηηηη
+−
=Γ2
12
ηηη
τ+
=2
22
( )[ ] xzjkzjk
i ueeEE ˆ1101
+− Γ+Γ−= τr
τ=Γ+1
( ) xzjkzjk
ixzjk
i ueeEueEE ˆˆ 111001
−+− −Γ+=τr
( )jee
xjxjx
2sin
−−=
( ) xixjkz
i uzkEjueEE ˆsin2ˆ 1001 Γ+= −τr
onda em propagação onda estacionária
OpE 0708OnEl 20
Faculdade de EngenhariaIncidência normal – incidência num condutor ideal
meio 1
z
x
meio 2
nra
yiEr
iHr
nta
tEr
tHr
nia
rEr
rHr
( ) xzjk
izjk
i ueEeEE ˆ11001
+− Γ+=r
ηηηη
+−
=Γ2
12
ηηη
τ+
=2
22
meio 1 sem perdas
meio 2 condutor ideal
( )01 =σ
ωεσ
εµ
ηj−
=1
00 =tE( )∞=2σ1
0−=Γ
=τ
02 =Er
( ) xzjkzjk
i ueeEE ˆ1101
+− −=r
( ) xi uzkjE ˆsin2 10−=não há onda móvel, apenas onda estacionária
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OpE 0708OnEl 21
Faculdade de EngenhariaExercícios
1. Uma onda electromagnética plana, propagando-se no ar, é caracterizada por
Determine
a) o fasor do campo magnético;
b) o valor médio do vector de Poynting.
( ) ( )mV/mˆˆ60 201 yx
zj ujueE += −r
2. Uma onda electromagnética plana de 200 MHz tem polarização linear segundo x e uma intensidade do
campo eléctrico de 10 V/m. A onda propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio dieléctrico
de constante dieléctrica 4 e que ocupa a região definida por .
a) Determine o fasor do campo eléctrico da onda incidente, sabendo que o campo tem um máximo
positivo em z = 0 quando t = 0.
b) Calcule os coeficientes de reflexão e de transmissão.
c) Determine os fasores do campo eléctrico das ondas reflectida, transmitida e do campo total em z < 0.
d) Calcule a percentagem da potência incidente que é reflectida pela interface e a que é transmitida para
o segundo meio.
0>z