ondas electromagnéticas - paginas.fe.up.ptmines/ope/acetatos/ondas... · análise vectorial...

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Faculdade de Engenharia Ondas Electromagnéticas OpE - MIB 2007/2008 OpE 0708 OnEl 2 Faculdade de Engenharia Programa de Óptica e Electromagnetismo Análise Vectorial (revisão) 2 aulas Electrostática e Magnetostática 8 aulas Ondas Electromagnéticas 6 aulas Óptica Geométrica 3 aulas Fibras Ópticas 3 aulas Lasers 3 aulas

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Page 1: Ondas Electromagnéticas - paginas.fe.up.ptmines/OpE/Acetatos/Ondas... · Análise Vectorial (revisão) ... Ondas Electromagnéticas (6 aulas) ... direcção e sentido de propagação

1

Faculdade de Engenharia

Ondas Electromagnéticas

OpE - MIB 2007/2008

OpE 0708OnEl 2

Faculdade de EngenhariaPrograma de Óptica e Electromagnetismo

Análise Vectorial (revisão) à 2 aulas

Electrostática e Magnetostática à 8 aulas

Ondas Electromagnéticas à 6 aulas

Óptica Geométrica à 3 aulas

Fibras Ópticas à 3 aulas

Lasers à 3 aulas

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OpE 0708OnEl 3

Faculdade de EngenhariaOndas Electromagnéticas (6 aulas)

Equações de Maxwell

Equação de onda em meios LHI sem perdas e sem fontes

Campos harmónicos

Ondas electromagnéticas em meios infinitos sem perdas

Potência de uma onda electromagnética

Incidência

Leis de Snell

Incidência normal

Incidência oblíqua

Interferência

Difracção

(1ª aula)

(2ª aula)

(3ª aula)

(6ª aula)

(5ª aula)

(4ª aula)

OpE 0708OnEl 4

Faculdade de EngenhariaEnergia transportada por uma onda

tH

E∂

∂−=×∇

rr

µ

tE

JH∂∂

+=×∇r

rrε

EJrr

σ=

( ) ( ) ( )HEEHHErrrrrr

×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇ (igualdade vectorial)

( )

∂∂

+⋅−

∂∂

−⋅=×⋅∇tE

JEt

HHHE

rrr

rrrr

εµ

( ) ∫∫∫ −

+

∂∂

−=⋅×VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

rrrrrrσ

εµ

( ) ( ) ( ) JEEEt

HHt

HErrrrrrrr

⋅−⋅∂∂

−⋅∂∂

−=×⋅∇21

21

εµ

( )AAtt

AA

rrr

r⋅

∂∂

=∂∂

⋅21

( ) 222

22EEH

tHE

rrrrrσ

εµ−

+

∂∂

−=×⋅∇

( )dvAsdAVS∫∫ ⋅∇=⋅

rrr

Nota: expressões instantâneas

2W/m

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3

OpE 0708OnEl 5

Faculdade de EngenhariaTeorema de Poynting

( ) ∫∫∫ −

+

∂∂

−=⋅×VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

rrrrrrσ

εµ

potência queatravessa S

diminuição da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potência dissipadapor condução

conservação de energia

Nota: expressões instantâneas

OpE 0708OnEl 6

Faculdade de EngenhariaVector de Poynting

( ) ∫∫∫ −

+

∂∂

−=⋅×VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

rrrrrrσ

εµ

vector de Poynting à ( )2W/mHESrrr

×=

representa a densidade de potência instantânea transportada pela onda electromagnética

( ) ∫∫∫ −+∂∂

−=⋅VV

emS

dvpdvwwt

sdS σrr

2Epr

σσ =

2

21

Hwm

rµ=

2

21

Ewe

rε=

Nota: expressões instantâneas

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OpE 0708OnEl 7

Faculdade de EngenhariaVector de Poynting – campos harmónicos

{ }tjerEtrE ω)(Re),(rrrr

=

{ }tjerHtrH ω)(Re),(rrrr

=

{ } { }tjtj erHerEtrHtrEtrS ωω )(Re)(Re),(),(),(rrrrrrrrrr

×=×=

{ } { }*

21

Re XXXrrr

+=

{ } { } { } { }**

21

21

ReRe BBAABArrrrrr

+×+=×

{ }****

41

BABABABArrrrrrrr

×+×+×+×=

{ }BABArrrr

×+×= *Re21

{ }tjerHrErHrEtrS ω2* )()()()(Re21

),(rrrrrrrrrr

×+×=

valor instantâneo fasores

OpE 0708OnEl 8

Faculdade de EngenhariaVector de Poynting médio

{ }tjerHrErHrEtrS ω2* )()()()(Re21

),(rrrrrrrrrr

×+×=

∫=T

dttrST

rS ),(1

)(medrrrr

densidade de potência média à

{ } ( )2*med W/m)()(Re

21

)( rHrErSrrrrrr

×= vector de Poynting médio

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OpE 0708OnEl 9

Faculdade de EngenhariaVector de Poynting médio – ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting médio aponta na direcção e sentido de propagação da onda

{ }*med Re

21

HESrrr

×=

naHE ˆ⊥⊥rr

{ } naEHES ˆ1Re

21

Re21

*

2*med

=×=η

rrrr

EaH n

rr×= ˆ1

η ( )∗××=× EaEHE n

rrrrˆ1

**

η

( ) ( ){ }nn aEEaEEHE ˆˆ1 ***

* ⋅−⋅=×rrrrrr

η naE ˆ1 2

*

r

η=

( ) ( ) ( )BACBCACBArrrrrrrrr

⋅−⋅=××

meios sem perdas à é realη naES ˆ21 2

med

rr

η=

Nota

OpE 0708OnEl 10

Faculdade de EngenhariaIncidência de uma onda TEM numa interface plana

meio 1

( )111 ,, σµε

z

x

meio 2

( )222 ,, σµε

tθrθ

plano de incidênciaà plano xz

ângulo de incidência à iθ

plano formado pela normal à interfacee pela direcção de propagação daonda incidente

nta

transmitida

zixini uua ˆcosˆsinˆ θθ +=

ztxtnt uua ˆcosˆsinˆ θθ +=zrxrnr uua ˆcosˆsinˆ θθ −=

direcções de propagação:

nia

incidente

nrareflectida

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OpE 0708OnEl 11

Faculdade de Engenharia

pontos e têm mesma fase

Leis de Snell – lei da reflexão

meio 1( )111 ,, σµε

z

x

meio 2( )222 ,, σµε

nia

nra

nta

tθrθ

frente de onda à mesma fase

O

/O

B

/A

A

naondas planas à frentes de onda são planos normais a

ri OOOO θθ sinsin // =

/1

/1 OAkAOk =

pontos e têm mesma fase O A/O /A

fase = dist.⋅k

ri θθ =

OpE 0708OnEl 12

Faculdade de Engenharia

pontos e têm mesma fase

Leis de Snell – lei da refracção

meio 1( )111 ,, σµε

z

x

meio 2( )222 ,, σµε

nia

nra

nta

tθrθ

O

/O

B

/A

A fase = dist.⋅k

ti OOkOOk θθ sinsin /2

/1 =

2

1

sinsin

kk

i

t =θθ

1

2

f

f

v

v=

naondas planas à frentes de onda são planos normais a

pontos e têm mesma fase O A

B/O

OBkAOk 2/

1 =

fvk

ω=

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OpE 0708OnEl 13

Faculdade de EngenhariaÍndice de refracção

Índice de refracção à quociente entre velocidades depropagação no vazio e no meio

fvc

n =

2

1

sinsin

nn

i

t =θθ

ß lei de Snell da refracção

Ex: meio sem perdasεµ

1=fv 00 εµ

εµ=n

rr εµ=

1≥n

n elevado à velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

v

v=

θθ

OpE 0708OnEl 14

Faculdade de EngenhariaCondições fronteira

( ) 0ˆ 21 =−× EEun

rr

( ) Sn JHHurrr

=−× 21ˆ

meio 1( )111 ,, σµε

nu

meio 2( )222 ,, σµε

( ) Sn DDu ρ=−⋅ 21ˆrr

( ) 0ˆ 21 =−⋅ BBun

rr

densidade superficial de corrente

densidade superficial de carga

tan,2tan,1 EE =

norm,2norm,1 BB =

contínuonormB

0secontínuotan =SJHr

0secontínuonorm =SD ρNota

0e0 ≠≠ SSJ ρr

apenas em condutores perfeitos

contínuotanE

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OpE 0708OnEl 15

Faculdade de EngenhariaCondições fronteira – condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

==

==

BD

HErr

rr

condutores perfeitos à

0e0 ≠≠ SSJ ρr

∞=σ

Exemplo

∞=2σ

( )21ˆ HHuJ nS

rrr−×=

( )21ˆ DDunS

rr−⋅=ρ

1ˆ Hun

r×= tuH ˆtan,1=

1ˆ Dun

r⋅= norm,1D=

meio 1( )111 ,, σµε

nu

meio 2( )222 ,, σµε

OpE 0708OnEl 16

Faculdade de EngenhariaIncidência normal

incidência normal à 0=iθ

2

1

sinsin

nn

i

t =θθ

ri θθ =0== tr θθ

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

r

iHr

nta

tEr

tHr

nia

rEr

rHr

incidente à xzjk

ii ueEE ˆ10

−=r

yzjki

i ueE

H ˆ1

1

0 −=η

r

reflectida à xzjk

rr ueEE ˆ10

+=r

yzjkr

r ueE

H ˆ1

1

0 +−=η

r

transmitida à xzjk

tt ueEE ˆ20

−=r

yzjkt

r ueE

H ˆ2

2

0 −=η

r

( ) xzjk

rzjk

i ueEeE ˆ1100

+− +=

yzjkrzjki ue

Ee

E ˆ11

1

0

1

0

−= +−

ηη

ri EEErrr

+=1

ri HHHrrr

+=1

meio 1

meio 2

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OpE 0708OnEl 17

Faculdade de EngenhariaIncidência normal – coeficientes de reflexão e transmissão

condições fronteira à

meio 1

z

x

meio 2

yiEr

nta

tEr

tHr

iHr

nia

nra

rEr

rHr

contínuotanE

contínuotanH ( )0se =SJr

1Er ( ) x

zjkr

zjki ueEeE ˆ11

00+− +=

1Hr

yzjkrzjki ue

Ee

E ˆ11

1

0

1

0

−= +−

ηη

meio 1

meio 2

xzjk

t ueEE ˆ202

−=r

yzjkt ue

EH ˆ2

2

02

−=η

r

2

0

1

0

1

0

000

ηηηtri

tri

EEE

EEE

=−

=+

em z =0 à21

21

HH

EErr

rr

=

=

12

2

0

0

12

12

0

0

2ηη

ηηηηη

+=

+−

=

i

t

i

r

EEEE

OpE 0708OnEl 18

Faculdade de EngenhariaIncidência normal – coeficientes de reflexão e transmissão

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiEr

iHr

nta

tEr

tHr

nia

rEr

rHr

meio 1

meio 2

12

12

0

0

ηηηη

+−

=i

r

EE

ηηηη

+−

=Γ2

12

ηηη

τ+

=2

22

12

2

0

0 2ηη

η+

=i

t

EE

coeficiente de transmissão

coeficiente de reflexão

τ=Γ+1

Notas

1.

2. 1≤Γ

3. 0≥τ

4.

1Er ( ) x

zjkr

zjki ueEeE ˆ11

00+− +=

1Hr

yzjkrzjki ue

Ee

E ˆ11

1

0

1

0

−= +−

ηη

xzjk

t ueEE ˆ202

−=r

yzjkt ue

EH ˆ2

2

02

−=η

r( ) x

zjkzjki ueeEE ˆ1101

+− Γ+=r

xzjk

i ueEE ˆ202

−=τr

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OpE 0708OnEl 19

Faculdade de EngenhariaIncidência normal – onda estacionária

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiEr

iHr

nta

tEr

tHr

nia

rEr

rHr

( ) xzjkzjk

i ueeEE ˆ1101

+− Γ+=r

ηηηη

+−

=Γ2

12

ηηη

τ+

=2

22

( )[ ] xzjkzjk

i ueeEE ˆ1101

+− Γ+Γ−= τr

τ=Γ+1

( ) xzjkzjk

ixzjk

i ueeEueEE ˆˆ 111001

−+− −Γ+=τr

( )jee

xjxjx

2sin

−−=

( ) xixjkz

i uzkEjueEE ˆsin2ˆ 1001 Γ+= −τr

onda em propagação onda estacionária

OpE 0708OnEl 20

Faculdade de EngenhariaIncidência normal – incidência num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiEr

iHr

nta

tEr

tHr

nia

rEr

rHr

( ) xzjk

izjk

i ueEeEE ˆ11001

+− Γ+=r

ηηηη

+−

=Γ2

12

ηηη

τ+

=2

22

meio 1 sem perdas

meio 2 condutor ideal

( )01 =σ

ωεσ

εµ

ηj−

=1

00 =tE( )∞=2σ1

0−=Γ

02 =Er

( ) xzjkzjk

i ueeEE ˆ1101

+− −=r

( ) xi uzkjE ˆsin2 10−=não há onda móvel, apenas onda estacionária

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OpE 0708OnEl 21

Faculdade de EngenhariaExercícios

1. Uma onda electromagnética plana, propagando-se no ar, é caracterizada por

Determine

a) o fasor do campo magnético;

b) o valor médio do vector de Poynting.

( ) ( )mV/mˆˆ60 201 yx

zj ujueE += −r

2. Uma onda electromagnética plana de 200 MHz tem polarização linear segundo x e uma intensidade do

campo eléctrico de 10 V/m. A onda propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio dieléctrico

de constante dieléctrica 4 e que ocupa a região definida por .

a) Determine o fasor do campo eléctrico da onda incidente, sabendo que o campo tem um máximo

positivo em z = 0 quando t = 0.

b) Calcule os coeficientes de reflexão e de transmissão.

c) Determine os fasores do campo eléctrico das ondas reflectida, transmitida e do campo total em z < 0.

d) Calcule a percentagem da potência incidente que é reflectida pela interface e a que é transmitida para

o segundo meio.

0>z