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INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DO PORTO

Elementos de Radiação e Propagação de Ondas Electromagnéticas

Armando Vieira

www.defi.isep.ipp.pt/~asv asv@isep.ipp.pt

16 de Janeiro de 2007

ISEP

DEPARTAMENTODEPARTAMENTODE FÍSICADE FÍSICA

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1. Ondas Electromagnéticas A radiação electromagnética está presente em quase todas as vertentes da tecnologia actual. A radiação electromagnética é usada para transporte de energia e informação. As aplicações vão desde as telecomunicações à análise de materiais, a energia nuclear e a medicina. Iremos aqui abordar o que são, como se produzem e como se propagam as ondas electromagnéticas

1.1 O Espectro Electromagnético Vamos falar de algumas propriedades mais importantes da radiação, que são mais notórias para a luz visível: a zona do espectro entre o ultravioleta próximo e o infravermelho próximo.

Um facto notável descoberto no século XIX, foi o de que a luz visível consiste na propagação de ondas electromagnéticas, correspondendo cada cor do espectro a uma determinada frequência. Acabou por verificar-se que todas as radiações são a manifestação de um mesmo fenómeno físico: a propagação de um campo eléctrico e um campo magnético associado. Consoante a frequência da onda, assim obtemos um determinado tipo de radiação. A figura seguinte, apresenta o espectro electromagnético desde as ondas rádio até as radiações gama, a que correspondem comprimentos de onda dos 100 km aos 10-13 m.

1.2 A equação das ondas electromagnéticas

Podemos verificar que as equações de Maxwell admitem como solução uma onda constituída por um campo eléctrico e magnético a oscilar em direcções perpendiculares. Para isso consideremos um campo eléctrico E na direcção do eixo dos yy e um campo magnético B na direcção do eixo dos zz que se propaga no vácuo.

A lei de Faraday neste caso será:

tB

xE

∂∂

−=∂∂ ,

2

e a lei de Ampére:

tE

xB

∂∂

=∂∂

− 00µε ,

em que ε0 é a permissividade eléctrica no vácuo e µ0 a sua permeabilidade magnética. Estas duas equações só dependem de x e do tempo t. Portanto a onda irá propagar-se na direcção do eixo dos xx. Derivando a 1ª equação em ordem a x e a 2ª em ordem a t, podemos igualá-las obtendo:

2

2

002

2

tE

xE

∂∂

=∂∂ µε .

Esta uma equação idêntica à equação de onda, em que a velocidade de propagação será definida como:

00

1µε

=c .

Esta é a expressão para a velocidade da luz no vácuo, que tem um valor aproximado de 300 000 km/s. A equação para o campo magnético é semelhante. As amplitudes do campo eléctrico e magnético não são independentes. Se substituirmos uma solução da onda na equação de Faraday, obtém-se

cEB =

O campo magnético mede-se em Tesla (T). Uma onda electromagnética não precisa de um meio material para se propagar. Ela é auto-sustentada através de uma troca energética entre o campo eléctrico e o campo magnético, perpendiculares entre si.

Como a radiação se propaga à velocidade da luz, verifica-se a seguinte relação entre comprimento de onda λ e frequência da onda f:

fc λ= .

1.3 Propriedades das ondas electromagnéticas 1.3.1 Polarização

A polarização de uma onda dá informação sobre a forma como a orientação dos vectores do campo eléctrico e magnético variam no tempo. Ela pode ser linear, circular ou elíptica. O primeiro caso ocorre quando os campos oscilam sempre no mesmo plano. Uma onda é polarizada circularmente quando o plano de oscilação dos campos se vai movendo uniformemente ao longo do espaço e do tempo, executando um trajecto em forma de saca-rolhas.

Quase todas as fontes de luz, como o sol, emitem radiação polarizada circularmente. Pode obter-se luz polarizada linearmente usando um polaroide. Este material só permite a passagem da luz cujo campo eléctrico esteja orientado numa direcção.

A luz polarizada é usada por exemplo para visualização estereoscópica de filmes dando assim uma ilusão de uma imagem tridimensional.

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1.3.2 Energia A densidade de energia instantânea por unidade de volume transportada numa onda electromagnética é dada por

W = ε0E2/2 + µ0B2/2 = ε0E2 = µ0B2.

No vácuo a energia armazenada no campo eléctrico é igual à energia armazenada no campo magnético.

1.3.3 Intensidade A intensidade de uma onda é a energia média que passa numa superfície por unidade de tempo é dada por

I = c <W> = 21 c ε0 E0

2

em que E02 é o valor de pico do campo eléctrico da onda. O factor ½ vem do facto de se fazer

a média sobre o período da onda – correspondendo a um valor eficaz do campo.

Se usarmos a expressão da impedância do vácuo:

Ω== 377/ 00 εµZ

podemos escrever

02 / ZEI ef=

em que efE é o valor do campo eléctrico eficaz.

Por exemplo, a intensidade da luz solar que chega à Terra é cerca de 1000 W/m2, o que corresponde a um campo eléctrico de 820 V/m e um campo magnético de 2.6×10-6 tesla (T).

1.4 Absorção e difusão A propagação de radiação com frequências abaixo do ultra-violeta, assume um carácter marcadamente ondulatório e a sua passagem pela matéria não induz grandes alterações físicas ou químicas que não seja o aquecimento ou uma pequena excitação electrónica. Por seu lado, o outro tipo de radiações com energia mais elevada, designadas ionizantes, normalmente induzem alterações na estrutura química e física dos materiais, e nos seres vivos e podem ser letais. A interacção nestes casos tem um carácter corpuscular.

Ocorre difusão quando a luz passa por partículas com um tamanho comparável ao seu comprimento de onda - podem ser partículas com até 1000 vezes o comprimento de onda da luz. A luz perde intensidade por ser dispersa em várias direcções diferentes da do feixe incidente. Para tamanhos muito menores que o comprimento de onda da radiação incidente, é válida a fórmula de Rayleigh que determina a intensidade de luz difundida:

4/1~ λsI

em que Is é a intensidade de luz difundida e λ o comprimento de onda da radiação. Quando a difusão ocorre com as moléculas, designa-se difusão molecular. É a difusão molecular da luz solar na atmosfera que dá o tom de azul ao céu, em vez de preto, uma vez que o azul é muito mais disperso que o vermelho.

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Perdas de um raio luminoso Ao passar pela matéria um feixe de radiação electromagnética perde intensidade devido à absorção ou difusão. A absorção ocorre quando um fotão é capturado, por um átomo ou uma molécula, fazendo transitar o sistema para um nível de energia mais elevado.

Quando um feixe de radiação de intensidade I0 atravessa um material a sua intensidade vai-se reduzindo de acordo com a expressão:

xIxI α−= 10)( 0

em que α é o coeficiente linear de absorção e x a distância percorrida pela radiação. Este coeficiente,

da ααα +=

tem duas componentes: uma devida à absorção propriamente dita αa e outra devida à difusão αd (em inglês scattering), que mede a radiação que é dispersa noutras direcções que não a direcção de propagação. A radiação dispersa tem normalmente um comprimento de onda igual ou superior ao da radiação incidente.

1.5 Generalidades sobre a absorção Na zona central do infravermelho e do ultravioleta quase todos os materiais apresentam zonas de forte absorção selectiva (picos de absorção). Este facto é usado para realizar diagnósticos sobre a constituição dos materiais (por exemplo, o espectro de absorção do infravermelho dá uma medida das energias de vibração molecular e serve para determinar a composição molecular de um corpo). Na zona das micro-ondas a absorção é feita a nível das energias de rotação.

Para os dieléctricos existem, em geral, três bandas de transparência: frequências muito elevadas, frequências muito baixas e uma zona intermédia, normalmente próxima do visível - ver figura do espectro de absorção da água.

A maioria das substâncias são mais ou menos transparentes aos raios X e gama. No entanto na zona dos ultravioletas regista-se uma forte absorção devido à captura pelos níveis mais internos dos átomos.

Quando se desce abaixo dos infravermelhos distantes a absorção por bandas dá lugar à transparência das ondas rádio, havendo nalguns líquidos, como a água, uma forte absorção em certas faixas de microondas.

Problema: porque não se deve usar recipientes metálicos nos fornos de micro-ondas?

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Figura: Coeficiente de absorção da radiação para a água

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2. Fontes de Radiação Neste capítulo iremos falar de duas formas básicas de produção de radiação: por emissão contínua e discreta. A emissão contínua, produzida por correntes alternadas, é a mais cusada nas antenas para emitir radiação até a zona das micro-ondas (1 GHz).

A emissão em espectro discreto resulta da transição de níveis electrónicos de um sistema, por exemplo, quando um electrão numa órbita excitada decai para um nível energético mais baixo. A radiação emitida nestes processos tem um comprimento de onda bem definido. O exemplo mais conhecido destes emissores é o laser.

O mecanismo fundamental de produção de radiação é a aceleração de uma carga eléctrica. A potência total radiada por uma carga eléctrica q com uma aceleração a é dada por:

23

0

2

6a

cqPπε

=

Antenas dipolares Para produção de radiação com frequências até 1 GHz usam-se antenas, ou seja superfícies condutoras percorridas por correntes oscilantes. As mais simples e comuns são as antenas dipolares constituidas por um filamento, ou tubo, de comprimento adequado.

O cálculo exacto da potência emitida por uma antena é em geral muito complexo e está fora do âmbito desta disciplina. Iremos apenas apresentar os cálculos para a chamada aproximação dipolar quando as dimensões da antena são muito inferiores ao comprimento de onda da radiação emitida e apresentar o resultado numérico para antenas de meia-onda.

Podemos considerar uma antena de dimensão d como um dipolo oscilante se λ<<d , em que λ é o comprimento de onda da radiação emitida. A grandeza de maior importância numa antena é a sua resistência radiativa, como iremos definir mais à frente. Para calcular a resistência da antena consideramo-a como um dispositivo que dissipa uma certa quantidade de energia sobre a forma de radiação.

Se a antena for percorrida por uma corrente oscilante

I = Io sin ωt, Podemos usar a equação anterior para calcular a potência média emitida por unidade de tempo. Para isso consideremos as cargas a executar um movimento harmónico simples e calculamos a sua aceleração quadrática média:

2max

2

21 aa =

em que maxa é a aceleração máxima. Usando a relação, válida para o movimento harmónico simples:

da 2max ω= ,

em que d é o comprimento da antena, temos que a potência média emitida será

30

422

12 cdqPπε

ω= .

Mas como a corrente eléctrica oscilante se pode escever

7

ωqI =

e usando a lei de Ohm 2rmsa IRP =

podemos finalmente obter a quantidade

2

2

032

λπ dZRa =

2)/(787 λd=

designada por resistência eléctrica da antena. Note que usámos a expressão para a impedância do vácuo:

Ω== 377/ 00 εµZ

Esta expressão é apenas válida para λ<<d , pelo que o valor desta resistência é em geral pequeno (inferior a 20 Ω). Estas antenas possuem uma baixa resistência e são pouco eficientes.

Note que a energia radiada cresce com o quadrado da frequência do sinal. É esta a principal fonte de perda de energia para os cabos de dois fios condutores paralelos, sobretudo para frequências de sinal elevadas - mais de 100 kHz.

A intensidade de radiação emitida por uma antena dipolar é apresentada na figura seguinte:

Figura: Intensidade da radiação em função do ângulo θ para a radiação do dipolo eléctrico

Antena de meia onda

Vimos que as antenas com λ<<d são pouco eficientes pois possuem baixas resistências. Sempre que possível devem usar-se as chamadas antenas ressonantes, ou seja, antenas cuja dimensão é um múltiplo de metade do comprimento de onda da radiação emitida. A antena ressonante mais comum é a antena de meia-onda, ou seja, onde d/λ = ½.

As antenas de meia-onda são puramente resistivas, como se pode ver na figura apresentada anteriormente. Pode mostrar-se que uma antena de meia-onda, de espessura infinitésimal, possui uma impedância de 73Ω .

Sθpo

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Quando o comprimento da antena não é um múltiplo do comprimento de onda, ela designa-se não-ressonante. As antenas não ressonantes possuem um impedância complexa quee varia substancialmente com a frequência do sinal que está a ser emitido. Estas antenas são pouco eficazes pois dissipam muita energia que não é aproveitada para produção de radiação.

Designa-se eficiência de radiação a percentagem de energia radiada em relação à energia total consumida pela antena. Nas antenas de meia-onda este valor ronda os 30 a 50%, sendo a restante energia dissipada por efeito de Joule.

Ganho de uma antena O parâmetro de interesse numa antena é o seu ganho, ou seja a amplificação direccional do sinal. O ganho é obtido comparando o valor da intensidade radiada na direcção perferêncial com o que seria obtido se a radiação fosse emitida isotrópicamente.

)log(10iso

pref

II

G =

em que Ipref é a intensidade da radiação no plano horizontal da antena e Iiso é a intensidade produzida ou recebida por uma antena considerada isotrópica à mesma distância.

Um ganho direccional de 20 dB significa que o sinal chega a um determinadao ponto 100 vezes mais intenso do que se tivesse sido emitido por uma antena isotrópica. As antenas dipolares possuem um ganho de 2,16 dB.

Finalmente define-se ângulo de abertura o valor do ângulo para o qual a intensidade da radiação decai a metade do seu valor máximo, ou seja -3 dB.

Figura Antena dipolar com reflector. Direccionalidade da emissão.

Existem muitas variantes da antena dipolar. Uma delas é antena de Marconi de quarto de onda ou a antena de dipolo dobrado, com uma impedância de 300 Ω , comum na captação de sinais de rádio e televisão. Colocando um elemento reflector junto ao dipolo dobrado induz-se uma melhor captura do sinal à custa de um elevado ganho direccional, como mostra a seguinte figura

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Figura: Antena de dipolo dobrado com reflector

É comum usarem-se um ou mais reflectores na parte frontal do dipolo para aumentar a

Relação Frontal-Posterior e concentrar a potência no dipolo. Estas antenas, muito usadas na recepção de televisão (VHF e UHF) são as chamadas antenas Yagi.

Além dos reflectores, é comum nas antenas Yagi usarem-se ainda elementos directores na parte posterior do dipolo para aumentar o ganho e a relação frontal-posterior. A seguinte figura representa uma antena Yagi típica. Normalmente as dimensões e a posição dos elementos reflectores é calculada de forma a que a antena possua uma impedância de 75Ω , igual a uma antena de meia-onda, embora antenas de 300 Ω também sejam comuns.

Figura: Antena Yagi com 1 elemento director e 10 reflectores.

A seguinte tabela apresenta um resumo das características das antenas:

Tipo de antena Abertura Angular - horizontal

Ganho (dB) Relação Frontal-Posterior (dB)

Dipolo

90º 3 0

Dipolo + 1 reflector

75º 6 10

Dipolo + 1 reflector + 1 director

65º 8,5 16

Dipolo + 1 reflector + 4 directores

50º 11,5 20

Refira-se aqui o teorema da reciprocidade que estabeleçe que o padrão de uma antena

usada para recepção é igual ao padrão se essa mesma antena fosse usada para emissão.

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Ligação de uma antena Um aspecto importante na instalação de antenas é a sua ligação por cabos aos aparelhos de recepção. Para evitar as reflexões indesejadas do sinal, deve proceder-se ao chamado ajuste de impedâncias em toda a ligação. Como as antenas de meia-onda possuem um impedância de 73Ω , estas são quase sempre ligadas através de cabos co-axiais de impedância característica de 75Ω .

Antenas Parabólicas Para compreender o funcionamento das antenas parabólicas considere-se o seguinte problema.

Determinar a forma de um espelho tal que, qualquer raio que incida paralelamente a ele, convirga para um único ponto. Ver figura seguinte.

O raio OP atinge o espelho no ponto P e é reflectido formando um raio PR. Se PQ for a tangente ao espelho, temos que βα = e φα = .

Portanto φβ = , ou seja

)2tan()tan(tan φφβθ =+= .

Usando uma relação trigonométrica, obtemos:

2'1'2

yy

xy

+=

Esta equação tem como solução 22 2 CCxy += , em que C é uma constante, ou seja uma parábola.

Esta é a razão pela qual se usam antenas com a forma de um parabolóide de revolução, pois são as única que conseguem fazer convergir um feixe de radiação num ponto, designado foco.

O ganho de uma antena parabólica de área A é dado por:

2

4λπAG = .

O ganho varia tipicamente entre os 30 e os 80 dB, dependendo do comprimento de onda da radiação e do diâmetro da antena. Por exemplo para A = 1 m2 e f = 1 GHz obtemos uma amplificação cerca de 1200, ou seja 31 dB. Enquanto que para f = 10 GHz a amplificação é já 120 000, ou seja 51 dB. Para um caso mais extremo de f = 50 GHz e uma área do prato da antena de A = 10 m2, a amplificação já é G = 3.2×107, ou seja 75 dB.

As antenas parabólicas são usadas para emissão e detecção de radiação na zona das micro-ondas. O facto da radiação por elas enviada ser muito direccional (feixe paralelo) torna-as ideais para emitir e receber sinais entre dois pontos de localização bem determinada como é o caso das emissões por satélite. Além disso a atenuação com a distância é pequena dado que o feixe não se dispersa.

Ao contrário das antenas dipolares, a mesma antena parabólica pode ser usada como emissor e receptor de sinais de diferentes frequências, dado que a sua funcionalidade depende pouco da frequência do sinal.

Abertura angular

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A abertura angular de uma antena parabólica, ou seja o valor do ângulo para o qual a intensidade cai para metade do valor emitido no centro, é dada (em graus) pela seguinte expressão

G/142=α em que G é o ganho da antena. Para G = 30 é α=5º, e para G = 45 temos α = 1º. Note que estes são valores muito pequenos. Embora permitam que o sinal se propague sem grande dispersão, nas ligações ponto a ponto, requer que haja uma excelente precisão no alinhamento entre o emissor e o receptor.

12

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3. Propagação de radiação Propagação na atmosfera Existem quatro processos de transmissão de ondas na atmosfera:

• Linha de vista (linha recta)

• Reflexão (na ionosfera)

• Refracção (curvatura dos raios)

• Difracção (contorno de obstáculos)

A primeira forma é comum em sinais com frequências elevadas (acima da frequência de plasma da ionosfera ~ 10 MHz). Para frequências abaixo desse valor a ionosfera funciona como escudo reflector que devolve o sinal à terra. Para frequências muito baixas (da ordem das centenas de kHz), podem ocorrer reflexões sucessivas entre o solo e a ionoesfera permitindo ao sinal ser detectados após viajar distâncias muito elevadas - mais de 10 000 km.

Figura: Várias formas de propagação de ondas na atmosfera

Linha de Vista Dado que a Terra não é plana quando um sinal é emitido por uma antena em linha recta ao fim de uma certa distância ele só poderá ser detectado se o receptor estiver suficientemente elevado. Podemos aproximar localmente a curvatura da Terra por uma parábola para determinar a distancia máxima, d, em kilometros, entre a antenas e o receptor para que o sinal esteja em linha de vista:

RTTT hRhRd 22 +=

em que RT é o raio da Terra e hR e hT são respectivamente a altura do transmissor e do receptor (todas expressas em km). Como o índice de refracção diminui com a altitude as ondas deslocam-se na atmosfera não em linha recta mas descrevendo curvas voltadas para baixo. Para dar conta desse efeito considera-se na equação anterior, não o raio da Terra, mas um valor um pouco mais elevado: 8500 km. Por exemplo, se o emissor a 20 m e o receptor a 50 m de altura, a distância de linha de vista é d = 48 km. Para he = 600 e hr =100 d = 100 km.

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Perdas

Uma antena emissora com uma potência PE e um ganho GE, a intensidade da onda que chega a um ponto afastado de uma distância d é dada por:

24 dPGI E

E π=

Esta é a expressão conhecida da intensidade da radiação a propagar-se isotropicamente. A potência que está disponível aos terminais da antena receptora é por sua vez

eR IAP =

em que

πλ4

2R

eGA =

é a área efectiva de recepção da antena com GR o ganho da antena receptora. Portanto, a potência recebida aos terminais da antena, PR, será:

2

4⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

dPGGP ERER π

λ .

Ou, em termos de décibeis,

LGGP RER −+= (em dB)

em que L é a atenuação em décibeis (do inglês Loss)

dfL log20log204.92 ++= (em dB).

Nesta expressão usámos a frequência da onda, f, em GHz e a distância, d, em kilómetros. É claro que a topologia do terreno e os obstáculos podem aumentar consideravelmente a atenuação. O exemplo mais notáveis são as perdas por difracção.

Quando um sinal passa por um obstáculo de altura h difracta-se. Podem-se alcançar zonas fora da linha de vista mas com um sinal atenuado. A atenuação é dada por

)1log(209.6 xxLdifra +++=

em que

1.021

−=dd

dhxλ

em que d é a distância entre emissor e receptor, d1 a distância do obstáculo ao emissor e d2 a distância do obstáculo ao receptor. Por exemplo para d= 70 km, d1=.5, d2=69, λ =0.5 m, e h=100 m, obtemos x=6.1 e L = 31.2 dB. Fig. pag 109 salema**.

Tensão aos terminais de uma antena

O campo eléctrico numa antena é dado por

0IZEantena = ,

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em que I é a intensidade da radiação (W/m2) e Z0 = 377 Ω é a impedância do vácuo. Usando as relações anteriores podemos escrever o campo de uma outra forma:

e

Rantena A

ZPE 0= V/m

Note que esta quantidade é apenas função da intensidade da onda e da sua frequência, sendo independente do tipo de antena usada. Na prática o valor que se pretende determinar é a tensão aos terminais da antena criada pelo campo eléctrico induzido pela radiação. Para isso usa-se a expressão:

aRantena RPV 4=

em que Ra é a resistência da antena. Para uma antena de meia-onda Ra é da ordem dos 73 Ω. Nem sempre é possivel criar dispositivos com antenas de meia-onda e por isso Ra poderá ser menor e consequentemente a recepção menos eficaz: a mesma potência da onda gera uma tensão menor no receptor.

Podemos usar as expressões anteriores para relacionar a tensão na antena com a intensidade da radiação

20 λπ VRZ

Ia

=

e como

20

4 RPIπ

=

em que P0 é a potência da antena emissora e R a distância à mesma. Portanto a distância máxima a que um sinal poderá ser detectado para que aos terminais da antena haja uma tensão Vmin é dada por:

min

00max 4V

RZPR a

πλ

=

Exemplo 1. Na captação de sinal TV ao aparelho televisivo de frequência 250 MHz deve chegar uma tensão da ordem de 1 mV, qual a potência que é necessária a antena (meia-onda) captar e qual o valor da intensidade que deve exisitir? R: P = V2/4Ra = (10-3)2/(4×73) = 8.5×10-10 W ou seja uma potência de -91 dBW. A intensidade é

82

34

20

109.72.11011014.1 −

−− ×=

××==

λπ VRZ

Ia

W/m2.

Exemplo 2. Qual a distância máxima para se poder captar o sinal vindo de estação emissora de 1 kW a emitir numa frequência de 250 MHz (considere o ganho na antena receptora de 12 dB). R: Contabilizando os ganhos e as perdas (10log1000 + 12) – (92,4 + 20 log d + 20 log 0,25) = –91, temos d = 62 km. Para 20 kW obtemos d cerca de 150 km.

Exemplo 2. Considere a recepção de um sinal de telemóvel com frequência de 1 GHz e 1 watt de potência. A antena emissora possui um ganho de 10 dB, a antena receptora um ganho de 3

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dB, e o limiar de recepção é de – 110 dBW. Qual a distância máxima para recepção do sinal? R: Contabilizando os ganhos e as perdas (0 + 10 + 3) – (92,4 + 20 log d + 20 log 1) = –110, o o que corresponde a uma distância d ~ 31 km.

Propagação de rádio e TV Onda curta (LF ou SW): ondas com frequências muito baixas, 30 a 300 kHz que se podem propagar a dezenas de milhares de quilómetros sem dificuldade devido à reflexão na ionosfera.

Banda do cidadão (CB): Usada no radio-amadorismo esta banda compreende sinais modulados em AM e FM com frequências inferiores a 30 MHz e potência de emissores com o máximo de 5 W - limitada por lei. Como a frequência do sinal se situa junto à frequência de plasma da ionosfera, as ondas são reflectidas por esta. Em dias favoráveis, e com uma boa antena de recepção, podem-se captar sinais emitidos por quase todos os pontos do planeta, sobretudo à noite quando a camada da ionosfera se torna mais densa, e quando os sinais viajam pelo oceâno.

Além da banda do cidadão existe ainda o rádio amador com modulação em AM ou FM e as diversas bandas disponíveis, em torno das seguintes frequências: 2, 4 , 6, 52, 146, 222 e 440 MHz. É preciso uma autorização para usar estas bandas e a potência máxima pode ir até os 1000 W. A qualidade das antenas é muito importante para emissão e recepção de sinais nesta banda.

AM: Os emissores de AM possuem potências da ordem do 10 kW e emitem entre 500 e 1600 kHz. Como estas ondas, além de serem pouco atenuadas, poderem ser reflectidas na ionosfera, não é necessário usar muitos transmissores para cobrir uma região.

Figura: Propagação de onda-média e rádio amador

FM: Os emissores rádio FM possuem potências entre os 100 W e os 50 kW e emitem em frequências entre os 88 MHz e os 108 MHz. Por exemplo, a RFM para cubrir o país usa uma cadeia de 19 emissores com um potência média de 20 kW. Como o nosso país possui uma área de 95 000 km2, isso dá uma área de 5000 km2 por emissor, ou seja, cada um possui um raio de alcançe médio de 50 km. O sinal que chega a cada ponto extremo é da ordem de 43 -106 = - 63 dBW, ou seja, da ordem de 1 µW e um sinal na recepção da antena da ordem dos 10 mV.

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TV: Os emissores de TV usados em portugal possuem potências entre 1 kW e os 500 kW e trabalham com frequências entre os 50 e os 750 MHZ (canal 3 e canal 60). Como o terreno é acidentado, para chegar a pontos mais difícies em vez de aumentar a potência do emissor, usam-se antes uma série de pequenos retransmissores com potências entre os 10 e os 1000 W. A RTP1 possui cerca de 20 transmissores mais de 70 retransmissores, como está indicado no mapa seguinte.

Satélite Um satélite em órbita geoestacionária está a uma distância da ordem do perímetro da Terra, ou seja 36 000 km. Existem duas bandas para emitir sinais de TV: a banda C, que opera com sinais emitidos pelo satélite em torno dos 4 GHz e a banda Ku com sinais em torno dos 12 GHz. Embora a atenuação do sinal na banda Ku seja mais elevada (205 dB em comparação com 196 dB da banda C), ela é cada vez mais usada pois permite que as antenas parabólicas de recepção possam ter dimensões mais reduzidas mantendo um ganho elevado (da ordem dos 40 dB com um prato de apenas 75 cm de diâmetro).

Embora a potência dos emissores dos satélites seja muito pequena (da ordem dos 10 W), as antenas possuem um ganho direcccional da ordem dos 35 dB para a banda C e 42 dB para a banda Ku.

Cálculo do sinal recebido Por exemplo, se um detector tiver um limiar de detecção –114 dBW e o sinal emitido por uma antena isotrópica sofrer uma perda de 140 dB, qual a potência do emissor necessária?

Contabilizando as perdas e os ganhos, temos

-114+140 = 26 dBW ~ 400 W.

Ou seja, precisamos de uma antena de 400 W. Fica como exercício calcular a distância percorrida pelo sinal.

Se agora considerarmos um caso mais realista com antenas de ganho de 20 dB na emissão e recepção e uma perda nas ligações das linhas até as antenas de 2 dB, necessitaríamos de uma potencia na emissora de apenas:

-114+2-20-+140-20+2 = -10dBW = 0.1 W Os cálculos fazem-se com base nos ganhos e perdas em relação ao sinal isotrópico, como mostra a figura seguinte:

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Atenuação de um sinal do emissor ao receptor

Distância máxima de um receptor

A expressão geral para determinar a distância máxima que um receptor pode receber um sinal é dada por

αA

d 10max =

em que

fGGPPA REE log204,92lim −−+++−=

e α pode tomar valores entre 40 e 20, consoante a atenuação for mais ou menos intensa, respectivamente. O termo Plim designa a potência de limiar de detecção do aparelho. Iremos ver mais à frente que

NSBP /log10204lim ++−≈ ,

em que B é a largura de banda do sinal e S/N é a relação sinal ruido considerada aceitável. Não esquecer que a frequência é expressa em GHz e a distância em quilómetros.

Por exemplo, um sinal de FM com largura de banda 100 kHz, e uma S/N = 40, possui um valor limiar de detecção Plim = -114 dB. Se a antena tiver uma potência de 1 kW, e o ganho das antenas for 5 dB. Usando a expressão anterior com α = 20 obtemos dmax = 6700 km e com α = 30, dmax = 375 km um valor mais realista. Note que, mesmo para este último valor, se o receptor estiver a uma altura 0 m estar, o emissor devia de estar situado a uma altura de 8 km para estar em linha de vista.

Conclui-se daqui que não é necessário usar emissores com potências muito elevadas que estejam para lá da linha de vista. Contudo, para frequências baixas (inferiores a 20 MHz) quer a reflexão na ionosfera que a difracção no solo são muito importantes e permitem que o sinal possa ser recebido a milhares de quilómetros do emissor.

Telemóveis Vamos estudar brevemente a atenuação de um sinal produzido pelas antenas de telemóveis. Para uma zona livre de obstáculos as perdas em decibéis são dadas pela expressão anterior da atenuação no espaço livre.

19

Contudo, nas zonas de grande densidade de edifícios, como as cidades, o sinal sofre atenuações muito mais importantes. Constatou-se empiricamente que a atenuação da radiação emitida pelos telemóveis com um frequência típicas de 900 MHz, é dada pela expressão

)log(20log40 RT hhlL −=

em que l é a distância em metros ao emissor e hT e hR são respectivamente a altura do transmissor e do emissor acima do solo. Note o facto 40 no primeiro termo, indicando uma atenuação do sinal com uma potência de quatro e não dois como é habitual na propagação em espaço livrr. Esta expressão sofre alterações que podem ser significativas quando o terreno é acidentado ou quando existem obstáculos como edifícios nas cidades.

Por exemplo, para uma distância de 1 km e hT = hR = 3 m, temos uma perda de 100 dB, como as antenas operam a cerca de 100 W, temos no receptor um sinal de 10-8 W.

Problema: Considere um emissor com 10 W a uma altura de 50m e uma antena com um ganho de 10 dB. Se o limiar de detecção do sinal no receptor for – 115 dBW e se a antena tiver um ganho de 3 dB, determine a distância máxima que o sinal pode ser detectado no campo e na cidade. (Considere o receptor a 1 m de altura).

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Fibras ópticas Uma fibra óptica é um guia de ondas usado para transportar raios luminosos e assim transmitir informação. As vantagens são de três ordens: capacidade para transmitir um sinal com frequências muito elevadas (~1015 Hz), baixas perdas (independentes da frequência do sinal) e insensibilidade quer o ruído térmico quer o resultante de interferências externas.

Existem três tipos de fibras ópticas: índice gradual, salto de índice e modo único ou unimodo. Nas fibras de índice gradual o índice de refracção é máximo do centro e vai diminuindo para a periferia. Devido à refracção contínua os raios luminosos executam trajectórias helicoidais. Como os percursos são mais ou menos independentes do ângulo de entrada o sinal sofre pouca distorção, isto é, não ocorre atraso entre as componentes de um sinal.

As fibras de modo único são feitas com um núcleo muito fino ~ 9 µm de forma que o raio se propaga como num guia de ondas ao longo do eixo da fibra sem necessidade de efectuar reflexões. A distorção do sinal é devida a apenas à dispersão da luz no material que constitui a fibra. O comprimento de onda usado para minimizar as perdas e a dispersão é cerca de 1.5 µm (portanto na zona do infravermelho). É o tipo de fibra onde se consegue uma maior capacidade de transmissão de informação. Em laboratório conseguiram-se taxas de transmissão da ordem dos Terabits por segundo (1012 bits/s): ou seja, em pouco mais de um segundo consegue-se enviar uma enciclopédia completa, ou seja cerca de 15 milhões de chamadas telefónicas (cada uma com 64 kbits/s). Na prática as fibras ópticas actuais têm taxas de transmissão mais baixa, de 1 Mbits/s a 2.5 Gbits/s. As fibras de modo único são usadas para comunicações a longas distâncias.

Dada a complexidade de análise das outras fibras, iremos aqui abordar apenas as fibras de salto de índice. Uma fibra de salto de índice é composta de um material transparente contendo um núcleo com a espessura de cerca de um cabelo humano (50 a 100 µm) revestida externamente por uma bainha. O índice de refracção da bainha é ligeiramente inferior ao do núcleo e por isso os raios de luz que não se perderem nas primeiras reflexões irão sofrer reflexão interna total na superfície de separação entre os dois meios. Deve haver cuidado para a fibra não dobre muito de forma a que o ângulo de reflexão do raio não ultrapasse o ângulo crítico.

Dispersão

21

Ao viajar numa fibra existem raios que podem seguir segundo diferentes ângulos e assim percorrer distâncias diferentes chegando à outra extremidade desfasados no tempo. Este facto faz com que possa ocorrer uma distorção no sinal enviado, como mostra a seguinte figura. Vamos calcular a máxima diferença de percursos entre dois raios que precorram uma fibra óptica segundo o eixo e o ângulo máximo (abertura numérica).

A distância percorrida por um raio que incida com um ângulo θ numa fibra com comprimento L, é dada por

)(sin)(

22 θθ

−=

n

n

nLnl

As duas situações mais extremas são θ = 0º, e θ = θmax, e a diferença de percursos será dada por

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==−==∆ 1)0()( max

b

n

nnLlll θθθ

Essa diferença irá introduzir um desfasamento no tempo dado por

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∆=∆ 1

b

nnn

nn

cLn

clnt .

Portanto a taxa máxima de transmissão de um sinal nesta fibra é:

tf

∆=

21

max bits/s.

O factor 2 é um coeficiente de segurança. As taxas de transmissão, ou baud rate, que se conseguem obter com este tipo de fibras para distâncias da ordem de alguns quilómetros são relativamente modestas - da ordem dos Mbits/s. Assim, embora estas fibras sejam mais baratas, são apenas usadas para comunicações de curta distância a taxas de transmissão relativamente pequenas.

Detectores de fibra óptica

Uma dos obstáculos ao uso mais intensivo das fibras ópticas é o facto da detecção do sinal luminoso, amplificação, multilplexing e encaminhamento ter de ser feito por dispositivos electrónicos com tempos de resposta substancialmente inferiores às taxa de transmissão suportadas pelas fibras. Actualmente estão a ser desenvolvidos dispositivos ópticos para desempenhar todas essas tarefas a fim de tornar a transmissão mais rápida e tirar máximo partido das potencialidades das fibras.

Existem dois tipos de detectores de luz usados para as fibras ópticas: fotodíodo de avalanche (Avalanche Photo-Diode - APD) e os detectores de semicondutores (PIN).

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O detector APD é muito sensível mas possui uma fraca relação sinal ruído. Além disso tem a desvantagem de precisar de uma alta-voltagem (cerca de 105 V/cm) para funcionar. Estes detectores são usados quando se pretende obter uma grande sensibilidade.

O detector PIN consiste em secções de semicondutores altamente dopadas e separadas por uma fina camada intrínseca. O fotão ao incidir numa camada dopada tipo p induz uma pequena corrente que é depois amplificada pela diferença de potencial existente aos terminais do detector. Os detectores PIN de Silício possuem um tempo de resposta da ordem dos 50 µs, mas nalguns dispositivos podem alcançar-se tempos da ordem dos 50 ns, que permite atingir taxas de transmissão de, no máximo 20 Mbits/s. Os detectores de Arseneto de Gálio (GaAs) possuem um tempo de resposta mais baixo, até 40 ps, permitindo processamento a taxas de dezenas de Gbits/s.

O limiar de detecção de um detector depende da taxa de transmissão para a qual irá ser utilizado. Quanto maior a taxa de transmisão mais elevado é o limiar de sensibilidade e portanto maior a intensidade luminosa que deve chegar à extremidade da fibra. Para um detector PIN com uma taxa de transmissão típica de 100 Mbits o limiar de detecção é – 46 dBm. Nota dBm significa miliwatt-décibel décibel, ou seja, neste caso, o limiar é -76 dBW, ou aproximadamente 3×10-8 Watts luminosos.

Para sinais com potências fracas usam-se detectores de semicondutores. Como o sinal luminoso pode ter uma potência muito pequena, inferior a 10-14 W. Para se ter uma ideia deste valor, considere-se que a fibra possui um diâmetro de 50 µm, e por isso a intensidade seria da ordem de 1.3×10-6 W/m2. Como a luz solar tem uma intensidade de 1000 W/m2, trata-se de um valor 109 inferior, e corresponde a um limiar de sensibilidade luminosa cerca de 10 vezes superior ao olho humano. É por isso necessário usar amplificadores com ganhos importantes - da ordem dos 40 dB.

Emissores Usam-se dois tipos de emissores para enviar um sinal nas fibras ópticas LED (Light Emission Diods) e lasers de estado sólido.

Nos LED a luz é obtida pela desexcitação electrónica numa juncão np induzida pela passagem de corrente eléctrica. É uma forma de emissão simples e barata. Embora a eficiência de conversão possa ir até os 80%, o maior problema é a eficiência de acoplamento com a entrada da fibra que não vai além dos 5%. Tem ainda a desvantagem de a luz emitida não ser monocromática apresentando uma largura espectral grande (de 100 a 400 nm).

Os lasers apresentam várias vantagens: grande luminosidade, baixa largura espectral e grande direccionalidade. As desvantagens são o seu atraso de activação e o facto do seu funcionamento não ser estável - variar com o tempo de utilização.

Atenuação e amplificação Os mecanismos de atenuação de um sinal na fibra são absorção e difusão. A absorção é importante para comprimentos de onda grandes (infravermelhos) e a difusão de Rayleigh para comprimentos de onda pequenos. Normalmente usa-se luz com um comprimento de onda da ordem 1.5 µm, ou seja na zona do infravermelho por ser aquele onde ocorre uma menor atenuação.

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Figura: Atenuação em função do comprimento de onda

As fibras de modo único são as que possuem uma coeficiente de atenuação mais baixo, da ordem das décimas de dB/km.

A atenuação depende da Extintion Ratio (ER), relação entre a potência associada ao nível “1” e ao nível “0” na fibra. A ER situa-se entre 2 e 10. A atenuação aumenta com o ER.

Antes de entrar no detector o sinal é amplificado. Para amplificar o sinal faz-se passar a luz por um meio activo que funciona como um laser. Normalmente usam-se EDFA (Ebrium dopped Fiber Amplifier). Estes dispositivos conseguem amplificações da ordem dos 30 a 40 dB.

Exemplo

Considere-se um caso prático. Temos um emissor formado por um laser de comprimento de onda 1.3 µm e potência luminosa de 1 mW (0 dBm). A fibra tem uma perda de 0.25 dB/km e está disponível em rolos de 1 km de comprimento que são ligados por junções, cada uma com uma perda de 0.25 dB. É usado um detector PIN com um limiar de –46 dBm e o sinal é amplificado com um amplificador de EDFA de ganho 40 dB. Calcular a distância máxima a que se pode enviar um sinal com uma margem de segurança de 4 dB.

Para resolver o problema basta somar as perdas e os ganhos na expressão seguinte:

nn 25.0)2(25.0040446 +−+=+−

em que n é o número de kilómetros. Resolvendo para n obtemos aproximadamente n = 160, ou seja podemos ligar dois pontos a uma distância máxima de 160 km. O sinal chega ao amplificador com uma intensidade de aproximadamente – 80 dBm, ou seja 10-11 W e sai com – 40 dBm.

Existem actualmente dezenas de cabos submarinos de fibra óptica que ligam os principais países. Só no ano de 2002 foram lançados mais de 600 000 km de cabos de fibra óptica – o equivalente a vinte vezes a volta à Terra. Em 2003 a ligação de longa distância mais avançada é um cabo submarino que liga a Alemanha aos EUA com taxas de transmissão até 300 Gbits/s (capaz de suportar o equivalente a 16 milhões de conversas telefónicas). O sinal é amplificado através de repetidores separados a distâncias da ordem dos 400 km.

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Cabo coaxial

Um cabo coaxial é um guia de ondas constituído por um cabo flexível com uma malha metálica no exterior e um filamento metálico no centro separados por um material isolante. A vantagem do cabo coaxial é que não dissipa energia por radiação pois está blindado pela malha metálica exterior. Os cabos coaxiais partilham com as cavidades ressonantes o facto de serem guias de onda que introduzem pouca dispersão no sinal, ou seja a velocidade de propagação é praticamente independente da frequência.

Contudo, ao contrário de uma cavidade ressonante, o cabo coaxial é muito flexível e pode transportar ondas de qualquer frequência abaixo da frequência de corte

bcf /=

em que b é o diâmetro do cabo e c a velocidade da luz. Para b = 2 cm, um cabo coaxial poderia suportar sinais com frequências até 10 GHz. Como se pode ver na tabela apresentada mais abaixo, a partir dos 100 MHz a atenuação é muito elevada o que torna proibitivo o uso de cabos coaxiais para distâncias superiores a 100 m.

Para frequências acima dos GHz os cabos coaxiais dissipam muito mais energia que uma cavidade ressonante devido às perdas pelas correntes induzidas na superfície do filamento nuclear. Como tal, estas últimas são as mais usadas para propagar e guiar os sinais na gama de frequências dos GHz, as mais usadas nas comunicações por satélite.

A impedância característica de um cabo coaxial é dada por:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1

2ln60rrZ Ohms.

em que r1 é o raio interno e r2 o raio externo do cabo. Os cabos coaxiais mais comuns são os de 75 Ω de impedância.

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4. Elementos da Teoria da Comunicação

Quando temos um sinal para ser enviado por um canal, precisamos de um emissor, um canal e um receptor. O sinal para ser transmitido precisa de ser modulado (por exemplo AM ou FM) ou então codificado numa forma digital. O papel do receptor é procede à amplificação e desmodulação do sinal, em particular à sua filtragem, ou seja eliminar algum o ruído que tenha contaminado o sinal.

Alguns efeitos indesejados neste processo são os seguintes:

Atenuação existe sempre perdas, quer nas linhas de transmissão quer na aparelhagem de recepção ou emissão. O sinal é absorvido ou disperso pelo meio reduzindo assim a sua intensidade.

Distorção consiste no facto das várias componentes do sinal, inicialmente sincronizadas, poderem chegar ao receptor em tempos diferentes ou sofrerem atenuações diferentes - as componentes de frequência mais elevada são quase sempre as mais atenuadas. Este é dos problema mais graves nas telecomunicações pois distorce a forma do sinal perdendo-se a definição nos detalhes mais finos como ilustra a figura seguinte:

Distorção de um sinal

Figura: Em cima sinal de teste (curva a cheio) escrito como uma composição de 3 harmónicas. Em baixo o mesmo sinal após sofrer distorção nas frequências baixas (a) e nas frequências altas (b). Pode-se corrigir parcialmente a distorção do sinal usando as chamadas redes de equalização, que mais não são que amplificadores que aumentam as componentes do sinal numa relação proporcional às perdas sofridas.

Interferência É a contaminação por sinais externos de outras fontes artificiais: outros emissores, máquinas, linhas de alta-tensão, etc. A forma de eliminar interferências é o uso de filtros adequados. É um problema comum nas ligações de cabos eléctricos, sobretudo não blindados, mas pouco importantes nas fibras ópticas.

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Ruído O ruído é um sinal eléctrico aleatório e imprevisível que afecta a transmissão e que pode corromper parcial ou completamente a mensagem. Trata-se de um problema fundamental que afecta todo o tipo de comunicações. A principal fonte de ruído são as agitações térmicas dos electrões, quer nas linhas de transmissão quer nos dispositivos usados para amplificação e desmodulação do sinal.

Ruído As limitações fundamentais na comunicação são a largura de banda do sinal B, ou seja a gama de frequências do espectro electromagnético usada para codificar a informação (medida em Hz ou bits/s) e o ruído N. Um sinal com componentes que oscilam rapidamente no tempo, ou com uma taxa de transmissão de informação elevada precisa de uma largura de banda maior.

O ruído térmico causado por uma resistência R, a uma temperatura T, medida em kelvins (1 K = 1 ºC + 273), num sinal com largura de banda B, é dado por:

TRBkV B= Volts,

em que kB = 1.38×10-23 é a constante de Boltzman. Para a temperatura ambiente (300 K) a potência correspondente a este ruído é:

BBR

VN p η=×== −212

104 Watts.

Em que 21104 −×=η . Note que este valor não depende da resistência. Em termos práticos podemos usar a seguinte expressão para calcular o nível de ruído num detector para a temperatura ambiente, expresso em decibéis Watt dBW, aproximadamente como:

BN p log10204+−= dBW

Limiar de detecção A relação sinal ruído (em décibeis) é definida como:

SNR )/log(10 pNS= = S – Np (dBW)

O nível mínimo da relação sinal ruido (SNR) aceitável para as comunicações é da ordem de 10 dB, embora em certas aplicações, como o telefone, se exijam SNR de 26 dB e na televisão 50 dB.

Conhecendo a largura de banda e a SNR podemos calcular a potência mínima do sinal S necessária no receptor. Por exemplo para televisão a largura de banda é 6 MHz. Logo o nível ruído à temperatura ambiente é N = –136 dBW. Como o sinal deve estar 50 dB acima do ruido, a potência mínima captada pela antena deve ser –136 + 50 = –86 dBW. Em comunicações de sondas espaciais podem ocorrer SNR próximas de 1 – nestes casos é necessário recorrer a técnicas sofisticadas de codificação e recepção do sinal.

Exemplo: calcule a relação SNR para uma antena de TV que recebe um sinal com uma largura de banda B = 5.5 MHz, e que está acoplada a um cabo coaxial de 70 Ω que alimenta uma resistência de igual valor, se a tensão do sinal em circuito aberto for de 1 mV eficaz e a atenuação na entrada do cabo e na saída for de 6 dB.

27

O sinal tem uma potência de 923

106,370

)10(21 −

−

×==pS W e o ruído 14102,2 −×=pN W, logo

SNR para a antena é de 52.2 dB. À saída do circuito teremos portanto uma SNR = 52.2 – 6 – 6 = 40.2 dB.

Informação de um sinal. Considere-se um canal capaz de suportar s bits por segundo, a taxa R a que podemos enviar mensagens codificadas segundo uma base M (por exemplo, M=2 para binária ou M=16 para codificação hexadecimal), com um tamanho de N bits, é dada por:

)log(MNsR = .

No entanto, como todo o sinal possui redundância, quer dizer, sequências de símbolos desnecessários para compreender a mensagem. As frases seguintes “eu estou a andar de carro na estrada” e “eu carro estrada” contêm praticamente a mesmo significado, mas a primeira é maior. Diz-se que é mais redundante e pode ser reduzida a uma forma mais compacta. De facto, quase todas as linguagens são redundantes em cerca de 70%, ou seja, um texto podia ser comprimido para apenas um terço do seu tamanho. Para quantificar este facto definiu-se uma quantidade chamada informação, dada pela expressão

∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

M

i ii p

pxH 1log)(

também designada entropia do sinal, em que pi são as probabilidades de surgirem cada um dos M dígitos que codificam a mensagem. Neste contexto informação é uma medida do grau de imprevisibilidade de um sinal. Se o sinal for sempre constante (p = 1), ou se um símbolo for muito raro (p = 0), a informação será nula. A informação será máxima quando os dígitos do sinal forem completamente aleatórios – ou seja, o sinal é incompressível.

Portanto, a taxa eficaz de informação, Re, que é emitida por um canal é definida como

Re = s H(x) /N,

Como normalmente H(x) é inferior a log(M), Re < R, o que significa que para enviar essa mensagem não é preciso uma largura de banda tão larga como a que o canal suporta. Neste facto reside a utilidade de se usar um algoritmo para compressão de um sinal digital de forma a enviar o máximo conteúdo informativo na menor largura de banda. Numa conversa, por exemplo, é comum obterem-se taxas de compressão superiores a 70% com algoritmos adequados. Num documento de texto pode-se conseguir taxas de compressão de 80% (um texto de 100 kb passa a ocupar 20 kb).

Capacidade de um canal contínuo Se tivermos um canal com uma largura de banda B (Hz), a capacidade máxima de transmissão de informação é dada pela expressão fundamental enunciada por Claude Shannon em 1949:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

NSBC 1log2 b/s

em que S é a potência do sinal e N =N0B é a potência do ruído com que o sinal foi contaminado durante a transmissão. Esta expressão impõe um limite superior à taxa de

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transmissão possível nesse canal, ou seja terá de se verificar CR ≤ bits/s, e se tivermos um algoritmo de compressão CRe ≤ .

)12()12( /0

/ −×=−×= BRBR BNNS

Como o nível de ruído BN η= , em que η é o nível de ruído elementar, observa-se que existe um compromisso entre a largura de banda B e a potência do sinal S. Para B < C = R, é preciso uma grande potência da fonte S para fazer chegar o sinal em boas condições. Mas para B > R, ou seja quando temos uma largura de banda superior à taxa de transmissão, então o valor de S tende rapidamente para uma valor assimptótico a partir do qual a transmissão se pode efectuar sem dificuldade.

Figura: Compromisso entre largura de banda e potência do sinal para um sistema ideal.

Com efeito, para S/N pequeno (ou B/R elevado) a capacidade do canal é

ηSC

B44.1lim ==

∞→∞ b/s

Esta é a taxa de transmissão máxima para um canal sem limite de banda e não depende da largura de banda disponível. Com uma largura de banda suficientemente elevada a taxa de transmissão é proporcional à potência de emissão do sinal e inversamente proporcional ao nível de ruído. Se B = R é conveniente aumentar a largura de banda a fim de reduzir a potência necessária no emissor. Note que esta expressão fornece um limite mínimo da potência do sinal. Na prática são necessárias potências mais elevadas para obter esta taxa de transmissão.

Por exemplo para S = 10-12 W e η = 4×10-21 W/Hz, obtemos C = 360 Mbits/s - um valor muito elevado. Na prática fica-se muito abaixo deste limite teórico.

Exemplo 1: considere uma linha com B = 1 kHz ligada a seis canais, cada um com 1 kb/s. Se SNR da linha for 2/logL, em que L é o tamanho da linha em km, determine a máxima distância em que a ligação é fiável.

Da equação fundamental, temos que:

29

)log

21(log10)101(6 233

L+=××

e resolvendo esta equação para L obtemos L = 4.36 km.

Exemplo 2. Calcule o tempo que leva uma imagem com np=400×300 pixeis de 16 níveis de cor a ser enviada de Marte até a Terra usando uma portadora de 9 GHz.

Se escolhermos uma codificação hexadecimal, temos que cada imagem precisa de uma taxa de transmissão dada por:

48000016log == pnRT bits,

em que T é o tempo necessário para enviar uma imagem.

Podemos calcular a potência do sinal no receptor sabendo as perdas na transmissão, os ganhos nas antenas parabólicas do transmissor (gT = 26 dB), do receptor (gR = 56 dB) e a potência do emissor (ST = 20 W). Assumindo uma perspectiva pessimista, as perdas na transmissão do sinal podem ser obtidas a partir da distância supondo uma propagação isotrópica, o que dá L = 268 dB. Portanto a potência do sinal recebido será de:

1810520268

5626 −×=×

== TRT S

LggS W.

Assumindo que não há limite de largura de banda, 1/ >>RB , e que densidade de ruído é 22

0 108 −×=N W/Hz, a taxa de transmissão máxima será:

900044.10

==NSR bits/s.

Como cada imagem possui 480 000 bits, temos que o tempo para cada imagem é T = 480 000/9000 = 53 s. É claro que se pode reduzir este tempo recorrendo a algoritmos de compressão para eliminar redundâncias no sinal, mas para enviar esta quantidade de bits nenhum sistema real conseguirá um tempo inferior a este limite teórico.

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APÊNDICES

I - Linhas de Transmissão

Uma linha de transmissão pode ser simulada da forma mais simples por um circuito RC que funciona como um filtro passa-baixo.

O valor de resistência R por unidade de comprimento é dado por

AR ρ=

em que ρ é a resistividade do material e A a área da sua secção. Para um par de fios de cobre de 1mm de diâmetro a resistência é da ordem de 3 Ω /km e a capacidade é da ordem de 3×10−10 F/km. A frequência de corte deste circuito é portanto

RCfc π2

1= ,

ou seja da ordem de 150 MHz/km: 1,5 MHz para um fio com uma extensão de 100 km. Este valor é, bastante elevado, é apenas um limite imposto pela topologia do circuito. Veremos que na prática a capacidade da linha é limitada a frequências mais baixas devido às perdas radiactivas.

Para alguns casos podemos desprezar a resistência eléctrica e considerar apenas a indutância própria da linha, L. Nestes casos a frequência é limitada a um valor

LCfc π2

1= .

Considerando uma auto-indutância da ordem de 10-5 a 10-6 H/m, obtemos uma frequência de corte da ordem de 600 KHz para um fio de 1 km e 6 kHz para um fio de 100 km de comprimento. Quer isto dizer que é este fenómeno que limita a frequência e não a ressonância do circuito RC. Linha em modo contínuo. Introdução Os sistemas de comunicações, os diversos elementos ou circuitos são descritos em função de resistências, condensadores e indutâncias. Nestes dispositivos pretende-se determinar as correntes e as tensões entre os elementos do sistema não se considerando os aspectos ligados aos campos electromagnéticos. Estes sistemas dividem-se em duas grandes classes tendo em consideração a dimensão do dispositivo relativamente ao comprimento de onda associado às frequências envolvidas: sistemas em que as dimensões físicas do circuito é muito menor que o comprimento da frequência mais elevada - que podem ser descritos por elementos físicos localizados; e circuitos cuja dimensão é comparável com os comprimentos de onda associados

31

às frequências envolvidas. Neste últimos temos de considerar a tensão e a corrente além de variarem no tempo dependem igualmente do espaço. Iremos fazer uma breve referência a estes sistemas Considere-se um extremo (posição z = 0) onde se encontra uma fonte de tensão V(t) =Vo eit de impedância interna Zi ligado por um par de fios de comprimento l ao outro extremo (posição z = l) com uma carga de impedância Zl - ver figura.

Zi

Zl

~

l

z

Figura: Esquema de um sistema de transmissão A este sistema constituído pelo par de fios que liga o gerador à carga designa-se linha de transmissão. Esta linha pode ser constituída por dois condutores, por um cabo coaxial, uma pista de ligação, etc. Exemplos típicos são as linhas de alimentação de energia eléctrica, as linhas telefónicas, os cabos de ligação entre sistemas informáticos, o cabo de ligação de uma antena a um receptor de radiofrequência, etc. Só se designa por linhas de transmissão os sistemas com cabos de ligação de comprimento superior a 1/10 do comprimento de onda associado à frequência da tensão do gerador. Admite-se que a linha de transmissão é equivalente a um sistema de resistências condensadores e indutâncias repartidos ao longo desta tal como é ilustrado na figura seguinte.

z z+dz

Rdz Ldz

CdzGdz

Nesta figura dz é um comprimento infinitesimal de linha, R, L e C são a resistência a indutância e a capacidade por unidade de comprimento para o par de fios da linha. A indutância de uma linha é da ordem de L é da ordem de 10-3 H/km. A condutância por unidade de comprimento devida às perdas no dieléctrico que separa os condutores é designada por G e é desprezível para frequências abaixo de 1 MHz. Aplicando as leis de Kirchhoff neste circuito e admitindo soluções em regime permanente com variação senosoidal no tempo para a tensão e a corrente ao longo da linha pode mostrar-se que a variação das amplitudes da tensão e da corrente ao longo da linha V(z) e I(z) respectivamente são descritas por uma onda atenuada que se propaga no sentido positivo do eixo dos zz, onda incidente, e uma onda atenuada que se propaga no sentido negativo do eixo dos zz - onda reflectida. Ambas se propagam com a mesma velocidade de fase.

32

O coeficiente de reflexão é definido como o quociente entre o pico da tensão reflectida e o pico da tensão incidente na extremidade da linha (z = l), e é dado pela expressão:

=ρ oL

oL

ZZZZ

+−

=incidente

reflectida

VV

O coeficiente de reflexão de potência é dado por ρ2. Para uma linha aberta (ZL = ∞) ou em curto circuito ( ZL = 0) a reflexão é total (|ρ|=1), enquanto que para uma linha adaptada (ZL = Zo) a reflexão é nula.

O coeficiente de atenuação pode ser escrito como:

LCR

2=α

, e o factor de onda

λπωβ 2

== LC ,

e a velocidade de propagação será portanto

LCv 1=

.

Este valor nunca é superior à velocidade da luz no vácuo pois o aumentarmos L diminuímos C e vice-versa. Lembre-se que L e C são expressos por unidade de comprimento.

A impedância característica da linha é puramente resistiva:

CLZ /0 = . Podemos então reescrever

02ZR

=α.

Conhecida a indepedância característica da linha e a impedância no final da linha

podemos determinar o factor de reflexão ρ, e a partir da frequência do sinal obtemos o factor de onda β. Com estes valores podemos determinar a impedância ao longo da linha pela seguinte expressão:

yiyi

yiyi

eeeeZyZ ββ

ββ

ρρ

−

−

+−

= 0)(

Problema: determine a impedância de um sinal de 1 MHz a viajar numa linha de 350 m com uma impedância característica de 75 Ω terminada em: a) curto circuito; b) circuito aberto; c)

33

impedância de 75 Ω. R: como βy = 2π 1.16 e a) ρ = -1; b) ρ = 1; c) ρ = 0, temos a) Z = j130Ω b) Z = - j 43.3Ω c) Z = 75 Ω. VSWR Nas linhas forma-se um padrão de ondas estacionárias, como mostra a figura seguinte. Existe uma quantidade importante designada Voltage Standing Wave Ratio (VSWR) definido como:

0min

max

ZZ

VV

S L==

|Vi2|

K|Vi2|

(1+K)|Vi2||V|

(1-K)|Vi2|

|I|

yθλ/4 + yθλ/2 + yθ em que Vmax e Vmin são os valores máximo e mínimo da tensão da onda estacionária formada na linha. O coeficiente de reflexão relaciona-se com S da seguinte forma:

11

+−

=SSρ .

Quando S = 1 a onda não sofre reflexão enquanto que para S grande a reflexão fica próxima da unidade. Acoplamento Para ajustar a impedância da carga ZL à da linha Z0 introduz-se em série no final da linha uma impedância característica de ajuste ZA e comprimento de um quarto do onda, tal que

LA ZZZ 0= .

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Bibliografia

• The Physics of Vibrations and Waves, H. J. Pain, John Wiley. Um livro extenso e de boa qualidade contendo alguns conceitos mais avançados.

• Physics of Waves, William Elmore e Mark Heald. Semelhante ao anterior embora mais abrangente e detalhado. Contem inúmeras aplicações nas áreas de engenharia.

• Óptica, Eugene Hecht, Gulbenkian. Tratado completo de óptica embora com um nível de dificuldade algo elevado.

• Fundamentals of Optics, Jenkins and White, McGraw Hill. Um bom livro de óptica. Conceitos muito bem explicados a um nível acessível.

• Óptica: Fundamentos e aplicações, Brandão Faria, Presença. Um bom livro, embora demasiado formal e com explicações algo lacónicas. Para quem aprecia uma abordagem mais matemática.

• Physics for Scientists and Engineers, S. Serway. Um livro genério de nível acessível, muito bem organizado e com exemplos didácticos. Não inclui toda a matéria do curso.

• Fiber Optics Communications. Tudo sobre fibras ópticas e instrumentação relacionada.

• Manual de Antenas de Recepção FM e TV. Um livro prático muito útil para compreender a concepção e montagem deste tipo de antenas.

• Telecomunications Engineering, J. Dunlop e D. G. Smith, Van Nostrandam. Um livro completo e de nível aplicado sobre telecomunicações.

• Electronic Communication Systems, Kennedy and Davis, McGraw Hill. Livro muito completo abrangendo toda a área de telecomunicações desde antenas, linhas de transmissão, fibras ópticas e teoria de sinais.

• Feixes Hertezianos, Carlos Salema, IST Press. Excelente livro sobre a propagação de ondas na atmosfera. Aborda exaustivamente o tema incluindo processamento de sinais analógicos e digitais.

• Wireless Communications, Theodore S. Rappaport. Tudo sobre comunicações celulares - telemóveis.

• Radio Wave Propagation and Antennaes: an introduction, John Griffiths. Excelente livro sobre antenas e propagação de ondas na atmosfera a um nível acessível.

• Satellite Communications, Roddy, McGray Hill. Tudo sobre comunicações por satélite.