UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚ

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA

COORDENAÇÃO DE FÍSICA

CURSO DE GRADUAÇÃO EM FÍSICA

FRANCISCO WESLEY DE OLIVEIRA MESQUITA

ONDAS DE SPIN EM REDES BIDIMENSIONAIS QUADRADAS SIMPLES INFINITA

SOBRAL

2018

FRANCISCO WESLEY DE OLIVEIRA MESQUITA

ONDAS DE SPIN EM REDES BIDIMENSIONAIS QUADRADAS SIMPLES INFINITA

Trabalho de Conclusão de Curso apresentadoao Curso de Graduação em Física do Centro deCiências Exatas e Tecnologia da UniversidadeEstadual Vale do Acaraú, como requisito parcialà obtenção do grau de Licenciatura em Física.

Orientador: Prof. Dr. Raimundo ValmirLeite Filho

Coorientador: Prof. Dr. Luiz Ozorio deOliveira Filho

SOBRAL

2018

FRANCISCO WESLEY DE OLIVEIRA MESQUITA

ONDAS DE SPIN EM REDES BIDIMENSIONAIS QUADRADAS SIMPLES INFINITA

Trabalho de Conclusão de Curso apresentadoao Curso de Graduação em Física do Centro deCiências Exatas e Tecnologia da UniversidadeEstadual Vale do Acaraú, como requisito parcialà obtenção do grau de Licenciatura em Física.

Aprovada em:

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Raimundo Valmir Leite Filho (Orientador)Universidade Estadual Vale do Acaraú (UVA)

Prof. Dr. Luiz Ozorio de OliveiraFilho (Coorientador)

Universidade Estadual Vale do Acaraú (UVA)

Prof. Dr. Igor Rochaid de Oliveira RamosUniversidade Estadual Vale do Acaraú (UVA)

À minha família, por sua capacidade de acredi-

tar e investir em mim. Mãe, sua luta, cuidado

e dedicação diária foi que me deu, em alguns

momentos, a esperança e a vontade para seguir.

Pai, sua presença significou segurança e certeza

de que não estou sozinho nessa caminhada.

AGRADECIMENTOS

A Deus.

Ao Prof. Dr. Raimundo Valmir Leite Filho e ao Prof. Luiz Ozorio de Oliveira Filho

por me orientarem neste trabalho e sempre estarem disponíveis para tirar minhas dúvidas. Pelos

conselhos, orientações diárias, motivações, críticas construtivas e pelo conhecimento que me

repassaram ao longo de toda a minha trajetória. À esse dois professores, que tenho um enorme

respeito, agradeço imensamente.

Aos meus pais, Rosa Maria Rodrigues de Oliveira e Francisco Oliveira de Mesquita

pelo amor, carinho e afeto.

Aos meus irmãos, avós e tios que me ajudaram das mais diversas formas.

A Suzana Oliveira de Almeida pelo companheirismo, força e motivação ao longo de

todo o tempo que fiquei longe de minha família.

Aos meus amigos, Roberto Ferreira de Paiva, Antônio Luciano Cordeiro, Hertan

Bruno Nascimento Araújo, Felipe Ferreira de Sousa, Manuel Fernandes do Nascimento Araújo,

Josué da Silva Cavalcante, Alexandre Moreno Maia e aos demais amigos e colegas por sempre

caminharem juntos comigo ao longo de toda a graduação.

Ao Sabino por ter me ajudado com as figuras no TikZ, e ao Orlando, por ter me

ajudado com a construção de alguns gráficos.

Ao Prof. Dr. Francisco Leandro de Oliveira Rodrigues que me ajudou bastante,

principalmente quando eu estava desmotivado e com vontade de abandonar o curso.

Ao Prof. Dr. Antônio José Sampaio da Costa pelas motivações e incentivos.

Ao Prof. Dr. Antônio Fernandes Siqueira pelas muitas conversas, de sabedoria, ao

longo de todo o curso.

Agradeço, com carinho, a todos os professores do curso de Física por me propor-

cionarem o conhecimento não apenas racional, mas a manifestação do caráter e afetividade da

educação no processo de formação profissional, por tanto que se dedicaram a mim, não somente

por terem me ensinado, mas por terem me feito aprender.

Agradeço a todos os funcionários do Centro de Ciências Exatas e Tecnologia e

da Universidade Estadual Vale do Acaraú, que, de alguma forma, contribuíram com minha

formação.

A Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo

apoio financeiro ao longo das atividades do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à

Docência (PIBID).

E a Universidade Estadual Vale do Acaraú (UVA) pelo apoio financeiro ao longo das

pesquisas relacionadas a bolsa de iniciação científica e pelo auxílio durante as viagens para os

encontros em que apresentei trabalhos.

“A Física é a poesia da natureza. A Matemática,

o idioma.”

(Antonio Gomes Lacerda)

RESUMO

Ondas de spin são excitações coletivas que surgem em materiais magnéticos por conta de

perturbações nesse sistema. Por exemplo, uma pequena variação na temperatura provoca a

precessão de um momento de dipolo magnético que interage com seus vizinhos levando à

propagação dessa perturbação. Essa perturbação tem caráter ondulatório, e pode se propagar na

direção de qualquer um dos vizinhos próximos. As ondas de spin podem ser estudadas através

de modelos matemáticos como o de Heisenberg e de Ising. Nesses modelos, podemos calcular a

relação de dispersão das ondas de spin. Dessa forma temos como objetivo deste trabalho, estudar

o comportamento de ondas de spin em sistemas ferromagnéticos, onde serão consideradas redes

bidimensionais quadradas simples infinita, com interação de troca entre primeiros e segundos

vizinhos. Abordaremos os aspectos históricos associados as ondas de spin, analisando as

perspectivas semiclássica e quântica. São discutidas as interações do tipo Troca e Zeeman,

e o modelo de Heisenberg, onde foi aplicada as transformações de Holstein-Primakoff para

escrever os operadores de spin em termos dos operadores de criação e aniquilação, garantindo

a visualização dos modos das ondas de spin. Será feito um estudo numérico para a obtenção

da relação de dispersão das ondas de spin nos casos considerados. Assim, determinamos

a energia das ondas de spin em função do vetor de onda e assim, determinar as curvas de

contorno e a densidade de estados das redes quadradas simples infinita, onde serão enfatizadas

as contribuições de troca de primeiros e segundos vizinhos. O estudo da propagação das ondas

de spin é importante, pois essa excitação coletiva do material magnético é responsável pela

diminuição da magnetização nesse material. Portanto, o estudo dessas ondas em sistemas de

baixa dimensionalidade é importante, pois é a tendência de estudarmos materiais a base de

carbono, que se apresentam como grandes candidatos para os novos dispositivos eletrônicos nos

próximos anos.

Palavras-chave: Interação de Troca. Modelo de Heisenberg. Relação de Dispersão.

ABSTRACT

Spin waves are collective excitations that arise in magnetic materials because of disturbances

to the system. For example, a small variation in temperature causes a precession of a magnetic

dipole moment that interacts with its neighbors leading to the propagation of this disturbance.

This perturbation has an undulating character, and may be propagating toward any of the next.

The spin waves can be studied through the mathematical models of Heisenberg and Ising. In these

models, we can calculate a dispersion relation of the spin waves. In order to have this work, to

study the behavior of spin waves in ferromagnetic systems, with the objective of exploring simple

two-dimensional nets, exchange interactions between the first and some neighbors. Address the

historical aspects associated as spin waves, analyzing the semiclassical and quantum perspectives.

The interactions of the Swap and Zeeman type are discussed, and the Heisenberg model, where

the Holstein-Primakoff transformations were applied to create the spin functions of the terms of

creation and annihilation, guaranteeing a visualization of spin wave modes. A numerical study

will be done to obtain the dispersion relation of the spin waves in the considered cases. Thus,

they determine the energy of the rotation waves as a function of the wave and asymmetric vector,

determining the contour curves and the state density of the infinitely simple square networks,

with the contour waves and the exchange brackets of first and second neighbors. The study of the

propagation of spin waves is important, since this collective excitation of the magnetic material

is responsible for the decrease of magnetization in this material. Therefore, falling ill in the

waves of dimensional dimensional systems is important as it is a tendency to materialize on

carbon bases which are large and effective for systems development in the coming years.

Keywords: Exchange Interaction. Heisenberg model. Scatter Ratio.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Um elétron orbitando em torno do núcleo do átomo. . . . . . . . . . . . . . 22

Figura 2 – O momento angular orbital L e o momento de dipolo magnético orbital µµµ l

de um elétron −e que se move numa órbita de Bohr. O campo magnético

B produzido pela carga que circula aparece indicado pelas linhas curvas. O

dipolo magnético fictício que produziria um campo idêntico, longe da órbita,

aparece indicado por seus polos N e S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Figura 3 – Uma órbita de Bohr situada num plano quase perpendicular ao eixo dos z. . 25

Figura 4 – A orientação no espaço e as componentes z do momento magnético orbital

para o caso l = 2. Há 2l +1 = 5 diferentes possibilidades de orientações. . . 27

Figura 5 – Comportamento do torque sobre a órbita eletrônica de Bohr. . . . . . . . . . 28

Figura 6 – Um torque τττ = µµµ l ×B = −(glµB/h̄)L×B aparece quando o momento de

dipolo magnético de um átomo µµµ l interage com o campo aplicado B. Esse

torque da origem da origem a uma variação dL do momento angular durante o

tempo dt, segundo a lei de Newton escrita sob a forma dL/dt = τττ . A variação

dL faz com que L precessione de um ângulo ωdt, onde ω é a velocidade

angular de precessão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Figura 7 – Comportamento de um dipolo magnético na presença de um campo magnético

não uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Figura 8 – Experiência de Stern-Gerlach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Figura 9 – (a) Resultado experimental que Stern e Gerlach esperavam obter, segundo

uma predição clássica. (b) Resultado obtido, sendo duas orientações do

momento magnético. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Figura 10 – O spin é uma forma de momento angular intrínseco de todas as partículas. . 33

Figura 11 – A figura mostra as duas orientações prevista para o vetor spin S para uma

partícula com spin 12 , tal como o elétron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Figura 12 – Representação da estrutura dos domínios magnéticos dispostos aleatoria-

mente em um material. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Figura 13 – Representação da transição dos momentos magnéticos na interface entre do-

mínios com polarização oposta: (a) transição abrupta dos dipolos magnéticos

e (b) transição suave com um comprimento δ maior. . . . . . . . . . . . . . 43

Figura 14 – A estrutura cristalina (c) é formada pela soma da base (b) para cada ponto da

rede (a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Figura 15 – Um eixo de simetria de quinta ordem não pode existir numa rede, porque não

é possível preencher todo o espaço da rede mediante arrumação contínua de

pentágonos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Figura 16 – As três redes cúbicas. As células que aparecem na figura são as convencionais. 50

Figura 17 – A região sombreada mostra a primeira zona de Brillouin de uma rede qua-

drada em 2D. Os pontos indicam os vetores da rede recíproca. . . . . . . . . 53

Figura 18 – Ondas de Spin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Figura 19 – Spin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Figura 20 – Modo uniforme de propagação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Figura 21 – Modo não uniforme de propagação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Figura 22 – Rede quadrada simples infinita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Figura 23 – Curva de contorno para as ondas de spin. As energias aumentam do azul para

o vermelho correspondendo a E/J1 = 0 até E/J1 = 9. Em todas as figuras

usamos J1 = 1, H0 = 1 e: (a) J2 = 0,0, (b) J2 = 0,2, e (c) J2 = 0,4. . . . . . 70

Figura 24 – Simetria da rede quadrada simples. Em todas as figuras usamos J1 = 1,

H0 = 1 e: (a) J2 = 0,0, (b) J2 = 0,2, e (c) J2 = 0,4. . . . . . . . . . . . . . 71

Figura 25 – Densidade de estados para J1 = 1, H0 = 1 e três diferentes valores de J2.J2 =

0,0 linha sólida, J2 = 0,2 linha tracejada, e J2 = 0,4 a linha pontilhada. . . . 72

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Os 14 tipos de redes cristalinas tridimensionais. . . . . . . . . . . . . . . . 50

Tabela 2 – Características das redes cúbicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

LISTA DE SÍMBOLOS

e Carga elementar

v Velocidade

t Tempo

B Indução magnética

µl Momento magnético orbital

i Corrente elétrica

L Momento angular Orbital

p Momento linear

µB Magneton de Bohr

gl Fator de Landé

h̄ Constante de Planck reduzida

n Número quântico principal

l Número quântico secundário

ml Número quântico magnético

s ou ms Número quântico de spin

τ Torque

E Energia

F Força

U Energia Potencial

gs Fator g de spin

S Momento angular de spin

βS Função de onda simétrica

βA Função de onda antissimétrica

j Densidade de corrente

c Velocidade da luz

µ0 Permeabilidade do vácuo

m j Número quântico

M Magnetização

χm Susceptibilidade magnética

H Campo magnético externo

jm Corrente de magnetização volumétrica

jl Corrente livre

∇ Operador vetorial nabla

C Constante de Curie

Tc Temperatura de Curie

~R Posição de um arranjo de átomos

~r j Posição do centro de um átomo

ψ Função de onda

γ Fator giromagnético

JT ROCA Energia de troca

H Hamiltoniano

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 MOMENTO MAGNÉTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1 A EXPERIÊNCIA DE STERN-GERLACH E O SPIN DO ELÉTRON . 31

2.2 O PRINCÍPIO DA EXCLUSÃO DE PAULI . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 DIAMAGNETISMO, PARAMAGNETISMO E FERROMAGNETISMO 39

4 ESTRUTURA CRISTALINA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.1 REDES BIDIMENSIONAIS E REDES TRIDIMENSIONAIS . . . . . . 48

4.2 REDE RECÍPROCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3 ONDAS DE SPIN E SUAS INTERAÇÕES E O MODELO DE HEISEN-

BERG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3.1 TRATAMENTO SEMICLÁSSICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3.2 TRATAMENTO QUÂNTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3.3 INTERAÇÃO DE TROCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3.4 INTERAÇÃO ZEEMAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3.5 ONDAS DE SPIN EM SISTEMAS FERROMAGNÉTICOS . . . . . . . . 61

5 ONDAS DE SPIN EM REDES QUADRADAS SIMPLES INFINITA . . 65

6 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

17

1 INTRODUÇÃO

Ao longo de muito tempo a humanidade vem tentando compreender a natureza,

e esse entendimento é o impulso na evolução do processo de organização e construção do

conhecimento, que chamamos de ciência. A Física, como parte desse conceito de ciência, é

responsável pelo estudo dos processos da natureza, energia e propriedades da matéria. Esse

último, sempre foi e ainda é um dos assuntos que mais atrai a atenção do homem, no que tange

a capacidade de certos materiais se atraírem. O magnetismo é o campo responsável por essa

capacidade dos materiais.

Em 1819, o físico dinamarquês Hans Christian Oersted percebeu que a agulha

imantada de uma bússola sofria deflexões quando estava próxima a um fio condutor por onde

passava uma corrente elétrica, e que o desvio da agulha era mais perceptível quanto maior fosse

a corrente que passava por um fio próximo a bússola. Logo, o movimento da agulha ocorre

porque existe uma força de natureza magnética agindo sobre ela (SILVA W, 2014). Assim, o

magnetismo está relacionado às correntes elétricas (GRIFFITHS D, 2001).

Com o advento dos estudos sobre o magnetismo, tornou-se possível construir um

pilar para o conhecimento de materiais com propriedades magnéticas, e essa base contribuiu

para o progresso da tecnologia, baseando-se nos fenômenos magnéticos. Diante disso, tendo um

breve pensamento construído sobre o magnetismo, vamos abordar em nosso estudo o momento

magnético e as suas propriedades.

O momento magnético é um vetor que indica a medida da intensidade e orientação do

dipolo (GRIFFITHS D, 2001). E para entendermos as propriedades relacionadas a ele devemos

nos aprofundar sobre seu conceito. Para obter o momento magnético, devemos discutir sobre um

modelo clássico de um elétron de massa m e carga −e movendo-se em uma órbita circular de

Bohr, que gera uma corrente. Esse modelo clássico nos permite obter o momento angular orbital

do elétron e a esse momento angular, combinando a teoria de Bohr, a teoria do eletromagnetismo

clássico e a mecânica quântica, podemos associar o momento magnético. Esse momento também

relaciona-se ao número quântico orbital l e ao número quântico magnético m. E os valores de m

para qualquer valor de l irão variar de −l a l (SILVA W, 2014).

A relação entre o momento angular orbital do elétron e o momento magnético nos

ajuda a entender alguns fenômenos. Mas para isso, teremos que analisar o experimento de Stern-

Gerlach. Na experiência realizada por Stern e Gerlach, por convenção, o campo magnético está

na direção z. O fato do campo está nessa direção é algo importante, uma vez que a componente z

18

do momento magnético orbital é zero quando m é igual a zero, já que os dois estão relacionados.

Contudo, mesmo a componente z do momento magnético orbital sendo igual a zero, o feixe

de átomos de prata se separa em duas componentes. Isso só acontece se considerarmos que

o elétron tenha um momento angular intrínseco, que chamamos de spin, e a esse momento

angular intrínseco associa-se o momento magnético intrínseco do elétron, onde chamamos de

momento magnético de spin. É esse momento magnético de spin o responsável pela separação

dos feixes dos átomos de prata. Portanto, assim como a soma dos momentos angulares orbital e

de spin é o momento angular total, o momento magnético é a adição do momento magnético

orbital com o momento magnético de spin (SILVA W, 2014). Percebemos que o momento

magnético relaciona-se tanto com o momento angular orbital, quanto ao momento angular de

spin (EISBERG; RESNICK, 1994). Assim, relacionaremos o momento magnético com o spin

do elétron, pois ambos exercem um importante papel no estudo das propriedades magnéticas

da matéria. Somente com o surgimento da mecânica quântica, no primeiro quarto do século

XX, foi possível obter um estudo microscópico do magnetismo (OLIVEIRA I, 2011). Diante

disso, partindo da ideia estabelecida sobre o momento magnético e o spin, falaremos sobre as

propriedades ligadas ao momento magnético, ou seja, ao processo de magnetização (SILVA W,

2014).

Microscopicamente um material pode responder de formas diferentes quando o

mesmo é posto à presença de um campo magnético externo. Essa resposta, que matematicamente

é medida pela susceptibilidade magnética, que denotamos por χm, apresenta-se na forma de

como o alinhamento dos momentos magnéticos do material está em relação ao sentido do campo

externo aplicado. Essa afirmação pode ser entendida considerando que um material magnético é

composto por vários átomos. Assim, quando ligarmos um campo magnético, de acordo com a

lei de Lenz, pequenas correntes induzidas surgem dentro dos átomos. E essas correntes geram

um campo magnético oposto ao campo externo crescente. (SILVA W, 2014). Para um material

diamagnético os momentos magnéticos induzidos nos átomos se opõem ao campo magnético

externo, ou seja, a susceptibilidade magnética desse material possui um valor negativo. Os

materiais, em que parte dos momentos magnéticos de seus átomos tentam alinhar-se com o campo

magnético externo são chamados de paramagnéticos. Esses materiais possuem χm variando

com o inverso da temperatura, e essa relação de variação da susceptibilidade magnética com a

temperatura é conhecida como a lei de Curie (OLIVEIRA I, 2011). Um outro ordenamento dos

momentos magnéticos a mencionar é aquele estabelecido pelos materiais ferromagnéticos. Nesse

19

materiais, observa-se que mesmo cessando o campo magnético externo, os momentos magnéticos

continuam alinhados. Essa é uma característica dos ferromagnéticos. Nesses materiais χm varia

com o inverso da temperatura. “A definição de materiais diamagnéticos, paramagnéticos e

ferromagnéticos é explicada através de um elemento importante que caracteriza o material,

denominado de magnetização” (SILVA W, 2014). A magnetização, em nível microscópico é

tratada como o ordenamento ou alinhamento dos momentos magnéticos atômicos (OLIVEIRA I,

2011).

Além do ordenamento magnético influenciar nas propriedades físicas dos materiais,

outro fator que influi fortemente tais propriedades é a maneira como os átomos estão dispostos

espacialmente no material. Assim, é necessário mencionar os diferentes tipos de arranjos

espaciais. Isso evidencia o fato de estudar as estruturas cristalinas dos materiais. Um cristal

“é formado pelo acúmulo de átomos em ambiente estável, a partir de um solução” (KITTEL,

1978). Um cristal é dito ideal quando em sua estrutura forma-se uma repetição infinita de grupos

idênticos de átomos. “Esse grupo de átomos é denominado de base, e a base ligada a um conjunto

de pontos matemáticos formam a rede cristalina” (SILVA W, 2014). As redes cristalinas podem

ser classificadas em redes unidimensionais, bidimensionais ou tridimensionais. Em nosso estudo,

vamos tratar somente de redes bidimensionais, onde uma de suas características “é a sua forma

invariante em relação as rotações de π e 2π em torno de um eixo que passa por um ponto da

rede” (SILVA W, 2014). Dentro do grupo das redes bidimensionais existem cinco tipos de redes,

onde uma delas é a rede oblíqua e as demais são redes especiais (KITTEL, 1978).

Os átomos encontram-se empacotados nos sítios em uma rede cristalina. Assim, os

elétrons pertencentes aos seus respectivos átomos interagem com os seus vizinhos por meio de

uma interação de origem coulombiana (SILVA W, 2014). A função de onda total de um elétron

tem que ser anti-simétrica se levarmos em consideração o princípio de exclusão de Pauli. A parte

espacial da função de onda é usada para calcularmos a energia média devido a interação entre os

elétrons (FEYNMAN R, 2008).

A discussão acerca do spin e do momento magnético foi de fundamental impor-

tância para estabelecer um entendimento sobre a classificação dos materiais no que tange ao

ordenamento magnético, em baixas temperaturas, desses materiais. Contudo, até então não men-

cionamos um modelo capaz de descrever um ordenamento ferromagnético a altas temperaturas,

“lembrando que um modelo de spins não interagentes é incapaz de descrever tal ordenamento”

(SILVA W, 2014). As interações dipolo-dipolo poderiam ser consideradas no Hamiltoniano, para

20

explicar o surgimento ferromagnetismo. Contudo, esse tipo de interação é fraca a altas tempera-

turas e não conseguiria manter o estado ordenado. Em meados de 1930, Dirac, Heisenberg e

outros cientistas, atraídos em resolver esse problema, sugeriram um modelo que explicava um

estado ferromagneticamente ordenado e que servisse para altas temperaturas. Esse modelo foi

estruturado baseando na interação de origem coulombiana, onde a mesma é forte o suficiente

para explicar o ordenamento, e em argumentos quânticos (SALINAS S, 1994).

Ao calcular a energia média, onde foi usada apenas a parte espacial da função de onda

total do elétron, encontramos dois termos: um termo representa a energia coulombiana média do

sistema e outro termo representa a energia de troca, onde essa última aparece ao considerarmos

o princípio de exclusão de Pauli. “Werner Heisenberg, em 1928, foi o primeiro a notar que a

energia de troca explicava o ordenamento magnético” (SILVA W, 2014). O Hamiltoniano de

Heisenberg ou, também conhecido como, modelo de Heisenberg, que explica o ferromagnetismo,

contém a energia de troca multiplicada pelo produto escalar dos spins dos elétrons. O sinal da

energia média depende do estado de spin ser singleto ou tripleto (OLIVEIRA I, 2011). Além

desse modelo, podemos citar o modelo de Ising, que é usado para estudar o ordenamento

ferromagnético. Esse modelo é considerado um caso limite do modelo de Heisenberg, pois

ele considera apenas a componente z do spin, enquanto o modelo de Heisenberg considera as

componentes x, y e z do spin (SALINAS S, 1994).

Este trabalho tem como objetivo fazer uso do modelo de Heisenberg, o qual contêm

a energia média do sistema adicionado a energia de troca, para obter as energias de ondas de

spin em redes bidimensionais quadradas simples infinita. Um sistema de spins em oscilação

é chamada de ondas de spin, já que essas oscilações dos spins são vistas como ondas que se

propagam. Essas ondas são quantizadas, e são chamadas de magnons (OLIVEIRA I, 2011).

Esse trabalho é uma pesquisa de revisão bibliográfica, que avalia as mudanças na

distribuição e na intensidade das energias de ondas de spin em redes bidimensionais quadradas

simples infinita. No capítulo 2, iremos abordar com mais detalhes o momento magnético e

sua relação com o momento angular orbital e o momento angular intrínseco, onde falaremos

sobre a experiência de Stern-Gerlach, o spin do elétron e o princípio de exclusão de Pauli. No

capítulo 3, abordaremos o estudo das propriedades magnéticas dos materiais, dando ênfase ao

diamagnetismo, paramagnetismo e o ferromagnetismo. Já no capítulo 4, falaremos sobre a

estrutura cristalina e os tipos de redes bidimensionais e tridimensionais. Abordaremos, ainda

no capítulo 4, o estudo sobre as ondas de spin e o modelo de Heisenberg, onde faremos um

21

tratamento semiclássico e quântico, levando em consideração as interações do tipo Troca e

Zeeman, dessas ondas em sistemas ferromagnéticos. No capitulo 5, serão apresentados os

resultados da obtenção das energias de ondas de spin em uma rede quadrada bidimensional

simples infinita. No capítulo 6 apresentamos a conclusão do nosso trabalho. No final, listamos

as referências utilizadas.

22

2 MOMENTO MAGNÉTICO

Em nossa pesquisa vamos estudar as propriedades ligadas ao magnetismo. Para

isso, iniciaremos esse estudo falando sobre o conceito de momento magnético e em seguida

abordaremos as propriedades relacionadas a ele.

Vamos calcular o momento magnético orbital do elétron. Para isso, faremos uso da

teoria clássica eletromagnética, da teoria de Bohr e da mecânica quântica. Usaremos o modelo

simples utilizado por Bohr na descrição do átomo: um elétron de massa m e carga −e gira com

velocidade de módulo v em torno de uma órbita circular de raio r (SILVA W, 2014), como mostra

a Figura 1.

Figura 1 – Um elétron orbitando em torno do núcleo do átomo.

r m,−e

v

Fonte: autor 2018.

Este elétron circulando pode ser considerado como sendo uma espira de corrente, na

qual a corrente é razão entre a intensidade da carga do elétron e o seu período orbital T para uma

órbita (SEARS; ZEMANSKY, 2008). Assim temos,

i =eT

=ev

2πr. (2.1)

Do eletromagnetismo clássico podemos associar a uma espira, conduzindo uma cor-

rente i e com seção reta A, um momento de dipolo µµµ l (momento magnético orbital) (HALLIDAY;

RESNICK, 2004), cujo módulo é,

µl = iA. (2.2)

A direção e o sentido de µµµ l são dados pela regra da mão direita. A conveniência

vem do fato de que o campo magnético gerado por um espira, em pontos distantes, depende do

produto de iA (SILVA W, 2014).

23

O conceito de momento de dipolo magnético continua útil no domínio quântico, daí

sua importância (SILVA W, 2014). O momento de dipolo magnético é uma propriedade do

dipolo que gera (e interage com) o campo magnético, pois ele é uma medida da intensidade e

orientação do dipolo.

Vamos agora relacionar o momento magnético orbital µµµ l e o momento angular L. O

momento angular pode ser expresso como,

L = r×p = r×mv. (2.3)

Como em uma órbita circular r e v são sempre perpendiculares, temos que o módulo de L é,

L = mrv. (2.4)

Usando a Eq.(2.1) e a Eq.(2.4) e sabendo que A = πr2, podemos escrever o momento

de dipolo magnético como,

µl =ev

2πrA =

evr2

=e

2mL, (2.5)

onde a razão entre o momento magnético orbital e o momento angular é,

µl

L=

e2m

. (2.6)

O magneton de Borh µB, que é uma unidade de medida natural dos momentos

magnéticos (NUSSENZVEIG H, 1997), é dado por,

µB =eh̄2m

, (2.7)

onde m é a massa do elétron em repouso.

A Eq.(2.6) e a Eq.(2.7) nos permite determinar a razão µl/L em função de µB, h̄ e gl ,

µl

L=

µB

h̄gl, (2.8)

onde esse último é chamado de fator de Landé1 e é tomado como (gl = 1). Nem sempre o valor

de gl é igual a 1.1 O fator de Landé é uma espécie de fator variável, que determina a razão entre o momento de dipolo magnético

total e o momento angular total em estados onde este momento angular é parcialmente de spin e parcialmenteorbital. Essa grandeza que descreve as simetrias e as respostas de sistemas eletrônicos é também uma ferramentaimportante para investigar os aspectos fundamentais de estruturas baseadas em spin. Na verdade, não podemosmodificar por nenhum meio o fator gl , uma vez que ele é uma propriedade intrínseca deste. Haverá casos emque o fator de Landé será diferente de um.

24

Vale ressaltar aqui a direção entre os vetores momento magnético orbital µµµ l e o

momento angular do elétron L. Foi mencionado anteriormente que como consequência do

movimento do elétron orbitando surge uma corrente, onde a mesma produz um campo magnético

B, equivalente a um campo gerado por um dipolo magnético localizado no centro da órbita e

orientado perpendicularmente ao seu plano, como mostra a Figura 2.

Figura 2 – O momento angular orbital L e o momento de dipolo magnético orbital µµµ l de umelétron −e que se move numa órbita de Bohr. O campo magnético B produzido pelacarga que circula aparece indicado pelas linhas curvas. O dipolo magnético fictícioque produziria um campo idêntico, longe da órbita, aparece indicado por seus polosN e S.

N

µµµ l

S

L

B

r−ev

Fonte: autor 2018.

Vemos, assim, que a direção do momento magnético µµµ l é perpendicular ao plano da

órbita. Como o elétron tem carga negativa, seu momento de dipolo magnético µµµ l é antiparalelo a

seu momento angular orbital (L = r×p), onde o sentido de µµµ l é dado convencionalmente de

acordo com o sentido da corrente, uma vez que usa-se a regra da mão direita. Com isso, podemos

escrever a Eq.(2.8) na forma vetorial como,

µµµ l =−µB

h̄glL. (2.9)

A proporcionalidade entre µµµ l e L é uma propriedade geral das cargas em rotação. O

fator de Landé gl pode ser determinado pelos detalhes da distribuição de cargas em movimento

(EISBERG; RESNICK, 1994).

25

Ao observamos a equação Eq.(2.8) vemos que a razão entre os módulos de µµµ l e L

independe do raio da órbita e da frequência orbital, ou seja, a Eq.(2.8) não depende da teoria

mecânica (SILVA W, 2014). Assim, poderemos usar a Eq.(2.9) para qualquer momento angular,

orbital ou intrínseco.

Ao calcular µl quanticamente (o que não faremos aqui devido a complexidade da

teoria eletromagnética necessária) e dividi-lo pela expressão encontrada da mecânica quântica

para o momento angular (L =√

l(l +1)h̄) encontraremos a Eq.(2.9), que é o valor obtido pela

teoria de Bohr (EISBERG; RESNICK, 1994).

Na expressão quântica para o momento angular, l e ml são os números quânticos.

Eles se relacionam com o módulo L do momento angular orbital do elétron e com sua componente

Lz (EISBERG; RESNICK, 1994), como,

L =√

l(l +1)h̄ (2.10)

Lz = ml h̄. (2.11)

Uma interpretação gráfica desse resultado é mostrado na Figura 3.

Figura 3 – Uma órbita de Bohr situada num plano quase perpendicular ao eixo dos z.

Lz

z

L

Fonte: autor 2018.

Considerando o caso em que ml = l, temos que Lz = lh̄, que é quase igual a L =√l(l +1)h̄. Nesse caso, o vetor momento angular deve apontar aproximadamente na direção do

eixo z (SILVA W, 2014). Para um átomo de Bohr isso significaria que a órbita do elétron estaria

aproximadamente no plano perpendicular ao eixo dos z. A medida que l cresce, o valor de lh̄ se

26

aproxima de√

l(l +1)h̄ e Lz se aproxima de L (CARUSO; OGURI, 2014). Isto significa que o

ângulo entre o vetor momento angular e o eixo dos z diminui. Em termos da descrição de Bohr,

isso exige que a órbita do elétron se aproxima cada vez mais do plano perpendicular ao eixo dos

z (EISBERG; RESNICK, 1994).

Para ml = 0, teremos Lz = 0 e o vetor momento angular deverá ser perpendicular ao

eixo dos z (CARUSO; OGURI, 2014). Num átomo de Bohr isso significa que o plano da órbita

contém o eixo dos z. Há muitos pontos onde a teoria da mecânica quântica corresponde, de

muito perto, ao modelo de Bohr, como para um átomo de um elétron. Porém, existem algumas

diferenças entre as teorias (NUSSENZVEIG H, 2014). Em ambos os tratamentos, o estado

fundamental corresponde ao número quântico n = 1 e tem mesmo valor de energia total. Mas

no modelo de Bohr o momento angular orbital para esse estado é L = nh̄ = h̄, enquanto que na

mecânica quântica ele vale L =√

l(l +1)h̄ = 0, pois l = 0 quando n = 1 (EISBERG; RESNICK,

1994).

Se o modelo de Bohr fosse modificado para permitir a existência de momento angular

nulo, a órbita para um tal estado seria uma oscilação radial, onde o elétron passaria diretamente

através do núcleo e a oscilação teria uma direção qualquer no espaço (NUSSENZVEIG H, 2014).

Isso corresponderia, de certa forma, a uma densidade de probabilidade de carga esfericamente

simétrica, semelhante à que é prevista pela mecânica quântica e observada experimentalmente.

Entretanto, é difícil visualizar o movimento de um elétron no estado fundamental do átomo na

mecânica quântica. Isto é, é difícil fazer uma analogia com uma descrição clássica, como a

descrição de Bohr (CARUSO; OGURI, 2014).

Voltando ao problema, ao substituírmos a Eq.(2.10) na Eq.(2.9), obtemos o seguinte

módulo para o momento magnético orbital,

µl =−glµB

h̄

√l(l +1)h̄⇒ µl =−glµB

√l(l +1). (2.12)

O módulo da componente z do momento magnético orbital é obtido usando a

Eq.(2.11) na Eq.(2.9),

µlz =−glµB

h̄ml h̄⇒ µlz =−glµBml. (2.13)

Devido µµµ l ser proporcional a L, o momento magnético orbital é sujeito a um espaço

quantizado, como ilustrado na Figura 4.

Vale apresentar aqui o comportamento clássico do momento de dipolo magnético

µµµ l , quando o mesmo é submetido a um campo externo H (CARUSO; OGURI, 2014). Da teoria

27

Figura 4 – A orientação no espaço e as componentes z do momento magnético orbital para ocaso l = 2. Há 2l +1 = 5 diferentes possibilidades de orientações.

2µB

µB

0

−µB

−2µB

µz

l = 2

µl =√

l(l +1)µB =√

6µB

Fonte: autor 2018.

clássica do eletromagnetismo sabemos que a resultante das forças que atuam em um dipolo

magnético imerso num campo magnético é nulo. Porém, o torque exercido sobre ele é não-nulo

e tenderá a alinhá-lo com o campo externo (EISBERG; RESNICK, 1994).

τττ = µµµ l×H. (2.14)

A Figura 5 mostra como estão orientados os vetores µµµ l , H e τττ , tomando como análise

a órbita de Bohr, da qual podemos tomar-lá como uma espira de corrente, como já discutido

anteriormente.

Uma representação da Eq.(2.14) em termos do momento angular L pode ser obtida

utilizando a 2a lei de Newton para rotações,

τττ =dLdt

= µµµ l×H. (2.15)

Se usarmos a Eq.(2.9) na Eq.(2.15) teremos,

dLdt

=−µBgl

h̄(L×H), (2.16)

implicando em,

dL =−µBgl

h̄(L×H)dt =

µBgl

h̄(H×L)dt. (2.17)

A variação dL mostrada na Eq.(2.17) faz com que L precessione de um ângulo ωdt,

onde ω é a velocidade angular de precessão, como mostra a Figura 6.

28

Figura 5 – Comportamento do torque sobre a órbita eletrônica de Bohr.

H

L

µµµ l

−eτττ

v

Fonte: autor 2018.

Figura 6 – Um torque τττ = µµµ l ×B = −(glµB/h̄)L×B aparece quando o momento de dipolomagnético de um átomo µµµ l interage com o campo aplicado B. Esse torque da origemda origem a uma variação dL do momento angular durante o tempo dt, segundo a leide Newton escrita sob a forma dL/dt = τττ . A variação dL faz com que L precessionede um ângulo ωdt, onde ω é a velocidade angular de precessão.

B

µµµ

θ

L

Lsinθ

τττ

θ

ωdt

Fonte: autor 2018.

29

Da Figura 6, temos que a variação de L com tempo é,

dL = Lsin(θ)ωdt⇒ dLdt

= Lω sin(θ). (2.18)

Tomando o módulo da Eq.(2.17) e comparado com a Eq.(2.18) teremos para ω ,

ω =µBgl

h̄H. (2.19)

Além do valor de ω , a equação acima indica que o sentido de precessão é o mesmo

sentido do campo magnético H, ou seja,

ωωω =µBgl

h̄H. (2.20)

O fenômeno descrito pela Eq.(2.20) é conhecido como precessão de Larmor, onde ω

é a frequência de Larmor (EISBERG; RESNICK, 1994).

O fato do dipolo está imerso num campo magnético externo H e sofrer um torque,

nos permite associar esse torque há uma energia potencial de orientação (SEARS; ZEMANSKY,

2008), dada por,

∆E =−µµµ l ·H. (2.21)

Se não existir nenhum meio de dissipação de energia, para o sistema constituído pelo

dipolo imerso no campo magnético, a energia potencial de orientação ∆E deverá permanecer

constante (NUSSENZVEIG H, 1997). Entretanto, nesse caso, µµµ l não poderá se orientar na

direção do campo magnético B. Em vez disso, o momento de dipolo magnético irá precessionar

em torno de B, de tal maneira que o ângulo entre esses dois vetores permanece constante, assim

como o módulo de ambos os vetores (MACHADO K, 2002).

O movimento de precessão é consequência do fato de que, de acordo com a Eq.(2.9)

e a Eq.(2.15), o torque que age sobre o dipolo é sempre perpendicular ao seu momento angular

L, mostrando uma total analogia com o caso do movimento de um pião (EISBERG; RESNICK,

1994).

Vimos até agora o movimento do dipolo imerso num campo magnético externo

uniforme, e como já discutido, a resultante das forças de translação agindo sobre esse dipolo

será nula. Agora iremos tratar o caso em que o dipolo está imerso em um campo magnético não

uniforme. Neste caso, além do torque, haverá uma força de translação (MACHADO K, 2002). A

Figura 7 mostra um campo magnético externo não uniforme H agindo sobre o dipolo.

30

Figura 7 – Comportamento de um dipolo magnético na presença de um campo magnético nãouniforme.

v

S

N

FS

FN

τττ

N

S

H

θ

Fonte: autor 2018.

Como consequência da não uniformidade do campo magnético externo, as pola-

ridades do dipolo magnético estarão submetidas à forças de intensidades diferentes. A força

resultante diferente de zero, além de deslocar o átomo que está imerso no campo magnético,

também mudará a orientação θ do dipolo em relação a direção do vetor H (MACHADO K,

2002).

A energia potencial U adquerida pelo sistema como consequência da realização do

trabalho sobre ele é,

U =−µµµ l ·H, (2.22)

o que concorda com a Eq.(2.21). Porém, nesse caso, haverá uma força resultante F não nula

agindo sobre o sistema, dada por,

F =−∇∇∇U. (2.23)

Para o caso em que a variação do campo magnético externo seja apenas ao longo do

eixo z, temos da Eq.(2.23),

Fz =−∂U∂ z

. (2.24)

Relacionando a Eq.(2.22) com a Eq.(2.24) teremos,

Fz =−µlz∂Bz

∂ z, (2.25)

31

onde z é o eixo de coordenadas na direção do aumento da intensidade de campo e ∂Bz∂ z é a rapidez

com a qual ele cresce (EISBERG; RESNICK, 1994). Em suma, um dipolo magnético em um

campo magnético não uniforme sofre um torque, que produz uma precessão, e sofre uma força,

que produz um deslocamento.

2.1 A EXPERIÊNCIA DE STERN-GERLACH E O SPIN DO ELÉTRON

Nas seções anteriores, estabelecemos uma relação do momento magnético orbital

com o momento angular orbital do elétron. Mas, até que ponto essa relação nos ajudará a

entender o fenômeno aqui estudado? O experimento de Stern-Gerlach nos levará a essa resposta.

No experimento realizado por Otto Stern e Walter Gerlach em 1922 em Frankfult

na Alemanha, foi possível medir os valores possíveis do momento de dipolo magnético de

átomos de prata2, quando um feixe destes átomos passava através de um campo magnético não

uniforme e não homogêneo, como mostra a Figura 8. “A prata possui 47 elétrons, onde 46 deles

formam uma distribuição de carga esfericamente simétrica. O 47◦ elétron ocupa um orbital 5s1”

(ANDRADE, 2016). Se o átomo de prata estiver no seu estado fundamental, o momento angular

será nulo (L = 0), já que a quinta camada eletrônica deverá estar no estado 5s1 (l = 0 e ml = 0)

(ANDRADE, 2016).

Figura 8 – Experiência de Stern-Gerlach.

Fonte: figura retirada de (OLIVEIRA, 2016).

O experimento funciona de tal forma que existe um feixe de átomos neutros formado2 Configuração eletrônica do átomo de prata (Ag): 1s22s22p63s23p64s23d104p64d105s1.

32

pela evaporação de prata no forno, onde o mesmo entra em um ímã, após ser colimado por um

diagrama (EISBERG; RESNICK, 1994). A intensidade do campo produzido pelo ímã aumenta

na direção z. Como os átomos são neutros, a força resultante que age sobre eles é unicamente a

força Fz, expressa na Eq.(2.25), onde a mesma é proporcional a µlz . Assim, como consequência

dessa proporcionalidade, cada átomo, ao passar através do campo, sofrerá uma deflexão de uma

quantidade proporcional a µlz , e colidirão contra uma placa metálica, onde condensam, deixando

uma marca visível (TIPLER; LLEWELLYN, 2017).

Portanto, classicamente, deveriamos esperar que o feixe produza, no anteparo, uma

mancha contínua e uniformemente distribuida em torno do máximo do campo magnético (AN-

DRADE, 2016). Porém, quanticamente, por meio da teoria ondulatoria de Schrodinger, se os

átomos tem um momento angular orbital L, esperamos que o feixe se divida em um número

ímpar (discreto) de componentes, de forma 2L+ 1. Se o feixe de átomos de prata estiver em

seu estado fundamental (L = 0), haveria somente um ponto na tela e se o elétron estivesse

em estado 5p1 (L = 1), o feixe deveria se separar em três componentes (ANDRADE, 2016).

Entretanto, como observado experimentalmente, o feixe não se comporta de acordo com as

predições clássicas e nem com a teoria de Schrodinger (ANDRADE, 2016). Em vez disso se

divide em duas componentes distintas, como mostrado na Figura 9.

Figura 9 – (a) Resultado experimental que Stern e Gerlach esperavam obter, segundo uma predi-ção clássica. (b) Resultado obtido, sendo duas orientações do momento magnético.

(a) Resultado esperado (b) Resultado obtido

Fonte: autor 2018.

No entanto, “para resolver este problema Samuel Goudsmit e Georg Uhlenbeck

postularam em 1925 que, em adição ao momento angular orbital, o elétron possui um momento

angular intrínseco” (ANDRADE, 2016), onde o mesmo, diferentemente do momento orbital não

33

tem relação com os graus de liberdade espacial. No entanto, o elétron, assim como para outras

partículas, tem algum tipo de movimento de rotação interno, em analogia com o movimento de

rotação da Terra (TIPLER; LLEWELLYN, 2017). Este grau de liberdade foi dado o nome de

momento angular de spin3.

Uma consideração a fazer é, que a relação entre o momento de dipolo magnético

de spin e o momento angular de spin tem a mesma forma do que no caso orbital (EISBERG;

RESNICK, 1994),

µµµs =−gsµB

h̄S, (2.26)

onde gs é denominada fator g de spin.

Quando o elétron é imerso num campo magnético não homogêneo B, o momento de

dipolo intrínseco do elétron sofre uma força, onde a direção e a magnitude dessa força dependerá

da orientação relativa do campo e do dipolo (ANDRADE, 2016). Esta força produzirá um

movimento de precessão de µµµs em torno de B, uma vez que ela tenderá a alinhar µµµs ao longo de

B. Com isso, se µµµs é paralelo a B, o elétron irá se mover na direção segundo à qual o campo

aumenta (CARUSO; OGURI, 2014). No entanto, se µµµs é antiparalelo a B, o elétron irá mover

na direção em que o campo diminui. Para o átomo de prata, que está no estado fundamental, o

momento de dipolo será interamente devido ao spin do elétron, uma vez que o momento angular

orbital será zero. Assim, o feixe do átomo desvia de acordo com a orientação do spin do elétron.

Portanto, sendo o feixe dividido em duas componentes, “o spin do elétron deve ter apenas duas

orientações possíveis em relação ao campo magnético, seja paralelo (spin-up) ou antiparalelo

(spin-down)” (ANDRADE, 2016), como mostra a Figura 10.

Figura 10 – O spin é uma forma de momento angular intrínseco de todas as partículas.

spin up

spin down

Fonte: autor 2018.

3 Mas temos que tomar cuidado com essa analogia, uma vez que, os elétrons, por exemplo, são particulas semestruturas.

34

Em analogia com o momento angular orbital de uma partícula, no qual caracteriza-se

por dois números quânticos: l e ml , o momento angular de spin é também caracterizado por dois

números quânticos: o spin s e a sua projeção ms sobre o eixo z, onde, como no caso do momento

angular, a variação de um extremo a outro se dá em unidades inteiras de h̄. “Os valores que ms

pode assumir são ms = −s, −s+1, · · · , 0, · · · , +s−1, +s” (ANDRADE, 2016).

Os números quânticos s e ms para os elétrons devem ser dados por s = 12 e ms =±1

2 ,

já que observado apenas duas componentes no experimento de Stern-Gerlach. Portanto, assim

como o momento angular orbital L do elétron e sua componente Lz e suas respectivas associações

com os dois números quânticos, o momento angular de spin S e sua componente Sz, são expressas

por (ANDRADE, 2016),

S =√

s(s+1)h̄ (2.27)

Sz = msh̄. (2.28)

Há dois valores ±12 para Sz correspondendo as duas orientações possíveis para S,

como mostrado na Figura 11.

O valor ms = ±12 refere-se ao caso spin-up, algumas vezes designado com uma

flecha para cima (↑). Por outro lado, ms =−± 12 é o caso spin-down, algumas vezes designado

com uma flecha para cima (↓) (ANDRADE, 2016).

A magnitude do momento angular de spin para s = 12 é,

S =√

s(s+1)h̄ =

√3

2h̄, (2.29)

“este momento angular de rotação não pode de nenhuma maneira ser diferente, isto é uma

propriedade intrínseca do elétron, como a massa e a carga” (CARUSO; OGURI, 2014).

A magnitude do momento magnético de spin associado a componente z é (SAKURAI

J, 1994),

|µµµs|= µBgs

h̄Sz = µB

gs

h̄msh̄ = µBgsms. (2.30)

Verifica-se na natureza que cada partícula fundamental tem um spin específico.

Algumas partículas têm spins inteiros s = 0,1,2, · · · , como é o caso dos mésons pi, que tem

spin 0, e dos fótons, que tem spin 1. Já outras partículas tem spins semi-inteiros s = 12 ,

32 ,

52 , · · · ,

como é o caso dos elétrons, dos prótons e dos nêutros, que tem spin 12 (ANDRADE, 2016).

35

Figura 11 – A figura mostra as duas orientações prevista para o vetor spin S para uma partículacom spin 1

2 , tal como o elétron.

S1

ms =12

ms =−12−1

2 h̄

0 S =√

32 h̄

12 h̄

spin down

spin up

Fonte: autor 2018.

Partículas elementares com spin semi-inteiro são conhecidas como férmions, e eles obedecem

ao princípio da exclusão de Pauli4. “Esse princípio é a razão fundamental para muitas das

propriedades características da matéria, desde sua estabilidade até a existência das regularidades

expressas pela tabela periódica dos elementos” (ANDRADE, 2016). As partículas com spin

inteiro, são chamadas de bósons. Os bósons obedecem as regras de estatística de Bose-Einstein e

não obedecem ao princípio de Pauli, como consequência eles podem “agrupar-se” mesmo em

estados idênticos (EISBERG; RESNICK, 1994).

No domínio da mecânica quântica, o elétron deve ser descrito não apenas por uma

função de onda, mas sim por um par de funções de onda que, na álgebra linear, representa um

vetor coluna de duas componentes (spinor), para incluir os efeitos de seu spin (GRIFFITHS D,

2011).

Sendo − h̄2 e + h̄

2 dois autovalores, podemos associar apenas dois autoestados:∣∣1

212

⟩,

4 Um princípio da mecânica quântica que nos diz que não há duas partículas idênticas possuindo simultaneamenteos mesmos estados quânticos.

36

que chamamos de spin para cima (informalmente, ↑), que refere-se ao caso spin-up e∣∣1

2

(−1

2

)⟩,

que chamamos de spin para baixo (↓), que refere-se ao caso spin-down (CARUSO; OGURI,

2014). Utilizando esses autoestados como vetores de base, temos que a Eq.(2.28) fica,

Sz |↑〉=+h̄2|↑〉 . (2.31)

Sz |↓〉=−h̄2|↓〉 . (2.32)

Os autoestados |↑〉 e |↓〉 são ortonormais e formam uma base (OLIVEIRA, 2016),

tal que,

〈↑ | ↑〉= 〈↓ | ↓〉= 1 e 〈↑ | ↓〉= 0. (2.33)

Sendo |↑〉 e |↓〉 autovalores de um operador, fazendo uma combinação linear destes

(TAVARES M, 2009), obteremos,

|α〉= A |↑〉+B |↓〉 , (2.34)

onde |α〉 também é um autoestado. A probabilidade de encontrar o elétron no estado |↑〉 é |A|2 e

a probabilidade de encontrar o elétron no estado |↓〉 é |B|2 (OLIVEIRA, 2016), onde temos para

a condição de normalização,

|A|2 + |B|2 = 1. (2.35)

Podemos representar matricialmente os autoestados |↑〉 e |↓〉 (OLIVEIRA, 2016),

como,

|↑〉=

1

0

e |↓〉=

0

1

. (2.36)

Assim, a representação matricial das componentes de spin é (CARUSO; OGURI,

2014),

Sx =h̄2

0 1

1 0

, Sy =h̄2

0 −i

i 0

, Sz =h̄2

1 0

0 −1

, (2.37)

onde,

σx =

0 1

1 0

, σy =

0 −i

i 0

, σz =

1 0

0 −1

, (2.38)

que são as matrizes de spin de Pauli (EISBERG; RESNICK, 1994).

37

2.2 O PRINCÍPIO DA EXCLUSÃO DE PAULI

O princípio da exclusão de Pauli diz que duas ou mais partículas que possuem o spin

semi-inteiro, que são chamadas de férmions, não podem ocupar o mesmo estado físico ao mesmo

tempo, ou seja, as partículas não podem ter os mesmos números quânticos e, como consequência

disso, a função de onda do elétron é anti-simétrica (SILVA W, 2014).

A função de onda do elétron é composta de duas funções de ondas; a parte espacial

e a outra relacionada ao spin, onde a função total é o produto destas duas. Como a função de

onda do elétron é antissimétrica, ele possui uma função de onda simétrica e outra antissimétrica,

podendo ser a parte espacial simétrica e a parte relacionada ao spin antissimétrica, ou vice-versa.

As funções de onda simétricas são representadas por βS, e as funções de onda

antissimétricas são representadas por βA. Para um sistema constituído de um próton e um elétron,

os possíveis estados para esse sistema são (OLIVEIRA, 2016),

|↑↑〉 |↑↓〉 |↓↑〉 |↓↓〉 , (2.39)

onde a primeira entrada representada está relacionada ao elétron e a segunda ao próton.

O momento angular do sistema é a soma dos momentos angulares do elétron e do

próton. Seja S1 o momento angular do elétron e S2 o momento angular do próton,

S = S1 +S2. (2.40)

O momento angular na direção z é a soma dos momentos angulares do elétron e do

próton nessa direção,

Sz = S1z +S2z. (2.41)

Seja v1 um estado no qual apenas S1z atua e v2 um estado que apenas S2z atua,

relacionados aos autovalores S1xv1 = h̄m1v1 e S2xv2 = h̄m2v2,

Szv1v2 = (S1x +S2x)v1v2 (2.42)

Szv1v2 = h̄(m1 +m2)v1v2, (2.43)

onde m = m1 +m2 representa o número quântico do sistema composto. Como m1 e m2 variam

de +1/2 à −1/2 para o elétron e o próton, o sistema composto tem um número quântico m

38

variando de +1 à −1,

|↑↑〉 onde m = 1 (2.44)

|↑↓〉 onde m = 0 (2.45)

|↓↑〉 onde m = 0 (2.46)

|↓↓〉 onde m =−1. (2.47)

As representações acima mostram que existe um estado para esse sistema no qual o

número quântico m = 0, onde s = 0. Para isso, basta aplicar o operador de abaixamento S− para

encontrar tal estado, onde,

S− |↑↑〉= h̄(|↑↓〉+ |↓↑〉). (2.48)

Para um melhor entendimento, utilizamos a notação |sm〉 para representar o estado.

Os três estados no qual s = 1 são,

|1 1〉= |↑↑〉 (2.49)

|1 0〉= 1√2[|↑↓〉+ |↓↑〉] (2.50)

|1 −1〉= |↓↓〉 . (2.51)

Os estados onde s = 1 são denominados de tripleto e representam a função de onda

simétrica βS. Os estados onde s = 0 e m = 0,

|0 0〉= 1√2[|↑↓〉− |↓↑〉], (2.52)

são chamados de singleto e representado por βA. A interação de duas partículas de spin 1/2 pode

resultar em um sistema cujo spin é 1 ou 0 (GRIFFITHS D, 2011).

39

3 DIAMAGNETISMO, PARAMAGNETISMO E FERROMAGNETISMO

Esse capítulo será destinado para descrever algumas características importantes de

certas propriedades magnéticas da matéria. Em especial, vamos nos aprofundar no estudo do

diamagnetismo, paramagnetismo e do ferromagnetismo. Entretanto, será importante iniciarmos

falando sobre o conceito de magnetização.

Até agora nosso estudo envolveu uma análise sobre as consequências e grandezas

envolvidas no movimento do elétron em torno do núcleo de um átomo. Entre tais grandezas,

conceituamos o momento magnético orbital e intrínseco, características do movimento do elétron,

além dos momentos angulares orbital e intrínseco.

Em vez disso, considere agora um meio magnético composto de muitos átomos

com momentos de dipolo µµµn. Em geral, tais dipolos apontam em direções aleatórias no espaço

(RUBENS; LUIS, 2005). Assim, é conveniente definirmos uma grandeza que estabeleça o

cálculo do momento de dipolo resultante µµµ , que é soma vetorial de todos os dipolos (µµµ = ∑µµµn)

de um certo volume V do material (HALLIDAY; RESNICK, 2004). Tal grandeza é chamada de

magnetização M e é definida como,

M =µµµ

V=

∑µnµnµn

V. (3.1)

A magnetização é útil para medir o efeito da aplicação de um campo magnético

externo sobre algum material, de tal maneira a verificar de que forma os dipolos magnéticos

respondem coletivamente a este campo (SILVA W, 2014). Ela indica o comportamento global

dos dipolos magnéticos microscópicos do material, e macroscopicamente ela pode ser definida

em cada ponto do material (HALLIDAY; RESNICK, 2004).

Vimos que para medir o efeito do campo magnético externo agindo sobre um material

foi necessário definir a magnetização M. No entanto, existe uma grandeza que mede a intensidade

e o tipo de resposta que o material dá quando um campo magnético externo H é aplicado. Tal

grandeza é chamada de susceptibilidade magnética χm (SILVA W, 2014), expressa por,

M = χmH. (3.2)

A susceptibilidade magnética é um número adimensional e se o material for homo-

gêneo χm é um número escalar e tem valores pequenos, da ordem de 10−5 para os materiais

diamagnéticos e paramagnéticos, onde tais valores tem sinais contrários (REITZ; MILFORD,

1982).

40

No estudo clássico da eletrodinâmica, os efeitos da magnetização originam-se de

correntes de magnetização volumétrica jm = ∇∇∇×M e superficial J = M×n (EDMINISTER;

NAHVI, 1982). Como consequência, haverá em geral duas fontes para a indução magnética B: a

corrente livre (que é a corrente convencional) e as correntes de magnetização (SILVA W, 2014).

Assim, a densidade de corrente J será,

J = jm + jl, (3.3)

sendo jm e jl as correntes de magnetização e a corrente livre, respectivamente.

Levando em consideração a corrente J expressa na Eq.(3.3), a lei de Ampère fica,

∇∇∇×B = µ0J⇒ 1µ0

(∇∇∇×B) = J. (3.4)

Utilizando a Eq.(3.3) na Eq.(3.4) teremos,

1µ0

(∇∇∇×B) = jm + jl = (∇∇∇×M)+ jl (3.5)

∇∇∇×(

1µ0

B−M)= jl. (3.6)

O termo entre parentes na Eq.(3.6) é definido como sendo o campo magnético H,

H≡ 1µ0

B−M. (3.7)

Com isso, poderemos escrever uma relação entre H e B,

B = µ0(H+M). (3.8)

Considere um meio magnético linear, homogêneo e isotrópico podemos usar a

Eq.(3.2), de tal forma que a Eq.(3.8) fica,

B = µ0(H+χmH) = µ0(1+χm)H, (3.9)

o que mostra que B é proporcional a H em meios lineares.

A Eq.(3.9) pode ser expressa por,

B = µH, (3.10)

sendo µ = µ0(1+ χm) a constante material, chamada de permeabilidade magnética do meio

(NUSSENZVEIG H, 1997). As relações expressas na Eq.(3.9) e na Eq.(3.10) em geral não são

válidas, ou seja, nem sempre o campo B é proporcional a H.

41

Na verdade, a forma como os momentos magnéticos orbital e intrínseco reagem à

aplicação de um campo magnético determina o comportamento global de um material (MA-

CHADO K, 2002). Isso tudo é consequência do efeito do torque τ sobre o dipolo, quando este

está imerso em um campo magnético,

τττ = µµµ l×H. (3.11)

O torque expresso pela equação acima causa dois efeitos: o primeiro trata-se de uma

variação no momento magnético orbital µµµ l que é oposta ao campo externo H, e o outro efeito

propende a alinhar o momento magnético de spin µµµs ao campo (MACHADO K, 2002).

O primeiro efeito é experimentado por todos os átomos, ou seja, é universal. Porém,

em materiais que contém átomos com um número par de elétrons o momento magnético de spin

µs = 0, pois não há elétrons desemparelhados e os spins se somam para anular-se (OLIVEIRA

M, 2005). Esses materiais que apresentam este tipo de comportamento são chamados de

diamagnéticos.

Somente para materiais ditos paramagnéticos que o segundo efeito é experimentado,

pois tais materiais tem um número impar de elétrons, ou seja, há elétrons desemparelhados, de

modo que µs 6= 0. Microscopicamente, o material paramagnético corresponde a um sistema

formado por dipolos permanentes e que não interagem entre si (OLIVEIRA M, 2005).

Como mencionado anteriormente, a susceptibilidade magnéticas desses materiais

tem valores muito pequeno. Além disso, para os materiais diamagnéticos χm < 0, já para os

paramagnéticos χm > 0.

Para os materiais paramagnéticos ideais, ou seja, aqueles que são paramagnéticos

independentes da temperatura, a susceptibilidade magnética é dada pela chamada lei de Curie

(REITZ; MILFORD, 1982), expressa por,

χm =CT. (3.12)

Já para os paramagnéticos não ideais a lei de Curie, que expressa a susceptibilidade

deve ser substituída pela lei de Curie-Weiss, para altas temperaturas (NUSSENZVEIG H, 1997),

χm =C

T −Θ. (3.13)

Note que o estudo sobre características e propriedades relacionadas aos materiais

diamagnéticos e paramagnéticos não foram aprofundadas neste trabalho. Isso deve-se ao fato de

42

termos como base de importante análise as propriedades envolvidas nos materiais ferromagnéti-

cos, que será o assunto de interesse.

Os materiais ferromagnéticos quando submetidos a um campo magnético externo

apresentam uma magnetização muito intensa, onde a mesma continua quando o campo é cessado.

Esse é um comportamento que não acontece nos diamagnéticos e paramagnéticos. Tal comporta-

mento é chamado de magnetização espontânea. “A magnetização de um material ferromagnético

é avaliada pelo seu histórico” (GRIFFITHS D, 2001).

No ferromagnetismo, assim como no paramagnetismo, os dipolos magnéticos associ-

ados ao spin dos elétrons também desempenham um papel importante. No entanto, nos materiais

ferromagnéticos há a interação entre esses spins e os dipolos tem preferência em apontar no

mesmo sentido (SILVA W, 2014).

Nos materiais ferromagnéticos os momentos magnéticos atômicos do material estão

dispostos em arranjos. Assim, os materiais ferromagnéticos podem existir no estado magnetizado

e desmagnetizado (FILHO R, 2007). Cada átomo alinha-se com seu vizinho dentro de um certa

região do material, e se comporta como um minúsculo imã permanente. Essas regiões dentro do

material, onde predomina um só alinhamento magnético são chamadas de domínios magnéticos.

“Existem vários domínios em um material e neles todos os momentos de dipolo magnético

encontram-se alinhados, mas as orientações dos domínios são aleatórias, o que resulta numa

magnetização nula” (SILVA W, 2014). A Figura 12 mostra a região do domínios magnéticos em

materiais ferromagnéticos.

Figura 12 – Representação da estrutura dos domínios magnéticos dispostos aleatoriamente emum material.

Fonte: autor 2018.

43

Os domínios magnéticos tem dimensões da ordem de 10−6 a 10−3 m. E a delimitação

do contorno do domínio é devido aos átomos. Com isso, tal região, quando submetido a um

campo magnético externo, pode mudar de tamanho e forma. “Assim, as paredes dos domínios

com espessuras variando entre 100 e 1000 Å são livres para se movimentar dentro do material e

o fazem quando submetidas a ação de um campo magnético externo” (FILHO R, 2007).

Existe uma transição entre dois domínios com orientações diferentes. Porém, essa

transição não ocorre de forma abrupta, como mostra a Figura 13.(a). Esta configuração esta-

belecida pelo domínio envolve uma certa energia de troca, que deve ser muita alta. Assim, a

transição entre dois domínios contrários deve acontecer de tal forma que a direção dos momentos

magnéticos ocorra de forma gradual, para que a energia envolvida na transição seja minimizada,

como mostra a Figura 13.(b) (FILHO R, 2007).

Figura 13 – Representação da transição dos momentos magnéticos na interface entre domínioscom polarização oposta: (a) transição abrupta dos dipolos magnéticos e (b) transiçãosuave com um comprimento δ maior.

Fonte: autor 2018.

É interessante ter a ideia de que o ferromagnetismo acontece devido a disposição

alinhada dos momentos de dipolos magnéticos dentro de um domínio. Contudo, a agitação tér-

mica presente na amostra é capaz de destruir o ordenamento dos dipolos (SEARS; ZEMANSKY,

2008). A temperatura necessária para ocorrer tal destruição é chamada de temperatura de Curie.

Acima dessa temperatura um material, como o ferro por exemplo, é paramagnético e abaixo é

um ferromagneto (SILVA W, 2014). Assim, em um estado ferromagnético, a magnetização pode

relacionar-se com o campo magnético, assim como com a temperatura no qual a amostra está

submetida.

A magnetização variará continuamente com a temperatura quando um certo material

44

é aquecido e submetido a um campo magnético externo. E para uma temperatura acima ou

abaixo da temperatura crítica, essa magnetização surge devido ao campo (GRIFFITHS D, 2001).

Porém, quando esse campo é cessado lentamente, a uma temperatura constante e superior a Tc, a

magnetização diminuirá linearmente com esse campo, de acordo com a equação,

M = χmH. (3.14)

Já, mesmo se o campo por desligado, a magnetização não irá desaparecer, pois

surgirá no material a chamada magnetização espontânea, isso se a temperatura for abaixo da

temperatura de Curie (GRIFFITHS D, 2001). A magnetização variará com o campo, se esse

campo for pequeno, da seguinte forma,

M = M∗+χmH, (3.15)

onde M∗ é a magnetização espontânea e a mesma depende apenas da temperatura. “Quando o

campo é nulo, a magnetização espontânea varia com a temperatura, mas na temperatura crítica

ela se torna nula” (SILVA W, 2014).

A compreensão do ferromagnetismo é algo paradoxal, pois, apesar de uma certa

amostra ferromagnética, assim como um ferro, possuir uma magnetização espontânea abaixo

da temperatura crítica, não possuirá uma imantação permanente (SEARS; ZEMANSKY, 2008).

Contudo, essa propriedade acontecerá apenas quando tal amostra estiver submetida a um campo

magnético externo (OLIVEIRA M, 2005). Isso, como já foi discutido anteriormente, ocorre de-

vido aos domínios magnéticos macroscópicos existentes na amostra, onde os dipolos magnéticos

estão dispostos em direções aleatórias .

Com isso, Weiss tentou explicar a magnetização espontânea de materiais ferromagné-

ticos (SILVA W, 2014). Assim, o mesmo imaginava que os dipolos sofriam a ação de um campo

magnético produzido por seus respectivos vizinhos, e que a magnetização era proporcional ao

campo, de tal forma que o campo total sobre o dipolo seria H+λH, sendo λ > 0 (SILVA W,

2014). Assim, mesmo com a anulação do campo externo o material continua sendo submetido

a um campo local, onde Weiss chamou de campo molecular, que tem como função orientar o

dipolo.

O campo molecular surge por meio das interações entre os momentos de dipolo

magnético do material. Apesar dessa técnica, também chamada de campo médio, ser utilizada

para avaliar um problema de maneira mais simples, ela não poderá competir com abordagens

mais exatas (SILVA W, 2014).

45

Entretanto, quando calculado, o campo molecular é cerca de quatro ordens de

grandeza maior que o campo gerado por um dipolo magnético da ordem do magneton de Bohr

em seu vizinho (SILVA W, 2014). Contudo, isso indica que a propriedade ferromagnética em

um material é causado pelo princípio da exclusão de Pauli e não fruto de interações magnéticas

entre os dipolos (OLIVEIRA M, 2005).

46

4 ESTRUTURA CRISTALINA

Para darmos início ao estudo da estrutura interna dos cristais, devemos entender

inicialmente como os átomos se comportam em seus arranjos espaciais, já que a verificação da

cristalinidade de um material é estabelecida por meio da organização dos íons em um arranjo

periódico e não através da aparência dos elementos.

Quando os átomos da matéria não estão muito energizados, ou não movem-se em

demasia, eles buscam agrupar-se e formarem arranjos em uma configuração com a menor energia

possível. Quando essa configuração é estabelecida, provavelmente surgirá outros arranjos,

formados por outros átomos, e com isso temos um padrão repetitivo de átomos e podemos

visualizar a simetria da matéria onde eles se encontram (SILVA W, 2014).

Assim, com essa ideia de arranjo dos átomos e seu padrão de repetição podemos

definir as condições de tais arranjos em um cristal: de que, o ambiente de um átomo particular

tem um certo arranjo e se olharmos para o mesmo tipo de átomo em um outro local longínquo,

acharemos exatamente as mesmas condições, de tal forma que esse padrão, em três dimensões,

sempre se repetirá. Tal arranjo possivelmente contém um pequeno número de imperfeições e

impurezas (FEYNMAN R, 2008).

A primeira indicação de periodicidade dos cristais se deu ao fato dos mineralogistas

descobrirem que os índices, que definem as orientações das faces de um cristal, são números

inteiros. Tal descoberta foi confirmada experimentalmente em 1912 quando Laeu e outros

cientistas usaram o método de difração de raios X1 por cristais. O motivo do uso de raios X é

porque eles possuem um comprimento de onda da mesma ordem que a distância interatômica

(KITTEL, 1978).

A estrutura cristalina é basicamente formada por uma base, que é um átomo ou um

grupo de átomos, que se repetem de forma infinita e, de uma rede cristalina que é um conjunto

de pontos matemáticos aos quais as bases estão associadas (OLIVEIRA I, 2011), como mostra a

Figura 14.

Podemos definir uma rede cristalina tridimensional por a1, a2 e a3, que são vetores

de translação, de tal forma que as posições R e R′ de um arranjo de átomos obedeçam a seguinte

relação,

R′ = R+u1a1 +u2a2 +u3a3, (4.1)1 Esse tipo de análise também pode ser feito para a difração de nêutrons e para a difração de elétrons, mas a

difração de raios X é mais fácil de executar e interpretar.

47

Figura 14 – A estrutura cristalina (c) é formada pela soma da base (b) para cada ponto da rede(a).

(a) Rede Cristalina

(b) Base, contendo dois átomos diferentes

(c) Estrutura do Cristal

Fonte: autor 2018.

onde u1, u2 e u3 são números inteiros quaisquer. Quando transladados em relação a a por

um múltiplo inteiro dos vetores de translação, o arranjo de átomos no cristal terá as mesmas

características. Assim, o conjunto de pontos R′ na Eq.(4.1), para todos os valores possíveis das

constantes u1, u2 e u3, definem uma rede cristalina (ASCHROFT N, 2011).

Se dois pontos quaisquer da rede satisfazem a Eq.(4.1), para uma escolha adequada

das constantes u j, em relação a uniformidade da aparência do arranjo dos átomos, dizemos que

essa rede cristalina pode ser expressa por a1, a2 e a3, que são vetores de translação primitivos

48

e definem o que chamamos de eixos cristalinos, onde formam três lados adjacentes de um

paralelepípedo primitivo (OLIVEIRA I, 2011).

Após a escolha dos eixos cristalinos podemos identificar a base de uma estrutura

cristalina, onde a mesma é formada por um ou mais átomos, de tal forma que essas bases, onde

é associada a cada ponto da rede cristalina, são idênticas em relação a comparação, arranjo e

orientação. A posição r j do centro de um átomo j da base em relação ao ponto da rede cristalina

é,

r j = x ja1 + y ja2 + z ja3, (4.2)

onde x, y e z são coordenadas atômicas. O tamanho de cada coordenada corresponde a uma

fração do comprimento de a1, a2 e a3, que está na direção do eixo, e escolhe-se a origem do

sistema de coordenadas como sendo um ponto da rede cristalina (KITTEL, 1978).

O paralelepípedo, mencionado anteriormente, formado pelos eixos primitivos a1, a2

e a3 é chamado de célula primitiva ou célula unitária e seu volume é Vc = |a1 ·a2×a3| (KITTEL,

1978).

A célula primitiva é a célula que possui menor volume possível e a mesma é capaz de

preencher todo o espaço, por meio de operações de translação que se repetem. A base associada

a uma célula primitiva é chamada de base primitiva. Nenhuma base possui menos átomos que

uma base primitiva (KITTEL, 1978). Para uma dada estrutura cristalina o número de átomos em

uma célula primitiva e em uma base primitiva é igual.

Sempre haverá um ponto da rede associada a uma célula primitiva. Se a célula

primitiva for um cubo, por exemplo, a mesma compartilha de pontos da rede cristalina, que ficam

em seus vértices, com outras oito células, de tal forma que temos um ponto da rede por célula:

8×1/8 = 1 (ASCHROFT N, 2011).

4.1 REDES BIDIMENSIONAIS E REDES TRIDIMENSIONAIS

As redes cristalinas podem ser mapeadas em si próprias por simetrias de translação

T e outros tipos de simetrias, tais como: identidade, inversão, rotação, reflexão em um plano

horizontal, reflexão em um plano vertical, reflexão em um plano diagonal e rotação imprópria.

Todas estas operações ao serem aplicadas a um ponto da rede mapeiam a rede em si própria

(OLIVEIRA I, 2011).

Uma operação de simetria típica é a de rotação em torno de um eixo que passa

49

por um ponto da rede, onde as rotações do tipo 2π , 2π/2, 2π/3, 2π/4 e 2π/6 mapeiam certas

redes em si própria. Rotações de quinta ordem e acima da sexta ordem (2π/5, > 2π/6) não

mapeiam nenhuma rede em si própria. A Figura 15 mostra o que acontece quando usamos

simetria rotacional de quinta ordem para construir um rede periódica (KITTEL, 1978).

Figura 15 – Um eixo de simetria de quinta ordem não pode existir numa rede, porque não é pos-sível preencher todo o espaço da rede mediante arrumação contínua de pentágonos.

Fonte: autor 2018.

Diferentemente das redes periódicas, uma molécula isolada pode ter qualquer grau

de simetria rotacional, o que quer dizer que uma rede cristalina pode ser construída a partir de

moléculas que possuem simetria rotacional de quinta ordem, porém tal rede não terá eixo de

rotação de quinta ordem (ASCHROFT N, 2011).

O processo de classificar todas as possíveis estruturas cristalinas é um trabalho árduo

e complicado. Para isso, leva-se em consideração a classificação da chamada rede de Bravais.

Essa rede é um conceito matemático e fundamental, e pode ser entendida como um arranjo

infinito de pontos discretos que possui arranjos e orientações, os quais são os mesmos quando

visualizados de qualquer ponto (ASCHROFT N, 2011).

Restringindo os eixos a1 e a2, pode ser construído uma rede invariante em relação à

outras simetrias. Existem quatro tipos de restrições possíveis, onde cada uma delas possibilita

a construção de uma rede do tipo especial. Assim, no caso bidimensional existem cinco tipos

diferentes de redes, a rede oblíqua e as quatro redes especiais. Esses tipos diferentes de rede são

chamadas de redes de Bravais. Então existem 5 redes de Bravais em duas dimensões (KITTEL,

1978).

50

Analisando as operações de simetria no caso tridimensional é possível obter cerca

de 230 possibilidades diferentes. Para alguns propósitos estes 230 tipos podem ser agrupados

em 7 classes ou sistemas: triclínico, monoclínico, ortorrômbico, tetragonal, cúbico, trigonal e

hexagonal (FEYNMAN R, 2008).

Tais sistemas agrupam 14 tipos diferentes de redes, a rede geral triclínica e mais

13 redes especiais. A Tabela 1 mostra os sistemas em termos das relações entre os eixos

convencionais que descrevem as células.

Tabela 1 – Os 14 tipos de redes cristalinas tridimensionais.Sistema Número de redes Condições para os eixos e ângulos das células

convencionaisTriclínico 1 a1 6= a2 6= a2; α 6= β 6= γ

Monoclínico 2 a1 6= a2 6= a2; α = γ = 90◦ 6= β

Ortorrômbico 4 a1 6= a2 6= a2; α = γ = β = 90◦

Tetragonal 2 a1 = a2 6= a2; α = γ = β = 90◦

Cúbico 3 a1 = a2 = a2; α = γ = β = 90◦

Trigonal 1 a1 = a2 = a2; α = γ = β < 120◦, 6= 90◦

Hexagonal 1 a1 = a2 6= a2; α = β = 90◦γ = 120◦

Fonte: autor 2018.

Analisando o sistema cúbico, como mostra a Figura 16, existem três redes: a rede

cúbica simples (cs), a rede cúbica de corpo centrado (ccc) e a rede cúbica de faces centradas

(cfc).

Figura 16 – As três redes cúbicas. As células que aparecem na figura são as convencionais.

cúbico simples cúbico de corpo centrado cúbico de face centrado

Fonte: autor 2018.

Note que somente a célula da rede cs é uma célula primitiva, pois por definição, ela

contém apenas um ponto da rede, já as outras células, que chamamos de células convencionais

ccc e cfc contém dois pontos e quatro pontos da rede, respectivamente.

51

A Tabela 2 mostra algumas características das três redes que fazem parte do sistema

cúbico.

Tabela 2 – Características das redes cúbicas.Simples Corpo centrado Faces centradas

Volume da célula convencio-nal

a3 a3 a3

Pontos da rede por célula 1 2 4Volume da célula primitiva a3 1

2 a3 14 a3

Pontos da rede por unidade devolume

1/a3 2/a3 4/a3

Número de vizinhos próximos 6 8 12Distância entre vizinhos maispróximos

a 0,866a 0,707a

Número de segundos vizinhos 12 6 6Distância entre segundos vizi-nhos

21/2a a a

Fração de empacotamento 16 π = 0,524 1

8 π√

3 = 0,680 16 π√

2 = 0,740Fonte: autor 2018.

4.2 REDE RECÍPROCA

O conceito de rede recíproca é de extrema importância para o estudo dos sólidos

cristalinos. Para iniciarmos seu estudo vamos abordar o conceito matemático da rede de Bravais.

Uma rede de Bravais é definida pelo conjunto de pontos R (ASCHROFT N, 2011), tais que,

R = n1a1 +n2a2 +n3a3, (4.3)

onde a1, a2 e a3 são os vetores primitivos e n1, n2 e n3 são inteiros. A periodicidade da rede de

Bravais é definida pelo conjunto R, ou seja, para cada R está associada uma operação de simetria

de translação que deixa a rede invariante (KITTEL, 1978).

Considere agora uma função onda plana em três dimensões, eik·r. Para um vetor de

onda k genérico, esta função de onda não terá a mesma periodicidade da rede de Bravais (ou

seja, não será invariante pelas mesmas operações de simetria) (ASCHROFT N, 2011). Contudo,

isso ocorrerá para um conjunto discreto de vetores k = G, e estes vetores de onda G definem a

rede recíproca. Portanto, a rede recíproca é o conjunto de todos os vetores de onda G tais que as

correspondentes ondas planas eiG·r têm a mesma periodicidade da rede de Bravais (KITTEL,

1978).

Cada rede de Bravais R tem sua rede recíproca G correspondente. A rede de Bravais

é definida como um conjunto de pontos no espaço real (dimensão de [L]), enquanto que a rede

52

recíproca é formada por um conjunto de pontos no espaço dos vetores de onda (dimensão de

[1/L]), também conhecido como espaço recíproco ou espaço k (KITTEL, 1978).

A rede recíproca é uma rede de Bravais. Isto pode ser vizualizado construindo-se

explicitamente seus vetores primitivos b1, b2 e b3 em termos dos vetores primitivos da rede de

Bravais a1, a2 e a3 (OLIVEIRA I, 2011),

b1 = 2πa2×a3

a1 · (a2×a3); b2 = 2π

a3×a1

a1 · (a2×a3)b3 = 2π

a1×a2

a1 · (a2×a3). (4.4)

Sendo a rede recíproca uma rede de Bravais, ela terá sua própria rede recíproca.

Assim, a rede recíproca da rede recíproca é a rede de Bravais original. A rede recíproca da rede

cúbica simples de lado a é também uma rede cúbica simples no espaço recíproco, de lado 2π/a.

Isso é visto, de forma trivial, por meio da Eq.(4.4), ou seja, da construção dos vetores primitivos

(ASCHROFT N, 2011).

A célula primitiva de Wigner-Seitz de uma rede recíproca é de grande importância no

estudo dos estados eletrônicos em sólidos periódicos (KITTEL, 1978). A célula de Wigner-Seitz

em torno de um ponto da rede é a região do espaço mais próximo daquele ponto do que a

qualquer outro da rede (ASCHROFT N, 2011). A célula de Wigner-Seitz é uma célula primitiva,

e é tão simétrica quanto a rede de Bravais.

A construção da célula unitária de Wigner-Seitz em torno de um ponto da rede, parte

da ideia de desenhar linhas que conectam os pontos a todos os outros pontos da rede, e as linhas

são divididas em duas partes por um plano, e toma-se o menor poliedro que contenha o ponto

ligado por estes plano (KITTEL, 1978). A célula primitiva de Wigner-Seitz da rede recíproca é

conhecida como primeira zona de Brillouin.

Os termos Wigner-Seitz e primeira zona de Brillouin referem-se a construções

geométricas idênticas. Contudo, na prática, o termo primeira zona de Brillouin se aplica à célula

de espaço k (KITTEL, 1978). Em particular, quando é mencionado a primeira zona de Brillouin

de uma rede de Bravais de espaço r específica, tem-se em mente a célula de Wigner-Seitz da rede

recíproca associada (ASCHROFT N, 2011). A Figura 17 mostra a primeira zona de Brillouin de

uma rede quadrada em duas dimensões.

53

Figura 17 – A região sombreada mostra a primeira zona de Brillouin de uma rede quadrada em2D. Os pontos indicam os vetores da rede recíproca.

0

ky

kxπ/a

π/a

Fonte: autor 2018.

4.3 ONDAS DE SPIN E SUAS INTERAÇÕES E O MODELO DE HEISENBERG

Faremos agora uma abordagem sobre um tratamento semiclássico e quântico do

estudo das ondas de spin.

4.3.1 TRATAMENTO SEMICLÁSSICO

Um estudo semiclássico das ondas de spin trata os spins como vetores precessionan-

tes. Esse tipo de tratamento é útil na obtenção de uma interpretação física com relação a geometria

dessas ondas (SILVA W, 2014), como mostra a Figura 18, para um material ferromagnético.

Figura 18 – Ondas de Spin.

Fonte: figura retirada de (TAVARES M, 2009).

54

Além dessa representação para um ferromagneto, a ideia de spins precessionantes

pode ser tomada para outros ordenamentos magnéticos, tais como para os antiferromagnéticos e

os ferrimagnéticos (SILVA W, 2014).

O ponto de partida para uma análise semiclássica é o movimento natural de um spin

eletrônico num campo magnético. A Figura 19 mostra a orientação do spin imerso em um campo

magnético H, onde o mesmo busca uma posição de equilíbrio nesse campo, representando um

movimento de precessão (TAVARES M, 2009).

Figura 19 – Spin.

H

S

Fonte: autor 2018.

A posição de equilíbrio é garantido quando a orientação do spin é paralela ao campo.

O movimento de precessão acontece devido ao torque associado ao spin agir sobre o momento

magnético µµµ = gµBS (OLIVEIRA I, 2011), sendo que tal torque é dado por,

τττ = gµBS×H, (4.5)

onde no equilíbrio esse torque é nulo.

A condição de paralelismo entre o campo e o spin traduz o mínimo de energia do

momento magnético no campo, dado por,

EM = gµBS ·H, (4.6)

onde admite-se que o sentido do momento magnético é oposto ao do spin devido a carga negativa

do elétron. Uma vez desviado da posição de equilíbrio, como consequência da ação de um

campo externo transversal ou pela excitação térmica, o spin novamente irá precessionar em torno

de H, pois uma vez desviado da direção do campo, o torque que atua sobre esse spin, dado pela

Eq.(4.5) é perpendicular ao plano formado por S e H (TAVARES M, 2009). E de acordo com a

segunda lei de Newton para rotações, o torque produz uma variação do momento angular, dada

55

por,dLdt

= τττ, (4.7)

que faz com que o plano SH rotacione em torno de H, ou seja, correspondente à precessão de

S em torno de H. Combinando a Eq.(4.5) com a Eq.(4.7) e sabendo que o momento angular é

proporcional ao spin, J = h̄S, obteremos a equação para o momento angular de spin,

h̄dSdt

= gµBS×H⇒ dSdt

= γS×H, (4.8)

onde γ = gµg/h̄ é o fator giromagnético, no sistema gaussiano de unidades (TAVARES M, 2009).

A solução da Eq.(4.8), quando tratamos um campo H estático, traduz um movimento

de precessão do spin em torno do campo (TAVARES M, 2009), tal que a frequência angular

dessa precessão é,

ω = γH. (4.9)

Para g = 2, o fator giromagnético é (2π)2,8GHz/KOe. Portanto, para campos com

intensidades de alguns KOe, como em eletromagnetos típicos de laboratório, a frequência situa-se

na faixa de microondas. É nessa escala que se realiza alguns experimentos como o da ressonância

ferromagnética, ou FMR (ferromagnetic ressonace)2 (TAVARES M, 2009).

A ressonância é caracterizada por uma linha de absorção, e uma abordagem semi-

clássica da ressonância é baseada na equação de movimento da magnetização macroscópica, que

segundo a Eq.(3.1) é dada por (TAVARES M, 2009),

M =1V ∑

iµµµ =

gµB

V ∑i

Si. (4.10)

Combinando as Eqs.(4.8) e (4.10), teremos,

dMdt

= γM×He f , (4.11)

onde He f é o campo magnético efetivo que atua sobre os spins, e representam os torques internos

que atuam sobre eles. Assim, podemos dizer, em poucas palavras, que a abordagem semiclássica

baseia-se na Eq.(4.11).2 onde se aplica um campo de microondas numa amostra situada num campo magnético estático H0 e se observa

as linhas de absorção ressonante. Nesse experimento o campo magnético da radiação de microondas é aplicadoperpendicularmente ao campo estático de modo que ele tende a perturbar os spins e desviá-los da posição deequilíbrio. Já para frequências de radiação próximas a do modo uniforme, o campo em rádio frequência (RF)produz movimento de precessão dos spins e a amostra absorve energia da radiação.

56

Outra análise possível para as ondas de spin é a abordagem hopping, que enfatiza o

caráter pontual dos spins. Porém, não iremos falar sobre esse tipo de tratamento, já que as únicas

abordagens consideradas aqui é a semiclássica e quântica, onde essa última iremos abordar agora

(TAVARES M, 2009).

4.3.2 TRATAMENTO QUÂNTICO

Vimos anteriormente que o tratamento clássico é útil para uma interpretação geomé-

trica das ondas de spin. Porém, esse tratamento não mostra algumas características desse sistema

de spin, já que o mesmo é de natureza intrinsecamente quântica. Umas dessas características

são as consequências das interações de troca, que iremos estudar com propriedade daqui a

pouco. Veremos que esse tipo de interação governa as ondas de spin, e que são responsáveis

pelo acoplamento entre spins vizinhos, para sistemas ferromagnéticos. Isso tudo resulta em

excitações do sistema de spins, que correspondem a precessões coletivas em torno da posição de

equilíbrio (TAVARES M, 2009). Chamaremos de modo uniforme a excitação de menor energia.

Nesse modo, os spins precessionam em torno do campo magnético H, de tal forma que cada spin

mantém-se paralelo ao seu vizinho, ou seja, eles precessionam com a mesma frequência e fase,

como mostra a Figura 20.

Figura 20 – Modo uniforme de propagação.

H

S

H H H

S

H H

S

H

S SSS

Fonte: autor 2018.

A frequência de precessão desse sistema é dada pela Eq.(4.9) e essa interação de

troca não contribui com tal frequência. Porém, quando é considerado a interação entre os spins, o

sistema passa a ter uma fase de precessão que varia no espaço, e dizemos que tal sistema possui

modos coletivos, o qual damos o nome de ondas de spin (KITTEL, 1978). Assim, vemos que o

modo uniforme é apenas um dos modos naturais de excitação do sistema, permitindo a existência

de outros modos, como o coletivo, que é mostrado na Figura 21.

57

Figura 21 – Modo não uniforme de propagação.

H

S

H H H

S

H H

S

HS

SS

S

Fonte: autor 2018.

Perceba na Figura 21 que a diferença de fase do primeiro ao último spin é de 2π ,

correspondendo a um comprimento de onda. Em termos dessa óptica, podemos entender que

o modo uniforme trata-se de uma onda de spin que tem comprimento de onda infinito, e a

medida que esse comprimento de onda diminui, o ângulo entre os spins vizinhos aumenta e

consequentemente à contribuição da energia de troca para a energia de excitação (KITTEL,

1978).

O tratamento quântico usado, baseia-se na técnica de segunda quantização, lançando

mão do uso das transformações de Holstein-Primakoff, na qual as energias do sistema, que

dependem dos operadores de spin, são expressos em termos de operadores de criação e destruição

de magnon (quanta de onda de spin). Assim, em teorias quânticas, podemos pensar uma onda de

spin como sendo um quantum de inversão de spin, que se espalha coerentemente sobre todo o

cristal (TAVARES M, 2009).

Vimos que o papel das interações é importante no comportamento dos sistemas

mencionados anteriormente. Por isso, vamos abordar esse tema com mais atenção.

Existem quatro tipos de interações quando estamos no estudo das ondas de spin:

interação de Troca, interação Zeeman, interação Anisotrópica e interação Dipolar. Como, ao

longo do nosso estudo, vamos abordar somente interações de Troca e Zeeman, então vamos nos

aprofundar no estudo desses tipos de interações.

4.3.3 INTERAÇÃO DE TROCA

Os elétrons possuem spins e tais spins interagem através da rede cristalina. A

natureza dessa interação é de origem eletromagnética (SILVA W, 2014). Assim, para estudar tal

interação devemos considerar a energia potencial, ou seja, a interação coulombiana entre dois

elétrons, que é dada por,

U(r) =e2

4πε0r12, (4.12)

58

onde r12 = |r1− r2| é a distância entre dois elétrons.

A função de onda para o sistema depende dos dois elétrons. Assim, escrevemos uma

função de onda que tenha a combinação linear de onda simétricas e antissimétricas, para calcular

a energia média do sistema. Usando o fato de que a interação independe do spin, podemos usar

apenas a parte espacial da função de onda (SILVA W, 2014), e a mesma pode ser expressa por,

ψ(r1,r2) =1√2[φα(r1)φβ (r2)±φα(r2)φβ (r1)]. (4.13)

A energia média 〈U〉, é dada por,

〈U〉=∫

ψ∗(r1,r2)U(r)ψ(r1,r2)dr1dr2. (4.14)

Assim, substituindo a Eq.(4.12) e a Eq.(4.13) na Eq.(4.14) teremos,

〈U〉= e2

8πε0

1r12

∫[φ∗α(r1)φ

∗β(r2)±φ

∗α(r2)φ

∗β(r1)][φα(r1)φβ (r2)±φα(r2)φβ (r1)]dr1dr2

=e2

8πε0

1r12

[∫φ∗α(r1)φ

∗β(r2)φα(r1)φβ (r2)dr1dr2±

∫φ∗α(r1)φ

∗β(r2)φα(r2)φβ (r1)dr1dr2

]± e2

8πε0

1r12

[∫φ∗α(r2)φ

∗β(r1)φα(r1)φβ (r2)dr1dr2±

∫φ∗α(r2)φ

∗β(r1)φα(r2)φβ (r1)dr1dr2

].

(4.15)

Tratamos as partículas como idênticas, de tal forma que podemos permutar r1 e r2

na segunda parte da Eq.(4.15). Assim, ficamos com,

〈U〉= e2

4πε0

1r12

[∫φ∗α(r1)φ

∗β(r2)φα(r1)φβ (r2)dr1dr2±

∫φ∗α(r1)φ

∗β(r2)φα(r2)φβ (r1)dr1dr2

].

(4.16)

A expressão acima representa a energia média do sistema, que possui um termo

E, como sendo a energia coulombiana média das partículas dos sistema, e um termo JT ROCA,

chamado de energia de troca, onde esse último termo aparece como consequência da imposição

feita pelo princípio da exclusão de Pauli (TAVARES M, 2009). Assim temos para esses dois

termos,

E =e2

4πε0

1r12

∫φ∗α(r1)φ

∗β(r2)φα(r1)φβ (r2)dr1dr2, (4.17)

e

JT ROCA =e2

4πε0

1r12

∫φ∗α(r1)φ

∗β(r2)φα(r2)φβ (r1)dr1dr2. (4.18)

E então,

〈U〉= E± JT ROCA. (4.19)

59

A determinação se o sinal ± na expressão 〈U〉 será positivo ou negativo irá depender

se o estado de spin é singleto ou tripleto. Assim, vimos que a energia média depende do spin,

apesar da interação entre dois elétrons não depender (OLIVEIRA, 2016).

Dessa forma, podemos expressar 〈U〉 em termos das variáveis de spin, onde mate-

maticamente, em sua forma simplificada é dada por,

〈U〉= E±4JT ROCAS1 ·S2. (4.20)

Em 1928 Werner Heisenberg foi o primeiro a perceber a importância da energia de

troca, para explicar a ordem magnética nos materiais (FILHO R, 2007). Assim, ele escreveu o

hamiltoniano de troca como,

HT ROCA =−2JT ROCAS1 ·S2. (4.21)

Quando os spins forem paralelos, teremos S1 ·S2 =+1/4 e a função espacial será

anti-simétrica e quando forem anti-paralelos, S1 ·S2 = −1/4 e a função espacial é simétrica.

Esse é o hamiltoniano de Heisenberg, o qual é chamado de modelo de Heisenberg, introduzido

por Dirac e Heisenberg, com o objetivo de descrever um estado ferromagnético ordenado a altas

temperaturas (OLIVEIRA I, 2011).

Como havíamos mencionado anteriormente, os spins dos elétrons estão dispostos

em uma rede cristalina, onde interagem entre si, e tal interação é descrita através do modelo de

Heisenberg, ou seja, pela Eq.(4.21).

O modelo de Heisenberg é a base dos modelos de magnetismo nos sólidos. Para íons

em cristais, isto é, com muitos momentos magnéticos, o hamiltoniano pode ser escrito como um

somatório (FILHO R, 2007),

HT ROCA =− ∑<i, j>

Ji, jSi ·S j. (4.22)

Como Ji, j trata-se de uma interação de curto alcance, a soma é normalmente tomada

sobre os vizinhos mais próximos. A soma na Eq.(4.22) é feita sobre todos os pares de sítios,

onde i e j são primeiros vizinhos (< i, j >) (SILVA W, 2014).

Quando temos um cristal anisotrópico, as direções x, y e z não são equivalentes

(TAVARES M, 2009) e o hamiltoniano de troca é dado por,

HT ROCA =− ∑<i, j>

Ji, j(εxSxi Sx

j + εySyi Sy

j + εzSzi S

zj), (4.23)

60

onde a equação acima é conhecida como o Hamiltoniano de Heisenberg Anisotrópico. Quando

εx = εy = εz, recuperamos o Hamiltoniano de Heisenberg Isotrópico. Já no caso em que

εx = εy = 0 e εz = 1, temos o chamado Hamiltoniano de Ising (OLIVEIRA I, 2011), dado por,

H =− ∑<i, j>

Ji, jSzi S

zj. (4.24)

4.3.4 INTERAÇÃO ZEEMAN

Os momentos de dipolo magnéticos além de interagirem entre si, também interagem

com campos magnéticos. Por exemplo, um dipolo de momento µµµ ao ser colocado sob influência

de um campo uniforme H, está sujeito a um torque τττ , que é expresso por,

τττ =−µµµ×H. (4.25)

Já o seu módulo é,

τ =−µHsen(θ), (4.26)

onde θ é o ângulo entre os vetores µµµ e H.

O campo uniforme tende a girar o dipolo até que ele fique paralelo ao campo.

No domínio da Mecânica Quântica, o momento magnético µµµ de um átomo está diretamente

relacionado ao seu momento angular J (FILHO R, 2007).

µµµ = gµBJ, (4.27)

onde o fator de Landé é expresso como,

g = 1+J(J+1)+S(S+1)−L(L+1)

2J(J+1), (4.28)

sendo que g varia de acordo com as contribuições orbitais e intrínsecas para o momento angular

total.

Para um dado estado de momento angular total J do átomo, o hamiltoniano da

interação entre o momento magnético µµµ e um campo magnético H é dado por,

Hz =−µµµ ·H. (4.29)

Para o caso em que o campo é estático e apontado na direção z, H = H0 k̂, e o

momento orbital total for nulo, temos,

Hz =−gµBH0Sz. (4.30)

61

Fazendo as interações de cada um dos spins com o campo magnético externo H0,

orientado para o sentido positivo do eixo z, temos,

Hz =−gµBH0 ∑i

Szi , (4.31)

que é conhecido como o termo de Zeeman, ou interação Zeeman (FILHO R, 2007).

4.3.5 ONDAS DE SPIN EM SISTEMAS FERROMAGNÉTICOS

Nessa análise vamos considerar um sistema ferromagnético no qual os spins estão

arranjados em uma rede cristalina. Vamos considerar a presença de um campo magnético H0, tal

que sua direção e a da magnetização M são ao longo de z, que é paralela a superfície do filme

que está em um plano xz, com o eixo y perpendicular a essa superfície. Os spins ocupam sítios

da rede, onde interagem com os primeiros vizinhos via interação de troca e via interação Zeeman

com o campo externo H0 (SILVA W, 2014). Assim, o Hamiltoniano que descreve esse tipo de

sistema é,

H =−12 ∑

i, jJi jSi ·S j−gµBH0 ∑

iSz

i , (4.32)

onde o primeiro termo e o segundo termo da Eq.(4.32) refere-se a interação de troca e ao efeito

Zeeman, respectivamente.

Expressando a Eq.(4.32) em termos das componentes do spin, temos,

H =−12 ∑

i, jJi j(Sx

i Sxj +Sy

i Syj +Sz

i Szj)−gµBH0 ∑

iSz

i

=−12 ∑

i, jJi j(Sx

i Sxj +Sy

i Syj)−

12 ∑

i, jJi j(Sz

i Szj)−gµBH0 ∑

iSz

i . (4.33)

Podemos escrever os operadores de spin na forma de operadores ladder (SAKURAI

J, 1994), como segue, S±i = Sxi ± iSy

i

S±j = Sxj± iSy

j

, (4.34)

onde esses operadores atendem a seguinte álgebra (SAKURAI J, 1994),[S+i ,S−j ] = 2δi jSz

i ;

[Szi ,S±j ] = δi jSi j

±. (4.35)

62

Combinando a Eq.(4.34) com a Eq.(4.35), teremos,

Sxj =

12(S+j +S−j ) (4.36)

Syj =

12i(S+j −S−j ) (4.37)

Sxi =

12(S+i +S−i ) (4.38)

Syi =

12i(S+i −S−i ). (4.39)

Substituindo a Eq.(4.36), Eq.(4.37), Eq.(4.38) e Eq.(4.39) na Eq.(4.33) teremos,

H =−12 ∑

i, jJi j[

14(S+i +S−i )(S

+j +S−j )+

14i2

(S+i −S−i )(S+j −S−j )]

− 12 ∑

i, jJi j(Sz

i Szj)−gµBH0 ∑

iSz

i

=−12 ∑

i, jJi j[

14(S+i S+j +S+i S−j +S−i S+j +S−i S−j −S−i S+j +S+i S−j +S−i S+j −S−i S−j )]

− 12 ∑

i, jJi j(Sz

i Szj)−gµBH0 ∑

iSz

i

=−12 ∑

i, jJi j{

14[2(S+i S−j +2(S−i S+j )]}−

12 ∑

i, jJi j(Sz

i Szj)−gµBH0 ∑

iSz

i

=−12 ∑

i, jJi j[

12[(S+i S−j +S−i S+j )+Sz

i Szj]−gµBH0 ∑

iSz

i . (4.40)

O Hamiltoniano na Eq.(4.40) não é muito útil na abordagem do nosso estudo, já

que estamos trabalhando com magnon, e o Hamiltoniano está escrito em função de operadores

não-bosônicos. Para expressar o Hamiltoniano acima em termos de operadores bosônicos, vamos

usar as transformações de Holstein-Primakoff (TAVARES M, 2009),

S+i = Sxi + iSy

i =√

2Sai

(1−

a†i ai

2S

)1/2

(4.41)

S−i = Sxi − iSy

i =√

2Sa†i

(1−

a†i ai

2S

)1/2

(4.42)

63

Szi = S−a†

i ai, (4.43)

onde ai e a†i são os operadores bosônicos de aniquilação (destruição) e criação (SILVA W, 2014),

respectivamente.

Os operadores bosônicos descritos acima obedecem uma álgebra que atendem as

seguintes relações de comutação (TAVARES M, 2009).[ai,a+j ] = δi j;

[ai,a j] = [a†i ,a

†j ] = 0.

(4.44)

Expandindo as duas primeiras transformadas de Holstein-Primakoff, partindo da

justificativa de que vamos considerar sistemas de baixas temperaturas, temos,

S+i =√

2Sai

(1−

a†i ai

4S+ · · ·

)=√

2S(

ai−1

4Sa†

i aiai + · · ·)

(4.45)

S−i =√

2Sa†i

(1−

a†i ai

4S+ · · ·

)=√

2S(

a†i −

14S

a†i a†

i ai + · · ·). (4.46)

Assim, com tais considerações as transformadas de Holstein-Primakoff ficam,

S+i =√

2S(

ai−1

4Sa†

i aiai

)(4.47)

S−i =√

2S(

a†i −

14S

a†i a†

i ai

)(4.48)

Szi = a†

i ai. (4.49)

Por simplicidade, vamos determinar os produtos S+i S−j , S−i S+j e Szi S

zj separadamente,

S+i S−j =√

2S(

ai−1

4Sa†

i aiai

)√2S(

a†i −

14S

a†ja

†ja j

)= 2Saia

†j (4.50)

S−i S+j =√

2S(

a†i −

14S

a†i a†

i ai

)√2S(

a j−1

4Sa ja

†ja j

)= 2Saia

†j (4.51)

64

Szi S

zj = (S−aia

†i )(S−a†

ja j), (4.52)

onde consideramos até termos de segunda ordem, ou seja, desprezamos todos os termos que

apresentam produto de três ou mais operadores. Assim, o Hamiltoniano na Eq.(4.40) fica,

H =−12 ∑

i, jJi j[S(aia

†j +a†

i a j)+(S−a†i ai)(S−a†

ja j)]−gµBH0 ∑i(S−a†

i ai)

=−S∑i, j

Ji j(a†i a j−a†

i ai)+gµBH0 ∑i

a†i ai

= S∑i, j[(Ji j +H0)δi j− Ji j]a

†i ai, (4.53)

onde consideramos somente os termos biliares com operadores a e a†, sendo H0 = gµBSH0.

A Eq.(4.53) é a ferramenta matemática que descreve o sistema ferromagnético estudado. A

abordagem feita até aqui dá suporte para entender as propriedades geométricas das redes e as

interações de maior alcance que os primeiros vizinhos (SILVA W, 2014).

65

5 ONDAS DE SPIN EM REDES QUADRADAS SIMPLES INFINITA

Neste capítulo vamos estudar o espectro de ondas de spin e a relação de dispersão

em redes bidimensionais. Vamos analisar o caso de redes cristalinas, como redes quadradas

simples, onde abordaremos nesse caso, redes quadradas simples infinita. No capítulo anterior

desenvolvemos um Hamiltoniano que nos ajudará a encontrar as energias das ondas de spin em

uma rede bidimensional quadrada simples infinita. A Figura 22 mostra uma rede deste tipo.

Figura 22 – Rede quadrada simples infinita.

y

x

Fonte: autor 2018.

No capítulo anterior desenvolvemos o Hamiltoniano em termos dos operadores de

criação e destruição,

H =−S∑i, j

Ji j(a†i a j−a†

i ai)+gµBH0 ∑i

a†i ai, (5.1)

onde Ji j é a interação de troca entre os sítios da rede, S representa o spin do sistema considerado

e H0 é o campo externo aplicado. A aplicação do campo em um sistema de duas dimensões

é necessário para garantir a estabilidade da fase ferromagnética (SILVA W, 2014). Em nosso

estudo abordaremos o acoplamento ferromagnético, ou seja, todos os spins que estão orientados

na mesma direção estão no mesmo estado fundamental, o que caracteriza por Ji j > 0.

66

Escrevendo o Hamiltoniano numa forma quadrática (bi-linear), o que já foi feito na

Eq.(4.53),

H = S∑i, j[(Ji j +H0)δi j− Ji j]a

†i ai, (5.2)

H = ∑i, j

Ai ja†i ai, (5.3)

onde Ai j = S[(Ji j +H0)δi j− Ji j] e H0 = gµBSH0. A Eq.(5.3) apesar de ser mais simplificada

que a Eq.(5.2) não é possível, por meio dela, determinar as energias do sistema, pois a mesma

não está posta numa forma diagonal. Para colocar a Eq.(5.3) na forma diagonal temos que

transformar os operadores de campo ai e a†i em operadores de modos coletivos normais aq e a†

q

(SILVA W, 2014). Essa transformação é expressa da seguinte forma,

ai = ∑q

ψiqaq (5.4)

a†i = ∑

qψ

i∗q a†

q. (5.5)

Substituindo a Eq.(5.4) e a Eq.(5.5) na Eq.(5.3) teremos,

H = ∑i, j

∑q

∑q′

Ai jψi∗q ψ

jq′a

†qaq′ = ∑

i, j∑q,q′

Ai jψi∗q ψ

jq′a

†qaq′. (5.6)

Para encontrarmos um Hamiltoniano na forma diagonal, utiliza-se o fato de que as

autofunções satisfazem a equação de autovalores (TAVARES M, 2009),

∑j

Ai jψj

q′ = Eq′ψiq′. (5.7)

Segue da Eq.(5.6) que,

H = ∑i,q,q′

(∑

jAi jψ

jq′

)ψ

i∗q a†

qaq′ = ∑i,q,q′

Eq′ψiq′ψ

i∗q a†

qaq′. (5.8)

É importante lembrar que os operadores de modos coletivos devem obedecer as

usuais relações bosônicas de comutação (SILVA W, 2014),

[aq,a†q′] = δqq′ (5.9)

67

[aq,aq′] = [a†q,a

†q′] = 0. (5.10)

Devido a condição de que o Hamiltoniano seja diagonal, podemos mostrar que as

autofunções formam um conjunto completo e satisfazem as condições de ortonormalidade abaixo

(TAVARES M, 2009),

∑i

ψiqψ

i∗q′ = δqq′ (5.11)

∑q

ψiqψ

j∗q = δi j. (5.12)

O Hamiltoniano na Eq.(5.8) pode ser expresso como,

H = ∑q,q′

Eq′

(∑

iψ

iq′ψ

i∗q

)a†

qaq′ = ∑q,q′

Eq′δqq′a†qaq′ = ∑

qEqa†

qaq. (5.13)

A Eq.(5.13) representa um Hamiltoniano diagonalizado, entretanto, não se sabe o

valor de Eq. Para isso, utiliza-se o caso da simetria translacional, que é um caso particular da

transformação geral (Eq.(5.4) e Eq.(5.5)), usadas para diagonalizar o Hamiltoniano sempre que

H0 e Ji j variarem de ponto a ponto, onde ψ iq = eiq·ri , que é solução da Eq.(5.7). Nesse caso, as

transformações na Eq.(5.4) e Eq.(5.5) se tornam as usuais transformadas de Fourier (SILVA W,

2014),

ai =1

N1/2 ∑q

eiq·riaq (5.14)

a†i =

1N1/2 ∑

qe−iq·ria†

q, (5.15)

onde N representa o número de partículas da rede.

As transformadas de Fourier inversas são dadas como,

aq = N1/2∑q

e−iq·riai (5.16)

a†q = N1/2

∑q

eiq·ria†i . (5.17)

68

Utilizando ψ iq = eiq·ri na Eq.(5.11) e Eq.(5.12) encontramos as seguintes relações,

∑i

ei(q−q′)·ri) = Nδqq′ (5.18)

∑q

eiq·(ri−r j) = Nδi j. (5.19)

A Eq.(5.18) e a Eq.(5.19) são fornecidas pelas relações de completeza e ortogonali-

dade das funções (SILVA W, 2014). Utilizando a Eq.(5.14) e a Eq.(5.15) podemos reescrever o

Hamiltoniano da Eq.(5.3) como,

H = ∑j

Ai j1N ∑

qe−iq·ria†

q ∑q′

eiq′·r jaq′, (5.20)

com o auxílio da Eq.(5.18) e Eq.(5.19),

H = ∑j,q

Ai jeiq·(ri−r j)a†qaq, (5.21)

uma substituição do índice j por j = i+ δ pode ser realizada, onde agora, δ varia, e faz-se

r j− ri = δ é a distância entre os pontos da rede (TAVARES M, 2009). Temos então,

H = ∑q

(∑δ

Ai,i+δ eiq·δ

)a†

qaq. (5.22)

O fator entre parênteses na Eq.(5.22) é a transformada de Fourier de Ai,i+δ e que

representaremos por Aq,

H = ∑q

Aqa†qaq, (5.23)

onde podemos tomar Aq = S[H0 + J(0)− J(q)] que é a transformada de Fourier dos coeficientes

Ai j, sendo que J(q) = ∑ j Ji jeiq·(ri−r j). Podemos ver que E(q) = Aq são auto-energias desse

Hamiltoniano e são chamadas de mágnons, ou seja, as auto-energias são quantizadas (SILVA W,

2014).

O fator J(q) é fundamental, pois é ele quem caracteriza a rede que iremos abordar

em nosso estudo, bem como o número de vizinhos. Contudo, neste trabalho vamos considerar

até os segundos vizinhos de cada sítio (SILVA W, 2014). Assim, podemos reescrever J(q) =

z1J1γ1(q)+ z2J2γ2(q) onde,

γi(q) =1zi ∑

δ ieiq·δ i, (5.24)

69

onde i = 1,2.

Como estamos trabalhando com uma rede quadrada simples, z1 = z2 = 4 (SILVA W,

2014), e,

γ1(q) =12[cos(qxa)+ cos(qya)] (5.25)

γ2(q) = [cos(qxa)cos(qya)]. (5.26)

Assim, a energia para as ondas de spin se propagando nessa rede fica,

E(q) = S(H0 +4J1 +4J2

)−2S

{J1[cos(qxa)+ cos(qya)]−2J2 cos(qxa)cos(qya)

}. (5.27)

Vamos agora apresentar os resultados numéricos para a Eq.(5.27). Em todos os

cálculos vamos usar H0 = 1. A Figura 23 mostra a curva de contorno para as ondas de spin

de um uma rede quadrada infinita em duas dimensões, considerando somente interação de

troca e Zeeman entre os spins entre primeiros e segundos vizinhos, para diferentes valores da

interação de troca J2. A curva de contorno mostra a energia crescendo do azul para o amarelo,

representando intervalo de energia 0 < E/J1 < 9, onde a menor energia do sistema é E/J1. É

interessante notar que a medida que J2 aumenta, o gráfico de contorno muda significativamente.

70

Figura 23 – Curva de contorno para as ondas de spin. As energias aumentam do azul para overmelho correspondendo a E/J1 = 0 até E/J1 = 9. Em todas as figuras usamosJ1 = 1, H0 = 1 e: (a) J2 = 0,0, (b) J2 = 0,2, e (c) J2 = 0,4.

(a) J2 = 0,0

-0,9 -0,6 -0,3 0,0 0,3 0,6 0,9-0,9

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6

0,9

q ya/

qxa/

1,0002,0003,0004,0005,0006,0007,0008,0009,000

E

(b) J2 = 0,2

-0,9 -0,6 -0,3 0,0 0,3 0,6 0,9-0,9

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6

0,9

q ya/

qxa/

0,98001,9822,9853,9874,9905,9926,9957,9979,000

E

(c) J2 = 0,4

-0,9 -0,6 -0,3 0,0 0,3 0,6 0,9-0,9

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6

0,9

q ya/

qxa/

0,98001,9822,9853,9874,9905,9926,9957,9979,000

E

Fonte: autor 2018.

71

A Figura 24 mostra as curvas de contorno para um limite de −2π à 2π , o que nos

ajuda a compreender a simetria da rede quadrada simples.

Figura 24 – Simetria da rede quadrada simples. Em todas as figuras usamos J1 = 1, H0 = 1 e:(a) J2 = 0,0, (b) J2 = 0,2, e (c) J2 = 0,4.

(a) J2 = 0,0

-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0-2,0-1,5-1,0-0,50,00,51,01,52,0

q ya/

qxa/

1,0002,0003,0004,0005,0006,0007,0008,0009,000

E

(b) J2 = 0,2

-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0-2,0-1,5-1,0-0,50,00,51,01,52,0

q ya/

qxa/

0,98001,9822,9853,9874,9905,9926,9957,9979,000

E

(c) J2 = 0,4

-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0-2,0-1,5-1,0-0,50,00,51,01,52,0

q ya/

qxa/

0,98001,9822,9853,9874,9905,9926,9957,9979,000

E

Fonte: autor 2018.

72

Uma outra interpretação gráfica do resultado discutido acima está vinculado à den-

sidade de estados para os mesmo valores de J2 da Figura 23, como mostra a Figura 25. O

aumento de J2 não somente desloca o espectro de energia para energias mais altas, como também

muda significativamente a distribuição das energias. Além disso, a figura mostra que o efeito de

interação de segundos vizinhos faz com que o pico de intensidade de energia seja deslocado para

energias mais altas. Esse efeito causa modificações nas propriedades macroscópicas do sistema

como magnetização, susceptibilidade, e calor específico.

Figura 25 – Densidade de estados para J1 = 1, H0 = 1 e três diferentes valores de J2.J2 = 0,0linha sólida, J2 = 0,2 linha tracejada, e J2 = 0,4 a linha pontilhada.

Fonte: autor 2018.

É importante mencionar aqui que, geralmente os valores da interação de troca de

segundos vizinhos é bem menor que a de primeiros vizinhos. Os valores admitidos aqui para J2

tem um certo nível de extrapolação. Porém, fizemos isso para melhor salientar os efeitos de J2

no espectro.

73

6 CONCLUSÃO

Neste trabalho estudamos a propagação na mudança de fase da precessão dos spins,

ou seja, estudamos as ondas de spin, onde tal propagação se deu em redes quadradas simples

infinita com baixa dimensionalidade. A compreensão das propriedades das ondas de spin

em sistemas de baixa dimensionalidade torna-se algo interessante, uma vez que o estudo de

materiais a base de carbono em sistemas de dimensão reduzida (2D) apresentam-se como grandes

canditados para a criação de novos dispositivos eletrônicos nos próximos anos.

Ao longo do nosso trabalho usamos o Hamiltoniano de Heisenberg, um modelo

matemático que permite descrever a propagação das ondas de spins em sistemas ferromagnéticos.

Esse Hamiltoniano, também chamado de modelo de Heisenberg contêm a energia média do

sistema adicionado a energia de troca e permite obter as energias de ondas de spin. Nesse modelo

incluímos a interação de Troca de primeiro e segundo vizinhos, além da interação Zeeman,

possibilitando expressar o Hamiltoniano em termos dos operadores de spin. Contudo, aplicamos

as transformações de Holstein-Primakoff para escrever os operadores de spin em termos dos

operadores de criação e aniquilação, garantindo a visualização dos modos das ondas de spin.

O Hamiltoniano é escrito numa forma matricial, após passarmos do espaço real para

o espaço do vetor de onda, que viabiliza a sua diagonalização. Com isso, obtivemos a energia de

ondas de spin e por meio dela conseguimos determinar as curvas de contorno e a densidade de

estado, o que nos permitiu, mesmo que superficialmente, entender o comportamento das ondas

de spin em uma rede quadrada simples infinita.

74

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