1. Ondas deChoque: gua,Luz e CondensadosR.A. KraenkelOndas de Choque: gua, Luz e Condensados Roberto Andr Kraenkel Institutode Fsica Terica-UNESPSo Paulo - BrasilNovembro de 2010 / UFMA

2. SumrioOndas deChoque: gua,Luz e CondensadosR.A. Kraenkel 3. Ondas simplesOndas deChoque: gua,Luz e CondensadosComecemos nos ocupando de equaes que descrevemR.A. Kraenkelondas:A mais simples possvel:ut + ux = 0 .Chama-se equao da onda simples.Descreve ondas na superfcie da gua na aproximao depequenas amplitudes, grande profundidade, sem viscosidade,e condiderando o movimento uni-direcional.Olhemos a soluo: 4. Simples demais!!Ondas deChoque: gua,Luz e CondensadosR.A. Kraenkel A onda simplesmente se move para direita sem modicar aforma.bvio: qualquer funo u(x t) soluo da equao. Portanto, dado u(x, 0) = f (x) a soluo da equao ser f (x t).Esta onda uni-direcional. E considerarmos ondas em doissentidos...obteremos algo interessante?No!Considere utt uxx = 0Veja as suas solues. 5. Ondas em Duas direesOndas deChoque: gua,Luz e CondensadosR.A. Kraenkelutt uxx = 0Uma onda para cada lado.Pouco interessantePara simplicar a discusso vamos considerar ondasuni-direcionais. 6. Ondas No-linearesOndas deChoque: gua,Luz e CondensadosR.A. KraenkelColoquemos um poucos de no-linearidade na nossa vida.Considere ut + 6uux = 0Esta equao descreve ondas na superfcie dgua em que aamplitude da onda comparvel com a profundidadeEis a soluo. 7. Quebra de Ondas!!Ondas deChoque: gua,Luz eA onda se deforma por causa do termo no-linear. CondensadosSua frente se torna vertical.R.A. KraenkelA onda quebra.A equao dita equao a quebra de ondaPodemos entender isso. Na equao ut + 6uux = 0 tudo sepassa como se a velocidade da onda fosse 6u. ou seja, ut + 6u ux = 0.c=6uQuanto maior u, maior a velocidade local. deformao quebra.A quebra um efeito no-linear. E se tomarmos umacondio inicial maior? Os efeitos no-lineares deveriam sermais pronunciados?Seja: ut + 6uux = 0 e amplitude mxima inicial =1.VEJAMOS. 8. Regularizao de choquesOndas deChoque: gua,Luz e CondensadosR.A. KraenkelA onda apenas quebrou mais rapidamente.Matematicamente a quebra de uma onda representa a noexistncia da soluo depois de um certo tempo.Mas o que acontece com a soluo, sicamente?Os modelos apresentados so aproximaes. Outros efeitospodem entrar em jogo.Os dois principais so: dissipao e disperso. 9. Regularizao por DissipaoOndas deChoque: gua,Luz e CondensadosR.A. Kraenkel No contexto hidrodinmico, a dissipao vem da viscosidadeno nula do uido.A equao de propagao de ondas fracamente no-lineares ede pequena dissipao dada por: ut + 6uux = uxxEquao de BurgersEvidentemente, para muito pequeno estaremos prximosda equao de quebra de onda.Vamos estuda-la neste limite. Seja ento = 0.05. 10. Equao de BurgersOndas deChoque: gua,Luz e CondensadosR.A. Kraenkel ut + 6uux = 0.05uxxA onda no quebrou.O termo dissipativo regularizou a onda. Formou-se um choque.Entendemos ():perto da frente de onda o termo uxx grande porque uxx grande,apesar de ser pequeno. 11. Ondas deChoque: gua,Luz e CondensadosR.A. KraenkelE se for maior?Seja por exemplo ut + 6uux = 0.5uxxo choque ser simplesmente mais suave. 12. DispersoOndas deChoque: gua,Luz e CondensadosR.A. Kraenkel Suponha agora que seja de fato muito pequeno.Um efeito no considerado antes foi o da disperso dasondas.As equaes obtidas anteriormente supe que o parmetro = h/ seja muito pequeno, ondeh a profundidade sem ondas, e o comprimento de onda da perturbao da superfcie.A nitude de gera disperso das ondas.Diferentes comprimentos de onda viajam com diferentesvelocidade. 13. Regularizao por DispersoOndas deChoque: gua,Luz e CondensadosR.A. KraenkelA equao regendo o movimento uni-direcional da superfciede um uido sem viscosidade mas com disperso :ut +6uux + 2 uxxx =0 Equao de Korteweg de Vries termo dispersivoQueremos estuda-la para pequeno, am de estarmosprximos regio de quebra de ondas.Tomemos pois 2 = 0.005 14. Regularizao por dispersoOndas deChoque: gua,Luz e CondensadosR.A. KraenkelNo. No erro numrico.Forma-se um choque.Mas atrs dele se formam ondas.E se for maior?Por exemplo: 10 vezes maior.H menos ondas. 15. KdV: um intermezzoOndas deChoque: gua,Luz e CondensadosR.A. KraenkelA equao de KdV, ut + 6uux + 2 uxxx = 0possui propriedades matemticas interessantes: integrvel. Pode-se resolver o problema de valores iniciais.Tem solues soliton. Eis um.Aqui tomamos u(x, t = 0) = 2sech2 (x). 16. KdV: um intermezzo IIOndas deChoque: gua,Luz e CondensadosR.A. Kraenkelut + 6uux + 2 uxxx = 0H tambm solues 2-solitonNeste caso: u(x.0) = 6sech2 (x). 17. KdV: um intermezzo IIIOndas deChoque: gua,Luz e CondensadosR.A. KraenkelUma condio inicial qualquer se decompe em solitons +radiao.Seja: u(x.0) = 4sech2 (x). 18. KdV: um intermezzo IVOndas deChoque: gua,Luz e CondensadosR.A. KraenkelUma condio inicial qualquer se decompe em solitons +radiao.Seja: u(x.0) = 40sech2 (x). 19. KdV: um intermezzo VOndas deChoque: gua,Luz e CondensadosR.A. KraenkelO que vimos no caso de pequeno que a condio inicialse decompe em solitons.O maior vai frente criando o efeito de uma onda de choque. 20. Concluses at aqui.Ondas deChoque: gua,Luz e CondensadosA equao ut + 6uux = 0 pode ser regularizada de duasR.A. Kraenkel formas.Por dissipao ou por disperso. 21. Ondas deChoque: gua,Luz eNa natureza os dois tipos de ondas de choque CondensadosR.A. Kraenkelexistem.Veja um exemplo de onda de choquedispersiva: Figure: Mascaret ( Dordogne) e Pororoca (Amazonas) 22. Condensados de Bose-EinsteinOndas deChoque: gua,Luz e CondensadosR.A. KraenkelConsidere a Equao de Gross-Pitaevskii:(x, t) 2=(r, t) + g|(r, t)|2 (r, t)t2mEla descreve um condensado de Bose-Eisntein||2 a densidade do condensado em um dado ponto (r, t).Condensados podem ser produzidos em 1, 2 ou 3 dimenses.GP contm no-linearidade e disperso. 23. Ondas de Choque em BECOndas deChoque: gua,H ondas de choque em BEC:Luz e Condensados Considere um condensado panqueca (2D)R.A. KraenkelUma condio inicial dao por um degrau: Figure: Corte de um BEC em 2D radialmente simtrico, com a condio inicial dada pela linha tracejada na gura da esquerda. Evoluo temporal dada pela gura da direita, mostrando a formao de choques dispersivos. Kamchatnov, Gammal and R.A.K, Phys. Rev. A 69, 063605 (2004) 24. Existe isso?Ondas deChoque: gua,Luz e CondensadosR.A. KraenkelFigure: Esquerda: imagem de BEC obtida pelo grupo do Jila (Hoefer et al Phys Rev A74, 023623 (2006)). Direita: Simulao 2D ( Kamchatnov, Gammal and R.A.K, Phys.Rev. A 69, 063605 (2004)) 25. Um ltimo exemplo: tica no-linearOndas deChoque: gua,Luz e CondensadosR.A. Kraenkel A propagao de um feixe de luz em um meio tico do tipoKerr dada por: A + A |A|2 A = 0 zz a distncia de propagao. o laplaciano em (x, y).A amplitude da onda: |A|2 a densidade de energia local.Trata-se da mesma equao que no item anterior. 26. Existe?Ondas deChoque: gua,Aqui estLuz e CondensadosR.A. KraenkelFigure: De Wan, Jia e Fleischer, Nature Physics 3, pg 46 (2007)De fato, a experincia feita com um material ( fotorefrativo) para o qual vale:A|A|2+ A A=0z1 + |A|2A teoria para este caso est em "Theory of optical dispersive shock waves inphotorefractive media", PRA 76, 053813 (2007), por El, Gammal, Khamis,Kraenkel & Kamchatnov 27. Concluses ou o que devo lembrar deste seminrioOndas deChoque: gua,Luz eOndas de choque se formam a partir de ondas que quebram; CondensadosH dois tipos de ondas de choque:dispersivas e dissipativas.R.A. KraenkelAs dissipativas so mais comuns. H uma frente de onda eum decaimento.As dispersivas tem oscilaes junto da frente de ondaO exemplo clssico de ondas de choque dispersivas apororoca.H ondas de choque dispersivas em BEC em 2D.Teoria eexperincia esto de acordo.Recentemente, foram vistas ondas de choque dispersivas emmeios ticos no-lineares. Obrigado pela ateno Download em http://web.me.com/kraenkel/ufma