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Tecnología Química

ISSN: 0041-8420

[email protected]

Universidad de Oriente

Cuba

Vázquez Seisdedos, Luis; Borges Trenard, Miguel; Llosas Albuerne, Yolanda; Mazaira

Morales, Israel; Bychkó Houdayer, Basilio

SIMULACIÓN Y MODELOS MATEMÁTICOS PARA GENERADOR DE VAPOR CON

DOMO

Tecnología Química, vol. XXVIII, núm. 3, septiembre-diciembre, 2008, pp. 5-14

Universidad de Oriente

Santiago de Cuba, Cuba

Disponible en: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=445543757001

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Red de Revistas Científicas de América Latina, el Caribe, España y Portugal

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TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. XXVIII, No. 3, 2008 5

SIMULACIÓN Y MODELOS MATEMÁTICOS PARAGENERADOR DE VAPOR CON DOMO

Luis Vázquez Seisdedos*, Miguel Borges Trenard**, Yolanda Llosas Albuerne*,Israel Mazaira Morales*, Basilio Bychkó Houdayer*

* Facultad de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Oriente, ** Facultad de Matemática y Computación

Se combinan las técnicas híbridas, cálculo simbólico y numérico, mediante la simulación digitalen Matlab, para el estudio experimental y la verificación del modelo de dinámica no lineal ymultivariable del generador de vapor con domo de circulación natural. El paquete de funcioneselaborado posibilita: la experimentación automatizada, flexibiliza el cálculo analítico de mode-los matemáticos en cualquier punto de la región de operación, y de este modo, el acercamiento ala planta completa de un modo más efectivo.Palabras clave: diseño de sistemas de control asistido por computadora, álgebra computacional,álgebra simbólica, simulación, modelos matemáticos y generador de vapor.

For experimental studio and model verification of a non linear and multivariable drum boilerdynamic, hybrid approaches, symbolic and numerical by digital simulation with Matlab have beenbuilt. The developed computational functions permit: the automated experimentation, makeflexible the analytic computation of mathematical models on everywhere point in the operationregion and, by this way, a more effective coming closer to whole plant description is facilitated.Keywords: computer Aided Design Control Systems (CADCS), computational algebra, symbolicalgebra, simulation, mathematical models, and drum boiler.

_____________________

Introducción

Tanto los especialistas como ingenieros dedica-dos al control automático de sistemas físicos dinámi-cos necesitan que cada uno de los componentes queformarán parte del sistema de control automáticoesté formalizado mediante sus respectivos modelosmatemáticos. La naturaleza de los objetos a sercontrolados es no lineal, y para aquellos procesostermoenergéticos, las dinámicas que resultan de losbalances de materiales y energía requieren que se leintroduzcan mediante ecuaciones algebraicas deenlace simple y doble variadas, las propiedadestermodinámicas y los resultados tabulados experi-mentalmente que ajustan la transferencia de calor.El presente trabajo aborda, mediante el uso detécnicas del cálculo simbólico, un procedimientopara llevar la dinámica del generador de vapor decirculación natural a escala de simulación en dife-rentes puntos de operación y determina sus modelosmatemáticos analíticamente.

El generador de vapor de circulación naturalmantiene plena vigencia y es base para el funciona-

miento de numerosas industrias, plantastermoeléctricas, centrales azucareras, y otras gran-des empresas; por ello, es importante garantizarherramientas eficientes para su control. La experi-mentación con ellos es costosa, por el rango depotencia en que trabajan, por tanto, se requiere parasu estudio la utilización de técnicas de simulación.

En la literatura se han reportado resultados deconsideración sobre la dinámica de los procesosde plantas termoeléctricas de turbinas de vaporoperando en el rango de potencia entre 100 y 500MW, /1-4/, en particular, en esta última, se brindapara el generador de vapor de circulación naturalsu dinámica en el espacio de estado.

Para uso docente en la carrera de ingeniería enautomática de las universidades cubanas, el libro detexto que aborda este proceso es Bychkó /5/. Ladinámica es tratada de modo cualitativa, como lineal,invariante en el tiempo y con descripción entrada–salida, y está orientada a describir los rasgos funda-mentales de las estructuras existentes en regulaciónde nivel y presión convencionales, y no para abordartareas de análisis y diseño a escala de simulación.

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Varias ventajas de la experimentación a escala desimulación de procesos industriales cuyas dinámicasson complejas y peligrosas son expuestas en Fritzson/6/. Estas constituyen una alternativa de solución enla validación de resultados obtenidos a problemáticasformuladas de la ingeniería en control automático.

Con el estado actual del desarrollo de lastecnologías de la información el análisis y eldiseño de sistemas de control se requiere de lautilización del cálculo computadorizado, de modoque las especificaciones deseadas en los ciclos detrabajo sean exactas y rápidas de calcular. Lafigura 1 muestra las etapas esenciales sobre lascuales transita una investigación aplicada de inge-niería en control automático.

La etapa de diseño y desarrollo, como muestrala figura 2, requiere solucionar la obtención de losmodelos matemáticos. Ésta involucra gran com-plejidad, sobretodo cuando se trata de objetos decontrol multidimensional y multivariable. Desde laversión 10 del software Mapple /7/ se vienepromoviendo su alcance como herramienta eficazpara el diseño competitivo en la ingeniería de lossistemas de control. Por su parte, la compañíaMathworks incorpora facilidades de programa-ción en lenguaje simbólico del Mapple en suproducto Matlab /8/. El interés de reducir loselevados gastos de tiempo en el cálculo de mode-los por la vía manual está en uno de los epicentrosde las tendencias hacia donde se producen lasaplicaciones del cálculo simbólico.

Existen diversos métodos de análisis y diseño;en particular, el uso del cálculo numérico en elestudio de sistemas de control no lineales es bienconocido, y preserva su actualidad. Sin embargo,es frecuente la necesidad de realizar procesosreiterados de manipulación algebraica que, derealizarse una y otra vez, aumentan el costocomputacional de las operaciones; por ello, resul-ta recomendable la utilización del cálculo simbó-lico, el cual posibilita la preparación de determina-dos datos de una sola vez, en una etapa depre-procesamiento. La aplicación del cálculo sim-bólico en el control es ya un hecho, tal es el caso,por ejemplo de Jager /9/, que estudia su uso parala formulación de modelos, su integración, verifi-cación, y análisis; Tabuada /10/, que describe unenfoque para el control de sistemas continuos pormedio de modelos simbólicos; Karampetakis yTzekis /11/, donde se presentan herramientassimbólicas útiles para el estudio de la estructurade las matrices racionales y, como consecuencia,para la implementación de ecuaciones diofánticasmatriciales en control.

El trabajo también aborda, el uso de las técni-cas de cálculo simbólico en la obtención de mode-los matemáticos de un proceso termoenergéticono lineal de cierta complejidad, cuya linealizaciónindica un sistema dinámico de fase no mínima. Separte de las ecuaciones dinámicas no afines enlas entradas de control (en el sentido de la existen-cia de productos entre ellas), del proceso bajoestudio y los resultados del proceso simulado

Fig. 1 Etapas esenciales del proyectode un sistema de control.

Fig. 2 Apectos esenciales de las tareasde diseño y desarrollo.

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responderán a la dinámica en cualquier región deoperación, R, a las cuales representen las funcio-nes estáticas aproximantes de las propiedadestermodinámicas del agua y de la transferencia decalor. Los procedimientos para: la linealización dela dinámica, el cálculo de las estructuras de mo-delos lineales invariantes orientados al control sonsimbólicamente tratados.

De este modo, se está proponiendo una solu-ción automatizada a la experimentación con mo-delos matemáticos para cualquier condición deestado estacionario región de operación de inte-rés. Realizada a escala de simulación, en la parteexperimental de obtención de modelos localesmediante la automatización obtenida en el cómpu-to, se emplean los datos constructivos y valores deoperación para carga media de la planta P16-G16de 160 MW de Suecia. Un trabajo precedente enla creación de una planta simulada fue realizadopor en Martínez /12/. La concepción de diseño delsistema de cómputo combinado para una dinámi-ca de conversión de energía es resumida median-te la figura 3.

La descripción del sistema de ecuaciones di-námicas y algebraicas originales es tomada deAström y Bell /4/, y a partir de ellas se obtiene unaestructura generalizada y resumida como sigue:

donde;

vector de estado del sistema.

vector de entradas para control.

vector de entradas externas.

vector de salidas.

La determinación analítica de modelos ma-temáticos lineales e invariantes en el tiempo,locales alrededor de un punto de operación, apar t i r de la es t ructura descr i ta por lasecuasiones (1) y (2), será realizada mediantela aproximación lineal de Ψ1 y Ψ2, cuyo resul-tado será evaluado para cada régimen de esta-do estacionario con las condiciones inicialesdel vector de estado, Pxo(x0o, x1o, x2o, x3o), ymediante el vector de entradas, P o (u 1o,

u1o,w1o,w2o) que lo establecen. Para el diseñodel algoritmo, es conveniente observar que elsistema tiene una estructura triangular favora-ble, ya que las variables pueden ser agrupadascomo ((x1,x2), x3) x4). De ese modo, las varia-bles dentro de cada paréntesis pueden sercalculadas independientemente. La figura 4bmuestra la estructura de causalidad entre lasseñales que caracterizan la dinámica. La diná-mica del proceso se descompone en tressubsistemas.

En la dinámica de los subsistemas 2 y 3influyen, además de las variables de entrada,las variables de estado x2 y x3, tal y como fuemostrado en la figura 4b.

Fig. 3 Bases de diseño del sistema decómputo combinado para una dinámicade proceso de conversión de energía.

Formulación del problema

La planta, como muestra la figura 4a, incluyelas dinámicas tanto del proceso de generación devapor con domo, como la de sus actuadores quemanipulan los flujos de vapor, agua y combusti-ble. Esta contribución delimita sus fronteras a laconstrucción de modelos locales del proceso. Ladinámica de los actuadores puede ser consultadaen Lindah /l2/.

),,(1 wuxx ψ=&

),,(2 wuxy ψ=

(1)

(2)

[ ] 44321 ℜ∈Txxxx

[ ] 221 ℜ∈Tuu

[ ] 221 ℜ∈Tww

[ ] 221 ℜ∈Tyy

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Soluciones de cómputo

Para construir una simulación de la dinámicadel proceso con validez para una región de opera-ción R, es necesario aproximar, mediante funcio-nes, tanto las propiedades termodinámicas delagua como aquellas que a partir de datos experi-mentales permiten caracterizar los fenómenos detransferencia de calor y, finalmente, evaluar estásfunciones dentro de las ecuaciones dinámicas.

Para calcular los modelos matemáticos orien-tados a su control, la figura 5a sugiere una vía desolución analítica mediante algoritmos de trans-formación de la dinámica evaluada con técnicasde cómputo simbólico. La figura 5b muestra unasolución a la formulación general de la figura 5a.En particular, se introducen los nombres de lasfunciones desarrolladas para la determinación demodelos matemáticos lineales e invariantes encualquier punto de R.

Fig. 4 Delimitación de fronteras. La solución de aproximar datos estáticos serealiza mediante polinomios hasta un exponen-te máximo de 6, el cual, en criterio de losautores, es suficiente para datos asociados aprocesos termoenergéticos.

El algoritmo de ajuste de parámetros de unaecuación lineal se basa en el método deoptimización de mínimos cuadrados. Dos fun-ciones resultan para aproximarse a los datoscon una o dos variables independientes (figura6a y figura 6b, respectivamente). El algoritmodiseñado toma en cuenta las tareas indicadasen la figura 6c. Para el diseño de las funciones‘Polyfitone’ y ‘Polyfittwo’, las principales pres-taciones tomadas en consideración fueron lassiguientes: fácil uso y comprensión, buen acon-dicionamiento interno de datos, y proporcionarel trazado de los errores absolutos para elrango completo de la función aproximada comocriterio de medida para una validación gráficadel usuario.

Fig. 5 Descomposición de las tareascomputacionales y las solucionesespecíficas.

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La solución al problema del cálculo de unaestructura de modelo matemático lineal einvariante en el tiempo se realiza mediante lafunción ‘lgvreg’ (linealiza tanto las ecuacionesdinámicas como algebraicas y las mantiene envariables simbólicas). Ésta opera sobre expre-siones simbólicas devueltas por ‘dgv’ y produ-ce, como resultado, la dinámica linealizadapara cualesquiera sea el punto en R.

Sintaxis de la función lgvreg:

[A1R,B1R,A2R,B2R,A3R,B3R,CR]=lgvreg(Anl,Bnl,Y1,f1);

d. Solución a la normalización de la estructura demodelo en el espacio de estado.

El establecimiento de la estructura de interco-nexión de los subsistemas mostrados en la figura4b. es el elemento clave para derivar el modelomatemático resultante. En Albertos y Sala /13/ seabordan conceptos y soluciones de Matlab para lainterconexión de sistemas y la transformación derepresentaciones.

Y finalmente, la función ‘lgvcte’ (obtiene lasmatrices en el Espacio de Estado; A, B, C y Dpara cada punto de operación “cte”) evalúa a lasexpresiones simbólicas devueltas por ‘lgvreg’ paracada punto de operación y deriva la representa-ción en el espacio de estado que resulta del modode interconexión de los subsistemas y la transfor-mación a modelos entrada–salida. Para efectosde validación numérica con salidas graficas alusuario, esta función transfiere los parámetros delos modelos matemáticos calculados hacia la si-mulación.

Sintaxis de la función lgvcte:

[Afito,B fito,Cfito,Dfito] =lgvcte(A1R,B1R,A2R,B2R,A3R,B3R,CR,Ci,Entradas);

Tabla 1Sintaxis de las funciones

Tabla 2Formación del vector ‘s’

La solución a la evaluación de la dinámica dereferencia con los modelos estáticos de propieda-des termodinámicas y tablas experimentales decaracterización de transferencia de calor, se rea-liza mediante la función ‘dvg’ (dinámica del gene-rador de vapor). Como resultado, ésta retorna lascuatro ecuaciones dinámicas y las dos ecuacionesde salida.

Sintaxis de la función dgv:[Anl,Bnl,Y1]=dgv(f5, f4, f1, f2, f6, Par_Constructivos);

f5, f4, f1, f2, f6; son entradas simbólicasPar_Constructivo: Vector de parámetros cons-tructivos. Son entradas numéricas.

Anl: Matriz de funciones simbólicas de las varia-bles de estado.

Bnl: Matriz de funciones simbólicas de las varia-bles de estado y entradas externas.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

uw

BAx nlnl&

)(1 xY ϕ=

(3)

(4)

(5)

(6)

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

uw

BxAx fitofito&

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

uw

DxCy fitofito

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El proceso y sus datos

El significado físico respecto a Aström y Bell/4/ es como sigue:

siendo:

Vwt [m3]: Volumen total del agua del generador.

Pd [MPa]: Presión del domo.

Ar [Adimensional]: Fracción de vapor en la mez-cla a la salida de los tubos de ascenso.

Vsd [m3]: Volumen del vapor en el domo.

qf [kg/s]: Flujo del agua de alimentación al domo

qp [kg/s]: Flujo de petróleo a los quemadores.

qs [kg/s]: Flujo de vapor saturado a la salida del domo.

Q [J/s]: Flujo de calor transferido a los tubos deascenso para la evaporación del agua.

Tf [0C]: Temperatura del agua de alimentación ala entrada del domo.

Y1 [m]: Nivel en el domo.

Y2 [MPa]: Presión de vapor saturado en el domo.

Propiedades termodinámicas del agua:

hf [J/kg]: Entalpía del agua líquida sub-enfriada.

hw [J/kg]: Entalpía del agua líquida saturada.

hs [J/kg]: Entalpía del vapor de agua saturada.

hc [J/kg]: Calor latente de vaporización del agua líquida ; hc = hs – hwρs [kg/m3]: Densidad del vapor de agua saturado.ρw [kg/m3]: Densidad del agua saturada.Ts [0C]: Temperatura de ebullición del agua líquida.

Notar que; hw, hs, hc, ρs, ρw y Ts son propiedadestermodinámicas que se definen con un solo gradode libertad (fue considerado la variable Pd); en

cambio; hf requiere de dos grados de libertad(fueron consideradas Pd y Tf).

La región de operación sobre la cual se reali-zaron las aproximaciones polinomiales está defi-nida por los siguientes intervalos; Pd [7.5 10.9]MPa y Tfw [240 260] 0C. Las propiedades termo-dinámicas del agua correspondiente a la región deoperación se aproximan a partir de la instalacióndel complemento disponible en Walkenbach /14/y las funciones ‘Polyfitone’ y ‘Polyfittwo’. Losparámetros del proceso para el proceso bajoestudio se muestran en la tabla 3.

Tabla 3Parámetros obtenidos experimentalmente

Adc: Área de la sección transversal de los tubos que bajan.

Vr: Volumen de los tubos de ascenso.

k: Coeficiente de fricción viscosa de la circula ción natural de agua.

Td: Tiempo de residencia del vapor en el domo.

sdo

oV : Volumen de vapor en el domo bajo el supuesto caso de que no hay condensación.

Vt: Volumen total del generador de vapor.

mt: Masa total del generador de vapor.

CP: Calor especifico del metal.

mr: Masa de los tubos de ascenso.

md: Masa de los metales del domo.

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β: Coeficiente empírico de ajuste.Vdc: Volumen de los tubos de bajada.

Ad: Área de la superficie mojada del domo para el nivel cero.

La equivalencia de símbolos empleados en laformalización se corresponde con las propiedadestermodinámicas indicadas en la tabla 4.

Las condiciones de estado estacionario to-madas en consideración y que se correspondencon las mismas de Aström y Bell /4/ se mues-tran en la tabla 5.

tribuye a la toma de decisiones de ingeniería encontrol automático.

A modo de validación de la simulación desa-rrollada, y con ello, la confiabilidad de todas lasherramientas de cómputos involucradas para lle-gar a este resultado, se repitieron los mismosexperimentos que el artículo del cual se tomó ladinámica, Aström y Bell /4/. Los resultados, coin-ciden exactamente con los allí reportados paracada una de las variables de estado (figura 7 y 8.Tabla 4

Funciones aproximadas

Tabla 5Condiciones de estado estacionario

De Eklund /1/ se tomaron los valores de ope-ración nominal; potencia activa (160 MW), flujode vapor (138.9 kg/s), presión en el domo (15MPa), temperatura del agua dentro del domo(342.1°C) y temperatura del agua de alimenta (300 °C).Para carga media de operación, el ajuste lineal deflujo de calor transferido como función del flujo enmasa de combustible, Q – Qo = k(qp – qpo) producea k= 7073767,15 J/kg como resultado.

Validación del proceso simulado

El ambiente computacional desarrollado per-mite la transferencia de resultados a los bloquesde programación grafica en Simulink. De estemodo, se unen las potencialidades obtenidos delcálculo simbólico con una verificación numérica.La disponibilidad de respuestas graficadas es unrecurso de la interfaz hombre-máquina que con-

Fig. 7 Respuestas en entrada de flujode combustible equivalente a 10 mW,operando a media carga.

Fig. 8 Respuestas en entrada de flujode vapor de 10 kg/s, operando a mediacarga.

Cálculo automatizado de modelosmatemáticos

Mediante la función lgvcte, además de deter-minar analíticamente el modelo en el espacio deestado, los convierte al formato de entrada-salida.

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Para el punto de operación seleccionado e indica-do en la tabla 5 se obtienen las funciones detransferencias organizadas en la tabla 6.

dinámica de origen es no lineal, no afín en lasentradas y variante en el tiempo (esencialmentesobre las variables de estado Pd y Ar), de modoque la estructura estándar de modelo matemáticoinvariante muestra sus limitaciones.Tabla 6

Muestra de modelos matemáticos derivados

Para una validación cualitativa de los mode-los matemáticos determinados, se desarrollauna experimentación basada en señal de exci-tación de tipo escalón. Los resultados se mues-tran mediante las respuestas obtenidas y mos-tradas en la figura 9 (a-d).

Estos primeros resultados experimentales cons-tituyen, además, un modo de verificar los proce-dimientos realizados mediante cálculo simbólico.La figura 9 (a-b) son las respuestas a excitaciónescalón de 10 MW en la entrada Q. La figura 9(c-d) son las respuestas a excitación escalón de10 kg/s en la entrada qs.

La observación de los resultados del experi-mento para el tiempo de corrida de 200 unidades,evidencia que la salida Y2 (la presión del domo)predicha indica una mayor exactitud que aquellaobtenida para la respuesta predicha sobre Y1

(nivel del domo). Debe tomarse en cuenta, que la

Fig. 9 Validación cualitativa de losmodelos matemáticos basada enexperimentos con señales de exitaciónescalón.

Para cuantificar la validez de los modelosmatemáticos se diseñó otro experimento basadoen aplicar al proceso y al modelo señales deexcitación de tipo rampa. La figura 10 muestra lasseis señales empleadas durante un tiempo desimulación de 100 unidades.

Fig. 10 Sañalesde entrada paraexperimento que determina el errorabsoluto existente entre la respuestadel proceso simulado y su modelomatemático.

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Se tomó en cuenta este tipo de excitación porsu riqueza espectral para forzar a la dinámica, ypor la objetividad con las situaciones reales encuanto a la manipulación de las entradas de con-trol en este tipo de proceso termoenergético.

El registro de las respuestas de error absolutoentre cada una de las salidas y su valor respectivopredicho por el modelo se muestra en la figura 11.La figura 11 (a-b) corresponde a la experimenta-ción a través de la entrada de flujo de combusti-ble. La figura 11 (c-d) corresponde a la experi-mentación a través de la entrada de flujo de vapor.

En cada una de las figuras fue indicada laselección de una zona de validez en tiempo corres-pondiente a un error absoluto menor a 2 mm en elcaso de la respuesta de nivel y a 0.01 MPa para larespuesta de la presión del domo. En todos los casos,se muestra esta exactitud en la predicción de cadamodelo mayor a veinte unidades de muestras.

Tomando en consideración que estos experi-mentos han sido realizados sobre un proceso sincontrol con efectos integrales en ambas salidas,este intervalo de exactitud indica una calidadadecuada para abordar técnicas de control basa-dos en estos modelos matemáticos.

Conclusiones

El uso combinado de las técnicas del cálculosimbólico y de la simulación dinámica ha permiti-do establecer un sistema automatizado de cálculoy validación de modelos matemáticos sobre elproceso simulado. Se han presentado un conjuntode procedimientos que permiten:- Aproximar propiedades físicas simples y

bivariadas que se requieren para que la dinámi-ca del proceso pueda ser calculada numérica-mente durante la simulación en cualquier puntode la región de operación R seleccionada.

- De la dinámica de origen calcularautomatizadamente los modelos matemáticoslineales e invariantes para cada punto de ope-ración deseado dentro de R.Las técnicas desarrolladas y los resultados

obtenidos facilitan a estudiantes, investigadores,e ingenieros la explicación cualitativa de la es-tructura de los modelos y el sentido de variaciónde sus parámetros dentro de R.

Reconocimientos

El colectivo de autores reconoce el papeldesempeñado por el Profesor Titular ya fallecido,Doctor José Alberto Tur Quintero en la temáticade Generador de Vapor con Domo. Los inicios deeste trabajo recibieron su asesoría.

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Fig. 11 Registros obtenidos para lavalidación cuantitativa de los modelosmatemáticos basados en experimentoscon señales de excitación rampa.

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