Somando noyos talentos pan o Brasil

Solução da prova da 1" faseOBMEP 2012- Nível 1

QUESTÃO 1

ALTERNATIVA BMarcos tem 10.,4,25=2,50 reais em moedas de 25 centavos. Logo ele tem 4,30-2,50=1,80reais em moedas de 1 0 centavos, ou seja, ele tem 1,80 + 0,1 0 = 18 moedas de 10 centavos.

Outra maneira de resolver esse problema é fazendo a conversão de todas as quantias emcentavos, como segue. Como 1 real equivale a 100 centavos, concluímos que Marcos tem, nototal 4,30x100=430centavos. Ele tem 10x25=2í}centavos em moedas de 25 centavos.Assim, ele tem 430 - 250 = 180 centavos em moedas de 10 centavos cada uma, ou seja, ele tem180

- 18 moedas de 1o centavos.10

QUESTÃO 2ALTERNATIVA DObservamos que o segundo triângulo da sequênciaconsiste de 1+2=3 cópias do primeiro triângulo e oterceiro triângulo consiste de 1+2+3=6 cópias doprimeiro triângulo. De acordo com esse padrão, oquinto triângulo da sequência será formado por1+2+3+4+5:15 cópias do primeiro triângulo. Comoo primeiro triângulo da sequência é formado por 3 palitos, segue que Renata vai gastar 15 ' 3 = 45palitos para construir o quinto triângulo da sequência.

Pode-se também observar que o primeiro triângulo é formado por 3 palitos, o segundo por3+6=9 palitosê terceiro por 3+6+9=18 palitos. Seguindo esse padrão, o quinto triângulo seráformado por 3+ 6+ 9+ 12+15 = 45 palitos.

QUESTAO 3ALTERNATIVA B Isubstituindo o primeiro borrão por cada um dos sinais

35+8***S9ã'Ode operação *, --, x ou +, obtemos as seguintes possibilidades (o símbolo ! inOica o segundoborrão):

o 25+8+4-l*9=0, ou seja, 37-fx9=0o 25+8-4-["9:0, ou seja, 29-[x9=0o 25+8x4-!r9=0, ou seja, 57-!xg=0c 25+8+4-n"9:0, ou seja,27 -[x9:0

Como os números 37, 29 e 57 não estão na tabuada do 9 (ou seja, não são múltiplos de g), não épossível substituir o segundo borrão por nenhum número natural nas três primeiras possibilidades.Já na quarta possibilidade, a substituição do segundo borrão por 3 leva a uma expressãoverdadeira; concluímos que o número apagado pelo segundo borrão é o 3.

QUESTÃO 4ALTERNATIVA AQuando a tira é dobrada ao meio, o último quadradinho fica em cima do quadradinho de número 1.Como o quadradinho 19 caiu em cima do 6, o 20 caiu em cima do 5, o 21 em cima do 4,'ò 22 emcima do 3, o 23 em cima do 2 e o 24 emcima do 1. Logo a tira tem 24 quadradinhos.

/_\I\l\1_ _3/__J

2o

Solução da prova da 1" faseOBMEP 2012- Nível 1

Somando novos tàlentor para 0 Brasil

ffi*-Efltã

wtcaminho de Bela tem apenas um segmento vertical, o comprimento totalhorizontais é 230 - 30 = 200 metros. Finalmente, o caminho de "Cecília temverticais; ela percorreu então 200 + 2x30 = 260 metros até a praia.

QUESTÃO 6ALTERNATIVA B

O número 0,48 pode ser escrito na forma de uma fração decimal como

fração de modo que o numerador e o denominador sejam os menores possíveis, obtemos48 12=i =:l. Assim, os dois menores números inteiros positivos que produzem o quociente 0,48 são100 25os números 12 e 25, que representam, respectivamente, o menor número possível de meninas emeninos da turma; logo o menor número possível de alunos é 12 + 25 = 37 .

QUESTÃO 7ALTERNATIVA D

A distância entre os pontos A e B é

O segmento AB foi dividido em quatro partes iguais; o comprimento de cada uma dessas partes é

então ** a=1. Logo o ponto C corresponde ao número 1_ 1=+:?6 6 6663

48 . Sirolificando esta

100

QUESTAO 5ALTERNATiVA EOs caminhos de Alfredo, Bela e Cecília consistem desegmentos horizontais, todos de mesmo comprimento, everticais, também todos de mesmo comprimento. Todospercorreram o mesmo número de segmentos horizontais.Alfredo percorreu dois segmentos verticais e290 -230 = 60 metros a mais do que Bela; logo, cadasegmento vertical equivale a 60 + 2:30 metros. Como o

dosdois

segmentossegmentos

19

619712 7

=6660

QUESTAO 8ALTERNATIVA EUm cubo tem seis faces; cada face é oposta a uma face e vizinha deoutras quatro faces. Na planificação da figura, vemos que a face 3 évizinha das faces 2, 4, 5 e 6. Logo a face 1 não é vizinha da face 3, ouseja, as faces 1 e 3 são opostas. Logo, a face 1 tem arestas comunscom as faces 2, 4, 5 e 6; o produto desses números é 2 :" 4x 5,, 6 =24A.

QUESTÃO 9ALTERNATIVAABasta verificar que após oito giros sucessivos o quadrado menor retorna à sua posiçâo inicial.Como 2012:8x251+4, após o2012o giro o quadrado cinza terá dado 251 voltas completas noquadrado maior e mais 4 giros, parando na posição que corresponde à alternativa A.

b

2 3 4

5 1

Somando n0y0s talenloí paÍa o BÍasil

Solução Oa prova da 1" faseOBMEP 2012- Nível 1

QUESTÃO 1O

ALTERNATIVA CO corte pela linha indicada corta o barbante em oito pontos diferentes, produzindo assim novepedaços de barbante. Em geral, ao se fazer qualquer número de cortes em um pedaço debarbante, o número de pedaços é um a mais que o número de cortes.

QUESTÃO 11

ALTERNATIVA DNo prato da direita temos três metades de copo de farinha; noprato da esquerda temos dois copos cheios, o que é o mesmoque quatro metades de copo de farinha. Como ao todo temos1400 gramas de farinha, o que equivale a sete metades decopos, cada metade equivale a 200 gramas de farinha. Logo,no prato da esquerda temos 800 gramas de farinha e no da direita temos 600 gramas de farinha,ou seja, há 800-600 =200 gramas de farinha a mais no prato da direita. Por outro lado, há umcopo a mais no prato da esquerda; como os copos são idênticos, esse copo extra equilibra afarinha extra do prato da esquerda; concluímos que um copo vazio pesa 200 gramas.

QUESTAO í2ALTERNATIVA ADividimos a figura em regiões indicadas pelas letras A, B e C, como mostradoao lado. Regiões com a mesma letra são idênticas, e tanto a parte brancaquanto a parte cinzenta consistem de duas regiões A, duas regiões B e duasregiões C; segue que a área da parte cinzenta é igual à área da parte branca.Cada uma dessas áreas é então a metade da área total do retângulo, que é4x5=20 cm2. Logo a área da parte cinzenta é 10 cm2.

QUESTÃO 13ALTERNATIVA DComeçamos a colorir a figura pelo círculo marcado com a letra A. Temos3 opções de cores para A e, uma vez selecionada a cor de A, temos 2possibilidades de cores para o círculo B. Para cada escolha de corespara A e B, a cor de C fica unicamente determinada pelas condições doproblema. Logo, pelo princípio multiplicativo, temos i *. f ,o l - Q

possibilidades diferentes de colorir os círculos A, B e C. Agora notamosque, para qualquer escolha de cores para A, B e C, as cores dos círculosrestantes ficam unicamente determinadas. Portanto, temos 6 maneirasdiferentes de colorir os círculos da figura de acordo com as condições doenunciado.

Solução da prova da 1" faseOBMEP 2012- Nível 1

4Somand0 novos talentos para o BrasiÍ

QUESTÃO 14AUTERNATIVA CA figura ao lado mostra a folha aberta, com os cortesdeterminados na tira em pontilhado. A tira fica dividida emquatro triângulos, dois do tipo A e dois do tipo B. Observamosque a tira, como um todo, é formada por 6 triângulos do tipoA; como a tira tem ârea 4 r,.12=48 cm2, aârea de um desses

triângulos é + =8 cm2. Um triângulo do tipo B é formado porb

dois triângulos do tipo A. Um dos novos quadrados é formadopelos dois triângulos do tipo A e o outro é formado pelos dois triângulos doentre as áreas desses quadrados é então igual à área de dois triângulos2 ,8=16 cm2.

tipo B; ado tipo

diferençaA, que é

QUESTAO 1 5ALTERNATIVA E

Sabe-se que somente uma das quatro sentenças é verdadeira. Assim, para uma alternativa ser acorreta, ela deve tornar uma das sentenças verdadeira e todas as outras falsas.

r A alternativa A) não é a correta, pois ela não torna nenhuma das alternativas verdadeira.. A alternativa B) não é a correta, pois ela torna as alternativas ll) e lll) verdadeiras.. A alternativa C) não é a correta,pois ela torna as alternativas ll) e lll)verdadeiras.. A alternativa D) não é a correta, pois ela torna as alternativas l) e lV) verdadeiras.r A alternativa E) é a correta, pois ela torna a alternativa l) verdadeira e as outras falsas.

QUESTÃO í6ALTERNATIVA DAntes da correria, havia pelo menos 7 crianças na varanda, 5 na cozinha e 4 na sala; depois dacorreria, a varanda ficou com 7 -4=3 crianças a menos, a cozinha com 7 -5=2 crianças amais e a sala com 5-4=1 criança a mais. Vamos agora analisaralgumas possibilidades para onúmero inicial de crianças na varanda.

Número inicial decriancas na varanda

Número final de crianças na varandaíioual ao da sala e da cozinha)

Número inicial de criançasna cozinha

7 4 28 5 3I 6 4

Em todas essas possibilidades, o número inicial de crianças na cozinha é menor que 5, o que éimpossível de vez que saíram 5 crianças da cozinha para a sala. Logo hav-ia pelo menos 10crianças na varanda antes da correria; nesse caso, o número final de crianças na varanda, na salae na cozinhaé7, que corresponde aos números iniciais de 5 crianças na cozinha e 6 crianças nasala. Logo o menor número possível de crianças que havia na casa é 3 ',7=21 (ou então10+5 +6:21).

Solução Oa prãva da 1" faseOBMEP 2012- Nível 1

QUESTÃO 17ALTERNATIVA CQuando for vendida a cesta apontada pelo feirante, o número de limÕes passará a ser o dobro dode laranjas, ou seja, o número total de frutas nas quatro cestas restantes passará a ser o triplo donúmero de laranjas. Portanto, o número total de frutas passará a ser múltiplo de 3. Vamos agoraanalisar todas as possibilidades de venda de uma cesta:

8+ 11+ 13+ 18:508+11+13+23=558+11+18+23=608+13+18+ 23=6211+13+18+23:65

A única maneira possível de somar o número de frutas de quatro cestas para obter um múltiplo de3 está representada pela expressão8+11+18+23=60;logo, ofeirante apontou a cesta com 13frutas.

Outra solução consiste em notar que número original de frutas é 8+11+13+18+ 23=73.Como 73=24x3+1, para que o número de frutas depois da vendã da cesta apontada pelofeirante seja múltiplo de 3, o número de frutas dessa cesta também deve deixar resto 1 quandodividido por 3. Dos números 8, 1 1, 13, 18 e 23, o único que satisfaz essa condição é 13.

QUESTÃO 18ALTERNATIVA CVamos chamar de D a distância entre Pirajuba e Quixajuba. Qualquer que seja o combustívelutilizado, temos que D = litros consumidosxquilômetros por Íïro. lsso mostra que as grandezas"litros consumidos" e "quilômetros por litro" são inversamente proporcionais (pois seu produto éconstante). Desse modo, podemos escrever

litros consumidos na ida 15 5

Iitros consumidos na volta 12 4

Basta então achar uma fração equivalente u I nu qual a soma do numerador com o denominador4

seja 18. Essa fração U T' ou seja, João gastou l0litros de álcool na ida e S litros de gasolina na

volta. Logo a distância entre Pirajuba e Quixajuba é 12x10 =8x15:120 quilômetros.

Somando novos talentos para 0 Erasil

Somando novos talenios para o Brasil

Solução da prova da 1" faseOBMEP 2012- Nível I

QUESTAO 19ALTERNATIVA BPara simplificar, no parágrafo a seguir "azul" significa "bandeirinha azul" e analogamente para asoutras cores.

Para que não haja azuis juntas, é necessário que entre duas azuis haja pelo menos umabandeirinha de outra cor. Para isso, são necessárias pelo menos 24 bandeirinhas não azuis; comohá exatamente 14 + 10 = 24 bandeirinhas brancas e verdes, concluímos que a fila de bandeirinhascomeça e termina com uma azul e que entre quaisquer duas azuis há exatamente uma branca ouuma verde. Em particular, as alternativas A) e C) são falsas.

Usando as letras A, B e V para as cores azul, branco e verde, a possível fila abaixo mostraque a alternativa D) é falsa:

A*Affi A$ffi AVAW*.?:=Ary>AVAVAT:'A*AVAffi A7:2A7=A.VA#A:.AVAVAVAVAVÀVA

Vamos agora pensar em uma fila qualquer como uma sequência de blocos de duas letras dostipos AB e AV com uma letra A na extremidade direita. Pelo menos um bloco AB deve estar aolado de um bloco AV, criando assim um bloco maior ABAV ou AVAB. Em qualquer dos casos,vemos uma sequência (BAV ou VAB) de três bandeirinhas de cores todas diferentes, o que mostraque a alternativa E) e falsa.

Finalmente, notamos que uma fila da Joana 14 blocos AB e 10 blocosAV, além do Aàdireita. Com esses 10 blocos AV é possível separar no máximo 11 blocos AB uns dos outros;assim, há pelo menos dois blocos AB consecutivos, seguidos de uma letra A. Logo em qualquerfila da Joana há um bloco do tipo ABABA, ou seja, há pelo menos cinco bandeirinhasconsecutivas nas quais não aparece a cor verde.

QUESTÃO 20ALTERNATIVA CComo Pedro comprou 5 livros a mais que Cláudia e cada homem comprou 4 livros a mais que suaesposa, segue que Pedro não é o marido de Cláudia, ou seja, Pedro é marido de Lorena ou deBianca.Se Pedro fosse o marido de Bianca, ele teria comprado 7 livros, pois Bianca comprou 3livros. Mas Pedro também comprou 5 livros a mais do que Cláudia e assim Cláudia teria compradoapenas 2 livros, o que contraria o enunciado, pois Cláudia comprou mais livros do que Bianca.Logo Pedro é o esposo de Lorena.

Se Vitor fosse casado com Bianca, ele teria comprado 7 livros e, como ele comprou 3 livrosa mais do que Lorena, concluiríamos que Lorena deveria ter comprado 4 livros. Mas já vimos quePedro é esposo de Lorena, logo Pedro deveria ter comprado 8 livros. Por outro lado, Pedrocomprou 5 livros a mais do que Cláudia e assim Cláudia deve ter comprado apenas 3 livros, o quenovamente contraria o enunciado já que Cláudia comprou mais livros do que Bianca. Logo Vitor écasado com Cláudia e o homem sem nome é casado com Bianca.

Podemos agora analisar as alternativas:

A) Falsa. De fato, Pedro comprou cinco livros a mais do que Cláud-ia enquanto Vítorcomprou quatro livros a mais que Cláudia; logo Pedro comprou um livro a mais do queVítor.

B) Falsa. Pedro é o marido de Lorena.C) Verdadeira. Como vimos em A), Pedro comprou um livro a mais do que Vitor. Como o

homem sem nome foi o que menos comprou livros, segue que Pedro foi o marido quecomprou o maior número de livros.

D) Falsa. Como Pedro comprou um livro a mais do que Vítor, segue que Lorena.comprouum livro a mais que Cláudia.

E) Falsa. Vitor é marido de Cláudia.