obtencao de indices de eficiencia

da Vinci , Curitiba, v. 3 , n. 1, p. 139-156, 2006 157157157157157

FERNANDO ALESSI, PEDRO JÚNIOR KOKOT E JÚLIO GOMES

OBTENÇÃO DE ÍNDICES DE EFICIÊNCIA PARA A METO-DOLOGIA DATA ENVELOPMENT ANALYSIS UTILIZANDO

A PLANILHA ELETRÔNICA MICROSOFT EXCEL

GIANCARLO DE FRANÇA AGUIARProfessor- Engenharia da Computação - UnicenP/Centro Universitário Positivo

[email protected]

BÁRBARA DE CÁSSIA XAVIER CASSINS AGUIARProfessora - Secretaria do Estado de Educação do Paraná

[email protected]

VOLMIR EUGÊNIO WILHELMCoordenador - Matemática Industrial - Universidade Federal do Paraná/UFPR

[email protected]

da Vinci , Curitiba, v. 3 , n. 1, p. 157-170, 2006

OBTENÇÃO DE ÍNDICES DE EFICIÊNCIA PARA A METODOLOGIA DATA ENVELOPMENT ...

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RESUMO

É crescente a utilização de recursos computacionais para o tratamento de dados, se-jam eles qualitativos ou quantitativos. O mercado exige agilidade e precisão neste tratamento.Portanto, foi inevitável o desenvolvimento acelerado de recursos computacionais direcionadosna resolução dos mais variados problemas, sejam eles de ordem econômica, administrativa,de engenharia ou industriais. Foi ilustrado neste trabalho como utilizar a planilha eletrônicaExcel para encontrar soluções otimizadas para problemas de programação linear, mais preci-samente na metodologia Data Envelopment Analysis – DEA que são um conjunto de variadosmodelos de programação linear, que foram desenvolvidos para encontrar índices de eficiênciapara organizações que executam atividades semelhantes. Foi utilizada a ferramenta do Excel“solver” na obtenção dos índices de um conjunto de empresas que utilizam dois insumos naconfecção de um produto. Estes resultados são de fundamental importância na construçãode estratégias e na busca por soluções que melhor servem aos objetivos dessas empresas.

Palavras-chave: Microsoft Excel, Índices de Eficiência Técnica, Data Envelopment Analysis.

ABSTRACT

The use of computational resources for data handling is increasing, they being qualitativeor quantitative. The market demands agility and precision in this treatment. Therefore, thedevelopment was inevitable of computational resources in the resolution for most problems,they can be of order economic, administrative, of engineering or industrials. It was illustratedin this work, an use the electronic spread sheet Excel to find optimized solutions for linearprogramming problems, more precisely in the Data Envelopment Analysis – DEAmethodology that are a set of models of linear programming, that had been developed tofind a the measurement of efficiency for organizations that execute similar activities. The wasused to tool of the Excel “solver” to attain the measurement of a set of companies who usetwo inputs in the confection of an product. These results are importance in the constructionof strategies and in the search for solutions that better serve the objectives of these companies.

Key words: Microsoft Excel, Measure in the Technical Efficiency, Data EnvelopmentAnalysis.

GIANCARLO DE F. AGUIAR, BÁRBARA DE CÁSSIA X. C. AGUIAR E VOLMIR E. WILHELM


1 INTRODUÇÃO

Cada vez mais o mercado globabilizado exige a utilização de recursos computacionaispara o tratamento de dados, sejam eles qualitativos ou quantitativos. O mercado exige agilida-de e precisão neste tratamento. Quando esta tarefa cabe a um ser humano, ele pode cometererros de precisão, e entrar em fadiga pelo excesso de trabalho. Pelo contrário, os computado-res modernos possuem excelente precisão e são muito mais rápidos que os seres humanos noprocessamento de grandes volumes de informações.

Portanto, foi inevitável o desenvolvimento acelerado de recursos computacionaisdirecionados à resolução dos mais variados problemas, sejam eles de ordem econômica, ad-ministrativa, de engenharia, industriais, entre outros, contribuindo de forma significativa paraa otimização dos mais variados processos. Um dos recursos comumente utilizados no trata-mento de dados é a planilha eletrônica Excel da Microsoft.

Mostraremos neste trabalho como utilizar a planilha eletrônica Excel (mais precisa-mente a ferramenta Solver) para encontrar soluções otimizadas para problemas de programa-ção linear. Os problemas de programação linear, por sua vez, são situações empresariais (pro-blemas de produção, alocamento de recursos, planejamento de pessoal, entre outros) quepodem ser descritos/modelados matematicamente de forma organizada através de funções eequações, podendo, assim, com suas soluções simular situações reais e encontrar alternativasjunto às necessidades das organizações.

A metodologia Data Envelopment Analysis – DEA são um conjunto de variados mode-los de programação linear, que foram desenvolvidos para encontrar índices de eficiência paraorganizações que executam atividades semelhantes.

Neste trabalho será ilustrada a utilização da ferramenta Solver do Excel na obtençãodos índices de eficiência segundo a metodologia DEA para um conjunto de empresas queutilizam dois insumos na confecção de um produto. Estes resultados são de fundamentalimportância na construção de estratégias, linhas de ação e na busca por soluções que melhorservem aos objetivos dessas empresas.

2 DESENVOLVIMENTO

O presente trabalho foi desenvolvido com dados de um conjunto de empresas dacidade de Curitiba. O texto pretende ilustrar a aplicação do Solver na obtenção dos índices de

OBTENÇÃO DE ÍNDICES DE EFICIÊNCIA PARA A METODOLOGIADATA ENVELOPMENT ANALYSIS UTILIZANDO A

PLANILHA ELETRÔNICA MICROSOFT EXCELGIANCARLO DE F. AGUIAR/ BÁRBARA DE CÁSSIA X. C. AGUIAR / VOLMIR E. WILHELM



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eficiência técnica para este conjunto de empresas segundo a metodologia Data EnvelopmentAnalysis, técnica de avaliação quantitativa, que pode prover informações importantes sobre autilização de recursos em organizações que executam atividades semelhantes.

2.1 A Metodologia Data Envelopment Analysis – DEA

Grandes avanços na área da mensuração da eficiência técnica de unidades de produ-ção ocorreram na década de 50 com os estudos de Koopmans e Debreu (1951) e posterior-mente Farrell em 1957. Farrell sugeriu como índice para a eficiência técnica, a razão entre aquantidade de um produto e de um insumo.

Em 1978 Charnes, Cooper e Rhodes-CCR estenderam os conceitos de Farrell e intro-duziram a metodologia Data Envelopment Analysis-DEA, modificando a medida anterior paramúltiplos produtos e insumos. Eles aprimoraram a medida da eficiência técnica, sugerindo arazão entre a soma ponderada das quantidades dos produtos pela soma ponderada das quan-tidades dos insumos.

Charnes, Cooper e Rhodes denominaram as unidades de produção de Decision MakingUnits-DMUs (Unidades Tomadoras de Decisão) e constataram como pressuposto importantepara a aplicação da metodologia DEA, que as DMUs avaliadas deveriam executar atividadessemelhantes.

Diversos modelos DEA foram desenvolvidos e novas aplicações surgiram, qualifican-do sua importância no meio científico. Atualmente a aplicação da metodologia DEA estáinserida na avaliação da eficiência técnica das mais diversas áreas: financeira, agrícola,agropecuária, educacional, saúde, transporte, entre outras.

Os principais resultados obtidos na aplicação de um modelo DEA são: i) Identifica oconjunto das DMUs eficientes (que determinam a fronteira de produção eficiente), bem comoseus escores de eficiência; ii) Fornece os índices de eficiência das DMUs ineficientes (as DMUsineficientes não estarão na fronteira de produção); iii) Com os escores obtidos, o gestor pode-rá identificar suas próximas metas, baseado nos programas já utilizados com sucesso nasDMUs eficientes; iv) Indica o conjunto de DMUs benchmarks (referência) de cada DMUineficiente. Baseados nestes resultados, os administradores destes sistemas podem gerenciarnovas tomadas de decisões com maior precisão.

A metodologia DEA estrutura-se segundo dois modelos seminais, conhecidos comoCCR devido a Charnes, Cooper e Rhodes e BCC desenvolvido por Banker, Charnes e Cooper.O modelo CCR faz a avaliação de eficiência técnica global, admite a possibilidade de retornosconstantes de escala, ou seja, se uma unidade avaliada aumentar os recursos em um dadonível, sua produção deverá aumentar na mesma proporção, assim como, se esta unidade dimi-nuir os recursos, sua produção deverá reduzir na mesma proporção. O escore de eficiência dak-ésima DMU será obtido na resolução do modelo CCR orientação produção como segue:

(1)

(2)



(3)

(4)

onde:

Este modelo tem como objetivo maximizar a produção utilizando a quantidade derecursos disponíveis, neste caso, expresso pela minimização do somatório dos insumos utili-zados multiplicado pelos seus pesos (equação (1)). A primeira restrição (equação (2)) é asubtração do somatório da multiplicação entre as quantidades produzidas e seus respectivospesos e o somatório da multiplicação entre os insumos utilizados e seus respectivos pesos. Olimite para esta restrição é 0 (zero). Para a segunda restrição (equação (3)), o somatório damultiplicação entre o total produzido e seus respectivos pesos para a k-ésima empresa é iguala 1 (um), logo, o mínimo resultado obtido possível para θk é 1 (resultado de DMUs eficientes).Caso contrário, se a DMU obtiver escore superior a 1 ela será identificada como ineficiente. A(equação (4)) representa a não-negatividade dos pesos. Na próxima subseção, é ilustrado umexemplo numérico da aplicação deste modelo desenvolvido na planilha eletrônica Excel.

O modelo BCC leva em consideração os retornos variáveis de escala, ou seja, se umaunidade avaliada aumentar, por exemplo, a quantidade de recursos utilizados, a sua produçãopoderá aumentar na mesma proporção, em menor ou maior proporção ao aumento dos re-cursos. O modelo linear BCC com orientação a produção, é:

(5)

onde:

Neste modelo foi inserida a variável vk nas equações (1) e (2), resultando respectiva-mente as equações (5) e (6). Este modelo representa os retornos variáveis de escala, podendoassumir tanto valores positivos quanto negativos. Os modelos CCR e BCC se diferem comrelação ao foco da medida de eficiência. Portanto, os escores de eficiência relativa podem ser

(6)



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distintos. A figura 1 a seguir, ilustra a projeção de uma DMU ineficiente P sobre as fronteirasde produção BCC e CCR.

A DMU A é eficiente (encontra-se na fronteira de produção) segundo o modelo CCR;A e B são eficientes segundo o modelo BCC; P é uma DMU que opera ineficientemente (poisnão se encontra em nenhuma fronteira de produção).

Os planos de produção Pc e Pv são as projeções, orientação produção, de P sobre asfronteiras CCR e BCC respectivamente, e indicam os níveis de produção que P deve obterpara operar eficientemente.

Figura 1 - Fronteiras de produção CCR e BCC.

Contudo, Pc e Pv são as metas (considerando diferentes retornos de escala) paraque a DMU P opere eficientemente, mantendo fixo o atual nível em consumo de recur-sos. Outra informação relevante é de que, considerando retornos constantes de escala,a DMU A é referência para P, enquanto que A e B são as referências para P se é consi-derado os retornos variáveis de escala (fronteira BCC).

2.2 Índices de Eficiência para o Conjunto de Empresas Segundo a MetodologiaDEA - Utilizando o Solver do Excel

Tabela 1 – Dados das 7 DMUs Analisadas.

Para este exemplo numérico serão utilizados dados de 7 DMUs, cada qual utili-zando dois insumos (número de empregados e quantidade de matéria-prima) na con-fecção de um produto (produção de chinelos). Nesta simulação será utilizada a planilha

Fonte: Kassai, Silvia [12] (modificado)



eletrônica Excel, mais precisamente uma de suas ferramentas (que permite a constru-ção de modelos lineares) denominada de Solver (que pode ser encontrada em ferramen-tas/ suplementos/ solver). A tabela 1 a seguir ilustra as DMUs em análise, a quantidadeconsumida de insumos e suas respectivas produções.

Neste exemplo será utilizado o modelo DEA-CCR orientado ao produto (1° modelodo artigo) . Com os dados da tabela anterior foi montada a planilha de análise como ilustra afigura 2 a seguir:

Figura 2 - Dados do exemplo.

A disposição dos dados na planilha eletrônica figuram como segue:

i. as colunas A, B, C e D contêm as DMUs em análise, o número de empregados,a quantidade de matéria-prima e a produção de chinelos respectivamente (paracada DMU).ii. a coluna F contém uma equação-célula para cada DMU, onde cada equação-célula é definida pela diferença entre a multiplicação do número de chinelos pelopeso u e a soma da multiplicação dos insumos pelos seus pesos vA e vB

(equação (2)), como exemplo a equação-célula (F4) que está

inserida na célula (F4) é definida da seguinte forma no excel =SOMA((D4*E15)-(B4*C15+C4*D15)).

iii. a célula (B14) contém a função a ser minimizada equação

(1), que no excel é =SOMA(B10*C15+C10*D15) representando o mínimo da somados insumos pelos seus pesos vA e vB.iv. as células (C15), (D15) e (E15) contêm os pesos vA , vB e u e são calculados pelomodelo para cada DMU analisada.



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v. a célula (B17) contém a restrição i. (equação (3)), que representa a

multiplicação entre a produção de chinelos e seu respectivo peso u, inserida daseguinte maneira no excel =SOMA(D10*E15).

Os passos seguintes ilustram os procedimentos realizados no Excel para a obten-ção dos índices de eficiência para as DMUs analisadas segundo a metodologia DEA:

i. na barra de ferramentas do excel, clicar em solver (caso não exista o item “solver” pode-se na mesma barra clicar em suplementos, surgirá uma nova janela, em seguida, procu-rar em suplementos disponíveis o item “solver” e incluí-lo na barra de ferramentas),aparecerá uma janela de preenchimento de dados (parâmetros do Solver) como ilustraa figura 3 abaixo.

ii. definir a célula de destino, que neste exemplo é a célula B(14).iii. em seguida, deve-se definir se o modelo linear é de Máximo ou Mínimo (sendo esteexemplo um modelo de Mínimo).iv. a seguir é necessário identificar quem são as células das variáveis, ou seja, as célulasque irão conter os valores dos pesos calculados pelo modelo (sendo neste caso ascélulas C(15), D(15) e E(15)).v. submeter as restrições do modelo que são:

a. o peso u multiplicado pela produção da DMU analisada deve ser igual a 1;b. os pesos u (célula E(15)), vA (célula C(15)) e vB (célula D(15)) devem assumirvalores maiores ou iguais a zero;c. e as equações-célula para cada DMU analisada devem ser menores ou iguais azero.

vi. O próximo passo é clicar em opções na mesma janela. Aparecerá então uma novajanela (opções do Solver) como ilustrado na figura 4.

Figura 3 -Parâmetros do Solver.



Figura 4 - Opções do Solver.

vii. presumir modelo linear nesta janela e em seguida clicar em OK (o que retornará àjanela anterior).viii. clicar em resolver, surgindo então a janela de resultados do Solver.

O modelo DEA deve ser resolvido para cada DMU em análise, sendo modificadassomente as fórmulas das células B(14) e B(17) que devem conter as quantidades da DMUanalisada. Utilizando a DMU (7) como análise, encontramos a solução do Solver, ilustrada nafigura 5 a seguir:

Figura 5 - Solução do Solver para a DMU (7).

A empresa (7) obteve como indice de eficiência o escore 1,89 ( ), sendoeste resultado superior à unidade (1,89>1) a empresa é considerada ineficiente. Analisando a



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coluna das equações de cada empresa chega-se à conclusão de que a DMU (5) é eficiente ereferência para a DMU ineficiente (7) pois obteve escore de equação-célula igual a zero. Pode-seobter um relatório de sensibilidade no Solver com sugestões de melhoria para a empresa considera-da ineficiente, no entanto, por questões de simplicidade não serão ilustrados neste artigo.

2.3 Observações aos Resultados da Aplicação – Estatística

Os índices de eficiência para as sete empresas analisadas no trabalho estão contidas natabela 2 a seguir. Segundo a metodologia DEA, e utilizando o modelo CCR-Produção, a únicaempresa que opera eficientemente é a DMU 5 (M.N.O.) que obteve escore igual à unidade.

As demais empresas têm condições de aumentar sensivelmente a sua produtividade, porexemplo, a DMU 3 (G.H.I.) que obteve escore igual a 1,233, pode aumentar em aproximadamentre23,3 % a sua produtividade para se tornar eficiente. Esta empresa deveria então se basear nosplanos de produção da DMU 5 para saltar para a fronteira de produção eficiente.

2.3.1 Estatística

Foi realizada neste trabalho a análise da existência de correlação entre as variáveis númerode empregados e a produção de chinelos nas empresas observadas. A figura 6 ilustra um gráfico debarras que representa as quantidades observadas.

Tabela 2 - Índices de Eficiência Técnica para as sete DMUs analisadas.

Figura - 6 Número de de empregados e a produção de chinelos.



A figura 7 ilustra um diagrama de dispersão para a análise.

Figura 7 - Diagrama de Dispersão entre o número de empregados e aprodução de chinelos.

Não podemos afirmar, simplesmente analisando o diagrama de dispersão acima, seexiste ou não uma correlação linear entre o número de empregados e a produção de chinelosnas empresas avaliadas, pois estaríamos nos baseando em percepção visual. Logo, utilizou-seo coeficiente de correlação linear e a tabela de Pearson (TRIOLA, 1999) para estruturar aanálise. O coeficiente de correlação linear y mede o grau de relacionamento linear entre osvalores emparelhados x e y em uma amostra.

(7)

onde:

r = coeficiente de correlação linear para uma amostran = representa o número de pares de dados presentesx = número de empregadosy = produção de chinelos

Aplicando os dados do exemplo proposto, encontramos:

r = 0,599

Devemos arredondar o coeficiente de correlação linear r em três casas decimais, paraque o seu valor possa ser comparado com os valores críticos da tabela de Pearson. Se o módulodo valor encontrado de r exceder o valor tabelar, concluímos que há correlação linear significa-tiva, caso contrário, não há evidência para a existência de uma correlação linear significativa.



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Recorrendo à tabela de Pearson, verificou-se que o valor r = 0,599 é inferior aosvalores tabelares, o que implica não existir correlação linear significativa entre o número deempregados e a produção de chinelos nas empresas analisadas. Portanto, para este trabalhonão foi realizada a análise de regressão, que, por definição, pressupõe a existência de correla-ção entre as variáveis analisadas.

3 CONCLUSÕES

- A planilha eletrônica Microsoft Excel pode ser uma poderosa aliada do pesquisador notratamento de dados. Neste texto foi ilustrada a utilização da ferramenta Solver naresolução de problemas de programação linear.- O Solver é um excelente instrumento para otimizar uma fórmula (função) que estásujeita a um conjunto de limitações (restrições). Fornece relatórios de sensibilidadecom soluções ideais para os problemas abordados. Ilustra os níveis de produção e deestoque de produtos que proporcionam o melhor lucro ou menor custo, ajudando naobtenção de um melhor gerenciamento de caixa.- O estudo ilustrou uma metodologia de análise quantitativa para avaliar organizaçõesque executam atividades semelhantes, fornecendo escores de eficiência para cada uni-dade avaliada com a utilização do Solver do Excel.- Através da comparação dos resultados pode-se identificar para as empresas ineficientesos ajustes que podem ser realizados de maneira a tornar essas organizações eficientes.- O trabalho identifica todas as DMUs ineficientes e eficientes, bem como indica den-tre as empresas aquelas que podem servir de referência para as ineficientes, com prá-ticas administrativas que resultam em bons resultados de produtividade.- Na aplicação do exemplo numérico citado no texto, concluiu-se que não existe cor-relação linear significativa entre número de empregados e a produção de chinelos nasempresas.



REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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