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MateMática e o início da civilizaçãoepisódio 4

Estudo do lançaMento

oblíquo assistido por coMputador

proFessoresanderson piFer Física

Juliano s. di siervo Matemática

apresentaçãoo documentário mostra que o desenvolvimen-to da civilização sempre foi acompanhado do desenvolvimento da Matemática, que, como disciplina escolar, unirá esforços junto com a Física para compor este trabalho de estudo do movimento. a tecnologia será um importante recurso para que alguns conteúdos abordados no documentário e ministrados tradicionalmen-te com base em “giz e lousa”, ganhem mais significado para ambas as disciplinas e, princi-

palmente, para os nossos alunos.

sinopse do prograMao documentário vai ao século XViii para mostrar a época em que a Europa se tornou o centro mundial do pensamento matemático. Nesta época, gran-des nomes como descartes, bernoulli, Newton e leibniz perceberam que para compreender como o mundo funciona, era preciso trabalhar com o que se move e encontrar meios matemáticos para ex-plicar os fenômenos da natureza. Nesse momento especial surgiu o Cálculo e a Matemática Moderna. os professores de Física e Matemática, convida-dos para desenvolverem um projeto interdisciplinar no programa “sala de Professor”, apresentaram uma proposta que utiliza desde a construção de rampas de madeira até a utilização de avançados

softwares disponíveis na internet.

sala de professor episódio 4: matemática e o início da civilização 3

uM olhar Para o doCuMENtário a Partir da MateMática

a partir do documentário é feita uma abordagem sobre Função polinomial de 1° e 2° graus e um estudo expe-rimental sobre a curva denominada cicloide. o projeto pode ser realizado na 1ª série do Ensino Médio, intro-duzindo funções ou com maior aprofundamento na 3ª série do Ensino Médio, trazendo a parametrização.

sugerimos que o professor de Matemática não deixe de abordar biografia de Descartes, um dos persona-gens do vídeo, resgatando seu aspecto humano para além do grande filósofo e matemático como também a relação dos problemas cotidianos que enfrentou com seus trabalhos futuros, como o plano cartesiano.

retrato de rené descartes (1596-1650).

entre o ângulo do canhão e a distância dos soldados inimigos. Nesse momento é afligido por um senti-mento de culpa, pois não queria ser responsável pela morte de pessoas. seu grande medo era descobrir “a verdade” sobre a balística e ser responsável por várias mortes, pois não erraria tiro algum. diante do dilema, optou pelo trabalho, e, como operador de canhão, falava o ângulo de inclinação para cada dis-tância do alvo anunciado pelos generais.

descartes nunca usou sua arma e sempre se ques-tionou sobre o motivo de matar os inimigos. Em meio a este conflito pessoal e ao viver um grande misticismo, ingressou na sociedade rosacruz, onde discutiu temas relacionados à transcendên-cia espiritual e à transmutação da prata em ouro.

Pensando na relação entre o ângulo de inclinação do canhão e o alcance da bala, o professor poderá iniciar o trabalho interdisciplinarmente com a Física, apresentando o lançamento oblíquo e suas equações.

o lançaMento oblíquo

o objetivo do trabalho com os alunos é o estudo do lançamento oblíquo e, tal como descartes, deter-minar como o alcance da bala de canhão varia em função do ângulo de inclinação do canhão. Este é um estudo clássico em Física que envolve concei-tos como movimento uniforme (Mu) e movimento uniformemente variado (MuV). a Matemática trará como suporte a trigonometria na decomposição de velocidades e na análise da função quadrática.

Como demonstraremos abaixo, a trajetória de qualquer corpo lançado com velocidade oblíqua em relação ao solo, desprezando a resistência do ar, é uma curva chamada parábola, tradução geométrica de uma função do segundo grau ou quadrática. lembramos que Galileu foi o primeiro a determinar esta curva com exatidão.

rené descartes, em certo período de sua vida, ente-diado com o cotidiano, buscava aventura. Procurava emprego querendo livrar-se da família, e em 10 de março de 1619 tornou-se soldado mercenário do exército de Maurício de Nassau. Na função de ope-rador de canhão, percebeu que existe uma relação

sala de professorepisódio 4: matemática e o início da civilização4

o desenho abaixo descreve a situação.

Como não há ação de força na horizontal, a aceleração nessa direção é nula e, portanto, a velocidade ho-rizontal vx é constante. Na direção vertical, a ação da gravidade provoca uma aceleração vertical constante e não nula. assim, nessa direção, a velocidade vy da bala varia de maneira uniforme.

decompondo a velocidade inicial do lançamento em termos de vx e vy, temos:

o movimento horizontal da bala em x é um Mu, a função horária da posição x = x0 + vxt. o movimen-to vertical da bala, em y, é um MuV, cuja função da posição é:

Para determinarmos a curva da trajetória, isto é, uma relação de y em função x, y(x), precisamos retirar a dependência das funções em relação ao tempo. Para isto, isolamos a variável t na primeira função horária e a substituímos na segunda.

cos(α) = VX => Vx = V0 .cos(α)

Vo

sen(α) = Vy => Vy = V0 .sen(α)

Vo

y = y0 + vyt + α.t2

2

x = x0 + vx t => x = 0 + v0 .cosα.t => t = x v0 .cosα

lembre-se de adotar a origem dos eixos ordena-dos na posição do canhão, assim x0 = y0 = 0.

Após a dedução da equação, leve os alunos ao laboratório de informática e valide os resultados utilizando o software de geometria dinâmica geo-gebra (criado pelo austríaco Markus hohenwarter, este é um software educativo e gratuito que busca integrar a geometria, com a álgebra, o cálculo, a estatística, e outros).

y = y0 + vy t + at2 => y = 0 + v0 .senα.t - gt2 =>

2 2

y = 0 + v0 .senα. x - g . x 2

V0 .cosα 2 V0 .cosα

y = x .tgα - gx2

2vo2.cos2α

decomposição do vetor velocidade da bala do canhão no momento do lançamento.


No campo de entrada do programa, digite os parâ-metros da equação da trajetória, por exemplo:

ainda no campo de entrada, digite a equação encontrada e varie o ângulo para observar os pos-síveis trajetos da bala de canhão.

etapas

Reflexão sobre a vida e obra de René Descartes;

aplicação dos conceitos matemáticos na de-dução da equação da trajetória de uma bala de canhão em função de seu ângulo de inclinação;

análise dos parâmetros encontrados.

Material

televisão e dVd ou Projetor Multimídia para transmissão do documentário;

Projetor Multimídia para explanação da História de René Descartes;

Laboratório de Informática para o trabalho com as equações da trajetória.

veJa Mais

Função quadrática. disponível em: <portaldoprofes-sor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=3072>.

GeoGebra. disponível em: <www.geogebra.org/cms>. acesso em 14 de novembro de 2012.

α = π ; v = 30; g = 10 4

, supondo lançamento a 45˚,

com velocidade inicial de 30m/s e aceleração da gravidade local de 10m/s2.

Tela do programa GeoGebra com o gráfico da trajetória para ; vo = 30 m/s; g = 10 m/s2.


etapas

Apresentação teórica do lançamento oblíquo;

Gravação e análise dos vídeos de objetos em movimento com o programa tracker.

Material

Computador;

Câmera de vídeo (máquina fotográfica, webcam, celulares etc.).

veJa Mais

disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=22741>.

disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=11673>.

tracker brasil. disponível em: <http://dafis.ct.utfpr.edu.br/tracker/>. acesso em 14 de novembro de 2012.

uM olhar Para o doCuMENtário a Partir da Física

a partir do documentário é feita uma abordagem a respeito do estudo do movimento em que são tra-tados conceitos de cinemática. Esse estudo será feito por meio da análise da gravação de vídeos de objetos em movimento pelo software Tracker, disponível gratuitamente na internet.

a análise feita com o software permite o acom-panhamento da evolução das grandezas físicas e a construção de gráficos em tempo real a partir da gravação do vídeo. Esta análise quantitativa é fundamental para a construção do conhecimento físico em atividades experimentais.

a realização de experimentos em aulas de Física mediados por tecnologias educacionais livres apre-sentam, em geral, flexibilidade de uso e baixo custo, compatíveis com a realidade educacional brasileira.

Esta atividade experimental de análise do mo-vimento pode ser aplicada nas três séries do Ensino Médio, sendo limitada apenas pelo tipo de movimento escolhido para o estudo. recomen-da-se o uso principalmente no 1º ano, em que, tradicionalmente, encontram-se os conteúdos de cinemática e dinâmica.

Como exemplo para o trabalho interdisciplinar, sugerimos a análise do movimento oblíquo, sen-do pré-requisito o conhecimento do movimento uniforme e uniformemente variado, bem como a decomposição de vetores.


uMa CoNVErsa ENtrE as disciplinas

Nesta atividade propomos o estudo do lançamen-to oblíquo. descrevemos, a seguir, a construção do lançador de projéteis e a utilização do progra-ma tracker para a análise desse movimento. Este trabalho pode ser realizado em grupos de alunos,

e cada grupo deverá construir o lançador de projé-teis e realizar a gravação e análise do movimento. os resultados obtidos podem ser confrontados para a posterior discussão e conclusões.

construção do lançador de proJéteis

apresentaremos apenas uma sugestão na construção do lançador de projéteis, mas sua confecção e os materiais utilizados dependerão da criatividade e da dedicação do professor ou do grupo de alunos, caso a tarefa seja solicita-da a eles.

Detalhes do tubo de PVC do e êmbolo móvel.

Neste lançador utilizamos um tubo de PVC de 2” de diâmetro e 22cm de comprimento. Nele foi feito um rasgo longitudinal de 4mm de largura por 13cm de comprimento. Na parte frontal do tubo e na mes-ma direção longitudinal do rasgo, foram colocados dois parafusos diametralmente opostos (figura a).

o êmbolo lançador foi feito com uma tampinha plástica (em vermelho na figura) com o mesmo diâmetro interno do tubo. deverão ser prendidos nele dois arames encurvados para trás (figura b), onde será preso o elástico ou a mola de tração. Em seu centro foi fixada uma haste cilíndrica de madeira de 18cm de comprimento e 6cm de diâ-metro (de cor preta nas figuras b e c), que servirá de puxador. o tubo foi fechado na extremida-de com outra tampinha plástica com um orifício central para a haste (figura c).

a base do lançador foi feita com placas de ma-deira de 1” de espessura (figura g e h), e o me-canismo articulador com tubos de PVC de 5/4” é constituído por três segmentos (figuras d). A par-te central é preparada para receber a base que fixará o lançador (figura f) com 10cm de compri-mento. os anéis das extremidades têm 4cm de comprimento e um rasgo na direção longitudinal para o encaixe no mecanismo central (figura e). Estes anéis serão fixados na base lateral de ma-deira em uma abertura feita para eles (figura h).


Um transferidor é fixado no eixo central de maneira para permitir a leitura do ângulo de inclinação (figura j).

A seguir são mostradas figuras com as partes a serem montadas e a fotografia do lançador pronto.

Detalhes do transferidor fixado no eixo central.

Esquema de montagem do lançador na base articulada.

detalhes da base.

detalhes da base articuladora do lançador.


procediMento experiMental

Como dissemos, o programa tracker permite re-alizar a análise de vídeos quadro a quadro, sendo possível o estudo de diversos tipos de movimen-tos a partir de filmes feitos com câmeras digitais ou telefones celulares. É um software livre ligado ao projeto open source Physics - relacionado ao desenvolvimento de programas com códigos abertos destinados ao ensino de Física.

um procedimento típico para o uso do tracker consiste na organização do experimento e na filmagem do movimento de interesse. Em se-guida, transfere-se o arquivo de vídeo para o programa (que deve estar previamente insta-lado no computador) e faz-se a marcação dos pontos quadro a quadro. os procedimentos necessários são explicados em detalhes nos manuais presentes no programa.

instalação do soFtware

Faça o download do programa Tracker gratui-tamente a partir do endereço disponível em: <http://www.cabrillo.edu/~dbrown/tracker/> e instale-o em seu computador.

captura do vídeo

O local para a filmagem é muito importante, e três fatores principais devem ser levados em conta: iluminação, plano de fundo e a cor do objeto a ser filmado. É importante que haja um bom contraste entre o objeto móvel (que pode ser uma bolinha ou um carrinho em miniatura, por exemplo) e o plano de fundo. durante a filmagem, recomenda-se que a câmera fique imóvel e com o campo de visão amplo, lem-brando que é possível filmar todo o movimen-to do objeto em estudo ou apenas detalhes das partes que interessam ao experimento.

as análises realizadas com o tracker têm como base dimensões espaciais (comprimentos, altu-ras, etc.) relativas e, para tal, é necessário colo-car um padrão de tamanho conhecido na cena de filmagem, uma régua, por exemplo. Ao rodar o programa, a visualização e a marcação de um comprimento padrão se fazem necessárias e este programa corresponderá a certa quantida-de de pixels no filme; é deste modo que o pro-grama pode estabelecer distâncias reais.

antes de executar o programa, o arquivo de ví-deo com o experimento deverá ter sido gravado.

execução do prograMa

Na sequência, será exposto um procedimento passo a passo para o uso do programa.

� Na tela inicial do tracker clique arquiVo, abrir e escolha o vídeo a ser carregado no programa;

� Na sequência, é necessário criar os eixos. Para isto, clique no ícone EiXos (em rosa na barra de ferramentas). É aconselhável que o ponto inicial do movimento coincida com a origem dos eixos. Assim, após clicar no ícone, basta mover os eixos até o ponto de interesse;

� ao lado direito do ícone dos EiXos, encon-tra-se o ícone Fita MÉtriCa (em azul). Para estabelecer o padrão de distâncias, deve-se clicar na fita métrica e arrastar as duas pon-tas da fita que surgirá na tela para as extre-midades do padrão de medida utilizado na filmagem (por exemplo, uma régua colocada no plano de fundo);

� Em seguida, deve-se ir ao ícone NoVo e criar um novo PoNto dE Massa. isto per-mitirá marcar as posições consecutivas do objeto em estudo;

� Na parte inferior da tela inicial, na extrema di-reita, encontra-se um ícone denominado CliP sEttiNGs, que serve para escolher o ponto inicial e final do vídeo a ser analisado e o “ta-manho do passo” dos frames (esta opção é importante caso a memória RAM do compu-tador seja pequena). Note que o intervalo tem-poral entre dois eventos depende do número de frames por segundo da máquina utilizada para as filmagens. Ao clicar em CLIP SET-tiNGs, pode-se selecionar os quadros inicial (start frame) e final (end frame) do movimento;

� Após demarcados o intervalo de tempo e os quadros a serem analisados,deve-se marcar cada ponto do vídeo. Para isto é preciso, a partir do início do movimento selecionado, segurar a tecla shift e clicar no ponto deseja-do. Este primeiro clique irá selecionar a posi-ção inicial. será criado, assim, o primeiro par de pontos (posição e tempo). Em seguida, o próximo quadro será mostrado e deve-se clicar (mantendo a tecla shift pressionada) no objeto, a fim de marcar o segundo pon-to. Este procedimento deve ser repetido para cada frame até o fim do movimento. Cada marcação irá produzir um par de pontos (po-sição e tempo). o conjunto destes pontos


será armazenado pelo programa, o que tornará possível a análise do movimento;

� Caso seja necessário, o botão direito do mouse dá acesso a um comando de zoom que pode auxiliar na visualização do objeto, tornando a marcação dos pontos mais precisa;

resultados obtidos

a imagem a seguir mostra a análise do movimento para um lançamento a um ângulo de 45º com a horizontal. utilizamos uma bolinha de tênis de mesa como projétil. Embora essa bola seja bastante leve, os resultados não foram comprometidos devido à resistência do ar, provavelmente por causa das pequenas velocidades envolvidas.

� Ao fim da marcação, o Tracker gera, à direita da tela, uma tabela e um gráfico com os da-dos. Estes dados poderão ser analisados com auxílio do próprio programa ou poderão ser exportados para outros aplicativos.

Ao clicar duas vezes sobre o gráfico, uma nova tela será mostrada. Nesta tela podemos utilizar a fun-ção Fit para que o programa faça uma curva de regressão linear, e Fit NaME para ajustar a melhor curva a ser esboçada.

tela principal da análise do movimento.

Tela de análise do gráfico.


análise dos resultados

tabela com resultados obtidos.

t x y

0,033 -0,002 0,002

0,067 -0,094 0,09

0,1 -0,203 0,185

0,133 -0,318 0,271

0,167 -0,433 0,341

0,2 -0,54 0,396

0,234 -0,641 0,436

0,267 -0,746 0,466

0,3 -0,85 0,483

0,334 -0,951 0,493

0,367 -1,048 0,485

0,4 -1,146 0,47

0,434 -1,243 0,444

0,467 -1,339 0,405

0,5 -1,434 0,359

0,534 -1,516 0,306

0,567 -1,609 0,238

0,601 -1,689 0,168

0,634 -1,785 0,074

0,667 -1,872 -0,027

A fim de estudar com mais detalhes o movi-mento gravado, analisaremos os gráficos e as funções criadas pelo programa para x(t), y(t) e y(x), em que x é a direção horizontal (note que a orientação padrão é positiva para a direita), e y é a direção vertical. A tabela e os gráficos são gerados diretamente pelo programa.

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1,0

-1,2

-1,4

-1,6

-1,8

x

t0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65

Gráfico x(t).

0,45

0,40

0,35

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0

y

t0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65

Gráfico y(t).

0,45

0,40

0,35

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0

v

x-1,8 -1,6 -1,4 -1,2 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2

Gráfico v(x).

análise Física e MateMática dos resultados

Esta etapa da atividade é uma ótima oportunidade para os professores de Física e Matemática mos-trarem a relação entre estas duas disciplinas. Em especial, optamos pela linguagem do cálculo ao nos referirmos às derivadas de uma função. Em-bora esta não seja uma abordagem convencional no Ensino Médio, sua inclusão poderia despertar interesse e motivação nos alunos.

Através do gráfico de x(t) nota-se a linearidade da função. a inclinação desta reta nos revela seu coeficiente angular, que também pode ser obtido derivando-se a função.

x(t) = -2,97t + 0,07 (em unidades do SI)

vx = dx = -2,97m/s dt


a interpretação física é de que essa derivada nos mostra a velocidade constante na direção horizontal. a resultante das forças nesta dire-ção é nula, e o movimento é uniforme. o sinal negativo desta velocidade se deve simples-mente ao referencial escolhido.

o alcance horizontal pode ser obtido fazendo y(t) = 0, para encontrar o instante final do mo-vimento e substituir este valor na função x(t):

a altura máxima atingida é de 0,486m e ocorre a 0,953m da origem.

a derivada segunda d2y/dt2 nos mostra o co-eficiente angular desta reta, fisicamente esta é a aceleração do projétil. Como nesta direção a resultante das forças é o próprio peso, a ace-leração do projétil é a aceleração do campo gravitacional g.

deMonstração da tautócrona e braquistócrona

y(t) = -5,02t2 + 3,46t - 0,11 = 0 => t = 0,671sx(t) = x(0,671) = -1,923m

o alcance horizontal é de 1,923m a partir da origem.

A direção vertical é representada pelo gráfico de y(t). Esta é uma função polinomial do 2º grau que mostra como y varia em função do tempo t. sua derivada primeira dy /dt nos for-nece uma função que expressa a inclinação da reta tangente a um dado ponto nesta curva.

y(t) = -5,02t2 + 3,46t - 0,11dy = vy = -10,04t + 3,46dt

y(x) = -0,57x2 - 1,07x

x = 1,065m

y(x) = y(1,065) = 0,493m

dy = -1,14x - 1,07 = 0dx

d2y = α = -10,04m/s2

dt2

y(t) = y(0,3446) = 0,486mx(t) = x(0,3446) = 0,953m

dy = vy = -10,04t + 3,46 = 0 => t = 0,3446sdt

Na interpretação física, a derivada primeira de y revela a velocidade do projétil na direção vertical. a altura máxima atingida pelo projétil pode ser obtida quando esta derivada é nula ou quando a velocidade nesta direção é igual a zero, assim que o projétil inverte o sentido do movimento.

Comparando esta aceleração obtida com o valor esperado g = 9,80m/s2 temos um erro de 2,45%.

também podemos estudar a curva obtida pelo gráfico y(x), que nos mostra a trajetória descrita pelo projétil no plano vertical. a partir de sua de-rivada, também obtemos a máxima variação da curva em função de x.

assim, por outra maneira, encontramos a altura máxima igual a 0,493m, que ocorre a 1,065m de distância da origem. Estes valores concordam mui-to bem com os resultados obtidos anteriormente.

Este software oferece incontáveis possibilidades de uso para a análise não só da cinemática do movimento, mas também da dinâmica envolvida.

outro assunto abordado no documentário foi a curva de nome braquistócrona. A história conta que o matemático suíço Jean bernouilli apresentou um problema que logo despertou o interesse de seus colegas. tratava-se de achar a forma de uma rampa para que uma partícula deslizasse por ela a partir do repouso

e sob a ação da gravidade gastando o menor tempo possível para atingir outro ponto mais baixo da trajetória. O problema foi espalhado por carta aos maiores matemáticos da época. descobrir qual é a curva que possui o tempo de descida mais curto é o mesmo que resolver o problema da braquistócrona.


a solução foi rapidamente encontrada por vá-rios deles, como leibniz, isaac Newton e os próprios irmãos Bernouilli. Todos indicaram que a curva mais rápida, ou braquistócrona (brakhisto = mais ligeiro, chronos = tempo), deveria ser um arco de cicloide.

a cicloide é uma curva muito interessante, que é a curva traçada por um ponto qualquer da borda de uma roda que rola sem deslizar por um plano horizontal. um exemplo da aplica-ção deste conceito pode ser encontrado nas pistas de skate.

a cicloide é também a solução de outra ques-tão interessante, o “problema da tautócrona” (tempo igual). Em uma curva deste tipo, se soltarmos duas esferas simultaneamente de duas alturas distintas, ambas chegarão ao ponto mais baixo da rampa ao mesmo tempo.

Para construir uma prancha com a braquistó-crona e/ou a tautócrona, basta reproduzi-las utilizando um software matemático - como o GeoGebra - traçá-las em material manipulável (como o isopor) e fazer a experiência utilizan-do esferas pequenas, como bolinhas de gude.Rampas braquistócrona e retilínea.

retilínea

braquistócrona

Construção da cicloide utilizando o software GeoGebra. tutorial da construção disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=Ktgt5nZGOM8>.


Materiallançador de projéteis

30cm de tubos de PVC 2” e 5/4”;

Placa de madeira 40X40cm;

Cola, tesoura, régua, lâmina de serra, elástico;

Computador;

Câmera de vídeo (máquina fotográfica, webcam, celulares etc.).

MaterialConstrução da braquistócrona

2 tábuas de madeira;

2 placas de isopor;

Cola, tesoura, régua, lâmina de serra;

Computador;

2 bolinhas de gude.

veJa Mais

lançamento oblíquo. disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=19764>;

Movimento de projétil. disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=11673>.

etapas

Exibição do vídeo;

apresentação conceitual e demonstração da braquistócrona;

Construção do lançador de projéteis;

Filmagem do lançamento;

Análise do movimento no computador;

discussão sobre os resultados.

Em uma placa de madeira são fixados dois “trilhos” de isopor. um deles na forma de uma reta e o outro na de uma cicloide (a braquistócrona). As pequenas esferas são mantidas nos pontos mais altos das curvas e liberadas ao mesmo tempo. Com o plano da prancha na vertical, o tempo de queda é muito curto e fica difícil observar qual das esferas chega primeiro. Pode-se, então, re-petir a experiência com a prancha inclinada, diluindo a aceleração e facilitando a obser-vação. Essa variação possibilita que o pro-fessor chame a atenção para o fato de que o resultado independe do valor da aceleração da gravidade. o experimento, se feito na lua, teria o mesmo desfecho. analogamen-te pode-se construir a tautócrona fazendo sua modelagem em isopor e fixando-a em uma tábua de madeira.

a avaliação pode ser feita individualmente ou em grupo, de acordo com o número de alunos na turma. Como esta atividade tem caráter efetivamente interdisciplinar, sugeri-mos que a avaliação seja feita contemplan-do alguns critérios: relatório do experimento com os resultados obtidos (textos gráficos e tabelas), organização no processo e cumpri-mento dos prazos.


sugestÕes dE lEitura E outros rECursos

BEZERA JR, A. G. et al. Videoanálise com o software livre Tracker no laboratório didático de Física: movimento parabólico e segunda lei de Newton. caderno brasileiro de ensino de Física. 29 (especial 1): p. 469-490, setembro de 2012.

CarValho, anna Maria P. (org.). ensino de ciências: unindo a pesquisa e a prática. são Paulo: Pioneira thompson learning, 2003.

dEsCartEs, rené. discurso do Método / Meditações. tradução por roberto leal Ferreira. são Paulo: Martin Claret, 2008.

FaMat em revista. Modelagem Matemática das pistas de skate. Minas Gerais: universidade Federal de uberlândia, n. 10, abril de 2008.

NÓbriGa, J. Cassio C. aprendendo Matemática com o geogebra. são Paulo: Editora Exato, 2010.

riCCiEri, aguinaldo Prandini. Matemáticos – vida e obra. Vol. 1. são Paulo: Ed. Prandiano.

SENA DOS ANJOS, A. J. As Novas Tecnologias e o Uso dos Recursos Telemáticos na Educação Científica: A Simulação Computacional na Educação em Física. caderno brasileiro de ensino de Física, v. 25, n. 3, p. 569-600.

livros e revistas

um documentário da tV Escola. um ponto de partida para grandes trabalhos com os alunos. assim é o sala de Pofessor. o progra-ma incentiva os professores de Ensino Médio a desenvolverem projetos que mudem a roti-na em sala de aula. Em cada programa, dois professores convidados criam um projeto a partir de documentários exibidos na tV Es-cola. são sempre propostas e experimentos inovadores, que podem ser reaplicados em qualquer escola do país.

os trabalhos apresentados são detalhados em dicas pedagógicas como essa e ficam disponíveis no site da tV Escola. os profes-sores também podem usar as artes criadas para o programa: são animações, tabelas, mapas e infográficos que tornam os con-teúdos mais visuais e interativos. as dicas pedagógicas e as computações gráficas fo-ram transformadas em fascículos interativos para tablets. E o professor também pode navegar pelo material extra do programa no blog do sala. Para ter acesso a esses pro-dutos, acesse o site tvescola.mec.gov.br ou curta a fan page da tV Escola no Facebook.

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