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I Simpoacutesio Latino-Americano de Didaacutetica da Matemaacutetica 01 a 06 de novembro de 2016

Bonito - Mato Grosso do Sul - Brasil

O PERCURSO DO ENSINO DE AacuteLGEBRA NO ENSINO

FUNDAMENTAL UMA ANAacuteLISE A PARTIR DA TEORIA

ANTROPOLOacuteGICA DO DIDAacuteTICO

Marcia Aguiar

Universidade Federal do ABC-UFABC Brasil

marciaaguiarufabcedubr

Elio Carlos Ricardo

Universidade de Satildeo Paulo ndash USP Brasil

elioricardouspbr

Resumo Em pesquisas voltadas agrave formaccedilatildeo de professores de matemaacutetica encontramos relatos de professores

que natildeo se sentem seguros para ensinarem aacutelgebra Isso se deve agraves falhas na sua formaccedilatildeo tanto na

Escola Baacutesica quanto no Ensino Superior Acreditamos que isso pode prejudicar tanto a escolha do

material didaacutetico de apoio para as suas aulas quanto a sua reflexatildeo diante da sua praacutetica pedagoacutegica

Neste trabalho queremos apresentar como a Teoria Antropoloacutegica do Didaacutetico pode ser uma

ferramenta importante para esse professor analisar um livro didaacutetico e refletir sobre sua praacutetica

pedagoacutegica Para isso analisamos o percurso do ensino de aacutelgebra em um livro didaacutetico nos anos

finais do Ensino Fundamental agrave luz da Teoria Antropoloacutegica do Didaacutetico Com o auxiacutelio desta teoria

compreenderemos como o livro desenvolve o pensamento algeacutebrico Assim percebemos como a

coleccedilatildeo precisa da intervenccedilatildeo do professor para cumprir o objetivo de formaccedilatildeo a que se propocircs

Com este tipo de anaacutelise o professor pode compreender a proposta de ensino do livro didaacutetico e

perceber as lacunas existentes neste percurso Desta maneira conseguimos mostrar que ferramentas de

anaacutelise como esta satildeo importantes e necessaacuterias de serem estudadas na formaccedilatildeo inicial do professor

de matemaacutetica

Palavras-chave Ensino de Aacutelgebra Pensamento Algeacutebrico Teoria Antropoloacutegica do Didaacutetico Livro

Didaacutetico

Introduccedilatildeo

Encontramos na literatura pesquisas como Zazkis e Liljedahl (2002) Oliveira (2008) e

Santos (2007) que revelam que a formaccedilatildeo dos professores em aacutelgebra eacute deficitaacuteria O

trabalho de Zazkis e Liljedahl (2002) identificou que os professores conseguiam encontrar as

regularidades e discutir o problema algebricamente poreacutem tinham dificuldades de encontrar

uma expressatildeo algeacutebrica para representar o que eles estavam discutindo Oliveira (2008) ao

analisar o trabalho de professores em formaccedilatildeo destaca a dificuldade destes em ensinar como

se escreve uma expressatildeo algeacutebrica a partir de uma generalizaccedilatildeo

Ao entrevistar professores de matemaacutetica acerca de suas formaccedilotildees em aacutelgebra Santos

(2007) verificou que eles apresentavam uma insatisfaccedilatildeo com a sua formaccedilatildeo tanto na escola



baacutesica quanto no Ensino Superior A partir dessas pesquisas acreditamos que o professor de

forma geral percebe quando sua formaccedilatildeo eacute insuficiente entatildeo muitas vezes prefere copiar e

aceitar sem discussatildeo a proposta de ensino estipulada no livro a usar seus conhecimentos

adquiridos nas suas praacuteticas Ao mesmo tempo sabemos que mesmo que exista essa

obediecircncia cega ao percurso proposto pelo livro didaacutetico o professor atua como mediador

entre o livro didaacutetico e o aluno entatildeo um novo processo de didatizaccedilatildeo sempre ocorre

Mas temos que aceitar que muitas vezes o livro didaacutetico eacute o mais proacuteximo ou o

uacutenico material de apoio para a preparaccedilatildeo das aulas da maioria dos professores

Consequentemente o livro didaacutetico acaba sendo um grande divulgador de ideias saberes

matemaacuteticos e concepccedilotildees Por isso analisar e refletir sobre a concepccedilatildeo de ensino de aacutelgebra

presente nos livros didaacuteticos pode auxiliar na formaccedilatildeo inicial e continuada do professor

Objetivo e problema

Em Aguiar (2014) analisamos o percurso de didatizaccedilatildeo da aacutelgebra nos livros

didaacuteticos nos anos finais do Ensino Fundamental a luz da Teoria Antropoloacutegica do Didaacutetico

(TAD) Como resultado encontramos distintas didatizaccedilotildees que buscavam desenvolver o

pensamento algeacutebrico Em cada coleccedilatildeo analisada ficou evidente a necessidade da atuaccedilatildeo do

professor sob o material didaacutetico para que o livro tivesse o seu objetivo alcanccedilado

Nogueira (2008) tambeacutem utilizou a TAD para questionar se uma das fontes das

dificuldades da aprendizagem em aacutelgebra natildeo seria fruto de como a aacutelgebra estaacute sendo

ensinada aos alunos A autora analisou o capiacutetulo de equaccedilatildeo de 1ordm grau do livro do 7ordm ano do

Ensino Fundamental de trecircs coleccedilotildees aprovadas no PNLD-2008 Ela observou as praxeologias

existentes em relaccedilatildeo agrave tarefa de resolver a equaccedilatildeo de 1ordm grau e levantou os momentos de

estudos apresentados nos livros Nas trecircs anaacutelises Nogueira (2008) verifica que os autores

natildeo completam as praxeologias da tarefa de resolver a equaccedilatildeo de 1ordm grau

Em outra pesquisa Bittar e Silva (2009) analisaram trecircs livros didaacuteticos do 9ordm ano do

Ensino Fundamental escolhidos entre os aprovados do PNLD-2006 e PNLD-2008 Com a

TAD eles verificaram que havia muitas similaridades no processo de didatizaccedilatildeo dos trecircs

livros didaacuteticos em relaccedilatildeo agrave determinaccedilatildeo das raiacutezes (da soluccedilatildeo) de uma equaccedilatildeo de 2ordm grau

Os livros natildeo deixavam expliacutecito o discurso tecnoloacutegico-teoacuterico relativo agraves teacutecnicas utilizadas

Em Bittar Freitas e Pais (2014) encontramos outras pesquisas que utilizaram a TAD

para analisar tanto o material didaacutetico quanto as praacuteticas pedagoacutegicas Percebemos com esses

trabalhos o quanto essa teoria foi capaz de responder as perguntas destas pesquisas Entatildeo



para analisar esse percurso utilizaremos a TAD pois acreditamos que esta teoria eacute uma

interessante ferramenta de anaacutelise de materiais didaacuteticos e de praacuteticas pedagoacutegicas

Assim pretendemos responder as seguintes perguntas Como o livro desenvolve o

pensamento algeacutebrico Quais satildeo as praxeologias existentes no percurso do ensino de

aacutelgebra Como podemos identifica-las Desta maneira teremos um conjunto de anaacutelises para

refletir sobre o quanto as praxeologias incompletas podem gerar problemas na aprendizagem

da aacutelgebra na formaccedilatildeo do aluno

Ensino de aacutelgebra e pensamento algeacutebrico

Barbosa e Borralho (2009) afirmam que o que ainda prevalece no ensino de aacutelgebra eacute

o desenvolvimento de um conjunto de teacutecnicas operatoacuterias que busca apenas resolver

equaccedilotildees Mas como disse Usiskin (1994) o ensino de aacutelgebra natildeo deve ser soacute isso e sim

deve estar pautado em algumas concepccedilotildees tais como a aacutelgebra deve ser ensinada como uma

aritmeacutetica generalizada e mais que isso como um meio para resolver problemas natildeo

esquecendo que o ensino de aacutelgebra eacute um estudo de relaccedilotildees e que na proacutepria aacutelgebra em si

existem estruturas e propriedades dessas estruturas

Para desenvolvermos esse ensino de aacutelgebra segundo Usiskin (1994) precisamos

construir o conhecimento algeacutebrico que vai aleacutem de estudar as regras e procedimentos de

resoluccedilatildeo Precisamos compreender a aacutelgebra e seus conceitos precisamos desenvolver o

conhecimento algeacutebrico Neves (1995) nos ajuda a entender o que estava chamando de

pensamento algeacutebrico ao afirmar que

Como toda forma de conhecimento o conhecimento algeacutebrico eacute tambeacutem um

produto cultural construiacutedo no processo de ensino e aprendizagem a partir

de um conhecimento humano jaacute existente Para se construir um

conhecimento deste tipo seraacute preciso pensar algebricamente Chamaremos de

pensamento algeacutebrico esta intenccedilatildeo ou forma de pensar que possibilite a

construccedilatildeo de um conhecimento algeacutebrico (NEVES 1995 p 1-2)

Ou seja para construir esse conhecimento algeacutebrico precisamos desenvolver uma

forma de pensar que favoreccedila essa construccedilatildeo Para essa forma de pensar usaremos a

expressatildeo pensamento algeacutebrico Pensando dessa maneira o ensino de aacutelgebra deveria ter

como objeto de estudo o pensamento algeacutebrico e entatildeo o desenvolvimento do uso da

linguagem algeacutebrica seria uma consequecircncia intencional desse estudo Como dizem

Fiorentini Miguel e Miorim (1993)



Essa relaccedilatildeo de subordinaccedilatildeo do pensamento algeacutebrico agrave linguagem

desconsidera o fato de que tanto no plano histoacuterico quanto no pedagoacutegico a

linguagem eacute pelo menos em princiacutepio a expressatildeo de um pensamento

(FIORENTINI MIGUEL e MIORIM 1993 p 85)

Para Arcavi (2006) faz parte do pensamento algeacutebrico a conceitualizaccedilatildeo e a aplicaccedilatildeo

da generalidade a ideia de variabilidade e a estruturaccedilatildeo do pensamento algeacutebrico atraveacutes de

uma simbologia Na mesma direccedilatildeo para Barbosa e Borralho (2009) salientam que o

pensamento algeacutebrico

diz respeito agrave simbolizaccedilatildeo (representar e analisar situaccedilotildees matemaacuteticas

usando siacutembolos algeacutebricos) ao estudo de estruturas (compreender relaccedilotildees

e funccedilotildees) e agrave modelaccedilatildeo Implica conhecer compreender e usar os

instrumentos simboacutelicos para representar o problema matematicamente

aplicar procedimentos formais para obter um resultado e poder interpretar e

avaliar esse resultado (BARBOSA e BORRALHO 2009 p 1)

A importacircncia do desenvolvimento do pensamento algeacutebrico aparece tambeacutem nos

documentos oficiais Os PCN ressaltam que

Embora nas seacuteries iniciais jaacute se possa desenvolver alguns aspectos da

aacutelgebra eacute especialmente nas seacuteries finais do ensino fundamental que as

atividades algeacutebricas seratildeo ampliadas Pela exploraccedilatildeo de situaccedilotildees-

problema o aluno reconheceraacute diferentes funccedilotildees da aacutelgebra (generalizar

padrotildees aritmeacuteticos estabelecer relaccedilatildeo entre duas grandezas modelizar

resolver problemas aritmeticamente difiacuteceis) representaraacute problemas por

meio de equaccedilotildees e inequaccedilotildees (diferenciando paracircmetros variaacuteveis

incoacutegnitas tomando contato com foacutermulas) compreenderaacute a ldquosintaxerdquo

(regras para a resoluccedilatildeo) de uma equaccedilatildeo (BRASIL 1998 p 50-51)

Como percebemos tanto na literatura quanto nos documentos oficiais o ensino de

aacutelgebra deveria estar mais pautado na construccedilatildeo de um pensamento algeacutebrico Por isso

assumimos que o pensamento algeacutebrico deveria ser objeto de ensino da escola baacutesica e que as

atividades propostas nos materiais didaacuteticos deveriam ser meios para desenvolver uma forma

de pensar que desenvolva o conhecimento algeacutebrico Nesse sentido o pensamento algeacutebrico

deve se tornar uma orientaccedilatildeo transversal do curso de matemaacutetica (BARBOSA e

BORRALHO 2009) e natildeo somente um conteuacutedo especiacutefico de matemaacutetica do Ensino

Fundamental

A teoria antropoloacutegtica do didaacutetico



A TAD nasce apoacutes algumas criacuteticas feitas agrave Transposiccedilatildeo Didaacutetica Uma das criacuteticas

que surgiram foi em relaccedilatildeo ao saber ensinado por estar somente associado ao saber saacutebio

mesmo sabendo que todo o processo de transposiccedilatildeo tem influecircncia de todos os entes

envolvidos no processo de ensino (a noosfera)

A TAD de Chevallard (1999) defende que a atividade matemaacutetica e por conseguinte

a atividade do estudo da matemaacutetica insere-se em um conjunto mais amplo de atividades

humanas e de instituiccedilotildees sociais A base da TAD admite que toda atividade humana realizada

pode descrever-se com um modelo que se resume aqui com a palavra praxeologia O

significado etimoloacutegico dessa palavra eacute o logos da praacutexis Para Chevallard (1999) a

praxeologia pode ser empregada para entender a atividade matemaacutetica e tambeacutem para

entender as accedilotildees humanas Chevallard (1999) estrutura a praxeologia em um conjunto

formado pela Tarefa T Teacutecnica τ Tecnologia θ e Teoria Θ ou seja o conjunto [ T τ θ Θ]

Essa praxeologia eacute uma ldquoorganizaccedilatildeordquo estruturada em dois blocos distintos o bloco

praacutetico-teacutecnico [ T τ] o qual pode ser entendido como o saber-fazer e o bloco tecnoloacutegico-

teoacuterico [θ Θ] relacionado ao saber ou melhor a um discurso loacutegico que permite justificar o

bloco praacutetico-teacutecnico Assim Chevallard (1999) declara que um saber para ser ensinado

precisa conter uma praxeologia ou seja todo saber para ser ensinado tem que ter um conjunto

de tarefas teacutecnicas tecnologias e teorias

Para Chevallard (1999) tudo o que eacute solicitado para uma pessoa fazer e mediado por

verbos seraacute uma tarefa [T] Assim tarefa evoca uma accedilatildeo determinada Para o autor tarefas

natildeo satildeo dadas pela natureza elas satildeo as construccedilotildees institucionais cuja reconstruccedilatildeo em tal

instituiccedilatildeo por exemplo em uma sala de aula eacute um problema em si o qual eacute objeto de estudo

da didaacutetica Para Chevallard (1999) uma instituiccedilatildeo I eacute um conjunto de sujeitos que ocupam

posiccedilotildees distintas Os sujeitos pertencentes a I acabam por ter as mesmas formas de fazer e

pensar Como exemplo de uma instituiccedilatildeo temos a sala de aula (as duas posiccedilotildees dentro de I

satildeo a de professor e a de aluno) Se um tipo de tarefa eacute dado entatildeo essa tarefa estaacute relacionada

com alguma maneira de realizaacute-la Essa maneira de fazer eacute o que Chevallard (1999) chamou

de teacutecnica [τ] Neste sentido a teacutecnica eacute o saber-fazer Em uma instituiccedilatildeo I Chevallard nos

diz que podem existir vaacuterias teacutecnicas relativas a um tipo de tarefa e todas aceitas por I mas

essas teacutecnicas podem ao mesmo tempo natildeo serem aceitas em outras instituiccedilotildees A junccedilatildeo de

[T] com [τ] constitui o bloco praacutetico-teacutecnico [Tτ] nesse caso um saber fazer

Para cada teacutecnica [τ] sempre podemos justificar racionalmente seu uso Essa

justificativa eacute chamada por Chevallard (1999) de tecnologia [θ] Na TAD o termo tecnologia



[θ] tem o significado da proacutepria palavra ndash o logos da teacutecnica (tekhnecirc) pois aqui o termo

significa um discurso racional que busca esclarecer determinada teacutecnica justificar seu uso e

sua eficiecircncia A tecnologia [θ] serviraacute para justificar explicar tornar inteligiacutevel a teacutecnica [τ]

A tecnologia vai dizer porque a teacutecnica funciona Aleacutem disso a tecnologia de certa teacutecnica

poderaacute auxiliar a produzir novas teacutecnicas A tecnologia [θ] tambeacutem poderaacute exigir explicaccedilotildees

justificativas o que se poderia chamar de tecnologia da tecnologia A essas explicaccedilotildees e

justificativas da tecnologia Chevallard (1999) chamou de teoria [Θ]

A teoria [Θ] eacute um discurso mais amplo que serve para interpretar e justificar a

tecnologia Esse discurso possui alto niacutevel de abstraccedilatildeo e generalizaccedilatildeo Chevallard (1999)

ressalta que em alguns casos uma instituiccedilatildeo busca em outra instituiccedilatildeo a justificativa de

uma tecnologia supostamente a detentora da teoria [Θ] A tecnologia e a teoria formam o par

denominado bloco tecnoloacutegico-teoacuterico [θ Θ] estritamente ligado ao saber

A TAD tambeacutem traz uma leitura proacutepria para a palavra estudo e o processo que o

permeia O estudo aqui eacute caracterizado pela ldquoideia de fazer qualquer coisa com o fim de

aprender qualquer coisa (saber) ou de aprender a fazer qualquer coisa (saber-fazer)rdquo

(CHEVALLARD 1999 p 15) Esse processo de estudo pode ser modelado por uma

praxeologia ou por uma organizaccedilatildeo didaacutetica

Chevallard (1999) defende que toda organizaccedilatildeo praxeoloacutegica ou organizaccedilatildeo didaacutetica

articula-se em tipos de tarefas teacutecnicas tecnologias e teorias Esse processo de estudo de uma

organizaccedilatildeo didaacutetica ou matemaacutetica pode se estruturar de diferentes maneiras Mesmo assim

constata-se que em qualquer caminho que seja seguido sempre haveraacute certos tipos de

situaccedilotildees que estaratildeo necessariamente presentes Chevallard (1999) chama esses tipos de

situaccedilotildees de momentos de estudo ou momentos didaacuteticos

A atividade de estudo eacute descrita entatildeo pela teoria dos momentos didaacuteticos ou

momentos de estudos A TAD concebe o processo de estudo a partir de seis momentos que

natildeo necessariamente seguem determinada ordem podendo ocorrer ao mesmo tempo e em

diversos instantes do processo Os momentos satildeo

1ordm Momento primeiro encontro representa o primeiro contato que um grupo de

estudo (que pode ser uma uacutenica pessoa) tem com a organizaccedilatildeo em jogo

2ordm Momento exploratoacuterio a partir do tipo de problema ou tipo de tarefa que estaacute

sendo estudado vaacuterias tarefas (do problema em questatildeo) satildeo trabalhadas Esse momento

permite o surgimento de pelo menos uma teacutecnica para solucionar o problema proposto

3ordm Momento trabalho da teacutecnica marca o instante de trabalho da teacutecnica visa a

obter seu domiacutenio e a determinar sua precisatildeo validade e alcance Pode provocar



modificaccedilotildees e ampliaccedilotildees da teacutecnica ou o surgimento de uma nova teacutecnica ou ainda

despertar a necessidade de explicaccedilotildees tecnoloacutegicas e teoacutericas sobre a teacutecnica

4ordm Momento tecnoloacutegico-teoacuterico quando eacute necessaacuterio explicar e justificar a(s)

teacutecnica(s) envolvida(s) no estudo do tipo de problema (tipo de tarefa) em questatildeo

5ordm Momento institucionalizaccedilatildeo quando a organizaccedilatildeo praxeoloacutegica e todos os

seus componentes satildeo oficializados de acordo com a instituiccedilatildeo em que se desenvolve a

atividade em questatildeo Passa-se de um estaacutegio ldquoinformalrdquo para um estaacutegio ldquoformalrdquo

6ordm Momento avaliaccedilatildeo momento em que se coloca agrave prova o domiacutenio que se tem de

determinada organizaccedilatildeo e que pode ser vivido de forma individual ou coletiva

Vale ressaltar que ao situar esses momentos de estudo no ambiente escolar estes natildeo

satildeo restritos ao trabalho do professor e nem ao trabalho realizado somente na sala de aula

pois eles podem acontecer com o professor antes e depois das aulas e com os alunos fora da

sala de aula (CHEVALLARD 1999)

Por fim destacamos que os momentos de estudos satildeo tratados como vivecircncias

necessaacuterias para que um indiviacuteduo consiga dominar determinado conhecimento De acordo

com a TAD a partir da vivecircncia desses seis momentos o indiviacuteduo consegue construir a

praacutexis e o logos sobre o conhecimento em questatildeo

Metodologia de trabalho

Para a escolha do material analisamos os dez livros de matemaacutetica aprovados no

Programa Nacional de Avaliaccedilatildeo de Livros Didaacuteticos de 2011 (PNLD-11) realizado pelo

Ministeacuterio da Educaccedilatildeo do Brasil Esse programa produz o Guia de Livros Didaacutetico PNLD-

2011 um material que apresenta as anaacutelises feitas por especialistas das aacutereas em relaccedilatildeo aos

livros aprovados Esse Guia eacute referecircncia para todos os professores do paiacutes escolherem seus

livros Os livros escolhidos pelos professores da rede puacuteblica satildeo comprados pelo governo

federal e distribuiacutedos nas escolas

Apoacutes analisarmos o Guia verificamos que poderiacuteamos separar os livros em duas

categorias segundo o nosso olhar diante da anaacutelise feita pelo Guia Na primeira selecionamos

seis livros que estavam mais voltados para o ensino de regras e procedimentos enquanto que

na segunda tiacutenhamos quatro livros que buscavam metodologias diferentes de ensino e que

privilegiavam a compreensatildeo dos conceitos e significados

Para este trabalho escolhemos o livro mais representativo dentro da segunda

categoria Isto porque esse livro proporciona um percurso de didatizaccedilatildeo um pouco diferente



dos demais Ele estaacute mais voltado agrave compreensatildeo dos conceitos e se preocupa em desenvolver

o pensamento algeacutebrico Acreditamos que este seja o material mais adequado para evidenciar

o potencial da nossa ferramenta de anaacutelise a TAD Assim analisaremos o livro Matemaacutetica ndash

Imenes amp Lellis de Luiz Marcio Imenes e Marcelo Lellis Para isso vamos analisar os

capiacutetulos destinados ao ensino de aacutelgebra ao longo de toda a coleccedilatildeo

Com a TAD vamos esquematizar a praxeologia existente em cada grupo de tarefas

semelhantes e verificar como outros elementos como teacutecnica tecnologia e teoria satildeo

trabalhados no decorrer das atividades propostas Conjuntamente a essa analisaremos os

momentos de estudo de cada conjunto de tarefas Assim poderemos avaliar se as praxeologias

estatildeo sendo desenvolvidas de maneira completa ou natildeo sabendo-se que quando uma

praxeologia natildeo eacute completada isso pode ocasionar falhas no ensino resultando em falhas na

aprendizagem Com isso analisaremos o quanto o ensino de cada conceito favorece ou natildeo o

desenvolvimento do pensamento algeacutebrico

Anaacutelise dos Dados

O percurso do ensino de aacutelgebra dessa coleccedilatildeo se destaca por ter apostado em uma

organizaccedilatildeo diferente da proposta usual O ensino formal da aacutelgebra inicia-se no 6ordm ano com o

estudo dos padrotildees aritmeacuteticos e geomeacutetricos O trabalho com equaccedilotildees e sistemas de

equaccedilotildees de 1ordm grau eacute desenvolvido ao longo do 7ordm e 8ordm anos O caacutelculo algeacutebrico tatildeo

enfatizado no 8ordm ano estaacute dividido entre o 8ordm e o 9ordm anos Os autores acreditam que essas

mudanccedilas possam facilitar a aprendizagem dos alunos

Nesse trabalho apresentaremos o percurso do ensino de aacutelgebra por meio de

atividades que representam esse caminho Apresentaremos uma tabela com a praxeologia e os

momentos de estudos referentes agrave atividade citada

As tabelas satildeo formadas por quatro colunas A primeira eacute destinada agraves tarefas (T) a

segunda agraves teacutecnicas (τ) referentes agravequelas tarefas na terceira aparece as tecnologias (θ) e as

teorias (Θ) e na uacuteltima coluna aparece apenas o nuacutemero indicando o momento de estudo

referente agraves tarefas estipuladas na primeira coluna Na terceira coluna as tecnologias (θ) e as

teorias (Θ) estatildeo colocadas juntas apenas para facilitar a visualizaccedilatildeo o bloco tecnoloacutegico-

teoacuterico Pois nem sempre elas estaratildeo sendo desenvolvidas no mesmo conjunto de Tarefas

As tarefas satildeo numeradas Quando uma tarefa eacute repetida colocamos a mesma

numeraccedilatildeo (Ti) para enfatizar que ela estaacute sendo repetida As teacutecnicas seguem a numeraccedilatildeo da

tarefa ou seja quando uma teacutecnica estaacute relacionada com a tarefa ela possui o mesmo nuacutemero



(τi) Quando aparece uma nova tarefa que seraacute resolvida por uma teacutecnica jaacute utilizada a tarefa

receberaacute a numeraccedilatildeo e no lugar da teacutecnica repetiremos a numeraccedilatildeo da teacutecnica jaacute

conhecida As tecnologias e teorias teratildeo uma numeraccedilatildeo proacutepria porque elas podem natildeo ser

desenvolvidas ou seratildeo desenvolvidas em um conjunto maior de tarefas e teacutecnicas A uacuteltima

coluna como jaacute mencionamos teraacute apenas o nuacutemero representando o momento de estudo

relacionado a cada tarefa As tabelas de cada capiacutetulo na iacutentegra estatildeo em Aguiar (2014)

Apresentaremos exemplos significativos que ilustram o percurso do ensino de aacutelgebra

da coleccedilatildeo A Figura 1 eacute uma atividade que caracteriza a proposta do livro do 6ordm ano na qual

haacute o desenvolvimento da observaccedilatildeo do padratildeo e da descoberta de uma generalizaccedilatildeo com o

apoio da discussatildeo e da escrita em liacutengua corrente dessa generalizaccedilatildeo Conjuntamente com

esse processo a escrita algeacutebrica vai se desenvolvendo Assim a linguagem algeacutebrica estaacute

sendo desenvolvida de acordo Fiorentini Miguel e Miorim (1993) como a expressatildeo de um

pensamento

Figura 1 Imenes amp Lellis 2010 6ordm ano p 260



Quadro 1 As praxeologias e os momentos de estudo da Figura 1

Tarefas Teacutecnicas Tecnologia e Teoria M E

(T3) Relacionar a

quantidade de cadeiras e

mesas quando essas

mesas estatildeo unidas

formando uma fila

(T5) Escrever em

linguagem matemaacutetica

as operaccedilotildees descritas

em liacutengua corrente

(metade dobro etc)

(τ2) Observar os desenhos para

estabelecer as relaccedilotildees

(τ5) Substituir os valores

desconhecidos e as operaccedilotildees

por letras e siacutembolos

respectivamente para escrever a

frase em linguagem algeacutebrica

(θ1) Percepccedilatildeo da

regularidade

(Θ1) Relaccedilatildeo entre duas

grandezas que variam

(θ2) Relaccedilatildeo da liacutengua

corrente com a linguagem

algeacutebrica

(Θ2) A aacutelgebra como

generalizaccedilatildeo da aritmeacutetica

1ordm

e

2ordm

Com o estudo da praxeologia desta atividade percebemos que o objetivo do capiacutetulo eacute

observar o padratildeo existente em cada caso particular e iniciar o processo de percepccedilatildeo da

regularidade (θ1) e escrevecirc-la em linguagem algeacutebrica (θ2) Para alcanccedilar esse objetivo o

texto apresenta as tarefas como a (T3) que mostram casos nos quais existe um padratildeo

numeacuterico ou geomeacutetrico e que ele pode ser observado com a teacutecnica (τ2) Aqui temos o 1deg

momento de estudo com os padrotildees numeacutericos ou geomeacutetricos

Como um 2ordm momento de estudo o capiacutetulo apresenta tarefas como a (T5) na qual

auxilia o aluno a escrever as generalizaccedilotildees numeacutericas ou geomeacutetricas em linguagem

algeacutebrica usando a teacutecnica (τ5) Assim os alunos podem relacionar a linguagem algeacutebrica com

as outras linguagens percebendo como a expressatildeo algeacutebrica pode representar o contexto (θ2)

Ao longo desse capiacutetulo as tecnologias (θ1) e (θ2) e as teorias (Θ1) e (Θ2) estatildeo sendo

desenvolvidas de maneira impliacutecita Com o desenvolvimento intuitivo da teoria (Θ1)

conseguimos perceber que o conceito de variaacutevel tambeacutem estaacute sendo desenvolvido de maneira

intuitiva A aacutelgebra como generalizaccedilatildeo da aritmeacutetica estaacute desenvolvida em casos particulares

e de maneira intuitiva essa relaccedilatildeo ainda natildeo estaacute sendo verbalizada nas atividades

Como representante do 7ordm ano temos a Figura 2 e as praxeologias no Quadro 2



(T24) Escrever a expressatildeo

algeacutebrica de uma

sequecircncia de bolinhas

(τ20A) Estabelecer a relaccedilatildeo entre

duas grandezas

(τ20B) Usar a ideia de equivalecircncia

para escrever a generalizaccedilatildeo

(θ5) Conceito de

variaacutevel

3ordm

Com o objetivo de desenvolver a ideia de variaacutevel (θ5) o texto apresenta vaacuterias tarefas

como a (T24) na qual aparece contextos em que duas grandezas estatildeo sendo relacionadas As

teacutecnicas dessas tarefas compreendem em estabelecer a relaccedilatildeo entre essas grandezas (τ20A) e



usa a ideia de equivalecircncia para escrever a generalizaccedilatildeo em linguagem algeacutebrica (τ20B) Aqui

se configura um 3ordm momento de estudo pois temos um aprofundamento para perceber na

escrita das tarefas a generalizaccedilatildeo e escrevecirc-la com a ideia de equivalecircncia

Assim a coleccedilatildeo retoma a ideia de padrotildees e comeccedila a generalizar as relaccedilotildees com

isso continua-se a desenvolver a ideia intuitiva de variaacutevel Por enquanto a programaccedilatildeo para

a aquisiccedilatildeo do conceito de variaacutevel eacute desenvolver a ideia somente intuitiva Podemos verificar

as anaacutelises observando a Figura 2

Figura 2 Imenes amp Lellis 2010 7ordm ano p217



Paralelamente a esse trabalho o caacutelculo algeacutebrico tambeacutem vai sendo desenvolvido

como uma necessidade de operaccedilatildeo nas generalizaccedilotildees encontradas

A Figura 3 representa os problemas que satildeo apresentados nos livros do 8ordm e 9ordm anos

As atividades satildeo baseadas em resoluccedilotildees de problemas nas quais exigem a interpretaccedilatildeo de

textos e o uso da generalizaccedilatildeo para escrever a expressatildeo algeacutebrica Como vemos na Figura 3




(T54) Entender a deduccedilatildeo

da foacutermula do custo da

aacutegua consumida

(T55) Resolver problemas

(τ8) Escrever em linguagem algeacutebrica

relaccedilotildees geomeacutetricas

(τ55) Deduzir a foacutermula relacionando

com o que foi feito em (T54)

(θ9) Relaccedilatildeo da

liacutengua escrita com a

linguagem algeacutebrica

(para deduzir as

foacutermulas)

1ordm

3ordm

No problema da Figura 3 o contexto estaacute representado geometricamente para que a

relaccedilatildeo algeacutebrica possa ser encontrada assim pode-se deduzir a foacutermula que eacute escrever a

relaccedilatildeo entre o nuacutemero total T de plantas em um terreno retangular de m metros por n metros

Nesse problema (Figura 3) o exemplo pode nos remeter a foacutermula que resulte na operaccedilatildeo

o que natildeo resolve os itens a e b Isso pode se tornar um desafio e o professor

poderia aproveitaacute-lo como um momento de discussatildeo

Ao que nos parece o capiacutetulo tem o objetivo de mostrar que os caacutelculos algeacutebricos satildeo

ferramentas para resolver equaccedilotildees e foacutermulas Para isso o texto inicia apresentando a tarefa

(T54) que busca mostrar para o aluno como se deduz uma foacutermula e a resolver problemas (T55)

que tambeacutem precisem interpretar a situaccedilatildeo (τ8) para deduzir a foacutermula (τ55) ou seja escrever

a generalizaccedilatildeo daquela situaccedilatildeo



A tarefa (T55) desenvolve o 3ordm momento de estudo pois ao desenvolver a teacutecnica de

deduzir a foacutermula (τ55) ou seja encontrar a generalizaccedilatildeo o texto estaacute aprofundando a

resoluccedilatildeo de problemas e ao mesmo tempo estaacute usando uma teacutecnica mais aprofundada para

encontrar generalizaccedilotildees proveniente da teacutecnica (τ2) que foi iniciada no livro do 6ordm ano Figura

1 e depois no livro do 7ordm ano Figura 2 foram desenvolvidas as teacutecnicas (τ20A) e (τ20B)

Ao analisarmos os livros do 8ordm e 9ordm anos percebemos que existiu um predomiacutenio dos

1ordm 2ordm e 5ordm momentos de estudos pois os livros estavam destinados ao ensino de

procedimentos de caacutelculos algeacutebricos ou resoluccedilatildeo de equaccedilotildees foacutermulas e sistemas de

equaccedilotildees Mas natildeo deixou de desenvolver a tecnologia em alguns momentos

Conclusotildees

Nessa anaacutelise percebemos que o percurso do ensino da aacutelgebra possui dois momentos

distintos o primeiro relativo aos livros do 6ordm e 7ordm anos e o segundo aos dois uacuteltimos livros da

coleccedilatildeo

No primeiro o objetivo eacute favorecer a percepccedilatildeo dos padrotildees em diferentes contextos

Vaacuterios tipos de tarefas foram desenvolvidos com teacutecnicas relacionadas agrave observaccedilatildeo dos

padrotildees Essas teacutecnicas sempre visavam agrave percepccedilatildeo das regularidades para encontrar as

generalizaccedilotildees desses padrotildees com o objetivo final de desenvolver a escrita algeacutebrica dessas

generalizaccedilotildees O percurso desses dois livros leva o aluno a pensar nas justificativas das

teacutecnicas utilizadas ou seja nas tecnologias

Existe nesse percurso uma intenccedilatildeo em desenvolver o bloco tecnoloacutegico-teoacuterico mas

isso ainda acontece de forma subentendida nas atividades sem uma formalizaccedilatildeo Isso ocorre

porque nesses livros haacute um predomiacutenio dos 1ordm 2ordm e 3ordm momentos de estudos

No segundo momento que satildeo os livros dos 8ordm e 9ordm anos comeccedila a aparecer agrave

institucionalizaccedilatildeo dos conceitos ou seja o 5ordm momento de estudos Os capiacutetulos contecircm

mais textos nos quais se apresentam as definiccedilotildees e os procedimentos de resoluccedilotildees das

equaccedilotildees sistemas e orientaccedilotildees para as resoluccedilotildees de problemas Em todos os textos

aparecem agraves justificativas e as explicaccedilotildees de cada resoluccedilatildeo (4ordm momento de estudos)

Assim a construccedilatildeo do pensamento algeacutebrico que estava mais voltada para a discussatildeo e

percepccedilatildeo sem ter uma formalizaccedilatildeo mais evidente encontra esse processo nos dois uacuteltimos

anos do Ensino Fundamental



Percebemos que ao longo de todo o percurso as praxeologias satildeo construiacutedas e

desenvolvidas Com esse trabalho conseguimos vislumbrar alguns materiais pedagoacutegicos

com outros percursos de didatizaccedilotildees para o ensino formal de aacutelgebra

Se cada professor antes de escolher o seu material didaacutetico fizesse essa anaacutelise

poderia ter mais paracircmetros para escolher o material que mais se adeacutequa a sua concepccedilatildeo de

ensino e ao projeto social de sua escola

Mesmo esse trabalho natildeo tratar diretamente da formaccedilatildeo dos professores de

matemaacutetica permitimo-nos destacar que durante a formaccedilatildeo inicial ou continuada dos

professores de matemaacutetica oferecer instrumentos teoacutericos de anaacutelise dos materiais didaacuteticos

como a Transposiccedilatildeo Didaacutetica parece-nos de fundamental importacircncia

Referecircncias bibliograacuteficas

AGUIAR M O Percurso da Didatizaccedilatildeo do Pensamento Algeacutebrico no Ensino Fundamental

uma anaacutelise a partir da Transposiccedilatildeo Didaacutetica e da Teoria Antropoloacutegica do Didaacutetico Tese

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Moderna 2010


Moderna 2010


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Vitoacuteria 2007

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2002



baacutesica quanto no Ensino Superior A partir dessas pesquisas acreditamos que o professor de

forma geral percebe quando sua formaccedilatildeo eacute insuficiente entatildeo muitas vezes prefere copiar e

aceitar sem discussatildeo a proposta de ensino estipulada no livro a usar seus conhecimentos

adquiridos nas suas praacuteticas Ao mesmo tempo sabemos que mesmo que exista essa

obediecircncia cega ao percurso proposto pelo livro didaacutetico o professor atua como mediador

entre o livro didaacutetico e o aluno entatildeo um novo processo de didatizaccedilatildeo sempre ocorre

Mas temos que aceitar que muitas vezes o livro didaacutetico eacute o mais proacuteximo ou o

uacutenico material de apoio para a preparaccedilatildeo das aulas da maioria dos professores

Consequentemente o livro didaacutetico acaba sendo um grande divulgador de ideias saberes

matemaacuteticos e concepccedilotildees Por isso analisar e refletir sobre a concepccedilatildeo de ensino de aacutelgebra

presente nos livros didaacuteticos pode auxiliar na formaccedilatildeo inicial e continuada do professor

Objetivo e problema

Em Aguiar (2014) analisamos o percurso de didatizaccedilatildeo da aacutelgebra nos livros

didaacuteticos nos anos finais do Ensino Fundamental a luz da Teoria Antropoloacutegica do Didaacutetico

(TAD) Como resultado encontramos distintas didatizaccedilotildees que buscavam desenvolver o

pensamento algeacutebrico Em cada coleccedilatildeo analisada ficou evidente a necessidade da atuaccedilatildeo do

professor sob o material didaacutetico para que o livro tivesse o seu objetivo alcanccedilado

Nogueira (2008) tambeacutem utilizou a TAD para questionar se uma das fontes das

dificuldades da aprendizagem em aacutelgebra natildeo seria fruto de como a aacutelgebra estaacute sendo

ensinada aos alunos A autora analisou o capiacutetulo de equaccedilatildeo de 1ordm grau do livro do 7ordm ano do

Ensino Fundamental de trecircs coleccedilotildees aprovadas no PNLD-2008 Ela observou as praxeologias

existentes em relaccedilatildeo agrave tarefa de resolver a equaccedilatildeo de 1ordm grau e levantou os momentos de

estudos apresentados nos livros Nas trecircs anaacutelises Nogueira (2008) verifica que os autores

natildeo completam as praxeologias da tarefa de resolver a equaccedilatildeo de 1ordm grau

Em outra pesquisa Bittar e Silva (2009) analisaram trecircs livros didaacuteticos do 9ordm ano do

Ensino Fundamental escolhidos entre os aprovados do PNLD-2006 e PNLD-2008 Com a

TAD eles verificaram que havia muitas similaridades no processo de didatizaccedilatildeo dos trecircs

livros didaacuteticos em relaccedilatildeo agrave determinaccedilatildeo das raiacutezes (da soluccedilatildeo) de uma equaccedilatildeo de 2ordm grau

Os livros natildeo deixavam expliacutecito o discurso tecnoloacutegico-teoacuterico relativo agraves teacutecnicas utilizadas

Em Bittar Freitas e Pais (2014) encontramos outras pesquisas que utilizaram a TAD

para analisar tanto o material didaacutetico quanto as praacuteticas pedagoacutegicas Percebemos com esses

trabalhos o quanto essa teoria foi capaz de responder as perguntas destas pesquisas Entatildeo





































































Fundamental



























































































































































pensamento






(T3) Relacionar a


mesas quando essas


formando uma fila

(T5) Escrever em




(metade dobro etc)









regularidade





algeacutebrica



1ordm

e

2ordm























duas grandezas



(θ5) Conceito de

variaacutevel

3ordm


























aacutegua consumida









(para deduzir as

foacutermulas)

1ordm

3ordm























Conclusotildees



coleccedilatildeo





































48 2006



08022009













221-265 1999







Moderna 2010


Moderna 2010


Moderna 2010


Moderna 2010





1995



GrandeMS 2008









Vitoacuteria 2007






2002





































































Fundamental



























































































































































pensamento






(T3) Relacionar a


mesas quando essas


formando uma fila

(T5) Escrever em




(metade dobro etc)









regularidade





algeacutebrica



1ordm

e

2ordm























duas grandezas



(θ5) Conceito de

variaacutevel

3ordm


























aacutegua consumida









(para deduzir as

foacutermulas)

1ordm

3ordm























Conclusotildees



coleccedilatildeo





































48 2006



08022009













221-265 1999







Moderna 2010


Moderna 2010


Moderna 2010


Moderna 2010





1995



GrandeMS 2008









Vitoacuteria 2007






2002


























































































































































pensamento






(T3) Relacionar a


mesas quando essas


formando uma fila

(T5) Escrever em




(metade dobro etc)









regularidade





algeacutebrica



1ordm

e

2ordm























duas grandezas



(θ5) Conceito de

variaacutevel

3ordm


























aacutegua consumida









(para deduzir as

foacutermulas)

1ordm

3ordm























Conclusotildees



coleccedilatildeo





































48 2006



08022009













221-265 1999







Moderna 2010


Moderna 2010


Moderna 2010


Moderna 2010





1995



GrandeMS 2008









Vitoacuteria 2007






2002





(T3) Relacionar a


mesas quando essas


formando uma fila

(T5) Escrever em




(metade dobro etc)









regularidade





algeacutebrica



1ordm

e

2ordm























duas grandezas



(θ5) Conceito de

variaacutevel

3ordm


























aacutegua consumida









(para deduzir as

foacutermulas)

1ordm

3ordm























Conclusotildees



coleccedilatildeo





































48 2006



08022009













221-265 1999







Moderna 2010


Moderna 2010


Moderna 2010


Moderna 2010





1995



GrandeMS 2008









Vitoacuteria 2007






2002























aacutegua consumida









(para deduzir as

foacutermulas)

1ordm

3ordm























Conclusotildees



coleccedilatildeo





































48 2006



08022009













221-265 1999







Moderna 2010


Moderna 2010


Moderna 2010


Moderna 2010





1995



GrandeMS 2008









Vitoacuteria 2007






2002












Conclusotildees



coleccedilatildeo





































48 2006



08022009













221-265 1999







Moderna 2010


Moderna 2010


Moderna 2010


Moderna 2010





1995



GrandeMS 2008









Vitoacuteria 2007






2002




















48 2006



08022009













221-265 1999







Moderna 2010


Moderna 2010


Moderna 2010


Moderna 2010





1995



GrandeMS 2008









Vitoacuteria 2007






2002







Moderna 2010


Moderna 2010


Moderna 2010


Moderna 2010





1995



GrandeMS 2008









Vitoacuteria 2007






2002

o percurso do ensino de Álgebra no …ladima.tuseon.com.br/uploads/file_manager/source...único...

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