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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUIMICA E DE PETROLEO

BRUNA WENDHAUSEM ENNE

GABRIEL GUISCAFRE MACHADO

O MODELO LES E AS FERRAMENTAS DE

GERACAO DE TURBULENCIA NAS

CONDICOES DE CONTORNO DE ENTRADA

Niteroi

1/2020

BRUNA WENDHAUSEM ENNEGABRIEL GUISCAFRE MACHADO

O MODELO LES E AS FERRAMENTAS DE GERACAO

DE TURBULENCIA NAS CONDICOES DE CONTORNO

DE ENTRADA

Projeto Final apresentado ao Curso de Gra-duacao em Engenharia Quımica, oferecido pelodepartamento de Engenharia Quımica e dePetroleo da Escola de Engenharia da Universi-dade Federal Fluminense, como requisito par-cial para obtencao do Grau de Bacharel emEngenharia Quımica.

Orientador: Prof. Ph.D. Roger Matsumoto MoreiraCoorientador: M.Sc. Thiago Ferreira Bernardes Bento

Niteroi1/2020

Ficha catalográfica automática - SDC/BEEGerada com informações fornecidas pelo autor

Bibliotecário responsável: Sandra Lopes Coelho - CRB7/3389

M149m Machado, Gabriel Guiscafré O Modelo LES e as Ferramentas de Geração de Turbulêncianas Condições de Contorno de Entrada / Gabriel GuiscafréMachado, Bruna Wendhausem Enne ; Roger Matsumoto Moreira,orientador ; Thiago Ferreira Bernardes Bento, coorientador.Niterói, 2020. 63 f. : il.

Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em EngenhariaQuímica)-Universidade Federal Fluminense, Escola deEngenharia, Niterói, 2020.

1. Fluidodinâmica computacional. 2. Escoamento turbulento.3. Produção intelectual. I. Enne, Bruna Wendhausem. II.Moreira, Roger Matsumoto, orientador. III. Bento, ThiagoFerreira Bernardes, coorientador. IV. Universidade FederalFluminense. Escola de Engenharia. V. Título.

CDD -

Agradecimentos

Bruna e Gabriel

Agradecemos ao Prof. Roger Moreira e ao Me. Thiago Bento pela orientacao nesse

trabalho e em muitos outros realizados no Laboratorio de Fluidodinamica Computacional da

Universidade Federal Fluminense;

aos professores Joao Felipe Mitre e Gabriel Nascimento, por aceitarem prontamente

participar da banca examinadora;

a Universidade Federal Fluminense e a todos os professores com os quais tivemos a

oportunidade de aprender ao longo dessa jornada;

a Petrobras, pelo incentivo financeiro e por colaborar para a escolha do tema;

ao Jose Mantovani, pelo auxılio e pelo esclarecimento de todas as nossas duvidas sobre

a utilizacao do modelo LES;

a todos os amigos que fizemos nos ultimos cinco anos, em especial a Gabriela, ao

Fernando, ao Luiz Guilherme, a Ana Carolina, a Angela, a Taina, a Julia, a Bruna Pimentel,

ao Pedro, a Isabela e ao Matheus.

Bruna

Agradeco primeiramente aos meus pais, Ana Beatriz e Luiz Eduardo, aos meus irmaos,

Daniel e Eduardo, e a minha cunhada, Kathelen, que foram fundamentais para o desenvol-

vimento desse trabalho em tempos de pandemia;

aos meus avos, Terezinha, Maria Lucia, Lena e Antonio Jose, cujos exemplos me

inspiram diariamente;

ao meu namorado, Daniel Pimentel, obrigada pelo companheirismo e por todas as

revisoes feitas a esse texto;

a minha tia Ana Lucia, pela paciencia ao me explicar normas tecnicas pelo telefone;

a Erica Nogueira, por todos os anos de convıvio engajados na extensao universitaria,

crucial para a minha formacao;

e a toda a minha famılia e amigos, pelo apoio e pelos momentos compartilhados que

me permitiram chegar ate aqui.

Gabriel

Agradeco a minha famılia e aos meus amigos por sempre me apoiarem, em especial a

minha mae, Maria Madalena, ao meu pai, Carlos Leandro e ao meu irmao, Carlos Eduardo.

Resumo

O alto custo computacional do modelo Large Eddy Simulation (LES) torna, para muitas

geometrias, inviavel atingir a dimensao ou a duracao necessarias para um regime plenamente

turbulento. E, portanto, crucial que a turbulencia seja imposta ja na entrada do domınio. A

condicao de contorno do inlet deve ser fiel a realidade, sem, no entanto, ser complexa demais

para ser resolvida. Seus componentes precisam variar estocasticamente, inclusive nas escalas

inferiores a filtragem realizada pelo LES, sendo ainda compatıveis com as equacoes de Navier-

Stokes. Sao diversas as tecnicas disponıveis para a geracao de tais condicoes de contorno. Nos

metodos de simulacao precursora, os fenomenos de turbulencia sao computados anteriormente

ou paralelamente a simulacao principal e, em seguida, introduzidos ao domınio na regiao de

entrada, podendo ainda serem redimensionados. Os metodos de sıntese, no entanto, nao

necessitam de simulacoes anexas, pois os fenomenos de turbulencia sao gerados pelo proprio

inlet, como uma especie de flutuacao aleatoria combinada ao escoamento medio. O presente

trabalho pretende realizar uma revisao teorica acerca dos metodos de geracao de turbulencia

na entrada do domınio disponıveis no ANSYS Fluent para tubulacoes. Inicialmente, uma

revisao na literatura foi realizada com o objetivo de efetuar uma compilacao teorica para as

tecnicas de turbulencia, adicional ao Guia Teorico disponibilizado pela ANSYS. Em seguida,

como complementacao, uma geometria simples de uma tubulacao foi simulada utilizando

o LES com tres componentes de entrada distintos: No Perturbations (sem perturbacoes),

Spectral Synthesizer (baseado na Tecnica de Fourier) e Vortex Method (baseado no Metodo

dos Vortices). Por fim, diferentes respostas para os campos de velocidades foram obtidas para

secoes distintas da tubulacao de acordo com as tecnicas de geracao de turbulencia empregadas

nas condicoes de contorno de entrada. O Vortex Method apresentou maior mudanca nos perfis

de velocidade com relacao a um ponto especıfico ao longo da tubulacao, alem de uma curva

de flutuacoes mais proxima a esperada para uma simulacao com Direct Numerical Simulation

(DNS) em comparacao as outras duas abordagens. Nessas, houve menor desenvolvimento da

turbulencia no domınio estudado, evidenciando um perfil de velocidade na regiao de saıda

semelhante ao inserido na entrada.

Palavras-chave: Fluidodinamica Computacional; Large Eddy Simulation; Turbulencia; Condicoes

de Contorno de Entrada.

Abstract

Large Eddy Simulation model’s exacerbated computational cost turns it challenging for many

geometries to reach the length or the duration needed for a fully turbulent flow. In those cases,

turbulence needs to be inserted at the domain inflow. The inlet boundary condition must

be as accurate as possible, without being too complex to be solved. Its components must be

stochastically varying, including on scales down to the filter scale provided by LES, and also

be compatible with the Navier–Stokes equations. There are plenty of available techniques

that generate these boundary conditions. In the Precursor Simulation methods, the turbulent

phenomena are computed previously or in parallel to the main simulation, scaled, and then

introduced at the domain through the inlet. The Synthesised Turbulence methods, however,

do not need any attached simulations, because the turbulent phenomena are generated by the

inlet, as a kind of random fluctuation combined with the mean flow. This paper intends to

analyze the inlet turbulence generation methods available at ANSYS Fluent for pipes. Firstly,

by conducting a literature review, a theoretical compilation of the turbulence generation

techniques available in Fluent was written. Secondly, to support the review, a simple pipe

geometry was simulated using LES with three distinct inlet components: No Perturbations,

Spectral Synthesizer (based on the Fourier Technique), and Vortex Method. Finally, different

results for the velocity field were obtained for distinct pipe sections, according to the inlet

turbulence generation techniques. The Vortex Method showed a greater change in the velocity

profiles between points throughout the pipe and also a fluctuation curve more similar to the

expected from a DNS simulation compared to the other two approaches. In those, there was

a poorer turbulence development in the studied domain, revealing a velocity profile similar

in both inlet and outlet planes.

Keywords: Computational Fluid Dynamics; Large Eddy Simulation; Turbulence; Inlet Con-

ditions.

Lista de ilustracoes

Figura 1 – Decomposicao da velocidade em regime turbulento . . . . . . . . . . . . 16

Figura 2 – Um estiramento na direcao z produz estiramentos menores nas direcoes x

e y, que produzem estiramentos ainda menores nas direcoes vizinhas . . . 18

Figura 3 – Volume de controle para as Leis de Conservacao . . . . . . . . . . . . . . 19

Figura 4 – Fluxo de massa atraves do volume de controle . . . . . . . . . . . . . . . 20

Figura 5 – Representacao das forcas aplicadas na direcao x para um volume de controle 22

Figura 6 – Espectro de energia em funcao do numero de onda . . . . . . . . . . . . 27

Figura 7 – Esquema espacial da malha de corte, no qual ∆ e equivalente ao tamanho

da malha computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Figura 8 – Similaridade de Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Figura 9 – Tensoes turbulentas na regiao submalha e na regiao de teste . . . . . . . 33

Figura 10 – Apos atingir um estado de turbulencia, um perfil de velocidade em um

plano da simulacao auxiliar e copiado e inserido na corrida principal . . . 39

Figura 11 – Modelos espectrais de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Figura 12 – Esquema do Metodo dos Vortices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Figura 13 – Velocidade instantanea na direcao do escoamento (a) com Metodo dos

Vortices no inlet, (b) com Metodo dos Vortices no outlet e (c) com uma

simulacao precursora periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Figura 14 – Perfil de velocidade media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Figura 15 – Perfil de velocidade RMSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Figura 16 – Disposicao da malha na face de entrada o domınio . . . . . . . . . . . . . 52

Figura 17 – No Perturbations : perfil de velocidade instantanea no inlet (esquerda), na

metade do comprimento do trecho reto (centro) e no outlet (direita) . . . 52

Figura 18 – No Perturbations : perfil de velocidade media na direcao do escoamento . 53

Figura 19 – No Perturbations : perfil de velocidade RMSE . . . . . . . . . . . . . . . 54

Figura 20 – Vortex Method : perfil de velocidade instantanea no inlet (esquerda), na

metade do comprimento do trecho reto (centro) e no outlet (direita) . . . 54

Figura 21 – Vortex Method : perfil de velocidade media na direcao do escoamento . . 55

Figura 22 – Vortex Method : perfil de velocidade RMSE . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Figura 23 – Spectral Synthesizer : perfil de velocidade instantanea no inlet (esquerda),

na metade do comprimento do trecho reto (centro) e no outlet (direita) . 56

Figura 24 – Spectral Synthesizer : perfil de velocidade media na direcao do escoamento 57

Figura 25 – Spectral Synthesizer : perfil de velocidade RMSE . . . . . . . . . . . . . . 57

Lista de abreviaturas e siglas

CFD Computational Fluid Dynamics

DNS Direct Numerical Simulation

DSRFG Discretizing and Synthesizing Random Flow Generation

EDP Equacao Diferencial Parcial

LES Large Eddy Simulation

RANS Reynolds-averaged Navier-Stokes

RFG Random Flow Generation

RMSE Root-mean-square Error

UFF Universidade Federal Fluminense

Lista de sımbolos

Aij Tensor de transformacao ortogonal

Cd Constante de Smagorinsky dinamica

Cs Constante de Smagorinsky

Cw Constante do Modelo WALE

Cε, Ck Constantes do Modelo Dinamico de Energia Cinetica

e Taxa de dissipacao no filtro de teste

E Numero de elementos na face de entrada

E(k) Espectro de energia

fi Contribuicoes das forcas de campo

k Energia Cinetica Turbulenta (por unidade de massa)

kc Numero de onda de corte

kSGS Energia cinetica turbulenta de submalha

kteste Energia cinetica de teste

knj Vetores de numero de onda

L Comprimento caracterıstico do escoamento

Lm Escala de comprimento

Ls Comprimento de mistura para escalas de submalha

Lij Tensoes turbulentas das escalas resolvidas

N Numero de vortices na face de entrada

p Pressao instantanea

P Pressao media

p Pressao media ou pressao filtrada

p′ Flutuacao de pressao

Re Numero de Reynolds

Recrit Reynolds crıtico

Rij Tensor anisotropico de turbulencia

sij Componentes da taxa de deformacao linear no volume de controle

Sij Taxa de deformacao

Tij Tensoes para a area de teste

ui Componente da velocidade na direcao i = x, y, z

u, v, w Componentes de velocidade instantanea nas direcoes x, y e z

U, V, W Componentes da velocidade media nas direcoes x, y e z

ui Componente da velocidade media ou da velocidade filtrada na direcao

i = x, y, z

u, v, w Componentes da velocidade media ou da velocidade filtrada nas direcoes

x, y e z

u′, v′, w′ Componentes da flutuacao de velocidade nas direcoes x, y e z

U+ Velocidade media adimensional

u′+ Flutuacao de velocidade adimensional

y+ Distancia adimensional da parede

Γi Circulacao (referente a uma partıcula)

∆, ∆ Tamanho da submalha

∆ Tamanho do filtro de teste

δij Delta de Kronecker

ε Taxa de dissipacao da energia cinetica turbulenta

εSGS Taxa de dissipacao da energia cinetica turbulenta de submalha

εijm Sımbolo de Levi-Civita

η Funcao de distribuicao espacial

κ Constante de von Karman

λ Fator de deformacao volumetrica

λ(n) Fator de redimensionamento

µ Viscosidade dinamica

µSGS Viscosidade turbulenta de submalha

ν Viscosidade cinematica

νt Viscosidade cinematica turbulenta

ρ Massa especıfica

τii Tensoes normais

τij Tensoes de cisalhamento

τSGSij Tensoes de Reynolds da submalha

τ Tamanho da escala de tempo

φ Potencial de velocidade

ψ Vetor potencial

ψ Funcao de corrente

Ωij Tensor taxa de rotacao

ω Vorticidade

ωn Frequencias temporais do espectro de energia

Sumario

1 INTRODUCAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 O REGIME TURBULENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1 Principais Caracterısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Equacoes Governantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1 Volume de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.2 Conservacao de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.3 Conservacao de Quantidade de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.4 Equacoes de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.5 O Problema de Fechamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.6 Modelos de Turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 LARGE EDDY SIMULATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1 Escalas de Submalha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Modelos de Submalha no Fluent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1 Modelo Smagorinsky-Lilly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.2 Modelo Smagorinsky-Lilly Dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.3 Modelo WALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.4 Modelo Dinamico de Energia Cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 METODOS DE GERACAO DE TURBULENCIA NAS CONDICOES

DE CONTORNO DE ENTRADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1 Metodo de Simulacao Precursora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2 Metodo de Sıntese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2.1 Tecnica de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2.2 Metodo dos Vortices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5 RESULTADOS E DISCUSSOES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6 CONCLUSAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

13

1 Introducao

A existencia do regime de escoamento turbulento foi inicialmente notada no seculo

XIX. Naquela epoca, mesmo com a predominancia existente do escoamento turbulento em

relacao ao laminar, os fenomenos produzidos pela turbulencia, os eddies1, nao eram detecta-

dos, devido a ineficiencia dos instrumentos de observacao e medicao.

Apenas em 1930, os instrumentos foram capazes de perceber as flutuacoes existentes

nesse regime (WHITE, 2011).

Devido a complexidade matematica do escoamento turbulento, somente na segunda

metade do seculo XX, com o advento dos computadores, foi possıvel resolver as equacoes

diferenciais por meio de aproximacoes numericas (CHUNG, 2002), para as quais foram de-

senvolvidos diversos metodos.

A abordagem mais precisa, denominada Direct Numerical Simulation (DNS), e capaz

de resolver equacoes de Navier-Stokes transientes sem aproximacoes alem de discretizacoes

numericas. Logo, os casos resolvidos com DNS possuem erros possıveis de serem estimados

e controlados.

Nessas simulacoes, todo o escoamento turbulento e todas as suas flutuacoes de velo-

cidade sao computados. Para tal, e necessario assegurar que a escala do domınio fısico seja

suficientemente refinada para conter as estruturas de turbulencias e a dissipacao de energia

cinetica turbulenta, alem de um intervalo de tempo suficientemente pequeno para abranger

as flutuacoes mais rapidas (VERSTEEG; MALALASEKERA, 2007).

No entanto, esse metodo apresenta um alto custo em termos de recursos computacio-

nais, tornando-se inadequado para simulacoes industriais.

Nesses casos, e frequentemente utilizada a abordagem Reynolds-averaged Navier-Stokes

(RANS), na qual as equacoes sao exclusivamente focadas no escoamento em questao e nos

efeitos da turbulencia nas propriedades desses escoamentos. Assim, a simulacao torna-se

menos custosa, devido a modelagem dos fenomenos de turbulencia.

Entretanto, as equacoes das medias das flutuacoes de velocidade geram novas variaveis

desconhecidas, que precisam ser determinadas por modelos de turbulencia para resolver o

Problema de Fechamento. Dentre eles, destaca-se o modelo de duas equacoes k − ε, que

vem sendo usado mais frequentemente para escoamentos incompressıveis e isotropicos, mas

apresenta dificuldade em capturar fenomenos de turbulencia mais complexos (CHUNG, 2002).

1 Adotamos o termo “eddy”, plural “eddies”, para expressar as estruturas tıpicas criadas pelo escoamentoem regime turbulento. Tal recurso foi utilizado pela dificuldade de se encontrar traducoes na literaturaque fossem capazes de expressar o significado pertinente para esse trabalho.

Capıtulo 1. Introducao 14

Por ultimo, o Large Eddy Simulation (LES) se mostra como uma abordagem inter-

mediaria entre as anteriores. Esse metodo realiza uma filtragem nas equacoes transientes

de Navier-Stokes, resolvendo os fenomenos de turbulencia superiores a dimensao do filtro e

rejeitando os inferiores, que serao modelados. Logo, devido as flutuacoes caracterısticas do

regime turbulento, espera-se que o LES seja mais adequado do que o RANS para descrever es-

coamentos em que as estruturas turbulentas transientes de grande escala sejam significativas

(POPE, 2000).

Em casos nos quais deseja-se avaliar a interacao fluido-estrutura, por exemplo, as

flutuacoes de pressao sao determinantes, pois se apresentam como uma das principais fontes

de excitacao da estrutura (BENTO, 2019). Logo, uma simulacao numerica com RANS para

essas condicoes seria deficitaria, devido a utilizacao do valor medio das flutuacoes. Assim,

nesses casos, recomenda-se a resolucao via Large Eddy Simulation.

As condicoes de contorno, que nas equacoes RANS eram em sua maioria constantes,

no modelo LES, passam a possuir componentes variaveis no tempo. Esses componentes,

denominados estocasticos por possuırem um padrao indeterminado, afetam todas escalas de

tempo e de comprimento do escoamento. Faz-se necessario recorrer a metodos de geracao de

flutuacoes estocasticas no inlet, ou seja, na regiao de entrada de fluido, para que a simulacao

seja proxima da realidade. As flutuacoes devem se assemelhar as geradas pelo escoamento

turbulento, sem, todavia, serem complexas demais para serem resolvidas.

1.1 Motivacao

Conforme visto anteriormente, uma caracterıstica determinante para a qualidade do

escoamento com a ferramenta LES e a abordagem utilizada para tratar as condicoes de

entrada do fluido. Devido ao seu custo computacional elevado, e, muitas vezes, inviavel

realizar uma simulacao com duracao ou dimensoes necessarias para que se atinja um perfil

plenamente turbulento.

Para alcancar a simplificacao necessaria, torna-se crucial o uso de metodos de geracao

de inlets turbulentos, pois o comportamento turbulento do escoamento e fortemente influ-

enciado por tais condicoes de contorno (CASTRO; PAZ; SONZOGNI, 2011). Devido a sua

importancia, estudos mais aprofundados vem sendo desenvolvidos para aprimoramento dessas

ferramentas, que podem ser divididas em duas categorias: metodos de simulacao precursora

e metodos de sıntese (TABOR; BABA-AHMADI, 2010). Ambas as metodologias possuem

vantagens e desvantagens e podem ser aplicadas de diferentes formas, em diferentes casos.

O primeiro metodo propoe que sejam realizadas simulacoes previas ou concomitantes.

O perfil de entrada do escoamento pode ser obtido atraves de um processo cıclico com um

pequeno trecho do domınio, no qual os dados serao obtidos com base em um perfil retirado

Capıtulo 1. Introducao 15

de um ponto mais a jusante do fluxo, ou ate de outra simulacao sıncrona utilizando uma

geometria mais simplificada. Pode-se tambem estimar o inlet por meio de bibliotecas de

dados ja existentes.

O metodo de sıntese, no entanto, envolve a geracao de um campo de flutuacoes de

velocidade pseudo-aleatorio. Tais estruturas podem ser sobrepostas ao escoamento medio

entrando no domınio. Dentre os diversos metodos dessa categoria, a Tecnica de Fourier e

o Metodo dos Vortices recebem destaque pela disponibilidade no software ANSYS Fluent,

ferramenta em foco no presente trabalho.

O Theory Guide do software ANSYS Fluent, que preve o embasamento teorico por

tras do programa (ANSYS, 2015), fornece apenas um pequeno desenvolvimento matematico

para o Vortex Method (baseado no Metodo dos Vortices), alem de abordar brevemente o

Spectral Synthesizer (metodo proveniente da Tecnica de Fourier).2

1.2 Objetivo

O presente trabalho se propoe a compilar as bases teoricas dos metodos de geracao de

turbulencia nas condicoes de contorno de entrada disponıveis no software ANSYS Fluent.

Em seguida, como complementacao, pretende-se analisar e comparar a utilizacao des-

ses metodos em uma simulacao realizada com um trecho reto de uma tubulacao e em dados

obtidos na literatura.

2 Optamos por manter os termos no idioma original, quando referentes as opcoes de condicao de contornode entrada encontradas no software ANSYS Fluent. Entre parenteses, estao em Portugues as tecnicasutilizadas como base para o desenvolvimento dessas mesmas opcoes.

16

2 O Regime Turbulento

2.1 Principais Caracterısticas

A maioria dos escoamentos com significancia para a engenharia sao turbulentos. Com

vasta aplicabilidade, e crescente o interesse dos pesquisadores sobre os fenomenos de tur-

bulencia, alem da busca por ferramentas que tornem viavel a representacao desse regime.

Devido a dificuldade de se determinar uma definicao para o escoamento turbulento,

existe a possibilidade de se enumerar algumas de suas caracterısticas, que, segundo Tennekes

e Lumley (1972) e Davidson (2015), sao:

• Todos os escoamentos turbulentos sao transientes e irregulares. Suas propriedades,

quando em funcao do tempo, apresentam flutuacoes, comportamento aparentemente

aleatorio. Tal caracterıstica torna sua solucao dependente de metodos estatısticos.

Figura 1 – Decomposicao da velocidade em regime turbulento

Fonte: Versteeg e Malalasekera (2007, p. 41)

A velocidade exemplificada na Figura 1 e decomposta em uma velocidade media es-

tacionaria, U ou u, e em um componente de flutuacao, u′(t). Esse procedimento ma-

tematico, denominado Decomposicao de Reynolds, caracteriza as propriedades do es-

coamento em funcao de suas variaveis medias (como U , V , W , P etc.) e de funcoes

estatısticas de suas flutuacoes (como u′, v′, w′, p′ etc.).

Capıtulo 2. O Regime Turbulento 17

As Decomposicoes de Reynolds referentes as propriedades de velocidade e pressao,

respectivamente, podem ser escritas da seguinte forma:

u(t) = U + u′(t) (2.1)

p(t) = P + p′(t) (2.2)

• Em escoamentos turbulentos, ha um aumento da difusividade, sendo essa a principal

causa do aumento da transferencia de momentum, calor e massa, atraves da mistura

de fluido. Essa movimentacao e responsavel pela geracao de fenomenos turbulentos,

denominados eddies. Tais estruturas, influenciadas pela caracterıstica aleatoria do es-

coamento, acabam adotando propriedades distintas entre si, o que dificulta considera-

velmente seu estudo.

• O numero de Reynolds e um parametro adimensional decisivo para a determinacao do

regime no qual se encontrara o escoamento de um fluido, podendo ser obtido pela razao

entre as forcas inerciais e as forcas viscosas. De uma forma geral, e escrito pela equacao:

Re =ρUL

µ(2.3)

onde ρ e a massa especıfica do fluido, µ e a viscosidade dinamica, U e a velocidade

media do escoamento e L e o comprimento caracterıstico do escoamento.

Conforme aumenta-se o numero de Reynolds, o regime laminar torna-se mais instavel,

devido a interacao das forcas viscosas e as forcas de inercia. Em seguida, tem-se um

regime de transicao, que passa a ser mais turbulento na medida em que cresce o numero

adimensional. Por fim, um escoamento turbulento pode ser caracterizado por altos

numeros de Reynolds.

O valor crıtico, Recrit, e um parametro apropriado para determinar o regime do escoa-

mento, dependendo diretamente da caracterıstica do mesmo no caso em questao. Para

tubulacoes com escoamento interno plenamente desenvolvido, por exemplo, o valor de

Recrit aproxima-se de 2300, enquanto que, para a camada limite, Recrit ' 5·105. Assim,

valores de Reynolds superiores aos valores crıticos atestam o regime turbulento.

• O escoamento turbulento e sempre rotacional e tridimensional. Mesmo em casos em

que as velocidades e as pressoes variem em uma ou duas dimensoes, as flutuacoes de tur-

bulencia tambem tem caracterıstica espacial tridimensional. Os eddies sao estruturas


tridimensionais que retiram energia do escoamento principal e a transferem para estru-

turas de escalas menores atraves de um mecanismo denominado estiramento (SOUZA

et al., 2011). Devido a um aumento da velocidade de rotacao, ocorre um estiramento

da estrutura em uma direcao, causando uma reducao da escala de comprimento nas

direcoes adjacentes, conforme indica a Figura 2. Assim, as direcoes secundarias se

tornarao nova fonte de propagacao do estiramento e assim por diante.

Figura 2 – Um estiramento na direcao z produz estiramentos menores nas direcoes x e y, queproduzem estiramentos ainda menores nas direcoes vizinhas

Fonte: Souza et al. (2011, p. 24)

• Devido aos efeitos viscosos, a reducao dos gradientes de velocidade acarreta tambem

em uma diminuicao da energia cinetica turbulenta. Assim, o escoamento turbulento

e dissipativo e a energia cinetica turbulenta dos menores eddies e transformada em

energia termica.

Esses menores eddies recebem a energia cinetica de turbulencia dos eddies maiores,

que a recebem de outros ainda maiores, e assim por diante, atraves de mecanismos de

transferencia de energia como o estiramento, evidenciado no item anterior. A relacao

energetica entre as escalas maiores e menores, assim como sua transmissao, e denomi-

nada Cascata de Energia de Kolmogorov.

Estatisticamente, os eddies mais energeticos sao os que mais contribuem para o trans-

porte turbulento, sendo, portanto, os mais relevantes para a qualidade das simulacoes

numericas.

• O escoamento turbulento pode ser considerado um meio contınuo, pois mesmo as me-

nores escalas turbulentas sao maiores do que a escala molecular. Logo, as leis que

governam a mecanica dos fluidos podem ser aplicadas para esse regime.


2.2 Equacoes Governantes

As equacoes governantes do escoamento do fluido sao representadas pelas leis de con-

servacao da Fısica. Sendo assim, assume-se que a massa, a energia e o momentum sao

conservados (VERSTEEG; MALALASEKERA, 2007).

Tais equacoes podem ser classificadas como EDPs (Equacoes Diferenciais Parciais) e

sao, em sua maioria, de segunda ordem.

2.2.1 Volume de Controle

O fluido, conforme visto anteriormente, pode ser considerado um meio contınuo, in-

clusive em regime turbulento. Logo, o comportamento das propriedades do escoamento pode

ser determinado em termos de propriedades macroscopicas, como velocidade, pressao ou

massa especıfica. E possıvel dividir o fluido em elementos, os quais devem possuir a me-

nor dimensao suficiente para que tais propriedades macroscopicas sejam independentes das

influencias exercidas pelas moleculas individuais.

Figura 3 – Volume de controle para as Leis de Conservacao


O menor elemento de fluido considerado, conforme indicado na Figura 3, possui a

forma de um cubo infinitesimal de lados δx, δy e δz. No centro do volume de controle, na

posicao (x, y, z), a massa especıfica e determinada por ρ e a velocidade, por u = ui+vj+wk.

Devido ao tamanho do elemento, as propriedades do fluido podem ser expressas com precisao


Figura 4 – Fluxo de massa atraves do volume de controle


por meio dos dois primeiros termos de uma serie de Taylor. Assim, sabendo a distancia das

faces W e E ao centro como 12δx, por exemplo, pode-se expressar a pressao nessas faces como

p± δp

δx

1

2δx (2.4)

2.2.2 Conservacao de Massa

Da mesma forma, a Lei de Conservacao de Massa estabelece que a taxa do fluxo de

massa atraves da superfıcie de controle somada a taxa de variacao de massa dentro do volume

de controle deve ser nula, conforme observado na Figura 4.

Portanto, conclui-se que

∂ρu

∂x+∂ρv

∂y+∂ρw

∂z+∂ρ

∂t= 0 (2.5)

Em notacao vetorial,

∂ρ

∂t+∇ · (ρu) = 0 (2.6)


A Equacao 2.6 representa a Equacao de Conservacao de Massa, ou Equacao da Con-

tinuidade, para um fluido compressıvel, transiente e tridimensional. Para um fluido incom-

pressıvel, ou seja, com massa especıfica constante, assume-se:

∇ · u = 0 (2.7)

Sabe-se que nenhum fluido e verdadeiramente incompressıvel. No entanto, supor

massa especıfica, ρ, constante, independentemente do tempo ou do espaco, e uma simpli-

ficacao consideravel para aplicacoes em engenharia e resulta em um erro desprezıvel para a

maioria dos casos (BIRD; STEWART; LIGHTFOOT, 2002).

2.2.3 Conservacao de Quantidade de Movimento

Aplicando-se a segunda Lei de Newton em um elemento de fluido infinitesimal, obtem-

se a Equacao da Conservacao da Quantidade de Movimento em sua forma diferencial, que e

a igualdade entre a taxa de geracao de momentum e a soma das forcas na partıcula do fluido.

Logo, somando-se as forcas de contato normais (de pressao, p) e tangenciais (tensoes

de cisalhamento, τij) as quais o fluido esta sujeito, explicitadas na Figura 5 para a direcao x,

tem-se a seguinte Equacao de Conservacao de Quantidade de Movimento:

ρDu

Dt=∂(−p+ τxx)

∂x+∂τyx∂y

+∂τzx∂z

+ fx (2.8)

Tal desenvolvimento pode ser facilmente expandido para as direcoes y e z. Nesse caso,

seus componentes podem ser escritos da seguinte forma:

ρDv

Dt=∂τxy∂x

+∂(−p+ τyy)

∂y+∂τzy∂z

+ fy (2.9)

ρDw

Dt=∂τxz∂x

+∂τyz∂y

+∂(−p+ τzz)

∂z+ fz (2.10)

onde fx, fy e fz sao contribuicoes das forcas de campo.1 Essas forcas sao geradas por

campos externos, como o campo gravitacional ou o campo magnetico, e sao aplicadas em

toda a extensao do elemento, nao apenas em suas faces.2

1 Do ingles body forces, regularmente traduzido para forcas de campo. Ver Bird, Stewart e Lightfoot (2002),p. 111.

2 Para casos em que o escoamento seja dado como incompressıvel, nao ha dependencia entre as equacoesde conservacao de energia, massa e momentum. Pode-se, portanto, resolver o sistema, utilizando apenasas equacoes de conservacao de massa e momentum. Para os fins desse trabalho, optamos por suprimirdeducoes relacionadas a Equacao de Conservacao de Energia, devido a escolha de abordar exclusivamentecasos incompressıveis. Ver Versteeg e Malalasekera (2007), p. 21.


Figura 5 – Representacao das forcas aplicadas na direcao x para um volume de controle


2.2.4 Equacoes de Navier-Stokes

Em escoamentos tridimensionais com fluidos newtonianos, podemos definir a tensao

viscosa τij como uma relacao proporcional entre a taxa de deformacao linear e a taxa de

deformacao volumetrica.

Assumindo o escoamento isotropico, tem-se nove componentes de taxa de deformacao

linear no volume de controle, tres normais e seis cisalhantes, denotados por sij.

sxx =∂u

∂xsyy =

∂v

∂yszz =

∂w

∂z(2.11)

sxy = syx =1

2

(∂u

∂y+∂v

∂x

)sxz = szx =

1

2

(∂u

∂z+∂w

∂x

)syz = szy =

1

2

(∂v

∂z+∂w

∂y

)(2.12)

Para a taxa de deformacao volumetrica, tem-se:

∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z= ∇ · u (2.13)

Assim, escrevendo a relacao utilizando as Equacoes 2.12 e 2.13, e possıvel determinar

os nove componentes da tensao viscosa, descritos nas Equacoes 2.14 e 2.15, conforme proposto

por Boussinesq. Para tal, duas constantes de proporcionalidade foram utilizadas. A primeira,


µ, referente a tensao viscosa devido as deformacoes lineares e a segunda, λ, a deformacao

volumetrica.

τxx = 2µ∂u

∂x+ λ∇ · u τyy = 2µ

∂v

∂y+ λ∇ · u τzz = 2µ

∂w

∂z+ λ∇ · u (2.14)

τxy = τyx = µ

(∂u

∂y+∂v

∂x

)τxz = τzx = µ

(∂u

∂z+∂w

∂x

)τyz = τzy = µ

(∂v

∂z+∂w

∂y

)(2.15)

A substituicao das tensoes (Equacoes 2.14 e 2.15) na Equacao de Conservacao do

Momentum em seu componente x (Equacao 2.8) resulta em:

ρDu

Dt= −∂p

∂x+∂

∂x

[2µ∂u

∂x+ λ∇ · u

]+∂

∂y

[µ

(∂u

∂y+∂v

∂x

)]+∂

∂z

[µ

(∂u

∂z+∂w

∂x

)]+fx (2.16)

A hipotese de Stokes discute a influencia do fator λ. Segundo Stokes, esse termo pode

ser relacionado ao termo viscoso µ pela seguinte equacao:

λ = −2

3µ (2.17)

Assim, o numero de propriedades fısicas necessarias para se caracterizar as tensoes

reduz de duas para uma, tanto para fluidos compressıveis quanto para incompressıveis. Re-

arranjando os termos de tensao viscosa e expandindo a equacao para os componentes nas

tres direcoes, tem-se as Equacoes de Navier-Stokes.

ρDu

Dt= −∂p

∂x+∇ · (µ∇u) + fx (2.18a)

ρDv

Dt= −∂p

∂y+∇ · (µ∇v) + fy (2.18b)

ρDw

Dt= −∂p

∂z+∇ · (µ∇w) + fz (2.18c)

2.2.5 O Problema de Fechamento

As Equacoes de Navier-Stokes 2.18a, 2.18b e 2.18c, juntamente com a Equacao da

Continuidade 2.6, formam um problema fechado de quatro equacoes com quatro variaveis (u,

v, w e p).

Todavia, para casos em que o regime e turbulento, devido a Decomposicao de Reynolds

e a adicao de novos termos ao sistema, tem-se o Problema de Fechamento. Isso e, o problema

assume mais variaveis do que equacoes, tornando necessaria uma abordagem numerica atraves

do desenvolvimento de modelos de turbulencia.


2.2.6 Modelos de Turbulencia

As solucoes numericas dos problemas turbulentos podem ser obtidas atraves de diver-

sas aproximacoes de acordo com o modelo escolhido.

Para casos em que nao sao necessarios os detalhes das flutuacoes turbulentas, utiliza-

se o modelo Reynolds-averaged Navier-Stokes (RANS), que se baseia em informacoes medias

no tempo para as propriedades do escoamento. Conforme visto anteriormente nas Equacoes

2.1 e 2.2, os parametros do escoamento turbulento sao tidos como uma sobreposicao de seu

valor medio e do componente de flutuacao.

Assim, pode-se definir matematicamente o valor medio de uma propriedade no tempo,

f , como:

f =1

T

∫ T+to

to

f dt (2.19)

onde T e um perıodo medio suficientemente mais longo do que os perıodos das flu-

tuacoes.

Retomando a Equacao 2.1 da Decomposicao de Reynolds e substituindo-a na Equacao

2.19, tem-se o valor medio das flutuacoes e seu quadrado como:

f ′ =1

T

∫ T+to

to

(f − f) dt = f − f = 0 (2.20)

(f ′)2 =1

T

∫ T+to

to

(f ′)2 dt > 0 (2.21)

Substituindo os resultados obtidos nas Equacoes 2.19, 2.20 e 2.21, introduz-se novos

termos medios a Equacao de Navier-Stokes (2.18a, 2.18b e 2.18c) e a Equacao da Continuidade

(2.6) para fluidos incompressıveis.

ρ

(∂u

∂t+∇ · uu

)= −∂p

∂x+∇ · (µ∇u− ρu′u′) + fx (2.22a)

ρ

(∂v

∂t+∇ · vu

)= −∂p

∂y+∇ · (µ∇v − ρv′u′) + fy (2.22b)

ρ

(∂w

∂t+∇ · wu

)= −∂p

∂z+∇ · (µ∇w − ρw′u′) + fz (2.22c)

∇ · u = 0 (2.23)

Os termos −ρu′u′, −ρv′u′ e −ρw′u′ compoem o tensor de Reynolds e abrigam as

flutuacoes turbulentas do escoamento. Esses termos precisam ser modelados para a resolucao

do Problema de Fechamento.


Da mesma forma, a energia cinetica turbulenta por unidade de massa pode ser dada

por:

k =1

2

(u′ 2 + v′ 2 + w′ 2

)(2.24)

Os principais modelos de turbulencia RANS sao classificados de acordo com a quan-

tidade de equacoes de transporte adicionadas para prever os termos restantes para o fecha-

mento.

Os modelos de comprimento de mistura tentam descrever as tensoes com formulas

algebricas simples para a viscosidade turbulenta como funcao do espaco. O modelo de Prandtl

relaciona o tensor de Reynolds com uma escala de velocidade e uma de comprimento, Lm,

tal que:

τxy = τyx = ρL2m

∣∣∣∣∂u∂y∣∣∣∣2 (2.25)

Por outro lado, o modelo k−ε e uma escolha adequada para simulacoes incompressıveis

e isotropicas. Esse modelo adiciona duas novas equacoes governantes: a equacao de transporte

de energia cinetica turbulenta (k) e de dissipacao de energia cinetica turbulenta (ε).

O RANS, no entanto, nao consegue abranger toda a gama de escalas de turbulencia

presentes no escoamento, devido a sua abordagem media, adotando um unico modelo de

turbulencia para todas as escalas.

Enquanto os menores eddies sao mais isotropicos e menos dependentes de interferencias

do escoamento, os grandes eddies, responsaveis pelo transporte de momentum, massa e ener-

gia, sao mais anisotropicos e fortemente afetados pelas condicoes de contorno, pela geometria

e pelas forcas de campo atuantes no escoamento (VERSTEEG; MALALASEKERA, 2007).

Assim, torna-se impossıvel modelar com assertividade o efeito de todos os fenomenos em

escoamentos em que seus comprimentos sejam muito distintos entre si .

Para tal, o modelo denominado Direct Numerical Simulation (DNS), extremamente

mais preciso que o RANS para solucao de escoamentos turbulentos, propoe-se a resolver todas

as estruturas turbulentas, sejam elas grandes ou pequenas.

O DNS e uma ferramenta de solucao numerica direta, no qual nenhuma modelagem e

realizada. Para tal, e necessario que sua malha seja extremamente refinada, com o objetivo

de que sejam resolvidas todas as escalas de fenomenos de turbulencia e capturada toda a

dissipacao de energia cinetica turbulenta. Estima-se que o numero de elementos necessarios

seja proporcional a Re9/4, assim como o custo computacional seja proporcional a Re3 (PIO-

MELLI, 2001). Outra limitacao e a utilizacao dos esquemas de alta ordem, demasiadamente

precisos para mitigacao dos erros, mas pouco praticos para geometrias complexas e condicoes

de contorno.


Por fim, o modelo Large Eddy Simulation (LES), intermediario aos dois anteriores,

apresenta-se como ferramenta promissora para o futuro de simulacoes que tem como obje-

tivo capturar mais detalhadamente os fenomenos de turbulencia e sera mais detalhadamente

discutido no capıtulo a seguir.

27

3 Large Eddy Simulation

O Large Eddy Simulation (LES) e uma ferramenta para solucao de escoamentos com

geometrias ou problemas fısicos complexos de maneira mais eficiente.

Conforme visto no capıtulo anterior, o escoamento turbulento e caracterizado pela pre-

senca de eddies de tamanhos diversos e caracterısticas tambem diversas, que nao conseguem

ser abrangidas em sua totalidade por um unico modelo de turbulencia, conforme proposto

pelo RANS.

O modelo LES tem como objetivo resolver equacoes instantaneas de Navier-Stokes

para as escalas mais energeticas do escoamento, os grandes eddies, enquanto que os pequenos,

com comportamento universal, continuam a ser modelados, conforme exibido na Figura 6.

Nela, estao relacionados o logaritmo do espectro de energia, E(k), e o logaritmo do numero

de onda, k. Assim como na tecnica DNS, o LES trabalha com discretizacoes espaciais e

temporais bastante refinadas.

Figura 6 – Espectro de energia em funcao do numero de onda

Fonte: Aybay (2010, p. 18)

Capıtulo 3. Large Eddy Simulation 28

3.1 Escalas de Submalha

Deve-se, portanto, escolher uma funcao que realize uma filtragem para separar as

maiores escalas das chamadas escalas de submalha,1 o que ocorrera na subfaixa inercial.

Figura 7 – Esquema espacial da malha de corte, no qual ∆ e equivalente ao tamanho damalha computacional

Fonte: Sagaut (2006, p. 11)

Conforme ilustrado na Figura 7, o tamanho da submalha, ∆, pode ser definido pela

raiz cubica do volume da celula da malha, dado pelo produto entre o comprimento ∆x, a

altura ∆y e a profundidade ∆z.

∆ = (∆x∆y∆z)1/3 (3.1)

O numero de onda de corte, de acordo com o espectro de energia visto no capıtulo

anterior (Figura 6), pode ser dado como:

kc =π

∆(3.2)

Logo, para numero de onda abaixo de kc todos os fenomenos de turbulencia serao

modelados por um modelo algebrico, denominado modelo de submalha.

1 Do ingles subgrid. Ver Souza et al. (2011), p. 36.


A filtragem espacial pode ser definida por meio de uma relacao com uma matriz de

convolucao, G∆, associada ao tamanho da submalha, ∆. Para a velocidade, por exemplo,

tem-se:

u(x, t) =

∫u(x′, t)G∆(x− x′)dx′ (3.3)

Para qualquer propriedade f , escalar ou vetorial, pode-se escrever:

f(x, t) =

∫f(x′, t)G∆(x− x′)dx′ =

∫f(x− x′, t)G∆(x′)dx′ (3.4)

onde f(x, t) e a funcao filtrada e f(x′, t) e a funcao original.

O termo u nao deve ser confundido com a media temporal de Reynolds, descrita

anteriormente. Nesse caso, a notacao da barra representa qualquer propriedade filtrada.

As matrizes de convolucao mais comuns para simulacoes tridimensionais no modelo

LES, segundo Versteeg e Malalasekera (2007), sao:

• Filtro de Caixa:

G∆ =

1/∆3 |x− x′| ≤ ∆/2

0 |x− x′| > ∆/2(3.5)

• Filtro Gaussiano:

G∆ =( γ

π∆2

)3/2

exp

(−γ |x− x

′|2

∆2

)(3.6)

sendo comumente γ = 6

• Filtro de Corte Espectral:

G∆ =3∏i=1

sin[(xi − x′i)/∆]

(xi − x′i)(3.7)

No software ANSYS Fluent, programa em foco no presente trabalho, utiliza-se exclu-

sivamente o Filtro de Caixa (ANSYS, 2015).

Assim, a Equacao da Continuidade para escoamentos incompressıveis (2.6), em sua

forma filtrada, pode ser expressa como:

∇ · u = 0 (3.8)


Aplicando-se, em seguida, um filtro para as Equacoes de Navier-Stokes (2.18a, 2.18b

e 2.18c), tem-se:

ρ∂ui∂t

+∂

∂xj(ρuiuj) = − ∂p

∂xi+

∂

∂xj

(µ∂ui∂xj

)(3.9)

Para o segundo termo do lado esquerdo da Equacao 3.9, e verdadeira a seguinte

relacao:

∂

∂xj(ρuiuj) =

∂τij∂xj

+∂

∂xj(ρuiuj) (3.10)

Substituindo a Equacao 3.10 em 3.9, pode-se reescrever a Equacao de Navier-Stokes

como:

ρ∂ui∂t

+∂

∂xj(ρuiuj) = − ∂p

∂xi−∂τSGSij

∂xj+

∂

∂xj

(µ∂ui∂xj

)(3.11)

em que τSGSij e o tensor de Reynolds da submalha. O ındice SGS e referente ao termo

em ingles sub-grid scale, ou escala de submalha. O tensor pode ser definido da seguinte

forma:

τSGSij = ρ(uiuj − ui uj) (3.12)

Os tensores de submalha resultantes da equacao de filtragem sao desconhecidos e,

portanto, demandam modelagem. Ha, novamente, um problema de fechamento, com mais

incognitas do que equacoes. Para tal, diversos modelos vem sendo desenvolvidos e alguns

deles serao descritos a seguir.

3.2 Modelos de Submalha no Fluent

3.2.1 Modelo Smagorinsky-Lilly

O primeiro modelo de submalha desenvolvido, e tambem o mais comumente utilizado,

foi o proposto por Smagorinsky (1963), unicamente dissipativo.

Assim como no modelo RANS, as escalas de submalha podem ser consideradas isotropicas,

permitindo tambem a utilizacao da Hipotese de Boussinesq (ANSYS, 2015). Logo, as tensoes

de submalha locais sao tidas como proporcionais a taxa local de deformacao.

τSGSij − 1

3τSGSkk δij = −2µSGSSij (3.13)


sendo τSGSij o tensor de Reynolds de submalha, µSGS a viscosidade turbulenta de

submalha e Sij definido como:

Sij =1

2

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

)(3.14)

O termo τSGSkk pode ser facilmente desprezado para escoamentos incompressıveis, con-

forme segue:

τSGSij ≈ −2µSGSSij (3.15)

Assim, Smagorinsky (1963) propos que a viscosidade dinamica turbulenta do modelo

de submalha fosse baseada no modelo de comprimento de mistura de Prandtl (Equacao 2.25),

ja visto no capıtulo anterior. Tal relacao foi desenvolvida para modelar turbulencia tridimen-

sionalmente e consegue assumir um comportamento bem proximo a Cascata de Energia de

Kolmogorov (LESIEUR, 2008).

µSGS = ρL2s|S| (3.16)

onde Ls e o comprimento de mistura para escalas de submalha e |S| =√

2SijSij.

Ls = min(κd, Cs∆) (3.17)

onde κ e a constante de von Karman, d e a distancia da parede mais proxima e Cs e

a constante de Smagorinsky. O operador min() apresenta-se util especialmente proximo as

paredes, onde o comprimento de mistura, κd, pode tornar-se menor do que o tamanho da

submalha, ∆.

Quando em altos numeros de Reynolds, e possıvel assumir que escalas na subfaixa

inercial aderem as leis dessa regiao e, portanto, tem-se um valor unico para o coeficiente Cs,

independente do tamanho do filtro (LILLY, 1966).

Essa constante, no entanto, nao e universal e apresenta variacoes de acordo com as

diversas propriedades do escoamento, os filtros utilizados, as discretizacoes espaciais e tem-

porais realizadas, entre outros. Um valor aceitavel para uma grande parte dos escoamentos,

Cs = 0.1, foi apropriado como padrao no ANSYS Fluent.

O modelo tambem se mostra adequado para estruturas em malhas muito refinadas

(dentro da subfaixa inercial), pois, independentemente do valor da constante, Ls se mostrara

insignificante para valores baixos de ∆.

Por outro lado, o tensor de submalha nao e preciso, devido a hipotese de que existem

apenas fenomenos dissipativos. Nao e possıvel, por exemplo, prever a ocorrencia de uma


escala reversa de energia, na qual eddies menores transferem energia para os maiores, deno-

minada backscatter (GERMANO et al., 1991). Alem disso, o modelo Smagorinsky tambem

nao possui previsao assertiva na regiao da parede, visto que a contribuicao da viscosidade

turbulenta nessa regiao deve ser nula, sendo necessaria, em muitos casos, a adicao de leis de

parede (PITTARD, 2003).

3.2.2 Modelo Smagorinsky-Lilly Dinamico

O modelo dinamico, proposto por Germano et al. (1991) e aprimorado por Lilly (1992),

preve, antecipadamente, o valor mais adequado para o Cs. Essa modificacao pode ser utili-

zada para resolver diversas deficiencias do modelo regular ao calcular localmente a viscosidade

turbulenta em escoamentos laminares, de transicao e na regiao viscosa proxima a parede, por

exemplo (POPE, 2000). Tambem e possıvel, por meio do modelo dinamico, considerar o

backscatter.

Essa tecnica se baseia no princıpio da similaridade de escalas. Conforme ilustrado na

Figura 8, pode-se assumir que, para a subfaixa inercial, a menor escala resolvida numerica-

mente e compatıvel a maior escala a ser modelada.

Figura 8 – Similaridade de Escala

Fonte: Poinsot e Veynante (2005, p. 167)

Para capturar escalas maiores, e necessario utilizar um segundo filtro, mais extenso,

denominado “filtro de teste”, com tamanho usual de ∆ ≈ 2∆ (NETZER, 2019).

E entao assumida uma identidade algebrica que relaciona as tensoes turbulentas em

nıveis de filtro submalha distintos com as tensoes turbulentas resolvidas, conforme evidenci-

ado na Figura 9. Isso e realizado por meio da apropriacao de informacoes retiradas da menor

escala resolvida, seguida da utilizacao desses dados para modelar as escalas de submalha.


Figura 9 – Tensoes turbulentas na regiao submalha e na regiao de teste

Fonte: Poinsot e Veynante (2005, p. 168)

Quando aplicado o filtro G, tem-se o termo de tensao de submalha, τij. Entretanto,

se empregado o filtro composto, G, obtem-se, atraves da Equacao de Navier-Stokes, o tensor

Tij para a area de teste. Alem disso, Lij pode ser dado como a tensao turbulenta das escalas

resolvidas.

τij = ρ(uiuj − uiuj) (3.18a)

Tij = ρ(uiuj − uiuj) (3.18b)

Lij = Tij − τij (3.18c)

Por fim, de acordo com Germano, a constante de Smagorinsky dinamica, Cd, pode ser

definida por:

Cd = −1

2

〈LijSij〉

∆2

〈|S|SijSij〉 −∆2〈|S|SijSij〉

(3.19)

sendo:

Sij =1

2

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

)e |S| =

√2SijSij (3.20)


3.2.3 Modelo WALE

Esse modelo e representado por um acronimo para o termo em ingles Wall Adaptative

Large Eddy. Foi inicialmente proposto por Nicoud e Ducros (1999) para abordar simulacoes

Large Eddy Simulation para geometrias complexas, nas quais nao e simples determinar a

distancia a parede.

Diferentemente do modelo Smagorinsky, no qual apenas a influencia da taxa de de-

formacao e contabilizada, para o modelo WALE, tanto a taxa de deformacao quanto a rotacao

sao capazes de produzir a turbulencia. Isso implica que, alem do termo Sij, evidenciado na

Equacao 3.14, tambem havera o componente rotacional Ωij.

Ωij =1

2

(∂ui∂xj− ∂uj∂xi

)(3.21)

Assim, com base na Equacao 3.16 do modelo Smagorinsky, pode-se assumir a vis-

cosidade de submalha para o modelo WALE com a modificacao do operador para que este

capture corretamente o comportamento na parede. Sao criados entao dois novos operadores,

conforme segue:

µSGS = ρL2s

OP 1

OP 2

(3.22)

Ls = min(κd, Cw∆) (3.23)

onde Cw e a constante do modelo WALE, OP 1 e um operador espacial que retorna

um comportamento assintotico (y3) proximo a parede e OP 2 e o operador utilizado para

redimensionar as unidades de OP 1.

OP 1 =(SdijS

dij

)3/2(3.24)

OP 2 =(SijSij

)5/2+(SdijS

dij

)5/4(3.25)

Logo, substituindo as Equacoes 3.24 e 3.25 em 3.22, tem-se:

µSGS = ρ(Cw∆)2

(SdijS

dij

)3/2(SijSij

)5/2+(SdijS

dij

)5/4(3.26)

Por fim, o termo Sdij pode ser definido em funcoes da taxa de deformacao e de rotacao.

Sdij = SikSkj + ΩikΩkj −1

3δij(SmnSmn − ΩmnΩmn) (3.27)


Para o modelo WALE, o tensor turbulento τij e exprimido como ja evidenciado para

utilizacao no modelo Smagorinsky e pode ser encontrado na equacao 3.13.

No ANSYS Fluent, o valor padrao da constante e Cw = 0.325, que resulta em da-

dos satisfatorios para diversos escoamentos (ANSYS, 2015). Todos os outros valores sao os

mesmos usados no modelo Smagorinsky.

3.2.4 Modelo Dinamico de Energia Cinetica

Este e um modelo tambem dinamico, alternativo ao modelo dinamico Smagorinsky-

Lilly. Nesse caso, a turbulencia da submalha tende a ser melhor modelada, devido a in-

corporacao do transporte da energia cinetica turbulenta de submalha (ANSYS, 2015). No

ANSYS Fluent, esse modelo e disposto de acordo com o proposto por Kim e Menon (1997).

Atraves de uma contracao do tensor de submalha (Equacao 3.12), e possıvel encontrar

a energia cinetica turbulenta de submalha, conforme segue:

kSGS =1

2(ukuk − uk uk) (3.28)

A energia cinetica turbulenta, kSGS, e obtida atraves da solucao de sua equacao de

transporte, na qual estao contidas a producao, difusao e dissipacao de kSGS.

∂ρkSGS∂t

+ ui∂ρkSGS∂xi

= −τij∂ui∂xi− ρεSGS +

∂

∂xi

(µSGS

∂kSGS∂xi

)(3.29)

A partir da energia cinetica turbulenta, consegue-se obter o termo de dissipacao, εSGS,

a viscosidade turbulenta de submalha, µSGS, e o tensor de submalha, τij.

εSGS = Cεk

3/2SGS

∆(3.30)

µSGS = ρCk∆√kSGS (3.31)

τij =2

3ρkSGSδij − 2ρCk∆

√kSGS Sij (3.32)

sendo Ck e Cε dois coeficientes que devem ser especificados dinamicamente (KIM;

MENON, 1997).

Para tal, utilizou-se tambem um filtro de teste, com princıpio identico ao ja eviden-

ciado no item 3.2.2. Assim, a energia cinetica de teste, kteste, associada as escalas presentes

entre o filtro de teste e o filtro de submalha, pode ser definida como:

kteste =1

2

(ukuk − ukuk

)(3.33)


Da mesma forma, a tensao turbulenta das escalas resolvidas, Lij, e dada por:

Lij = ρ(uiuj − uiuj) (3.34)

Assim, conforme descrito por Kim e Menon (1997), a energia cinetica turbulenta na

malha de teste, kteste, e produzida nas maiores escalas por −Lij(∂ui/∂xj) e, nas menores

escalas, dissipada por:

e = (ν + νt)

(∂ui∂xj

∂ui∂xj− ∂ui∂xj

ui∂xj

)(3.35)

sendo (ν + νt) a representacao da dissipacao por ambas as viscosidades molecular e

turbulenta.

Liu, Meneveau e Katz (1994) sugerem a existencia de uma correlacao significativa

entre o tensor de submalha, τij, e a tensao turbulenta das escalas resolvidas, Lij, resultando

na seguinte relacao no nıvel de teste:

Lij =1

3δijLkk − 2ρCk∆

√kteste Sij (3.36)

Para determinar a constante Ck, resta utilizar o seguinte metodo:

Ck =1

2

Lijσijσijσij

(3.37)

onde

σij = −∆√kteste Sij (3.38)

Para a taxa de dissipacao, εSGS, determinada na Equacao 3.29 para a submalha, tem-

se uma similaridade para a regiao de teste, representada por e, que possui relacao direta com

a constante de dissipacao.

e = Cεk

3/2teste

∆(3.39)

Por fim, evidenciando a constante Cε e substituindo a Equacao 3.35 em 3.39, obtem-se:

Cε =∆(ν + νt)

k3/2teste

(∂ui∂xj

∂ui∂xj− ∂ui∂xj

ui∂xj

)(3.40)

37

4 Metodos de Geracao de Turbulencia nas

Condicoes de Contorno de Entrada

Devido ao elevado custo computacional do modelo LES, na tentativa de se reduzir

a duracao ou as dimensoes necessarias para que se atinja um perfil plenamente turbulento,

torna-se crucial a utilizacao de metodos de geracao de inlets estocasticos. Especificacoes pre-

cisas das condicoes de entrada sao determinantes quando se trata da qualidade da simulacao,

pois o comportamento turbulento do escoamento e fortemente influenciado por tais condicoes

de contorno (CASTRO; PAZ; SONZOGNI, 2011).

As caracterısticas necessarias para se obter uma entrada adequada, segundo Tabor e

Baba-Ahmadi (2010), de acordo com a ordem de importancia e complexidade, devem ser:

• Variar estocasticamente, inclusive em escalas inferiores a filtragem (temporal e espaci-

almente);

• Ser compatıvel com as Equacoes de Navier-Stokes;

• Possuir aspecto de turbulencia;

• Fornecer informacoes precisas acerca das caracterısticas do escoamento e de suas pro-

priedades de turbulencia;

• Ser de facil implementacao e adaptabilidade para casos distintos.

Essas ferramentas de geracao de turbulencia se encaixam em duas categorias, tambem

definidas por Tabor e Baba-Ahmadi (2010): metodos de sıntese e metodos de simulacao

precursora. Ambos apresentam vantagens e desvantagens, a serem apresentadas a seguir.

4.1 Metodo de Simulacao Precursora

Nos metodos de simulacao precursora uma forma de turbulencia e computada antes do

calculo principal e e introduzida ao domınio no inlet. Uma grande vantagem dessa ferramenta

e que os dados utilizados sao obtidos de simulacoes reais de turbulencia e, portanto, estao

de acordo com certos requisitos fundamentais, como as flutuacoes temporais e espaciais ou o

espectro de energia (TABOR; BABA-AHMADI, 2010).

No metodo do Domınio Cıclico, o escoamento recircula atraves do mesmo domınio, ou

seja, um perfil retirado a jusante e reinserido na entrada inumeras vezes ate que se alcance um

Capıtulo 4. Metodos de Geracao de Turbulencia nas Condicoes de Contorno de Entrada 38

estado plenamente desenvolvido. Esse metodo e comumente utilizado para realizar estudos

em pequenas secoes, conforme exemplificado por Kim, Moin e Moser (1987) em um canal

utilizando DNS. E importante notar que a distancia entre a entrada e o plano deve ser sufici-

entemente grande, permitindo que a turbulencia se desenvolva nas condicoes de escoamento

estipuladas. A velocidade media torna-se constante em uma distancia de aproximadamente

40D do inlet, sendo D o diametro de uma tubulacao, enquanto que os componentes da tensao

de Reynolds tendem a adquirir comportamento invariante mais a jusante no escoamento (TA-

BOR; BABA-AHMADI, 2010).

Alem do perfil de velocidade, outras propriedades variantes tambem podem ser atribuıdas

ao inlet, conforme indicado por Baba-Ahmadi e Tabor (2008), como forcas de corpo axiais e

tangenciais e termos de correcao de velocidade. Tais termos aprimoram a turbulencia, pois

permitem um controle preciso para que sejam obtidas as condicoes desejadas na simulacao.

E importante notar que outra variacao existente nos estudos de Baba-Ahmadi e Tabor (2008)

e a nao utilizacao de um plano de entrada para reinserir seus dados, mas sim uma regiao de

entrada para atingir os perfis de turbulencia e velocidade adequados.

A turbulencia gerada por esse metodo nao pode ser considerada perfeita, devido ao

comportamento cıclico dos dados. Os erros gerados serao perpetuados ao se reinserir o perfil

na entrada e possuem a ordem de L/u, sendo L o comprimento do domınio cıclico e u a

velocidade media do escoamento (TABOR; VILLIERS, 2004).

Outra modificacao possıvel e a geracao de uma biblioteca de dados turbulentos em

uma geometria auxiliar, mais simples, conforme realizado por Spalart (1988). Como ilustrado

pela Figura 10, apos a utilizacao do metodo do Domınio Cıclico no domınio auxiliar, as

propriedades de um plano a jusante sao extraıdas e, em seguida, reinseridas como condicao

de contorno no inlet principal. Tal pratica pode ser realizada previamente a simulacao

principal ou concomitantemente, em paralelo.

Nao e necessario, por exemplo, que propriedades caracterısticas do escoamento, como

o numero de Reynolds e a configuracao da malha, sejam identicas em ambos os domınios, pois

os dados podem ser redimensionados para se adequarem a geometria principal (LUND; WU;

SQUIRES, 1998; FERRANTE; ELGHOBASHI, 2004). Tal modificacao pode ser realizada

para a velocidade em uma tubulacao de acordo com a seguinte equacao (WANG; BAI, 2004):

uin = uin + (ure − ure)u′inu′re

(4.1)

sendo ()in referente as propriedades a serem inseridas no inlet e ()re, as propriedades

que serao recicladas.

Com relacao ao numero de time steps, no entanto, ha um impasse referente ao custo

computacional. Simular e salvar no modelo precursor uma quantidade de steps equivalente


Figura 10 – Apos atingir um estado de turbulencia, um perfil de velocidade em um plano dasimulacao auxiliar e copiado e inserido na corrida principal

Fonte: Ferrante e Elghobashi (2004, p. 373)

a utilizada na simulacao principal pode levar a uma grande demanda pela capacidade de

armazenamento, dependendo da dimensao dos dados que compoem a biblioteca.

Entretanto, uma simulacao mais extensa do que a biblioteca pre-computada implica na

introducao de um comportamento periodico na mesma, o que pode afetar significantemente os

resultados. Para um caso em que o numero de time steps da simulacao exceda o disponıvel

na biblioteca, tem-se que serao inseridos novamente os dados atribuıdos aos steps iniciais

(WANG; BAI, 2004).

E possıvel eliminar a periodicidade com a introducao de transformacoes aleatorias, o

que traz uma maior dificuldade ao processo. Conforme estudado por Chung e Sung (1997),

pode-se manipular e destruir essa tendencia, inserindo ruıdos nas funcoes, alterando os dados

temporais.

Por fim, Li et al. (2018) propoem outro metodo de geracao de uma biblioteca de

dados a partir de um experimento real. Por meio da velocimetria por imagem de partıculas

(PIV), uma tecnica optica nao invasiva, e possıvel detectar as estruturas de turbulencia

no escoamento para, em seguida, incorpora-las na condicao de contorno. Os dados sao

diretamente inseridos no domınio com UDF (User Defined Functions) para cada time step.

Assim, devido ao fato de gerarem turbulencia real, os metodos precursores mostram-


se mais precisos quando comparados aos metodos de sıntese. No entanto, desenvolver um

escoamento com turbulencia desejada (plenamente desenvolvida ou nao) pode ser uma tarefa

difıcil quando utilizados metodos precursores, em razao de sua caracterıstica cıclica, com

resistencia a adaptacao por mudancas repetidas nas condicoes de entrada.

4.2 Metodo de Sıntese

Os Metodos de Sıntese geram especies de flutuacoes aleatorias na entrada do domınio,

que sao combinadas com o escoamento medio na regiao de entrada.

O metodo mais simples de geracao de estruturas turbulentas na entrada de um domınio

e a sobreposicao de perturbacoes gaussianas randomicas na velocidade media do escoamento.

Entretanto, esses ruıdos ignoram que ha relacao entre componentes de velocidade, como no

tensor de Reynolds, e nao possuem coerencia no espaco (VERSTEEG; MALALASEKERA,

2007). Assim, acabam sendo destruıdos quando aplicada a Equacao de Navier-Stokes.

Outras tecnicas mais avancadas de geracao de eddies tem como foco o desenvolvimento

de condicoes de contorno mais realistas e que possam ser parametrizadas e ajustadas de

acordo com o desejado (TABOR; BABA-AHMADI, 2010). Logo, deve ser introduzida uma

correlacao espacial e/ou temporal. Tais formas facilitam a especificacao dos parametros de

turbulencia pretendidos, alem de serem rapidos e de facil modificacao. Por outro lado, podem

ser bastante imprecisos e podem necessitar de uma secao de desenvolvimento das flutuacoes

aleatorias em real turbulencia.

De acordo com ANSYS (2015), estao disponıveis tres alternativas na interface grafica

do software ANSYS Fluent. A primeira, identificada como “No Perturbations”, ignora a

presenca de componentes estocasticos na velocidade da condicao de contorno de entrada,

sendo utilizada para geometrias em que a turbulencia nao tenha contribuicao consideravel.

Pode ser determinado, nesse caso, o perfil de velocidade no plano de entrada com base no

perfil de velocidade obtido em uma simulacao RANS previamente realizada.

Os dois outros metodos, denominados Spectral Synthesizer e Vortex Method, serao

discutidos a seguir.

4.2.1 Tecnica de Fourier

Inicialmente proposta por Kraichnan (1970) e modificada por Smirnov, Shi e Celik

(2001), a Random Flow Generation Technique (RFG), ou Spectral Synthesizer no ANSYS

(2015), utiliza a Tecnica de Fourier para criar um campo de flutuacoes de velocidade aleatorio

e relativamente simples. Esse campo pode ser utilizado para geracao de estruturas turbulen-


tas com coerencia espacial em escoamentos nao-homogeneos, com divergencia quase nula e

anisotropicos (SMIRNOV; SHI; CELIK, 2001).

Smirnov, Shi e Celik (2001) propoem um algoritmo de tres etapas para obtencao do

campo de flutuacoes de velocidade. Para tal, basta que sejam fornecidos o tensor de Reynolds

e as escalas de tempo e de comprimento (VASATURO et al., 2018).

O primeiro passo do metodo implica na diagonalizacao do tensor anisotropico de

turbulencia, Rij, por meio de um tensor de transformacao ortogonal, Aij.

Rij = u′iu′j (4.2)

AmiAnjRij = δmnλ2(n) (4.3)

AikAkj = δij (4.4)

onde λ(n) atua como uma representacao das flutuacoes de velocidade u′i no novo sistema

de coordenadas produzido por Aij (SMIRNOV; SHI; CELIK, 2001).

O passo seguinte implica na geracao de um campo transiente tridimensional inter-

mediario por meio do metodo apresentado por Kraichnan (1970), que representa as flutuacoes

turbulentas por uma serie de Fourier em sua forma harmonica, como uma soma de senos e

cossenos com fases e amplitudes randomicas (TABOR; VILLIERS, 2004). A utilizacao dessas

funcoes periodicas fornece coerencia espacial e temporal na regiao de entrada.

v′i(x, t) =

√2

N

N∑n=1

[pni cos(knj xj + ωnt) + qni sin(knj xj + ωnt)] (4.5)

onde

xj =xj∆, t =

t

τ, c =

∆

τ, knj = knj

c

λ(j)

(4.6)

pni = εijmζnj k

nm, q

ni = εijmξ

nj k

nm (4.7)

sendo pni e qni a amplitude das funcoes harmonicas, εijm o sinal Levi-Civita para

permutacoes e:

ζni , ξni , ωn ∈ N(0, 1), kni ∈ N

(0,

1

2

)(4.8)

em que um caso generico N(M, σ) denota uma variavel aleatoria sob uma distribuicao

normal com media M e desvio padrao σ (WANG et al., 2015).


Figura 11 – Modelos espectrais de energia

Fonte: Huang, Li e Wu (2010, p. 601)

Alem disso, knj e ωn representam, respectivamente, um conjunto de n vetores de

numero de onda e de n frequencias temporais do espectro de energia, expressado por:

E(k) = 16

√2

πk4exp(−2 k2) (4.9)

Por fim, a ultima etapa e composta pelo redimensionamento e pela transformacao

ortogonal do campo v′i (Equacao 4.5), resultando em um campo de flutuacoes de velocidade

sintetico, aqui denotado por u′i.

u′i = Aikλ(k)v′(k) (4.10)

no qual λ(k) e um fator para redimensionamento, enquanto que v′(k) e o vetor que

representa as flutuacoes de velocidade dependentes no tempo a serem transformadas pelo

tensor Aij.

Uma desvantagem dessa abordagem e que as variacoes temporais e espaciais das flu-

tuacoes de velocidade concordam apenas com uma distribuicao gaussiana, conforme repre-

sentado na Figura 11.

Desse modo, outros metodos foram desenvolvidos com o objetivo de aprimorar a

Tecnica de Fourier. Huang, Li e Wu (2010), com base nos estudos que o precederam, de-

senvolveram a DSRFG (Discretizing and Synthesizing Random Flow Generation Technique).


Nesse metodo, o campo de flutuacoes pode satisfazer uma ampla gama de modelos, o que e

particularmente util em escoamentos nos quais a energia da subfaixa inercial nao pode ser

desprezada (CASTRO; PAZ; SONZOGNI, 2011).

4.2.2 Metodo dos Vortices

O Metodo dos Vortices se baseia em tratamentos lagrangianos bidimensionais de

vortices. Seu funcionamento implica na geracao de vortices dependentes no tempo atraves

de um campo de vorticidade bidimensional, normal ao escoamento, por onde sao inseridos

ao domınio.

Inicialmente proposto por Sergent (2002), esse metodo apresenta uma vantagem quando

comparado a Tecnica de Fourier, pois necessita de um comprimento menor do domınio a ju-

sante do inlet para desenvolver uma turbulencia realista (TABOR; BABA-AHMADI, 2010).

Matematicamente, o vetor vorticidade, ω, pode ser definido pelo rotacional da velo-

cidade:

ω = ∇× u (4.11)

Aplicando-se o rotacional as Equacoes de Navier-Stokes (2.18a, 2.18b e 2.18c), e

possıvel escrever a equacao bidimensional de transporte de vorticidade.

∂ω

∂t+ (u.∇)ω = ν∇2ω (4.12)

Na Equacao 4.12, o vetor velocidade, u, pode ser decomposto da seguinte forma:

u = ∇×ψ +∇φ (4.13)

no qual ψ = (ψ, 0, 0) e o vetor potencial e φ, o potencial de velocidade (CAVAL-

CANTI, 2001). Adotando essa notacao simplificada, podemos representar o componente de

vorticidade ω na direcao do escoamento por:

ω = −∇2ψ (4.14)

Utilizando a funcao de Green para domınios bidimensionais, aplicada para solucionar

equacoes diferenciais por meio da adicao de operadores integrais, e possıvel resolver a Equacao

4.14 em termos de funcao de corrente.

ψ(x) = − 1

2π

∫ ∫R2

ln|x− x ′|ω(x ′)dx ′ (4.15)


Aplicando a solucao obtida em 4.15 na equacao para o vetor velocidade, em 4.13,

tem-se a conhecida lei de Biot-Savart (MATHEY et al., 2006):

u(x) = − 1

2π

∫ ∫R2

(x− x ′)× ω(x ′) · n|x− x ′|2

dx ′ (4.16)

onde o vetor n e o vetor unitario na direcao do escoamento.

Para solucionar a Equacao 4.16, e utilizado o metodo lagrangiano de discretizacao

de partıculas. Diferentemente da abordagem euleriana, que tem como objeto o escoamento,

o metodo lagrangiano acompanha a partıcula em cada instante ao longo de sua trajetoria

(BRUNETTI, 2008). As partıculas, no caso, vortices pontuais, se movem aleatoriamente,

carregando informacoes sobre o campo de vorticidade.

Assim, o campo de vorticidade total pode ser considerado como a soma discreta dos

campos gerados por cada vortice (SERGENT, 2002). Para um numero de vortices N , os

quais sao definidos por suas posicoes centrais, xi, o campo de vorticidade total pode ser

escrito como:

ω(x, t) =N∑i=1

Γi(t)η(|x− xi|, t) (4.17)

A circulacao referente a uma determinada partıcula, representada por Γi, e uma me-

dida da rotacao em um fluido capaz de controlar a intensidade das flutuacoes e pode ser dada

conforme a equacao a seguir:

Γi(x, y) = 4

√πSk(x, y)

3N(2ln(3)− 3ln(2))(4.18)

com N representando o numero de vortices injetados no plano, S a area do plano de

injecao dos vortices, perpendicular a direcao do escoamento, e k a energia cinetica turbulenta.

Em adicao, η pode ser interpretada como uma funcao de distribuicao espacial.

η(x) =1

2πσ2

(2e−

|x|2

2σ2 − 1

)2e−

|x2|2σ2 (4.19)

O parametro σ e o responsavel pelo controle do tamanho da partıcula, podendo variar

em um intervalo de 0,005 a 0,1 (SERGENT, 2002). Esse parametro e calculado a partir

do perfil da energia cinetica turbulenta media e da taxa de dissipacao media na regiao de

entrada (ANSYS, 2015).

σ = ck3/2

2ε(4.20)

onde c = C3/4µ e Cµ = 0, 09 (MATHEY et al., 2006).


Com o objetivo de garantir que todos os vortices sejam resolvidos, o menor valor de

σ na Equacao 4.20 e limitado pelo tamanho da submalha, ∆, ou seja, σ ≥ ∆.

Por fim, o campo de velocidade e dado por:

u(x) =1

2π

N∑i=1

Γi(xi − x)× n|x− xi|2

(1− e−

|x−xi|2

2σ2

)e−|x−xi|

2

2σ2 (4.21)

Para a aplicacao do metodo de vortices, e necessario seguir a metodologia descrita por

Sergent (2002), utilizada como algoritmo interno no software ANSYS Fluent e exemplificada

na Figura 12, conforme segue:

• Inicialmente, e necessario gerar um campo de vortices, sendo a posicao dos centros, xi,

determinada aleatoriamente. Os diametros desses vortices podem ser determinados de

acordo com suas posicoes ou entao fixados.

• A circulacao de cada vortice e determinada em funcao de sua posicao no plano de

injecao. A direcao da rotacao de cada vortice e estabelecida aleatoriamente.

• Definido o campo de vorticidade, pode-se calcular o campo de velocidade utilizando

a Equacao 4.21. Introduz-se, portanto, o campo de velocidade obtido no plano de

injecao na forma de um campo de flutuacoes, que sera sobreposto a velocidade media

do escoamento.

• Em seguida, os vortices serao deslocados no plano em uma direcao aleatoria com uma

velocidade constante ou em funcao de sua posicao.

• Por fim, apos um intervalo de tempo determinado, τ , deve-se alterar a orientacao

da circulacao, invertendo vortices escolhidos aleatoriamente. O objetivo dessa etapa

e evitar a formacao de estruturas muito grandes, que ocupem extensa proporcao do

domınio.

A cada passo de tempo τ , conforme o vortice assume nova posicao, os valores da

energia cinetica turbulenta ki, taxa de dissipacao εi, circulacao Γi e comprimento da partıcula

σi sao atualizados (PENTTINEN; NILSSON, 2015). Quando a orientacao da circulacao e

alterada, considera-se que o vortice e exterminado e outro vortice surge em seu lugar. Por

isso, denomina-se o perıodo τ como o tempo de vida de um vortice (XIE, 2016), sendo

τ = k/ε.

Sergent (2002) tambem propoe a adocao de vortices virtuais, denominados “fantas-

mas”, situados no interior da parede. O vortice real, ao se aproximar da parede, seria

influenciado por um vortice virtual de proporcoes identicas, apresentando o mesmo sentido

de circulacao. Assim, a velocidade induzida pelo vortice real cairia gradualmente conforme


Figura 12 – Esquema do Metodo dos Vortices

Fonte: Xie (2016, p. 30) e Sergent (2002, p. 76)

se diminui a distancia entre a parede e o mesmo, ate atingir velocidade zero na parede,

obedecendo a condicao de nao deslizamento.

O metodo de vortices, no entanto, considera apenas as flutuacoes de velocidade no

plano normal a direcao do escoamento. E necessario, portanto, utilizar mais uma equacao

para se obter as flutuacoes de velocidade restantes.

Para gerar as flutuacoes na direcao do escoamento, Sergent (2002) utiliza-se da Equacao

de Langevin (4.22). O desenvolvimento da Equacao 4.22 para a Equacao 4.23 encontra-se

detalhado em sua tese.

du′i = −u′i

τdt+ (c0ε)

1/2dWi(t) (4.22)

du′i = − c1

2τu′idt+ (c2 − 1)u′j

∂ui∂j

dt+ (c0ε)1/2dWi(t) (4.23)

onde co, c1 e c2 sao constantes e Wi representa um processo de Wiener.

A Equacao 4.23 satisfaz as flutuacoes de velocidade na direcao do escoamento (BE-

NHAMADOUCHE et al., 2006). Para as outras direcoes, efetuou-se o calculo por meio da

aplicacao do metodo dos vortices (SERGENT, 2002).


A correlacao entre u′i e u′j, presente no segundo termo da equacao, faz com que a

coerencia das flutuacoes u′j, existente devido aos vortices, seja transmitida as flutuacoes de

velocidade na direcao do escoamento, apresentando, com isso, uma coerencia espaco-temporal

(SERGENT, 2002).

Mathey et al. (2006), por outro lado, propoem a utilizacao de um Modelo Cinematico

Linear (Linear Kinematic Model - LKM) para obter as flutuacoes. Esse modelo projeta

sobre o campo de velocidade medio a influencia dos vortices bidimensionais gerados no plano

da entrada. E essa a abordagem utilizada no ANSYS Fluent (ANSYS, 2015). Quando

comparado com o metodo de Sergent (2002), o LKM mostra-se mais vantajoso devido ao fato

de que preserva inteiramente o comportamento espacial dos vortices ao longo do escoamento

e os torna independentes de τ , seu tempo de vida.

Conforme observado em ANSYS (2015), se a velocidade media na direcao do escoa-

mento, u, for considerada como um escalar passivo, a flutuacao u′, resultante do transporte

de u por v′, pode ser obtida por:

u ′ = −v ′ · g (4.24)

no qual g e o vetor unitario, alinhado ao gradiente de velocidade media ∇u, e v′ e

o campo de flutuacao de velocidade do plano de injecao bidimensional adotado no Metodo

dos Vortices. Caso esse gradiente seja igual a zero, considera-se uma perturbacao aleatoria

(ANSYS, 2015).

Por fim, as flutuacoes de velocidade ao longo das tres direcoes sao redimensionadas por

meio da diagonalizacao do tensor de Reynolds (VASATURO et al., 2018), conforme segue:

(u′i)redim. = u′i

√3u′iu

′i

2k(4.25)

48

5 Resultados e Discussoes

Conforme visto anteriormente no Capıtulo 4, no software ANSYS Fluent estao dis-

ponibilizados, alem de metodos precursores, que devem ser desenvolvidos pelo usuario, dois

metodos de sıntese, denominados Vortex Method (Metodo dos Vortices) e Spectral Synthesi-

zer (com base na Tecnica de Fourier). Uma outra opcao, denominada No Perturbations, ou

seja, sem perturbacoes, implica em uma simulacao na qual a turbulencia nao e imposta na

regiao de entrada, mas sim gerada naturalmente ao longo do domınio.

A fim de comparar o impacto causado pela escolha do metodo estocastico de entrada

para escoamentos em tubulacoes, Mathey et al. (2006) analisam o comportamento do Metodo

dos Vortices e de um metodo precursor em um trecho reto com raio R e comprimento L. A

malha utilizada foi uma malha hıbrida, com elementos hexaedricos e com prismas no centro

da tubulacao. Alem disso, para a resolucao numerica, foi utilizado o modelo de submalha

WALE no escoamento e na regiao da parede.

Para essa simulacao, o perfil de velocidade medio na direcao do escoamento, assim

como os perfis de energia cinetica turbulenta e da taxa de dissipacao foram obtidos por meio

de uma simulacao independente utilizando o modelo RANS. Os dados dessa simulacao foram,

portanto, extraıdos e importados na simulacao com modelo LES. Esse procedimento garante

que os dados inseridos sejam mais fieis a realidade.

Quanto ao numero de vortices, N , Gerasimov (2016) recomenda que este seja uma

funcao do numero de elementos no inlet, aqui denominado E, tal que:

N =E

4(5.1)

Em seu experimento, Mathey et al. (2006) utiliza um valor N = 200, proximo ao valor

padrao de N = 190, disponıvel no Fluent. Esse dado nao esta de acordo com o proposto na

Equacao 5.1, tendo em vista que a malha utilizada na regiao de entrada foi determinada com

46 elementos ao longo do raio e 80 elementos ao longo do angulo.

A Figura 13 apresenta tres cortes transversais da tubulacao. As secoes (a) e (b)

representam, respectivamente, os planos de entrada e saıda da tubulacao em uma simulacao

com o Metodo dos Vortices como gerador de estruturas turbulentas na entrada. Por fim, a

secao (c) representa um plano retirado por meio do metodo de simulacao precursora, no qual

uma secao especıfica da geometria e periodicamente realimentada na entrada do domınio.

E possıvel notar que as linhas de corrente das Figuras 13b e 13c assumem um com-

portamento distinto na regiao proxima a parede. Esse resultado e descrito por Kim (1985)

sob o termo bursting, que ocasiona aproximadamente 70% de toda a turbulencia. O fluido,

Capıtulo 5. Resultados e Discussoes 49

Figura 13 – Velocidade instantanea na direcao do escoamento (a) com Metodo dos Vorticesno inlet, (b) com Metodo dos Vortices no outlet e (c) com uma simulacao pre-cursora periodica

Fonte: Mathey et al. (2006, p. 64)


em alta velocidade, se choca contra a parede e cria um gradiente de pressao contrario, pro-

movendo uma ejecao do fluido na direcao contraria a parede. Por fim, sao formados pares de

estruturas turbulentas com rotacoes opostas, que acarretam em uma desaceleracao na regiao

interna (BUARQUE, 2007).

Tal movimentacao nao ocorre com a mesma intensidade na Figura 13a, devido ao

tamanho das estruturas turbulentas que foram sintetizadas no plano de entrada. No inlet,

essas flutuacoes, por serem pequenas, nao sao suficientes para ocasionar ejecao relevante na

regiao da parede.

O LES periodico pode ser tido como o metodo mais preciso, pois respeita a coerencia

espacial e temporal, gerando turbulencia real, contrario dos metodos de sıntese (TABOR;

BABA-AHMADI, 2010). Entretanto, pode nao ser o mais eficiente quando em aplicacoes

industriais, devido ao custo computacional implicado para se realizar o processo de retroali-

mentacao no plano de entrada e tambem para a utilizacao de simulacoes adicionais.

Tal afirmacao pode ser comprovada pelas Figuras 14 e 15. O primeiro grafico descreve

o perfil de velocidade media (U+) e o segundo, o perfil das flutuacoes de velocidade normais a

parede (u′+), ambos adimensionalizados atraves da divisao pela velocidade de atrito uτ e em

funcao da distancia a parede adimensional (r+). Uma observacao pode ser feita com relacao

a utilizacao da escala logarıtmica no grafico de velocidade media para melhor visualizacao.

Figura 14 – Perfil de velocidade media



Figura 15 – Perfil de velocidade RMSE


Pode-se perceber que a utilizacao de metodos precursores gera resultados bem proximos

aos obtidos em simulacoes utilizando o modelo DNS, principalmente nas regioes mais proximas

a parede.

Os graficos das Figuras 14 e 15 tambem evidenciam a curva para os perfis obtidos em

duas posicoes ao longo do escoamento utilizando o metodo de sıntese dos vortices. As posicoes

escolhidas foram x = L/2, representando a metade do domınio, e x = L representando sua

saıda. Fica claro que o Metodo dos Vortices nao e tao preciso quanto o metodo precursor

utilizado, superestimando mais ainda da curva do modelo DNS. Entretanto, percebe-se que

os 4 casos apresentam tendencia similar e, no caso da velocidade RMSE, com pico na mesma

regiao.

Com o objetivo de comparar os metodos sinteticos, foram realizadas tres simulacoes

identicas, com variacao apenas no metodo de geracao de turbulencia na entrada da tubulacao.

O modelo Smagorinsky-Lilly Dinamico, ja descrito na Secao 3.2.2, foi escolhido para modela-

gem das escalas de submalha. A geometria possuıa um diametro de 19 mm e um comprimento

de 500 mm.

Os computadores utilizados possuıam processador i9-9900K, memoria RAM de 16 GB

e sistema operacional Windows 10. Alem disso, o ANSYS Fluent adotado para esse trabalho

se encontrava na versao 2019 R3, no qual foi escolhida a opcao de processamento serial.

A malha foi definida de forma analoga, conforme se evidencia na Figura 16, com

elementos hexaedricos e prismas no centro da tubulacao e aproximadamente 3×103 elementos


na face de entrada.

Figura 16 – Disposicao da malha na face de entrada o domınio

Fonte: Elaborado pelos autores

Para realizar o acoplamento pressao-velocidade, foi utilizado o esquema SIMPLEC.

Em relacao a discretizacao espacial, utilizou-se o metodo Least Squares Cell Based para o

gradiente, para a pressao, optou-se pelo esquema de segunda ordem e, para o momentum,

foi escolhido o esquema Bounded Central Differencing. A discretizacao temporal foi feita

utilizando a formulacao Bounded Second Order Implicit.

Inicialmente, realizou-se a simulacao com auxılio da opcao No Perturbations, a qual

ignora a necessidade das perturbacoes na entrada do domınio. A Imagem 17 representa um

corte transversal realizado em tres pontos do escoamento: o plano de entrada (inlet), um

plano situado na metade do comprimento da tubulacao (0,25 m) e o plano de saıda (outlet).

Figura 17 – No Perturbations : perfil de velocidade instantanea no inlet (esquerda), na me-tade do comprimento do trecho reto (centro) e no outlet (direita)



Os valores maximos e mınimos foram definidos em cada imagem para que as tres

possuıssem a mesma escala.

No entanto, percebe-se que a turbulencia se desenvolve gradualmente ao longo do

domınio, o que era esperado, devido a nao imposicao das flutuacoes na regiao de entrada.

Logo, o perfil apresentado se deve ao desenvolvimento do escoamento realizado previamente

com auxılio do modelo RANS.

Figura 18 – No Perturbations : perfil de velocidade media na direcao do escoamento


A Figura 18 evidencia a rapidez com a qual o escoamento se desenvolve, a partir do

perfil de velocidade exportado da simulacao RANS. Nesse grafico, sao comparados os tres

perfis de velocidade media, extraıdos dos pontos de entrada, medio e de saıda. Em adicao,

na Figura 19, pode-se perceber a ausencia das flutuacoes de velocidade na regiao de entrada

conforme se distancia da parede, o que e destacado pela linha azul do grafico sobrepondo o

eixo das abscissas.


Figura 19 – No Perturbations : perfil de velocidade RMSE


Em seguida, realizando a simulacao com o Vortex Method, o Metodo dos Vortices

descrito na Secao 4.2.2, como opcao de geracao de turbulencia no plano de entrada, foi

obtido o perfil ilustrado na Figura 20. Para tal, foi utilizada a Equacao 5.1, resultando

em N = 866 vortices na regiao de entrada. Alem disso, tambem foi selecionada a opcao

“Satisfy Mass Conservation” no ANSYS Fluent, o que garante maior estabilidade e tambem

a geracao de flutuacoes mais proximas da realidade por obedecer a conservacao de massa

para as flutuacoes a serem geradas no Metodo dos Vortices (ANSYS, 2015).

Figura 20 – Vortex Method : perfil de velocidade instantanea no inlet (esquerda), na metadedo comprimento do trecho reto (centro) e no outlet (direita)



Apos analise a Figura 20, e possıvel notar que o comportamento evidenciado por

Mathey et al. (2006) se repete.

Figura 21 – Vortex Method : perfil de velocidade media na direcao do escoamento


Figura 22 – Vortex Method : perfil de velocidade RMSE


Com relacao ao perfil de velocidade media, tambem e percebida extraordinaria seme-

lhanca com os resultados obtidos anteriormente, conforme indica o grafico na Figura 21. Para

o plano de saıda e para um plano situado na metade do comprimento da tubulacao, os perfis


sao bem proximos, revelando certa qualidade na geracao proposta pelo Metodo dos Vortices.

Em comparacao com o grafico da Figura 18, referente a opcao No Perturbations, nota-se que

o metodo dos Vortices e capaz de atingir um estado de turbulencia de forma mais rapida.

Na Figura 22, os perfis de velocidade RMSE tambem estao de acordo com o esperado,

inclusive para a regiao de pico. O inlet, entretanto, devido a sua caracterıstica aleatoria, nao

nao pode ser utilizado como parametro, tendo sido ilustrado apenas para exemplificacao.

Em seguida, foi realizada a simulacao com auxılio do metodo estocastico Spectral

Synthesizer, baseado na Tecnica de Fourier, comentada na Secao 4.2.1.

Figura 23 – Spectral Synthesizer : perfil de velocidade instantanea no inlet (esquerda), nametade do comprimento do trecho reto (centro) e no outlet (direita)


E perceptıvel, apos uma analise inicial na Figura 23, que esse metodo apresenta

uma distribuicao radial que se propaga de forma branda e bem distribuıda. Tais resulta-

dos assemelham-se ligeiramente aos obtidos para o caso sem perturbacoes.

Como consequencia, o perfil de velocidade media, evidenciado na Figura 24, e tambem

semelhante ao da Figura 18, com diferencas quase imperceptıveis. Tal comportamento evi-

dencia a influencia ainda exercida pelos dados importados da simulacao RANS nesse modelo

de turbulencia. O perfil de velocidade RMSE, no entanto, apresenta flutuacoes no plano de

entrada ligeiramente distintas e crescentes para regioes mais afastadas da parede.

Conforme afirmado por Mathey et al. (2006), o pico de flutuacao e superestimado,

ou seja, os valores apresentados sao maiores do que os valores das flutuacoes percebidos na

realidade. Logo, quanto mais proximo da curva no modelo DNS, mais preciso e o modelo

de turbulencia. Deste modo, percebe-se que os valores de pico apresentados no grafico da

Figura 22 (Vortex Method) sao inferiores aos das Figuras 19 (No Perturbations) e 25 (Spectral

Synthesizer), o que evidencia a necessidade de metodos eficientes de geracao de componentes

estocasticos para a qualidade dos resultados encontrados no problema em estudo.


Figura 24 – Spectral Synthesizer : perfil de velocidade media na direcao do escoamento


Figura 25 – Spectral Synthesizer : perfil de velocidade RMSE


Por fim, e importante ressaltar que a restricao do numero de elementos, devido a

utilizacao do software ANSYS Fluent em sua versao estudantil, impossibilitou que fosse

adotada uma malha mais refinada. Tal disposicao foi crucial para a limitacao com relacao

ao numero de pontos dispostos nos graficos e, por consequencia, a precisao dos mesmos.

58

6 Conclusao

Os diferentes metodos disponıveis para geracao de condicoes de entrada turbulentas

no software ANSYS Fluent foram simulados e estudados. A simulacao teve como foco a

analise da influencia desses metodos em uma geometria de um trecho reto de uma tubulacao.

A partir dos resultados de cada simulacao, foram extraıdos os perfis de velocidade

instantanea para tres pontos do domınio, alem de graficos de velocidade media e velocidade

RMSE em funcao da distancia radial a parede.

O Vortex Method, baseado em um metodo de sıntese denominado como Metodo dos

Vortices, tem como princıpio a geracao de vortices bidimensionais no plano de entrada a

serem tratados por uma otica lagrangiana, no qual o vortice e a partıcula a ser analisada. Um

algoritmo determina aleatoriamente a posicao e orientacao dos vortices de forma periodica.

Esse metodo apresentou maior variacao nos perfis de velocidade ao longo da tubulacao.

Quando comparados com a literatura, seus resultados se mostraram coerentes, com pequeno

distanciamento com relacao a uma simulacao com DNS.

Tambem em comparacao ao modelo DNS, a utilizacao de metodos precursores evi-

denciou maior precisao nos resultados em comparacao aos metodos de sıntese. Embora mais

custosos computacionalmente e muitas vezes inviaveis em aplicacoes industriais, os metodos

precursores produzem turbulencia real extremamente semelhante a produzida em uma si-

mulacao com modelo DNS. Logo, assume-se que, para a geometria analisada, o erro perpetu-

ado pela retroalimentacao acaba sendo inferior ao erro proveniente de flutuacoes produzidas

sinteticamente.

O segundo metodo de sıntese, Spectral Synthesizer, baseado na Tecnica de Fourier,

sugere uma serie de operacoes a serem realizadas para se obter um campo de flutuacoes

turbulentas representado por uma serie de Fourier harmonica com fases e amplitudes pro-

porcionadas aleatoriamente.

Esse metodo nao apresentou grandes vantagens para o domınio estudado, visto que

seus resultados, ao final da simulacao, assemelhavam-se ligeiramente aos produzidos por uma

simulacao sem a geracao de perturbacoes na regiao da entrada. O perfil apresentado na

regiao de saıda da tubulacao era semelhante ao perfil de velocidades importado na entrada,

obtido por meio de uma simulacao previa com modelo RANS. Por meio do grafico de ve-

locidades, foi possıvel confirmar a afirmacao de que a Tecnica de Fourier necessita de um

comprimento maior do domınio a jusante do inlet para desenvolver uma turbulencia realista

quando comparada ao Metodo dos Vortices.

Por fim, para maior confiabilidade dos resultados, recomenda-se repetir o procedi-

Capıtulo 6. Conclusao 59

mento com uma malha mais refinada, visto que a limitacao na versao estudantil permitiu

apenas a realizacao de estudos qualitativos. Alem disso, como sugestao para estudos futuros,

e indicada uma investigacao acerca das flutuacoes de pressao para determinar a influencia

dos metodos observados em analises de interacao fluido-estrutura em tubulacoes.

60

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