o geogebra e a geometria plana: um estudo de caso …
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O GEOGEBRA E A GEOMETRIA PLANA: UM ESTUDO DE CASO
COM TURMAS DE 6º ANO
Franciele Buss Frescki Kestring
Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR
Resumo: Este artigo buscou apresentar a experiência da utilização do software GeoGebra para o ensino
de geometria plana em três turmas de 6º ano ao investigar as propriedades geométricas de
alguns polígonos. Os alunos de três turmas de 6º ano tiveram aulas de geometria plana em sala,
utilizando como recurso didático a TV Pendrive, livro didático, quadro, instrumentos de
desenho (régua, compasso, transferidor, esquadros). Posteriormente, no laboratório de
informática, utilizaram o software GeoGebra para realizar o estudo dos polígonos. Fez-se a
apresentação e familiarização com as ferramentas e interface do GeoGebra. A seguir, foram
realizadas algumas atividades envolvendo ponto, reta, segmentos de reta, semirreta, polígonos
regulares e irregulares e posições relativas entre retas no plano. Os alunos das três turmas
demonstraram grande interesse na utilização do software e realizaram todas as atividades
propostas. Tais atividades foram, posteriormente, avaliadas, sendo que a maioria dos alunos
conseguiu realizá-las com êxito, inserindo comentários que evidenciaram sua aprendizagem.
Pelo relato dos próprios alunos, sentiram- mais criadores de sua própria aprendizagem do que
simples receptores de conteúdos.
Palavras-chave: Softwares livres. Ensino de matemática. Geometria plana.
Introdução
Na realidade das escolas de hoje, as novas tecnologias da informação e
comunicação, TIC, devem ser usadas como aliadas. Os mantenedores das instituições de
ensino as estão preparando cada vez mais para essa inclusão tecnológica. É o caso do
estado do Paraná, no qual a rede estadual de ensino investiu nas TV Pendrive1,
laboratórios de informática, projetores multimídia, tablets, entre outros.
1 Além das entradas para DVD e VHS e saídas para caixa de som, como um televisor comum, a TV
Pendrive possibilita a exibição de arquivos digitalizados de áudio, imagem e vídeo através de entradas
para mídia de armazenamento, como cartão de memória e pendrive. Também seu tubo de imagem permite
congelamento de imagens sem causar distorções ou alterações na cor.
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Na segunda metade do século XX houve um acelerado desenvolvimento das
tecnologias, especialmente da informática, atingindo as pessoas em diversas formas,
entre elas a forma de computadores de mesa. Os mais diversos setores da sociedade
passaram a utilizar os computadores, e a escola acabou por inseri-lo em suas práticas
educativas. Conforme diz La Taille (1991),
[...] a escola é desafiada a empregar didaticamente uma máquina que ela não
inventou. Mas, para aceitar o desafio, é preciso, num primeiro momento,
verificar se a máquina em questão oferece alguma virtude pedagógica
possível (LA TAILLE, p.12, 1991).
Para possibilitar o uso em diversas áreas, há diferentes tipos de softwares. Os
softwares chamados educacionais visam atender às demandas das escolas no que tange
ao processo de ensino e aprendizagem. Um dos tipos de software educacional que vem
sendo muito comentado e utilizado são os softwares para geometria, havendo um
enorme gama disponível, entre eles os chamados softwares de geometria dinâmica.
Conforme Gravina (1996), por meio de deslocamentos aplicados aos elementos que
compõe o desenho, este se transforma, mantendo as relações geométricas que
caracterizam a situação. A variedade de desenhos estabelece harmonia entre os aspectos
conceituais e figurais; configurações geométricas clássicas passam a ter multiplicidade
de representações; propriedades geométricas são descobertas a partir dos invariantes no
movimento.
Em sala de aula a realidade é que, em geral, os conteúdos de geometria ficam
para o final no ano letivo, muitas vezes não restando tempo para um estudo satisfatório,
no qual o aluno aproprie-se dos conceitos, formulando suas próprias conclusões e sendo
agente ativo em sua aprendizagem.
O tema da utilização de novas tecnologias é um desafio educacional
contemporâneo, sendo atual e relevante a realização de estudos para aprofundamento e
aperfeiçoamento dos educadores.
Este trabalho teve como objetivo relatar a experiência com três turmas de 6º ano
ao motivá-los para o estudo da geometria plana, utilizando o software GeoGebra.
O ensino de Geometria plana
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A Geometria (do grego: GEO = terra; METRIA = medida) é descrita como um
corpo de conhecimentos fundamental para a compreensão do mundo e participação
ativa do homem na sociedade, pois facilita a resolução de problemas de diversas áreas
do conhecimento e desenvolve o raciocínio visual. Está presente no dia-a-dia como nas
embalagens dos produtos, na arquitetura das casas e edifícios, na planta de terrenos, no
artesanato e na tecelagem, nos campos de futebol e quadras de esportes, nas
coreografias das danças e até na grafia das letras. Em inúmeras ocasiões, precisamos
observar o espaço tridimensional como, por exemplo, na localização e na trajetória de
objetos e na melhor ocupação de espaços.
A geometria é a mais antiga manifestação da atividade matemática conhecida.
De acordo Eves (2004), já cerca de 3000 a.C., os antigos Egípcios possuíam os
conhecimentos de geometria necessários para reconstituir as marcações de terrenos
destruídos pelas cheias do rio Nilo, bem como para construir as célebres pirâmides.
Por muito tempo o ensino de geometria conservou-se, por influência da obra de
Euclides, numa abordagem estática. Na década de 1960, todavia, começou a sofrer
mudanças significativas a partir do Movimento da Matemática Moderna. Conforme
Nasser e Tinoco (2001), esse movimento conferiu à Matemática um caráter
estruturalista, que não condizia com a realidade do saber escolar. Diante disso, ocorreu
um abandono do ensino de geometria ou uma intenção de retorno às suas bases
tradicionais.
Sobre a importância da Geometria, Lorenzato (1995) diz que esta tem função
essencial na formação dos indivíduos, pois possibilita uma interpretação mais completa
do mundo, uma comunicação mais abrangente de ideias e uma visão mais equilibrada da
Matemática, porém é pouco estudada nas escolas de Educação Básica.
As novas tecnologias e o ensino de Geometria
Uma das ferramentas mais importantes surgidas nos últimos anos no campo do
ensino gráfico e de geometria foi a Geometria Dinâmica, implementada por programas
como Cabri-Geomètre II (LABORDE & BELLEMAIN, 1994) e The Geometer’s
Sketchpad (JACKIN, 1990). A Geometria Dinâmica é entendida como a capacidade de
construção de entes geométricos com o computador e que podem ser posteriormente
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alteradas em termos de posições, ângulos e dimensões sem que se percam as restrições
pré-estabelecidas, ou seja, as propriedades da construção original. As principais
vantagens na utilização de softwares de Geometria Dinâmica, de acordo com King &
Schattschneider (1997), são: precisão e visualização; exploração e descoberta; provas e
teoremas; transformações e lugares geométricos; simulações e micromundos. É
importante ter em vista que os softwares educacionais não vão resolver todos os
problemas da educação, eles são apenas mais uma possibilidade entre tantas outras,
conforme pontua Valente (2007).
Conforme o Documento das Diretrizes Curriculares de Matemática para a
Educação Básica do Estado do Paraná, “o trabalho com as mídias tecnológicas insere
diversas formas de ensinar e aprender, e valoriza o processo de produção de
conhecimentos” (PARANÁ, 2009, p.66).
Como ressaltam Brandt e Montorfano (2007), a utilização do computador no
ambiente escolar deve ultrapassar o “treino” de professores e alunos para a manipulação
dessas ferramentas para inovar, criar projetos que percebam o professor como mediador
do conhecimento e do aluno, como ser ativo, sujeito do seu próprio conhecimento,
preferencialmente apoiados por uma boa metodologia de ensino. Para Piccoli (2006), a
utilização de softwares em aulas de matemática pode atender a objetivos diversos: ser
fonte de informação, auxiliar o processo de construção de conhecimentos, desenvolver a
autonomia do raciocínio da reflexão e da criação de soluções.
O software GeoGebra
O GeoGebra é um software gratuito de matemática dinâmica, no qual é possível
trabalhar a geometria, a álgebra e o cálculo, foi desenvolvido em linguagem JAVA. Este
software oportuniza a visualização da relação entre a representação algébrica e a
representação geométrica de um objeto em estudo. O software GeoGebra pode ser
instalado nos computadores da escola, sem custo.
O software GeoGebra foi desenvolvido em 2001 pelo austríaco Markus
Hohenwarter da Universidade de Salzburg, que o designou para ensino de Geometria,
Álgebra e Cálculo nas escolas de ensino básico. Foi traduzido para o português por J.
Geraldes.
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A interface do software de geometria dinâmica GeoGebra pode ser considerada
como simples, pois permite ao usuário um fácil entendimento a partir de um menu e
uma lista desdobrável de 12 botões, que oferecem várias possibilidades de construção.
O GeoGebra está rapidamente ganhando popularidade no ensino e aprendizagem
da matemática em todo o mundo. Atualmente, o GeoGebra é traduzido para 58 idiomas,
utilizado em 190 países e baixado por aproximadamente 300.000 usuários em cada mês.
(NASCIMENTO, 2012).
Caracterização da instituição de ensino
Este trabalho foi desenvolvido em uma instituição de ensino pública, localizada
na periferia do município de Medianeira, oeste do Paraná.
Quando da realização da pesquisa, o funcionamento da escola foi em três turnos
(matutino, vespertino e noturno). Em cada turno eram ofertadas as turmas:
• Matutino: um 6º ano, dois 7º ano série, um 8º ano e um 9º ano;
• Vespertino: dois 6º ano, um 7º ano, um 8º ano, um 9º ano.
• Noturno: um 8º ano, um 9º ano, duas 1ª série, duas 2ª série, duas 3ª série
(1ª, 2ª e 3ª série do curso médio).
As turmas de 6º ano, bem como das demais séries dos anos finais do ensino
fundamental, contavam com cinco aulas semanais de matemática. Nesta escola, todas as
turmas de 6º ano tinham a mesma professora de matemática no ano de 2010, cuja
formação era licenciatura em matemática, com especialização em metodologia do
ensino de matemática e física.
A escola possuía um laboratório de informática que contava com 20
computadores com sistema operacional Linux. O software GeoGebra estava instalado
nesses computadores, assim como outros programas para uso educacional.
Metodologia de trabalho
Inicialmente procedeu-se o planejamento das atividades, que foram realizadas
com as três turmas de 6º ano. Em cada turma foram utilizadas sete aulas de 45 minutos
cada, em três dias diferentes.
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Em sala de aula, os alunos foram orientados sobre o software GeoGebra, como é
e como funciona. Já haviam sido trabalhados previamente em sala os conceitos sobre
polígonos, nomenclatura, propriedades, bom como sobre posições relativas entre duas
retas no plano.
No laboratório, os educandos sentaram-se em duplas, pelo motivo do número de
máquinas do laboratório ser inferior ao número de alunos por turma, e ainda algumas
máquinas, às vezes, não funcionavam. Primeiramente, os alunos foram apresentados ao
programa. Depois realizaram atividades com pontos, retas, polígono, círculos e
circunferências, que estão a seguir.
Atividade 01 - Construção de pontos, retas e segmentos.
1. Crie dois pontos livres. Movimente-os.
2. Construa uma reta passando por estes dois pontos.
3. Construa mais dois pontos livres em qualquer lugar da tela, e o segmento de reta com
extremidades nestes pontos.
4. Apague a reta e o segmento construído, inclusive as extremidades (para apagar um
objeto, clique sobre ele com o botão direito do mouse e, a seguir, clique em Apagar).
5. Usando apenas a ferramenta SEGMENTO, construa outro segmento e determine a
sua medida. Movimente uma de suas extremidades. Observe a janela geométrica e a
janela algébrica. Anote suas considerações.
Atividade 2: Construção de polígonos
1. Construir polígonos utilizando a ferramenta “polígono”:
a. Quadrado
b. Triângulo
c. Pentágono
d. Hexágono
2. Construir um polígono sem utilizar a ferramenta POLÍGONO. Anote seus passos.
Atividades 3 – Estudo da circunferência e do círculo:
1. Desativar o eixo, a malha e a janela algébrica e construir uma circunferência que
passa por três pontos.
2. Nomear os pontos por A, B e C.
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3. Marcar a intersecção das duas mediatrizes e nomear por O.
4. Construir os segmentos de reta: AO, BO e CO, rotulá-los e destacá-los em colorido.
O que eles representam na circunferência? Anote seus comentários.
Atividade 04 – Posições relativas entre retas (semirretas ou segmentos) no plano
1) Reta perpendicular
2) Retas paralelas
Os alunos salvaram suas atividades nos computadores, deixando por escrito seus
comentários, explicando como conseguiram construir os entes solicitados. Essas
atividades foram analisadas na hora atividade da professora. A maioria dos alunos
copiou as figuras, colou e salvou em editor de texto.
Resultados e discussões
Foi importante que os alunos visualizassem como é a área de trabalho do
software e conversassem com a interface. Eles observaram cada um dos itens da barra
de menus, com uma breve explicação das funções de cada menu. Os alunos que já
conheciam algum software, como editores de texto ou navegadores, conseguiram
identificar alguns elementos familiares, como os menus “Arquivo” e “Editar”.
Na Figura 1 pode-se observar a área de trabalho do software GeoGebra.
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Figura 1. Área de trabalho do software GeoGebra.
Depois, os alunos visitaram um por um os botões da barra de ferramentas. Eles
puderam perceber que, ao lado desta barra, encontra-se uma breve informação sobre o
nome da função e como utilizá-la.
Em seguida, os estudantes conheceram a janela algébrica e a janela geométrica.
A eles foi explicado que, no momento, seria dado maior ênfase à janela geométrica, pois
era o foco das aulas, e estavam ao alcance dos alunos dos 6ºs anos.
Os alunos aprenderam como salvar um documento, como alterar seu nome e
como abrir um documento já existente para consultá-lo ou editá-lo. Também
aprenderam como inserir comentários dentro de uma janela para, por exemplo, deixar
explicado por escrito como chegaram à solução de um exercício.
Na sequência, foram aplicadas aos alunos as atividades 1, 2, 3 e 4, descritas na
metodologia.
Figura 2. Exemplo de polígonos construídos pelos alunos utilizando o software
GeoGebra, com e sem o uso da ferramenta polígono.
Na Figura 2 pode-se observar o quadrado, que foi construído utilizando-se a
ferramenta polígono, escolhendo a opção de 4 lados, e os demais polígonos, construídos
a partir de pontos dados ou segmentos de reta.
Os alunos criaram e analisaram círculos e circunferências, podendo ser
observado na Figura 3.
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Figura 3. Circunferência criada no software GeoGebra.
Conforme se pode observar na Figura 4, há várias opções para esboçar uma
circunferência ou círculo utilizando o software GeoGebra e a ferramenta
“Circunferência”.
Figura 4. Opções de desenho para circunferência ou círculo
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Utilizando o botão “Reta Perpendicular”, os alunos construíram uma reta e um
ponto fora dela, clicando na ferramenta e obtendo uma perpendicular à reta passando
por tal ponto. Eles observaram que isso vale para segmento e semirreta também.
Figura 5. Opções de reta para esboço, dada a posição relativa.
Considerações finais
Os alunos salvaram suas atividades nos computadores do laboratório do Paraná
Digital. Essas atividades foram analisadas na hora atividade da professora. Foi
solicitado a eles que deixassem por escrito seus comentários, explicando como
conseguiram construir os entes solicitados. A maioria dos alunos copiou as figuras,
colou e salvou em editor de texto.
A maioria dos alunos mostrou-se empolgada com as atividades realizadas em
laboratório. Ressalta-se o interesse dos alunos durante as aulas e a curiosidade dos
alunos, uma vez que o número de perguntas realizadas durante as atividades no
laboratório foram significativamente maior que o número de perguntas as realizadas em
sala de aula.
Os alunos conseguiram assimilar muito bem os conceitos, o que refletiu nas
avaliações realizadas, mesmo as escritas. Foi muito interessante observar que os alunos
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estavam realizando suas próprias descobertas ao manipular os objetos dentro do
software, uma vez que muitas das ações realizadas o software são impraticáveis, senão
impossíveis, de serem realizadas com régua e compasso (por exemplo, construir um
feixe de retas paralelas por construção e mover um ponto, para observar que não deixam
de ser paralelas, não importa a posição na qual se coloque o tal ponto). Essas
descobertas, muitas vezes são muito abstratas para serem passadas em sala, e o
professor, permanecendo apenas com seus comentários, torna-se uma figura vaga para a
turma, o que pode trazer uma falta de interesse dos alunos por suas aulas, indisciplina e,
principalmente, na maioria das vezes, não leva os alunos à construção de conceitos de
geometria.
A partir atividades como essas, os alunos podem sentir-se mais criadores de sua
própria aprendizagem, não simples receptores de conteúdos.
Os alunos que participaram desta pesquisa mostraram-se mais confiantes na
expressão de suas hipóteses a respeito dos entes geométricos, e também mais
participativos das aulas teóricas, querendo explicitar os conceitos que assimilou durante
as aulas no laboratório de informática.
Para os alunos, os conceitos geométricos foram construídos proporcionando a
habilidade em perceber diferentes representações de uma mesma situação e desenvolve
o controle das configurações geométricas levaram às “descobertas” das propriedades.
Referências
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