o geogebra e a geometria plana: um estudo de caso …

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O GEOGEBRA E A GEOMETRIA PLANA: UM ESTUDO DE CASO COM TURMAS DE 6º ANO Franciele Buss Frescki Kestring Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR [email protected] Resumo: Este artigo buscou apresentar a experiência da utilização do software GeoGebra para o ensino de geometria plana em três turmas de 6º ano ao investigar as propriedades geométricas de alguns polígonos. Os alunos de três turmas de 6º ano tiveram aulas de geometria plana em sala, utilizando como recurso didático a TV Pendrive, livro didático, quadro, instrumentos de desenho (régua, compasso, transferidor, esquadros). Posteriormente, no laboratório de informática, utilizaram o software GeoGebra para realizar o estudo dos polígonos. Fez-se a apresentação e familiarização com as ferramentas e interface do GeoGebra. A seguir, foram realizadas algumas atividades envolvendo ponto, reta, segmentos de reta, semirreta, polígonos regulares e irregulares e posições relativas entre retas no plano. Os alunos das três turmas demonstraram grande interesse na utilização do software e realizaram todas as atividades propostas. Tais atividades foram, posteriormente, avaliadas, sendo que a maioria dos alunos conseguiu realizá-las com êxito, inserindo comentários que evidenciaram sua aprendizagem. Pelo relato dos próprios alunos, sentiram- mais criadores de sua própria aprendizagem do que simples receptores de conteúdos. Palavras-chave: Softwares livres. Ensino de matemática. Geometria plana. Introdução Na realidade das escolas de hoje, as novas tecnologias da informação e comunicação, TIC, devem ser usadas como aliadas. Os mantenedores das instituições de ensino as estão preparando cada vez mais para essa inclusão tecnológica. É o caso do estado do Paraná, no qual a rede estadual de ensino investiu nas TV Pendrive 1 , laboratórios de informática, projetores multimídia, tablets, entre outros. 1 Além das entradas para DVD e VHS e saídas para caixa de som, como um televisor comum, a TV Pendrive possibilita a exibição de arquivos digitalizados de áudio, imagem e vídeo através de entradas para mídia de armazenamento, como cartão de memória e pendrive. Também seu tubo de imagem permite congelamento de imagens sem causar distorções ou alterações na cor.

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O GEOGEBRA E A GEOMETRIA PLANA: UM ESTUDO DE CASO

COM TURMAS DE 6º ANO

Franciele Buss Frescki Kestring

Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR

[email protected]

Resumo: Este artigo buscou apresentar a experiência da utilização do software GeoGebra para o ensino

de geometria plana em três turmas de 6º ano ao investigar as propriedades geométricas de

alguns polígonos. Os alunos de três turmas de 6º ano tiveram aulas de geometria plana em sala,

utilizando como recurso didático a TV Pendrive, livro didático, quadro, instrumentos de

desenho (régua, compasso, transferidor, esquadros). Posteriormente, no laboratório de

informática, utilizaram o software GeoGebra para realizar o estudo dos polígonos. Fez-se a

apresentação e familiarização com as ferramentas e interface do GeoGebra. A seguir, foram

realizadas algumas atividades envolvendo ponto, reta, segmentos de reta, semirreta, polígonos

regulares e irregulares e posições relativas entre retas no plano. Os alunos das três turmas

demonstraram grande interesse na utilização do software e realizaram todas as atividades

propostas. Tais atividades foram, posteriormente, avaliadas, sendo que a maioria dos alunos

conseguiu realizá-las com êxito, inserindo comentários que evidenciaram sua aprendizagem.

Pelo relato dos próprios alunos, sentiram- mais criadores de sua própria aprendizagem do que

simples receptores de conteúdos.

Palavras-chave: Softwares livres. Ensino de matemática. Geometria plana.

Introdução

Na realidade das escolas de hoje, as novas tecnologias da informação e

comunicação, TIC, devem ser usadas como aliadas. Os mantenedores das instituições de

ensino as estão preparando cada vez mais para essa inclusão tecnológica. É o caso do

estado do Paraná, no qual a rede estadual de ensino investiu nas TV Pendrive1,

laboratórios de informática, projetores multimídia, tablets, entre outros.

1 Além das entradas para DVD e VHS e saídas para caixa de som, como um televisor comum, a TV

Pendrive possibilita a exibição de arquivos digitalizados de áudio, imagem e vídeo através de entradas

para mídia de armazenamento, como cartão de memória e pendrive. Também seu tubo de imagem permite

congelamento de imagens sem causar distorções ou alterações na cor.

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ISSN 2175 - 2044

Na segunda metade do século XX houve um acelerado desenvolvimento das

tecnologias, especialmente da informática, atingindo as pessoas em diversas formas,

entre elas a forma de computadores de mesa. Os mais diversos setores da sociedade

passaram a utilizar os computadores, e a escola acabou por inseri-lo em suas práticas

educativas. Conforme diz La Taille (1991),

[...] a escola é desafiada a empregar didaticamente uma máquina que ela não

inventou. Mas, para aceitar o desafio, é preciso, num primeiro momento,

verificar se a máquina em questão oferece alguma virtude pedagógica

possível (LA TAILLE, p.12, 1991).

Para possibilitar o uso em diversas áreas, há diferentes tipos de softwares. Os

softwares chamados educacionais visam atender às demandas das escolas no que tange

ao processo de ensino e aprendizagem. Um dos tipos de software educacional que vem

sendo muito comentado e utilizado são os softwares para geometria, havendo um

enorme gama disponível, entre eles os chamados softwares de geometria dinâmica.

Conforme Gravina (1996), por meio de deslocamentos aplicados aos elementos que

compõe o desenho, este se transforma, mantendo as relações geométricas que

caracterizam a situação. A variedade de desenhos estabelece harmonia entre os aspectos

conceituais e figurais; configurações geométricas clássicas passam a ter multiplicidade

de representações; propriedades geométricas são descobertas a partir dos invariantes no

movimento.

Em sala de aula a realidade é que, em geral, os conteúdos de geometria ficam

para o final no ano letivo, muitas vezes não restando tempo para um estudo satisfatório,

no qual o aluno aproprie-se dos conceitos, formulando suas próprias conclusões e sendo

agente ativo em sua aprendizagem.

O tema da utilização de novas tecnologias é um desafio educacional

contemporâneo, sendo atual e relevante a realização de estudos para aprofundamento e

aperfeiçoamento dos educadores.

Este trabalho teve como objetivo relatar a experiência com três turmas de 6º ano

ao motivá-los para o estudo da geometria plana, utilizando o software GeoGebra.

O ensino de Geometria plana

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A Geometria (do grego: GEO = terra; METRIA = medida) é descrita como um

corpo de conhecimentos fundamental para a compreensão do mundo e participação

ativa do homem na sociedade, pois facilita a resolução de problemas de diversas áreas

do conhecimento e desenvolve o raciocínio visual. Está presente no dia-a-dia como nas

embalagens dos produtos, na arquitetura das casas e edifícios, na planta de terrenos, no

artesanato e na tecelagem, nos campos de futebol e quadras de esportes, nas

coreografias das danças e até na grafia das letras. Em inúmeras ocasiões, precisamos

observar o espaço tridimensional como, por exemplo, na localização e na trajetória de

objetos e na melhor ocupação de espaços.

A geometria é a mais antiga manifestação da atividade matemática conhecida.

De acordo Eves (2004), já cerca de 3000 a.C., os antigos Egípcios possuíam os

conhecimentos de geometria necessários para reconstituir as marcações de terrenos

destruídos pelas cheias do rio Nilo, bem como para construir as célebres pirâmides.

Por muito tempo o ensino de geometria conservou-se, por influência da obra de

Euclides, numa abordagem estática. Na década de 1960, todavia, começou a sofrer

mudanças significativas a partir do Movimento da Matemática Moderna. Conforme

Nasser e Tinoco (2001), esse movimento conferiu à Matemática um caráter

estruturalista, que não condizia com a realidade do saber escolar. Diante disso, ocorreu

um abandono do ensino de geometria ou uma intenção de retorno às suas bases

tradicionais.

Sobre a importância da Geometria, Lorenzato (1995) diz que esta tem função

essencial na formação dos indivíduos, pois possibilita uma interpretação mais completa

do mundo, uma comunicação mais abrangente de ideias e uma visão mais equilibrada da

Matemática, porém é pouco estudada nas escolas de Educação Básica.

As novas tecnologias e o ensino de Geometria

Uma das ferramentas mais importantes surgidas nos últimos anos no campo do

ensino gráfico e de geometria foi a Geometria Dinâmica, implementada por programas

como Cabri-Geomètre II (LABORDE & BELLEMAIN, 1994) e The Geometer’s

Sketchpad (JACKIN, 1990). A Geometria Dinâmica é entendida como a capacidade de

construção de entes geométricos com o computador e que podem ser posteriormente

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alteradas em termos de posições, ângulos e dimensões sem que se percam as restrições

pré-estabelecidas, ou seja, as propriedades da construção original. As principais

vantagens na utilização de softwares de Geometria Dinâmica, de acordo com King &

Schattschneider (1997), são: precisão e visualização; exploração e descoberta; provas e

teoremas; transformações e lugares geométricos; simulações e micromundos. É

importante ter em vista que os softwares educacionais não vão resolver todos os

problemas da educação, eles são apenas mais uma possibilidade entre tantas outras,

conforme pontua Valente (2007).

Conforme o Documento das Diretrizes Curriculares de Matemática para a

Educação Básica do Estado do Paraná, “o trabalho com as mídias tecnológicas insere

diversas formas de ensinar e aprender, e valoriza o processo de produção de

conhecimentos” (PARANÁ, 2009, p.66).

Como ressaltam Brandt e Montorfano (2007), a utilização do computador no

ambiente escolar deve ultrapassar o “treino” de professores e alunos para a manipulação

dessas ferramentas para inovar, criar projetos que percebam o professor como mediador

do conhecimento e do aluno, como ser ativo, sujeito do seu próprio conhecimento,

preferencialmente apoiados por uma boa metodologia de ensino. Para Piccoli (2006), a

utilização de softwares em aulas de matemática pode atender a objetivos diversos: ser

fonte de informação, auxiliar o processo de construção de conhecimentos, desenvolver a

autonomia do raciocínio da reflexão e da criação de soluções.

O software GeoGebra

O GeoGebra é um software gratuito de matemática dinâmica, no qual é possível

trabalhar a geometria, a álgebra e o cálculo, foi desenvolvido em linguagem JAVA. Este

software oportuniza a visualização da relação entre a representação algébrica e a

representação geométrica de um objeto em estudo. O software GeoGebra pode ser

instalado nos computadores da escola, sem custo.

O software GeoGebra foi desenvolvido em 2001 pelo austríaco Markus

Hohenwarter da Universidade de Salzburg, que o designou para ensino de Geometria,

Álgebra e Cálculo nas escolas de ensino básico. Foi traduzido para o português por J.

Geraldes.

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A interface do software de geometria dinâmica GeoGebra pode ser considerada

como simples, pois permite ao usuário um fácil entendimento a partir de um menu e

uma lista desdobrável de 12 botões, que oferecem várias possibilidades de construção.

O GeoGebra está rapidamente ganhando popularidade no ensino e aprendizagem

da matemática em todo o mundo. Atualmente, o GeoGebra é traduzido para 58 idiomas,

utilizado em 190 países e baixado por aproximadamente 300.000 usuários em cada mês.

(NASCIMENTO, 2012).

Caracterização da instituição de ensino

Este trabalho foi desenvolvido em uma instituição de ensino pública, localizada

na periferia do município de Medianeira, oeste do Paraná.

Quando da realização da pesquisa, o funcionamento da escola foi em três turnos

(matutino, vespertino e noturno). Em cada turno eram ofertadas as turmas:

• Matutino: um 6º ano, dois 7º ano série, um 8º ano e um 9º ano;

• Vespertino: dois 6º ano, um 7º ano, um 8º ano, um 9º ano.

• Noturno: um 8º ano, um 9º ano, duas 1ª série, duas 2ª série, duas 3ª série

(1ª, 2ª e 3ª série do curso médio).

As turmas de 6º ano, bem como das demais séries dos anos finais do ensino

fundamental, contavam com cinco aulas semanais de matemática. Nesta escola, todas as

turmas de 6º ano tinham a mesma professora de matemática no ano de 2010, cuja

formação era licenciatura em matemática, com especialização em metodologia do

ensino de matemática e física.

A escola possuía um laboratório de informática que contava com 20

computadores com sistema operacional Linux. O software GeoGebra estava instalado

nesses computadores, assim como outros programas para uso educacional.

Metodologia de trabalho

Inicialmente procedeu-se o planejamento das atividades, que foram realizadas

com as três turmas de 6º ano. Em cada turma foram utilizadas sete aulas de 45 minutos

cada, em três dias diferentes.

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Em sala de aula, os alunos foram orientados sobre o software GeoGebra, como é

e como funciona. Já haviam sido trabalhados previamente em sala os conceitos sobre

polígonos, nomenclatura, propriedades, bom como sobre posições relativas entre duas

retas no plano.

No laboratório, os educandos sentaram-se em duplas, pelo motivo do número de

máquinas do laboratório ser inferior ao número de alunos por turma, e ainda algumas

máquinas, às vezes, não funcionavam. Primeiramente, os alunos foram apresentados ao

programa. Depois realizaram atividades com pontos, retas, polígono, círculos e

circunferências, que estão a seguir.

Atividade 01 - Construção de pontos, retas e segmentos.

1. Crie dois pontos livres. Movimente-os.

2. Construa uma reta passando por estes dois pontos.

3. Construa mais dois pontos livres em qualquer lugar da tela, e o segmento de reta com

extremidades nestes pontos.

4. Apague a reta e o segmento construído, inclusive as extremidades (para apagar um

objeto, clique sobre ele com o botão direito do mouse e, a seguir, clique em Apagar).

5. Usando apenas a ferramenta SEGMENTO, construa outro segmento e determine a

sua medida. Movimente uma de suas extremidades. Observe a janela geométrica e a

janela algébrica. Anote suas considerações.

Atividade 2: Construção de polígonos

1. Construir polígonos utilizando a ferramenta “polígono”:

a. Quadrado

b. Triângulo

c. Pentágono

d. Hexágono

2. Construir um polígono sem utilizar a ferramenta POLÍGONO. Anote seus passos.

Atividades 3 – Estudo da circunferência e do círculo:

1. Desativar o eixo, a malha e a janela algébrica e construir uma circunferência que

passa por três pontos.

2. Nomear os pontos por A, B e C.

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3. Marcar a intersecção das duas mediatrizes e nomear por O.

4. Construir os segmentos de reta: AO, BO e CO, rotulá-los e destacá-los em colorido.

O que eles representam na circunferência? Anote seus comentários.

Atividade 04 – Posições relativas entre retas (semirretas ou segmentos) no plano

1) Reta perpendicular

2) Retas paralelas

Os alunos salvaram suas atividades nos computadores, deixando por escrito seus

comentários, explicando como conseguiram construir os entes solicitados. Essas

atividades foram analisadas na hora atividade da professora. A maioria dos alunos

copiou as figuras, colou e salvou em editor de texto.

Resultados e discussões

Foi importante que os alunos visualizassem como é a área de trabalho do

software e conversassem com a interface. Eles observaram cada um dos itens da barra

de menus, com uma breve explicação das funções de cada menu. Os alunos que já

conheciam algum software, como editores de texto ou navegadores, conseguiram

identificar alguns elementos familiares, como os menus “Arquivo” e “Editar”.

Na Figura 1 pode-se observar a área de trabalho do software GeoGebra.

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Figura 1. Área de trabalho do software GeoGebra.

Depois, os alunos visitaram um por um os botões da barra de ferramentas. Eles

puderam perceber que, ao lado desta barra, encontra-se uma breve informação sobre o

nome da função e como utilizá-la.

Em seguida, os estudantes conheceram a janela algébrica e a janela geométrica.

A eles foi explicado que, no momento, seria dado maior ênfase à janela geométrica, pois

era o foco das aulas, e estavam ao alcance dos alunos dos 6ºs anos.

Os alunos aprenderam como salvar um documento, como alterar seu nome e

como abrir um documento já existente para consultá-lo ou editá-lo. Também

aprenderam como inserir comentários dentro de uma janela para, por exemplo, deixar

explicado por escrito como chegaram à solução de um exercício.

Na sequência, foram aplicadas aos alunos as atividades 1, 2, 3 e 4, descritas na

metodologia.

Figura 2. Exemplo de polígonos construídos pelos alunos utilizando o software

GeoGebra, com e sem o uso da ferramenta polígono.

Na Figura 2 pode-se observar o quadrado, que foi construído utilizando-se a

ferramenta polígono, escolhendo a opção de 4 lados, e os demais polígonos, construídos

a partir de pontos dados ou segmentos de reta.

Os alunos criaram e analisaram círculos e circunferências, podendo ser

observado na Figura 3.

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Figura 3. Circunferência criada no software GeoGebra.

Conforme se pode observar na Figura 4, há várias opções para esboçar uma

circunferência ou círculo utilizando o software GeoGebra e a ferramenta

“Circunferência”.

Figura 4. Opções de desenho para circunferência ou círculo

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Utilizando o botão “Reta Perpendicular”, os alunos construíram uma reta e um

ponto fora dela, clicando na ferramenta e obtendo uma perpendicular à reta passando

por tal ponto. Eles observaram que isso vale para segmento e semirreta também.

Figura 5. Opções de reta para esboço, dada a posição relativa.

Considerações finais

Os alunos salvaram suas atividades nos computadores do laboratório do Paraná

Digital. Essas atividades foram analisadas na hora atividade da professora. Foi

solicitado a eles que deixassem por escrito seus comentários, explicando como

conseguiram construir os entes solicitados. A maioria dos alunos copiou as figuras,

colou e salvou em editor de texto.

A maioria dos alunos mostrou-se empolgada com as atividades realizadas em

laboratório. Ressalta-se o interesse dos alunos durante as aulas e a curiosidade dos

alunos, uma vez que o número de perguntas realizadas durante as atividades no

laboratório foram significativamente maior que o número de perguntas as realizadas em

sala de aula.

Os alunos conseguiram assimilar muito bem os conceitos, o que refletiu nas

avaliações realizadas, mesmo as escritas. Foi muito interessante observar que os alunos

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estavam realizando suas próprias descobertas ao manipular os objetos dentro do

software, uma vez que muitas das ações realizadas o software são impraticáveis, senão

impossíveis, de serem realizadas com régua e compasso (por exemplo, construir um

feixe de retas paralelas por construção e mover um ponto, para observar que não deixam

de ser paralelas, não importa a posição na qual se coloque o tal ponto). Essas

descobertas, muitas vezes são muito abstratas para serem passadas em sala, e o

professor, permanecendo apenas com seus comentários, torna-se uma figura vaga para a

turma, o que pode trazer uma falta de interesse dos alunos por suas aulas, indisciplina e,

principalmente, na maioria das vezes, não leva os alunos à construção de conceitos de

geometria.

A partir atividades como essas, os alunos podem sentir-se mais criadores de sua

própria aprendizagem, não simples receptores de conteúdos.

Os alunos que participaram desta pesquisa mostraram-se mais confiantes na

expressão de suas hipóteses a respeito dos entes geométricos, e também mais

participativos das aulas teóricas, querendo explicitar os conceitos que assimilou durante

as aulas no laboratório de informática.

Para os alunos, os conceitos geométricos foram construídos proporcionando a

habilidade em perceber diferentes representações de uma mesma situação e desenvolve

o controle das configurações geométricas levaram às “descobertas” das propriedades.

Referências

BRANDT, S. T. J.; MONTORFANO, C. O software GeoGebra como alternativa no

ensino da geometria em um mini curso para professores. Artigo PDE. Londrina,

2007.

EVES, H. Introdução à história da matemática. Campinas - SP: Unicamp, 2004.

GRAVINA, M. A. Geometria dinâmica: uma nova abordagem para o aprendizado da

geometria. VII Simpósio Brasileiro de Informática na Educação, Belo Horizonte,

MG, 1996.

JACKIN, N. The Geometer's Sketchpad. Berkeley: Key Curriculum Press, 1990.

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learning, teaching, and research. (Eds.) Washington: Mathematical Association of

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Revista – SBEM 4, 1995, p. 3 – 13.

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geometria: reflexão da prática na escola. Actas de La Conferência Latinoamercana

de GeoGebra. Uruguay, 2012. pp. 125-132.

NASSER, L; TINOCO, L. Argumentações e provas no ensino de matemática.

Projeto Fundão, IM-UFRJ, 2001. 109 p.

PARANÁ. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica.

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PICCOLI, L. A. P. A construção de conceitos em Matemática: Uma proposta

usando Tecnologia de Informação. Dissertação (mestrado) – Pós-Graduação em

Educação em Ciências e Matemática, Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande

do Sul, Porto Alegre: [s.n.], 2006. 108f.

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