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GREICE KELI SILVA LACERDA
O ESTUDO DE SEQUÊNCIAS E LIMITES COM
OAUXÍLIO DO GEOGEBRA EM ANÁLISE
REAL NA FORMAÇÃO DOCENTE
Duque de Caxias - RJ 2018
UNIVERSIDADE DO GRANDE RIO Escola de Ciências, Educação, Letras, Artes e Humanidades Programa de Pós-graduação em Ensino das Ciências Curso de Mestrado Profissional
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O ESTUDO DE SEQUÊNCIAS E LIMITES COM O AUXÍLIO DO
GEOGEBRA EM ANÁLISE REAL NA FORMAÇÃO DOCENTE
Dissertação a ser apresentada ao Curso de Mestrado Profissional do Programa de Pós-Graduação em Ensino das Ciências da Universidade do Grande Rio, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de mestre.
Área de Concentração: Matemática
Orientador Profº. Dr. Abel Rodolfo
Garcia Lozano
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências na Educação Básica
Universidade do Grande Rio
Duque de Caxias - RJ 2018
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Ficha Catalográfica – Pedir à Biblioteca
Procedimento: Ir até a Biblioteca e falar com a Profa. Vera
Pataco
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GREICE KELI SILVA LACERDA
O ESTUDO DE SEQUÊNCIAS E LIMITES COM O AUXÍLIO DO GEOGEBRA
EM ANÁLISE REAL NA FORMAÇÃO DOCENTE
Dissertação submetida ao corpo docente do Programa de Pós-Graduação em Ensino das Ciências na Educação Básica (PPGEC) da Universidade do Grande Rio como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de mestre.
Aprovada em 19 de dezembro de 2018, por:
___________________________________________ Prof. Dr. Abel Rodolfo Garcia Lozano (Orientador)
Universidade do Grande Rio (UNIGRANRIO)
______________________________________ Prof.ª Dr.ª Clícia Valladares Peixoto Friedmann
Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ)
______________________________________ Prof.ª Dr.ª Chang Kuo Rodrigues
Universidade do Grande Rio (UNIGRANRIO)
______________________________________ Prof. Dr. Ângelo Santos Siqueira
Universidade PPGHCA UNIGRANRIO
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Dedico este trabalho à minha família: mãe, marido e filhos e ao professor Abel, pessoas especiais que com muita compreensão e paciência motivaram e colaboram para o seu desenvolvimento.
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“... não se lê um livro de Matemática como se fosse uma novela. Você deve ter lápis e papel na mão para reescrever, com suas próprias palavras, cada definição...” Elon Lages Lima
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AGRADECIMENTOS
Aos professores componentes da banca: professora Clícia Valladares
Peixoto Friedmann, professora Chang Kuo Rodrigues e professor Ângelo Santos
Siqueira por dedicarem um momento do seu tempo para apreciar este trabalho e
por todas as sugestões oferecidas.
À professora Cybele Vinagre, coordenadora do curso de Elementos de
Análise Real do Consórcio CEDERJ e professora de Análise I da UFF, pela
disponibilidade e ajuda na adaptação do material para a Educação a Distância e
por disponibilizá-lo na plataforma das duas universidades.
Ao meu orientador, professor Abel Rodolfo, que me acompanhou desde a
graduação, por toda paciência e compreensão, por confiar no meu trabalho, e
por todas as contribuições e experiências compartilhadas.
Aos meus colegas de mestrado Lucimar, Marcos, Daniele, Vanilo e Leila
que estiveram ao meu lado durante todo este processo.
À UNIGRANRIO, UFF, FFP/UERJ e ao Consórcio CEDERJ, instituições
que sediaram esta pesquisa, pela colaboração e motivação nessa longa jornada.
Aos meus amados filhos Flávio Luiz e Arthur e ao meu eterno amigo e
marido Flávio por entenderem meus momentos de ausência e, em especial, a
minha mãe, exemplo e pilar de toda a minha formação pessoal e profissional.
Agradeço a Deus por ser, em sua infinita bondade, minha força e fortaleza
nos momentos de dificuldades.
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RESUMO
LACERDA, Greice Keli Silva. O Estudo de Sequências e Limites com o Auxílio do GeoGebra em Análise Real na Formação Docente. Orientador: Abel Rodolfo Garcia Lozano, Rio de Janeiro, Programa de Pós-graduação em Ensino de Ciências - PPGEC - UNIGRANRIO, 2018. Dissertação de Mestrado Profissional. p.120 Esta pesquisa tem como objetivo apresentar uma metodologia para o ensino e a aprendizagem dos conceitos de sequências de números reais, limite de uma sequência de números reais, subsequência de uma sequência de números reais e limites infinitos oriundos da disciplina de Análise Real, de forma a promover a articulação destes conceitos e a prática docente, utilizando-se do software GeoGebra. No intuito de alcançar este objetivo foi realizada uma pesquisa qualitativa baseada na Teoria da Engenharia Didática para a elaboração de uma ferramenta direcionada aos professores que promova a integração entre o pensamento intuitivo e o pensamento matemático no ensino dos conceitos propostos. Como ferramentas metodológicas de coleta de dados foram utilizados o teste piloto, dois questionários e a observação participativa da aplicação de quatro atividades didáticas. Os resultados alcançados demonstram que a metodologia aplicada pode influenciar positivamente no ensino e na aprendizagem dos conceitos propostos. Espera-se que a pesquisa desenvolvida desperte novas reflexões sobre o ensino e a aprendizagem da disciplina de Análise Real no Ensino Superior, colabore para a compreensão de sua importância na formação docente e auxilie no ensino e na aprendizagem de seus conceitos descritos, minorizando os impactos que sua fundamentação teórica rigorosa provoca nos futuros professores de Matemática. Palavras-chaves: Análise Real. GeoGebra. Engenharia Didática. Formação de
professores. Sequências e Limites.
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ABSTRACT
LACERDA, Greice Keli Silva. The Study of Sequences and Limits with the GeoGebra Aid in Real Analysis in Teacher Training. Advisor: Abel Rodolfo Garcia Lozano, Rio de Janeiro, Science Education Graduate Program - UNIGRANRIO, 2018. Dissertation. p.120 This research aims to present a methodology for teaching and learning the concepts of sequences of real numbers, limits of a real numbers sequence, substituting a sequence of real numbers and infinite limits from the Real Analysis discipline, in order to promote the articulation of these concepts and the teaching practice, using GeoGebra software. To achieve this objective, a qualitative research based on the Theory of Didactic Engineering was carried out to develop a tool, directed to teachers, that promotes the integration between intuitive thinking and mathematical thinking in the teaching of the proposed concepts. As methodological tools of data collection the pilot test, two questionnaires and the participatory observation of the application of four didactic sequences were used. The results show that the applied methodology can positively influence the teaching and learning of the proposed concepts. It is expected that the research developed will awaken new reflections on the teaching and learning of Real Analysis in Higher Education, collaborating to the understanding of its importance in teacher education and helping in the teaching and learning of its described concepts, reducing the impacts that its rigorous theoretical foundation provokes in the future teachers of Mathematics. Keywords: Real Analysis. GeoGebra. Didactic Engineering. Teacher training. Sequences and Limits.
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Representação Gráfica da Sequência ................................................... 36
Figura 2 – Representação Gráfica da Sequência ................................................. 37
Figura 3 – Sequência Limitada .............................................................................. 38
Figura 4 – Sequência Limitada .............................................................................. 39
Figura 5 – Sequência Monótona ........................................................................... 40
Figura 6 – Sequência Não-Monótona ................................................................... 41
Figura 7 – Limite da Sequência ............................................................................. 42
Figura 8 – Limite da Sequência ............................................................................. 45
Figura 9 – Sequência Não Convergente ............................................................... 46
Figura 10– Sequência Não Convergente .............................................................. 47
Figura 11 – Subsequência de e ............................................................ 48
Figura 12 – Sequência ........................................................................................... 53
Figura 13– Subsequência da sequência ............................................................... 54
Figura 14- Interface do Software GeoGebra com as Quatro Janelas ........................... 58
Figura 15- Janelas de Álgebra e Visualização do Software .......................................... 60
Figura 16 – Ambiente de Pesquisa Presencial .............................................................. 62
Figura 17 – Ambiente de Pesquisa Virtual ..................................................................... 63
Figura 18 – Aplicação do Teste Piloto ........................................................................... 68
Figura 19 – Opiniões sobre o Papel da Análise na Graduação .................................... 73
Figura 20 – Motivação em Relação a Pesquisa ............................................................ 74
Figura 21 – Expectativas em Relação as Atividades ..................................................... 75
Figura 22 – O Atendimento às Expectativas .................................................................. 79
Figura 23 – Sugestões de Aperfeiçoamento .................................................................. 80
Figura 24 – Produto Educacional .................................................................................... 87
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LISTA DE QUADROS
Quadro 1– Protocolo de Revisão Sistemática da Literatura............................... 21
Quadro 2 – Critérios Utilizados na Revisão Sistemática da Literatura .............. 23
Quadro 3 – Resultados da Busca Realizada .................................................... 24
Quadro 4 –Tipos de Sequências Monótonas ................................................... 40
Quadro 5 – Comparativo para Diferentes Valores de .................................... 43
Quadro 6 – Valores dos termos das Subsequência de e ......... 49
Quadro 7 – Outras Subsequências de .................................................... 49
Quadro 8 – Sequência que tende para ...................................................... 51
Quadro 9 – Sequência que tende para ...................................................... 52
Quadro 10 – Análise Epistemológica ............................................................... 66
Quadro 11 – Respostas Coletadas no 1º Questionário .................................... 71
Quadro 12 – Observações Realizadas Durante as Atividades ........................ 77
Quadro 13 – Respostas Coletadas no 2º Questionário .................................... 78
Quadro 14 – Resumo da Fase de Experimentação ......................................... 81
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LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
BNCC Base Nacional Curricular Comum
CAS Computer Algebra System
CEDERJ Centro de Educação Superior a Distância do Estado do
Rio de Janeiro
CEP Comitê de Ética em Pesquisa da UNIGRANRIO
CIEM Congresso Internacional de Ensino de Matemática
CNE Conselho Nacional de Educação
EAD Educação à Distância
FFP Faculdade de Formação de Professores
FFP/UERJ Faculdade de Formação de Professores / Universidade
do Estado do Rio de Janeiro
PCK Pedagogical Content Knowledge
PCN Parâmetros Curriculares Nacionais
PIGEAD Planejamento, Implementação e Gestão da Educação à
Distância
SEEDUC-RJ Secretária de Educação do Estado do Rio de Janeiro
TCLE Termo de Consentimento Livre e Esclarecimento
TIC Tecnologias de Informação e Comunicação
TPACK Technological Pedagogical Content Knowledge
TPRC Termo de Proteção de Risco e Confidencialidade
UFF Universidade Federal Fluminense
UGF Universidade Gama Filho
ULBRA Universidade Luterana do Brasil
UNIGRANRIO Universidade do Grande Rio
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SUMÁRIO
1. APRESENTAÇÃO ........................................................................................ 15
2. INTRODUÇÃO .............................................................................................. 17
3. A REVISÃO SISTEMÁTICA DA LITERATURA ........................................... 21
4. A FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ............................................................... 30
4.1. A Análise Real e o Ensino Superior............................................................. 31
4.2. O Estudo de Sequências e Limites em Análise Real ................................... 35
4.2.1. Sequências de Números Reais ............................................................... 36
4.2.2. Limites de uma Sequência de Números Reais ........................................ 41
4.2.3. Subsequências de uma Sequência de Números Reais ........................... 48
4.2.4. Limites Infinitos ....................................................................................... 50
4.3. A Análise Real e o Ensino na Educação Básica ......................................... 54
4.4. O Software GeoGebra ................................................................................ 58
5. A METODOLOGIA DA PESQUISA .............................................................. 61
5.1. O Ambiente da pesquisa ............................................................................ 62
5.2. A Engenharia Didática ................................................................................ 64
5.2.1. Análises Prévias ...................................................................................... 65
5.2.2. As Concepções e a Análise a Priori ......................................................... 66
5.2.3. A fase da Experimentação ...................................................................... 67
5.2.3.1. O Teste Piloto ....................................................................................... 67
5.2.3.2. Os Questionários................................................................................... 69
5.2.3.3. A Aplicação das atividades e dos Questionários .................................. 70
5.2.4. Análise a Posteriori e Validação ............................................................... 81
6. O PRODUTO EDUCACIONAL ..................................................................... 85
7. CONSIDERAÇÕES FINAIS .......................................................................... 88
14
REFERÊNCIAS ................................................................................................. 92
APÊNDICE ....................................................................................................... 96
ANEXO ........................................................................................................... 113
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1. APRESENTAÇÃO
Eu inicio este trabalho com um breve histórico de minha longa caminhada
até aqui e das ações, interações e acontecimentos que motivaram a escolha do
tema abordado.
Após terminar o curso de formação de professores no Ensino Médio,
iniciei o curso de licenciatura plena em Matemática, oferecido pela Universidade
do Estado do Rio de Janeiro – FFP/UERJ. Já no segundo período do curso,
comecei a atuar como professora de Matemática para turmas do Ensino
Fundamental e Médio, em escolas particulares e em cursos preparatórios para
concursos públicos e vestibulares.
Concluído o curso de licenciatura tomei posse como professora de
Matemática na Secretária de Educação do Estado do Rio de Janeiro (SEEDUC-
RJ) com carga horária de 16 horas/aulas e de 30 horas/aulas semanais.
Atualmente, ocupo o cargo de gestora da E. E. Leonor Franco Moreira.
Entre 2011 e 2012, concluí um curso de formação continuada oferecido
pela SEEDUC e um Curso de Especialização em Docência do Ensino Superior
oferecido pela Universidade Gama Filho (UGF), cujo título do trabalho de
conclusão foi “NOVAS TECNOLOGIAS NO ENSINO DE MATEMÁTICA”.
Recentemente, eu concluí um curso de Pós-Graduação Planejamento,
Implementação e Gestão da EAD (PIGEAD) oferecido pela UFF cujo título do
trabalho foi “Suporte Social Prático e Suporte Social Emocional em EAD”.
No período de 2013 a 2018, atuei como tutora presencial nas disciplinas
de Pré-Cálculo e Construções Geométricas no curso de graduação em
Matemática oferecido pelo Consórcio CEDERJ, onde também fui tutora de
outras disciplinas como: Cálculo, Informática no Ensino da Matemática,
Matemática Discreta e, em especial, Elementos de Análise Real.
Como tutora pude dar assistência a alunos inscritos na disciplina de
Elementos de Análise Real e pude perceber a dificuldade que estes encontram
em compreender os conceitos da disciplina e em realizar as demonstrações
formais que esta exige. Enquanto tutora, pude perceber, também, o quanto é
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difícil encontrar formas diversificadas de apresentar os conceitos da disciplina,
de forma a auxiliar a compreensão dos alunos.
O interesse em estudar a construção do conhecimento mediado pela
utilização de tecnologias surgiu a partir da minha prática docente, se intensificou
no decorrer dos cursos de Especialização com a elaboração dos trabalhos de
conclusão de curso e continuou sendo motivado pela minha atuação como tutora
presencial.
Como professora tenho buscado, desde a minha formação, formas
diversificadas de ensinas os conceitos matemáticos, e percebi que a utilização
de tecnologias de comunicação e informação tem sido uma grande aliada nesse
processo. Ter sido aluna em vários cursos à distância e lecionar num curso a
distância fez com que eu “abrisse os olhos” para a utilização das ferramentas
tecnológicas não somente como meios de dinamizar as aulas, mas como parte
integrante do processo de construção do conhecimento. Portanto, a motivação
para este trabalho surgiu das experiências e práticas vivenciadas ao longo da
minha atividade docente e, principalmente, das minhas vivências enquanto
aluna.
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2. INTRODUÇÃO
A crescente inserção da tecnologia na vida dos cidadãos tem exigido o
desenvolvimento de competências e habilidades para que estes possam
aproveitar as oportunidades que a “Sociedade do Conhecimento” (COUTINHO,
LISBOA, 2011, p. 8-10) lhes oferece. Este fato foi destacado nos Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN) em 1998 como uma das características mais
marcantes do desenvolvimento tecnológico. Segundo este documento, a
sociedade tem a exigência, cada vez mais crescente, de indivíduos capazes de
desenvolver plenamente sua criatividade, versatilidade e de entendimento do
processo de trabalho e com iniciativa para resolver problemas em equipe
utilizando diferentes linguagens e tecnologias.
Para Borba e Chiari (2013), Silva (2015) e Paula et al. (2016) o acesso à
tecnologia tem influenciado as expectativas dos jovens e de suas famílias acerca
da educação que desejam receber da escola. Exige-se cada vez mais que a
escola repense: suas práticas educativas, a formação de competências docentes
e a inserção das tecnologias no ambiente educacional. Enfim, exige-se uma
transformação nos processos educativos e na própria educação.
Já em 1997, em meio aos avanços tecnológicos e científicos da
informação, da comunicação e da própria sociedade, Selma Garrido Pimenta
(1997) questionava-se sobre a necessidade da existência de professores. Esse
questionamento, longe de defender uma desvalorização da profissão, propunha
que o papel do professor na sociedade do conhecimento fosse repensado.
Santos et al. (2016, p. 2), acrescenta ainda, que com o advento da tecnologia, o
professor deve manter-se motivado a repensar e transformar sua prática
pedagógica.
No entanto, somente a inserção da tecnologia no ambiente escolar e na
prática docente não é suficiente para transformar o seu fazer pedagógico.
Repensar a educação com a inserção da tecnologia no trabalho docente passa,
necessariamente, pela incorporação de novos saberes que devem ser
construídos na formação inicial.
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Neste sentido, Tardif (2014) discute os saberes necessários à formação
dos professores frente a essas mudanças. O autor salienta que o saber docente
é um “saber plural” e “estratégico” e que, na formação inicial docente, esse saber
deve ir além do papel de habilitar o futuro professor para o exercício de sua
profissão. Segundo ele, os cursos de licenciatura devem colaborar para o
desenvolvimento, nos licenciandos, de conhecimentos, habilidades, atitudes e
valores que lhes possibilitem construir e reconstruir seus saberes a partir dos
problemas impostos pelo seu cotidiano, favorecendo uma reflexão sobre sua
própria prática docente. Tardif (2014) pontua que uma reflexão sobre a formação
docente deve partir das seguintes inquietações:
Quais são os saberes profissionais dos professores, isto é, quais são os saberes (conhecimento, competências, habilidades, etc.) que eles utilizam efetivamente em seu trabalho diário para desempenhar suas tarefas e atingir seus objetivos? Em que e como esses saberes profissionais se distinguem dos conhecimentos universitários elaborados pelos pesquisadores da área de ciências da educação, bem como dos conhecimentos incorporados nos cursos de formação universitários dos futuros professores? Que relação deveriam existir entre os saberes profissionais e os conhecimentos universitários, e entre os professores do ensino básico e os professores universitários (pesquisadores ou formadores), no que diz respeito à profissionalização do ensino e à formação de professores? (TARDIF, 2014, p. 245-246)
Em complemento às inquietações levantadas, Borba e Chiari (2013)
destacam que a formação docente deve seguir aliada aos recursos tecnológicos
de modo a oferecer, aos futuros professores, experiências que possibilitem o
desenvolvimento da capacidade de avaliação crítica do papel da tecnologia em
sala de aula, de sua inserção em sua prática docente e em sua própria
formação.
A partir das considerações feitas e levando-se em conta que os saberes
oriundos da disciplina escolhida são diversos, o estudo realizado ficou restrito
aos saberes diretamente ligados aos conceitos de Sequência de Números
Reais.
O questionamento que norteará este trabalho será: “Como promover a
articulação entre os saberes curriculares e os saberes experienciais no ensino e
19
na aprendizagem dos conceitos de sequências de números reais, limite de uma
sequência de números reais, subsequência de uma sequência de números reais
e de limites infinitos em Análise Real no Ensino Superior?”.
Pensando nos conhecimentos necessários à formação docente elegeu-se
como referencial teórico o autor Tardif (2014); para organização e sustentação
da pesquisa desenvolvida utilizou-se como aporte teórico metodológico a Teoria
da Engenharia Didática, que será tratada no capítulo que descreve a
metodologia da pesquisa, e seus preceitos segundo Artigue (1988).
Para responder à pergunta de partida, levantamos a seguinte hipótese:
“uma metodologia diferenciada aliada ao uso do GeoGebra no estudo dos
conceitos relacionados a sequência de números reais contribui para a
articulação entre os saberes curriculares e experienciais, afetando positivamente
o ensino e a aprendizagem em Análise Real no Ensino Superior”.
Como ponto de partida para a busca de validação da hipótese levantada,
foi proposto o seguinte objetivo: desenvolver uma ferramenta educacional,
direcionada a professores, que possibilite a articulação entre os saberes
escolhidos oriundos da disciplina eleita e os saberes experiências adquiridos ao
longo do Curso Superior, proporcionando uma forma diversificada de ensinar e
aprender os conceitos relacionados à Sequência de Números Reais.
Para a concretização do objetivo proposto acima, traçou-se o seguinte
objetivo específico: elaborar quatro atividades didáticas que propusessem a
utilização do software GeoGebra para a compreensão dos conceitos de
Sequências de Números Reais, Limite de Uma Sequência de Números Reais,
Subsequência de uma Sequência de Números Reais e de Limites Infinitos.
Alcançados os objetivos propostos, espera-se colaborar para uma
reflexão sobre as práticas educativas no ensino desses conceitos e motivar
novas pesquisas sobre o ensino e a aprendizagem dos conceitos da disciplina
na formação docente.
20
A motivação inicial para a realização desta pesquisa surgiu de discussões
com colegas professores sobre a utilização de tecnologias computacionais nas
aulas de matemática e de nossa prática docente. Nessas discussões
percebemos, assim como o descrito por Carvalho (2005), que um dos grandes
problemas, mencionados pelos professores, para a inclusão das tecnologias no
ensino, encontra-se em fazer com que os próprios professores realizem
mudanças em atividade docente.
Este projeto se torna relevante, pois leva a uma reflexão mais profunda
sobre as práticas pedagógicas e a formação inicial dos professores de
matemática, favorecendo a compreensão dos saberes docentes “curriculares,
disciplinares, experienciais e profissionais” (TARDIF, 2014, p. 33), que
constituem a identidade docente e como estes saberes podem se articular com
as tecnologias enriquecendo a própria atuação docente destes profissionais.
Faz-se necessário destacar que dentre os diversos autores que discutem
a importância da tecnologia nas práticas educativas, poucos são aqueles que
discutem sua influência na integração das teorias e práticas no ensino da
disciplina de Análise Real. Logo, academicamente, este estudo propõe a oferta
de uma forma diferenciada de potencializar e enriquecer o ensino e a
aprendizagem dos conceitos relacionados a Sequências de Números Reais no
Ensino Superior e tem a intenção de promover novos estudos e discussões
sobre o ensino e a aprendizagem da disciplina em questão.
Profissionalmente, espera-se que este estudo possa enriquecer a prática
docente no ensino dos conceitos elencados, e os conhecimentos sobre os
saberes docentes inerentes à disciplina escolhida.
Assim como afirma Floret et al. (2013), sabe-se que somente a inserção
da tecnologia no ensino não é suficiente para resolver todos os problemas do
processo de ensino e aprendizagem. Portanto, sem o intuito de tentar esgotar as
discussões sobre a temática abordada, pretende-se ofertar uma proposta
metodológica que auxilie na articulação entre teoria e prática no ensino e na
aprendizagem dos conceitos escolhidos sem perder o rigor que a
fundamentação teórica desta disciplina exige.
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3. REVISÃO SISTEMÁTICA DA LITERATURA
Uma revisão sistemática da literatura, segundo Paula, Rodrigues e Silva
(2016), é um meio utilizado na identificação, avaliação e interpretação de todas
as pesquisas existentes e relevantes para a pergunta de partida da pesquisa a
ser realizada. Seu objetivo é oferecer uma forma de resumir algumas evidências,
identificar lacunas, restringir a área de investigação e propiciar um embasamento
para a pesquisa.
Com base nesta afirmação, apresenta-se abaixo o protocolo de revisão
sistemática da literatura realizada. Considerou-se como objeto de estudo os
conceitos de Análise Real relacionados a Sequência de Números Reais e o uso
das tecnologias computacionais o Ensino Superior. No quadro abaixo é exibida a
descrição do protocolo de pesquisa desenvolvido, que seguiu as etapas
descritas por Paula et al. (2016).
Quadro 1 – Protocolo de Revisão Sistemática da Literatura
Questão de Pesquisa: Quais metodologias ou ferramentas computacionais
apoiam o ensino e a aprendizagem dos conceitos relacionados a sequências
de Números Reais em Análise Real?
Intervenção
Trabalhos que apresentem estudos sobre a disciplina de
Análise Real e a formação docente e que proponham
metodologias e ferramentas para o estudo dos conceitos
da disciplina no Ensino Superior.
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Efeito
A partir dos trabalhos encontrados, discutir o ensino e a
aprendizagem dos conceitos escolhidos e a utilização das
tecnologias computacionais no ensino e na aprendizagem
desses conceitos na disciplina escolhida.
Medida de
desfecho
Quantidade de artigos publicados sobre o ensino e a
aprendizagem dos conceitos de Análise Real e as
metodologias e ferramentas computacionais que apoiam o
estudo dos seus conceitos.
População
Artigos sobre o ensino e a aprendizagem dos conceitos
de Análise Real, metodologias e ferramentas
computacionais que apoiam o estudo de seus conceitos.
Problema
O uso do software GeoGebra no favorecimento do ensino
e da aprendizagem dos conceitos de Sequências de
Números Reais, Limite de uma sequência de Números
Reais, Subsequência de uma Sequência de Números
Reais e de Limites Infinitos no Ensino Superior.
Aplicação
Incentivar novas discussões sobre o ensino-
aprendizagem da disciplina e elaborar uma ferramenta
que auxilie o ensino e a aprendizagem dos conceitos
escolhidos.
Fonte: Adaptado de Paula, Rodrigues e Silva (2016)
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No quadro a seguir, são apresentados os critérios de inclusão ou
exclusão utilizados para a seleção dos trabalhos que compuseram esta
pesquisa.
Quadro 2 – Critérios Utilizados na Revisão Sistemática da Literatura
Critérios utilizados Descrição
As fontes selecionadas
Dados eletrônicos: artigos e conferências
cujo tema estejam relacionados a
temática em questão.
Palavras-chave
Sequência de números reais, GeoGebra,
ensino de Análise Real, tecnologias
computacionais, Ensino Superior,
formação de professores, sequências
didáticas.
Idiomas Português
Metodologia de busca por fontes Fontes acessadas via web.
Listagem de fontes Google acadêmico
Tipos de Artigo
Estudos experimentais, Teóricos,
Sequências Didáticas e Provas de
Conceitos.
Critérios de Inclusão e Exclusão dos
Trabalhos
Artigos disponíveis na web que discorram
sobre a temática abordada.
Período de Publicação 2010 a 2017
Fonte: Adaptado de Paula, Rodrigues e Silva (2016)
Após a realização da busca no Google Acadêmico, baseados nos critérios
definidos no quadro acima, foram encontrados 33 trabalhos relacionados ao
tema, dos quais, após aplicados os critérios de inclusão e exclusão, foram
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selecionados 8, que serão apresentados no quadro 3. Ressalta-se que o período
de tempo foi escolhido devido a dificuldade de encontrarmos trabalhos que
discorressem sobre o ensino e a aprendizagem dos conceitos de Análise Real.
Quadro 3 – Resultados da busca realizada
Autores Título do trabalho Ano
ABAR. C. A. A; ESQUINCALHA, A. C.
Uso de tecnologias na formação matemática de professores dos Anos Iniciais.
2017
OLIVEIRA, J. L. DE.
A utilização integrada de softwares dinâmicos no ensino de Análise Real : um estudo da construção do conceito de Integral de Riemann.
2016
MOREIRA, P. C.; VIANNA, C. R.
Por que Análise Real na Licenciatura? Um Paralelo entre as visões de educadores matemáticos e de matemáticos.
2016
GOMES, D. O.; OTERO-GARCIA, S. C.; SILVA, L. D. DA; BARONI, R. L.
S.
Quatro ou mais pontos de vista sobre o ensino de Análise Matemática.
2015
FERREIRA, M. DOS S.; MUNIZ, T. O. M.
O ensino de análise: contribuições e perspectivas na formação do professor de matemática.
2014
OTERO-GARCIA, S. C. CAMMAROTA, G.
Releituras de um estado do conhecimento do ensino de Análise a partir da Noção de Cognição Inventiva.
2013
BARONI, R. L. S.; OTERO-GARCIA, S. C.
Dois vieses para a disciplina de Análise em cursos de Licenciatura em Matemática.
2012
BRITO, A. B.
Questionando o Ensino de Conjuntos Numéricos em disciplinas de Fundamentos de Análise Real: Da abordagem dos livros didáticos para a sala de aula em cursos de Licenciatura em Matemática.
2010
Fonte: Adaptado de Paula, Rodrigues e Silva (2016)
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Para cada trabalho selecionado, após o processo de seleção, foram
extraídos os seguintes dados: título, autores, objetivos, metodologias,
discussões e resultados. O intuito era obter materiais que propusessem o estudo
dos conceitos relacionados à Sequência de Números Reais no Ensino Superior
com o auxílio das tecnologias digitais.
No trabalho selecionado de Brito (2010), o autor discorre sobre o ensino
dos conjuntos numéricos na disciplina de Análise Real. O autor começa
pontuando questionamentos sobre a importância da disciplina na formação do
futuro professor da Educação Básica e traça uma trajetória do ensino da Análise
a partir de sua história, destacando a necessidade de se equilibrar o rigor e a
intuição no ensino da disciplina, discutindo as “abordagens rigorosas” (BRITO,
2010, p. 14) e intuitivas em Análise.
A metodologia adotada por ele foi a pesquisa teórico-bibliográfica e
documental, aliada à pesquisa de campo, que tomou como referencial os
saberes necessários à formação docente, expondo as diferentes perspectivas
para o ensino da disciplina de acordo com a escolha dos livros adotados na
graduação. Brito (2010) conclui que o professor tem papel decisório no equilíbrio
entre o rigor e a intuição no estudo dos conceitos da disciplina e que deve
assumir uma postura de mediador da aprendizagem, adotando uma linguagem
“mais próxima do aluno” (BRITO, 2010, p. 79), reconhecendo que a metodologia
empregada no ensino é decisiva no desempenho cognitivo e afetivo dos alunos.
Baroni et al. (2012) expõem, no início de seu trabalho, duas motivações
para o seu estudo: a dificuldade que os alunos enfrentam ao cursar a disciplina
de Análise Real e o parecer do CNE que prevê que os cursos de licenciatura
devem conter pelo menos uma disciplina de fundamentos de Análise. Os autores
afirmam que a disciplina é fundamental, mas que o modo como vem sendo
ensinada não contribui para a formação docente.
Os objetivos traçados por este autor foram entender os vários aspectos
do ensino da disciplina na licenciatura, começando por como essa disciplina se
consolidou no Brasil, passando pela separação da disciplina nos cursos de
licenciatura e bacharelado e chegando às discussões sobre as propostas para
se trabalhar a disciplina em sala de aula.
26
O trabalho de Baroni et al. (2012) concentrou-se na análise dos objetivos,
conteúdos e bibliografias utilizadas na disciplina para a discussão dos
resultados. Como conclusão, os autores descrevem que os objetivos não são
voltados para as questões da formação de professores de matemática e que as
bibliografias indicam obras voltadas para o bacharelado. Porém, os autores
discordam da afirmação de que a disciplina não possui aplicação direta na
prática docente, pois segundo eles, é possível articular o conteúdo da análise
com os conceitos ensinados na Educação Básica.
Otero-Garcia e Cammarota (2013) iniciam seu trabalho ponderando sobre
as modificações que o Conselho Nacional de Educação (CNE) tem promovido
nos cursos de licenciatura do país. Suas discussões versam sobre o papel de
determinadas disciplinas na formação docente. Este trabalho traz diversos
questionamentos sobre os conteúdos de Análise que deveriam ser tratados na
licenciatura, sua ligação com a disciplina de Cálculo e a importância da Análise
para a atuação profissional do professor na educação Básica.
O objetivo do trabalho desses autores foi mapear a produção nacional
referente ao ensino de Análise, na busca por uma articulação entre as condições
do processo de aprendizagem inventiva no ensino da Análise e a formação
matemática do professor. Em suas conclusões, os autores asseguram que a
intenção foi trazer à tona características relacionadas a “ético-estético-política”
(OTERO-GARCIA; CAMMAROTA, 2013, p. 257), questionando o ensino-
aprendizagem da Análise na formação inicial do professor de matemática
através de seus efeitos na educação matemática e na sala de aula.
Ferreira e Muniz (2014) estudam o papel da Análise na formação docente
e a articulação adequada entre as “disciplinas específicas” e as “didático-
pedagógicas” no processo de formação docente. Os autores discutem aspectos
como: os objetivos, a ementa e a organização da matriz curricular, a articulação
entre teoria, prática e a formação dos professores que lecionam a disciplina de
Análise Real. O posicionamento metodológico utilizado foi o estudo bibliográfico,
através do qual buscou-se destacar os tipos de conhecimentos presentes na
formação e prática do professor de matemática e a existência de disciplinas,
segundo os autores, totalmente desarticuladas com a prática docente.
27
Para esses autores, os conteúdos de números reais e noções de
topologia na reta são uma ligação entre o Ensino Superior e a Educação Básica,
e concluem sinalizando que não existe um consenso de resultados sobre o papel
da Análise formação inicial do professor de matemática e que o ensino-
aprendizagem desta disciplina deve articular os conhecimentos matemáticos
com a “futura prática docente na escola” (FERREIRA; MUNIZ, 2014, p. 131).
Gomes et al. (2015) apontam alguns pontos de vistas a serem
considerados no ensino de Análise na graduação. Através da análise de
diversos trabalhos, os autores propõem discutir o papel da disciplina na
formação do conhecimento matemático docente e na consolidação e
formalização da cultura matemática. Os autores enfatizam que o objetivo da
pesquisa é compreender os componentes característicos da disciplina ou os
conteúdos necessários a um curso de Análise. Eles constataram que existem 25
nomeclaturas diferentes para a disciplina, que as matrizes curriculares são
diversas, que os principais livros usados foram publicados a pelo menos sete
anos e que o estudo da Análise encontra-se previsto nos últimos períodos da
matriz curricular dos cursos de graduação.
Em suas considerações, Gomes et al. (2015) analisam os conteúdos,
metodologia, atuação docente e a diferenciação da Análise na licenciatura e no
bacharelado. Em síntese, reiteram que devemos refletir de forma colaborativa
sobre os aspectos relacionados à disciplina de Análise Real na Educação
Básica, de forma a trazer uma ressignificação de sua prática docente na
formação do professor de matemática.
Moreira e Vianna (2016) se propuseram a investigar o papel e a
importância da Análise Real para a licenciatura. Eles buscaram analisar as
respostas de educadores matemáticos sobre a temática abordada. Utilizaram-se
de questionários como procedimentos metodológicos e dividiram os resultados
em duas categorias que convergem para percepções do papel da disciplina na
licenciatura. Os autores concluem que o papel da disciplina deve ser o de
proporcionar ao futuro professor o contato com a cultura matemática, o domínio
de conceitos que são base para estudos futuros e embasamento teórico para a
prática docente, tornado o professor mais seguro nas explicações.
28
Oliveira (2016) traça um caminho entre o ensino de Cálculo e o ensino de
Análise. Em destaque, ele afirma que muitas dificuldades no entendimento da
disciplina se devem a questões da prática pedagógica adotada. O autor expõe
que alguns professores costumam adotar uma postura que privilegia o rigor
(segundo ele, formalização e simbolização) em detrimento da intuição
(visualização, argumentação dissertativa e manipulação de imagens). O autor
questiona-se sobre a contribuição que a utilização de softwares no ensino da
Análise poderia trazer para a aprendizagem dos alunos, alegando que os
softwares motivam pesquisas, experimentações e a busca por soluções nos
conceitos de Análise e, em particular, no assunto de Integral de Riemann, foco
do trabalho em questão.
Abar e Esquincalha (2017) descrevem que a prática do professor envolve
diversos componentes como: conhecimento matemático, estratégias de ensino,
condições das escolas, materiais e recursos de apoio e trabalhos colaborativos.
Os materiais de apoio devem incluir materiais manipuláveis e TIC que, segundo
os autores, promovem o aprofundamento dos conceitos estudados e o
desenvolvimento do pensamento matemático apurado. No trabalho são
discutidos os tipos de conhecimento tecnológico que podem ser agregados à
formação inicial. Em conclusão ao seu trabalho, os autores apresentam um
quadro teórico Technological Pedagogical Content Knowledge (TPACK), advindo
do modelo Pedagogical Content Knowledge (PCK), que permite perceber os
diferentes tipos de conhecimentos ligados ao ensino através das Tecnologias de
Informação e Comunicação (TIC) e suas interrelações. O uso das TIC é visto
como essencial para a melhoria das práticas e favorecimento de múltiplas
potencialidades do processo de ensino da matemática na Educação Básica.
A partir da revisão de literatura realizada foi possível compreender melhor
as questões relacionadas à temática abordada neste estudo. Notamos que são
escassas as pesquisas relacionadas à disciplina de Análise Real e percebemos
a dificuldade de encontrar trabalhos que agreguem o uso das TIC ao ensino dos
conteúdos da disciplina. Nesta etapa da pesquisa, tornou-se evidente que a
disciplina tem relevante importância na formação docente, porém não existe um
29
consenso sobre o seu papel e sobre as abordagens metodológicas a serem
empregadas em seu ensino.
Essa escassez de abordagens motivou nossa busca por formas de
apresentar os conteúdos de Análise Real, favorecendo a articulação de sua
fundamentação teórica com a prática docente, tentando equilibrar o rigor de seus
conceitos com a intuição dos conhecimentos previamente adquiridos, no intento
de potencializar e enriquecer a construção do conhecimento matemático formal
oferecido por esta disciplina.
30
4. A FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Desde o seu surgimento, a sociedade tem depositado na escola suas
expectativas em relação à educação dos seus cidadãos e à transmissão dos
seus conhecimentos e valores culturais. A escola se tornou a instituição que
pode abrir as portas do conhecimento posicionando as pessoas, as regiões e os
países no caminho do progresso.
Para Roble (2008, p.17), na sociedade em que nos inserimos, a escola é:
[...] uma das instituições mais importantes do contexto social, carrega importantes funções dentre as quais podemos destacar a política, organizacional e formativa, pois cabe a essa instituição o papel de educar os cidadãos. Isto significa dizer que o projeto educacional de uma escola deve visar, dentre outros objetivos, transmitir o conjunto de valores de uma determinada cultura.
Porém, essa sociedade está em uma constante mudança na qual os
valores culturais, sociais, econômicos e políticos se ampliam e se modificam
rapidamente. Aliado a este fato, as inovações tecnológicas e suas aplicações em
todos os aspectos de nossa vida cotidiana, segundo Sancho (2007), têm um
forte impacto na concepção, criação, recuperação, transmissão, difusão,
representação e aplicação do conhecimento.
Neste cenário de grandes transformações, a escola como uma das
instituições de fundamental importância social, não poderia permanecer intacta e
inalterada. Logo, a sociedade passou a exigir da escola uma ampliação de suas
funções e uma mudança significativa em sua postura educacional.
As escolas de hoje devem servir e moldar um mundo no qual pode haver grandes oportunidades de melhorias econômicas se as pessoas puderem aprender a trabalhar de forma mais flexível, investir em sua segurança financeira futura, reciclar suas habilidades, for reencontrando seu lugar enquanto a economia se transforma ao seu redor e valorizar o trabalho criativo e cooperativo. (HARGREAVES, 2004, p. 35)
Todavia, uma mudança educacional, reflete-se em uma mudança de
postura dos profissionais da educação e, em particular, dos professores, que são
um dos agentes diretos no processo de ensino e aprendizagem. Contudo, para
31
que se possa pensar em uma mudança na postura do professor, é preciso
refletir sobre sua formação inicial.
Para Saviani (2009) a formação de professores enfrenta vários dilema, e
um deles, apontado pelo autor, propõe um questionamento de grande relevância
para este estudo: como o professor conseguirá articular o conhecimento com os
procedimentos didático-pedagógicos em sua prática docente?
Segundo Tardif (2014), uma reflexão sobre a atuação do professor na
educação precisa (re) pensar os saberes, as competências e as habilidades que
eles mobilizam, como esses saberes são adquiridos e se sua formação inicial
oferece subsídios para o desenvolvimento de sua prática docente.
Tardif (2014), Neto e Bezerra (2016), e Kogut e Miranda (2016) discorrem
sobre os diversos saberes necessários à formação de professores. Esses
saberes são classificados como: saberes disciplinares, curriculares,
experienciais e provenientes da formação docente. Segundo o autor Tardif
(2014), esses saberes são empregados na “formação científica” do docente e
podem ou não serem incorporados em sua prática pedagógica. Reconhecida a
importância desses saberes na formação do professor de Matemática, torna-se
relevante para este estudo identificar alguns dos saberes curriculares presentes
na disciplina de Análise Real diretamente relacionados a esta pesquisa.
4.1. A Análise Real e o Ensino Superior.
Moreira e Viana (2012) apontam três categorias de afirmações que
expressam as opiniões de diversos professores sobre a importância do estudo
da disciplina de Análise Real na formação docente.
Na categoria 1, os autores expõem que a disciplina fornece uma “ocasião
privilegiada” para que o futuro professor entre em contato com os saberes
matemáticos e com as formas de pensar dos matemáticos.
Na categoria 2, os autores descrevem que a Análise deve proporcionar ao
futuro docente uma maior segurança para a explicação dos “conteúdos básicos
da matemática escolar” e uma “compreensão sólida e profunda desses
conceitos”.
32
E por fim, na categoria 3, os autores discorrem sobre a possibilidade de a
disciplina oferecer ao futuro professor um “espaço de percepção da matemática
como um instrumento”, permitindo que este aluno tenha um entendimento
profundo dos fenômenos naturais que o cercam e de suas aplicações em outras
áreas do conhecimento.
Partilhando das mesmas considerações, Brito (2010), Baroni e Otero-
Garcia (2012), Gomes (2013), Otero-Garcia e Cammarota (2013), Ferreira e
Muniz (2014), Cifuentes (2015) e Oliveira (2016) discutem a importância da
Análise na formação docente e suas práticas educativas no Ensino Superior e na
Educação Básica. Dentre elas, damos destaque às considerações feitas por
Brito (2010) que, parafraseando Ávila (2006), expõe a importância do estudo da
Análise na licenciatura através da seguinte nota complementar:
[...] um dos objetivos principais de um curso de Análise é a prática em demonstrações. Enunciar e demonstrar teoremas é uma das ocupações centrais de todo professor ou estudioso da Matemática. Daí uma das principais razões de uma disciplina de Análise nos cursos de licenciatura. Mas, aliada a essa tarefa de praticar a arte de enunciar e demonstrar teoremas, o aluno de licenciatura tem, na disciplina de Análise, a oportunidade de se familiarizar com uma das partes mais importantes da Matemática que se vem desenvolvendo desde o início
do século XIX. (BRITO, 2010, p. 11)
Para os autores Moreira e Viana (2012), o papel da Análise deve abraçar
tanto o conhecimento teórico quanto a prática educativa. A Análise na formação
de professores deve habilitar o futuro professor no conhecimento teórico, provas
e demonstrações compondo, junto com outras disciplinas, uma base sólida para
que este consiga prosseguir em seus estudos. E, concomitantemente, deve
abarcar a prática pedagógica tornando o professor mais seguro nas explicações
dos conceitos teóricos, relacionados à disciplina na Educação Básica e
compondo uma das bases de seu saber experiencial.
Segundo Pimenta (1997), todo aluno que chega ao ensino superior
carrega consigo saberes “sobre o que é ser professor”; são os saberes de sua
experiência enquanto aluno que lhe permitem identificar as boas práticas
educativas e o que é relevante aplicar em sua atuação docente. Os saberes da
experiência ou saberes experienciais são oriundos de seu dia-a-dia, são
adquiridos através da experiência “sob a forma de hábitos e habilidades”.
33
Os saberes experienciais devem constituir um repensar, uma reflexão
sobre a prática docente, confrontando essa prática com as condições
encontradas na atuação docente, oferecendo ao futuro professor uma avaliação
dos outros saberes, retraduzindo-os, adaptando-os, filtrando-os, selecionando-
os, julgando-os e avaliando-os na construção de sua identidade docente.
(TARDIF, 2014, p. 39)
Concatenando as ideias de Pimenta (1997) e Tardif (2014) sobre os
saberes experienciais dos futuros professores, torna-se evidente a necessidade
de se desenvolver uma perspectiva diferenciada para o ensino e a
aprendizagem dos conceitos relacionados à sequência de números reais em
Análise Real. A tentativa de se reduzir a “distância entre a teoria e a prática” tem
como intuito agregar ao ensino tradicional, o uso da tecnologia computacional
contribuindo para uma maior “flexibilidade e multiciplidade” dos saberes
curriculares e experienciais na formação docente. (BRITO, 2010, p. 18)
Brito (2010) identificada quatro concepções que propõem novas formas
de se repensar o ensino e aprendizagem dos saberes curriculares da disciplina
eleita. Essas concepções propõem: a percepção da história da Matemática no
ensino, o destaque dos exercícios, a ênfase nos exemplos e discussões, a
articulação da Álgebra com a Análise. E Oliveira (2016) propõem, como
concepção de ensino da Análise, a utilização da tecnologia.
Segundo Brito (2010) a ideia da utilização da história do surgimento pode
contribuir para a contextualização, construção e entendimento da teoria a ser
estudada, aproximando-a da realidade dos alunos e tornando o conteúdo mais
palpável e familiar.
O emprego de exercícios como ponto de partida para utilização da
intuição na construção dos conceitos é fortemente defendida pelo autor Brito
(2010), com a intenção de se chegar ao rigor das demonstrações na busca pelo
equilíbrio entre a intuição e o rigor. Para ele, esse equilibro é importante para o
sucesso da aprendizagem da disciplina.
A ênfase nos exemplos, discussões e observações deve estimular o
espírito crítico e investigativo. Porém, segundo Brito (2016) essa perspectiva
exige um abandono da postura centralizadora por parte do professor, que deve
34
assumir o papel de mediador e incentivador propondo discussões sobre os
conceitos e orientando a construção do conhecimento.
Brito (2010) discute em seu trabalho a ideia da integração entre a Análise
e a Álgebra de forma complementar. Ele aponta que a utilização de noções
intuitivas nessa abordagem pode favorecer uma escrita mais textual e menos
simbólica; porém, segundo o autor, o enfoque da Álgebra e da Análise traz como
desvantagem uma produção textual muito densa.
Quanto à perspectiva do uso da tecnologia no ensino, essa deve propiciar
[...] o surgimento de novos modos de colaboração entre os práticos e os pesquisadores, entre as universidades e as escolas. A criação de bancos de dados informatizados, acessíveis a todos os professores e comportando simulações, resoluções de problemas, informações sobre as estratégias de ensino, modelos de ensino exemplar extraídos da análise das práticas de professores experientes, é um exemplo (...) de fundamentos da formação para o magistério, vinculando-a a prática da própria profissão. (TARDIF, 2014, p. 293-294)
Em apoio a essas afirmações, Oliveira (2016) diz que a utilização da
tecnologia pode motivar as pesquisas, as experimentações e a busca por novas
soluções relacionadas ao problema proposto, fornecendo novas “possibilidades
de se trabalhar com conceitos abstratos da matemática”, no caso deste estudo,
com os saberes curriculares elencados.
Os saberes experienciais construídos através das vivências dos
professores, ainda enquanto alunos e posteriormente em sua atividade docente,
devem formar uma das bases necessárias à formação do futuro professor.
Segundo Pimenta (1997) e Tardif (2014) é através desses saberes que os
futuros professores podem meditar sobre os saberes que comporão a sua
prática, desenvolvendo sua identidade profissional e sua prática pedagógica em
sua atuação docente.
Em resumo, existem diversas concepções ou práticas que podem ser
utilizadas no favorecimento do ensino e aprendizagem da disciplina de Análise.
Essas concepções ou práticas podem: abordar a história do conceito a ser
estudado; enfatizar os exercícios partindo da intuição até o rigor das
demonstrações; destacar os exemplos e discussões; propor a articulação da
Análise com a Álgebra como disciplinas complementares e empregar o uso da
35
tecnologia como motivação de pesquisas, experimentações e novas soluções.
Portanto, a concepção ou prática escolhida para este trabalho empregou o uso
da tecnologia no ensino dos conceitos escolhidos.
4.2. O estudo de Sequências e Limites em Análise Real.
Segundo o autor Lima (2013) o estudo da Análise Real no Ensino
Superior deve ocorrer após os alunos terem tido experiências com aspectos
computacionais simples e com interpretações intuitivas de certas notações e
noções de limites, continuidades, derivadas, integrais e séries. Porém, para o
autor, a ênfase do Curso de Análise deve ser a conceituação precisa, o cuidado
com o encadeamento lógico das proposições e a análise das propriedades mais
relevantes dos objetos estudados.
O autor considera relevante que os alunos se utilizem de seus
conhecimentos previamente adquiridos na construção de novos saberes, não
desmerecendo a construção do conhecimento matemático formal e o rigor de
sua fundamentação teórica, mas sim utilizando os conhecimentos prévios em
favorecimento da construção do conhecimento matemático formal.
Seguindo suas orientações, nesta seção será abordado um estudo dos
conceitos relacionados à sequências de números reais, descrevendo seus
objetivos, suas definições e citando exemplos que ilustrem (sem perder o rigor
da fundamentação teórica) a utilização das definições em demonstrações
relacionadas aos conceitos definidos.
Entretanto, vale ressaltar que o objetivo desta seção é auxiliar a
compreensão dos conceitos apresentados através da visualização e análise de
gráficos, sem o intuito de explorar todos os teoremas, corolários, lemas,
propriedades, demonstrações e resultados que aprofundam o estudo dos
conceitos relacionados à sequência de números reais, limite de uma sequência
de números reais, subsequência de uma sequência de números reais e limites
infinitos presentes no curso de Análise Real.
36
4.2.1. Sequência de Números Reais
Lima (2013) sugere pensarmos numa sequência de números reais como
uma sequência de pontos em uma reta. E é a partir deste pensamento, tomando
o autor como referência, que pretendemos discutir os conceitos relacionados à
sequência de números reais.
O objetivo do estudo deste conceito é identificar uma sequência de
números reais como uma relação entre o conjunto dos números naturais e o
conjunto dos números reais. Para Frid (2010) e Lima (2013) uma sequência de
números reais é, por definição, uma função , cujo domínio pertence ao
conjunto dos números naturais e cuja imagem x(n) está contida no conjunto dos
números reais. A partir desta definição, pode-se representar como:
uma sequência de números reais;
x(n) o conjunto imagem da sequência;
E o seu termo de ordem n ou termo geral da sequência.
Tomando como exemplo a sequência cujo termo geral é
e
observemos o seu gráfico na figura 1:
Figura 1 – Representação Gráfica da Sequência
Fonte: dados da pesquisa
Pares ordenados que compõem a
imagem x(n) da sequência.
Termo geral da sequência.
Domínio da sequência.
Representação dos pontos no gráfico.
37
É possível ver, representados na figura 1, o domínio Dom (x), os pontos do
gráfico e o conjunto de valores dos seus termos.
Vejamos na figura 2, abaixo, a representação gráfica da sequência
cujo termo geral é
:
Figura 2 – Representação Gráfica da Sequência
Fonte: dados da pesquisa
Igualmente, veem-se representados: o domínio, os pontos do gráfico e o
conjunto de seus valores:
Conjunto imagem a(n) da
sequência.
Domínio da sequência.
38
Aprofundado o assunto de sequências, o autor Lima (2013) define
sequência limitada da seguinte forma: uma sequência é dita limitada quando
existem dois números reais a e b tais que , para todo .
Simbolicamente: uma sequência é limitada quando
.
Observando os gráficos das sequências e , nas figuras 3 e 4,
respectivamente, percebe-se que todos os pontos das sequências dadas
pertencem a um determinado intervalo fechado (faixa tracejada em vermelho).
Figura 3 – Sequência Limitada
Fonte: dados da pesquisa
É possível afirmar, intuitivamente, após observação do gráfico, que a
sequência dada é uma sequência limitada. Abaixo, prova-se essa
afirmação:
39
Prova:
Seja .
Por propriedades de , pode-se afirmar que , .
Por propriedade da desigualdade, verifica-se que
.
Logo, .
Portanto, por definição, conclui-se que sequência é uma sequência
limitada .
Figura 4 – Sequência Limitada
Fonte: dados da pesquisa
Após observação do gráfico da sequência , pode-se fazer a mesma
afirmação: a sequência dada é uma sequência limitada.
Prova:
Seja .
Por propriedades de , pode-se afirmar que , .
Por propriedade da desigualdade, verifica-se que .
Daí,
. (I)
Por outro lado, tem-se por propriedades dos naturais que: ,
Usando as propriedades da desigualdade, seque que:
.(II)
40
Logo, por (I) e (II), tem-se que
.
Portanto, por definição, conclui-se que sequência é uma sequência
limitada .
Em complemento à definição de sequência de números reais,
acrescentamos a este trabalho as definições presentes no quadro 4.
Quadro 4 – Tipos de Sequências Monótonas
Fonte: dados da pesquisa
A figura 5 apresenta o gráfico da sequência . Pode-se perceber,
intuitivamente, que os pontos descrevem o comportamento de uma sequência
monótona decrescente, pois os valores de seus termos, a partir do segundo, são
menores que os do termo anterior. Observe o gráfico e veja a demonstração da
seguinte afirmação: a sequência é uma sequência monótona decrescente.
Figura 5 – Sequência Monótona
Fonte: dados da pesquisa
Uma sequência é:
crescente, quando , para todo .
não-decrescente, quando , para todo .
decrescente, quando , para todo .
não-crescente, quando , para todo .
As sequências crescentes, não-decrescentes, decrescentes ou não-
crescentes são ditas sequências monótonas.
41
Demonstração:
Seja .
Por propriedades de , pode-se afirmar que , . Daí, por
propriedade da desigualdade, seque que:
. Logo, ,
para todo . Portanto, conclui-se, por definição, que a sequência é
monótona decrescente .
A figura 6 apresenta o gráfico da sequência . Em relação ao
comportamento dos pontos da sequência, podemos afirmar que a sequência
não é uma sequência monótona.
Figura 6 – Sequência Não-Monótona
Fonte: dados da pesquisa
Analisando o gráfico, é possível perceber que os termos de ordem ímpar
(representados pelos pontos em vermelho) formam uma sequência decrescente,
ou seja, e que os termos de ordem par
(representados pelos pontos em azul) formam uma sequência crescente, em que
. Portanto, a sequência dada não satisfaz
nenhuma das condições apresentadas no quadro 4, ou seja, a sequência dada
não é uma sequência monótona.
4.2.2. Limite de uma Sequência de Números Reais
Segundo Lima (2013) todo conceito e resultado importante em Análise
Real encontra-se explícita ou implicitamente relacionado ao conceito de limite. O
42
autor expressa que para que se entenda intuitivamente a ideia deste conceito
deve-se pensar num ponto do qual todos os pontos estejam arbitrariamente
próximos, à medida que os índices n aumentem para os valores suficientemente
grandes.
Frid (2010) determina como objetivo do estudo deste conceito usar a
definição para demonstrar a convergência de uma sequência de números reais e
demonstrar propriedades básicas envolvendo o conceito de limite.
Por definição, diz-se que um número real é limite de uma sequência
, se para qualquer valor real , existe um índice natural, tal que,
para todo índice n > , a distância entre o termo e o limite é menor que do
. Simbolicamente:
[...] dizer que Quando , diz-se que a sequência
converge para , ou tende para e escreve-se . Uma sequência que possui limite chama-se convergente. Do contrário, ela se chama divergente. (LIMA, 2013, p. 108).
A figura 7 ilustra a definição apresentada, retomando o gráfico da
sequência .
Figura 7 – Limite da Sequência
Fonte: dados da Pesquisa
Intuitivamente, percebe-se que o limite da sequência é igual a 0
(zero) (reta pontilhada em vermelho), ou seja, . No quadro 5,
observe a comparação entre o comportamento dos pontos do gráfico da
sequência e os diferentes valores de .
Quadro 5 – Comparativo para Diferentes Valores de .
43
44
Fonte: dados da pesquisa
Resumindo as informações apresentadas no quadro 5, pode-se dizer que
o limite de uma sequência é igual a , se a partir de um determinado índice
inicial , que depende do valor escolhido para , todos os pontos do gráfico
com índices n maiores do que , pertencem ao intervalo aberto .
Ou ainda, usando a definição, diz-se que , se para
qualquer real , dado arbitrariamente, existe um índice tal que,
todos os termos da sequência com índices n > pertencem ao intervalo
.
Neste exemplo, pode-se afirmar intuitivamente, a partir do gráfico
apresentado na figura 7, que o . Antes de se realizar a prova
formal desta afirmação, deve-se procurar um número natural (índice)
dependente de um , tal que, para se > então
. Temos que
. Daí,
. Assim sendo, o
procurado é um número natural tal que
.
Prova:
45
Dado arbitrário.
Pela Propriedade Arquimediana1, existe um número natural
.
Supondo que satisfaça .
Daí,
. Como
então
Logo, conclui-se que , ; tal
então
.
Portanto, pela definição, tem-se que .
A figura 8 apresenta o gráfico da sequência já estudada. Analisando
o comportamento de seus pontos no gráfico, pode-se afirmar que o limite da
sequência é igual a 2 (linha pontilhada em verde escuro).
Figura 8 – Limite da Sequência
Fonte: dados da pesquisa
A análise desse gráfico permite-nos observar que, a partir de um
determinado índice (neste exemplo, = 6), todos os valores da sequência
1Segundo o descrito por Frid (2010), a Propriedade Arquimediana assegura que se .
46
estão bem próximos do valor 2 (ou seja, todos os pontos do gráfico estão dentro
da faixa tracejada em vermelho).
Logo, por definição, para qualquer real , dado arbitrariamente, existe
um índice tal que, todos os termos da sequência com índices n >
pertencem ao intervalo aberto (faixa tracejada em azul).
Portanto, usando-se da definição de limite descrita por Lima (2013),
conclui-se que a sequência dada é convergente, simbolicamente, . A
prova deste limite fica a cargo do leitor.
Nas figuras 9 e 10 os gráficos das sequências e ,
respectivamente, serão apresentados.
Figura 9 – Sequência não convergente
Fonte: dados da pesquisa
A sequência representada pelo gráfico na figura 9 acima é uma
sequência divergente. Observe que a sequência dada é não é limitada e que,
consequentemente, não é possível determinar um valor , tal que, para qualquer
valor real seja possível gerar um intervalo aberto que
47
contenha todos os pontos da sequência dada, a partir de um índice
suficientemente grande.
Um dos teoremas mais importantes do conceito de limite é o teorema da
unicidade do limite (LIMA, 2013, p. 109). Segundo a descrição deste teorema,
uma sequência não pode possuir dois limites distintos. Parafraseando Frid
(2010, p. 90) uma sequência de números reais pode ter no máximo um limite.
Simbolicamente, (teorema da unicidade):
Se e então a = b.
Vejamos na figura 10 um exemplo de sequência que não satisfaz a este
teorema:
Figura 10 – Sequência não convergente
Fonte: dados da pesquisa
48
Na figura 10, os pontos do gráfico da sequência que possuem índice par
(pontos em azul) tendem para o valor a = 1. Já os pontos do gráfico que
possuem índice ímpar (pontos em vermelho) tendem para o valor b = -1. Logo, a
sequência converge para dois valores distintos e, portanto, a sequência
não satisfaz o teorema da unicidade do limite. Como, segundo o descrito
no teorema da unicidade, uma sequência não pode convergir para dois limites
distintos conclui-se, pautados na definição de Lima (2013), que a sequência
dada é divergente.
4.2.3. Subsequência de uma Sequência de Números Reais
Por definição, uma subsequência de uma sequência de números reais é
uma função , onde o domínio é um subconjunto do conjunto dos
números naturais e o conjunto imagem x(n) pertence ao conjunto dos números
reais.
Para ilustrar esta definição de subsequência, o gráfico da sequência
será retomado com a figura 11.
Figura 11 – Subsequência de e
Fonte: dados da pesquisa
49
No gráfico pode-se observar, em vermelho, a representação dos pontos
da sequência de índice ímpar, que será representada por , cujo
domínio é conjunto dos números naturais ímpares. E em azul, a representação
dos pontos da sequência de índice par, que será representada por ,
cujo domínio é conjunto dos números naturais pares. Os valores dos termos das
sequências e e a relação existente entre eles seguem
representados no quadro 6.
Quadro 6 – Valores dos termos das Subsequência de e
Valores de
...
...
...
Termos ...
Fonte: dados da pesquisa
Vejamos outros exemplos de subsequências da sequência dada no
quadro 7 que se segue:
Quadro 7 – Outras Subsequências de .
Valores de
...
...
Termos ...
50
Fonte: dados da pesquisa
4.2.4. Limites Infinitos
Segundo Lima (2013), o conceito de limite infinito destaca um tipo de
sequência divergente que possui uma certa regularidade em seu
comportamento. Nestas sequências, os valores de seus termos “se tornam e se
mantêm arbitrariamente grandes positivamente ou negativamente”. (LIMA, 2013,
p. 129)
Definição: Seja uma sequência de números reais, dizemos que:
quando, para qualquer número real A > 0 dado
arbitrariamente, pudermos encontrar , tal que .
quando, para qualquer número real A > 0 dado
arbitrariamente, pudermos encontrar , tal que . (LIMA, 2013, p. 129, grifo nosso)
Devemos chamar a atenção, assim como faz o autor, que e não
são números reais, pois as sequências são divergentes, mas expressam o
comportamento das sequências quando seus valores são arbitrariamente
grandes.
Vejamos nos quadros 8 e 9, dois exemplos de sequências divergentes
que ilustram cada tipo de limite infinito definido:
Valores de
...
3
...
Termos ...
51
Quadro 8 – Sequência que tende para
Fonte: dados da pesquisa
Observe que todos os valores da sequência (representados pelos pontos
verdes no gráfico), a partir de um determinado índice n (dependente de A)
possuem valores maiores que A. Portanto, a sequência . Antes que a
prova desta afirmação seja realizada, deve-se observar que, para demonstrar
esta afirmação, é necessário que se obtenha um número natural , que
necessariamente deverá depender de A, tal que
.
Logo, basta tomar .
Para A = 2, por exemplo, os pontos do gráfico da sequência com
índice a partir de n = 4, possuem valores maiores que A.
Para A = 4, os pontos do gráfico da sequência com índice a
partir de n = 16, possuem valores maiores que A.
52
Prova:
Dado A > 0 arbitrário.
Pela Propriedade Arquimediana, temos que existe um número natural
Tomando , seque que n
.
Logo, A > 0 dado arbitrariamente, existe um natural
.
Portanto, por definição, .
Quadro 9 – Sequência que tende para
Fonte: dados da pesquisa
Para A = 1, por exemplo, os pontos do gráfico da sequência com
índice a partir de n = 12, possuem valores menores que –A.
Para A = 3, os pontos do gráfico da sequência com índice a
partir de n = 24, possuem valores menores que –A.
53
Todos os valores da sequência a partir de um determinado índice n
(dependente de A) possuem valores menores que –A. Portanto, a sequência
. Para realizar a demonstração desta afirmação, deve-se obter um
número natural , que necessariamente deverá depender de A, tal que
. Logo, basta tomar .
Prova:
Dado A > 0 arbitrário.
Pela Propriedade Arquimediana, existe um número natural
Tomando , segue que n
. Logo, A > 0 dado arbitrariamente, existe um natural
.
Portanto, por definição, .
Porém, nem toda sequência divergente tende para ou para .
Vejamos o gráfico da sequência representado nas figuras 12 e 13:
Figura 12 – Sequência
Fonte: dados da pesquisa
54
Figura 13 – Subsequência da sequência
Fonte: dados da pesquisa
A subsequência de (em azul) tende para e a subsequência
(em vermelho) tende . Portanto, não é possível determinar o limite
da sequência .
Nesta seção, foram abordados os conceitos eleitos da disciplina de
Análise Real, seus objetivos e suas definições foram expostos, e tentou-se
oferecer uma forma diferenciada de auxiliar na compreensão dos conceitos,
utilizando quadros e gráficos nas ilustrações e exemplificações das definições
ofertadas. A próxima seção pretende traçar um elo entre o ensino destes
conceitos no Ensino Superior e no Ensino na Educação Básica, reforçando a
importância do estudo destes conceitos na formação docente.
4.3. A Análise Real e o Ensino na Educação Básica.
É importante ressaltar que os conceitos relacionados à sequência de
números reais definidos na seção 4.2 não são aplicados da forma que foram
apresentados na Educação Básica. Ainda assim, esses conceitos são saberes
inerentes à formação docente no Ensino Superior.
Diversos autores como: Tardif (2014), Oliveira et al. (2015), Neto e
Bezerra (2016), Kogut e Miranda (2016) discorrem sobre os diversos saberes
necessários à formação de professores. Esses saberes são classificados por
55
eles, como: saberes disciplinares, curriculares, experienciais e provenientes da
formação docente.
A importância desses saberes na formação do professor de Matemática é
reconhecida nesse trabalho. Sendo assim, o mesmo propõe-se a identificar
alguns dos saberes curriculares presentes na disciplina de Análise Real que são
efetivamente mobilizados na prática educativa no ensino na Educação Básica.
Encetando pelos saberes disciplinares que para Tardif (2014) são:
oriundos dos campos do conhecimento científico (ciências exatas, ciências
biológicas, ciências humanas, etc.), construídos e acumulados durante a história
da humanidade, geridos pela comunidade científica e oferecidos a sociedade por
intermédio das instituições de ensino, produzidos socialmente e devem ser
aprendidos e aplicados pelos professores, chega-se à organização desses
saberes sob a forma de “programas escolares” (NETO; BEZERRA, 2016, p. 4).
Esses programas são constituídos por “objetivos, conteúdos e métodos”
(TARDIF, 2014, p. 38) que configuram os saberes, classificados por Tardif, como
saberes curriculares. Dos saberes curriculares, interessa-nos estudar os
dispostos em forma de objetivos e conteúdo da disciplina de Análise Real.
Para Ferreira e Muniz (2014), na disciplina em questão, os saberes
curriculares na forma dos conteúdos Conjuntos Numéricos e Noções de
Topologia na Reta, possuem aplicação direta (respeitando-se os níveis de
ensino) na Educação Básica. Tomou-se a liberdade de acrescentar às
considerações dos autores mais quatro conteúdos que julgou-se serem elos
comuns entre o estudo da Análise na formação de professores e a prática
docente na Educação Básica, são eles: Funções, Conjuntos, Sequências e
Séries de Números Reais.
Nos PCN (1998) e na BNCC - Base Nacional Curricular Comum (2015), o
objetivo do ensino do conteúdo de conjuntos numéricos no Ensino Fundamental
é fornecer a compreensão das propriedades dos diferentes conjuntos numéricos,
da importancia de ampliá-los e de suas operações básicas, ordenando e
comparando os diferentes números.
O Currículo Mínimo proposto pela Secretária Estadual de Educação no
ano de 2012, que utiliza como base os PCN, expõe como objetivo do estudo de
56
Conjuntos no 1º ano do Ensino Médio a compreensão das noções: de conjunto,
da linguagem simbólica das proposições e enunciados, das operações com
conjuntos e de seus subconjuntos; identificando os conjuntos numéricos e suas
representações na reta numérica e introduzindo as Noções de Topologia na
Reta.
Para Ferreira e Muniz (2014) não existem dúvidas quanto à aplicação dos
Conjuntos Numéricos, e em especial, do conjunto dos Números Reais na
Educação Básica, pois esses saberes são os “alicerces da Análise Matemática”
e, portanto, devem contribuir não somente para a formação matemática do aluno
como também para a formação profissional do docente. Além disso, as Noções
de Topologia na Reta ou conteúdo equivalente devem ser aceitáveis nos cursos
de licenciatura por contemplarem aplicações no Ensino Básico e por
aproximarem os futuros docentes de disciplinas básicas de cursos de pós-
graduação em Matemática.
Ainda segundo o descrito no Currículo Mínimo (2012) o estudo das
funções no 9º ano do Ensino Fundamental tem por objetivo favorecer a
compreensão do conceito intuitivo de funções, de sua representação no plano
cartesiano e de sua utilização na resolução de problemas que envolvam seu
conceito. No 1º ano do Ensino Médio, o objetivo deve ser o de promover a
compreensão das relações de dependência entre duas variáveis, suas
representações e sua utilização na análise, interpretação e resolução de
situações-problemas que envolvam crescimento, decrescimento, zeros e
variações de sinais, em diversos contextos.
O estudo das Sequências e Séries Numéricas, no Currículo Mínimo
(2012), tem como objetivo auxiliar os alunos na identificação de sequências
numéricas e na obtenção de seus termos gerais (quando possível), ajudando-os
na diferenciação entre Progressões Aritméticas e Geométricas e na sua
aplicação para a resolução de problemas advindos da Matemática Financeira.
Pôde-se observar que os conteúdos de Conjunto, Funções, Sequências e
Séries de Números Reais aplicados nos cursos de Análise Real na licenciatura
têm uma notória presença nos livros e currículos dos 9º, 1º e 2º anos do Ensino
57
Médio e por este motivo, resolvemos incluí-los como saberes curriculares
necessários à prática docente na Educação Básica.
Neste ponto, é necessário justificar a necessidade da limitação do tema
desta pesquisa, sinalizando que, compreendendo que os conceitos da Análise
Real são variados e igualmente complexos, decidiu-se escolher os conceitos de
Sequência de Números Reais, Limite de uma Sequência de Números Reais,
Subsequência de uma Sequência de Números Reais e de Limites Infinitos:
Sequências Divergentes, por constituírem uma ligação entre os dois segmentos
de ensino e porque, segundo Lima (2013), o conceito de limites está relacionado
implícita ou explicitamente a todos os conceitos e resultados importantes em
Análise Real, sendo o conceito de limites de Sequências de Números Reais o
mais simples dentre os limites a serem estudados na disciplina.
Escolhidos os saberes e conhecendo a sua relação com a formação
docente e com a prática educativa, buscou-se uma forma de articulação desses
conceitos com a prática na disciplina eleita, potencializando e enriquecendo a
aprendizagem do futuro docente enquanto aluno de licenciatura, e
desenvolvendo sua prática enquanto professor da Educação Básica. Fato que
nos remete à hipótese inicial do estudo: uma metodologia diferenciada aliada ao
uso do GeoGebra no estudo dos conceitos relacionados à sequência de
números reais contribui para a articulação entre os saberes curriculares e
experienciais, afetando positivamente o ensino e a aprendizagem em Análise
Real no Ensino Superior.
Entende-se que a tecnologia computacional pode ser uma aliada
neste processo de ensino e aprendizagem, apesar de não ser a resposta para
todos os problemas. Também se compreende que uma única tecnologia
computacional pode não servir para auxiliar o ensino e a aprendizagem de todos
os conceitos oriundos da disciplina devido às especificidades de cada um.
Contudo, para o estudo dos conceitos relacionados à sequência decidimos por
utilizar o software GeoGebra.
58
4.4. O Software GeoGebra.
O GeoGebra é um aplicativo matemático criado por Markus Hohenwarter
em 2001. Segundo descrição no site do Instituto de GeoGebra do Rio de
Janeiro, o GeoGebra (2018) é:
Um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.
Para Lemke, Siple e Silveira (2016) o software permite que professores
potencializem seu trabalho, construindo novas formas de ensinar, utilizando-se
da autonomia e da liberdade que o GeoGebra oferece. Segundo Ribeiro e Souza
(2016), o aplicativo proporciona a alunos e professores uma forma diversificada
de dinamização do processo de ensino e de aprendizagem, enriquecendo e
fortalecendo o conhecimento.
Figura 14: Interface do software GeoGebra com as quatro janelas.
Fonte: dados da pesquisa
59
As janelas gráficas 2D e 3D, algébricas, CAS e planilhas do software
visualizadas na figura acima, na opinião de Abar e Esquincalha (2017),
possibilitam a construção de um ambiente rico em conversões que auxiliam na
construção de significados e ajudam o aluno a se apropriar dos objetos
matemáticos, dos seus conceitos e de suas propriedades.
Para este estudo, o GeoGebra torna-se uma ferramenta de fundamental
importância, pois possibilita o desenvolvimento de três tipos de processo
cognitivos: a visualização, a construção de significado e o raciocínio (ABAR,
2017, p. 5).
A visualização na concepção de Borba e Chiari (2013) é necessária para
aprendizagem matemática, pois desencadeia uma série de “ações dos alunos
para pôr à prova os resultados, testar os efeitos e comparar os diferentes
caminhos” (BORBA; CHIARI, 2013, p. 101) para se chegar à formalização dos
conceitos e à resolução dos problemas propostos.
Segundo Lima (2013), embora a argumentação lógica não seja
influenciada pelas figuras, ao realizar desenhos como esboço de gráficos de
funções, o aluno pode conferir um intuitivamente um significado ao raciocínio
estudado. Para o autor as imagens servem como guias à imaginação e fazem
surgir ideias que ajudam no entendimento dos conceitos matemáticos.
A construção de significado oferecido pelo software está diretamente
ligada à capacidade cognitiva do aluno de relacionar conhecimentos prévios a
novos conhecimentos. Para Ribeiro e Souza (2016) ao estabelecer diferentes
relações entre os objetos, os fatos e os acontecimentos ou conceitos estudados
e as imagens, o comportamento do aluno sofre modificações que contribuem
para o enriquecimento, fortalecimento e potencialização de sua aprendizagem.
Segundo Borba e Chiari (2013) o uso das tecnologias reorganiza a forma
de se pensar matematicamente. Em nosso entendimento, através da utilização
do software, o aluno é convidado a questionar, investigar, exemplificar,
organizar, representar e resolver situações problemas, desenvolvendo seu
raciocino lógico e matemático.
Neste trabalho, a Janela de Visualização será utilizada para observar e
manipular os gráficos gerados, e a Janela de Álgebra para descrever e analisar
60
conceitos de conjuntos, de sequências e as relações entre eles, na tentativa de
estimular a construção de significados e a compreensão de forma dinâmica dos
conceitos escolhidos através de questionamentos que incentivem o raciocínio.
Na figura abaixo vemos um exemplo da utilização da Janela de Álgebra e
da Janela de Visualização.
Figura 15: Janelas De Álgebra E Visualização Do Software.
Fonte: Elaborado pelos autores
61
5. A METODOLOGIA DA PESQUISA
A metodologia é definida como a parte lógica do trabalho científico que se
preocupa com os métodos utilizados para o alcance dos objetivos traçados. Os
métodos são conjuntos de procedimentos empregados para se chegar a um
determinado fim ou conhecimento científico. Segundo Marconi e Lakatos (2003,
p. 231), a metodologia é a parte mais “concreta da investigação” científica.
Um trabalho científico, para ter validade, precisa de uma metodologia para a coleta de dados (informações) que garanta a idoneidade das informações e a sua limpeza. Assim, o pesquisador deve esclarecer detalhadamente os métodos utilizados e ainda, as condições em que os dados foram obtidos. (GOMES, 2016, p. 2)
Levando em consideração as preocupações salientadas por Gomes
(2016) em relação à metodologia, neste trabalho realizar-se-á uma pesquisa
qualitativa.
A pesquisa qualitativa foi escolhida como metodologia por empregar
dados não numéricos na exploração e compreensão de comportamentos e/ou
características de pessoas, grupos, instituições, regiões e/ou países e por
apresentar características importantes para este projeto, como: “visão holística,
abordagem indutiva e naturalística”. (ARAÚJO, 2009, p. 384)
A visão holística possibilitará que o pesquisador focalize nas experiências
vividas pelos sujeitos (professores e alunos) com as tecnologias, ampliando a
visão das inter-relações destas com os saberes docentes necessários à
formação do professor e das inter-relações dos sujeitos com o mundo
acadêmico e com o mundo profissional.
Espera-se que com uma abordagem indutiva, as interpretações e análises
dos dados possam ocorrer “progressivamente”, ao longo do processo de
pesquisa.
A abordagem naturalística da pesquisa se definirá pelo contato direto que
o pesquisador terá com o meio, com os objetos de pesquisa e com os
participantes no campo escolhido para a pesquisa. Neste momento faz-se
importante e oportuno destacar que a pesquisa teve como campo de
investigação a UFF, a UERJ e o Consórcio CEDERJ.
62
Na perspectiva de auxiliar o ensino e a aprendizagem dos conceitos de
Sequência de Números Reais, Limite de uma Sequência de Números Reais,
Subsequência de uma Sequência de Números Reais e de Limites Infinitos,
desenvolveu-se uma ferramenta que propicie a articulação dos saberes
curriculares e experienciais utilizando como aporte teórico metodológico a Teoria
da Engenharia Didática e seus preceitos segundo Artigue (1988).
5.1. O Ambiente da Pesquisa
Como campos de pesquisa foram selecionadas as universidades
FFP/UERJ, UFF e o Consórcio CEDERJ. A FFP foi utilizada como campo de
coletas de dados de forma presencial e UFF e o Consórcio CEDERJ, como
campo de coleta de dados em um ambiente virtual.
A coleta de dados na UERJ ocorreu na turma de Fundamentos de
Geometria, composta por 12 alunos, dos quais 6 compareceram à aplicação das
atividades da pesquisa. O tempo total de aplicação foi de 2 horas e meia.
A aplicação das atividades didáticas ocorreu no laboratório de informática
da universidade e contou com os recursos: Datashow, quadro branco,
computadores com o software GeoGebra instalado e material impresso. Os
computadores permitiam o acesso à internet e cada participante pôde realizar as
atividades individualmente. A figura 16 oferece a visualização do laboratório de
informática da FFP.
Figura 16 – Ambiente de Pesquisa Presencial
Fonte: dados da pesquisa
63
A coleta de dados na UFF e no Consórcio CEDERJ foi feita de forma não
presencial. As atividades e questionários foram adaptados para a educação a
distância e foram disponibilizados na plataforma Moodle de ambas as
instituições.
Na UFF, as atividades foram disponibilizadas para a turma de Análise I,
composta por 6 alunos. E no Consórcio, foram disponibilizadas para as turmas
de Elementos de Análise Real, composta de mais ou menos 100 alunos
distribuídos em 23 polos de ensino.
A figura 17 oferece um exemplo de visualização da disposição das
atividades no ambiente virtual de aprendizagem.
Figura 17 – Ambiente de Pesquisa Virtual
Fonte: Plataforma Moodle do Consórcio CEDERJ
64
A pesquisa foi desenvolvida em dois ambientes: o presencial e o virtual.
Nessa divisão fez-se necessária uma adaptação das atividades e na forma de
coleta de dados. Ainda assim, ambos os ambientes solicitaram dos alunos a
realização das atividades e as respostas às perguntas dos questionários. Ao
todo, 36 participantes responderam aos questionários propostos.
Nesse trabalho foi privilegiado o trabalho individual, pois cada aluno
trabalhou em seu computador. Porém, nas atividades desenvolvidas no
ambiente presencial houve a troca de experiências (os alunos com domínio do
software auxiliaram os que não possuíam tanto domínio) e de ideias intuitivas na
busca das definições dos conceitos estudados.
5.2. A Engenharia Didática
A metodologia de pesquisa escolhida foi a Engenharia Didática que,
segundo Paula et al. (2016), propõe a elaboração de um trabalho que requer
noções de conhecimento científico e a submissão de metodologias do tipo
científica. Segundo Alves (2014), a Engenharia Didática é vista como uma
metodologia de pesquisa de caráter experimental que busque a construção, a
realização, a observação e análise de sessões de ensino, ou seja, das práticas
pedagógicas em sala de aula.
Parafraseando Araújo (2012), a Engenharia Didática é uma metodologia de
pesquisa de validação interna, caracterizada pelas seguintes fases: análise
prévias, concepções e análise a priori, experimentação, análise a posteriori e
validação. A validação é realizada confrontando-se a análise a priori e a análise
a posteriori.
Para a definição das variáveis didáticas e o estudo das potencialidades do
software GeoGebra foi realizado um estudo sobre o ensino e a aprendizagem
dos conceitos de Análise Real na graduação e a utilização de tecnologias
computacionais no auxílio desse processo, como previsto na nossa hipótese.
65
5.2.1. Análises Prévias
Verificou-se, através de uma pesquisa virtual nos sites das universidades,
que os conceitos eleitos estão presentes nas ementas dos cursos de Análise
Real de diferentes instituições como a UFF, a UFRJ, a UERJ e o Consórcio
CEDERJ. Notou-se que embora os cursos apresentem denominações
diferentes, todas as ementas preveem o estudo dos conceitos escolhidos.
A ementa do curso de Licenciatura em Matemática da FFP/UERJ (anexo
III) prevê o estudo de Sequências de Números Reais, Convergências,
Subsequências, Sequências Monótonas, Sequências Limitadas e Limites na
disciplina de Análise Real I. Igualmente, a ementa do curso de Matemática da
UERJ, em nível de bacharelado (Anexo IV) propõe o estudo dos conceitos de
Sequências de Números Reais e a utilização desses para a formulação de
conceitos topológicos na disciplina de Análise Matemática I.
O curso de Matemática oferecido pelo Consórcio CEDERJ propõe em sua
ementa (anexo VI) o estudo de Sequências e Limites no curso de Elementos de
Análise Real. A UFF prescreve em sua ementa (anexo II) o estudo de
Sequências em no curso de Análise I. E a UFRJ sugere em sua ementa
(anexo V) o estudo de Sequências, Noções de Limite, Sequência de Cauchy e
Critérios de Convergência no curso de Análise Real.
Logo, levando em consideração as ementas desses cursos será feita a
análise epistemológica do “quadro teórico didático geral” (PAULA; RODRIGUES;
SILVA, 2016, p. 53-54) sobre o conhecimento didático a ser adquirido, no caso
deste estudo, os conceitos relacionados à Sequência de Números Reais, Limites
de uma Sequência de Números Reais, Subsequência de uma Sequência de
Números Reais e Limites Infinitos.
O quadro 10 apresenta uma análise dos pressupostos epistemológicos
(associados às características do saber), cognitivos (associados às dimensões
cognitivas dos alunos, sujeitos da aprendizagem) e didáticos (associados às
condições do sistema de ensino nos quais os sujeitos estão inseridos) do ensino
da disciplina na atualidade, bem como seus efeitos e dificuldades em sua
aprendizagem.
66
Quadro 10 – Análise Epistemológica
Aspectos Epistemológicos
Conhecimento adquiridos sobre os conceitos de Sequências, Limites de uma Sequência, Subsequência de uma Sequência e Limites Infinitos.
Aspectos Cognitivos
Alunos de cursos de Análise Real.
Aspectos Didáticos
Conceitos relacionados à Sequência e Limites de Números Reais.
Dificuldades
Aspectos Algébricos:
Demonstrações e provas.
Aspectos Geométricos:
Visualização do comportamento das sequências.
Aspectos Numéricos:
As aproximações dos valores no cálculo de limites.
Fonte: adaptado de Paula, Rodrigues e Silva (2016)
5.2.2. As concepções e a Análise a Priori
Na análise a priori, o estudo dos conceitos de Sequência de Números
Reais, Limites de uma Sequência de Números Reais, Subsequência de uma
Sequência de Números Reais e Limites Infinitos presentes nas ementas dos
cursos de Análise Real será determinado como variável macrodidática, utilizando
o software GeoGebra como mediador na compreensão do conhecimento
matemático.
As variáveis microdidáticas serão compostas pela forma de apresentação
dos conceitos eleitos (que podem ser aulas presenciais ou acessadas via
plataforma moodle) e pela mediação ou não dos pesquisadores, ou seja, pelo
planejamento pedagógico elaborado.
67
O objetivo da análise a priori é determinar como as escolhas efetuadas
permitem controlar o comportamento dos participantes (alunos) e explicar seu
sentido na fase de experimentação.
5.2.3. A Fase da Experimentação
A fase de experimentação, segundo Almouloud e Coutinho (2008), é o
momento de colocar em funcionamento todo o dispositivo construído, corrigindo-
o se necessário, quando as análises locais do desenvolvimento experimental
identificam esta necessidade. A fase de experimentação desta pesquisa será
desenvolvida em três etapas: a aplicação de um teste piloto, a aplicação das
atividades didáticas e a aplicação dos questionários (de avaliação de
conhecimentos prévios e da aplicação das atividades).
É válido ressaltar que a não aplicação de todas as atividades não invalida
a pesquisa ou o produto desenvolvido, pois o que estamos avaliando é a
metodologia de ensino e aprendizagem. Salienta-se ainda que a aplicação das
atividades sobre Sequência e Limites já são suficientes para validar a hipótese e
responder à pergunta de partida e, consequentemente, validar o produto
educacional, pois os conceitos de Subsequência e Limites Infinitos são
aprofundamentos do conceito de Sequência e Limites de uma Sequência e,
portanto, compartilham da mesma metodologia empregada.
5.2.3.1.O teste Piloto.
O teste piloto foi uma ferramenta metodológica estratégica utilizada para o
aprimoramento do produto educacional desenvolvido. Esta ferramenta auxiliou
no aperfeiçoamento dos questionários aplicados no início e final de cada aula e
na própria organização das aulas, ajudando a avaliar a necessidade de
adequações e/ou modificações.
O teste piloto foi realizado no VII CIEM, no Campus Canoas da ULBRA,
no dia 06 de outubro de 2017, em formato de minicurso com duração de 3 horas.
O minicurso contou com a presença de 10 participantes entre alunos e
68
professores de diferentes instituições e cursos de Matemática. A princípio foram
reservados 15 minutos para o preenchimento dos questionários de avaliação de
conhecimentos prévios. A seguir, os objetivos de cada aula foram apresentados
juntamente com a ferramenta a ser utilizada: o software GeoGebra 5.0. Em
prosseguimento, houve a realização das atividades didáticas sobre Sequências
de Números Reais e Limites de uma Sequência de Números Reais.
Por causa do tempo curto para a aplicação de todas as atividades e
construções propostas no GeoGebra, as construções relacionadas a Limites de
uma Sequência foram projetadas no quadro branco. Após a aplicação das
atividades foi solicitado o preenchimento do questionário de avaliação das
atividades.
Figura 18 – Aplicação do Teste Piloto
Fonte: dados da pesquisa
Durante a realização das atividades, percebeu-se a necessidade de uma
quantidade maior de tempo para aplicação e resolução das atividades propostas
como exercícios de verificação da aprendizagem.
Concluiu-se, a partir das respostas oferecidas no questionário de
avaliação das atividades, que a metodologia empregada para o ensino e para a
aprendizagem foi adequada e bem aceita pelos alunos e professores presentes.
E ainda, através das interações durante a aplicação das atividades, percebeu-se
que a utilização do GeoGebra facilitou a compreensão dos conceitos abordados.
Na análise desse pré-teste, avaliou-se que não existia a necessidade de
adequação dos questionários, mas que se fazia necessário o domínio, por parte
69
dos alunos, de noções básicas de informática e matemática, e do conhecimento
mínimo do software GeoGebra para a manipulação dos gráficos e construções
propostas.
Alguns pontos, verificados através da construção, visualização e
manipulação dos gráficos das sequências e das definições e demonstrações
realizadas ao logo das aulas, foram especialmente levados em consideração na
avaliação dos resultados do teste piloto. São eles: o conhecimento do software
pelos alunos, o entendimento dos conceitos estudados, a clareza e precisão dos
termos utilizados e a compreensão atingida dos conceitos.
5.2.3.2. Os questionários.
Na aplicação das sequências didáticas foi realizada uma “observação
direta extensiva” (MARCONI; LAKATOS, 2003, p. 191), que consiste na
utilização de dois questionários como instrumento de coleta de dados. Esses
questionários foram direcionados aos alunos e aplicados ao início e ao final da
atividade didática. Sua elaboração foi de responsabilidade dos pesquisadores.
A intenção foi fazer uma “análise preliminar” (FANTINELLI, 2010, p. 16)
para a identificação dos conhecimentos prévios e das dificuldades em relação
aos conceitos da disciplina, e uma “análise posterior a prática e sua validação”
(FANTINELLI, 2010, p. 16) para verificar se os objetivos traçados foram
alcançados e identificar a necessidade de aperfeiçoamento na metodologia
empregada para o processo de ensino-aprendizagem.
O questionário inicial (apêndice C) deverá verificar: 1) quais
conhecimentos prévios os alunos possuem sobre os conceitos de Análise Real;
2) quais dificuldades eles apresentam no estudo da disciplina; 3) se os alunos
(futuros docentes) conhecem a tecnologia escolhida e apresentada; e 4) se já
utilizam a tecnologia apresentada ou se aprenderam nas aulas.
O questionário final (apêndice D) deverá identificar: 1) se a apresentação
realizada pelo professor da tecnologia computacional foi suficiente para que ele
(aluno) a compreendesse e a utilizasse em seus estudos na disciplina de Análise
Real; 2) se a metodologia apresentada auxiliou na superação da dificuldade de
70
aprendizagem dos conceitos da disciplina; e 3) se existe, na opinião dos alunos,
a necessidade de aperfeiçoamento e adaptação das atividades didáticas e/ou da
ferramenta utilizada.
No decorrer da pesquisa foi necessário adaptar as atividades e os
questionários para a EAD. Sendo assim, os questionários previstos foram
unificados e adaptados para o preenchimento online. No apêndice E é possível
visualizar o questionário modificado que também pode ser acessado pelo link:
https://goo.gl/forms/9T04ZfyAkWAC5bnF3 ou na plataforma dos cursos
oferecidos pela UFF e pelo Consórcio CEDERJ.
5.2.3.3. A aplicação das Atividades Didáticas e dos Questionários.
A hipótese descrita para este trabalho é: uma metodologia diferenciada
aliada ao uso do GeoGebra no estudo dos conceitos relacionados a sequência
de números reais contribuem para a articulação entre os saberes curriculares e
experienciais, afetando positivamente o ensino e a aprendizagem em Análise
Real no Ensino Superior.
O objetivo desta pesquisa foi elaborar uma proposta de metodologia de
ensino que favorecesse a articulação entre teoria e prática no Ensino da Análise
Real no Ensino Superior. No intuito de alcançar o objetivo proposto realizou-se a
elaboração de quatro atividades didáticas e a aplicação de, pelo menos, duas
delas nos cursos de graduação que oferecem a disciplina de Analise Real, ou o
estudo dos conceitos escolhidos. A partir destas atividades foi elaborada uma
ferramenta direcionada ao professor.
Antes da aplicação das aulas presenciais foram reservados 15 minutos
para o preenchimento do questionário de avaliação de conhecimentos prévios.
As atividades propostas para os alunos no ambiente presencial e no ambiente
virtual encontram-se no apêndice G. Já o roteiro de desenvolvimento dessas
atividades, como orientação ao professor, encontra-se no produto educacional
intitulado “O Estudo de Sequência e Limites com o GeoGebra: Uma ponte entre
os Pensamentos Intuitivo e Matemático em Análise Real”, que será descrito na
seção 6 deste trabalho.
71
A análise dos dados foi feita de forma qualitativa, seguindo três etapas
descritas por Gil (2008, p. 175-179): “redução, exibição e conclusão”. Sendo a
etapa de conclusão delineada na seção 5.3 a que versa sobre os resultados da
pesquisa.
A redução, segundo Gil (2008), é o processo de seleção e posterior
simplificação dos dados.
A exibição (ou apresentação), parafraseando Gil (2008), consiste na
organização dos dados de forma a possibilitar a análise sistemática das
semelhanças e diferenças e seu inter-relacionamento. Essa apresentação pode
ser constituída por textos, diagramas, mapas ou matrizes. Para a apresentação
dos dados coletados no questionário inicial será utilizado o quadro 11 que
sintetiza os dados coletados no questionário inicial em 6 tópicos.
Quadro 11 – Respostas Coletadas no 1º Questionário
Tópicos Síntese das Respostas Coletadas
1 Experiência no
Ensino da Matemática.
Dos participantes, 77% sinalizaram já ter atuado, estar atuando ou ter iniciado a atuação no ensino da Matemática após o ingresso na graduação. O restante não possui experiência no ensino da Matemática.
2
O Papel e a Importância da Disciplina na
Formação Docente.
Papel fundamental na construção e entendimento dos conhecimentos matemáticos, possibilitando a melhoria na forma de ensino na Educação Básica;
Desenvolvimento do raciocínio lógico e indutivo para as provas e demonstrações dos conceitos;
Embasamento teórico e conhecimento da origem e desenvolvimento dos conceitos abordados pela disciplina.
72
3
Conhecimento sobre os
conceitos de Análise Real.
58% dos participantes ainda não haviam cursado a disciplina, mas tiveram contado com o conceito de limites em Cálculo I; 25% já haviam cursado a disciplina e 17% estavam cursando a disciplina.
4 As Dificuldades no Aprendizado da Disciplina.
Assimilação dos conceitos;
A prática das demonstrações e provas;
A aplicação dos conceitos em situações-problemas.
5
Conhecimento e Domínio da Tecnologia
Digital.
72% dos participantes sinalizaram não ter utilizado nenhuma tecnologia digital no estudo da Análise; 17% haviam utilizado o GeoGebra e 11% utilizaram outros softwares.
6
As expectativas em Relação às
Atividades Propostas.
Conhecer ou entender o assunto apresentado;
Estudar o conteúdo através do GeoGebra;
Curiosidade e desejo de ter contato com novas formas de estudar a Análise.
Fonte: dados da Pesquisa
As figuras 19, 20, 21 e 22 demonstram algumas respostas dadas pelos
alunos que exemplificam o que foi exposto no quadro 11.
A figura a seguir responde ao seguinte questionamento a respeito do
papel da disciplina na licenciatura: “Em sua opinião: qual o papel da Análise na
73
formação do futuro professor de Matemática dos Ensinos Fundamental e
Médio?”
Figura 19 – Opiniões sobre o Papel da Análise na Graduação
Fonte:Dados da Pesquisa
Fonte: dados da Pesquisa
Resposta do aluno 3:
Resposta do aluno 8:
Resposta do aluno 16:
74
Já a figura 20 expõe as respostas relativas à motivação em relação a
realização das atividades, em resposta ao seguinte questionamento: “O que
motivou a sua participação nesta pesquisa (ou minicurso)?”
Figura 20 – Motivação em Relação à Pesquisa
Fonte: dados da Pesquisa
Resposta do aluno 6:
Resposta do aluno 11:
Resposta do aluno 27:
Resposta do aluno 36 (questionário online):
75
Quanto às expectativas em relação à realização das atividades, observe a
figura 21, que mostra as respostas ao seguinte questionamento: “Quais são as
suas expectativas em relação a sua participação nesta pesquisa (ou
minicurso)?”
Figura 21 – Expectativas em Relação às Atividades
Fonte: dados da Pesquisa
Resposta do aluno 1:
Resposta do aluno 17:
Resposta do aluno 8:
Resposta do aluno 9:
76
Para as atividades aplicadas online foi necessária a elaboração de um
texto explicativo (apêndice F) que orientasse a execução das atividades. Nessa
etapa da pesquisa, notou-se a necessidade de exemplificar e subdividir o estudo
de Limites de uma Sequência de Números Reais em várias etapas, pois, o
participante que realizaria as atividades no ambiente virtual pode não contar com
a mediação síncrona2 do professor durante a realização das atividades.
Durante a realização das atividades presenciais foram apresentados os
objetivos do conceito e oferecido material impresso com os conteúdos,
construções e atividades a serem realizadas. Os pesquisadores agiram apenas
como mediadores da aprendizagem e orientadores na utilização da ferramenta
computacional e, quando necessário, esboçando no quadro os principais tópicos
para a realização das demonstrações e provas sugeridas.
Observou-se, durante a aplicação presencial das atividades, que os
alunos que não tinha muito experiência com ferramentas computacionais ou com
o software GeoGebra apresentaram uma evolução no uso do mesmo. No início
eles solicitavam mais atenção e auxílio na construção das sequências propostas
e, mediados pelos pesquisadores e por outros alunos, ao final das atividades já
conseguiam realizar as construções sozinhos.
É válido ressaltar que, diferentemente do aluno no ensino presencial,
todos os alunos de um curso a distância, que já se encontram no período de
cursar a disciplina de Análise Real, já possuem o domínio ou a experiência
necessária para trabalhar com as ferramentas computacionais sem o auxílio do
professor.
No quadro 12 apresentaremos um resumo das observações realizadas
durante a aplicação das atividades presenciais dividido em 4 tópicos
relacionados ao entendimento dos conceitos, à manipulação do software por
parte dos participantes, à prática evidenciada nas demonstrações e provas, e à
opinião dos participantes sobre a metodologia de ensino empregue.
2 É a mediação que ocorre em tempo real, emissor e transmissor estão presentes no mesmo ambiente e tempo em que se desenvolve a comunicação.
77
Quadro 12 – Observações Realizadas durante as Atividades
Pontos Observados Observações
1 Quanto ao
entendimento dos conceitos
apresentados.
Durante a realização das atividades os participantes conseguiram acessar conhecimentos prévios sobre o conceito de funções e associá-los aos conceitos estudados, de forma a compreendê-los.
2 Quanto às
manipulações do software GeoGebra.
Alguns participantes tiveram, inicialmente, dificuldades para manipular o software. Contudo, com a mediação dos pesquisadores e outros alunos conseguiram realizar sem dificuldades as construções propostas.
3 Quanto à realização
das demonstrações e provas sugeridas.
Os participantes não realizaram formalmente as provas e demonstrações devido ao tempo, mas indicaram verbalmente compreender todos os procedimentos necessários para tal.
4 Quanto à percepção da
metodologia apresentada.
A metodologia apresentada foi plenamente aceita pelos participantes, que sinalizaram verbalmente suas opiniões.
Fonte: dados da Pesquisa
Ao término da realização das atividades foram reservados 15 minutos
para o preenchimento do questionário de avaliação das atividades propostas. Os
dados coletados nesse questionário serão apresentados no quadro 13 seguindo
as etapas de redução e exibição descritas por Gil (2008) e divididos em 4 tópicos
relacionados à metodologia, à tecnologia usada, às expectativas geradas e à
necessidade ou não de alteração nos procedimentos metodológicos de
pesquisa.
78
Quadro 13 – Respostas Coletadas no 2º Questionário
Tópicos Síntese da Respostas Coletadas
1
A metodologia apresentada auxiliou na compreensão dos
conceitos.
Todos os participantes assinalaram no questionário de avaliação que a metodologia auxiliou na compreensão dos conceitos apresentados.
2
A tecnologia computacional
apresentada auxiliou na compreensão dos
conceitos.
Segundo os participantes a ferramenta computacional apresentada, no caso o software GeoGebra, auxiliou na compreensão dos conceitos apresentados e é de fácil manuseio.
3 O trabalho atendeu
as expectativas.
33 dos participantes afirmaram que o trabalho atendeu as expectativas ou as superou. 3 participantes sinalizaram que o trabalho atendeu parcialmente suas expectativas, pois gostariam de realizar mais construções e aprofundar o assunto.
4
Existe a necessidade de aperfeiçoamento ou adaptação das
atividades propostas ou da ferramenta
computacional apresentada.
Todos os participantes indicaram a necessidade de mais tempo para a realização das atividades, sugeriram explorar mais construções com o software e a realização de mais “exercícios” de fixação do conteúdo.
Fonte: dados da Pesquisa
Notou-se, através das respostas dadas, que a metodologia apresentada
foi bem aceita e atendeu as expectativas dos participantes. Além disso, pôde-se
perceber que o software GeoGebra foi a escolha adequada para o auxílio na
compreensão dos conceitos. Outra observação que pôde ser feita foi a
necessidade (ou desejo) salientada pelos participantes de mais tempo para a
realização das atividades. Foi sinalizado pelos pesquisadores que o tempo de
estudo de cada conceito em sala de aula é de duas aulas de 50 minutos e que
os exercícios podem ser resolvidos em casa e discutidos em outra aula.
79
As figuras 22 e 23 exibem algumas respostas dadas pelos alunos que
corroboram com as afirmações realizadas no quadro 13.
A figura 22 mostra as respostas referentes ao atendimento das
expectativas, em que foi feito o seguinte questionamento: “O trabalho
apresentado atendeu as suas expectativas? Justifique.”
Figura 22 – O Atendimento às Expectativas
Fonte:Dados da Pesquisa
Fonte: dados da Pesquisa
Resposta do aluno 4:
Resposta do aluno 21:
Resposta do aluno 22:
Resposta do aluno 31:
80
Já a figura 23 mostra as respostas referentes às sugestões de adaptação
e aperfeiçoamento do trabalho, cuja orientação foi: “Ofereça sugestões para a
melhoria do trabalho (ou minicurso) apresentado.”
Figura 23 – Sugestões de Aperfeiçoamento
Fonte: dados da Pesquisa
Assim conclui-se a parte de apresentação dos dados coletados através do
teste piloto, dos questionários, da observação e da aplicação das atividades
didáticas. Em seguida, será iniciada a etapa de conclusão do trabalho. Sendo
assim, nas seções a seguir será feita a apresentação do produto educacional,
das discussões e resultados, da análise a posteriori e da validação da hipótese e
do produto.
Resposta do aluno 20:
Resposta do aluno 23:
Resposta do aluno 31:
81
5.3. Análise a Posteriori e Validação
Usando como aporte a etapa de conclusão, descrita por Gil (2008) como
a fase de elaboração da conclusão, que requer uma revisão dos dados para
considerar o seu significado, suas regularidades, padrões e explicações, será
feita uma revisão (quadro 14) da análise a priori e dos resultados obtidos na fase
de experimentação. E a seguir, como última fase da Engenharia Didática, será
iniciada a análise a posteriori e a validação da hipótese da pesquisa que foi: uma
metodologia diferenciada aliada ao uso do GeoGebra no estudo dos conceitos
relacionados a sequência de números reais contribuem para a articulação entre
os saberes curriculares e experienciais, afetando positivamente o ensino e a
aprendizagem em Análise Real no Ensino Superior, conjuntamente com os
resultados e discussões.
A análise a posteriori e a validação apoiaram-se no conjunto de dados
coletados durante a aplicação dos procedimentos metodológicos, que foram: o
teste piloto, os questionários e a observação participativa da aplicação das
sequências didáticas.
Quadro 14 – Resumo da Fase de Experimentação
Conceitos Análise a priori Resultados
Sequência de Números
Reais
Dificuldades:
assimilação dos conceitos;
prática das demonstrações e provas;
visualização do comportamento das sequências;
Os alunos conseguiram:
acessar conhecimentos prévios e compreender as definições dos conceitos;
realizar sem dificuldades as construções;
indicar verbalmente todos os procedimentos necessários para as provas e demonstrações.
Limite de uma
Sequências de Números
Reais
Subsequência
82
de uma Sequência de
Números Reais
aproximações dos valores no cálculo de limites; não utilização de tecnologia computacionais no estudo dos conceitos em Análise Real.
Os alunos:
gostariam de realizar mais construções e aprofundar os assuntos;
desejaram mais tempo para a realização das atividades;
queriam realizar mais “exercícios” de fixação do conteúdo com o GeoGebra.
Limites Infinitos
Fonte: dados da pesquisa
Nessa fase, o confronto entre os dados coletados na análise a priori e os
resultados obtidos na experimentação tem como finalidade responder à pergunta
norteadora desta pesquisa: como promover a articulação entre os saberes
curriculares e os saberes experienciais no ensino e na aprendizagem dos
conceitos de sequências de números reais, limite de uma sequência de números
reais, subsequência de uma sequência de números reais e de limites infinitos em
Análise Real no Ensino Superior?
É válido relembrar que a variável macrodidática definida prevê o estudo
dos conceitos relacionados à Sequência de Números Reais usando o software
GeoGebra como mediador na compreensão do conhecimento matemático, e que
a hipótese definida foi: uma metodologia diferenciada aliada ao uso do
GeoGebra no estudo dos conceitos relacionados a sequência de números reais
contribui para a articulação entre os saberes curriculares e experienciais,
afetando positivamente o ensino e a aprendizagem em Análise Real no Ensino
Superior.
Na fase de análises a priori verificou-se, com o levantamento de dados,
que a maior parte dos participantes sinalizou como dificuldades para a
aprendizagem dos conceitos da disciplina: a assimilação das definições, a
prática das demonstrações e provas e a aplicação destes em situações-
problemas. Constatou-se também, na aplicação presencial, que alguns
83
participantes não haviam tido contato com a tecnologia computacional
apresentada. E ainda, que todos os participantes sinalizaram não ter utilizado ou
utilizar, até o momento da pesquisa, qualquer tipo de tecnologia computacional
para auxiliar o estudo dos conceitos da disciplina em questão.
Ao longo do desenvolvimento das atividades na fase de experimentação,
os participantes demonstraram uma evolução no domínio e manipulação do
software; conseguiram alcançar a compreensão dos conceitos estudados
através do acesso a conhecimentos prévios sobre funções, conjuntos e gráficos,
das visualizações, manipulações e construções propostas. Eles também
consideraram a metodologia adequada e facilitadora do processo de ensino e
aprendizagem, cogitando a possibilidade de utilizar em suas futuras práticas
pedagógicas.
No momento da aplicação das atividades verificou-se a necessidade de
adaptação das atividades para a EAD, mas esta adaptação não modificou a
metodologia empregada e sim, o planejamento pedagógico, previsto como uma
variável microdidática na análise a priori.
Em resumo, a análise qualitativa do confronto expressada no quadro 14
acima é positiva e expõe que, apesar das dificuldades apresentadas na análise a
priori para a compreensão dos conceitos e para a utilização do software, na
análise a posteriori a metodologia empregada foi capaz de facilitar a
compreensão dos conceitos relacionados a Sequências.
A análise do quadro 14 sugere ainda que o recurso tecnológico utilizado
atuou como dinamizador e motivador, potencializando e incentivando o processo
de aprendizagem dos alunos. Em correspondência, culminou em uma forma
diversificada de enxergar a disciplina e o estudo de seus conceitos, facilitando a
articulação entre os saberes curriculares escolhidos e os saberes experienciais
no ensino e na aprendizagem da disciplina de Análise Real.
O questionamento inicial desta pesquisa era: como promover a
articulação entre os saberes curriculares e os saberes experienciais no ensino e
na aprendizagem dos conceitos de sequências de números reais, limite de uma
sequência de números reais, subsequência de uma sequência de números reais
e de limites infinitos em Análise Real no Ensino Superior?
84
Sendo assim, levando em consideração que as dificuldades para a
compreensão dos conceitos propostos foram parcialmente superadas, que os
participantes vislumbraram outra forma de ensinar e aprender os conceitos da
disciplina através do GeoGebra, que os objetivos traçados foram alcançados e
que aplicação das atividades culminou com o desenvolvimento de uma
ferramenta facilitadora do processo de ensino-aprendizagem, pode-se afirmar
que pergunta de partida e a hipótese levantada no início da pesquisa foram
respondidas e validadas e, consequentemente, o produto educacional foi
validado.
85
6. O PRODUTO EDUCACIONAL
O produto educacional gerado por esta pesquisa tem a intenção de
promover a articulação entre os “saberes curriculares” e os “saberes
experienciais” (TARDIF, 2014, p. 48-55) no ensino dos conteúdos de: Sequência
de Números Reais, Limites de uma Sequência de Números Reais,
Subsequência de Número Reais, Limites Infinitos e Sequências Divergentes,
previstos na ementa da disciplina de Análise Real ou Análise na Reta ministrada
em Cursos de Licenciatura Plena em Matemática e de Bacharelados em
Matemática.
O objetivo deste produto é fornecer aos professores dos cursos de
graduação, uma ferramenta que possa favorecer a construção do conhecimento
matemático através da articulação do pensamento intuitivo, composto por ideias
intuitivas e visualizações das manipulações do software GeoGebra.
A ferramenta desenvolvida compõe-se de quatro atividades didáticas, que
dividem o ensino dos conteúdos citados em várias etapas. Cada etapa foi
desenvolvida de modo a facilitar a compreensão dos conceitos através da:
visualização de gráficos, utilização de exemplos, intuição, formalização de
definições e manipulação algébrica para a realização de demonstrações. As
descrições de cada etapa, bem como os questionamentos a serem feitos, as
conexões entre cada fase, os comentários necessários à orientação do
profissional que aplicará as atividades e alguns exercícios que induzem à prática
das demonstrações e provas (e que ajudam a avaliar a aprendizagem)
encontram-se nas seções denominadas de aula 1, 2, 3 e 4 do produto
educacional.
Ainda como material auxiliar será disponibilizado em anexo um CD
contendo os arquivos com as construções propostas no produto educacional. O
objetivo deste material é oferecer aos professores e alunos uma forma de
comparar suas construções com as do produto. Além de oferecer a possibilidade
de tornar as aulas, a correção das atividades propostas e o tempo de estudo
mais dinâmico, visto que os arquivos a serem alterados e manipulados já estão
prontos.
86
É importante ressaltar a necessidade das construções para a
compreensão dos conceitos dados, pois estas fazem com que os alunos
atentem para detalhes importantes como: as relações entre os conjuntos
gerados, o valor do raio , o cálculo de limites e como determinar o termo geral
de uma Sequência ou Subsequência, dentre outras observações importantes.
Público-Alvo:
Alunos inscritos em um curso de Licenciatura ou Bacharelado em Matemática ou
qualquer pessoa que esteja estudando os conceitos relacionados no trabalho.
Tempo Estimado:
Todas as seções foram elaboradas para terem a duração de duas aulas de 50
minutos cada.
Local:
Para ambientes presenciais: Salas de aulas (com o auxílio de celulares com
o software GeoGebra instalado) ou, mais recomendado, laboratório de
informática da instituição (com computadores que possuam o software instalado)
para ambientes presenciais de ensino.
Para ambientes virtuais: A plataforma moodle ou qualquer plataforma que
possibilite a disponibilidade das atividades propostas.
Material utilizado:
Software GeoGebra instalado no celular ou computador, acesso à internet,
quadro branco, marcador para quadro branco, livros para pesquisa e folhas
impressas com as atividades propostas.
87
Organização da turma:
A proposta lançada é para o desenvolvimento de atividades individuais, pois
possui a intenção de fazer com que o aluno utilize-se de sua intuição e de
conceitos previamente adquiridos na análise de gráfico e na busca, construção e
solução de problemas.
Figura 24 – Produto Educacional
Fonte: dados da pesquisa
88
7. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este trabalho foi iniciado no intento de responder ao seguinte
questionamento: como promover a articulação entre os saberes curriculares e os
saberes experienciais no ensino e na aprendizagem dos conceitos de
sequências de números reais, limite de uma sequência de números reais,
subsequência de uma sequência de números reais e de limites infinitos em
Análise Real no Ensino Superior?
Com o desejo de encontrar uma forma diferenciada para ensinar e
aprender os conceitos da disciplina em questão, levantou-se a seguinte
hipótese: uma metodologia diferenciada aliada ao uso do GeoGebra no estudo
dos conceitos relacionados a sequência de números reais contribui para a
articulação entre os saberes curriculares e experienciais, afetando positivamente
o ensino e a aprendizagem em Análise Real no Ensino Superior.
Na busca pela resposta à pergunta de partida e pela validação da
hipótese levantada uma revisão sistemática da literatura foi realizada, o que
tornou notório o fato de que diversos pesquisadores veem investigando e
discutindo os saberes necessários à formação docente, e em especial, os
saberes inerentes à graduação em Matemática presentes em um curso de
Análise Real.
Esses pesquisadores procuram compreender a importância e o papel da
disciplina de Análise Real na formação do professor de matemática e, junto a
este entendimento, formas de superar os obstáculos que impedem a
aprendizagem de seus conceitos. Os trabalhos analisados deixam evidente que
não existe um consenso sobre quais saberes a disciplina deve abraçar ou sobre
o seu papel na formação docente, mas todos concordam que esta deve compor
uma das bases dos saberes do futuro professor dessa disciplina.
Como referencial teórico, foi eleito Tardif (2014) que estuda os saberes
necessários à formação docente e procurou-se compreender a relação existente
entre os conceitos da disciplina (componentes do saber curricular) e a prática
docente (também composta por saberes experienciais).
89
Norteados pela hipótese levantada, foi dado início à elaboração de uma
metodologia que pudesse auxiliar o ensino e a aprendizagem dos conceitos
relacionados a Sequências de Números Reais no Ensino Superior com o auxílio
do software GeoGebra.
A escolha do software foi pautada na sua aplicabilidade no processo de
ensino-aprendizagem da Matemática e na sua funcionalidade, que permite o
trabalho com recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade e
cálculos simbólicos, dentre outros recursos. Apreciou-se também a sua
executabilidade que permite arrastar, selecionar, ampliar ou reduzir escalas,
rotacionar ou transladar as construções feitas em seu ambiente.
O ambiente de pesquisa foi dividido em presencial e virtual e contou com
a parceria das universidades FFP/UERJ, UFF, UERJ e do Consórcio CEDERJ.
Faz-se importante ressaltar que a procura por campos de pesquisa expôs a
complexidade de se encontrar instituições dispostas a mediar pesquisas
voltadas para o ensino e que uma das limitações à pesquisa foi o fato de que os
alunos, em particular, os alunos das universidades privadas, estão optando pelo
ensino à distância.
Na busca pelo campo de pesquisa, dentre as universidades procuradas
pelos pesquisadores, foram encontradas turmas presenciais de graduação em
Matemática apenas nas universidades públicas e com um quantitativo pequeno
de alunos inscritos na disciplina de Análise Real. É importante lembrar que trata-
se de uma disciplina ministrada nos últimos períodos da graduação. Contudo,
esta limitação foi benéfica para este trabalho, pois forçou a adaptação das
atividades para a aplicação na Educação a Distância.
A organização da pesquisa foi regulada pela Teoria da Engenharia
Didática, que como aporte teórico metodológico ajudou na estruturação deste
trabalho em 4 fases: análises prévias, concepções e análise a priori,
experimentação, análise a posteriori e validação.
Na fase de análises prévias, verificou-se com a pesquisa virtual das
ementas de alguns cursos de graduação em Matemática (licenciatura e
bacharelado) a prescrição dos conceitos escolhidos na disciplina de Análise
Real. Observou-se nas ementas que existem diferentes nomenclaturas para a
90
disciplina, mas que todas privilegiam a fundamentação teórica rigorosa,
percebida pela escolha das bibliografias sugeridas nas ementas. Pôde-se
perceber ainda, que estas não mencionam o uso de tecnologias digitais ou
computacionais no processo de ensino e aprendizagem. Acredita-se que este
uso deva ficar a critério do planejamento pedagógico de cada professor.
Na fase de concepções e análise a priori, determinou-se como variável
macrodidática: o estudo dos conceitos de Sequência de Números Reais, Limites
de uma Sequência de Números Reais, Subsequência de uma Sequência de
Números Reais e Limites Infinitos, presentes nas ementas dos cursos de Análise
Real, utilizando o software GeoGebra como mediador na compreensão do
conhecimento matemático. Isso devido ao fato de que pesquisadores não
poderiam alterar a escolha dos conceitos eleitos e, muito menos, o software a
ser utilizado na mediação do processo. Como variáveis microdidáticas foram
selecionados o planejamento pedagógico e o modelo de ambiente de pesquisa
(virtual ou presencial).
A fase de experimentação foi a etapa de aplicação dos procedimentos
metodológicos: teste piloto, questionários e atividades didáticas. Nessa fase,
constatou-se a aceitação da metodologia, do software e dos conceitos. Mesmos
os participantes que não haviam estudado os conceitos da disciplina ou não
possuíam o domínio da ferramenta computacional conseguiram compreender os
conceitos e utilizar o software de maneira proveitosa. Fato esse, que contribuiu
para a validação da metodologia aplicada no produto e ampliou seu campo de
aplicação para além do curso de Análise Real na licenciatura, possibilitando sua
aplicação a qualquer curso que preveja em sua ementa o estudo dos conceitos
relacionados a esta pesquisa.
Na fase de análise a posteriori e validação, confrontou-se os dados
coletados na fase de experimentação com os dados da análise a priori. E
averigou-se: que a metodologia empregada com o suporte do software
GeoGebra motivou os participantes a acessarem seus conhecimentos
previamente adquiridos na elaboração de novos conceitos; que o software
dinamizou o ensino dos conceitos e auxiliou nas visualizações, manipulações
algébricas e entendimento das demonstrações e provas; que despertou o desejo
91
em alguns de estudar mais os conceitos da disciplina e, em outros, o desejo de
lecionar a disciplina (desejos expressos nas sugestões oferecidas); e que fez
surgir o interesse em adaptar a metodologia e a ferramenta para futuras práticas
pedagógicas.
Ao finalizar todas as fases da presente pesquisa, chegou-se à conclusão
de que a metodologia apresentada auxiliou na articulação entre os saberes
curriculares (neste caso, os conceitos relacionados à Sequência) e os saberes
experienciais (conhecimentos prévios, visualizações, vivências na manipulação
do software, mediação e orientação da aprendizagem, troca de experiência e
conhecimento, planejamento pedagógico e etc.) no ensino e na aprendizagem
dos conceitos eleitos da disciplina escolhida no Ensino Superior.
Esta pesquisa ofereceu subsídios para modificar a prática pedagógica e
repensar o processo de ensino-aprendizagem tanto na modalidade presencial
quanto na virtual. Espera-se que ela possa despertar, juntamente com o produto
educacional desenvolvido, na comunidade acadêmica e nos profissionais do
magistério superior, em especial dos cursos de graduação em Matemática, o
desejo de novos estudos sobre o processo de ensino da disciplina, de forma a
favorecer o entendimento de seus conceitos e a construção do conhecimento
matemático formal e pedagógico do futuro professor de Matemática.
92
REFERÊNCIAS
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93
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96
APÊNDICE
97
Apêndice A: O TCLE
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
(De acordo com as normas da Resolução nº 466, do Conselho Nacional de Saúde de 12/12/2012)
Você está sendo convidado para participar da pesquisa “O uso do GeoGebra no
ensino superior: a formação docente e a Análise Real”. Você foi selecionado por fazer
parte de uma turma do curso de Análise Real da licenciatura em Matemática da Instituição e
sua participação não é obrigatória. A qualquer momento você pode desistir de participar e
retirar seu consentimento. Sua recusa não trará nenhum prejuízo em sua relação com o
pesquisador ou com a instituição UNIGRANRIO.
O objetivo deste estudo é apresentar uma metodologia de ensino para a disciplina de
Análise Real que promova a articulação entre a teoria e a prática utilizando-se de uma
tecnologia digital.Sua participação nesta pesquisa consistirá em participar das aulas de
Análise Real e responder a dois questionários aplicados a cada sequência didática
realizada.Não existem riscos relacionados com sua participação.
Os benefícios relacionados com a sua participação são colaborar para a compreensão
da importância da disciplina para a formação docente e auxiliar na aprendizagem dos
conceitos da mesma, minimizando os impactos que sua fundamentação teórica rigorosa
provoca nos futuros professores de Matemática.
As informações obtidas através dessa pesquisa serão confidenciais e asseguramos o
sigilo sobre sua participação. Os dados não serão divulgados de forma a possibilitar sua
identificação; os questionários aplicados não serão identificados.
Uma cópia deste Termo de Consentimento Livre e Esclarecido ficará com o senhor
(a), podendo tirar suas dúvidas sobre o projeto e sua participação, agora ou a qualquer
momento com os pesquisadores responsáveis Abel Rodolfo Garcia LozanoeGreice Keli
Silva Lacerda nos e-mails: [email protected] e [email protected] ou no
telefone (21) 98879-8529.
___________________________________________ Pesquisador Responsável
Declaro que entendi os objetivos, riscos e benefícios de minha participação na
pesquisa e concordo em participar. O pesquisador me informou que o projeto foi aprovado
pelo Comitê de Ética em Pesquisa em Seres Humanos da UNIGRANRIO, localizada na Rua
Prof. José de Souza Herdy, 1160 – CEP 25071-202 TELEFONE (21).2672-7733 –
ENDEREÇO ELETRÔNICO: [email protected]
Rio de Janeiro, _____ de ______________ de 2018.
_________________________________________
Sujeito da pesquisa
98
Apêndice B: O TPRC
TERMO DE PROTEÇÃO DE RISCO E CONFIDENCIALIDADE
Declaro que, ao ser facultado o acesso às informações sobre exames,
observações de dados pessoais de indivíduo oriundos de documentos relativos a
prontuários, resultados de exames clínicos e laboratoriais e demais instrumentos de
natureza documental, pertencentes aos arquivos da Universidade UNIGRANRIO, com
a finalidade específica de coleta de informações para o desenvolvimento do protocolo
de pesquisa intitulado “O Uso do GeoGebra no Ensino Superior: A Formação
Docente e a Análise Real”, de autoria de Abel Rodolfo Garcia Lozano e Greice Keli
Silva Lacerda, do curso de Curso de Mestrado Profissional em Ensino das Ciências,
será preservada a privacidade e a confidencialidade de tais documentos e dos seus
sujeitos.
Declaro, também, que o procedimento proposto, na pesquisa assegura ao sujeito
da pesquisa, proteção da sua imagem, impedindo o estigma e a utilização das
informações em prejuízo de terceiros e da comunidade. Outrossim, todo o material será
utilizado para os fins propostos no protocolo de pesquisa, preservando, ainda, a
autoestima e o prestígio dos sujeitos da pesquisa.
Todo o referido é verdade.
Rio de Janeiro, _____ de ________ de2018.
_______________________________________________
Assinatura do responsável pela pesquisa
99
Apêndice C: O Questionário Inicial
AVALIAÇÃO DE CONHECIMENTOS PRÉVIOS
Sua participação é muito importante para esse estudo.
Instruções Gerais: Assinale com um X a alternativa desejada e, quando
necessário, escreva sua resposta por extenso.
1) Você já atuou ou atua como professor de Matemática*? (Marque mais de uma opção, se for o caso.)
Sim, já atuei como professor de Matemática e não atuo mais.
Sim, já atuei e continuo atuando como professor de Matemática.
Sim, passei a atuar como professor após o ingresso na licenciatura.
Não, nunca atuei como professor de Matemática.
2) Em qual nível de ensino, você atua como professor de Matemática*? (Marque mais de uma opção, se for o caso.)
Ensino Fundamental I
Ensino Fundamental II
Ensino Superior
A pergunta não se aplica a minha situação atual.
3) Sobre a sua relação com a disciplina de Análise Real, responda:* (Marque mais de uma opção, se for o caso.)
Ainda não cursei esta disciplina.
Estou cursando esta disciplina.
100
Já cursei esta disciplina.
Estou lecionando esta disciplina em um curso de graduação.
5) Em sua opinião, qual a maior dificuldade encontrada no estudo da disciplina de Análise Real na graduação*? (Marque mais de uma opção, se for o
caso.)
A assimilação dos conceitos teóricos.
A prática das demonstrações e provas.
A aplicação dos conceitos em situações-problema.
Outros. Especifique:
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________
7) Relate, em poucas palavras, suas experiências no estudo da disciplina de Analise Real*.
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
6) Em sua opinião: qual o papel da Análise na formação do futuro professor de Matemática dos Ensinos Fundamental e Médio?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
____________________________________________________
101
8) O que motivou sua participação nesta pesquisa?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
_______________________________________________________
9) Quais são suas expectativas em relação a sua participação nesta pesquisa?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
____________________________________________________
Obrigada pela sua participação!
102
Apêndice D: O Questionário Final
AVALIAÇÃO DA AULA
Sua participação é muito importante para esse estudo.
Instruções Gerais: Assinale com um X a alternativa desejada e, quando
necessário, escreva sua resposta por extenso.
1) Você estuda ou já estudou os conceitos da disciplina de Análise Real apresentados?
Sim Não. Não estudo, mas leciono Análise.
Não, nunca estudei e nem lecionei os conceitos da disciplina.
2) A metodologia apresentada auxiliou no entendimento dos conceitos apresentados?
Sim Não
3) Você já havia utilizado o software GeoGebra para o estudo dos conceitos de Análise Real?
Sim Não
Não, mas utilizei outro software. Especifique: __________________________
103
5) Ofereça sugestões para a melhoria do trabalho apresentado.
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
_________________________________________________
Obrigada pela sua participação!
4) O trabalho apresentado atendeu as suas expectativas? Justifique.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
____________________________________________________
104
Apêndice E: O Questionário Online
105
106
Apêndice F: Texto Explicativo
107
Apêndice G: Exemplo de Atividades Didáticas Aplicadas
SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS
Objetivo:
Compreender a definição de sequência de números reais, partindo de ideias
intuitivas sobre o assunto e chegando à definição formal.
Iniciando o estudo...
1) Abra o arquivo “Sequências de Números Reais.ggb”, movimente o controle
deslizante “n”, observe o gráfico gerado e responda às perguntas abaixo:
a) Informalmente, como se pode descrever o gráfico gerado?
b) Busque a definição de sequência de números reais no seu material
didático.
c) O gráfico gerado representa uma sequência de números reais? Justifique
sua resposta.
d) Determine os 10 primeiros termos da sequência definida por
.
e) A sequência dada apresenta algum padrão de comportamento? Justifique
sua resposta.
f) Busque a definição de sequência limitada no seu material didático.
g) Podemos afirmar que a sequência
, n natural, é limitada?
Justifique sua resposta.
108
h) Prove que a sequência
, onde n é número natural, é uma
sequência limitada.
2) Vamos aprofundar o assunto sobre sequência limitada, observe o quadro
abaixo:
Considerando as definições apresentadas no quadro acima, podemos
afirmar que a sequência dada é uma sequência monótona? Justifique sua
resposta.
i) Prove que a sequência dada é uma sequência decrescente.
109
Comparando as respostas...
a) Descreve uma relação entre o conjunto N dos números naturais e o conjunto
dos números reais
.
b) Uma sequência de números reais é uma função , cujo domínio é o
conjunto dos números naturais e a imagem pertence ao conjunto dos números
reais.
c) Sim, o gráfico gerado representa uma sequência de números naturais, pois é
uma representação de função , cujo domínio é o conjunto N dos
números naturais e a imagem pertence ao conjunto dos números reais
.
110
d) Todos os valores da sequência pertencem ao intervalo de ]0, 1].
e) Definição: Uma sequência é dita limitada quando o conjunto de seus
termos é limitado inferiormente e superiormente, ou seja, quando existem
números reais a e b tais que para todo .
f) A sequência dada é dita limitada, pois existem números reais a = 0 e b
= 1 tais que para todo .
g) Prova:
Seja .
Por propriedades de , temos que , para todo .
Como , então,
, para todo .
Logo, existe um número e existe um número tais que
para todo .
Portanto,
h) A sequência dada é uma sequência monótona decrescente.
i) Prova:
Para todo
Como n é um número natural, podemos afirmar que para
todo .
Sendo n + 1 > n, temos que
para todo .
Logo,
Portanto, a sequência dada é uma sequência monótona decrescente.
Observação: As construções e soluções das atividades propostas podem ser
solicitadas pelo email: [email protected]
111
Apêndice D: Uma visão Geral da organização do Produto Educacional
O ESTUDO DE SEQUÊNCIAS E LIMITES COM O GEOGEBRA: UMA
PONTE ENTRE OS PENSAMENTOS INTUITIVO E MATEMÁTICO EM
ANÁLISE REAL
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO ................................................................................................................ 4
AULA 1 – SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS .............................................................. 6
Atividades propostas ............................................................................................... 14
AULA 2 – LIMITE DE UMA SEQUÊNCIA DE NÚMEROS REAIS ................................ 15
Atividades propostas ............................................................................................... 22
AULA 3 – SUBSEQUÊNCIAS DE UMA SEQUÊNCIA .................................................... 23
Atividades propostas ............................................................................................... 30
AULA 4 – LIMITES INFINITOS ......................................................................................... 31
Atividades propostas ............................................................................................... 40
AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM ............................................................................... 41
PEQUENO MANUAL ......................................................................................................... 42
IMAGENS DAS CONSTRUÇÕES NO GEOGEBRA ........................................................ 48
RESOLUÇÃO DAS ATIVIDADES PROPOSTOS .............................................................. 51
Atividades propostas na Aula 1 ................................................................................ 51
Atividades propostas na Aula 2 ................................................................................ 57
Atividades propostas na Aula 3 ................................................................................ 68
Atividades propostas na Aula 4 ................................................................................ 72
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................... 78
112
Apêndice E: Print da Tela do Material Disposto no CD anexado ao Produto Educacional
113
ANEXOS
114
Anexo I: A Carta de Anuência da Instituição Sediadora
115
Anexo II: Ementa do Curso da UFF
116
Anexo III: Ementa do Curso da FFP/UERJ
117
Anexo IV: Ementa do Curso da FEBF/UERJ
118
Anexo IV: Ementa do Curso da UFRJ
119
Anexo VI: Ementa do Curso do Consórcio CEDERJ
120
Anexo VII: O Comprovante de Envio do Projeto de Pesquisa ao CEP