4o. SBAI- Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente, São Paulo, SP, 08-10 de Setembro de 1999

o USO DA LÓGICA DE TRANSAÇÕES EM PLANEJAMENT01

Flavio Tonidandel e Márcio RiUoUniversidade de São Paulo

Escola Politécnica - Departamento de Engenharia EletrônicaAv. Prof. Luciano Gualberto, 158, trav 3 - São Paulo - SP - BrasilCEP 05508-900 - e-mail: flavio@c1arke.lac.usp.br ; rillo@lsi.usp.br

Abstract: Many logical theories used to formalize planningsystems don't allow operations with databases that representknowledge bases, or don't have any inference rule to allow thecomputational implementation. Instead of that, TransactionLogic, with its restrictive version called serial-Hom, allows acomputational implementation of its theory in PROLOGwithout any semantic lose and has a semantic equivalence withelements of a planning system.as proved by this work'.

1 INTRODUÇÃOUm dos grandes desafios da Inteligência Artificial édesenvolver sistemas inteligentes capazes de serem aplicadosnos mais diversos domínios e que apresentem soluções corretaspara os mais diversos problemas.

Isto pode ser alcançado através do uso de uma .teoria lógica naformalização da base de conhecimento do sistema, de modo atomá-lo independente do domínio e correto com relação a umproblema proposto. É necessário, no entanto, uma prova daequivalência semântica entre a teoria e os componentes da basede conhec imento do sistema.

A sub-área da Inteligência Artificial chamada Planejamento("Planning"), por desenvolver sistemas capazes de gerar planos(seqüência de ações) necessários para alcançar um determinadoobjetivo, também necessita de um estudo de formalização.baseado em alguma teoria lógica que seja capaz de traduzir asemântica de seus componentes; tais como ações, estados eplanos . .

A formalização de um sistema se torna importante devido aofato de ser necessário conhecer seus limites, seusprocedimentos fundamentais e sua capacidade de descrever odomínio de aplicação. Os sistemas não construídos sob umaformalização teórica rigorosa não possibilitam o conhecimentoprévio de seu comportamento diante situações de domíniosalém daquelas que foram previamente testadas.

Entretanto, não basta apenas a escolha de uma teoria formalque possua uma semântica equivalente à base deconhecimento, mas também que possua capacidade de ser

1 Este trabalho tem o apoio financeiro da FAPESP - Fundação deAmparo à Pesquisa do Estado de São Paulo.

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implementado computacionalmente, possibilitando a aplicaçãoprática do sistema formalizado.

Muitas teorias lógicas foram propostas com tal finalidade, masa maioria falha ou no tratamento de atualizações em uma basede conhecimento ou não possui regras de inferência capazes detraduzirem a teoria em linguagem computacional. Como alógica temporal utilizada nos sistemas DEVISER (VERE,1983) e TLPlan (BACCHUS, KABANZA, 1996) e a lógicaLLP ("Logical Language for Planning") utilizada pelossistemas MRL (KOEHLER, 1996) e PID (KOEHLER, 1996),que possuem uma difícil implementação computacional sem aperda de suas semânticas .

Dentre as teorias utilizadas na modelagem de ações, se. destacam o cálculo situacional ("situation calculus - SrrCAL")(McCARTHY, HAYES, 1990) e o cálculo de eventos ("eventca1culus") (KOWALSKI, SERGOT, 1996), ambos baseados nalógica de primeira ordem, primeiramente utilizada pelo sistemade planejamento STRIPS (FIKES, NILSSON; 1971). Embora alógica de primeira ordem possua uma sintaxe de simplescompreensão, ela não trabalha com raciocínio não-monotônico,além de não possuir um tratamento de base de dados. .

Com o propósito de evitar os problemas acima descritosdecorrentes da aplicação das diversas lógicas aos sistemas deplanejamento, este artigo tem por objetivo introduzir o uso daLógica de Transações (BONNER, KIFER, 1995), abreviada 'TR, como a teoria formal capaz de fornecer uma modelagemdos componentes de um sistema de planejamento que visemanter sua semântica e possibilite sua implementaçãocomputacional.

A TR possui regras de inferência capazes de tomá-lacomputacionalmente implementável, além de uma sintaxe clarae simples (como a lógica de primeira ordem), da capacidade demodelar atividade seqüencial (como a lógica temporal) etambém da semântica baseada em caminhos de estados, deforma similar às lógica modais, tal como a lógica LLP. ALógica de Transações apresenta uma similaridade semânticacom os componentes de um sistema de planejamento, que seráanalisada, desenvolvida e provada por este artigo.

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2 LÓGICA DE TRANSAÇÕESA Lógica de Transações (TR) é uma lógica proposta porBONNER E KIFER (1995) ' que especifica formalmentefenômenos de atualização de base de dados, caminhos deexecução e procedimentos de transições seqüenciais. Emplanejamento estas características são comuns, comoobservado por RILLO (1994), pois um planejador pode servisto como um processo que, após executar uma seqüência deações, atualizará o estado do mundo.

A TR é uma extensão da lógica de primeira ordem com aintrodução de um novo operador chamado conjunção serial(®). Este operador representa uma transação, onde a ®significa: "primeiro execute a , e então execute W'.Para descrever uma transação é considerada a seguinte notação:P,Do,oo .,Dn 1= $, onde P é chamado de base detransaçõcs, que éum conjunto de fórmulas em TR, assim como é $. No entanto,cada Di é um conjunto de fórmulas de primeira ordem, ondecada uma delas é denominada de literal, que representa aconstituição da base de dados. Intuitivamente , P é um conjuntode transações descritas em TR, $ é a invocação de algumasdessas transações e Do,....D, é a seqüência da base de dadosrepresentando todos os estados da execução de $.

Por exemplo, chamando a transação $, a base de dados vai doestado inicial Do ao estado final Dn. Entretanto, se $ forsomente uma consulta, ou seja, não modificar a base de dados,não haverá caminho de execução e a representação se daráapenas pelo estado em que $ é verdadeiro: P,D 1= $.

Em TR, uma base de dados é definida e controlada pororáculos. O estado da base de dados é definido pelo oráculo dedados o-, sendo que para cada identificador de estados, i, Od(i)é um mapeamento de i para um conjunto de fórmulas deprimeira ordem que representam a verdade sobre o estado.Dependendo do domínio de aplicação, diferentes oráculos dedados podem ser especificados. Neste artigo será utilizado ooráculo relacional, onde D é um conjunto de fórmulas atômicassem variáveis e Od(D)= D. Uma consulta também é controladapelo oráculo de dados o', através do predicado qry(J. Porexemplo, considere o literalnochão que está presente no estadoDk• Então, nochão E od(D0 e P,Dk 1= qry(nochão).

A TR também trabalha com atualizações e a especificação detransições é feita através do oráculo de transição 0\ que é umafunção de mapeamento entre pares de estados e um conjuntode fórmulas atômicas. Nesteartigo, uma transição será definidaatravés dos predicados inseJ e dele.). Por exemplo: ins(c) edel(d) são formalmente executados: se ins(c) E ot(D,D+{c}) edel(d) E ot(D,D-{d}), então P,b,D+{c}, D+{c}-{d} 1= ins(c)® deltd). Com estas definições, o seguinte lema é provado(BONNER, KlFER , 1995):

Lema 2.1 : Para qualquer Base de Transações P, qualquerseqüência de estados da base de dados Do,...,Dn e quaisquerfórmulas de transações a e as seguintes afirmações sãoverdades:1. Se P, Do,....D, 1= a e P,Dj,...,Dn 1= então P,Do,....D, 1=2. Se está em P e P,Do,oo.,Dn 1= então P,Do,oo .,Dn1= a.3. Se Ot(Do,D,) I=c a então P,Do,DI 1= a ; onde a é uma

fórmula de primeira ordem.4. Se Od(DO) I=c a então P,Do I=a; onde a é uma fórmula de

primeira ordem.

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2.1 Teoria de ProvasDiferentemente de outras lógicas, a semântica da Lógica deTransações é baseada em caminhos de estados, e não em arcosentre estados como nas lógicas modais. Isto quer dizer que, naTR, uma seqüência de estados é estabelecida através docaminho de estados gerado pela execução de alguma transação,i.e.:P,Dh ....D, 1= $ ; onde $ é uma transação, e -cDj,...,Dn> é ocaminho de estados.

A TR tem uma versão mais restrita, chamada de Horn-serial,que possui uma teoria de provas corretas e completas peladefinição de um axioma e regras de inferência. Esta versãorestrita usa o operador conjunção serial (®) e possui as mesmascaracterísticas das cláusulas Horn na lógica de primeira ordem.Consiste ainda de uma base de transações P, que é um conjuntode fórmulas Horn-serial e de uma base de dados D, que é uniconjunto de fórmulas de primeira ordem.

Com esta versão restrita é possível fornecer regras computáveisà teoria formal . Para isto, são definidas três regras de inferênciaque operam com deduções para consultas, atualizações einvocações de regras na base de transaçõesP, as quais sãonecessárias para implementar a dedução em TR e o caminhoexecucional (BONNER, KIFER, 1995).

A implementação das regras de inferência pode ser feita emlinguagem PROLOG. O trabalho de SANTOS (1997) prova aequivalência semântica da versão Horn-serial, com o uso dospredicados ins(-> e del(.), com a semântica de suaimplementação em PROLOG. É demonstrado que arepresentação de um sistema descrito em versão Horn-serial daTR é traduzido em um, e somente um, programa em PROLOG,através do uso de uma função de tradução específica e semperda da estrutura semântica da teoria.

3 LÓGICA DE TRANSAçÕeS PARAPLANEJAMENTO

Para o uso da Lógica de Transações em planejamento, umaanálise das fórmulas em TR é necessária, com o intuito depromover uma aproximação semântica entre a TR e oscomponentes de um sistema de planejamento, ou seja, planos,estados e ações.

No entanto, além das definições e do lema apresentado naseção anterior, faz-se necessário estabelecer as seguintesdefinições:

Definição 3.1: Elem_ins(f/J) é o conjunto de todos os elementosdos predicados insLJ existentes em uma fôrmula f/J em TR.

Definição 3.2: Elem_del( f/J) é o conjunto de todos os elementosdos predicados delC) existentes em uma fârmula f/J em.TR.

Com as definições 3.1 e 3.2 é possível estabelecer conjuntoscom os elementos : dos predicados insU e dele) de umafórmula em TR. Por exemplo:

$ = dei(a) ® ins(b) ® del(c) ® ins(d) ® ins(e).

Assim,

Elem_del($) = {a, c}; eElem_ins($)={b, d, e}.

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Definição 3.3: Umafórmula rjJem TR, tal queP,Dou. 1= rjJé dita independente se e somente se:

1. Elem_del(rjJ) nElenUns(rjJ) = {};2. Elem_del( if» s:Do:3. Elem_ins( if» n Do={}.

A definição 3.3 descreve uma fórmula em TR ditaindependente. Isso quer dizer que todos os elementosremovidos pelos predicados delCJ não podem ser inseridos porpredicados insC) na mesma fórmula e vice-versa. Para serindependente, uma fórmula ainda deve possuir somentepredicados delU cujos elementos já pertençam ao estadoinicial da base de dados Do e possuir somente predicados insCJcujos elementos não pertençam a Do.

A limitação de uma fórmula ser independente é necessária paraas definições e provas seguintes. Assim, com a teoria da TRdescrita anteriormente e a definição 3.3, pode-se estabelecer oseguinte teorema:

Teorema 3.4: Sendo uma fórmula independente If/ em TR talque P,Do-uDo 1= Ij/, então pode-se afirmar que Do = Do +Elem_ins( If/) - Elem_del( If/).

Prova: Apresentada em (TONIDANDEL,1999)

Com o teorema anterior , pode-se definir uma função dediferença de conjuntos que servirá para estabelecer o quemuda de uma base de dados para outra em TR.

Definição 3.5: Sendo X e Y conjunto de elementos, define-seumafunção de diferença como sendo Diff(X,Y) = X- ( X n Y).

Com o uso dos conjuntos de elementos formados por cada basede dados de um 'caminho em TR, pode-se instituir o seguinteteorema:

Teorema 3.6: Sendo If/ uma fórmula independente em TR talque P,D()..Dn 1= Ij/, as seguintes afirmações são verdades:

1. Diff(Do,Dn) =Elem_del(If/).2. Diff(DmDo)=Elem_ins(If/).

Prova: Apresentada em (TONIDANDEL, 1999).

Assim, sendo 'I' uma fórmula independente, pode-se determinarpela função diferença quais são os elementos inseridos e quaissão os elementos retirados pela fórmula, analisando somente oestado inicial da base de dados (Do) e o estado final (Do).

Para uma análise das fórmulas .da TR, é possível fazer aseguinte definição: .

Definição 3.7 (Função Consulta-Estado) Um função Consulta-Estado de umafârmula If/ em TR, descrita como L1 (If/), édefinida como uma função que retoma o conjunto de todos oselementos dos predicados qry(-J presentes em 'I/.

Desta forma é fácil verificar que:

Teorema 3.8: Se tpfor umafórmula em TR tal queP,D 1= If/, então as seguintes afirmações são verdades:

1. P, L1(VJ) 1= If/2. Se P,D 1= If/então L1(1f/) çd(D).

Prova: Apresentada em (TONIDANDEL,1999)

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A definição da função Consulta-Estado é importante para oestudo teórico das consultas em uma base de dados que serádetalhado mais adiante.

Para aplicar a TR em planejamento é necessário um estudo dapossibilidade que a lógica oferece em descrever ações e planos .Tais definições serão importantes para traçar a equivalênciaentre a semântica da TR e a semântica dos componentes de umsistema de planejamento genérico, que são os planos, as açõese os estados do mundo. Embora a Lógica de Transações játenha sido aplicada na formalização de ações (SANTOS, 1996)e (SANTOS, RILLO, 1997), não houve a preocupação emestudar a equivalência semântica, que é indispensável tantopara verificar a viabilidade da aplicação da TR emplanejamento, quanto para definir a forma de modelar-se osestados, as ações e os planos dentro da estrutura formal dalógica.

Sendo assim, primeiramente é preciso estabelecer umasemântica genérica para os componentes dos sistemas deplanejamento. Uma instância de problema de planejamento, demodo genérico, pode ser caracterizada pela seguinte tripla:

'I'P =<S« a,A>onde 80 é o estado inicial, a é o objetivo e A é o conjunto deações do domínio.

Na tentativa de modelar os componentes de um sistema deplanejamento, pode-se fazer as seguintes considerações: queopere com suposição de mundo fechado ("Closed-WorldAssumption"), que possua operadores STRlPS (FIKES,NILSSON, 1971) e que trabalhe em ambientes estáticos aondesomente o agente pode transformá-lo (suposição STRIPS).

Essas considerações são baseadas na semântica do sistemaSTRlPS (LIFSCIlllZ, 1987) e foram escolhidas por seremsimples e estarem presentes em muitos sistemas deplanejamento, tanto nos chamados clássicos, quanto nos atuais.

Os sistemas de planejamento, em sua grande maioria, dado uinproblema de planejamento 'I'P, procuram encontrarautomaticamente uma seqüência de ações que transforme. oestado inicial Soem um estado final Sn de forma que o objetivoG seja satisfeito .

O modelo de estado, em vários sistemas, é composto por umconjunto de literais que representa a verdade do mundo naqueleinstante. Analogamente, o objetivo G tanibém é um conjuntode literais que representa a verdade que se deseja obter ao finaldo planejamento. A maioria dos sistemas com operadoresSTRlPS , por sua vez, modifica o estado através de inserções eremoções de literais, de forma a encontrar um conjunto dosmesmos no qual G esteja contido.

Pode-se modelar ,os componentes de um sistema deplanejamento em teoria de conjuntos, a seguir:

Definição 3.9: Um estado (W) de planejamento é representadopor um conjunto de literais que identificam todos os elementosque sãó verdades do mundo. Onde cada W E W é chamado deliteral. Uma ação em planejamento, com o modelo deoperador 8TRIPS, possui:

• Pré-condição (PRE): um conjunto de literais quedeterminam quando a ação pode ser aplicada em um certoestado W. .

• Pós-condição (POS): um conjunto de literais quedeterminam as verdades do mundo que foram adicionadasapós a ação ser aplicada

Com a definição acima e a modelagem de planejamentoestabelecido em teoria de conjuntos pode-se definir asequivalências descritas a seguir.

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Lista de remoções (DL) ("delete list"): um conjunto de equivalente a um elemento do conjunto B, é afirmar que existeliterais que serão eliminados do Estado w: uma função aonde o elemento do conjunto B é imagem do

elemento do conjunto A e que existe a função inversa aonde oelemento do conjunto A é imagem do elemento do conjunto B.Lista de inserções (/L) ("insert list"): um conjunto de

literais que serão adicionados ao Estado w:•

•

Um plano em planejamento é caracterizado como sendo umaseqüência de ações.

Com a definição anterior, pode-se estabelecer .que o estadoinicial So será representado por Wo e o estado final Sn serárepresentado por Wn. Assim, para modelar a semântica decada componente:

Definição 3.10 (Semântica de uma ação) Uma ação é definidacomo sendo um conjunto a tal que a = PRE +DL + IL +POSo Assim, o comportamento de uma ação dar-se-á naseguinte forma: se PRE ç Wo, então Wn =Wo - DL + /L eros cw«A definição 3.10 diz que a pré-condição (PRE) de uma açãodeve ser satisfeita pelo estado inicial (Wo) para que esta possaser aplicada, ou seja, os elementos de PRE devem pertencer aoconjunto Wo, e, ao ser aplicada, a ação altera o conjunto Woformando Wn através de uma operação de conjunto Wn=Wo-DL+IL . Após isso, a ação só torna-se verdadeira se os efeitosesperados representados por POS estiverem presentes em Wn.

Definição 3.11 (Semântica de um plano) Um plano é definidocomo sendo uma união seqüencial de ações, representado por{j = a, , az.... , a;, e que apresenta o seguinte comportamento:PRE1s:Wo. tem-se W1=Wo - DL1+ /L1e POS1s:W1para a,PREz s; Wb tem-se Wz=W1- DLz + 10. e POSz ç Wzpara az

PREn ç Wn-b tem-se Wn =Wn-1 - DLn + 1Ln e POSn S;;;Wn paraa;,De tal forma que que o resultado final do plano (Wn) satisfaçaG, ou seja, G ç Wn.

A definição 3.11 garante a seqüência de ações que caracterizamum plano, onde ç estado final de uma ação é o estado inicial dapróxima. A definição garante ainda a correção do plano, poiseste deve ser tal que G ç;;Wn.

Definida a semântica de estados do mundo, de ações e deplanos, que são os componentes de um sistema deplanejamento genérico, pode-se mostrar então a equivalênciaexistente entre os componentes de um sistema de planejamentomodelado em teoria de conjuntos e a Lógica de Transações ,mas antes é preciso definir igualdade entre conjuntos:

Definição 3.12.: (Igualdade Semântica entre Conjuntos) Umconjunto C1 é igual a outro conjunto Cz, se e somente se, cadaelemento Xj € C1 para i=l...n, existir uma correspondênciasemântica de um-para-um com cada elemento de Cz, ou seja,existindo uma função de C1 em Cz, existe também a funçãoinversa de C2 em C1da seguinte forma: Se f' C1 C2 e f1:C2 então C1=C:z.

Ou seja, o conjunto C1 possui n elementos que semanticamenteeqüivalem aos n elementos de C2• Considere para tanto quedizer que um elemento de um conjunto A é semanticamente

3.1 Equivalência entre Estado (W)emPlanejamento e Base de Dados (O) emTR

Para estabelecer uma equivalência entre a semântica da ·tR e asemântica de um estado em planejamento, considera-se, porsimplicidade, o Oráculo Relacional, que define a base de dadoscomo um conjunto de fórmulas atômicas sem variáveis livresde primeira ordem, onde, semanticamente, Od(D)=D.

Assim, a TR possui um conjunto de literais definidas por D eque pode ser usado e definido como sendo o conjunto deliterais W em planejamento. Isso só será.possível se existir umarelação semântica de um para um entre os literais emW e osliterais em D.

Teorema 3.13 (Equivalência entre · Estados) Se para cadaliteral fi € Wexistir um e somente um literal li € D tal que \71,fi possui a mesma semântica de li, então W=D.

Prova: Sendo que para cadafi € Wexiste um e somente um li€ D tal que \71, fi possui a mesma semântica de li, estc1belece-se pela definição 3./2: W=D. • .

3.2 Equivalência entre Ações (ex) emPlanejamento e Fórmulas <j> em TR

Em TR, uma fórmula Horn-serial pode possuir consultas eatualizações na base de dados D. Pelo Teorema 3.6, o conjuntode elementos dos predicados ins(J e dos predicados delUrepresentam o conjunto de mudanças realizadas no estado Dopara alcançar o estado Dn, em um caminho Il = <Do...D,»,desde que a fórmula Horn-serial responsável por taismudanças seja independente.

Uma ação possui exatamente a característica de uma fórmulaindependente. em TR. Por ser elementar deve transformar omínimo possível o estado a que está sendo aplicado, ou seja.nenhum elemento a ser inserido será removido pela própriaação. Seus efeitos também devem ser elementares, pois sópoderão remover os elementos que já pertençam ao estadoinicial e inserir somente aqueles que não estejam presentes.

Desta forma, pode-se escrever para uma fórmula independentelP a seguinte estrutura: lP PreQry ® Upd ® PosQry, talque P,Do .... D, 1= lP. Onde PreQry e PosQry são conjuntos deconsultas à base de dados e Upd é uma fórmula em TR quecontém em sua composição somente predicados emconcordância com o Oráculo de Transições.

LeIDa 3.14: Para uma fârmula independente tP em TR com aseguinte estrutura: tP (- PreQry @ Upd @ PosQry , tal queP,Do...Dnl= tP; as seguintes afirmações são verdades:

1. P,Do1=PreQry2. D; =Do+ Elem_ins (tP) - Elem_del (tP)3: P,Dn 1=PosQry

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Prova:

1. Sendo PreQry um conjunto de consultas à base de dados daTR. então pelo Lema 3.1 P,Do 1=PreQry.

2. Diretamente pelo Teorema 3.4.

3. Sendo PosQry um conjunto de consultas à base de dados daTR. então pelo Lema 3.1 P.Dn 1=PreQry. •

A partir do lema anterior, o Teorema abaixo pode ser provado:

Teorema 3.15 (Equivalência de ações): Sendo rp uma fôrmulaBom-serial independente com: a seguinte estrutura: rp f--

PreQry @ Upd @ PosQry; e a uma ação em planejamento. sepela igualdade entre conjuntos L1(PreQry) = PRE,Elem_ins(rp)= lL, ElemJlel =DL e L1(PosQry) =POS. entãorp e a são semanticamente equivalentes.

Prova: A prova será feira em três etapas:

Pode-se definir que o agente está na sala e possui uma únicaação que é mover-se de um cômodo para outro. O estado inicialDopode ser descrito como: .

em(sala,agente).passagemtquarto,sala). passagem(sala,quarto).passagem(cozinha.sala), passagem(sala,cozinha).

Observe que não há passagem entre o quarto e a cozinha.Assim, uma fórmula independente <P em TR descreve a açãomover para:

Mover_para(X) f- qry(em(Y,agente)f ®qry(passagem(X,Y)) ® del(em(Y,agente)) ®ins(em(X,agente)) ® qry(em(X,agente)).

Observe que:PreQry =qry(em(Y,agente)) ® qry(passagem(X,Y))Upd =del(em(Y,agente)) ® ins(em(X,agente))PosQry =qry(em(X,agente)).

ProvaparaP,Dol=PreQry PREçWo

Um exemplo de uma fórmula independente, que descreve'semanticamente uma ação, pode ser visto como um agente emum ambiente com quarto, sala e cozinha:

Mas, pela definição 3.10,PRE s:Wo ; Wn = Wo + IL - DL ; POS ç WnÉ uma ação a em planejamento.•

1. P,Do 1= PreQry PRE ç Wo

2. Dn = Do+ Elem_ins (rp) - Elem_del (rp) Wn = Wo + IL - DL

3 P,Dn 1= PosQry POSs:Wn

Prova:Se t/Ji é equivalente à ai, então para cada f/ipode-se escrever,pelo Teorema 3.15• P,Do ... Djl= rpj PREj çWo, Wj =Wo - DL j + IL j e

POS j çWj para aj• P,Dj ... D2 1= t/Jz PRE2 ç Wb Wi = Wj - + e

POS2 s:W2 para

P,Dn_1... Do 1= <Pn

Para uma fórmula À não se pode utilizar o Teorema 3.6 pelofato da condição de independência não estar garantida . Issoocorre pois uma fórmula <P pode remover ou inserir umelemento que já foi inserido ou removido por outra fórmula <Panterior.

Assim, a equivalência deve ser comprovada para cada fórmula<P presente em À. Como descrito anteriormente, se uma fórmula<jl é equivalente a uma ação a, então pode-se afirmar que:

Teorema 3.16 (Equivalência entre Planos) Se para cada ifJi deÀ, ifJi seja equivalente à ai, então Â.é equivalente à 8.

3.3 Equivalência entre Plano (o) emPlanejamento e Fórmulas  em TR

Definindo uma fórmula Horn-serial À com a seguinte estrutura:À f- <PI ® <P2 ® ... ®<pn. Pelo Lema 3.1, se P,Do .... D, 1= Àentão, tem-se:

P,Do DI 1= <PIP,DI D21= <P2

•• P,Dn-I ... Dn 1= ifJn PREn.ç Wn-b Wn = Wn_j - DLn +

ILne POSns:Wnpara a;,Mas, pela definição 3.11• PREj ç Wo. tem-se Wj = Wo - DLj + IL j e POSj ç Wj

para aj• PRE2 s= Wj, tem-se W2 = Wj - + e POS2 ç W2

para a2

• PREn s:Wn-b tem-se W;,= Wn_j - DLn + ILn e POSn s:Wnpara a;,

É igual a um plano ó em planejamento. •

•

pelo Teorema 3.8Od(Do) = Dopelo Teorema 3.13por hipótesepor 3, 4 e5

pelo Teorema 3.8deDo) =Dopelo Teorema 3.13

. por hipótesepor 3, 4e5

1. P,Do1=PreQry2. L1{PreQry) ç<Y'(Do)3. L1(PreQry) s:Do4. Do= Wo5. PRE =L1{PreQry)6.PREçWo

Prova paraD; = Do+ Elemins (rp) - Elem_del (rp) Wn = Wo + IL -DL

I. Dn= Do + Elem_ins (rp) - Elem_del (rp)2. Do=Wo pelo Teorema 3.133. D; = Wn pelo Teorema 3.134. Elem_ins (ifJ) = lL por hipótese5. Elem_del (ifJ) = DL por hipótese6. Wn = Wo + IL - DL por 1,2,3,4 e 5

Prova para P,Dn 1= PosQry POS ç Wn

· 1. P,Dn 1=PosQry2. .L1(PosQry) çd(Dn)3. L1(PosQry) s:o,4. D; = Wn5. POS =L1{PosQry)6.POSçWn

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Um exemplo de plano modelado em TR pode ser vistoconsiderando o exemplo da ação mover para, onde Do é omesmo do exemplo anterior com a diferença de que o agenteestá no quarto ao invés da sala:

em(quarto,agente).passagem(quarto,sala) . passagem(sala,quarto).passagem(cozinha,sala). passagem(sala,cozinha).

Considere um objetivo G = {em(cozinha,agente)}, ou seja, édesejado que o agente esteja na cozinha. Assim, o seguinteplano A. satisfaz G ç; Dn, pois para:

A. mover para/sala) ® moverparatcozinha).

tem-se P,DO,D1,D2,D3,D41= A.. Onde:Dl = DO- {em(quarto,agente)} .D2 = Dl + {em(sala,agente)} .D3 = D2 - {em(sala,agente)} .D4 = D3 + {em(cozinha,agente)}.

4 CONCLUSÃOA Lógica de Transações vem ao encontro das necessidades dossistemas de planejamento por possuir semântica baseada emcaminhos de estado, por trabalhar com seqüência de fórmulas epor conter uma teoria que possibilita o uso de uma base dedados controlada por oráculos.

Todas essas características possibilitaram o estudo daequivalência semântica entre TR e os componentes de umsistema de planejamento. Este result ado permite definir umabase de conhecimento em Lógica de Transações, e suaconseqüente implementação em PROLOG (SANTOS, P.E.,1997), sem perda de sua estrutura semântica, como muitasvezes ocorrem com as diversas lógicas utilizadas paraformalização de sistemas de planejamento.

Com a equivalência provada, torna-se possível o avanço dateoria da TR para a formalização da base de conhecimentonecessária para planejamento, como feito por um estudo inicialem (TONIDANDEL E RILLO, 1998a).

Com tudo isso, pode-se concluir que a Lógica de Transaçõespossibilita a formalização da base de conhecimento de umsistema de planejamento de modo a torná-lo independente dodomínio, permitindo-se trabalhar de forma satisfatória emqualquer situação que não só as testadas previamente, e queresulte em um amplo e efetivo conhecimento das limitações dosistema, como visto em (TONIDANDEL E RILLO, 1998b) e(TONIDANDEL, 1999), e ainda permite que toda teoriadesenvolvida possa ser implementada computacionalmente emlinguagem PROLOG sem perda de sua semântica.

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