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  • O conceito de Probabilidade Geomtrica por meio do uso de Fractais

    Jos Marcos Lopes Inocncio Fernandes Balieiro Filho Departamento de Matemtica, FEIS, UNESP

    15385-000, Ilha Solteira, SP E-mail: jmlopes@mat.feis.unesp.br, balieiro@mat.feis.unesp.br

    Jos Antonio Salvador

    Universidade Federal de So Carlos - Departamento de Matemtica Rodovia Washington Lus, km 235 - SP-310

    E-mail: salvador@dm.ufscar.br

    Resumo: Apresentamos neste artigo uma proposta didtico pedaggica para o ensino do conceito de Probabilidade Geomtrica por meio do uso de fractais e da resoluo de problemas. Formulamos alguns problemas em que as solues obtidas pelos prprios alunos, os induzem a construo/reconstruo do conceito de Probabilidade Geomtrica. Assim, em um primeiro momento, usamos problemas para ensinar Matemtica. Os problemas foram formulados utilizando-se fractais, como por exemplo, o Tringulo de Sierpinski. Depois do trabalho com os problemas, o professor sistematiza o conceito estudado mediante o formalismo e o rigor caractersticos da Matemtica. Os problemas aqui apresentados podem fornecer subsdios para os professores do Ensino Mdio que pretendam trabalhar com o conceito de Probabilidade Geomtrica. Introduo

    O azar e os fenmenos aleatrios so inerentes s nossas vidas e aparecem em muitas situaes cotidianas ou de nossa vida profissional, como por exemplo, na previso do tempo, num diagnstico mdico, no estudo da possibilidade de contratar um seguro de vida, no nmero de acidentes em uma cidade, etc.

    No Brasil, o conceito de Probabilidade Geomtrica geralmente no apresentado nos livros de Matemtica para o Ensino Mdio. Lima (2001), em uma anlise de 12 colees de livros didticos de Matemtica utilizadas nos trs anos do Ensino Mdio das escolas brasileiras, encontrou o tpico Probabilidade Geomtrica em apenas uma delas. Entretanto, em congressos recentes sobre Educao Matemtica realizados em nosso pas, alguns trabalhos sobre o tema Probabilidade Geomtricos tm sido considerados.

    Na RPM - Revista do Professor de Matemtica, publicada pela Sociedade Brasileira de Matemtica, alguns artigos sobre Probabilidade Geomtrica j foram publicados: Paterlini (2002), Tunala (1992) e Wagner (1997).

    No objetivo deste artigo discutir as razes pelas quais o conceito de Probabilidade Geomtrica pouco estudado no Ensino Mdio brasileiro. Acreditamos, entretanto, que esta seria uma importante e adequada maneira de introduzir, neste nvel de escolaridade, a noo de probabilidade contnua.

    Em problemas de probabilidade geomtrica, os possveis acontecimentos podem ser representados por pontos de um segmento de reta, por figuras planas ou ainda por slidos. Desde que o nmero de acontecimentos seja usualmente no contvel, no podemos definir probabilidade como a razo entre o nmero de casos favorveis e o nmero total de casos. Todavia, podemos ainda definir a probabilidade de um evento de uma maneira natural e calcul-la por meio de consideraes geomtricas (EISEN, 1969).

    Parece consenso que a noo de Probabilidade Geomtrica foi introduzida pelo matemtico e naturalista francs Georges Louis Leclerc, o conde de Buffon. Em 1777, Bufon apresenta em seu livro

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  • Essai dArithmtique Morale, o seguinte problema que ficou conhecido como o Problema da Agulha

    de Buffon: Considere uma famlia de retas paralelas em 2 , onde duas paralelas adjacentes arbitrrias distam de a. Tendo-se lanado, ao acaso, sobre o plano, uma agulha de comprimento l (l a), determinar a probabilidade de que a agulha intercepte uma das retas. Segundo Tunala (1992), para um grande nmero de lanamentos da agulha, a soluo desse problema nos sugere um mtodo experimental para o clculo do valor aproximado de .

    No mesmo livro citado anteriormente, Bufon discute o Jogo dos Discos que consiste de: Em um plano pavimentado com quadrados de lado l lanado aleatoriamente um disco de dimetro d. Qual a probabilidade de o disco, depois de pousar no plano, no intersectar e nem tangenciar os lados de quadrado algum?. Esse jogo era bastante apreciado e jogado pelas crianas francesas do sculo XVIII (PATERLINI, 2002).

    Na Matemtica do final do sculo dezenove e incio do sculo vinte apareceram algumas pesquisas sobre conjuntos de pontos do plano euclidiano, considerados pelos matemticos desse perodo, como bizarros e estranhos. Em 1834, Bernhard Bolzano (1781-1848) apresentou o primeiro exemplo de uma funo contnua que no possui derivada em nenhum de seus pontos e, em 1860, Weierstrass (1815-1897) apresentou uma funo contnua expressa como soma de cossenos. Em 1834, B. Bolzano (1781 1848), construiu uma funo contnua num intervalo que no tinha derivada em ponto algum desse intervalo e, em 1874, K. Weierstrass (1815 1897) tambm constri a sua funo com essas caractersticas.

    Porm, a comunidade Matemtica desse perodo se referia a essas curvas como monstros patolgicos e no via relevncia alguma desses estudos para o mundo real. Atualmente, evidente o equvoco dessa viso, uma vez que a estrutura fractal parece compor toda a natureza viva, a constituio microscpica de nosso planeta, as trajetrias das partculas elementares e a espantosa vastido de aglomerados de galxias do Universo. A Geometria Fractal, ramo da Matemtica, um legado histrico estabelecido por uma gama de matemticos e que foi desenvolvida pelas importantes pesquisas de Benoit B. Mandelbrot (1924 2010). As pesquisas sobre geometria fractal tm sido uma fonte inesgotvel de ideias teis para diversos campos do conhecimento cientfico. Essas investigaes vm trazendo contribuies em diferentes reas da cincia, em particular, na Fsica, na Biologia, na Qumica, na Geografia, na Economia, na Astrofsica e nas Engenharias.

    Uma das caractersticas de um conjunto fractal a autosimilaridade. Ele apresenta certas complexidades, como a de que, geralmente, um subconjunto se repete, em diferentes escalas, dentro deles mesmos. Esse comportamento no ocorre na geometria euclidiana, em que tais subconjuntos podem ser vistos por meio de um sistema de funes iteradas, cuja explorao facilitada com auxlio de programas computacionais. Um fractal pode ser visto como um conjunto invariante ou de pontos fixos (atratores) de um conjunto de funes iteradas de um espao mtrico nele mesmo. Mandelbrot definiu um fractal como um conjunto cuja dimenso de Hausdorff-Besicovitch excede estritamente a dimenso topolgica. A dimenso de Hausdorff, que nos d a noo da medida da densidade ou raridade de um conjunto, exige estudos avanados da teoria da medida, e a dimenso topolgica requer estudos de topologia e dos espaos mtricos (EDGAR, 2000).

    Alm disso, a geometria fractal um importante ramo da investigao matemtica, sendo fonte de pesquisas, como o estudo geomtrico de atratores caticos que aparecem em sistemas dinmicos e com aplicaes em vrias reas da cincia como modelos para reconhecimento de padres, na compresso de arquivos (imagens), na deteco automtica de falhas em produtos industriais, na anlise da rugosidade e medio da densidade de objetos, na evoluo da economia e de populaes, das oscilaes do corao, de problemas ecolgicos e demais formas da natureza que apresentam irregularidades.

    Os trabalhos de Gomes, Salvador e Paez (2010) e Weiss et al. (2011) mostram o uso de fractais em salas de aula da educao bsica. A geometria fractal, por meio de conexes e da interdisciplinaridade, apresenta um potencial histrico e cultural para explorar contedos matemticos como, por exemplo, a Probabilidade Geomtrica.

    O objetivo principal deste artigo mostrar que o fractal conhecido como Tringulo de Sierpinski pode ser utilizado, mediante a formulao de adequados problemas, para a introduo do conceito de Probabilidade Geomtrica.

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  • Definio de Probabilidade Geomtrica

    O objetivo principal deste artigo apresentar uma proposta didtico-pedaggica em que o conceito de Probabilidade Geomtrica sistematizado por meio do uso de fractais. Basicamente, utilizamos problemas envolvendo fractais, em que as solues obtidas pelos prprios alunos os levam a construir/reconstruir o conceito de Probabilidade Geomtrica. Assim, num primeiro momento utilizamos o problema para ensinar Matemtica. O conceito (definio) de Probabilidade Geomtrica poder ser sistematizado por meio da soluo dos dois seguintes problemas. Problema 1. Considere um tringulo equiltero. Determine os pontos mdios de cada um de seus lados. Construa um novo tringulo equiltero unindo esses pontos. Esse novo tringulo, interno ao tringulo original chamado de buraco. Escolhendo-se ao acaso um ponto no tringulo equiltero original qual a chance desse ponto cair no buraco? Justificar sua resposta. Comentrios e sugestes.

    Os alunos devero em grupo, usando de sua prpria linguagem entender o problema e apresentar suas solues. O professor deve acompanhar, intermediar e orientar no trabalho dos alunos, mas nunca oferecer a resposta, devendo responder uma pergunta com outras perguntas, de forma a induzi-los no caminho da soluo.

    Aps o trabalho dos grupos, propomos uma pequena plenria, liderada pelo professor, para discutir as solues apresentadas: as certas e tambm as erradas, dando nfase no processo e nas estratgias de resoluo (POLYA, 1973).

    Podemos sugerir a seguinte soluo. Elaborar a representao geomtrica descrita pelo problema como mostra a Figura 1.

    Figura 1: Representao geomtrica para o problema 1.

    Observar que o tringulo equiltero original foi dividido em 4 novos tringulos equilteros de mesma rea. Como o buraco corresponde a um desses 4 tringulos, ento temos uma chance em 4 de cair no buraco se escolhermos ao acaso um ponto do tringulo original. Finalmente, discutir se o resultado parece razovel para os alunos. Problema 2. Considere um quadrado. Divida cada lado desse quadrado em trs segmentos congruentes, de forma que o quadrado inicial se divida em 9 quadrados menores. Chamamos de buraco o quadrado interno central. Escolhendo-se ao acaso um ponto no quadrado inicial qual a chance desse ponto cair no buraco? Justificar sua resposta. Comentrios e sugestes.

    So vlidas aqui as mesmas consideraes feitas para o problema 1. Uma forma de apresentar

    a soluo por meio da construo geomtrica. A Figura 2 descreve essa representao.

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  • Figura 2: Representao geomtrica para o problema 2.

    Como o quadrado inicial foi dividido em 9 quadrados menores de mesma rea e como o buraco um desses quadrados, ento temos uma chance em 9 do ponto escolhido cair no buraco.

    Aps o trabalho com os dois problemas anteriores, o professor poder ter mais facilidade para sistematizar o conceito de Probabilidade Geomtrica. Observar que j estamos usando intuitivamente esse conceito quando dizemos uma chance em 4 ou uma chance em 9, j estamos induzindo os alunos ao aparecimento de um quociente.

    Segundo Wagner (1997), se tivermos uma regio B do plano contida em uma regio A, admitimos que a probabilidade de um ponto de A tambm pertencer a B proporcional rea de B e no depende da posio que B ocupa em A. Portanto, selecionando ao acaso um ponto de A, a probabilidade p de que ele pertena a B ser:

    A de rea

    B de rea p = .

    A partir da sistematizao do conceito, outros problemas podem e devem ser trabalhados como forma de fixar o conceito estudado. Observar que inicialmente usamos o problema para a construo/reconstruo do conceito matemtico, ou seja, usamos o problema para ensinar Matemtica. Agora, usaremos o conceito matemtico para resolver os problemas. A palavra probabilidade ir aparecer pela primeira vez no problema 3 a seguir. No problema 1 consideramos o primeiro passo da construo do Tringulo de Sierpinski e no problema 2 o primeiro passo da construo do Tapete de Sierpinski.

    Segundo Edgar (2000), a construo do Tringulo de Sierpinski pode ser feita da seguinte forma: comeamos com um tringulo equiltero de lado medindo 1 unidade, o tringulo e sua regio interior ser chamada de 0S

    .. Esse tringulo ser subdividido em 4 tringulos menores de lados medindo 1/2 unidade, a partir dos pontos mdios dos lados. A regio a ser removida o interior do tringulo central (seus lados e vrtices permanecem). Aps esta remoo, o conjunto remanescente chamado de 1S , o qual um subconjunto de 0S . Agora, cada um dos trs tringulos restantes dividido em tringulos ainda menores com lado medindo 1/4, e os trs tringulos centrais so removidos. O resultado 2S ,

    um subconjunto de 1S . Continuamos dessa forma obtendo uma

    sequncia kS de conjuntos. O Tringulo de Sierpinski definido como o limite S desta sequncia de conjuntos. Problema 3. Escolhendo-se ao acaso um ponto de 0S calcular a probabilidade desse ponto pertencer a

    2S ? Comentrios e sugestes.

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  • Neste caso, a construo geomtrica ainda simples e pode auxiliar na soluo do problema. A Figura 3 representa o segundo passo da construo do Tringulo de Sierpinski.

    Figura 3: Segundo passo do Tringulo de Sierpinski.

    No incio do passo 2, cada um dos 3 tringulos eqilteros ser dividido em 4 novos tringulos equilteros menores e de mesma rea, temos assim 12 novos tringulos com medida de lado igual a

    2241 = . Como o tringulo interior de cada um deles removido restam 239 = tringulos. Portanto,

    .56,25% 16

    9

    43

    43)2.(3

    S de rea

    Sierpinski de Tringulo do rea p

    222

    0

    ====

    Outra soluo.

    Temos neste caso 12 tringulos equilteros de mesma rea e 3 desses so buracos. Agora, como a rea do tringulo que define o buraco do passo 1 4 vezes a rea de cada um desses novos

    tringulos, teremos um total de 16 tringulos equilteros e de mesma rea. Portanto, 16

    9p = .

    Problema 4. Escolhendo-se ao acaso um ponto de 0S calcular a probabilidade desse ponto pertencer a

    3S ? Comentrios e sugestes.

    De modo anlogo ao problema 3 temos neste caso a probabilidade p dada por:

    .42,19% 64

    27

    43

    43)2.(3

    S de rea

    Sierpinski de Tringulo do rea p

    233

    0

    ===

    A Figura 4 representa o terceiro passo da construo do Tringulo de Sierpinski.

    Figura 4: Terceiro passo do Tringulo de Sierpinski.

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  • Problema 5. Escolhendo-se ao acaso um ponto de 0S calcular a probabilidade desse ponto pertencer a

    kS quando k ? Comentrios e sugestes.

    Neste caso os alunos devero trabalhar com generalizaes, no mais possvel o apelo

    geomtrico. Cada conjunto kS consiste de k3 tringulos, com lado de medida k2 . Assim, a rea

    total de kS 43.)2.(32kk , que converge para 0 quando k . Portanto,

    ).( 0 43

    0

    S de rea

    )(k S de rea p

    0

    k Impossvel Evento==

    =

    Da soluo do problema 5 observamos que a rea total do Tringulo de Sierpinski 0. Assim, escolhendo-se ao acaso um ponto de 0S a probabilidade desse ponto cair em um buraco, quando

    k p = 1, ou seja, o Evento Certo. Para o problema a seguir, no segundo passo do Tringulo de Sierpinski (Figura 3) vamos

    denominar o buraco maior, de rea 43.)2( 21 , por buraco central, e cada um dos trs buracos

    menores, de rea 43.)2( 22 , por buracos laterais. Assim, aps o segundo passo da construo do tringulo de Sierpinski, temos um buraco central e trs buracos laterais, em que a rea do buraco central igual a quatro vezes a rea de um buraco lateral. Problema 6. Escolhendo-se ao acaso um ponto de 0S calcular a probabilidade desse ponto cair em um buraco aps o segundo passo da construo do Tringulo de Sierpinski? Comentrios e sugestes.

    Da soluo do problema 3 e observando-se que o evento cair em um buraco aps o segundo passo da construo do Tringulo de Sierpinski corresponde ao evento complementar do evento o

    ponto pertence a 2S , ento .16

    7

    16

    91 p ==

    Outra soluo.

    Vamos definir os seguintes eventos:

    A = {o ponto escolhido caiu no buraco central aps o segundo passo da construo do Tringulo de Sierpinski};

    B = {o ponto escolhido caiu em um buraco lateral aps o segundo passo da construo do Tringulo de Sierpinski}.

    Como estamos interessados em calcular a probabilidade do ponto cair em um buraco, isto significa que o ponto pode cair no buraco central ou cair em algum dos buracos laterais. Assim, necessitamos calcular B)P(A U . Neste caso,

    .16

    4

    43

    43.)(2

    S de rea

    central buraco do reaP(A)

    21

    0

    ===

    .16

    3

    43

    43.)3.(2

    S de rea

    laterais buracos dos reaP(B)

    22

    0

    ===

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  • Como os eventos A e B so mutuamente exclusivos, ou seja, =BA I temos ento que

    .16

    7

    16

    3

    16

    4 P(B)P(A)B)P(A =+=+=U

    Para a primeira soluo do problema 6 utilizamos o conceito de Evento Complementar e para a segunda soluo o conceito presente na unio de dois Eventos Mutuamente Exclusivos, observar o destaque dado ao ou na segunda soluo. O conceito de Probabilidade Condicional pode tambm ser explorado mediante o uso do Tringulo de Sierpinski, mas por uma questo de espao no ser aqui considerado. Consideraes finais

    Propomos neste trabalho o ensino do conceito de Probabilidade Geomtrica segundo a resoluo de problemas, ou seja, o problema utilizado para se ensinar Matemtica. Essa a principal forma proposta pelos Parmetros Curriculares Nacionais para o ensino dessa cincia.

    O ensino de Probabilidade no deve ser concentrado em apenas uma de suas concepes. No Ensino Mdio, pelo menos as concepes frequentista e clssica devem ser consideradas. A concepo geomtrica, na forma aqui apresentada, pode colaborar com a apreenso desse importante conceito pelos alunos.

    Como este tema pouco considerado nos livros didticos, acreditamos estar contribuindo com os professores que atuam nesse nvel de escolaridade. Ainda, como usamos fractais, isso pode motivar os alunos para o estudo desse assunto tornando-o atraente e facilitando o desenvolvimento do raciocnio lgico e as conexes com divises sucessivas, fraes, porcentagem, limite, induo e generalizao. Referncias

    [1] G. Edgar, "Measure, Topology and Fractal Geometry", 2nd. ed., Springer, 2000.

    [2] M. Eisen, "Introduction to mathematical probability theory", New Jersey: Prentice-Hall, inc., 1969.

    [3] A. N. Gomes, A. N; J. A. Salvador; G. R. Paez, "Perspectivas para o uso de fractais em salas de aula da educao bsica". In: X ENEM, Salvador: SBEM, 2010.

    [4] E. L. Lima, "Exame de textos: anlise de livros de matemtica para o ensino mdio". Rio de Janeiro: SBM, 2001.

    [4] R. R. Paterlini, "O problema do jogo dos discos", Revista do Professor de Matemtica. So Paulo: SBM, v. 48, 2002.

    [5] G. Polya, "How to solve it", New York: Princeton University Press, 1973.

    [6] N. Tunala, "Determinao de probabilidades por mtodos geomtricos", Revista do Professor de Matemtica. So Paulo: SBM, v. 20, 1992.

    [7] E. Wagner, "O problema do macarro e um paradoxo famoso", Revista do Professor de Matemtica. So Paulo: SBM, v. 34, 1997.

    [8] K. L. Weiss; D. L. Pirola; F. F. Soares Neto; M. C. M. Machado, "Geometria fractal: uma abordagem atualizada e interdisciplinar da matemtica no ensino mdio". In: XIII CIEM, Recife: CIAEM, 2011.

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