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  • O conceito de Probabilidade Geomtrica por meio do uso de Fractais

    Jos Marcos Lopes Inocncio Fernandes Balieiro Filho Departamento de Matemtica, FEIS, UNESP

    15385-000, Ilha Solteira, SP E-mail: jmlopes@mat.feis.unesp.br, balieiro@mat.feis.unesp.br

    Jos Antonio Salvador

    Universidade Federal de So Carlos - Departamento de Matemtica Rodovia Washington Lus, km 235 - SP-310

    E-mail: salvador@dm.ufscar.br

    Resumo: Apresentamos neste artigo uma proposta didtico pedaggica para o ensino do conceito de Probabilidade Geomtrica por meio do uso de fractais e da resoluo de problemas. Formulamos alguns problemas em que as solues obtidas pelos prprios alunos, os induzem a construo/reconstruo do conceito de Probabilidade Geomtrica. Assim, em um primeiro momento, usamos problemas para ensinar Matemtica. Os problemas foram formulados utilizando-se fractais, como por exemplo, o Tringulo de Sierpinski. Depois do trabalho com os problemas, o professor sistematiza o conceito estudado mediante o formalismo e o rigor caractersticos da Matemtica. Os problemas aqui apresentados podem fornecer subsdios para os professores do Ensino Mdio que pretendam trabalhar com o conceito de Probabilidade Geomtrica. Introduo

    O azar e os fenmenos aleatrios so inerentes s nossas vidas e aparecem em muitas situaes cotidianas ou de nossa vida profissional, como por exemplo, na previso do tempo, num diagnstico mdico, no estudo da possibilidade de contratar um seguro de vida, no nmero de acidentes em uma cidade, etc.

    No Brasil, o conceito de Probabilidade Geomtrica geralmente no apresentado nos livros de Matemtica para o Ensino Mdio. Lima (2001), em uma anlise de 12 colees de livros didticos de Matemtica utilizadas nos trs anos do Ensino Mdio das escolas brasileiras, encontrou o tpico Probabilidade Geomtrica em apenas uma delas. Entretanto, em congressos recentes sobre Educao Matemtica realizados em nosso pas, alguns trabalhos sobre o tema Probabilidade Geomtricos tm sido considerados.

    Na RPM - Revista do Professor de Matemtica, publicada pela Sociedade Brasileira de Matemtica, alguns artigos sobre Probabilidade Geomtrica j foram publicados: Paterlini (2002), Tunala (1992) e Wagner (1997).

    No objetivo deste artigo discutir as razes pelas quais o conceito de Probabilidade Geomtrica pouco estudado no Ensino Mdio brasileiro. Acreditamos, entretanto, que esta seria uma importante e adequada maneira de introduzir, neste nvel de escolaridade, a noo de probabilidade contnua.

    Em problemas de probabilidade geomtrica, os possveis acontecimentos podem ser representados por pontos de um segmento de reta, por figuras planas ou ainda por slidos. Desde que o nmero de acontecimentos seja usualmente no contvel, no podemos definir probabilidade como a razo entre o nmero de casos favorveis e o nmero total de casos. Todavia, podemos ainda definir a probabilidade de um evento de uma maneira natural e calcul-la por meio de consideraes geomtricas (EISEN, 1969).

    Parece consenso que a noo de Probabilidade Geomtrica foi introduzida pelo matemtico e naturalista francs Georges Louis Leclerc, o conde de Buffon. Em 1777, Bufon apresenta em seu livro

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    ISSN 1984-8218

  • Essai dArithmtique Morale, o seguinte problema que ficou conhecido como o Problema da Agulha

    de Buffon: Considere uma famlia de retas paralelas em 2 , onde duas paralelas adjacentes arbitrrias distam de a. Tendo-se lanado, ao acaso, sobre o plano, uma agulha de comprimento l (l a), determinar a probabilidade de que a agulha intercepte uma das retas. Segundo Tunala (1992), para um grande nmero de lanamentos da agulha, a soluo desse problema nos sugere um mtodo experimental para o clculo do valor aproximado de .

    No mesmo livro citado anteriormente, Bufon discute o Jogo dos Discos que consiste de: Em um plano pavimentado com quadrados de lado l lanado aleatoriamente um disco de dimetro d. Qual a probabilidade de o disco, depois de pousar no plano, no intersectar e nem tangenciar os lados de quadrado algum?. Esse jogo era bastante apreciado e jogado pelas crianas francesas do sculo XVIII (PATERLINI, 2002).

    Na Matemtica do final do sculo dezenove e incio do sculo vinte apareceram algumas pesquisas sobre conjuntos de pontos do plano euclidiano, considerados pelos matemticos desse perodo, como bizarros e estranhos. Em 1834, Bernhard Bolzano (1781-1848) apresentou o primeiro exemplo de uma funo contnua que no possui derivada em nenhum de seus pontos e, em 1860, Weierstrass (1815-1897) apresentou uma funo contnua expressa como soma de cossenos. Em 1834, B. Bolzano (1781 1848), construiu uma funo contnua num intervalo que no tinha derivada em ponto algum desse intervalo e, em 1874, K. Weierstrass (1815 1897) tambm constri a sua funo com essas caractersticas.

    Porm, a comunidade Matemtica desse perodo se referia a essas curvas como monstros patolgicos e no via relevncia alguma desses estudos para o mundo real. Atualmente, evidente o equvoco dessa viso, uma vez que a estrutura fractal parece compor toda a natureza viva, a constituio microscpica de nosso planeta, as trajetrias das partculas elementares e a espantosa vastido de aglomerados de galxias do Universo. A Geometria Fractal, ramo da Matemtica, um legado histrico estabelecido por uma gama de matemticos e que foi desenvolvida pelas importantes pesquisas de Benoit B. Mandelbrot (1924 2010). As pesquisas sobre geometria fractal tm sido uma fonte inesgotvel de ideias teis para diversos campos do conhecimento cientfico. Essas investigaes vm trazendo contribuies em diferentes reas da cincia, em particular, na Fsica, na Biologia, na Qumica, na Geografia, na Economia, na Astrofsica e nas Engenharias.

    Uma das caractersticas de um conjunto fractal a autosimilaridade. Ele apresenta certas complexidades, como a de que, geralmente, um subconjunto se repete, em diferentes escalas, dentro deles mesmos. Esse comportamento no ocorre na geometria euclidiana, em que tais subconjuntos podem ser vistos por meio de um sistema de funes iteradas, cuja explorao facilitada com auxlio de programas computacionais. Um fractal pode ser visto como um conjunto invariante ou de pontos fixos (atratores) de um conjunto de funes iteradas de um espao mtrico nele mesmo. Mandelbrot definiu um fractal como um conjunto cuja dimenso de Hausdorff-Besicovitch excede estritamente a dimenso topolgica. A dimenso de Hausdorff, que nos d a noo da medida da densidade ou raridade de um conjunto, exige estudos avanados da teoria da medida, e a dimenso topolgica requer estudos de topologia e dos espaos mtricos (EDGAR, 2000).

    Alm disso, a geometria fractal um importante ramo da investigao matemtica, sendo fonte de pesquisas, como o estudo geomtrico de atratores caticos que aparecem em sistemas dinmicos e com aplicaes em vrias reas da cincia como modelos para reconhecimento de padres, na compresso de arquivos (imagens), na deteco automtica de falhas em produtos industriais, na anlise da rugosidade e medio da densidade de objetos, na evoluo da economia e de populaes, das oscilaes do corao, de problemas ecolgicos e demais formas da natureza que apresentam irregularidades.

    Os trabalhos de Gomes, Salvador e Paez (2010) e Weiss et al. (2011) mostram o uso de fractais em salas de aula da educao bsica. A geometria fractal, por meio de conexes e da interdisciplinaridade, apresenta um potencial histrico e cultural para explorar contedos matemticos como, por exemplo, a Probabilidade Geomtrica.

    O objetivo principal deste artigo mostrar que o fractal conhecido como Tringulo de Sierpinski pode ser utilizado, mediante a formulao de adequados problemas, para a introduo do conceito de Probabilidade Geomtrica.

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    ISSN 1984-8218

  • Definio de Probabilidade Geomtrica

    O objetivo principal deste artigo apresentar uma proposta didtico-pedaggica em que o conceito de Probabilidade Geomtrica sistematizado por meio do uso de fractais. Basicamente, utilizamos problemas envolvendo fractais, em que as solues obtidas pelos prprios alunos os levam a construir/reconstruir o conceito de Probabilidade Geomtrica. Assim, num primeiro momento utilizamos o problema para ensinar Matemtica. O conceito (definio) de Probabilidade Geomtrica poder ser sistematizado por meio da soluo dos dois seguintes problemas. Problema 1. Considere um tringulo equiltero. Determine os pontos mdios de cada um de seus lados. Construa um novo tringulo equiltero unindo esses pontos. Esse novo tringulo, interno ao tringulo original chamado de buraco. Escolhendo-se ao acaso um ponto no tringulo equiltero original qual a chance desse ponto cair no buraco? Justificar sua resposta. Comentrios e sugestes.

    Os alunos devero em grupo, usando de sua prpria linguagem entender o problema e apresentar suas solues. O professor deve acompanhar, intermediar e orientar no trabalho dos alunos, mas nunca oferecer a resposta, devendo responder uma pergunta com outras perguntas, de forma a induzi-los no caminho da soluo.

    Aps o trabalho dos grupos, propomos uma pequena plenria, liderada pelo professor, para discutir as solues apresentadas: as certas e tambm as erradas, dando nfase no processo e nas estratgias de resoluo (POLYA, 1973).

    Podemos sugerir a seguinte soluo. Elaborar a representao geomtrica descrita pelo problema como mostra a Figura 1.

    Figura 1: Representao geomtrica para o problema 1.

    Observar que o tringulo equiltero original foi dividido em 4 novos tringulos equilteros de mesma rea. Como o buraco corresponde a um desses 4 tringulos, ento temos uma chance em 4 de cair no buraco se escolhermos ao acaso um ponto do tringulo original. Finalmente, discutir se o resultado parece razovel para os alunos. Problema 2. Considere um quadrado. Divida cada lado desse quadrado em trs segmentos congruentes, de forma que o quadrado inicial se d