O conceito de limite sob a perspectiva da transposiçã ?· O conceito de limite sob a perspectiva da…

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<ul><li><p>XANPEDSUL,Florianpolis,outubrode2014. p.1</p><p>Oconceitodelimitesobaperspectivadatransposiodidtica</p><p>ResumoEste artigo um recorte bibliogrfico da pesquisaCoordenaodeRegistrosdeRepresentaoeoProcessodeMediao Docente: conceito de limite em cursos deEngenharia. Para tanto, apoiamonos na Teoria daTransposioDidtica,propostaporChevallarde,emumaabordagemhistricadoconceitodelimite,quefundamentaos conceitos do Clculo. Entendese o conceito de limitecomo um saber cientfico que transformado,posteriormente,emumsaberaensinar,produzidona,eapartir da interveno docente. As abordagens, terica ehistricapossibilitamaanlisedoconceitodelimiteemumLivro de Clculo (ANTON, 2000), parte emprica dapesquisa,buscando identificarcomoessesabercientficoapresentadona introduodo conceitode limite, levandoemcontaanecessidade,ouno,desteconceitonoensinode Clculo para cursos de Engenharia. Conclumos que necessriaestatransformaoentreossaberes,cientficoea ensinar, para que se produza um saber aprendido comsignificado.Paratantoprecisoqueodocenteseapropriedo saber cientfico e do saber a ensinar estabelecendosignificadoaoaprendizado.Apartirdestaperspectivatodoconceito a ensinar ter um significado no processo deensino.Palavraschave:TransposioDidtica;EnsinoSuperior;Engenharia;EducaoMatemtica;Limite.</p><p>RaquelTasBreunig</p><p>UniversidadeRegionaldoNoroestedoEstadodoRioGrandedoSulraqueltaisb@yahoo.com.br</p><p>CtiaMariaNehringUniversidadeRegionaldoNoroestedoEstadodoRioGrandedoSul</p><p>catneh@hotmail.com</p></li><li><p>OconceitodelimitesobaperspectivadatransposiodidticaRaquelTasBreunigCtiaMariaNehring</p><p>XANPEDSUL,Florianpolis,outubrode2014. p.2</p><p>X A</p><p>nped Sul </p><p>IntroduoAproblemticadaaprendizagemedoensinodeMatemticanoEnsinoSuperior</p><p>tem instigado pesquisadores a aprofundar seus estudos nesta rea. considerando,</p><p>principalmente,investigaesjrealizadas,apartirdeumarevisodeliteratura,quenos</p><p>remetemaproblematizareentenderasdificuldadesdeaprendizagem,eomotivodestas,</p><p>enfrentadaspelosdiscentes,bemcomo,metodologiasdeensino,queauxiliemodocente</p><p>de Matemtica a melhorar sua prtica docente no Ensino Superior. Algumas destas</p><p>pesquisas tm seu foco centrado na aprendizagem de Matemtica nos cursos de</p><p>Engenharia,noentanto,poucasestofocadasnaprticadocente.</p><p>Alm disso, instigante questionar de que forma ocorre a transio do saber</p><p>cientficoparaosaberaensinar,noprocessodeensinodosconceitosmatemticos.Estas</p><p>questes contribuem para o desenvolvimento deste artigo que tem como foco o</p><p>processo de transio do saber cientfico ao saber a ensinar, considerando,</p><p>especificamente,oconceitodelimite.</p><p>O presente artigo se desenvolve levando em conta este conceito, pois est</p><p>vinculado ao Projeto de Pesquisa Coordenao de Registros de Representao e o</p><p>ProcessodeMediaoDocente:conceitode limiteemcursosdeEngenharia.Oprojetode</p><p>pesquisatemcomofoco identificarquaisosRegistrosdeRepresentaopropostospor</p><p>umdocenteequaisas coordenaese tratamentosarticuladospelosdiscentesdeum</p><p>cursodeEngenharia,seuslimitesepossibilidadeselaboraoconceitual,considerando</p><p>o ensino na disciplina de Clculo I. Para a realizao da pesquisa, necessrio</p><p>compreendermos o processo de mediao do docente de Matemtica nas aulas de</p><p>ClculoI,podendoestarrelacionadocomoprocessodetransiodosabercientficoao</p><p>saberaensinar.Porestemotivo,inicialmentenestetrabalho,propomosumadiscussoe</p><p>compreensodaTeoriadeTransposioDidtica,quetrataexatamentedatransiodo</p><p>sabercientficoaosaberaensinar,conceituandocadaumdestessabereseaperspectiva</p><p>histricadoconceitodelimite.</p><p>O conceito de limite constitui a base do desenvolvimento do Clculo,</p><p>especificamente, da derivada, portanto, o entendimento do processo histrico </p><p>fundamental para compreendermos o ensino. A partir destes dois entendimentos foi</p></li><li><p>OconceitodelimitesobaperspectivadatransposiodidticaRaquelTasBreunigCtiaMariaNehring</p><p>XANPEDSUL,Florianpolis,outubrode2014. p.3</p><p>X A</p><p>nped Sul </p><p>realizada a anlise de um livro de Clculo, utilizado como referncia de docentes da</p><p>disciplinadeClculo Ideuma instituiodeensinosuperior,visando identificarcomoo</p><p>sabercientficoapresentadona introduode limite.Estaanlise temcomoobjetivo</p><p>identificaranecessidade,ouno,doconceitodelimitenoprocessodeensinoadiscentes</p><p>decursosdeEngenharia.</p><p>ATeoriadaTransposioDidticanoProcessodeEnsinarA Teoria da Transposio Didtica [...] possibilita analisar a trajetria que se</p><p>cumpredesdeaproduodosabercientficoatomomentoemqueestesetransforma</p><p>emobjetodeensino, [...], transformandose,por fim,emumsaberensinado (MENEZES,</p><p>2006,p.69)..apartirdestadefinioterica,quesequencialmenteserfeitooestudo</p><p>daTransposioDidtica,afimdecompreenderatransformaodosabercientficoaum</p><p>saber a ensinar, foco da pesquisa. Para tanto, fundamental, compreender o que</p><p>constituicadaumdossaberes,eascontribuiesqueacompreensodateoriapromove</p><p>aoprocessodeensinarClculo.</p><p>ATransposioDidticasurgeapartirdainteraoentrePedagogiaeDidtica,as</p><p>quais sediferenciampelo fatodaprimeira ter como foco as relaes em salade aula</p><p>docente/discente, e a segunda ter como foco o objeto de ensino, o saber, ou seja, a</p><p>relaosaber/discente.Portanto,aTransposioDidticaconsideraarelaoconstante</p><p>entresaber/docente,saber/discenteediscente/docente.Estasarticulaes remetemao</p><p>tringulodidticopedaggico,enfatizadoporGauthiereMartineau(2001).Estarelao</p><p>se tornanecessria,poiso trabalhododocenteno se limitaapenasaumaao,mas</p><p>diversas aes, pois a prtica docente caracterizada por um agir tradicional, o agir</p><p>afetivo,oagirinstrumental,oagirestratgico,oagirnormativo,oagirdramtico,oagir</p><p>expressivoeoagircomunicacional(TARDIF,1993apudGAUTHIEREMARTINEAU,2001,</p><p>p.64).</p><p>Para que o docente ensine os discentes, ele precisa considerar as situaes</p><p>didticas e pedaggicas que ocorrem em sala de aula, ou seja, [...] a cognio e a</p></li><li><p>OconceitodelimitesobaperspectivadatransposiodidticaRaquelTasBreunigCtiaMariaNehring</p><p>XANPEDSUL,Florianpolis,outubrode2014. p.4</p><p>X A</p><p>nped Sul </p><p>aprendizagemso fenmenosquenopertencemapenasaosatores,masse remetem</p><p>tambm a diversos contextos particulares. Por issomesmo, compreender o ensino ,</p><p>portanto,compreendertambmocontextodeensino(GAUTHIEReMARTINEAU,2001,</p><p>p.66).Odocenteprecisaconsiderar,aopensarsuaprticadocente,ogrupodediscentes,</p><p>mas tambm, levar em conta, cada discente individualmente.O discente tambm no</p><p>pode ser considerado individualmente, pois [...] o conhecimento no se constri</p><p>somente na cabea do aluno (GAUTHIER e MARTINEAU, 2011, p.65). O discente</p><p>necessita da mediao do docente, que auxilia na relao saber/discente. So estas</p><p>consideraes,quepermitementenderqueosaber tambmnopodeserconsiderado</p><p>individualmente, pois sem a relao docente e discente, o saber se torna algo</p><p>descontextualizado,despersonalizado,escioculturalmenteinstitudo.</p><p>Parade fatoentenderoprocessodeproduodo saber aensinarnecessrio</p><p>entendermais profundamente o conceito de Transposio Didtica, que inicialmente</p><p>podeserdefinidacomoatransformaodeumsaberaensinaremumsaberensinado,</p><p>conformeChevallard(1991apudLEITE,2007).Esteconceitosurgiuapartirdanecessidade</p><p>de adaptar o conhecimento para posteriormente ensinlo. A teoria da Transposio</p><p>Didtica vem corrigir um equvoco da reflexo pedaggica em relao aos saberes,</p><p>propondoumanovamaneiradepensaratransformaodossaberes.</p><p>NaTransposioDidtica[...]oprofessortemopapeldegarantiracontinuidade</p><p>do processo, apresentando novos textos do saber e assegurando algum nvel de</p><p>familiaridadenessescontedos(LEITE,2007,p.54),ouseja,eleprecisautilizarosaber</p><p>cientfico como base para o saber a ensinar, sem perder o sentido dos conceitos</p><p>ensinados,tornandoomaisacessvelaodiscente,possibilitandoacompreensodestes.</p><p>Odocenteprecisaentenderestateorianosomentecomoumprocessodeprepararuma</p><p>atividade,ouseja,trabalharna,edentrodaTransposioDidtica,mas,queeletambm</p><p>fazpartedesteprocesso,nomomentoemqueelerealizaatransformaodossaberesa</p><p>serem ensinados na escola. Mas o que so esses saberes sob a perspectiva da</p><p>TransposioDidtica?</p><p>Conne (1996)afirmaqueosaberalgodescontextualizado,despersonalizadoe</p><p>coletivo, mas que transforma as situaes didticas de ensino. O conhecimento </p></li><li><p>OconceitodelimitesobaperspectivadatransposiodidticaRaquelTasBreunigCtiaMariaNehring</p><p>XANPEDSUL,Florianpolis,outubrode2014. p.5</p><p>X A</p><p>nped Sul </p><p>individual,sendodifcilconsiderloindividualmente,poisestesertransformadoemum</p><p>saber coletivo. A partir disso podese entender que os saberes so estruturados pelo</p><p>conhecimento individual de cada sujeito que compe o coletivo. Nestemomento se</p><p>destaca o papel do docente, que precisa fazer com que esses conhecimentos se</p><p>desenvolvameassumamaformadossaberesconstitudos.</p><p>Osaberumconhecimentoquecontrolaumasituaoeassuastransformaes,</p><p>elasprprias indutorasdeconhecimentos.[...],sabersabercolocarseemsituaode</p><p>mobilizarosprpriosconhecimentosparaagir(CONNE,1996,p.238)..Porestemotivoo</p><p>ensinoumautilizaodosaber,poisoprocessodeensinopartedossaberescientficos</p><p>paraosaberaensinar,eposteriormente,osaberaprendido,noqualsetransformaem</p><p>um conhecimento individual.Nesteprocessode transformao/transposioo saber </p><p>modificado, mas ele continua sendo caracterizado como saber, ou seja, um saber</p><p>transpostocontinuasendoumsaber.</p><p>Nesseprocessoodocenteprecisasesentirpartedele,masparaisso,necessrio</p><p>entenderoqueaTransposioDidtica,ou seja,quenoprocessodeensino,no se</p><p>pode considerar como ator principal o discente, o docente ou o saber e, alm disso,</p><p>entenderodocente comoogestordo currculo.Todosdevem ser considerados como</p><p>partedoprocessodeensino,numaconstanteinteraoentreeles.Entenderqueosaber</p><p>cientfico no pode ser modificado, mas transformado em outro saber (a ensinar,</p><p>ensinado e aprendido), semperdero carterde saber,ou seja,um conceitopode ser</p><p>modificado, (re)contextualizado,masnopodeperder suas caractersticas.Para isso</p><p>necessrioamediaododocenteearecontextualizao.</p><p>A transformaodos saberesaquiproposta, saber cientfico saberaensinar,</p><p>constituiaetapa inicialde transformaodossaberes.ConformeMenezes (2006),esta</p><p>transformaorealizadacomainterfernciadaNoosfera,constitudapelacomunidade</p><p>que estabelece o que deve ser ensinado na instituio educativa. Comunidade esta,</p><p>constituda por didatas, docentes, pedagogos, entidades sindicais, autores de livros</p><p>didticos,Enfim,pessoas[...]quevoelaborarprogramas,diretrizescurriculares,livros</p><p>didticos, etc (MENEZES, 2006, p.7576).. Estes instrumentos programas, diretrizes,</p><p>livrosdidticos,vonormatizaroqueserensinado,ouseja,osaberaensinar.poreste</p></li><li><p>OconceitodelimitesobaperspectivadatransposiodidticaRaquelTasBreunigCtiaMariaNehring</p><p>XANPEDSUL,Florianpolis,outubrode2014. p.6</p><p>X A</p><p>nped Sul </p><p>motivoquesepropeacompreensodosabercientfico,paraque,posteriormente,seja</p><p>possvel,analisaratransformaodosabercientficoparaosaberaensinarpropostono</p><p>livrodeClculo.</p><p>ConceitodeLimitesobaPerspectivaHistricaApartirdaanlisedaementadadisciplinadeclculo,demonitoriasorientadase</p><p>acompanhamento de aulas de clculo I, podemos afirmar que o conceito de limite</p><p>introduzoestudodaderivadanoprocessodeensinodoclculo I.Esteprocessoocorre</p><p>no pelo acaso,mas sim, porque a partir do limite que se organiza a definio da</p><p>derivada.</p><p>Oprocessodeconstituiodoconceitodelimitesurgehistoricamenteapartirde</p><p>problemas geomtricos, considerando a rea de regies planas e a retas tangentes </p><p>curva. Estes problemas do sentido Matemtica, possibilitando uma evoluo das</p><p>teorias.ConformeDieudonn (1990)estaevoluoocorre,nonosentidodesubstituir</p><p>teoriasoudeformularnovasteorias,masdereformullas,ouseja,umareorganizao</p><p>dos teoremas/teoriasmais antigos.De forma igualitria, o conceito de limite tambm</p><p>passoupordiversasreformulaes.</p><p>Arquimedes(287212a.C.),emsuaspesquisasjsedeparoucomanecessidadede</p><p>um novo conceito, que veio a se tornarmais tarde, o conceito de limite, ou seja, as</p><p>tangentesdeumacurva.Estedesafiono foienfrentadoapenasporArquimedes,mas</p><p>tambm por Fermat, em meados do sculo XVI. No entanto, o conceito de limite</p><p>apareceucomclarezaemmeadosdosculoXVII,eimpsseapenasoitentaanosdepois</p><p>(DIEUDONN, 1990). Conforme Caraa (1998), nesta mesma poca, Kepler tambm</p><p>enfrentoudificuldades,eanecessidadedeumnovoconceito,poisaoestudarasrbitas</p><p>planetriassedeparoucomacondiodequeosplanetasnosemoviamnaturalmente,</p><p>tendo como preocupao/problema, o movimento. Surge ento a necessidade de</p><p>encontrarleisquepermitampreverresultadosdeexperincias,deobservaes.Abusca</p><p>porumaexplicaomatemticaquepermitae[...]dcontada infinidadedeestados</p></li><li><p>OconceitodelimitesobaperspectivadatransposiodidticaRaquelTasBreunigCtiaMariaNehring</p><p>XANPEDSUL,Florianpolis,outubrode2014. p.7</p><p>X A</p><p>nped Sul </p><p>possveisentredoisestadosquaisquer;denaturezaapermitirnostrabalhar,noscom</p><p>estados determinados, mas com a infinidade das possibilidades entre dois estados</p><p>(CARAA,1998,p.206).Nestemomentonohaviaanecessidadedeumarepresentao</p><p>numrica,massimdeumarepresentaoalgbricaquepossibilitavaarepresentaode</p><p>qualquernmerodeumconjuntonumrico,ouseja,umavarivel.</p><p>Apartirdesteentendimentopossveliniciarmosoentendimentodoconceitode</p><p>limite, relacionado estreitamente a ideia de varivel.O importante ao se considerar a</p><p>varivelo fatodeum conjuntopossuir finitoou infinitodevalores.Seavarivel for</p><p>consideradaumconjuntodeapenasumelemento,elapassaaserumaconstante,e isso</p><p>nosatisfazasnecessidadesdoproblema (COSTA, 1981).Almdisso,avarivelprecisa</p><p>representar, especificamente, uma infinidade de valores muito pequenos, e que</p><p>pertenam vizinhana de um ponto especfico. Percebese que neste momento a</p><p>varivelestextremamente ligadanoode infinito,eapartirdesteentendimento,</p><p>quesurgeoconceitodeinfinitsimo,nomeatribudo</p><p>[...] a toda varivel representativa de um conjunto de pontospertencentes vizinhana da origem quando nessa varivelconsiderarmos sucessivamente valores , , , , taisque | | paratodososvaloresde etodoo 0(CARAA,1998,p.207).</p><p>Estadefiniopermitiuadeterminaodevriasoutrasdefiniesdeinfinitsimo.</p><p>Estasdiversasdefiniessofrerammodificaesparaento,chegaradefinioformalde</p><p>limite, que baseada diretamente no conceito de infinitsimo. Conforme Caraa a</p><p>definioinicialdelimiteficouassimestabelecida:dizemosque temporlimiteLse </p><p>vizinhodeLquandonvizinhode infinito.(1998,p.217),ouseja,Loresultadoda</p><p>interdependnciadostermosdasucesso .Estaaprimeiradefiniodelimite,aqual</p><p>deu origem a outras definies que contriburam para a evoluo do conceito,</p><p>considerando as diferentes concepes do limite,mantendo sempre sua caracterstica</p><p>inicial,ouseja,oinfinitocomoumelementoativodeconstruo.</p><p>Todoesteprocessonoocorreudeformasimples,ouseja,parasedeterminara</p><p>definiodelimite,existiuumlongoperododedvidas,reorganizaes,convergncias,</p><p>retomadas,taiscomo,as indeterminaes,expressesquenotmsentido,como,por</p></li><li><p>OconceitodelimitesobaperspectivadatransposiodidticaRaquelTasBreunigCtiaMariaNehring</p><p>XANPEDSUL,Florianpolis,outubrode2014. p.8</p><p>X A</p><p>nped Sul </p><p>exemplo, . Mas o acostumar progressivo a este gnero de raciocnios e a sua</p><p>fecundidade incontestvel levam,porvoltadofimdosculo,acodificlos introduzindo</p><p>notaes gerais e algoritmos que permitem manejlos (limites) comodamente</p><p>(DIEUDONN,1990,p.76)..Temseentoaatualdefiniogeraldelimite,</p><p>Seja Ium intervaloabertoaoqualpertenceonmeroreala.Sejafumafunodefinidapara .Dizemosqueolimitedef(x),quandoxtendeaa,Leescrevemos lim ,separatodo 0,existir0talquese0 | | ento| | (IEZZI,2005,p.23).</p><p>O limite permite resolver problemas antigos, apresentado em pesquisas de</p><p>grandes matemticos, podendose destacar Newton e Leibniz, no sculo XVII, que</p><p>utilizaramadefiniode limiteparadeterminaravelocidadeeaceleraodemvel,ou</p><p>seja, a taxa de variao, e ainda, as tangentes s curvas. Vale destacar que a taxa de</p><p>variaoaderivada.</p><p>ConformeDieudonn (1990)o limitedaexpresso define</p><p>umanovafuno ,ou (definidoporLeibniz),maistardeescritocomo olimitede ,quedeterminaaderivadanumpontoxdafuno</p><p>. Temosento a seguintedefinio: Seja fuma funodefinidaemum intervalo</p><p>abertoIe umelementodeI.Chamasederivadadefnoponto olimite lim (IEZZI, 2005, p. 127).. Ao calcularmos a derivada de uma funo no ponto ,</p><p>determinamosocoeficienteangulardaretatangentecurvanoponto.Problemainicial,</p><p>paraoqualfoielaboradooconceitodelimite.apartirdadefiniodederivadadeuma</p><p>funo, num ponto genrico , que foram calculadas as derivadas das funeselementares,ouseja,apartirdesteprocessoqueforamdefinidososteoremas/regras</p><p>dederivao,quefacilitamodesenvolvimentodaderivadadeumafuno,ouseja,no</p><p>sendo necessrio recorrer definio. Leibniz foi responsvel e rigoroso com a</p><p>simbologiadasdiferenciaiseestabeleceu regrasdederivao.Para Leibniz,diferencial</p><p>[...]eraumadiferenaentredoisvaloresinfinitamenteprximosdeumavarivel(IEZZI,</p><p>2005, p. 143). Ainda no sculo XIX, os matemticos Cauchy e Weierstrass foram</p><p>responsveispelaestruturaolgicadoclculo.</p></li><li><p>OconceitodelimitesobaperspectivadatransposiodidticaRaquelTasBreunigCtiaMariaNehring</p><p>XANPEDSUL,Florianpolis,outubrode2014. p.9</p><p>X A</p><p>nped Sul </p><p>A partir deste histrico do conceito de Limite, podese perceber que este </p><p>resultado de uma longa evoluo terica de conceitos matemticos. Essa</p><p>evoluo/desenvolvimento daMatemtica ocorre graas aos problemas colocados aos</p><p>matemticos,ouseja,[...],estafonteindispensvelnuncaseesgotoudesdequeateoria</p><p>existe, quer se trate de problemas colocados pelas aplicaes dasmatemticas ou de</p><p>umaevoluo[...](DIEUDONN,1990,p.176).</p><p>TransformaodoSaberCientficoparaSaberaEnsinaranlisedeumlivrodeClculo</p><p>Conforme Leite (2007), na Transposio Didtica, o docente precisa garantir a</p><p>continuidadedoprocessodetransformaodossaberes,principalmentenoquetangeao</p><p>movimentodosabercientficoaosaberaensinar,poisapartirdesteprocessoquese</p><p>constituem os saberes ensinados e aprendidos. Portanto, importante haver uma</p><p>coerncia, uma familiaridade entre o conceito apresentado cientificamente e</p><p>didaticamente.Diantedisso,propeseapartirdeagora,umarelaoentreadiscusso</p><p>histricadoconceitode limite(sabercientfico)eumapropostadesteconceitoemum</p><p>Livro Didtico (saber a ensinar), considerando o estudo e o entendimento da</p><p>TransposioDidtica.Buscaseidentificardequeformaocorreatransformaodosaber</p><p>cientfico,quea refernciaparaesteprocesso,paraosaberaensinar,estandoestes</p><p>interligados,qualaaproximaoexistenteentreahistriaeoensino.Ou seja,partir</p><p>desta discusso, temse o intuito de identificar/perceber quais as contribuies da</p><p>TransposioDidticaparaoensinode limiteemumadisciplinadeClculo I,apartirda</p><p>anlisedolivrodeClculo(ANTON,2000),utilizadocomorefernciabsicapordocentes</p><p>de Clculo I de uma instituio de ensino superior. A anlise teve como foco a</p><p>identificaodaformaqueosaberaensinarapresentadonoscontedosrelacionados</p><p>aoconceitode limiteno livro,ouseja,quala relaooudistanciamentocomosaber</p><p>cientfico.</p><p>O Livro Didtico de Anton (2000) possui um captulo exclusivo ao estudo do</p><p>conceitode limite, intitulado Limites eContinuidade, noqual,de incio enfatizaque</p><p>[...]oconceitodelimiteoalicercesobreoqualtodososoutrosconceitos

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