Números Complexos

Definição: Um número complexo z pode ser definido como um par ordenado (x, y) de números reais x e y,

z = (x, y) (1) sujeito às regras e leis de operações

dadas a seguir (2) a (5).

(2) (x, 0) = x o par (x, 0) é identificado como o número

real x;

(0, 1) = i é chamado de unidade imaginária;

(x, y) representam a parte real e a parte imaginária,

isto é, R(z) = x e Y(z) = y.

(3) (x1, y1) = (x2, y2) <=> x1 = x2 e y1 = y2

Se z1 = (x1, y1) e z2 = (x2, y2) então

(4) z1 + z2 = (x1+ x2 , y1 + y2) = (x1, y1) + (x2, y2)

(5) z1 z2 = (x1 y1) x (x2 y2) = (x1 x2 - y1 y2, x1 y2 +x2 y1)

(6) Cada número complexo (não real) pode ser escrito como a soma de um número real e um número complexo puro z = (x, y) = x+ yi

Como consequencia da equação (6), pode se escrever a fórmula (5) como:

(x1+ y1i) x (x2+ y2i) = x1 x2 - y1 y2 + (x1 y2 +x2 y1)i

Exemplo: Dados os números z1 = (2,1) e z2 = (3, 0)

Calcular z1 + z2 , z1 x z2 e z12

Solução:

z1 + z2 = (2, 1) + (3, 0) = (2 + 3, 1 + 0) = (5, 1)

z1 z2 = (2, 1) x (3, 0) = (2 x 3 - 1 x 0, 2x0+3x1) = (6, 3)

z12 = (2, 1) x (2, 1) = (2 x 2 - 1 x 1, 2x1+2x1) = (3, 4)

2 - Propriedades

Subtração (inverso da adição)

z1 - z2 = z3

z1 =z2 + z3 ou (x2 , y2) + (x3 , y3) = (x1 , y1)

Assim,

z1 - z2 = (x1 - x2, y1- y2) = (x1 - x2) + (y1- y2)i

Divisão (inversa da multiplicação)

(z1 / z2) = z3 se z1 = z2 z3, (z2 0) ou

(x2 x3 - y2 y3 , x2 y3 + x3 y2) = (x1 , y1)

Logo, igualando os pontos correspondentes e resolvendo em relação a x3, y3, temos:

z1/ z2 = (x1 x2 + y1 y2)/ (x22

+y22 ) +

(x2 y1 - x1 y2)i / (x22

+y22 ), z2 0.

Assim

z1/ z2 = z1(1/ z2), 1/(z2 z3) = (1/z2) (1/z3), ( z2 0 z3 0)

Exemplo: Determine o valor da expressão:

[(-1+3i)(1+2i) / (2-i)] + 2i

= [(-1- 6+i) / (2 - i) ]+ 2i= [(-7 + i) / (2 -i)] +2i

= [(- 14 -1) / (4 +1)] + [(2 -7)i /5] + 2i = -3 +i

Leis para adição e subtração:

a) z1 + z2 = z2 + z1 (comutativa)

b) z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2)+ z3 (associativa)

c) z1 (z2 z3) = (z1 z2) z3 (associativa)

d) z1 (z2 + z3) = z1 z2+ z1z3 (distributiva)

3 - Representação gráficaCada número complexo corresponde a um único ponto, e reciprocamente, no plano cartesiano xy.

Exemplo: O número z = -2 + i é representado por

y x + yi-2 + i i

x -1 0 1

y z1 + z2

z2 y2

z1 x2

y1

x 0 x1

4 - Conjugados complexosChama-se conjugado do número complexo

z = (x, y) = x + yi ao complexo z = x - yi = (x, -y)

Se z1 = (x1, y1) e z2 = (x2, y2), então

z1 + z2 = x1+ x2 - (y1 + y2)i = (x1- y1i) + (x2 - y2i)

= z1 + z2

Ou seja o conjugado da soma é igual a soma dos conjugados.

-

-------

-- --

E também valem:

z1 - z2 = z1 - z2

z1 z2 = z1 z2

(z1 / z2) = z1 / z2 e ainda:

z + z = 2x = 2R(z) -- a soma de um complexo com o seu

conjugado é um real;

z - z = 2yi = 2I(z)i -- a diferença entre um complexo

e seu conjugado é um imaginário puro;

Usando conjugado, pode-se fazer a divisão de dois complexos multiplicando o numerador e o denominador pelo seu conjugado.

_ _

__ ______

_____

____

__ __

_

_

5 - Valores absolutosSe x e y são reais, chama-se valor absoluto ou módulo de um número complexo z = x + yi ao real não negativo

22|||| yxyixz Assim,

221

221212121 )()(|)()(||| yyxxiyyxxzz

Associado a cada número complexo z há 3 números reais já definidos |z|, R(z) e I(z) que resultam

|z|2 = |R(z)|2 + |I(z)|2

e as condições

|z| |R(z)| R(z) e |z| |I(z)| I(z)

e que

zz = x2 + y2 = |z|2 |z| = |z| |z1 z2| = |z1| | z2|

|z1 / z2| = |z1| / | z2|, z2 0

e as desigualdades

|z1 + z2| |z1| + | z2|

|z1 - z2| | |z1| - | z2| |

___

Exemplo: Dados os complexos z1 = 3 + 4i e z2 = 12- 5i

Calcule:

||

||

13

5

169

65

169

42252169

263216

2

1)

169

6316

25144

6316

512

512

512

43)

||||1356542253356||)

3356)512)(43()

5169||)

2

12

2

1

2122

21

21

1

z

z

z

ze

ii

i

ixi

i

z

zd

zzxzzc

iiizzb

za

6 - Forma polarSejam r e as coordenadas polares do ponto representado z, Figura a seguir, onde r 0. Então x = rcos e y = rsen

e z pode ser escrito como z = r (cos + i sen ) onde

22 yxr

Isto é r = |z| e é o argumento de z denotado por argz. Quando z 0, pode ser determinado por tg = y/ x.

Exemplo: Seja iz 3

Então:

))6

sen()6

(cos(2

log

63

3

3

1

213

iz

o

r

Y

P y z r

0 x X

7 - Produto, Potência e QuocienteO produto de dois números complexos

z1 = r1 (cos 1 + i sen 1) e z2 = r2 (cos 2 + i sen 2) é

z1 z2 = r1 r2 [cos (1+ 2 )+ i sen (1 + 2 )].

Logo, arg(z1 z2 ) = arg(z1) + arg(z2)

Assim, z1 z2 ...zn = r1 r2 ...rn [cos (1+ 2 +...+n ) +

+ i sen ( 1+ 2 +...+n )].

Se z = r (cos + i sen ) e n Z+,

zn = r n (cos n + i sen n).

Se r = 1 temos o Teorema De Moivre

(cos + i sen) n = cos n + i sen n.

O quociente de dois números complexos é dado por

(z1/ z2) = (r 1/ r2) [cos (1- 2) + i sen (1- 2)], r2 0.

Que pode ser obtida pelo inverso da multiplicação

(1/ z) = (1/ r) [cos (- ) + i sen (- )] = (1/ r) [cos () - i sen ()] (caso particular). Logo

z-n = (1/ z)n = (1/ rn) [cos (-n) + i sen (-n)]

Exemplos: Dados os números

i

iiz

Logoiiiz

xz

izondezCalcule

i

ixzz

calculeizeiz

3512512

)]2/3(2/1[1024)]3/5sen()3/5[cos(4

,),3/sen3/(cos4])2/3(2/1[4322

4344||

.322

)2/sen2/(cos6

)]3/6/sen()3/6/([cos32

:),3/sen3/(cos3)6/sen6/(cos2

55

5

21

21

8 - Extração de raizesExtrair as raizes n-ésimas z1/n de um complexo z é resolver a equação zo

n = z.

zzzzn noo

Podemos escrever

z0 = r0 (cos 0 + isen 0) ou

r0n

= (cos no + isen n0) = r (cos + i sen )

Se os ângulos são dados em radianos,

])2

sen()2

[cos(

,0int,tan

2

,0,2

0

0

00

in

k

n

krz

saberazquandoasdistraizesnexatamenteexistemtoPorn

k

nAgora

Zkkknerr

n

n

Onde k = 0, 1, ...(n-1). São os valores de z1/n.

Exemplo: Calcular as raizes cúbicas de 8.

Neste caso temos os valores z = 8, r = 3 e = 0.

Para k = 0, z0 = 81/3 (cos 0 +i sen 0) = 2

k = 1, z0 = 81/3 [cos (2/3) +i sen (2/3)] = -1 + 31/2i

k=2, z0 = 81/3 [cos (4/3) +i sen (4/3)] = 1 - 31/2i

9 - Regiões no plano complexoA origem z = 0, bem como cada ponto do círculo unitário

|z| = 1, é um ponto de fronteira de qualquer um dos seguintes conjuntos

0 < |z| < 1 ou 0 < |z| 1

Funções Analíticas

1- Funções de uma variável complexa.

Se para cada z S, o valor de uma segunda variável complexa w é determinado, então w é uma função da variável complexa z no conjunto S: w = f(z).

Uma função é dita univalente em S se ela tem um valor correspondente a cada valor de z em S.

Exemplo: Quais os domínios de cada uma das funções a seguir f1(z) = z3 +2zi - 2

Neste caso é o plano complexo inteiro.

f2(z) = |z|. Aqui também é o plano complexo inteiro.

f3(z) = 1/(z2+1). Neste caso f3 não está definida em z = i.

Se u e v são funções representando a parte real e a imaginária respectivamente, então:

f(z) = u(x,y) + iv(x,y)

Exemplo: Se f(z) = z2 = (x+yi)2, então u = x2 - y2 e v = 2xy.

Se n é um inteiro não negativo e se a0 a1... an são constantes complexas, a função

P(z) = a0 +a1z +...+ anzn, an 0 é um polinômio em z, de grau n.

2- Transformação:

A função z+2 pode ser vista como uma translação de cada ponto z à posição w = z+2, duas unidades à direita de z. A função w = z leva cada ponto z na reflexão z desse ponto no eixo real.

--

A função w = (x2 + y2)1/2 -iy leva os pontos de cada círculo x2 + y2 = c, c 0, em alguns pontos da reta u = c, pois

u = (x2 + y2)1/2 .

3 - Limites:

Seja f uma função definida em todos os pontos de uma vizinhança de um ponto z0. Lim f(z) = w0

z-->zo

Isto significa que, para cada número positivo , existe um número positivo tal que |f(z) - w0| < sempre que

|z - z0| < , z z0.

Exemplo sobre a determinação de limites.

Seja lim f(z) = lim (z2 - 1) / (z - 1) = 2z-->1

Prova: Para z = 1, f(z) não existe.

Para z 1, temos f(z) = z + 1. Assim,

|f(z) - 2 | = |z +1 -2| = |z - 1|. Logo |f(z) - 2| < sempre que 0 < |z -1| < .

Daí a condição de limite é satisfeita bastando que = .

Quando o limite de uma função f existe em z0, esse limite tem um único valor.

z-->1

Teorema: Sejam f e F funções cujos limites existem em z0:

lim f(z) = w0, lim F(z) = W0z--> z0 z--> z0

Então: lim [f(z) + F(z)] = w0 + W0, lim[f(z)F(z)] = w0W0

z--> z0z--> z0

E se w0 0, lim [f(z) / F(z)] = w0 / W0

z--> z0

O limite de um polinômio P(z) = a0 + a1z +...+anzn é o valor desse polinômio em z0, para todo z0,

lim P(z) = P(z0).z--> z0

4 - Continuidade

Uma função f é contínua num ponto z0 se, e somente se, todas as 3 condições a seguir forem satisfeitas:

a) f(z0) existe; b) lim f(z) existe e c) lim f(z) = f(z0)

z-->z0 z-->z0

Como consequencia, se duas funções são contínuas, sua soma e produto também o são, e o seu quociente é contínuo, exceto nos pontos z, para os quais o denominador se anula.

Logo a condição c) acima pode ser escrita como:

|f(z) - f(z0)| < sempre que |z - z0| < .

Para cada número positivo existe um número satisfazendo a condição acima.

Função contínua de função contínua é contínua. Assim, se g(z) é contínua e f é contínua em g(z) então f(g(z)) é contínua em z0.

5 - A derivada

A derivada f ’, ou df /dz, de f em z0 é, então, definida por

z

zfzzfzf

z

),()()(' 00

00 lim

se o limite existe.

000

20

20

0

00

0

2)2(

)()(

)()(

lim

lim

lim

zzz

z

zzz

z

zfzzf

z

z

z

Exemplo: Seja f(z) = z2. Mostre que f ’(zo) = 2z0 em qualquer z0.

Sabemos que

6 - Fórmulas de derivação

A diferença fundamental entre a derivada nos reais e nos complexos é que nos complexos o lim na definição de f ’(z) é de dimensão dois. Assim temos:

d(c) / dz = 0, c --> constante d(z) / dz = 1

d(cw) / dz = c (dw / dz).

Se as derivadas w1’(z) e w2’(z) de duas funções w1 e w2 existem, então

d(w1 + w2 ) / dz = d(w1) / dz + d(w2 ) / dz = w1’(z) + w2’(z)

d(w1 w2 ) / dz = w1(z) w2’(z) + w1’(z) w2(z)

E, se w2(z) 0,

d(w1 / w2 ) / dz = [w2(z) w1’(z) - w1(z) w2’(z)] / [w2(z)]2

Para a função composta w1(w2), com w1’(t) existe em

t = w2(t) e w2’(z) então,

d[w1(w2)] / dz = [dw1 / dw2] [dw2 / dz]

Exemplo: Se w1 = z5 e w2 = 2z + 1, então

d(2z+1)5 / dz = d(w25) / dz = 5w2

4 dw2 / dz

= 10(2z+1)4.