NMEROS COMPLEXOS

Introduo aos nmeros complexosNa resoluo de uma equao algbrica, um fator fundamental o conjunto universo que representa o contexto onde poderemos encontrar as solues. Por exemplo, se estivermos trabalhando no conjunto dos nmeros racionais, a equao 2x+7=0, ter uma nica soluo dada por:x = -7/2assim, o conjunto soluo ser:S= { 7/2 }no entanto, se estivermos procurando por um nmero inteiro como resposta, o conjunto soluo ser o conjunto vazio, isto :S = = { }Analogamente, se tentarmos obter o conjunto soluo para a equao x2+1=0 sobre o conjunto dos nmeros reais, teremos como resposta o conjunto vazio, isto :S = = { }o que significa queno existe um nmero real que elevado ao quadrado seja igual a -1, mas se seguirmos o desenvolvimento da equao pelos mtodos comuns, obteremos:x =onde a raiz quadrada do nmero real -1. Isto parece no ter significado prtico e foi por esta razo que este nmero foi chamadoimaginrio, mas o simples fato de substituirpela letrai(unidade imaginria) e realizar operaes como se estes nmeros fossem polinmios, faz com que uma srie de situaes tanto na Matemtica como na vida, tenham sentido prtico de grande utilidade e isto nos leva teoria dos nmeros complexos.

Definio de nmero complexoNmero complexo todo nmero que pode ser escrito na formaz = a + b iondeaebso nmeros reais ei a unidade imaginria. O nmero reala a parte real do nmero complexo z e o nmero realb a parte imaginria do nmero complexo z, denotadas por:a = Re(z) ; b = Im(z)Exemplos de tais nmeros so apresentados na tabela.Nmero complexoParte realParte imaginria

2 + 3 i23

2 - 3 i2-3

220

3 i03

-3 i0-3

000

Observao: O conjunto de todos os nmeros complexos denotado pela letraCe o conjunto dos nmeros reais pela letraR. Como todo nmero real x pode ser escrito como um nmero complexo da formaz=x+yi, onde y=0 ento assumiremos que o conjunto dos nmeros reais est contido no conjunto dos nmeros complexos.

Elementos complexos especiais Igualdade de nmeros complexos: Dados os nmeros complexos z=a+bi e w=c+di, definimos a igualdade entre z e w, escrevendoz = w a = c e b = dPara que os nmeros complexos z=2+yi e w=c+3i sejam iguais, deveremos ter que c=2 e y=3. Oposto de um nmero complexo: O oposto do nmero complexo z=a+bi o nmero complexo denotado por -z=-(a+bi), isto :-z = Oposto(a+bi) = (-a) + (-b)iO oposto de z=-2+3i o nmero complexo -z=2-3i. Conjugado de um nmero complexo: O nmero complexo conjugado de z=a+bi o nmero complexo denotado por z-=a-bi, isto :z-= conjugado(a+bi) = a + (-b)iO conjugado de z = 2-3i o nmero complexo z-= 2+3i.

Operaes bsicas com nmeros complexosDados os nmeros complexos z=a+bi e w=c+di, podemos definir duas operaes fundamentais,adioeproduto, agindo sobre eles da seguinte forma:z + w = (a + bi ) + (c + di) = (a+c) + (b+d) iz . w = (a + bi).(c + di) = (ac-bd) + (ad+bc)iObservao: Estas operaes nos lembram as operaes com expresses polinomiais, pois a adio realizada de uma forma semelhante, isto : (a+bx) + (c+dx) = (a+c)+(b+d)x e a multiplicao (a+bx).(c+dx), realizada atravs de um algoritmo que aparece na forma:a + b x

c + d x X

ac + bcx

adx + bdx2

ac +(bc+ad)x + bdx2

de forma que devamos trocar x2por -1.Exemplos:Se z=2+3i e w=4-6i, entoz+w=(2+3i)+(4-6i)=6-3iSe z=2+3i e w=4-6i, entoz.w=(2+3i).(4-6i)=-4+0i

da unidade imaginriaQuando tomamosi =temos uma srie de valores muito simples para asde i:Potnciai2i3i4i5i6i7i8i9

Valor-1-i1i-1-i1i

Pela tabela acima podemos observar que as potncia deicujos expoentes so mltiplos de 4, fornecem o resultado 1, logo toda potncia de i pode ter o expoente decomposto em um mltiplo de 4 mais um resto que poder ser 0, 1, 2 ou 3. Dessa forma podemos calcular rapidamente qualquer potncia dei, apenas conhecendo o resto da diviso do expoente por 4.Exerccio: Calcular os valores dos nmeros complexos: i402, i4033e i1998Como exemplo:i402=i400.i2=1.(-1)=-1

Curiosidade sobre a unidade imaginriaAo pensar um nmero complexo z=a+bi como um vetor z=(a,b) no plano cartesiano, a multiplicao de um nmero complexo z=a+bi pela unidade imaginria i, resulta em um outro nmero complexo w=-b+ai, que formi um ngulo reto (90 graus) com o nmero complexo z=a+bi dado.

Exerccio: Tomar um nmero complexo z, multiplicar por i para obter z1=i.z, depois multiplicar o resultado z1 por i para obter z2=i.z1. Continue multiplicando os resultados obtidos por i at ficar cansado ou ento use a inteligncia para descobrir algum fato geomtrico significativo neste contexto. Aps constatar que voc inteligente, faa um desenho no plano cartesiano contendo os resultados das multiplicaes.

O inverso de um nmero complexoDado um nmero complexoz=a+bi, no nulo (a ou b deve ser diferente de zero) podemos definir o inverso deste nmero complexo como o nmeroz-1=u+iv, tal quez . z-1= 1O produto dezpelo seu inversoz-1deve ser igual a 1, isto :(a+bi).(u+iv)=(au-bv)+(av+bu)i=1=1+0.io que nos leva a um sistema com duas equaes e duas incgnitas:a u - b v = 1b u + a v = 0Este sistema pode ser resolvido pela regra de Cramr e possui uma nica soluo (pois a ou b so diferentes de zero), fornecendo:u = a / (a2+b2)v = -b / (a2+b2)assim, o inverso do nmero complexo z=a+bi :

Exemplo: O inverso do nmero complexo z=5+12i z-1=(5/169) -(12/169)iObteno do inverso de um nmero complexo: Para obter o inverso de um nmero complexo, por exemplo, o inverso de z=5+12i, deve-se :1. Escrever o inverso desejado na forma de uma frao

2. Multiplicar o numerador e o denominador da frao pelo conjugado de z

3. Lembrar que i2= -1, simplificar os nmeros complexos pela reduo dos termos semelhantes.

Observao: Na ltima igualdade (proporo) o produto dos meios igual ao produto dos extremos.

A diferena entre nmeros complexosA diferena entre os nmeros complexosz=a+biez=a+bi definida como o nmero complexo obtido pela soma entreze-w,(isto :z - w = z + (-w)Exemplo: A diferena entre os complexos z=2+3i e w=5+12i, :z-w=(2+3i)+(-5-12i)=(2-5)+(3-12)i=-3-9i

A diviso entre nmeros complexosA diviso entre os nmeros complexosz=a+biew=c+di(w no nulo) definida como o nmero complexo obtido pelo produto entrezew-1, isto :z/w = z . w-1Exemplo: Para dividir o nmero complexo z=2+3i por w=5+12i, basta multiplicar o numerador e tambm o denominador da frao z/w pelo conjugalo de w:

Representao geomtrica de um nmero complexoUm nmero complexo da formaz=a+bi, pode ser repzesentado geometricamente no plano cartesiano, como sendo um ponto (par ordenado) tomando-se a abscissa deste ponto como a parte real do nmero complexo a no eixo OX e a ordenada como a parte imaginria do nmero complexo z no eixo OY, sendo que o nmero complexo0=0+0i representado pela prpria origem (0,0) do sistema.

Mdulo de um nmero complexoNo grfico anterior podemos observar que existe um tringulo retngulo cuja hipotenusa correspondente distncia entre a origem 0 e o nmero complexo z, normalmente denotada pela letra gregaro, o cateto horizontal tem comprimento igual parte realado nmero complexo e o cateto vertical corresponde parte imaginriabdo nmero complexo z.Desse modo, se z = a + b i um nmero complexo, ento:

e a medida da hipotenusa ser por definio, omdulo do nmero complexo z, denotado por|z|, isto :

Argumento de um nmero complexoO ngulo formado entre o segmento OZ e o eixo OX, aqui representado pela letra grega alfa, denominado oargumento do nmero complexoz. Pelas definies da trigonometria circular temos as trs relaes:Por experincias com programao na Internet, observei que melhor usar o cosseno ou o seno do ngulo para definir bem o argumento, uma vez que a tangente apresenta alguns problemas.

Forma polar de um nmero complexoDas duas primeiras relaes trigonomtricas apresentadas anteriormente, podemos escrever:

e assim temos aforma polardo nmero complexo z:

Multiplicao de Nmeros complexos na forma polarConsideremos os nmeros complexosz = r (cos m + i sen m)w = s (cos n + i sen n)onde, respectivamente,resso os mdulos emenso os argumentos destes nmeros complexoszew.Podemos realizar o produto entre estes nmeros da forma usual e depois reescrever este produto na forma:z . w = r s [cos (m+n) + i sen (m+n)]Este fato garantido pelas relaes:cos(m+n)=cos(m).cos(n)-sen(m).sen(n)sen(m+n)={en(m).cos(n)+sen(n).cos(m)

Potncia de um Nmero complexo na forma polarSeguindo o produto acima, poderemos obter a potncia de ordem k de um nmero complexo. Comoz = r [cos(m) + i sen(m)]entozk= rk[cos(km) + i sen(km)]Exemplo: Consideremos o nmero complexo z=1+i, cujo mdulo igual raiz quadrada de 2 e o argumento igual a 1/4 de pi (45 graus). Para elevar este nmero potncia 16, basta escrever:z16= 28[cos(720o)+isen(720o)]=256

Raiz quarta de um nmero complexoUm ponto fundamental que valoriza a existncia dos nmeros complexos a possibilidade de extrair a raiz de ordem 4 de um nmero complexo, mesmo que ele seja um nmero real negativo, o que significa, resolver uma equao algbrica do 4o. grau. Por exemplo, para extrair a raiz quarta do nmero -16, basta encontrar as quatro razes da equao algbrica x4+16=0.Antes de seguir em nosso processo para a obteno da raiz quarta de um nmero complexo w, necessitamos antes de tudo, saber o seu mdulore o seu argumentot, o que significa poder escrever:w = r (cos t + i sen t)O primeiro passo realizar um desenho mostrando es|e nmero complexo w em um crculo de raiore observar o argumentot, dado pelo angulo entre o eixo OX e o nmero complexow.

O passo seguinte obter um outro nmero complexo z1 cujo mdulo seja a raiz quarta de r e cujo argumento seja t/4. Este nmero complexo aprimeiradas quatro raizes complexas procuradas.z1=r1/4[cos(t/4)+isen(t/4)]As outras razes sero:z2 = i . z1z3 = i . z2z4 = i . z3e todas elas aparecem no grfico:

Observao: O processo para obter asquatrorazes do nmero complexowficou muito facilitado pois conhecemos a propriedade geomtrica que o nmero complexoimultiplicado por outro nmero complexo, roda este ltimo de 90 graus e outro fato interessante que todas as quatro razes dewesto localizadas sobre a mesma circunferncia e os ngulos formados entre duas razes consecutivas de 90 graus. Se os quatro nmeros complexos forem ligados, aparecer um quadrado rodado det/4radianos em relao ao eixo OX.

Raiz n-sima de um nmero complexoAntes de continuar, apresentaremos a importantssima relao de Euler:ei.t= cos t + i sen tque verdadeira para todo argumento real e a constanteetem o valor aproximado 2,71828... Para facilitar a escrita usamos frequentemente:exp(i.t) = cos t + i sen tObservao: A partir da relao de Euler, possvel construir uma relao notvel envolvendo os mais importantes sinais e constantes da Matemtica:

Voltemos agora exp(i.t). Se multiplicarmos o nmeroei.tpor um nmero complexoz, o resultado ser um outro nmero complexo rodado detradianos em relao ao nmero complexoz. Por exemplo, se multiplicarmos o nmero complexozpor

obteremos um nmero complexoz1que forma comzum ngulo pi/8=22,5o, no sentido anti-horrio.

Iremos agora resolver a equaoxn=w, onde n um nmero natural ew um nmero complexo dado. Da mesma forma que antes, podemos escrever o nmero complexow = r (cos t + i sen t)e usar a relao de Euler, para obter:w = r ei.tPara extrair a raiz n-sima, deve-se construir aprimeira raizque dada pelo nmero complexoz(1) = r1/nei.t/nTodas as outrasn-1razes sero obtidas pela multiplicao recursiva dada por:z(k) = z(k-1) e2.i.Pi/nonde k varia de 2 at n.Exemplo: Para obter a primeira raiz da equao x8=-64, observamos a posio do nmero complexo w = -64 + 0 i, constatando que o seu mdulo igual a 64 e o argumento um ngulo raso (pi radianos = 180 graus).

Aqui a raiz oitava de 64 igual a 2 e o argumento da primeira raiz pi/8, ento z1pode ser escrita na forma polar:

As outras razes sero obtidas pela multiplicao do nmero complexo abaixo, atravs de qualquer uma das trs formas:

ou ainda pela forma simplificada:

Assim:z(2) = z(1).z(3) = z(2).z(4) = z(3).z(5) = z(4).z(6) = z(5).z(7) = z(6).z(8) = z(7).Exerccio: Construa no sistema cartesiano os 8 nmeros complexos e ligue todas as razes consecutivas para obter um octgonoregular rodado de 22,5 graus em relao ao eixo OX. Tente comparar este mtodo com outros que voc conhece e realize exerccios para observar como aconteceu o aprendizado.

Nmero complexo como matrizExiste um estudo sobre nmeros complexos, no qual um nmero complexo z=a+bi pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da forma:

e todas as propriedades dos nmeros complexos, podem ser obtidas atravs de matrizes, resultando em processos que transformam as caractersticas geomtricas dos nmeros complexos em algo simples.