Números Complexos

Definição: Um número complexo z pode ser definido como

um par ordenado (x, y) de números reais x e y,

z = (x, y) (1) sujeito às regras e leis de operações

dadas a seguir (2) a (5).

(2) (x, 0) = x Existe uma correspondência biunívoca

entre o par (x, 0) e os reais. Assim, (x, 0) é identificado

como o número

real x;

(0, 1) = i é chamado de unidade imaginária;

(x, y) representam a parte real e a parte imaginária,

isto é, R(z) = x e Y(z) = y.

(3) (x1, y1) = (x2, y2) <=> x1 = x2 e y1 = y2

Se z1 = (x1, y1) e z2 = (x2, y2) então

(4) z1 + z2 = (x1+ x2 , y1 + y2) = (x1, y1) + (x2, y2)

(5) z1 z2 = (x1 y1) x (x2 y2) = (x1 x2 - y1 y2, x1 y2 +x2 y1)

(6) Cada número complexo (não real) pode ser

escrito como a soma de um número real e um

número complexo puro z = (x, y) = x+ yi

Como consequência da equação (6), pode se

escrever a fórmula (5) como:

(x1+ y1i) x (x2+ y2i) = x1 x2 - y1 y2 + (x1 y2 +x2 y1)i

Exemplo: Dados os números z1 = (2,1) e z2 = (3, 0)

Calcular z1 + z2 , z1 x z2 e z12

Solução:

z1 + z2 = (2, 1) + (3, 0) = (2 + 3, 1 + 0) = (5, 1)

z1 z2 = (2, 1) x (3, 0) = (2 x 3 - 1 x 0, 2x0+3x1) = (6, 3)

z12 = (2, 1) x (2, 1) = (2 x 2 - 1 x 1, 2x1+2x1) = (3, 4)

2 - Propriedades

Subtração (inverso da adição)

z1 - z2 = z3

z1 =z2 + z3 ou (x2 , y2) + (x3 , y3) = (x1 , y1)

Assim,

z1 - z2 = (x1 - x2, y1- y2) = (x1 - x2) + (y1- y2)i

Divisão (inversa da multiplicação)

(z1 / z2) = z3 se z1 = z2 z3, (z2 0) ou

(x2 x3 - y2 y3 , x2 y3 + x3 y2) = (x1 , y1)

Logo, igualando os pontos correspondentes e resolvendo em relação a x3, y3, temos:

z1/ z2 = (x1 x2 + y1 y2)/ (x22

+y22 ) +(x2 y1 - x1 y2)i / (x2

2 +y2

2 ), z2 0.

Assim

z1/ z2 = z1(1/ z2), 1/(z2 z3) = (1/z2) (1/z3), ( z2 0 z3 0)

Exemplo: Determine o valor da expressão:

[(-1+3i)(1+2i) / (2-i)] + 2i

= [(-1- 6+i) / (2 - i) ]+ 2i= [(-7 + i) / (2 -i)] +2i

= [(- 14 -1) / (4 +1)] + [(2 -7)i /5] + 2i = -3 +i

3 - Leis para adição e subtração:

a) z1 + z2 = z2 + z1 (comutativa)

b) z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2)+ z3 (associativa)

c) z1 (z2 z3) = (z1 z2) z3 (associativa)

d) z1 (z2 + z3) = z1 z2+ z1z3 (distributiva)

4 - MódulosSe x e y são reais, chama-se módulo de um número complexo z = x + yi ao real não negativo

22|||| yxyixz Assim,

221

221212121 )()(|)()(||| yyxxiyyxxzz

5 - Conjugados complexosChama-se conjugado do número complexo

z = (x, y) = x + yi ao complexo z = x - yi = (x, -y)

Se z1 = (x1, y1) e z2 = (x2, y2), então

z1 + z2 = x1+ x2 - (y1 + y2)i = (x1- y1i) + (x2 - y2i)

= z1 + z2

Ou seja o conjugado da soma é igual a soma dos conjugados.

-

-------

-- --

|z|2 = |R(z)|2 + |I(z)|2

e as condições

|z| |R(z)| R(z) e |z| |I(z)| I(z)

e que

zz = x2 + y2 = |z|2, |z| = |z| , |z1 z2| = |z1| | z2|

|z1 / z2| = |z1| / | z2|, z2 0

e as desigualdades

|z1 + z2| |z1| + | z2|

|z1 - z2| | |z1| - | z2| |

___

Associado a cada número complexo z há 3 números reais já definidos |z|, R(z) e I(z) que resultam

6 - Representação gráficaCada número complexo corresponde a um único ponto, e reciprocamente, no plano cartesiano xy.

Exemplo: O número z = -2 + i é representado por

y x + yi-2 + i i

x -1 0 1

x

y

z1

z2

z1+z2Soma: lei do paralelogramo,Igual que vetores em 2 dimensões.

Produto diferente, por que?

x

y

z1

z2

z1.z2

1

2

1+2

E também valem:

z1 - z2 = z1 - z2

z1 z2 = z1 z2

(z1 / z2) = z1 / z2 e ainda:

z + z = 2x = 2R(z) -- a soma de um complexo com o seu

conjugado é um real;

z - z = 2yi = 2I(z)i -- a diferença entre um complexo

e seu conjugado é um imaginário puro;

_ _

__ ______

_____

____

__ __

_

_

7 - Forma polarSejam r e as coordenadas polares do ponto representado z, Figura a seguir, onde r 0. Então x = rcos e y = rsen

e z pode ser escrito como z = r (cos + i sen ) onde

22 yxr

Isto é r = |z| e é o argumento de z denotado por argz. Quando z 0, pode ser determinado por tg = y/ x.

Exemplo: Seja iz 3

Então:

))6

sen()6

(cos(2

log

63

3

3

1

213

iz

o

r

Y

P y z r

0 x X

8 - Produto, Potência e QuocienteO produto de dois números complexos

z1 = r1 (cos 1 + i sen 1) e z2 = r2 (cos 2 + i sen 2) é

z1 z2 = r1 r2 [cos (1+ 2 )+ i sen (1 + 2 )].

Logo, arg(z1 z2 ) = arg(z1) + arg(z2)

Assim, z1 z2 ...zn = r1 r2 ...rn [cos (1+ 2 +...+n ) +

+ i sen ( 1+ 2 +...+n )].

Se z = r (cos + i sen ) e n Z+,

zn = r n (cos n + i sen n).

Se r = 1 temos o Teorema De Moivre

(cos + i sen) n = cos n + i sen n.

O quociente de dois números complexos é dado por

(z1/ z2) = (r 1/ r2) [cos (1- 2) + i sen (1- 2)], r2 0.

Que pode ser obtida pelo inverso da multiplicação

(1/ z) = (1/ r) [cos (- ) + i sen (- )] = (1/ r) [cos () - i sen ()] (caso particular). Logo

z-n = (1/ z)n = (1/ rn) [cos (-n) + i sen (-n)]

9 - Extração de raízesExtrair as raízes n-ésimas z1/n de um complexo z é resolver a equação zo

n = z.

zzzz noo

n

Podemos escrever

z0 = r0 (cos 0 + isen 0) ou

r0n (cos no + isen n0) = r (cos + i sen )

Se os ângulos são dados em radianos,

])2

()2

[cos(

,0,

2

,0,2

0

0

00

in

ksen

n

krz

saberazquandodiferentesraizesnexatamenteexistemAssimn

k

nAgora

Zkkknerr

n

n

Onde k = 0, 1, ...(n-1), e zo são os valores de z1/n.

Exemplo: Calcular as raízes cúbicas de 8.

Neste caso temos os valores z = 8, n = 3 e = 0.

Para k = 0, z0 = 81/3 (cos 0 +i sen 0) = 2

k = 1, z0 = 81/3 [cos (2/3) +i sen (2/3)] = -1 + 31/2i

k=2, z0 = 81/3 [cos (4/3) +i sen (4/3)] = 1 - 31/2i