números complexos
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Trabalho de Matemática - 3.01ThiellenRenatoJadsonBrunoTRANSCRIPT
NÚMEROSCOMPLEXOS
HISTÓRIAOs números complexos apareceram no século XVI ao longo das descobertas de procedimentos gerais para resolução de equações algébricas de terceiro e quarto grau. No século XVII os complexos são usados de maneira tímida para facilitar os cálculos. No século XVIII são mais usados, a medida que se descobre que os complexos permitem a conexão de vários resultados dispersos da Matemática no conjunto dos números reais.
HISTÓRIANo século XIX, aparece a representação geométrica dos números complexos, motivada pela necessidade em Geometria, Topografia e Física, de se trabalhar com o conceito de vetor no plano. Os números complexos passam a ser aplicados em várias áreas do conhecimento humano, dentro e fora da Matemática.
Em matemática, os números complexos são os elementos do conjunto C , uma extensão do conjunto dos números reais R , onde existe um elemento que representa a raiz quadrada de número -1, a assim chamada unidade imaginária.Cada número complexo z pode ser representado na forma: = + z a b i onde a e b são números reais conhecidos como parte real e parte imaginária de ze i denota a unidade imaginária: i 2 = -1 .
DEFINIÇÕES
O conjunto dos números complexos constitui uma estrutura algébrica denominada corpo. Este corpo é algebricamente fechado. Os números complexos encontram aplicação em numerosos problemas da matemática, física e engenharia, sobretudo na solução de equações algébricas e equações diferenciais.
DEFINIÇÕES
O conjunto dos números complexos é fechado sobre as operações de adição e multiplicação, além de possuir a propriedade de que todo elemento não-nulo do conjunto possui um inverso multiplicativo. Sejam z e w dois números complexos dados por
= ( , ) z a b e = ( , ) w c d então definem-se as relações e operações elementares como veremos:
OPERAÇÕES ELEMENTARES
OPERAÇÕES ELEMENTARES• CONJUGADO onde denota o conjugado de z. Outra notação usada para o conjugado de z e z*.
• PRODUTO DE UM COMPLEXO POR SEU CONJUGADO
Como i2 = -1 , temos que o produto de um Número Complexo a + b i pelo seu Conjugado a -b i se dá
por:
• INVERSO MULTIPLICATIVO (para ):
As operações de subtração e divisão são efetuadas transformando em adição com o oposto aditivo e em multiplicação com o inverso multiplicativo. Algumas operações são mais fáceis de ser realizadas na forma polar:
OPERAÇÕES ELEMENTARES
OPERAÇÕES ELEMENTARES• INVERSO MULTIPLICATIVO (para ):
• CONJUGADO
O produto de um número complexo pelo seu conjugado é:
OPERAÇÕES ELEMENTARES• IGUALDADE ENTRE NÚMEROS
COMPLEXOSDois números complexos são iguais se, e
somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z 1= + a b i e z 2 = +c d i , temos que:
z 1=z 2 <==> = =a c e b d
• OPOSTOO oposto de qualquer número real é o seu
simétrico: o oposto de 10 é -10, o oposto de -5 é +5. O oposto de um número complexo respeita essa mesma condição, pois o oposto do número complexo z será -z .
Por exemplo: Dado o número complexo = 8 - z6 i , o seu oposto será: - = - 8 + 6 .z i
OPERAÇÕES ELEMENTARES
• INVERSO DE UM NÚMERO COMPLEXOSendo = + z a b i (0 ), o seu inverso é z -1 = ( - a b i) / (a 2 + b 2 ) Na representação trigonométrica, o inverso de z = r c is q é z -1 = r -1 (- ). c is q
OPERAÇÕES ELEMENTARES
CURIOSIDADES• O primeiro estudo dos complexos:
Bombelli Rafael Bombelli gastou 74 páginas de sua L'Algebra para estudar as leis algébricas que regiam o cálculo com as quantidades a + b -1 . Em particular, mostrou que
• as 4 operações aritméticas sobre números complexos produzem números desse tipo.
• a soma de um real e um imaginário puro não pode se reduzir a um só nome.
CURIOSIDADES• Investigação do fechamento dos
complexosEmbora Bombelli já tivesse se preocupado em provar
o fechamento das operações aritméticas com números complexos, em 1680, encontramos ninguém menos do que Leibniz questionando-se se seria real ou não o resultado de ( + ) + a ib( - ).a ib Lambert, em 1750, mostrou que i, i i etc, todos tem a forma + a ib .
• A aceitação dos números complexosTalvez possamos dizer que os principais matemáticos
responsáveis por essa aceitação foram: • Lambert e Euler que estudaram o fechamento
dos números complexos sob operações algébricas e transcendentes.
• Wessel que introduziu ( 1 797 ) a moderna representação geométrica, que foi depois popularizada por Mourey e Gauss c. 1 830.
CURIOSIDADES
• Gauss que divulgou e muito usou essa representação e provou que os números complexos são necessários e suficientes para a Álgebra.
• Ohm e Cauchy que esclareceram a multivocidade das operações algébricas e transcendentes sobre os complexos.
CURIOSIDADES
A terminologia desconfiada inicial ( n. sofísticos- 1570, n. imaginários- 1650 ) acabou cedendo lugar à mais natural denominação atual: números complexos, em 1830. Já nos anos de 1800 os números complexos encontraram grande uso no estudo da Mecânica de Fluídos, da Eletricidade e outros fenômenos em meios contínuos. Hoje, são absolutamente necessários em inúmeros campos da Ciência e Tecnologia, e em tudo que possibilitemos a sua utilização.
FINALIZANDO...
COLÉGIO CEEP SEVERINO VIEIRAPROFESSORA: ISABEL
EQUIPE / 3.01
TH IELENJ AD S O N
R EN ATOB R U N O