números complexos

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NÚMEROS COMPLEXOS

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Trabalho de Matemática - 3.01ThiellenRenatoJadsonBruno

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Page 1: Números complexos

NÚMEROSCOMPLEXOS

Page 2: Números complexos

HISTÓRIAOs números complexos apareceram no século XVI ao longo das descobertas de procedimentos gerais para resolução de equações algébricas de terceiro e quarto grau. No século XVII os complexos são usados de maneira tímida para facilitar os cálculos. No século XVIII são mais usados, a medida que se descobre que os complexos permitem a conexão de vários resultados dispersos da Matemática no conjunto dos números reais.

Page 3: Números complexos

HISTÓRIANo século XIX, aparece a representação geométrica dos números complexos, motivada pela necessidade em Geometria, Topografia e Física, de se trabalhar com o conceito de vetor no plano. Os números complexos passam a ser aplicados em várias áreas do conhecimento humano, dentro e fora da Matemática.

Page 4: Números complexos

Em matemática, os números complexos são os elementos do conjunto C , uma extensão do conjunto dos números reais R , onde existe um elemento que representa a raiz quadrada de número -1, a assim chamada unidade imaginária.Cada número complexo z pode ser representado na forma: = + z a b i onde a e b são números reais conhecidos como parte real e parte imaginária de ze i denota a unidade imaginária: i 2 = -1 .

DEFINIÇÕES

Page 5: Números complexos

O conjunto dos números complexos constitui uma estrutura algébrica denominada corpo. Este corpo é algebricamente fechado. Os números complexos encontram aplicação em numerosos problemas da matemática, física e engenharia, sobretudo na solução de equações algébricas e equações diferenciais.

DEFINIÇÕES

Page 6: Números complexos

O conjunto dos números complexos é fechado sobre as operações de adição e multiplicação, além de possuir a propriedade de que todo elemento não-nulo do conjunto possui um inverso multiplicativo. Sejam z e w dois números complexos dados por

= ( , ) z a b e = ( , ) w c d então definem-se as relações e operações elementares como veremos:

OPERAÇÕES ELEMENTARES

Page 7: Números complexos

OPERAÇÕES ELEMENTARES• CONJUGADO onde denota o conjugado de z. Outra notação usada para o conjugado de z e z*.

• PRODUTO DE UM COMPLEXO POR SEU CONJUGADO

Como i2 = -1 , temos que o produto de um Número Complexo a + b i pelo seu Conjugado a -b i se dá

por:

Page 8: Números complexos

• INVERSO MULTIPLICATIVO (para ):

As operações de subtração e divisão são efetuadas transformando em adição com o oposto aditivo e em multiplicação com o inverso multiplicativo. Algumas operações são mais fáceis de ser realizadas na forma polar:

OPERAÇÕES ELEMENTARES

Page 9: Números complexos

OPERAÇÕES ELEMENTARES• INVERSO MULTIPLICATIVO (para ):

• CONJUGADO

O produto de um número complexo pelo seu conjugado é:

Page 10: Números complexos

OPERAÇÕES ELEMENTARES• IGUALDADE ENTRE NÚMEROS

COMPLEXOSDois números complexos são iguais se, e

somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z 1= + a b i e z 2 = +c d i , temos que:

z 1=z 2 <==> = =a c e b d

Page 11: Números complexos

• OPOSTOO oposto de qualquer número real é o seu

simétrico: o oposto de 10 é -10, o oposto de -5 é +5. O oposto de um número complexo respeita essa mesma condição, pois o oposto do número complexo z será -z .

Por exemplo: Dado o número complexo = 8 - z6 i , o seu oposto será: - = - 8 + 6 .z i

OPERAÇÕES ELEMENTARES

Page 12: Números complexos

• INVERSO DE UM NÚMERO COMPLEXOSendo = + z a b i (0 ), o seu inverso é z -1 = ( - a b i) / (a 2 + b 2 )    Na representação trigonométrica, o inverso de z = r c is q é z -1 = r -1 (- ). c is q

OPERAÇÕES ELEMENTARES

Page 13: Números complexos

CURIOSIDADES• O primeiro estudo dos complexos:

Bombelli Rafael Bombelli gastou 74 páginas de sua L'Algebra para estudar as leis algébricas que regiam o cálculo com as quantidades a + b -1 . Em particular, mostrou que

• as 4 operações aritméticas sobre números complexos produzem números desse tipo.

• a soma de um real e um imaginário puro não pode se reduzir a um só nome.

Page 14: Números complexos

CURIOSIDADES• Investigação do fechamento dos

complexosEmbora Bombelli já tivesse se preocupado em provar

o fechamento das operações aritméticas com números complexos, em 1680, encontramos ninguém menos do que Leibniz questionando-se se seria real ou não o resultado de ( + ) + a ib( - ).a ib Lambert, em 1750, mostrou que i,   i i etc, todos tem a forma + a ib .

Page 15: Números complexos

• A aceitação dos números complexosTalvez possamos dizer que os principais matemáticos

responsáveis por essa aceitação foram: • Lambert e Euler que estudaram o fechamento

dos números complexos sob operações algébricas e transcendentes.

• Wessel que introduziu ( 1 797 ) a moderna representação geométrica, que foi depois popularizada por Mourey e Gauss c. 1 830.

CURIOSIDADES

Page 16: Números complexos

• Gauss que divulgou e muito usou essa representação e provou que os números complexos são necessários e suficientes para a Álgebra.

• Ohm e Cauchy que esclareceram a multivocidade das operações algébricas e transcendentes sobre os complexos.

CURIOSIDADES

Page 17: Números complexos

A terminologia desconfiada inicial ( n. sofísticos- 1570, n. imaginários- 1650 ) acabou cedendo lugar à mais natural denominação atual: números complexos, em 1830. Já nos anos de 1800 os números complexos encontraram grande uso no estudo da Mecânica de Fluídos, da Eletricidade e outros fenômenos em meios contínuos. Hoje, são absolutamente necessários em inúmeros campos da Ciência e Tecnologia, e em tudo que possibilitemos a sua utilização.

FINALIZANDO...

Page 18: Números complexos

COLÉGIO CEEP SEVERINO VIEIRAPROFESSORA: ISABEL

EQUIPE / 3.01

TH IELENJ AD S O N

R EN ATOB R U N O