núcleo atômico
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CAPÍTULO V
O NÚCLEO ATÔMICO
(V.S. Bagnato)
5.1- CONSIDERAÇÕES GERAIS
No modelo atômico tratado até então, o núcleo atômico foi considerado como uma massa
pontual de carga positiva. Na realidade o núcleo é muito mais complexo. Ele é tão complexo
que mesmo nos dias atuais ainda existem propriedades a serem entendidas.
Nesta parte do curso, vamos considerar algumas propriedades fundamentais do núcleo e
apresentar os principais modelos para explicá-las. Vamos iniciar o tema apresentando
algumas grandezas típicas que nos permitem ter um quadro representativo do núcleo
atômico.
Ao redor de 1932, a composição nuclear foi determinada por Bothe e Becker. Eles
observaram que ao bombardear matéria com partículas alfa uma radiação misteriosa era
emitida do núcleo. Experimentos realizados por James Chadwick mostraram que esta
misteriosa radiação era constituída por partículas neutras cuja massa era igual à do próton.
Por ser uma partícula eletricamente neutra, esta recebeu o nome de nêutron. O nêutron é
um elemento fundamental na composição nuclear, porém é uma partícula que só é estável
no interior do núcleo. Ao ser colocado livremente, o nêutron torna-se instável e decai
espontaneamente segundo a sequência de reações abaixo:
2
Nêutron → próton + elétron + antineutrino
Este processo de decaimento demora tempo da ordem de 1000 sec.
Logo após a descoberta do nêutron, observou-se que ele é um ingrediente necessário na
estrutura nuclear. Junto com o próton, outro constituinte fundamental do núcleo atômico,
determina em linhas gerais a massa total do átomo. As partículas que compõem o núcleo
são chamadas de núcleons. Dessa forma, tanto os prótons como os nêutrons são
denominados núcleons. Utiliza-se a seguinte notação para designar os núcleons:
Z = número atômico = número prótons
N = número nêutrons
A = Z + N = número massa
Para descrever uma determinada espécie química X, usamos normalmente a notação, ZXA.
Como exemplo, a representação do arsênico de número de massa 75 e número atômico 33 é
33As75.
Da composição nuclear, surge espontaneamente a idéia de isótopo. Os isótopos são átomos
com mesmo número de prótons e diferentes números de nêutrons e, portanto, diferentes
números de massa. Como as propriedades químicas dos elementos são predominantemente
determinadas pelos elétrons, os isótopos são elementos quimicamente equivalentes.
Com respeito ao tamanho nuclear, os experimentos de Rutherford forneceram as primeiras
evidências do tamanho finito do núcleo. Como foi visto anteriormente, através do
experimento de espalhamento de partículas alfa, determinou-se o limite de 10-4 Å para o
tamanho nuclear. Através dos cuidadosos experimentos de espalhamento de partículas,
determinou-se que o volume do núcleo é diretamente proporcional ao número de núcleons
nele contidos. Assim, se R é o raio nuclear, o volume correspondente é 3
34 R . Esse volume
é proporcional a A, número de massa, de modo que
31
0 ARR (5.1)
O valor de Ro foi obtido experimentalmente e é dado por
cmxR 13
0 102.1 (5.2)
O valor de R0 apresenta uma incerteza, devido à variação dos resultados obtidos de acordo
com o método utilizado na sua determinação. Ao fazer experimentos com espalhamento de
3
nêutrons, estes interagem com o núcleo somente através de forças nucleares, enquanto
num experimento de espalhamento de elétrons a interação é essencialmente devida às
interações elétricas geradas pelas cargas nucleares. Um fato curioso é que o R0 determinado
a partir do espalhamento de elétrons ou partículas α é menor que o determinado pelo
espalhamento de nêutrons, revelando desta forma um importante resultado: a distribuição
de massa no núcleo e a distribuição de cargas não são iguais.
Conhecendo - se o tamanho dos núcleos, calcula-se a densidade de massa contida nestes
centros:
3
16
313
23
3
0
10023,0
102,13
4
106
1
3
4
1
cmg
Rnuclear
(5.3)
314103,2
cmg
nuclear (5.4)
A densidade nuclear mostra que o núcleo é cerca de 1014 mais denso do que a matéria
macroscópica a que estamos acostumados, ou seja, a matéria é praticamente oca. Em
determinadas estrelas, denominadas "anãs brancas", os elétrons dos átomos colapsam
devido à grande pressão entre os átomos, de modo que tais estrelas são basicamente
constituídas de matéria nuclear, apresentando densidades como as mostradas acima.
Ao analisarmos um núcleo estável, vemos que sua massa é ligeiramente menor do que a
soma das massas de seus constituintes isolados. Como exemplo, vemos que o núcleo de 3Li6
tem massa 6,01697 u.a. enquanto que somando as massas dos três prótons e três nêutrons
que compõem o núcleo, encontramos 6,0514 u.a. A quantidade de massa que está faltando,
Δm= 0,03443 u.a. é equivalente a 32,1 MeV. A equivalência entre massa e energia é dada
pela equação de Einstein,
2mcE (5.5)
Para um corpo de 1kg com velocidade da luz, c =2,997 x 108 m/s, a energia correspondente a
é E = 9x1016J. Lembramos que uma unidade de energia muito utilizada na física de partículas
subatômicas é o elétron-volt cujo valor é 1eV = 1,6 x 10-19J. Assim, 1 Joule = 0,6 x 1019eV e a
energia correspondente a uma massa de 1 Kg é E = 9x1016 x 0,6 x 1019 = 5,58 x 1035eV. Como
uma unidade de massa atômica é 1,66 x 10-27kg, podemos escrever 1kg = 0,6 x 1027u.a. =
5,58 x 1035eV, ou 1 eV = 9,3 x 108 eV = 930MeV. Dessa forma, Δm = 0,03443 u.a. ou 32,1
MeV. Isto significa que, para quebrar o núcleo de 3Li6 e obter os vários núcleons
4
individualmente, é necessário fornecer ao sistema esta quantidade de energia. Tal energia,
contida na ligação entre os vários núcleons, é denominada de Energia de Ligação. Quanto
mais fortemente ligados estiverem os núcleons, mais estável será o núcleo. Dessa forma, a
energia de ligação mede a estabilidade dos núcleos.
A energia de ligação tem sua origem nas forças que mantêm os núcleons unidos, as quais
são um pouco diferentes dos tipos de força que estamos acostumados até o momento. Se
dividir a energia de ligação de cada núcleo pelo número de núcleons, obtém a energia por
núcleons. A energia / núcleon mostrada como função do número de massa do núcleo está
apresentada na figura 5.1.
Figura 5.1: Energia por núcleon em núcleos como função do número de massa.
O máximo da energia / núcleon está em torno de A = 56 (para o núcleo de Ferro), após o
qual há um vagaroso decréscimo. Como maior energia/núcleon representa maior
estabilidade, o gráfico acima sugere que núcleos pesados apresentam tendência em dividir-
se em núcleos mais leves, enquanto núcleos muito leves demonstram tendência em unir-se,
formando núcleos mais pesados e estáveis. De fato, em condições apropriadas isto ocorre,
sendo o caso de divisão nuclear denominado de fissão nuclear e o caso de combinação
denominado fusões nucleares. Ambos ocorrem com as corretas análises energéticas, ou
seja, sempre há um balanço entre as energias necessárias para quebrar e/ou reorganizar os
respectivos núcleos. Se forçar a fusão nuclear, pode-se em muitos casos liberar energia e
esse fenômeno, portanto, é uma fonte de energia.
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5.2 – MODELO NUCLEAR
Vamos estudar alguns modelos para forças nucleares. As forças que mantém os núcleons
juntos no interior do núcleo constituem, sem dúvida, as forças mais fortes que conhecemos
e, por isto, são comumente denominadas de interações fortes. Essa interação não pertence
a nenhuma das classes de forças com as quais estamos acostumados a lidar no nosso dia-a-
dia.
Existem vários modelos para explicar a natureza desta interação e, mesmo atualmente,
muito é feito para estudar-las. Vamos, brevemente, descrever os melhores modelos
propostos. Começaremos estudando a teoria dos mésons para forcas nucleares. Formulada
pelo físico japonês H. Yukawa, em 1935, esta teoria explica que as forças nucleares são o
resultado de um constante intercâmbio, de partículas entre os núcleons próximos. As
partículas que participam da troca são denominadas mésons. O processo seria, em alguns
aspectos, semelhante àquele no qual dois núcleos atômicos são mantidos juntos, formando
moléculas através do intercambio de “quanta” (unidade de energia) eletromagnéticos,
através da circulação eletrônica ao redor de ambos os núcleos.
De acordo com a teoria do méson para forças nucleares, todos os núcleons consistem de
centros idênticos, circundados por uma nuvem de um ou mais mésons. Estes mésons podem
ser neutros ou possuírem cargas. Neste contexto, a grande diferença entre nêutrons e
prótons reside na composição de suas nuvens mesônicas.
As forças existentes entre nêutrons ou entre prótons é o resultado de mésons neutros,
designados por π0. Por outro lado, as forças fortes existentes entre nêutrons e prótons
resultam do intercâmbio de mésons carregados designados por π+ ou π-, cujas cargas são
exatamente a carga eletrônica. Assim, um nêutron emitindo um méson π- converte-se num
próton,
pn (5.6)
enquanto que a absorção de um méson π- por um próton leva a formação de um nêutron.
np (5.7)
No processo inverso,
np (5.8)
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Embora o conceito seja intuitivo, infelizmente não há uma forma simples de demonstrar
matematicamente como intercâmbio de mésons leva a forças atrativas ou repulsivas. Vamos
utilizar um exemplo bastante simples para ilustrar o fato. Imagine dois garotos, cada um com
uma bola de basquete. A idéia é que eles deverão trocar as bolas. Quando o jogador A
arremessa sua bola para o jogador B e vice-versa, no ato da emissão eles sofrem recuo de
momentum em direções opostas. O mesmo ocorre quando eles recebem as bolas jogadas
um contra o outro. Dessa forma, este método de trocar as bolas leva a repulsão entre os
dois meninos A e B como mostra a figura 5.2;
Figura 5.2: Repulsão causada pelo intercâmbio de bolas jogadas.
Figura 5.3: Atração causada pelo intercâmbio de bolas cedidas.
Se ao invés de arremessar as bolas um contra o outro os meninos resolvem trocar as bolas,
um tentando tirar a bola do outro, é fácil de imaginar que nesta nova situação de troca eles
tentarão se unir. Portanto, fisicamente, esta situação leva a uma força de atração entre os
meninos A e B como ilustrado na figura 5.3. A teoria dos mésons para forças nucleares,
apesar de fazer previsões importantes, ainda não consegue descrever em detalhes a
estrutura nuclear, mas aparentemente mostra a correta direção para o pensamento que
levará a este entendimento.
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As forças nucleares são extremamente fortes, porém de muito curto alcance, de modo que
cada núcleon basicamente interage somente com seus vizinhos mais próximos, numa
situação semelhante aquela das moléculas num líquido – em que a única interação
importante é aquela da molécula com as moléculas que a rodeiam. Esta analogia das
interações de um líquido (numa gota) com forças nucleares leva ao chamado modelo da gota
líquida para o núcleo, prevendo propriedades bastante importantes.
Vamos apresentar este modelo simples, chamado “de gota líquida”, para entender as
propriedades mais importantes do núcleo. Considere que a energia associada com cada par
núcleon-núcleon tenha o valor U (evidentemente, trata-se de uma força atrativa, portanto
U é negativa, mas vamos considerá-la positiva por conveniência). Cada ligação mesônica é
partilhada por dois núcleons, cada um deles possui energia de ligação ½ U. Quando fazemos
um empacotamento de esferas, representando os núcleons, cada um é circundado por no
máximo 12 outros núcleons, numa estrutura chamada de “empacotada”, e que contém o
maior número de esferas próximas possíveis como mostra a figura 5.4.
Figura 5.4: Estrutura empacotada dos núcleons.
Desta forma, cada núcleon terá associado a ele uma energia,
UU 62
112 (5.9)
Assim, se todos núcleons estiverem rodeados por 12 outros núcleons, a energia de um
determinado núcleo seria AdAUEv 16 . A energia Ev é chamada de energia de volume. Ela
é verdadeira para os núcleons no interior do volume do núcleo, mas certamente não é
verdade para aqueles núcleons localizados na superfície do núcleo – os quais não são
circundados por 12 núcleons, mas por um número inferior deles. O número de núcleons
superficiais depende da superfície do núcleo dada por
8
32
0
2 44 ARR (5.10)
Assim, o número de núcleons superficial é proporcional à 32
A e a energia de ligação de tais
núcleons é Es,
32
2 AaEs (5.11)
A energia Es é chamada de energia superficial do núcleo. Ela leva o sinal negativo, pois
corresponde à diminuição em Ev. Para os núcleos, levar esta forma energética é importante,
já que neste caso a fração de núcleons superficiais é elevada. O núcleo tentará uma
formação que permita maximizar a energia de ligação, o que significa que ele estará mais
estável. Desta forma, o a forma do núcleo é a mais próxima possível de uma esfera,
maximizando a energia de ligação, pois esta é a forma com menor área de superfície para
um determinado volume, semelhante à gota de um líquido.
Além da energia entre núcleons, a repulsão eletrostática entre prótons no núcleo também é
importante pois contribui para diminuir a energia de ligação, desestabilizando o equilíbrio do
núcleo. A energia Coulombiana Ec do núcleo é equivalente ao trabalho necessário para trazer
do infinito os Z prótons e mantê-los juntos, numa distribuição volumétrica que é a do
núcleo. Dado Z núcleons, o número de pares que temos é Z(Z-1). Isto é, cada próton interage
com Z-1 prótons, sendo a separação média entre eles da ordem de 31
0 AR , de modo que a
energia de repulsão elétrica entre os prótons do núcleo pode ser expressa como:
3
13
1
A
ZZaEc
(5.12)
O sinal negativo em Ec na energia Coulombiana significa apenas que essa interação
desestabiliza o núcleo e contrabalanceia a energia de ligação entre os núcleons.
Desta forma, a energia total de ligação do núcleo é,
csvb EEEE (5.13)
Ou seja,
3
133
2
21
1
A
ZZaAaAaEb
(5.14)
e, assim, a energia de ligação por núcleon é
3
4
3
31
21
1
A
zza
A
aa
A
Eb (5.15)
9
A figura 5.5 ilustra o gráfico deste resultado.
Figura 5.5: Cálculo da energia Eb de coesão dos núcleons.
É importante notar que Eb obtida com o que foi discutida anteriormente concorda com os
resultados experimentais. Dessa forma, este modelo pode ser útil para uma série de
estudos, principalmente em reações nucleares, como veremos adiante. O modelo da gota
líquida para o núcleo atômico tem sua base no fato que cada núcleo interage primeiramente
com seus vizinhos mais próximos, como num líquido. Existem, no entanto evidências
experimentais de que isto não é completamente verdade, o que sugere uma interação mais
generalizada ao invés de apenas interações entre pares. Porém no espírito introdutório
desta discussão essa aproximações é bastante conveniente para nós introduzirmos a
questão da estabilidade nuclear e motivar os mecanismos de decaimento discutidos a seguir.
5.3 – DECAIMENTO NUCLEAR
Um dos fenômenos mais significantes no desenvolvimento da física atômica e da física
nuclear é a radioatividade. Neste processo, um núcleo emite partículas alfas (núcleo Hélio) e
elétrons (partículas betas) e fótons (raios gamas), adquirindo configurações mais estáveis.
Nesta parte do curso, iremos discutir um pouco este fenômeno que normalmente
chamamos de decaimento nuclear.
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Imagine uma amostra de elementos radiativos que, num determinado instante, apresenta N
núcleos. Definimos a atividade R como a quantidade de núcleos que decaem por unidade de
tempo. Em linguagem de derivadas:
dt
dNR (5.16)
O sinal (-) é colocado para fazer R positivo. R é expresso em desintegrações por segundo.
Algumas vezes expressamos R em termos da unidade Curie.
1 curie = 3.7 x 1010 desintegração / segundo (5.17)
Todas as determinações experimentais de R mostram que a atividade apresenta um
decaimento exponencial com o tempo. Define-se a meia vida do elemento, T1/2, como o
tempo para sua atividade cair a metade (50%) do valor no início da medida.
É importante salientar que, após cada período T1/2, a atividade da amostra é reduzida à
metade, ou seja:
...8
1
4
1
2
10000
21
21
21
RRRR
TTT
(5.18)
O comportamento mostrado acima permite escrever a relação empírica
teRRdt
dNNR 0
(5.19)
onde λ é chamada de constante de decaimento e tem valor diferente, dependendo do
elemento radiativo considerado. A relação entre λ e T1/2 pode ser determinada por
teRR 0 (5.20)
21
0021
T
eRR
(5.21)
693.02
21
21 TnT (5.22)
Da dependência exponencial colocada acima, há uma forte evidência de que o fenômeno de
decaimento radiativo tem natureza estatística, isto é, cada núcleo radiativo apresenta certa
probabilidade de decair. No entanto, não há meios de saber quais núcleos decairão num
11
certo instante de tempo. Se a amostra é grande o suficiente, a fração que decai num
determinado instante corresponde razoavelmente bem à probabilidade de decaimento de
um único núcleo. Assim a probabilidade de um núcleo decair num período de tempo T1/2 é
0,5. Vamos supor que a probabilidade por unidade de tempo para um núcleo decair é
constante e igual a . Logo, a probabilidade de decaimento num intervalo dt é dt. Se
tivermos a amostra com N núcleos que ainda não decaíram, a quantidade dN que decairá
num intervalo dt é
dtN
dN (5.23)
Por meio da integração da equação (5.23), obtemos
teNN 0 (5.24)
Esta última equação mostra a evolução temporal do número de núcleos que ainda não
decaíram, com 0N o número de núcleos em t = 0. A partir desta lei obtém-se a atividade
radiativa como,
tt eReNdt
dNR 00 (5.25)
com
00 NR (5.26)
Podemos ainda escrever
NR (5.27)
Outra constante de tempo importante é o tempo de vida médio,
1T (5.28)
O tempo de vida médio é diferente do tempo de meia vida 2/1T . Normalmente,
2/1TT (5.29)
A maioria dos elementos radiativos encontrados na natureza são membros de quatro grupos
denominados de séries radiativas. Estas séries são elementos que se originam basicamente
do mesmo elemento, através de emissões radiativas ( e ). Existem exatamente quatro
séries de elementos radioativos uma vez que o decaimento a reduz a massa atômica em 4
12
unidades. Cada decaimento α ou β proporciona um passo na série. Assim, todos os
elementos radiativos cujas massas são:
nA 4 (5.30)
onde n é um inteiro, podem decair uns nos outros em ordem descendente do número de
massa. Os núcleos radiativos cujo número massa é da forma (5.30) são denominados de
membros da série 4n. Temos ainda três outras séries,
34
24
14
nA
nA
nA
(5.31)
Em cada série radiativa, os membros transformam-se uns nos outros através do decaimento.
Cada série tem um elemento denominado “pai” da série, e um elemento estável final que
interrompe o processo de decaimento.
Número massa Série "pai" T1/2 (anos) Estável final
4n Tório 90Th232 1,39 x 1010 82Pb208
4n + 1 Neptúnio 93Np237 2,25 x 106 83Bi209
4n + 2 Urânio 92U238 4,51 x 109 82Pb206
4n + 3 Actínio 92U235 7,07 x 108 82Pb207
A série do Neptúnio tem um tempo de meia-vida bastante curto comparado com a idade do
universo (~1010 anos), de modo que os membros desta série quase não são encontrados nos
dias atuais. No entanto, estes elementos podem ser obtidos através do bombardeamento de
núcleos mais pesados feitos em laboratório. Estas séries podem ser representadas
graficamente como ilustra a figura 5.6.
13
Figura 5.6: Séries de decaimento radioativo.
Os núcleos radiativos decaem de diferentes formas através de emissão α ou β. Podemos
citar o caso do 83Bi2212, membro da série do tório, e apresenta 66% probabilidade de emitir
uma partícula beta e decair em 84Po212 e 34% de chances de emitir alfa e decair em 81Ti
208.
Quando um núcleo zXA emite x partículas α e y particular β, temos
1
1
0
1
4
2
A
z
A
z YyxX (5.32)
E o núcleo zXA transforma-se no núcleo Z
1 YA1. A conservação do número de massa é como
segue:
xAAxA 44 ´ (5.33)
e a do número atômico:
yxZZyxZ 22 ´ (5.34)
14
A emissão de partículas α altera o número massa em 4 unidades e o número atômico em 2
unidades. A emissão de partículas β não altera o número de massa e o numero atômico
aumenta em uma unidade. Desta forma, podemos acompanhar as séries anteriores. A
seguir, vamos apresentar brevemente os produtos de cada um dos decaimentos.
5.3.1 - Decaimento alfa:
Como as forças fortes de atração entre os núcleons manifesta-se apenas a curto alcance, isto
é, quando eles estão próximos, a energia total de ligação entre os núcleons é proporcional
ao número de massa A. Por outro lado, a força de repulsão coulombiana age mesmo a
médias distâncias. Esta repulsão Coulombiana tenta separar os prótons, e o total desta
tendência de ruptura do núcleo é aproximadamente proporcional à Z2. Assim, núcleos muito
grandes (normalmente com mais de 210 núcleons) apresentam a força de curto alcance que
os mantém unidos, quase que totalmente contrabalançada pela repulsão entre prótons.
Portanto, se o núcleo é grande, há baixa estabilidade nuclear. O decaimento nuclear por
emissão de partículas α é uma alternativa natural para estes núcleos diminuírem seu
tamanho, aumentando a estabilidade. Uma pergunta natural que fazemos nesta altura é:
porque ao invés de emitir partículas α, o núcleo não emite somente prótons ou núcleos de
2He3 para aumentar sua estabilidade? A resposta para isto está no fato que a partícula alfa
possui alta energia de ligação e sua massa é muito menor que a de seus constituintes. Dessa
forma há a necessidade de liberar parte da energia na forma de energia cinética necessária
para que ocorra a emissão da partícula em si.
5.3.2 - Decaimento Beta
Da mesma forma que no decaimento α, o decaimento β no núcleo procura uma forma de
atingir maior estabilidade. Ele consiste na emissão de um elétron pelo núcleo. Este elétron é
originário do decaimento de um nêutron em um próton mais um elétron, sendo que o
próton continua, evidentemente, no núcleo.
n p + e
15
A partir medida do momentum do elétron é possível calcular sua energia cinética:
2
0
4242
0 cmcpcmK (5.35)
Normalmente, a energia cinética no decaimento β varia de zero até um valor máximo
MeVK 17.1max , que deve ser igual à máxima variação de massa no núcleo. No entanto, isto
nem sempre é verdade e causa a impressão de que a energia está sendo criada, violando um
dos importantes conceitos da Física. Além disso, ao medir com relativa precisão o recuo
sofrido pelo núcleo após o decaimento beta e, comparando seu valor com o momentum de
recuo sofrido pelo elétron, também há uma aparente violação da conservação de
momentum. A explicação deste fenômeno deu origem à suposição da existência do
neutrino, uma partícula importante no entendimento do mundo subatômico, cuja existência
explicaria estas aparentes violações.
5.3.3 - Decaimento Gama
No núcleo atômico existem estados de energias bem definidos, da mesma forma que os
estados eletrônicos na camada eletrônica. Estes estados estão associados à distribuição dos
núcleons. Um núcleo excitado N* pode retornar ao seu estado fundamental emitindo fótons,
cuja energia corresponde à diferença entre os níveis envolvidos. Os fótons emitidos pelo
núcleo têm energia que podem atingir vários MeV e são denominados de raios gama.
Normalmente o tempo de vida dos estados nucleares é bastante curto, mas em alguns
poucos casos o tempo de vida do decaimento gama, como é chamada esta emissão, chega a
atingir horas.