novopoii.pdf

7/25/2019 NOVOPOII.pdf

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NOTAS DE AULA POII-UFF

Prof. Joo Carlos C.B. Soares de Mello


2/161

PESQUISA OPERACIONAL MODELOS ESTOCSTICOS (PO II)

Professor: Joo Carlos Soares de Mello

Bibliografia:Taha, H.A., Pesquisa Operacional, Pearson, 2008Tavares, L.T.; Oliveira, R.C.; Themido, I.H.; Correia, F.N.

Investigao Operacional, McGraw-Hill, 1996Bronson, R. Pesquisa Operacional, McGraw-Hill (Coleo

Schaum), 1985Fiani, R. Teoria dos Jogos, Campus-Elsevier, 2006Revistas: Pesquisa Operacional, Investigao Operacional,

Gesto & Produo, Produo (www.scielo.org)Pgina: www.uff.br/decisao


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TPICOS Otimizao em redes (Teoria dos Grafos)

Tipologia das decises

Decises sob incerteza (jogos contra a natureza)

Teoria dos jogos Decises sob risco e teoria da utilidade

Decises seqenciais (rvores de deciso)

Processos multidecisor (Teorema de Arrow emtodos ordinais)


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TPICOS Processo de Markov

Processos de nascimento e morte Teoriadas filas

Gesto de estoques


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Teoria dos Grafos Pontes de Knigsberg

na Prssia (atualKalingrado, na Russia):seria possvel percorrer

todas as quatro sees evoltar ao local departida cruzando cada

ponte uma nica vez? Resolvido por LeonhardEuler XVIII


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Teoria dos Grafos Um grafo uma noo simples e abstrata

utilizada para representar a idia de relao entreelementos". Exemplos: ......???

Matematicamente: G = (V,A), onde V o

conjunto de vrtices e A o conjunto de ligaesentre vrtices. Grafo no orientado: ligaes representadas os

pares de vrtices no possuem uma ordem (i,j) =(j,i) = [i,j], aresta Grafo orientado (dgrafo): ligaes (arcos)

representadas por partes ordenados (i,j) (j,i)


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Teoria dos Grafos

Grafo no orientado Grafo orientado

V=(1,2,3,4,5,) V=(A,B,C,D,E)

A=([1,2],[1,3],[3,4], A=((A,B),(A,D),(A,C),(B,C),[3,5],[3,4],[4,5]) (C,E),(D,E),(E,D))


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Representao de um Grafo Listas de Adjacncias: armazena o relacionamento

entre os vrtices em uma estrutura de listas.Representao econmica do ponto de vistacomputacional.

Grafos orientados: duas listas origem - destinos edestino - origensGrafo no orientados: uma lista


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Representao de um Grafo Matriz de adjacncias: dois vrtices so adjacentes

se esto unidos por uma aresta ou arco. MatrizMnxn (n total de vrtices)

Exemplo:


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Representao de um Grafo Matriz de adjacncias valorada - Matriz de

Distncias (custos): valores associados s

ligaes, matriz D

Exemplo


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Percursos em grafos Percurso ou itinerrio ou ainda cadeia umafamlia de ligaes sucessivas adjacentes.

Hamiltonianos: percurso que visita cada vrticeuma nica vez. Problema do Caixeiro Viajante:O Caixeiro Viajante deve sair da sua cidade(origem), visitar cada uma das outras (n-1)cidades uma nica vez e retornar cidade deorigem, de forma tal a percorrer uma nica

distncia possvel Eulerianos: percurso que usa cada ligao

exatamente uma vez. Problema do Carteiro

Chins.: o carteiro deseja percorrer todas as


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Problemas estudados em Grafos O Problema do Caixeiro Viajante

O Problema do Carteiro Chins O Problema de Caminho Mnimo O Problema de Fluxo Mximo O Problema de Fluxo Mximo a custo mnimo rvore Geradora Mnima (AGM)

Colorao em Grafos Roteamento de veculos Etc.


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O Problema de CaminhoMnimo

Objetivo: minimizao do custo de percurso de

um grafo entre dois vrtices, custo este dado pelasoma dos custos de cada aresta percorrida.

Existem muitos algoritmos para resolver este

problema, estudaremos dois: Dijkstra e Floyd Algoritmo de Dijkstra: determina o custo ou

distncia mnima entre uma origem e um destino.

Algoritmo de Floyd: determina os custo oudistncias mnimas entre todos os pares devrtices


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Algoritmo de Dijkstra Para cada vrtices usamos a notao: [c,j] X,chamada de rtulo

c custo at o momento, j vrtice precedente, X podeser T (temporrio) ou P (permanente)

Incio no vrtice origem: [0,-]P

Analisar os vrtices adjacentes e colocamos rtulostemporrios, calculamos a distncia at esse ponto,caso esteja rotulado escolhemos o de menor distncia

Todos os vrtices rotulados, pare, caso contrrio,escolha o de menor custo rotule como P e repetir opasso anterior


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Algoritmo de Dijkstra Exemplo:


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Tipologia das decises

Quanto s informaes Quanto ao nmero de decisores

Quanto aos critrios Quanto ao objeto


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Tipologia das decises - Quantos informaes

Determinsticas Com incerteza

Com risco


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Tipologia das decises - Quantoaos decisores

Mono decisor Multi decisor

Jogos


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Tipologia das decises - Quantoaos critrios

Mono critrio Multicritrio


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Tipologia das decises - Quantoao objeto

Escolha (P ) Classificao (P )

Ordenao (P ) Correta descrio do problema

(P)


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DECISES COM INCERTEZA Sem distribuio de probabilidade Racionalidade do decisor Jogo contra a natureza No usar valor esperado

Auxiliar o decisor, sem respostasprontas


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MTODOS Pessimista (Maxmin). Se algo pode dar

errado, vai dar errado Otimista (Maxmax). Tudo vai dar certo

Savage (intermedirio dos anteriores) Custo de oportunidade perdida. No mequero arrepender da deciso tomada.

Laplace. Valor esperado se as alternativasforem equiproporcionais.


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4504504504504

4003003003003

4253752252252

4703502701501

DCBA

Cenrios de a a d, de estagnao a forte crescimento.

As alternativas representam opes de investimento


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MTODO OTIMISTA

45045045045044003003003003

4253752252252

4703502701501

DCBA

Escolhe-se o maior valor da tabela. O valor 470corresponde alternativa 1.


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MTODO PESSIMISTA

45045045045044003003003003

4253752252252

4703502701501

DCBA

Escolhe-se o menor valor de cada linha. Min1=150,Min2=225, Min3=300, Min4=450. V-se ento qual o maior dos mnimos. Max (150, 225, 300, 450)=450.

Escolhe-se a opo 4.


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MTODO DE LAPLACE

45045045045044003003003003

4253752252252

4703502701501

DCBA

Esp1=(150+270+350+470)/4=310

Esp2=(225+225+375+425)/4=312,5

Esp3=(300+300+300+400)/4=325

Esp4=450

Consideram-se as

alternativasequiprovveis eusa-se o valoresperado. Tem

srias restriesde uso


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MTODO DE SAVAGE

45045045045044003003003003

4253752252252

4703502701501

DCBA

S1=470 +150(1+150(1--

))

S2=425 +225(1+225(1--

))

S3=400S3=400 +300(1+300(1--

))

S4=450S4=450

Faz uma avaliao de cadaFaz uma avaliao de cada

alternativa ponderandoalternativa ponderandootimismo e pessimismo.otimismo e pessimismo.Adota um coeficiente deAdota um coeficiente deotimismo,otimismo, subjetivo esubjetivo edifdifcil de determinar.cil de determinar.ParaPara =1=1 o mo mtodotodootimista. Paraotimista. Para =0=0 oommtodo pessimista.todo pessimista.


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MTODO DE SAVAGE

45045045045044003003003003

4253752252252

4703502701501

DCBA

470 +150(1+150(1--

)>450, significa que a alternativa 1 ser)>450, significa que a alternativa 1 ser

escolhida. Caso contrescolhida. Caso contrrio a escolhida serrio a escolhida ser a alternativa 4.a alternativa 4.

Resolvendo:Resolvendo: 470 +150-150 =450

320320 =300 As duas alternativas s=300 As duas alternativas so equivalentes parao equivalentes para =15/16.`=15/16.`

preciso um otimismo superior a 93,75% para escolher apreciso um otimismo superior a 93,75% para escolher a

alternativa 1alternativa 1

necessnecessrio compararrio compararapenas 1 e 4, japenas 1 e 4, j que 4que 4domina 2 e 3. Ou seja, nadomina 2 e 3. Ou seja, nahiphiptese do decisor achartese do decisor acharque deveria escolher 2 ou 3,que deveria escolher 2 ou 3, melhor escolher 4.melhor escolher 4.

Dominar significa nuncaDominar significa nuncaser pior e ser melhor peloser pior e ser melhor pelomenos um vezmenos um vez


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MTODO DE SAVAGE

S1=470 +150(1+150(1--

))

S2=425 +225(1+225(1--

))

S3=400S3=400 +300(1+300(1--

))

S4=450S4=450

Grfico do mtodo de Savage

0

100

200

300

400

500

Alfa

S

A avaliao otimista sempre superior

pessimista. Este comentrio, que parecebvio, pode no ser vlido em situaes emque otimismo e pessimismo tenham umsignificado diferente, envolvendo valoresrelativos


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MTODO DO MENOR ARREPENDIMENTO

(OU DO MENOR CUSTO DEOPRTUNIDADE PERDIDA)

4504504504504

4003003003003

42537522522524703502701501

DCBA

Verificar qualVerificar qual a melhor opa melhor opo de cada ceno de cada cenrio. Nos cenrio. Nos cenrios A, B erios A, B e

C a melhor alternativaC a melhor alternativa a 4, com valor 450. No cena 4, com valor 450. No cenrio D a melhorrio D a melhoralternativaalternativa a 1 com valor 470. Para cada par (alternativa, cena 1 com valor 470. Para cada par (alternativa, cenrio)rio)

verificaverifica--se quanto se deixou de ganhar por nse quanto se deixou de ganhar por no ter escolhido ao ter escolhido a

melhor alternativa para aquele cenmelhor alternativa para aquele cenrio. Assim, para cenrio. Assim, para cenrio A tendorio A tendo

escolhido a alternativa B o arrependimentoescolhido a alternativa B o arrependimento 450450--150=300. Constr150=300. Constrii--

se uma matriz auxiliarse uma matriz auxiliar

200004

701501501503

4575225225201001803001

DCBA


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Os valores da matriz, agora, sOs valores da matriz, agora, so perdas. Quem no perdas. Quem no quer sofrero quer sofrer

crcrticas quer, no pior dos caso, ter a menor perda possticas quer, no pior dos caso, ter a menor perda possvel. Para cadavel. Para cadaalternativa o pior casoalternativa o pior caso a pior perda. A menor das piores perdasa pior perda. A menor das piores perdas aa

escolhida. Temescolhida. Tem--se assim um problemase assim um problema minmaxminmax..

200004701501501503

4575225225201001803001

DCBA


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Max1=300Max1=300

Max2=225Max2=225

Max3=150Max3=150

Max4=20Max4=20

Min(300,225,150,20)=20. EscolheMin(300,225,150,20)=20. Escolhe--se a alternativa 4.se a alternativa 4.

200004701501501503

4575225225201001803001

DCBA


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DISCUSSO Diante dos vrios mtodos, qual alternativa

escolher? Depende da psicologia do decisor.

Neste caso h uma rara convergncia paraa alternativa 4. S o otimista escolheria a 1. Savage permite uma anlise de

sensibilidade. Pelo grfico v-se que quasecertamente a 4 seria a escolhida.


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EXEMPLO

005000150A3

15403020A2

0-100100050010A1

C5C4C3C2C1

Observar que nenhuma alternativa dominada


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EXEMPLO MTODOOTIMISTA

005000150A3

15403020A2

0-100100050010A1

C5C4C3C2C1

Escolhida a A1


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EXEMPLO MTODOPESSIMISTA

005000150A3

15403020A2

0-100100050010A1

C5C4C3C2C1

Escolhida a A2


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EXEMPLO MTODO DE

LAPLACE

005000150A3

15403020A2

0-100100050010A1

C5C4C3C2C1

Esp A1= (10+500+1000-100)/5=282

Esp A2=(20+30+40+5+1)/5=19,2

Esp A3=(150+500)/5=130


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EXEMPLO MTODO DE

SAVAGE

005000150A3

15403020A2

0-100100050010A1

C5C4C3C2C1


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EXEMPLO MTODO DE

SAVAGE

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

A1

A2

A3


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EXEMPLO MTODO DE

MENOR ARREPENDIMENTO

005000150A3

15403020A2

0-100100050010A1

C5C4C3C2C1

155005000A3

00960470130A2

110500140A1

C5C4C3C2C1

QUAL A ESCOLHIDA?


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FIM DO PRIMEIRO TPICO

EM SEGUIDA: TEORIA DOSJOGOS


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O que um jogo Situaes em que o resultado esperado no

depende s das nossas decises. Interao estratgica

Racionalidade Xadrez, Bridge, Guerra, Cartel, Combate

ao Crime, Localizao, Poltica...

No so considerados jogos de sorte ehabilidade puras.


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Batalha do Mar de Coral II Guerra Mundial, derrota de Guadalcanal para

os japoneses (1942) Transporte de tropas

Risco: poderio areo aliado (americano)

Duas rotas possveis

Dificuldades de reconhecimento aliado

Fevereiro de 1943: transporte de 6900 soldadosem uma frota escoltada a alta velocidade naval.


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Batalha do Mar de Coral Rota Norte: mau tempo

Rota Sul: bom tempo Reconhecimento em uma rota de cada vez

Rota Norte: dois dias de bombardeio se foremdescobertos no primeiro dia,1 caso contrrio

Rota Sul: 3 dias de bombardeio se forem

descobertos no primeiro dia, 2 caso contrrio O que fazer?

MODELO PARA O MAR DE


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CORAL

Rota Sul Rota Norte

Busca Sul 3 1

Busca Norte 2 2



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CORAL

Rota Sul Rota Norte

Busca Sul 3 1

Busca Norte 2 2

Jogo estritamente competitivo, estratgias dominantes


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DILEMA DOS PRISIONEIROSConfessa No confessa

Confessa (-3,-3) (-1,-5)

No confessa (-5, -1) (-2,-2)

Cooperao e competio, combate ao crime,Equilbrio de Nash, timo de Pareto, Deciso

pessimista


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DILEMA DOS PRISIONEIROSConfessa No confessa

Confessa (-6,-6) (-4,-10)

No confessa (-10, -4) (-2,-2)

Dificuldade no Equilbrio de Nash


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TEORIA DOS JOGOS Lgica situacional de Popper: objetividade

dos dados, sem subjetividade dos decisores Entender situaes Aprimorar raciocnio Cournot (1838), Zermelo e o jogo de

Xadrez, Borel e o conceito de estratgia,

von Neumann e Morgenstern 1994, Nash,1950


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JOGOS COM 3 JOGADORES Votao em 2 turnos

O truelo


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Votao em 2 turnos.Diretor 1 Diretor 2 Diretor 3

I Ap Am

Ap I I

Am Am Ap

Primeiro turno entre Investir e Ampliar

Ao estratgica do diretor 2


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O Truelo 3 atiradores

Atirador 1 100% Atirador 2 80%

Atirador 3 20%

TEORIA DA DECISO


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TEORIA DA DECISO

RACIONAL Preferncias do decisor

Relaes binrias: ordem, ordem lata Dadas A e B, A P B, B PA ou A I B

Se A P B e B P C ento A P C Se A I B e B I C ento A I C

Racionalidade forte e fraca Simplicidade, aprendizado, recompensas

IRRACIONALIDADE DE


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IRRACIONALIDADE DE

GRUPO Aumentar programas sociais G

Manter programas sociais M Diminuir programas sociais D

Conservador: D G M Moderado: M D G

Radical: G M D G P M, M P D, D P G


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SOLUO DE JOGOS Eliminao sucessiva de estratgias dominadas: a

racionalidade conhecimento comum Exemplo: Gato e Rato

Emprstimos bancrios: decises simultneas

Renova No renova

Renova 4,4 1,5

No renova 5,1 3,3


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LIMITAO DO MTODO

No exporta Exporta pouco Exporta muito

Investe 2,1 1,0 0,-1

No investe 1,0 2,1 -1,2

No h eliminao de estratgias


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EQUILIBRIO DE NASH Cada estratgia a melhor resposta

possvel s estratgias dos demaisjogadores e isso verdade para todos osjogadores

No exporta Exporta pouco Exporta muito

Investe L2,1 C 1,0 L0,-1

No investe 1,0 L2,1 -1,2 C

COMRCIO


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COMRCIO

INTERNACIONAL

Tarifa protecionista Tarifa simblica

Tarifa protecionista 800, 800 2300, -700

Tarifa simblica -700, 2300 1700, 1700

Compara Nash com Pareto

VRIOS EQUILIBRIOS DE


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VRIOS EQUILIBRIOS DE

NASH

Campanha agressiva

Campanha agressiva -20, -20 10, -10

Campanha normal -10, 10 0,0

Campanha normal


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GUERRA DOS SEXOS

Cinema Jogo

Cinema 2, 1 -1, -2

Jogo -2, -1 1, 2


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LOCALIZAO Sem custos de transporte: localizao

concentrada Com custos de transporte: Localizao nos

extremos


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Localizao de lojas 3 cidades, ABC d(A,B)=10, d(A,C)=20, d(B,C)=15

P(A)=45%, P(B)=35%, P(C)=20% Rede I (Grande), rede II (pequena)

I e II juntas ou equidistantes, I fica com65% I mais prxima fica com 90%

I mais distante fica com 40% I no fica em C Onde localizar?


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Localizao de lojas Jogo estritamente competitivo(soma=100%)

(I,A), (II,A) g(I)=65% (o mesmo para B) (I,A), (II,B)

g(I)=0,9x0,45+0,4x0,35+0,4x0,2=0,625 (I,A), (II,C)g(I)=0,9x0,45+0,9x0,35+0,4x0,2=0,8

...


64/161

Localizao de lojasII,A II,B II,C

I,A 65 62,5 80

I, B 67,5 65 80


65/161

Soluo As duas em B

Soluo contra intuitiva Jogo estvel, equilibrio de Nash

determinstico.


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Jogos de Soma Zero O que um ganha o outro perde

Guerra (ser mesmo), medalhas olmpicas,mercados de demanda fixa.

A soma pode ser constante, no nula. Jogos estveis (exemplo anterior). J tendo

jogado antes, os jogadores repetem asestratgias.

Jogos instveis. Um jogador muda aestratgia como resposta estratgia do

outro


67/161

Jogos de Soma Zero Conceito de maxmin e min max: na pior dashipteses ganhar o mximo ou perder o

mnimo (se perder sempre, para qu jogar?). Matriz do segundo jogador a simtrica da

transposta do primeiro jogador. Estabilidade: se os dois jogadores

concordam com a soluo:

minmax=maxmin=equilibrio de Nash,ponto de sela (rever as lojas).


68/161

Jogo instvelII,A II,B II,C

I,A 2 10 1

I, B 3 -1 -2

II,A II,B

I,A 2 10

I, B 3 -1I,A I,B

II,A - 2 -3

II, B -10 1


69/161

Jogo instvel No tem equilibrio de Nash se for jogado

uma s vez. Resolvido em termos de probabilidades O jogo tem que ser jogado vrias vezes

para se obter um equilibrio de Nash emestratgias mistas, isto , com alternnciaaleatria de estratgias, segundo uma

determinada distribuio de probabilidade

II,A II,BI,A 2 10I, B 3 -1


70/161

Jogo instvel Se o jogador II escolhe a sua estratgia A,

o ganho esperado do jogador I : E1=2p1+3p2 onde pi a probabilidade do

jogador I escolher a estratgia i (ele

controla essa probabilidade, no asescolhas do jogador II). Se II escolhe a sua B, temos E2=10p1-p2

A soma das probabilidades unitria

I, B 3 1

II,A II,BI,A 2 10I, B 3 -1


71/161

Jogo instvel O jogador I quer maximizar o seu ganho. Mas,

qual deles? Deve minimizar o pior caso, que no sabe qual . Pior caso: min [(2p1+3p2), (10p1-p2)]

Max E=min [(2p1+3p2), (10p1-p2)]s.ap1+p2=1

p1,p2 0Isto um PPNL (problema de programao no

linear), no separvel, no diferencivel

,

II,A II,BI,A 2 10I, B 3 -1


72/161

Linearizao Max (2p1+3p2) se este for o menor (podendo ser

igual). Ou, Max (10p1-p2) se o menor for este (podendoser igual)

s.ap1+p2=1p1,p2 0

So, aparentemente, dois Problemas deProgramao Linear (PPL). Mas, E sempre serigual a uma das expresses.

II,A II,BI,A 2 10I, B 3 -1


73/161

Linearizao Max E onde E=(2p1+3p2) e E< (10p1-p2).

Ou, Max E onde E=(10p1-p2) e E< (2p1+3p2)s.a

p1+p2=1

p1,p2 0

As restries de menor podem ser agrupadas

com as de igual, dando duas restries de menorou igual.

II,A II,BI,A 2 10I, B 3 -1


74/161

Linearizao Max E

s.aE 2p1+3p2

E 10p1-p2

p1+p2=1

p1,p2 0

PPL com 3 variveis. Pode ser usado o mtodogrfico?

II,A II,BI,A 2 10I, B 3 -1


75/161

Linearizao p2=1-p1 e p1 est entre 0 e 1.

Max Es.a

E 2p1+3(1-p1)

E 10p1-(1-p1)

p1 1

p1 0

II,A II,BI,A 2 10I, B 3 -1


76/161

Linearizao p2=1-p1 e p1 est entre 0 e 1.

Max Es.a

E -p1+3E 11p1-1

p1 1

p1 0

II,A II,BI,A 2 10I, B 3 -1


77/161

Grfico

Ponto comum s retas:-p1+3=11p1-1, donde p1=1/3 ep2=2/3. E=-1/3 + 3 = 8/3

p1=1/3p1=1/3p1=1/3p1=1/3

II,A II,BI,A 2 10I, B 3 -1


78/161

E para o segundo jogador?

p1=1/3p1=1/3p1=1/3p1=1/3

Usar dualidade


79/161

JOGOS REPETIDOS-Jogo possui uma histria prvia de

conhecimento comum.-Negcios, poltica, biologia.

-Formao de carteis: o cartel no estvel.Exemplo: OPEP e a tica entre ladres.

-Ganha-se com coordenao, mas mais ainda

se apenas um trapacear.


80/161

COALIZO Coordenao de quantidades ou preos. O

caso extremo o cartel em que se chega aopreo do monoplio. Pode haver conluios explcitos e tcitos.

Os explcitos so, normalmente proibidospor lei.

Conluios tcitos: empresas dominantes,pontos focais.


81/161

REPETIO E se o jogo for realizado outra vez?

Os jogadores sabem que na segunda vezno haver cooperao.

Logo, no h incentivo para cooperao naprimeira.

Pode-se generalizar para qualquer nmero

de repeties finitas.


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JOGOS REPETIDOS Loja dominante com nmero finito de unidades.

Se no valer a pena impedir a concorrncia umavez, no valer nunca. Ou seja, no vale a penater fama de durona.

Cartis existem, obstculos concorrnciaexistem. O que falha?

Hipteses simplificadoras: custos no

conhecidos, modelagem finita no apropriada.


83/161

EQUILIBRIOS ADICIONAIS Todo o equilbrio de Nash em jogo

simples, tambm em jogo repetido. Jogos com mais de um equilbrio de Nash

podem gerar repeties em que o equilbriono nenhum dos originais.

Situao de ameaas


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AMEAAS Urgente Normal RpidaEspecial 4,3 0,0 2,5*

Comum 0,1 2,2* 0,1

Primeiro ano: Especial, urgente

Segundo ano: mantm se o compromisso foi honrado,muda para comum normal caso contrrio

Qual o novo equilbrio?


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INDUO COOPERAO Coero externa: punies adequadas,

custo da estrutura. Cooperao espontnea: estratgia severa e

de Talio.

Probabilidade do jogo acabar.

Fatores de desconto e somas infinitas.


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DECISES SEQUENCIAIS

rvores de deciso e jogossequenciais


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DECISES SEQUENCIAIS Aps uma tomada de deciso espera-se um

acontecimento para toma a prximadeciso

O acontecimento pode ser aleatrio (rvorede deciso) ou a deciso de outro (jogosequencial)

Forma matricial e estendida.


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EXEMPLO Duas empresas, dominante e desafiante.

Desafiante: entra ou no Dominante: acomoda ou luta

No entra, (0,10) Entra, luta (-1,9)

Entra acomoda (3,7)

Sub jogos e soluo reversa


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Ameaas e promessas: regulao


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Credibilidade


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Jogos sequencias contra o acaso Segundo jogador no racional

Podem ser estimadas probabilidades Valor esperado ou pessimista

Indicar se deciso ou acaso

Exemplo


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Recursos provveis num terreno Companhia oferece 60 pelos direitos Opo para investimentos futuros se os atuais forem

promissores: valor 600 Explorao prpria : 100 de custo inicial, 2000 de lucro

se houver explorao positiva Supor probabilidade de haver o recurso de 60% E se houver uma opo de terceirizar aps a descoberta

do recurso?

E se a empresa tiver outros terrenos para pesquisar?


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Mtodos ordinais multidecisor

Mtodos Ordinais


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Problema: existem n ordenaes

(correspondendo a n critrio ou ndecisores). Como fazer uma ordenaojusta?

O que uma ordenao justa?

Escolha justa-Axiomas de Arrow


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Independente em relao s alternativas

irrelevantes Ordem total (sem intransitividades e sem

incomparabilidades)

Unanimidade de Pareto

Universalidade

S MTODOS DITATORIAIS

Mtodos de ditador


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Ditador puro

Ditadores sucessivos (ou lexicogrfico) De novo as medalhas

Bb x Azar

Mtodo de Borda


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Chevalier de Borda

Revoluo francesa Soma de postos

No respeita a independncia em relaos alternativas irrelevantes

Exemplo piorado: Frmula 1

Exemplo para fazer por Borda


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D1 D2 D3

a b b

d a ae e c

c c d

b d e

a 5

b 7

c 11d 11

e 11

Borda: retira-se c, d


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D1 D2 D3

a b b

e a a

b e e

a 5

b 5

e 8

Borda: retira-se c, d, e


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D1 D2 D3

a b b

b a a

a 5

b 4

Dependo do conjunto de anlise pode-se ter aPb, bPa

ou aIb.

Mtodo de Condorcet


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Resolver o paradoxo de Borda

Considera apenas as alternativas duas aduas.

Constri uma matriz binria

Maria Jean de Caritat, Marquis deCondorcet

Para o exemplo de Borda:

comparaes pareadas


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comparaes pareadasa 1 x b 2

a 3 x c 0

a 3 x d 0

a 3 x e 0

b 2 x c 1

b 2 x d 1

b 2 x e 1

c 2 x d 1

c 1 x e 2

d 2 x e 1

Para o exemplo de Borda: matriz

de Condorcet


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de Condorceta b c d e

a 0 1 1 1

b 1 1 1 1

c 0 0 1 0

d 0 0 0 1e 0 0 1 0

B ganha de todos. colocado em primeiro eretirado da matriz. Destilao descendente.


de Condorcet


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de Condorcet

A ganha de todos. colocado em segundo eretirado da matriz. Destilao descendente.

a c d e

a 1 1 1

c 0 1 0

d 0 0 1

e 0 1 0


de Condorcet


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de Condorcet

c ganha de d que ganha de e que ganha de c. Ciclode intransitividade. No fornece ordenao.Paradoxo de Condorcet.

c d e

c 1 0

d 0 1

e 1 0

Mtodo de Copeland:


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a b c d e

a 0 1 1 1

b 1 1 1 1

c 0 0 1 0

d 0 0 0 1e 0 0 1 0

a=3

b=4

c=1

d=1e=1

Tirou a intransitividade. Empate bem diferente de

intransitividade.

Copeland=Condorcet quando no intrnasitividade..Quando h. melhor que Borda para resolver.

Tratamento de empates nas

ordenaes: Borda


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ordenaes: Borda: D1 D2

a,b a,b,c

c d

d

a 1,5+2

b 1,5+2

c 3+2

d 4+4


ordenaes: Condorcet


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ordenaes: Condorcet: Substituir ganhar por no perder

a b c d

a 1 1 1 1

b 1 1 1 1

c 0 0 1 1

d 0 0 0 1

a,b empatado em primeiro, c em terceiro, d em quarto.


ordenaes: Copeland


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ordenaes: Copeland

:

Fazer linhas menos colunasa b c d

a 1 1 1 1

b 1 1 1 1

c 0 0 1 1

d 0 0 0 1

a,b empatado em primeiro, c em terceiro, d em quarto.

a=2, b=2, c=-1, d=-3

Borda no SIAD: Invertido


110/161


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DECISES COM RISCO

Risco e utilidade

Deciso com risco


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conhecida uma distribuio de

probabilidade Valor mdio, com seus problemas; moda

Deciso eficiente: conceito de risco

Escolha entre decises eficientes

Propenso e averso ao risco.

Loterias


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Um evento estocstico com apenas dois

resultados. P(A)=1-P(B)

Utilidade


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Verdadeiro valor do ganho

Definida probabilisticamente. Se definidadeterministicamente chama-se funo devalor

Exemplo: loteria do milho, rea para umafbrica, nota numa matria, tamanho de

onda, salrio, raspadinha...

Utilidade


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Averso ao risco: utilidade marginal

diminui Propenso ao risco: utilidade marginalaumenta

Utilidade assinttica Teorias psicolgicas da utilidade

Utilidade


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Utilidade de von Neumann: Indiferenaentre obter um ganho e, com 100% de

probabilidade e participar de uma loteriaem que o maior valor tem probabilidade pe o menor 1-p. Determinar esse p.

U(e) =pU(max) + (1-p)U(min) Se normalizado, U(e) = U(max)

Crticas conduzem a funes de valor

Funes usadas para modelar a

utilidade


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utilidade Raiz

Ln[(a+bx)/c] Arctg

tgh


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PROCESSOS DE MARKOV

Definies bsicas

E d d i i


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Estado de um sistema: situao em que seencontra em determinado tempo

Vetor de estado: indica a probabilidade de cadaestado, em um determinado instante ou etapa doprocesso

Processo de Markov: a probabilidade de numaetapa o sistema se encontrar em um determinadoestado, depende apenas do estado anterior (sem

memria) Cadeia de Markov: processo de Markov discreto

Definies bsicas

P b bilid d d t i b bilid d d


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Probabilidade de transio: a probabilidade de osistema chegar ao estado j na etapa n+1, dado que

na etapa n estava no estado i. Matriz de transio: matriz composta das

probabilidades de transio

Propriedades: produto de matrizes de transio uma matriz de transio, produto de uma matrizde transio por um vetor de estado um vetor de

estado Transies sucessivas

Exemplos

Vi j d i f


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Viajar de vrias formas

Processos peridicos Estados absorventes

Matriz regular

P l t i d t i t h


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Pelo menos uma potncia da matriz no tem nenhumvalor nulo

Comportamento esttico: vP=v Significa tem um autovalor unitrio

O autovetor associado o vetor de estado no infinito, ou

vetor fixo. Vetor fixo independe do estado inicial:

n

lim

(n) =n

lim

(0). P n =

Cada linha da matriz converge para o vetor v

Exemplo: manuteno de uma

mquinaE i b


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q Esperar que a mquina quebre

Trocar no comeo do quarto ms Trocar no comeo do terceiro ms

Trocar no comeo do segundo ms1 a mquina inicia o primeiro ms de operao e a substituiofoi planejada.Q a mquina inicia o primeiro ms de operao

e a substituio se deveu a quebra da anterior.2 a mquina inicia o segundo ms de operao.3 a mquina inicia o terceiro ms de operao.4 a mquina inicia o quarto ms de operao.

Exemplo: manuteno de uma

mquinaC t d t d 500


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q Custo de troca programada 500

Custo de troca por quebra 1500 Probabilidade de quebrar no ms 1: 0,1

Probabilidade de quebrar at o ms 2: 0,2

Probabilidade de quebrar at o ms 3: 0,5

Probabilidade de quebrar at o ms 4: 1

DETERMINE A POLTICA TIMA


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TEORIA DAS FILAS

Fogliatti, MC, Mattos, N.M.C.,Teoria das Filas, 2007, Intercincia

Teoria das Filas

Surge no incio do sculo XX para centrais


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Surge no incio do sculo XX para centrais

de telefone. Existncia de filas: clientes que precisamde um servio.

Fonte (populao), fila, servio, sistema

Fonte

Universo onde se encontram a populao que


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Universo onde se encontram a populao quedar origem aos clientes

Populao: finita, infinita. Influncia naprobabilidade de novas chegadas.

Chegadas simples e em grupo

Chegadas controlveis e incontrolveis Taxa de chegada (cliente por unidade de tempo).

Pode ser constante ou aleatrio. Mede-se o tempo

entre duas chegadas. Clientes podem ser pacientes ou impacientes

Fila

Simples e mltiplas


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Simples e mltiplas

Finita ou infinita Disciplina: FIFO (PEPS), FILO (PEUS),

aleatria, prioridades.

Servio

Simples ou em grupo


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Simples ou em grupo

Tempo de servio Taxa de servio (numero de clientes por

unidade de tempo)

Parmetros e critrios

Congestionamento: tempo do cliente


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Congestionamento: tempo do cliente

pouco valorizado Ociosidade: tempo do cliente muitovalorizado


Comprimento mdio da fila L


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Comprimento mdio da fila Lq

Nmero mdio de clientes no sistema L Tempo mdio de espera na fila Wq Tempo mdio de espera no sistema W

Taxa de ocupao

Probabilidade de haver n atendentes

desocupados...


Pn Probabilidade de haver n elementos no


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sistema

P (n k) Probabilidade de haver k ou maiselementos no sistema

P (W>t)

taxa de chegada. O seu inverso o intervalomdio de chegada.

taxa de servio e seu inverso o tempo mdio

de servio Taxa de ocupao

Distribuies usuais

Exponencial negativa f(t) =a.exp (-at)


133/161

p g ( ) p ( )

Poisson f(x)= (at)x.exp (-at)/x!

Clculo de valor esperado, varincia, CV

Propriedade inversa

Falta de memria:P(T>a+b/T>b)=P(T>a+b)/P(T>b)=P(T>a)

Distribuio de chegadas em relao mdia

Relao fundamental

L=W


134/161

L W

Lq=Wq W=wq+1/

L=Lq+ /

Classificao das filas

X/Y/Z/W


135/161

W

Entrada, sada, nmero de servidores,outras propriedades (finita, paciente...)

M/M/1

Nascimento e morte M/M/1

Estado zero para 1 com chegada


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Estado 1 para zero com sada, para 2 com

chegada P1=P0 P1 = P0 / Generalizando: Pn = nP0 /n ou Pn = nP0 Somatrio dos P deve ser unitrio Utilizando convergncia chega-se taxa de

desocupao e seu valor

Nascimento e morte M/M/1

O comprimento do sistema igual ao valor


137/161

p g

mdio do estado do sistema, somatrio den por Pn.

L= /( -) Para a fila, Lq=L-(1-Po)

Formulrio M/M/1


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Exemplo

Caminhes a serem descarregados


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g

Chegada de 16 por dia

105

124

153

202

501

Tempo (minutos)Funcionrio

Exemplo

Caminho parado: 3000/h


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Funcionrio 1500/h Dia de trabalho com 8h

Quantos empregados contratar?

Formulrio M/M/S


141/161

Exemplo

Verificar o que melhor para a fila:


142/161

duplicar a velocidade de atendimento ouduplicar o nmero de servidores.

Comprimento Limitado e um

servidor M/M/1/K n= para n de 0 a k-1


143/161

n=0 caso contrrio mdio= (1-Pk)

preciso distinguir entre taxa de ocupaoe taxa de presso. A taxa de presso destecaso equivale de ocupao no caso

M/M/1

Formulrio para M/M/1/K


144/161

Exemplo

Porto com um guindaste mvel de descarga edois beros


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dois beros.

Porto ocupado implica em desviar navios. Custode 20000 por navio desviado e de 12000 por diapor navio parado.

Chegadas markovianas de 3 navios por dia eatendimento de 5 navios por dia. Expanso para 3 beos custa 1000 por dia. Vale a

pena?

Formulrio para populao finita

(M/M/1/N)


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M/G/1


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Exemplo

Chegada markoviana de 15 clientes porhora


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hora

Tempo de atendimento mdio de 3 minutos a)Com distribuio constante (varincia

nula) b)Com distribuio uniforme entre 1 e 5minutos

c)Com distribuio exponencial


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GESTO DE ESTOQUES

Papel dos estoques

Haver abastecimento quando a procura superior oferta

Manter o abastecimento quando no h produo


150/161

Manter o abastecimento quando no h produo

Modelos de gesto de estoques

Determinsticos ou Estocsticos Quanto comprar


151/161

Quanto comprar

Quando comprar Minimizao de custos (incluindo perda de

oportunidade)

Acumulao de estoques custos de posse Baixo estoque mau servio Modelos diferentes para vrios itens

classificao ABC

Custos dos estoques

Aquisio: pagamento ao fornecedor. C1.Q


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Encomenda: custos administrativos,geralmente fixos e sub-avaliados. A

Custo de posse: seguros, aluguel de

espao, capital imobilizado, obsolescncia Custos de quebra

Modelos determinsticos

Reposio: instantnea, gradual


153/161

Procura: constante, varivel Quebra: permitida, no permitida

Preo: constante, com descontos


Reposio instantnea, procura constante,quebra no permitida, sem descontos


154/161

quebra no permitida, sem descontos

Q: Quantidade encomendada T: intervalo entre encomendas

r: procura por unidade de tempo(determinada por modelos de previso,aqui suposta conhecida)

Q=Tr


Custo de encomenda: A C : manter uma unidade de artigo numa


155/161

C2

: manter uma unidade de artigo numaunidade de tempo. Custo de todas asunidade, variveis no tempo, a integral aolongo do perodo T= C

2

(Q/2)T CT=A+C2(Q/2)T Ciclos de tamanho diferente no so

comparveis.


Custo por unidade de tempo


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K=CT/T=A/T + C2Q/2=Ar/Q + C2Q/2 Custo mnimo: deriva e iguala a zero

Q*=(2Ar/C2)1/2

E os custos de aquisio C1Q?

A derivada nula, no interferem nos

valores timos das variveis de deciso

Anlise de sensibilidade


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Modelo robusto, curva quase plana no mnimo.; Melhorcomprar mais que menos. E o JIT,como fica?

Outros casos

Reposio no instantnea: fazer o grfico ecalcular nova integral


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Demanda varivel: fazer o grfico e calcular novaintegral

Quebra permitida: incluir o custo de quebra.

Nova varivel quanto de quebra se permite.Problema com derivadas parciais Custo de encomenda varivel: incluir esse custo

no custo total e resolver novo problema deotimizao

Exemplo

Consumo: 10000/ano

Custo unitrio: 3100 at 2000 unidades, 3000


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Custo unitrio: 3100 at 2000 unidades, 3000

entre 2000 e 5000 unidades, 2900 para mais de5000 unidades

Custo fixo 5000

Custo de posse 600/unidade/ano (na verdade tempequenas variaes pelos descontos)

Calcular o lote timo

Modelos Estocsticos

Encomenda fixa no ponto de encomenda,intervalos variveis


160/161

intervalos variveis

Intervalos de tempo fixos, quantidadevarivel

Ambas trabalham com estoques desegurana

Simulao


161/161

FIM

novopoii.pdf

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