novo enem i - 2012

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NOVO ENEM (I) Conhecimentos numéricos :operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros,racionais e reais), desigualdades, divisibilidade, fatoração, razões e proporções,porcentagem e juros, relações de dependência entre grandezas, sequências e progressões,princípios de contagem. CONJUNTOS NUMÉRICOS 1. Noção de conjunto............................................................................................................. 1 2. Conjunto dos números naturais ......................................................................................... 1 3. Conjunto dos números inteiros .......................................................................................... 2 4. Conjunto dos números racionais........................................................................................ 3 5. Conjunto dos números irracionais...................................................................................... 4 6. Conjunto dos números complexos ..................................................................................... 6 Para trabalharmos com números, devemos primeiramente ter um conhecimento básico de quais são os conjuntos ("tipos") de números existentes atualmente. Este trabalho tem como objetivo mostrar ao leitor todas estas divisões e apresentar o conjunto dos números COMPLEXOS. 1. NOÇÃO DE CONJUNTO O que é um conjunto? A concepção de conjuntos nem precisa ser dita, o próprio nome já diz tudo. Ex. Pega um grupo de cadeiras e junta sobre um círculo feito no chão. Pronto, temos um conjunto de cadeiras. Mas como o nosso negócio é matemática, o que nos interessa é números. Conjuntos numéricos podem ser representados de diversas formas. A forma mais simples é dar um nome ao conjunto e expor todos os seus elementos, um ao lado do outro, entre os sinais de chaves. Veja o exemplo abaixo: A = {51, 27, -3} Esse conjunto se chama "A" e possui três termos, que estão listados entre chaves. Os nomes dos conjuntos são sempre letras maiúsculas. Quando criamos um conjunto, podemos utilizar qualquer letra. 2. CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS Vamos começar nos primórdios da matemática. - Se eu pedisse para você contar até 10, o que você me diria? - Um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove e dez. Pois é, estes números que saem naturalmente de sua boca quando solicitado, são chamados de números NATURAIS, o qual é representado pela letra . Foi o primeiro conjunto inventado pelos homens, e tinha como intenção mostrar quantidades. *Obs.: Originalmente, o zero não estava incluído neste conjunto, mas pela necessidade de representar uma quantia nula, definiu-se este número como sendo pertencente ao conjunto dos Naturais. Portanto: = {0,1,2,3,4,5,6,7,...}

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NOVO ENEM (I) •Conhecimentos numéricos:operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros,racionais e reais), desigualdades, divisibilidade, fatoração, razões e proporções,porcentagem e juros, relações de dependência entre grandezas, sequências e progressões,princípios de contagem. CONJUNTOS NUMÉRICOS 1. Noção de conjunto ............................................................................................................. 1

2. Conjunto dos números naturais ......................................................................................... 1

3. Conjunto dos números inteiros .......................................................................................... 2

4. Conjunto dos números racionais........................................................................................ 3

5. Conjunto dos números irracionais ...................................................................................... 4

6. Conjunto dos números complexos ..................................................................................... 6

Para trabalharmos com números, devemos primeiramente ter um conhecimento básico de quais são os conjuntos ("tipos") de números existentes atualmente. Este trabalho tem como objetivo mostrar ao leitor todas estas divisões e apresentar o conjunto dos números COMPLEXOS. 1. NOÇÃO DE CONJUNTO O que é um conjunto? A concepção de conjuntos nem precisa ser dita, o próprio nome já diz tudo. Ex. Pega um grupo de cadeiras e junta sobre um círculo feito no chão. Pronto, temos um conjunto de cadeiras. Mas como o nosso negócio é matemática, o que nos interessa é números. Conjuntos numéricos podem ser representados de diversas formas. A forma mais simples é dar um nome ao conjunto e expor todos os seus elementos, um ao lado do outro, entre os sinais de chaves. Veja o exemplo abaixo:

A = {51, 27, -3} Esse conjunto se chama "A" e possui três termos, que estão listados entre chaves. Os nomes dos conjuntos são sempre letras maiúsculas. Quando criamos um conjunto, podemos utilizar qualquer letra. 2. CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS

Vamos começar nos primórdios da matemática.

- Se eu pedisse para você contar até 10, o que você me diria?

- Um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove e dez.

Pois é, estes números que saem naturalmente de sua boca quando solicitado, são chamados de números NATURAIS, o qual é representado pela letra .

Foi o primeiro conjunto inventado pelos homens, e tinha como intenção mostrar quantidades.

*Obs.: Originalmente, o zero não estava incluído neste conjunto, mas pela necessidade de representar uma quantia nula, definiu-se este número como sendo pertencente ao conjunto dos Naturais. Portanto:

= {0,1,2,3,4,5,6,7,...}

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Obs.2: Como o zero originou-se depois dos outros números e possui algumas propriedades próprias, algumas vezes teremos a necessidade de representar o conjunto dos números naturais sem incluir o zero. Para isso foi definido que o símbolo * (asterisco) empregado ao lado do símbolo do conjunto, iria representar a ausência do zero. Veja o exemplo abaixo:

* = {1,2,3,4,5,6,...} 3. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS Estes números foram suficientes para a sociedade durante algum tempo. Com o passar dos anos, e o aumento das "trocas" de mercadorias entre os homens, foi necessário criar uma representação numérica para as dívidas. Com isso inventou-se os chamados "números negativos", e junto com estes números, um novo conjunto: o conjunto dos números inteiros, representado pela letra . O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números NATURAIS mais todos os seus representantes negativos. Note que este conjunto não possui início nem fim (ao contrário dos naturais, que possui um início e não possui fim). Assim como no conjunto dos naturais, podemos representar todos os inteiros sem o ZERO com a mesma notação usada para os NATURAIS.

* = {...,-2,-1,1,2,...} Em algumas situações, teremos a necessidade de representar o conjunto dos números inteiros que NÃO SÃO NEGATIVOS. Para isso emprega-se o sinal "+" ao lado do símbolo do conjunto (vale a pena lembrar que esta simbologia representa os números NÃO NEGATIVOS, e não os números POSITIVOS, como muita gente diz). Veja o exemplo abaixo:

+ = {0,1,2,3,4,5,...} Obs.1: Note que agora sim este conjunto possui um início. E você pode estar pensando "mas o zero não é positivo". O zero não é positivo nem negativo, zero é NULO. Ele está contido neste conjunto, pois a simbologia do sinalzinho positivo representa todos os números NÃO NEGATIVOS, e o zero se enquadra nisto. Se quisermos representar somente os positivos (ou seja, os não negativos sem o zero), escrevemos:

* = {1,2,3,4,5,...}

Pois assim teremos apenas os positivos, já que o zero não é positivo. Ou também podemos representar somente os inteiros NÃO POSITIVOS com:

- = {...,-4,-3,-2,-1,0} Obs.: Este conjunto possui final, mas não possui início. E também os inteiros negativos (ou seja, os não positivos sem o zero):

* = {...,-4,-3,-2,-1}

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Uma propriedade interessante dos números inteiros, que já foi mencionada neste texto (e que podemos representar em um gráfico) é a de ter em seu interior todos os números naturais. Veja o gráfico abaixo:

4. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Olhando ainda pela linha do tempo, em um determinado momento começou a ficar crucial a necessidade de se representar "partes" de alguma coisa. Ex.: fatia de um bolo, pedaço de um terreno,... e por essa necessidade foi inventado as frações. Para incluir os número ditos fracionários junto com os já existentes, criou-se o conjunto dos números RACIONAIS (), que indica uma razão (divisão) entre dois números inteiros. Alguns exemplos de números racionais são mostrados abaixo:

Ou seja, números racionais são todos aqueles que podem ser representados por uma fração de números inteiros. - Ué, o que que o 6 e o 2,3 estão fazendo ali em cima, se eles não têm o sinal de fração?

- Ora, o 6 pode ser representado pela fração 2

12 ou até mesmo

1

6, e o 2,3 pode ser

10

23, portanto, se um

número tem a possibilidade de ser escrito em fração de números inteiros, é considerado racional. - Então me parece que todos os números com vírgula serão racionais?? - Não. Somente os que possuírem finitos algarismos após a vírgula, e as chamadas dízimas periódicas, que possuem infinitos algarismos após a vírgula mas são números racionais. Veja os exemplos abaixo.

3,14159265... Este não é um número Racional, pois possui infinitos algarismos após a vírgula (representados pelas reticências)

2,252 Este é um número Racional, pois possui finitos algarismos após a vírgula.

2,252525... Este número possui infinitos números após a vírgula, mas é racional, é chamado de dízima periódica. Reconhecemos um número destes quando, após a vírgula, ele sempre repetir um número (no caso 25).

Com isso podemos concluir que o conjunto dos números RACIONAIS é formado por todos os números Inteiros (como vimos no exemplo anterior, um inteiro pode ser representado como uma fração, por

exemplo 10 pode ser 1

10) e mais alguns.

Portanto, o conjunto dos inteiros está "dentro" do conjunto dos Racionais. Representamos assim:

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Note que até agora o conjunto dos números racionais é o maior de todos. E assim durou por muito tempo! Obs.1: As notações para os "não positivos" e os "não negativos", utilizados para os inteiros, também podem ser usadas para os racionais. Obs.2: O zero É um número racional, pois podemos representá-lo pela fração:

2

0

Q* = {Todos os racionais sem o zero} Q+ = {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS}

Q* = {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS sem o zero, ou seja, os positivos}

Q- = {Todos os racionais NÃO POSITIVOS}

Q* = {Todos os racionais NÃO POSITIVOS sem o zero, ou seja, os negativos}

5. CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS Se formos um pouco mais além na história, vamos chegar ao famoso teorema de Pitágoras.

- Ué, não estamos estudando conjuntos?

- Sim, calma lá, é só para explicar.

Pense comigo: Se temos um triângulo com catetos medindo 1 unidade de comprimento.

Pelo teorema de Pitágoras, calculamos que o terceiro lado (a hipotenusa), vale 2 .

- E quanto é 2 ?

- Pois isto não podemos dizer exatamente. O que se sabe é que não dá para representar como uma

fração de números inteiros, pois tem infinitas casas depois da vírgula (e não é uma dízima periódica). Então não podemos chamá-lo de número racional. Por este motivo houve a necessidade de criar-se mais um conjunto. Que, por oposição aos números racionais, chama-se "CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS". Formado por todos os números que, ao contrário dos racionais, NÃO podem ser representados por uma fração de números inteiros. Este conjunto é representado por . As raízes quadradas não exatas são os principais representantes deste conjunto.

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Por exemplo:

111;21;23 => Todos estes valores não podem ser representados por uma fração de números

inteiros, portanto, são chamados de números irracionais.

)32( => Este número também não tem uma representação em forma de fração, por isso

também é um número irracional. Ou seja, se somarmos um racional com um irracional teremos como resultado um irracional.

536

1 => Este também é irracional, pelo mesmo motivo do número acima.

- Ah, entendi! Então o conjunto dos irracionais é formado só pelas raízes quadradas não exatas?

- Não, todas raízes não exatas fazem parte do conjunto dos números irracionais. Mas não são só

elas, também estão neste conjunto o número pi (π=3,141592...), o número de Euler (e = 2,71828...), e alguns outros. Para o Vestibular esses são os irracionais mais importantes! Portanto, se um número for racional, não pode ser irracional, e vice-versa. Por isso que, ao representarmos nos balões, devemos separá-los. Veja a figura abaixo:

Estes números foram utilizados por séculos e até hoje são considerados os mais importantes. Por este motivo, foi dado um nome para o conjunto formado por todos estes conjuntos. O nome escolhido foi "CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS" Ou seja, o conjunto dos números Reais é formado por todos os números Racionais junto com os números Irracionais, portanto:

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Note que na parte pintada, não há nenhum número. Pois, se um número é Real, ou ele será Racional ou ele será Irracional, e se encontrará no seu respectivo conjunto. Não existindo nenhum número que seja REAL e não seja ou RACIONAL ou IRRACIONAL. 6. CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS Durante muito tempo foi só isso que precisamos, conseguíamos fazer todos os cálculos necessários com apenas estes números. Mas o tempo foi passando e novas necessidades foram surgindo, veja a história a seguir.

Com um grande salto no tempo, chegamos na casa de nosso querido amigo Caju!

Estava ele brincando com números em sua casa, quando houve o seguinte diálogo...

Caju - Mãe, mãe. Olha só que legal, eu sei que 25 é 5, porque 5 ao quadrado é 25.

Mãe - Oh! Meu filhão, muito bem!

Caju - Também sei que 81 é 9, pois 9 ao quadrado é 81.

Mãe - Ah, filhinho, que bonitinho! Mas me diz uma coisa, quanto é 25 ?

Caju - Ora mãe, isso é fácil, 25 é –5 !

Mãe - Então me prova.

Caju - Olha mãe, (–5) ao quadrado dá... dá...... ops, dá +25...

Pois é galera, qualquer número negativo elevado ao quadrado resulta um valor positivo, então como fazer para calcular a raiz quadrada de um número negativo? A partir daí firmou-se um mistério na Matemática: quanto vale esta droga de raiz?

O tempo passou, e para solucionar o caso, convencionou-se que 1 = i, onde i é chamado de unidade

imaginária. Então este mistério foi solucionado

Ex.:

Obs.: Aqui foram usadas as propriedades de radiciação. E com isso formou-se o conjunto dos números IMAGINÁRIOS, representado pela letra i, que é composto por todas as raízes de números negativas. Novamente temos uma divisão, ou o número é Real ou não é Real. Por isso devemos colocar o balão dos imaginários separado dos números Reais. Veja o desenho:

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Agora, neste caso temos uma dúvida. Se somarmos um número Real com um número imaginário, como por exemplo:

2+3i

Em que balão ele vai se encontrar?

Não pode ser real, e também não pode ser imaginário. Para solucionar este caso, convencionou-se que o conjunto dos Reais junto com o conjunto dos Imaginários, é chamado de Conjunto dos números COMPLEXOS, que é representado por C. Note que o conjunto dos números complexos é o conjunto de TODOS os números que conhecemos até hoje! Preste bem atenção, eu disse TODOS os números conhecidos até hoje! Veja o gráfico abaixo:

E com estes números a sociedade vive "muito bem, obrigado" até hoje. Quem sabe, com a evolução da matemática, novas necessidades poderão surgir e novos números aparecerão. Esperaremos ansiosos! CONJUNTOS 1. Noções de conjunto ........................................................................................................... 8

1.1. Relação de pertinência ............................................................................................... 8

1.2. Subconjunto ................................................................................................................ 8

2. Conjuntos numéricos fundamentais ................................................................................... 9

3. Intervalos numéricos........................................................................................................ 10

4. Operações com conjuntos ............................................................................................... 10

4.1. União ( ) ................................................................................................................ 10

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4.2. Interseção ( ) ......................................................................................................... 11

4.3. Diferença .................................................................................................................. 11

5. Partição de um conjunto .................................................................................................. 12

6. Número de elementos da união de dois conjuntos .......................................................... 12

1. NOÇÕES DE CONJUNTO A teoria avançada dos conjuntos foi desenvolvida por volta do ano 1872 pelo matemático alemão Georg Cantor (1845 / 1918) e aperfeiçoada no início do século XX por outros matemáticos, entre eles, Ernst Zermelo (alemão - 1871/1956), Adolf Fraenkel (alemão - 1891/ 1965), Kurt Gödel (austríaco - 1906 /1978), Janos von Newman (húngaro - 1903 /1957), entre outros.

O que se estuda deste assunto ao nível do segundo grau e exigido em alguns vestibulares, é tão somente uma introdução elementar à teoria dos conjuntos, base para o desenvolvimento de temas futuros, a exemplo de relações, funções, análise combinatória, probabilidades, etc

Conjunto: conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição. Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }.

Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever:

P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... }.

1.1. Relação de pertinência

Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x A , onde o símbolo significa "pertence a". Sendo y

um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notação y A.

O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado por f. Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U. Assim é que, pode-se escrever como exemplos:

= { x; x x} e U = {x; x = x}. 1.2. Subconjunto

Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que A é

subconjunto de B e indicamos isto por A B. Notas:

a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A A )

b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. ( A) c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos. d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das

partes de A e é indicado por P(A). Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = {f , {c}, {d}, {c,d}}

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e) um subconjunto de A é também denominado parte de A.

2. CONJUNTOS NUMÉRICOS FUNDAMENTAIS Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber: a) Conjunto dos números naturais

N = {0,1,2,3,4,5,6,... } b) Conjunto dos números inteiros

Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }

Obs: é evidente que N Z. c) Conjunto dos números racionais

Q = {x; x = p/q com p Z , q Z e q 0 }.

Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero. Lembre-se que não existe divisão por zero!.

São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1,

etc. Notas:

a) é evidente que N Z Q. b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima

periódica na forma de uma fração. Exemplo: 0,4444... = 4/9

d) Conjunto dos números irracionais

I = {x; x é uma dízima não periódica}. Exemplos de números irracionais:

= 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro)

2,01001000100001... (dízima não periódica)

3 = 1,732050807... (raiz não exata).

e) Conjunto dos números reais

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R = { x; x é racional ou x é irracional}.

Notas:

a) é óbvio que N Z Q R

b) I R

c) I Q = R d) um número real é racional ou irracional, não existe outra hipótese!

3. INTERVALOS NUMÉRICOS Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites do intervalo, sendo a diferença p - q , chamada amplitude do intervalo.

Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto.

A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos.

TIPOS REPRESENTAÇÃO OBSERVAÇÃO

intervalo fechado [p;q] = {x R; p x q} inclui os limites p e q

intervalo aberto (p;q) = { x R; p < x < q} exclui os limites p e q

intervalo fechado a esquerda [p;q) = { x R; p x < q} inclui p e exclui q

intervalo fechado à direita (p;q] = {x R; p < x q} exclui p e inclui q

intervalo semi-fechado [p; ) = {x R; x p} valores maiores ou iguais a p.

intervalo semi-fechado (- ; q] = { x R; x q} valores menores ou iguais a q.

intervalo semi-aberto (- ; q) = { x R; x < q} valores menores do que q.

intervalo semi-aberto (p; ) = { x > p } valores maiores do que p.

Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (o conjunto R) pode ser representado na forma

de intervalo como R = ( - ; + ). 4. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

4.1. União ( )

Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A B = { x; x A ou x B}.

Exemplo: {0,1,3} { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B. Propriedades imediatas:

a) A A = A

b) A f = A

c) A B = B A (a união de conjuntos é uma operação comutativa)

d) A U = U , onde U é o conjunto universo.

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4.2. Interseção ( )

Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A B = {x; x A e x B}.

Exemplo: {0,2,4,5} { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B. Propriedades imediatas:

a) A A = A

b) A =

c) A B = B A ( a interseção é uma operação comutativa)

d) A U = A onde U é o conjunto universo. São importantes também as seguintes propriedades :

P1. A ( B C ) = (A B) ( A C) (propriedade distributiva)

P2. A ( B C ) = (A B ) ( A C) (propriedade distributiva)

P3. A (A B) = A (lei da absorção)

P4. A (A B) = A (lei da absorção)

Obs: Se A B = f , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos. 4.3. Diferença

A - B = {x ; x A e x B}. Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.

Exemplos: { 0,5,7} - {0,7,3} = {5}. {1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.

Propriedades imediatas:

a) A - f = A b) f - A = f

c) A - A =

d) A - B B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa). 4.3.1. Complementar de um conjunto Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B Ì A , a diferença A - B chama-se, neste caso, complementar de B em relação a A .

Simbologia: CAB = A - B.

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Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja , U - B ,é indicado pelo símbolo B' .Observe que o conjunto B' é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja:

B' = {x; x B}. É óbvio, então, que:

a) B B' = f

b) B B' = U c) f' = U d) U' = f

5. PARTIÇÃO DE UM CONJUNTO Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por P(A)), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições:

1 - nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio. 2 - a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio. 3 - a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A.

Exemplo: Seja A = {2, 3, 5} Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto vazio - Ø. Assim, o conjunto das partes de A será:

P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø } Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A):

X = { {2}, {3,5} }

Observe que X é uma partição de A - cuja simbologia é part(A) - pois: a) nenhum dos elementos de X é Ø .

b) {2} {3, 5} = Ø c) {2} U {3, 5} = {2, 3, 5} = A

Sendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é uma partição do conjunto A.

Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S = { {3,2}, {5} } são outros exemplos de partições do conjunto A.

Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, ...}, {1, 3, 5, 7, ...} } é uma partição do conjunto Z dos números inteiros, pois {0, 2, 4, 6, 8, ...} Ç {1, 3, 5, 7, ...} = Ø e {0, 2, 4, 6, 8, ...} U {1, 3, 5, 7, ...} = Z . 6. NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO DE DOIS CONJUNTOS Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B).

Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto.

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Representando o número de elementos da interseção A B por n(A B) e o número de elementos da

união A B por n(A B) , podemos escrever a seguinte fórmula:

n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B)

Problema 1 (problema com diagrama envolvendo dois conjuntos) Em um curso particular estão matriculados 300 alunos. Dentre esses, 150 assistem às aulas de Matemática, 120 assistem às aulas de Português e 50 assistem às aulas de Matemática e Português. Calcule: a) Quantas pessoas assistem apenas às aulas de Matemática; b) Quantas pessoas não assistem às aulas de nenhuma das duas matérias mencionadas; c) Quantas pessoas assistem apenas às aulas de uma das duas disciplinas mencionadas. d) Assistem às aulas de Matemática ou Português Problema 2 (problema com diagrama envolvendo três conjuntos) Uma pesquisa feita entre 300 correntistas de bancos obteve o seguinte resultado: 140 possuíam conta no Banco do Brasil, 120 possuíam conta na Caixa Econômica e 60 possuíam conta no Itaú. 35 possuíam conta no Banco do Brasil e Caixa Econômica, 25, no Banco do Brasil e no Itaú, 20, na Caixa Econômica e no Itaú e 10 possuíam conta nos três bancos citados. Calcule: a) Quantos correntistas não possuem conta em nenhum desses bancos; b) Quantos correntistas possuem conta apenas no Itaú; c) Quantos correntistas possuem conta em apenas um dos bancos citados; d) Quantos correntistas possuem conta apenas no Banco do Brasil e no Itaú; e) Quantos correntistas possuem conta em apenas dois dos bancos citados; f) Quantos correntistas possuem conta em dois ou mais dos bancos citados; g) Quantos correntistas possuem conta na Caixa Econômica ou no Itaú; h) Quantos correntistas possuem conta na Caixa Econômica ou não possuem conta no Banco do Brasil i) Quantos correntistas possuem conta no Banco do Brasil e não possuem conta na Caixa Econômica; Problema 3 (problema com tabela) Em uma turma de 50 alunos, 20 jogam futebol, 22 são do sexo feminino e 10 são do sexo masculino e não jogam futebol. Calcule: a) Quantos alunos são do sexo masculino e jogam futebol; b) Quantos alunos são do sexo feminino e não jogam futebol; c) Quantos alunos jogam futebol ou são do sexo masculino; d) Quantos alunos não jogam futebol ou são do sexo feminino; e) Quantos subconjuntos possui o conjunto dos homens que não jogam futebol.

MDC e MMC 1. MDC - Máximo Divisor Comum ....................................................................................... 14

2. MMC - Mínimo Múltiplo Comum....................................................................................... 16

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1. MDC - MÁXIMO DIVISOR COMUM

Definição: dados dois números inteiros a e b não nulos, define-se o máximo divisor comum - MDC, como sendo o maior inteiro que divide simultaneamente a e b.

O MDC de dois números será indicado por MDC (a, b).

Óbvio que se tivermos o MDC de n números inteiros a1, a2, a3, ... , an , indicaremos por MDC (a1, a2, a3, ... , an) Exemplos: 1 - Determine o MDC dos inteiros 10 e 14.

Os divisores positivos de 10 são: 1, 2, 5, 10. Os divisores positivos de 14 são: 1, 2, 7, 14. Os divisores comuns, são, portanto: 1 e 2.

Portanto, o máximo divisor comum é igual a 2 e, indicamos: MDC(10,14) = 2.

2 - Determine MDC (4, 10, 14, 60)

Os divisores positivos de 4 são: 1, 2, 4 Os divisores positivos de 10 são: 1, 2, 5, 10 Os divisores positivos de 14 são: 1, 2, 7, 14 Os divisores positivos de 60 são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 60 Os divisores comuns são, portanto: 1 e 2. Portanto o MDC é igual a 2, ou seja: MDC (4, 10, 14, 60) = 2

Notas:

1.1 - um número inteiro positivo p ¹ 1 é denominado número primo, se e somente se os seus

divisores positivos são 1 e p. Pode-se provar que o conjunto dos números primos é um conjunto infinito.

Sendo P o conjunto dos números primos, podemos escrever: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 61, ... } Observa-se que 2 é o único número par que é primo.

1.2 - todo número inteiro maior do que 1, que não é primo, pode ser decomposto num produto

único de fatores primos. Esta afirmação é conhecida como o Teorema Fundamental da Aritmética - TFA.

Exemplos: 15 = 5.3 40 = 5.8 = 5.2.2.2 = 5.23

120 = 40.3 = 5.2.2.2.3 = 5.23.3 240 = 2.120 = 2.5.2.2.2.3 = 5.24.3

Na prática, podemos usar o seguinte esquema:

Seja o caso de 240 acima. Teremos:

Page 15: NOVO ENEM I - 2012

Então: 240 = 2.2.2.2.3.5 = 24.3.5

A decomposição de um número em fatores primos, é conhecida também como fatoração, já que o número é decomposto em fatores de uma multiplicação.

Usando o dispositivo prático acima, vamos fatorar o número 408. Teremos:

Então: 408 = 2.2.2.3.17 = 23.3.17

1.3 - O método de decomposição de um número num produto de fatores primos, sugere uma nova forma para o cálculo do MDC de dois números inteiros não nulos, a e b, ou seja, para o cálculo de MDC (a,b).

Assim, seja calcular o MDC de 408 e 240. Como já vimos acima, temos: 408 = 2.2.2.3.17 = 23.3.17 240 = 2.2.2.2.3.5 = 24.3.5

Tomando os fatores comuns elevados aos menores expoentes, teremos:

MDC (408, 240) = 23.3 = 8.3 = 24 , que é o MDC procurado. Portanto, MDC (408, 240) = 24.

1.4 - o MDC do exemplo anterior, poderia ser também determinado pelo método das divisões

sucessivas, cujo dispositivo prático é mostrado a seguir:

Para entender o dispositivo prático acima, basta observar que: 408:240 = 1 com resto 168 240:168 = 1 com resto 72 168:72 = 2 com resto 24 72:24 = 3 com resto zero.

Portanto o MDC procurado é igual a 24, conforme já tínhamos visto antes.

Page 16: NOVO ENEM I - 2012

1.5 - se o MDC de dois números inteiros a e b for igual à unidade, ou seja, MDC (a,b) = 1, dizemos

que a e b são primos entre si, ou que a e b são co-primos. Ou seja:

MDC (a, b) = 1 a e b são primos entre si (co-primos).

a e b são primos entre si (co-primos).

Exemplo: MDC (7, 5) = 1 \ 5 e 7 são primos entre si. 2. MMC - MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

Definição: dados dois números inteiros a e b não nulos, define-se o mínimo múltiplo comum - MMC, indicado por MMC (a,b) , como sendo o menor inteiro positivo, múltiplo comum de a e b. Exemplo:

Determine o MMC dos inteiros 10 e 14. Os múltiplos positivos de 10 são: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, ... Os múltiplos positivos de 14 são: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140, ...

Portanto, o mínimo múltiplo comum é igual a 70 e, indicamos: MMC(10,14) = 70.

Dos exemplos anteriores, vimos que: MDC (10,14) = 2 e MMC(10,14) = 70. Observe que: 10.14 = 2.70 = 140 = MDC(10,14) . MMC(10,14)

Pode-se provar que, dados dois números inteiros positivos a e b, teremos sempre que o produto

desses números é igual ao produto do MDC pelo MMC desses números, ou seja:

MDC(a,b) . MMC(a,b) = a . b

Observe que se dois números inteiros positivos a e b são primos entre si (co-primos), o MDC entre eles é igual a 1, ou seja MDC (a, b) = 1 e, portanto, teremos:

1.MMC(a,b) = a . b \ MMC(a, b) = a . b , ou seja:

O Mínimo Múltiplo Comum de dois números primos entre si é igual ao produto deles.

Exemplos:

MMC(3, 5) = 3.5 = 15 MMC(7, 5, 3) = 7.5.3 = 105

Dois exercícios simples:

Page 17: NOVO ENEM I - 2012

01-Um grupo de 162 pessoas, sendo 90 mulheres e 72 homens deve ser dividido em grupos para adentrarem a uma sala de um museu. Cada grupo deve ter a mesma quantidade de pessoas e formado apenas por pessoas do mesmo sexo. Se desejamos ter a maior quantidade possível de grupos, quantos grupos serão formados?

02-Três luzes piscam em intervalos de tempo periódicos. A primeira pisca a cada 4 segundos, a segunda a cada 6 segundos e a terceira a cada 10 segundos. Se em um determinado instante as três piscam simultaneamente, após quanto tempo elas piscarão juntas novamente? SISTEMA DE MEDIDAS 1. As primeiras medições .................................................................................................... 17

2. O homem como medida das coisas ................................................................................. 19

3. A necessidade de padronizar os padrões! ....................................................................... 20

4. De cordas a trenas .......................................................................................................... 21

5. Três pés ou apenas um? ................................................................................................. 21

6. Um pouco mais de história .............................................................................................. 22

7. Como juntar jarda, polegada e pé, sem meter os pés pelas mãos? ................................. 23

Múltiplos Unidade Fundamental

Submúltiplos

quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro

km hm dam m dm cm mm

1.000m 100m 10m 1m 0,1m2 0,01m 0,001m

Múltiplos Unidade Fundamental

Submúltiplos

quilômetro quadrado

hectômetro quadrado

decâmetro quadrado

metro quadrado decímetro quadrado

centímetro quadrado

milímetro quadrado

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

1.000.000m2 10.000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2

Múltiplos Unidade Fundamental

Submúltiplos

quilômetro cúbico

hectômetro cúbico

decâmetro cúbico

metro cúbico decímetro cúbico

centímetro cúbico

milímetro cúbico

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

1.000.000.000m3 1.000.000 m3 1.000m3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001 m3

Múltiplos Unidade Fundamental

Submúltiplos

quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro

kl hl dal l dl cl ml

1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l

Page 18: NOVO ENEM I - 2012

1. AS PRIMEIRAS MEDIÇÕES A necessidade de medir é quase tão antiga quanto a de contar. Quando o homem começou a construir suas habitações e a desenvolver a agricultura, precisou criar meios de efetuar medições. Atualmente, dispomos de vários instrumentos que nos permitem medir comprimentos, mas... e há 4.000 anos, quando não existiam esses apetrechos? Como o homem fazia para medir comprimentos? 1.1. O pescoço da girafa é grande ou pequeno?

Observando o mundo a nossa volta, dizemos freqüentemente que uma coisa é PEQUENA, ou que outra é GRANDE. Essa classificação é sempre o resultado de uma comparação. Exemplo: Um homem é grande quando comparado com uma formiga, mas pequeno quando comparado com um elefante. Exemplo: O pescoço de uma girafinha é grande quando comparado com o de um cachorro, mas é pequeno quando comparado com o de uma girafa adulta. Exemplo: Por sua vez, a girafa adulta é pequena quando comparada com a altura de um circo. Sempre que dizemos que alguma coisa é grande ou pequena, estamos comparando-a com outra. Mesmo quando o termo de comparação não é mencionado, ele existe. Por exemplo, se alguém diz “Que cachorro grande!”, essa pessoa está comparando aquele cão com os outros que ela vê habitualmente, embora a comparação não tenha sido expressa. 1.2. O que é maior: sua idade ou o pé de seu irmão?

Se você não entendeu ou estranhou essa pergunta, fique contente. É sinal de que sabe que não faz sentido comparar idade com tamanho de pé. São grandezas deferentes: a idade se refere a TEMPO e o tamanho do pé, a COMPRIMENTO. Só podemos compara grandezas de uma mesma espécie: comprimento com comprimento, tempo com tempo, temperatura com temperatura, peso com peso, etc. 1.3. O que comparamos: grandezas ou números?

Tenho 6 borrachas iguais e 1 lápis. O comprimento do lápis é igual ao das 6 borrachas enfileiradas.

Portanto, 6 vezes o comprimento da borracha equivale ao comprimento do lápis. Seis é o número que obtemos comparando essas duas medidas. Em outras palavras, tomando como padrão o comprimento da borracha, o comprimento do lápis é 6.

Veja mais alguns exemplos: Podemos medir a extensão de uma mesa tomando o palmo como padrão. Também podemos comparar a largura do caderno com o comprimento de um palito de fósforo, ou a extensão do quarto com o tamanho do pé. Pense na seguinte situação: o comprimento de um tapete retangular é de 6 pés, e sua largura é de 3 pés.

Page 19: NOVO ENEM I - 2012

Comparando os números 6 e 3, dizemos que o comprimento do tapete é o dobro de sua largura. Em geral, é deste modo que relacionamos duas grandezas da mesma espécie. Em vez de comparar diretamente uma com a outra, comparamos as duas com uma terceira, escolhida como padrão: no caso, o PÉ. Dessas duas comparações resultam dois números. Através deles comparamos as grandezas correspondentes Analisemos uma outra situação. Para encher completamente uma jarra, despejamos em seu interior 6 copos de água, ao passo que, para encher uma chaleira, necessitamos de 9 copos.

Tomando como padrão a capacidade do copo, podemos dizer então que a capacidade da jarra é 6 e a da chaleira, 9. Comparando 9 com 6, concluímos que a capacidade da chaleira é uma vez e meia a da jarra. 2. O HOMEM COMO MEDIDA DAS COISAS Antigamente, para medir comprimentos, o homem tomava a si próprio como referência. Usava como padrões determinadas partes de seu carpo. Foi assim que surgiram:

a polegada

o palmo

o pé

a jarda

a braça

o passo

Alguns desses padrões continuam sendo empregados até hoje. Veja os seus correspondentes em

centímetros:

1 polegada = 2,54 cm 1 pé = 30,48 cm 1 jarda = 91,44 cm A escolha de um ou de outro padrão depende do que se deseja medir. Um padrão pode servir para medir uma coisa e não ser adequado para medir outra. Por isso, não se pode dizer que um padrão é "bom" ou "ruim", mas apenas que é ou não apropriado para uma certa medição. O fato de um padrão ser ou não adequado depende do número resultante da medida: ele não deve ser exageradamente grande, nem extremamente pequeno. Por exemplo, medindo o comprimento do corredor da escola, obteve-se 50 jardas. Se tivesse usando o polegar como padrão, teria encontrado 1800 polegadas! Nesse caso, o padrão mais conveniente é, sem dúvida, a jarda.

Page 20: NOVO ENEM I - 2012

3. A NECESSIDADE DE PADRONIZAR OS PADRÕES!

Exemplo: Quando uma família se mudou para uma casa maior, os irmãos Daniel e Duda passaram a dormir em quartos separados. Logo no primeiro dia, eles resolveram medir os comprimentos de seus quartos. Na confusão da mudança, eles não conseguiram encontrar a caixa de costura, onde a mãe guardava a fita métrica. Mas eles não desanimaram e resolveram medir os respectivos quartos com os próprios pés.

Duda ficou muito feliz porque seu quarto era o maior: media 17 pés de comprimento, enquanto o de Daniel media apenas 16 pés. Ao verem Daniel tão quieto num canto, Carolina e Ana perguntaram a ele o motivo de tanta tristeza. Então Daniel lhes contou: seu quarto tinha 1 pé a menos que o de Duda. As meninas resolveram conferir a medição dos irmãos: Carolina foi medir o quarto de Duda e Ana, o de Daniel. Foi então que se armou a maior confusão: segundo as meninas, o quarto de Daniel era maior e media 21 pés, enquanto o de Duda media apenas 19 pés. Você saberia explicar o motivo da confusão nas medições que eles fizeram?

Há cerca de 4.000 anos, os egípcios usavam, como padrão de medida de comprimento, o cúbito:

distância do cotovelo á ponto do dedo médio. 3.1. Cúbito ou côvado

Cúbito é o nome de um dos ossos do antebraço

Como as pessoas têm tamanhos diferentes, o cúbito variava de uma pessoa para outra, ocasionando as maiores confusões nos resultados das medidas. Para serem úteis, seria necessário que os padrões fossem iguais para todos. Daí os egípcios resolveram fixar um padrão único: em lugar do próprio corpo, eles passaram a usar em suas medições barras de pedra com o mesmo comprimento. Foi assim que surgiu o cúbito-padrão.

Page 21: NOVO ENEM I - 2012

Com o tempo, essas barras passaram a ser construídas em madeira, para facilitar seu transporte. Como a madeira logo se gastasse, foram gravados comprimentos equivalentes a um cúbito-padrão nas paredes dos principais templos. Desse modo, cada um podia, periodicamente conferir as dimensões de suas barras, ou mesmo fazer outras, quando necessário. 4. DE CORDAS A TRENAS A civilização egípcia desenvolveu-se às margens férteis do rio Nilo, cultivadas por agricultores que pagavam anualmente um imposto ao faraó. Essas terras precisavam ser medidas, pois o imposto era cobrado de acordo com a extensão de terra. Como não era cômodo medir grandes extensões usando bastões de comprimento igual a um cúbito, os agrimensores do faraó utilizavam cordas. Elas continham nós igualmente espaçados.

O intervalo entre dois nós podia corresponder, por exemplo, a 5 cúbitos. Esticando essas cordas, era possível medir facilmente grandes distâncias.

Esses instrumentos deram origem às trenas que usamos hoje em dia. 5. TRÊS PÉS OU APENAS UM? O uso de padrões de pedra ou madeira facilitou bastante a comparação de grandezas. Permitiu maior intercâmbio entre indivíduos de um mesmo povo, mas que viviam em lugares diferentes, favorecendo desse modo o desenvolvimento do comércio. Entretanto, como cada povo tinha seus próprios padrões, algumas dificuldades ainda persistiam, já que havia cúbitos de vários tamanhos. O cúbito padronizado pelos sumérios, por exemplo, era diferente do cúbito egípcio. E ambos diferiam do cúbito assírio.

Em certos países, eram utilizados até mesmo padrões diferentes com o mesmo nome, como na Inglaterra, onde conviveram por muito tempo o pé romano, o pé comum e o pé do Norte.

Page 22: NOVO ENEM I - 2012

Apesar da padronização quase completa que temos hoje, é curioso notar que ainda há diversidade de padrões em determinados países. Aqui no Brasil, por exemplo, temos um padrão muito usado para medir grandes extensões de terra, como sítios, granjas e fazendas: o alqueire. O problema é que existem diversos alqueires:

um alqueire paulista é igual a 24.200 metros quadrados; um alqueire mineiro equivale a 48.400 metros quadrados, - um alqueire do Norte vale 27.225 metros quadrados.

Embora o uso de cada um desses alqueires esteja restrito a determinadas regiões do Brasil, essa variedade causa muitos transtornos, principalmente em transações de compra e venda. 6. UM POUCO MAIS DE HISTÓRIA Nos séculos XV e XVI, os padrões mais usados na Inglaterra para medir comprimentos eram a polegada, o pé, a jarda e a milha terrestre.

A propósito, a milha tem uma origem curiosa. Conta-se que, há cerca de 2.000 anos, quando marchavam através dos países conquistados, os saldados de Roma iam contando os passos duplos que davam. Mil passos duplos perfaziam uma milha terrestre. Naquela época, os romanos falavam o latim. Nessa língua, mil passos se diz milia passuum. É daí que vem a palavra milha.Esse padrão ainda é utilizado hoje, como algumas modificações, e quivale a 1.609 metros. A jarda também tem sua história. Esse termo vem da palavra inglesa yard, que significa `vara', em referência ao uso de varas nas medições. Esse padrão foi criado por alfaiates ingleses, e se baseou na medida do tecido necessário para confeccionar uma vestimenta. No século XII, em conseqüência de sua grande utilização, esse padrão foi oficializado pelo rei Henrique I. A jarda teria sido definida, então, como a distância entre a ponta do nariz do rei e a de seu dedo polegar, com o braço esticado.

Tal como os antigos bastões de um cúbito, barras metálicas de uma jarda foram construídas e distribuídas para facilitar as medições. Apesar dessa tentativa de uniformização da jarda, na vida prática não se conseguiu evitar que o padrão sofresse modificações.

Page 23: NOVO ENEM I - 2012

A ilustração a seguir apresenta uma série de padrões da jarda usados na Inglaterra na período de 1497 a 1844. Observe como os comprimentos variavam.

7. COMO JUNTAR JARDA, POLEGADA E PÉ, SEM METER OS PÉS PELAS MÃOS?

Quem é mais alto? Mariana, que mede 60 polegadas, ou Marília, que tem 6 pés de altura? Para comparar duas medidas obtidas com padrões diferentes, precisamos saber que relação existe entre eles. Através de leis, os reis da Inglaterra fixaram estas relações entre padrões:

1 pé = 12 polegadas 1 jarda = 3 pés 1 milha terrestre = 1.760 jardas

Tais relações deveriam ser respeitadas por todas as pessoas que, naquele reino, fizessem medições usando mais de um padrão. Agora resolva este: Se MDC (210, 1225) = 210a + 1225b, pede-se determinar um par (a,b) de números inteiros, que satisfaça a igualdade acima.

Page 24: NOVO ENEM I - 2012

Resp: a = 6 e b = - 1.

OBS: (Importantíssimo!)

Algumas razões importantes são:

distância percorridaVelocidade Média=

tempo gasto

massaDensidade=

volume

0n hab. da região

Densidade Demográfica=área da região

Comprimento do desenhoEscala

Comprimento real

o

o

n de candidatos inscritos Concorrência=

n de vagas oferecidas

Exercícios

01) Temos um mapa com escala 1 / 120 000. Nesse mapa as localidades A e B estão separadas 4 cm. Qual a distância que as separa na realidade?

02) (Enem – 2011) Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada no estado de São Paulo,

a uma cidade B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2000 km. Um estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua régua que a distância entre essas duas cidades, A e B, era 8 cm.

Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de

a) 1 : 250. b) 1 : 2 500. c) 1 : 25 000. d) 1 : 250 000. e) 1 : 25 000 000. 1. Proporção

A proporção é uma igualdade entre duas razões. Representa-se a proporção por d

c

b

a (a está para b assim

como c está para d). Propriedades da proporção:

Se d

c

b

a , então cbda .. . (extremos por meios)

db

ca

d

c

b

a

(a soma dos antecedentes é igual a soma dos consequentes)

Exercícios

Page 25: NOVO ENEM I - 2012

01) Na proporção 4

7

2

8

xx, o valor de x é:

a) – 9

b) – 3

c) 3

d) 5

e) 9

02) (Fesp – SP) A solução zyx ,, do sistema

537

30

zyx

zyx

é:

a) 10,14,6

b) 10,6,14

c) 4,5,8

d) 21,5,4

e) 21,4,5

2. Números Proporcionais Teremos dois casos básicos de números proporcionais. Diretamente proporcionais: Duas sequências de números não nulos são ditas diretamente proporcionais quando a razão entre cada termo da 1ª seqüência e o termo correspondente da 2ª seqüência for sempre a mesma.

Ex: (8,10,12) e (4,5,6) são diretamente proporcionais.

Se duas grandezas x e y são diretamente proporcionais então .y k x .

Inversamente proporcionais: Duas sequências de números não nulos são ditas inversamente proporcionais quando o produto de cada termo da 1ª seqüência pelo termo correspondente da 2ª seqüência for sempre o mesmo. Ex: (2,3,5) e (15,10,6) são inversamente proporcionais.

Se duas grandezas x e y são inversamente proporcionais então k

yx

.

03) (ENEM 2011) A resistência das vigas de dado comprimento é diretamente proporcional à largura (b) e ao

quadrado da altura (d), conforme a figura. A constante de proporcionalidade k varia de acordo com o material utilizado na sua construção.

Page 26: NOVO ENEM I - 2012

Considerando-se S como a resistência, a representação algébrica que exprime essa relação é

a) . .S k b d

b) 2.S b d

c) 2. .S k b d

d) 2

.k bS

d

e) 2.k d

Sb

04) (ENEM 2010) A resistência elétrica e as dimensões do condutor

A relação da resistência elétrica com as dimensões do condutor foi estudada por um grupo de cientistas por meio de

vários experimentos de eletricidade. Eles verificaram que existe proporcionalidade entre:

resistência (R) e comprimento ( ), dada a mesma secção transversal (A);

resistência (R) e área da secção transversal (A), dado o mesmo comprimento ( ) e

comprimento ( ) e área da secção transversal (A), dada a mesma resistência (R). Considerando os resistores como fios, pode-se exemplificar os estudos das grandezas que influem na resistência elétrica utilizando as figuras seguintes.

As figuras mostram que as proporcionalidades existentes entre a resistência (R) e comprimento ( ), resistência (R) e

área da secção transversal (A), e entre comprimento ( ) e área da secção transversal (A) são, respectivamente

a) direta, direta e direta. b) direta, direta e inversa. c) direta, inversa e direta. d) inversa, direta e direta. e) inversa, direta e inversa. OBS: (Importantíssimo!)

O resultado dos dois exemplos acima é chamado de fator de proporcionalidade ou coeficiente de proporcionalidade.

Exercícios

05) As sequências (2, 5, 1, x) e (4, x, 2, y) são diretamente proporcionais. Qual o valor de yx2 ?

a) 10

Page 27: NOVO ENEM I - 2012

b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

06) Assinale a alternativa que contém o valor de yx 4 , sabendo que as seqüências x,4,3 e 9,,6 y são

inversamente proporcionais. a) 2 b) 18 c) 20 d) 30 e) 32 07) Encontrar x, y, e z, sabendo que os números das sucessões ( x, 3, z) e ( 9, y, 36) são inversamente proporcionais

e têm coeficiente de proporcionalidade k = 36. 3. Divisão Proporcional Dividir um número em N partes diretamente proporcionais aos números a, b, c, significa encontrar os números

A, B e C, tais que:

A B C

a b c , e ainda que A B C N

Dividir um número em N partes inversamente proporcionais aos números a, b, c, significa encontrar os números

A, B e C, tais que:

1 1 1

A B C

a b c

, e ainda que A B C N

Exercícios

08) Dividir o número 72 em partes diretamente proporcionais a 3, 4 e 5. 09) Dividir o número 1800 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 6.

Page 28: NOVO ENEM I - 2012

10) Relativamente aos tempos de serviço de dois funcionários do Banco do Brasil, sabe-se que sua soma é 5 anos e

10 meses e que estão entre si na razão 2:3 . Nessas condições, a diferença positiva entre os tempos de serviço desses funcionários é de

a) 2 anos e 8 meses. b) 2 anos e 6 meses. c) 2 anos e 3 meses. d) 1 ano e 5 meses. e) 1 ano e 2 meses. Regra de sociedade: É justo que, em uma sociedade, os lucros e os prejuízos sejam distribuídos entre vários sócios, proporcionalmente aos capitais empregados e ao tempo durante o qual estiveram empregados na constituição dessa sociedade.

TEMPO ~ LUCRO

CAPITAL ~ LUCROLUCRO

= kCAPITAL×TEMPO

Exercícios

11) João e Maria montaram uma lanchonete. João entrou com R$ 20.000,00 e Maria com R$ 30.000,00. Se, ao fim de um ano, eles obtiveram um lucro de R$ 7.500, quanto vai caber a cada um?

12) Três sócios lucraram juntamente R$ 21.500,00 após certo investimento. Para tanto, o primeiro entrou com um

capital de R$ 7.000,00, durante 1 ano, o segundo com R$ 8.500,00 durante 8 meses e o terceiro com R$ 9.000,00 durante 7 meses. Quanto lucrou cada um?

4. Regra de Três Simples e Composta Na regra de três simples existem apenas duas grandezas envolvidas e essas grandezas podem ser diretamente

ou inversamente proporcionais. Exercícios

13) Pedro abasteceu seu carro com 20 litros de combustível e pagou R$ 50,00. Se ele tivesse colocado 50 litros desse mesmo combustível, quanto pagaria?

14) Carlos viajou da cidade A à cidade B com uma velocidade média de 80 km/h e gastou 5 horas. Se a sua

velocidade média fosse de 100 km/h, quantas horas Carlos gastaria? Caso haja mais de duas grandezas envolvidas, teremos um caso de regra de três composta.

Page 29: NOVO ENEM I - 2012

15) Uma frota de caminhões percorreu 3000 km para transportar uma mercadoria, fazendo uma média de 60km/h, e gastou 6 dias. Quantos dias serão necessários para, nas mesmas condições, essa mesma frota fazer 4500 km com uma velocidade média de 50 km/h?

16) Dezoito operários, trabalhando 7 horas por dia em 12 dias de trabalho, conseguem realizar determinado

serviço. Trabalhando 9 horas por dia, 12 operários farão o mesmo serviço em quantos dias? OBS: Problemas de perseguição 17) Uma lebre está 90m na frente de um cão que a persegue. Enquanto o cão percorre 17m a lebre percorre 12m.

Se o salto do cão é de 1,02m, quantos saltos deverá dar o cão para alcançar a lebre? 18) (FCC) Josué e Natanael receberam, cada um, um texto para digitar. Sabe-se que:

− no momento em que Josué iniciou a digitação das páginas de seu texto, Natanael já havia digitado 5 páginas

do dele;

− a cada 15 minutos, contados a partir do início da digitação de Josué, Natanael digitou 2 páginas e Josué 3.

Nessas condições, qual a quantidade de páginas que Josué deverá digitar para igualar àquela digitada por Natanael?

OBS: Problemas envolvendo idades 19) Tenho o quádruplo da idade que tu tens. Daqui a 4 anos terei o triplo da tua idade. Quais são as nossas idades? 20) Atualmente a soma das idades de um casal é 91 anos mais que a soma das idades de seus 9 filhos. Daqui a

quantos anos a soma das idades dos filhos será igual à soma das idades dos pais? ATIVIDADES DE FIXAÇÃO (RAZÃO E PROPORÇÃO)

1) A Confederação Brasileira de Futebol resolveu distribuir prêmios num total de R$ 640.000,00 para os quatro

jogadores brasileiros que tiveram o melhor desempenho no ataque durante a Copa do Mundo. O critério adotado

foi premiar aqueles que fizeram o maior número de gols, conforme o número de gols marcados por cada jogador.

Os jogadores selecionados foram os que fizeram 9, 6, 3 e 2 gols. Quanto recebeu cada jogador?

2) A gerência da Concessionária de Automóveis XYZ resolveu distribuir prêmios num total de R$ 180.000,00 para

os três vendedores que tiveram o melhor desempenho durante o trimestre passado. O critério adotado foi premiar

aqueles que tenham vendido a maior quantidade de certo modelo de automóveis. Os vendedores selecionados

foram os que venderam 20, 9 e 7 automóveis. Quanto recebeu cada vendedor?

3) Durante o período da ouvidoria, a gerência de contas correntes de uma empresa resolveu distribuir prêmios num

total de R$ 100.000,00 para os três empregados da área de processamento de contas que tiveram o melhor

desempenho durante o ano passado (objeto da ouvidoria). O critério adotado foi premiar proporcionalmente

aqueles que tiveram a menor quantidade de erros no processamento das contas (supondo que os 14 empregados da

área processaram a mesma quantidade de contas). Os empregados selecionados foram os que tiveram 2, 4 e 7

erros durante o ano. Quanto recebeu cada empregado?

4) As demissões de três homens (X, Y e Z) implicaram o pagamento de uma verba rescisória na importância total de

R$ 36.000,00, que deveria ser repartida por eles, de modo que fossem diretamente proporcionais ao número de

Page 30: NOVO ENEM I - 2012

meses trabalhados. Quanto deve receber cada um desses três homens (X, Y, Z), se respectivamente trabalharam

50, 70 e 60 meses?

5) Um prêmio de R$ 2.000,00 deve ser dividido entre os três primeiros colocados em um concurso, de forma

proporcional à pontuação obtida. Se o 1° colocado obteve 90 pontos, o 2° colocado 83 pontos e o 3° colocado 77

pontos, determine a diferença, em reais, entre os prêmios a que tem direito o 1° e o 2° colocado.

6) Uma certa importância deve ser dividida entre 10 pessoas em partes iguais. Se a partilha fosse feita somente entre

8 dessas pessoas, cada uma destas receberia R$ 5.000,00 a mais. Calcular a importância.

7) Em um mapa rodoviário, uma distância de 1 centímetro representa uma distância de 150 km na realidade. Qual a

distância real entre duas cidades A e B, se no mapa a distância indicada entre elas é de 4,25 cm?

8) Uma turma de 25 alunos teve como média de nota em uma prova 72,6 pontos. Após uma revisão de notas três

notas foram alteradas: Marcos teve sua nota alterada de 70, para 80 pontos, Bruno teve sua nota alterada de 82

para 85 pontos e Paulo teve sua nota alterada de 72 para 64 pontos. Com estas alterações determine a nova média

da turma.

9) Histórico: Pesquisa realizada em uma amostra de 63 das maiores empresas de capital estrangeiro que atuam no

Brasil revelou aspectos importantes sobre os processos de fusão e aquisição pelos quais passaram essas empresas

a partir dos anos 90. No Brasil, as empresas estão passando por grandes modificações devido à globalização e a

transformação das economias.

Diante deste processo de modificação nas grandes corporações, temos uma alteração no processo de produção:

uma máquina que coloca ar em garrafas “pet” foi responsável pela produção de 2.500 garrafas durante 6 dias,

funcionando por 10 horas diárias. Para colocar ar em 25.000 garrafas, durante 30 dias, quantas horas diárias a

máquina deve trabalhar?

10) Um produtor resolveu investir no plantio de berinjelas e deparou-se com a seguinte situação: Para colocar 6.000

berinjelas em um caminhão e transportá-las por uma distância de 24 km, 3 homens demoraram 8 horas. O

produtor deseja saber agora: quantos homens serão necessários para colocar 15.000 berinjelas em um caminhão e

transportá-los por uma distância igual, em 5 horas?

11) Considere o problema seguinte:

Dividir R$ 448,00 entre duas crianças, uma com 7 anos e a outra com 9 anos. Cada uma delas deverá receber uma

quantia diretamente proporcional à sua respectiva idade.

12) O Sr. Lopes e o Sr. Garcia são parceiros. Lopes investiu inicialmente R$ 22.000,00 e Garcia investiu inicialmente R$ 48.000,00 para montarem um negócio. Eles combinam dividir os lucros, que totalizaram R$ 89.600,00 no primeiro semestre de atividade, em proporção aos seus investimentos iniciais. Que parte do lucro total do negócio receberá cada um deles?

Respostas:

1) R$ 288000,00 R$ 192000,00 R$ 96000,00 R$ 64000,00

2) R$ 100000,00 R$ 45000,00 R$ 35000,00

3) R$ 56000,00 R$ 28000,00 R$ 16000,00

4) R$ 10000,00 R$ 14000,00 R$ 12000,00

5) R$ 56,00 6) R$ 200000,00 7) 637,5 km

8) 72,8 pontos 9) 20 horas 10) 12 homens

11) R$ 196,00 R$ 252,00

12) R$ 28160,00 R$ 61440,00

ATIVIDADES DE REVISÃO

CONJUNTOS

Page 31: NOVO ENEM I - 2012

01. (UEPA) A teoria dos conjuntos nos ajuda a interpretar situações como o compartilhamento de arquivos de música

entre aparelhos móveis. Os arquivos do FolkMusic, um software de aparelhos móveis, representam conjuntos e as

músicas são elementos desses conjuntos.

O diagrama abaixo representa uma situação de compartilhamento de músicas entre arquivos do FolkMusic. Com base

no diagrama, é correto afirmar que:

a) O arquivo C só possui músicas em comum com o arquivo A. b) O arquivo C só possui músicas em comum com o arquivo B. c) O arquivo B e o arquivo D possuem músicas em comum. d) O arquivo A, o arquivo B, o arquivo C e o arquivo D possuem músicas em comum. e) O arquivo A, o arquivo B e o arquivo C possuemmúsicas em comum.

02. (UFRJ – Adaptação) Em um posto de saúde da cidade de Piracicaba, foram atendidos, em um determinado mês,

160 trabalhadores que atuam no corte de cana, vítimas de excesso e das péssimas condições de trabalho. Todos os

trabalhadores apresentam sintomas de desidratação, como febre alta, confusão mental ou calafrio, isoladamente ou

não. Com base nos dados registrados nas fichas de atendimento dessas pessoas, foi elaborada a tabela a seguir:

Sintomas Frequência

Febre alta 84

Confusão mental 66

Calafrios 52

Febre alta e Confusão mental 24

Febre alta e Calafrio 8

Confusão mental e Calafrios 16

Febre alta, Confusão mental e Calafrio x

Sendo assim, o número x de trabalhadores que apresentaram os três sintomas é:

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

03. Uma Instituição de Ensino Superior oferece os cursos A e B. Em seu processo seletivo, o candidato pode optar por

inscrever-se nos dois cursos ou apenas em um curso. Ao final, o número de inscrições por curso e o número total de

candidatos inscritos pode ser observado no quadro a seguir.

Com base nessas informações e nas possibilidades de inscrições, pode-se afirmar que o número de candidatos que

optaram por inscrever-se somente no curso A foi:

Número de

inscrições no

Curso A

Número de

inscrições no

Curso B

Número total

de candidatos

inscritos

480 392 560

a) 80 b) 168 c) 312

Page 32: NOVO ENEM I - 2012

d) 480 e) 560 04. Ana, Beatriz, Carlos e Daniel pescaram 11 peixes. Cada um deles conseguiu pescar pelo menos um peixe, mas nenhum deles pescou o mesmo número de peixes que outro. Ana foi a que pescou mais peixes e Beatriz foi a que pescou menos peixes. Quantos peixes os meninos pescaram juntos? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

05. Dentre as espécies ameaçadas de extinção na fauna brasileira, há algumas que vivem somente na Mata Atlântica,

outras que vivem somente fora da Mata Atlântica e, há ainda, aquelas que vivem tanto na Mata Atlântica como fora

dela.

Em 2003, a revista Terra publicou alguns dados sobre espécies em extinção na fauna brasileira: havia 160 espécies de

aves, 16 de anfíbios, 20 de répteis e 69 de mamíferos, todas ameaçadas de extinção.

Dessas espécies, 175 viviam somente na Mata Atlântica e 75 viviam somente fora da Mata Atlântica.

Conclui-se que, em 2003, o número de espécies ameaçadas de extinção na fauna brasileira, citadas pela revista Terra,

que vivem tanto na Mata Atlântica como fora dela, corresponde a:

a) 0 b) 5 c) 10 d) 15 e) 20

06. (FEI-SP) Um programa de proteção e preservação de tartarugas marinhas, observando dois tipos de contaminação

dos animais, constatou em um de seus postos de pesquisa, que: 88 tartarugas apresentavam sinais de contaminação por

óleo mineral, 35 não apresentavam sinais de contaminação por radioatividade, 77 apresentavam sinais de

contaminação tanto por óleo mineral como por radioatividade e 43 apresentavam sinais de apenas um dos dois tipos de

contaminação. Quantas tartarugas foram observadas?

a) 144 b) 154 c) 156 d) 160 e) 168

07. (UFF) Os muçulmanos sequer se limitam aos países de etnia árabe, como muitos imaginam. Por exemplo, a maior

concentração de muçulmanos do mundo encontra-se na Indonésia, que não é um país de etnia árabe.

Adaptado da Superinteressante, Ed. 169 - out. 2001.

Considere T o conjunto de todas as pessoas do mundo; M o conjunto de todas aquelas que são muçulmanas e A o

conjunto de todas aquelas que são árabes. Sabendo que nem toda pessoa que é muçulmana é árabe, pode-se

representar o conjunto de pessoas do mundo que não são muçulmanas nem árabes por:

a) T (A M)

Page 33: NOVO ENEM I - 2012

b) T A c) T (A M) d) (A M) (M A) e) M A

08. (CEFET) Os alunos de Engenharia do CEFET/RJ cursam, no primeiro período, as disciplinas Física I e Cálculo I,

entre outras. Somente obtendo aprovação nestas duas, eles podem cursar a disciplina de Física II, oferecida aos alunos

no segundo período.

Thales, um aluno aprovado para o primeiro semestre do ano 2000, preocupado com os índices de reprovação nas

citadas disciplinas, procurou a cigana Marilyn, para que ela lhe antecipasse os desígnios do destino. A cigana previu

que, dos 40 calouros da turma, 22 seriam aprovados em Física I e 28 em Cálculo I, sendo que 8 entre estes últimos não

seriam aprovados em Física I.

Tomando como verdadeira a previsão de Marilyn, é correto afirma que a) 28 alunos poderão cursar Física II no segundo semestre. b) 8 alunos serão reprovados em Física I e Cálculo I, simultaneamente. c) 2 alunos serão reprovados em Física I. d) 20 alunos não poderão cursar Física II no segundo semestre. e) 10 alunos serão aprovados em pelo menos uma das disciplinas.

09. (UFAL – Adaptada) Há alguns anos a UFSE estabeleceu a isenção da taxa de inscrição no concurso vestibular. No

ano passado, um bom número de pessoas solicitou tal benefício. A maioria obteve a isenção e parte teve o pedido

negado pela Comissão do Vestibular. Suponha que todas as pessoas que foram isentas do pagamento da taxa fizeram a

inscrição e que alguma das que tiveram o pedido negado não a fez. Considere que

A é o conjunto constituído pelas pessoas que fizeram a inscrição,

B é o conjunto das pessoas que solicitaram a isenção,

C é o conjunto das pessoas que foram isentas do pagamento da taxa e

D é o conjunto das pessoas que tiveram o pedido negado.

É correto, então, afirmar que:

a) C A

b) A D = A

c) D B

d) C B

e) D A

10. (ENEM) O índice de massa corpórea (IMC) é uma medida que permite aos médicos fazer uma avaliação

preliminar das condições físicas e do risco de uma pessoa desenvolver certas doenças, conforme mostra a tabela

abaixo.

IMC Classificação Risco de doença

menos de 18,5 magreza elevado

entre 18,5 e 24,9 normalidade baixo

entre 25 e 29,9 sobrepeso elevado

entre 30 e 39,9 obesidade muito elevado

40 ou mais obesidade grave muitíssimo elevado

Internet:<www.somatematica.com.br>.

Considere as seguintes informações a respeito de João, Maria, Cristina, Antônio e Sérgio.

Nome Massa (kg) Altura (m) IMC

João 113,4 1,80 35

Maria 45 1,50 20

Cristina 48,6 1,80 15

Antônio 63 1,50 28

Sérgio 115,2 1,60 45

Os dados das tabelas indicam que

a) Cristina está dentro dos padrões de normalidade. b) Maria está magra, mas não corre risco de desenvolver doenças. c) João está obeso e o risco de desenvolver doenças é muito elevado. d) Antônio está com sobrepeso e o risco de desenvolver doenças é muito elevado.

Page 34: NOVO ENEM I - 2012

e) Sérgio está com sobrepeso, mas não corre risco de desenvolver doenças.

11. (UFPB) A secretaria de saúde do estado da Paraíba, em estudo recentes, observou que o número de pessoas

acometidas de doenças como gripe e dengue tem assustado bastante a população paraibana. Em pesquisa realizada

com um universo de 700 pessoas, contatou-se que 10% tiveram gripe e dengue, 30% tiveram apenas gripe e 50%

tiveram gripe ou dengue. O número de pessoas que tiveram apenas dengue é:

a) 350 b) 280 c) 210 d) 140 e) 70

12. (UFU) De uma escola de Uberlândia, partiu uma excursão para Caldas Novas com 40 alunos. Ao chegar em

Caldas Novas, 2 alunos adoeceram e não frequentaram as piscinas.Todos os demais alunos frequentaram as piscinas,

sendo 20 pela manhã e à tarde, 12 somente pela manhã, 3 somente à noite e 8 pela manhã, à tarde e à noite. Se

ninguém frequentou as piscinas somente no período da tarde, quantos alunos frequentaram as piscinas à noite?

a) 16 b) 12 c) 14 d) 18 e) 20

CONJUNTOS NUMÉRICOS

13. Maria foi trabalhar e deixou dinheiro para seus três filhos, com este bilhete: “Dividam igualmente o dinheiro.

Beijos”. O primeiro filho chegou, pegou a terça parte do dinheiro e saiu.

O segundo chegou e não viu ninguém. Pensando que era o primeiro, pegou a terça parte do dinheiro que tinha e saiu.

O terceiro encontrou 4 notas de 5 reais. Achou que era o último, pegou tudo e saiu. Quanto em dinheiro a mãe deixou?

a) 25 reais b) 35 reais c) 45 reais d) 48 reais e) 55 reais

14. Um automóvel bicombustível (álcool/gasolina) traz as seguintes informações sobre consumo (em quilômetros por

litro) em seu manual:

Combustível Consumo

Álcool 10 km/l

Gasolina/Álcool

(em qualquer proporção) 12 km/l

Gasolina 13 km/l

Você possui o automóvel citado acima e planeja uma viagem da seguinte forma:

– Partir com 8 litros de álcool no tanque;

– Fazer uma parada no posto I, situado a 40 km do ponto de partida e, nesta parada, mandar completar o tanque com

1/4 de álcool e 3/4 de gasolina;

– Parar no posto II, situado a 240 km do posto I e completar o tanque apenas com álcool.

Sabendo que a capacidade do tanque do carro é de 44 litros e o preço praticado em ambos os postos é de R$ 1,10 por

litro de álcool e R$ 2,10 por litro de gasolina, qual será seu gasto com combustível, nos postos I e II, seguindo este

planejamento?

a) R$ 54,00 b) R$ 66,00 c) R$ 74,00 d) R$ 84,00 e) R$ 96,00

15. A Terra completa uma volta ao redor do Sol em 365,242190 dias aproximadamente, e não em 365 dias.

Page 35: NOVO ENEM I - 2012

Para corrigir essa diferença, existem os anos bissextos, com 366 dias. Convencionou-se que um ano n é bissexto

se, e somente se, uma das seguintes condições for verificada:

condição 1: n é um múltiplo de 400.

condição 2: n é um múltiplo de 4 e n não é múltiplo de 100. Com base nessa convenção, podemos afirmar que:

a) poderá haver um ano n bissexto, sem que n seja um múltiplo de 4.

b) C A se, , 2012n n , é divisível por 4, então o ano n será bissexto.

c) o ano 2200 não será bissexto. d) o ano 2400 não será bissexto. e) o ano 2500 será bissexto.

16. A descoberta de um planeta semelhante ao nosso, o GL581c, apelidado pelos astrônomos de "Superterra",

representa um salto espetacular da ciência, na busca pela vida extraterrestre. Entre os mais de 200 planetas já

encontrados fora do sistema solar, ele é o primeiro que apresenta condições para o surgimento de vida, pelo menos na

forma como a conhecemos.

(Veja, 02/05/2007.)

O astro que ilumina e aquece o GL581c é uma estrela anã vermelha, a GLIESE 581. Ela tem 1

3da massa do Sol.

Adotando-se a massa do Sol como 1,98.1030

kg, a massa de GLIESE 581, em toneladas, é igual a 6,6 multiplicado por:

a) 109 b) 1010 c) 1012 d) 1026 e) 1027

17. Observe a ilustração a seguir, que aborda com humor um grave problema ambiental.

HUMOR

BIRATAN

(JB Ecológico, junho de 2007)

Suponha que cada gota de lágrima tenha, em média, 0,4 mL, e que, a cada 30 segundos, 10 gotas sejam recolhidas no

recipiente, com capacidade total igual a 0,18 litro. Estando o recipiente completamente vazio, o tempo necessário e

suficiente, para que as lágrimas derramadas ocupem1

2 da capacidade total desse recipiente,

será de:

a) 10 min 55 s b) 11 min 15 s c) 11 min 25 s d) 11 min 30 s e) 11 min 45 s

18. O quadro a seguir mostra, de acordo com o número de medalhas de ouro conquistadas, a classificação final de três

países nos Jogos Pan-americanos do Rio de Janeiro de 2007, bem como as respectivas populações desses países.

Países Medalhas

de Ouro

População

(em milhões de habitantes)

Estados Unidos 97 301

Cuba 59 11,5

Brasil 54 190

Page 36: NOVO ENEM I - 2012

Disponível em: www.uol.com.br. Acesso em: 01/08/2007; Wikipedia. Acesso em: 01/08/2007. Qual seria o ordenamento correto desses países, se fossem colocados em ordem decrescente da razão entre o número

de medalhas de ouro e as suas populações?

a) Brasil, Estados Unidos e Cuba. b) Cuba, Brasil e Estados Unidos. c) Cuba, Estados Unidos e Brasil. d) Estados Unidos, Cuba e Brasil. e) Estados Unidos, Brasil e Cuba.

19. (ENEM) A figura apresenta informações biométricas de um homem (Duílio) e de uma mulher (Sandra) que estão

buscando alcançar seu peso adequado a partir das atividades físicas (corrida). Para se verificar a escala de obesidade,

foi desenvolvida uma fórmula que permite verificar o Índice de Massa Corporal (IMC). Esta fórmula apresentada

como IMC = m/h², onde m é a massa em quilogramas e h é altura em metros.

No quadro é apresentada a Escala de Índice de Massa Corporal com as respectivas categorias relacionadas aos pesos.

Nova Escola. N° 172, maio 2004.

A partir dos dados biométricos de Duílio e Sandra e da Escala de IMC, o valor IMC e a categoria em que cada uma

das pessoas se posiciona na Escala são

a) Duílio tem o IMC 26,7 e Sandra tem o IMC 26,6, estando ambos na categoria de sobrepeso. b) Duílio tem IMC 27,3 e Sandra tem o IMC 29,1, estando ambos na categoria de sobrepeso. c) Duílio tem o IMC 27,3 e Sandra tem o IMC 26,6, estando ambos na categoria de sobrepeso. d) Duílio tem o IMC 25,6, estando na categoria de sobrepeso, e Sandra tem o IMC 24,7, estando na categoria de

peso normal. e) Duílio tem o IMC 25,1, estando na categoria de sobrepeso, e Sandra tem o IMC 22,6, estando na categoria de

peso normal.

20. Em quase todo o Brasil existem restaurantes em que o cliente, após se servir, pesa o prato de comida e paga o

valor correspondente, registrado na nota pela balança. Em um restaurante desse tipo, o preço do quilo era R$ 12,80.

Certa vez a funcionária digitou por engano na balança eletrônica o valor R$ 18,20 e só percebeu o erro algum tempo

depois, quando vários clientes já estavam almoçando. Ela fez alguns cálculos e verificou que o erro seria corrigido se

o valor incorreto indicado na nota dos clientes fosse multiplicado por

a) 0,54.

Page 37: NOVO ENEM I - 2012

b) 0,65. c) 0,70. d) 1,28. e) 1,42.

21. (ENEM) O gráfico a seguir apresenta o gasto militar dos Estados Unidos, no período de 1988 a 2006.

Fonte: Instituto Internacional de Pesquisa da Paz de Estocomo (Sipri)

Almanaque Abril 2008. EditoraAbril.

Com base no gráfico, o gasto militar no início da guerra no Iraque foi de

a) U$ 4.174.000,00. b) U$ 41.740.000,00. c) U$ 417.400.000,00. d) U$ 41.740.000.000,00. e) U$ 417.400.000.000,00.

22. (ENEM) A disparidade de volume entre os planetas é tão grande que seria possível colocá-los uns dentro dos

outros. O planeta Mercúrio é o menor de todos. Marte é o segundo menor: dentro dele cabem três Mercúrios. Terra é o

único com vida: dentro dela cabem sete Martes. Netuno é o quarto maior: dentro dele cabem 58 Terras. Júpiter é o

maior dos planetas: dentro dele cabem 23 Netunos.

Revista Veja. Ano 41, no 25, 25 jun. 2008 (adaptado).

Seguindo o raciocínio proposto, quantas Terras cabem dentro de Júpiter?

a) 406 b) 1334 c) 4002 d) 9338 e) 28014 23. (ENEM - Adaptada) O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A

coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou

aquele número de gols.

Gols

marcados

Quantidade

de partidas

0 5

1 3

2 4

3 3

4 2

5 2

7 1

Com base nas informações acima, é correto afirmar que a médiadesta distribuição, encontra-se no intervalo:

a) [0, 1[. b) [1, 2[.

Page 38: NOVO ENEM I - 2012

c) [2, 3[. d) [3, 4[. e) [5, 6].

TEXTO PARA AS QUESTÕES 24 E 25 DENGUE AINDA NÃO ESTÁ CONTROLADA EM SERGIPE A Secretaria de Saúde do Estado de Sergipe, alerta que a campanha contra o mosquito Aedes aegypti, transmissor da

dengue, não pode parar porque em alguns municípios de Sergipe permanecem com alto risco de infestação. São eles:

Laranjeiras, Santa Rosa de Lima, Cristinápolis, Macambira, Simão Dias, Tobias Barreto, Monte Alegre, Capela,

Japoatã e Neópolis. Pois, o Estado precisa continuar investindo em ações que combatam o mosquito, mas a população

também precisa fazer sua parte.

Aedes aegypti - vetor transmissor da dengue.

Supondo que uma pesquisa feita em Aracaju – SE, de 2007 a 2009, mapeou os tipos de reservatório onde esse

mosquito era encontrado. A tabela abaixo mostra parte dos dados coletados nessa pesquisa.

Tipos de reservatórios

População de A. aegypti

2007 2008 2009

Pneu 895 1658 974

Tambor/tanque/

depósito de barro 6855 46444 32787

Vaso de planta 456 3191 1399

Material de construção/

peça de carro 271 436 276

Garrafa/lata/plástico 675 2100 1059

Poço/cisterna 44 428 275

Caixa d’água 248 1689 1014

Recipiente natural/armadilha/

piscina e outros 615 2658 1178

total 10059 58604 38962

Caderno Saúde Pública out/2010 (adaptação)

24. (ENEM - Adaptada) De acordo com essa pesquisa, o alvo inicial para a redução mais rápida dos focos do

mosquito vetor da dengue nesse município deveria ser constituído por

a) pneus e caixas d’água. b) tambores, tanques e depósitos de barro. c) vasos de plantas, poços e cisternas. d) materiais de construção e peças de carro. e) garrafas, latas e plásticos.

25. (ENEM - Adaptada) Se mantido o percentual de redução da população total de A. aegypti observada de 2008 para

2009, teria sido encontrado, em 2010, um número total de mosquitos

a) menor que 5.000. b) maior que 5.000 e menor que 10.000. c) maior que 10.000 e menor que 15.000. d) maior que 15.000 e menor que 20.000. e) maior que 20.000.

Page 39: NOVO ENEM I - 2012

RAZÕES E PROPORÇÕES

26. (ENEM) Na literatura de cordel, os textos são impressos, em geral, com 8, 16, 24 ou 32 páginas de formato 10,5

cm 15,5 cm. As razões históricas que explicam tal fato estão relacionadas à forma artesanal como são montadas as

publicações e ao melhor aproveitamento possível do papel disponível.

Considere, abaixo, a confecção de um texto de cordel com 8 páginas (4 folhas):

Utilizando o processo descrito acima, pode-se produzir um exemplar de cordel com 32 páginas de 10,5 cm 15,5 cm,

com o menor gasto possível de material, utilizando uma única folha de

a) 84 cm 62 cm b) 84 cm 124 cm c) 42 cm 31 cm d) 42 cm 62 cm e) 21 cm 31 cm

27. (ENEM) A fotografia mostra uma turista aparentemente beijando a esfinge de Gizé, no Egito. A figura a seguir

mostra como, na verdade, foram posicionadas a câmera fotográfica, a turista e a esfinge.

Page 40: NOVO ENEM I - 2012

Medindo-se com uma régua diretamente na fotografia, verifica-se que a medida do queixo até o alto da cabeça da

turista é igual a 2

3 da medida do queixo da esfinge até o alto de sua cabeça. Considere que essas medidas na realidade

são representadas por d e d’, respectivamente, que a distância da esfinge à lente da câmera fotográfica, localizada no

plano horizontal do queixo da altura e da esfinge, é representada por b, e que a distância da turista à mesma lente, por

a.

A razão entre b e a será dada por

a) '

b d

a c

b) 2

3

b d

a c

c) 3 '

2

b d

a c

d) 2 '

3

b d

a c

e) 2 '

b d

a c

28. (ENEM) Uma fotografia tirada em uma câmera digital é formada por um grande número de pontos, denominados

pixels. Comercialmente, a resolução de uma câmera especificada indicando os milhões de pixels, ou seja, os

megapixels de que são constituídas as suas fotos.

Ao se imprimir uma foto digital em papel fotográfico, esses pontos devem ser pequenos para que não sejam

distinguíveis a olho nu. A resolução de uma impressora é indicada pelo termo dpi (dot per inch), que é a quantidade de

pontos que serão impressos em uma linha com uma polegada de comprimento. Uma foto impressa com 300 dpi, que

corresponde a cerca de 120 pontos por centímetro, terá boa qualidade visual, já que os pontos serão tão pequenos, que

o olho não será capaz de vê-los separados e passará a ver um padrão contínuo.

Para se imprimir uma foto retangular de 15 cm por 20 cm, com resolução de pelo menos 300 dpi, qual é o valor

aproximado de megapixels que a foto terá?

a) 1,00 megapixel. b) 2,52 megapixels. c) 2,70 megapixels. d) 3,15 megapixels. e) 4,32 megapixels. 29. (ENEM) No monte de Cerro Armazones, no deserto de Atacama no Chile, ficará o maior telescópio da superfície

terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente Grande (E-ELT). O E-ELT terá um espelho primário de 42 m de

diâmetro, “o maior olho do mundo voltado para o céu”.

Disponível em: http://www.estadao.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).

Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora fez uma suposição de que o diâmetro do olho humano mede

aproximadamente 2,1 cm.

Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho humano, suposto pela professora, e o diâmetro do espelho primário

do telescópio citado?

a) 1 : 20 b) 1 : 100 c) 1 : 200

Page 41: NOVO ENEM I - 2012

d) 1 : 1 000 e) 1 : 2 000

30. (ENEM) As “margarinas” e os chamados “cremes vegetais” são produtos diferentes, comercializados em

embalagens quase idênticas. O consumidor, para diferenciar um produto do outro, deve ler com atenção os dizeres do

rótulo, geralmente em letras muito pequenas.

As figuras que seguem representam rótulos desses dois produtos.

Uma função dos lipídios no preparo das massas alimentícias é torná-las mais macias. Uma pessoa que, por desatenção,

use 200 g de creme vegetal para preparar uma massa cuja receita pede 200 g de margarina, não obterá a consistência

desejada, pois estará utilizando uma quantidade de lipídios que é, em relação à recomendada, aproximadamente

a) o triplo. b) o dobro. c) a metade. d) um terço. e) um quarto.

31. Já são comercializados no Brasil veículos com motores que podem funcionar com o chamado combustível

flexível, ou seja, com gasolina ou álcool em qualquer proporção. Uma orientação prática para o abastecimento mais

econômico é que o motorista multiplique o preço do litro da gasolina por 0,7 e compare o resultado com o preço do

litro de álcool. Se for maior, deve optar pelo álcool. A razão dessa orientação deve-se ao fato de que, em média, se

com um certo volume de álcool o veículo roda dez quilômetros, com igual volume de gasolina rodaria cerca de

a) 7 km. b) 10 km. c) 14 km. d) 17 km. e) 20 km.

32. (ENEM) Técnicos concluem mapeamento do aquífero Guarani

O aquífero Guarani localiza-se no subterrâneo dos territórios da Argentina, Brasil, Paraguai e Uruguai, com extensão

total de 1.200.000 quilômetros quadrados, dos quais 840.000 quilômetros estão no Brasil. O aquífero armazena cerca

de 30 mil quilômetros cúbicos de água e é considerado um dos maiores do mundo.

Na maioria das vezes em que são feitas referências à água, são usadas as unidades metro cúbico e litro, e não as

unidades já descritas. A Companhia de Saneamento Básico do Estado de São Paulo (SABESP) divulgou, por exemplo,

um novo reservatório cuja capacidade de armazenar é de 20 milhões de litros.

Disponível em: http://noticias.terra.com.br. Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado).

Comparando as capacidades do aquífero Guarani e desse novo reservatório da SABESP, a capacidade do aquífero

Guarani é

a) 1,5 ⋅ 109 vezes a capacidade do reservatório novo.

b) 1,5 ⋅ 108 vezes a capacidade do reservatório novo.

c) 1,5 ⋅ 106 vezes a capacidade do reservatório novo.

d) 1,5 ⋅ 103 vezes a capacidade do reservatório novo.

e) 1,5 ⋅ 102 vezes a capacidade do reservatório novo.

33. A taxa anual de desmatamento na Amazônia é calculada com dados de satélite, pelo Instituto Nacional de

Pesquisas Espaciais (INPE), de 1º de agosto de um ano a 31 de julho do ano seguinte. No mês de julho de 2008, foi

registrado que o desmatamento acumulado nos últimos 12 meses havia sido 64% maior do que no ano anterior,

quando o INPE registrou 4.974km² de floresta desmatada. Nesses mesmos 12 meses acumulados, somente o estado de

Mato Grosso, foi responsável por, aproximadamente, 56% da área total desmatada na Amazônia.

De acordo com os dados, a área desmatada sob a responsabilidade do estado do Mato Grosso, em julho de 2008, foi

a) inferior a 2.500 km².

Page 42: NOVO ENEM I - 2012

b) superior a 2.500 km² e inferior a 3.000 km². c) superior a 3.000 km² e inferior a 3.900 km². d) superior a 3.900 km² e inferior a 4.700 km². e) superior a 4.700 km².

34. (ENEM) Um comerciante contratou um novo funcionário para cuidar das vendas. Combinou pagar a essa pessoa

R$ 120,00 por semana, desde que as vendas se mantivessem em torno dos R$ 600,00 semanais e, como um estímulo,

também propôs que na semana na qual ele vendesse R$ 1.200,00, ele receberia R$ 200,00, em vez de R$ 120,00.

Ao término da primeira semana, esse novo funcionário conseguiu aumentar as vendas para R$ 990,00 e foi pedir ao

seu patrão um aumento proporcional ao que conseguiu aumentar nas vendas. O patrão concordou e, após fazer

algumas contas, pagou ao funcionário a quantia de

a) R$ 160,00. b) R$ 165,00. c) R$ 172,00. d) R$ 180,00. e) R$ 198,00.

35. (ENEM) No depósito de uma biblioteca há caixas contendo folhas de papel de 0,1 mm de espessura, e cada uma

delas estão anotados 10 títulos de livros diferentes. Essas folhas foram empilhadas formando uma torre vertical de 1 m

de altura.

Qual a representação, em potência de 10, correspondente à quantidade de títulos de livros registrados nesse

empilhamento?

a) 10². b) 104. c) 105. d) 106. e) 107.

36. Considere-se que cada tonelada de cana-de-açúcar permita a produção de 100 litros de álcool combustível,

vendido nos postos de abastecimento a R$ 1,20 o litro. Para que um corta-cana pudesse, com o que ganha nessa

atividade, comprar o álcool produzido a partir das oito toneladas de cana resultantes de um dia de trabalho, ele teria de

trabalhar durante

a) 3 dias. b) 18 dias. c) 30 dias. d) 48 dias. e) 60 dias.

37. (ENEM) Pneus usados geralmente são descartados de forma inadequada, favorecendo a proliferação de insetos e

roedores e provocando sérios problemas de saúde pública. Estima-se que, no Brasil, a cada ano, sejam descartados 20

milhões de pneus usados. Como alternativa para dar uma destinação final a esses pneus, a Petrobras, em sua unidade

de São Mateus do Sul, no Paraná, desenvolveu um processo de obtenção de combustível a partir da mistura dos pneus

com xisto. Esse procedimento permite, a partir de uma tonelada de pneu, um rendimento de cerca de 530 kg de óleo.

Disponível em: http://www.ambientebrasil.com.br. Acesso em 3 out. 2008 (adaptado)

Considerando que uma tonelada corresponde, em média, a cerca de 200 pneus, se todos os pneus descartados

anualmente fossem utilizados no processo de obtenção de combustível pela mistura com xisto, seriam então

produzidas

a) 5,3 mil toneladas de óleo. b) 53 mil toneladas de óleo. c) 530 mil toneladas de óleo. d) 5,3 milhões de toneladas de óleo. e) 530 milhões de toneladas de óleo.

38. (ENEM) Nos últimos cinco anos, 32 mil mulheres de 20 a 24 anos foram internadas nos hospitais do SUS por

causa de AVC. Entre os homens da mesma faixa etária, houve 28 mil internações pelo mesmo motivo.

Época. 26 abr. 2010 (adaptado).

Page 43: NOVO ENEM I - 2012

Suponha que, nos próximos cinco anos, haja um acréscimo de 8 mil internações de mulheres e que o acréscimo de

internações de homens por AVC ocorra na mesma proporção.

De acordo com as informações dadas, o número de homens que seriam internados por AVC, nos próximos cinco anos,

corresponderia a

a) 4 mil. b) 9 mil. c) 21 mil. d) 35 mil. e) 39 mil.

39. (PROFMAT) Um pacote de biscoitos tem 10 biscoitos e pesa 85 gramas. É dada a informação de que 15 gramas

do biscoito correspondem a 90 kcal. Quantas quilocalorias tem cada biscoito?

a) 38 kcal b) 43 kcal c) 46 kcal d) 51 kcal e) 56 kcal

40. (ENEM) O consumo atingiu o maior consumo da história no ano passado: os brasileiros beberam o equivalente a

331 bilhões de xícaras.

Veja. Ed. 2158, 31 mar. 2010.

Considere que a xícara citada na notícia seja equivalente a, aproximadamente, 120 mL de café. Suponha que em 2010

os brasileiros bebam ainda mais café, aumentando o consumo em 1

5do que foi consumido no ano anterior. De acordo

com essas informações, qual a previsão mais aproximada para o consumo de café em 2010?

a) 8 bilhões de litros. b) 16 bilhões de litros. c) 32 bilhões de litros. d) 40 bilhões de litros. e) 48 bilhões de litros.

41. (ENEM) A resistência elétrica e as dimensões do condutor

A relação da resistência elétrica com as dimensões do condutor foi estudada por um grupo de cientistas por meio de

vários experimentos de eletricidade. Eles verificaram que existe proporcionalidade entre:

resistência (R) e comprimento ( ), dada mesma secção transversal (A);

resistência (R) e secção transversal (A), dado o mesmo comprimento ( );

comprimento ( ) e secção transversal (A), dada a mesma resistência (R). Considerando os resistores como fios, pode-se exemplificar o estudo das grandezas que influem na resistência elétrica

utilizando as figuras seguintes.

Disponível em: http://www.efeitojoule.com. Acesso em: abr. 2010 (adaptado).

As figuras mostram que as proporcionalidades existentes entre resistência (R) e comprimento ( ), resistência (R) e

área da secção transversal (A), e entre comprimento ( ) e área da secção transversal (A) são, respectivamente,

a) direta, direta e direta. b) direta, direta e inversa. c) direta, inversa e direta. d) inversa, direta e direta.

Page 44: NOVO ENEM I - 2012

e) inversa, direta e inversa.

42. (ENEM) Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada no estado de São Paulo, a uma

cidade B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2 000 km. Um estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua

régua que a distância entre essas duas cidades, A e B, era 8 cm.

Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de

a) 1 : 250. b) 1 : 2.500. c) 1 : 25.000. d) 1 : 250.000. e) 1 : 25.000.000.

43. (ENEM) Em 2010, um caos aéreo afetou o continente europeu, devido à quantidade de fumaça expelida por um

vulcão na Islândia, o que levou ao cancelamento de inúmeros voos.

Cinco dias após o início desse caos, todo o espaço aéreo europeu acima de 6000 metros estava liberado, com exceção

do espaço aéreo da Finlândia. Lá, apenas voos internacionais acima de 31 mil pés estavam liberados.

Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 21 abr. 2010 (adaptado).

Considere que 1 metro equivale a aproximadamente 3,3 pés.

Qual a diferença, em pés, entre as altitudes liberadas na Finlândia e no restante do continente europeu cinco dias após

o início do caos?

a) 3390 pés. b) 9390 pés. c) 11200 pés. d) 19800 pés. e) 50800 pés.

44. (ENEM) Muitas medidas podem ser tomadas em nossas casas visando à utilização racional de energia elétrica.

Isso deve ser uma atitude diária de cidadania. Uma delas pode ser a redução do tempo no banho. Um chuveiro com

potência de 4800W consome 4,8 kW por hora.

Uma pessoa que toma dois banhos diariamente, de 10 minutos cada, consumirá, em sete dias, quantos kW?

a) 0,8 b) 1,6 c) 5,6 d) 11,2 e) 33,6

45. (ENEM) A resolução das câmeras digitais modernas é dada em megapixels, unidade de medida que representa um

milhão de pontos. As informações sobre cada um desses pontos são armazenadas, em geral, em 3 bytes. Porém, para

evitar que as imagens ocupem muito espaço, elas são submetidas a algoritmos de compressão, que reduzem em até

95% a quantidadede bytes necessários para armazená-las.

Considere 1 KB = 1.000 bytes, 1 MB = 1.000 KB,1 GB = 1.000 MB.

Utilizando uma câmera de 2.0 megapixels cujo algoritmo de compressão é de 95%, João fotografou 150 imagens para

seu trabalho escolar. Se ele deseja armazená-las de modo que o espaço restante no dispositivo seja o menor espaço

possível, ele deve utilizar

a) Um CD de 700MB b) Um pendrivede 1 GB c) Um HD de 16 MB d) Um memorystick de 16MB e) Um cartão de memória 64MB

RELAÇÕES DE DEPENDÊNCIA ENTRE GRANDEZAS

SISTEMAS DE MEDIDAS

Page 45: NOVO ENEM I - 2012

46. (ENEM) A evolução da luz: as lâmpadas LED já substituem com grandes vantagens a velha invenção de

Thomas Edison.

A tecnologia do LED é bem diferente das lâmpadas incandescentes e das fluorescentes. A lâmpada LED é fabricada

com material semicondutor semelhante ao usado nos chips de computador. Quando percorrido por uma corrente

elétrica, ele emite luz. O resultado é uma peça muito menor, que consome menos energia e tem uma durabilidade

maior. Enquanto uma lâmpada comum tem vida útil de 1.000 horas e uma fluorescente de 10.000 horas, a LED rende

entre 20.000 e 100.000 horas de uso ininterrupto.

Há um problema, contudo: a lâmpada LED ainda custa mais caro, apesar de seu preço cair pela metade a cada dois

anos. Essa tecnologia não está se tornando apenas mais barata. Está também mais eficiente, iluminando mais com a

mesma quantidade de energia.

Uma lâmpada incandescente converte em luz apenas 5% da energia elétrica que consome. As lâmpadas LED

convertem até 40%. Essa diminuição no desperdício de energia traz benefícios evidentes ao meio ambiente.

A evolução da luz. Veja, 19 dez. 2007. Disponível em: http://veja.abril.com.br/191207/p_118.shtml Acesso em: 18

out. 2008.

Considerando que a lâmpada LED rende 100 mil horas, a escala de tempo que melhor reflete a duração dessa lâmpada

é o:

a) dia b) ano c) decênio d) século e) milênio

47. (ENEM) Um dos grandes problemas da poluição dos mananciais (rios, córregos e outros) ocorre pelo hábito de

jogar óleo utilizado em frituras nos encanamentos que estão interligados com o sistema de esgoto. Se isso ocorrer,

cada 10 litros de óleo poderão contaminar 10 milhões (107) de litros de água potável.

Manual de etiqueta. Parte integrante das revistas Veja (ed. 2055), Cláudia (ed. 555), National Geographic (Ed. 93) e

Nova Escola (Ed. 208) (adaptado).

Suponha que todas as famílias de uma cidade descartem os óleos de frituras através dos encanamentos e consomem

1000 litros de óleo em frituras por semana.

Qual seria, em litros, a quantidade de água potável contaminada por semana nessa cidade?

a) 10-2

b) 103

c) 104 d) 106

e) 109

48. (ENEM) A figura a seguir mostra a porcentagem de oxigênio (O2) presente na atmosfera, ao longo de 4,5 bilhões

de anos, desde a formação da Terra até a era dos dinossauros.

Formação da Terra há 4,5 bilhões de anos Disponível em: <http://www.universia.com.br/MIT/10/1018J/PDF/lec02hand2003.pdf>. Acesso em: 1º mar. 2009.

Page 46: NOVO ENEM I - 2012

Considere que a escala de tempo fornecida seja substituída por um ano de referência, no qual a evolução química é

identificada como 1º de janeiro à zero hora e a era dos dinossauros como dia 31 de dezembro às 23 h 59 min e 59,99 s.

Desse modo, nesse ano de referência, a porcentagem de oxigênio (O2) presente na atmosfera atingiu 10% no

a) 1º bimestre. b) 2º bimestre. c) 2º trimestre. d) 3º trimestre. e) 4º trimestre.

49. Em informática, Byte (B) é uma unidade de memória.

A tabela relaciona as unidades múltiplas do Byte usadas para quantificar a capacidadede memória de discos.

Unidade Tamanho

Kilobyte (KB) 210

B

Megabyte (MB) 220

B

Gigabyte (GB) 230

B

Se um disquete tem capacidade de armazenagem de 1,44MB, então a sua capacidade em GB é igual a

a) 1,442–30 b) 1,442–20 c) 1,442–10 d) 1,44210 e) 1,44220

50. (PROFMAT) No dia do aniversário de João em 2010, uma pessoa perguntou a idade dele.

João respondeu: “se eu não contasse os sábados e os domingos da minha vida, eu teria 40 anos de idade”. João

nasceu no ano de:

a) 1946 b) 1954 c) 1962 d) 1964 e) 1968

51. (ENEM) Você pode adaptar as atividades do seu dia a dia de uma forma que possa queimar mais calorias do que

as gastas normalmente, conforme a relação seguinte:

Enquanto você fala ao telefone, faça agachamentos: 100 calorias gastas em 20 minutos.

Meia hora de supermercado: 100 calorias.

Cuidar do jardim por 30 minutos: 200 calorias.

Passear com o cachorro: 200 calorias em 30 minutos.

Tirar o pó dos móveis: 150 calorias em 30 minutos.

Lavar roupas por 30 minutos: 200 calorias. Disponível em: http://cyberdiet.terra.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).

Uma pessoa deseja executar essas atividades, porém, ajustando o tempo para que, em cada uma, gaste igualmente 200

calorias.

A partir dos ajustes, quanto tempo a mais será necessário para realizar todas as atividades?

a) 50 minutos. b) 60 minutos. c) 80 minutos. d) 120 minutos. e) 170 minutos.

52. (ENEM) Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de espaços de lazer reivindicam à prefeitura

municipal a construção de uma praça. A prefeitura a prefeitura concorda com a solicitação e afirma que irá construí-la

em formato retangular devido às características técnicas do terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem que

sejam gastos, no máximo, 180 m de tela para cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as

medidas dos terrenos disponíveis para a construção da praça:

Page 47: NOVO ENEM I - 2012

Terreno 1: 55 m por 45 m

Terreno 2: 55 m por 55 m

Terreno 3: 60 m por 30 m

Terreno 4: 70 m por 20 m

Terreno 5: 95 m por 85 m Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas pela prefeitura, os moradores deverão escolher

o terreno

a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

53. (ENEM) A cor de uma estrela tem relação com a temperatura em sua superfície. Estrelas não muito quentes (cerca

de 3000 K) nos parecem avermelhadas. Já as estrelas amarelas, como o Sol, possuem temperatura em torno dos 6000

K; as mais quentes são brancas ou azuis porque sua temperatura fica acima dos 10000K.

A tabela apresenta uma classificação espectral e outros dados para as estrelas dessas classes.

Estrelas da Sequência Principal

Classe

Espectral Temperatura Luminosidade Massa Raio

O5 40000 5 × 105

40 18

B0 28000 2 × 104

18 7

A0 9900 80 3 2,5

G2 5770 1 1 1

M0 3480 0,06 0,5 0,6

Temperatura em Kelvin

Luminosidade, massa e raio, tomando o Sol como unidade

Disponível em: http://www.zenite.nu. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).

Se tomarmos uma estrela que tenha temperatura 5 vezes maior que a temperatura do Sol, qual será a ordem de

grandeza de sua luminosidade?

a) 20000 vezes a luminosidade do Sol. b) 28000 vezes a luminosidade do Sol. c) 28850 vezes a luminosidade do Sol. d) 30000 vezes a luminosidade do Sol. e) 50000 vezes a luminosidade do Sol.

SISTEMAS DE MEDIDAS

54. (ENEM) O medidor de energia elétrica de uma residência conhecido por “relógio de luz”, é constituído de quatro

pequenos relógios, cujo sentido de rotação estão indicados conforme a figura:

Disponível em: http://www.enersul.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010.

A medida é expressa em kWh. O número obtido na leitura é composto por 4 algarismos. Cada posição do número é

formada pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro.

O número obtido pela leitura em kWh, na imagem, é

a) 2614. b) 3624. c) 2715. d) 3725. e) 4162.

Page 48: NOVO ENEM I - 2012

55. (ENEM) Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas realizadas em um carro sejam

obtidas em metros:

a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro;

b) altura b entre o solo e o encosto do piloto.

Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, respectivamente,

a) 0,23 e 0,16. b) 2,3 e 1,6. c) 23 e 16. d) 230 e 160. e) 2 300 e 1 600.

56. (ENEM) O dono de uma oficina mecânica precisa de um pistão das partes de um motor, de 68 mm de diâmetro,

para o conserto de um carro. Para conseguir um, esse dono vai até um ferro velho e lá encontra pistões com diâmetros

iguais a 68,21 mm; 68,102 mm; 68,001 mm; 68,02 mm e 68,012 mm.

Para colocar o pistão no motor que está sendo consertado, o dono da oficina terá de adquirir aquela que tenha o

diâmetro mais próximo do que precisa.

Nessa condição, o dono da oficina deverá comprar a pista de diâmetro

a) 68,21 mm. b) 68,102 mm. c) 68,02 mm. d) 68,012 mm. e) 68,001 mm.

GABARITO 01-E 09-A 17-B 25-E 33-D 41-C 49-C

02-A 10-C 18-C 26-D 34-C 42-E 50-A

03-B 11-E 19-B 27-D 35-C 43-C 51-B

04-C 12-C 20-C 28-E 36-D 44-D 52-C

05-D 13-C 21-E 29-E 37-B 45-E 53-A

06-A 14-E 22-B 30-C 38-D 46-C 54-A

07-A 15-C 23-C 31-C 39-D 47-E 55-B

08-D 16-D 24-B 32-A 40-E 48-D 56-E

MATEMÁTICA FINANCEIRA: FUNDAMENTOS 1. Porcentagem

É uma razão (fração) centesimal a

a%100

. É usado com o objetivo de criar uma proporção entre duas

grandezas e, calcula-se através de uma regra de três. ATIVIDADES

01- Calcule: a) 14% de R$3000,00

b) 9% de R$250,00

c) 0,6% de R$800,00

Page 49: NOVO ENEM I - 2012

d) 20% de 60%

e) 2

10%

02-Uma geladeira é vendida por R$ 1200,00. Se seu preço sofrer um acréscimo igual a 8% desse preço, quanto passará a custar? 03-Um televisor cujo preço é R$ 685,00 está sendo vendido, em uma promoção, com desconto de 12%. De quanto é o

desconto? Por quanto ele está sendo vendido?

04-Um objeto que custava R$ 70,00 sofreu um aumento passando a custar R$ 80,50. De quanto por cento foi o aumento? 05-Um aparelho de fax passou a custar R$ 460,00 após seu preço original sofrer um aumento de 15%. Qual o preço original do aparelho? 06-(UFCE) O preço de um aparelho elétrico com um desconto de 40% é igual a R$ 36,00. Calcule, em reais, o preço desse aparelho elétrico, sem esse desconto. 07-(UFCE) Manuel compra 100 caixas de laranjas por R$ 2.000,00. Havendo um aumento de 25% no preço de cada caixa, quantas caixas ele poderá comprar com a mesma quantia? 08-(UFGO) O Sr. José gasta hoje 25% do seu salário no pagamento da prestação de sua casa. Se a prestação for reajustada em 26%, e o salário somente em 5%, qual será a porcentagem do salário que ele deverá gastar no pagamento da prestação, após os reajustes? 09-(UFPE) Em um exame de vestibular 30% dos candidatos eram da área de Ciências Sociais. Dentre esses candidatos, 20% optaram pelo curso de Administração. Indique a porcentagem, relativa ao total de candidatos, dos que optaram por Administração. 10-Qual desconto percentual oferece promoções do tipo “pague 4 e leve 5” ? 11-Um pacote de cheetos tinha um peso líquido de 100 gramas. Uma nova embalagem foi lançada com apenas 80 gramas porém, o preço foi mantido. Qual o aumento percentual relativo?

Page 50: NOVO ENEM I - 2012

Lucro

Em uma transação comercial há a possibilidade de se obter lucro. Isso ocorre quando o valor de venda é maior do que o valor de custo (ou de compra). A taxa percentual desse lucro pode ser calculada considerando-se o valor de compra ou de venda do produto. Para facilitar o estudo vamos adotar:

lucro de porcentual taxa

lucro

vendade valor

inicialou custo de valor

Li

L

V

C

O lucro é determinado por:

2L V C, onde V > C2

A taxa percentual de lucro em relação ao valor de custo é dada pela razão entre o lucro e o valor de custo.

2

iL L

C 100%

2

A taxa percentual de lucro em relação ao valor de venda é dada pela razão entre o lucro e o valor de venda.

2

iL L

V 100%

2

Desconto

Já vimos que uma transação comercial pode dar lucro. De forma análoga, pode ocorrer prejuízo. Isso acontece quando o valor de venda é menor que o valor de custo (ou de compra). Por razões comerciais, pode ainda ocorrer um desconto. Um desconto não implica necessariamente em um prejuízo, mas para o cálculo da taxa porcentual, seja de um desconto, seja de um prejuízo, procedemos da mesma maneira: comparamos o módulo da diferença entre os preços de custo e de venda com o preço de custo ou com o preço de venda conforme a conveniência do contexto. Para facilitar nosso estudo, vamos adotar:

D desconto ou prejuízo

iD taxa percentual de desconto

O desconto é determinado por:

2D | C V |2

A taxa percentual de desconto em relação ao valor de custo é dada pela razão entre o desconto e o valor de custo.

2

iD D

C 100%

2

A taxa percentual de desconto em relação ao valor de venda é dada pela razão entre o desconto e o valor de venda.

2

iD L

V 100%

2

ATIVIDADES

Page 51: NOVO ENEM I - 2012

01- Um comerciante vendeu mercadorias com um lucro de 12% sobre o preço de custo. Determinar o preço de venda, sabendo que as mercadorias custaram R$ 3.000,00. 02-Uma mercadoria custa R$ 480,00 e é vendida por R$ 600,00. De quantos por cento é o lucro sobre o preço de custo? E sobre o preço de venda? 03-Um investidor vendeu um terreno por R$ 18.750,00 com um lucro de 25% sobre o preço pelo qual ele o comprou. Por quanto ele comprou o terreno? 04-Uma mercadoria foi comprada por R$ 3.600,00. Pretende-se vendê-la com um lucro de 10% sobre o preço de venda. Qual deverá ser o preço de venda? Acréscimos sucessivos

Vários são os fatores que determinam o preço de um produto. A lei da oferta e da procura é um desses fatores que obriga, às vezes, mais de um reajuste de preços, para valores maiores (acréscimos sucessivos) ou para valores menores (descontos sucessivos). Se um produto com preço inicial P0 sofre acréscimos sucessivos, cujas taxas percentuais são i1, i2, …, in, então o preço desse produto após n reajustes é Pn dado por:

2Pn P0 (1 + i1) (1 + i2) … (1 + in)2

Particularmente, esses acréscimos podem apresentar taxas percentuais iguais, i1 i2 … in i. Neste caso, temos:

2Pn P0 (1 + i)n2

Descontos sucessivos

Já vimos que numa transação comercial o preço de um produto pode sofrer acréscimos sucessivos. Da mesma forma, os preços de um produto podem ter descontos sucessivos. Vejamos: Se um produto com preço inicial P0 sofre descontos sucessivos, cujas taxas percentuais são i1, i2, …, in, então o preço desse produto após n descontos será Pn dado por:

2Pn P0 (1 i1) (1 i2) … (1 in)2

Particularmente, esses descontos podem apresentar taxas percentuais iguais, i1 i2 … in i. Neste caso, temos:

2Pn P0 (1 i)n2

ATIVIDADES 01-Uma mercadoria que custava R$ 2.000,00 sofreu dois aumentos sucessivos de 10% e 8%, respectivamente. Qual o preço após cada um dos aumentos? Qual o aumento percentual total do preço final em relação ao inicial? 02-Um produto sofreu dois aumentos sucessivos de 5% e, em seguida, um desconto de 8%. O preço final do produto aumentou ou diminuiu? Quantos por cento?

Juro é a remuneração, a qualquer título, atribuída ao capital.

Quando o juro é calculado unicamente sobre o capital inicial, é chamado de juro simples.

Page 52: NOVO ENEM I - 2012

O juro simples pode ser calculado por:

j = C .i . t em que j é o juro, C é o capital inicial, i é a taxa unitária e t é o tempo de aplicação. O montante acumulado é a soma do investimento inicial C com o rendimento J. M C J ATIVIDADES 01-Determine os juros simples e o montante de um capital de R$ 10.000,00 quando aplicado a: a) 4% a.m., durante 15 meses. b) 35% a.a., durante 60 meses. c) 3,1% a.m., durante 120 dias. 02-Qual a taxa mensal de juros simples que fazem um capital de R$ 8.000,00, durante três meses, render um juros simples de R$ 1.200,00? 03-Durante quantos meses um capital de R$ 8.000,00 deve permanecer aplicado a uma taxa de 1,5% a.m. para render juros simples de R$ 1.200,00? 04-Qual é o capital que, emprestado a uma taxa de 2% a.m., produz ao final de dois anos o montante de R$ 7.400,00?

05-Durante quanto tempo um capital, aplicado a uma taxa de 0,75% a.m., rende um juro igual a 1

5 do seu valor?

06-Determine em quanto tempo um capital triplicará a juros simples, quando aplicado à taxa de 0,8% a.m. 07-Uma geladeira é vendida à vista por R$ 1.200,00 ou a prazo com uma entrada de 25% mais uma parcela de R$ 1.000,00, após 90 dias. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento?

Juro composto é aquele que em cada período financeiro, a partir do segundo, é calculado sobre o montante (capital mais juros) relativo ao período anterior.

O montante em regime de juros compostos pode ser obtido por:

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Mn = C(1 + i)n

O fator (1 + i)n é denominado fator de capitalização ou fator de acumulação de capital. ATIVIDADES

01-Um capital de R$ 30.000,00 é aplicado pela pessoa A, a juros composto de 5% a.m. e pela pessoa B, a mesma taxa mensal, porém de juros simples. Sabendo que o período de aplicação foi de 3 meses, quanto a pessoa A ganhou a mais que a pessoa B? 02-Aplicando-se R$ 12.000,00 a juro composto de 6% ao semestre. Que quantia terá após 12 meses de aplicação? OBS: (Importantíssimo!)

Podemos também usar uma fórmula para calcular o montante:

t

aumentoM C. f ,

Onde aumento

100 if

100

.

EX: Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado a uma taxa de 2% ao mês de juros compostos, durante 1 ano. Qual o montante e o juros obtido ao final do período?

ATIVIDADES DE REVISÃO

1) Volume migratório é alto em Sergipe

O fluxo migratório no Estado vem caindo nas últimas três décadas. Entre osanos setenta e oitenta, 103.133 pessoas

deixaram Sergipe, enquanto 73 mil entraram em solo sergipano. Já em 2008, 139 mil cidadãos trocaram Sergipe por

outros Estados e 128.331 optaram por morar em alguma cidade sergipana. O crescimento econômico e a

industrialização favoreceram à redução do saldo migratório. [...]

[...] A parcela da população que mais migra em Sergipe é o jovem entre 18 e29 anos de idade. O geógrafo, que estuda

o movimento da população em Sergipe, disse que eles saem em busca de melhores condições de trabalho e de vida.

“Saem, principalmente, do interior do Estado, onde as perspectivas de trabalho são menores”, falou.

Os baianos são a maioria entre os migrantes que deixam o seu Estado para morar em Sergipe. Na década de noventa,

37 mil baianos se mudaram para Sergipe. Em seguida, aparecem os alagoanos com 27 mil e em terceiro os de São

Paulo.

Já o destino preferido do sergipano ainda é São Paulo. Na década de noventa,47 mil pessoas deixaram suas residências

em Sergipe para morar em São Paulo. Já o destino Bahia foi a opção de 30 mil sergipanos. “É importante ressaltar que

está incluída aí a migração de retorno, ou seja, sergipanos que deixaram o Estado e depois decidiram retornar”, disse o

professor. (VOLUME...,2008).

Page 54: NOVO ENEM I - 2012

Considerando-se que a taxa de migração de retorno no Estado de Sergipe seja de 25%, pode-se afirmar que do total de

sergipanos que deixaram o Estado, ao longo da década de noventa, para morar em São Paulo ou na Bahia, retorna para

Sergipe um número igual a

a) 16550.

b) 17650.

c) 18750.

d) 19250.

e) 20450.

2) (ENEM – Adaptada) Um professor dividiu a lousa da sala de aula em quatro partes iguais. Em seguida, preencheu 75% dela com conceitos e explicações, conforme a figura seguinte.

Algum tempo depois, o professor apagou a lousa por completo e, adotando um procedimento semelhante ao anterior, voltou a preenchê-la, mas, dessa vez, utilizando 60% do espaço dela. Uma representação possível para essa segunda situação é

a)

b)

c)

d)

e)

Page 55: NOVO ENEM I - 2012

3) A população de marlim-azul foi reduzida a 20% da existente há cinquenta anos (em 1953).

Adaptado da Revista Veja, 09 de julho de 2003.

Jeffrey L. Rotman-Corbis

Newsweek, 26 de maio de 2003.

Considerando que foi constante a razão anual (razão entre a população de um ano e a do ano anterior) com que essa

população decresceu durante esse período, conclui-se que a população de marlim-azul, ao final dos primeiros vinte e

cinco anos (em 1978), ficou reduzida a aproximadamente:

a) 10% da população existente em 1953

b) 20% da população existente em 1953

c) 30% da população existente em 1953

d) 45% da população existente em 1953

e) 65% da população existente em 1953

4) Use os dados seguintes para analisar as proposições que seguem.

Em uma loja, o preço da tabela de um aparelho eletrodoméstico é R$ 1 000,00. A compra desse aparelho pode ser feita

de duas maneiras:

à vista, com abatimento de 15% sobre o preço de tabela, desembolsando-se, neste caso, a quantia de A reais.

a prazo, com uma entrada correspondente a 30% do preço de tabela e o restante, com seus juros compostos à taxa de 3% ao mês, em uma única parcela de valor B reais, a ser paga ao completar 2 meses da data da compra. Nesse caso, o total pago é de C reais.

a) A = 985.

b) Na compra a prazo, a entrada é de R$ 30,00.

c) B = 742,63.

d) C = 1060,00.

e) Se duas pessoas comprarem desse aparelho nessa loja, uma à vista e outra a prazo, uma delas desembolsará R$

192,63 a mais do que a outra.

5) José e João possuem uma empresa cujo capital é de R$ 150 000,00. José tem 40% de participação na sociedade e

deseja aumentar a sua participação para 55%. Se João não deseja alterar o valor, em reais, de sua participação, o valor

que José deve empregar na empresa é:

a) R$ 110 000,00. b) R$ 170 000,00. c) R$ 82 500,00. d) R$ 90 000,00.

Page 56: NOVO ENEM I - 2012

e) R$ 50 000,00.

6) Fábio recebeu um empréstimo bancário de R$ 10 000,00 para ser pago em duas parcelas anuais, com vencimento

respectivamente no final do primeiro ano e do segundo ano, sendo cobrados juros compostos à taxa de 20% ao ano.

Sabendo que o valor da 1ª parcela foi R$ 4 000,00, podemos concluir que o valor da 2ª parcela foi de:

a) R$ 8 800,00. b) R$ 9 000,00. c) R$ 9 200,00. d) R$ 9 400,00. e) R$ 9 600,00.

7) Um produto teve um aumento total de preço de 61%, através de dois aumentos sucessivos. Se o primeiro aumento

foi de 15%, então o segundo foi de:

a) 38%. b) 40%. c) 42%. d) 44%. e) 46%. 8) O proprietário de uma agência de veículos vendeu um carro por R$ 8496,00, obtendo um lucro de 18% sobre o

preço de compra. Se ele tivesse vendido o mesmo carro por R$ 9144,00, então o percentual de lucro obtido sobre o

preço de compra seria de:

a) 20%. b) 27%. c) 32%. d) 34%. e) 38%.

9) O dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um produto por x reais (preço de custo) e passou a

revendê-lo com lucro de 50%. Ao fazer um dia de promoções, ele deu aos clientes do supermercado um desconto de

20% sobre o preço de venda desse produto. Pode-se afirmar que, no dia de promoções, o dono do supermercado teve,

sobre o preço de custo:

a) prejuízo de 10%. b) prejuízo de 5%. c) lucro de 20%. d) lucro de 25%. e) lucro de 30%.

10)Uma empresa brasileira tem 30% de sua dívida em dólares e os restantes 70% em euros. Admitindo-se uma

valorização de 10% do dólar e uma desvalorização de 2% do euro, ambas em relação ao real, pode-se afirmar que o

total da dívida dessa empresa, em reais:

a) aumenta 8%. b) aumenta 4,4%. c) aumenta 1,6%. d) diminui 1,4%. e) diminui 7,6%. 11)A companhia de eletricidade informou que para cada hora de um mês de 30 dias, um bairro ficou, em média, 0,2

horas sem energia elétrica em algumas ruas. No mesmo período, uma residência localizada nesse bairro totalizou 18 horas sem energia

Page 57: NOVO ENEM I - 2012

elétrica. Em relação ao total de horas que alguma parte do bairro ficou sem eletricidade, o número de horas que essa

residência ficou sem energia elétrica representa

a) 3,6%. b) 9%. c) 12%. d) 12,5%. e) 33,3%. 12)Um advogado, contratado por Marcos, consegue receber 80% de uma causa avaliada em R$ 200 000,00 e cobra

15% da quantia recebida, a título de honorários. A quantia, em reais, que Marcos receberá, descontada a parte do

advogado, será de

a) 24 000.

b) 30 000.

c) 136 000.

d) 160 000.

e) 184 000.

13)(ENEM) O dono de uma oficina contratou dois mecânicos, Alaor e Belmiro, que fizeram acordos salariais

diferentes. Alaor recebe um salário mensal de R$ 300,00 mais 25% de comissão sobre o faturamento mensal da

oficina. Belmiro recebe somente comissão de 40% sobre o faturamento mensal da oficina. Sobre os salários dos

mecânicos, é correto afirmar:

a) O salário de Alaor, em qualquer mês, é maior que o de Belmiro.

b) O salário de Belmiro, em qualquer mês, é maior que o de Alaor.

c) No mês em que o faturamento da oficina for maior que R$ 2.000,00, o salário de Alaor será menor que o de

Belmiro.

d) No mês em que o faturamento da oficina for maior que R$ 2.000,00, o salário de Alaor será maior que o de

Belmiro.

e) No mês em que o faturamento da oficina for igual a R$ 2.000,00, o salário de Alaor será menor que o de Belmiro.

14)(ENEM) Uma conclusão da Pesquisa de Orçamentos Familiares (POF), divulgada pelo IBGE, mostra uma

semelhança entre famílias com diferentes faixas salariais. Nada menos que 85% das famílias brasileiras têm gastos

maiores que os rendimentos e passam pela incômoda situação de ter que se equilibrar através de endividamento.

Em uma dessas famílias, o responsável não conseguiu efetuar o pagamento total da fatura do cartão de crédito, de R$

220,00, por três meses consecutivos. Durante esse período, somente efetuou o pagamento mínimo mensal, referente a

10% do valor total; sobre a dívida restante, foi aplicada a taxa de juros do financiamento: 11,9%.

Surpreso, ao final desse período, esse cidadão verificou que ainda devia à operadora de crédito o valor de,

aproximadamente,

a) R$ 160,00.

b) R$ 198,00.

c) R$ 292,00.

d) R$ 225,00.

e) R$ 308,00.

15)Uma empresa produz jogos pedagógicos para jogadores, com custos fixos de R$ 1000,00 e custos variáveis de R$

100,00 por unidade de jogo produzida. Desse modo, o custo total para x jogos produzidos é dado por C(x) =1 + 0,1x

(em R$ 1000,00).

Page 58: NOVO ENEM I - 2012

A gerência de empresa determina que o preço de venda do produto seja de R$ 700,00. Com isso a receita bruta para x

jogos é dada por R(x) = 0,7x (em R$ 1000,00). O lucro líquido, obtido pela venda de x unidades de jogos, é calculado

pela diferença entre receita bruta e os custos totais.

O gráfico abaixo que modela corretamente o lucro líquido dessa empresa, quando são produzidos x jogos, é

a)

b)

c)

d)

e)

16) (ENEM) Nas últimas eleições presidenciais de um determinado país, onde 9% dos eleitores votaram em branco e

11% anularam o voto, o vencedor obteve 51% dos votos válidos. Não são considerados válidos os votos em branco e

nulos.

Pode-se afirmar que o vencedor, de fato, obteve de todos os eleitores um percentual de votos da ordem de

a) 38%.

b) 41%.

c) 44%.

d) 47%.

Page 59: NOVO ENEM I - 2012

e) 50%.

17) Um comerciante contratou um novo funcionário para cuidar das vendas. Combinou pagar a essa pessoa R$ 120,00

por semana, desde que as vendas se mantivessem em torno dos R$ 600,00 semanais e, como um estímulo, também

propôs que na semana na qual ele vendesse R$ 1.200,00, ele receberia R$ 200,00, em vez de R$ 120,00.

Ao término da primeira semana, esse novo funcionário conseguiu aumentar as vendas para R$ 990,00 e foi pedir ao

seu patrão um aumento proporcional ao que conseguiu aumentar nas vendas. O patrão concordou e, após fazer

algumas contas, pagou ao funcionário a quantia de

a) R$ 160,00.

b) R$ 165,00.

c) R$ 172,00.

d) R$ 180,00.

e) R$ 198,00.

18)Na avaliação do relatório da Organização Mundial de Saúde (OMS) sobre a violência, consta a seguinte

informação:

O custo da insegurança no Brasil consome quase 10,5% do Produto Interno Bruto (PIB) do país, enquanto, nos

Estados Unidos, esse custo consome apenas 3,3% de seu PIB.

Nessas condições, pode-se concluir que os custos da violência nos dois países seriam iguais, se, e somente se, o PIB

dos Estados Unidos superasse o do Brasil, em aproximadamente,

a) 72%

b) 96%

c) 133%

d) 218%

e) 303%

19)Uma amostra de água salgada apresenta 18% de salinidade.Isto significa que em 100 gramas da amostra teremos 18gramas de sais e 82 gramas de água. Qual a melhoraproximação do percentual de água da amostra a ser evaporado se quisermos obter 30% de salinidade? a) 30 % b) 36 % c) 42 % d) 49% e) 58%

20)Newton quer imprimir folhetos com a propaganda de sua empresa. Na gráfica A, o custo para a montagem deste

folheto é de R$ 120,00 e o valor da impressão por unidade é R$ 0,20. A gráfica B cobra R$ 80,00 para a montagem e

R$ 0,25 para impressão de cada unidade. Após análise cuidadosa, Newton concluiu que:

a) é vantagem fazer a encomenda na gráfica B para qualquer quantidade de folhetos.

b) a gráfica A oferece um custo menor que a B para um número de folhetos menor que 800.

c) se encomendar 1.000 folhetos da gráfica B, irá gastar R$ 320,00.

d) se desejar 1.000 folhetos gastará menos se encomendar da empresa A.

e) para a quantidade de 800 folhetos, o custo de qualquer das empresas é igual a R$ 290,00.

21)SÃO PAULO - O ministro da Fazenda, Guido Mantega, afirmou na terça-feira (07/04/2009) que o governo

permitiu reduzir o IPI (Imposto sobre Produtos Industrializados) para os eletrodomésticos da linha branca, como

fogão, geladeira e máquina de lavar.

Page 60: NOVO ENEM I - 2012

Atualmente, as alíquotas cobradas sobre esses produtos vão de 5%, no caso dos fogões, até 20%, para as máquinas de

lavar. Pela proposta, esta medida temporária é para estimular a produção nas empresas do setor, com capacidade

ociosa devido à redução no nível de atividade econômica. Como consequência dessa medida de combate à crise,

encontramos no comércio, já com a redução do IPI promoções e ofertas como a do encarte abaixo.

Nas condições acima, a taxa de juros simples do financiamento da geladeira é de:

a) 3,2 % ao mês.

b) 0,4% ao mês.

c) 5% ao mês.

d) 4% ao mês.

e) 6% ao mês.

22)(ENEM) Em um plano de saúde para empresas, a mensalidade de cada integrante de um grupo é diretamente

proporcional à média de idade e inversamente proporcional ao número de pessoas do grupo. Levando-se em

consideração apenas esses fatores, estabeleceu-se que cada integrante de um grupo com 40 pessoas, cuja média de

idade é de 32 anos, deve pagar uma mensalidade no valor de R$ 216,00.

Nas mesmas condições, cada integrante de um segundo grupo formado por uma pessoa de 48 anos, uma pessoa de 37

anos, três pessoas de 30 anos, quinze pessoas de 21 anos e dez de 23 anos deverá pagar mensalidade de

a) R$ 216,00

b) R$ 286,20

c) R$ 352,40

d) R$ 425,00

e) R$ 576,00

23)Todos os 50 funcionários do departamento X de uma empresa recebem salário de mesmo valor S.

Um estudo para reestruturação desse departamento apontou ser conveniente para a empresa a demissão de 20% dos

funcionários e o simultâneo reajuste salarial dos funcionários remanescentes em 5%, resultando numa folha mensal de

pagamento igual a P reais.

Supondo-se que, após algum tempo, 5

2 dos funcionários demitidos sejam recontratados sem que o valor P da folha de

pagamento seja alterado, pode-se afirmar que, em relação a S, os funcionários passarão a ter, no salário,

a) redução de, aproximadamente, 2%.

b) redução de, aproximadamente, 5%.

c) acréscimo de, aproximadamente, 1%.

d) acréscimo de, aproximadamente, 2%.

e) acréscimo de, aproximadamente, 3%.

24)Do ano de 2006 para o ano de 2010, uma operadora de telefonia móvel, operando em Sergipe, registrou um

crescimento de 28% no número de ligações telefônicas locais e 25% de aumento no tempo médio de cada ligação.

Sabe-se que, nesse período, o preço cobrado por minuto aumentou 40%.

Nessas condições, conclui-se que a receita dessa operadora com ligações locais cresceu, de 2006 para 2010

a) 93%

b) 124%

Page 61: NOVO ENEM I - 2012

c) 185%

d) 193%

e) 224%

25)Dois participantes de uma feira de Artesanato, em Propriá, auferiram, com as vendas feitas em uma manhã, um

mesmo valor x. No turno da tarde, enquanto um deles ganhou com as vendas mais R$ 1600,00, o outro, além de não

conseguir fazer outras vendas, fez compras no valor de R$ 220,00.

Nessas condições, o primeiro passou a ter o dobro do segundo, logo o valor, em reais, de x é

a) 1160 b) 1240 c) 1320 d) 1400 e) 1480 26)O Brasil, em 1997, com cerca de 160 x 10

6 habitantes, apresentou um consumo de energia da ordem de 250.000

TEP (tonelada equivalente de petróleo), proveniente de diversas fontes primárias.

O grupo com renda familiar de mais de vinte salários mínimos representa 5% da população brasileira e utiliza cerca de

10% da energia total consumida no país.

O grupo com renda familiar de até três salários mínimos representa 50% da população e consome 30% do total de

energia.

Com base nessas informações, pode-se concluir que o consumo médio de energia para um indivíduo do grupo de

renda superior é x vezes maior do que para um indivíduo do grupo de renda inferior. O valor aproximado de x é:

a) 2,1.

b) 3,3.

c) 6,3.

d) 10,5.

e) 12,7.

27)Uma pequena empresa em Estância tomou um empréstimo em um banco. Desse empréstimo, 37% foram aplicados

na compra de matéria-prima, 18%, em pagamentos de contas atrasadas e o restante, R$ 30600,00, aplicado no setor de

produção.

Com base nessa informação, pode-se afirmar que o valor desse empréstimo foi igual, em reais, a

a) 68000 b) 78000 c) 58000 d) 50000 e) 48000

28)(ENEM) Na seleção para as vagas deste anúncio, feita por telefone ou correio eletrônico, propunha-se aos

candidatos uma questão a ser resolvida na hora.

Deveriam calcular seu salário no primeiro mês, se vendessem 500 m de tecido com largura de 1,40 m, e no segundo

mês, se vendessem o dobro. Foram bem-sucedidos os jovens que responderam, respectivamente,

Page 62: NOVO ENEM I - 2012

a) R$ 300,00 e R$ 500,00.

b) R$ 550,00 e R$ 850,00.

c) R$ 650,00 e R$ 1000,00.

d) R$ 650,00 e R$ 1300,00.

e) R$ 950,00 e R$ 1900,00.

GABARITO

01-D 08-B 15-B 22-A

02-D 09-C 16-B 23-B

03-D 10-C 17-C 24-B

04-C 11-D 18-D 25-A

05-A 12-C 19-D 26-B

06-E 13-C 20-D 27-A

07-B 14-D 21-D 28-C

PROGRESSÃO ARITMÉTICA Introdução ........................................................................................................................... 62

1. Conceito de Progressão Aritmética - PA .......................................................................... 63

2. Termo Geral de uma PA .................................................................................................. 63

3. Propriedades das Progressões Aritméticas ..................................................................... 64

4. Soma dos n primeiros termos de uma PA ........................................................................ 65

5. Exercícios resolvidos e propostos .................................................................................... 65

INTRODUÇÃO

Chama-se seqüência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos. Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) é uma seqüência cujo primeiro termo é 3, o segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente.

Uma seqüência pode ser finita ou infinita. O exemplo dado acima é de uma seqüência finita. Já a seqüência P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita.

Uma seqüência numérica pode ser representada genericamente na forma: (a1, a2, a3, ... , ak, ... , an, ...) onde a1 é o primeiro termo, a2 é o segundo termo, ... , ak é o k-ésimo termo, ... , an é o n-ésimo termo. (Neste caso, k < n).

Por exemplo, na seqüência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemos dizer que a3 = 18, a5 = 162, etc.

São de particular interesse, as seqüências cujos termos obedecem a uma lei de formação, ou seja é possível escrever uma relação matemática entre eles. Assim, na seqüência Y acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por 3.

A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona entre si os termos da seqüência, é

denominada termo geral.

Page 63: NOVO ENEM I - 2012

Considere por exemplo a seqüência S cujo termo geral seja dado por an = 3n + 5, onde n é um

número natural não nulo. Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo an (n - ésimo termo) correspondente.

Assim por exemplo, para n = 20, teremos an = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vigésimo termo dessa

seqüência (a20) é igual a 65. Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a seqüência S que seria: S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ).

Dado o termo geral de uma seqüência, é sempre fácil determiná-la. Seja por exemplo a seqüência de termo geral an = n2 + 4n + 10, para n inteiro e positivo. Nestas condições, podemos concluir que a seqüência poderá ser escrita como:

(15, 22, 31, 42, 55, 70, ... ). Por exemplo: a6 = 70 porque a6 = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.

1. CONCEITO DE PROGRESSÃO ARITMÉTICA - PA

Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda seqüência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.

Exemplos:

A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente) B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente) C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante) D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)

2. TERMO GERAL DE UMA PA

Seja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r. De acordo com a definição podemos escrever: a2 = a1 + 1.r a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r .....................................................

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: an = a1 + (n – 1) . r A expressão an = a1 + (n – 1) . r é denominada termo geral da PA.

Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem n (n-ésimo termo) , r é a razão e a1 é o primeiro termo da Progressão Aritmética – PA.

Exemplos: 1) Qual o milésimo número ímpar positivo?

Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a1= 1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimo termo a1000. Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever:

a1000 = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999.

Page 64: NOVO ENEM I - 2012

Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar. 2) Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ?

Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n.

Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n - 1). (- 2) ; logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n , de onde vem n =

40.

Portanto, a PA possui 40 termos.

Através de um tratamento simples e conveniente da fórmula do termo geral de uma PA, podemos generaliza-la da seguinte forma:

Sendo aj o termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA e ak o termo de ordem k ( k-ésimo termo) da PA, poderemos escrever a seguinte fórmula genérica:

aj = ak + (j - k).r

Exemplos:

1) Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão?

Temos a5 = 30 e a20 = 60. Pela fórmula anterior, poderemos escrever:

a20 = a5 + (20 - 5) . r e substituindo fica: 60 = 30 + (20 - 5).r ; 60 - 30 = 15r ; logo, r = 2.

2) Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo?

Temos r = 5, a20 = 8. Logo, o termo procurado será: a3 = a20 + (3 – 20).5 a3 = 8 –17.5 = 8 – 85 = - 77.

3. PROPRIEDADES DAS PROGRESSÕES ARITMÉTICAS

Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste.

Exemplo:

PA: ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2

Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo: Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente de resolver o problema é considerar que a

PA é do tipo: (x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.

Page 65: NOVO ENEM I - 2012

Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.

Exemplo:

PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r

Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de problemas.

4. SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA PA

Seja a PA ( a1, a2, a3, ..., an-1, an). A soma dos n primeiros termos Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an , pode ser deduzida facilmente, da

aplicação da segunda propriedade acima.

Temos:

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an

É claro que também poderemos escrever a igualdade acima como: Sn = an + an-1 + ... + a3 + a2 + a1

Somando membro a membro estas duas igualdades, vem: 2. Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1)

Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo valor (

são iguais à soma dos termos extremos a1 + an ) , de onde concluímos inevitavelmente que: 2.Sn = (a1 + an).n , onde n é o número de termos da PA.

Daí então, vem finalmente que:

2

)aa(S n1

n

Exemplo:

Calcule a soma dos 200 primeiros números ímpares positivos.

Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) Precisamos conhecer o valor de a200 . Mas, a200 = a1 + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399 Logo, Sn = [(1 + 399). 200] / 2 = 40.000 Portanto, a soma dos duzentos primeiros números ímpares positivos é igual a 40000.

5. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS

1 - Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. : (7/5, 1, 3/5, ...), a partir do primeiro termo, para que a soma seja negativa?

Page 66: NOVO ENEM I - 2012

*a) 9 b) 8 c) 7 d ) 6 e) 5

Solução:

Temos: a1 = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5, ou seja: r = -2/5. Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo an: an = a1 + (n – 1).r = 7/5 + (n – 1).(-2/5) an = 7/5 – 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) –2n/5 = 9/5 –2n/5 = (9 – 2n)/5

A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista anteriormente será então: Sn = (a1 + an). (n/2) = [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2) = [(16 – 2n)/5].(n/2) Sn = (16n – 2n2) / 10

Ora, nós queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem: (16n – 2n2) / 10 < 0 Como o denominador é positivo, para que a fração acima seja negativa, o numerador deve ser

negativo. Logo, deveremos ter: 16n – 2n2 < 0

Portanto, n(16 – 2n ) < 0 Ora, como n é o número de termos, ele é um número inteiro e positivo. Portanto, para que o

produto acima seja negativo, deveremos ter: 16 – 2n < 0, de onde vem 16 < 2n ou 2n > 16 ou n > 8.

Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9.

Portanto, a alternativa correta é a letra A.

2 - As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e estão em P.A. , nesta ordem. O perímetro do triângulo vale:

a) 8 b) 12 c) 15 *d) 24 e) 33 Solução:

Ora, se x + 1, 2x , x2 – 5 formam uma P.A. , podemos escrever:

2x – (x + 1) = (x2 – 5) – 2x 2x – x –1 + 5 – x2 + 2x = 0 3x + 4 – x2 = 0

Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica:

Page 67: NOVO ENEM I - 2012

x2 – 3x – 4 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos: x = 4 ou x = - 1.

Assim, teremos:

x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, x2 – 5 ou substituindo o valor de x encontrado: 5, 8, 11,

que são as medidas dos lados do triângulo. Portanto, o perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados) será igual a 5+8+11 = 24. O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria a valores negativos para os lados do triângulo, o que é uma impossibilidade matemática, pois as medidas dos lados de um triângulo são necessariamente positivas. Portanto, a alternativa correta é a letra D.

3 - UFBA - Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá , de zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x.

Resp: 60

Solução:

Teremos que:

0 hora o relógio baterá 12 vezes. 1 hora o relógio baterá 1 vez 2 horas o relógio baterá 2 vezes 3 horas o relógio baterá 3 vezes .................................................... .................................................... 12 horas o relógio baterá 12 vezes.

Logo, teremos a seguinte seqüência: (12, 1, 2, 3, 4, 5, ... , 12)

A partir do segundo termo da seqüência acima, temos uma PA de 12 termos, cujo primeiro termo é

igual a 1, a razão é 1 e o último termo é 12.

Portanto, a soma dos termos desta PA será: S = (1 + 12).(12/2) = 13.6 = 78

A soma procurada será igual ao resultado anterior (a PA em vermelho acima) mais as 12 batidas

da zero hora. Logo, o número x será igual a x = 78 + 12 = 90. Logo, o dobro da terça parte de x será: 2. (90/3) = 2.30 = 60, que é a resposta do problema proposto.

4 - UFBA - Numa progressão aritmética, o primeiro termo é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número de termos é 2. Calcule a razão dessa progressão.

Resp: r = -1

Solução:

Temos: a1 = 1 e an + n = 2, onde an é o n-ésimo termo. Fazendo n = 2, vem: a2 + 2 = 2, de onde vem imediatamente que a2 = 0.

Page 68: NOVO ENEM I - 2012

Daí, r = a2 – a1 = 0 – 1 = -1, que é a resposta procurada. 5 - A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é:

a) 64376 b) 12846 c) 21286 d) 112 *e) 61376

Solução:

Números com 3 algarismos: de 100 a 999. Primeiro múltiplo de 8 maior do que 100 = 104 (que é igual a 8x13)

Maior múltiplo de 8 menor do que 999 = 992 (que é igual a 8x124) Temos então a PA: (104, 112, 120, 128, 136, ... , 992). Da fórmula do termo geral an = a1 + (n – 1) . r poderemos escrever: 992 = 104 + (n – 1).8, já que a razão da PA é 8.

Daí vem: n = 112

Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos finalmente:

Sn = S112 = (104 + 992).(112/2) = 61376 A alternativa correta é portanto, a letra E.

6 – Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo com o

sétimo é igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60.

Resp: 965

Solução:

Podemos escrever: a3 + a7 = 30 a4 + a9 = 60

Usando a fórmula do termo geral, poderemos escrever: a1 + 2r + a1 + 6r = 30 ou 2.a1 + 8r = 30 a1 + 3r + a1 + 8r = 60 ou 2.a1 + 11r = 60

Subtraindo membro a membro as duas expressões em negrito, vem: 3r = 30 , de onde concluímos que a razão é igual a r = 10.

Substituindo numa das equações em negrito acima, vem: 2.a1 + 8.10 = 30, de onde tiramos a1 = - 25. Logo, o centésimo termo será:

Page 69: NOVO ENEM I - 2012

a100 = a1 + 99r = - 25 + 99.10 = 965

Agora resolva estes:

1) UFBA - Considere a P.A. de razão r , dada por (log4 , log12 , log36 , ... ). Sendo a22 = k, determine 10k + r : 320.

Resp: 36

2) Determine três números em PA tais que a soma deles seja 15 e a soma dos seus quadrados

seja 83. Resp: 3, 5 e 7.

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 1. Definição ......................................................................................................................... 69

2. Fórmula do termo geral ................................................................................................... 69

3. Propriedades principais ................................................................................................... 70

4. Soma dos n primeiros termos de uma PG ....................................................................... 70

5. Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada ..................................................... 71

6. Exercícios resolvidos e propostos .................................................................................... 71

1. DEFINIÇÃO

Entenderemos por progressão geométrica - PG - como qualquer seqüência de números reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão.

Exemplos:

(1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razão 2 (5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razão 1 (100,50,25, ... ) PG de razão 1/2 (2,-6,18,-54,162, ...) PG de razão -3

2. FÓRMULA DO TERMO GERAL

Seja a PG genérica: (a1, a2, a3, a4, ... , a n, ... ) , onde a1 é o primeiro termo, e an é o n-ésimo termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos escrever:

a2 = a1 . q a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q

2

a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q

3

................................................

................................................

Infere-se (deduz-se) que: an = a1 . qn-1 , que é denominada fórmula do termo geral da PG.

Genericamente, poderemos escrever: aj = ak . q

j-k

Exemplos:

a) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo.

Page 70: NOVO ENEM I - 2012

Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o décimo termo ou seja a10, vem pela fórmula: a10 = a1 . q

9 = 2 . 29 = 2. 512 = 1024

b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão desta PG?

Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a8 = a4 . q8-4 . Daí, vem: 320 = 20.q4

Então q4 =16 e portanto q = 2.

Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa como:

(x/q, x, xq), onde q é a razão da PG.

3. PROPRIEDADES PRINCIPAIS

P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e posterior.

Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G)

Temos então: B2 = A . C ; C2 = B . D ; D2 = C . E ; E2 = D . F etc.

P2 - o produto dos termos eqüidistantes dos extremos de uma PG é constante.

Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G)

Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D2 4. SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA PG

Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn , vamos considerar o que segue:

Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an

Multiplicando ambos os membros pela razão q vem: Sn . q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q .

Logo, conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão acima como:

Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q

Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem: Sn . q = Sn - a1 + an . q

Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:

Se substituirmos a n = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:

Page 71: NOVO ENEM I - 2012

Exemplo:

Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...) Temos:

Observe que neste caso a1 = 1. 5. SOMA DOS TERMOS DE UMA PG DECRESCENTE E ILIMITADA

Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:

Exemplo:

Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100 Ora, o primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula,

vem:

Daí, vem: x = 100 . 1/2 = 50 6. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS

1) Se a soma dos tres primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu produto é 729 , então sendo a, b e c os tres primeiros termos , pede-se calcular o valor de a2 + b2 + c2 .

Solução:

Sendo q a razão da PG, poderemos escrever a sua forma genérica: (x/q, x, xq). Como o produto dos 3 termos vale 729, vem:

x/q . x . xq = 729 de onde concluímos que:

x3 = 729 = 36 = 33 . 33 = 93 , logo, x = 9.

Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9q

É dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo:

9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q – 30 = 0

Multiplicando ambos os membros por q, fica:

Page 72: NOVO ENEM I - 2012

9 + 9q2 – 30q = 0

Dividindo por 3 e ordenando, fica:

3q2 – 10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau.

Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos q = 3 ou q = 1/3.

Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar apenas o valor

q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente.

Portanto, a PG é: 9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9, 3.

O problema pede a soma dos quadrados, logo: a2 + b2 + c2 = 272 + 92 + 32 = 729 + 81 + 9 = 819

2) Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9 onde a última parcela contém n algarismos.

Nestas condições, o valor de 10n+1 - 9(S + n) é: A) 1 *B) 10 C) 100 D) -1 E) -10

Solução: Observe que podemos escrever a soma S como: S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000 – 1) + ... + (10n – 1) S = (10 – 1) + (102 – 1) + (103 – 1) + (104 – 1) + ... + (10n – 1)

Como existem n parcelas, observe que o número (– 1) é somado n vezes,

resultando em n(-1) = - n.

Logo, poderemos escrever:

S = (10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n ) – n

Vamos calcular a soma Sn = 10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n , que é uma PG de primeiro termo a1 = 10, razão q = 10 e último termo an = 10n . Teremos:

Sn = (an.q – a1) / (q –1) = (10n . 10 – 10) / (10 – 1) = (10n+1 – 10) / 9

Substituindo em S, vem:

S = [(10n+1 – 10) / 9] – n

Deseja-se calcular o valor de 10n+1 - 9(S + n)

Temos que S + n = [(10n+1 – 10) / 9] – n + n = (10n+1 – 10) / 9

Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica:

Page 73: NOVO ENEM I - 2012

10n+1 – 9(S + n) = 10n+1 – 9(10n+1 – 10) / 9 = 10n+1 – (10n+1 – 10) = 10

3) O limite da expressão onde x é positivo, quando o número de radicais aumenta indefinidamente é igual a:

A) 1/x *B) x C) 2x D) n.x E) 1978x

Solução:

Observe que a expressão dada pode ser escrita como: x1/2. x1/4 . x1/8 . x1/16 . ... = x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ...

O expoente é a soma dos termos de uma PG infinita de primeiro termo a1 = 1 /2 e razão q = 1 /2.

Logo, a soma valerá: S = a1 / (1 – q) = (1 /2) / 1 – (1 /2) = 1

Então, x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ... = x1 = x

4) UEFS - Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, estão em progressão geométrica de razão 2. Um desses ângulos mede:

a) 28° b) 32° c) 36° *d) 48° e) 50° Solução: Seja x o menor ângulo interno do quadrilátero em questão. Como os ângulos estão em Progressão

Geométrica de razão 2, podemos escrever a PG de 4 termos: ( x, 2x, 4x, 8x ).

Ora, a soma dos ângulos internos de um quadrilátero vale 360º.

Logo, x + 2x + 4x + 8x = 360º 15.x = 360º

Portanto, x = 24º . Os ângulos do quadrilátero são, portanto: 24º, 48º, 96º e 192º.

O problema pede um dos ângulos. Logo, alternativa D.

Agora resolva este:

Calcular a razão de uma PG, sabendo-se que o seu primeiro termo é o dobro da razão e que a soma dos dois primeiros termos é 24.

Resposta: 3

Page 74: NOVO ENEM I - 2012

ATIVIDADE DE REVISÃO

01. (Unifor-CE) Nas casas de uma grande malha quadriculada devem ser colocados grãos de milho, em quantidades

que obedecem a uma lei de formação sequencial, conforme é mostrado na figura seguinte.

Segundo essa lei, o total de grãos de milho que devem ser colocados na casa em que se encontra o ponto de

interrogação é um número:

a) ímpar b) primo c) divisível por 9 d) múltiplo de 5 e) maior que 200

Texto para as questões 02 e 03

(UFPel-RS) Durante anos, paleontólogos vêm buscando indícios que possam ajudar a desvendar o mistério da

verdadeira origem do homem. A partir de várias investigações, foi possível conhecer algumas espécies de hominídeos,

estimar altura e capacidade craniana.

Dados em: <www.moderna.com.br/matematica/ asmatematicas/mat_trans/0002> Acesso em: 06/04/05 [adapt.]

A ilustração abaixo mostra uma sequência da evolução da espécie, com relação à altura. Sabendo que as alturas estão

em progressão aritmética, que sua soma é 4,59 m e que a razão entre elas é 0,26 m, analise as afirmativas abaixo.

I. A altura do Homo habilisé de 1,27 m.

II. O Homo sapiens é 0,52 m mais alto do que o Homo habilis.

III. A altura do Homo erectusé a média aritmética das alturas do Homo sapiens e do Homo habilis.

IV. A altura do Homo sapiens é 1,54 m.

02. Estão corretas apenas as afirmativas:

a) I, II e III b) II, III e IV c) I e II d) I e III e) III e IV

Page 75: NOVO ENEM I - 2012

03. As medidas das alturas de três irmãos estão em progressão geométrica. Se os dois maiores medem 1,60m e

1,80m, a altura do menor é, aproximadamente, igual a:

a) 1,36m b) 1,42m c) 1,48m d) 1,54m e) 1,30m

04. Numa plantação de eucaliptos, as árvores são atacadas por uma praga, semana após semana. De acordo com

observações feitas, uma árvore adoeceu na primeira semana; outras duas, na segunda semana; mais quatro, na terceira

semana e, assim por diante, até que, na décima semana, praticamente toda a plantação ficou doente, exceto sete

árvores. Pode-se afirmar que o número total de árvores dessa plantação é

a) menor que 824. b) igual a 1030. c) maior que 1502. d) igual a 1024. e) igual a 1320.

05.

O QUE É O EFEITO ESTUFA

A energia do Sol, ao atingir a superfície da Terra,

transforma-se em calor. Ele é irradiado, mas não se

dissipa de todo. Uma parte não atravessa a camada de

gases-estufa. Sem essa camada a envolver a Terra, a

temperatura média na sua

superfície seria de -19°C.

Graças ao efeito estufa,

ela é de 14°C. A maioria

dos gases−estufa é

produzida naturalmente,

caso do metano (CH4),

produto da decomposição

da matéria orgânica.

Outros são o vapor de

água, o dióxido de

carbono (CO2), o ozônio (O3) e o óxido nitroso (N2O):

eles retêm calor. Quando são acrescentados à camada,

aumenta a retenção, e a temperatura sobe. Tudo indica

que esse fenômeno está ligado à industrialização. A

queima de derivados de petróleo, carvão e gás natural

aumenta a concentração de gases−estufa. A elevação

da temperatura no século XX foi de 0,6°C, com

margem de erro de 0,2°C.

(ATUALIDADES vestibular 2004. Almanaque Abril.

São Paulo: Ed. Abril, 2004, p. 91)

Admitindo que a temperatura média, na superfície da Terra, no ano 2000, tenha sido de 14°C e que essa temperatura

média se eleve 0,6°C a cada 100 anos, conclui-se que, no ano 5000, ela será de

a) 26°C b) 28°C c) 30°C d) 32°C e) 34°C

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06. (UFSM-RS) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bolita (bola de gude); então pegou sua coleção de bolitas e formou

uma sequência de “T” (a inicial de seu nome), conforme afigura:

Supondo que o guri conseguiu formar 10 “T” completos, pode-se, seguindo o mesmo padrão, afirmar que ele possuía:

a) mais de 300 bolitas b) pelo menos 230 bolitas c) menos de 220 bolitas d) exatamente 300 bolitas e) exatamente 41 bolitas

07. (UFBA - Adaptada) Um agricultor plantou uma série de mamoeiros, distando 3 m um do outro e formando uma

fila, em linha reta, com72 m de comprimento. Alinhado com os mamoeiros, havia um depósito, situado a 20 m de

distância do primeiro. O agricultor, para fazer a colheita, partiu do depósito e, margeando sempre os mamoeiros,

colheu os frutos do primeiro e levou-os ao depósito; em seguida, colheu os frutos do segundo, levando-os para o

depósito; e, assim, sucessivamente, até colher e armazenar os frutos do último mamoeiro.

Considere que o agricultor anda 50 metros por minuto, gasta 5 minutos para colher os frutos de cada mamoeiro, e mais

5 para armazená-los no depósito. Nessas condições, pode-se concluir que o agricultor:

a) plantou 20 pés de mamão. b) plantou o 12º mamoeiro a 56 metros do depósito. c) ao completar a tarefa de colheita e armazenamento dos frutos de todos os mamoeiros, tinha andado 2800

metros. d) quando fez a colheita dos frutos do 10º mamoeiro, havia passado 6 vezes pelo 5º mamoeiro. e) para realizar toda a tarefa de colheita e armazenamento, gastou exatamente 5 horas.

08. Uma pessoa decidiu depositar moedas de 1, 5, 10, 25 e 50 centavos em um cofre durante certo tempo. Todo dia da

semana ela depositava uma única moeda, sempre nesta ordem: 1, 5, 10, 25, 50, e novamente, 1, 5, 10, 25, 50, assim

sucessivamente.

Se a primeira moeda foi depositada em uma segunda-feira, então essa pessoa conseguiu a quantia exata de R$ 95,05

após depositar a moeda de

a) 1 centavo no 679º dia, que caiu numa segunda-feira. b) 5 centavos no 186º dia, que caiu uma quinta-feira. c) 10 centavos no 188º dia, que caiu uma quinta-feira. d) 25 centavos no 524º dia, que caiu num sábado. e) 50 centavos no 535º dia, que caiu numa quinta-feira.

09. (UFPel-RS) Em 1970, época em que a população brasileira crescia, a cada 40 anos, numa progressão geométrica

de razão “q”, éramos 90 milhões de brasileiros. Esse crescimento foi alterado devido a transformações ocorridas nas

famílias brasileiras, como a entrada de mulheres no mercado de trabalho e o planejamento familiar, principalmente

com a popularização dos anticoncepcionais. Nesse novo contexto, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística

(IBGE) projeta, para o ano de 2050, uma população de 260 milhões, 302,5 milhões de pessoas a menos do que

teríamos se a população tivesse mantido o crescimento na mesma progressão geométrica de razão “q”, a cada 40anos.

Com base nos textos e em seus conhecimentos, é correto afirmar que a razão “q” é igual a:

a) 2. b) 1,4 c) 3,12 d) 6,25 e) 2,5

Page 77: NOVO ENEM I - 2012

10. Desde o início do mês de dezembro está sendo realizada a campanha de arrecadação de brinquedos para serem

distribuídos a crianças carentes na festa de Natal. Supondo que um posto de coleta recebeu 1 brinquedo no primeiro

dia da campanha, 5, no segundo dia, 25, no terceiro dia e, assim por diante, seguindo uma progressão geométrica. Ao

final de quantos dias, o posto terá arrecadado o total de 19.531 brinquedos?

a) 7 b) 5 c) 13 d) 11 e) 9

11. Um cliente, ao chegar a uma agência bancária, retirou a última senha de atendimento do dia, com o número 49.

Verificou que havia 12 pessoas à sua frente na fila, cujas senhas representavam uma progressão aritmética de números

naturais consecutivos, começando em 37.

Algum tempo depois, mais de 4 pessoas desistiram do atendimento e saíram do banco. Com isso, os números das

senhas daquelas que permaneceram na fila passaram a formar uma nova progressão aritmética.

Se os clientes com as novas senhas de 37 a 49 não saíram do banco, o número máximo de pessoas que pode ter

permanecido na fila é:

a) 6 b) 7 c) 9 d) 12 e) 14

12. (UFPel-RS) A paixão do brasileiro por automóvel é conhecida e explorada pelos fabricantes, que investem muito

em publicidade. Os anúncios destacam o design, a qualidade, a potência, a valorização do veículo, além da infinidade

de outros itens.

Um fabricante afirma que um de seus modelos, que custava em 2001 R$ 25.000,00, sofreu uma desvalorização de R$

1.500,00 ao ano.

Se calcularmos a cotação desse carro, ano a ano, até 2005, podemos dizer que esses valores são termos de uma

progressão:

a) Geométrica, em que o termo médio é 22.000. b) Geométrica decrescente de razão 21.500. c) Aritmética, em que a soma é 91.000. d) Aritmética, em que a soma é 110.000. e) Aritmética, em que o termo médio é igual a23.500.

13. (Insper) O vovô Fibonacci propôs um acordo de mesada ao seu netinho, prometendo que lhe daria R$ 1,00 no

primeiro mês, R$ 1,00 no segundo mês, e, a partir do terceiro mês, lhe daria sempre a soma do que lhe fora dado nos

dois meses imediatamente anteriores. Este procedimento duraria até que o valor dado num mês fosse igual ao

quadrado do número do mês, contando desde o primeiro mês. A partir do mês seguinte, a sequência de valores gerada

desde o primeiro mês seria repetida. Apesar de o valor inicial ser baixo, o netinho percebeu que o valor da mesada iria

crescer rapidamente, e que, provavelmente demoraria décadas para o valor da mesada ser igual ao quadrado do

número do mês. O netinho se enganou, porque:

a) No 6º mês ele receberia R$ 36,00. b) No 12º mês ele receberia R$ 144,00. c) No 24º mês ele receberia R$ 576,00. d) No 48º mês ele receberia R$ 2.304,00. e) No 96º mês ele receberia R$ 9.216,00.

14. (Unifor-CE) Suponha que, em 15/01/2006, Bonifácio tinha R$ 27,00 guardados em seu cofre, enquanto Valfredo

tinha R$ 45,00 guardados no seu e, a partir de então, no décimo quinto dia de cada mês subsequente as quantias

contidas em cada cofre aumentam segundo os termos de progressões aritméticas de razões R$ 8,00 e R$ 5,00,

respectivamente. Considerando que nenhum deles fez qualquer retirada, a quantia do cofre de Bonifácio superou a do

Valfredo no mês de:

a) Junho

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b) Julho c) Agosto d) Setembro e) Outubro

15. (UEMS) Uma companhia telefônica fez a promoção “quanto mais liga menos paga”. A proposta se constitui em

agrupar as ligações efetuadas no mês, em intervalos de cinco minutos. Cada intervalo tem um preço diferenciado por

minuto, da seguinte forma:

Para os primeiros cinco minutos, o preço é R$ 0,90 por minuto. Para o segundo intervalo de cinco minutos, o preço é

de R$ 0,80 por minuto.

Para o terceiro intervalo, o preço é de R$ 0,70 por minuto e, assim, o valor por minuto decresce até 25 minutos.

Acima desta quantidade de minutos, o preço será de R$ 0,40 por minuto.

Considerando essa proposta, se uma pessoa utilizar 35 minutos de ligação no mês, o valor de sua conta telefônica será

de:

a) R$ 14,00 b) R$ 19,50 c) R$ 21,50 d) R$ 22,75 e) R$ 26,50

16. (ENEM) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas

seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33000 passagens; em fevereiro, 34500; em março, 36000. Esse

padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes.

Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?

a) 38000 b) 40500 c) 41000 d) 42000 e) 48000

17. Um agricultor precisa regar 30 árvores que se encontram em linha reta, situando-se 3 m uma da outra. A fonte de água encontra-se a alinhada com as árvores, situando-se 10 m antes da primeira. Ao encher seu regador na fonte, o agricultor só consegue regar 3 árvores de cada vez. Considere que o agricultor começou e terminou na fonte. Quantos metros o agricultor percorreu em sua ultima viagem?

a) 190 b) 192 c) 194 d) 197 e) 200 18. Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir.

FIGURA I FIGURA II FIGURA III

Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura?

a) 4C Q

b) 3 1 C Q

c) 4 1 C Q

d) 3 C Q

e) 4 2 C Q

Page 79: NOVO ENEM I - 2012

19. (PROFMAT) O campo magnético do sol periodicamente se torna muito mais intenso, aparecem as manchas

solares e ocorrem as tempestades que são enormes explosões. Isto dura alguns meses e depois desaparece. Tal

fenômeno foi observado pela primeira vez no ano de 1755 e se repete com regularidade a cada 11 anos.

A última vez que esse fato ocorreu foi em

a) 2004 b) 2005 c) 2006 d) 2007 e) 2008 20. (ENEM) Ronaldo é um garoto que adora brincar com números. Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência conforme mostrada no esquema a seguir.

Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era

possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas. A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9ª

linha da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo?

a) 9 b) 45 c) 64 d) 81 e) 285

21. Uma bola de boliche de 2 kg foi arremessada em uma pista plana. A tabela abaixo registra a velocidade e a energia

cinética da bola ao passar por três pontos dessa pista: A, B e C.

Se (E1, E2, E3) é uma progressão geométrica de razão, a razão da progressão geométrica (V1, V2, V3) está indicada em:

a) 1

b) 2

c) 2

2

d) 1

2

e) 2 2

22. O código de barras, contido na maior parte dos produtos industrializados, consiste num conjunto de várias barras

que podem estar preenchidas com cor escura ou não. Quando um leitor óptico passa sobre essas barras, a leitura de

uma barra clara é convertida no número 0 e a de uma barra escura, no número 1. Observe abaixo um exemplo

simplificado de um código em um sistema de código com 20 barras.

Se o leitor óptico for passado da esquerda para a direita irá ler: 01011010111010110001

Se o leitor óptico for passado da direita para a esquerda irá ler: 10001101011101011010

Page 80: NOVO ENEM I - 2012

No sistema de código de barras, para se organizar o processo de leitura óptica de cada código, deve-se levar em

consideração que alguns códigos podem ter leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a esquerda, como o

código 00000000111100000000, no sistema descrito.

Em um sistema de códigos que utilize apenas cinco barras, a quantidade de códigos com leitura da esquerda para a

direita igual à da direita para a esquerda, desconsiderando-se todas as barras claras ou todas as escuras, é

a) 14. b) 12. c) 8. d) 6. e) 4.

23. (ENEM) Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) — objeto que pode ser dividido em partes que possuem

semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e o comportamento

dos fractais — objetos geométricos formados por repetições de padrões similares.

O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes

passos:

1. comece com um triângulo equilátero (figura 1);

2. construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três cópias;

3. posicione essas cópias de maneira que cada triângulo tenha um vértice comum com um dos vértices de cada um dos

outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2;

4. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3).

De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da sequência apresentada acima é

a)

b)

c)

d)

e)

GABARITO

01-D 07-C 13-B 19-E

02-A 08-D 14-C 20-D

03-B 09-B 15-C 21-C

04-B 10-A 16-D 22-D

05-D 11-B 17-C 23-C

06-B 12-D 18-B

Page 81: NOVO ENEM I - 2012

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Introdução ........................................................................................................................... 81

1. Fatorial ............................................................................................................................ 81

2. Princípio fundamental da contagem - PFC ...................................................................... 81

3. Permutações simples ...................................................................................................... 82

4. Permutações com elementos repetidos ........................................................................... 82

5. Arranjos simples .............................................................................................................. 83

6. Combinações simples ...................................................................................................... 83

7. Soluções inteiras não negativas de uma equação linear ................................................. 84

8. Exercícios resolvidos ....................................................................................................... 85

9. Exercícios propostos ....................................................................................................... 92

INTRODUÇÃO

Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem.

Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-

1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).

A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o

número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições. 1. FATORIAL

Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) como sendo:

n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n ³ 2.

Para n = 0 , teremos : 0! = 1. Para n = 1 , teremos : 1! = 1 Exemplos:

a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 b) 4! = 4.3.2.1 = 24 c) observe que 6! = 6.5.4! d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 e) 10! = 10.9.8.7.6.5! f ) 10! = 10.9.8!

2. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM - PFC

Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente , então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por:

T = k1. k2 . k3 . ... . kn

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Exemplo: O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do

alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?

Solução:

Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ.

Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos. Perceberam? 3. PERMUTAÇÕES SIMPLES

- Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.

Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.

- O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é Pn = n! onde n! = n(n-1)(n-2)... .1 .

Exemplos:

a) P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

b) Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares.

P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

- Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum.

Exemplo:

Os possíveis anagramas da palavra REI são: REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER.

4. PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS

Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente , o número total de permutações que podemos formar é dado por:

Exemplo:

Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o acento)

Solução:

Page 83: NOVO ENEM I - 2012

Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três , a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o número procurado, podemos escrever:

k= 10! / (2!.3!.2!) = 151200 Resp: 151200 anagramas.

5. ARRANJOS SIMPLES

- Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k, a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos:

a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb. b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

- Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por An,k ,

teremos a seguinte fórmula:

Obs : é fácil perceber que An,n = n! = Pn . (Verifique)

Exemplo:

Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para conseguir abri-lo?

Solução:

As seqüências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8.

Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado:

10.9.8 = 720. Observe que 720 = A10,3

6. COMBINAÇÕES SIMPLES

- Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que s elementos são colocados.

Exemplo:

No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar: a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd. b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd. c) combinações de taxa 4: abcd.

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- Representando por Cn,k o número total de combinações de n elementos tomados k a k (taxa k) , temos a seguinte fórmula:

Obs: o número acima é também conhecido como Número binomial e indicado por:

Exemplo:

Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?

Solução:

Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10.

Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a:

C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] C15,10 = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 3003

7. SOLUÇÕES INTEIRAS NÃO NEGATIVAS DE UMA EQUAÇÃO LINEAR

Considere a equação linear a seguir:

x1 + x2 + x3 + ... + xn = b, onde b N (N = conjunto dos números naturais).

As soluções desta equação, são os valores de x1, x2, ... , xn que formam um conjunto ordenado

(x1,x2,x3,...,xn), denominado n - upla (ênupla) ordenada.

Exemplo: Seja a equação linear x1 + x2 + x3 = 3.

As soluções inteiras não negativas da equação acima são as ênuplas: (0,0,3) (0,1,2) (0,2,1) (0,3,0) (1,0,2) (1,1,1) (1,2,0) (2,0,1) (2,1,0) (3,0,0) Observe que existem 10 soluções inteiras não negativas para a equação dada.

Considere agora o problema seguinte: Existem quantas soluções inteiras não negativas, para a equação linear:

x1 + x2 + x3 + ... + xn = b, com b N ?

Demonstra-se que o número Y, de soluções inteiras não negativas desta equação linear, é dada por:

Page 85: NOVO ENEM I - 2012

Portanto, o número Y de soluções inteiras e não negativas da equação linear dada é:

8. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1) Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto?

Solução:

Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou fechada. Para a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente.

Para as seis portas, teremos então, pelo Princípio Fundamental da Contagem - PFC: N = 2.2.2.2.2.2 = 64 Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as duas portas fechadas, teremos então

que o número procurado é igual a 64 - 1 = 63.

Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis.

2) De quantos modos diferentes podem ser dispostas em fila (p+q) pessoas sendo p homens de alturas todas diferentes e q mulheres também de alturas diferentes, de modo que, tanto no grupo dos homens como no das mulheres, as pessoas se sucedam em alturas crescentes?

Solução:

Supondo os p homens e as q mulheres ordenados segundo suas alturas crescentes, teremos ao todo (p+q) pessoas. Ordenando-se os p homens em p dos (p+q) lugares, as q mulheres ocuparão os q lugares restantes.

Ora, basta calcular então, o número de maneiras de preencher p lugares entre os (p+q) lugares

existentes, isto é, determinar quantos subconjuntos de p elementos podem ser formados num conjunto de (p+q) elementos, com a condição de ordenamento crescente das alturas.

O número procurado será igual ao número de combinações possíveis de (p+q) elementos tomados p a p. Logo:

Portanto, p homens e q mulheres podem ser dispostos em fila em ordem crescente de altura, de (p+q)! / p!.q! maneiras distintas. Exemplo de verificação:

Considere três homens e duas mulheres, com as seguintes alturas em metros: Pedro, com 1,76m = P

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Rafael, com 1,77m = R Eduardo, com 1,78m = E Maria, com 1,75 m = M Samantha, com 1,74m = S Em termos de alturas temos:P > R > E > M > S

Pela fórmula acima, o número de maneiras de dispor estas cinco pessoas em ordem crescente de

altura, será igual a: n = (3+2)! / 3!.2! = 5! /3!.2! = 120/12 = 10. São as seguintes, as 10 disposições possíveis, considerando-se a ordem decrescente de alturas:

01 – PREMS 02 – PRMES 03 – PRMSE 04 – MPRES 05 – MPRSE 06 – MPSRE 07 – PMRES 08 – PMRSE 09 – PMSRE 10 – MSPRE

3) Mostrar que 2.4.6.8. ... .(2n – 2).2n = n! . 2n

Solução:

O primeiro membro da igualdade pode ser escrito como: 2.1 . 2.2 . 2.3 . 2.4 . ... . 2.(n – 1) . 2.n

Observe que no produto acima, o fator 2 se repete n vezes; portanto, o produto de 2 por ele

mesmo, n vezes, resulta na potência 2n. Logo, o primeiro membro da igualdade fica: 2n(1 . 2 . 3 . 4 . ... . n) Observe que entre parênteses, temos exatamente o fatorial de n ou seja: n!

Substituindo, vem finalmente : 2n . n! Assim, mostramos que: 2.4.6.8. ... .2(n – 1). 2n = n! . 2n

Então, podemos dizer que: O produto dos n primeiros números pares positivos é igual ao fatorial de

n multiplicado pela n - ésima potência de 2. 4) Simplificar o número fracionário:

Solução:

Usando o resultado do problema anterior, poderemos escrever imediatamente:

Page 87: NOVO ENEM I - 2012

Portanto, a expressão dada, quando simplificada, fica igual a 2 -(n+p).

5) Mostrar que, qualquer que seja o número inteiro n 2, o produto n(n – 1) (n – 2) é um número divisível por 6.

Solução:

Vamos preparar a expressão dada, multiplicando-a e dividindo-a pelo mesmo valor conveniente, o que não altera o seu valor. Vem:

Mas, n! / 3!.(n-3)! = Cn,3 \ n(n – 1)(n – 2) = 6.Cn,3 Portanto, vem:

Como Cn,3 = número de combinações simples de n elementos tomados 3 a 3, é um número inteiro,

concluímos que inevitavelmente o produto n(n – 1)(n – 2) é um número divisível por 6, para n 2. Nota: para n = 2, teremos n(n – 1)(n – 2) = 2.1.0 = 0, e zero é divisível por 6, pois 0/6 = 0.

6) A Diretoria de uma Empresa tem seis membros. Quantas comissões de quatro membros podem ser formadas, com a condição de que em cada comissão figurem sempre o Presidente e o Vice-Presidente?

Solução:

Os agrupamentos são do tipo combinações, já que a ordem dos elementos não muda o agrupamento.

O número procurado é igual a:

C6-2,4-2 = C 4,2 = (4.3)/(2.1) = 6.

Observe que raciocinamos com a formação das comissões de 2 membros escolhidos entre 4, já que duas posições na comissão são fixas: a do Presidente e do Vice.

7) A Diretoria de uma Empresa tem seis membros. Quantas comissões de dois membros podem ser formadas, com a condição de que em nenhuma delas figure o Presidente e o Vice?

Solução:

Ora, retirados o Presidente e o Vice, restam 6 – 2 = 4 elementos. Logo, O número procurado será igual a:

C6-2,2 = C4,2 = (4.3)/(2.1) = 6.

8) Numa assembléia de quarenta cientistas, oito são físicos. Quantas comissões de cinco membros podem ser formadas incluindo no mínimo um físico?

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Solução:

A expressão “no mínimo um físico” significa a presença de 1, 2, 3, 4 ou 5 físicos nas comissões.

Podemos raciocinar da seguinte forma: em quantas comissões não possuem físicos e subtrair este número do total de agrupamentos possíveis.

Ora, existem C40,5 comissões possíveis de 5 membros escolhidos entre 40 e, existem C40-8,5 = C32,5 comissões nas quais não aparecem físicos.

Assim, teremos:

C40,5 - C32,5 = 656.948 comissões.

9) Ordenando de modo crescente as permutações dos algarismos 2, 5, 6, 7 e 8, qual o lugar que ocupará a permutação 68275?

Solução:

O número 68275 será precedido pelos números das formas:

a) 2xxxx, 5xxxx que dão um total de 4! + 4! = 48 permutações b) 62xxx, 65xxx, 67xxx que dão um total de 3.3! = 18 permutações c) 6825x que dá um total de 1! = 1 permutação.

Logo o número 68275 será precedido por 48+18+1 = 67 números. Logo, sua posição será a de

número 68.

10) Sabe-se que o número de maneiras de n pessoas sentarem-se ao redor de uma mesa circular é dado pela fórmula P’n = (n - 1)! . Nestas condições, de quantas maneiras distintas 7 pessoas podem sentar-se em torno de uma mesa circular, de tal modo que duas determinadas pessoas fiquem sempre acomodadas juntas?

Solução:

Supondo que as pessoas A e B fiquem sentadas juntas, podemos considerar que os agrupamentos possíveis serão das seguintes formas:

a) (AB)XYZWK.......P’n = (6-1)! = 120 b) (BA)XYZWK.......P’n = (6-1)! = 120

Logo o número total será: 120+120 = 240.

11) De quantas maneiras seis pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular?

Solução:

P’n = (6-1)! = 5! = 5.4.3.2.1 = 120.

12) Numa reunião de sete pessoas há nove cadeiras. De quantos modos se podem sentar as

pessoas?

Solução:

Trata-se de um problema de arranjos simples, cuja solução é encontrada calculando-se:

A9,7 = 9.8.7.6.5.4.3 = 181.440

Page 89: NOVO ENEM I - 2012

Nota: observe que An,k contém k fatores decrescentes a partir de n. Exemplo: A10,2 = 10.9 = 90, A9,3 = 9.8.7 = 504, etc.

Poderíamos também resolver aplicando a regra do produto, com o seguinte raciocínio:

- a primeira pessoa tinha 9 opções para sentar-se, a segunda, 8 , a terceira,7 , a quarta,6 , a quinta,5 , a sexta, 4 e finalmente a sétima, 3. Logo, o número total de possibilidades será igual a 9.8.7.6.5.4.3 = 181.440

13) Quantos são os anagramas da palavra UNIVERSAL que começam por consoante e terminam por vogal?

Solução:

A palavra dada possui 5 consoantes e 4 vogais. Colocando uma das consoantes, por exemplo, N, no início da palavra, podemos dispor em

correspondência, cada uma das 4 vogais no final. Eis o esquema correspondente:

(N...U) (N...I) (N...E) (N....A)

Podemos fazer o mesmo raciocínio para as demais consoantes. Resultam 5.4=20 esquemas do tipo acima. Permutando-se as 7 letras restantes situadas entre a consoante e a vogal, de todos os modos possíveis, obteremos em cada esquema 7! anagramas. O número pedido será, pois, igual a 20.7! = 20.7.6.5.4.3.2.1 = 100.800.

14) Numa reunião estão doze pessoas. Quantas comissões de três membros podem ser formadas, com a condição de que uma determinada pessoa A esteja sempre presente e uma determinada pessoa B nunca participe junto com a pessoa A?

Solução:

Como um dos 3 integrantes é sempre A, resta determinar os dois outros, com a condição de que não seja B. Logo, dos 12, excluindo A(que tem presença garantida) e B (que não pode participar junto com A) restam 10 pessoas que deverão ser agrupadas duas a duas. Portanto, o número procurado é igual a C10,2 = (10.9)/(2.1) = 45.

15) Numa assembléia há cinqüenta e sete deputados sendo trinta e um governistas e os demais, oposicionistas. Quantas comissões de sete deputados podem ser formadas com quatro membros do governo e três da oposição?

Solução:

Escolhidos três deputados oposicionistas, com eles podemos formar tantas comissões quantas são as combinações dos 31 deputados do governo tomados 4 a 4 (taxa 4), isto é: C31,4 . Podemos escolher 3 oposicionistas, entre os 26 existentes, de C26,3 maneiras distintas; portanto o número total de comissões é igual a C26,3 . C31,4 = 81.809.000, ou seja, quase oitenta e dois milhões de comissões distintas!.

16) Quantas anagramas podem ser formados com as letras da palavra ARARA?

Solução:

Observe que a palavra ARARA possui 5 letras porém com repetição. Se as 5 letras fossem distintas teríamos

5! = 120 anagramas.Como existem letras repetidas, precisamos “descontar” todas as trocas de posições entre letras iguais. O total de anagramas será, portanto, igual a P = 5!/(3!.2!) = 10.

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É óbvio que podemos também calcular diretamente usando a fórmula de permutações com

repetição.

17) De quantos modos podemos dispor 5 livros de Matemática, 3 de Física e 2 de Química em uma prateleira, de modo que os livros do mesmo assunto fiquem sempre juntos?

Solução:

Dentre os 5 livros de Matemática, podemos realizar 5! permutações distintas entre eles. Analogamente, 3! para os livros de Física e 2! para os livros de Química. Observe que estes 3 conjuntos de livros podem ainda serem permutados de 3! maneiras distintas entre si. Logo, pela regra do produto, o número total de possibilidades será:

N = [(5!).(3!).(2!)].(3!) = 120.6.2.6 = 8640 modos distintos.

18) Uma pastelaria vende pastéis de carne, queijo e palmito. De quantas formas uma pessoa pode escolher cinco pastéis?

A) 18 B) 21 C) 15 D) 35 E) 25 Solução:

Pelo enunciado, temos três tipos de pastéis, para serem agrupados em grupos de cinco unidades. Sendo C = pastel de carne, Q = pastel de queijo e P = pastel de palmito, poderíamos por exemplo,

ter os seguintes agrupamentos: CCCCC – no caso da pessoa escolher 5 pastéis de carne. PPQQC – no caso da pessoa escolher 2 pastéis de palmito, 2 de queijo e 1 de carne, etc. Podemos observar que, sendo x o número de pastéis de queijo, y o número de pastéis de queijo e z

o número de pastéis de palmito, é válido escrever:

x + y + z = 5

Como x, y e z são números inteiros não negativos, o problema proposto é equivalente à determinação do número total de soluções inteiras e não negativas, da equação acima.

Ora, o número de soluções inteiras e não negativas desta equação, será dado por

onde n = 3 e b = 5. Revise isto clicando AQUI.

Portanto, substituindo os valores, encontraremos a solução procurada:

Page 91: NOVO ENEM I - 2012

Logo, existem 21 maneiras de escolher cinco pastéis entre os 3 tipos disponíveis, o que nos leva à alternativa B.

Poderíamos também, resolver o problema de outra maneira, a saber: Temos 5 unidades para serem divididas em 3 partes ordenadas.

Exemplos:

(2,3,0) é uma solução, ou seja: 2 pastéis de carne e 3 de queijo. (1,3,1) é uma solução, ou seja: 1 pastel de carne, 3 de queijo e 1 de palmito. (0,0,5) é uma solução, ou seja: 5 pastéis de palmito, etc .........................................................................................................................

A representação a seguir, mostra uma disposição de uma das soluções possíveis:

(1,2,2), ou seja: 1 pastel de carne, 2 de queijo e 2 de palmito.

Observe que temos 7 = (5 + 2) símbolos, sendo 5 “pontinhos” e 2 “traços”. Tudo funciona como se tivéssemos que permutar 7 elementos com repetição de 5 deles e de 2 deles.

Assim, usando a fórmula de permutações com repetição , teremos finalmente:

Ou seja, existem 21 maneiras de se escolher 5 pastéis entre 3 tipos diferentes.

Estas 21 maneiras distintas de escolha, estão indicadas abaixo, onde

C = pastel de carne Q = pastel de queijo P = pastel de palmito:

(5,0,0) – CCCCC (4,1,0) – CCCCQ (4,0,1) – CCCCP (3,2,0) – CCCQQ (3,0,2) – CCCPP (3,1,1) – CCCQP (2,3,0) – CCQQQ (2,0,3) – CCPPP (2,1,2) – CCQPP (2,2,1) – CCQQP (1,4,0) – CQQQQ (1,0,4) – CPPPP (1,1,3) – CQPPP (1,3,1) – CQQQP (1,2,2) – CQQPP (0,5,0) – QQQQQ (0,0,5) – PPPPP (0,1,4) – QPPPP (0,4,1) – QQQQP (0,2,3) – QQPPP (0,3,2) – QQQPP

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Observe que a solução do problema, coincide com a determinação do número de soluções inteiras e não negativas da equação linear x + y + z = 5. 19) Qual o número de soluções inteiras não negativas da equação x + y + z = 5?

Solução:

Temos: n = 3 e b = 5. Logo:

Resp: 21 soluções inteiras e não negativas. 20) Qual o número de soluções inteiras não negativas da equação x + y + z + w = 3?

Solução: Temos n =4 e b = 3. Logo,

Resp: 20 soluções inteiras e não negativas. 9. EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Uma pastelaria vende pastéis de carne, queijo e palmito. De quantas formas uma pessoa pode escolher quatro pastéis?

Resposta: 15 formas distintas, a saber, onde C = carne, Q = queijo e P = palmito: (4,0,0) - CCCC (3,1,0) - CCCQ (3,0,1) - CCCP (2,0,2) - CCPP (2,1,1) - CCQP (2,2,0) - CCQQ (1,0,3) - CPPP (1,1,2) - CQPP (1,2,1) - CQQP (1,3,0) - CQQQ (0,4,0) - QQQQ (0,3,1) - QQQP (0,2,2) - QQPP (0,1,3) - QPPP (0,0,4) - PPPP

2) Com seis homens e quatro mulheres, quantas comissões de quatro pessoas podemos formar?

Resposta: 210

3) Com seis homens e quatro mulheres, quantas comissões de cinco pessoas podemos formar, constituídas por dois homens e três mulheres?

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Resposta: 60

4) De quantos modos podemos dispor cinco livros de Matemática, três de Física e dois de Química em uma prateleira, de modo que os livros do mesmo assunto e na ordem dada no enunciado, fiquem sempre juntos?

Resposta: 1440.

5) Um coquetel é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas,

quantos coquetéis diferentes podem ser preparados? Resposta: 120

6) Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos, dois a dois distintos. Quantos triângulos podem

ser construídos com vértices nos 9 pontos marcados? Resposta: 84

7) Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoas

sabem dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para uma viagem? Resposta: 48

8) Qual o número de soluções inteiras não negativas da equação linear x + y + z + w + t = 2? Resposta: 15 soluções inteiras não negativas.

ATIVIDADES FIXAÇÃO 01-A ilustração abaixo é do mapa de uma região, onde estão indicadas as cidades A, B, C, D, E, F e as estradas que ligam estas cidades. Um vendedor deseja empreender uma viagem partindo de A para visitar cada uma das outras cidades, exatamente uma vez, e voltar para A. Acerca dos trajetos possíveis de tais viagens, qual das seguintes afirmações é incorreta?

A B

CD

F

E

a) Existem 6 trajetos para o vendedor. b) Se ele começa visitando D existe um único trajeto. c) Se ele primeiro visita B então existem três trajetos. d) Se ele começa visitando E existe um único trajeto. e) Existem três trajetos em que ele visita C antes de B.

02-No jogo de xadrez, a primeira jogada de cada um dos 2 jogadores só pode ser executada com um dos seus 8 peões ou com um dos seus 2 cavalos, sendo que cada uma dessas peças tem 2 maneiras distintas de fazer seu primeiro movimento.No começo do jogo, cada peão e cada cavalo ocupam posições distintas. O total de posições distintas que se pode formar após o primeiro lance, ou seja, saída de um jogador e resposta do outro, é: a) 10 . b) 20 . c) 40 . d) 200 .

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e) 400 . 03-Certo sistema de telefonia utiliza 8 dígitos para designar os diversos números de telefones. Sendo o

primeiro dígito sempre 3 e admitindo que o dígito 0 (zero) não seja utilizado para designar as estações (2o, 3o e 4o dígitos), podemos afirmar que a quantidade de números de telefones possíveis é: a) 7.290 b) 9.270 c) 72.900 d) 927.000 e) 7.290.000

04-Um cartógrafo, para fazer o mapa do Sudeste Brasileiro mostrado na figura, deverá colorir cada estado com uma cor, tendo disponíveis 4 cores e podendo repeti-las no mapa. Estados que fazem divisa entre si devem ter cores distintas. Sabendo que somente SP e ES não fazem divisa entre si, o número de formas distintas de colorir o mapa é:

a) 12. b) 24. c) 36. d) 48. e) 60.

05-A estação rodoviária de uma cidade é o ponto de partida das viagens intermunicipais. De uma plataforma da estação, a cada 15 minutos, partem os ônibus da Viação Sol, com destino à cidade de Paraíso do Sol, enquanto da plataforma vizinha partem, a cada 18 minutos, com destino à cidade de São Jorge, os ônibus da Viação Lua.A jornada diária das duas companhias tem início às 7 horas, e às 22 horas partem juntos os dois ônibus para a última viagem do dia.O número total de viagens diárias das duas companhias é:

a) 100 b) 110 c) 112 d) 120 e) 122

06-Num banco de automóvel o assento pode ocupar 6 posições diferentes e o encosto 5 posições, independentes da posição do assento. Combinando o assento e o encosto este banco assume:

a) 6 posições diferentes b) 90 posições diferentes c) 30 posições diferentes d) 180 posições diferentes e) 720 posições diferentes

07-Considere a figura abaixo.

O número de caminhos mais curtos, ao longo das arestas dos cubos, ligando os pontos A e B, é:

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a) 2. b) 4. c) 12. d) 18. e) 36.

08-Um turista, em viagem de férias pela Europa, observou pelo mapa que, para ir da cidade A à cidade B, havia três rodovias e duas ferrovias e que, de B até uma outra cidade C, havia duas rodovias e duas ferrovias. O número de percursos diferentes que o turista pode fazer para ir de A até C, passando pela cidade B e utilizando rodovias e trem obrigatoriamente, mas em qualquer ordem, é:

a) 9. b) 10. c) 12. d) 15. e) 20.

09-Um tabuleiro de xadrez está vazio, conforme figura abaixo. Se uma pessoa quiser colocar nesse tabuleiro, simultaneamente, um bispo e um cavalo, poderá fazê-lo de quantas maneiras diferentes.

a) 64 b) 128 c) 2016 d) 4032 e) 8064

10-Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países , as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo : 1º lugar, Brasil; 2º lugar, Nigéria ; 3º lugar, Holanda). Se , em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir?

a) 69 b) 2.024 c) 9562 d) 12.144 e) 13.824

11-Uma senha bancária é composta de 3 (três) dígitos que podem variar de 0 a 9 (zero a nove). Assinale o que for incorreto.

a) Se uma possível senha é testada a cada segundo, então todas as possíveis senhas serão verificadas em menos de 17 minutos. b) Há mais de mil possíveis senhas distintas. c) Existem apenas 10 senhas com todos os dígitos idênticos. d) Há 720 senhas com todos os dígitos distintos. e) Há 100 senhas identificadas com números menores que o número 100 (cem).

12-(FGV-SP) Existem apenas dois modos de atingir uma cidade X partindo de uma outra A. Um deles é ir até uma cidade intermediária B e de lá atingir X, e o outro é ir até C e de lá chegar a X. (Veja o esquema.) Existem 10 estradas ligando A a B; 12 ligando B a X; 5 ligando A a C; 8 ligando C a X; nenhuma ligação entre B e C e nenhuma ligação entre A e C. Determine o número de percursos diferentes que podem ser feitos para atingir X pela primeira vez, partindo-se de A.

A

B

C

X

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13-Marcam-se, num plano, 10 pontos, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, dos quais 4 estão sobre a mesma reta e três outros pontos quaisquer nunca estão alinhados, conforme a figura.

O número total de triângulos que podem ser formados, unindo-se três quaisquer desses pontos, é a) 24. b) 112. c) 116. d) 120. e) 124.

14-(FGV-SP) Cada um dos municípios de Alto Alegre, Bonfim, Cantá, Iracema, Rorainópolis e Uiramutã vai enviar um representante para participar de uma reunião em Brasília. Deverão ficar hospedados em um hotel em quartos de duas pessoas. O número de maneiras possível de organizar as duplas é:

a) 3 b) 12 c) 15 d) 30 e) 36

15- Com 12 professores de uma escola da rede estadual de ensino de Sergipe , sendo 4 de matemática, 4 de geografia e 4 de inglês, participam de uma reunião com o objetivo de formar uma comissão que tenha 9 professores, sendo 3 de cada disciplina. O número de formas distintas de se compor essa comissão é:

a) 36 b) 108 c) 12 d) 48 e) 64 16-Carlos, aluno de dança de salão da “Academia de Júlio” e freqüentador assíduo de bailes, ficou muito entusiasmado com os passos do “fox”, do “bolero” e do “samba”. Resolveu, então, criar uma nova dança chamada “sambolerox”, na qual existem passos das três danças que o entusiasmaram. Carlos teve a idéia de formar um grupo de passos, com 5 passos dos nove conhecidos no “fox”, 4 dos seis conhecidos no “bolero” e 3 dos cinco conhecidos no “samba”. Com um grupo formado, Carlos inventou seus passos de “sambolerox”, misturando 3 passos, um de cada estilo de dança, sem se preocupar com a ordem dos mesmos. O número de cada estilo de dança, sem se preocupar com a ordem dos mesmos. O número de grupos que Carlos poderia ter formado e o número de seqüência de passos de “sambelorox” em cada grupo são, respectivamente, a) 18900 grupos e 60 passos de “sambelorox” por grupo. b) 60900 grupos e 12 passos de “samberolox” por grupo. c) 20 grupos e 60 passos de “samberolox” por grupo. d) 60900 grupos e 60 passos de “samberolox” por grupo. e) 20 grupos e 18900 passos de “samberolox” por grupo. GABARITO

01-D 02-E 03-E 04-D 05-C 06-C

07-E 08-B 09-D 10-D 11-B 12-160

13-C 14-C 15-E 16-A

ATIVIDADE DE REVISÃO 1) O jogo ilustrado na figura abaixo é chamado de QUARTO e consiste de um tabuleiro com 16 casas e 16 peças separadas segundo quatro atributos diferentes. COR: 8 peças escuras e 8 peças claras; FORMA: 8 prismas circulares e 8 prismas triangulares; ALTURA: 8 peças maiores e 8 peças menores; ESTRUTURA: 8 peças maciças e 8 peças furadas. Dois jogadores alternam suas jogadas escolhendo

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cada qual uma peça a cada vez e colocando-a num espaço livre do tabuleiro. Ganha o jogo quem observar primeiro a existência de um quarto, isto é, o alinhamento de quatro peças de mesmo atributo. (imagem abaixo) O número de quartos possíveis com um determinado atributo na diagonal fixada na figura é

“Revista Nova Escola”, ed. Nº. 163 junho/julho 2003.

a)!4!4

!8

b)!4

!8

c) !8

d) 48 e) 84 2) Quatro amigos, Pedro, Luísa, João e Rita, vão ao cinema, sentando-se em lugares consecutivos na mesma fila. O número de maneiras que os quatro podem ficar dispostos de forma que Pedro e Luísa fiquem sempre juntos e João e Rita fiquem sempre juntos é a) 2. b) 4. c) 8. d) 16. e) 24.

3) Na convenção de um partido para lançamento da candidatura de uma chapa ao governo de certo estado havia 3 possíveis candidatos a governador, sendo dois homens e uma mulher, e 6 possíveis candidatos a vice-governador, sendo quatro homens e duas mulheres. Ficou estabelecido que a chapa governador/vice-governador seria formada por duas pessoas de sexos opostos. Sabendo que os nove candidatos são distintos, o número de maneiras possíveis de se formar a chapa é a) 18. b) 12. c) 8. d) 6. e) 4 4) Imagine uma fila de 50 portas fechadas e outra de 50 estudantes, portas e estudantes numerados conforme a posição em sua fila. Do primeiro ao quinquagésimo e em ordem crescente, o estudante que ocupa a n-ésima posição na fila deverá fechar ou abrir as portas de números n, 2n, 3n, ... (ou seja,

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múltiplos de n) conforme estejam abertas ou fechadas, respectivamente, não tocando nas demais. Assim, como todas as portas estão inicialmente fechadas, o primeiro estudante tocará em todas, abrindo-as. O segundo estudante tocará apenas nas portas de números 2, 4, 6, ..., fechando-as, pois vai encontrá-las abertas. O terceiro estudante tocará apenas nas portas de números 3 (fechando-a), 6 (abrindo-a), 9 (fechando-a) e assim por diante. Se A significa “aberta” e F “fechada”, após o quinquagésimo estudante ter realizado sua tarefa, as portas de números 4, 17 e 39 ficarão, respectivamente, a) F, A e A. b) F, A e F. d) F, F e A. d) A, F e A e) A, F e F. 5) O cientista John Dalton é bastante conhecido pelas suas contribuições para a Química e a Física. Descreveu a forma e o uso de vários instrumentos de meteorologia, fazendo considerações sobre a variação da altura barométrica. Além disso, Dalton descreveu uma doença hereditária que o impossibilitava de distinguir a cor verde da vermelha. Essa doença hereditária, causada por um alelo recessivo ligado ao cromossomo X, recebeu o nome de daltonismo. Dois daltônicos fazem parte de um grupo de 10 pessoas. De quantas maneiras distintas pode-se selecionar 4 pessoas desse grupo, de maneira que haja pelo menos um daltônico entre os escolhidos? a) 140 b) 240 c) 285 d) 336 e) 360 6) (ENEM) Um torneio de futebol foi disputado por quatro equipes em dois turnos, isto é, cada equipe jogou duas vezes com cada uma das outras. Pelo regulamento do torneio, para cada vitória são atribuídos 3 pontos ao vencedor e nenhum ponto ao perdedor. No caso de empate, um ponto para cada equipe. A classificação final no torneio foi a seguinte:

Classificação Equipe Número de pontos

1º lugar A 13

2º lugar B 11

3º lugar C 5

4º lugar D 3

Quantas partidas foram disputadas em todo o torneio?

Considere-se que os lados dos quadrados, na malha, representam trechos de ruas de uma cidade e que uma pessoa esteja na esquina A, de duas dessas ruas tentando chegar a um restaurante na esquina B, passando por C, pelo menor trajeto possível.

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Nessas condições, sabendo-se que ela só pode andar ao longo dos lados dos quadrados, pode-se afirmar que o número de caminhos diferentes que podem ser percorridos é a) 16 b) 20 c) 46 d) 60 e) 189 7) Em um programa transmitido, diariamente, para a cidade de Lagarto, uma emissora de rádio toca sempre as mesmas 6 músicas clássicas, nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as possíveis sequências distintas dessas músicas, serão necessários, aproximadamente, a) 200 dias. b) 300 dias. c) 1 ano. d) 2 anos. e) 3 anos 8) Uma prova é composta de 10 afirmações, que o aluno deve classificar como verdadeiras ou falsas. Veja no quadro abaixo uma resposta possível para essa prova.

Nessas condições, o número de maneiras distintas que se pode responder uma prova como essa, é a) 10. b) 20. c)25. d) 256. e) 1024. . 9) (ENEM) O jogo-da-velha é um jogo popular, originado naInglaterra. O nome “velha” surgiu do fato de essejogo ser praticado, à época em que foi criado, por senhorasidosas que tinham dificuldades de visão e nãoconseguiam mais bordar. Esse jogo consiste na disputade dois adversários que, em um tabuleiro 3×3, devemconseguir alinhar verticalmente, horizontalmenteou na diagonal, 3 peças de formato idêntico. Cadajogador, após escolher o formato da peça com a qualirá jogar, coloca uma peça por vez, em qualquer casado tabuleiro, e passa a vez para o adversário. Vence oprimeiro que alinhar 3 peças.

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No tabuleiro representado abaixo estão registradas asjogadas de dois adversários em um dado momento.Observe que uma das peças tem formato de círculoe a outra tem a forma de um xis. Considere as regrasdo jogo-da-velha e o fato de que, neste momento, éa vez do jogador que utiliza os círculos. Para garantira vitória na sua próxima jogada, esse jogador podeposicionar a peça no tabuleiro de

a) uma só maneira. b) duas maneiras distintas. c) três maneiras distintas. d) quatro maneiras distintas. e) cinco maneiras distintas. 10)No desenho a seguir, as linhas horizontais e verticais representam ruas, e os quadrados representam quarteirões. A quantidade de trajetos de comprimento mínimo ligando A e B que passam por C é

a) 12 b) 13 c) 15 d) 24 e) 30 GABARITO

01-A 06-D

02-D 07-D

03-C 08-E

04-E 09-B

05-D 10-E