Clculo Numrico

M A T E R I A L T E R I C O

Unidade V: Resoluo Numrica de Equaes Diferenciais Ordinrias

Responsvel pelo Contedo: Prof. Dr. Jaime Sandro da Veiga

Reviso Tcnica:Prof.Dr. Victor Barbosa Flix

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Orientao de Estudos

Ol, caros alunos!

Sejam bem-vindos a mais uma unidade de ensino e de aprendizagem da

disciplina de Clculo Numrico. Vocs iro conhecer os mtodos utilizados para a resoluo numrica de equaes diferenciais ordinrias, as aplicaes mais simples na resoluo de equaes que envolvem derivadas. A utilizao ser certamente ampliada para um sistema de equaes diferenciais acopladas, o que caracteriza um sistema dinmico de maior complexidade do que os sistemas que so representados por uma nica equao diferencial. Espero que tenham um excelente estudo e um bom aproveitamento!

A T E N O: Para um bom aproveitamento do curso, leiam

o material terico atentamente antes de realizar as atividades.

importante tambm respeitar os prazos estabelecidos no

cronograma.

Ol, caro aluno! Esta unidade tem por objetivo apresentar e introduzir os conceitos elementares sobre a Resoluo Numrica de Equaes Diferenciais Ordinrias, que uma ferramenta muito importante para todas as reas do conhecimento. Aconselhamos a estudar todas as sees da unidade V, procurando entender a teoria e os exerccios resolvidos e resolver os exerccios propostos para praticar. fundamental fazer a leitura do material complementar e da bibliografia proposta para auxiliar na compreenso do tema e exerccios. No final, quando estiver com os conceitos assentados, no se esquea de fazer a Atividade de Sistematizao para nota.

Bom estudo a todos!

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Contextualizao

A unidade V aborda o tema Resoluo Numrica de Equaes Diferenciais Ordinrias, tema importantssimo para a grande rea das Cincias Exatas. As solues analticas de equaes diferenciais constituem um tema da Anlise Matemtica que tem importncia fundamental para a resoluo de Sistemas Dinmicos Simples (oscilaes de pequenas estruturas e edificaes, em projetos de pequenas mquinas e circuitos eltricos). Os Sistemas Dinmicos Complexos no possuem, em geral, solues analticas fechadas, pois a complexidade tamanha que as solues numricas obtidas com o auxlio de computadores tornam-se imperativas. s vezes, at mesmo a utilizao de supercomputadores no consegue suprir as necessidades em termos de capacidade de processamento e de memria para os Sistemas Dinmicos Complexos (meteorologia, engenharia qumica, engenharia de frmacos, estruturas, mquinas e circuitos complexos etc.).

O estudo de mtodos numricos para a obteno de solues de equaes diferenciais aborda, costumeiramente, os mtodos para a obteno de solues aproximadas para equaes de primeira e de segunda ordem. Como todos so mtodos aproximativos, comum apresentar comparaes entre os mtodos, basicamente fazendo grficos e comparando erros em relao s solues analticas conhecidas para determinados sistemas. Assim, se no conhecssemos as solues analticas de alguns sistemas, seria mais difcil encontrar uma maneira para fazer a calibrao de um mtodo.

Alm das solues analticas para as equaes diferenciais de primeira e de segunda ordem, o conceito de derivada discreta fundamental para a resoluo de equaes diferenciais em computadores e a reduo de um sistema de segunda ordem para um de primeira ordem, so apresentados os mtodos aproximativos.

Os mtodos abordados nesta Unidade so: o mtodo de Euler e a avaliao de seu erro usando sries de Taylor, mtodos para equaes de segunda ordem, o mtodo do ponto mdio, e o mtodo de Runge-Kutta. As equaes diferenciais ordinrias (EDO) so equaes que relacionam uma funo desconhecida e suas derivadas ordinrias.

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Introduo

As equaes diferenciais podem descrever, de uma forma geral, todos os sistemas que so submetidos a variaes. Eles so amplamente utilizados nas

Cincias e nas Engenharias, bem como na Economia, Cincias Sociais, Comrcio, Medicina, Cincias da Sade etc. Muitos matemticos estudaram a natureza dessas

equaes j h centenas de anos e h muitas tcnicas de resoluo muito bem desenvolvidas. Todavia, comum encontrar sistemas que so descritos por

equaes diferenciais que so extremamente complexos, ou mesmo que so to grandes, que uma soluo puramente analtica para as equaes seja intratvel.

So para esses sistemas complexos que as simulaes por computador e os mtodos numricos so teis.

As tcnicas para a resoluo de equaes diferenciais so baseadas em

aproximaes numricas, que foram desenvolvidas muito antes do aparecimento dos computadores programveis. Durante a 2 Guerra Mundial, era comum

encontrar salas de pessoas usualmente de mulheres trabalhando com calculadoras mecnicas para resolver numericamente sistemas de equaes

diferenciais para clculos com fins militares. Antes dos computadores programveis, era muito comum explorar analogias a sistemas eltricos para projetar

computadores analgicos a fim de estudar sistemas mecnicos, trmicos ou qumicos. medida que os computadores programveis aumentaram a velocidade

de processamento e tiveram acentuadas quedas nos custos, os sistemas complexos de equaes diferenciais de forma crescente puderam ser resolvidos por programas

simples escritos para rodar em um PC comum. Atualmente, os computadores de mo so capazes de resolver problemas que eram inacessveis pelos mais rpidos

supercomputadores h uns poucos anos. Contudo, mesmo atualmente, esgotam-se facilmente os recursos de processamento e de memria at mesmo dos mais

rpidos e potentes supercomputadores, o que nos levam a crer que somente um novo princpio computacional poder resolver os problemas atuais referentes aos

sistemas complexos: a computao quntica. Uma classe de computadores qunticos j est venda, mas pela bagatela de 10 milhes de dlares! Ele

resolve problemas envolvendo desde a Meteorologia, Engenharia de Frmacos at simulaes da evoluo de preos de aes na bolsa de valores. Contudo, os

mtodos bsicos utilizados ainda residem no tema desta Unidade.

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Sistemas de Equaes Diferenciais de Primeira Ordem

Uma equao diferencial de primeira ordem possui seguinte a forma geral:

= (; ),

em que a derivada dt

significa a variao em em relao ao tempo , e (; ) qualquer funo de e de . Note que a derivada da varivel depende tambm de . H notaes diferentes para

dt, sendo as mais comuns: e .

Uma das mais simples equaes diferenciais que podemos escrever :

dt

= .

Assim, por simplicidade, vamos nos concentrar nessa equao a fim de introduzir vrios conceitos importantes. Alm disso, a equao conveniente por possuir solues analticas fceis que iro permitir uma checagem da acuracidade do esquema numrico.

A equao de primeira ordem relevante no governo de vrios sistemas que so comumente encontrados nas cincias, dentre eles destacamos: no aquecimento e resfriamento; no decaimento radioativo de materiais; na absoro de drogas pelo corpo humano (ou animal); na carga e descarga de capacitores; no crescimento populacional, dentre outros.

Para resolver a equao analiticamente, vamos comear fazendo um rearranjo da equao, escrevendo-a na forma:

=

e integr-la em relao ao tempo, obtendo:

= + ,

em que uma constante de integrao. Como o logaritmo representa o expoente de uma potncia com a mesma base do logaritmo (que no caso do o nmero de Euler, = 2. 718 281 828 46 ), podemos determinar :

= + = .

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Como = , em que uma constante, podemos escrever, finalmente, a soluo na forma:

= . Podemos checar que a resposta satisfaz a equao diferencial fazendo a

substituio na equao original. Uma vez que obtemos a soluo por integrao, h sempre uma constante de integrao que resta ser determinada. Essa constante especificada por uma condio inicial, ou pelo estado inicial do sistema. Por simplicidade, iremos escolher a condio inicial:

( = 0) = 1 ,

fazendo com que tenhamos = 1. Derivadas Discretas

Lembremos que a derivada de uma funo em um ponto equivalente inclinao da reta que tangencia a curva no ponto em questo. Se fizermos o grfico da posio de um carro percorrendo uma estrada em linha reta como funo do tempo, a inclinao da curva a velocidade, isto , a derivada da posio em relao ao tempo.

Podemos usar este conceito intuitivo de inclinao para calcular numericamente a derivada discreta de uma funo. Entende-se pelo termo discreto como algo que no contnuo, que possa ser rotulado e enumerado. Por exemplo, o conjunto de nmeros inteiros geometricamente representado por um conjunto de pontos dispostos em uma reta, equidistantes de seus vizinhos. Entre dois pontos vizinhos no h a possibilidade de se t