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PAULO CÉSAR PEREIRA

NOVA MODELAGEM BIOMECÂNICA DO CORPO HUMANO

APLICÁVEL NA ANÁLISE E CONTROLE DA LOCOMOÇÃO

Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Tecnologia em Saúde da Pontifícia Universidade Católica do Paraná, como pré-requisito para a obtenção do título de Mestre em Tecnologia em Saúde.

Banca Examinadora

Presidente e Orientador

Prof. Dr. PERCY NOHAMA (PUCPR)

Examinadores

Prof. Dr. ALBERTO CLIQUET JR. (UNICAMP-SP)

Profa. Dra. ELISÂNGELA FERRETTI MANFFRA (PUCPR)

Profa. Dra. VERA LÚCIA ISRAEL (PUCPR)

CURITIBA

2005

Livros Grátis

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PAULO CÉSAR PEREIRA

NOVA MODELAGEM BIOMECÂNICA DO CORPO HUMANO

APLICÁVEL NA ANÁLISE E CONTROLE DA LOCOMOÇÃO

Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Tecnologia em Saúde da Pontifícia Universidade Católica do Paraná, como pré-requisito para a obtenção do título de Mestre em Tecnologia em Saúde. Área de Concentração: Bioengenharia Orientador:

Prof. Dr. Percy Nohama

Co-orientadora: Profa. Dra. Elisângela F. Manffra

CURITIBA

2005

ii

Pereira, Paulo César

P436n Nova modelagem biomecânica do corpo humano aplicável na análise e 2005 controle da locomoção / Paulo César Pereira ; orientador, Percy Nohama ;

co-orientadora, Elisângela F. Manffra. – 2005. xxvi, 207 p. : il. ; 30 cm Dissertação (mestrado) – Pontifícia Universidade Católica do Paraná, Curitiba, 2005 Inclui bibliografia 1. Biomecânica. 2. Antropometria. 3. Neurologia. 4. Medula espinhal – Ferimentos e lesões. I. Nohama, Percy. II. Manffra, Elisângela Ferretti. III. Pontifícia Universidade Católica do Paraná. Programa de Pós-Graduação em Tecnologia em Saúde. IV. Título. CDD 20. ed. – 612.76 573.6 616.8 617.482044

DEDICATÓRIA

Dedico esta à minha esposa e companheira de todas as

horas, Monica, que com seu incondicional apoio tornou este

sonho uma realidade.

AGRADECIMENTOS

Em especial, ao Rodolfo, por seu entusiasmo e ansiedade de ver este trabalho se

concretizar, à Monica, por participar ativamente em tudo na minha vida e ao Bernardo pelos

momentos de descontração.

Aos meus pais, pela minha vida, dedicação e estímulos ao estudo.

Aos meus sogros, pelo apoio e acolhida carinhosa.

Ao meu orientador Prof. Dr. Percy Nohama pela oportunidade e privilégio de ser seu

aluno, pelo exemplo de profissional, pela confiança e encaminhamento profissional.

À Profa. Dra. Elisângela Ferretti Manffra, pela amizade e apoio científico para a

realização deste trabalho.

Ao Prof. Rodolfo Carrara por suas orientações em robótica.

Aos amigos do Laboratório de Engenharia de Reabilitação da PUCPR, pela amizade e

grandes momentos de convivência.

Às pessoas não citadas aqui, que mesmo sem saber ou de forma indireta, foram

colaboradoras para que esta pesquisa fosse realizada.

À CAPES e ao CNPq pelo apoio e suporte financeiro.

“Se alguém te obrigar a andar uma milha, vai com ele duas.”

Mateus 5:41

Resumo

O desenvolvimento, simulação e ajuste de um sistema de controle híbrido da

estimulação elétrica neuromuscular para promover a marcha artificial requer modelagem

coerente da antropometria individual do usuário. Modelos baseados em equações de regressão

obtidas de cadáveres desconsideram o perfil hipertrófico dos membros superiores e atróficos

dos inferiores de cadeirantes, já aqueles obtidos in-vivo, como pesagem hidrostática, pêndulo

físico, aceleração segmentar, tomografia computadorizada e ressonância magnética são

dispendiosos, enquanto modelos geométricos, como o de Hatze, requerem grande número de

medidas, causando desconforto ao usuário. Esta dissertação apresenta como objetivo um novo

modelo baseado em Hanavan, incorporando tratamento cinemático e cinético, compondo-se

por 16 sólidos geométricos simples determinados por 46 medidas antropométricas. No

modelo as massas dos segmentos dos membros foram calculadas em função de equações de

regressão baseadas em dobras cutâneas, tornando-o mais adequado à aplicação em pessoas

deficientes tetraplégicos; determinou-se a massa do torso diminuindo-se a massa dos

membros da total corpórea; considerando a inclinação e a rotação pélvica durante o andar,

refinou-se o torso com um terceiro segmento; as mãos foram redefinidas por elipsóides e os

pés modelados como sólidos elípticos assim como as coxas. Visando a aplicação em controle,

articularam-se os segmentos rígidos, interconectando-os, restringindo os graus de liberdade,

representando o corpo humano por uma cadeia cinemática, possibilitando a aplicação da

técnica para manipuladores robóticos: notação de Denavit-Hartenberg. Os sistemas de

referência, locais aos segmentos, usados na notação e os parâmetros inerciais aplicados à

formulação mecânica Lagrangeana levam a equações de movimento que permitem determinar

os momentos de força em função do comportamento angular das articulações

intersegmentares, consideradas relevantes em uma marcha normal. Os resultados obtidos

mostraram conformidade quando comparados à literatura referente à determinação dos

momentos de força obtidos através da formulação mecânica de Newton-Euler. Assim, aliando

a realidade antropométrica de pessoas deficientes à mecânica muscular, este modelo

desenvolvido pode permitir o desenvolvimento de sistemas de controle de marcha com

respostas seguras, através do desenvolvimento de um estimulador com ajuste simples e

individual, para uma vida mais independente aos lesados medulares.

Palavras-chave: Biomecânica, Antropometria, Marcha Humana, Neurologia, Lesão Medular.

x

Abstract

The development and adjustment of a neuromuscular electrical stimulation hybrid

control system to promote artificial gait requires coherent modeling of the individual user

anthropometry. Models based on regression equations obtained from corpse neglect the

hypertrophic profile of the upper limb and atrophic profile of the lower limb of spinal cord

injuried people. On the other hand in-vivo methods as hydrostatic weight test, physical

pendulum, segment acceleration, computerized tomography and magnetic resonance are

expensive. Geometric models, as the one of Hatze, require a large number of measures,

causing discomfort to the user. In this work a new model based on Hanavan’s model is

proposed, incorporating kinematic and kinetic treatment. The model is composed by 16

simple geometric solids determined by 46 anthropometric measures. In the model, limbs

segments masses had been calculated as function of regression equations based on cutaneous

folds. The torso was refined with three segments to model pelvic inclination and rotation

during gait; hands had been redefined by ellipsoids and feet shaped as elliptical solids, as well

as the thighs. The torso mass was determined by diminishing limbs mass from the total

corporal mass. Aiming at the application in control, the rigid segments have been articulated

by interconnecting them and imposing degrees of freedom restriction. Therefore the human

body was modeled by a kinematics chain, allowing the application of robotics techniques and

Denavit-Hartenberg notation. The reference frames from Denavit-Hartenberg notation and the

inertial parameters from anthropometric model applied at Lagrangian mechanics lead to

motion equations that allow to determine the joint moments as function of joint angles,

considered relevant in normal gait. The joint moments obtained with this model are

comparable with those from the literature determined by Newton-Euler mechanical approach.

Using this model it will be possible to develop gait control systems based on electrical

stimulators by joint anthropometric reality of handicapped people and muscular mechanics.

Keywords: Biomechanics, Anthropometry, Artificial Gait Control

Sumário

Resumo...................................................................................................................................... ix

Abstract ...................................................................................................................................... x

Sumário.....................................................................................................................................xi

Lista de Figuras ....................................................................................................................... xv

Lista de Tabelas ......................................................................................................................xxi

Lista de Abreviaturas............................................................................................................xxiii

1 Introdução............................................................................................................................... 1

1.1. Motivação................................................................................................................................... 1

1.2. Objetivos .................................................................................................................................... 3 1.2.1. Objetivo Geral ....................................................................................................................................3 1.2.2. Objetivos Específicos .........................................................................................................................3

1.3. Justicativa .................................................................................................................................. 3

1.4. Organização da Dissertação ..................................................................................................... 6

2 Revisão Bibliográfica ............................................................................................................. 9

2.1. Fundamentação Teórica ......................................................................................................... 10 2.1.1. Sistema Articular Elementar.............................................................................................................10

2.1.1.1. Elo Rígido................................................................................................................................11 2.1.1.2. Articulação Sinovial (ou Diartrodial) ......................................................................................13 2.1.1.3. Músculo ...................................................................................................................................16 2.1.1.4. Neurônio ..................................................................................................................................19 2.1.1.5. Receptor Sensorial ...................................................................................................................21

2.1.2. Funcionamento do Sistema Articular Elementar ..............................................................................22 2.1.2.1. Unidade motora .......................................................................................................................22 2.1.2.2. Mecânica muscular ..................................................................................................................24 2.1.2.3. Mecânica do tendão .................................................................................................................27 2.1.2.4. Modelo mecânico da estrutura músculo-tendão.......................................................................28 2.1.2.5. Classes funcionais musculares.................................................................................................29

2.1.3. Tipos de movimentos .......................................................................................................................29 2.1.4. Fatores normais de restrição ao movimento .....................................................................................32 2.1.5. Estudo da Marcha Humana ..............................................................................................................32

xii

2.1.5.1. Marcha..................................................................................................................................... 32 2.1.5.2. Determinantes da Marcha........................................................................................................ 33 2.1.5.3. Fases do Ciclo da Marcha........................................................................................................ 38

2.1.6. Biomecânica..................................................................................................................................... 41 2.1.6.1. Cinemática da Marcha ............................................................................................................. 41 2.1.6.2. Cinética da Marcha.................................................................................................................. 44 2.1.6.3. Métodos de formulação dinâmica............................................................................................ 46

2.2. Modelagem do Movimento Humano ..................................................................................... 49 2.2.1. Parâmetros dos Segmentos Corporais .............................................................................................. 49 2.2.2. Métodos na Antropometria............................................................................................................... 50 2.2.3. Classificação das Modelagens do Movimento Humano................................................................... 51

2.2.3.1. Quanto ao tipo ......................................................................................................................... 51 2.2.3.2. Quanto ao Método Investigatório ............................................................................................ 51 2.2.3.3. Quanto à funcionalidade.......................................................................................................... 54

2.2.4. Histórico dos Modelos e a Computabilidade.................................................................................... 55 2.2.5. Precisão das Modelagens ................................................................................................................. 59

3 Metodologia .......................................................................................................................... 61 3.1.1. Medidas Antropométricas Requeridas no Modelo ........................................................................... 62 3.1.2. Grandezas Inerciais Associadas às Formas do Modelo.................................................................... 62

3.1.2.1. Elipsóide.................................................................................................................................. 64 3.1.2.2. Sólido Elíptico Genérico ......................................................................................................... 66 3.1.2.3. Formas derivadas do sólido elíptico genérico.......................................................................... 69

3.1.3. Determinação das Densidades dos Segmentos................................................................................. 72 3.1.3.1. Dobras Cutâneas...................................................................................................................... 72

3.1.4. Articulando o Modelo ...................................................................................................................... 75 3.1.4.1. Considerações Fisiológicas para um Modelo Articulado ........................................................ 75 3.1.4.2. A Cadeia Cinemática ............................................................................................................... 78 3.1.4.3. Determinação do Centro Articular do Tornozelo .................................................................... 78 3.1.4.4. Determinação dos Centros Articulares dos Quadris ................................................................ 81 3.1.4.5. Dimensionamento dos Elos do Modelo Articulado ................................................................. 82

3.1.5. Aplicação da Notação de Denavit-Hartenberg à Cadeia Cinemática ............................................... 85 3.1.6. Expressão dos parâmetros inerciais dos “sólidos” do modelo proposto em função dos sistemas

de coordenadas afixadas na notação de Denavit-Hartenberg ............................................................. 86 3.1.7. Equacionamento Dinâmico .............................................................................................................. 86

3.2. Avaliação do Modelo Proposto............................................................................................... 87

4 Resultados............................................................................................................................. 91

4.1. O Modelo.................................................................................................................................. 91

xiii

4.2. Visão Estrutural do Modelo Proposto................................................................................... 91 4.2.1. Modelagem Antropométrica.............................................................................................................93 4.2.2. Modelagem Dinâmica ......................................................................................................................96

4.3. Da Avaliação do Modelo....................................................................................................... 100

5 Discussão ............................................................................................................................ 107

5.1. Da Modelagem Antropométrica .......................................................................................... 107

5.2. Da Modelagem Dinâmica ..................................................................................................... 108

5.3. Da Avaliação do Modelo....................................................................................................... 110

5.4. Do Modelo Obtido ................................................................................................................. 114

5.5. Sugestões para trabalhos futuros......................................................................................... 116

6 Conclusões .......................................................................................................................... 119

Apêndice A: Análise Posicional ............................................................................................ 121

A.1. Ponto no Espaço ................................................................................................................... 121

A.2. Vetor no Espaço.................................................................................................................... 121

A.3. Sistema de Coordenadas com Origem Coincidente à do Sistema de Coordenadas de

Referência Fixa ..................................................................................................................... 122

A.4. Sistema de Coordenadas Sobre um Sistema de Coordenadas de Referência Fixa......... 123

A.5. Corpo Rígido......................................................................................................................... 124

A.6. Translação Pura ................................................................................................................... 124

A.7. Rotação Pura em torno de um Eixo.................................................................................... 125

A.8. Transformações Combinadas.............................................................................................. 128

Apêndice B: Análise Cinemática .......................................................................................... 129

B.1. Notação de Denavit-Hartenberg – Equações Cinemáticas Diretas de Robôs ................. 129

Apêndice C: Análise Dinâmica ............................................................................................. 135

C.1. Coordenadas Generalizadas................................................................................................ 135

C.2. Equações de Lagrange do Movimento................................................................................ 135 C.2.1. Obtenção de Equações Dinâmicas para um Sistema de Múltiplos Corpos (múltiplos segmentos

conectados) pelo Método de Lagrange .............................................................................................136 C.2.1.1. Cálculo da Energia Cinética..................................................................................................138

xiv

C.2.1.2. Cálculo da Energia Potencial ................................................................................................ 140 C.2.1.3. Cálculo do Lagrangeano ....................................................................................................... 140

C.3. Transformações de Forças e Momentos entre Sistemas de Coordenadas....................... 142

Apêndice D: Perímetro da elipse .......................................................................................... 145

D.1. Função Ramanujan .............................................................................................................. 145

Apêndice E: Grandezas Inerciais de um Corpo Sólido e Localização do Centro de

Massa............................................................................................................................ 147

E.1. Massa ..................................................................................................................................... 147

E.2. Momentos de Inércia ............................................................................................................ 148

E.3. Produtos de Inércia .............................................................................................................. 149

E.4. Determinação do Centro de Massa ..................................................................................... 149

Apêndice F: Complemento para rotação da pseudo-matriz de inércia............................... 151

F.1. Propriedades Inerciais de um Corpo em relação a um Sistema de Eixos Coordenados

Rotacionados Relativamente ao Sistema de Coordenadas Formado pelos Eixos

Principais de Inércia do Corpo ............................................................................................ 153

F.2. Cálculo dos Momentos de Inércia em Relação a Omno..................................................... 153

F.3. Cálculo dos Produtos de Inércia em Relação a Omno ....................................................... 154

Apêndice G............................................................................................................................. 157

Anexo I: Dados Antropométricos Tabulados por Bjornstrup (1996).................................. 195

Anexo II: Dados dinâmicos da marcha, obtidos por cinemetria, tabulados em Winter

(1990)............................................................................................................................ 197

Referências Bibliográficas.................................................................................................... 201

Lista de Figuras

Figura 1 - Diagrama genérico de um sistema de EENM com duração de pulsos controlada. ...............................4

Figura 2 - Diagrama de blocos situando o modelo proposto na estrutura de um sistema EENM, para efeitos

de ajuste do controlador. A tesoura vermelha sugere a desconexão entre EENM e usuário

durante o procedimento de pré-ajuste.................................................................................................6

Figura 3 - Competências do estudo do movimento humano (adaptada de Hamill & Knutzen, 2003). ...................9

Figura 4 - Componentes do sistema articular elementar (modificada de Enoka, 2000). ......................................11

Figura 5 - Organização hierárquica do tendão (adaptada de Enoka, 2000). .......................................................13

Figura 6 - Variedade de arquiteturas musculares. Da esquerda para direita: fibras paralelas, unipenadas,

bipenadas e multipenadas (adaptada de Linden, 1998)....................................................................17

Figura 7 - Estrutura de um músculo esquelético. O epimísio agrupa fascículos, delimitados por perisímios e

constituídos de feixes de fibras determinadas por seus sarcolemas, unidas pelo endosímio. No

sarcoplasma, interior à fibra, estão as miofibrilas, compostas por filamentos grossos e finos,

formando as bandas identificáveis por Z, A e I (modificada de Hamill & Knutzen, 2003)...............18

Figura 8 - Características morfológicas dos neurônios. Na parte superior exibe-se a estrutura básica do

neurônio e, na de baixo, a inserção nervosa no músculo esquelético (de Hamill & Knutzen,

2003). ................................................................................................................................................20

Figura 9 - Diagrama de Blix (modificado de Delp & Loan, 1995). ......................................................................25

Figura 10 - Curvas força-velocidade do músculo (redesenhada de Winter, 1990)...............................................25

Figura 11 - Relação tridimensional entre comprimento muscular, velocidade e força. As linhas em negrito

destacam a curva isométrica força-comprimento e a curva força-velocidade ao comprimento

ótimo (adaptada de Linden, 1998). ...................................................................................................26

Figura 12 - Relação normalizada entre força e comprimento do tendão. A força produzida expressa é linear

em função do comprimento, à exceção do início da contração (ponta) e no limiar da contração,

antes de haver danos ao tendão (falha) (redesenhada de Delp et al., 1990). ...................................28

Figura 13 - (A) Estrutura músculo-tendão. O tendão apresenta a aponeurose, sua parte interna ao músculo.

As fibras musculares são paralelas, têm tamanhos iguais e formam um ângulo de penação com

o tendão. (B) Modelo tipo Hill de um atuador músculo-tendão. Esta figura à direita é uma

abstração da figura à esquerda. A parte externa do tendão é representada pelo elemento

elástico série, EES, de comprimento lT. Um elemento contrátil, EC, e um elemento elástico

paralelo, EEP, representam as fibras. O ângulo de penação das fibras causa, no comprimento

lMT da estrutura, uma parcela em função do comprimento muscular lM, dada por lM cos α

(redesenhadas de Delp et al., 1990, e Delp & Loan, 1995). .............................................................29

Figura 14 - Movimentos de flexão, extensão, hiperextensão, dorsiflexão e flexão plantar (figura adaptada de

Hamill & Knutzen, 2003). .................................................................................................................30

Figura 15 - (A)Movimentos de abdução/adução (de Hamill & Knutzen, 2003). (B) inversão/eversão (de

Hamill & Knutzen, 2003). (C) representação dos planos e eixos anatômicos. .................................31

xvi

Figura 16 - Movimentos de circundução (modificada de Hamill & Knutzen, 2003). ........................................... 31

Figura 17 - Movimentos de rotação (adaptada de Hamill & Knutzen, 2003)....................................................... 31

Figura 18 - Excursão do centro de massa. À direita, destacados pelas setas vermelhas, os pontos de menor

altura do CM, e pelas laranjas, os de maior altura, ao longo de três passos................................... 34

Figura 19 - Efeito da rotação pélvica (modelo teórico). As setas amarelas, nas pernas de compasso, indicam

a rotação num sentido e as vermelhas noutro, enquanto as outras setas indicam as alturas

mínimas do CM atingidas pelas respectivas rotações da pelve (adaptada de Rose & Gamble,

1998). ................................................................................................................................................ 34

Figura 20 - Obliqüidade (lista) pélvica (extraída de Rose & Gamble, 1998)....................................................... 35

Figura 21 - Flexão do joelho durante o apoio (extraída de Rose & Gamble, 1998). ........................................... 36

Figura 22 - Trajetória do joelho na marcha em velocidade moderada (de Rose & Gamble, 1998)..................... 37

Figura 23 - Efeito do pé na trajetória do joelho (extraída de Rose & Gamble, 1998). ........................................ 37

Figura 24 - Efeito do movimento do tornozelo, controlado por ação muscular, na trajetória do joelho

(extraída de Rose & Gamble, 1998).................................................................................................. 38

Figura 25 - Fases da marcha. Atualmente destacam-se quatro terminologias obtidas em função da

progressão da marcha: as de Perry, Sutherland, Winter e uma quarta adotada por protéticos

(adaptada de Thomas & Supan, 1990).............................................................................................. 39

Figura 26 - Ação de pivô no rolamento do calcanhar (modificada de Smith, Weiss e Lehkuhl, 1997)................. 40

Figura 27 - Exemplos de segmentação do corpo. Ao centro, um manequim representando os segmentos do

corpo por figuras geométricas de densidades homogêneas, articulados por esferas. À direita,

uma abstração mais simplificadora: os segmentos são representados por linhas e figuras

geométricas bidimensionais, formando uma cadeia cinemática. As esferas correspondem aos

CM dos segmentos. As articulações estão, conforme seus graus de liberdade, representadas por

círculos ou esferas. A letra q, indexada, denota os ângulos articulares........................................... 42

Figura 28 - Abordagem cinemática. A direta leva, do espaço dos ângulos, ao espaço das posições

cartesianas. A inversa realiza operação oposta. Em ambas, deve-se conhecer o comprimento

dos segmentos (baseada em Niku, 2001)........................................................................................... 42

Figura 29 - Momento de inércia de um corpo, em relação ao eixo de rotação AA’. O comportamento inercial

do corpo dependerá da distribuição da massa do corpo ao redor do eixo de rotação. Na Figura,

r são os raios de giração e dm os elementos infinitesimais de massa (de Beer & Jonhston,

1990). ................................................................................................................................................ 46

Figura 30 - Relações força-massa-aceleração e torque-momento de inércia-aceleração angular (baseada em

Beer & Johnston, 1990). ................................................................................................................... 47

Figura 31 - Humano segmentado e o hominídeo de Whitsett (adaptado de Kroemer et al., 1988). ..................... 57

Figura 32 - Em (A), o hominídeo de Hanavan (extraído de Hamill, 2003). Ao centro (B), o hominídeo de

Hatze (extraído de Hatze, 1998). Em (C) o de Anderson (de Anderson & Pandy, 2000). ................ 58

Figura 33 - Indicação das medidas antropométricas, sendo, Ccb, perimetria da cabeça no nível

imediatamente acima das orelhas; Ctr, cirtometria do tórax no nível dos mamilos; Cxf,

cirtometria do tronco no nível do ponto inferior do processo xifóide; Cub, cirtometria do tronco

no nível da cicatriz umbilical; Cnd, cirtometria das nádegas; Cct, perimetria do cotovelo; Cps,

xvii

perimetria do pulso; Cax, perimetria do braço no nível axilar; Cpn, perimetria do punho (mão

cerrada); Cjl, perimetria do joelho; Csx, perimetria da parte superior da coxa (da parte mais

grossa da coxa, sita próxima ao nível do gancho); Cin, perimetria da parte inferior da perna

(em sua parte mais fina, pouco acima do tornozelo); Csn, perimetria da perna no nível da seção

máxima da panturrilha; Cap, perimetria da abóbada plantar do pé, tomada onde sua seção

transversa intercepta a perna; Cbp, perimetria do pé, tomada acompanhando-se a seção

transversa do pé que inclui a cabeça distal do 1º metatarsiano (“bola” do pé); Hcb, altura da

cabeça, medida do queixo ao topo; Hts, altura do tronco superior, medida do nível inferior do

processo xifóide até o acrômio; Htm, altura do tronco médio, medida do nível correspondente à

cicatriz umbilical (entre vértebras T12 e L1), até o nível do ponto inferior do processo xifóide;

Hti, altura do tronco inferior, medida do nível dos centros articulares dos quadris (grande

trocanter) até nível correspondente à cicatriz umbilical; Hbç, comprimento do braço, medido

da articulação do cotovelo (epicôndilo lateral do úmero) ao acrômio; Hat, comprimento do

antebraço, medido do pulso a articulação do cotovelo; Hmc, aproximação do comprimento do

elipsóide que representa a mão cerrada (esta grandeza é obtida medindo-se, com a mão

cerrada, a distância entre o pulso e a cabeça distal do 2º metacarpal); Hcx, comprimento da

coxa, medida do nível da articulação dos quadris (grande trocânter) até o joelho (margem

superior da lateral da tíbia); Hcn, comprimento da perna, medido do joelho (côndilo femoral)

ao tornozelo (maléolo lateral externo); Ltr, largura do tórax no nível dos mamilos; Lxf, largura

do tronco no nível do ponto inferior do processo xifóide; Lub, largura do tronco no nível da

cicatriz umbilical; Lqd, largura do tronco nas ancas (grande trocanter); Lbp, largura do pé,

onde sua seção transversa inclui a cabeça distal do primeiro metatarsiano (“bola” do pé); Psx,

profundidade da parte superior da coxa, tomada na altura das articulações dos quadris; Ppe,

comprimento do pé, do calcanhar (calcâneo) à ponta dos dedos dos pés.........................................63

Figura 34 - Caracterização dos semi-eixos e referencial no elipsóide. ................................................................64

Figura 35 - Caracterização dos semi-eixos das elipses e referencial do sólido elíptico genérico. .......................66

Figura 36 - Densidades dos segmentos expressos em função da densidade corpórea (Redesenhada de

Winter, 1990).....................................................................................................................................73

Figura 37 - Eixo articular talocrural do tornozelo (modificado de Maciel, 2001). ..............................................76

Figura 38 - Alinhamento de centros articulares (tornozelo, joelho e quadril). Há uma angulação de 3º entre

a linha que passa pelos centros articulares e a vertical ao solo, durante o andar. O eixo

articular do joelho estendido é paralelo à horizontal (modificada de Kapandji, 2000). ..................77

Figura 39 - Esboço da cadeia cinemática representando o articular dos principais dos segmentos do corpo

envolvidos na locomoção. .................................................................................................................79

Figura 40 - Medidas para a determinação da posição dos pés. (A) Vista superior indicando os pontos P1, P2

e P3, suas cotas e a distância entre maléolos interno e externo (lmm). (B) Vista mostrando as

cotas no plano sagital, de P1, P2 e P3. A cota lmm representa a distância entre o maléolo

lateral e o interno. A altura do quinto metatarso (ponto P3) não está cotada na Figura 40(B),

pois uma boa aproximação desta é o parâmetro antropométrico do pé, bpé. ..................................79

xviii

Figura 41 - Detalhamento das distâncias, no plano coronal, envolvidas na determinação dos centros

articulares dos quadris. .................................................................................................................. 81

Figura 42 - Posição do sólido elíptico em relação ao pé. A vista (B) é tomada no plano sagital do pé, ao qual

pertence a linha de centro da vista (A), para exprimir as verdadeiras grandezas das cotas. .......... 82

Figura 43 - Abstração geométrica da Figura 42 (A). ........................................................................................... 83

Figura 44 - Diagrama de blocos da estrutura do modelo proposto...................................................................... 92

Figura 45 - Relação antropométrica do modelo proposto. Baseado em Hanavan, o hominídeo (à direita) é

representado por 16 sólidos, cujas formas se aproximam às dos segmentos corporais. .................. 94

Figura 46 - Atribuição de sistemas de coordenadas gerada pelo algoritmo desenvolvido. As linhas

tracejadas denotam sistemas com origens coincidentes. .................................................................. 99

Figura 47 - Vista de parte da cadeia cinemática no AutoCAD a ângulos articulares da Tabela 14 para

conferência da distância entre as extremidades da cadeia............................................................. 102

Figura 48 - Momento articular sobre o quadril direito, em função do tempo de um ciclo da marcha do Anexo

II, considerando-se as massas dos segmentos nulas, excetuando-se as do torso e membros. A

duração do ciclo do Anexo II é de, aproximadamente, 1 s. ............................................................ 103

Figura 49 - Momento articular sobre o joelho direito, em função do tempo de um ciclo da marcha do Anexo

II, considerando-se as massas dos segmentos nulas, excetuando-se a da coxa direita. ................. 103

Figura 50 - Momentos articulares no joelho e quadril (lado direito), considerando o acoplamento dinâmico,

calculados para as articulações do joelho e quadril direito (em N.m), para um ciclo da marcha

do Anexo II. ..................................................................................................................................... 104

Figura 51 - Momentos articulares do joelho direito. Comparativo entre momentos segmentares calculados

(curva da Figura 49) e os tabulados no Anexo II (Winter, 1990). A seta vermelha denota o

evento da batida do calcanhar. ....................................................................................................... 104

Figura 52 - Momentos articulares do quadril (lado direito). Comparativo entre momentos segmentares

calculados (curva da Figura 48) e os tabulados no Anexo II (Winter, 1990). A seta vermelha

denota o evento da batida do calcanhar. ........................................................................................ 105

Figura 53 - Comparativo entre as massas segmentares obtidas neste trabalho (calculadas) e as tabuladas

por Bjornstrup (1999), no Anexo I (valores mínimos, médios e máximos). .................................... 111

Figura 54 - Comparativo entre momentos inerciais segmentares obtidos neste trabalho (calculados) e os

tabulados por Bjornstrup (1999), no Anexo I (valores mínimos, médios e máximos)..................... 111

Figura 55 - Comparativo entre as posições dos CGs obtidas neste trabalho (calculadas) e as tabuladas por

Bjornstrup (1999), no Anexo I (valores mínimos, médios e máximos)............................................ 111

Figura A.1 - Representação de um ponto no espaço........................................................................................... 121

Figura A.2 - Representação de um vetor no espaço............................................................................................ 122

Figura A.3 - Representação de um sistema de coordenadas com origem coincidente à do sistema coordenado

de referência fixa. ........................................................................................................................... 123

Figura A.4 - Representação de um sistema de coordenadas no sistema coordenado de referência fixa. ........... 123

Figura A.5 - Representação de um objeto no espaço. ......................................................................................... 124

Figura A.6 - Representação de uma translação pura no espaço. ....................................................................... 125

Figura A.7 - Coordenadas de um ponto de uma rotação pura............................................................................ 126

xix

Figura A.8 - Coordenadas de um ponto relativo ao sistema coordenado de referência e a rotação do sistema

de coordenadas visto do eixo x. .....................................................................................................127

Figura B.1 - Representação na notação de Denavit-Hartenberg de uma combinação braço-junta de

propósito geral. Na ilustração (a) θ representa a rotação sobre o eixo z,d é a distância, sobre o

eixo z, entre duas normais comuns sucessivas, a é o comprimento de cada normal comum, e α

representa o ângulo entre dois eixos z sucessivos..........................................................................130

Figura B.2 - Regra da mão direita. .....................................................................................................................131

Figura E.1 - Um ponto contido em uma caixa infinitesimal................................................................................147

Figura F.1 - Representação do eixo arbitrário para cálculo das propriedades inerciais...................................151

Figura F.2 - Sistema Omno rotacionado em relação ao Oxyz. ...........................................................................153

Figura F.3 - Projeção de rρ

sobre uρ

. ................................................................................................................154

Lista de Tabelas

Tabela 1 - Movimento das principais articulações do corpo humano relacionadas à marcha (adaptada de

Enoka, 2000). .....................................................................................................................................15

Tabela 2 - Comparativo do esforço computacional das diferentes abordagens, para 6 graus de liberdade

(adaptada de Fu, 1987). .....................................................................................................................48

Tabela 3 - Principais Modelagens Antropométricas. ............................................................................................52

Tabela 4 - Condições para que o sólido elíptico genérico instancie-se em outros................................................69

Tabela 5 - Equações das massas. ..........................................................................................................................70

Tabela 6 -Equações da coordenada do centróide. ...............................................................................................70

Tabela 7 - Equações dos Momentos de Inércia em relação ao eixo x (Ixx)...........................................................71

Tabela 8 - Equações dos Momentos de Inércia em relação ao eixo y (Iyy)...........................................................71

Tabela 9 - Equações dos Momentos de Inércia em relação ao eixo z (Izz). ..........................................................72

Tabela 10 - Medidas do usuário. ...........................................................................................................................87

Tabela 11 - Medidas do usuário, conforme item 3.1.1. .........................................................................................87

Tabela 12 - Medidas complementares do usuário, conforme item 3.1.4.3 e 3.1.4.4..............................................88

Tabela 13 - Medidas das dobras cutâneas do usuário, conforme item 3.1.3.........................................................88

Tabela 14 - Conjunto de ângulos usados na comparação entre valores calculados e desenhados.......................89

Tabela 15 - Correlação entre os ângulos usados por Winter (1990) e o modelo proposto...................................90

Tabela 16 - Dimensões dos semi-eixos dos elipsóides modeladores da cabeça e mãos. .......................................95

Tabela 17 - Parâmetros geométricos dos segmentos caracterizados por sólidos elípticos...................................95

Tabela 18 - Parâmetros inerciais dos segmentos do usuário. A localização do CG é dada em relação à

extremidade distal dos segmentos, referenciados ao início da cadeia. ............................................100

Tabela 19 - Parâmetros obtidos para montagem das matrizes de DH (do usuário). ..........................................100

Tabela 20 - Origens calculadas pelas matrizes de transformação da notação de DH, resultantes de ângulos

articulares nulos...............................................................................................................................101

Tabela 21 - Posições calculadas das origens dos sistemas de coordenadas, quando a cadeia se articula com

os ângulos da Tabela 14...................................................................................................................101

Tabela 22 - Sumário das massas dos segmentos do corpo. .................................................................................195

Tabela 23 - Sumário das distâncias dos CM dos segmentos do corpo às suas extremidades proximais. ...........195

Tabela 24 - Sumário dos momentos de inércia dos segmentos do corpo, ao redor do eixo transversal. ............196

Tabela 25 - Dados obtidos através cinemetria tabulados por Winter (1990)......................................................197

Tabela 26 - Dados obtidos através cinemetria tabulados por Winter (1990); continuação................................198

Tabela 27 - Momentos articulares determinados por Winter (1990). .................................................................200

Lista de Abreviaturas

RSHR – Rede Sarah de Hospitais de Reabilitação

IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística

ONU – Organização das Nações Unidas

EENM – Estimulação Elétrica Neuromuscular

PUCPR – Pontifícia Universidade Católica do Paraná

EEP – Elemento Elástico em Paralelo

EC – Elemento Contrátil

EES – Elemento Elástico em Série

CM – Centro de Massa

NE – Newton-Euler

DH – Denavit-Hartenberg

CE – Cilindro Elíptico

TCC – troncos de cone circular

TCE – troncos de cone elíptico

SET – sólidos elípticos de topo circular

SEB – sólidos elípticos de base circular

SE – sólido elíptico

CG – Centro de Gravidade

DCSE – dobras cutâneas subescapularDCTR – dobras cutâneas do tríceps

DCSI – dobras cutâneas supra-ilíaca

DCPM – dobras cutâneas perna medial

p. ex. – por exemplo

s.f. – substantivo feminino

1 Introdução

1.1. Motivação

Similar à cena de um exagerado filme do cinema catástrofe, o acidente: “Primeiro, acontecem enchentes, os vasos sangüíneos se rompem e o líquido que jorra causa uma pressão insuportável dentro das vértebras. Células nervosas são achatadas e o sufoco altera a transmissão de seus sinais elétricos. Os curto-circuitos são inevitáveis. Então, outras células se sacrificam na tentativa de resolver o problema de eletricidade, como quem desliga a força. Ao morrerem, essas suicidas liberam cálcio, e a substância atrai moléculas nocivas, como as dos radicais livres, capazes de acabar com o que ainda funcionava bem. Nasce uma segunda onda de destruição. Mais células morrem, mais cálcio aparece, e mais radicais livres cheios de más intenções. A reação em cadeia parece não ter fim, mas tem. Chegam células de defesa do sangue e limpam tudo na área. Tudo. A medula foi rompida. Fica um tremendo abismo entre o cérebro e os músculos que governam os movimentos..”’ (OLIVEIRA,1997). Infelizmente não é cinema. O dano parcial ou total da medula espinhal caracteriza a

lesão medular que, na maioria dos casos, ocorre em jovens que sofreram acidentes em

mergulhos, trânsito, ou com armas de fogo (RSHR, 2005). Como conseqüência desse grave

problema a atingir o sistema nervoso central, há a paralisia da musculatura abaixo da lesão,

perda da sensibilidade e das funções vegetativas da bexiga, tônus muscular, intestino,

secreção sudorípara e de parte da função sexual. Com essas perdas, surgem complicações

físicas, além dos problemas emocionais relacionados com a imagem corporal e social do

deficiente; drásticas e repentinas mudanças ocorrem tanto na vida da vítima, quanto na de

seus familiares (RSHR, 2005).

Segundo o censo de 2000, do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE,

2005), havia 955.287 tetraplégicos, paraplégicos e hemiplégicos permanentes no Brasil. Em

âmbito mundial, a ONU (Organização das Nações Unidas) estima que em tempos de paz

cerca de 10% da população de um país apresenta maior ou menor grau de incapacidade

(LIANZA, 1985). Considerando-se o aumento demográfico, a conseqüência é um crescente

aumento da população de usuários que necessitam de reabilitação.

O atual estágio avançado das pesquisas para o desenvolvimento de novos medicamentos

e técnicas que visam regenerar áreas lesadas, na medula espinhal ou no cérebro1, desperta a

atenção para a necessidade ainda maior de cuidados com a musculatura dos usuários, a fim de

1 Conforme as reportagens de Burgierman (1999), Mendonça (1999) e a página do Hospital das Clínicas da Faculdade de Medicina da Universidade de São Paulo, http://www.hcnet.usp.br/iot/pesquisa.htm (acessada em 16/1/2005)

2

evitar a atrofia causada pela inatividade. Músculos atrofiados impedem a execução de

movimentos completos; mesmo havendo recuperação neurológica. É, então, preciso fortalecer

as fibras, reabilitá-las, tornando-as novamente aptas aos movimentos.

Como uma promissora tecnologia de reabilitação para inúmeras incapacidades causadas

por função neuromuscular fraca ou ausente, a estimulação elétrica - principalmente a

neuromuscular2 - tem representado um importante papel nos últimos trinta anos, segundo

Kobetic, Triolo e Marsolais (1997).

Nos casos de lesados medulares, geralmente, o dano ocorre na parte superior da coluna.

Se as conexões abaixo da lesão (entre medula espinhal e músculos) estiverem intactas, suas

funções podem ser restauradas com impulsos nervosos gerados artificialmente (KOBETIC,

1984). Isto amenizaria o problema de tal condição patológica, resultante da incapacidade de

transformar o desejo de mover-se em comandos ativadores e coordenadores dos músculos

necessários à moção, posto que a estimulação elétrica das fibras nervosas nos músculos

produz contrações úteis, que devidamente controladas e coordenadas possibilitam aos

paraplégicos levantarem, caminharem e sentarem (KHANG & ZAJAC, 1989; POPOVIC et

al., 1999).

Nos sistemas criados para restituir a função através de eletroestimulação, segundo Jonic

et al. (1999), técnicas híbridas para controlar estímulos, baseadas em computação flexível3,

visam contornar o “problema” da modelagem da complexa planta sob controle – o lesado

medular. No entanto, mesmo voltando-se as atenções a essas novas técnicas, há a necessidade

de se proceder à identificação da planta ou à sintonia do controlador; práticas que envolvem a

aplicação de estímulos à planta e a conseqüente aquisição e análise do comportamento de seus

parâmetros de saída em resposta a tais estímulos (OGATA, 1993).

Em se tratando de eletroestimulação, tais procedimentos tornam-se, no mínimo,

desconfortáveis ao paciente. Logo, se um adequado modelo da planta existir, ainda que

matematicamente complexo, torna-se possível um pré-ajuste do controlador, sem que este

esteja ligado ao usuário.

Assim, ao elaborar uma modelagem biomecânica, personalizada, de parte do aparelho

motor do indivíduo envolvido na marcha, propiciam-se meios para minimizar o problema de

ajuste implícito nos sistemas de controle dos estimuladores elétricos.

2 Excitam-se os tecidos com corrente elétrica visando evocar um potencial de ação (impulso elétrico nas células nervosas), a fim de contrair a musculatura associada (LOW & REED, 2001). 3 Mais conhecida por inteligência artificial. Em controle, suas principais técnicas são: redes neuronais, lógica nebulosa e algoritmos genéticos (BARRETO, 1997).

3

1.2. Objetivos

1.2.1. Objetivo Geral

O objetivo geral desta pesquisa corresponde à modelagem do aparelho locomotor para

aplicações em controle artificial da marcha, mediante a aplicação da estimulação elétrica

neuromuscular.

1.2.2. Objetivos Específicos

Pretende-se ainda, norteado pelo leitmotif desta dissertação:

1. obter uma modelagem clinicamente aplicável, com número reduzido de medidas que exija

instrumentação simples (fita métrica, plicômetro, antropômetro e balança), além do

computador;

2. impor características personalizáveis ao modelo, adequadas à situação física do usuário;

3. prover um refinamento ao modelo de Hanavan, com o emprego de formas mais

semelhantes às partes do corpo e de um número maior de segmentos, que possa contemplar

o movimento de rotação pélvica no andar;

4. facilitar o uso da notação de Denavit-Hartenberg para extração das relações cinemáticas

entre os segmentos do corpo envolvidos na marcha;

5. produzir equações de movimento do modelo, desenvolvendo a análise cinética pela

abordagem mecânica Lagrangeana, tal que futuramente possa ser desnecessário o

monitoramento do vetor força de reação do solo, durante o caminhar, através de plataforma

de força, para cálculo dos momentos nas articulações envolvidas;

6. avaliar o modelo proposto através da comparação com dados disponíveis na literatura de

biomecânica.

1.3. Justicativa

Durante as atividades do mestrado, participou-se de um projeto sobre controle fuzzy4 de

estimulação elétrica neuromuscular (EENM) visando ajustar a articulação do joelho, mediante

4 Embora no Brasil adote-se o termo “nebuloso” (BARRETO, 1997), preferiu-se “fuzzy” por ser mais conhecido.

4

o controle do ângulo articular (SILVA, 2002). E, ante as dificuldades e o desconforto no

ajuste do eletroestimulador, percebeu-se a importância de se ter um modelo biomecânico.

A operação conjunta de muitos canais estimulatórios para controlar os ângulos a serem

gerados nas principais articulações envolvidas na marcha controlada artificialmente, reforçava

a necessidade da modelagem do corpo.

Seguindo a premissa de não carecer de muita precisão, cogitou-se que a adoção de um

modelo biomecânico, ainda que com erros consideráveis, serviria para pré-ajustar um

controlador adaptativo inteligente e, posteriormente, propiciar um nível maior de conforto, ao

refinar o ajuste dos estímulos no usuário. Sendo assim, deu-se andamento ao presente trabalho

que constitui apenas uma parte da modelagem biomecânica da “planta” inserida num sistema

genérico de controle dos sinais estimulatórios de sistemas de EENM (Figura 1).

Usuário (planta)

EENM c/ controlador adaptativo inteligente

Objetivos de ângulos das articulações em um ciclo da marcha

θ1, θ2,...,θn Duração dos n canais de pulsos

θ1, θ2,...,θn, “medidos”

Figura 1 - Diagrama genérico de um sistema de EENM com duração de pulsos controlada.

Antes, buscou-se, dentre os inúmeros modelos biomecânicos voltados a aplicações em

animação, simulação cirúrgica e em controle da marcha propostos (DELP et al.,1990; JONIC

et al., 1999, KOMURA, SHINAGAWA e KUNII, 1999, ANDERSON & PANDY, 2000,

MACIEL, 2001; ZAJAC, NEPTUNE e KAUTZ 2003), algum que pudesse ser facilmente

aplicado em conformidade com os equipamentos disponíveis no Laboratório de Engenharia de

Reabilitação / PUCPR. Contornável seria o emprego de todo o aparato relativo à cinemetria

(câmeras e softwares de análise de marcha) se fosse possível mimetizar e adaptar a evolução

comportamental dos ângulos articulares do aparelho locomotor de uma pessoa normal para

um lesado medular. Para tanto, seria preciso abstrair apenas o essencial: encontrar uma ponte

entre a estimulação elétrica e a dinâmica da marcha.

Porém, não foi encontrado um modelo com características que atendesse às

expectativas. Os modelos antropométricos, baseados em equações de regressão, têm suas

amostras tomadas sobre sujeitos normais (ENOKA, 2000). Isso geraria grandes erros devido

às diferenças morfológicas antropométricas. Os modelos que utilizam técnicas de

5

escaneamento (tomografia, ressonância, radioisótopos) têm custo elevado para aplicação no

contexto do estudo da marcha. Ainda, modelos biomecânicos antropométricos não

contemplam equacionamento dinâmico, à exceção ao de Hatze (1998). Este modelo requer, no

entanto, um número muito elevado de medidas (MEIJER et al., 1998), sendo, também, de

pouca aplicabilidade clínica. Modelos osteomusculares-tendíneos requerem a determinação da

seção transversa dos tendões, músculos e o ângulo de penação das fibras musculares, o que

envolve, no mínimo, ultra-sonografia (ZAJAC, NEPTUNE e KAUTZ, 2003).

Pensou-se, então, numa modelagem que pudesse ser, posteriormente, transformada em

programa computacional, dando liberdade a um usuário, dotado de poucos instrumentos de

medidas5, pré-ajustar um sistema de EENM. Julgou-se adequado o reduzido número de

medidas requerido pelo modelo proposto por Hanavan, em 1964 (apud ENOKA, 2000), e sua

relativa flexibilidade, que é uma característica dos modelos geométricos analíticos.

Entretanto, como o modelo original não atendia aos determinantes da marcha, criou-se um

novo modelo, por refinamento daquele, dotando-o de equacionamento para a dinâmica do

movimento bípede humano, indo além de modelagem antropométrica.

A idéia foi compor um novo modelo biomecânico, com as alterações e implementações

propostas, para ser integrado a uma estrutura como a do diagrama de blocos da Figura 2. Este

trabalho representa apenas parte do modelo de referência destacado na ilustração, não sendo

objetivo abordar as relações que possam existir entre duração do pulso estimulatório e

momento articular6, nem tampouco discorrer sobre sistemas de controle.

Para desembaraçar o caminho que leva as medidas antropométricas às equações de

movimento e, por sua vez, aos desejados momentos articulares, a adoção da notação de

Denavit-Hartenberg, oriunda da Robótica (NIKU, 2000), permitiria modelar a cinemática da

marcha e, de modo sistêmico, derivar as relações cinéticas.

Pela necessidade de eficiência no processamento em tempo real no cálculo dos

momentos articulares (cinética), nos atuais softwares7 de análise da marcha, empregam-se

modelagens biomecânicas com abordagens baseadas em formulação mecânica, conhecida

como Newton-Euler (VAUGHAN, DAVIS e O’CONNOR, 1992; ZAJAC, NEPTUNE e

KAUTZ, 2002 e 2003), na qual é mandatório o registro da grandeza vetorial força de reação

do solo durante o andar, realizado por plataformas de força nos laboratórios. Sendo razoável

5 Fita métrica, antropômetro e compasso de dobras cutâneas, além do computador. 6 Um estudo sobre o tema foi realizado, para a articulação do joelho, por Ferrarin & Pedotti (2000). 7 Uma diversidade de softwares de captura e análise de movimentos está listada nas páginas amarelas da Sociedade Internacional de Biomecânica, http://www.isbweb.org/~byp/cat-motion.html (acessada em 17/1/2005)

6

pensar que um sistema de EENM não devesse ficar restrito a um laboratório, seria preciso um

modo de dispensar o uso da plataforma de força no tratamento cinético do modelo. Este

motivo compeliu à adoção da abordagem mecânica Lagrangeana (DUARTE e AMADIO,

1993), que é baseada em grandezas escalares (energia cinética e potencial).

Apesar de requerer grande esforço computacional, todavia, a mecânica de Lagrange

mostra-se viável, pois o intuito é o processamento “off-line” dos dados (medidas) do usuário.

A viabilidade do cálculo dos momentos articulares requeridos, a partir de ângulos

mimetizados de uma marcha normal, sem precisar determinar as forças envolvidas no

movimento do corpo, seria uma solução adequada ao controle da marcha controlada

artificialmente e, consequentemente, implicaria na redução de custos.

θ1, θ2,...,θn “medidos

Equacionamento dinâmico inverso do

corpo humano: MODELO

PROPOSTO

Padrões de durações dos n canais de pulsos

Padrões de Torques (T1,..,Tn) θ1,...,θn

Durações dos pulsos dos n canais

Relação duração de pulso

versus momento de força

(“torque”)

ΣAlgoritmo

de aprendizado

Sinaisde erro

Objetivos de ângulos das articulações em um ciclo da marcha

Usuário

EENM com controlador adaptativo inteligente

Modelo de Referência

Figura 2 - Diagrama de blocos situando o modelo proposto na estrutura de um sistema EENM, para efeitos de ajuste do controlador. A tesoura vermelha sugere a desconexão entre EENM e usuário

durante o procedimento de pré-ajuste.

1.4. Organização da Dissertação

Inicia-se o capítulo 2 considerando o homem estruturalmente descontínuo, focalizando

as bases neuromecânicas da Cinesiologia, com uma exposição sucinta da estrutura básica do

7

sistema articular elementar, seu funcionamento e o contexto mecânico de alguns de seus

componentes. Precede ao estudo da marcha, uma classificação dos tipos de movimentos, para

a familiarização do leitor ao jargão dos profissionais da área. Prossegue-se, considerando-se o

ser humano como um todo, sob o aspecto funcional, uma conjunção de propriedades

específicas, integradas, que são pesquisadas na análise da marcha normal, suas fases e

eventos. Após, a marcha é abordada sob o ponto de vista qualitativo, sua biomecânica é

conceituada cinemática e cineticamente. Finalizando o capítulo, dá-se um panorama da

modelagem biomecânica, voltado à locomoção humana, o estado da arte, abordando os

aspectos históricos e conceituais dos modelos antropométricos, caracterizando-os.

No capítulo 3, é apresentada a metodologia empregada para elaborar o modelo proposto,

a qual se subdivide em temas que abordam as modelagens antropométrica e dinâmica.

No capítulo 4 são expostos os resultados obtidos, sendo o próprio modelo considerado o

resultado principal. Ainda são considerados os resultados da avaliação do modelo.

Os comentários dos resultados obtidos apresentam-se no capítulo 5, discutidos quanto à

antropometria e dinâmica do modelo. Também são comentados os resultados da preliminar do

modelo. O capítulo ainda traz sugestões para trabalhos futuros.

No capítulo 6 finaliza-se esta dissertação com as conclusões firmadas sobre os objetivos

estipulados e os resultados alcançados.

2 Revisão Bibliográfica

Os fenômenos que ocorrem no universo podem ser estudados construindo-se modelos e,

para isso, hipóteses devem ser admitidas. A adoção de hipóteses convenientes permite a um

modelo chegar a uma solução próxima da adequada. Embora um modelo possa ser

matematicamente expresso, uma descrição em linguagem matemática nem sempre é suficiente

para esclarecer a natureza profunda do fenômeno envolvido. Em grande parte dos problemas

reais, existe a dificuldade em exprimir a percepção do objeto de estudo.

Conforme esquematizado na Figura 3, a investigação do fenômeno do movimento

humano de uma forma abrangente e profunda, porém, qualitativamente, é responsabilidade da

Cinesiologia8, a qual combina conhecimentos e princípios da anatomia funcional9, fisiologia,

psicologia e mecânica, segundo Hamill & Knutzen (2003); e, ainda, antropologia e histologia,

segundo Smith, Weiss e Lehmkuhl (1997). No entanto, Hamill & Knutzen (2003) também

expõem que se a análise do movimento for feita com observação e descrição qualitativa, ou

quantitativa, esta recai na abordagem biomecânica10 por estar sendo medido algum aspecto do

movimento. A Biomecânica estuda a estrutura e a função dos sistemas biológicos utilizando-

se dos métodos da Mecânica.

Cinemática Cinética

Biomecânica

PosiçãoVelocidadeAceleração

PosiçãoVelocidadeAceleração

Força

Anatomia Funcional

Cinesiologia

AngularLinearAngularLinear

"Torque"

Figura 3 – Competências do estudo do movimento humano (adaptada de Hamill & Knutzen, 2003).

8 O termo cinesiologia é derivado de dois verbos gregos, kinein e logos, que significam mover e descrever (ENOKA, 2000). 9 A Anatomia funcional é o estudo dos componentes do corpo necessários para executar um movimento humano ou função (ENOKA, 2000). 10 Uma definição de Biomecânica é dada no item 2.1.6.

10

Como a presente dissertação propõe um modelo de planta para aplicação em controle da

deambulação artificial, cujos parâmetros controlados estão em função de características

humanas, apela-se, não apenas a valores de referência observáveis na marcha, mas a um

amplo conjunto de variáveis envolvido na dinâmica do complexo movimento por meio dos

membros inferiores.

A locomoção bípede, em especial, tem sido um problema desafiador a cientistas de

diferentes vocações: biólogos, fisioterapeutas, médicos especialistas, físicos, matemáticos e

engenheiros dedicados à árdua tarefa de modelar o corpo humano, com 206 ossos11

interligados por complexas articulações, músculos, pele e gordura (GUYTON & HALL,

1996).

Buscando melhorar a nitidez deste quadro multidisciplinar, fez-se na primeira parte

deste capítulo, uma incursão pelas “cores” necessárias à modelagem dinâmica do corpo

humano, acrescentando-se “nuances” com digressões em literaturas ora calcadas na

cinesiologia ora na biomecânica, a fim de proporcionar uma base mínima à compreensão do

restante do trabalho.

2.1. Fundamentação Teórica

2.1.1. Sistema Articular Elementar

Em razão da complexidade do corpo humano, foi desenvolvido um modelo simplificado

dos componentes do sistema motor essenciais ao movimento, chamado de sistema articular

elementar, conforme exposto em Enoka (2000), sendo constituído por cinco componentes: elo

rígido, articulação sinovial, músculo, neurônio e receptor sensorial, ilustrados na Figura 4.

Os cinco componentes são constituídos de tecidos diferentes conhecidos como

conjuntivos, compreendendo substâncias vivas (células) e sem vida (material intercelular),

mergulhadas no fluido tissular. Tais tecidos adaptam-se às sobrecargas físicas encontradas nas

atividades cotidianas, resultando num sistema dinâmico com propriedades que se alteram

continuamente.

11 Num recém nascido são 300 ossos, num adulto este número baixa para 206 (GUYTON & HALL, 1996).

11

2.1.1.1. Elo Rígido

Os principais elementos de ligação que constituem o elo rígido do sistema articular

elementar, segundo Enoka (2000), são: osso, tendão e ligamento.

Figura 4 – Componentes do sistema articular elementar (modificada de Enoka, 2000).

a) Osso

O tecido ósseo é uma das estruturas mais rígidas do corpo, devido à combinação de

elementos orgânicos e inorgânicos, sendo composto, principalmente, pelos minerais cálcio e

fostato (representando 45% do peso ósseo), juntamente com uma matriz protéica (35% do

peso) e água (20%). As fibras de osteocolágeno, que compõem a matriz protéica, determinam

a maleabilidade do osso.

O conteúdo de colágeno dá ao osso a habilidade de suportar cargas tensivas (a força de

tração exercida pelo músculo). O grau de fragilidade depende de seus constituintes minerais,

que lhe dão habilidade para suportar cargas compressivas (HAMILL & KNUTZEN, 2003). O

osso é um material altamente adaptável e muito sensível ao desuso, imobilização ou atividade

vigorosa e altos níveis de carga. Em resposta à demanda mecânica, o tecido ósseo consegue se

auto-reparar, alterando suas propriedades e configuração; a atividade física é um componente

elementar no desenvolvimento e na manutenção da integridade e força esquelética.

No enfoque dado pela biomecânica, a forma e estrutura observadas de um osso são

explicadas pela função a que se destina e pelas condições ambientais por ele experimentadas.

12

Em termos de engenharia, o osso possui um fator de segurança com valor entre dois e

cinco, ou seja, os ossos são duas a cinco vezes mais fortes que as forças que eles comumente

encontram nas atividades cotidianas (ENOKA, 2000).

b) Tendão e Ligamento

Sendo elementos conectores, tendões unem músculos a ossos, e ligamentos, ossos a

ossos. A principal diferença entre tendão e ligamento é a organização das fibrilas de colágeno,

especializadas para acomodar as respectivas funções. Como a função do tendão é transmitir

força muscular ao osso ou à cartilagem, sua estrutura torna-o menos suscetível à deformação

causada por forças tensivas; em contraste, somente pequenas forças empurrando

longitudinalmente (compressivas) e de um lado para outro (de atrito) são necessárias para

deformar um tendão. Já o ligamento, embora também sujeito, principalmente, a forças

tensivas, tem como função primária a estabilização articular e, desse modo, deve ser capaz de

prover estabilidade multidirecional e acomodar forças tensivas, compressivas e de atrito

(ENOKA, 2000).

Aproximadamente de 70% a 80% do peso seco do tendão e do ligamento consiste em

colágeno tipo I, que é uma proteína fibrosa com estabilidade mecânica considerável. A fibrila

de colágeno é a unidade básica de suporte de carga do tendão e do ligamento (Figura 5). No

tendão, as fibrilas são arranjadas longitudinalmente, em paralelo, para maximizar a resistência

às forças tensivas. No ligamento, as fibrilas alinham-se em paralelo, mas com alguns arranjos

oblíquos ou espirais para acomodar forças em direções diferentes.

Além das fibras de colágeno e elastina, a matriz extracelular do tendão e do ligamento

inclui proteoglicanas12 e água. A água, tipicamente, liga-se às proteoglicanas para formar um

gel cuja viscosidade diminui com a atividade. Tal propriedade é conhecida como tixotropia. A

resistência que um tecido oferece ao alongamento a uma dada velocidade depende de sua

viscosidade: quanto mais alta a viscosidade, maior a resistência ao alongamento. À medida

que a viscosidade diminui, contudo, o tecido é capaz de acomodar velocidades de

alongamento maiores antes de ser lesado. A viscosidade do tecido tixotrópico muda em razão

da atividade prévia, como um aquecimento ou um período constante de inatividade (ENOKA,

2000).

12 Substância formada por proteínas + glicosaminoglicanas. Maiores informações podem ser obtidas na literatura de histologia, a exemplo do Atlas Digital da Universidade Estadual do Rio de Janeiro (em http://www2.uerj.br/~micron/atlas/Menu.htm , acessada em 11/05/2005).

13

Figura 5 - Organização hierárquica do tendão (adaptada de Enoka, 2000).

2.1.1.2. Articulação Sinovial (ou Diartrodial)

Em geral, as articulações classificam-se em três grupos: fibrosa ou sinartrose,

(relativamente imóvel, p. ex., suturas do crânio, membranas interósseas entre rádio e ulna, ou

entre tíbia e fíbula), articulação cartilaginosa ou anfiartrose (levemente móvel, p. ex., discos

intervertebrais, sínfise púbica) e articulação sinovial ou diartrose (com alto grau de

mobilidade, p. ex., quadris e cotovelo). Esta última pode ser comparada a uma junta mecânica

unida com atrito desprezível, sendo considerada por Enoka (2000) o componente articular do

sistema.

As articulações do tipo sinartrose, também, conhecidas por articulações não-sinoviais,

caracterizadas pela junção de dois ossos e por não apresentarem nenhum tipo de movimento

específico. Tais juntas, embora de suma importância por responderem às forças aplicadas

absorvendo choques, não são aqui revistas por ser de interesse apenas o saber relativo aos

momentos de força, e não em detalhar as reações inter-segmentares e seu comportamento.

Uma revisão detalhada sobre articulações e suas modelagens é apresentada no trabalho de

Maciel (2001).

14

A articulação sinovial tem duas funções: prover mobilidade para o esqueleto,

permitindo que um segmento do corpo articule sobre o outro, e transmitir forças de um

segmento para outro. Essas interações, que envolvem o contato de ossos adjacentes, são

controladas por inúmeras características estruturais, incluindo a cartilagem articular, cápsula

articular, membrana sinovial e a geometria dos ossos.

A cartilagem (ou hialina) é uma camada de material visco-elástico (de 1 a 7 mm de

espessura), um tecido conjuntivo branco e denso que recobre as superfícies dos ossos na

articulação, de modo a modificar a forma do osso, assegurando melhor contato com o osso

vizinho pela distribuição de cargas, reduzindo os estresses de contato, proporcionando

estabilidade ao se comportar como uma esponja embebida em água (HAMILL & KNUTZEN,

2003).

Conforme Enoka (2000), a hialina tem seu comportamento biomecânico modificado

com o tempo, quando sujeita à carga ou deformação constante. Tal resposta é causada por

mudanças na espessura da cartilagem articular em razão do fluxo de água relacionado à

sobrecarga. Sua espessura é aumentada em indivíduos mais ativos.

A cápsula articular (ou cavidade sinovial) é uma componente indispensável ao perfeito

funcionamento das articulações. Esta cápsula é uma estrutura frouxa, uma espécie de saco

conjuntivo que envolve toda a articulação fechando-a hermeticamente e, em alguns lugares,

fundindo-se com os ligamentos capsulares, mantendo as superfícies articuladoras em maior

proximidade. A superfície de sua camada interna é lisa e produz o líquido sinovial, cuja

função é lubrificar as superfícies da hialina, minimizando a fricção e desgaste, facilitando o

deslocamento.

Enoka (2000) ainda cita que, tal como a cartilagem articular, a cápsula articular e

ligamentos associados também se adaptam às alterações no padrão de atividade. Quando, para

fins de reabilitação, imobiliza-se uma articulação, as adaptações que podem ocorrer na

cápsula e nos ligamentos articulares podem constituir um perigo. Aparentemente, o tecido

conjuntivo tende a se adaptar a um menor comprimento funcional. Na imobilização, a cápsula

e os ligamentos encolhem-se e, então, um novo tecido é sintetizado para acomodar o menor

comprimento. Essas mudanças reduzem a mobilidade na articulação.

A geometria das articulações sinoviais (arquitetura das superfícies articuladoras e forma

dos ligamentos) determina fortemente a qualidade do movimento entre dois segmentos

adjacentes do corpo. Uma articulação sinovial pode permitir movimentação sobre um a três

eixos.

15

Cada eixo representa um grau de liberdade, o que significa que a estrutura articular pode

permitir a rotação em todos os eixos. Os movimentos articulares13 podem ocorrer no plano da

flexão-extensão, da abdução-adução e da rotação sobre um eixo longitudinal, tal como

sintetizado na Tabela 1.

Tabela 1 - Movimento das principais articulações do corpo humano relacionadas à marcha (adaptada de Enoka, 2000).

Articulação Superfícies articuladoras Graus de liberdade14 Amplitude de movimento ( º)

Flexão-extensão 17 Atlantoccipital

Flexão lateral 11

Flexão-extensão 11 Atlantoaxial

Rotação (longitudinal) 46

Flexão-extensão 40 flexão, 23 extensão

Flexão lateral 97 C3-C7


Flexão-extensão 3 ~ 11

Flexão lateral 3 ~ 9 Torácica


Flexão-extensão 17

Flexão lateral 6

Coluna

Lombar


Cabeça do fémur Flexão-extensão 138 flexão, 17 extensão

Abdução-adução 29 abdução, 23 adução Quadril Acetábulo

Rotação interna-externa 69 interna, 86 externa

Flexão-extensão 138

Rotação interna-externa 40 interna, 29 externa (joelho à 90)

Joelho Tibiofemoral

Abdução-adução < 6 (joelho à 29)

11 ~ 23 dorsiflexão Tornozelo

Tibiotalar, fibulotalar e

tibiofibular distal Flexão-extensão

23 ~ 34 flexão plantar

Subtalar Inversão-aversão 17 inversão, 6 eversão

< 6 dorsiflexão Intertársica e

Tarsometatársica Dorsiflexão, flexão plantar

17 flexão plantar Pé

Metatarsofalângica Flexão-extensão 29 flexão, 86 extensão

13 Caracterizados no item 2.1.3. 14 Grau de liberdade é termo usado para descrever o número mínimo de coordenadas independentes, requerido para especificar um movimento (OGATA, 1993).

16

2.1.1.3. Músculo

Os músculos são máquinas moleculares que convertem energia química (inicialmente

derivada do alimento) em energia mecânica (força). Biomecanicamente, músculos são as

únicas estruturas ativas do corpo. Movimentos ativos são produzidos por contrações de fibras

musculares através de atividade metabólica oxidativa e glicolítica (HAMILL & KNUTZEN,

2003).

Suas estruturas anatômica, molecular e química constituem uma fonte biologicamente

eficiente de potência, controlada por uma organização igualmente admirável dos nervos

centrais e periféricos, com sensores diferenciados e vias de realimentação (BERNE & LEVY,

1998).

Embora na histologia (GUYTON & HALL, 1996) eles sejam classificados em três tipos

de músculo vertebrado – liso, estriado cardíaco e estriado esquelético - somente o esquelético

é considerado aqui, pelo seu papel como gerador do movimento humano: exercer uma força

que interaja com as forças impostas pelos arredores de modo a produzir rotação dos elos

rígidos, à exceção de alguns músculos da face. Por esse motivo, ao longo desta dissertação, o

termo músculo referir-se-á à musculatura esquelética.

Por serem responsáveis pela locomoção, postura, movimento dos membros e pela

estabilidade articular, músculos e grupos musculares arranjam-se de tal maneira que podem

contribuir, individual ou coletivamente, na produção de pequenos ou amplos e vigorosos

movimentos (SMITH, WEISS e LEHMKUHL, 1997).

Hamill & Knutzen (2003) afirmam que para uma melhor compreensão da função

muscular, faz-se necessário um exame de sua organização física.

Fisicamente, os músculos formam grupos, ficando contidos e compartimentados por

uma bainha de tecido fibroso que os definem: a fáscia. É comum que grupos de um mesmo

compartimento tenham a mesma inervação; os compartimentos formados dividem os

músculos em grupos funcionais (HAMILL & KNUTZEN, 2003).

Alguns músculos possuem fibras paralelas ao longo do eixo muscular. Em outros, as

fibras formam um ângulo agudo com este eixo, produzindo arranjos penados, bipenados ou

multipenados, tal como ilustra a Figura 6 (BOCCOLINO, 1986).

Observando-se a estrutura anatômica macroscópica de um músculo, na Figura 7,

percebe-se que revestindo a parte externa do músculo existe outro tecido fibroso, o episímio,

que tem um papel de prover uma aplicação suave da força muscular no osso, através do

tendão ou por aponeurose (um tipo de bainha de tecido fibroso). Dentro do episímio,

17

inúmeros feixes de fibras, os fascículos, são recobertos por uma bainha conectiva densa

chamada perisímio.

Figura 6 - Variedade de arquiteturas musculares. Da esquerda para direita: fibras paralelas, unipenadas, bipenadas e multipenadas (adaptada de Linden, 1998)

No interior de um fascículo, as fibras correm paralelamente entre si, cobertas pelo

endosímio, outra bainha muito delgada que leva capilares e nervos a nutrir e inervar cada fibra

muscular. Diretamente sob o endosímio encontra-se uma fina superfície na membrana do

plasma, o sarcolema, responsável pelo transporte ativo, ao permitir alguns materiais

atravessarem-no, e o passivo, ao auxiliar na passagem de outros materiais (ENOKA, 2000;

BERNE & LEVY, 1998; GUYTON & HALL, 1996).

Músculos são classificados conforme sua inervação, diferenciando-se músculos

voluntários, sob o controle consciente, de involuntários, sob o controle do sistema nervoso

autônomo, e distinguindo-se pelo desempenho funcional de suas células musculares.

As células musculares ligadas ao esqueleto são estriadas, freqüentemente muito longas,

fazendo a ponte entre os locais de ligação do músculo e o esqueleto. As estrias originam-se do

arranjo altamente organizado das estruturas subcelulares. Tais estruturas mostram-se como

feixes de filamentos passando ao longo do eixo da célula, chamados de miofibrilas. Numa

fibra muscular podem existir centenas ou milhares de miofibrilas preenchendo cerca de 80%

de seu espaço; o restante da fibra consiste de organelas usuais (mitocôndrias, sarcoplasma,

etc). As miofibrilas, por sua vez, são compostas de feixes de miofilamentos15, que contêm

filamentos delgados e grossos de proteínas (Figura 7).

A zona dos filamentos grossos entrelaçados por alguns filamentos delgados produz na

miofibrila regiões escuras denominadas de banda A (anisotrópica). A área entre bandas A é

chamada de banda I (isotrópica) e contêm, predominantemente, filamentos delgados. A zona 15 Como em muitos músculos, as miofibrilas são de difícil identificação, torna-se mais apropriada a referência ao termo miofilamento (ENOKA, 2000).

18

da miofibrila, que vai de uma banda Z até a outra, é definida como a unidade básica contrátil,

chamada sarcômero. Assim, as miofibrilas podem ser consideradas como uma série de

sarcômeros somados de ponta a ponta (ENOKA, 2000; GUYTON & HALL, 1996).

Figura 7 - Estrutura de um músculo esquelético. O epimísio agrupa fascículos, delimitados por perisímios e constituídos de feixes de fibras determinadas por seus sarcolemas, unidas pelo endosímio.

No sarcoplasma, interior à fibra, estão as miofibrilas, compostas por filamentos grossos e finos, formando as bandas identificáveis por Z, A e I (modificada de Hamill & Knutzen, 2003).

Filamentos delgados são dominados pela proteína actina, incluindo as proteínas

reguladoras tropomiosina e troponina; já os filamentos grossos são constituídos de uma

proteína muito grande, a miosina, e incluem uma única molécula de titina em cada metade de

filamento. As caudas das moléculas de miosina associam-se, compondo o eixo do filamento; o

restante da molécula, consistindo de cabeças globulares (pareadas), projeta-se lateralmente ao

filamento formando as pontes cruzadas, ou transversas, que se interligam aos filamentos

delgados (BERNE & LEVY, 1998).

19

2.1.1.4. Neurônio

Com quatro regiões morfológicas - dendritos, soma, axônio e terminal pré-sináptico -

um neurônio típico, tal como ilustra a Figura 8, tem uma superfície receptiva, consistindo de

um corpo celular (soma), o qual contém os aparatos necessários para a síntese de

macromoléculas (núcleo, ribossomos, retículo endoplasmático rugoso, complexo de Golgi,

etc.) e vários dendritos, os quais são partes da superfície semelhante a ramos que recebem as

sinapses (conexões neurônio-a-neurônio). O axônio, um processo tubular que se origina do

soma, faz conexões sinápticas com outros neurônios, ou com células efetoras (músculos, no

sistema articular elementar), assim chamadas por efetuarem as funções ditadas pelos sinais

nervosos, conforme Berne & Levy (1998) e Guyton & Hall(1996).

Embora as sinapses possam ocorrer entre qualquer parte dos neurônios, cerca de 80%

dos locais de recebimento de impulsos (sinapses) estão localizados nos dendritos (ENOKA,

2000).

Os neurônios comunicam-se uns com os outros por meio de potenciais de ação16,

propagados ao longo dos axônios nos circuitos neurais (neurônios interconectados por

sinapses). Na transmissão sináptica, um potencial de ação ao atingir o terminal pré-sináptico

causa, geralmente, a liberação de substância neuro-transmissora que excita a célula pós-

sináptica, para desencadear um ou mais potenciais de ação ou inibe a atividade da célula. Os

axônios não somente transmitem a informação pelos circuitos neurais, como também

conduzem substâncias químicas na direção dos terminais sinápticos, por meio do transporte

axônico (BERNE & LEVY, 1998).

Os neurônios são suportados, protegidos e providos de reparo (estrutural e metabólico),

após lesões, por células da neuróglia (ou glia), existentes em número nove vezes maior que os

neurônios. As células da neuróglia não participam diretamente da comunicação da informação

em curto prazo pelo sistema nervoso, porém, elas auxiliam essa função dos neurônios,

suprindo certos axônios com bainhas de mielina, as quais aceleram significativamente a

condução dos potenciais de ação ao longo dos axônios, permitindo comunicarem-se

rapidamente com outras células a distâncias relativamente grandes. No processo de

mielinização, a membrana de superfície das células da glia (oligodendrócitos ou células de

Schwann) envolve o axônio (BERNE & LEVY, 1998).

16 Detalhes de como o potencial de ação tem início, sua forma de onda, e como ele propaga podem ser vistos em Lundy-Ekman (2000), Bronzino (2000), Smith, Weiss e Lehmkuhl (1997) e Enoka (2000).

20

Figura 8 – Características morfológicas dos neurônios. Na parte superior exibe-se a estrutura básica do neurônio e, na de baixo, a inserção nervosa no músculo esquelético (de Hamill & Knutzen, 2003).

Embora neurônios pertençam um grupo de células morfologicamente diversificado, sua

função comum é realizada em três fases distintas: (a) a recepção de informações (entrada), (b)

uma avaliação das informações para determinar se um sinal eferente deverá ser transmitido e

(c) transmissão do sinal (saída).

Três classes funcionais de neurônios são importantes no sistema articular elementar:

aferentes, interneurônios e eferentes. Os neurônios aferentes conduzem informações

sensoriais (potenciais de ação) dos arredores para o sistema nervoso central. Os interneurônios

representam 99% de todos os neurônios e são os componentes do sistema nervoso central que

modulam a interação entre sinais aferentes (entrada) e eferentes (saída); podendo, ainda,

desencadear respostas excitatórias e inibitórias em outros neurônios. Os eferentes transmitem

o sinal eferente (potenciais de ação) do sistema nervoso central para o órgão efetor (músculo,

no sistema articular elementar).

21

Os neurônios eferentes que inervam o músculo são chamados de motoneurônios. Os

somas desses neurônios estão localizados no cérebro e na substância cinzenta da medula

espinhal. Seus axônios saem da medula, agrupados em nervos periféricos, em direção aos

músculos-alvos. Quando o nervo atinge o músculo, ele se subdivide primeiro em ramos

nervosos primários e, depois, em ramos menores até que axônios únicos façam contato com

fibras musculares únicas (Figura 8).

A conexão (sinapse) entre um axônio e uma fibra muscular é conhecida como junção

neuromuscular; às vezes, também chamada de placa terminal motora, que contém vesículas

microscópicas no axônio terminal. Na junção neuromuscular, a membrana pré-sináptica

(axônio) fica separada da membrana pós-sináptica (músculo) por uma fenda de 1 a 2 µm.

Num processo eletroquímico, um potencial de ação gerado pelo motoneurônio é transmitido

por essa fenda, convertido em energia química na forma do neurotransmissor acetilcolina

(ENOKA, 2000).

2.1.1.5. Receptor Sensorial

A razão para incluir os primeiros quatro elementos (elo rígido, articulação sinovial,

músculo e neurônio) nesse modelo biológico para controle do movimento é, intuitivamente,

óbvia, mas por que incluir os receptores sensoriais?

A função básica dos receptores sensoriais é prover informações para o sistema sobre

seu próprio estado (feedback) e sobre o ambiente ao redor. Eles convertem energia de uma

forma em outra por meio de um processo conhecido como transdução. Esta energia pode

apresentar-se em variedade de formas: luz, pressão, temperatura e som; mas, a resposta dos

receptores sensoriais é comum: energia eletroquímica na forma de potenciais de ação, os

quais são transmitidos centralmente e usados pelo sistema nervoso central para monitorar o

estado do sistema músculo-esquelético.

O corpo humano contém muitos tipos de receptores sensoriais, distintos com base na

sua localização (exteroceptores, proprioceptores, interoceptores), função (mecanorreceptores,

termorreceptores, fotorreceptores, quimiorreceptores, nociceptores) e morfologia (terminações

nervosas livres, terminações encapsuladas) (BERNE & LEVY, 1998).

O sistema articular elementar (de uma pessoa em estado de normalidade) precisa de

pelo menos dois tipos de informação para controlar o movimento: conhecer onde e quando

está sendo perturbado por algo que aconteça em seu ambiente. Essa informação é dada pelos

proprioceptores: fusos musculares, órgãos tendíneos e receptores articulares, que detectam

22

estímulos gerados pelo próprio sistema, e pelos exteroceptores: olhos, orelhas e receptores da

pele que respondem à temperatura, toque e dor, os quais detectam estímulos externos. Com

essa informação, o sistema articular elementar é capaz de organizar uma resposta rápida a

uma perturbação, determinar sua posição e distinguir se os movimentos são produzidos pelos

músculos ou gerados por forças externas ao sistema.

2.1.2. Funcionamento do Sistema Articular Elementar

A ativação do sistema motor (representado pelo sistema articular elementar) ocorre

através das interações básicas entre seus cinco elementos.

Funcionalmente, analisa-se o movimento como uma conseqüência da ativação

muscular, envolvendo a consideração dos fatores neurológicos associados. Assim, segundo

Khang & Zajac (1989), o movimento humano é caracterizado não apenas pela ativação casual

do sistema motor, mas pelo controle cuidadoso e preciso da força muscular.

2.1.2.1. Unidade motora

A unidade neuromuscular funcional por meio da qual o sistema articular elementar

controla a força muscular é representada pela unidade motora, a qual é definida por Rose &

Gamble (1998) como “o agrupamento anatômico e funcional de todas as fibras musculares

conectadas a um único axônio motor”.

A contração muscular

O neurotransmissor, por sua vez, causa uma mudança na permeabilidade e no estado

elétrico da membrana pós-sináptica, de modo que o sinal seja convertido em potencial de ação

muscular no sarcolema (processo conhecido como propagação muscular). Assim, a energia

contida no potencial de ação do motoneurônio é convertida em energia química pela liberação

do neurotransmissor e depois convertida novamente em energia elétrica pela geração do

potencial de ação muscular. Por meio desse processo, o motoneurônio proporciona a

habilidade para controlar a força exercida pelo músculo.

O fenômeno da contração muscular, por um potencial de ação no motoneurônio, é

explicado pela teoria do deslizamento filamentoso de Huxley e Hansson, proposta em 1954

(Linden, 1998).

23

Baseado no comportamento da contração, tipos diferentes de fibras são percebidos e

classificados sob esquemas diferentes, do ponto de vista da fisiologia (SMITH, WEISS e

LEHMKUHL, 1997) em relação às fibras ditas I, IIa, IIb e da bioquímica (ENOKA, 2000) em

relação as velocidades de contração, p. ex., ditas do tipo S, FR e FF.

A força ou tensão17 produzida por um músculo, segundo Hamill & Knutzen (2003), é

determinada em parte pelas combinações variáveis no número de unidades motoras

simultaneamente ativas (somação espacial) e pela freqüência com que são disparadas

(somação temporal).

A força da contração, quando graduada pelo aumento da freqüência dos potenciais de

ação, mantém os filamentos delgados no estado de ciclo prolongado da ponte cruzada

(tétano).

Embora haja diferentes configurações de tipos e quantidades de unidades motoras

associadas a diferentes funcionalidades, a seqüência de recrutamento18 usualmente segue o

princípio do tamanho. Desta feita, fibras pequenas de contração lenta são recrutadas por

primeiro, seguidas pelas oxidativas de rápida contração e, finalmente, pelas grandes unidades

motoras glicolíticas de rápida contração. Isto se deve ao fato de pequenos motoneurônios

apresentarem limiares de disparo inferiores a grandes motoneurônios. Como a ordem de

recrutamento é fixa, o aumento gradual nas demandas de força de uma tarefa envolve o

recrutamento progressivo das unidades motoras maiores (WINTER, 1990).

Na marcha, por exemplo, unidades de baixo limiar são utilizadas durante quase todo o

tempo, à exceção de alguns breves recrutamentos de unidades motoras intermediárias durante

picos de força. As de elevado limiar de disparo, de contração rápida, geralmente não são

recrutadas, a menos que haja uma rápida mudança de direção ou um tropeço, conforme

exposto em Hamill & Knutzen (2003).

Enoka (2000) afirma que, considerando-se as implicações funcionais, a vantagem do

recrutamento ordenado é que quando um músculo recebe o comando para exercer uma força,

a seqüência de recrutamento de unidades motoras é predeterminada e não tem de ser

especificada pelo cérebro, ficando este isento da necessidade de incluir informações sobre

quais unidades motoras deverão ser ativadas.

Embora um potencial de ação seja um evento do tipo “tudo ou nada”, a força exercida

por uma fibra muscular após um disparo nem sempre é a mesma, pois ela depende de fatores 17 Sempre que se refere à força muscular, está se referindo a tensão. Posto que músculos apenas produzem força por contração, sempre serão geradas forças tensivas e nunca compressivas (HAMILL & KNUTZEN, 2003). 18 Processo de ativação de unidades motoras.

24

internos, como o padrão de disparo, e de fatores externos, como o comprimento e tamanho

(área da seção transversa) da fibra e a velocidade do movimento.

Os diversos aspectos fisiológicos e morfológicos da musculatura têm conseqüências

importantes na mecânica dos tecidos musculares. As relações entre o comprimento do

músculo e a tensão gerada, a velocidade de contração e o equilíbrio entre as estruturas

elásticas e contráteis em cada nível, influenciam a biomecânica muscular durante o

movimento humano.

2.1.2.2. Mecânica muscular

Ao estudo das variáveis mecânicas externas, dado o estado contrátil interno do músculo,

denomina-se mecânica muscular.

Relações entre comprimento e força

Um músculo intacto de mamífero inclui componentes contráteis, formados por

sarcômeros e componentes elásticos, formados por fáscia de revestimento e tendão, os quais

podem afetar a força desenvolvida pelo músculo, segundo Rab (in ROSE & GAMBLE,

1998). A influência desses componentes pode ser observada no diagrama clássico

comprimento-tensão, também conhecido por curva de Blix que, conforme Meijer et al.

(1998), é construído sobre dados obtidos de uma série de contrações efetuadas em diferentes

comprimentos. Durante a contração o comprimento é mantido constante, condição referida

como isométrica.

No diagrama exibido na Figura 9, observa-se um comprimento muscular ótimo (loM),

dito comprimento de repouso, no qual ocorre a contração máxima ativa gerada pelo músculo,

a força isométrica de pico (FoM). Abaixo desse comprimento, os componentes elásticos do

músculo estão relaxados, fazendo com que a tensão passiva19 seja nula. Porém, à medida que

o músculo se alonga passivamente, ocorre um aumento não-linear na tensão elástica passiva.

Acima do comprimento ótimo, a força ativa é obtida pela subtração da força passiva da total.

Conforme Delp et al. (1990), o pico isométrico de força que pode ser gerado por um

músculo é proporcional à sua seção transversal fisiológica (PCSA – Physiologic Cross-

sectional Area), ou seja, depende do diâmetro do músculo. A PCSA pode ser estimada através

da medida do volume músculo, dividindo-o pelo comprimento médio da fibra.

19 A tensão viscoelástica é dita passiva pelo fato dela não ser produzida pelo músculo, como a ativa; ela é uma parte armazenada da tensão externa aplicada para alongar a estrutura músculo-tendínea (DELP & LOAN, 1990).

25

MF0

Ativa

Passiva

Total

Comprimento da fibra

Forç

a m

uscu

lar I

isom

étric

a

Ml0

Figura 9 - Diagrama de Blix (modificado de Delp & Loan, 1995).

Relação entre força e velocidade de contração

Segundo Huxley, 1957 (MEIJER et al., 1998), a relação força-velocidade é determinada

predominantemente pela taxa de formação e desprendimento das pontes cruzadas. As curvas

força-velocidade, que descrevem a dependência da força muscular da velocidade, foram

descritas primeiramente por Hill, em 1939 (MEIJER et al., 1998). Experimentalmente,

percebeu-se que a velocidade à qual o músculo se contraía dependia da carga a ele aplicada.

Pela exposição do músculo a diferentes cargas, foi possível traçar tais curvas, replicadas na

Figura 10. É importante salientar que as curvas não são restritas apenas ao encurtamento.

Velocidade

Forç

a

- alongamento 0 encurtamento +

tensão máxima

25%

50%

75%

100%

Figura 10 - Curvas força-velocidade do músculo (redesenhada de Winter, 1990).

Rab (In ROSE & GAMBLE, 1998) afirma que a maioria dos movimentos humanos é

produzida por músculos que apresentam uma combinação de contração concêntrica (músculo

encurtando enquanto se contrai) e excêntrica (alongando enquanto se contrai). Um músculo

gera força decrescente, durante a contração concêntrica, enquanto sua velocidade de

26

encurtamento se eleva. Inversamente, durante a contração excêntrica, a força eleva-se com o

aumento da velocidade de alongamento. Isto se deve à resistência visco-elástica do músculo.

Combinação do comprimento e velocidade versus força

Assumindo-se que as características força-comprimento e força-velocidade sejam

independentes, torna-se possível construir uma superfície tridimensional, considerada

suficiente para investigação da força exercida (MEIJER et al., 1998). Winter (1990) explica

que tal superfície, ilustrada na Figura 11, é representada somente para a condição de máxima

contração. As demais contrações normais seriam frações da máxima, similarmente traçadas.

Figura 11 - Relação tridimensional entre comprimento muscular, velocidade e força. As linhas em negrito destacam a curva isométrica força-comprimento e a curva força-velocidade ao comprimento

ótimo (adaptada de Linden, 1998).

Dinâmica de Ativação

Um músculo não é capaz de gerar força ou relaxar instantaneamente. O

desenvolvimento da força é uma seqüência complexa de eventos, iniciada na ativação das

unidades motoras, culminando na formação das pontes cruzadas de actina-miosina dentro das

miofibrilas. Quando as unidades motoras de um músculo são despolarizadas, os potenciais de

ação aplicados às fibras de um músculo causam a liberação dos íons de cálcio do retículo

sarcoplasmático. O aumento da concentração de íons de cálcio inicia a formação de pontes

transversas entre os filamentos de actina e miosina, causando, após alguns instantes, a

contração20. Em experimentos relacionados à contração de um músculo isolado, o tempo de

retardo entre o potencial de ação na unidade motora e o desenvolvimento do pico de força

20 Trata-se da teoria do deslizamento filamentoso, de Huxley e Hansson (LINDEN, 1998), a qual explica a contração muscular.

27

varia de 5 ms, para músculos oculares rápidos, até 40 ou 50 ms, para músculos com alta

porcentagem de fibras lentas (GRILL & MORTIMER, 1996).

O relaxamento muscular depende da recomposição dos íons de cálcio no retículo

sarcoplamático, que é um processo mais lento que o de liberação. Assim, o tempo para o

músculo ficar relaxado é maior do que o tempo para ficar contraído.

No corpo, o nível de excitação de um músculo é função tanto do número de unidades

motoras recrutadas quanto da freqüência de disparo das unidades motoras. Alguns modelos de

excitação-contração fazem distinção entre estes dois mecanismos de controle; no entanto, isto

não é aplicável computacionalmente, posto que tais modelos conduzem a uma dinâmica de

simulação extremamente complexa. Assim, em simulações, assume-se que o sinal de

excitação muscular representa tanto o efeito do recrutamento dos motoneurônios como da

freqüência de disparo e, como na excitação muscular, varia continuamente entre 0 e 100%

excitado (tudo ou nada). As constantes de tempo para ativação de desativação podem ser

consideradas, respectivamente, 15 ms e 50 ms (WINTER, 1990).

2.1.2.3. Mecânica do tendão

As propriedades estáticas de um tendão podem ser estimadas através da medida de seu

alongamento em função da força tensora que lhe é aplicada. Zajac, em 1989 (DELP et al.,

1990), concluiu em seus estudos que, dada uma curva normalizada (referenciada à unidade)

força-comprimento para o tendão, a propriedade força-comprimento é determinada pela

especificação da força isométrica de pico e o chamado comprimento relaxado do tendão, a

partir do qual este começa a desenvolver força (Figura 12). Cabe destacar que o tendão possui

uma porção interna ao músculo (a aponeurose) e outra externa, não sendo um elemento

isolado.

Na Figura 12, a região da “ponta” corresponde à parte inicial da relação, em que as fibras

de colágeno são alongadas e retificadas a partir do padrão de repouso. A região “linear”

representa a capacidade elástica do tecido; a inclinação dessa região é chamada de módulo

elástico, sendo mais acentuada em tecidos mais rígidos.

Adiante da região linear a inclinação diminui, adentrando na região de “falha”, quando

algumas fibras são rompidas. Enoka (2000) salienta que quando o tecido conjuntivo

experimenta uma distensão de tal magnitude, este sofre mudanças plásticas, provocando

alteração em seu comprimento de repouso.

28

0.0 0.033 0.10 Comprimento normalizado do tendão

3.5

1.0

Forç

a no

rmal

izad

a do

tend

ão

ponta

linear

falha

37.5

1

Figura 12 - Relação normalizada entre força e comprimento do tendão. A força produzida expressa é linear em função do comprimento, à exceção do início da contração (ponta) e no limiar da contração,

antes de haver danos ao tendão (falha) (redesenhada de Delp et al., 1990).

2.1.2.4. Modelo mecânico da estrutura músculo-tendão

Sendo a força muscular transmitida ao esqueleto através do tendão, é natural que numa

modelagem as propriedades do músculo e do tendão estejam integradas ao modelo.

Entre as mais diversas modelagens da estrutura músculo-tendão, nota-se um princípio

guia: 1) ser suficientemente simples, tal que sua descrição matemática seja tratável e 2) sua

estrutura deve incorporar, o mais fielmente possível, as características físicas, químicas e

fisiológicas dos elementos modelados, tais que suas predições teóricas sejam confiáveis.

Modelos estruturais e biofísicos têm sido desenvolvidos para diversos fins (p. ex., os

citados na introdução, de Ettema & Meijer, 2000), porém, em estudos de controle motor

prevalece a abordagem baseada em Hill, a qual assume que uma estrutura músculo-tendão,

esquematizada pela Figura 13(A), tem fibras musculares paralelas de igual comprimento,

podendo ser abstraída por equivalente mecânico tal como a ilustrada na Figura 13(B).

Ao que parece, a virtude de modelos tipo Hill consiste na composição de estruturas

mecânicas às quais engenheiros e matemáticos estão familiarizados, cuja dinâmica é bem

conhecida. Delp et al. (1990) descreveram um modelo tipo Hill, ilustrado na Figura 13(B),

composto por três elementos: um contrátil (EC), representando as fibras musculares, um

elástico em série (EES), que representa o tendão mais a titina, responsáveis pela armazenagem

da energia elástica, e um elemento elástico em paralelo (EEP) representando o tecido

conectivo ao redor das fibras e agrupamento de fibras, o qual oferece resistência à tensão

produzida por forças externas.

29

(A) (B) Figura 13 - (A) Estrutura músculo-tendão. No modelo músculo-tendíneo de Hill, o tendão apresenta a aponeurose, sua parte interna ao músculo. As fibras musculares são paralelas, têm tamanhos iguais e formam um ângulo de penação com o tendão. (B) Modelo tipo Hill de um atuador músculo-tendão.

Esta figura à direita é uma abstração (equivalente mecânico) da figura à esquerda. A parte externa do tendão é representada pelo elemento elástico série, EES, de comprimento lT. Um elemento contrátil,

EC, e um elemento elástico paralelo, EEP, representam as fibras. O ângulo de penação das fibras causa, no comprimento lMT da estrutura, uma parcela em função do comprimento muscular lM, dada por

lM cos α (redesenhadas de Delp et al., 1990, e Delp & Loan, 1995).

2.1.2.5. Classes funcionais musculares

Músculos ou grupos de músculos, dependendo de sua função, recebem classificação

específica. Smith, Weiss e Lehmkuhl (1997) definem tais classes como:

- Agonista: músculo ou grupo muscular com contração ativa para a produção de

contração concêntrica, isométrica ou excêntrica; tido como principal no desencadeamento da

movimentação articular e na manutenção de uma postura;

- Antagonista: representa a ação oposta ao agonista, simples e passivamente alongando-

se ou encurtando-se, não contribuindo nem resistindo aos movimentos;

-Sinergista: um músculo ou grupo muscular que se contrai juntamente ao agonista,

normalmente agindo isoladamente em articulações distantes do movimento central ou

primário, fixando ou mantendo a estabilidade das articulações proximais.

2.1.3. Tipos de movimentos

Conforme conceitos extraídos da cinemática elementar, movimento é a mudança da

posição de um corpo no decorrer do tempo. Grande parte dos movimentos no corpo humano é

angular, salvo restrições como o movimento escapular em elevação/depressão e

pronação/retração, que se caracteriza por ser essencialmente linear. Dentre a terminologia

descrevendo os movimentos articulares em Hamill & Knutzen (2003), os tipos mais

relevantes para este trabalho são:

30

-Flexão: é a aproximação de extremidades distais à articulação, pela redução do ângulo

entre dois segmentos, como mostra a Figura 14;

-Extensão: representa a volta de uma extremidade a sua posição normal após uma

flexão, com o aumento do ângulo da articulação envolvida. Apesar da conexão entre aumento

e diminuição angular por movimentos flexores e extensores, o movimento da ponta do pé para

cima e para baixo adotam, respectivamente, as nomenclaturas dorsiflexão e flexão plantar

(vide Figura 14);

-Hiperextensão: caracteriza-se por ser a continuidade da extensão, quando ocorre o

retorno da extremidade em movimento além da sua posição anatômica, conforme ilustra a

Figura 14;

Hiperextensão Extensão

Flexão

Tronco CoxaHiperextensão

Flexão

Extensão

Perna

Flexão

Extensão

Pé

Flexão plantar

Dorsiflexão

Figura 14 – Movimentos de flexão, extensão, hiperextensão, dorsiflexão e flexão plantar (figura adaptada de Hamill & Knutzen, 2003).

-Abdução: é um movimento no plano frontal, exibido na Figura 15(A), identificado pelo

afastamento do plano sagital do corpo, representado na Figura 15(C);

-Adução: complementar ao anterior, na Figura 15(A), caracteriza-se pela aproximação

do plano sagital. Exceções novamente aparecem nesses movimentos para artelhos, dedos e

polegar. Para os dedos, abdução e adução caracterizam-se pelos respectivos afastamento e

aproximação do terceiro dedo, tomado como referência; para os artelhos, toma-se como

referência o segundo artelho.

-Inversão/Eversão: na Figura 15(B), o levantar da borda medial do pé, tal que sua sola

fique face ao outro pé é dito inversão. No sentido oposto, eversão.

31

Abdução

Adução Hiperadução

Inversão

Inversão

Eversão

Eversão

Plano Coronal

Plano Transverso

PlanoSagital

Eixo Mediolateral

Eixo Anteroposterior

Eixo Longitudinal

(A) (B) (C)

Figura 15 – (A) Movimentos de abdução/adução (de Hamill & Knutzen, 2003). (B) Inversão/eversão (de Hamill & Knutzen, 2003). (C) Representação dos planos e eixos anatômicos.

-Circundução: define-se pelo somatório dos movimentos anteriormente descritos em

seqüência tal que a extremidade mais distante da articulação descreve um grande círculo e as

partes próximas, um pequeno círculo, como na figura Figura 16.

Membro Inferior Tronco

Figura 16 – Movimentos de circundução (modificada de Hamill & Knutzen, 2003).

-Rotação: movimento de um osso ou segmento de osso em torno de seu eixo

longitudinal, conforme ilustrações na Figura 17.

Rotação lateral

Coxa

Rotaçãoà direita

Rotação à esquerda

Tronco

Rotação medial

Perna

Rotaçãolateral

Figura 17 – Movimentos de rotação (adaptada de Hamill & Knutzen, 2003).

32

2.1.4. Fatores normais de restrição ao movimento

Os movimentos corpóreos são dependentes dos movimentos articulares, cujos graus de

liberdade (alguns já especificados na Tabela 1) são decorrentes das restrições do movimento

articular. Os últimos, segundo a revisão feita por Maciel (2001), são dependentes dos fatores:

(1) forma dos ossos;

(2) presença de ligamentos, estruturas fibrosas de pouquíssima elasticidade que tensionam um

osso contra o outro de forma a mantê-los unidos no local onde se articulam;

(3) musculatura, que dá sustentação e estabilidade muito maior a certas articulações,

restringindo algum movimento;

(4) gordura, que diminui a mobilidade de pessoas; e

(5) presença de cartilagem, de influência direta na mobilidade.

2.1.5. Estudo da Marcha Humana

2.1.5.1. Marcha

O termo marcha não é específico. Sua conotação é de um padrão cíclico de movimentos

corporais que se repetem indefinidamente a cada passo (ROSE & GAMGLE, 1998). Num

sentido amplo, conforme Smith, Weiss e Lehmkuhl (1997), a marcha ou deambulação é

definida como um tipo de locomoção (locus equivale a lugar, movere corresponde a mover).

Já para Lippert (1996), andar é mover-se de um lugar para outro com os próprios pés,

enquanto marchar é o estilo de andar. E cada pessoa tem estilo único, podendo, inclusive,

alterar-se com o humor.

Mover-se de um lugar para o outro envolve a coordenação de numerosos músculos para

prover progressão (GRASSO, BIANCHI e LACQUANITI, 1998), mantendo o equilíbrio do

corpo e limitando o dispêndio de energia. Assim, a marcha humana é obtida como resultado

de uma série de movimentos cíclicos, ritmicamente alternados, de braços, pernas e tronco. As

alternâncias cíclicas da função de apoio de cada perna e a existência de um período de

transferência, no qual ambos os pés ficam em contato com o solo, são características

essenciais da marcha bípede (ROSE & GAMBLE, 1998).

33

2.1.5.2. Determinantes da Marcha

Pela análise dos movimentos sincrônicos nos três planos, coronal, sagital e frontal, das

partes do corpo, durante o caminhar, destacam-se seis determinantes na marcha (GROSS,

FETTO e ROSEN, 2000), os quais reduzem o deslocamento vertical do corpo:

(1) inclinação pélvica de aproximadamente 5º do lado em balanço;

(2) rotação pélvica de aproximadamente 8º no total do lado em balanço;

(3) flexão do joelho a aproximadamente 20º na fase de posição inicial;

(4) flexão plantar de aproximadamente 15º na fase de posição inicial;

(5) flexão plantar a aproximadamente 20º na fase de apoio terminal;

(6) diminuição do deslocamento do corpo, obtido por uma base estreita da caminhada, por

valgo normal do joelho e pelo posicionamento do pé.

A descrição da marcha com discussão sobre a translação do corpo como um todo no

espaço, utilizando o conceito de trajetória do centro de massa deste corpo, faz-se, aqui,

necessária, também.

O centro de massa (CM) de um corpo pode ser definido como sendo um ponto em que,

ao ser atravessado por qualquer plano, os momentos de massa de um lado do plano são iguais

aos do outro. Logo, ao suspender este corpo em seu centro de massa, a tendência é não se

inclinar em nenhuma direção.

Durante a marcha, o centro de massa do corpo, ainda que não permaneça em posição

absolutamente fixa, tende a continuar dentro da pelve. Esta conclusão é conveniente, pois,

além de proporcionar agilidade nas medições dos movimentos da pelve nos três planos indica,

ainda, a pelve como uma estrutura favorável à divisão do corpo em duas porções, superior e

inferior, que se comportam diferentemente durante a marcha.

Excursão suave do centro de massa

O centro de massa descreve no plano sagital, durante a marcha normal, uma curva

marcantemente suave que flutua deslocando-se uniformemente entre uma altura máxima e

uma mínima, com poucas irregularidades.

Num homem adulto, este deslocamento vertical, em velocidade usual, é próximo a 5 cm

(ROSE & GAMBLE, 1998), como pode ser observado na Figura 18, na qual se ilustra um

modelo hipotético de “pernas de compasso”.

Durante um passo, o centro de massa posiciona-se um pouco abaixo do que quando com

os pés juntos.

34

Figura 18 - Excursão do centro de massa. À direita, destacados pelas setas vermelhas, os pontos de menor altura do CM, e pelas laranjas, os de maior altura, ao longo de três passos.

Rotação pélvica

Como a pelve é uma estrutura rígida, sua rotação é conseqüência das flexões e

extensões puras em cada articulação do quadril, alternadamente.Em relação à linha de

progressão da marcha, a pelve gira alternadamente no plano transverso, em latitudes próximas

a 4º para cada lado, totalizando aproximadamente 8º; valores que tendem a aumentar em

velocidades maiores.

No exemplo teórico da Figura 19, a rotação pélvica produz o leve aplainamento do arco

descrito pela trajetória do centro de massa, no andar de pernas de compasso. Há a elevação

das extremidades do arco. Em conseqüência, os ângulos nas intersecções de arcos sucessivos

tornam-se menos bruscos e, ao mesmo tempo, ficam elevados em relação aos vértices dos

arcos, reduzindo os efeitos do impacto com o solo. Também ficam reduzidos a força requerida

na mudança de direção do centro de massa, no arco sucessivo de translação, e o deslocamento

angular no quadril.

Figura 19 - Efeito da rotação pélvica (modelo teórico). As setas amarelas, nas pernas de compasso, indicam a rotação num sentido e as vermelhas noutro, enquanto as outras setas indicam as alturas

mínimas do CM atingidas pelas respectivas rotações da pelve (adaptada de Rose & Gamble, 1998).

35

Lista pélvica

No lado oposto à perna apoiada, no plano sagital, ao marchar, a pelve inclina-se para

baixo no plano coronal (Figura 20). Em velocidades moderadas, o deslocamento angular

alternado é próximo a 5º (ROSE & GAMBLE, 1998).

O deslocamento em questão ocorre devido à adução do quadril do membro apoiado e à

abdução do quadril do membro em balanço.

Figura 20 - Obliqüidade (lista) pélvica (extraída de Rose & Gamble, 1998).

Para permitir a obliqüidade pélvica, a articulação do joelho do membro em balanço deve

flexionar, proporcionando sua passagem. Conforme ocorre a inclinação lateral durante a

passagem do corpo sobre o membro em apoio, o centro de massa abaixa.

Assim, o vértice do arco abaixa, aplainando ainda mais a trajetória. Além disso, a

inclinação pélvica contribui para a efetividade do mecanismo de abdução do quadril.

Flexão do joelho

O joelho sofre flexão imediatamente após o toque de calcanhar no solo e continua

flexionado até que o centro de massa tenha passado sobre a perna que apóia o peso. O efeito

desta flexão é duplo, absorvendo, inicialmente, parte do impacto do corpo no toque do

calcanhar e, depois, diminuindo a elevação necessária para que o centro de massa passe sobre

o membro de suporte.

Desta forma, durante o início e o final do apoio, a flexão do joelho contribui para a

suavização das alterações bruscas nas intersecções dos arcos da trajetória do centro de massa,

como exibe a Figura 21.

36

Figura 21 - Flexão do joelho durante o apoio (extraída de Rose & Gamble, 1998).

Interações joelho, tornozelo e pé

Conforme descrito até este ponto, os três elementos – rotação e obliqüidade pélvica e

flexão do joelho – atuam de forma a diminuir a magnitude do deslocamento vertical do centro

de massa do corpo.

No entanto, sem elementos adicionais ativos, a trajetória do centro de massa ainda

consistiria em uma série de arcos e, em suas intersecções, o centro de massa estaria sujeito a

uma mudança brusca, verticalmente, resultando em um abalo sobre o corpo.

A fim de minimizar tal problema, certos movimentos do joelho, tornozelo e pé

constituem um mecanismo adicional ativo para suavizar a trajetória do centro de massa.

O pé possibilita que a trajetória do joelho permaneça relativamente horizontal durante

toda a fase de apoio, permitindo que a flexão inicial do joelho seja mais efetiva na suavização

da trajetória do quadril.

Como mostra a Figura 22, o percurso da articulação do joelho durante a fase de apoio é

relativamente plano. Pode-se notar na ilustração uma ligeira elevação logo após o toque do

calcanhar, mas a trajetória é relativamente plana no restante, com pequeno declínio a partir da

horizontal.

37

Figura 22 - Trajetória do joelho na marcha em velocidade moderada (de Rose & Gamble, 1998).

Melhor compreensão tem-se com as três diferentes situações exibidas na Figura 23.

Primeiramente em (A), nota-se que a ausência do pé faria o joelho descrever uma trajetória

em arco. Em (B), ao acrescentar-se um pé rigidamente à perna (sem a articulação no

tornozelo), o percurso seria composto por dois arcos, mais próximo do normal. Por fim, em

(C), considerando um tornozelo articulado, mas sem ações musculares, resulta em padrão

mais semelhante ainda ao normal.

Figura 23 - Efeito do pé na trajetória do joelho (extraída de Rose & Gamble, 1998).

Por fim, a Figura 24 acresce ao modelo um tornozelo normal, com as fases adequadas

dos músculos flexores e extensores e com a pequena quantidade de movimento na articulação

do tornozelo. Uma trajetória normal do joelho é obtida.

Deslocamento lateral do corpo

O centro de massa sofre ligeiro desvio, mais ou menos 5 cm sobre o membro apoiado,

para manutenção da estabilidade (ROSE & GAMBLE, 1998), em cada passada. Este

deslocamento aumenta com o aumento da distância entre os pés. O valgo anatômico normal

38

no joelho traz os pés para mais perto da linha mediana, conseguindo-se um desvio lateral

menor.

Figura 24 - Efeito do movimento do tornozelo, controlado por ação muscular, na trajetória do joelho (extraída de Rose & Gamble, 1998).

2.1.5.3. Fases do Ciclo da Marcha

Considerando-se as diferentes velocidades e arcos descritos pelo quadril, joelho e

tornozelo durante a marcha, buscou-se elaborar uma abordagem sistemática que

correspondesse ao padrão de ação do membro ao longo do ciclo. Assim, foram selecionados

eventos críticos na marcha, para diferenciar intervalos e definir fases. É citado em Rose &

Gamble (1998), Vaughan, Davis e O’Connor (1992) e Smith, Weiss e Lehmkuhl (1997) que

terminologias descritivas foram derivadas das fases, sendo a mais genérica aquela

desenvolvida, em 1992, por Perry (ROSE & GAMBLE, 1998), cuja nomenclatura aplica-se

tanto à marcha normal quanto à patológica, subdividindo-a em oito fases.

As fases são classificadas segundo as atividades funcionais básicas realizadas nos

períodos de um ciclo completo. Um ciclo completo de marcha compreende desde a ocorrência

de um evento até a nova ocorrência deste mesmo evento, representando uma passada.

Conseqüentemente, as descrições de marcha tratam, em geral, daquilo que acontece no curso

de apenas um ciclo, posto que os sucessivos ciclos sejam todos iguais.

Segundo Thomas & Supan (1990), na descrição das fases, além da terminologia

proposta por Perry, outras três distintas foram apresentadas: as de Sutherland, Winter e uma

quarta, sem um criador específico e frequentemente utilizada por ortopedistas e protéticos.

Embora sejam parecidas por dividirem o ciclo em Apoio e Balanço, conforme passada

ilustrada na Figura 25, apresentam variações entre períodos e eventos no ciclo. Durante o

apoio, período que constitui 60%21 de um ciclo, o pé está em contato com a superfície de

21 Este percentual é considerado apenas terminologia de Perry. Nas demais, considera-se 62% (Figura 25).

39

suporte, os 40% restantes constituem o período de balanço, iniciado quando os dedos se

desprendem da superfície de suporte.

Contato Inicial

Fases: Apoio Balanço

Períodos:

• Perry →

• Sutherland →

• Winter →

• Protéticos →

Resposta Apoio Apoio Pré- Balanço Balanço Balanço de Carga Médio Terminal Balanço Inicial Médio Terminal

Duplo Simples Apoio Balanço Balanço Balanço Apoio Apoio Duplo Inicial Médio Terminal

Aceitação Apoio Desprendimento Içamento Esticamento de Peso Médio do pé das Pernas

Batida do Apoio Retirada Aceleração Desaceleração Calcanhar Médio do Dedão

Ciclo: 0 % 12 % 50 % 62 % 100 % 60 %

Figura 25 - Fases da marcha. Atualmente destacam-se quatro terminologias obtidas em função da progressão da marcha: as de Perry, Sutherland, Winter e uma quarta adotada por protéticos (adaptada

de Thomas & Supan, 1990).

A fase de contato inicial principia o período de apoio. O evento momentâneo do

contato inicial do pé no solo caracteriza a atividade de transferência de peso. A posição do pé

e seu ponto de contato com o solo promovem o "rolamento do calcanhar", uma ação de pivô

no pé. O calcanhar torna-se o sustentáculo em torno do qual os segmentos da tíbia e do pé se

movem, preservando o momento para a progressão, como mostra a Figura 26.

No plano sagital e no coronal, o vetor da força de reação do solo localiza-se

posteriormente ao eixo do tornozelo e medial ao eixo subtalar, respectivamente, criando um

momento de flexão-eversão plantar que sofre resistência normal de uma contração excêntrica

dos músculos pré-tibiais.

40

Figura 26 - Ação de pivô no rolamento do calcanhar (modificada de Smith, Weiss e Lehkuhl, 1997)

Durante a fase de resposta de carga, o peso é totalmente transferido para o membro de

apoio. Na marcha normal, a força do peso corporal e o momento são absorvidos por 10 - 15°

de flexão do joelho, que é controlada pela ação excêntrica do músculo quadríceps. As fases de

contato inicial e resposta de carga correspondem a aproximadamente 10% da passada.

A fase de apoio médio (10-30% do ciclo) dá início à segunda atividade funcional, apoio

simples, quando o peso corporal é apoiado exclusivamente pelo membro de referência,

enquanto avança sobre o pé estacionário. Nesta fase, a progressão depende da ação de pivô do

rolamento do tornozelo. A flexão dorsal não limitada é o movimento crítico necessário para

conseguir a progressão ininterrupta.

Na fase de apoio terminal (30-50% do ciclo), o corpo avança para frente do pé em

apoio estacionário. A extensão passiva do quadril (em 10°) e a extensão do joelho permitem a

progressão do tronco para frente, gerando um grande momento de flexão dorsal no tornozelo.

O membro estacionário gira (rola) em torno do ante-pé.

A atividade de avanço do membro em balanço inicia-se na última fase do apoio, o pré-

balanço (50-60% do ciclo da marcha). Neste intervalo de duplo apoio terminal ocorre a

transferência do peso corporal para o membro contralateral. Durante esse período, o início da

flexão do joelho é uma ação crítica que contribui para a função de desprendimento dos dedos

e avanço do membro. A variação máxima de flexão plantar (20°) é atingida ao final da fase.

Durante a fase de balanço inicial (60-73% do ciclo), a coxa move-se 20° anteriormente,

o joelho flexiona mais 30° (arco total de 60°) e o tornozelo começa a flexão dorsal para

conseguir o desprendimento do pé.

41

A fase do balanço médio (73-87% do ciclo) continua a atividade de avanço do membro

e passagem do pé. A extensão do joelho e a flexão dorsal do tornozelo são eventos críticos

para manter a passagem do pé, enquanto avançam a tíbia para a posição vertical.

Na fase de balanço terminal (87-100% do ciclo), completa-se o avanço do membro

pela extensão do joelho para a posição neutra.

2.1.6.Biomecânica

Ao conjunto de métodos e técnicas que objetivam a análise quantitativa do movimento

humano denomina-se análise do movimento. O estudo e a análise do ser humano em

movimento e das forças que atuam sobre ele durante o movimento, é conhecido como

Biomecânica. O prefixo “bio” vem do grego e significa “vida”. O radical “mecânica” faz

referência a área da física newtoniana dividida em Estática, o sub-ramo que estuda os

sistemas que estão em estado de movimento constante através da Cinética, e a Dinâmica, o

sub-ramo que estuda os sistemas em movimento acelerado, por meio da Cinemática e da

Cinética. Por sua vez, a Cinemática estuda o movimento do corpo em relação ao tempo, à sua

trajetória, velocidade e aceleração, e a Cinética estuda as forças associadas ao movimento do

corpo (BEER & JOHNSTON, 1980). É comum na literatura, seja em robótica (NIKU, 2001)

ou cinesiologia (SMITH, WEISS e LEHMKUHL, 1997), tratar Cinemática como se ela não

fizesse parte da Dinâmica, fazendo referência à Cinética como sendo a própria Dinâmica.

2.1.6.1. Cinemática da Marcha

A Cinemática é o ramo da Mecânica que estuda a geometria do movimento,

relacionando deslocamento, velocidade, aceleração e tempo, sem se preocupar com a causa do

movimento, por definição em Beer & Johnston (1980) e Winter (1990). A análise cinemática

aplicada à marcha preocupa-se com o movimento relativo entre os segmentos do corpo,

considerando cada segmento um corpo rígido22 (ROSE & GAMBLE, 1998). O termo

segmento corporal, tipicamente, refere-se às partes como segmentos físicos rígidos, ligados

por articulações (Figura 27).

Conhecidas as dimensões dos segmentos corpóreos (por medidas a priori), seus

movimentos podem ser descritos por equacionamento cinemático direto ou inverso.

22 Veja maiores detalhes em 2.2.1.

42

q1

q2

q3

q5q4

q6

q7

q8

q9

q10

q11

q12

Figura 27 – Exemplos de segmentação do corpo. Ao centro, um manequim representando os segmentos do corpo por figuras geométricas de densidades homogêneas, articulados por esferas. À

direita, uma abstração mais simplificadora: os segmentos são representados por linhas e figuras geométricas bidimensionais, formando uma cadeia cinemática. As esferas correspondem aos CM dos

segmentos. As articulações estão, conforme seus graus de liberdade, representadas por círculos ou esferas. A letra q, indexada, denota os ângulos articulares.

Pela cinemática direta, calculam-se posições/orientações dos segmentos (p. ex.,

calcanhar da perna em balanço; relativamente à perna apoiada) para um conjunto conhecido

de valores de ângulos articulares. Em contrapartida, pela cinemática inversa determinam-se

ângulos articulares para uma dada posição/orientação cartesiana de um segmento.

Graficamente, o problema reduz-se ao diagrama representado na Figura 28. Cinemática

Direta

Ângulos das Articulações

Comprimento dos Segmentos

Posição e Orientação

Cinemática Inversa

Figura 28 - Abordagem cinemática. A direta leva, do espaço dos ângulos, ao espaço das posições cartesianas. A inversa realiza operação oposta. Em ambas, deve-se conhecer o comprimento dos

segmentos (baseada em Niku, 2001).

43

Matematicamente, a cinemática direta envolve determinar as relações que exprimem um

ponto no espaço cartesiano, rρ, em função de um ponto descrito por um conjunto de valores

{q1, q2, q3, ..., qn} no espaço das articulações23, q :

( )qFr direta=ρ .

Já, a cinemática inversa pode ser vista conceitualmente como o conjunto de processos

para determinar as funções inversas do sistema de expressões da cinemática direta. Ou

simbolicamente:

( )qFr =ρ , ( )rFq

ρ1−= , onde 61 : ℜℜ− αnF .

A resolução da cinemática inversa pode levar a mais do que uma solução. Estas

múltiplas soluções, por vezes, permitem soluções que contemplam aquelas cujas

configurações de ângulos das articulações não podem ser praticadas (p. ex., por limitações do

usuário). A cinemática inversa nem sempre é um problema com solução analítica, ou, por

vezes, nem mesmo tem solução. Mais complexo ainda é o fato de não haver uma metodologia

única de aplicação direta.

Apesar da cinemática da locomoção humana descrever quantidades visualmente

observáveis, estas medidas atingem maior precisão com o uso de instrumentos. Assim, para a

coleta de dados quantitativos do movimento, as fases da marcha têm sido analisadas com o

auxílio de sensores de inclinação (DAÍ et al., 1996), goniômetros, acelerômetros

(WILLEMSEN, BLOEMHOF e BOOM, 1990), amplificadores de sinais eletromiográficos

(GRAUPE, 1989) e analisadores tridimensionais de movimento (baseados em câmeras

filmadoras) (ANDERSON & PANDY, 2000; KWON, 2005). Dentre estes últimos, destacam-

se os sistemas de cinemetria com digitalização manual, que utilizam seqüências fotográficas

ou tecnologia de cinema para capturar eventos a fim de permitir análise biomecânica. Neles, a

localização de marcadores dispostos sobre marcas anatômicas é feita manualmente quadro-a-

quadro, enquanto nos sistemas com digitalização automática as coordenadas são identificadas

e digitalizadas das imagens obtidas por softwares de processamento de imagem (AMADIO &

DUARTE, 1996).

Niku (2001) relata que, em 1955, Denavit e Hartenberg publicaram um artigo inovador

no Journal of Applied Mechanics sobre representação e modelagem de robôs, cujo método

exposto tornou-se posteriormente uma maneira padrão para derivar equações cinemáticas de

23 A relação entre o movimento descrito pela posição cartesiana e o descrito pelo comportamento angular das articulações pode ser melhor compreendido no item A7 do Apêndice A.

44

movimento, supondo-se que robôs possam ter qualquer número de braços, de formatos

quaisquer, e juntas rotativas ou prismáticas, ou de ambos os tipos. Tal representação, que

pode ser estendida à modelagem biomecânica, descreve relacionamentos translacionais e

rotacionais entre braços robóticos articulados adjacentes para manipuladores mecânicos.

Explicações detalhadas de tal notação encontram-se no Apêndice B, o qual deve ser

considerado no desenvolvimento desta dissertação.

2.1.6.2. Cinética da Marcha

Conforme as definições expostas em Beer & Johnston (1980) e Winter (1990), a

Cinética preocupa-se com as relações entre as forças atuantes sobre o corpo, sua massa e

movimento; servindo para predizer o movimento causado por forças dadas ou determinar as

forças necessárias para produzir certo movimento.

Niku (2001) trata a dinâmica24 como direta quando o movimento é expresso como

resultado das forças, suas causas. Caso contrário, se as forças forem determinadas em função

dos movimentos, então, refere-se à dinâmica como inversa.

A Cinética proporciona uma visão da causa da Cinemática da locomoção observada

(efeito). Como a cinética da locomoção humana não é visualmente observável por ser

abstrata, suas quantidades precisam sempre ser medidas com instrumentos ou calculadas a

partir de dados cinemáticos. As quantidades cinéticas comumente estudadas pelos

pesquisadores da locomoção humana, segundo Zajac, Neptune e Kautz (2003), incluem

parâmetros como a força de reação entre o pé e o chão, a força transmitida através das

articulações, os momentos (torques) nas articulações, a potência transferida entre os

segmentos corporais e a energia mecânica dos segmentos corporais. Tais investigações

enfatizaram a importância da avaliação das forças atuantes sobre o corpo humano para

compreender como a marcha é realizada.

Visando a análise e a descrição matemática de um sistema cinético, utilizam-se

procedimentos que substituem compressões e trações reais por forças teóricas com os mesmos

efeitos sobre os corpos envolvidos. Quando uma força tem o efeito de produzir rotação, a

medida de seu efeito rotacional é chamada momento de força ou, simplesmente, momento.

Na literatura sobre biomecânica, é comum abordar o assunto dividindo-o em análise

cinética linear e em angular (HAMILL & KNUTZEN, 2003). À guisa de simplificação,

movimentos de um objeto são divididos em componentes com efeitos apenas de translação e 24 Referida como cinética.

45

componentes com efeitos apenas de rotação. Isto resulta na descrição cinética separada em

forças e momentos atuantes nos centros de massa dos segmentos.

Pela primeira lei de Newton, a inércia é a tendência de um corpo permanecer em

repouso ou em movimento retilíneo uniforme se a resultante das forças que atuam sobre esse

corpo for nula. De outra maneira, pode-se dizer que a inércia define a “resistência” do corpo

às mudanças em sua quantidade de movimento.

No movimento translacional, a massa é a medida da inércia. Já no rotacional, o

momento de inércia de massa representa a medida de resistência oferecida pelo corpo à

mudança de movimento em torno de um eixo, segundo Enoka (2000). O momento de inércia

de um corpo é um meio de expressar, matematicamente, como a massa está distribuída ao

redor do eixo de rotação.

Beer & Johnston (1980) descrevem que, quando aplicado um binário de força (momento

ou torque) a um pequeno corpo, de massa m∆ , preso por uma haste, de massa desprezível e

comprimento r, podendo girar livremente ao redor de um eixo, o tempo que o corpo leva para

alcançar certa velocidade angular é proporcional à massa m∆ e ao quadrado da distância r do

eixo.

Então, o produto 2rm ⋅∆ fornecerá uma medida da inércia do sistema. Se for

considerado que um corpo de massa m é composto de massas infinitesimais dm (Figura 29), o

momento de inércia I do corpo será a soma de todos os momentos gerados por cada uma

delas, sendo expresso pela integral da equação 1.

∫= dmrI 2 (1)

Como o corpo muda sua configuração durante a marcha, há mudança na distribuição da

massa considerada ao redor do eixo de dada articulação e, portanto, alteração do momento de

inércia, o que leva à necessidade de informações cinemáticas.

Assim, a realização de uma análise cinética completa de cada segmento corporal

envolve dados cinemáticos (deslocamentos angulares, velocidade e aceleração), dados de

forças externas atuantes (gravidade e força de reação do solo) e antropométricos (parâmetros

dos segmentos corporais).

46

r1

r2

dm1

dm2

r3dm3

A

A’

r1

r2

dm1

dm2

r3dm3

A

A’

Figura 29 – Momento de inércia de um corpo, em relação ao eixo de rotação AA’. O comportamento inercial do corpo dependerá da distribuição da massa do corpo ao redor do eixo de rotação. Na Figura,

r são os raios de giração e dm os elementos infinitesimais de massa (de Beer & Jonhston, 1990).

Com uma análise cinética, podem ser estimadas as forças que os músculos precisam

produzir para elevar o corpo contra a força da gravidade, acelerar e desacelerar seus vários

segmentos (ROSE & GAMBLE, 1998). Cálculos oriundos da análise cinética, como energia

mecânica, trabalho e potência de saída de cada segmento corporal durante o ciclo da marcha

permitem avaliar quão eficientemente os músculos controlam o movimento e qual o

aproveitamento que o corpo faz dos recursos energéticos metabólicos e mecânicos.

2.1.6.3. Métodos de formulação dinâmica

O movimento de um sistema mecânico é relacionado às suas causas através de um

conjunto de equações dinâmicas para forças e torques ao qual o sistema está sujeito.

Há dois principais formalismos para derivação de equações dinâmicas para sistemas

mecânicos como o corpo humano, se considerado como uma conjunção de corpos rígidos por

meio de juntas restringindo seus movimentos25: (1) as equações de Newton-Euler (NE),

diretamente baseadas nas leis de Newton e, (2) as equações de Lagrange, que têm suas raízes

no trabalho clássico de d’Alembert e Lagrange sobre mecânica analítica, e no trabalho de

Euler e Hamilton sobre cálculo variacional (FU, GONZALEZ e LEE, 1987).

Na formulação Newtoniana, considera-se cada membro separadamente e escrevem-se as

equações que descrevem os seus movimentos linear e angular (CRAIG & KNIGHT, 1989).

Pela segunda lei fundamental do movimento, para acelerar um corpo é necessário que

seja exercida sobre ele uma força. Matematicamente, esta segunda lei de Newton é expressa

como na equação 2:

25 Como uma cadeia cinemática.

47

amF ρρ⋅=∑ , (2)

onde Fρ

é um vetor representando a soma, ou resultante, de todas as forças que atuam sobre o

corpo, m é a massa do corpo e aρ é o vetor aceleração do corpo.

Analogamente, para movimentos angulares, a segunda lei de Newton é expressa através

da equação de Euler do movimento (equação 3).

αρρ

∑ ⋅= IM , (3)

onde Mρ

é um vetor representando a soma, ou resultante, de todos os momentos que atuam

sobre o corpo, I é o momento de inércia de massa do corpo e αρ é o vetor aceleração angular

do corpo (Figura 30). ∑ M

ρ

∑Fρ

αρ

⋅I

am ρ⋅

Figura 30 – Relações força-massa-aceleração e torque-momento de inércia-aceleração angular (baseada em Beer & Johnston, 1990).

Evidentemente, estando cada segmento acoplado aos demais, a equação do movimento

de um segmento contém forças e torques de restrição que aparecem nas equações do

movimento dos demais membros. Usando recursividade é possível determinar todos esses

termos de acoplamento e chegar à descrição do corpo como um todo (NIKU, 2001).

Na formulação Lagrangiana, tratam-se os segmentos conectados como um todo e

realiza-se a análise com a função Lagrangiana, a diferença entre energia cinética e potencial.

O resultado é um sistema de equações diferenciais chamado Equações de Euler-Lagrange,

descrevendo o movimento do sistema mecânico (WHITE, NIEMANN e LYNCH, 1989).

A principal diferença entre as duas abordagens reside no modo de lidar com as

restrições de movimento. Enquanto as equações de Newton tratam cada segmento rígido

separadamente e explicitamente modelam as restrições através de forças impingidas neste,

Lagrange provê um procedimento sistemático para eliminação das restrições das equações

dinâmicas.

Quando o movimento de um sistema mecânico estiver de algum modo restrito, surgem

forças de restrição (também denominadas forças de vínculo ou internas), cuja determinação

nem sempre é uma tarefa fácil. Sob esse aspecto, a formulação Lagrangiana é uma alternativa

48

vantajosa, pois ela não requer a determinação das forças de restrição para a obtenção das

equações do movimento. A existência de restrições impostas por juntas e outros componentes

mecânicos é uma característica inerente a robôs, fato pelo qual não é de surpreender que o

formalismo lagrangeano seja frequentemente o método escolhido na literatura de robótica

(NIKU, 2001; SELIG, 1992; YOSHIKAWA, 1990; FU, GONZALEZ e LEE, 1987;

PENNOCK, 1994). Embora seja complexa esta abordagem, White, Niemann e Lynch (1989)

apresentam a mecânica lagrangeana de uma forma introdutória, bem como Niku (2001) e

Yoshikawa (1990). O Apêndice C desta dissertação está baseado nestas literaturas.

Deve-se destacar, ainda, que as restrições na abordagem Newton-Euler (NE) requerem

um tratamento vetorial. No caso da análise da marcha por esta abordagem, há a necessidade

de conhecer o vetor força de reação do solo para cálculo das demais restrições, fato que leva

ao emprego de plataformas de força.

Ainda, outra abordagem encontrada na literatura é a Dinâmica de Kane. Embora sua

crescente aplicação na robótica, extensível à biomecânica, p. ex., o estudo de Anderson &

Pandy (2001) usando o software SDFAST, que é baseado nesta abordagem. No entanto,

Piedboeuf (1993) questiona a origem e comprova ser esta uma derivação das abordagens

anteriores, com alguma simplificação causada pela aplicação do Princípio de Jourdain. Além

disso, é criticada a falta de significado físico de muitas de suas variáveis intermediárias, o que

pode induzir erros.

Um comparativo entre esforços dos diferentes métodos é apresentado na Tabela 2.

Tabela 2 – Comparativo do esforço computacional das diferentes abordagens, para 6 graus de liberdade (adaptada de Fu, Gonzalez e Lee 1987).

Para N=6 Abordagem Multiplicações Adições

Multiplicações Adições

Lagrangeana

1283153

41171

12586

2132

2

34

−

++

+

nn

nn

9631422

21129

316625 34

+

++

+

nn

nn

66.271 51.548

NE Recursiva 48150 −n 48131 −n 852 738

Kane - - 646 394

NE Recursiva Simplificada - - 224 174

49

2.2. Modelagem do Movimento Humano

Na análise do movimento em Biomecânica, vale-se da Antropometria para representar o

corpo humano por modelos físico-geométricos que melhor se adéqüem à tarefa a ser

analisada. O dicionário da língua portuguesa Houaiss, editado em 1980, traz: “Antropometria

= s.f. Estudo das proporções e medidas das diversas partes do corpo. Registro das

particularidades físicas dos indivíduos”.

O objetivo de criar modelos do corpo para investigação do movimento humano é ter

uma melhor compreensão do aparelho locomotor. Tal estudo visa o desenvolvimento de

próteses e órteses26, a simulação de reconstruções cirúrgicas, detecção de incapacidades e

perturbações motoras, otimização do movimento humano nos esportes ou a restauração,

mediante eletroestimulação, de funções perdidas por lesões, entre outros.

2.2.1. Parâmetros dos Segmentos Corporais

A Antropometria é um ramo da Antropologia que estuda as medidas físicas do corpo

humano determinando diferenças entre grupos e indivíduos (WINTER, 1990). Uma variedade

de medidas é necessária para expressar tais diferenças, seja em função do sexo, raça, idade,

tipo corpóreo. Entretanto, os dados antropométricos para avaliação com modelos

biomecânicos é, de longe, mais complexa do que simples comprimentos, diâmetros e

circunferências usadas para especificar o tamanho de formas geométricas nos modelos

primordiais.

Uma descrição quantitativa dos movimentos dos segmentos de uma pessoa (análise

segmentar) envolve o cálculo estimativo das grandezas inerciais dos segmentos. Na

cinemática dessa análise biomecânica, métricas dos segmentos são requeridas para estimar a

posição de seus centros articulares e eixos de rotação; relações entre posições, velocidades e

aceleração são equacionadas.

Na cinética, há a necessidade de parâmetros adicionais: massas, posições de CM,

momentos de inércia, raios de giração e orientação dos eixos principais de inércia. O

conhecimento da distribuição da massa leva ao cômputo das inércias dos segmentos, que são

as quantidades mais importantes em termos de movimento dos segmentos corpóreos sobre

26 Acessórios mecânicos utilizados para restringir movimento de alguma articulação.

50

suas articulações, seja este produzido naturalmente ou por estimulação elétrica; para estimar

forças, momentos e acoplamentos segmentares, sendo cada segmento corporal considerado

isoladamente, os procedimentos analíticos descritos na mecânica clássica são aplicáveis.

2.2.2. Métodos na Antropometria

Os parâmetros dos segmentos do corpo podem ser estimados de maneiras diferentes

incluindo o uso de modelos estatísticos, sobre dados de cadáveres ou in vivo, técnicas de

imagens médicas e através de séries compostas de sólidos geométricos. Os métodos

empregados nestas técnicas são sucintamente descritos na seqüência.

A estimativa da massa dos segmentos do corpo é preocupação de longa data, desde o

tempo de Arquimedes, célebre por determinar a massa de um objeto sólido, de densidade

conhecida, em função do volume deslocado ao submergi-lo num fluido. Uma diversidade de

outras técnicas (Tabela 3) tem sido utilizada para medir segmentos, computar seus volumes e

massas, incluindo medidas de tamanhos e cinturas, tais como medições diretas de cadáveres,

aquisição de imagens tridimensionais por varredura, para captura de contornos usando

câmeras e feixes de laser27, ou captura de imagens internas, por radioisótopos e tomografia

computadorizada ou ressonância magnética28 (NIGG & HERZOG, 1995). Se a modelagem

músculo-tendão é levada em conta, tem destaque o emprego de técnicas de ultra-sonografia

aliadas a marcadores antropométricos, na determinação de dimensões de tendões, músculos e

ossos.

Segundo Jonic et al. (1999), embora esquemas computacionais sofisticados sejam

usados para determinar os momentos de inércia, os valores obtidos por diferentes métodos

variam consideravelmente.

Um método simples para determinação direta dos momentos de inércia, tratando

segmentos como pêndulos, é o de Wartenberg (POPOVIC et al., 1999). O movimento

pendular é caracterizado por uma freqüência natural, consequentemente, por um período de

oscilação, e uma dada taxa de amortecimento para cada segmento do membro.

Dos estudos com cadáveres, derivaram-se métodos baseados em equações de regressão.

Segundo Enoka (2000), estas são utilizadas para estimar (in vivo) os parâmetros dos

segmentos corporais em função de dimensões antropométricas. Os parâmetros do segmento 27 Exposto em http://www.tx.ncsu.edu/3dbodyscan/technol.htm (acessado em 12/1/2005). 28 Assim como no projeto “The Visible Man”, em www.nlm.hih.gov/research/visible/visible_human.html (acessado em 12/1/2005).

51

corporal também podem ser estimados pela representação da forma de cada segmento, com

formas geométricas padrão. Estas, então, podem ser descritas matematicamente, através da

modelagem do corpo humano.

2.2.3. Classificação das Modelagens do Movimento Humano

2.2.3.1. Quanto ao tipo

Alguns estudos classificam modelos em três maiores classes (KROEMER et al., 1988):

antropométricos, biomecânicos e de interface.

Antropométricos

São representações estáticas da geometria corporal. Segundo Winter (1990), diante dos

requerimentos tecnológicos, a análise dos movimentos demanda a determinação de massas,

centros de gravidade e momentos de inércia dos segmentos corporais; parâmetros

considerados fundamentais num modelo antropométrico, independentemente do método de

modelagem adotado. Incluem-se aí as extensões do conhecimento sobre esta classe de

modelagem, o saber relativo às origens e inserções dos músculos, ângulos de penação na

estrutura músculo-tendão, extensão e seção transversal musculares, posição de centros

articulares, ângulos e densidade dos múltiplos segmentos.

Biomecânicos

São representações das atividades corpóreas durante o movimento, usando dados

antropométricos como entradas.

Interface

São combinações específicas das classes anteriores de modelos para representações de

interações homem-máquina.

2.2.3.2. Quanto ao Método Investigatório

Para Nigg & Herzog (1995), os fundamentos dos movimentos humanos concentram-se

em métodos experimentais e considerações teóricas que, repetidamente, são requisitados para

estudos quantitativos. Diferentes métodos investigatórios, parâmetros estimados e a

52

especificação das amostras foram discriminados por Bjornstrup (1995). A Tabela 3 expõe uma

fusão de seus dados, cronologicamente.

Tabela 3 - Principais Modelagens Antropométricas.

Ano Autor(es) Amostra Método Investigatório Parâmetros 1680 Borelli 1 homem vivo Plataforma CM do corpo 1836 Irmãos Weber - Plataforma CM do corpo

2 cadáveres Plataforma CM de 18 segmentos 1860 Harless 7 cadáveres Pesagem hidrostática Densidade de segmentos

1863 Von Mayer - Modelagem matemática Massa e CM dos segmentos 1889 Braune e

Fisher 3 cadáveres (homens)

Interseção das linhas de prumo

Massa, volum e CM dos segmentos

1894 Meeh Vivos e cadáveres

Imersão Volume e massa dos segmentos

1931 Berstein et al. 152 homens e mulheres vivos

Alteração da reação Massa e CM dos segmentos dos membros

1938 Weinbach 8 homens vivos Fotogrametria Momento de inércia do corpo 1955 Cleveland 11 rapazes vivos Pesagem Hidrostática Volume, centro de volume, massa,

CM dos segmentos 1955 Dempster Cadáveres de 8

idosos Plataforma, pesagem hidrostática, período de oscilação

Volume, massa, densidade, CM e momentos de inércia dos segmentos

1957 Barter Estudo literário Equações de regressão Massa dos segmentos 1960 Simmons Estudo literário Modelo geométrico simples

do corpo humano Momento de inércia do corpo, dividido em 8 segmentos

1962 Whitsett Estudo literário Modelo matemático Distribuição de massa, CM, momentos de inércia e mobilidade do corpo, dividido em 14 segmentos

1963 Santashi et al. 66 homens vivos Modelo matemático e medidas antropométricas

CM e momentos de inércia do corpo

1963 Gray Estudo Literário Modelo matemático CM e momento de inércia dos segmentos

1964 Hanavan Estudo Literário Modelo matemático CM e momento de inércia de 15 segmentos

1966 Drills e Contini

20 rapazes vivos Pesagem hidrostática (incremental) e plataforma

Volume, massa, CM e momento de inércia dos segmentos

1968 Bouisset e Pertuzon

11 homens vivos Lançamento rápido Momento de inércia dos antebraços e mãos

1969 Clauser et al. 13 cadáveres masculinos

Plataforma, pesagem hidrostática e imersão

Volume, massa e CM de 14 segmentos

1972 Wooley Estudo literário Modelo matemático e equações de regressão

CM e momento de inércia de 9 segmentos

1975 Chandler et al. 6 cadáveres de homens adultos

Pesagem hidrostática e período de oscilação

Volume, massa, CM e momentos principais de inércia de 14 segmentos

1975 Hatze Sujeitos vivos Análise de oscilograma CM e momento de inércia dos segmentos em extremidades

1976 Huang et al. Sujeitos vivos Tomografia computadorizada Densidade, volume, dentre outros, para qualquer segmento do corpo

1978 Jensen 3 meninos vivos Fotogrametria e modelagem matemática

Volume, massa, CM e momentos principais de inércia dos segmentos

1980 Hatze 4 sujeitos vivos Modelagem matemática e medidas antropométricas

Volume, massa, CM e momentos principais de inércia de 17 segmentos

1983 Zatziorsky e 100 homens Tomografia computadorizada Massa, CM, momentos principais de

53

Seluyanov vivos (varredura gama) e equações de regressão

inércia e raios de giração dos segmentos

1989 Martin et al. Cadáveres recortados

Ressonância magnética Volume, massa, densidade, CM e momentos de inércia de 8 segmentos em extremidades

1990 Mungiole e Martin

12 corredores homens

Ressonância magnética Volume, massa, CM e momentos de inércia da parte inferior da perna direita

1995 Wei e Jansen 50 jovens chinesas

Tomografia computadorizada e equações de regressão

Massa, perfis de densidade, CM e momentos de inércia dos segmentos.

Zatsiorsky et al. (apud AMADIO & DUARTE, 1996) também classificam modelos no

contexto dos métodos investigatórios que estes empregam, agrupando-os sob três principais

categorias: investigações em cadáveres, in vivo e analíticas indiretas.

Investigações em Cadáveres

As características e propriedades inerciais do corpo – a massa, o centro de gravidade

(CG) e o momento de inércia – podem ser determinadas após o fracionamento de um cadáver

em segmentos.

A comparação dos resultados obtidos através dessas investigações com estudos “in

vivo” mostra alta taxa de dispersão devido a fatores como padrão de segmentação de membros

e escolha de amostra em cadáveres, entre outros (MELO & SANTOS, 2000).

Enoka (2000) critica estas investigações, observando que em sua maioria (Tabela 3), os

dados foram de amostra não representativa, composta de cadáveres de pessoas idosas e

brancas.

Investigações deste tipo frequentemente empregam técnica de suspensão para

determinação do centro de massa (CM) dos segmentos, ou método de balanço simples e, o

método do pêndulo físico para estimar o momento de inércia.

Dos dados obtidos, geram-se equações de regressão, expressões matemáticas que

relacionam uma grandeza à outra (p. ex., posição do CM em função do comprimento).

Investigações in vivo

Essas análises podem ser realizadas através de vários métodos, obviamente aqueles que

não fracionam o corpo, como pesagem hidrostática, fotogrametria, pêndulo físico, aceleração

de segmentos e radioisótopos, entre outros; o mais utilizado é a pesagem hidrostática.

Como os métodos de estudo estão cada vez mais aprimorados, nos recentes anos,

técnicas de ressonância magnética, tomografia computadorizada, análise da ativação de

nêutrons, condutância elétrica, ultra-sonografia têm sido utilizadas para determinar as

54

características geométricas da massa corporal e suas propriedades mecânicas (MELO &

SANTOS, 2000).

Investigações Analíticas Indiretas

Consistem em procedimentos analíticos para determinação matemática das

características e propriedades inerciais da massa corporal, normalmente considerando serem

os corpos rígidos. Tais corpos adotam as características de sólidos de densidade uniforme,

simples formas geométricas, com eixos articulares fixos substituíveis por móveis e que

permitem simular movimentos humanos. De um modo geral, aplicam as leis da mecânica na

construção de modelos matemáticos do corpo humano, possibilitando assim cálculos de

momentos de inércia, translação e rotação do corpo.

Modelar geometricamente significa representar os segmentos do corpo por formas

geométricas. As dimensões destas formas são obtidas experimentalmente por medidas

antropométricas (p. ex., comprimento de segmento e perímetro). A partir de tais dados, é

possível obter uma aproximação do volume do segmento e uma estimativa de sua densidade,

necessária ao cálculo dos parâmetros inerciais. Os valores de densidade são obtidos

normalmente de estudos feitos com cadáveres (HAMILL & KNUTZEN, 2003).

A maioria dos trabalhos de modelagem matemática adotou, para os segmentos,

densidades constantes em todo corpo, à exceção de Hatze, em 1980 (KROEMER et al., 1988).

É interessante destacar que, mesmo baseados em dados obtidos de indivíduos vivos, os

pesquisadores empregam valores médios de densidade obtidos de cadáveres.

2.2.3.3. Quanto à funcionalidade

Do ponto de vista da funcionalidade, se os modelos forem capazes de representar o

movimento articulado do corpo humano, percebe-se que estes podem ser cinemáticos ou

dinâmicos.

Cinemáticos

Modelos antropométricos considerados cinemáticos são aqueles cujos segmentos do

corpo (elos normalmente considerados rígidos) fazem-se interligar por articulações (juntas

ideais), com a finalidade de relacionar posições dos segmentos e ângulos articulares; se

conhecidos os deslocamentos segmentares, podem ser derivadas suas velocidades e

acelerações, lineares e angulares (WINTER, 1990). Modelos deste tipo aplicam-se em

55

ergonomia, que é o conjunto de conhecimentos científicos relativos à pessoa e necessários à

concepção de instrumentos, máquinas e dispositivos que possam ser utilizados com o máximo

de conforto e eficácia (COUTO, 1996). Seu equacionamento cinemático certamente também

está implícito nos programas dos sistemas de cinemetria, prestando-se para analisar

seqüências cadenciadas de imagens que capturaram posições de um corpo movimentando-se.

Os padrões de movimento capturados por cinemetria têm sido mimetizados para a

animação de caracteres humanos (MACIEL, 2001), usada na criação de cenas de efeitos

especiais, virtuais, de situações perigosas na indústria cinematográfica.

Dinâmicos

Já os modelos ditos dinâmicos diferenciam-se por abrangerem o equacionamento

cinético além do cinemático. Estes modelos transfiguram-se em potente ferramenta para

investigação da interação dos sistemas osteomusculares gerando moções. Com tal tipo de

equacionamento, avaliam-se as causas de movimentos patológicos e desenvolvem-se,

também, as próteses. Enfocado no tema coordenação muscular, Zajac, Neptune & Kautz

(2002; 2003) expuseram uma revisão desses assuntos.

Modelos biomecânicos dinâmicos incluindo modelagem neuromuscular têm sido

empregados no projeto de sistemas EENM (YAMAGUCHI & ZAJAC, 1990) e no estudo do

controle neural do movimento, conforme citam Thelen, Arnderson e Delp (2003).

Tendo como exemplo o trabalho de Komura, Shinagawa e Kunii (2000), a inclusão do

contexto osteomuscular na modelagem dinâmica é um método que tem possibilitado a criação

de movimentos exeqüíveis, fisiológico e dinamicamente, podendo ser empregado também na

correção da cinemática inversa e na interpolação de movimentos. Fisiologicamente, por

respeitar os ângulos articulares limítrofes e, dinamicamente, porque os movimentos simulados

têm velocidades e acelerações compatíveis com aquelas possíveis de serem produzidas pelo

corpo, e isso se deve à determinação das forças musculares no modelo.

2.2.4. Histórico dos Modelos e a Computabilidade

Embora a evolução histórica baseada na investigação de Bjornstrup (1995) já tenha sido

sintetizada na Tabela 3, é agora revista sob a perspectiva da computabilidade dos modelos.

Dentre os diversos modelos propostos, diferindo quanto ao número de segmentos que

fracionam o corpo, às formas geométricas adotadas na representação desses segmentos e aos

56

procedimentos matemáticos utilizados, foram aqui destacados aqueles que convergem com a

proposta deste trabalho.

Os modelos de avaliação de engenharia humana, baseados nos conceitos de simulação

de segmentos interconectados, foram originalmente delineados em 1889, por Braune e

Fischer, em sua clássica análise biomecânica em soldados da infantaria germânica. Esta

abordagem foi refinada e expandida por Dempster, em 1955, ao estudar o corpo como uma

série de segmentos interconectados que ele definiu como “distâncias em linha reta entre os

centros articulares adjacentes” (KROEMER et al., 1988).

Kroemer et al. (1988) expõe que modelos geométricos primígenos, como o de Von

Meyer, de 1873, reduziam o corpo a uma série de esferas e elipsóides para se chegar a uma

estimativa da massa e dos centros de gravidade dos segmentos. Quase um século depois, em

1960, Simons e Gardner, aproximaram os segmentos corpóreos a outras formas geométricas.

Em seu modelo representaram membros, pescoço e torso por cilindros, e a cabeça por uma

esfera. Parâmetros inerciais para as formas geométricas foram computados através das

equações de regressão de Barter e os momentos de inércia do corpo inteiro foram calculados.

Este trabalho, em muitas circunstâncias, foi a gênesis de grande parte das atuais atividades de

modelagem biomecânica.

Num estudo, em 1962, sobre a resposta dinâmica do homem na ausência de gravidade,

Whitsett refinou o modelo antropométrico desenvolvido por Simons e Gardner,

incrementando o número dos segmentos do corpo de 8 para 14, usando formas geométricas

adicionais para uma maior correlação as formas dos segmentos corporais compôs o

hominídeo da Figura 31. Os 14 segmentos de Whitsett eram cabeça, torso, dois braços, dois

antebraços, duas mãos, duas coxas, duas pernas e dois pés. A cabeça foi modelada como

elipsóide, as mãos como esferas, os braços e antebraços por troncos de cones circulares e os

pés por paralelepípedos retangulares (KROEMER et al., 1988).

As propriedades físicas incorporadas por Whitsett no modelo incluíam os dados

dimensionais do corpo de Hertzberg, de 1954, propriedades de massa de Barter, de 1957, e

centros de massa de Dempster, de 1955. As equações para os momentos de inércia foram

padronizadas para as formas geométricas particulares utilizadas; somente a equação do

momento de inércia do tronco de cone circular reto precisou ser derivada. Em 1963, Gray

refinou este modelo básico (KROEMER et al., 1988).

Em 1964, Hanavan (KROEMER et al., 1988; HAMILL & KNUTZEN, 2003) publicou

os resultados de um estudo realizado com as intenções de: (1) projetar um hominídeo

57

matemático personalizado; (2) analisar o modelo; (3) preparar uma rotina computacional, para

cálculo das propriedades inerciais de um sujeito em qualquer posição corporal, e (4)

desenvolver um guia para uma série de formas percentuais do corpo, para 31 posições.

Figura 31 - Humano segmentado e o hominídeo de Whitsett (adaptado de Kroemer et al., 1988).

O hominídeo do modelo de Hanavan foi composto por 15 formas articuladas pela

extremidade de cada segmento primário. Como ilustrado na Figura 32(A), este diferia do

hominídeo de Whitsett no torso, articulado por dois segmentos, e nos pés, representados por

troncos de cone.

Hanavan, similarmente a Gray, definiu a postura assinalando ângulos de Euler a cada

segmento e, então, calculou o tensor de inércia e as posições do centro de massa para posições

corporais específicas. Para tal, equações propostas por Barter, em 1957, serviram como

entradas (KROEMER et al., 1988). Foram usadas 25 medidas antropométricas.

Kwon (2005) propôs uma modificação ao modelo de Hanavan, que é delineada ao longo

do desenvolvimento desta dissertação, no item 4.2.1. Assim como no presente trabalho, houve

a preocupação com a segmentação do tronco inferior em abdômen e pelve, para não limitar as

deformações para movimentos de flexão e extensão do tronco.

Em 1980, Hatze (HATZE, 1998) derivou um modelo matemático de todo o sistema

osteomuscular através da tradicional abordagem mecânica Lagrangeana. Seu modelo, exibido

58

na Figura 32(B), representado por equações diferenciais de primeira ordem, descrevia um

conjunto de 17 segmentos interligados, exigindo 242 medições antropométricas para

individualização; número que o torna clinicamente pouco atraente. Entretanto, Enoka (2000)

afirma ser o modelo geométrico de Hatze capaz lidar com as mudanças morfológicas

corporais, como aquelas devido à obesidade ou gravidez e, ainda, servir para analisar crianças.

Em contrapartida, Popovic et al. (1999) atestam que o modelo biomecânico de Hatze é de

difícil personalização devido à sua complexidade, à pobreza de sua interface e pela

dificuldade em identificar a exata localização das medidas.

Recentemente, Anderson & Pandy (2000) apresentaram um modelo, representando o

esqueleto por 10 segmentos, totalizando 23 graus de liberdade, como ilustrado na Figura

32(C). Entretanto, emprega também modelagem músculo-tendão baseada em Hill29, adotando

dados do estudo de Delp et al. (1990).

(A) (B) (C)

Figura 32 – Em (A), o hominídeo de Hanavan (extraído de Hamill, 2003). Ao centro (B), o hominídeo de Hatze (extraído de Hatze, 1998). Em (C) o de Anderson (de Anderson & Pandy, 2000).

Da modelagem proposta por Delp et al. em 1990, desenvolveu-se o software SIMM,

da Musculographics Inc., voltado à aplicação cirúrgica e à protética. Este possui um módulo

29 Vide item 2.1.2.4

59

extensivo à análise de marcha30, porém, requer medidas internas, da estrutura osteomuscular e

músculo-tendão.

Um modelo tecnicamente sofisticado (porém dispendioso) foi proposto, em 1983, por

Zatsiorsky e Seluyanov (KROEMER et al., 1988), que considera o nível de raios gama

absorvidos pelos tecidos determinando a densidade e distribuição de massa.

2.2.5. Precisão das Modelagens

Comparativos entre a precisão dos parâmetros inerciais dos segmentos do corpo são

tabulados nos estudos de Bjornstrup (1996), para modelos empregando técnicas diversas.

Outro comparativo sobre os mesmos parâmetros, breve, mas específico para modelos

geométricos foi realizado por Challis (1997). Apesar da pouca dispersão, nesses estudos os

resultados foram obtidos sobre amostras limitadas, baseadas em população de sujeitos

fisicamente normais, sem grandes diversidades morfológicas corporais. À exceção do modelo

de Hatze, estes são pouco aplicáveis a crianças, mulheres, idosos, deficientes ou qualquer

perfil em dissonância ao do usuário considerado no presente estudo.

30 Vide www.musculographics.com (acessado em 12/01/2005).

3 Metodologia

Os momentos articulares têm sido considerados as causas dos movimentos humanos

observados (VAUGHAN, DAVIS e O’CONNOR, 1992; WINTER, 1990). Estudando-se as

causas, pode-se compreender como e porque surgem movimentos coordenados e mesmo

disfunções ou ausência dos padrões considerados normais. Tais momentos representam os

efeitos resultantes da ação dos músculos e ligamentos que cruzam uma articulação e de forças

friccionais nas superfícies articulares entre ossos adjacentes. Assume-se aqui que, no

movimento humano, as articulações geralmente não atingem seus limites máximos, e as

fricções e forças ligamentares são desprezíveis.

Para andar, são necessários momentos articulares suficientes (e controlados) para

imprimir aos segmentos as necessárias acelerações e velocidades, as quais ditarão o

comportamento posicional dos segmentos durante o mover-se. É preciso estabelecer relações

dinâmicas inversas para quantificar o quão forte deve ser um momento articular (torque)

causado pela contração de um músculo ou grupo muscular, para que um segmento possa

descrever um dado padrão de movimento.

Visando-se a obtenção de equações que governem o movimento do corpo durante o

andar, inicialmente, neste capítulo, procedeu-se à indicação das medidas requeridas na

modelagem antropométrica proposta para segmentação do corpo e para proceder à sua

representação por sólidos com formas geométricas semelhantes às dos segmentos.

Da consideração dos segmentos como sólidos, determinam-se propriedades

antropométricas, as grandezas inerciais: massa, centro de massa, momento de inércia e

produto de inércia. Na estimativa da massa, há necessidade prévia da determinação das

densidades específicas dos segmentos (consideradas homogêneas em cada segmento).

A fim de que o modelo de segmentos possa representar o movimento, necessita-se uni-

los em articulações dispostas conforme os centros articulares do usuário. Os sólidos (ou

segmentos) encadeados formam uma cadeia cinemática. Abstraindo-se os parâmetros

relevantes da cadeia cinemática do usuário, comprimentos, os segmentos são simbolizados

por elos.

À cadeia obtida aplica-se a notação de Denavit-Hartenberg (Apêndice B), sob

modificação detalhada adiante (no tópico 4.2.2) para adequação da notação às obliqüidades

62

fisiológicas dos eixos articulares. A notação original de Denavit-Hartenberg, sendo oriunda da

robótica (NIKU, 2001), lida com facilidade apenas com as cadeias com elos paralelos e

ortogonais.

Ainda através da notação modificada de DH, a cada elo representante de um segmento

são associados sistemas de coordenadas locais, em conformidade ao número de graus de

liberdade do segmento. Após estabelecimento dos sistemas de coordenadas, pela notação,

obtêm-se matrizes de transformação entre eles. Tais matrizes permitem que um ponto

representado em relação a um sistema de coordenadas local possa ser expresso noutro. O

detalhe das matrizes de DH é que elas são funções dos ângulos articulares.

Calculando-se a derivada de primeira ordem, no tempo, das matrizes de DH, chega-se

ao conhecimento das velocidades dos segmentos.

Então, em função das variáveis cinemáticas (velocidades e posições angulares dos

segmentos) associadas às propriedades inerciais são determinadas as energias cinética e

potencial dos segmentos implicitamente na formulação mecânica lagrangeana (Apêndice D),

que leva, finalmente, ao conhecimento dos momentos articulares, completando o tratamento

cinético proposto no modelo.

3.1.1. Medidas Antropométricas Requeridas no Modelo

Levando-se em conta a simetria do corpo em relação ao plano sagital, adotam-se, neste

trabalho, as medidas31 tomadas de um dos lados, para ambos os membros, conforme cotas na

Figura 33.

No entanto, o modelo aqui proposto contempla assimetrias que possam surgir, inclusive

em casos patológicos.

3.1.2. Grandezas Inerciais Associadas às Formas do Modelo

No modelo proposto, as formas dos segmentos empregam seções cônicas (como elipse e

círculo). As demonstrações teóricas das equações que regem tais seções são consideradas

dispensáveis, por existir rica literatura disponível: Boulos & Camargo (1987), Leithold (1986)

e Swokowski (1994).

31 As medidas de cirtometria são medidas de perimetria tomadas próximas à linha da cintura (PETROSKI, 2003).

63

Hcb Ccb

Hts

Htm

Hti

Hcx

Hcn

Ctr Cxf

Cub

Cnd

Cjl

Csx

Cin

Csn

Cpn

Cax

Cps

Cct

LtrLxf

Lub

Lqd

Psx

Hbc

Hat

Lbp

Cap

Hmc

Cbp

Ppe

Figura 33 – Indicação das medidas antropométricas, sendo, Ccb, perimetria da cabeça no nível imediatamente acima das orelhas; Ctr, cirtometria do tórax no nível dos mamilos; Cxf, cirtometria do tronco no nível do ponto inferior do processo xifóide; Cub, cirtometria do tronco no nível da cicatriz umbilical; Cnd, cirtometria das nádegas; Cct, perimetria do cotovelo; Cps, perimetria do pulso; Cax,

perimetria do braço no nível axilar; Cpn, perimetria do punho (mão cerrada); Cjl, perimetria do joelho; Csx, perimetria da parte superior da coxa (da parte mais grossa da coxa, sita próxima ao nível do

gancho); Cin, perimetria da parte inferior da perna (em sua parte mais fina, pouco acima do tornozelo); Csn, perimetria da perna no nível da seção máxima da panturrilha; Cap, perimetria da abóbada plantar

do pé, tomada onde sua seção transversa intercepta a perna; Cbp, perimetria do pé, tomada acompanhando-se a seção transversa do pé que inclui a cabeça distal do 1º metatarsiano (“bola” do pé); Hcb, altura da cabeça, medida do queixo ao topo; Hts, altura do tronco superior, medida do nível

inferior do processo xifóide até o acrômio; Htm, altura do tronco médio, medida do nível correspondente à cicatriz umbilical (entre vértebras T12 e L1), até o nível do ponto inferior do

processo xifóide; Hti, altura do tronco inferior, medida do nível dos centros articulares dos quadris (grande trocanter) até nível correspondente à cicatriz umbilical; Hbç, comprimento do braço, medido da

articulação do cotovelo (epicôndilo lateral do úmero) ao acrômio; Hat, comprimento do antebraço, medido do pulso a articulação do cotovelo; Hmc, aproximação do comprimento do elipsóide que

representa a mão cerrada (esta grandeza é obtida medindo-se, com a mão cerrada, a distância entre o pulso e a cabeça distal do 2º metacarpal); Hcx, comprimento da coxa, medida do nível da articulação

dos quadris (grande trocânter) até o joelho (margem superior da lateral da tíbia); Hcn, comprimento da perna, medido do joelho (côndilo femoral) ao tornozelo (maléolo lateral); Ltr, largura do tórax no nível

dos mamilos; Lxf, largura do tronco no nível do ponto inferior do processo xifóide; Lub, largura do tronco no nível da cicatriz umbilical; Lqd, largura do tronco nas ancas (grande trocanter); Lbp, largura do pé, onde sua seção transversa inclui a cabeça distal do primeiro metatarsiano (“bola” do pé); Psx,

profundidade da parte superior da coxa, tomada na altura das articulações dos quadris; Ppe, comprimento do pé, do calcanhar (calcâneo) à ponta dos dedos dos pés.

64

Utilizar-se de entidades geométricas torna possível, aplicando-se o teorema fundamental

do cálculo, a obtenção de equações (descritas no Apêndice E) que permitem calcular, para

cada tipo de sólido do modelo, a massa (m), a posição do centro de massa (CM), os momentos

principais da inércia (Ixx, Iyy e Izz) e seus produtos de inércia (Ixy, Iyz, Izx, Iyx, Izy e Ixz); grandezas

necessárias na composição do pseudotensor de inércia, a ser utilizado posteriormente na

formulação da mecânica lagrangeana.

Para as formas geométricas envolvidas no modelo, a determinação de fórmulas para

cálculo das grandezas inerciais pode ser restringida a apenas dois tipos de sólidos: o elipsóide

e o sólido elíptico. Os demais sólidos envolvidos – cilindro elíptico (CE), troncos de cone

circular (TCC) e elíptico (TCE), sólidos elípticos de topo circular (SET) e base circular

(SEB), podem ser considerados como instâncias de um sólido elíptico (SE) genérico.

Na seqüência descreve-se como foram obtidas as propriedades inerciais antropometricas

à aprtir do modelo de sólidos e das medidas da Figura 33.

3.1.2.1. Elipsóide

Um elipsóide, com os eixos a, b e c > 0, como o da Figura 34, é caracterizado pela

equação 4.

12

2

2

2

2

2

=++cz

by

ax (4)

b

a

c z

y

x

Figura 34 - Caracterização dos semi-eixos e referencial no elipsóide.

Por questões de simplificação de cálculo, efetua-se uma mudança de variáveis,

(SWOKOWSKI, 1994; KAPLAN, 1964), fazendo-se aux = , bvy = e cwz = ,

transformando o elipsóide na esfera 1222 =++ wvu , obtendo-se a equação 5.

65

abcwvuzyx

=∂∂

),,(),,(det (5)

Conseqüentemente, o volume do elipsóide será dado pela equação 6.

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ =∂∂

==''''' ),,(

),,(detRRRR

dwdvducbadwdvduwvuzyxdzdydxdV (6)

Massa do elipsóide

Aplicando-se a equação 6 na E3, do Apêndice E, obtém-se a equação 7, para massa.

∫∫∫=''R

elipsóide dwdvducbam ρ (7)

Considerando-se as superfícies limitantes do elipsóide, expressas em relação ao centro

do elipsóide, chega-se à integral tripla iterada e seu resultado, exibida na equação 8.

cbadudvdwcbamu

u

vu

vuelipsóide ρπρ3

41

1

1

1

1

1

2

2

22

22== ∫ ∫ ∫−

−

−−

−−

−−− (8)

Coordenadas do Centróide (CG) do Elipsóide

Visto que o elipsóide é simétrico em relação aos seus eixos inerciais principais,

aplicando-se as deduções expostas em Simon (1996), Beer & Johnston (1980) e Ávila (1979),

conclui-se que seu centróide é coincidente ao ponto onde esses eixos se interceptam,

dispensando cálculos.

Momentos de Inércia de Massa do Elipsóide ( elipsóidexxI , elipsóideyyI e elipsóidezzI )

Tomando-se como referência a coordenada do centróide, desloca-se sobre o eixo das

abscissas uma distância –a, ou seja, faz-se auax −= , implicando em nenhuma alteração

sobre os limites da integração no eixo das abscissas, após a mudança de variáveis. Assim,

procedendo-se com as equações E4 a E6, do Apêndice E, de modo similar à obtenção da

massa, têm-se os momentos de inércia das equações 9, 10 e 11.

( )22

154 cbcbaI elipsóidexx += ρπ , (9)

( )22

154 cacbaI

elipsóideyy += ρπ e (10)

66

( )22

154 bacbaI elipsóidezz += ρπ . (11)

Produtos de Inércia do Elipsóide

As equações E7 a E9, do Apêndice E, também referenciadas ao centróide, resultam em

valores nulos, dada a simetria do elipsóide, de acordo com a equação 12.

0======elipsóideelipsóideelipsóideelipsóideelipsóideelipsóide zxxzzyyzyxxy IIIIII (12)

3.1.2.2. Sólido Elíptico Genérico

A Figura 35 ilustra um sólido elíptico, uma espécie de tronco cônico cujas diretrizes

(base e topo) são elipses, perpendiculares ao segmento l (paralelo ao eixo x), tal que 1b seja

paralelo a 2b e ao eixo coordenado y, e 1c paralelo a 2c e ao eixo coordenado z.

O volume do sólido elíptico genérico é calculado por integração simples iterada.

z

yl

x

c2b2

c1

b1

B2

B1

C2

C1O

Figura 35 - Caracterização dos semi-eixos das elipses e referencial do sólido elíptico genérico.

Tal integração foi interpretada como um limite de somas triplas obtidas somando-se,

primeiro, sobre uma linha, pequenos (infinitesimais) paralelepípedos na direção paralela ao

eixo das abscissas, desde –l até 0, isto é, da superfície elíptica inferior (equação 13) à superior

(equação 14).

12

2

2

2

=

+

cz

by ou 1

)()(

22

=

+

xcz

xby , quando lx −= (13)

12

1

2

1

=

+

cz

by ou 1

)()(

22

=

+

xcz

xby , quando 0=x (14)

67

A área da superfície elíptica varia linearmente em função do eixo de integração x.

Assim, os eixos da elipse (da superfície) são ditados por equações de retas que passam pelos

pontos B1 e B2 (equação 15) e C1 e C2 (equação 16).

121 )()( bx

lbbxb +

−= (15)

121 )()( cx

lccxc +

−= (16)

Massa do Sólido Elíptico Genérico ( SEGm )

Considerando-se os limites da tripla integração, equações 13 a 16, e suas aplicações na

equação E3, do Apêndice E, obtém-se a equação 17.

[ ])2()2(6 212211

0 )(

)(

)(

)(

2

)(1

2

)(1

ccbccbldxdydzml

xb

xb

xc

xcSEG

xby

xby

+++== ∫ ∫ ∫− − −

−

−

ρπρ (17)

Coordenadas do Centróide (CG) do Sólido Elíptico Genérico

Da equação E10, do Apêndice E, chega-se à equação 18.

( ) ( )[ ])]2()2([2

3

212211

212211

ccbccbccbccblxSEG +++

+++−= (18)

Como o tronco de cone considerado é simétrico em relação aos eixos y e z, as

coordenadas de y e z são coincidentes às do ponto de interseção desses eixos (BEER &

JOHNSTON, 1980).

Momento de Inércia de Massa do Sólido Elíptico Genérico

Adotando-se o centróide como origem, é necessário redefinir os limites de integração

sobre o eixo das abscissas, Ox. Assim, os novos limites, inferior e superior, respectivamente,

serão dados pelas equações 19 e 20.

( ) ( )[ ])]2()2([2

3

212211

211212inf ccbccb

ccbccbllxx SEG ++++++

−=−−= (19)

( ) ( )[ ])]2()2([2

30212211

212211sup ccbccb

ccbccblxx SEG ++++++

=−= (20)

68

Com essa mudança de origem, ocorrerá o deslocamento do sólido e, conseqüentemente,

as superfícies superior e inferior (diretrizes elípticas) situar-se-ão sobre o eixo das abscissas

em supx e infx , respectivamente. Isto implicará em alterações nas equações de retas que ditam

o tamanho dos eixos da superfície elíptica, passando agora pelos pontos (b1, supx ) e (b2, infx ),

equação 21 e, (c1, supx ) e (c2, infx ), equação 22.

lxbxb

xl

bbxb inf1sup221 )()(−

+−

= (21)

lxcxc

xl

ccxc inf1sup221 )()(−

+−

= (22)

Aplicando-se os novos limites às equações E4 a E6, do Apêndice E, para o sólido

elíptico genérico, obtêm-se as equações 23 a 25.

=+= ∫ ∫ ∫− −

−

−

sup

inf

2

)(1

2

)(1

)(

)(

)(

)(

22 )(x

x

xb

xb

xc

xcxx

xby

xbySEG

dxdydzzyI ρ

)4322

3432

4234(80

322

321

2212

22112

212

22

1123

222

21222

123

1

312

3111

321

22112

211

31

cbcbccbccbccb

ccbcbcbbcbbcb

cbcbcbcbbcbbcbl

+++++

++++++

++++++= ρπ

(23)

=+= ∫ ∫ ∫− −

−

−

sup

inf

2

)(1

2

)(1

)(

)(

)(

)(

22 )(x

x

xb

xb

xc

xcyy

xby

xbySEG

dxdydzzxI ρ

)22(240/)]6122

1256122

126(2418

3304812

21482112

483031824[

222112

112

22

22

2212

22

1

212

22121212

12

12

2

2121

21

21

242

22

4221

42

21

321

22

32121

321

21

22

21

22

22

2121

22

21

212

31

22

23

121212

14

12

24

1214

12

1

cbcbcbcbcbcbbcb

ccbccbbccbcb

cbbcblcbcbb

cbccbccbbccb

ccbccbbccbccb

ccbbccbcbcbbcbl

+++++++

+++++

+++++

+++++

++++

+++++= ρπ

(24)

69

=+= ∫ ∫ ∫− −

−

−

sup

inf

2

)(1

2

)(1

)(

)(

)(

)(

22 )(x

x

xb

xb

xc

xczz

xby

xbySEG

dxdydzyxI ρ

)22(240/)]6122

1256122

126(2430

2112318

48484818

312213024[

222112

112

22

22

2212

22

1

212

22121212

12

12

2

2121

21

21

222

42

22

321

22

22

21

222

31

22

4121

42

213

21212

22

12123

1214

1

21

42

21

321

21

22

21

212

31

21

41

cbcbcbcbcbcbbcb

ccbccbbccbcb

cbbcblcbcbb

cbbcbbcbccb

ccbbccbbccbbccb

cbcbbcbbcbbcbl

+++++++

+++++

+++++

+++++

++++

+++++= ρπ

(25)

Produtos de Inércia do Sólido Elíptico Genérico

As equações E7 a E9 (Apêndice E), resultam valores nulos (equação 26), quando

calculadas com os mesmos limites aplicados aos cálculos dos momentos de inércia nas

equações 23 a 25, devido à simetria dos sólidos em relação ao eixo de rotação.

0======SEGSEGSEGSEGSEGSEG zxxzzyyzyxxy IIIIII (26)

3.1.2.3. Formas derivadas do sólido elíptico genérico

As demais entidades geométricas sólidas empregadas no modelo proposto derivam-se

do sólido elíptico genérico, segundo as condições especificadas na Tabela 4, entre tamanhos de

eixos.

Tabela 4 - Condições para que o sólido elíptico genérico instancie-se em outros.

Figuras Relações entre eixos das elipses Cilindro elíptico (diretriz elíptica)

21 bb = e 21 cc =

Tronco de cone circular 11 cb = e 22 cb =

Tronco de cone elíptico (base elíptica)

2

2

1

1

cb

cb

=

Sólido elíptico com topo circular 11 cb =

Sólido elíptico com base circular 22 cb =

70

A aplicação das condições da Tabela 4 às equações 17 a 26, geram as fórmulas para

determinação da massa em cada tipo de sólido, como mostra a Tabela 5.

Tabela 5 - Equações das massas.

Cilindro Elíptico (CE) cblmCE ρπ= Tronco de Cone Circular (TCC)

)(3

2221

21 rrrrlmTCC ++= ρπ

Tronco de Cone Elíptico (TCE)

2

2221

212

3)(

cccccbl

mTCE

++=

ρπ

Sólido Elíptico de Base circular (SEB)

)22(6

21111 rrcrbcblmSEB +++= ρπ

Sólido Elíptico de Topo circular (SET)

)22(6

22222 rrcrbcblmSET +++= ρπ

Se 21 bb = , indica-se apenas b, 21 cc = como c, 11 cb = por 1r , 22 cb = como 2r , e, se só

uma das duas últimas condições existirem, por r .

As coordenadas dos centróides dos sólidos, Tabela 6, são obtidas por procedimento

idêntico ao anteriormente citado.

Tabela 6 - Equações da coordenada x do centróide.

Cilindro Elíptico (CE) 2lxCE −=

Tronco de Cone Circular (TCC)

)(4)32(

2221

21

2221

21

rrrrrrrrl

xTCC++++

−=

Tronco de Cone Elíptico (TCE)

)(4)32(

2221

21

2221

21

cccccccclxTCE

++++

−=

Sólido Elíptico de Base circular (SEB)

)22(2)3(2

1111

21111

rrcrbcbrrcrbcbl

xSEB ++++++

−=

Sólido Elíptico de Topo circular (SET)

)22(2)3(2

2222

22222

rrcrbcbrrcrbcblxSET +++

+++−=

Assim como para as coordenadas dos centróides dos sólidos, as equações dos momentos

de inércia (Tabelas 7, 8 e 9), tambem são obtidas atraves de método idêntico ao descrito

anteriormente.

71

Tabela 7 - Equações dos Momentos de Inércia em relação ao eixo x (Ixx).

Cilindro Elíptico (CE) )(

422 cbcblI

CExx += ρπ

Tronco de Cone

Circular (TCC) )(

104

23

212

22

123

14

1 rrrrrrrrlITCCxx ++++= ρπ

Tronco de Cone

Elíptico (TCE) 32

42

321

22

212

31

41

22

222

20)()(

ccccccccccbblI

TCExx+++++

=ρπ

Sólido Elíptico de

Base circular (SEB) )844242

3344(80

431

31

221

211

221

31

2111

21

31

3111

31

rrcrbrcrcbrbrc

rcbrcbrbcbcblISEBxx

+++++++

+++++= ρπ


Topo circular (SET) )844242

3344(80

432

32

222

222

222

32

2222

22

32

3222

32

rrcrbrcrcbrbrc

rcbrcbrbcbcblISETxx

+++++++

+++++= ρπ

Tabela 8 - Equações dos Momentos de Inércia em relação ao eixo y (Iyy).

Cilindro Elíptico (CE) )3(

1222 lccblI

CEyy += ρπ

Tronco de Cone

Circular (TCC)

)(80/)]

4104(48

12121284[

2221

21

42

321

22

212

31

41

262

521

42

21

32

31

22

412

51

61

rrrrr

rrrrrrrlrrr

rrrrrrrrrlITCCyy

+++

+++++++

+++++= ρπ

Tronco de Cone

Elíptico (TCE)

)(80/)]

4104(48

12121284[

2221

212

42

321

22

212

31

41

262

521

42

21

32

31

22

412

51

612

cccccc

ccccccclccc

cccccccccblITCEyy

+++

+++++++

+++++= ρπ


Base circular (SEB)

)22(240/)]612122

56212126(24

30182148312

481234821

183024[

21111

431

31

221

211

221

2111

21

21

21

26

51

51

421

411

421

331

3211

31

21

241

2311

221

21

411

31

21

41

21

rrcrbcbrrcrbrc

rcbrbrcbrcbcblr

rcrbrcrcbrbrc

rcbrcbrcrcbrcb

rcbrcbcblISEByy

+++++++

+++++++

+++++++

++++++

+++= ρπ


Topo circular (SET)

)22(240/)]6

1212256212

126(24301821

4831248123

4821183024[

22222

4

32

32

222

222

222

222

22

22

22

2265

25

242

2

422

422

332

3222

32

22

242

2322

222

22

422

32

22

42

22

rrcrbcbr

rcrbrcrcbrbrcb

rcbcblrrcrbrc

rcbrbrcrcbrcbrc

rcbrcbrcbrcbcblISETyy

++++

+++++++

+++++++

+++++++

+++++= ρπ

72

Tabela 9 - Equações dos Momentos de Inércia em relação ao eixo z (Izz).

Cilindro Elíptico

(CE) )3(

1222 lbcblI

CEzz += ρπ

Tronco de Cone

Circular (TCC) )(80/)]4104(4

812121284[2

2212

14

23

212

22

123

14

126

2

521

42

21

32

31

22

412

51

61

rrrrrrrrrrrrlr

rrrrrrrrrrrlITCCzz

++++++++

++++++= ρπ

Tronco de Cone

Elíptico (TCE)

)(80/)]

4104()48

12121284([

2221

21

32

42

321

22

212

31

41

22

262

521

42

21

32

31

22

412

51

61

222

cccccc

cccccccclccc

cccccccccbblITCEzz

+++

+++++++

+++++= ρπ

Sólido Elíptico

de Base circular

(SEB)

)22(240/)]612

1225621212

6(241830348

2112481221

483301824[

21111

431

31

221

211

221

2111

21

21

21

2651

51

421

411

421

3211

31

21

331

221

21

21

31

241

21

311

41

21

41

rrcrbcbrrc

rbrcrcbrbrcbrcb

cblrrcrbrcrcb

rbrcbrcbrbrcb

rcbrbrcbrcbcblISEBzz

+++++

+++++++

+++++++

++++++

+++++= ρπ

Sólido Elíptico

de Topo circular

(SET)

)22(240/)]612

1225621212

6(241830348

2112481221

483301824[

22222

432

32

222

222

222

2222

22

22

22

2652

52

422

422

422

3222

32

22

332

222

22

21

32

242

22

322

42

22

42

rrcrbcbrrc

rbrcrcbrbrcbrcb

cblrrcrbrcrcb

rbrcbrcbrbrcb

rcbrbrcbrcbcblISETzz

+++++

+++++++

+++++++

++++++

+++++= ρπ

Uma função para obtenção aproximada do tamanho de um dos semi-eixos da elipse

(conhecendo-se o outro semi-eixo e o perímetro) foi derivada da solução para cálculo do

perímetro da elipse proposta por Ramanujan, em 1914, apresentada no Apêndice D, que

apresenta bom balanço entre simplicidade computacional e precisão.

3.1.3. Determinação das Densidades dos Segmentos

3.1.3.1. Dobras Cutâneas

Os sólidos considerados no modelo são homogêneos, i.e., cada qual tendo sua densidade

de massa constante. As densidades de massa dos segmentos são obtidas em função da

densidade total corpórea, expressa em g/l, e determinada pela equação de regressão (equação

27), em função de dobras cutâneas. Segundo Petroski (2003), esta equação foi obtida, por

pesagem hidrostática, sobre uma amostra de 672 sujeitos, da região sul do Brasil, sendo

dividida em dois grupos amostrais: um formado por 281 mulheres e outro por 391 homens.

73

Idade00041761,000000212,0000812101,010726863,1 244Tg/ml

−+−= XXρ (27)

Onde g/mlTρ é a densidade de massa corpórea (em g/ml), 4X é o somatório medidas (em mm)

das dobras cutâneas subescapular (DCSE), do tríceps (DCTR), supra-ilíaca (DCSI), e perna

medial (DCPM), dado pela equação 28.

PMSITRSE4 DCDCDCDC +++=X (28)

As densidades dos segmentos dos membros superiores e inferiores são obtidas como

função da densidade corpórea através da relação expressa graficamente por Winter (1990),

reproduzido na Figura 36.

Na falta da fonte dos dados ou equações que geraram o gráfico da Figura 36,

reproduziu-se a imagem do livro (WINTER, 1990) para medir a posição dos pontos (pixels)

extremos das retas e poder reconstruir a figura, assim como determinar a equação de cada reta

no gráfico.

1,00

1,05

1,10

1,15

1,20

1,25

1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10

Densidade Corporal Média (g/ml)

Den

sida

de d

os S

egm

ento

s (g

/ml)

CoxasPernasPésBraçosAntebraçosMãos

Figura 36 – Densidades dos segmentos expressos em função da densidade corpórea (Redesenhada de Winter, 1990).

As relações entre a densidade corpórea e as densidades de massa dos segmentos dos

membros superiores (em g/ml) puderam, então, ser expressas pelas equações 29 a 31 e as dos

membros inferiores, pelas equações 32 a 34.

74

g/mlg/ml Tbç 806656,0234741,0 ρρ += (29)

g/mlg/ml Tat 367931.1322839,0 ρρ +−= (30)

g/mlg/ml Tmão 734593,1692998,0 ρρ +−= (31)

g/mlg/ml Tcn 973064,0057813,0 ρρ += (32)

g/mlg/ml Tcx 786913,0225067,0 ρρ += (33)

g/mlg/ml Tpé 944860,0099499,0 ρρ += (34)

Onde g/mlbçρ é a densidade dos segmentos dos braços,

g/mlatρ a densidade dos antebraços,

g/mlmãoρ das mãos, g/mlcnρ das pernas,

g/mlcxρ das coxas e g/mlpéρ dos pés.

Entretanto, como o gráfico de Winter contempla somente seis diferentes tipos de

segmentos, as demais densidades (da pelve e busto32) são obtidas deduzindo-se o somatório

das massas dos segmentos com densidades conhecidas (nos membros superiores e inferiores)

da massa corpórea total, dividindo-se pelo volume do busto (equações 35 a 37).

)(2 mãoatbçmmss mmmm ++= (35)

)(2 pécncxmmii mmmm ++= (36)

mmiimmssbusto mmm −−= Peso (37)

Onde, mmssm representa o somatório das massas dos segmentos dos membros superiores:

antebraço ( atm ), braço ( bçm ) e mão ( mãom ), e mmiim é o somatório das massas dos segmentos

dos membros inferiores: coxa ( cxm ), perna( cnm ) e pé ( pém ). O termo bustom representa a

massa do busto.

As densidades dos segmentos do torso foram consideradas iguais (equação 38).

bustocbtstmti ρρρρρ ==== (38)

Onde tiρ é a densidade de massa do segmento representante do tronco inferior, tmρ do tronco

médio, tsρ do tronco superior, cbρ da cabeça e bustoρ a densidade do busto todo.

32 Embora sinônimos, adota-se, neste trabalho, o termo busto para o conjunto de segmentos cabeça e abdômen e, torso, para o conjunto cabeça, tronco superior , tronco inferior e segmentos dos membros superiores.

75

3.1.4. Articulando o Modelo

Os segmentos corpóreos estão representados por figuras geométricas como sendo

entidades separadas, possuidoras de características inerciais relativas aos seus próprios eixos

coordenados. No entanto, como é visada a obtenção de uma formulação dinâmica dos

movimentos articulares, deve-se empregar uma representação articulada dos segmentos do

aparelho locomotor humano. Para tanto, modela-se o corpo humano como sendo uma série de

elos que se interligam através de articulações restritivas de graus de liberdade, formando uma

cadeia cinemática.

Para tal cadeia traduzir adequadamente os movimentos do andar, é preciso que seus

graus de liberdade sejam coerentes às características fisiológicas humanas, que as posições de

suas articulações, as dimensões de seus elos e sua disposição sejam condizentes às do corpo

sendo modelado, como apontado no capítulo de Revisão Bibliográfica (Figura 27).

3.1.4.1. Considerações Fisiológicas para um Modelo Articulado

Embora seja desejável uma modelagem dinâmica do corpo que possibilite simular uma

deambulação próxima à normal, estando em conformidade com a fisiologia articular do

esqueleto humano, neste estudo considera-se o uso de órteses para firmar e limitar os

movimentos do tornozelo, porque o principal foco desta modelagem é sua posterior aplicação

em sistemas de controle de deambulação artificial.

Segundo Yamaguchi & Zajac (1990), em indivíduos paraplégicos sob EENM, a

musculatura flexora do tornozelo, ainda que treinada, dificilmente consegue fornecer

momento de força suficiente para prover flexão plantar e, durante a deambulação artificial,

esse fraco momento articular produzido pela eletroestimulação não pode impedir a

dorsiflexão. Em contraposição, uma restrição de graus de liberdade do tornozelo evitaria tal

articulação. Assim, no modelo, fadou-se à articulação do tornozelo com somente um grau de

liberdade, com giro ao redor do eixo talocrural (Figura 37). Considerou-se este giro para o

caso de ser empregada uma órtese articulada no tornozelo33. Considera-se ainda que uma

órtese articulada adequada deva ter o mesmo eixo articular que o tornozelo.

33 ‘Órteses perna-pé articuladas permitem um giro, relativo à posição natural, de ±5º.

76

Figura 37 - Eixo articular talocrural do tornozelo (modificado de Maciel, 2001).

Das quatro rolagens do pé descritas em Viel (2001), observáveis durante a sucessão do

passo, a rolagem sobre a metatarso-falangeana do primeiro dedo foi ignorada, sustentando-se

que uma marcha possa ser realizada mediante o uso da órtese no tornozelo em conjunto com

calçado pouco ou nada flexível.

Quanto à articulação do joelho, baseado em Kapandji (2000), estabeleceu-se no modelo

proposto dois graus de liberdade, um condicionado pelo eixo ao redor do qual se realizam os

movimentos de flexão-extensão no plano sagital, e outro pelo eixo axial do joelho, cuja

rotação interna-externa, dita “automática”, é realizada em função do movimento de flexão-

extensão.

A rotação automática, também chamada de rotação terminal do joelho (SMITH, WEISS

e LEHMKUHL, 1997), faz a tíbia rodar, axial e externamente, cerca de 20° sob o fêmur fixo

quando o joelho, fletido em 90º, passa à extensão. Pensando-se no inverso desta situação,

pode-se deduzir que a tíbia gira 20º internamente quando o joelho sai da extensão para uma

flexão de 90º. Neste modelo fez-se essa rotação axial ser linearmente dependente da flexão-

extensão.

Quanto à articulação do quadril, esta é provida de movimentos de flexão-extensão (pela

superfície articuladora da cabeça do fêmur), abdução-adução e rotação interna (pela superfície

articuladora do acetábulo). Tal articulação do quadril pode ser representada por uma junta do

tipo esférica, cujos graus de liberdade são as três rotações possíveis no espaço cartesiano.

77

Sustentado em Kapandji (2000), impôs-se que os centros articulares do quadril, joelho e

tornozelo alinhem-se numa mesma reta (eixo mecânico) que, estando a pessoa em posição

ereta, angula em 3º com a vertical, como mostra a Figura 38.

Notar que o eixo de rotação do joelho está na horizontal, fazendo um ângulo de 87º com

o eixo mecânico do membro inferior.

Desprezou-se também a articulação sacro-ilíaca, dada a sua imperceptível mobilidade.

Por fim, buscando simplificar toda a complexidade de movimentos relacionados à parte

superior do corpo, considerou-se que os segmentos do torso (exceto tronco inferior), a cabeça

e os membros superiores poderiam ser agrupados como sendo um só segmento que se articula

com a pelve sob três graus de liberdade. Esta articulação imposta busca reproduzir, ainda que

grotescamente, as articulações das vértebras lombares e parte das cervicais. Assim, busca-se

reproduzir os movimentos da pelve, característicos na marcha, sem que esta desloque

diretamente a parte superior do corpo e afete demais o centro de gravidade total.

Figura 38 –Alinhamento de centros articulares (tornozelo, joelho e quadril). Há uma angulação de 3º entre a linha que passa pelos centros articulares e a vertical ao solo, durante o andar. O eixo articular

do joelho estendido é paralelo à horizontal (modificada de Kapandji, 2000).

78

3.1.4.2. A Cadeia Cinemática

Baseado nas considerações do tópico anterior, impôs-se no modelo proposto que seus

segmentos articulassem-se conforme o esboço na Figura 39, podendo girar ao redor dos

centros articulares segundo os graus de liberdade destacados na ilustração. Os cilindros azuis

indicam a rotação no plano sagital, os vermelhos no plano transverso e os amarelos no

coronal.

O pé foi representado como um “triângulo”, o que é adequado para aproximar os

rolamentos do pé, já suposto serem três. O vértice superior do triângulo coincide ao centro

articular do tornozelo. Analogamente, representa-se a pelve como um triângulo devido às suas

três articulações.

3.1.4.3. Determinação do Centro Articular do Tornozelo

Mesmo que seja considerado o uso de órteses tornozelo-pé, deve-se pensar que se estas

foram anatomicamente projetadas (como devem ser) e, sejam do tipo articuladas, o eixo de

rotação de sua junta deve coincidir com o eixo articular do tornozelo. E, caso não sejam

articuladas, ainda assim não é possível deixar de lado a localização do centro articular do

tornozelo, pois esta serve para determinar o ponto onde o elo representante do segmento do pé

deve articular (ou unir-se) ao representante da perna.

Visto só haver medidas externas disponíveis, para predizer a posição (interna) do centro

articular do tornozelo foram usadas as equações de regressão estabelecidas por Vaughan,

Davis e O’Connor (1992), cujos coeficientes foram obtidos com base na estereorradiografia34

e captura de imagens de marcadores externos.

A técnica de Vaughan, Davis e O’Connor, foi originalmente desenvolvida para sistemas

tridimensionais que acompanham a posição de marcadores afixados ao pé através de câmeras.

Para adaptá-la a este trabalho houve a necessidade de outras medições: a determinação da

posição do pé (tomada com a pessoa em postura natural ereta35), a altura do maléolo lateral, a

distância entre este e o maléolo interno (medida por antropômetro) e a altura da parte mais

posterior do calcanhar.

34 Aplicação do exame binocular à radiografia, permitindo a sensação de relevo: tomam-se simultânea ou sucessivamente duas chapas da mesma região, com dois tubos de raios X afastados cerca de 7 cm. Em seguida, examinam-se as duas chapas com o auxílio de um óculos para visão binocular (estereoscópio). 35 No caso de um deficiente físico, far-se-á necessário içá-lo, buscando uma posição que lhe seja a mais natural possível. Talvez, faça-se necessário prover algum meio para que os pés deslizem, de modo que o atrito não os impeça de assumir tal posição.

79

Elo formado pela união: cabeça,braços, tronco superior e médio.

Elo da coxa

Elo da perna

Elo do pé

Articulação do quadril comtrês graus de liberdade

Articulação “lombar” comtrês graus de liberdade

Articulação do joelho comdois graus de liberdade

Articulação com um grau de liberdade imposto pela órtese

Elo pélvicos

Figura 39 – Esboço da cadeia cinemática representando o articular dos principais dos segmentos do corpo envolvidos na locomoção.

Uma estratégia composta de três passos foi seguida:

(1) determinação da posição dos pés para extração das coordenadas de pontos externos de

interesse: na prática, as medidas da vista superior, indicadas na Figura 40(A), foram obtidas da

marcação das projeções dos pontos (assinalados por bolinhas pretas e azuis) sobre o solo.

dy3

dy2

dy1

yR

xR

dx21

dx32

dz1

dz2

P3

P2

P1

xR

zR

lmm

P3

P2

P1

(A) (B)

Figura 40 - Medidas para a determinação da posição dos pés. (A) Vista superior indicando os pontos P1, P2 e P3, suas cotas e a distância entre maléolos interno e externo (lmm). (B) Vista mostrando as cotas no plano sagital, de P1, P2 e P3. A cota lmm representa a distância entre o maléolo lateral e o interno. A

altura do quinto metatarso (ponto P3) não está cotada na Figura 40(B), pois uma boa aproximação desta é o parâmetro antropométrico do pé, bpé.

Adotou-se como sistema de referência global da cadeia cinemática o ponto médio entre

os extremos (distais ao tornozelo) das projeções dos sólidos dos pés, ao nível do solo. O eixo

80

x do sistema de referência global é formado pela interseção do plano sagital com o plano

coronal, ao nível do solo.

Assumiu-se que, para frente do usuário, o eixo x tem valores positivos. Com sentido

normal ao solo, variando positivamente com a altura, definiu-se o eixo z. O eixo y é

estabelecido como conseqüência das considerações anteriores, impondo-se que seu versor

representante forme com os versores representantes dos eixos anteriores uma base ortonormal

positiva.

Adotando-se 2P como referência do sistema péOxyz , e sendo este de mesma base

ortonormal que o sistema de referência global ROxyz , pela aplicação dos fundamentos da

geometria analítica (BOULOS & CAMARGO, 1987), os pontos 1P , 2P e 3P são

determinados, respectivamente, pelas equações 39 a 41.

),2

,(),,(P 2112

211111 zzyy

x dddd

dzyxpépépé

−−

−== (39)

)0,0,0(),,(P 2222 ==pépépé

zyx (40)

),2

,(),,(P 232

323333 zpéyy

x dbdd

dzyxpépépé

−−

== ; (41)

(2) criação de um novo sistema de referência ortonormal36, Ouvw , também com origem em

2P , baseados nos três pontos externos 1P , 2P , 3P (portanto, expresso em função de péOxyz ),

tal que:

a) o versor wρ seja normal ao plano dos três pontos indicados sobre o pé direito. Um vetor

normal a este plano, apontando para dentro do pé direito, é obtido pelo produto externo37 dos

vetores que levam o ponto 2P a 3P e 2P a 1P . Para obter um versor do vetor resultante, basta

dividi-lo por sua norma (equação 42)

)()()()(

2123

2123

PPPPPPPPw

−×−−×−

=ρ ; (42)

b) o versor uρ seja paralelo à reta passante pelos pontos 1P e 3P , resultando na equação 43.

13

13

P-PP-P

=uρ (43)

36 Segue a regra da mão direita. 37 Vide produto vetorial em Boulos & Camargo (1987).

81

Como conseqüência da condição de ortonormalidade da base, o versor vρ é obtido pelo

produto vetorial de wρ e uρ (equação 44):

uwv ρρρ×= ; (44)

(3) uso da equação de regressão de Vaughan, Davis e O’Connor (1992), sintetizada na

equação 45. A equação permite predizer o centro articular do tornozelo direito, expresso no

sistema de referência local péOxyz .

wlvdul mmxpédireitoCATρρρ 706.0393.0008.0P 2 ++−= . (45)

3.1.4.4. Determinação dos Centros Articulares dos Quadris

Os centros articulares dos quadris também necessitam medidas externas para serem

determinados. Fez-se necessário medir a distância ISAd entre as cristas ilíacas (proeminências

ilíacas superiores anteriores), destacada na Figura 41 como a cota entre os pontos Pa e Pb.

Novamente, recorrendo-se às equações de regressão de Vaughan, Davis e O’Connor

(1992), obtêm-se os centros articulares dos quadris distando do plano sagital38 conforme a

equação 46:

ISACAQ dd 344.0±= (46)

dISA

xR

zR

yR

zR

Pa PbPa, Pb

dCAQ

Figura 41 - Detalhamento das distâncias, no plano coronal, envolvidas na determinação dos centros articulares dos quadris.

38 Notar que sinal ± significa que a medida vale tanto à direita quanto à esquerda do plano sagital.

82

3.1.4.5. Dimensionamento dos Elos do Modelo Articulado

Dos parâmetros antropométricos dos segmentos cabeça, braços, antebraços, mãos,

troncos, coxas e pernas, são determinadas as dimensões de seus elos representantes na cadeia

cinemática. Já para elos “especiais” como o do pé e o pélvico, há considerações específicas.

Elo do pé

Pela correlação das medidas antropométricas dos pés com os sólidos elípticos que os

modelam e, pelo conhecimento dos centros articulares dos pés, tornou-se possível figurar elos

representando os pés.

A correlação ocorreu pela busca de posições simétricas entre pés e seus sólidos. Impôs-

se que o eixo longitudinal de cada pé fosse coincidente ao eixo longitudinal principal de

inércia do sólido, como representado nas vistas da Figura 42. Considerou-se que a linha lateral

inferior da figura sólida é pertencente ao plano do solo, como se o sólido estivesse “apoiado”.

P3

P1

cpé

apérpé

dz1dz2

xR

zR

rpé bpé

yR

xR

(A) (B)

Figura 42 - Posição do sólido elíptico em relação ao pé. A vista (B) é tomada no plano sagital do pé, ao qual pertence a linha de centro da vista (A), para exprimir as verdadeiras grandezas das cotas.

Impôs-se que a projeção da linha de centro do sólido sobre o plano transverso (ao nível

do solo) passe pelas coordenadas da projeção do ponto 1P (já determinada no tópico 3.1.4.3).

O ângulo que esta linha projetada faz com o eixo das abscissas foi determinado da abstração

da Figura 42(A), ilustrada na Figura 43.

83

P3

P1

cpé

31PjPjd

αβ

γyR

xR

Figura 43 - Abstração geométrica da Figura 42 (A).

A distância, 31PjPjd , entre as projeções de 1P e 3P sobre um plano transverso é dada pela

equação 47:

2312

3221 2)(

31

−++= yy

xxPjPj

ddddd (47)

O ângulo da reta que passa pelas projeções de 1P e 3P no solo com o eixo das abscissas

OxR é obtida pela equação 48.

( )

+

−=

3221

31

2 xx

yy

dddd

tanarcβ (48)

O ângulo entre reta que passa pelas projeções (no solo) de 1P e 3P com a projeção da

linha de centro do sólido (no solo) é dado pela equação 49:

−=

31PjPj

pé

dc

senarcα (49)

Conseqüentemente, obteve-se o ângulo inicialmente desejado (equação 50):

αβγ −= (50)

Conhecendo-se o ângulo γ e sabendo-se que a “aresta” do sólido elíptico em contato

com o solo é colinear à projeção da linha de centro do sólido no solo, pode-se determinar um

ponto anterior no sólido (sua ponta), RΟ , sobre o qual é mimetizado uma das “rolagens” do

84

pé39. Aqui foi assumido ser desprezível o ângulo formado entre a linha sagital média do pé

(Figura 37) – sobre a qual se situa a ponta real do pé – e esta “aresta” (Figura 42 A).

Como a “aresta” péa (Figura 42 B) tem o próprio comprimento do pé ( péP ), pôde-se

arbitrar a posição de RΟ em função de péOxyz pela soma das componentes desta aresta à

projeção de 1P no solo, equação 51.

),2

sen,cos(

),,()0,sen,cos(

212

21

211

zyy

péxpé

zpépépépéR

ddd

PdP

dyxPP

−−

+−=

=−+=Ο

γγ

γγ (51)

Caso se queira contemplar as dimensões excedentes causadas pelo uso de calçado, deve-

se inserir a altura do solado acrescentando-se o termo ( )solado do altura,0,0 à equação 51. E

quanto às “sobras” à frente do pé (no sentido da projeção da linha de centro do sólido, em

relação a péOxyz ), estas afetam a equação 51 pelo acréscimo da parcela:

( )solado do altura,senpé) do avanço(,cospé) do avanço( γγ

Das equações 45 e 51, obtém-se o vetor que somado ao ponto RΟ dá a posição do

centro articular do tornozelo direito40, equação 52:

RdireitoCATanterior Pe Ο−=ρ (52)

Similarmente, indo do centro articular ao extremo do calcanhar (coordenadas da

projeção de P1), do pé direito, tem-se a equação 53:

direitoCATzposterior Pdyxe −−= ),,( 211ρ (53)

Elo pélvico

No elo pélvico interessa saber a distância entre centros articulares dos quadris e entre

centro articular do quadril e articulação da pelve com o tronco médio. Essas distâncias são

obtidas através da equação 46 e da altura do tronco médio (ltm), sendo calculadas pelas

equações 54 e 55, respectivamente.

CAQQQ dd 2= (54)

39 Lembrar que está sendo considerado o uso de órtese, fazendo com que a rolagem ocorra sobre a ponta do pé, e não sobre a base do 1º metatarso (“bola do pé”). 40 Tanto em péOxyz quanto em péOxyz , estes são formados por mesma base.

85

tmCAQQP ldd += 2 (55)

3.1.5. Aplicação da Notação de Denavit-Hartenberg à Cadeia Cinemática

Proceder à modelagem articulada do corpo torna possível empregar, no estudo

biomecânico, técnicas originalmente desenvolvidas para cálculos de movimento de elos

interligados por juntas (links), em manipuladores robóticos.

O conhecimento das posições das articulações no espaço (descritas num sistema de

referência global), das dimensões dos elos envolvidos na cadeia cinemática, assim como o

conhecimento do sentido dos eixos de rotações articulares (mais apropriadamente seus

versores), aliados à criação de um algoritmo para assinalar sistemas locais de referência

(também desenvolvido neste trabalho), possibilita extrair automaticamente parâmetros para

empregar a notação (também dito algoritmo) de Denavit-Hartenberg (DH).

A notação de DH serve para atribuir sistemas de coordenadas com eixos z coincidentes

aos articulares da cadeia e, sistemicamente, obter matrizes de transformação entre estes

sistemas. Procede-se sempre a uma mesma seqüência de quatro movimentos entre sistemas

coordenados consecutivos quaisquer da cadeia, para obter uma matriz de transformação, num

processo iterativo, detalhadamente descrito no Apêndice B.

Como a atribuição dos sentidos de giro das articulações pela notação de Denavit-

Hartenberg é arbitrária, estes foram convencionados de modo a mimetizarem o

comportamento das articulações no início de uma marcha, ocasião em que o pé direito é

içado. Como é possível desencadear o andar movendo ou não o tronco médio (e segmentos

acima) à frente, em relação à pelve, definiu-se o sentido de giro de maneira que o momento de

força relativo à articulação pélvica (causado pelos músculos eretores da coluna) sempre

resulte com sinal positivo, no caso de haver alguma inclinação à frente.

O uso de DH produz sistemas de coordenadas locais com eixos z coincidentes ao eixo

articular dos segmentos. No entanto, quando os eixos articulares formam ângulos que não são

nem ortogonais nem paralelos à orientação dos elos, a notação de DH causa uma translação da

origem do sistema de coordenadas local sobre o eixo articular, afixando-a fora do segmento

(elo da cadeia). Assim, uma adaptação à notação de DH foi desenvolvida para forçar que as

origens dos sistemas de coordenadas locais dos elos sejam coincidentes aos centros articulares

fisiológicos dos segmentos do corpo.

86

3.1.6. Expressão dos parâmetros inerciais dos “sólidos” do modelo proposto em função dos sistemas de coordenadas afixadas na notação de Denavit-Hartenberg

Através das equações 23 a 26 e as contidas nas Tabelas 6 a 9, os momentos e produtos

de inércia, em cada sólido, são calculados em relação aos seus centros de massa. Na

formulação lagrangeana, na composição da matriz pseudo-tensor de inércia de cada segmento,

os eixos principais de inércia hão de ser coincidentes aos eixos do sistema de referência local

do segmento. Em manipuladores robóticos, uma não conformidade a esta condição pode ser

atendida pela aplicação do teorema dos eixos paralelos de Stainer (BEER & JOHNSTON,

1980).Diferentemente dos manipuladores robóticos, no corpo humano, a característica nada

ortogonal entre os eixos articulares e os principais de inércia implica na necessidade de uma

rotação dos eixos inerciais para que fiquem alinhados aos do sistema de referência.

Na literatura, quando o problema assume tal proporção, ele é tratado por cálculo

tensorial (BERMAN & GOMIDE, 1987). Tendo em vista a inexistência de tratamento

matemático direto para promover somente esta rotação, desenvolveu-se um equacionamento

mais abreviado baseado na decomposição de momentos e produtos inerciais em relação aos

eixos do sistema de referência. Desta maneira, é possível utilizar a formulação lagrangeana

casada à notação de DH. Como este equacionamento é apenas um trampolim ao

desenvolvimento do modelo proposto, não estando diretamente ligado ao assunto, sua

dedução encontra-se no Apêndice F.

3.1.7. Equacionamento Dinâmico

As equações para obtenção dos torques articulares, formuladas pela abordagem

mecânica lagrangeana, encontram-se detalhadas no Apêndice C. Sendo um cálculo recursivo,

a programação elaborada para proceder às iterações requeridas pela formulação está expressa

no Apêndice G, na sintaxe do aplicativo de auxílio em cálculos Mathematica.

87

3.2. Avaliação do Modelo Proposto

A fim de avaliar o modelo proposto, elaborou-se uma rotina que consiste na comparação

de dados obtidos com as aplicações do equacionamento desenvolvido nesta pesquisa com

valores tabulados na literatura, conforme descrito a seguir.

Para verificação da modelagem antropométrica proposta, as grandezas inerciais,

calculadas são comparadas aos dados tabulados no estudo de Bjornstrup (1996), que é um

levantamento estatístico entre alguns dos modelos antropométricos, abordados no item 2.2.4.

Há que se destacar que para diferentes segmentos, o leque de modelos comparados varia,

porque nos diferentes estudos de modelagem nem sempre são contemplados os mesmos

segmentos. Os dados relevantes de Bjornstrup (1996), para cotejá-los aos deste trabalho, estão

tabulados no Anexo I. Para a comparação, as propriedades inerciais dos segmentos são

calculadas das medidas adquiridas conforme itens 3.1.1, 3.1.3, 3.1.4.3 e 3.1.4.4, de um sujeito

normal. Estas medidas e demais dados requeridos na determinação dos parâmetros inerciais,

na modelagem proposta, estão tabulados nas Tabelas 10 a 13.

Tabela 10 – Medidas do usuário.

Dados pessoais Peso 82 kg Idade 34 anos Altura 1.79 m

Tabela 11 – Medidas do usuário, conforme item 3.1.1.

Segmento Medidas (m) Cabeça Ccb = 0,58 Hcb = 0,265 Tronco superior Hts = 0,205 Ltr = 0,35 Hxf = 0,33 Ctr = 0,99 Cxf = 0,96 Tronco médio Htm = 0,185 Lub = 0,29 Tronco inferior Hti = 0,148 Lqd = 0,35 Cub = 0,86 Cnd = 1,03 Braços Hbç = 0,325 Cax = 0,335

88

Cct = 0,265 Antebraços Hat = 0,27 Cps = 0,175 Mãos Hmc = 0,14 Cpn = 0,265 Coxas Hcx = 0,425 Psx = 0,20 Csx = 0,615 Cjl = 0,40 Pernas (canelas) Hcn = 0,405 Csn = 0,385 Cin = 0,225 Pés Ppé = 0,27 Lbp = 0,095 Cap = 0,275 Cbp = 0,235

Tabela 12 – Medidas complementares do usuário, conforme item 3.1.4.3 e 3.1.4.4.

Descrição Medidas (m) Distância, entre projeções no eixo x do calcâneo e maléolo externo do pé direito dx21 = 0,06

Distância entre projeções no eixo x do maléolo externo e cabeça do 5º metatarso, pé direito dx32 = 0,105

Distância, no eixo y, entre calcâneos dy1 = 0,13

Distância, no eixo y, entre maléolos externos dy2 = 0,215

Distância, no eixo y, cabeças dos 5º metatarsos dy3 = 0,295

Altura, no eixo z, do calcâneo do pé direito dz1 = 0,03

Altura, no eixo z, do maléolo externo do pé direito dz2 = 0,75

Distância entre maléolos interno e externo do pé direito lmm = 0,075

Distância entre cristas ilíacas dASIS = 0,23

Tabela 13 – Medidas das dobras cutâneas do usuário, conforme item 3.1.3.

Dobra Medidas (em mm) Subescapular DCSE = 17,4 Tríceps DCTR = 11,2 Supra-ilíaca DCSI = 19,8 Perna medial DCPM = 11,3

Para verificação das matrizes de DH, se ângulos nulos forem aplicados à cadeia, dada a

simetria do corpo e a conseqüente simetria da cadeia, devem-se obter extremos da cadeia sitos

à mesma altura, já que a cadeia inicia-se num pé e finda noutro.

Também, para conferência da aplicação da notação modificada de DH, as matrizes de

transformação obtidas podem ser verificadas através da articulação da cadeia a ângulos

89

quaisquer. Conforme os ângulos praticados, as origens dos sistemas de referência locais aos

segmentos (coincidentes aos centros articulares) estarão em posições determinadas por

cálculo. Essas posições podem ser conferidas sobre um desenho que reproduza esta

conformação da cadeia cinemática.

A criação de um desenho tridimensional da cadeia cinemática, usando os mesmos

ângulos articulares, com tamanhos de elos iguais ao empregados nos cálculos, deve apresentar

posições de centros articulares iguais às obtidas por cálculo. A fim de executar tal verificação

visual, desenhou-se e articulou-se a cadeia representante do usuário em questão num

aplicativo para desenho auxiliado por computador (AutoCAD). O conjunto de ângulos

estipulados encontra-se na Tabela 14. Aplica-se este mesmo conjunto às matrizes de

transformação de DH na determinação das origens no sistema de referência global.

Para conferência da modelagem dinâmica, empregam-se os dados adquiridos por

cinemetria, fornecidos no Apêndice A da obra de Winter (1990). O Anexo II deste trabalho

remonta às tabelas de Winter para ângulos do pé, ângulos articulares do tornozelo, joelho e

quadril. Também estão incluídos os momentos articulares do joelho e quadris.

Tabela 14 – Conjunto de ângulos usados na comparação entre valores calculados e desenhados.

Ângulo Valor ( º)

0θ 0

1θ -3

2θ 10

3θ 9

4θ 4,5

5θ (2/9) 4θ = 1

6θ 2

7θ -7

8θ 5

9θ 5

10θ 11

11θ 2

12θ (2/9) 13θ = 0,5

13θ 2,25

14θ 1

90

Os dados angulares na obra de Winter foram obtidos filmando-se apenas membro

inferior direito no plano sagital. Sendo assim, esses ângulos estão todos referenciados ao eixo

ortogonal ao plano sagital (que Winter denomina eixo z). Neste trabalho trata-se o modelo em

três dimensões, portanto, os ângulos podem estar referenciados a qualquer dos três eixos. A

fim de poder utilizar os dados de Winter fez-se a correspondência mostrada na Tabela 15. Os

demais ângulos foram mantidos iguais à zero. Esta correspondência vale para todas as

variáveis angulares: velocidades e acelerações.

Tabela 15 – Correlação entre os ângulos usados por Winter (1990) e o modelo proposto.

Ângulo Articular Winter Modelo Winter Modelo

do pé 2θ do joelho

4θ do tornozelo

3θ do quadril 5θ

Dos dados fornecidos em Winter (1990), são usados somente aqueles extraídos dos 70

primeiros quadros da cinemetria, correspondentes a uma passada completa. Em relação ao

desenvolvimento do ciclo da marcha, nesses dados há uma inversão: os 35 primeiros quadros

representam de 50 a 100% do ciclo da marcha e os 35 últimos, de 0 a 50%. Assim, o 1º

quadro representa o desprendimento do pé e o 36º quadro, o evento da batida do calcanhar.

Em cada quadro da base de dados (Anexo II), empregam-se os ângulos articulares como

entradas ao modelo proposto para obter os momentos articulares. Entretanto, para podê-los

comparar aos momentos, também tabulados no Anexo II, faz-se necessário determinar apenas

a contribuição do segmento para o momento articular na articulação da extremidade proximal,

tomando como referência o lado apoiado da cadeia, ou seja, é preciso calcular os momentos

articulares como se a cadeia fosse desconexa e não houvesse o acoplamento dinâmico.

Sobre os dados fornecidos, ajusta-se a posição inicial do pé direito, pois Winter

referencia a medida deste ângulo ao solo, no plano sagital, enquanto que neste trabalho, a

referência é a posição do pé quando o corpo está ereto parado. Subtraiu-se 149,7º do ângulo

do pé em cada quadro para proceder ao ajuste. Ainda, para demais articulações, devido ao

sentido do eixo z do sistema de coordenadas locais, quando a rotação se dá contrariamente à

referenciada por Winter à linha horizontal do plano sagital, efetua-se a inversão de sinal.

4 Resultados

Este capítulo apresenta, como resultado principal, o modelo criado, além de tabular

dados obtidos pela aplicação do equacionamento desenvolvido com dados de um usuário

tomado como amostra. Os cálculos deste projeto foram realizados com o auxílio do software

matemático para manipulação simbólica e numérica, Mathematica (versão 5). A memória

completa de cálculos está documentada na íntegra no Apêndice G, impressa conforme o

formato gerado pelo próprio aplicativo.

4.1. O Modelo

O resultado desta pesquisa compreende um modelo biomecânico antropométrico

analítico. Antropométrico, por requerer medidas dos segmentos corpóreos e envolver a

determinação de parâmetros inerciais; analítico, por empregar modelagem geométrica dos

segmentos corporais, considerados como sólidos de densidade homogênea, e devido a

procedimentos analíticos para determinação matemática das características e propriedades

inerciais dos segmentos.

Quanto à parte biomecânica da modelagem, o modelo proposto conta também com

tratamento matemático para análise dinâmica, para que possa ser aplicado a sistemas de

controle da marcha artificial. O modelo conta com a notação de DH (propiciando a parte

cinemática do modelo) e a formulação mecânica lagrangeana (parte cinética) na modelagem

dinâmica. O resultado da modelagem é um mapeamento que relaciona momentos de força a

ângulos articulares intersegmentais.

4.2. Visão Estrutural do Modelo Proposto

O diagrama de blocos, apresentado na justificativa deste trabalho, norteou a necessidade

estrutural do modelo proposto destacado (contornado em linha tracejada) no sistema de

referência da Figura 2.

92

O modelo proposto compõe-se de modelagens antropométrica e dinâmica do

movimento humano. Sua estrutura está representada pelo diagrama de blocos na Figura 44.

A modelagem antropométrica (uma modificação à de Hanavan), compreende a

segmentação do corpo para determinação de medidas antropométricas. Compreende, também,

a determinação das propriedades inerciais dos segmentos corpóreos ante sua representação

por sólidos geométricos que têm parâmetros abstraídos de medidas antropométricas. Para a

determinação das massas segmentares, o modelo emprega equações de regressão que estimam

as densidades dos segmentos, a partir de dobras cutâneas.

A modelagem dinâmica abrange tratamento matemático para a cinemática e a cinética

da marcha bípede.

Medidas do usuário

(Antropometria)

MODELO PROPOSTO

Ângulos das articulações em um ciclo da marcha

(por cinemetria)

Parâmetros geométricos

Parâmetros inerciais

Centros articulares e orientação dos eixos articulares

Matrizes D-H modificadas

(equacionamento cinemático)

Torques articulares

(equacionamento dinâmico obtido pela mecânica Lagrangeana)

Torques modelos (T1,..,Tn)

Figura 44 - Diagrama de blocos da estrutura do modelo proposto.

93

O tratamento cinemático compreende a criação de uma cadeia cinemática com 14 graus

de liberdade gerada a partir da modelagem antropométrica e a extração de matrizes de

transformação para descrever o comportamento posicional cartesiano dos centros articulares

(conseqüentemente, dos elos da cadeia cinemática), em relação a um sistema de coordenadas

de referência. As matrizes de transformação levam um ponto representado em relação a um

sistema de coordenadas local afixado a um segmento a ser representado no sistema de

coordenadas local de outro segmento ou no de referência. A modelagem cinemática conta

ainda com uma modificação à notação de DH, que fornece as matrizes de transformação para

sistemas de coordenadas locais aos segmentos com origens coincidentes aos centros

articulares. Para tanto, na modelagem cinemática determinam-se as dimensões de elos e

posições de centros articulares a partir dos dados do modelo antropométrico.

Embutido na modelagem dinâmica, há equacionamento aplicando a formulação

lagrangeana, escalar, por basear-se no cálculo das energias potencial e cinética dos segmentos,

para a quantificação da cinética articular da marcha (por processamento iterativo).

No tratamento cinético do modelo proposto, as requeridas velocidades associadas aos

segmentos são determinadas pela derivação temporal das matrizes de transformação de DH.

Ainda, dos parâmetros inerciais dos segmentos, determinados na modelagem antropométrica,

os momentos e produtos de inércia são rotacionados (quando há necessidade) para estarem em

conformidade aos requisitos da abordagem mecânica empregada, para comporem, juntamente

com a massa dos segmentos, os pseudo-tensores de inércia. Como saída, o tratamento cinético

propicia o conhecimento dos momentos articulares durante o andar.

4.2.1. Modelagem Antropométrica

A modelagem antropométrica, abstraída do hominídeo apresentado na Figura 45, é

composta por 16 sólidos geométricos simples, determinados por 64 parâmetros geométricos

chaves.

Diferentemente do modelo original de Hanavan, emprega-se uma terceira divisão do

tronco, tal como na modificação proposta por Kwon (2005). O busto, então refinado, passa a

compor-se de troncos superior, médio e inferior representados, respectivamente, por cilindro,

tronco de cone e cilindro, ambos elípticos. Ainda, as mãos estão redefinidas como elipsóides.

Já os pés são modelados por “sólidos elípticos”, tendo diretriz circular na extremidade

proximal e elíptica na distal; e as coxas, com topo elíptico e base circular.

94

Similarmente ao modelo de Hanavan, a cabeça (incluindo pescoço) é representada por

um elipsóide e as pernas, os braços e antebraços, por troncos de cones circulares.

Em função de 46 medidas corpóreas, tomadas conforme tópicos 3.1.1, 3.1.4.3 e 3.1.4.4,

são determinados os parâmetros requeridos pelos sólidos representantes dos segmentos, para

cálculo das propriedades inerciais. As Tabelas 16 e 17 apresentam as equações do modelo que

associam as medidas aos parâmetros. Nessas tabelas, os parâmetros do elipsóide (a, b e c) e

das figuras derivadas do sólido elíptico (l, b1, c1, b2 e c2) passaram a ter índices segundo o

segmento considerado. Como exposto na Tabela 4, à exceção das mãos e da cabeça, os

segmentos configuram-se em instanciações do sólido elíptico. Por simplicidade, quando uma

diretriz do sólido elíptico é circular, adota-se o parâmetro r, ao invés de b e c. A função Rm()

é uma abreviação para indicar que se trata da inversão da função proposta por Ramanujan

para cálculo do semi-eixo da elipse, conforme comentado no ítem3.1.2.3 e tratado

noApêndice D.

Figura 45 – Relação antropométrica do modelo proposto. Baseado em Hanavan, o hominídeo (à direita) é representado por 16 sólidos, cujas formas se aproximam às dos segmentos corporais.

95

Tabela 16 – Dimensões dos semi-eixos dos elipsóides modeladores da cabeça e mãos.

Cabeça Mãos

2cb

cbH

a = 2mc

mãoH

a =

π2cb

cbcbcbCcbr ===

π2pn

mãomãomão

Ccbr ===

Tabela 17 - Parâmetros geométricos dos segmentos caracterizados por sólidos elípticos41.

Tronco Superior (CE) Tronco Inferior (CE)

tsts Hl = titi Hl =

421xftr

tststs

LLccc

+===

421qdub

tititi

LLccc

+===

+=== ts

xftrtststs c

CCRmbbb ,

221

+

=== tindub

tititi cCCRmbbb ,221

Coxas (SEB)

Pés (SET)

cxcx Hl = 22 )( pépépepe brPl −−=

21sx

cxcxPbb ==

π211ap

pépépé

Ccbr ===

( )sxsxcxcx bCRmcc 11 ,== 22bp

pépé

Lcc ==

π222jl

cxcxcx

Ccbr ===

( )pébppépé cCRmbb ,1 ==

Pernas (TCC) Braços (TCC) Antebraços (TCC)

cncn Hl = bçbç Hl = atat Hl =

π2111sn

cncncnCcbr ===

π2111ax

bçbçbçCcbr ===

π2221ct

atatat

Ccbr ===

π2222in

cncncnCcbr ===

π2222ct

bçbçbçCcbr ===

π2112ps

atatat

Ccbr ===

Tronco Médio (TCE)

tmtm Hl = 22ub

tmLc =

21xf

tm

Lc =

tm

tmtmtm c

cbb

1

212 =

( )tmxftm cCRmb 11 ,=

41 Entre parêntesis, após o nome, está a sigla descrevendo a forma do segmento, seguindo a nomenclatura do segundo parágrafo do tópico 3.2.

96

Parâmetros inerciais

A determinação das massas de cada segmento é obtida pelo produto da densidade pelo

volume de um segmento. Os volumes dos sólidos representantes são calculados por tripla

integração, enquanto as densidades de massa de cada segmento42, ao invés de serem

determinadas por equações de regressão de Barter ou de Clauser, como o fez Kwon (2005),

elas são calculadas em função da densidade corpórea nos segmentos dos membros.

Em função da forma geométrica e dimensões, os parâmetros inerciais de cada segmento

do modelo são obtidos através da metodologia exposta no item 3.1.2. Como para cada

segmento, a instanciação das equações desta metodologia do corpo produz uma formulação

extensa, mostrada em detalhes no Apêndice G.

4.2.2. Modelagem Dinâmica

O modelo proposto conta com modelagem cinemática, cuja cadeia tem elos, de

dimensões determinadas pela metodologia do item 3.1.4.5. Estes elos articulam-se ao redor de

eixos com orientações definidas em relação a sistemas de coordenadas locais de cada

segmento.

Por não haver um desenvolvimento analítico que permita usar direta e facilmente a

notação de DH para modelar cadeias cinemáticas formadas de eixos articulares e elos

angulando a vértices pouco usuais (não paralelos ou perpendiculares; não-retos), desenvolveu-

se tal algoritmo, para sua inclusão no modelo proposto.

Os centros articulares determinados nos itens 3.1.4.4 e 3.1.4.5 são aplicados como dados

de entrada para o algoritmo apresentado a seguir, que assinala os sistemas de coordenadas

(ortonormais) locais, em cada elo, consistindo em:

(1) estabelecimento de um sistema de referência global ( RO , Rx , Ry , Rz ), ortonormal,

arbitrariamente situado no espaço;

(2) para cada grau de liberdade necessário (i=1, 2, ..., n), repetem-se os passos 3 e 4;

(3) estabelecimento dos eixos articulares ( iz , para i=1, 2, ..., n) para cada segmento usando a

regra da mão direita (vide Apêndice B). Eixos devem ser impostos onde for preciso articular a

cadeia, i.e., onde carecer de grau de liberdade. Cada novo eixo imposto implica na associação

de um sistema de coordenadas;

42 Assumiu-se serem as densidades de massa homogêneas em cada segmento.

97

(4) adoção dos centros articulares (no caso, os fisiológicos) da cadeia cinemática como

origens dos sistemas de coordenadas locais de cada elo (esta adaptação é necessária para

empregar a formulação lagrangeana a partir de DH);

(5) repetição dos passos 6 a 14 para todos n sistemas de coordenadas (i=1, 2, ..., n) após

determinadas as origens e os eixos de rotação;

(6) determinação dos eixos ix . Cada eixo ix pode ser obtido pelo produto externo de cada

iz e seu eixo adjacente de índice inferior:

1

1

ˆˆˆˆˆ

−

−

××

=ii

iii zz

zzx , se )0,0,0(ˆˆ 1 ≠× −ii zz .

Caso iz e 1ˆ −iz sejam paralelos, existirão infinitas normais comuns a estes versores e,

embora seja evidente a possibilidade da adoção de um ix tal que desnecessária fosse uma

rotação 1+iθ em torno de iz , adotou-se uma formulação que permitiu estabelecer valores

dispensando ajustes específicos noutros parâmetros como condição de contorno:

11

11

ˆˆOˆˆOˆ

−

−

××

××=

ii,ii-

ii,ii-i

zzzz

x ρ

ρ

, se )0,0,0(ˆˆ 1 =× −ii zz , onde ii ,1O −

ρ são vetores que ligam origens de

sistemas adjacentes;

(7) determinação dos versores por ii

iii xz

xzyˆˆˆˆˆ

××

= ;

(8) para o caso em que 0ˆˆ 1 ≠⋅− ii xx e 0ˆˆ 1 ≠⋅− ii xy calcula-se o parâmetro geométrico angular

da notação (descrito no apêndice B) iθ por ( )iiiii xyxxatan2 ˆˆ,ˆˆ 11 ⋅⋅= −−θ . A função atan2 é uma

função escalar de dois argumentos escalares definidos por ( ) ( )bjaargbaatan2 +=, , onde a

e b são números reais e j denota a parte imaginária. É óbvio que sendo

( )θθθ cos,senatan2= , a função atan2 permite a determinação inequívoca do ângulo,

independentemente do quadrante representado pelos sinais de seus argumentos.

Como a função não é essencialmente definida quando seus argumentos são nulos,

impõe-se aqui uma declaração condicional tal que ( ) 00,0atan2 = ;

(9) no cálculo do parâmetro angular iα determinação prévia do versor normal ao plano

formado por 1ˆ −iz e ix , através do produto vetorial:

ii

iii xz

xznˆˆˆˆˆ

1

1

××

=−

− . Então ( )iiiii znzzatan2 ˆˆ,ˆˆ 1 ⋅⋅−= −α ;

98

(10) determinação do parâmetro ia da notação de DH (descrito no apêndice B):

iiii xa Ô ,1 ⋅= −

ρ

(11) adicionalmente aos parâmetros comuns na notação de DH, um quinto parâmetro, il , é

empregado para permitir uma posterior translação sobre o eixo iz das matrizes obtidas por

DH e fazer coincidir origens com centros articulares. Para determinar il considera-se que o

tamanho da projeção do vetor ii ,1O −

ρ na direção do versor in e também a projeção do vetor

que leva o centro articular (onde se deseja impor, com a translação, a nova origem) à

interseção do eixo iz e da reta normal a 1−iz e iz sobre o versor in são iguais. Então:

iiiiii nzln ˆˆÔ ,1 ⋅=⋅−

ρ

Logo:

ii

iiii nz

nl

ˆˆÔ ,1

⋅

⋅= −

ρ

, se 0ˆˆ ≠⋅ ii nz , caso contrário, 0=il ;

(12) a projeção do vetor idρ

, obtido pela soma vetorial de iiiiii zlxa ,1Oˆˆ −−+ρ

, no sentido de

1ˆ −− iz assume uma proporção que retorna o parâmetro id usado na notação de DH (descrito

no apêndice B). Assim,

( ) 1,1 Ôˆˆ −− −⋅−+= iiiiiiii zzlxadρ

;

(13) montagem de cada matriz iA de DH, usando-se os 4 parâmetros usuais (do Apêndice B):

iθ , id , ia e iα ;

(14) pós-multiplicação de cada matriz iA pela respectiva matriz de translação

1000100

00100001

il

sobre o eixo iz , gerando uma nova matriz de transformação.

Este algoritmo gera a cadeia cinemática do modelo proposto (Figura 46), considerando-

se a posição ereta como a inicial de repouso.

A aplicação do algoritmo da modelagem cinemática resulta em uma cadeia com

sistemas de coordenadas atribuídos como o representado pela Figura 46. A cadeia sofrerá

variações na conformação para diferentes usuários, pois os tamanhos de seus segmentos são

dependentes dos parâmetros antropométricos. Os parâmetros para composição das matrizes de

99

transformação baseadas na notação de Denavit-Hartenberg são extraídos automaticamente

pela aplicação do algoritmo.

O1

OR

O2

xR yR zR

x1

y1 z1 θ2

θ3

x2 z2

y2

O3

θ1

y0

x0

z0

x2 z2

θ4

x3 z3

y3

O4 y4

z4

θ5x4

x5 x6 O6

θ6

O5 y5

θ7

z5

y6 z6

O7 y7

x7 z7

θ8

O8 θ9 z8

y8

x8 zBP8 x9

yBP8 xBP8

θBP9OBP8

O9 z9

θ10

y9

y10 x10

z10

θ11

O10OBP9θBP10

yBP8

zBP9xBP9

yBP10

xBP10zBP10

OBP10

O11

θ12 x11y11 z11

O12

θ13

y12

x12z12

O13

θ14

x14

y14 y13

z13

O14

y14

x14

Figura 46 - Atribuição de sistemas de coordenadas gerada pelo algoritmo desenvolvido. As linhas tracejadas denotam sistemas com origens coincidentes.

100

4.3. Da Avaliação do Modelo

A aplicação dos dados das Tabelas 10 a 13 às equações para determinação dos

parâmetros antropométricos, como descrito no item 3.1.6 da Metodologia, produziu os dados

exibidos na Tabela 18.

Tabela 18 – Parâmetros inerciais dos segmentos do usuário. A localização do CG é dada em relação à extremidade distal dos segmentos, referenciados ao início da cadeia.

Segmentos m (kg) Ixx (N.m) Iyy (N.m) Izz (N.m) CG (m) Braços 2,504853 0,002920 0,023191 0,023191 -0,149918 Antebraços 1,155389 0,000757 0,007094 0,007094 -0,116844 Mãos 0,576781 0,009731 0,000770 0,000770 -0,070000 Coxas 9,201024 0,032238 0,147719 0,148701 -0,182959 Pernas 3,272068 0,004291 0,043752 0,043752 -0,167884 Pés 1,442015 0,001208 0,009301 0,009015 -0,124791 Cabeça 5,104788 0,188489 0,026624 0,026624 -0,132500 Tronco superior 16,498061 0,199584 0,176976 0,138163 -0,102500 Tronco médio 12,812053 0,133324 0,113865 0,092217 -0,088527 Tronco inferior 11,280840 0,1278579 0,092789 0,076252 -0,074000

Os parâmetros para a notação de Denavit-Hartenberg são determinados pelo algoritmo

desenvolvido, que apesar de ser aplicado no desenvolvimento para obtenção dos resultados, é

considerado e descrito neste tomo como um resultado obtido na pesquisa realizada. A Tabela

19 exemplifica os parâmetros obtidos para dados do usuário modelado.

Tabela 19 – Parâmetros obtidos para montagem das matrizes de DH (do usuário).

Elo θi di ai αi 0 90, 0 -0,119494 -90, 1 -90, 0 0 -90, 2 163,592 0,400296 -0,0960723 -154,441 3 0 -0,265012 -0,388293 -25,5591 4 -106,408 0 0 -91,9006 5 180, -0,425 0 -1,90063 6 180, 0 0 -90, 7 90, 0 0 -90, 8 -90, 0 0,15824 -180, 9 90, 0 0 -90, 10 90, 0 0 -90, 11 0 0 0 -1,90063 12 0 0 0 -88,0994 13 73,5923 -0,252511 0,388293 -25,5591 14 0 0,219519 0,021375 -154,441

101

A pré-multiplicação de cada matriz de transformação (obtidas por DH) à origem do

sistema de referência global, usando ângulos nulos ao redor dos eixos articulares, resultou nas

posições dos centros dos sistemas de coordenadas local dos segmentos (Tabela 20).

Tabela 20 – Origens calculadas pelas matrizes de transformação da notação de DH, resultantes de ângulos articulares nulos.

Cotas no sistema de referência global (m) Índice da origem X Y Z

0 0,0000 -0,1195 0,0000 1 0,0000 -0,1195 0,0000 2 -0,1796 -0,0516 0,0473 3 -0,1796 -0,0650 0,4520 4 -0,1796 -0,0650 0,4520 5 -0,1796 -0,0791 0,8768 6 -0,1796 -0,0791 0,8768 7 -0,1796 -0,0791 0,8768 8 0,1796 0,0791 0,8768 9 0,1796 0,0791 0,8768

10 0,1796 0,0791 0,8768 11 0,1796 0,0650 0,4520 12 0,1796 0,0650 0,4520 13 0,1796 0,0516 0,0473 14 0,2644 0,0650 0,0000

A aplicação do conjunto de ângulos articulares da Tabela 14 às matrizes de

transformação produziu as posições das origens dos sistemas de referência da cadeia

cinemática exibida na Tabela 21.

Tabela 21 - Posições calculadas das origens dos sistemas de coordenadas, quando a cadeia se articula com os ângulos da Tabela 14.

Coordenadas no sistema de referência global Quadro Eixo x (m) Eixo y (m) Eixo z (m)

0 0,00000 -0,11949 0,00000 1 0,00000 -0,11949 0,00000 2 -0,16869 -0,05575 0,08118 3 -0,15543 -0,06359 0,48589 4 -0,15543 -0,06359 0,48589 5 -0,17486 -0,07141 0,91037 6 -0,17486 -0,07141 0,91037 7 -0,17486 -0,07141 0,91037 8 -0,16698 0,08620 0,92210 9 -0,16698 0,08620 0,92210

10 -0,16698 0,08620 0,92210 11 -0,01849 0,05776 0,52490 12 -0,01849 0,05776 0,52490 13 0,10802 0,03087 0,14111 14 0,04156 0,04378 0,07023

102

O mesmo conjunto usado para desenhar a cadeia no Autocad® posicionou os elos

conforme ilustra a Figura 47. Sobre a imagem capturada do aplicativo, estão circuladas, em

vermelho, as cotas (em cm) do “calcanhar” do elo representante do pé direito, onde está

situada a origem do sistema de referência local de índice 14.

Distância tomada entre o sistema de referência e sistema coordenado de índice 14 (calcanhar do pé esquerdo)

Figura 47 – Vista de parte da cadeia cinemática no AutoCAD a ângulos articulares da Tabela 14 para conferência da distância entre as extremidades da cadeia.

A aplicação dos dados do Anexo II, como descrito no item 3.2, ao tratamento cinético

(formulação lagrangeana) do modelo proposto, quando zeradas todas as massas, excetuando

as dos segmentos do torso e membros superiores, resultou no momento articular do quadril

direito, ilustrado na Figura 48 (sobre o eixo z do sistema de coordenadas local de índice 7).

103

0.2 0.4 0.6 0.8 1 t H s L-100

-50

50

100

MQuadril H N.m L

Figura 48 – Momento articular sobre o quadril direito, em função do tempo de um ciclo da marcha do Anexo II, considerando-se as massas dos segmentos nulas, excetuando-se as do torso e membros

superiores. A duração do ciclo do Anexo II é de, aproximadamente, 1 s.

O mesmo procedimento aplicado ao caso em que todas as massas são zeradas, à exceção

da coxa direita, resultou no momento articular do joelho direito (sobre o eixo z do sistema de

coordenadas local de índice 3), é exibido na Figura 49.

0.2 0.4 0.6 0.8 1 t H s L-100

-50

50

MJoelho H N.m L

Figura 49 – Momento articular sobre o joelho direito, em função do tempo de um ciclo da marcha do Anexo II, considerando-se as massas dos segmentos nulas, excetuando-se a da coxa direita.

Já, quando procedimento idêntico foi empregado considerando todas as massas da

cadeia cinemática, obtiveram-se os momentos articulares, para as articulações do joelho e

quadril no lado direito do sistema locomotor, conforme os gráficos ilustrados na Figura 50.

104

0.2 0.4 0.6 0.8 1 t H s L-300-200-100

100200300

MQuadril H N.m L Momento Articulardo Quadril

0.2 0.4 0.6 0.8 1 t H s L-1000

-500

500

1000

MJoelho H N.m L MomentoArticular do Joelho

Figura 50 – Momentos articulares no joelho e quadril (lado direito), considerando o acoplamento dinâmico, calculados para as articulações do joelho e quadril direito (em N.m), para um ciclo da

marcha do Anexo II.

Obtidas as curvas das Figuras 48 e 49, a fim de avaliar o modelo traçaram-se

comparações com dados extraídos de literatura reconhecida (Winter, 1990).

-140

-90

-40

10

60

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8

Mjoelho ( N.m )

Calculados Winter

t ( s )

Figura 51 – Momentos articulares do joelho direito. Comparativo entre momentos segmentares calculados (curva da Figura 49) e os tabulados no Anexo II (Winter, 1990). A seta vermelha denota o

evento da batida do calcanhar.

105

-130

-80

-30

20

70

120

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8

Mquadril ( N.m )

Calculados Winter

t ( s )

Figura 52 – Momentos articulares do quadril (lado direito). Comparativo entre momentos segmentares calculados (curva da Figura 48) e os tabulados no Anexo II (Winter, 1990). A seta

vermelha denota o evento da batida do calcanhar.

Nos gráficos das Figuras 51 e 52 visualizam-se duas curvas, sendo a azul obtida através

dos dados tabulados por Winter (1990), reproduzidos no Anexo II, e a verde dos dados

calculados através do equacionamento desenvolvido nessa dissertação.

Para efeito de discussão, vide item 5.3 da Discussão, selecionaram-se apenas as

articulações do quadril e joelho por possuírem, no modelo proposto, graus de liberdade

articulares com eixos muito próximos à normal ao plano sagital.

5 Discussão

Neste capítulo, comentam-se os resultados obtidos e apontados no tomo anterior,

considerando as características antropométricas e dinâmicas do modelo. São destacados e

discutidos, também, os dados obtidos com o roteiro de avaliação do modelo. Finaliza-se esse

capítulo com sugestões para trabalhos que, futuramente, possam complementar os

apontamentos dessa dissertação.

5.1. Da Modelagem Antropométrica

Pensando-se numa modelagem clinicamente mais acessível, isto é, aquela que

fornecesse um bom balanço entre precisão e simplicidade, optou-se por um refinamento do

modelo antropométrico proposto, em 1964, por Hanavan (KROEMER et al., 1988), como o

fez Kwon (2005), ao dividir o tronco em três partes, ao invés de duas. Então, com uma divisão

extra deste na altura da cicatriz umbilical, pôde-se dotar o modelo de tronco médio e inferior,

representando, o abdômen e a pelve, respectivamente.

Esta modificação tornou viável a reprodução dos movimentos de inclinação e rotação

pélvica durante o andar, movimentos determinantes da marcha dependentes da flexão e

extensão do tronco.

Kwon calculou as massas dos segmentos através de densidades obtidas por equações de

regressão de Clauser, determinadas sobre amostras de cadáveres de sujeitos normais, em 1969

(BJORNSTRUP, 1995), o que torna o trabalho de Kwon pouco aplicável à realidade

antropométrica de lesados medulares e, consequentemente, ao controle artificial da marcha.

Outra diferença relevante está na forma como Kwon calcula as propriedades inerciais:

os volumes dos sólidos são determinados por integrais simples definidas e por aproximações

de semi-eixos de elipses calculadas de seus perímetros, através de formulação que em função

da excentricidade da elipse acarreta em erros43, de até 30%, em relação à equação de

Ramanujan empregada neste trabalho, apresentada no Apêndice B.

A restrição de grau de liberdade causada pela não segmentação do tronco no modelo

original de Hanavan já fora alvo de críticas, salientadas no trabalho de Santa Maria (2001). 43 http://home.att.net/~numericana/answer/ellipse.htm#elliptic, acessada em 02/12/2004.

108

Ainda que o modelo proposto exija poucas medições antropométricas para sua

individualização e permita prever centro de gravidade e grandezas inerciais em cada

segmento, a precisão de suas estimativas fica limitada por três fatores: possuir limites inter-

segmentais difusos, assumir que os segmentos têm densidades uniformes e considerar que os

segmentos são figuras sólidas geométricas simplórias. Estes dois últimos fatores também

afetam o modelo de Hatze (ENOKA, 2000).

O fato de considerar a densidade de massa homogênea ao longo de todo o segmento

acarreta erros na determinação dos parâmetros inerciais, se estes forem comparados aos

obtidos por equações de regressão. Porém, ao empregar equações de regressão deve ser levada

em conta a característica morfológica da amostra sob estudo.

Muito provavelmente, quando as equações de regressão são aplicadas para calcular

parâmetros inerciais de pessoas com características antropométricas muito divergentes

daquelas dos indivíduos da amostra, elas produzirão resultados errôneos.

Nesses casos, a modelagem geométrica analítica propicia resultados melhores (MEIJER

et al., 1998), permitindo modelar inclusive crianças (MELO & SANTOS, 2000). Assim,

sendo geométrica analítica e proposta para usuários portadores de deficiências, a modelagem

antropométrica deste trabalho, por analogia, goza da mesma vantagem.

Como os dados tabulados no Anexo I foram obtidos de pessoas normais (vivas ou

cadáveres), a fim de poder fazer uma comparação, tomou-se também as medidas

antropométricas de uma pessoa normal44. Os dados obtidos no item 4.3 resultaram valores de

parâmetros inerciais esperados, cuja conformidade aos dados do Anexo I será demonstrada no

item 5.3.

5.2. Da Modelagem Dinâmica

Modelagem Cinemática

Na literatura sobre robótica (NIKU, 2001; FU, GONZALEZ e LEE, 1987), a notação de

Denavit-Hartenberg é empregada somente considerando-se sua aplicação a manipuladores

robóticos cujas junções são caracterizadas por angulações retas entre elos, o que implica na

obtenção dos parâmetros ser normalmente realizada por inspeção do desenho que esquematiza

44 Refere-se como normal aquela pessoa cuja marcha é voluntária e não patológica.

109

a cadeia. Embora Fu, Gonzalez e Lee (1987) descrevam um algoritmo para automatizar a

extração dos parâmetros, esta é calcada também na inspeção de desenhos.

Há que se destacar que a notação original de DH, em tal caso, gera sistemas de

coordenadas locais com origens não coincidentes aos centros articulares. A modificação

imposta no quinto passo do algoritmo supracitado é de fundamental importância, pois é a

ponte para que seja possível a aplicação na formulação mecânica lagrangeana. Esta quinta

transformação faz coincidir os centros articulares definidos pela notação com os centros

articulares do corpo. Ela permite obter matrizes que, mesmo com essa quinta transformação,

ainda possam ser diferenciáveis através da pré-multiplicação da matriz Q, como exposto no

Apêndice C, pela equação C7. Esta derivação em relação ao tempo (diferenciação) possibilita

o conhecimento das velocidades necessárias à formulação Lagrange-Euler.

Outra questão a ser discutida é a das degenerações que ocorrem em modelagem de

cadeias cinemáticas. Como aqui os ângulos a serem aplicados são aqueles que causam os

movimentos do marchar, esta preocupação pôde ser negligenciada. A própria estrutura

músculo-tendão-esqueleto restringe sobremaneira os movimentos em ângulos máximos

expressos na Tabela 1, impedindo situações degenerativas do equacionamento cinemático.

Modelagem Cinética

Os resultados de um equacionamento dinâmico do movimento são diretamente afetados

pela estimativa errônea das propriedades inerciais dos segmentos corporais. Numa

modelagem dinâmica empregando a formulação mecânica lagrangeana, o cálculo das energias

cinéticas é dependente das propriedades inerciais do corpo modelado.

No modelo proposto, um aspecto crítico é a influência da consideração dos segmentos

como sólidos com densidades homogêneas, assumida na modelagem antropométrica. Embora

tal fato conduza a erros na determinação do centro de massa e, consequentemente, acarrete

erros nos cálculos das demais propriedades inerciais de um segmento, ainda assim constitui

uma solução plausível ante a determinação de centros de massa através de equações de

regressão. Mesmo que uma equação de regressão possa conduzir a pequenos erros, haverá

casos em que esta resultará em dados muito piores àqueles obtidos analiticamente com

densidades homogêneas.

Quando se trata de modelar alguém com características antropométricas muito dispersas

da amostra de indivíduos sobre a qual foram obtidas as equações, como é o caso dos lesados

medulares, analiticamente pode-se chegar a resultados que embora tenham um erro intrínseco,

110

fornecem resultados satisfatórios para a proposta deste trabalho, pois o objetivo é obter uma

modelagem para pré-ajustar um sistema de EENM controlado.

O pré-ajuste proporciona um nível maior de conforto ao usuário de um sistema de

EENM, para prover deambulação, evitando fadiga demasiada durante a busca por um “ponto

de ajuste” adequado sobre os parâmetros estimulatórios. Isto implica no modelo ser uma

ferramenta de apoio para proporcionar uma pré-convergência, com valores próximos aos

ótimos de estimulação, sem que o estimulador esteja conectado ao usuário. Considera-se que a

convergência de fato será executada pelo sistema de controle empregado no estimulador

elétrico neuromuscular, quando este estiver conectado ao usuário.

Santa Maria (2001) indica que o erro do modelo de Hanavan beira 10%, e como este

trabalho propõe um refinamento de tal modelo, espera-se com sua aplicação em sistemas de

controle (e subseqüentes testes in-vivo), atingir-se erro percentual inferior aquele.

Outro fator a acarretar erro neste modelo é a consideração das linhas de centro dos

sólidos coincidentes aos eixos longitudinais dos segmentos antropométricos, desprezando-se a

ínfima angulação existente entre eles. Isto ocorre na sobreposição das figuras geométricas

representantes dos pés com os segmentos dos pés.

5.3. Da Avaliação do Modelo

Quanto à modelagem antropométrica, as comparações dos valores de massa, momentos

de inércia ao redor do eixo transversal dos segmentos, e posições dos CGs, são expressas nos

gráficos das Figuras 53 a 55. Neles, são plotados os dados fornecidos por Bjornstrup (1996) e

os obtidos pelo modelo proposto. Bjornstrup compilou dados de modelos antropométricos

tabulando valores mínimos, médios e máximos. Os dados obtidos neste trabalho são

denotados nos gráficos como valores calculados.

Pode-se notar que os valores calculados em todos os segmentos sempre ficaram

ligeiramente acima da média. Porém, os valores dos segmentos do pé ficaram próximos aos

máximos. Entretanto, há que se levar em consideração que os dados tabulados por Bjornstrup

(1996) foram pesquisados sobre modelos cujas amostras continham indivíduos de massas

entre 47,07 kg e 89,15 kg. Embora estejam computados os parâmetros inerciais do tronco no

Anexo I, não foi possível a comparação direta, pelo fato do modelo proposto segmentá-lo.

111

Braç

osAn

tebr

aços

Mão

sCo

xas

Pern

as

Pés

Cabe

çaTr

onco

05

101520253035404550

Mas

sa (k

g)

MínimosMédiosCalculadosMáximos

Figura 53 – Comparativo entre as massas segmentares obtidas neste trabalho (calculadas) e as tabuladas por Bjornstrup (1999), no Anexo I (valores mínimos, médios e máximos).

Braç

osAn

tebr

aços

Mão

s

Coxa

s

Pern

as

Pés

Cabe

ça

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

Mom

ento

s (k

g cm

2)


Figura 54 – Comparativo entre momentos inerciais segmentares obtidos neste trabalho (calculados) e os tabulados por Bjornstrup (1999), no Anexo I (valores mínimos, médios e máximos).

Braç

osAn

tebr

aços

Mão

s

Coxa

s

Pern

as

Pés

Cabe

ça

0

5

10

15

20

25

Pos

ição

dos

CG

s (c

m)


Figura 55 – Comparativo entre as posições dos CGs obtidas neste trabalho (calculadas) e as tabuladas por Bjornstrup (1999), no Anexo I (valores mínimos, médios e máximos).

112

Quanto à parte cinemática da modelagem dinâmica, a pré-multiplicação de cada matriz

de transformação (obtidas por DH) pela origem do sistema de referência global (considerando

nulos todos os ângulos ao redor dos eixos articulares) levou à obtenção dos próprios centros

dos sistemas de coordenadas, exibidos na Tabela 20. Isto forneceu uma prova real da aplicação

do algoritmo de extração automática dos parâmetros de DH.

As coordenadas das origens expressas no eixo Rz denotaram a coerência do algoritmo

desenvolvido para determinação dos centros articulares da cadeia cinemática. Como os dados

da Tabela 20 foram obtidos para o usuário parado na posição ereta, verifica-se que, partindo do

nível do solo num pé (quando o índice é 0 no algoritmo), elevou-se à cota de 0,8768 m, onde

estão situados os centros articulares do quadris, retornando-se ao solo, cota 0 m, no ponto de

contato do calcanhar do outro pé (ao índice 14).

Observa-se que as distâncias, destacadas na Figura 47, são coerentes às calculadas

exibidas na última linha (índice 14) da Tabela 21.

Quanto à parte cinética da modelagem dinâmica, devido ao fato do indivíduo modelado

por Winter (1990) ter características antropométricas diferentes do deste trabalho, os valores

resultantes de torques articulares foram discrepantes. As medidas dos segmentos do sujeito

modelado por Winter eram cerca de 20% inferiores as do modelo deste trabalho e, também

sua massa corporal era menor (56.7 kg). Isto implicou em parâmetros inerciais menores e,

consequentemente, energias potenciais e cinéticas menores, o que diminuiu a amplitude dos

picos nos momentos articulares.

Outro agravante na comparação dos dados é que os cálculos feitos por Winter são

efetuados somente considerando duas dimensões, sendo os momentos calculados sobre a

normal ao plano sagital. A aquisição e análise bidimensional provocam uma distorção nos

ângulos articulares e tamanhos dos segmentos observados, pois ao desprezar a dimensão que

exprime a profundidade e considerar os movimentos apenas no plano sagital, perde-se a

verdadeira grandeza das dimensões envolvidas.

No presente trabalho, a modelagem é tridimensional e muitos dos eixos articulares

deixam de ser normais ao plano sagital (e.g., eixo talocrural). Assim, ao usar dados de uma

cinemetria bidimensional em um modelo tridimensional, empregam-se ângulos calculados

sobre projeções de elos no plano sagital.

Neste trabalho, empregaram-se os comprimentos de elos em seus tamanhos reais e

ângulos obtidos das projeções dos elos, no plano sagital, de outro sujeito com menor tamanho.

Sabendo-se que a ampliação de uma figura geométrica mantém as proporções da figura,

113

devido aos ângulos (entre arestas) permanecerem inalterados, empregou-se uma analogia

deste fato à cadeia cinemática. Considerando haver proporção, em tamanho, entre o sujeito de

Winter e o deste trabalho, os ângulos da marcha de um poderiam ser aplicados ao outro.

Embora houvesse ciência da distorção inerente ao uso dos ângulos das projeções como

sendo os das articulares no espaço, considerou-se que, mesmo sem a contribuição da terceira

dimensão, os ângulos providos por Winter seriam suficientes para exprimir um

comportamento similar na excursão dos gráficos dos momentos articulares.

Também pela indisponibilidade de outras fontes de dados mais coerentes ao modelo

proposto, aliado ao fato de não se ter em mãos um sistema de cinemetria, adotou-se os dados

de Winter (1990) esperando obter, ao mínimo, um comportamento similar dos momentos em

função do ciclo da marcha. O comportamento similar esperado ocorreu, conforme ilustrado no

Capítulo 4 – Resultados – pelas Figuras 51 e 52. Nelas, identificam-se pontos que denotam os

eventos de uma marcha normal, a exemplo da batida do calcanhar, como destacado pelas setas

vermelhas, que produz um momento abruptamente crescente nas articulações, no sentido de

impedir a flexão do joelho e quadril.

Há também discrepância entre os comportamentos das curvas comparativas das Figuras

51 e 52 causada, principalmente, pela desproporcionalidade entre tamanhos dos segmentos

dos indivíduos. Tal desproporção causa, em função dos ângulos praticados, ora antecipação

ora retardo na ocorrência dos eventos no ciclo da marcha do modelo obtido em relação ao

ciclo da marcha do sujeito de Winter. O sujeito do presente estudo possuía maior altura e

segmentos não proporcionalmente maiores aos respectivos segmentos descritos em Winter.

O efeito dessa diferença de tamanhos e proporção é evidenciado nos últimos 0,2 s

(20%) do ciclo da marcha das Figuras 51 e 52. Aclara-se, aí, o discrepante comportamento

ocorrido no ato da retirada da ponta do pé direito do solo, associado à defasagem entre ciclos

comparados, gerada pelo erro cumulativo das diferenças de cada segmento, pois a ponta do pé

direito é a extremidade distal da cadeia iniciada no pé esquerdo.

Como os segmentos são diferentes, da retirada do pé direito (ocorrida aos 0,8 s do ciclo)

até a batida do calcanhar (últimos 0,2 s mais os primeiros 0,35 s do ciclo) o comportamento

dos momentos inerciais do joelho e quadril considerados também difere, visto encontrarem-se

na fase de balanço.

Ainda, para que se pudesse fazer a comparação exibida nas Figuras 51 e 52, houve a

necessidade de desconsiderar o acoplamento dinâmico, para ser compatível com a

metodologia adotada por Winter, que não considera o este acoplamento ao calcular apenas os

114

momentos a partir das forças peso e as aplicadas às extremidades em cada segmento

separadamente, através da abordagem mecânica Neuton-Euler. Uma resposta completa,

considerando todo este acoplamento dinâmico existente, considerando a contribuição de todos

segmentos corporais para o momento articular no joelho e quadril (lado direito) é exibido na

Figura 50, na qual pode-se notar um comportamento similar, porém, com amplitudes maiores.

5.4. Do Modelo Obtido

Um modelo biomecânico adequado às características antropométricas individuais é fator

determinante para uma aplicação bem sucedida no controle de marcha artificial. Ao emprego

que se propõe o modelo obtido, sendo baseado no de Hanavan, representa um ponto de

equilíbrio entre precisão, simplicidade, viabilidade econômica e facilidade de aplicação

clinica.

O modelo proposto, devido à sua concepção geométrica e analítica, tem sua

aplicabilidade clínica altamente dependente da modelagem antropométrica. O número não

elevado de medidas torna sua obtenção pouco demorada, o que não causa fadiga excessiva,

nem demasiada ansiedade do usuário.

Comparativamente ao modelo originalmente proposto por Hanavan (KROEMER et al.,

1988), o número de medidas antropométricas elevou-se de 25 para 46; porém, todas as

medidas são de fácil obtenção, o que estende o tempo de sua aplicação, mas não o bastante

para torná-lo cansativo ao usuário. Destaca-se que o modelo obtido promove a divisão do

tronco inferior, promovendo os movimentos de circundução e rotação do tronco. A não

segmentação do tronco no modelo de Hanavan é uma limitação para seu emprego na

modelagem biomecânica da marcha, conforme destacou Santa Maria (2001), problema

contornado pelo modelo aqui exposto.

Se a cadeia cinemática fosse abstraída do modelo originalmente proposto por Hanavan,

chegar-se-ia a uma modelagem biomecânica que sofreria os efeitos causados pela não

segmentação do tronco, pois um grande deslocamento do seu CG ocorreria sem a articulação

na linha da cintura. Tampouco seria possível a reprodução dos movimentos da pelve,

determinantes da marcha.

Ainda em relação ao modelo originalmente proposto por Hanavan, além da

segmentação do tronco, outro fator de incremento no número requerido de medidas foi o

refinamento provido ao empregar formas geométricas mais correlatas às corporais. Embora

115

não comprovada percentualmente, é de se deduzir que precisão da modelagem obtida seja

menor que a de Hanavan, cujo erro é estimado em 10% (SANTA MARIA, 2001), face à

maior correlação entre formas.

Pois as mãos, originalmente representadas por círculos, foram redefinidas por

elipsóides, melhores representantes das mãos cerradas características dos lesados medulares;

os pés, modelados como sólidos elípticos de diretriz distal elíptica e proximal circular, são

mais coerentes, aproximando-se mais à forma real do segmento corporal do que os troncos de

cones cilíndricos adotados por Hanavan; similarmente, as coxas, com situação inversa das

diretrizes.

Comparativamente ao modelo geométrico de Hatze, de 1980, que possui precisão

estimada em 3% (HATZE, 1998), embora o modelo obtido possa não atingir tão boa marca,

este é clinicamente mais aplicável a aquele, pois o modelo de Hatze requer 242 medidas

antropométricas. Segundo Enoka (2000), tal modelo consome muito tempo para tomada das

medidas, o que causa desconforto ao usuário.

Curiosamente, o hominídeo de Hatze emprega apenas um segmento a mais que o obtido

neste trabalho, mas suas formas diferenciam-se das figuras sólidas geométricas conhecidas,

assemelhando-se a moldes do corpo humano, o que lhe acrescenta uma complexidade

matemática extra.

Ainda que o modelo de Hatze, segundo Enoka (2000), seja capaz de lidar com

mudanças morfológicas do corpo como obesidade e gravidez, e nenhuma consideração seja

feita em relação à simetria do corpo, o elevado número de medidas requeridas pode causar

sobreposição e confusão dos locais a serem medidos dependendo da morfologia do usuário

(SANTA MARIA, 2001). As muitas medidas estão explícitas na Figura 32(B). Uma das

vantagens apresentadas pelo modelo de Hatze é o fato de apresentar as densidades dos

segmentos corporais estimadas por equações de regressão baseadas em dobras cutâneas

(ENOKA, 2000), o que também faz o modelo proposto aqui.

Modelos obtidos por tomografia computadorizada e ressonância magnética são de

execução pouco demorada, porém, são dispendiosos. Outros modelos obtidos de métodos in

vivo, como pesagem hidrostática, pêndulo físico, aceleração segmentar também são caros por

requererem aparatos, além de serem demorados.

Comparando o modelo desenvolvido aos baseados em equações de regressão (obtidas

de cadáveres), aponta-se que estes não levam em consideração o perfil hipertrófico dos

membros superiores e atróficos dos membros inferiores de lesados medulares.

116

Quanto à precisão dos dados dos modelos antropométricos citados na literatura, em

geral, segundo o estudo de Jonic et al. (1999), como já frisado no item 2.2.2, mesmo os mais

sofisticados métodos existentes produzem resultados que podem diferir significativamente.

Quanto ao desenvolvimento matemático realizado, por empregar a abordagem mecânica

de Lagrange, o modelo torna-se aplicável ao tratamento iterativo, apesar de exigir esforço

computacional. Outro ponto favorável ao cálculo recursivo é que as equações de Lagrange são

invariantes por mudança de coordenadas, enquanto as equações dos modelos que empregam a

abordagem baseada em Newton são sensíveis a tal mudança (NIKU, 2000).

5.5. Sugestões para trabalhos futuros

O modelo proposto foi avaliado com dados disponíveis na literatura (WINTER, 1990)

obtidos por cinemetria no plano sagital. Entretanto, a modelagem deste trabalho confere

tratamento tridimensional à locomoção humana.

Os dados angulares adquiridos em três dimensões aplicados ao modelo determinarão,

com maior precisão, os comportamentos dos momentos articulares. Tais dados angulares no

espaço podem ser adquiridos por sistemas de cinemetria tridimensional. Sugere-se como

trabalho futuro, o desenvolvimento do sistema de cinemetria, no qual câmeras de alta

velocidade capturam movimentos e fornecem uma visão, através dos dados posicionais

adquiridos, da progressão da marcha. Aplicando-se marcadores e algoritmos apropriados

(comuns aos sistemas de cinemetria), determinar-se-ia a movimentação dos centros

articulares.

A fim de consolidar o modelo, testes in-vivo devem ser realizados: aquisição

cinemétrica tridimensional de pessoas hígidas para obtenção de um padrão médio de

comportamentos angulares na marcha e medidas de pessoas deficientes para determinação de

suas propriedades antropométricas. Outra sugestão de trabalho é a comparação dos resultados

obtidos sobre dados tridimensionais com aqueles produzidos sobre a mesma entrada de dados

por softwares que estimam os momentos articulares. Como tais softwares empregam a

abordagem Newton-Euler ou a de Kane para determinação dos momentos articulares, o

sistema de cinemetria tridimensional deve estar associado ao uso de plataforma de força.

Outro trabalho pode compor-se de testes do modelo em situações adversas, como a

análise comparativa da marcha entre pessoas obesas e não, crianças e adultos, entre outros,

baseados na criação de um protocolo de testes. Tal estudo fornecerá realimentação de dados

117

que possibilitarão refinar o modelo desenvolvido. Ainda nesse estudo, se for feita ligeira

modificação no modelo, pode-se dissociar sua característica simétrica. Poucas medidas

adicionadas ao modelo permitirão considerar o caso de usuários que sofreram amputação ou

têm membros não simétricos. Na formulação do presente modelo, isso acarreta poucas

modificações, não requerendo desenvolvimento de equacionamento dinâmico extra.

Ainda, tendo-se uma modelagem bem consolidada e dissociada da simetria do corpo,

pode-se pesquisar o desenvolvimento de próteses e órteses, cuja análise de esforços calcular-

se-ia mediante a presente formulação associada ao registro da progressão dos centros

articulares (cinemetria). Na mesma linha de raciocínio, também será possível a otimização de

desempenhos desportivos.

Outra pesquisa de expressiva importância para a continuidade deste trabalho em estudos

clínicos corresponde ao desenvolvimento de uma interface computadorizada para atingir

maior facilidade de aplicação clínica. Isto poderia ser obtido mediante a criação de um

ambiente de software dotado de interfaces intuitivas que orientassem o usuário mediante

campos específicos para entrada de dados, com mapas para a realização das medidas. Dotá-lo

com banco de dados para diferentes usuários facilitaria e flexibilizaria seu emprego, além de

servir como um feedback de dados para posterior análise de refinamento da modelagem.

Como o modelo proposto visa aplicação em controle da deambulação artificial, sugere-

se outro trabalho complementar a este para prover um mapeamento entre duração de pulsos

estimulatórios versus torque articular (ver o esquema na Figura 2). Isto pode ser estudado

mediante a aplicação de estímulos elétricos (neuromusculares) em pacientes sem controle

voluntário da musculatura, medindo-se o torque desenvolvido numa aplicação através de

equipamento adequado (v.g.: dinamômetro isocinético).

Outra sugestão refere-se ao desenvolvimento e/ou sintonia de sistemas de controle da

eletroestimulação empregando a presente formulação, ou seja, sistemas de controle

desenvolvidos com base nas equações apresentadas neste trabalho para aplicação em

deambulação artificial para lesados medulares. Ainda, se o sistema de controle tiver uma

interface computacional, como sugerida anteriormente, os dados antropométricos (medidos)

podem ser alimentados para cálculos dos momentos, que associados a uma função de

mapeamentos destes com larguras de pulsos (também já sugerido), possibilitarão a pré-

sintonia dos padrões de estímulos para prover a marcha artificial a lesados medulares.

Adicionalmente pode ser viável estudar patologias ortopédicas, com o modelo proposto,

para apoiar tomadas de decisões sobre a necessidade de intervenção cirúrgica. Essa

118

intervenção pode ser simulada se houver estudo para dotar o modelo de associação entre

momentos articulares e os necessários esforços musculares. Ao ser provido de modelagem da

estrutura ósteo-muscular e músculo-tendão45, o modelo poderá abranger, também, a

determinação das forças musculares, e onde estas devem ser reaplicadas, por intervenção

cirúrgica tanto na estrutura óssea como nos pontos de inserção da musculatura.

45 Já abordadas no ítem 2.1.2.

6 Conclusões

Visando aliar a realidade antropométrica de pessoas com deficiência à mecânica

muscular, a engenharia biomédica busca o desenvolvimento de sistemas de controle com

respostas seguras na prática da marcha artificial, contribuindo para o desenvolvimento de um

estimulador com ajuste simples e individual, a fim de propiciar uma vida mais independente

aos lesados medulares. Cooperando com essa incessante busca, o trabalho desenvolvido

oferece um modelo biomecânico antropométrico mais coerente à fisiologia daquele

impossibilitado de deambular voluntariamente.

Este trabalho contribui, também, com uma modelagem clinicamente aplicável e com

baixo custo de execução. A aplicabilidade clínica é alcançada na modelagem com um número

de medidas antropométricas total igual a 46. O número de medidas torna o modelo aplicável,

pois a obtenção de tais medidas não é demorada, não causando cansaço ao usuário, nem

demasiada ansiedade.

Uma das preocupações no modelo incidiu sobre a divisão do tronco inferior, limitação

decorrente da não segmentação comentada por Santa Maria (2001). Sabe-se que não havendo

a segmentação ficam, também, limitados os movimentos de circundução e rotação do tronco.

Embora estes movimentos não transpareçam diretamente nos resultados deste trabalho,

denota-se que a segmentação provida no modelo propicia a reprodução dos movimentos de

inclinação e rotação pélvica durante a marcha.

Mesmo não se tendo como objetivo principal a facilitação ao uso da notação de

Denavit-Hartenberg para extração das relações cinemáticas entre os segmentos do corpo

envolvidos na marcha, esta foi uma condição encontrada para que a aliança entre biomecânica

e a robótica fosse alcançada com êxito. O desenvolvimento matemático exposto sob forma de

algoritmo contribui com a própria robótica quando houver a necessidade da extração de

parâmetros para a notação de DH em manipuladores que possuam orientações de eixos

articulares semelhantes aos humanos, isto é, não paralelas, nem perpendiculares.

O uso da abordagem mecânica lagrangeana garante a invariância das equações do

modelo por mudanças de coordenadas (NIKU, 2000), além de permitir que futuros trabalhos

na área de controle da deambulação artificial baseados nos resultados desta pesquisa possam

estar menos restritos ao ambiente laboratorial por não carecer do monitoramento do vetor

120

força de reação do solo através de plataforma de força, durante o caminhar, para cálculo dos

momentos nas articulações envolvidas.

Por empregar Lagrange, cita-se, ainda, que o modelo torna-se muito aplicável ao

tratamento iterativo, apesar do grande esforço computacional exigido, o que não é tomado

como empecilho, posto o custo comparativo de um computador versus uma plataforma de

força, cujo monitoramento e análise de dados também requerem uso do computador.

Em função dos resultados obtidos na avaliação do modelo proposto, considera-se que

ele seja vantajoso para tratar da análise dos torques numa deambulação ou para estimativa

destes na síntese de movimentos, pelo fato da abordagem mecânica empregada dispensar o

uso de plataforma de força, como já citado.

Posto ser o objetivo geral desta pesquisa desenvolver uma modelagem do aparelho

locomotor para aplicações em controle da marcha artificial mediante estimulação elétrica

neuromuscular, a modelagem exposta neste trabalho mostrou-se, na avaliação, adequada ao

proposto, pois constitui uma ponte para aproximar a realidade fisiológica dos lesados

medulares por uma modelagem que emprega medidas da própria pessoa com deficiência e

fornece como resultado os momentos articulares para serem empregados em futuro

desenvolvimento de controladores de estímulos elétricos neuromusculares.

O trabalho apresenta-se inovador por refinar o modelo antropométrico de Hanavan com

a segmentação do tronco, usar formas sólidas mais correlatas às dos segmentos corporais e

estimar densidades dos segmentos através de dobras cutâneas. Ainda, incrementar o modelo

com modelagem dinâmica baseada em conceitos bem estabelecidos da atual ciência robótica,

como a representação de Denavit Hartenberg e a formulação Lagrangeana.

Sobre os apontamentos discorridos, conclui-se que o modelo proposto é adequado ao

que se propõe, atingindo objetivos focados nesta pesquisa e mostrando-se facilitador da

aplicação clínica indicada. As respostas esperadas de possível aplicação futura in vivo

propiciarão incremento no controle artificial da marcha humana, gerando engrandecimento

nos estudos voltados a essa área que objetiva o aumento da qualidade de vida do lesado

medular.

Apêndice A Análise Posicional

Este tomo adicional informa os apontamentos da geometria espacial consideradas no

decorrer desta dissertação. Este apêndice foi escrito baseado nas literaturas: Boulos &

Camargo (1987), Niku (2001) e Fu, Gonzalez e Lee (1987).

A.1. Ponto no Espaço

Um ponto no espaço, ilustrado na Figura A.1, pode ser descrito por:

kjiρρ

zyx cba ++= ˆP .

z

x y

P

axby

cz

Figura A.1 - Representação de um ponto no espaço.

A.2. Vetor no Espaço

Um vetor que comece no ponto A e termine no ponto B pode ser representado por:

( ) ( ) ( )kji ˆˆˆzzyyxx ABABABAB −+−+−= .

Especificamente, se o vetor começar na origem, como ilustra a Figura A.2, então:

kji ˆˆˆzyx cbap ++=

ρ ,

onde ax, by e cz são as componentes cartesianas do vetor sobre o sistema de referência

canônico formado pelos vetores unitários representados por i , j e k .

As três componentes do vetor podem também ser escritas na forma matricial:

122

=

z

y

x

cba

pρ , podendo ser expandido.

Esta representação matricial pode ser ligeiramente modificada para incluir também um

fator de escala w, tal que as componentes em x, y e z sejam divididas pelo escalar w, de modo

a gerar ax, by e cz:

=

wzyx

pρ , onde wxax = ,

wyby = e

wzcz =

z

x y

pρ

axby

cz

BΟ≡A

Figura A.2 - Representação de um vetor no espaço.

A.3. Sistema de Coordenadas com Origem Coincidente à do Sistema de Coordenadas de Referência Fixa

Um sistema de coordenadas centrado na origem do sistema de referência é representado

por três vetores unitários mutuamente perpendiculares entre si (representados na Figura A.3

por nρ, oρ e aρ). Este sistema pode ser representado por três vetores na forma de matriz:

=

zzz

yyy

xxx

aonaonaon

F

123

z

x yn

a

o

Figura A.3 - Representação de um sistema de coordenadas com origem coincidente à do sistema coordenado de referência fixa.

A.4. Sistema de Coordenadas Sobre um Sistema de Coordenadas de Referência Fixa

Se um sistema de coordenadas F não estiver na Origem, então este pode ser expresso

por três vetores formando uma base ortonormal (vetores unitários que ditam as direções do

sistema coordenado) bem como por um quarto vetor pρ que descreve a localização de sua

origem, vide Figura A.4, como a seguir:

=

1000zzzz

yyyy

xxxx

PaonPaonPaon

F

n

z

x y

a

o

Figura A.4 - Representação de um sistema de coordenadas no sistema coordenado de referência fixa.

124

A.5. Corpo Rígido

Um objeto pode ser representado no espaço pela sua ligação a um sistema de

coordenadas, como mostra a Figura A.5. Tal como anteriormente, este sistema de coordenadas

no espaço pode ser representado por uma matriz, tal que a origem e os três vetores

representando a orientação do corpo em relação ao sistema de referência são expressos por:

=

1000zzzz

yyyy

xxxx

corpo PaonPaonPaon

F

n

z

x y

a

o

Figura A.5 - Representação de um objeto no espaço.

A.6. Translação Pura

Se um sistema de coordenadas (que pode também estar representando um objeto) move-

se no espaço sem alterar sua orientação, o movimento é considerado de translação pura. Neste

caso, seus vetores unitários permanecem inalterados, na mesma direção. Então, o que muda é

a posição da origem do sistema transladado em relação à origem do sistema de referência. A

nova localização da origem pode ser encontrada pela adição do vetor que representa a

translação com o vetor representando a localização original do sistema, como representado na

Figura A.6. Na forma matricial, o novo sistema de coordenadas pode ser encontrado pela pré-

multiplicação do sistema em questão com a matriz que representa a translação. Visto que os

vetores direcionais não se alteram na translação pura, a transformação T é expressa por:

125

=

1000100010001

z

y

x

ddd

T

onde dx, dy e dz são as três componentes do vetor de translação pura relativamente aos eixos x,

y e z do sistema de referência. Assim, o novo sistema de coordenadas será dado por:

+++

=

×

=

100010001000100010001

zzzzz

yyyyy

xxxxx

zzzz

yyyy

xxxx

z

y

x

novo dPaondPaondPaon

PaonPaonPaon

ddd

F

Simbolicamente, a operação de translação é escrita como:

( ) antigozyxnovo ddd FF ×= ,,Trans

n

z

x y

a

on

a

od

Figura A.6 - Representação de uma translação pura no espaço.

A.7. Rotação Pura em torno de um Eixo

Para simplificar as derivações das rotações em torno de um eixo, assume-se que o

sistema situa-se na origem do sistema de referência, sendo paralelo a ele. Assume-se que

sistema cartesiano noa (formado pelos vetores nρ, oρ e aρ), com origem coincidente ao sistema

de referência xyz (formado pelos vetores xρ, yρ e zρ), sofrerá uma rotação de um ângulo θ em

torno do eixo de referência x. Assume-se também que um ponto P tem coordenadas Px, Py, Pz,

em relação ao sistema de referência, e coordenadas Pn, Po, Pa, em relação ao sistema móvel.

126

Assim, antes da rotação, as coordenadas de P em ambos os sistemas são as mesmas, como

mostra a Figura A.7(a). Considera-se que, após a rotação, as coordenadas do ponto

permanecem as mesmas em relação ao sistema noa, porém as componentes cartesianas Py e

Pz, do sistema xyz mudam, como ilustra a Figura A.7(b).

z

x y

P

PxPy

Pz n

a

o

z

x y

P

PxPy

Pz

n

a

oθ

θ

(a) antes da rotação (b) depois da rotação

Figura A.7 - Coordenadas de um ponto de uma rotação pura.

Representando-se a rotação em torno do eixo x (também em torno do eixo n) em duas

dimensões, tal como na Figura A.8, como se o sistema estivesse sendo visto de cima do eixo x,

deduz-se que:

nx PP = ,

θθ senPPllP aoy −=−= cos21 , e

θθ cos43 aoz PsenPllP +=+= ,

cuja forma matricial é:

−=

a

o

n

z

y

x

PPP

sensen

PPP

θθθθ

cos0cos0

001,

significando que as coordenadas do ponto (ou vetor) pρ no sistema rotacionado deve ser pré-

multiplicado pela matriz de rotação. Tal matriz de rotação sobre o eixo x é representada

simbolicamente como

noaxyz pxp ρρ×= ),Rot( θ (A1)

127

z

y

PPo

Py

Pa

a

o

Pa

l2l1

l3

l4 Pz

θ

θ

Figura A.8 - Coordenadas de um ponto relativo ao sistema coordenado de referência e a rotação do sistema de coordenadas visto do eixo x.

Para simplificar a escrita da matriz de rotação, costuma-se denotar cosθ por Cθ, e senθ

por Sθ. Assim, tem-se:

−=×

θθθθθ

CSSCpx noa

00

001 ),Rot( ρ .

Aplicando-se os mesmos procedimentos a rotações em torno dos demais eixos, y e z,

chega-se a:

−=×

θθ

θθθ

CS

SCpy noa

0010

0 ),Rot( ρ e

−=×

10000

)Rot(z, θθθθ

θ CSSC

pnoaρ

A eq. A1 pode ser escrita numa forma convencional, que ajuda na identificação da

relação entre diferentes sistemas de coordenadas. Denotando-se a transformação por RU T (lê-

se transformação do sistema de coordenadas R relativo ao sistema de coordenadas U), noapρ

por PR (coordenadas de P relativas ao sistema R) e xyzpρ por PÙ (coordenadas de P relativas

ao sistema U), a eq. A1 pode ser escrita como:

PTP RR

UÙ ×=

128

Como se observa, pelo cancelando dos índices R’s, têm-se as coordenadas do ponto P

em relação a U.

A.8. Transformações Combinadas

Transformações combinadas consistem num número sucessivo de translações e rotações

aplicadas sobre um sistema de coordenadas fixo ou móvel. Qualquer transformação pode ser

resolvida dentro de um conjunto de translações e rotações realizadas numa ordem particular.

Como as transformações são representadas por matrizes, geralmente não hermitianas, a

propriedade comutativa não se aplica, portanto, a alteração da ordem de realização das

transformações produz resultados diferentes.

Apêndice B Análise Cinemática

Na ciência nomeada robótica a notação de Denavit-Hartenberg possui espaço

importante para a modelagem de robôs através de seus graus de liberdade e ângulos a serem

descritos pelas juntas dos braços mecânicos.

B.1. Notação de Denavit-Hartenberg – Equações Cinemáticas Diretas de Robôs

A fim de descrever rotações e translações entre elos adjacentes de uma cadeia

cinemática, Denavit e Hartenberg, em 1955 propuseram um método para sistematicamente

afixar sistemas de coordenadas aos elos e obter como resultado matrizes de transformação

homogêneas 4x4 que relacionam tais sistemas. Este método é descrito a seguir com base nas

literaturas: Fu, Gonzalez e Lee (1987) e Niku (2001).

A Figura B.1 representa três juntas que podem girar e transladar e dois braços

sucessivos.

braçon

braçon+1

zn-1

θn

zn+1zn

z

x y

θn+1

θn+2

αn+1

xn+1an+1

an zn

yn

xn

αnparalelo a zn-1

dn+1

(a)

130

znθn+1

xn+1an+1

dn+1

xn

zn+1zn

xn+1an+1

dn+1

xn

(b) (c)

zn+1zn

xn+1an+1

zn+1 zn

xn+1an+1

(d) (e)

zn+1 zn

xn+1

zn+1, zn

xn+1

(f) (g)

Figura B.1 - Representação na notação de Denavit-Hartenberg de uma combinação braço-junta de propósito geral. Na ilustração (a) θ representa a rotação sobre o eixo z,d é a distância, sobre o eixo z, entre duas normais comuns sucessivas, a é o comprimento de cada normal comum, e α representa o

ângulo entre dois eixos z sucessivos.

Embora tais juntas e braços não necessariamente sejam similares às de um robô real,

elas são muito genéricas, podendo facilmente representar robôs e manipuladores reais.

Associa-se o número n à primeira junta, n+1 à segunda e n+2 à terceira. Em um caso real

131

pode haver outras juntas antes ou depois destas. Cada braço é também assinalado com um

número: o braço n está entre as juntas n e n+1, e o braço n+1 está entre as juntas n+1 e n+2.

Para modelar um robô com a representação de Denavit-Hartenberg, a primeira coisa a se

fazer é assinalar um sistema de coordenadas local para cada junta, com um eixo x e um eixo z.

Normalmente não se assinala o eixo y, posto que ele é mutuamente perpendicular aos eixos x

e z. O procedimento a seguir se aplica a este primeiro passo.

(1) Representar todas as juntas, sem exceção, por um eixo z. Se a junta for rotativa, o eixo z é

traçado na direção da rotação pela regra da mão direita, como mostra a Figura B.2 Se a junta

for prismática, o eixo z deve ser disposto ao longo do deslocamento linear. O índice numérico

do eixo z da junta n será 1−n , e assim indutivamente aos demais eixos. Para juntas rotativas,

o ângulo de giro θ sobre o eixo z será o parâmetro variável. Para as juntas prismáticas, o

parâmetro variável será o deslocamento d ao longo do eixo z.

θi

zi

Figura B.2 - Regra da mão direita.

(2) Assinalar o eixo x do sistema de coordenadas local na direção da normal comum a, que é

uma linha mutuamente perpendicular entre dois eixos z consecutivos (que normalmente são

linhas inclinadas). Assim, se an representar a distância normal comum entre zn-1 e zn, a direção

de xn será a de an. Similarmente, se a normal comum entre zn e zn+1 é an+1, a direção de xn+1

será a de an+1.

Como em geral as juntas não são necessariamente paralelas ou concorrentes, as origens

de dois sistemas de coordenadas consecutivos podem também não estar na mesma

localização. Baseado na informação precedente e à exceção dos seguintes casos especiais

pode-se assinalar sistemas de coordenadas para todas as juntas:

(1) se dois eixos z consecutivos forem paralelos, há um número infinito de linhas normais

comuns entre eles. Então, para simplificar o modelo, utiliza-se a normal comum que seja

colinear à normal comum da junta anterior;

132

(2) se os eixos z de duas juntas sucessivas são concorrentes, não existe uma linha normal

comum entre eles (ou tem comprimento igual à zero). Neste caso, assinala-se o eixo x ao

longo da linha perpendicular ao plano formado pelos dois eixos. Analiticamente, isto

equivale a realizar o produto externo (produto vetorial) entre os vetores pertencentes aos

eixos z.

O segundo passo consiste em seguir os movimentos necessários para transformar um

sistema de coordenadas no próximo. Assumindo-se que se esteja situado no sistema de

coordenadas de referência local xn–zn, proceder-se-á às quatro seguintes moções para obter do

próximo sistema de referência local xn+1–zn+1:

(3) girar um ângulo θn+1 sobre o eixo zn - Figura B.1(a) e (b)- tornando xn paralelo a xn+1. Isto é

possível porque an e an+1 são ambos perpendiculares a zn e a rotação de zn com um ângulo

de θn+1 os torna paralelos (e então co-planares);

(4) transladar, ao longo do eixo zn, uma distância de dn+1 para tornar xn e xn+1 colineares -

Figura B.1(c). Visto que xn e xn+1 já estão paralelos e normais a zn, a movimentação ao

longo de zn irá projetar um sobre o outro’;

(5) transladar, ao longo do eixo xn, uma distância de an+1 para sobrepor as origens de xn e xn+1

- Figura B.1(d) e (e);

(6) girar o eixo zn, sobre o eixo xn+1, de um ângulo de αn+1 para alinhar o eixo zn com zn+1 -

Figura B.1(f). Ao término, os sistemas de coordenadas n e n+1 serão exatamente os

mesmos - Figura B.1(g) - e a transformação do um sistema de coordenadas para o próximo

terá sido realizada.

Procedendo-se com exatamente esta mesma seqüência de quatro movimentos entre

sistemas coordenados consecutivos quaisquer, pode-se realizar a transformação entre

sucessivos sistemas coordenados, num processo iterativo. Assim uma matriz A representando

estes quatro movimentos pode ser obtida pela pós-multiplicação das matrizes de cada

movimento:

133

,

100000000001

100001000010

001

1000100

00100001

100001000000

),(Rot)0,0,(Trans),0,0(Trans),(Rot

11

11

1

1

11

11

1111111

−

×

×

×

−

=

×××==

++

++

+

+

++

++

++++++

nn

nn

n

n

nn

nn

nnnnnnn

CSSC

a

dCSSC

xadz

αααα

θθθθ

αθAT

−

−

=+++

+++++++

+++++++

+

10000 111

1111111

1111111

1nnn

nnnnnnn

nnnnnnn

n dCSSaSCCCSCaSSCSC

ααθαθαθθθαθαθθ

A (B1)

Assim, por exemplo, as transformações de translação e rotação dos sistemas de

coordenadas, entre as juntas 3 e 4, de um robô genérico poderiam ser descritas como:

−

−

==

10000

444

4444444

4444444

443

dCSSaSCCCSCaSSCSC


AT

Desta forma, o total de transformações desde a base (sistema de referência) até a garra

(“mão”), de um robô manipulador genérico46, é expressa como:

nnnB

MR AAAATTTTT ΚΚ 321

14

33

21 == − (B2)

onde n é o número de juntas. Para um robô com m graus de liberdade haverá m matrizes A.

Em aplicações práticas, no intuito de facilitar os cálculos das matrizes A, os parâmetros

das juntas e braços são extraídos de desenhos esquemáticos e então tabelados, para posterior

utilização.

46 No caso da aplicação à deambulação, a base é o pé apoiado e a “garra” é a extremidade do pé oposto, em balanço.

Apêndice C Análise Dinâmica

Este apêndice baseia-se nas literaturas de mecânica clássica, analítica, avançada e

robótica. Salienta-se que o assunto aqui abordado aplica-se apenas a sistemas holônomos47, ou

seja, aqueles caracterizados por ligações (vínculos) holônomas. A característica essencial de

uma ligação holônoma, segundo Fu, Gonzalez e Lee (1987) é a existência de uma ou mais

relações algébricas relacionando o tempo e algumas ou todas as coordenadas espaciais do

sistema. Havendo equações diferenciais de ligação existe a possibilidade da determinação do

movimento dos sistemas holonômos através de processos padronizados, um dos quais exposto

aqui.

C.1. Coordenadas Generalizadas

Para a análise dinâmica de sistemas de segmentos conectados, modelos consistindo de

elementos interconectados de massa, mola, amortecedores e atuadores (causadores de

movimento) são freqüentemente usados. O movimento de tais modelos pode ser determinado

pela definição da história temporal das posições individuais dos segmentos, cujo

comportamento é conseqüência da aplicação de forças motrizes.

É importante perceber que, para ser possível tal descrição, coordenadas são adotadas.

Qualquer conjunto de parâmetros dependentes do tempo que dê uma representação não-

ambígua da configuração do sistema pode servir como sistema de coordenadas. Tais

parâmetros são conhecidos como coordenadas generalizadas. Embora estes sejam empregados

na formulação lagrangeana, como o tratamento mecânico de interesse neste estudo é o de

movimentos rotatórios, a coordenadas genéricas já estão de certa forma instanciadas para o

espaço das juntas (articulações).

C.2. Equações de Lagrange do Movimento

Um descritivo da obtenção das equações pode ser encontrado em livros em dinâmica

clássica avançada, a exemplo de Kibble (1970). Este apêndice restringiu-se a expor a

47 Ou holonômicos.

136

formulação Lagrangeana baseada na abordagem exposta por Niku (2001) e Fu, Gonzalez e

Lee (1987).

A mecânica Lagrangeana baseia-se em duas equações genéricas C2 e C3, uma para

movimentos lineares e, outra para rotacionais, das quais se obtém da definição de

Lagrangeano:

PKL −= , (C1)

onde L é o Lagrangeano, K é a energia cinética do sistema e P é a energia potencial do

sistema. Então,

iii x

LxL

tF

∂∂

−

∂∂

∂∂

=&

(C2)

iii

LLt

Tθθ ∂

∂−

∂∂

∂∂

= & (C3)

onde F é o somatório das i-ésimas forças externas do movimento linear sobre uma junta

prismática i, T é o somatório dos i-ésimos torques (momentos de força) sobre uma junta

rotativa i e, x e θ representam deslocamentos lineares e angulares no sistema,

respectivamente.

Para aplicar a mecânica Lagrangeana é necessário obter as equações de energia para o

sistema e, então, diferenciar o Lagrangeano conforme as equações C2 e C3 acima.

C.2.1. Obtenção de Equações Dinâmicas para um Sistema de Múltiplos Corpos (múltiplos segmentos conectados) pelo Método de Lagrange

Utilizando-se ir para representar um ponto sobre o i-ésimo segmento de uma cadeia

cinemática, relativo ao sistema de coordenada i, é possível expressar sua posição num sistema

de referencial R (numerado como 0), pela pré-multiplicação do vetor (que o descreve no

sistema coordenado i) com a matriz de transformação representando seu sistema de

coordenadas, como mostra a equação C4.

iiiiR

i rTrTp 0== (C4)

A velocidade, iv , do ponto no sistema de referência pode ser obtida pela diferenciação

da equação C4. Como também a velocidade deste ponto é função das velocidades dos ângulos

137

articulares da cadeia, da referência até este ponto, trata-se de uma diferenciação de funções

compostas48. Utilizando-se iq para representar i ângulos49 articulares ( 1θ , 2θ , ..., iθ ) e

usando-se a equação B2 do apêndice B, a velocidade pode ser expressa pela equação C5.

( ) ( ) ( )i

i

j

j

j

ii

i

j

j

j

iiiii dt

dqqdt

dqqdt

ddtd r

AAAAr

TrTpv ∑∑

==

∂∂

=

∂∂

===1

321

1

00 )( Κ

(C5)

Referindo-se à equação B1, do apêndice B, a derivada de uma matriz de transformação

de Denavit-Hartenberg, iA , com relação a variável iθ de uma articulação, é:

−

−

∂∂

=∂∂

10000 iii

iiiiiii

iiiiiii

ii

i

dCSSaSCCCSCaSSCSC


θθA

−

−−−

=

0000000 i

iiiiiii

iiiiiii

SCaSSCSCSaSCCCS

αθαθαθθθαθαθθ

No entanto, esta derivada da matriz pode ser quebrada numa matriz constante e na

própria matriz iA , ou seja,

iii

i AQA

=∂∂

θ ,

que, calculada, equivale a matriz a seguir.

=

−

−−−

0000000 i

iiiiiii

iiiiiii

SCaSSCSCSaSCCCS

αθαθαθθθαθαθθ

48 Procedimento matematicamente conhecido como “regra da cadeia” (SPIEGEL & BASTOS, 1971). 49 Em robótica, normalmente utiliza-se iq , coordenada generalizada que representa tanto ângulos de juntas rotativas quanto deslocamentos de juntas prismáticas (deslizantes). Embora aqui apenas deslocamentos angulares sejam usados, preferiu-se manter a notação genérica.

138

−

−

×

−

=

10000

0000000000010010

iii

iiiiiii

iiiiiii

dCSSaSCCCSCaSSCSC


Logo, deduz-se que:

−

=

0000000000010010

iQ .

Aplicando-se o mesmo princípio de diferenciação à matriz que representa múltiplas

transformações, iT0 , escreve-se a equação C6.

( )ijj

j

ij

j

iij qq

AAQAAAAAAT

U ΚΚΚΚ

2121

0

=∂

∂=

∂∂

= ,para ij ≤ . (C6)

Notar que pelo fato de iT0 ser diferenciada somente para uma variável jq (que

representa jθ ), há somente uma matriz jQ .

Similarmente, é possível formular derivadas de segunda ordem, como se vê em C7.

( )ikkjj

k

ikj

k

ijijk qq

AAQAQAAAAAAAU

U ΚΚΚΚΚΚ

2121 =

∂∂

=∂∂

= . (C7)

Substituindo-se a equação C6 na C5 chega-se a equação C8.

⋅

= ∑

=i

i

j

iiji dt

dq rUv1

(C8)

C.2.1.1. Cálculo da Energia Cinética

A energia cinética de um elemento de massa dm um i-ésimo corpo no espaço é dada

pela equação C9.

iiiii dmzyxdK )(21 222 &&& ++= (C9)

Como iv possui três componentes, ix&, iy&, iz&, reescrevendo-a na forma matricial, tem-

se:

139

[ ]

=

=

2

2

2

iiiii

iiiii

iiiii

iii

i

i

iTii

zyzxzzyyxyzxyxx

zyxzyx

&&&&&&&&&&&&&&&

&&&&&&

vv .

Logo, representada pela equação C10.

( ) 222

2

2

2

traçotraço iii

iiiii

iiiii

iiiiiTii zyx

zyzxzzyyxyzxyxx

&&&&&&&&&&&&&&&&&&

++=

=vv (C10)

Combinando-se as equações C9 e C10 obtém-se a C11.

iT

iii dmdK ]traço[21 vv= (C11)

Pela substituição da C8 na C11, escreve-se a energia cinética de um elemento de massa

como mostra C12.

i

T

i

i

r

riri

i

p

pipi dm

dtdq

dtdq

dK

⋅

⋅

= ∑∑

==

rUrU11

traço21 (C12)

onde p e r representam índices de diferentes articulações. Usar estes índices diferenciados

permite determinar a parcela de contribuição de um movimento articular à velocidade final de

um ponto sobre um segmento i qualquer. Integrando-se a equação C12 e rearranjando seus

termos, chega-se à energia cinética total do corpo, representada pela equação C13.

( )

== ∑ ∑ ∫∫

= =r

i

p

i

rp

Tiri

Tiiipii qqdmdKK &&

1 1traço

21 UrrU (C13)

Sendo os termos i

Tii dm∫ rr representados pela pseudo-matriz de inércia da equação

C14.

( )( )

( )

−++−

++−

=

iiiiiii

iizzyyxxyzxz

iiyzzzyyxxxy

iixzxyzzyyxx

i

mzmymxmzmIIIIIymIIIIIxmIIIII

2/2/

2/

I (C14)

Posto que a matriz é independente dos ângulos e velocidades articulares, ela necessita

ser avaliada somente uma vez. A substituição da equação C14 na C13 leva à forma final para

calcular a energia cinética dos n segmentos interligados através da equação C15.

140

( )

= ∑ ∑∑

= = =r

n

i

i

pp

i

r

Tiriip qqK &&

1 1 1traço

21 UIU (C15)

C.2.1.2. Cálculo da Energia Potencial

A energia potencial de um sistema é a soma das energias potenciais de cada segmento,

sendo escrita como equação C16.

( )[ ]∑=

⋅−=n

iii

TimP

1

0 rTg , (C16)

onde [ ]0zyxT ggg=g é o vetor transposto da gravidade e r é a localização do centro

de massa de um segmento relativo ao sistema de coordenadas representando o segmento.

A energia potencial é uma grandeza escalar, pois é resultado da multiplicação de Tg ,

que é uma matriz (1x4), pelo vetor posição ( )ii rT0 , que é uma matriz (4x1). Notar que, se o

vetor posição depende do sistema referencial coordenado adotado, a energia potencial

também dependerá.

C.2.1.3. Cálculo do Lagrangeano

O Lagrangeano fica, então, sendo escrito como na equação C17.

( ) ( )[ ]∑∑ ∑∑== = =

⋅−−

=−=

n

iii

Tir

n

i

i

pp

i

r

Tiriip mqqPKL

1

0

1 1 1traço

21 rTgUIU && (C17)

A equação do Lagrangeano, acima, pode então ser diferenciada em relação um dado

deslocamento angular k, conforme a equação C3, para formular a equação dinâmica de

movimento da respectiva articulação, através da equação C18.

( ) ( )[ ]−

∂

⋅−−

∂

∂∂

=∑∑ ∑∑

== = =

k

n

iii

Tir

n

i

i

pp

i

r

Tiriip

k q

mqq

tT

&

&&1

0

1 1 1traço

21 rTgUIU

(C18)

( ) ( )[ ]

k

n

iii

Tir

n

i

i

pp

i

r

Tiriip

q

mqq

∂

⋅−−

∂

−∑∑ ∑∑

== = = 1

0

1 1 1traço

21 rTgUIU &&

141

Após resolução e rearranjo, reescreve-se a equação C18 como equação C19.

( ) += ∑ ∑= =

n

j

n

jipj

Tpippji qT

1 ),max(traço &&UIU (C19)

( )∑∑ ∑∑= = ==

−++n

j

n

k

n

pppi

Tpk

n

kjipj

Tpippjk mqq

1 1 1),,max(traço rUgUIU &&

Para simplificar, faz-se uma segmentação através das equações C20, C21 e C22.

( )∑=

=n

jip

TpippjijD

),max(traço UJU , (C20)

( )∑=

=n

kjip

TpippjkijkD

),,max(traço UJU e (C21)

∑=

−=n

pppi

Tpi mD

1rUg . (C22)

Finalmente, substituindo-se C20 a C22 em C19, chega-se a C23.

∑ ∑∑= = =

++=n

j

n

j

n

kikjijkjiji DqqDqDT

1 1 1

&&&& (C23)

Quando os coeficientes i são iguais a j, na primeira parcela da equação C23, ijD

representa os momentos de inércia efetivos na articulação i, cuja aceleração causa um

momento de força iii qD && . Quando os coeficientes i e j são diferentes, ijD representa o

acoplamento de inércia entre as articulações i e j, e, neste caso, uma aceleração na articulação

i (ou j) causa um momento de força na articulação j (ou i) igual a iij qD && (ou jji qD && ). Assim, a

primeira parcela da equação C23 representa os termos inerciais da aceleração angular.

A segunda parcela da equação C23 representa o termo de inércia do atuador.

Quando os coeficientes j são iguais a k, na terceira parcela da equação C23, ela

representa os termos das forças centrípetas atuantes na articulação i, devidos a sua velocidade.

E, quando j difere de k, a terceira parcela representa as forças oriundas das acelerações de

Coriolis.

A quarta parcela da equação C23 representa os termos das forças gravitacionais atuantes

na articulação i.

142

C.3. Transformações de Forças e Momentos entre Sistemas de Coordenadas

Supondo-se que dois sistemas de coordenadas sejam atados a um objeto e, que uma

força e um momento estejam atuando sobre ele, descritos em relação a um dos sistemas

coordenados. O princípio do trabalho virtual pode também ser aplicado para encontrar uma

força e um momento, equivalentes, em relação ao outro sistema de coordenadas, tal que

tenham o mesmo efeito sobre o objeto. Para isto, definem-se os elementos da matriz F como

sendo os momentos e as forças atuantes sobre o objeto, e de D como sendo os movimentos

causados por essas forças e momentos referenciados a um mesmo sistema coordenado:

[ ]zyxzyxT mmmFFF ,,,,,=F ,

[ ]zyxzyxT ddd δδδ ,,,,,=D .

Também é definido FB como sendo as forças e os momentos atuantes sobre o objeto,

em relação ao sistema coordenado B, e DB como sendo os deslocamentos causados por estas

forças e momentos relativos ao mesmo sistema coordenado B:

[ ]zB

yB

xB

zB

yB

xBTB mmmFFF ,,,,,=F ,

[ ]zB

yB

xB

zB

yB

xBTB ddd δδδ ,,,,,=D .

O trabalho virtual, Wδ , realizado pelo objeto, representado em um dos sistemas de

coordenadas, é dado pela equação C24.

DFDF BTBTW ==δ (C24)

O deslocamento descrito relativamente a um sistema de coordenadas ( D ) relaciona-se

ao deslocamento descrito num segundo sistema de coordenadas ( DB ), conforme Niku (2001),

pelo Jacobiano desse segundo sistema coordenado em relação ao primeiro (equação C25).

DJD BB = . (C25)

Substituindo a equação C25 na C24 tem-se a equação C26.

DJFDF BTBT = , ou JFF BTBT = (C26)

143

a qual pode ser rearranjada na forma da equação C27.

FJF BTB= (C27)

Ao invés de se calcular o Jacobiano em relação ao sistema de coordenadas B, outra

forma de encontrar as forças e momentos relativos a esse sistema coordenado, é obtê-los

diretamente pelas equações C28 a C33.

FnFxB

ρρ⋅= (C28)

FoFyB

ρρ⋅= (C29)

FaFzB

ρρ⋅= (C30)

( )[ ]TpFnTxB +×⋅=

ρρρ (C31)

( )[ ]TpFoTyB +×⋅=

ρρρ (C32)

( )[ ]TpFaTzB +×⋅=

ρρρ (C33)

As forças e momentos representados num sistema coordenado, respectivamente Fx, Fy,

Fz e Tx, Ty, Tz, denotados pelo índice B após calculados pelas equações 28 a 33 para um

diferente sistema coordenado (representado pelos versores nρ, oρ e aρ), causam os mesmos

efeitos sobre o objeto.

Apêndice D Perímetro da elipse

No desenvolvimento do modelo proposto fizeram-se necessárias determinações do

perímetro das elipses encontradas nos sólidos representativos do corpo humano a ser

modelado. Este apêndice apresenta a solução adotada.

D.1. Função Ramanujan

Para o cálculo do perímetro da elipse, P, há simples fórmulas que não são exatas, e há

fórmulas exatas, porém, nada simples.

Expressões exatas para o cálculo do perímetro de elipses envolvem séries de potência

infinitas, que requerem enorme esforço computacional. Visando contornar este problema,

muitos matemáticos50 propuseram aproximações. Neste trabalho, preferiu-se adotar a primeira

solução apresentada por Ramanujan em 1914, aqui representada pela equação D1, que

apresenta um bom balanço entre simplicidade computacional e precisão:

( ) ( )( )[ ]bababaP 333 ++−+≈ π (D1)

onde a e b são, respectivamente, os comprimentos dos semi-eixos maior e menor da elipse.

Nesta dissertação, onde se fez necessário determinar um dos semi-eixos da seção

elíptica (dos sólidos geométricos que modelavam os segmentos corporais), quando conhecido

o perímetro e um dos semi-eixos da elipse diretriz (através de medidas antropométricas),

isolou-se um dos semi-eixos da equação E.1, obtendo-se dois possíveis resultados

representados pelas equações D2 e D3.

ππππ

62012343 222 cPcPcP

b−++−

= (D2)

e

ππππ

62012343 222 cPcPcP

b−+++−

−= (D3)

50 Vide http://home.att.net/~numericana/answer/ellipse.htm#elliptic

146

Para que as equações D2 e D3 possam resultar um número real, é necessário satisfazer a

condição estabelecida pela equação D4.

020123 222 ≥−+ ππ cPcP , com 0>c e 0>P (D4)

Resolvendo a inequação D4 pela fórmula de Báscara e impondo-se também as

condições de que c e P sejam maiores que zero (ou seja, possuir alguma dimensão), chega-se

à faixa de valores possíveis de c, como mostra D5.

( )6310

0 +≤<π

Pc (D5)

Considerando-se que a dimensão de P para abranger praticamente qualquer segmento

do modelo modificado de Hanavan, da maioria dos humanos, estaria numa faixa

compreendida entre 5 cm (pés de um nenê, por exemplo) e 200 cm (tronco superior de uma

pessoa muito obesa), foram testados os valores obtidos pelas equações D2 e D3, variando-se c

entre 0 e o valor extremo calculado por D4, chegando-se à conclusão de que somente a

equação D2 é valida para toda a faixa de valores imposta.

No intuito de simplificar e facilitar o cálculo de um dos semi-eixos da elipse, conhecido

o outro, bem como o perímetro, representou-se a equação D2 pela função expressa pela

equação D6.

( )cPRmcPcPcP

b ,6

2012343 222

=−++−

=π

πππ (D6)

Apêndice E Grandezas Inerciais de um Corpo Sólido e Localização do Centro de Massa

Este apêndice é dedicado à descrição da determinação das propriedades inerciais de um

corpo sólido.

E.1. Massa

Do ponto de vista do cálculo infinitesimal (SWOKOWSKI, 1994), para definir

genericamente51 a densidade de massa ( )zyx ,,ρ em torno de um ponto ( )zyxP ,, , como

ilustra a Figura E.1, considera-se uma sub-região kR em forma de caixa que contenha P ,

possua volume kV∆ e massa km∆ . Se a maior diagonal kV∆ da caixa é pequena, espera-se

que kk Vm ∆∆ / seja uma aproximação de ( )zyx ,,ρ . Isto motiva a definição de densidade de

massa dada pela equação E1.

( )k

k

V Vm

zyxk ∆

∆=

→∆ 0lim,,,ρ (E1)

Se o limite da equação E1 existe e 0≈∆ kV , então ( ) kk Vzyxm ∆≈∆ ,,ρ .

Figura E.1 - Um ponto contido em uma caixa infinitesimal.

Sendo conhecida a densidade ( )zyx ,,ρ , procede-se ao cálculo da massa. Se ρ é uma

função contínua e R é uma região conveniente, então considera-se uma partição interior { }R

de R , escolhendo-se um ponto ( )kkk zyx ,, em cada kR , e então forma-se a soma de Riemann

51 Definição aplicável também a sólidos não-homogêneos.

z

x y

P(x,y,z)

Rk

148

( )∑ ∆k kkkk Vzyx ,,ρ . Daí pode-se definir a massa m de R como um limite de tais somas,

como mostra a equação E2.

( )∑ ∆=→∆ k kkkkV

Vzyxmk

,,lim0

ρ (E2)

Aplicando-se, à equação E2, a definição de integral tripla de ( )zyx ,,ρ sobre R , chega-

se a:

∫∫∫=R

dVzyxm ),,(ρ

Sendo a densidade de massa ρ constante por todo o sólido, a massa passará a ser dada

pela equação E3.

∫∫∫=R

dVm ρ (E3)

Conforme demonstrado na literatura de cálculo avançado Kaplan (1964), a integral

tripla de uma função pode ser calculada por meio de integração simples iterada, com limites

apropriados.

E.2. Momentos de Inércia

São definidos, em Beer & Johnston (1980), os momentos de inércia de massa em

relação aos três eixos coordenados como nas equações E4, E5 e E6.

∫∫∫ +=R

xx dVzyI ρ)( 22 , (E4)

∫∫∫ +=R

yy dVzxI ρ)( 22 (E5)

∫∫∫ +=R

zz dVyxI ρ)( 22 (E6)

149

E.3. Produtos de Inércia

Em Beer & Johnston (1980) e Simon (1996) são definidos pelas equações E7 a E9 os

produtos de inércia de um corpo sólido, em relação aos três eixos coordenados:

∫∫∫==R

yxxy dVxyII ρ , (E7)

∫∫∫==R

zyyz dVyzII ρ (E8)

∫∫∫==R

xzzx dVxzII ρ (E9)

E.4. Determinação do Centro de Massa

Por definição, em Swokowski (1994), as coordenadas do centróide de um corpo sólido

são determinadas pelas equações E10 a E12.

∫∫∫=R

dVxm

x ρ1 ,

(E10)

∫∫∫=R

dVym

y ρ1

(E11)

∫∫∫=R

dVzm

z ρ1

(E12)

Apêndice F Complemento para rotação da pseudo-matriz de inércia

A fim de esclarecer a aplicação das rotações de momentos e produtos de inércia dos

segmentos sólidos feita nesta dissertação, este apêndice traz os apontamentos teóricos

considerados para se chegar à rotação realizável sobre um sistema de coordenadas.

Determinação do momento de inércia de um corpo em relação a um eixo arbitrário

passando por um ponto O

O momento de inércia de um corpo pode ser determinado em relação a um eixo

arbitrário OL através da origem, conforme ilustra a Figura F.1.

Figura F.1 - Representação do eixo arbitrário para cálculo das propriedades inerciais.

O momento de inércia de um corpo em relação à OL é representado em Beer &

Johnston (1990) pela integral da equação F1

∫=V

2 dmpIOL , (F1)

a qual pode ser reescrita pela equação F2.

∫∫∫=R

OL dVpI 2ρ , (F2)

sendo que p representa a distância do elemento de massa (reescrito como o produto da

densidade de massa por um volume infinitesimal) ao eixo OL.

Entretanto, sendo λρ

um vetor diretor unitário de OL e rρ o vetor posição (não nulo) do

elemento dm, a distância p pode ser expressa pela norma do produto vetorial rρρ

×λ , conforme

Boulos & Camargo (1987).

152

rp ρρ×= λ

Pela definição de produto vetorial tem-se que,

( ) ( ) ( )kxyjzxiyzzyx

kjir yxxzzyzyx

ρρρ

ρρρ

ρρλλλλλλλλλλ −+−+−==× ,

onde xλ , yλ , zλ e x, y e z são, respectivamente, as componentes cartesianas (em Oxyz) de λρ

e rρ. E, iρ

, jρ

e kρ

são versores que formam a base ortonormal do sistema de coordenadas

Oxyz.

Aplica-se ao produto vetorial a definição de norma de um vetor:

( ) ( ) ( )222 xyzxyzr yxxzzy λλλλλλλ −+−+−=×ρρ

Logo, tem-se a equação F3.

( ) ( ) ( )2222 xyzxyzp yxxzzy λλλλλλ −+−+−= (F3)

Substituindo-se a equação F3 na F1, exprime-se OLI em termos das componentes

cartesianas, através da equação F4.

( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ −+−+−==R

yxxzzyR

OL dVxyzxyzdVpI 2222 λλλλλλρρ (F4)

Desenvolvendo os quadrados na relação obtida em F4 e rearranjando os termos,

escreve-se a equação F5.

( ) ( ) ( )

∫∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫∫−−−

−+++++=

Ryx

Rzy

Ryx

Rz

Ry

RxOL

dVzxdVyzdVxy

dVyxdVxzdVzyI

ρλλρλλρλλ

ρλρλρλ

222

222222222

(F5)

Substituindo-se as equações E4 a E9, do apêndice E, nos termos da F5, chega-se

finalmente à equação F6.

zxyxyzzyxyyxzzzyyyxxxOL IIIIIII λλλλλλλλλ 222222 −−−++= . (F6)

153

F.1. Propriedades Inerciais de um Corpo em relação a um Sistema de Eixos Coordenados Rotacionados Relativamente ao Sistema de Coordenadas Formado pelos Eixos Principais de Inércia do Corpo

Sendo Oxyz e Omno dois sistemas de coordenadas formados por bases ortonormais

pertencentes a V3 e com origens coincidentes, considera-se haver uma rotação do sistema

Omno em relação ao sistema de base fixada, Oxyz, como ilustra a Figura F.2.

Figura F.2 - Sistema Omno rotacionado em relação ao Oxyz.

F.2. Cálculo dos Momentos de Inércia em Relação a Omno

Sejam iρ

, jρ

e kρ

os versores52 de Oxyz; x , y e z as coordenadas de dm no sistema

Oxyz; uρ, vρ e wρ os versores de Omno; xu , yu e zu as componentes cartesianas (no sistema

Oxyz)de uρ; xv , yv e zv as componentes cartesianas (no sistema Oxyz)de vρ; xw , yw e zw as

componentes cartesianas (no sistema Oxyz) de wρ . Exprimem-se, em Oxyz, as distâncias

quadráticas do elemento de massa aos eixos Om, On e Oo, respectivamente, 2ud , 2

vd e 2wd ,

pelas equações F7 a F9.

( ) ( ) ( )22222 xuyuzuxuyuzurud yxxzzyu −+−+−=×=ρρ , (F7)

( ) ( ) ( )22222 xvyvzvxvyvzvrvd yxxzzyv −+−+−=×=ρρ (F8)

52 Vetores unitários formadores de uma base ortonormal.

154

( ) ( ) ( )22222 xwywzvxwywzwrwd yxxzzyw −+−+−=×=ρρ (F9)

Logo, aplicando-se as distâncias quadráticas obtidas nas equações F7 a F9 em

substituição a 2p em F2, num processo análogo à dedução de F5, chega-se às respectivas

expressões dos momentos de inércia do corpo, relação ao sistema coordenado rotacionado

Omno, em função de Oxyz, como mostram as equações F10 a F12.

zxxzyzzyxyyxzzzyyyxxxmm IuuIuuIuuIuIuIuI 222222 −−−++=

(F10)

zxxzyzzyxyyxzzzyyyxxxnn IvvIvvIvvIvIvIvI 222222 −−−++=

(F11)

zxxzyzzyxyyxzzzyyyxxxoo IwwIwwIwwIwIwIwI 222222 −−−++=

(F12)

Vale lembrar que pelo fato de uρ, vρ e wρ serem vetores unitários, suas componentes

cartesianas assumem os valores de seus co-senos diretores.

F.3. Cálculo dos Produtos de Inércia em Relação a Omno

Sejam u , v e w as coordenadas de dm no sistema Omno.

Conforme ilustra a Figura F.3, o vetor rρ pode ser decomposto em duas componentes,

sendo ⊥rρ perpendicular a uρ e, urρ paralela a uρ:

Figura F.3 - Projeção de rρ sobre uρ

.

Se urρ é paralelo a uρ, existe um número real ℜ∈m tal que umru

ρρ= , donde

⊥+= rumr ρρρ .

155

Multiplicando-se escalarmente por uρ, obtém-se ( ) uruumur ρρρρρρ⋅+⋅=⋅ ⊥ .

Pela aplicação da definição de produto escalar:

2oo 90cos0cos uuuruumur ρρρρρρϖ =+=⋅ ⊥ .

Porém, como 1=uρ , resulta que mur =⋅ρρ .

De maneira análoga, existem números reais v e w tais que:

vrn ρρ⋅= e wro ρρ

⋅= .

Desenvolvendo-se os produtos escalares tem-se:

zyx uzuyuxurm ++=⋅=ρρ ,

zyx vzvyvxvrn ++=⋅=ρρ

e

zyx wzwywxwro ++=⋅=ρρ

.

Donde se determinam os produtos expressos nas equações F13 a F15.

zxvuvuzyvuvu

yxvuvuzvuyvuxvunm

xzzxyzzy

xyyxzzyyxx

)()(

)(222

++++

+++++=

(F13)

zxwvwvzywvwv

yxwvwvzwvywvxwvon

xzzxyzzy

xyyxzzyyxx

)()(

)(222

++++

+++++=

(F14)

zxwuwuzywuwu

yxwuwuzwuywuxwumo

xzzxyzzy

xyyxzzyyxx

)()(

)(222

++++

+++++=

(F15)

Reescrevendo-se as equações E7 a E9, dadas no apêndice E, para as coordenadas de dm

no sistema Omno, se obtém as equações F16 a F18.

∫∫∫==R

nmmn dVnmII ρ

(F16)

156

∫∫∫==R

onno dVonII ρ

(F17)

∫∫∫==R

moom dVmoII ρ

(F18)

Substituindo-se as equações F13, F14 e F15 nas F16, F17 e F18, respectivamente,

resultam finalmente as equações F19 a F21.

∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫ +++

++++++==

R Rzz

Ryyxx

zxxzzxyzyzzyxyxyyxnmmn

dVzvudVyvudVxvu

IvuvuIvuvuIvuvuII222

)()()(

ρρρ

(F19)

∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫ +++

++++++==

R Rzz

Ryyxx

zxxzzxyzyzzyxyxyyxonno

dVzwvdVywvdVxwv

IwvwvIwvwvIwvwvII222

)()()(

ρρρ

(F20)

∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫ +++

++++++==

R Rzz

Ryyxx

zxxzzxyzyzzyxyxyyxmoom

dVzwudVywudVxwu

IwuwuIwuwuIwuwuII222

)()()(

ρρρ

(F21)

Apêndice G

Este apêndice expõe todo o equacionamento desenvolvido ao longo deste trabalho, na

formatação gerada pelo próprio software de auxilio matemático, Mathemática.

158

Declaração de função para cálculo do semi eixo de uma elipse, usando da equação de Ramanujan (apêndice B):

Declaração de funções para executar rotações em torno dos eixos coordenados :

Declaração de função para inversão rápida de matrizes 4x4[vide NIKU p.51]:

Dados pessoais (peso em kg, idade em anos, estatura em metros):

Medidas da cabeça [em metros]:

Medidas do tronco superior [em metros]:

Medidas do tronco médio [em metros]:

Medidas do tronco inferior [em metros]:

159

Medidas dos braços [em metros]:

Medidas dos antebraços [em metros]:

Medidas das mãos [em metros]:

Medidas das coxas [em metros]:

Medidas das pernas [em metros]:

Medidas do pé [em metros]:

Medidas complementares no pé [em metros]:

Dintância entre saliências dos quadris [em metros]:

160

Parâmetros da cabeça:

Parâmetros do tronco superior:

Parâmetros do tronco médio:

Parâmetros do tronco inferior:

Parâmetros dos braços:

Parâmetros dos antebraços:

Parâmetros das mãos:

161

Parâmetros das coxas:

Parâmetros das pernas:

Parâmetros do pé:

Posição do centro articular do tornozelo em relação ao sistema de coordenadas local do pé, com referência em P2:

162

Coordenadas das origens (no sistema de referência) e orientação versores dos eixos z dos sistemas coordenados

afixados aos segmentos:

Observar que as rotações se dão em relação aos eixos de referência (matrizes de transformação pré-multiplicadas).

Assume-se que os eixos articulares dos joelhos sejam paralelos ao plano coronal. Considerou-se estarem alinhados os

centros articulares dos quadris, joelhos e tornozelos. Conhecidas as distâncias entre os pés, os tamanhos dos

segmentos e posições dos centros articulares, e sabendo-se que formam uma cadeia cinemática fechada (ambos os pés

estão ao solo), percebe-se que o ângulo da reta passante por estes três centros articulares é, por vezes, ligeiramente

diferente do denotado por Kapandji. Novamente considerando a simetria do corpo humano, em relação ao plano

sagital, tal ângulo de giro ao redor do eixo OxR pôde ser obtido por:

164

Declaração de função para notação de DH:

Notar que, na formulação iterativa para obtenção das matrizes de transformação de D-H modificadas, não está

contemplada pela intrução condicional (Se...então) a situação em que e são coincidentes (paralelos e

intersectantes) :

165

Exibição da tabela contendo os parâmetros para a notação modificada (incluindo translação) e Denavit-Hartenberg:

Tabela para conferência das origens dos sistemas coordenados, calculados para os ângulos Θ definidos acima da

tabela (se zerados, obtém-se as origens). :

166

Dobras cutâneas (em milimetros):

Somatório das dobras 4 cutâneas (em milimetros):

Densidade corporal média [1 g/ml = 1 kg/l = 1000 kg/m³ ], conforme a equação de regressão proposta por Petroski

[1995]:

Determinação das densidades de massa dos segmentos dos membros superiores [convertido de g/l em kg/gm³],

conforme gráfico em Winter [1990]:

Determinação das densidades de massa dos segmentos dos membros inferiores [convertido de g/l em kg/cm³],

conforme gráfico em Winter [1990]:

167

********************************************************************************************************************************************** PARA EVITAR PROBLEMAS RELACIONADOS AO USO DA LETRA I, QUE PODE SER INTERPRETADA PELO MATHEMATICA COMO INDICATIVO DE NÚMERO IMAGINÁRIO, SUBSTITUIU-SE ESTA PELA LETRA Y. **********************************************************************************************************************************************

Grandezas inerciais dos sólidos represntantesdos braços (em relação ao centro do sólido).

Grandezas inerciais dos sólidos represntantes dos antebraços (em relação ao centro do sólido):

168

Grandezas inerciais dos sólidos represntantes das mãos (em relação ao centro do sólido):

Grandezas inerciais dos sólidos representantes das coxas (em relação ao centro do sólido):

169

Grandezas inerciais das pernas (em relação ao centro do sólido):

Grandezas inerciais dos pés (em relação ao centro do sólido):

170

Densidades dos segmentos do busto e pelve são iguais [em kg/cm³]:

Massas dos segmentos do busto [em g] em função da densidade do busto [em g/cm³]:

O torso é composto pela massa da cabeça + massa dos troncos superior, médio e inferior + massa dos pescoço. A

massa do pescoço é "diluída" nos segmentos do busto.

A massa do busto pode ser determinada pela dedução das demais massas da massa corporal total do corpo.

Determinação da densidade do busto e repasse do valor aos segmentos do busto [em kg/m³]:

Grandezas inerciais da cabeça (em relação ao centro do sólido):

Grandezas inerciais do tronco superior (em relação ao centro do sólido):

171

Grandezas inerciais do tronco médio (em relação ao centro do sólido):

Grandezas inerciais do tronco inferior (em relação ao centro do sólido):

Geração das matrizes inversas de Denavit-Hartenberg para a posição inicial (t=0s):

Aceleração da gravidade [m/ ], expressa no sistema de referência global:

Centros de gravidade dos segmentos dos membros inferiores, em relação às dimensões de seus sólidos representantes:

172

Orientações dos eixos principais de inércia do sólido representante do pé direito, no sistema de referência global:

Determinação da posição do CG do sólido do pé direito (extendida para matriz 1x4) em relação ao sistema Oxyz2:

Projeções dos versores do sistema coordenado 2 sobre os versores representantes dos eixos principais de inércia do

sólido do pé direito:

Momentos inerciais nos eixos principais de inércia do sólido do pé direito rotacionados para serem reprensentados

nas direções dos versores do sistema coordenado 2:

173

Produtos inerciais nos eixos principais de inércia do sólido do pé direito rotacionados para serem reprensentados em

relação aos versores do sistema coordenado 2. As triplas integrais de x², y² e z² das equações F19 a F21 do apêndice F

estão préviamente calculadas em "_Sólido Elíptico.nb" e "_Sólido Elíptico - derivado [PÉS=topo circular].nb".

174

Orientações dos eixos principais de inércia do sólido representante da perna direita, no sistema de referência:

Determinação da posição do CG do sólido da perna direita (extendida para matriz 1x4) em relação ao sistema Oxyz3:


sólido da perna direita:

Momentos inerciais dos eixos principais de inércia do sólido da perna direita rotacionados para serem reprensentados


Para simples conferência:

175

Produtos inerciais nos eixos principais de inércia do sólido da perna direita rotacionados para serem reprensentados

em relação aos versores do sistema coordenado 3. As triplas integrais de x², y² e z² das equações F19 a F21 do

apêndice F estão préviamente calculadas em "_Sólido Elíptico.nb" e "_Tronco de cone cilíndrico - derivado .nb".

Orientações dos eixos principais de inércia do sólido representante da coxa direita, no sistema de referência:

Determinação da posição do CG do sólido da coxa direita (extendida para matriz 1x4) em relação ao sistema Oxyz5:

176


sólido da coxa direita:

Momentos inerciais dos eixos principais de inércia do sólido da coxa direita rotacionados para serem reprensentados



177

Produtos inerciais nos eixos principais de inércia do sólido da coxa direita rotacionados para serem reprensentados


apêndice F estão préviamente calculadas em "_Sólido Elíptico.nb" e "_Sólido Elíptico - derivado [COXAS=base

circular].nb".

Orientações dos eixos principais de inércia do sólido representante da coxa esquerda, no sistema de referência 11:

178

Determinação da posição do CG do sólido da coxa esquerda (extendida para matriz 1x4) em relação ao sistema

Oxy11:


sólido da coxa esquerda:

Momentos inerciais dos eixos principais de inércia do sólido da coxa esquerda rotacionados para serem

reprensentados nas direções dos versores do sistema coordenado 11:


179

Produtos inerciais nos eixos principais de inércia do sólido da coxa esquerda rotacionados para serem reprensentados


apêndice F estão préviamente calculadas em "_Sólido Elíptico.nb" e "_Sólido Elíptico - derivado [COXAS=base

circular].nb".

Orientações dos eixos principais de inércia do sólido representante da perna esquerda, no sistema de referência:

180

Determinação da posição do CG do sólido da perna esquerda (extendida para matriz 1x4) em relação ao sistema

Oxyz13:


sólido da perna esquerda:

Momentos inerciais dos eixos principais de inércia do sólido da perna esquerda rotacionados para serem



181

Produtos inerciais nos eixos principais de inércia do sólido da perna esquerda rotacionados para serem

reprensentados em relação aos versores do sistema coordenado 13. As triplas integrais de x², y² e z² das equações F19

a F21 do apêndice F estão préviamente calculadas em "_Sólido Elíptico.nb" e "_Tronco de cone cilíndrico - derivado

.nb".

Orientações dos eixos principais de inércia do sólido representante do pé esquerdo, no sistema de referência:

Determinação da posição do CG do sólido do pé esquerdo (extendida para matriz 1x4) em relação ao sistema Oxyz14:

182


sólido do pé esquerdo:

Momentos inerciais nos eixos principais de inércia do sólido do pé esquerdo rotacionados para serem reprensentados



183

Produtos inerciais nos eixos principais de inércia do sólido do pé esquerdo rotacionados para serem reprensentados


apêndice F estão préviamente calculadas em "_Sólido Elíptico.nb" e "_Sólido Elíptico - derivado [PÉS=topo

circular].nb".

184

Orientações dos eixos principais de inércia do sólido representante do tronco inferior, no sistema de referência global:

Centros de gravidade do segmento correspondente à pelve, em relação às dimensões de seu sólido representante:

Determinação da posição do CG do sólido do tronco inferior (extendida para matriz 1x4) em relação ao sistema

Oxyz8:


sólido do tronco inferior:

Momentos inerciais dos eixos principais de inércia do sólido do tronco inferior rotacionados para serem



185

Produtos inerciais nos eixos principais de inércia do sólido do tronco inferior rotacionados para serem reprensentados


apêndice F estão préviamente calculadas em "_Sólido Elíptico.nb" e "_Cilindro Elíptico - derivado.nb".

Posições dos CGs dos segmentos dos membros inferiores, em relação aos seus sistemas coordenados:

186

Massas representadas por índices:

Pseudo-tensores de inércia:

187

Centros de gravidade dos segmentos do torso e dos membros superiores, em relação às dimensões de seus sólidos

representantes:

188

Origens, no sistema de referência, relacionadas ao macro segmento formado pela união dos segmentos dos membros

superiores, tronco médio, tronco superior e cabeça (indicadas por BP, de "busto parcial" + membros). Observar que

pela figura 33 da dissertação, a cota é a própria altura do paciente.

Notar que, na formulação iterativa para obtenção das matrizes de transformação de D-H modificadas, não está

contemplada pela intrução condicional (Se...então) a situação em que e são coincidentes (paralelos e

intersectantes), pois a mesma não ocorre aqui :

Exibição da tabela contendo os parâmetros para a notação modificada (incluindo translação) e Denavit-Hartenberg:

189

Para ângulos θ zerados, obtém-se as origens:

Tabela para conferência das origens dos sistemas coordenados, calculados para os ângulos Θ definidos acima:

Geração das matrizes inversas de Denavit-Hartenberg relacionadas ao segmento BP, para a posição inicial (t=0s):

Massa (em kg) do BP:

Cálculo da altura entre o nível do acrômio e o nível inferior ao queixo (altura do pescoço).

Centro de massa do sólido BP, calculado pelos CGs dos segmentos componentes (determinado em relação ao nível do

topo da cabeça, em m). Obs: dada a simetria considerada para o corpo, dispensam-se os cálculos para direções y e z

do sólido.

190

Centro de massa do segmento BP expresso em relação ao sistema coordenado :

Posições dos CG dos segmentos componentes do BP, em relação ao CG do BP, expressos no sistema coordenado .

Dada a simetria, calculam-se apenas para segmentos de um lado:

Momentos inerciais nos eixos principais de BP (no sistema de coordenadas ), obtidos pela translação dos

momentos dos segmentos componentes (aplicação do teorema de Steiner; Beer, 1980).

Produtos inerciais nos eixos principais de BP (sistema de coordenadas ). Aplicar o teorema de Stainer (Beer,

1980) é dispensável dada a simetria de BP.

Posições dos CGs dos segmentos expressos em relação aos seus sistemas coordenados:

Massas representadas por índices:

191

Pseudo-tensores de inércia associados a BP:

Matrix de pré-multiplicação para obtenção de derivadas:

Número de segmentos:

Carga dos valores angulares do ficheiro:

Valores inicias para ajustar posição angular relativa. O pé está ao solo quando sua velocidade linear é 0. Isto ocorrreu

no quadro 40 dos dados em Winter [1990]. O zero da articulação do tornozelo na cadeia cinemética de D-H foi

definido quando a perna está (no plano sagital) a 90° com a horizontal. Idem para a articulação do joelho em relação à

coxa. Idem articulação do quadril e BP (1/2 de HAT no livro do Winter):

Posições das colunas de valores, no ficheiro de dados (t=tornozelo, j=joelho, q=quadril, p=pé):

192

Torques Articulares:

Anexo I Dados Antropométricos Tabulados por Bjornstrup (1996)

Tabela 22 - Sumário das massas dos segmentos do corpo.

MASSAS

Segmentos

Mínima

(em kg)

Média

(em kg)

Máxima

(em kg)

Desvio padrão

(em kg)

Corpo inteiro 47,087000 70,808000 89,150000 9,718000

Braços 1,123000 1,979000 2,580000 0,392000

Antebraços 0,703000 1,160000 1,700000 0,192000

Mãos 0,295000 0,441000 0,670000 0,075000

Coxas 3,385000 9,187000 9,899000 2,303000

Pernas (canelas) 1,811000 3,075000 3,899000 0,485000

Pés 0,655000 0,981000 1,209000 0,142000

Cabeça 3,358000 4,894000 5,350000 0,484000

Soma dos troncos 19,847000 31,738000 46,182000 5,334000

Tabela 23 - Sumário das distâncias dos CM dos segmentos do corpo às suas extremidades proximais.

DISTÂNCIAS DOS CENTROS DE MASSA

Segmentos

Mínima

(em cm)

Média

(em cm)

Máxima

(em cm)

Desvio padrão

(em cm)

Braços 13,4 19,7 20,3 2,8

Antebraços 8,1 10,9 12,2 1,0

Mãos 5,7 6,7 6,8 0,5

Coxas 13,7 15,5 19,0 1,6

Pernas (canelas) 12,9 16,0 19,3 1,5

Pés 9,3 11,2 11,6 0,7

Cabeça 9,4 10,9 12,6 0,8

Soma dos troncos 19,8 27,7 45,1 8,6

196

Tabela 24 - Sumário dos momentos de inércia dos segmentos do corpo, ao redor do eixo transversal.

MOMENTOS DE INÉRCIA

Segmentos

Mínima

(kg cm²)

Média

(kg cm²)

Máxima

(kg cm²)

Desvio padrão

(kg cm²)

Braços 99 135,2 172 19,9

Antebraços 45 63,8 94 16,0

Mãos 4 5,9 9 1,,8

Coxas 839 1235,7 1731 313,8

Pernas (canelas) 286 448,1 597 98,4

Pés 20 30,4 45 7,0

Cabeça 108 163,8 207 34,5

Soma dos troncos 6635 10876,2 18053 4004,6

Anexo II Dados dinâmicos da marcha, obtidos por cinemetria, tabulados em Winter (1990)

Os dados do quadro abaixo quantificam os parâmetros cinemáticos da marcha,

descrevendo o comportamento articular do pé, tornozelo, joelho e quadril direitos: ângulos,

bem como velocidades e acelerações angulares envolvidas.

Tabela 25 – Dados obtidos através cinemetria tabulados por Winter (1990).

Quadro t (s) θpé

( graus ) θ'pé

( rad/s ) θ''pé

( rad/s² ) θtornozelo

( graus ) θ'tornozelo

( rad/s ) θ''tornozelo

( rad/s² )

1 0 85,6 -5,01 118,27 -15,2 -2,29 94,89 2 0,014 82,2 -3,11 138,72 -16,4 -0,82 98,72 3 0,029 80,5 -1,04 142,01 -16,5 0,54 84,63 4 0,043 80,5 0,96 132,71 -15,6 1,6 63,13 5 0,057 82,1 2,75 115,36 -13,9 2,34 41,31 6 0,072 85 4,25 93,06 -11,7 2,78 20,1 7 0,086 89,1 5,41 68,58 -9,3 2,92 -0,74 8 0,1 93,9 6,22 44,92 -6,9 2,76 -18,7 9 0,114 99,2 6,7 25,05 -4,8 2,38 -30,23 10 0,129 104,9 6,93 10,88 -3 1,9 -34,13 11 0,143 110,6 7,01 2,33 -1,7 1,41 -32,12 12 0,157 116,3 7 -2,26 -0,7 0,98 -26,84 13 0,172 122,1 6,94 -4,67 -0,1 0,64 -20,23 14 0,186 127,7 6,87 -5,67 0,3 0,4 -13,59 15 0,2 133,3 6,78 -5,01 0,6 0,25 -8,03 16 0,215 138,8 6,72 -3,24 0,7 0,17 -3,87 17 0,229 144,3 6,69 -3,16 0,9 0,14 -0,56 18 0,243 149,8 6,63 -8,11 1 0,15 2,33 19 0,257 155,2 6,46 -19,17 1,1 0,21 4,6 20 0,272 160,4 6,08 -34,96 1,3 0,29 5,47 21 0,286 165,2 5,46 -53,64 1,6 0,36 3,83 22 0,3 169,3 4,55 -73,48 1,9 0,4 -0,84 23 0,315 172,6 3,36 -91,19 2,2 0,34 -8,36 24 0,329 174,8 1,94 -102,29 2,5 0,16 -19,22 25 0,343 175,8 0,43 -104,08 2,5 -0,21 -33,28 26 0,357 175,5 -1,03 -97,5 2,1 -0,79 -46,39 27 0,372 174,1 -2,36 -85,55 1,2 -1,54 -50,65 28 0,386 171,7 -3,48 -68,8 -0,4 -2,24 -38,3 29 0,4 168,4 -4,32 -43,96 -2,5 -2,63 -7,99 30 0,415 164,6 -4,74 -10,5 -4,7 -2,47 30,12 31 0,429 160,6 -4,63 24,51 -6,5 -1,77 59,6 32 0,443 157 -4,04 52,05 -7,6 -0,77 70,7 33 0,458 154 -3,14 67,24 -7,8 0,25 64,54 34 0,472 151,9 -2,11 68,18 -7,2 1,08 46,87 35 0,486 150,6 -1,19 55,74 -6 1,59 24,33 36 0,5 149,9 -0,52 35,86 -4,6 1,77 4,14 37 0,515 149,7 -0,16 17,08 -3,1 1,71 -8,73

198

38 0,529 149,7 -0,03 4,56 -1,8 1,52 -13,85 39 0,543 149,7 -0,03 -1,79 -0,6 1,31 -13,32 40 0,558 149,6 -0,08 -4,87 0,4 1,14 -9,71 41 0,572 149,5 -0,17 -7,39 1,2 1,04 -6,42 42 0,586 149,3 -0,29 -10,28 2,1 0,96 -6,79 43 0,601 149 -0,46 -12,53 2,8 0,84 -10,34 44 0,615 148,6 -0,65 -12,14 3,4 0,66 -12,36 45 0,629 148 -0,81 -8,07 3,9 0,49 -9,52 46 0,643 147,2 -0,88 -1,88 4,2 0,39 -3,26 47 0,658 146,5 -0,86 3,55 4,6 0,4 3,33 48 0,672 145,8 -0,78 6,31 4,9 0,49 7,14 49 0,686 145,2 -0,68 5,5 5,3 0,6 4,92 50 0,701 144,7 -0,62 1,74 5,9 0,63 -3,15 51 0,715 144,2 -0,63 -2,68 6,4 0,51 -11,5 52 0,729 143,7 -0,7 -5,69 6,7 0,3 -14,34 53 0,744 143,1 -0,8 -7,38 6,9 0,1 -10,68 54 0,758 142,4 -0,91 -10,45 6,9 -0,01 -4,17 55 0,772 141,6 -1,1 -17,81 6,9 -0,02 0 56 0,786 140,6 -1,42 -28,5 6,8 -0,01 -1,14 57 0,801 139,2 -1,91 -38,25 6,8 -0,05 -7,42 58 0,815 137,4 -2,52 -45,01 6,8 -0,22 -17,46 59 0,829 135,1 -3,2 -49,94 6,5 -0,55 -28,75 60 0,844 132,2 -3,94 -52,91 5,9 -1,04 -37,44 61 0,858 128,6 -4,71 -52,39 4,8 -1,62 -40,93 62 0,872 124,5 -5,44 -49,61 3,2 -2,21 -40,94 63 0,887 119,7 -6,13 -47,15 1,2 -2,79 -41,67 64 0,901 114,4 -6,79 -43,01 -1,4 -3,4 -43,21 65 0,915 108,6 -7,36 -31,69 -4,4 -4,03 -38,18 66 0,929 102,4 -7,7 -10,02 -8 -4,5 -17,72 67 0,944 96 -7,65 21,54 -11,8 -4,54 18,41 68 0,958 89,8 -7,08 60,42 -15,4 -3,97 59,42 69 0,972 84,4 -5,92 100,83 -18,3 -2,84 91,15 70 0,987 80,1 -4,2 133,15 -20,10 -1,36 104,21

Tabela 26 – Dados obtidos através cinemetria tabulados por Winter (1990); continuação.

Quadro t (s) θjoelho

( graus ) θ'joelho

( rad/s ) θ''joelho

( rad/s² ) θquadril

( graus ) θ'quadril

( rad/s ) θ''quadril

( rad/s²)

1 0 46,7 6,74 -21,91 -2,4 2,39 36,03 2 0,014 52,1 6,23 -46,59 -0,2 2,89 31,5 3 0,029 56,9 5,41 -65,29 2,3 3,3 24,37 4 0,043 61 4,37 -77,66 5,2 3,58 14,23 5 0,057 64,1 3,19 -84,77 8,2 3,7 1,3 6 0,072 66,2 1,94 -87,62 11,3 3,62 -12,28 7 0,086 67,3 0,68 -86,54 14,2 3,35 -23,42 8 0,1 67,3 -0,53 -81,99 16,8 2,95 -30,3 9 0,114 66,4 -1,66 -75,17 19 2,48 -33,55 10 0,129 64,6 -2,68 -67,64 20,8 1,99 -35,01 11 0,143 62 -3,6 -60,31 22,2 1,48 -35,53 12 0,157 58,7 -4,41 -53,09 23,3 0,98 -34,42

199

13 0,172 54,8 -5,11 -45,78 23,8 0,5 -30,99 14 0,186 50,3 -5,72 -38,95 24,1 0,09 -26,06 15 0,2 45,4 -6,23 -32,91 24 -0,25 -21,52 16 0,215 40,1 -6,66 -26,57 23,7 -0,53 -18,38 17 0,229 34,5 -6,99 -18,05 23,1 -0,77 -16,1 18 0,243 28,7 -7,17 -5,87 22,4 -0,99 -13,65 19 0,257 22,8 -7,16 10,65 21,5 -1,16 -10,37 20 0,272 16,9 -6,87 31,09 20,5 -1,28 -6,16 21 0,286 11,5 -6,27 53,59 19,4 -1,34 -1,66 22 0,3 6,7 -5,34 74,76 18,3 -1,33 1,98 23 0,315 2,7 -4,13 90,62 17,2 -1,28 4,14 24 0,329 -0,1 -2,75 97,96 16,2 -1,21 5,38 25 0,343 -1,8 -1,33 95,28 15,2 -1,13 6,53 26 0,357 -2,3 -0,02 82,64 14,3 -1,03 7,45 27 0,372 -1,8 1,04 62,4 13,6 -0,92 7,62 28 0,386 -0,6 1,76 40,55 12,8 -0,81 7,93 29 0,4 1,1 2,2 24,37 12,2 -0,69 9,91 30 0,415 3 2,46 16,62 11,7 -0,52 13,66 31 0,429 5,1 2,67 12,93 11,4 -0,3 16,99 32 0,443 7,4 2,83 5,97 11,2 -0,04 16,09 33 0,458 9,8 2,84 -8,17 11,3 0,16 7,69 34 0,472 12,1 2,6 -27,06 11,5 0,18 -7,32 35 0,486 14 2,07 -44,04 11,6 -0,05 -22,88 36 0,5 15,4 1,34 -53,13 11,4 -0,47 -32 37 0,515 16,2 0,55 -52,57 10,8 -0,96 -31,67 38 0,529 16,3 -0,17 -44,3 9,8 -1,38 -23,59 39 0,543 15,9 -0,72 -31,51 8,6 -1,64 -11,54 40 0,558 15,2 -1,07 -17,12 7,2 -1,71 0,9 41 0,572 14,2 -1,21 -3,98 5,8 -1,61 10,98 42 0,586 13,2 -1,18 5,07 4,5 -1,4 16,74 43 0,601 12,3 -1,06 8,5 3,5 -1,13 17,58 44 0,615 11,4 -0,94 7,49 2,7 -0,89 15,03 45 0,629 10,7 -0,85 4,99 2 -0,7 11,6 46 0,643 10,1 -0,8 3,03 1,5 -0,56 8,39 47 0,658 9,4 -0,76 1,9 1,1 -0,46 4,74 48 0,672 8,8 -0,74 1,14 0,8 -0,43 -0,13 49 0,686 8,2 -0,73 0,45 0,4 -0,47 -5,26 50 0,701 7,6 -0,73 0,18 0 -0,58 -8,17 51 0,715 7 -0,72 1,21 -0,5 -0,7 -7,39 52 0,729 6,4 -0,69 4,06 -1,2 -0,79 -4 53 0,744 5,9 -0,61 8,77 -1,8 -0,81 -0,17 54 0,758 5,4 -0,44 15,06 -2,5 -0,79 3,12 55 0,772 5,2 -0,18 22,07 -3,1 -0,73 5,7 56 0,786 5,1 0,19 28,41 -3,7 -0,63 6,92 57 0,801 5,5 0,63 32,98 -4,2 -0,53 6,16 58 0,815 6,2 1,13 35,54 -4,6 -0,45 3,95 59 0,829 7,3 1,65 36,64 -4,9 -0,41 1,81 60 0,844 8,9 2,18 37,19 -5,2 -0,4 1,24 61 0,858 10,9 2,71 37,9 -5,6 -0,38 2,74 62 0,872 13,3 3,26 39 -5,9 0,32 5,62 63 0,887 16,2 3,83 40,04 -6,1 0,22 8,61

200

64 0,901 19,6 4,41 39,95 -6,2 -0,08 11,23 65 0,915 23,5 4,97 37,59 -6,2 0,1 14,31 66 0,929 27,8 5,48 32,25 -6 0,33 18,85 67 0,944 32,4 5,9 23,44 -5,7 0,64 24,81 68 0,958 37,4 6,15 10,87 -5 1,04 31,17 69 0,972 42,5 6,21 -4,8 -4 1,53 36,24 70 0,987 47,60 6,02 21,92 -2,50 2,08 38,01

A tabela a seguir expõe dados tabulados em Winter (1990), referentes aos momentos

articulares, no membro inferior direito.

Tabela 27 – Momentos articulares determinados por Winter (1990).

Momento Articular (N.m) Momento Articular (N.m) Quadro t (s) Joelho Quadril Quadro t (s) Joelho Quadril

1 0 7 22,9 36 0,5 35 7,3 2 0,014 7 17,8 37 0,515 37,8 9,9 3 0,029 6,9 13,8 38 0,529 32,5 5 4 0,043 6,5 10,8 39 0,543 28,1 3 5 0,057 5,8 8,5 40 0,558 24,8 4,7 6 0,072 4,8 6,7 41 0,572 20,2 6,5 7 0,086 3,6 5 42 0,586 19,8 12 8 0,1 2,3 3,4 43 0,601 15,8 12,5 9 0,114 1 2 44 0,615 10,9 10,9 10 0,129 -0,1 0,9 45 0,629 7,8 10,1 11 0,143 -1 0 46 0,643 6,6 11,2 12 0,157 -1,9 -0,8 47 0,658 6,6 13,8 13 0,172 -2,7 -1,5 48 0,672 7 16,7 14 0,186 -3,5 -2,5 49 0,686 5,9 17,7 15 0,2 -4,2 -3,6 50 0,701 2,3 15,2 16 0,215 -4,9 -5 51 0,715 -2,3 11,2 17 0,229 -5,8 -6,7 52 0,729 -0,1 14,6 18 0,243 -6,8 -8,7 53 0,744 -5 12,2 19 0,257 -8 -10,5 54 0,758 -6,2 14,7 20 0,272 -9,4 -12,2 55 0,772 -7,9 16,6 21 0,286 -11,1 -14 56 0,786 -10,4 16,5 22 0,3 -12,8 -16 57 0,801 -12,5 16,1 23 0,315 -14,3 -17,9 58 0,815 -12,4 18,3 24 0,329 -15,1 -19,1 59 0,829 -10 23,6 25 0,343 -14,6 -18,7 60 0,844 -6,4 29,5 26 0,357 -12,7 -16,1 61 0,858 -2,2 34,4 27 0,372 -9,5 -11,7 62 0,872 2,3 37,3 28 0,386 -33,8 -54,4 63 0,887 6,5 37,2 29 0,4 -19,9 -37,6 64 0,901 10,1 33,6 30 0,415 -7,6 -23,5 65 0,915 12,5 27,5 31 0,429 -4,5 -20,8 66 0,929 13,3 20,7 32 0,443 7,8 -11,1 67 0,944 12,5 15,2 33 0,458 14,5 -7,8 68 0,958 10,6 11,9 34 0,472 24,8 -0,4 69 0,972 6,8 9,3 35 0,486 31,6 4,7 70 0,987 3,6 9

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