Notas de Aula

Elementos de Cálculo II 2009/03

Prof. Sandro Rodrigues MazorcheDepartamento de Matemática - UFJF

Índice1 APLICAÇÕES DA DERIVADA 3

1.1 Equações de retas tangentes e normais . . . . . . . . . . . . . 31.2 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Derivação Implícita e Taxa de Variação . . . . . . . . . . . . . 91.4 Derivada de uma Função na Forma Implícita . . . . . . . . . . 101.5 Taxa de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7 Intervalos de crescimento e decrescimento de funções . . . . . 161.8 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.9 Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.10 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.11 Concavidade e Pontos de In�exão . . . . . . . . . . . . . . . . 251.12 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 INTEGRAIS 342.1 Antiderivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2 Integral inde�nida de funções usuais e propriedades. . . . . . . 362.3 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4 Substituição de variável. Integração por partes . . . . . . . . . 402.5 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.6 Integral De�nida. Teorema Fundamental do Cálculo. Área de

regiões planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.7 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 563.1 De�nição de funções de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . 563.2 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3 Derivadas parciais. Diferencial total. Derivadas de ordem su-

perior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.4 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.5 Máximos e mínimos de funções de duas variáveis. Máximos

e mínimos condicionais. Otimização condicional e não condi-cional com restrições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.6 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.7 Integrais múltiplas: de�nição e cálculo . . . . . . . . . . . . . 933.8 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

1 APLICAÇÕES DA DERIVADAO Cálculo é a matemática das variações e o instrumento principal para estu-dar as taxas de variação é um método conhecimento como derivação. Nestaseção, vamos descrever esse método e mostrar como pode ser usado para de-terminar a taxa de variação de uma função e também a inclinação da retatangente a uma curva.Ainda neste capítulo veremos ferramentas utilizadas para descrever o com-portamento e/ou grá�cos das funções.

1.1 Equações de retas tangentes e normaisVamos de�nir a inclinação de uma curva y = f(x) para , em seguida, encon-trar a equação da reta tangente à curva num ponto dado.As idéias que usaremos foram introduzidas no século XVIII por Newton eLeibnitz.Seja y = f(x) uma curva de�nida no intervalo (a, b), como na �gura abaixo.

Figura 1:

Sejam P (x1, y1) e Q(x2, y2) dois pontos distintos da curva y = f(x).Seja s a reta secante que passa pelos pontos P e Q. Considerando o triânguloretângulo PMQ, na �gura 1.1, temos que a inclinação da reta s (ou coe�cienteangular de s) é

tan(α) =y2 − y1

x2 − x2

=∆y

∆x.

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Suponhamos agora que, mantendo P �xo, Q se mova sobre a curva em di-reção a P . Diante disto, a inclinação da reta secante s variará. À medidaque Q vai se aproximando cada vez mais de P , a inclinação da secante variacada vez menos, tendendo para um valor limite constante.

Figura 2:

Esse valor limite é chamado inclinação da reta tangente à curva no ponto P ,ou também inclinação da curva em P .

De�nição 1.1 Dada uma curva y = f(x), seja P (x1, x1) um ponto sobreela. A inclinação da reta tangente à curva no ponto P é dada por:

m(x1) = limQ→P

∆y

∆x= lim

x2→x2

f(x2)− f(x1)

x2 − x1

,

quando o limite existe.Fazendo x2 = x1 + ∆x podemos reescrever o limite acima na forma

m(x1) = lim∆x→0

f(x1 −∆x)− f(x1)

∆x= f ′(x1).

Conhecendo a inclinação da reta tangente à curva no ponto P , podemos en-contrar a equação da reta tangente à curva em P .

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De�nição 1.2 EQUAÇÃO DA RETA TANGENTESe a função f(x) é contínua em x1, então a reta tangente à curva y = f(x)em P (x1, f(x1)) é:(i) A reta que passa por P tendo inclinação m(x1) = lim∆x→0

f(x1−∆x)−f(x1)∆x

,se este limite existe (m = f ′(x1)). Neste caso, temos a equação

y − f(x1) = m(x− x1).

(ii) A reta x = x1 se lim∆x→0f(x1−∆x)−f(x1)

∆xfor in�nito.

A reta normal a uma curva num ponto dado é a reta perpendicular à retatangente neste ponto. Logo, se duas retas t e n são perpendiculares, entãoseus coe�cientes angulares mt e mn satisfazem:

mt.mn = −1.

De�nição 1.3 EQUAÇÃO DA RETA NORMALSe a função f(x) é contínua em x1, então a reta normal à curva y = f(x)em P (x1, f(x1)) é:(i) A reta que passa por P tendo inclinação m(x1) = lim∆x→0

f(x1−∆x)−f(x1)∆x

,se este limite existe (m = f ′(x1)). Neste caso se m 6= 0, temos a equação

y − f(x1) =−1

m(x− x1)

para o caso de m = 0 segue que a reta normal tem a seguinte equação x = x1.(ii) A reta y = f(x1) se lim∆x→0

f(x1−∆x)−f(x1)∆x

for in�nito.

Exemplos.

1) Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = x2 − 2x + 1 no ponto(x1, x2).

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2) Encontre a equação da reta tangente à curva y = 2x2 + 3 no ponto cuja aabscissa é 2.

3) Encontre a equação da reta tangente à curva y =√

x, que seja paralela àreta 8x− 4y + 1 = 0.

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4) Encontre a equação da reta normal à curva y = x2 no ponto P (2, 4).

5) Encontre a equação da reta normal à curva y = 3√

x no ponto P (8,−2).

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1.2 Exercícios:1. Determine a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos

indicados. Esboçar o grá�co em cada caso.a) f(x) = x2 − 1; x = 1, x = 0, x = a, a ∈ IR.b) f(x) = x2 − 3x + 6; x = −1, x = 2.c) f(x) = x(3x− 5); x = 1

2, x = a, a ∈ IR.

2. Em cada um dos ítens do exercício anterior, determine a equação dareta normal à curva, nos pontos indicados. Esboçar o grá�co, em cadacaso.

3. Determinar a equação da reta tangente à curva y = 1 − x2, que sejaparalela à reta y = 1− x. Esboçar os grá�cos da função, da reta dadae da reta tangente encontrada.

4. Encontrar as equações das retas tangentes e normal à curva y = x2 −2x + 1 no ponto (−2, 9).

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1.3 Derivação Implícita e Taxa de VariaçãoAs funções com as quais trabalhamos até o momento são todas dadas porequações da forma y = f(x), nas quais a variável dependente y do ladoesquerdo é de�nida explicitamente por uma expressão do lado direito queenvolve a variável x. Quando uma função é especi�cada dessa forma, dizemosque se encontra na forma explícita. Assim, por exemplo, as funções

y = x2 + 3x + 1 y =x3 + 1

2x− 3e y =

√1− x2

estão todas na forma explícita.

às vezes, a solução de problemas de vida real leva a equações nas quais avariável y não é de�nida explicitamente em termos da variável independentex; é o caso, por exemplo, de equações como

x2y3 − 6 = 5y3 + x e x2y + 2y3 = 3x + 2y

Como a variável y não aparece sozinha em um dos membros da equação,dizemos que uma equação desse tipo de�ne y implicitamente como funçãode x e que a função se encontra na forma implícita.

Consideremos a equação

F (x, y) = 0.

Dizemos que a função y = f(x) é de�nida implicitamente pela equação an-terior se, ao substituirmos y por f(x) na equação acima, esta equação setransforma numa identidade.

Exemplos.1) A equação x2 + 1

2y − 1 = 0 de�ne implicitamente a função y = 2(1− x2).

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2) A equação x2 +y2 = 4 de�ne, implicitamente, uma in�nidades de funções.

Nem sempre é possível encontrar a forma explícita de uma função de�nidaimplicitamente. Por exemplo, como explicitar uma função y = f(x) de�nidapela equação

y4 + 3xy + 2 ln(y) = 0?

O método da derivação implícita permite encontrar a derivada de uma funçãoassim de�nida, sem a necessidade de explicitá-la.

1.4 Derivada de uma Função na Forma ImplícitaSumponhamos que F (x, y) = 0 de�ne implicitamente uma função derivávely = f(x). Os exemplos que seguem mostram que usando a regra da cadeia,podemos determinar y′ sem explicitar y.

Exemplos.

(i) Sabendo que y = f(x) é uma função derivável de�nida implicitamentepela equação x2y3 − 6 = 5y3 + x, determinar y′.

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(ii) Sabendo que y = f(x) é uma função derivável de�nida implicitamentepela equação xy2 + 2y3 = x− 2y, determinar y′.

(iii) Sabendo que y = f(x) é uma função derivável de�nida implicitamentepela equação x2y2 + x sen (y) = 0, determinar y′.

(iv) Determine todos os pontos da curva x2 − y2 = 2x + 4y, nos quais a retatangente à curva é horizontal. Existe algum ponto da curva para o qual atangente seja vertical?

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1.5 Taxa de VariaçãoToda derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação. Dada umafunção y = f(x), quando a variável independente varia de x a x + ∆x, acorrespondente variação de y será ∆y = f(x + ∆x)− f(x). O quociente

∆y

∆x=

f(x + ∆x)− f(x)

∆x,

representa a taxa média de variação de y em relação a x.

A derivadaf ′(x) = lim

∆x→0

f(x + ∆x)− f(x)

∆x,

é a taxa instantânea de variação ou simplesmente Taxa de Variação de y emrelação a x.

Em alguns problemas práticos, as variáveis x e y estão relacionadas poruma equação e podem ser consideradas como funções de uma terceira var-iável, t, que quase sempre representa o tempo. Nesse caso, a derivação im-plícita pode ser usada para relacionar dx

dta dy

dt. As derivadas dx

dte dy

dtsão

chamadas de Taxas Relacionadas.

Exemplos.

(i) Sabemos que a área de um quadrado é função de seu lado. Determinar:(a) a taxa de variação média da área de uma quadrado em relação ao ladoquando este varia de 2, 5 a 3m.;(b) a taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede 4m.

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(ii) Quando o preço unitário de um certo produto é p reais, o fabricante teminteresse em produzir x mil unidades, onde

x2 − 2x√

p− p2 = 31.

Qual é a taxa de variação da oferta quando o preço unitário é R$ 9, 00 e estáaumentanto à razão de 20 centavos por semanas?

(iii) Analista de produção veri�cam que, em uma montadora x, o número depeças produzidas nas primeiras t horas diárias de trabalho é dado por:

f(t) =

{50(t2 + t), para 0 ≤ t ≤ 4200(t + 1), para 4 < t ≤ 8

.

(a) Qual a razão de produção (em unidades por hora) após 3 horas de tra-balho? E após 7 horas?(b) Quantas peças são produzidas na 8a hora de trabalho?

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1.6 Exercícios:1. Nos problemas abaixo, calcule dx

dypor derivação implícita.

a) x2 + y2 = 25. b) x3 + y3 = xy.c) x2 + y = x3 + y2. d) 5x− x2y3 = 2y.e) y2 + 2xy2 − 3x + 1 = 0. f) 1

x+ 1

y= 1.

g) (2x + y)3 = x. h) (x− 2y)2 = y.i) (x2 + 3y2)5 = 2xy.

2. Nos problemas abaixo, escreva a equação da reta tangente à curva dadano ponto especi�cado.a) x2 = y3; (8, 4). b) xy = 2; (2, 1).c) (1− u + v)3 = u + 7; (1, 2).

3. A produção de certa fábrica Q = 0, 08x2+0, 12xy+0, 03y2 unidades pordia, onde x o número de homens-horas de mão-de-obra especializadae y o número de homens-horas de mão-de-obra não-especializada. Nomomento são usados 80 homens-horas de mão-de-obra especializada e200 homens-horas de mão-de-obra não-especializada. Use os métodosdo cálculo para estimar a variação de mão-de-obra não-especializadanecessária para compensar um aumento de 1 homem-hora da mão-de-obra especializada, de modo que a produção não seja alterada.

4. Quando o preço unitário de um certo produto é p reais, o fabricantetem interesse em fabricar x unidades, onde

3p2 − x2 = 12

Qual é a taxa de variação da oferta se o preço unitário é R$ 4, 00 e estáaumentando à razão de 87 centavos por mês?

5. Quando o preço unitário de um certo produto é p reais, a demanda éde x centenas de unidades, onde

3x2 + 3px + p2 = 79

Qual é a taxa de variação da demanda com o tempo se o preço unitárioé R$ 5, 00 e está diminuindo à razão de 30 centavos por mês?

6. Em certa fábrica, a produção é dada por Q = 60K13 L

23 unidades, onde

K é o capital imobilizado(em milhares de reais) e L é a mão-de-obrautilizada em homens-horas. Se a produção se mantém constante, qual

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é a taxa de variação do capital imobilizado no instante em que K =8, L = 1.000 e L está aumentando à razão de 25 homens-horas porsemana?

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1.7 Intervalos de crescimento e decrescimento de funçõesMuitas vezes é importante determinar se uma dada função f(x) está aumen-tando ou diminuindo; o objetivo desta seção é mostrar que a derivada f ′(x)pode ser usada para esse �m. Vamos começar com algumas de�nições:

De�nição 1.4 Função Crescente e Função DecrescenteUma função f(x) é dita crescente e um certo intervalo a < x < b se f(x2) >f(x1) sempre que x2 > x1, onde x1 e x2 pertence ao intervalo. A função édita decrescente e um certo intervalo a < x < b se f(x2) < f(x1) sempreque x2 > x1, onde x1 e x2 pertence ao intervalo.

Acontece que se todas as tangentes ao grá�co de uma função f(x) forempositivas no intervalo a < x < b, a função f(x) será crescente nesse intervalo(Figura 3 (a)). Como a inclinação das retas tangentes é dada pela derivadaf ′(x), conclui-se que f(x) é crescente nos intervalos em que f ′(x) > 0. Damesma forma, f ′(x) é decrescente nos intervalos em que f ′(x) < 0 (Figura 3(b)).

Figura 3:

Critério da Derivada para Função Crescente eDecrescente

f(x) é crescente nos intervalos em que f ′(x) > 0.f(x) é decrescente nos intervalos em que f ′(x) < 0.

Exemplos.

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(i) Determine os intervalos em que a função f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x − 7 écrescente e decrescente.

(ii) Determine os intervalos em que a função f(x) = x2

x−2é crescente e de-

crescente.

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1.8 Exercícios:1. Nos problemas abaixo, determine os intervalos em que a função dada

está aumentando e diminuindo.a) f(x) = x2 − 4x + 5. b) f(t) = t3 + 3t2 + 1c) f(x) = x3 − 3x− 4. d) f(t) = 1

3t3 − 9t + 2

e) f(x) = x5 − 5x4 + 100. f) f(t) = 3t5 − 5t3

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1.9 Extremos relativosA �gura abaixo mostra um grá�co mais geral.

Figura 4:

Observe que existem "picos"em C e E e "vales"em B, D e G, mas só épossível traçar tangentes horizontais em B, C, D e G. Além disso, existeuma tangente horizontal no ponto F , que não é um pico nem um vale. Nestaseção e na seguinte, vamos ver de que forma os métodos do cálculo podemser usados para localizar e identi�car os "picos"e "vales"de uma função, oque, por sua vez, facilita o traçado da curva associada e ajuda a resolverproblemas de otimização.

Mais formalmente, os "picos"de uma função f são chamados demáximosrelativos de f e os "vales"são chamados de mínimos relativos. Assim, ummáximo relativo é qualquer ponto no grá�co de f que seja pelo menos tão altoquanto os pontos vizinhos, enquanto um mínimo relativo é qualquer pontoque seja pelo menos tão baixo quanto os pontos vizinhos. Os máximos emínimos relativos são conhecidos pelo nome global de extremos relativos.Na �gura anterior, os máximos relativos são C e E e os mínimos relativossão B, D e G. Observe que um extremo relativo não precisa ser o ponto maisalto ou mais baixo de toda a curva. Por exemplo, o ponto mais baixo é omínimo relativo G, mas o ponto mais alto é H. Essa terminologia pode serresumida da seguinte forma:

De�nição 1.5 Extremos RelativosDizemos que uma função f(x) possui um máximo relativo no ponto x = cse f(c) ≥ f(x) para todos os valores de x em um intervalo a < x < b quecontenha o ponto c. Uma função f(x) possui um mínimo relativo no ponto

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x = c de f(c) ≤ f(x) para todos os valores de x em um intervalo a < x < bque contenha o ponto c. Os máximos e mínimos relativos de f são conhecidospelo nome global de extremos relativos.

Como uma função f(x) está aumentando quando f ′(x) > 0 e diminuindoquando f ′(x) < 0, os únicos pontos nos quais f(x) pode possuir um extremorelativo são aqueles em que f ′(x) é nula ou não existe. Esses pontos são tãoimportantes que recebem um nome especial:

De�nição 1.6 Números Críticos e Pontos CríticosUm número c pertence ao domínio de f(x) é chamado de número crítico sef ′(c) = 0 ou se f ′(c) não existe. O Ponto correspondente (c, f(c)) no grá�code f(x) é chamado de ponto crítico de f(x).

A �gura abaixo mostra três funções com pontos críticos nos quais a derivadaé nula. Nos três casos, a reta tangente à curva da função no ponto crítico(c, f(c)) é horizontal, já que a derivada f ′(c) é igual à inclinação da retatangente neste ponto e f ′(c) = 0.

Figura 5:

Três pontos críticos nos quais f ′(x) = 0: (a) máximo relativo; (b) mínimorelativo; (c) ponto ordinário.

Três funções com pontos críticos nos quais a derivada não existe apare-cem na �gura abaixo. Nas �guras (b) e (c), a reta tangente é vertical noponto (c, f(c)), portanto, a derivada f ′(c) não existe. Na �gura (a), não épossível traçar uma única reta tangente passando pelo "vértice"situado noponto (c, f(c)).

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Figura 6:

Três pontos críticos nos quais f ′(x) não existe: (a) máximo relativo; (b)mínimo relativo; (c) ponto ordinário.

Como vimos, é possível usar o sinal da derivada para classi�car pontoscríticos como máximos relativos, mínimos relativos ou nem uma coisa nemoutra. Suponha que c seja um número crítico de f e que f ′(x) > 0 à esquerdade c e f ′(x) < 0 à direita. Geometricamente, isso signi�ca que a curva de festá subindo antes de chegar ao ponto crítico P (c, f(c)) e começa a descerdepois de passar pelo ponto, o que mostra que P é um máximo relativo. Damesma forma, se f ′(x) < 0 à esquerda de c e f ′(x) > 0 à direita, signi�caque a curva de f está descendo antes de chegar ao ponto crítico P (c, f(c)) ecomeça a subir depois de passar pelo ponto, o que mostra que P é um mínimorelativo. Caso, porém, a derivada tenha o mesmo sinal dos dois lados de c, acurva continuará subindo ou descendo depois de passar por P , portanto, nãohaverá nenhum extremo nesse ponto. Essas observações podem ser resumidasda seguinte forma:

Teste da Primeira Derivada para Extremos Relativos:Seja c um número crítico de f(x) (isto é, f ′(c) = 0 ou f ′(c) não existe.).

Neste caso, o ponto crítico P (c, f(c)) é:Um máximo relativo se f ′(x) > 0 à esquerda de c e f ′(c) < 0 à direita dec;

Figura 7:

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Um mínimo relativo se f ′(x) < 0 à esquerda de c e f ′(c) > 0 à direita dec;

Figura 8:

Um ponto ordinário se f ′(x) > 0 ou f ′(c) < 0 dos dois lados de c;

Figura 9:

Exemplos.(i) Determinar todos os números críticos da função f(x) = x4+8x3+12x2−8e classi�que os pontos críticos correspondentes.

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(ii) Determine os intervalos de subida e descida e extremos relativos da funçãof(x) =

√3− 2x− x2. Desenhe o grá�co relacionado.

(iii) A receita obtida com a produção de x unidades de uma certa mercadoriaé dada por

R(x) =63x− x2

x2 + 63

milhões de reais. Qual é a produção que proporciona a máxima receita? Qualé esta receita?

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1.10 Exercícios:1. Nos problemas abaixo, determine os pontos críticos da função dada e

classi�que cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo eponto ordinário.a) f(x) = 3x4 − 8x3 + 6x2 + 2 b) f(x) = 324x− 72x2 + 4x3

c) f(t) = 2t3 + 6t2 + 6t + 5 d) f(t) = 10t6 + 24t5 + 15t4 + 3e) f(x) = (x− 1)5 f) f(x) = 3− (x + 1)3

g) f(t) = (t2 − 1)5 h) f(x) = (x2 − 1)4

i) f(x) = (x3 − 1)4 j) f(x) = x2

x−1

2. O custo total C para produzir x unidades de uma certa mercadoria édada por C(x) =

√5x + 2 + 3. Plote a curva de custo e determine o

custo marginal. O custo marginal aumenta ou diminui com o aumentoda produção?

3. Seja p = (10− 3x)2 o preço pelo qual serão vendidas x unidades de umcerto produto e seja R(x) = xp(x) a receita com a venda das x unidades.Determine a receita marginal R′(x) e plote as curvas de receita marginalno mesmo grá�co. Para que nível de produção a receita é máxima?

4. Para produzir x unidades de certo produto, um fabricante tem umcusto total

C(x) = 2x2 + 3x + 5

e uma receita total R(x) = xp(x), onde p(x) = 5 − 2x é o preço peloqual são vendidas as x unidades. Determine a função de lucro P (x) =R(x)−C(x) e plote o grá�co relacionado. Para que nível de produçãoo lucro é máximo?

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1.11 Concavidade e Pontos de In�exãoNa seção anterior, vimos que o sinal da derivada f ′(x) pode ser usado paraveri�car se f(x) está aumentando ou diminuindo e se a função possui ex-tremos relativos. Nesta seção, vamos ver que a derivada segunda f”(x) tam-bém fornece informações úteis a respeito de f(x). À guisa de introdução,aqui está uma breve descrição de uma situação na indústria que pode seranalisada usando a derivada segunda:

E�ciência dos Operários.O número de unidades que um operário de fábrica produz em t horas de

trabalho muitas vezes é dado por uma função Q(t) parecida como esta:

Figura 10:

Observe que a curva aumenta lentamente a princípio. A inclinação con-tinua aumentando até atingir um ponto de máxima inclinação, a partir doqual começa a diminuir. Isso re�ete o fato de que a produtividade dos op-erários é baixa no início do dia. A produtividade aumenta com o passardo tempo até que o operário atinja o ponto de máxima e�ciência, a partirdo qual, por causa da fadiga, a produtividade começa a cair. O ponto demáxima e�ciência é conhecida pelos economistas como ponto de retornosdecrescentes.

O comportamento dessa função de produção de cada lado do ponto deretornos decrescente pode ser descrito em termos de retas tangentes. À es-querda do ponto, a inclinação da reta tangente aumenta quando t aumenta.À direita do ponto, a inclinação da reta tangente diminui quando t aumenta.É esse aumento e diminuição das inclinações a que vamos estudar agora com

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a ajuda da segunda derivada.

O aumento e diminuição da inclinação da reta tangente a uma curva sãodescritos através de um conceito conhecido como concavidade.

De�nição 1.7 Concavidade:Se a função f(x) é derivável no intervalo a < x < b, a curva de f tem:concavidade para cima no intervalo a < x < b se f ′ está aumentando nointervalo;(f ′ é crescente)concavidade para baixo no intervalo a < x < b se f ′ está diminuindo nointervalo;(f ′ é decrescente)

Existe uma relação simples entre a concavidade e o sinal da derivada se-gunda. Essa relação se baseia no fato de que uma grandeza aumenta quandosua derivada é positiva e diminui quando sua derivada é negativa. A derivadasegunda entra em cena quando esse fato é aplicado à derivada primeira (ouinclinação da tangente).

Figura 11:

O raciocínio é o seguinte: suponha que a derivada segunda, f”, seja pos-itiva em um certo intervalo I. Isso signi�ca que a derivada primeira, f ′, estaaumentando no intervalo I e que a concavidade da curva de f é para cimano mesmo intervalo. Da mesma forma, se f ′ < 0 em um certo intervalo, issoquer dizer que f ′ está diminuindo e que a concavidade da curva de f é para

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baixo neste intervalo.

Teste da Concavidade

Se f” > 0 no intervalo a < x < b, f tem concavidade para cima nesteintervalo.Se f” < 0 no intervalo a < x < b, f tem concavidade para baixo neste inter-valo.

Figura 12: Combinações possíveis de aumento, diminuição e concavidade.

Ponto de In�exão

Um ponto de uma função no qual a concavidade muda é chamado deponto de in�exão. Assim, por exemplo, o ponto de retornos decrescentesda curva de produção é um ponto de in�exão; a função da �gura 11 tem umponto de in�exão em x = a.

27

Em um ponto de in�exão P (c, f(c)), a função f(x) não pode ter concavi-dade para cima ou para baixo, portanto, f”(x) não pode ser positiva nemnegativa. Assim, ou f”(x) não existe ou f”(x) = 0. Entretanto, é possívelque f”(x) seja igual a zero e P (c, f(c)) não seja um ponto de in�exão. Porexemplo, se f(x) = x4, f”(x) = 12x2 e o grá�co de f tem a concavidade paracima no ponto x = 0, embora f”(0) = 0.

Figura 13: Grá�co de f(x) = x4.

Método para Determinar a Concavidade e Localizar osPontos de In�exão de f(x)

1o.Passo: Calcule f” e determine os pontos nos quais f”(x) = 0”ouf"(x)"nãoexiste.2o. Passo: Assinale os pontos obtidos no 1o. passo sobre uma reta, dividindoassim a reta em subintervalos. Calcule o valor de f”(p) para números de testep situados em todos os subintervalos.3o. Passo: A função tem concavidade para cima nos intervalos em quef”(p) > 0 e concavidade para baixo nos intervalos em que f”(p) < 0. Ospontos de in�exão são os pontos que separam subintervalos nos quais a funçãotem diferentes concavidades.

Exemplos.(i) Determine se a função

f(x) = 3x4 − 2x3 − 12x2 + 18x + 15

28

está aumentando ou diminuindo e se possui concavidade para cima ou parabaixo. Determine todos os extremos relativos e pontos de in�exão.

(ii) A �gura a seguir mostra o grá�co da derivada primeira f ′(x) de umafunção f(x).

Figura 14: Grá�co de f ′(x).

Determine os intervalos em que f(x) é uma função crescente e decres-cente, as concavidades e todos os extremos relativos e pontos de in�exão dafunção. Em seguida, esboce o grá�co de f(x).

29

De�nição 1.8 Teste da Derivada Segunda: Suponha que f ′(a) = 0.Se f”(a) > 0, f possui um mínimo relativo em x = a.Se f”(a) < 0, f possui um máximo relativo em x = a.Caso f”(a) = 0 ou f”(a) não exista, o teste não pode ser aplicado; f(a) podeser um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de in�exão.

Figura 15: Teste da segunda derivada.

Exemplos.

(i) Use o teste da derivada segunda para determinar os máximos e mínimosrelativos da função f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x− 7.

(ii) Um estudo de e�ciência realizado em uma fábrica durante o turno damanhã mostra que um operário que começa a trabalhar às 8h terá produzido,

30

em média, Q(t) = −t3 + 9t2 + 12t unidades t horas mais tarde. Em que horada manhã os operários são mais produtivos?

31

1.12 Exercícios:1. Nos problemas abaixo, determine em que intervalo(s) a função dada é

crescente e decrescente e em que intervalo(s) a concavidade da funçãoé para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos dein�exão e plote o grá�co da função.a) f(x) = 1

3x3 − 9x + 2 b) f(x) = x3 + 3x2 + 1

c) f(x) = x4 − 4x3 + 10 d) f(x) = x3 − 3x2 + 3x + 1e) f(x) = (x− 2)3 f) f(x) = x5 − 5xg) f(t) = (t2 − 5)3 h) f(x) = (x− 2)4

i) f(x) = x2−3xx2+1

j) f(x) =√

x2 + 1

l) f(x) = xx2+x+1

m) f(x) = (x + 1)43

2. Nos problemas abaixo, use o teste da derivada segunda para determinaros máximos e mínimos relativos da função dada.a) f(x) = x3 + 3x2 + 1 b) f(x) = x + 1

x

c) f(x) = ( xx+1

)2 d) f(x) = 21+x2

e) f(x) = (x−2)3

x2 f) f(x) = (x+3)3

(x−1)2

3. O custo para produzir x unidades de certa mercadoria por semana é

C(x) = 0, 3x3 − 5x2 + 28x + 200

(a) Determine o custo marginal CM(x) = C ′(x). Plote as funçõesC(x) e CM(x) no mesmo grá�co.(b) Determine o(s) valor(es) de x para os quais C”(x) = 0. Qual arelação entre esse(s) ponto(s) e as curvas de CM(x) e C(x)?

4. Uma empresa estima que quando x milhares de reais são investidos nacomercialização de um certo produto, Q(x) unidades do produto sãovendidas, onde

Q(x) = −4x3 + 252x2 − 3.200x + 17.000 10 ≤ x ≤ 40

Plote a função Q(x) para 10 ≤ x ≤ 40. Onde �ca o ponto de in�exãoda função? Qual o signi�cado do investimento em comercialização cor-respondente a esse ponto?

5. Um estudo de e�ciência realizada no turno da manhã (de 8h ao meio-dia) revela que um operário que chega para trabalhar às 8h produziuQ(t) = −t3 + 9t2

2+ 15t unidades t horas mais tarde.

32

(a) Em que instante do turno da manhã a produtividade do operárioé máxima?(b) Em que instante do turno da manhã a produtividade do operárioé mínima?

6. Um estudo de e�ciência realizada no turno da manhã (de 8h ao meio-dia) revela que um operário que chega para trabalhar às 8h produziuQ(t) = −t3 + 6t2 + 15t receptores de rádio t horas mais tarde.(a) Em que instante do turno da manhã a produtividade do operárioé máxima?(b) Em que instante do turno da manhã a produtividade do operárioé mínima?

33

2 INTEGRAISEm muitos problemas, a derivada de uma função é conhecida e o objetivo éencontrar a própria função. Por exemplo, um sociólogo que conhece a taxa deaumento da população pode estar interessado um usar essa informação paraprever qual será a população em algum instante futuro; um físico que con-hece a velocidade de um corpo em movimento pode querer calcular a posiçãodo corpo em um momento futuro; um economista que conhece o índice dein�ação pode querer estimar os preços em um instante futuro.

O Processo de obter uma função a partir de sua derivada é chamado deantiderivação ou integração inde�nida.

2.1 AntiderivadasDe�nição 2.1 Uma função F (x) para a qual

F ′(x) = f(x)

para qualquer x no domínio de f é chamada de antiderivada de f(x).Notação: Às vezes a equação F ′(x) = f(x) é escrita na forma dF

dx= f(x).

Exemplos.

(i) Veri�que que F (x) = x3

3+ 5x + 2 é uma antiderivada de f(x) = x2 + 5.

(ii) Calcule uma antiderivada de f(x) = 3x2.

34

De�nição 2.2 Se F (x) é uma antiderivada de uma função contínua f(x),qualquer outra antiderivada de f(x) tem a forma g(x) = F (x) + C, onde Cé uma constante.

Quando dizemos que F e G são antiderivadas de f , estamos dizendo queF ′(x) = G′(x) = f(x) e que para qualquer valor de x a inclinação (ou seja,a derivada) da curva y = F (x) é igual à inclinação da curva y = G(x). Emoutras palavras, a curva de G(x) difere da curva de F (x) apenas por umatranslação vertical, como mostra a �gura a seguir para a função f(x) = 3x2.

Figura 16: Algumas antiderivadas de f(x) = 3x2.

Vamos representar a família de todas as antiderivadas de f(x) usando osímbolo ∫

f(x) dx = F (x) + C

que é chamado de Integral Inde�nida de f .

Neste contexto, o símbolo ∫ é chamado de sinal de integração, a funçãof(x) é chamada de integrando, o símbolo dx indica que a antiderivada deveser calculada em relação à variável x e o termo C é conhecido como constante

35

de integração. Por exemplo, a integral inde�nida da função f(x) = 3x2 é∫

3x2 dx = x3 + C.

Para veri�car se uma antiderivada foi calculada corretamente, determinea derivada da solução, F (x) + C. Se essa derivada é igual a f(x), a an-tiderivada está correta ([F (x) + C]′ = f(x)); se é diferente de f(x), existealgum erro nos cálculos.

2.2 Integral inde�nida de funções usuais e propriedades.A ligação que existe entre derivação e antiderivação permite usar regras jáconhecidas de derivação para obter regras correspondentes para antiderivação.

Regras para integrar Funções Usuais.Regra da constante:

∫k dx = kx + C para kcostante;

Regra da potência:∫

xn dx =1

n + 1xn+1 + C para qualquer n 6= −1;

Regra do logaritmo:∫ 1

xdx = ln |x|+ C para qualquer x 6= 0;

Regra da exponencial:∫

ekx dx =1

kekx + C para k constante 6= 0.

Regra do cosseno e seno:∫

cos(kx) dx =1

ksen (kx) + C para k constante 6= 0;

∫sen (kx) dx = −1

kcos(kx) + C para k constante 6= 0;

Regra da multiplicação por uma constante:∫

kf(x) dx = k∫

f(x) dx para k constante;

36

Regra da soma:∫

[f(x) + g(x)] dx =∫

f(x) dx +∫

g(x) dx ;

Regra da diferença:∫

[f(x)− g(x)] dx =∫

f(x) dx −∫

g(x) dx ;

Exemplos.

Determine as seguintes integrais inde�nidas:

(a)∫

3 dx

(b)∫

x17 dx

(c)∫ 1√

xdx

(d)∫ 1

xdx

37

(e)∫

e−3x dx

(f)∫

cos(3x) dx

(g)∫

sen (xπ) dx

(h)∫(2x5 + 8x3 − 3x2 + 5) dx

(i)∫(x3+2x−7

x) dx

(j)∫(3e−5t +

√t− sen (4t) + 2) dx

38

2.3 Exercícios:1. Nos problemas abaixo, calcule a integral dada. Veri�que se o cálculo

está correto derivando o resultado.a)

∫x5dx b)

∫x

34 dx

c)∫ 1

x2 dx d)∫ √

tdte)

∫5dx f)

∫3exdx

g)∫(3t2 −√5t + 2)dt h)

∫(x

12 − 3x

23 + 6)dx

i)∫(3√

y − 2y3 + 1

y)dy j)

∫( 1

2y− 2

y2 + 3√y)dy

k)∫( ex

2+ x

√x)dx l)

∫(√

x3 −√12√

x +√

2)dx

m)∫( 1

3u− 3

2u2 + e2 +√

u2

)du n)∫(2eu + 6

u+ ln 2)du

o)∫ x2+2x+1

x2 dx p)∫ x2+3x−2√

xdx

q)∫(x3 − 2x2)( 1

x− 5)dx r)

∫y3(2y + 1

y)dy

s)∫ √

t(t2 − 1)dt t)∫

x(2x + 1)2dxu)

∫8 cos(3t)dt v)

∫sin(πx)dx

2. Determine a função polinomial cuja tangente tem uma inclinação x3−2x2 + 2 e cuja curva passa pelo ponto (1, 3).

39

2.4 Substituição de variável. Integração por partesNesta sessão veremos duas técnicas de integração. Elas são baseadas em re-gras de derivação.

Pela regra da cadeia, a derivada da função (x2 + 3x + 5)9 é

d

dx[(x2 + 3x + 5)9] = 9(x2 + 3x + 5)8(2x + 3)

Observe que a derivada é um produto e que um dos fatores, 2x + 3, é aderivada de uma expressão x2 + 3x + 5, a qual aparece no outro fator. Maisprecisamente, a derivada é um produto da forma

g(u)du

dx

onde, nesse caso, g(u) = 9u8 e u = x2 + 3x + 5.

É possível integrar muitos produtos da forma g(u)(dudx

) aplicando a regrada cadeia ao contrário. Especi�camente, se G é a antiderivada de g,

∫g(u)

du

dxdx = G(u) + C

já que, pela regra da cadeia,

d

dx[G(u)] = G′(u)

du

dx= g(u)

du

dx

Forma Integral da Regra da Cadeia:Se g é uma função contínua de u e u(x) é uma função derivável de x,

∫g(u)

du

dxdx =

∫g(u)du

Ou seja, para integrar um produto da forma g(u)(dudx

) no qual um dos fatores,dudx, é a derivada de uma expressão u que aparece no outro fator:

1. Determine a antiderivada ∫g(u)du do fator g(u) em relação a u;

2. Substitua u na resposta por sua expressão em termos de x.

Exemplos.

40

Determine:(i)

∫9(x2 + 3x + 5)8(2x + 3)dx

(ii)∫

x3ex4+2dx

Mudança de VariávelA forma integral da regra da cadeia pode ser vista como uma técnica para

simpli�car uma integral mudando a variável de integração. Começamos comuma integral da forma ∫

g(u)(dudx

)dx e a transformamos em uma integral maissimples da forma ∫

g(u)du, na qual a variável de integração é u. Nessa trans-formação, a expressão (du

dx)dx da integral original é substituída na integral

41

simpli�cada pelo símbolo du.

du

dxdx = du

Integração por Substituição1. Introduza a variável u para substituir uma expressão em x com o ob-

jetivo de simpli�car a integral;2. Escreva a integral em termos de u. Para escrever dx em termos de u,calcule o valor de du

dxe explicite dx como se du

dxfosse um quociente;

3. Calcule a integral resultante e substitua u por seu valor em termos de xpara obter a solução.

Exemplos.

Determine:(a)

∫ 3xx2−1

dx.

(b)∫ 3x+6√

2x2+8x+8dx.

(c)∫ (ln x)2

xdx.

42

(d)∫ x

x+1dx.

(e)∫

2x sin(x2)dx.

Integração por PartesA técnica, conhecida como Integração por partes, é uma consequência

direta da regra do produto para derivadas. Lembrando a derivada produto:d

dx[f(x)g(x)] = [f(x)g(x)]′ = f(x)′g(x)+f(x)g′(x) =

d

dxf(x).g(x)+f(x).

d

dxg(x)

Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis, então pela regra da derivada pro-duto temos a seguinte formula:

∫f(x)g′(x)dx = f(x)g(x)−

∫f ′(x)g(x)dx.

Observe que na expressão acima deixamos de escrever a constante de inte-gração, já que no decorrer do desenvolvimento aparecerão outras. Todas elaspodem ser representadas por uma única constante C, que introduziremos no�nal do processo.Na prática, costumamos fazer

u = f(x) ⇒ du = f ′(x)dx

43

ev = g(x) ⇒ dv = g′(x)dx.

Substituindo na expressão anterior, vem∫

udv = uv −∫

vdu

Exemplos.

Determine:(a)

∫xe2xdx.

(b)∫

x√

2x2 + 8x + 8dx.

(c)∫

ln(x)dx.

44

(d)∫

x2exdx.

(e)∫

ex cos(x)dx.

(e)∫

4x cos(x)dx.

45

2.5 Exercícios:1. Nos problemas abaixo, determine a integral indicada.

a)∫(2x + 6)5dx b)

∫e5xdx

c)∫ √

4x− 1dx d)∫ 1

3t+5dt

e)∫

e1−xdx f)∫[(x− 1)5 + 3(x− 1)2 + 5]dx

g)∫

tet2dt h)∫

2xex2−1dxi)

∫y(y2 + 1)5dy j)

∫3y√

y2 + 8dy

k)∫

x2(x3 + 1)34 dx l)

∫x5e1−x6

dxm)

∫ 2u4

u5+1du n)

∫ u2

(u3+5)2du

o)∫(x + 1)(x2 + 2x + 5)

12 dx p)

∫(3x2 − 1)ex3−xdx

q)∫ 3x4+12x3+6

x5+5x4+10x+12dx r)

∫ 10x3−5x√x4−x2+1

dx

s)∫ 3t−3

(t2−2t+6)2dt t)

∫ 6x−34x2−4x+1

dx

u)∫ ln 5x

xdx v)

∫ 1x ln x

dx

w)∫ 1

x(ln x)2dx x)

∫ ln x2

xdx

y)∫ 2x ln(x2+1)

x2+1dx z)

∫ e√

x√xdx

2. Nos problemas abaixo, determine a integral indicada.a)

∫xe−xdx b)

∫xe

x5 dx

c)∫(1− x)exdx d)

∫(3− 2x)e−xdx

e)∫

t ln(2t)dt f)∫

x ln x2dx

g)∫

ve−v5 dv h)

∫we0,1wdw

i)∫

y√

y − 6dy j)∫

y√

1− ydyk)

∫x(x + 1)8dx l)

∫(x + 1)(x + 2)6dx

m)∫ u√

u+2du n)

∫ u√2u+1

du

o)∫

x2e−xdx p)∫

x2e3xdxq)

∫x3exdx r)

∫x3e2xdx

s)∫

t2 ln tdt t)∫

x(ln x)2dxu)

∫ ln xx2 dx v)

∫x3ex2

dxw)

∫x3(x2 − 1)10dx x)

∫x7(x4 + 5)8dx

y)∫

ex cos(x)dx z)∫

2x sin(x2) cos(x2)dx

46

2.6 Integral De�nida. Teorema Fundamental do Cál-culo. Área de regiões planas

Integral De�nida

Como vimos no capítulo anterior, a integração inde�nida pode ser usadapara analisar situações em que a taxa de variação de certa grandeza é con-hecida. Nesta seção, vamos discutir um processo semelhante, conhecido comointegração de�nida, no qual uma grandeza de interesse prático é de�nidacomo o limite de uma soma e em seguida calculada com o auxílio da an-tiderivação. O método da integração de�nida será ilustrado sob uma curva,mas em seções subsequêntes mostraremos que o mesmo método também podeser aplicado a muitos problemas de economia, física, biologia, ciências sociaise etc.Considere a área A da região sob a curva y = f(x) em um intervalo a ≤ x ≤ b,onde f(x) ≥ 0 e a função f é contínua. Essa região está indicada na �guraabaixo. Se a região fosse um quadrado, um triângulo, um trapézio ou partede um círculo, poderíamos calcular sua área usando expressões conhecidas,mas o que fazer se a curva que de�ne a parte superior da região for dada poruma função como y = x2 ou y = ex? Para lidar com o caso geral, seguimosum princípio extremamente útil, que pode ser aplicado tanto à matemáticaquanto a outras ciências:Quando estiver diante de um problema desconhecido, procure relacioná-lo aum problema conhecido.

Figura 17: A região sob a curva y = f(x) no intervalo a ≤ x ≤ b.

47

Neste caso em particular, podemos não saber como calcular a área soba curva dada, mas sabemos como calcular a área de um retângulo. Assim,dividimos a região dada em uma série de regiões retangulares e calculamos ovalor aproximado da área A sob a curva y = f(x) somando as áreas dessasregiões retangulares.

Para começar, dividimos o intervalo a ≤ x ≤ b em n subintervalos iguaisde largura ∆x e chamamos de xj a extremidade esquerda do intervalo deordem j. Em seguida, traçamos n retângulos tais que o retângulo de ordemj tenha uma largura igual a ∆x e uma altura igual a f(xj).

Figura 18: Aproximação por retângulos da área sob uma curva: (a) com nsubintervalos;(b) com 6 subintervalos;(c) com 24 subintervalos.

A área do retângulo de ordem j, f(xj)∆x, é aproximadamente igual àárea sob a curva dada no intervalo xj ≤ x ≤ xj+1. A soma das áreas dos nretângulos é

Sn = f(x1)∆x+f(x2)∆x+...+f(xn)∆x = [f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]∆x =n∑

j=1

f(xj)∆x

que é aproximadamente igual à área total A sob a curva dada.

Quanto maior o número n de subintervalos, mais a soma Sn se aproximado que consideramos intuitivamente como a área sob a curva dada (ver Figuraacima). É razoável, portanto, de�nir a área real sob a curva, A, como o limiteda soma aproximada quando o número de subintervalos tende a in�nito.

Área sob uma Curva:Seja f(x) uma função contínua tal que f(x) ≥ 0 no intervalo a ≤ x ≤ b.

A área sob a curva y = f(x) no intervalo a ≤ x ≤ b é dada por

A = limn→+∞Sn = lim

n→+∞

n∑

j=1

f(xj)∆x

48

onde xj é a extremidade esquerda do subintervalo de ordem j se o intervaloa ≤ x ≤ b for dividido em n partes iguais de comprimento ∆x = (b−a)

n.

Observação.A título de simpli�cação tomamos os subintervalos todos dos mesmo tamanhoe calculamos f(x) nos pontos da extremidade esquerda dos subintervalos.De modo mais geral, fazemos uma partição do intervalo [a, b], isto é, dividimoso intervalo [a, b] em n subintervalos, não necessariamente do mesmo tamanho,escolhendo os pontos

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn−2 < xn−1 < xn = b.

Seja ∆xi = xi − xi−1 o comprimento do intervalo Ii = [xi, xi−1].Em cada um destes intervalos Ii, escolhemos um ponto qualquer ci.(ci ∈ Ii)Para cada i, i = 1, 2, ..., n, construímos um retângulo de base ∆xi e alturaf(xi).A soma das áreas dos n retângulos, que representamos por Sn, é dada por

Sn = f(c1)∆x1 + f(c2)∆x2 + ... + f(cn−1)∆xn−1 + f(cn)∆xn =n∑

i=1

f(ci)∆xi.

Esta soma é chamada soma de Riemann da função f(x).

Exemplo.

Seja R a região sob a curva da função f(x) = 2x+1 no intervalo 1 ≤ x ≤ 3,como mostra na �gura abaixo. Calcule a área da região R:

Figura 19: Aproximação por retângulos da área sob a curva f(x) = 2x + 1.

49

A área é apenas uma das muitas grandezas que podem ser expressas comoo limite de uma soma. Para lidar com todos os casos. incluindo aqueles nosquais a condição f(x) ≤ 0 não é satisfeita, usamos a terminologia e a notaçãoapresentadas a seguir:

Integral De�nidaSeja uma função contínua no intervalo x ∈ [a, b]. Suponha que esse inter-

valo tenha sido dividido em n partes iguais (não há necessidade de ser iguais)de largura ∆x = b−a

ne seja xj um número pertencente ao intervalo de ordem

j, para j = 1, 2, ..., n. Nesse caso, a integral de�nida de f(x) no intervalox ∈ [a, b] é representada pelo símbolo ∫ b

a f(x)dx e é dada pelo limite∫ b

af(x)dx lim

n→+∞Sn = limn→+∞[f(x1) + f(x2) + ... + f(xn)]∆x

Observe que o símbolo de integral de�nida, ∫ ba f(x)dx, é semelhante ao

símbolo da integral inde�nida, ∫f(x)dx. Em ambos os casos, a função f(x)

recebe o nome de integrando; no caso da integral de�nida, os números a eb são chamados de limite inferior de integração e limite superior deintegração, respectivamente.Usando a notação de integral, a de�nição da área sob uma curva dada poruma função f(x) (y = f(x)) pode ser expressa da seguinte forma:

Integral De�nida: Se f(x) é uma função contínua e f(x) ≥ 0 nointervalo x ∈ [a, b], a área da região sob a curva y = f(x) no intervaloa ≤ x ≤ b é dada por

A =∫ b

af(x)dx

Se calcular o limite de uma soma fosse a única forma de obter o valorde uma integral de�nida, o processo de integração provavelmente seria bemcomplicado. Felizmente, existe um meio mais simples de executar o cál-culo, graças a um importante teorema que relaciona a integral de�nida àantiderivação:

Teorema 2.1 Teorema Fundamental do CálculoSe a função f(x) é contínua no intervalo a ≤ x ≤ b,

∫ b

af(x)dx = F (b)− F (a)

onde F (x) é a antiderivada de f(x) no intervalo a ≤ x ≤ b.

50

Notação:F (x) |ba= F (b)− F (a)

Assim, ∫ b

af(x)dx = F (x) |ba= F (b)− F (a)

Observe:A constante C que aparece no resultado �nal das antiderivadas, não interfereno resultado do cálculo da integral de�nida ∫ b

a f(x)dx. Como F (x) + C éantiderivada genérica de f(x),

∫ b

af(x)dx = [F (x) + C] |ba= [F (b) + C]− [F (a) + C] = F (b)− F (a)

Desse modo, daqui em diante, a constante C será omitida em todos os cál-culos de integrais de�nidas.

Exemplos.

1) Calcule:

(a)∫ 41 (√

x− x2)dx.

(b)∫ 2

14( ln x

x)dx.

51

(c)∫ 10 (e−x +

√x)dx.

(d)∫ 10 8x(x2 + 1)3dx.

2) Determine a área da região limitada pela curva y = −x2 + 4x− 3.

3) Determine a área da região limitada pela reta y = x − 1 e pela parábolay = x2 − 2x + 1 para x ∈ [1, 3].

52

Área entre Duas CurvasEm alguns problemas práticos, temos que calcular a área entre duas cur-

vas. Suponha que f(x) e g(x) sejam funções não-negativas e que f(x) ≥ g(x)no intervalo a ≤ x ≤ b (Fig. (a)).

Figura 20: Área de R = área de R1 - área de R2.

Para determinar a região R entre as curvas das duas funções de x = aaté x = b, basta subtrair a área sob a curva inferior y = g(x) (Fig. (c)) daárea sob a curva superior y = f(x) (Fig. (b)), ou seja,

Área de R =∫ b

af(x)dx−

∫ b

ag(x)dx =

∫ b

a[f(x)− g(x)]dx

Esta expressão é válida mesmo que as funções f e g não sejam não-negativas.

De�nição 2.3 Área entre Duas CurvasSe f(x) e g(x) são contínuas no intervalo a ≤ x ≤ b com f(x) ≥ g(x) e seR é a região limitada pelas curvas de f e g e pelas retas verticais x = a ex = b,

Área de R =∫ b

a[f(x)− g(x)]dx

Exemplo.1) Determine a área da região limitada pelas curvas:

(a) y = x3 e y = x2.

53

(b) y = 4x e y = x3 + 3x2.

54

2.7 Exercícios:1. Nos problemas abaixo, calcule a integral de�nida dada usando o teo-

rema fundamental do cálculo.a)

∫ 10 (x4 + 3x3 + 1)dx b)

∫ 0−1(−3x5 − 3x2 + 2x + 5)dx

c)∫ 52 (2 + 2t + 3t2)dt d)

∫ 91 (√

t− 4√tdt

e)∫ 31 (1 + 1

t+ 1

t2)dt f)

∫ ln 20 (et − e−t)dt

g)∫−1−3

v+1v3 dv h)

∫ 61 w2(w − 1)dw

i)∫ 21 (2y − 4)4dy j)

∫ 0−3(2y + 6)4dy

k)∫ 40

1√6t+1

dt l)∫ 21

x2

(x3+1)2dx

m)∫ 10 (u3 + u)

√u4 + 2u2 + 1du n)

∫ 10

6u√u2+1

du

o)∫ e+12

xx−1

dx p)∫ 21 (x + 1)(x− 2)6dx

q)∫ e2

1(ln x)2

xdx r)

∫ e2

e1

x ln xdx

s)∫ 10 tetdt t)

∫ e2

1 ln√

tdt

2. Nos problemas abaixo, determine a área da região R:a) R é o triângulo limitado pela reta y = 4− 3x e pelo eixos x e y.b) R é o triângulo cujos vértices são os pontos (−4, 0) , (2, 0) e (2, 6).c) R é o retângulo cujos vértices são os pontos (1, 0) , (−2, 0) , (−2, 5)e (1, 5).d) R é o trapézio limitado pelas retas y = x + 6 e x = 2 e pelos eixosx e y.e) R é a região limitada pela curva √x, pelas retas x = 4 e x = 9, epelo eixo x.f) R é a região limitada pela curva y = −x2 − 6x− 5 e pelo eixo x.g) R é a região limitada pela curva y = ex, pelas retas x = 0 e x = ln(1

2),

e pelo eixo x.h) R é a região limitada pela curva y = x2 − 2x e pelo eixo x.i) R é a região limitada pela curva y = 1

x2 e pelas retas y = x e y = x8.

j) R é a região limitada pelas curvas y = x2 − 2x e y = −x2 + 4.l) R é a região entre a curva y = x3 e a reta y = 9x.m) R é a região entre a curva y = x3 − 3x2 e a reta y = x2 + 5x.

55

3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS3.1 De�nição de funções de Várias VariáveisNa industria, se um fabricante determina que x unidades de certo produto po-dem ser vendidos no mercado interno por R$ 90, 00 a unidade e y unidades po-dem ser vendidas no mercado externo polo equivalente a R$ 110, 00 a unidade,a receita total obtida com as vendas do produto é dada por

R = 90x + 110y

Na psicologia, o quociente de inteligência de uma pessoa, ou QI, é medidoatravés da expressão

QI =100m

a

onde a e m são a idade cronológica da pessoa e sua idade mental.

Um carpinteiro que está construindo uma arca com x centímetro de com-primento, y centímetro de largura e z centímetros de altura sabe que a arcaterá um volume V e uma área S, onde

V = xyz e S = 2xy + 2xz + 2yz

Essas são situações típicas em que uma grandeza de interesse depende dosvalores de duas ou mais variáveis. Outros exemplos são o volume de águano reservatório de uma cidade, que pode depender da quantidade de chuva edo consumo da população e a produção de uma fábrica, que pode dependerdo capital disponível, do número de operários e do preço das matérias-primas.

Neste capítulo, vamos estender os métodos do cálculo às funções de duasou mais variáveis independentes. Quase todo nosso trabalho será feito comfunções de duas variáveis, que, como veremos, podem ser representadas ge-ometricamente como superfícies no espaço tridimensional. Vamos começarcom algumas de�nições:

De�nição 3.1 Funções de Várias VariáveisFunção f de n variáveis independentes é uma regra que atribui a cada x =(x1, x2, ..., xn) ∈ D ⊂ IRn, (D domínio de f) um e apenas um número real,representado pelo símbolo f(x).

Nota:Convenção de Domínio: A menos que seja dito explicitamente o contrário,

56

o domínio de f é o conjunto de todos os pontos x = (x1, x2, ..., xn) para osquais a expressão f(x) é de�nida.Para os casos de duas ou três vaiáveis é comum usar a seguinte notação:Para o caso de uma função de duas variável: (x, y) ∈ D ⊂ IR2 e f(x, y).Para o caso de uma função de três variável: (x, y, z) ∈ D ⊂ IR3 e f(x, y, z).

Exemplos.1) Dada a função f(x, y) = 3x2+5y

x−y:

a) Determine o domínio de f .

b) Calcule f(1,−2).

2) Dada a função f(x, y) = xey + ln x:a) Determine o domínio de f .

b) Calcule f(e2, ln 2).

3) Dada a função f(x, y, z) = xy + xz + yz, calcule f(1, 2, 5).

57

4) Uma loja de artigos esportivos em Foz do Iguaçu oferece dois tipos deraquetes de tênis, um com a assinatura de Venus Williams e outro com a assi-natura de Martina Hingis. De acordo com as pesquisas, a demanda de cadaraquete não depende apenas do seu próprio preço, mas também do preço daconcorrente. Assim, se a raquete Willians for vendida por x reais e a raqueteHingis por y reais, a demanda da raquete Willians será D1 = 300−20x+30yraquetes por ano e a demanda da raquete em função dos preços x e y.

A produção Q de uma fábrica muitas vezes é considerada como umafunção do capital imobilizado K e do volume L da mão-de-obra. Funções deprodução da forma

Q(K, L) = AKαLβ

onde A, α e β são constantes positivas se revelaram particularmente úteisem análises econômicas e são conhecidas como funções de produção deCobb-Douglas.

Exemplo.

A produção de certa fábrica é dada pela função de produção de Cobb-DouglasQ(K,L) = 60K

13 L

23 unidades, onde K é o capital imobilizado em milhares

de reais e L é o volume de mão-de-obra em homens-horas:

(a) Calcule a produção da fábrica para um capital imobilizado de R$ 521.000, 00e um volume de mão-de-obra de 1.000 homens-horas.

58

(b) Mostre que a produção calculada no item (a) será duas vezes maior setanto o capital imobilizado quanto o volume de mão-de-obra forem multipli-cados por dois.

Grá�co de funções de Duas VariáveisO grá�co de uma função de duas variáveis f(x, y) é o conjunto de todos

os grupos ordenados de três números (x, y, z) tais que o par (x, y) pertenceao domínio de f e z = f(x, y). Para poder visualizar um grá�co desse tipo,precisamos de�nir um sistema de coordenadas tridimensional, acrescen-tando um terceiro eixo(o eixo Z) perpendicular aos eixos X e Y usados nosgrá�cos bidimensionais. Observe que, por convenção, supomos que o planoxy é horizontal e o sentido positivo do eixo Z é "para cima".

Figura 21: Sistema de coordenadas tridimensional.

59

A posição de um ponto no espaço tridimensional pode ser especi�cadaatravés de três coordenadas. Por exemplo, o ponto que está 4 unidadesacima do plano XY e diretamente acima do ponto cujas coordenadas X eY são x = 1, y = 2 é representado pelo grupo ordenado de três números(x, y, z) = (1, 2, 4). Da mesma forma, o grupo ordenado de três números(2,−1,−3) representa um ponto que está 3 unidades diretamente abaixo doponto (2,−1) do plano XY .(Ver �gura anterior)

Para plotar uma função f(x, y) de duas variáveis independentes x e y,costuma-se usar a letra z para representar a variável dependente, isto é,fazer z = f(x, y).

Figura 22: Grá�co da função z = f(x, y).

Os pares ordenados (x, y) do domínio de f são considerados pontos doplano XY e a função f é usada para calcular a "altura"de cada ponto (ou"profundidade", se o valor de z for negativo). Assim, se f(1, 2) = 4, estaigualdade pode ser representada gra�camente plotando o ponto (1, 2, 4) noespaço tridimensional. Quando isso é feito para todos os pontos do domínioda função, o resultado é uma superfície no espaço tridimensional. A próxima�gura mostrará algumas superfícies que desempenham um papel importantenos exemplos e exercícios deste capítulo.

60

Figura 23: Várias superfícies no espaço tridimensional.

Curvas de NívelEm geral, não é fácil traçar o grá�co de uma função de duas variáveis. A

�gura a seguir mostra uma das formas usadas para visualizar uma superfície.

61

Figura 24: Curva de nível da superfície z = f(x, y).

Quando o plano z = C intercepta a superfície z = f(x, y), o resultadoé uma curva no espaço. O conjunto de pontos (x, y) no plano XY que sat-isfaz à equação f(x, y) = C é chamado de curva de nível de f em C;fazendo variar o valor de C, é possível gerar uma família inteira de curvasde nível. Plotando alguns membros dessa família no plano XY , obtemos aforma aproximada da superfície z = f(x, y).

Imagine, por exemplo, que a superfície z = f(x, y) seja uma "mon-tanha"cuja "altitude"no ponto (x, y) é dada por f(x, y), como mostra a �guraa seguir.

Figura 25: A superfície z = f(x, y) como uma montanha.

A curva de nível f(x, y) = C está diretamente abaixo de uma trilha namontanha a qual a altitude é constante e igual a C. Para plotar a montanha,

62

podemos indicar as trilhas de altitude constante traçando a família de curvasde nível e espetando uma "bandeira"em cada curva para mostrar qual é aelevação correspondente.

Figura 26: As curvas de nível representam um mapa topográ�co de z =f(x, y).

Exemplo.

Discuta as curvas de nível da função f(x, y) = x2 + y2.

Curvas de Nível na Economia: Isoquantes e Curvas deIndiferença

63

As curvas de nível aparecem em muitas situações diferentes. Na econo-mia, por exemplo, se a produção Q(x, y) de um processo é determinada pordois insumos x e y(horas de trabalho e capital imobilizado, por exemplo), acurva de nível Q(x, y) = C é chamada de curva de produto constanteC, ou, mais resumidamente, de isoquante("iso"é um pre�xo que signi�ca"igual").

Outra aplicação das curvas de nível na economia envolve o conceito decurvas de indiferença. A um consumidor que está pensando em comprarvárias unidades de dois produtos é associada uma função de utilidadeU(x, y) que mede a satisfação(ou utilidade) que o consumidor recebe aoadquirir x unidades do primeiro produto e y unidades do segundo. Umacurva de nível U(x, y) = C da função de utilidade é chamada de curva deindiferença e fornece todas as combinações possíveis de x e y que resultam nomesmo grau de satisfação do consumidor. O próximo exemplo ilustra essesconceitos:

Exemplo.

A utilidade para um consumidor da aquisição de x unidades de um pro-duto e y unidades de um segundo produto é dada pela função de utilidadeU(x, y) = x

32 y. Se o consumidor possui x = 16 unidades do primeiro produto

e y = 20 unidades do segundo, determine o nível de utilidade do consumidore plote a curva de indiferença correspondente.

64

Alguns Grá�cos:

Figura 27: Algumas Superfícies geradas em computador.

65

3.2 Exercícios:1. Nos problemas abaixo, calcule o valor da função nos pontos especi�ca-

dos:a) f(x, y) = (x− 1)2 + 2xy3; f(2,−1), f(1, 2).b) f(x, y) = 3x+2y

2x+3y; f(1, 2), f(−4, 6).

c) g(x, y) =√

y2 − x2; g(4, 5), g(−1, 2).d) g(u, v) = 10u

12 v

23 ; g(16, 27), g(4,−1331).

2. Nos problemas abaixo, descreva o domínio da função dada:a) f(x, y) = 5x+2y

4x+3y. b) f(x, y) =

√9− x2 − y2.

c) f(x, y) = xln(x+y)

. d) f(x, y) =√

x2 − y.e) f(x, y) = ln(x + y − 4). f) f(x, y) = exy√

x−2y.

3. Nos problemas abaixo, plote a curva de nível f(x, y) = C para osvalores especi�cados de C.a) f(x, y) = x + 2y; C = 1, C = 2 e C = −3.b) f(x, y) = x2 + y; C = 0, C = 4 e C = 9.c) f(x, y) = x2 − 4x− y; C = −4, C = 5.d) f(x, y) = x

y; C = −2, C = 2.

e) f(x, y) = xy; C = 1, C = −1, C = 2 e C = −2.f) f(x, y) = yex; C = 0, C = 1.g) f(x, y) = ln(x2 + y2); C = 4, C = ln 4.

4. Usando x operários especializados e y operários não-especializados, umafábrica é capaz de produzir Q(x, y) = 10x2y unidades por dia. Nomomento, a fabrica opera com 20 operários especializados e 40 operáriosnão-especializados:(a) Quantas unidades estão sendo produzidas por dia?(b) Qual será a variação na produção diária se a fábrica puder contarcom mais 1 operário especializado?(c) Qual será a variação na produção diária se a fábrica puder contarcom mais 1 operário não-especializado?(d) Qual será a variação na produção diária se a fábrica puder contarcom mais 1 operário especializado e mais 1 operário não-especializado?

66

3.3 Derivadas parciais. Diferencial total. Derivadas deordem superior

Em muitos problemas que envolvem funções de duas(ou mais) variáveis, oobjetivo é determinar a taxa de variação da função com uma das variáveisenquanto a outra é mantida constante. Em outras palavras, o objetivo éderivar a função em relação a uma das variáveis mantendo a outra variável�xa. Esse processo é conhecido como derivação parcial; a derivada resul-tante é chamada de derivada parcial da função.

Suponhamos, por exemplo, que um estudo realizado em uma fábrica reveleque

Q(x, y) = 5x2 + 7xy

unidades de certo produto são fabricadas quando x operários especializadose y operários não-especializados estão trabalhando. Nesse caso, se o númerode operários não-especializados permanece constante, a taxa de variação daprodução com o número de operários especializados pode ser obtida derivandoQ(x, y) em relação a x. O resultado é chamado de derivada parcial de Qem relação a x e representado pelo símbolo Qx(x, y) ou ∂Q

∂x(x, y). Assim,

Qx(x, y) = 5(2x) + 7(1)y = 10x + 7y ou ∂Q

∂x(x, y) = 10x + 7y

Da mesma forma, se o número de operários especializados permanececonstante, a taxa de variação da produção com o número de operários não-especializados é dada pela derivada parcial de Q em relação a y, que éobtida derivando Q(x, y) em relação a y;

Qy(x, y) = (0) + 7x(1) = 7x ou ∂Q

∂y(x, y) = 7x

Notas:1) Se z = f(x, y) a derivada parcial de z em relação a x é representada por

∂z

∂xou fx(x, y)

e é a função obtida derivando z em relação a x enquanto y é tratada comoconstante. A derivada parcial de z em relação a y é representada por

∂z

∂you fy(x, y)

67

e é a função obtida derivando z em relação a y enquanto x é tratada comoconstante.

2) Como já sabemos, a derivada de uma função de uma variável, f(x), éde�nida pelo seguinte limite:

f ′(x) = limh→0

f(x + h)− f(x)

h

As derivadas parciais de uma função de duas(ou mais) variáveis, fx(x, y) efy(x, y), são dadas por limites semelhantes:

fx(x, y) = limh→0

f(x + h, y)− f(x, y)

he

fy(x, y) = limh→0

f(x, y + h)− f(x, y)

h3) Para uma função de três variáveis w = f(x, y, z) segue o mesmo raciocínio:derivada parcial em relação a x fx(x, y, z) , derivada parcial em relação a yfy(x, y, z) e derivada parcial em relação a z fz(x, y, z). Para o caso geralseja f(x1, x2, ..., xn) uma função de n variáveis, então sua derivada parcial navariável xi é dada por:

∂f

∂xi

= limh→0

f(x1, ..., xi−1, xi + h, xi+1, ..., xn)− f(x1, ..., xi−1, xi, xi+1, ..., xn)

h

Exemplos.1) Calcule as derivadas parciais fx e fy de f(x, y) = x2 + 2xy2 + 2 y

3x.

68

2) Calcule as derivadas parciais ∂z∂x

e ∂z∂y

da função z = (x2 + xy + y)5.

3) Calcule as derivadas parciais fx e fy da função f(x, y) = xe−2xy.

4) Calcule as derivadas parciais fx, fy e fz da função f(x, y, z) = ln(x+y)z

.

69

Interpretação Geométrica das Derivadas Parciais

Como vimos anteriormente, as funções de duas variáveis podem ser repre-sentadas gra�camente como superfícies em um sistema de coordenadas tridi-mensional. Em particular, se z = f(x, y), um par ordenado (x, y) no domíniode f pode ser associado a um ponto no plano XY e o valor funcional corre-spondente, z = f(x, y), pode ser associado a uma "altura"em relação a esseponto. O grá�co de f é a superfície formada por todos os pontos (x, y, z) doespaço tridimensional cuja altura z é igual a f(x, y).

As derivadas parciais de uma função de duas variáveis podem ser in-terpretadas geometricamente da seguinte forma: para cada número �xo y0,os pontos (x, y0, z) formam um plano vertical cuja equação é y = y0. Sez = f(x, y) e y é mantido �xo comm o valor y = y0, os pontos correspon-dentes (x, y0, f(x, y0)) formam uma curva no espaço tridimensional que é ainterseção da superfície z = f(x, y) com o plano y = y0. Em cada pontodessa curva, a derivada parcial ∂z

∂xé simplesmente a inclinação da reta do

plano y = y0 que é tangente à curva no ponto em questão. Em outraspalavras, ∂z

∂xé a inclinação da tangente "na direção x".(ver �gura)

Figura 28: Interpretação geométrica da derivada parcial em x.

Da mesma forma, se x é mantido �xo com o valor x = x0, os pontoscorrespondentes (x0, y, f(x0, y)) formam uma curva que é a interseção dasuperfície z = f(x, y) com o plano vertical x = x0. Em cada ponto da curva,

70

a derivada parcial ∂z∂y

é a inclinação da reta do plano x = x0 que é tangenteà curva no ponto em questão. Em outras palavras, ∂z

∂yé a inclinação da

tangente "na direção y".(ver �gura)

Figura 29: Interpretação geométrica da derivada parcial em y.

Derivadas Parciais de Segunda Ordem.

As derivadas parciais podem ser derivadas; as funções resultantes recebemo nome de derivadas parciais de segunda ordem. Este processo podese "repetir"n vezes e as funções resultantes recebem o nome de derivadasparciais de no ordem. Apresentaremos a seguir as possíveis derivadas par-ciais de segunda ordem de uma função de duas variáveis:

Se z = f(x, y), a derivada parcial de fx em relação a x é

fxx = (fx)x ou ∂2z

∂x2=

∂

∂x(∂z

∂x)

A derivada parcial de fx em relação a y é

fxy = (fx)y ou ∂2z

∂y∂x=

∂

∂y(∂z

∂x)

A derivada parcial de fy em relação a x é

fyx = (fy)x ou ∂2z

∂x∂y=

∂

∂x(∂z

∂y)

71

A derivada parcial de fy em relação a y é

fyy = (fy)y ou ∂2z

∂y2=

∂

∂y(∂z

∂y)

Exemplo.

Calcule as quatro derivadas parciais de segunda ordem da função f(x, y) =xy3 + 5xy2 + 2x + 1.

NotaAs derivadas parciais de segunda ordem fxy e fyx são chamadas de derivadasparciais mistas de f . Observe que as derivadas parciais mistas calculadasno exemplo anterior são iguais. Isto não é coincidência. Na maioria doscasos, as derivadas parciais mistas de uma função f(x, y) são iguais, ou seja,

fxy = fyx.

Exemplo.

A produção Q de uma fábrica depende do capital K investido da fábricae também do volume de mão-de-obra L, medido em homem-horas. Qual é osigni�cado econômico do sinal da derivada parcial de segunda ordem ∂2Q

∂L2 ?

72

Diferencial totalA diferencial de uma função de uma variável, y = f(x), é aproximada-

mente igual ao acréscimo ∆y da variável dependente y. De forma análoga, adiferencial de uma função de duas variáveis, z = f(x, y), é uma função quemelhor aproxima o acréscimo ∆z da variável dependente z.Geometricamente, a diferencial de uma função de uma variável está associ-ado a reta tangente que passa por um ponto (x0, y0) pertencente ao grá�code f(x). Já para o caso de duas variáveis a diferencial esta associado a umplano tangente à superfície z = f(x, y), no ponto (x0, y0)(quando existe).Este plano é que "melhor aproxima"a superfície perto do ponto (x0, y0).

A diferencial de z = f(x, y) em (x0, y0) é de�nida pela função T : IR2 → IR

T (x− x0, y − y0) =∂f

∂x((x0, y0)[x− x0] +

∂f

∂y((x0, y0)[y − y0]

ouT (h, k) =

∂f

∂x((x0, y0)h +

∂f

∂y((x0, y0)k

onde h = x− x0 e k = y − y0.Observamos que:

(a) Vemos que T nos dá uma aproximação do acréscimo ∆z, sofrido por fquando passamos de (x0, y0) para (x, y), ou seja,

∆z = f(x, y)− f(x0, y0) ∼= ∂f

∂x((x0, y0)[x− x0] +

∂f

∂y((x0, y0)[y − y0].

(b) É comum dizer que∂f

∂x((x0, y0)[x− x0] +

∂f

∂y((x0, y0)[y − y0]

é a diferencial de f em (x0, y0) relativa aos acréscimos ∆x e ∆y, onde

∆x = x− x0 e ∆y = y − y0.

(c) Em uma notação clássica, de�nimos a diferencial das variáveis indepen-dentes x e y como os acréscimos ∆x e ∆y, respectivamente, isto é,

dx = ∆x dy = ∆y.

73

Neste contexto, a diferencial de f em (x, y), relativa aos acréscimos ∆x e ∆y,é indicada por dz ou df , onde

dz =∂f

∂x(x, y)dx +

∂f

∂y(x, y)dy.

A expressão acima também é denominada diferencial total de f(x, y).

Exemplos.

1) Calcular a diferencial de f(x, y) = x +√

xy no ponto (1,1).

2) Dada a função z = x2 + y2 − xy.(a) Determinar uma boa aproximação para o acréscimo da variável depen-dente quando (x, y) passa de (1, 1) para (1, 001; 1, 02).

74

(b) Calcular ∆z quando as variáveis independentes sofrem a variação dadaem (a).

3) Calcular a diferencial das seguintes funções.(a) z = sen 2(xy).

(b) z = ln(x + y2).

75

3.4 Exercícios:1. Nos problemas abaixo, calcule todas as derivadas parciais de primeira

ordem da função dada:a) f(x, y) = 2xy5+3x2y+x2; b) f(x, y) = 5x2y+2xy3+3y2;c) z = (3x + 2y)5; d) z = t2

s3 ;e) f(x, y) = (x + xy + y)3; f) f(s, t) = 3t

2s;

g) f(x, y) = xexy; h) f(x, y) = xyex;i) f(x, y) = e2−x

y2 ; j) f(x, y) = xex+2y;k) f(x, y) = 2x+3y

y−x; l) f(x, y) = xy2

x2y3+1;

m) z = u ln v; n) f(u, v) = u ln(uv);o) f(x, y) = ln(x+2y)

y2 ; p) z = ln(xy

+ yx);

2. Nos problemas abaixo, calcule as derivadas parciais fx(x, y) e fy(x, y)no ponto dado P0(x0, y0);a) f(x, y) = 3x2 − 7xy + 5y3 − 3(x + y)− 1; em P0(−2, 1);b) f(x, y) = (x− 2y)2 + (y − 3x)2 + 5; em P0(0,−1);c) f(x, y) = xe−2y + ye−x + xy2; em P0(0, 0);d) f(x, y) = xy ln( y

x) + ln(2x− 3y)2; em P0(1, 1);

3. Nos problemas abaixo, calcule todas as derivadas parciais de segundaordem;a) f(x, y) = 5x4y3 + 2xy; b) f(x, y) = x+1

y−1;

c) f(x, y) = ex2y; d) f(u, v) = ln(u2 + v2;e) f(s, t) =

√s2 + t2; f) f(x, y) = x2yex;

4. Em certa fábrica, a produção diária é Q(K,L) = 60K12 L

13 unidades,

onde K é o capital imobilizado em milhares de reais e L o volumede mão-de-obra em homens-horas. O capital imobilizado atual é R$900.000, 00 e o volume de mão-de-obra é 1.000 homens-horas por dia.Use os métodos de análise marginal para estimar o efeito de um inves-timento adicional de R$ 1.000, 00 sobre a produção diária se o volumede mão-de-obra permanece constante.

5. Um fabricante estima que a produção anual de certa fábrica é dada por

Q(K, L) = 30K0,3L0,7

unidades, onde K é o capital imobilizado em milhares de reais e L é ovolume de mão-de-obra em homens-horas.a) Determine a produtividade marginal do capital, QR, e a produtivi-dade marginal da mão-de-obra, QL para um capital imobilizado de R$

76

630.000, 00 e um volume de mão-de-obra de 830 homens-horas.b) Para aumentar rapidamente a produtividade, o fabricante deve au-mentar o investimento ou a mão-de-obra?

6. Em certa fábrica, a produção é Q(K, L) = 30K12 L

13 unidades, onde K

é o capital imobilizado em milhares de reais e L é o volume de mão-de-obra em homens-horas:a) Determine o sinal da derivada parcial de segunda ordem ∂2Q

∂L2 e ex-plique o que signi�ca em termos econômicos.b) Determine o sinal da derivada parcial de segunda ordem ∂2Q

∂K2 e ex-plique o que signi�ca em termos econômicos.

77

3.5 Máximos e mínimos de funções de duas variáveis.Máximos e mínimos condicionais. Otimização condi-cional e não condicional com restrições

Suponha que um fabricante produza dois modelos de videocassete, o modelode luxo e o modelo-padrão, e que o custo total para produzir x unidades domodelo de luxo e y unidades do modelo-padrão seja dado pela função C(x, y).Como determinar o nível de produção x = a e y = b para qual o custo é mín-imo? Suponha que a produção de certa fábrica seja dada por uma funçãoQ(K,L), onde K é o capital imobilizado e L o volume da mão-de-obra. Paraque valores K = K0 e L = L0 a produção será máxima?

Aprendemos a usar a derivada f ′(x) para determinar os valores máximose mínimos da função de uma variável f(x). Vamos discutir o uso de métodossemelhantes no caso de funções de duas variáveis, f(x, y). Começaremos comuma de�nição:

De�nição 3.2 Extremos Relativos: Dizemos que uma função f(x, y) pos-sui um máximo relativo no ponto P (a, b) se f(a, b) ≥ f(x, y) para todosos valores de x e y em um intervalo e ≤ x ≤ f e g ≤ y ≤ h que contenha oponto P (a, b).Dizemos que uma função f(x, y) possui um mínimo relativo no pontoQ(c, d) se f(c, d) ≤ f(x, y) para todos os valores de x e y em um intervaloi ≤ x ≤ j e h ≤ y ≤ l que contenha o ponto Q(c, d).

Em termos geométricos, existe um máximo relativo de f(x, y) no pontoP (a, b) se a superfície z = f(x, y) possui um "pico"no ponto (a, b, f(a, b)), ouseja, se o ponto (a, b, f(a, b)) é pelo menos tão alto quanto qualquer pontopróximo. Da mesma forma, existe um mínimo relativo de f(x, y) no pontoQ(c, d) se o ponto (c, d, f(c, d)) está no fundo de uma "depressão", ou seja, seo ponto (c, d, f(c, d)) é pelo menos tão baixo quanto qualquer ponto próximo.A função f(x, y) da �gura a seguir, por exemplo, possui um máximo relativono ponto P (a, b) e um mínimo relativo no ponto Q(c, d).

78

Figura 30: Extremos relativos da função f(x, y).

Pontos Críticos

Os pontos (a, b) de f(x, y) para os quais fx(a, b) = 0 e fy(a, b) = 0 sãochamados de pontos críticos de f . Como os pontos críticos das funções deuma variáveis, esses pontos críticos desempenham um papel importante noestudo dos máximos e mínimos relativos.

Para ter uma idéia da relação que existe entre os pontos críticos e os ex-tremos relativos, suponha que f(x, y) possua um máximo relativo no ponto(a, b). Nesse caso, a curva formada pela interseção da superfície z = f(x, y)com o plano vertical y = b possui um máximo relativo, portanto, uma tan-gente horizontal no ponto x = a. Como a inclinação dessa tangente é dadapela derivada parcial fx(a, b), devemos ter necessariamente fx(a, b) = 0. domesmo modo, a curva formada pela interseção da superfície z = f(x, y) como plano vertical x = a possui um máximo relativo, portanto, uma tangentehorizontal no ponto y = b, de modo que fy(a, b) = 0. Isto mostra que umponto no qual uma função de duas variáveis possui um máximo relativo ouum mínimo relativo deve ser necessariamente um ponto crítico.

79

Figura 31: As derivadas parciais são nulas em um extremo relativo.

Pontos Críticos e Extremos Relativos: Um ponto (a, b) de uma funçãof(x, y) é chamado de ponto crítico se fx e fy existirem e

fx(a, b) = 0 e fy(a, b) = 0

Quando as derivadas parciais de primeira ordem de f existem em todos ospontos de uma região R do plano XY , os extremos relativos de f em R sópodem ocorrer em pontos críticos.Embora todos os extremos relativos de uma função devam ocorrer em pon-tos críticos, os pontos críticos não são necessariamente extremos relativos.Considere, por exemplo, a função f(x, y) = y2− x2, cujo grá�co, que lembrauma sela.

80

Figura 32: A superfície z = x2 − y2.

Nesse caso, fx(0, 0) = 0 porque a superfície possui um máximo relativo(portanto, uma tangente horizontal) "na direção x"e fy(0, 0) porque a su-perfície possui um mínimo relativo (portanto, uma tangente horizontal) "nadireção y". Assim, (0, 0) é um ponto crítico de f mas não um extremo rel-ativo. Para que um ponto crítico seja um extremo relativo, é preciso que oextremo seja do mesmo tipo em todas as direções. Um ponto crítico que nãoé um máximo relativo nem um mínimo relativo é chamado de ponto de sela.

Testes das Derivadas Parciais de Segunda Ordem

Vamos apresentar um método, baseado nas derivadas parciais de segunda or-dem, para determinar se um ponto crítico é um máximo relativo, ou mínimorelativo ou um ponto de sela.

Testes das Derivadas Parciais de Segunda Ordem: Suponhamos que(a, b) seja um ponto crítico da função f(x, y). Seja

D = fxx(a, b)fyy(a, b)− [fxy(a, b)]2

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Se D < 0, f possui um ponto de sela no ponto (a, b).Se D > 0 e fxx(a, b) < 0, f possui um máximo relativo no ponto (a, b).Se D > 0 e fxx(a, b) > 0, f possui um mínimo relativo no ponto (a, b).Se D = 0, o teste não pode ser aplicado; f pode possuir um máximo relativo,um mínimo relativo ou um ponto de sela no ponto (a, b).

Exemplos.

1) Determine todos os pontos críticos da função f(x, y) = x2+y2 e classi�quecada um como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela.

2) Determine todos os pontos críticos da função f(x, y) = y2−x2 e classi�quecada um como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela.

3) Determine todos os pontos críticos da função f(x, y) = x3 − y3 + 6xy eclassi�que cada um como um máximo relativo, um mínimo relativo ou umponto de sela.

82

Problemas de Práticos de otimização

A seguir, vamos ilustrar a aplicação da teoria dos extremos à solução deproblemas de otimização na área da economia. Na verdade, estaremos inter-essados em determinar o máximo ou mínimo absoluto de uma certa função.Acontece, porém, que o máximo(mínimo) absoluto e máximo(mínimo) rela-tivo dessas funções coincidem. Na maioria dos problemas práticos de otimiza-ção de funções de duas variáveis, os extremos absolutos coincidem com os ex-tremos relativos. Por essa razão, a teoria dos extremos absolutos de funçõesde duas variáveis não será discutida neste livro e o leitor poderá supor queos extremos relativos que encontrar como soluções de problemas práticos deotimização serão também extremos absolutos.

Exemplos.1) O único supermercado de uma pequena cidade do interior trabalha comduas marcas de suco de laranja, uma marca local que custa no atacado 30centavos a garrafa e uma marca nacional muito conhecida que custa no at-acado 40 centavos a garrafa. O dono do supermercado estima que se cobrarx centavos pela garrafa da marca local e y centavos pela garrafa da marcanacional, venderá 70−5x+4y garrafas da marca local e 80+6x−7y garrafasda marca nacional por dia. Por quanto o dono do supermercado deve venderas duas marcas de suco de laranja para maximizar o lucro?

2) Um funcionário do setor de planejamento da Distribuidora Tabajara ver-i�ca que as lojas dos três clientes mais importantes da distribuidora estãolocalizadas nos pontos A(1, 5), B(0, 0) e C(8, 0), onde as unidades estão emquilômetros. Em que ponto W (x, y) deve ser instalado em depósito para quea soma das distâncias do ponto W aos pontos A, B e C seja mínima?

83

Otimização com Restrições: Método dos Multiplicadores deLagrange

Em muitos problemas práticos, uma função de duas variáveis deve serotimizada com certas restrições. Uma editora, por exemplo, obrigada a re-speitar um orçamento de R$ 60.00, 00 para o lançamento de um livro, podeter necessidade de decidir qua é a melhor forma de dividir esse dinheiro en-tre a produção e a propaganda de modo a maximizar as vendas do livro.Chamando de x a quantia destinada à produção, y a quantia destinada ápropaganda e f(x, y) o número de livros vendidos, a editora gostaria de max-imizar a função de vendas f(x, y) com a restrição de que x+y = R$ 60.000, 00.

Para visualizar o que signi�ca o processo de otimização de uma funçãode duas variáveis com restrições, pense na função como uma superfície noespaço tridimensional e na restrição (que é uma equação envolvendo x e y)como uma curva no plano XY . Quando procuramos o máximo ou mínimo deuma função com uma dada restrição, estamos limitando nossa busca à parteda superfície que está diretamente acima da curva que representa a restrição.O ponto mais alto dessa parte da superfície é o máximo com a restrição e oponto mais baixo é o mínimo com a restrição.

Figura 33: Extremos com restrições e sem restrições.

Vamos discutir uma técnica muito versátil, conhecida como métododos multiplicadores de Lagrange, na qual a introdução de uma terceira

84

variável(o multiplicador) permite resolver problemas de otimização com re-strição.Mais especi�camente, o método dos multiplicadores de Lagrange se baseia nofato de que todo extremo relativo de uma função f(x, y) sujeita à restriçãog(x, y) = k deve ocorrer em um ponto crítico da função

F (x, y) = f(x, y)− λ[g(x, y)− k]

Onde λ é uma nova variável (o Multiplicador de Lagrange). Para deter-minar os pontos críticos de F , calculamos as derivadas parciais

Fx = fx − λgx Fy = fy − λgy Fλ = −(g − k)

e resolvemos o sistema de equações Fx = 0, Fy = 0, Fλ = 0:

Fx = fx − λgx = 0 ou fx = λgx

Fy = fy − λgy = 0 ou fy = λgy

Fλ = −(g − k) = 0 ou g = k

Finalmente, calculamos f(a, b) nos pontos críticos (a, b) de F .

Existe uma versão do teste das derivadas parciais de segunda ordem quepode ser usada para determinar que tipo de extremo relativo com restriçãocorresponde a cada ponto crítico (a, b) de F . As técnicas para realizar essetipo de análise são discutidas em textos mais avançados, mas neste contextovamos supor que se f possui um máximo(mínimo) com restrições, será dadopelo maior(menor) dos valores críticos f(a, b).

Aplicação do Método dos Multiplicadores de Lagrange

1o passo: escreva o problema na forma:

Maximizar (minimizar) f(x, y) com a restrição de que g(x, y) = k.

2o passo: resolva o sistema de equações

fx(x, y) = λgx(x, y)fy(x, y) = λgy(x, y)

g(x, y) = k

3o passo: calcule o valor de f em todos os pontos encontrados no 2o passo.Se o máximo(mínimo) desejado existir, será o maior(menor) desses valores.

85

Exemplos.

1) O departamento de estradas de rodagem está planejando construir umaárea de piquenique para motoristas à beira de uma rodovia movimentada.O terreno deve ser retangular, com uma área de 5.000 metros quadrados, edeve ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Qual o menorcomprimento da cerca necessária para a obra?

2) Determine os valores máximos e mínimos da função f(x, y) = xy com arestrição de que x2 + y2 = 8.

3) Pretende-se construir uma caixa com material que custam R$ 1, 00 porcentímetro quadrado para o fundo, R$ 2, 00 por centímetro quadrado para oslados e R$ 5, 00 por centímetro quadrado para a tampa. Se o volume totaldeve ser de 96cm3, quais devem ser as dimensões da caixa para que o custodo material seja mínimo?

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Aplicação à Economia - Maximização da Utilidade

A função de utilidade U(x, y) é usada para medir o grau de satisfaçãoou utilidade para o consumidor de possuir x unidades de um certo produto ey unidades de outro. O problema consiste em determinar quantas unidadesde cada produto o consumidor deve comprar para maximizar a utilidade semexceder uma determinada quantia.

Exemplos.

1) um consumidor tem R$ 600, 00 para gastar em dois produtos, o primeirodos quais custa R$ 20, 00 e o segundo, R$ 30, 00. A utilidade para o con-sumidor de possuir x unidades do primeiro produto e y unidades do segundoé dada pela função de utilidade de Cobb-Douglas U(x, y) = 10x0,6y0,4.Quantas unidades de cada produto o consumidor deve comprar para que autilidade seja máxima?

2) Uma editora dispõe de R$ 60.000, 00 para investir na produção e pro-paganda de um novo livro. Estima-se que se forem gastos x mil reais naprodução e y mil reais em propaganda, aproximadamente f(x, y) = 20x

32 y

exemplares do livro serão vendidos. Quanto a editora deve investir na pro-dução e quanto deve investir em propaganda para que o número de exem-plares vendidos seja o maior possível?

87

Signi�cado do Multiplicador de Lagrange

A maioria dos problemas de otimização com restrição pode ser resolvidapelo método dos multiplicadores de lagrange sem que haja necessidade decalcular o valor de λ, o multiplicador de Lagrange. Em alguns problemas,porém, é interessante obter o valor de λ, já que o parâmetro possui umainterpretação física interessante.

Signi�cado do Multiplicador de Lagrange: Se M é o valor máximo (oumínimo) de f(x, y) com a restrição de que g(x, y) = k, o multiplicador deLagrange λ é a taxa de variação de M em relação a k, ou seja,

λ =dM

dk

Assim, λ é a aproximadamente igual à variação de M produzida por umapequena variação de k.

Exemplo:

A editora do Exemplo anterior, recebe R$ 61.000, 00 em vez de R$ 60.000, 00para gastar na produção e propaganda do novo livro. Estime o efeito desseacréscimo de R$ 1.000, 00 sobre as vendas do livro.

Justi�cativa do Método de Lagrange

Embora uma demonstração rigorosa do método dos multiplicadores deLagrange esteja fora do escopo do curso, veremos a idéia geométrica que é

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bastante interessante. Ela se baseia no fato de que a tangente à curva denível F (x, y) = C é dada por

dy

dx= −Fx

Fy

Essa igualdade é verdadeira para qualquer curva de nível de uma função Fcujas derivadas parciais existam (contanto que Fy 6= 0).Considere agora o seguinte problema de otimização com restrições

Maximizar f(x, y) com a restrição de que g(x, y) = k

Geometricamente, isso signi�ca que é preciso encontrar a curva de nível maiselevada de f que intercepta a curva da restrição, g(x, y) = k. Como mostraa �gura a seguir:

Figura 34: Curvas de nível e curva de restrição.

A interseção crítica ocorre no ponto em que a curva da restrição é tangentea uma curva de nível, ou seja, no ponto em que a inclinação da curva darestrição g(x, y) = k é igual à inclinação da curva de nível f(x, y) = C.De acordo com a expressão proposta no início desta discussão, temos

Inclinação da curva da restrição = Inclinação da curva de nível

−gx

gy

= −fx

fy

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ou seja,fx

gx

=fy

gy

Chamando de λ essa razão, temos

fx

gx

= λ e fy

gy

= λ

O que nos dá as duas primeiras equações de Lagrange

fx = λgx e fy = λgy

A terceira equação de Lagrange, g(x, y) = k expressa simplesmente o fatode que o ponto de tangência está sobre a curva da restrição.

90

3.6 Exercícios:1. Nos problemas abaixo, determine quais são pontos críticos da função

dada e classi�que cada um como máximo relativo, mínimo relativo ouponto de sela.a) f(x, y) = 5− x2 − y2; b) f(x, y) = 2x2 − 3y2;c) f(x, y) = xy; d) f(x, y) = x2 + 2y2 − xy + 14y;e) f(x, y) = xy + 8

x+ 8

y; f) f(x, y) = 1

x+ 1

y− 1

x+y;

g) f(x, y) = (x2 + y2)e1−x2−y3 ; h) f(x, y) = (x− 4) ln(xy);i) f(x, y) = x

x2+y2+4; j) f(x, y) = e−(x2+y2−6);

k) f(x, y) = xye−( 16x2+9y2

288); l) f(x, y) = x ln(y2

x) + 3x− xy2;

2. Uma loja de camisetas de basquete vende dois modelos, um assinadopor Michael Jordan e outro por Shaquille O'Neal. O dono da lojacompra os dois modelos por R$ 2, 00 por camisa e estima que se ascamisetas Jordan forem vendidas por x reais a unidade e as camisetasO'Neal por y reais a unidades, os frequeses comprarão 40− 50x + 40ycamisetas Jordan e 20 + 60x− 70y camisetas O'Neal por dia. Quantoo dono da loja deverá cobrar pelas camisas para obter o maior lucropossível?

3. Uma fábrica de laticínios produz leite integral e leite desnatado nasquantidades de x e y litros por hora, respectivamente. O preço do leiteintegral é p(x) = 100 − x e o do leite desnatado é q(y) = 100 − y. Afunção de custo conjunto dos produtos é C(x, y) = x2 +xy + y2. Quaisdevem ser os valores de x e y para que o lucro seja máximo?

4. Nos problemas abaixo, use o método dos multiplicadores de Lagrangepara determinar o extremo pedido.a) Determine o valor máximo da função f(x, y) = xy com a restriçãode que x + y = 1.b) Determine o valor máximo e mínimo da função f(x, y) = xy com arestrição de que x2 + y2 = 1.c) Determine o valor máximo da função f(x, y) = x2 + y2 com a re-strição de que xy = 1.d) Determine o valor mínimo da função f(x, y) = x2 + 2y−xy2 com arestrição de que 2x + y = 22.e) Determine o valor mínimo da função f(x, y) = x2 − y2 com a re-strição de que x2 + y2 = 4.f) Determine o valor máximo da função f(x, y) = exy com a restriçãode que x2 + y2 = 4.

91

g) Determine o valor máximo da função f(x, y) = ln(xy2) com a re-strição de que 2x2 + 3y2 = 8 para x > 0 e y > 0.h) Determine o valor máximo da função f(x, y, z) = xyz com a re-strição de que x + 2y3z = 24.i) Determine o valor máximo da função f(x, y, z) = x + 2y + 3z com arestrição de que x2 + y2 + z2 = 16.

5. Quando x milhares de reais são investidos em mão-de-obra e y milharesde dólares são investidos em equipamentos, a produção de certa fábricaé Q(x, y) = 60x

13 y

23 unidades. Se o dono da fábrica dispõe de R$

120.000, 00 quanto deve investir em mão-de-obra e quanto deve investirem equipamentos para que a produção seja a maior possível?($ 1 Dolar= R$ 1, 80 Reais)

6. Uma construção retangular deve ser executada com material que cus-tam R$ 30, 10 o metro quadrado para o teto, R$27, 00 o metro quadradopara os dois lados e R$ 20, 00 o metro quadrado para a frente. Quaissão as dimensões do maior galpão (em volume) que pode ser construídopor R$ 8.000, 00?

7. Um consumidor dispõe de R$ 280, 00 para gastar em dois produtos,o priimeiro dos quais custa R$ 2, 00 a unidade e o segundo R$ 5, 00a unidade. A utilidade para o consumidor de x unidades do primeiroproduto e y unidades do segundo é dada por U(x, y) = 100x0,25y0,75.(a) Quantas unidades de cada produto o consumidor deve comprar paramximizar a utilidade?(b) Calcule a utilidade marginal do dinheiro e interprete o resultado emtermos econômicos.

8. Um fazzendeiro dispõe de 320 metros de cerca para cercar um pastoretangular. Que dimensões deve escolher para que o pasto tenha amaior área possível?

92

3.7 Integrais múltiplas: de�nição e cálculoVeremos que o processo para integrar uma função de duas variáveis f(x, y)é "semelhante"ao processo usado para integrar uma função de uma variável,f(x). Como duas variáveis estão envolvidas, integramos f(x, y) mantendouma das variáveis �xas e integrando em relação à outra.Por exemplo, para calcular a integral parcial ∫ 2

1 xy2dx, integramos em re-lação a x usando o teorema fundamental do cálculo e tratando y como umaconstante:

∫ 2

1xy2dx =

1

2x2y2 |x=2

x=1= [1

2(2)2y2]− [

1

2(1)2y2] =

3

2y2

Da mesma forma, para calcular ∫ 1−1 xy2dy, integramos em relação a y e trata-

mos x como uma costante:∫ 1

−1xy2dx = x

1

3y3 |x=1

x=−1= [x1

3(1)3]− [x

1

3(−1)3] =

2

3x

Ao integrarmos uma função f(x, y) em relação a x, obtemos uma funçãoapenas de y, que pode ser integrada como uma função de uma variável. Oresultado é chamada integral repetida, ∫

[∫

f(x, y)dx]dy. Da mesma forma,a integral repetida ∫

[∫

f(x, y)dy]dx é obtida integrando primeiro em relaçãoa y, considerando x como uma constante, e depois em relação a x. Porexemplo, ∫ 1

−1(∫ 2

1xy2dx)dy =

∫ 1

−1

3

2y2dy =

1

2y3 |x=1

x=−1= 1

ou ∫ 2

1(∫ 1

−1xy2dy)dx =

∫ 2

1

2

3xdx =

1

3x2 |x=2

x=1= 1

Observe que neste exemplo as duas integrais repetidas têm o mesmo valor.É possível demonstrar que isso sempre acontece quando os limites de inte-gração são constantes. Usando esse fato para de�nir a integral dupla em umaregião retangular da seguinte forma:

Integral Dupla em uma Região Retangular: A integral dupla ∫ ∫R f(x, y)dA

na região retangular

R : a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d

93

Figura 35: Região R.

é dada pelo valor comum das duas integrais repetidas∫ b

a[∫ d

cf(x, y)dy]dx e

∫ d

c[∫ b

af(x, y)dx]dy;

ou seja∫ ∫

Rf(x, y)dA =

∫ b

a[∫ d

cf(x, y)dy]dx =

∫ d

c[∫ b

af(x, y)dx]dy;

Nota:A ordem de integração não afeta o resultado �nal da integral dupla, poremos cálculos feitos das integrais intermediárias podem variar quanto ao graude di�culdade. Ou seja, as vezes é melhor integrar primeiro em relação a xe depois em relação a y(ou vise versa). Vamos ver um exemplo para ilustrareste fato:

Exemplo.

Calcule a integral dupla∫ ∫ R

xexydA

onde R é a região retangular 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1.

94

Volume por meio da integral Dupla: Se f(x, y) ≥ 0 para todos os pontossituados em uma região retangular R, o sólido sob a superfície de f e limitadopela região retangular R tem volume dado por

V =∫ ∫

Rf(x, y)dA

Exemplo.

Determine o volume sob a superfície f(x, y) = xye situado na região R

de�nida por 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2.

Valor Médio: O valor médio da função f(x, y) na região retangular R édado pela expressão

V M =1

área de R

∫ ∫

Rf(x, y)dA

Exemplo.

Em certa fábrica, a produção é dada pela função de produção de Cobb-Douglas

Q(K, L) = 50K35 L

25

onde K é o investimento em milhares de reais e L é o volume de mão-de-obraem homens-horas. O investimento mensal varia entre R$ 10.000, 00 e R$12.000, 00 e o volume de mão-de-obra utilizado em um mês varia entre 2.800e 3.000 homens-horas. Determine a produção média da fábrica.

95

3.8 Exercícios:1. Calcule as integrais duplas a seguir.

a)∫ 10

∫ 21 x2ydxdy; b)

∫ ln 20

∫ 0−1 2xeydxdy;

c)∫ 31

∫ 10

2xyx2+1

dxdy; d)∫ 10

∫ 10 x2exydydx;

e)∫ 32

∫ 21

x+yxy

dydx; f)∫ 21

∫ 32 ( y

x+ x

y)dydx;

a)∫ 10

∫ 51 y√

1− y2dxdy; h)∫ 32

∫ 1−1(x + 2y)dydx;

2. Nos problemas abaixo, calcule o volume do sólido limitado pelas super-fície da função f(x, y) e pela região retangular R dada:a) f(x, y) = 9−x2−y2; R tem como vértices os pontos (−1,−2), (1,−2), (−1, 1), (1, 1);b) f(x, y) = 1

xy; R : 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 3;

c) f(x, y) = ex+y; R : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ ln 2;d) f(x, y) = xe−y; R : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2;e) f(x, y) = (1− x)(4− y); R : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 4;

3. Nos problemas abaixo, calcule o valor médio da função f(x, y) na regiãoretangular R dada:a) f(x, y) = xy(x−2y); R tem como vértices os pontos (−2, 2), (3, 2), (−2,−1), (3,−1);b) f(x, y) = y

x+x

y; R tem como vértices os pontos (1, 1), (4, 1), (1, 3), (4, 3);

c) f(x, y) = ln xxy

; R : 1 ≤ x ≤ 2, 2 ≤ y ≤ 3;d) f(x, y) = xex2y; R : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2;

4. Nos problemas abaixo, calcule a integral dupla dada na região retan-gular R especi�cada. Escolha a ordem de integração que for mais con-veniente:a)

∫ ∫R

ln(xy)xy2 dA na região R : 1 ≤ x ≤ 3, 2 ≤ y ≤ 5;

b)∫ ∫

R yexydA na região R : −1 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2;c)

∫ ∫R x2ex2ydA na região R : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1;

5. Em certa fábrica, a produção Q está relacionada aos insumos x e yatravés da expressão Q(x, y) = 2x3 + 3x2y + y3. Se 0 ≤ x ≤ 5 e0 ≤ y ≤ 7, qual é a produção média da fábrica?

6. Um mapa de um pequeno parque regional é uma malha retangular,limitada pelas retas x = 0, x = 4, y = 0 e y = 3, onde as unidadesestão em quilômetros. A altitude em relação ao nível do mar em cadaponto (x, y) do parque é dada por

E(x, y) = 90(2x + y2)metrosCalcule a altitude média do parque.

96