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2N O TA S D E A U L A , R E V 6 . 0 – U E R J 2 0 1 8 – F L Á V I O A L E N C A R D O R Ê
Eletrônica 4
Estabilidade e Compensação
Flávio Alencar do Rego Barros Universidade do Estado do Rio de Janeiro
E-mail: [email protected]
Notas de aula – versão 6.0
Capítulo
G O B A R R O S
O capítulo 2 (Estabilidade e Compensação) trata de modo mais detalhado as
formas de analisar a estabilidade dos circuitos realimentados e as técnicas, métodos e
procedimentos, chamados compensação, para garantir tal estabilidade. Na versão
2015.2, nas aulas, serão suprimidas algumas partes que constam deste material, como
Critério de Nyquist, Análise no Plano-s para Estabilidade, Método de Compensação por
Equalizador. No entanto, os textos e as figuras relativas a estes assuntos foram mantidos
neste material de apoio. Estão incluídos textos e figuras sobre: análise de estabilidade,
Bode assintótico, critério de Nyquist, Routh-Hurwitz, Yen, compensação.
Estas notas de aulas se destinam a reduzir o trabalho de cópia do aluno durante
as aulas (indica-se manter em cada aula, cada aluno a sua cópia), mas também oferecer
material de apoio na forma de exercícios propostos e referências onde o aluno poderá
complementar seu estudo. É importante perceber que este material NÃO esgota o que o
aluno deve ler durante o curso, nem mesmo substitui a participação em sala de aula,
devendo ser encarado apenas como material de apoio. Alertamos que também pode
acontecer nestas notas de aula alguns erros de digitação ou de outra natureza, a ideia é
corrigi-los ao longo das aulas, à medida que forem descobertos.
Notas de aula – versão 6.0
Índice do capítulo 2:
12. Análise de Estabilidade.............................................................................................49 Margem de Ganho (MG) e Margem de Fase (MF)...............................................50
13. Análise de Estabilidade – Bode Assintótico 52
14. Critério de Nyquist 54
15. Método de Análise –Routh-Hurwitz..........................................................................56
16. Limites de Yen...........................................................................................................57
17. Compensação.............................................................................................................60 Compensação por Polo Dominante.......................................................................60 Compensação por Cancelamento Polo-Zero.........................................................63 Compensação por Equalizador..............................................................................64
Anexo C – 2ª. LISTA.........................................................................................................i
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UERJ 2018 Eletrônica 4 Pag. 49
12. Análise de Estabilidade O efeito da realimentação na estabilidade de circuitos depende dos polos da função
A(s). Numa análise de A(s) no plano imaginário, caso os polos se localizem no SPD
(semiplano da direita), o circuito é instável. Sem demonstração, apenas por ilustração,
se A(s) tem polo simples (vide Figura 51 a seguir) não haverá instabilidade para
qualquer valor de aoβ (ou aor, segundo a notação do cap. 1):
Baixas frequências: ( ) [ ]
+
++
=⇒+
=
ββ
oaw
soa
soasA
wssoa
sa
111
)(1
)()(
Altas frequências: ( ) β222)(
22)(
woawswoa
sAwswoa
sa++
=⇒+
=
Estabilidade e Pólo SimplesIm
Re
a0β = 0
a0β = ∞
Estabilidade e Pólo Duplo Im
Re-w1-w2-w3-w4
a0β = 0
a0β = ∞
a0β = ∞
a0β = ∞
-w1-w2
Figura 51: Estabilidade e Polos
Ainda acompanhando na Figura 51 acima, se A(s) tem polo duplo, e da mesma
forma não existem polos no SPD:
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Baixas frequências: ( )( ) ( )( ) 221
2)(
21
2)(
soawsws
soasA
wswssoa
saβ+++
=⇒++
=
Altas frequências:
( )( ) ( ) β4343432
43)(43
43)(wwoawwswws
wwoasA
wswswwoa
sa++++
=⇒++
=
A estabilidade, porém, pode não acontecer para três polos ou mais, além do que
a análise é muito mais complicada. O que vamos fazer neste capítulo é verificar a
estabilidade de circuitos realimentados, porém, olhando de um ponto de vista prático.
De início, analisaremos três métodos: Margens (de Ganho e Fase), Bode, Nyquist e
Hurwitz (os dois primeiros, gráficos, os dois últimos, analíticos).
Margem de Ganho (MG) e Margem de Fase (MF)
Como )()(1)(
srsasa
fA+
= , o circuito será instável se:
ganho de malha aberta
∞→⇒−= )(1)()( sfAsrsa
circuito estável requer osrsaquandosrs 180)()(1)()( =∠<a ,
então a estabilidade do amplificador pode ser analisada pelos plots de
)()()()( srsaesrsa ∠ .
Define-se Margem de Ganho (MG) e Margem de Fase (MF):
odBsrsaMG180
)()(−= diferença entre 0 dB e o módulo na frequência que a fase
chega a 180°.
)()( srsaMF ∠= diferença entre a fase na frequência que o módulo alcança 0 dB e a fase de -180°.
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Na Figura 52 a seguir se encontram as visualizações gráficas destas duas
definições. Para o circuito ser estável é rigorosamente necessário que:
MG > 0
MF > 0
Em termos práticos, MG representa o quanto |ar| pode ser aumentado antes do
amplificador se tornar INSTÁVEL. É praxe de projeto garantir MG > 10 dB e também
MF > 50° .
Margem de Ganho – Margem de Fase
1 10 100 1000 w (rad/seg)
1 10 100 1000 w (rad/seg)
|ar|dB
ar
20
10
0
-10
-20
0º
-60º
-120º
-180º
MG
2
2 3
4
1ba
MF
c
d
Figura 52: Margens de Ganho e de Fase
Observe agora que se w1 é a frequência onde o ganho de malha aberta é unitário:
MFojjwa −=⋅⋅⋅⋅⋅∈⋅= 1801)1( θθβ então, o ganho de malha fechada é:
θ
θβ
β j
j
jwajwa
jwfA∈+
∈
=+
=1
1
)1(1)1(
)1(
( ) θθ
βθ
β2sen2cos1
1
1
1
)1(++
=+
=⇒j
jwfA
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se fizermos MF = 50° ⇒ θ = 180°- 50 = 130°
ββ 18.1
1302sen2
130cos1
1
)1( =
+
+
=⇒oo
jwfA
significa um pico de 1.4 dB (20 log 1.18) acima do ganho de meia-banda (20 log 1/β) MF diminui ⇒ pico aumenta (MF = 10° ⇒ pico= 15.1 dB)
Se:
MF aumenta ⇒ pico diminui (MF = 90° ⇒ pico= -3 dB !!!)
Perceba, portanto, a solução de compromisso envolvida!
Observe os picos acima de meia banda para diversas situações:
Pico acima da meia-banda (dB) MF θ
15.2 10° 170° 9.2 20° 160° 5.7 30° 150° 3.3 40° 140
1.5 50° MF limítrofe prático 130°
0 60° 120° -3 90° 90°
O problema deste método de análise de estabilidade é que nos obriga a soluções
gráfica e computacionalmente intensivas.
13. Análise de Estabilidade – Bode Assintótico Trata-se de um método gráfico (podem também ser tiradas conclusões analíticas),
simples, que fornece o grau de estabilidade do circuito (estável, fracamente estável ou
instável).
Condição de estabilidade:
1)()( −=srsa
Frequentemente r(s) é puramente resistivo: β=)(sr
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|A|dB |a|dB |1/β|dB
ββ 1log20)(log20)(log20 −=⇒ sasa
ganho de malha ganho do ganho de aberta canal direto realimentação (FABRICANTE) (SEU CIRCUITO)
Visualização gráfica desta equação:
Bode Assintótico
Módulo(dB)
w (escala log)
(1/β)dB
|a|dB
condição de instabilidade: |1|log20|)(|log20|)(|log20β
β −= sasa
ganho de malha aberta
ganho de canal direto
(FABRICANTE)
ganho de Realimentação
(SEU CIRCUITO)
180º ?
Figura 53: Bode Assintótico
Aquele ponto indicado na Figura 53 corresponde ao risco de instabilidade, se o
gráfico de fase para este valor de w passar por 180°.
Numa abordagem prática, cada polo de a(s) – canal direto - acarreta uma
“quebra” de –20 dB/dec na curva de módulo e uma “queda” de -90° na curva de fase.
Assim, se a interceptação entre |a|dB e |1/β|dB se dá com uma diferença de angulação de
menos que –40 dB/dec o circuito é considerado ESTÁVEL; se igual a –40 dB/dec o é
FRACAMENTE ESTÁVEL (no ponto crítico a fase se aproxima assintoticamente de -
180°); se mais que –40 dB/dec o circuito é INSTÁVEL.
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Na Figura 54 a seguir são mostrados diversos gráficos de redes de realimentação
para uma única plotagem de ganho de canal direto. Conforme o ponto de interceptação,
os respectivos circuitos terão o seu status quanto à estabilidade.
1 / ββ22
1 / ββ11
1 / ββ33
w
A ,dBV
ganhosem
compensação
Lista 2-6
1 / ββ44
Figura 54: Exemplos - Bode Assintótico
Vejamos a seguir métodos analíticos.
14. Critério de Nyquist “Um amplificador realimentado é estável se ele não apresenta polos
positivos ou contendo zero na sua parte real”.
O diagrama de Nyquist corresponde ao mapeamento do plano-s no plano-
a(jw)β:
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Critério de Nyquist
Re
Im
plano-s
Re
Im
plano-a(s)β
SPDSPE
Im[a(jw)β]
-1
plano-a(s)β
Re [a(jw)β]
Im[a(jw)β]
-1
plano-a(s)β
Re [a(jw)β]
estável instável
Figura 55: Critério de Nyquist
O número de vezes que o contorno circunda o ponto crítico (-1 + j0) –
corresponde ao ponto crítico - é igual ao número de raízes com parte real positiva.
A relação entre MG, MF e Critério de Nyquist é ilustrada na Figura 56 a seguir:
Margens de Ganho e Fase/Critério de Nyquist
Im[a(jw)β]
-1Re [a(jw)β]
φM
- α |1|log20α
=MG
MMF φ=
Figura 56: Relações Nyquist e Margens de Ganho e Fase
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Como α1log20=MG , se tiver múltiplas intercessões no semi-eixo negativo,
MG é da intercessão que mais se aproxima do ponto crítico. Quanto à Margem de Fase:
MMF φ= , ou seja, ângulo entre eixo real negativo e ponto de interceptação com o
círculo unitário.
15. Método de Análise – Routh-Hurwitz
Considere 02
21
1)(1)( ansnansnansnasasR +⋅⋅⋅−−+−
−+=+= β raízes de Af(s). O
método Routh-Hurwitz consiste em construir uma matriz como ilustrado na Figura 57 a
seguir e utilizar o seguinte critério quanto à estabilidade:
“Todos sinais da 1ª coluna (an, an-1, b1, c1, ...) são iguais”. Isto significa (a ausência de
inversões de sinal) que não existem raízes no SPD. Para casos não degenerativos, o
número de mudanças no sinal da 1ª coluna da matriz é igual ao número de raízes no
SPD do polinômio R(s).
Método de Routh-Hurwitz
sn an an-2 an-4 ........
sn-1 an-1 an-3 an-5 ........
sn-2 b1 b2 b3 ........
sn-3 c1 c2 c3 ........
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s0
01
1 ...)(1)( asasasasR nn
nn +++=+= −
−β
1
3211
−
−−− −=
n
nnnna
aaaab
1
5412
−
−−− −=
n
nnnna
aaaab
.
.
.
1
12311 b
ababc nn −− −=
1
13512 b
ababc nn −− −=
.
.
.
sinaisiguais
Figura 57: Método Routh-Hurwitz
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EXEMPLO: Dado R(s), verifique se o amplificador realimentado é estável ou instável.
24502353104)() ++++= sssssRa
402223)() +++= ssssRb
322234)() ++++= sssssRc
4423)() +++= ssssRd
SOLUÇÃO: Em sala de aula. Respostas: estável; instável; instável; estável, mas pode
oscilar.
16. Limites de Yen Trata-se do limite de realimentação que pode ser aplicada a um amplificador sem torná-
lo instável (utiliza o critério de Routh-Hurwitz para descobrir a máxima realimentação
aoβo).
Sejam b1, b2,...,bn os pólos nas baixas freqüências: ( )( )( )321
3)(
bsbsbssoa
sa+++
=
a1, a2,...,an os pólos nas altas freqüências: ( )( )( )321321)(
asasasaaaoa
s+++
=a
1) 3 POLOS (de baixa, portanto, 3 zeros na origem)
( ) ( ) ( ) 3212331212
32131)( bbbsbbbbbbsbbbsoasR ++++++++= β
(formato 3 polos de baixa)
sejam: βoaA += 1
BbbbC =++= 32113
CbbbbbbC =++= 32312123
=== mnCDbbbC ...321
33 soma das combinações dos n polos
tomados m a m (em produtos).
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Routh-Hurwitz:
3s A C 2s B D
1s BADBC −
0
0s D como A, B e D > 0 ⇒
0>−A
ADBC (para ser estável)
( )( )0
321321)1(323121321 >
+++−++++
bbbbbboabbbbbbbbb β
⇒>++
+−++⇒ 0
321321)1(
323121 bbbbbboa
bbbbbbβ
⇒++++++++<+13
121
231
211
3
2
311
bb
bb
bb
bb
bb
bb
oa β
21
322
313
21 ++
++
++
<b
bbb
bbb
bboa β
Analisando dois casos limites:
i) b1 = 100 polo dominante (o pior entre os melhores casos)
b2 = 10
b3 = 10 ⇒ 2.24322.01111 =⇒+++< bYoa β
ii) b1 = b2 = b3 polos iguais (pior caso)
832222 =⇒+++< bYoa β
Se fizermos a mesma análise para 4 e 5 polos, vamos obter:
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Limites de Yen
Limites de Yen (baixas)No. de Pólos Pólopólos Condições coincidentes dominante
BC – AD = 0 -> Y3b = a0 β|MAX
3 B = C31 C = C3
2 D = C33 A = 1 + a0β 8 24.2
BCD – AD2 – B2E = 0 -> Y4b = a0 β|MAX
4 B = C41 C = C4
2 D = C43 E = C4
4 4 11.1
5 (BC – AD)(BE – AF)D – (BE – AF)2B – (BC – AD)2 2.4 7.3
Figura 58: Limites de Yen
EXEMPLO: O formato de R(s) para altas frequências (3 polos) é:
( ) ( ) ( ) 3212331212
32131)( bbbsbbbbbbsbbbsoasR ++++++++= β
Prove que o limite de Yen para altas frequências é igual ao seu limite para baixas
( bYa 33 =Y ).
SOLUÇÃO: Possivelmente em sala de aula.
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17. Compensação Se um amplificador realimentado se torna instável, existem dois métodos básicos para
estabilizá-lo. O primeiro, reduzir o ganho de malha aberta (ar), mas pode ter
consequências inaceitáveis. O segundo, compensação, significa acrescentar uma rede
que garanta MF ≥ 50° e MG ≥ 10 dB:
SEM COMPENSAÇÃO COM COMPENSAÇÃO
Figura 59: Rede de Compensação
São três os principais métodos de compensação que analisaremos:
polo dominante (Lag)
cancelamento polo-zero (Lag-Lead)
equalizador (Lead)
Em todos métodos a ideia é recuar o ponto em que a curva de decibéis corta a
origem (|a|dB = 0) em uma freqüência que seja GARANTIDO que a∠ não chegou
ainda em 180°, portanto, longe da instabilidade.
Compensação por Polo Dominante
No método POLO DOMINANTE, a ideia é inserir um polo (fd) de modo que
|a´|dB passe em 0 dB no primeiro polo f1 de |a|dB não compensado. Como ilustraremos
numa próxima figura o preço da estabilidade é a redução da banda!
Uma estrutura RC colocada na saída do amplificador direto oferece as condições de
polo dominante, senão vejamos:
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pCpsR
psCpR
psC
VoV
pH+
=+
==1
11
1
1
Figura 60: Estrutura RC para Compensação Polo Dominante
chamando pH
pwsV
oV
pCpRpw =+
=⇒=1
1
1
1
Agregando esta estrutura RC à saída do canal direto, como ilustrado na Figura
61 abaixo:
Compensação Pólo Dominante
|a|dB
w (escala log)w1wp
|a´|dB
w (escala log)w1wp
BW antes
BW depois
-20dB/dec
-20dB/dec
ANTES DA COMPENSAÇÃO
DEPOIS DA COMPENSAÇÃO
Rp
Cp
aV1 V0Vi
a´
awwp
1=
ppp CR
w 1=
R0
Figura 61: Compensação por Polo Dominante
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Os resultados mostrados na Figura 61 são oriundos de:
pwwra
dBra
pwwj
rapaHra log20log20´
1
´ −=⇒+
==
aplicando a condição de polo dominante:
Figura 62: Estrutura de Compensação por Polo Dominante
raw
pwpw
wra 11log20log200 =⇒−= → na região em que |ra|dB tem –20 dB/dec
EXEMPLO: Dimensione a rede de compensação por polo dominante para o seguinte
amplificador realimentado. Sabe-se que o AMP OP apresenta:
⋅⋅+
⋅⋅+
⋅+
−=Ω=Ω=
6103021
6101021
61021
41075;1
πππ
sssMReoRMiR
Figura 63: Exercício da Lista 2-11
SOLUÇÃO: Em sala de aula. Respostas: 1.57 KHz; 1.35 µF
Compensação por Cancelamento Polo-Zero
A ideia é inserir um zero antes de um polo, para cancelar o 1° polo e garantir 0 dB no
segundo polo da função original. É, pois, por construção, menos redutor de banda que o
Notas de aula – versão 6.0
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método anterior. A rede de compensação responsável por isto é ilustrada na Figura 64 a
seguir.
Compensação Cancelamento Pólo-Zero
|a|dB
w (escala log)w1wpz
|a´|dB
w (escala log)w1wpz
BW antes
BW depois
-20dB/dec
-20dB/dec
ANTES DA COMPENSAÇÃO
DEPOIS DA COMPENSAÇÃO
Ra
Cc
V1 V0
awwpz
2=
cbapz CRRR
w)(
10++
=
w2wp
w2
Rb
1wwz =
cbz CR
ww 11 ==
Figura 64: Compensação por Cancelamento Polo-Zero
Para este circuito:
( ) csCbRaRcCbsR
csCbRaR
csCbR
VoV
pzH++
+=
++
+==
11
1
1
1 (numerador tem um
zero, denominador tem um polo). Se:
( )pw
wj
zwwja
pzHcCbRaRpwe
cCbRzw+
+
=∴+
==1
111
então:
pwwj
zwwja
pzaHa
pwwj
zwwj
pzH+
+
==⇒+
+=
1
1´
1
1
Notas de aula – versão 6.0
UERJ 2018 Eletrônica 4 Pag. 64
Aplicando a condição de cancelamento polo-zero:
1
2
1
2log20log200
fzfaf
pf
wzwpf
fa
=
=⇒
=
−=
então:
( ) cCbRwzwe
cCoRbRaRpw 11
1==
++=
Compensação por Equalizador
É similar ao cancelamento polo-zero, exceto que o polo ocorre “depois” do zero:
eqeqeq
eqzwpw
pwszws
eqH >>+
+=
Nestes termos, a condição de compensação para o equalizador é:
aw
pwpwwa
eqeq
11log20log200 =⇒
−=
Agora, o segundo polo de a(s) é cancelado pelo zero da rede de compensação. A rede de
compensação e os resultados são ilustrados na Figura 65 a seguir.
Notas de aula – versão 6.0
UERJ 2018 Eletrônica 4 Pag. 65
Compensação Equalizador
Ra
Cc
V1V0 a
wwpeq1=
cbapeq CRR
w)||(
1=
Rb
2wwzeq =
cazeq CR
w 1=
Figura 65: Compensação por Equalizador
Conclusão: Esta é a solução mais economizadora de banda, porém, isto ocorre à custa
da diminuição do ganho. Por isto, vamos dar menor importância a ela.
EXEMPLO: Para o circuito abaixo, AV é o ganho do amplificador em malha aberta,
polos do AM POP em 1 MHz, 4 MHz e 40 MHz; dBVA 720
= .
a) Demonstre que:
+++
+⋅=
´//11
1
/
/
´
RrRcRcjwCcCcjwR
ocompensaçãs
VA
ocompensaçãc
VA
b) Determine BW (banda passante).
c) Calcule Rc e Cc considerando R1 = R// R´, R = 1K e R´ >> R.
SOLUÇÃO: Possivelmente em sala de aula. Respostas: ≅1 KHz; 81 nF e 2Ω.
Notas de aula – versão 6.0
UERJ 2018 Eletrônica 4 Pag. 66
Anexo C - 2a. LISTA (Assunto: Análise de Estabilidade) 2.1) (Critério de Estabilidade) Se a0 = 100 e a(s) é dado abaixo, calcule a0βMAX de
modo a atender ao critério de Bode Assintótico de estabilidade.
)500)(200)(100(
30)(
+++=
ssssasa
2.2) (Critério de Estabilidade) Idem, calcule AfMIN se:
)1000(2)100(
3100)(++
=ss
ssa
2.3) (Critério de Estabilidade) Idem:
)1000)(500)(200)(100(
4100)(++++
=ssss
ssa
2.4) (Margens de ganho e de fase) Sabe-se que é praxe manter uma margem de fase
mínima de 50°, o que nos dá um pico de 1.14 dB acima do ganho de meia banda.
a) Determine que MF nos daria 0 dB acima do ganho de meia banda;
b) Determine que MF nos daria 15.2 dB acima do ganho de meia banda
2.5) (Estabilidade, Bode assintótico) Considere o amplificador com o ganho de canal
direto dado abaixo. Utiliza-se a rede de realimentação dada. Determine se o circuito
é ou não estável pelo método de Bode assintótico.
)10
1)(1(
1000)( fjjfjfa
++=
Notas d
e aula – versão 6.0
UERJ 2018 Eletrônica 4 Pag. 67
2.6) (Estabilidade, Bode assintótico) Quais das redes de realimentação aplicadas ao
amplificador de canal direto cujo diagrama de Bode assintótico é dado na figura
abaixo serão instáveis ou fracamente estáveis. Explique.
A ,dBV
1 / ββ 22
1 / ββ 11
1 / ββ 33
w
ganhosem
com pensação
Lista 2-6
1 / ββ 44
2.7) (Método de Routh-Hurwitz) Se R(s) = 1 + a(s) β = s4 + 10s3 + 35s2 + 50s + 24,
analise as condições de estabilidade pelo método de Routh-Hurwitz.
2.8) (Método de Routh-Hurwitz) Idem para R(s) = s4 + s3 + 2s2 + 2s + 3.
2.9) (Método de Routh-Hurwitz) Idem para R(s) = s3 + s2 + 4s + 4.
2.10) (Método de Routh-Hurwitz) Idem para R(s) = s3 + 2s2 + 2s + 40.
2.11) (Compensação) Dimensione a rede de compensação por polo dominante para o
circuito abaixo, sabendo-se:
Ri = 1 MΩ Ro = 75 Ω
))61010.(2
1)()61010.(2
1)(610.21(
410
x
s
x
ssMR
πππ+++
−=
(circuito na próxima página)
Notas de aula – versão 6.0
UERJ 2018 Eletrônica 4 Pag. 68
R 1
R 2
51 Ω
Lista 2-11
180 Ω
Vi
Vo
Ri Ro
Vo
R 1
R ‘
R c
R
Cc
oVs
Lista 2-12
2.12) (Compensação) Para o circuito abaixo, AV é o ganho do amplificador em malha
aberta. Se os polos do AMP OP estão em 1 MHz, 4 MHZ e 40 MHZ, e se AVo = 72
dB:
a) Demonstre que:
),//1(1
1
RRRcRcjwCcCcjwR
VAVAf +++
+=
b) Determine a banda passante do amplificador compensado.
c) Calcule RC e CC considerando R1 = R//R´ e R = 1K e R´ >> R
2.13) (Estabilidade) Se AVo = 1000 e f1 = 20 Hz é o único polo do amplificador usado
abaixo:
a) Trace em um mesmo gráfico as curvas assintóticas de Bode do amplificador
canal direto e da realimentação (1/β);
Notas de aula – versão 6.0
UERJ 2018 Eletrônica 4 Pag. 69
b) Determine se o circuito realimentado é estável, instável ou fracamente estável.
2.14
2.15
R(s)
2.16
R(s)
+
-
VVoo
1
C 2R
R
VVss
0.1 microF
600 K
300 K
Lista 2-13
) (Compensação)
a) A função de transferência de um AMP OP apresenta polo em f1 = 1 MHz e
ganho em baixas frequências de 44 dB. Usa-se compensação de polo dominante.
Responda em que frequência fica o ganho compensado de 0 dB e calcule fd.
b) Idem, se o ganho em baixas frequências é de 68 dB.
) (Limites de Yen) Se o formato de três pólos em baixas frequências apresenta:
= 1 + a(s) β = (1 + a0β)s3 + (b1 + b2 + b3)s2 + (b1b2 + b1b3 + b2b3)s + b1b2b3
a) Prove que o limite de Yen é 24,2 se os polos são do tipo dominante (p, p, 10p)
b) Repita a prova para polos coincidentes (p, p, p) dando limite de Yen igual a 8.
c) Qual é o pior caso? Por quê?
) (Limites de Yen) Se o formato de três polos em altas frequências é dado por:
= s3 + (a1 + a2 + a3)s2 + (a1a2 + a1a3 + a2a3)s + a1a2a3(1 + a0β), prove que Y3a =
Y3b (este último foi calculado no exercício anterior).
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