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Notas de Aula - FIS32
Lara Kuhl Teles
21 de julho de 2008
2
Sumario
0 Topicos matematicos 9
0.1 Teoremas e propriedades de Calculo Vatorial . . . . . . . . . . 9
0.2 Propriedades de Divergente, Rotacional e Gradiente . . . . . . 10
1 Introducao 11
1.1 Forcas eletricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Propriedades da carga eletrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Lei de Coulomb 15
2.1 A Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Princıpio de Superposicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Campo Eletrico 19
3.1 O Campo Eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Distribuicoes Contınuas de Carga . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.1 Tipos de Distribuicoes: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Linhas de Forcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5 Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5.1 Aplicando A Lei De Gauss: . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.6 Aplicacoes da Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.7 Divergencia de um vetor e Equacao de Poisson . . . . . . . . . 38
3.8 Teorema de Gauss e forma diferencial da Lei de Gauss . . . . 44
3
4 SUMARIO
4 Potencial Eletrostatico 51
4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.1 Recordacao da Mecanica . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Definicao do Potencial eletrostatico . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.1 Calculo do pontencial eletrostatico gerado por uma
carga pontual q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 Calculo do Campo a partir do potencial . . . . . . . . . . . . 54
4.3.1 Equipontenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Potencial de uma distribuicao de cargas . . . . . . . . . . . . . 55
4.4.1 Anel isolante uniformemente carregado . . . . . . . . . 56
4.4.2 Disco uniformemente carregado: a uma distancia z do
centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4.3 Disco uniformemente carregado: Calculo no Bordo . . . 58
4.4.4 Casca esferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5 Dipolo eletrico e expansao multipolar dos campos eletricos . . 60
4.6 Circulacao do campo eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5 Equacoes da Eletrostatica e Energia 69
5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2 Equacoes de Laplace e Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3 Resumo das equacoes da eletrostatica . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4 Condicoes de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4.1 Relacao entre campos logo acima e abaixo de uma su-
perfıcie carregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4.2 Relacao entre os potenciais . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4.3 Alguns outros comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.5 Exemplos de aplicacao das Equacoes de Poisson e Laplace . . 74
5.5.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.6 Energia Potencial Eletrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.6.1 Energia Potencial Eletrostatica de uma distribuicao de
cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
SUMARIO 5
5.6.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.6.3 Relacao entre Energia e Campo Eletrico . . . . . . . . 80
5.6.4 Princıpio da Superposicao . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6 Condutores 85
6.1 Breve Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Propriedades dos Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3 Carga Induzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.3.1 O campo numa cavidade de um condutor . . . . . . . . 87
6.4 Metodo das Imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4.1 Carga e o Plano Condutor Aterrado . . . . . . . . . . . 92
6.4.2 Densidade De Carga Induzida Na Superfıcie Do Plano 93
6.5 Poder das Pontas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.6 Carga Na Superfıcie e Forca Em Um Condutor . . . . . . . . . 96
7 Capacitores 97
7.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.2 Energia de um capacitor carregado . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.3 Calculos de Capacitancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.3.1 Capacitor de placas paralelas . . . . . . . . . . . . . . 99
7.3.2 Capacitor Cilındrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.3.3 Capacitor Esferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.4 Associacao de Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.4.1 Capacitores em Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.4.2 Capacitores em Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8 Dieletricos 109
8.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.2 Campo no interior de um dieletrico . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.2.1 moleculas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.2.2 moleculas apolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6 SUMARIO
8.3 Polarizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.3.1 Definicao do vetor Polarizacao . . . . . . . . . . . . . . 111
8.3.2 Susceptibilidade Eletrica e constante dieletrica . . . . 113
8.4 Lei de Gauss e vetor deslocamento eletrico . . . . . . . . . . . 114
8.5 Energia eletrostatica em dieletricos . . . . . . . . . . . . . . 116
8.6 Condicoes de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9 Corrente eletrica e Resistencia 121
9.1 Transporte de Carga e Densidade de Corrente . . . . . . . . . 121
9.1.1 Conceito De Densidade De Corrente . . . . . . . . . . 121
9.2 Equacao da Continuidade da Carga eletrica . . . . . . . . . . 124
9.2.1 Caso De Corrente Estacionaria . . . . . . . . . . . . . 126
9.3 Condutividade Eletrica e a Lei de Ohm . . . . . . . . . . . . . 127
9.3.1 Um Modelo Para a Conducao Eletrica . . . . . . . . . 127
9.4 Associacao de Resistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.4.1 Associacao em Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.4.2 Associacao em Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.5 Forca Eletromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.5.1 Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.5.2 Potencia Maxima Transmitida . . . . . . . . . . . . . . 138
9.6 Leis de Kirchoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.7 Circuito R-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.7.1 Carregando um capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.7.2 Descarregando um capacitor . . . . . . . . . . . . . . . 144
10 Magnetostatica 149
10.1 Campo Magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.2 Forca magnetica em fios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.3 Torque em espiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.4 O Movimento Cyclotron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
10.5 A Ausencia de monopolos magneticos . . . . . . . . . . . . . . 159
SUMARIO 7
10.6 O Efeito Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
10.7 A Lei de Biot Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
10.7.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
10.7.2 Formas Alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.7.3 Aspectos Interessantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
10.7.4 Aplicacoes da Lei de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . 166
10.8 A Lei Circuital de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10.8.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10.8.2 A forma diferencial da Lei de Ampere . . . . . . . . . . 174
10.8.3 Aplicacoes da Lei de Ampere . . . . . . . . . . . . . . 175
10.9 Potencial Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.10Condicoes de Contorno na Magnetostatica . . . . . . . . . . . 189
10.10.1 Componente perpendicular a superfıcie . . . . . . . . . 190
10.10.2 Componente paralela a superfıcie e paralela a direcao
da corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.10.3 Componente paralela a superfıcie e perpendicular a
direcao da corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
10.11Expansao em multipolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
11 Lei da Inducao 195
11.1 O Fluxo Magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
11.2 A Lei de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
11.3 Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
11.4 Efeitos Mecanicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
11.4.1 As correntes de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
11.4.2 Atrito Magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
11.4.3 Canhao Magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
11.5 Indutancia Mutua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
11.6 Auto-Indutancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
11.7 Associacao de Indutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
11.7.1 Dois indutores em serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
8 SUMARIO
11.7.2 Dois indutores em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . 215
11.8 Circuito R-L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
11.9 Circuito L-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
11.10Analogia com sistema mecanico . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
11.11Circuito R-L-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
11.11.1 Subcrıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
11.11.2 Crıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
11.11.3 Supercrıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
11.12Energia em Campos Magneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
12 Equacoes de Maxwell 231
12.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
12.2 Modificacao na lei de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
12.3 Equacoes de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
12.3.1 Forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
12.3.2 Forma integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
12.4 Equacoes de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
13 Materiais Magneticos 241
13.1 Propriedades Magneticas da Materia . . . . . . . . . . . . . . 241
13.2 Momentos magneticos e Momento angular . . . . . . . . . . . 243
13.3 Materiais Diamagneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
13.4 Materiais Paramagneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
13.5 Magnetizacao e o campo ~H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
13.6 Materiais Magneticos Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
13.7 Materiais Ferromagneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
13.8 Energia em meios magneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Capıtulo 0
Topicos matematicos
0.1 Teoremas e propriedades de Calculo Va-
torial
Teorema 1 (Teorema de Stokes). Seja S uma superfıcie de bordo γ = ∂S e
seja ~F um campo de classe C1. Entao:∮γ=∂S
~F d~l =
∫∫S
~∇× ~F d~S (1)
Demonstracao. Encontrada em qualquer referencia de Calculo Vetorial
Teorema 2 (Teorema da Divergencia ou de Gauss). Seja R uma regiao do
espaco de bordo γ = ∂R e seja ~F um campo de classe C1. Entao:∫∫∫R
→∇→F dv =
∫∫∂R
~F d~S (2)
Demonstracao. Encontrada em qualquer referencia de Calculo Vetorial
Tais Teoremas sao de extrema importancia pois facilitam em determina-
das situacoes o calculo de um dos membros das equacoes por meio do ou-
9
10 CAPITULO 0. TOPICOS MATEMATICOS
tro, que pode ser obtido por um metodo de integracao mais rapido e menos
propıcio a erros.
0.2 Propriedades de Divergente, Rotacional
e Gradiente
1) o divergente de um rotacional vale sempre zero, quaisquer que sejam os
vetores associados.
2) o rotacional de um gradiente vale sempre zero, qualquer que seja o
campo escalar associado.
Capıtulo 1
Introducao
1.1 Forcas eletricas
Consideremos uma forca analoga a gravitacao que varie com o inverso do
quadrado da distancia, mas que seja bilhoes de bilhoes de bilhoes de vezes
mais intensa. E com outra diferenca: que haja duas classes de ”materia”que
poderıamos chamar de positiva e negativa. Se sao da mesma classe se repelem
e se sao de classes distintas se atraem, diferentemente de gravitacao que e so
atrativa.
Um conjunto de elementos positivos se repelem com uma forca enorme,
o mesmo ocorrendo com um conjunto de elementos negativos. Os elementos
opostos sao mantidos juntos por uma forca enorme de atracao. Estas terrıveis
forcas se equilibrarao perfeitamente e formarao uma mescla de elementos
positivos e negativos intimamente mesclados entre si de tal modo que duas
porcoes separadas nao sentirao nem atracao nem repulsao entre elas.
Uma forca como esta existe e e chamada de forca eletrica. E toda a
materia e uma mescla de protons positivos e eletrons negativos que estao
se atraindo e repelindo com uma grande forca. Mas, ha um equilıbrio tao
perfeito que com relacao ao conjunto nao se sente nenhuma forca resultante.
Atualmente, sabemos que as forcas eletricas determinam em grande parte,
11
12 CAPITULO 1. INTRODUCAO
as propriedades fısicas e quımicas da materia em toda a faixa que vai desde
o atomo ate a celula viva. Temos de agradecer por este conhecimento dos
cientistas do seculo XIX: Ampere, Faraday, Maxwell e muitos outros que
descobriram a natureza do eletromagnetismo; bem como fısicos e quımicos
do seculo XX que revelaram a estrutura atomica da materia.
O eletromagnetismo classico estuda as cargas e correntes eletricas e suas
acoes mutuas, como se todas as grandezas envolvidas pudessem ser medi-
das independentemente, com precisao limitada. Nem a revolucao da fısica
quantica, nem o desenvolvimento da relatividade especial deslustraram as
equacoes do campo eletromagnetico que Maxwell estabeleceu ha mais de cem
anos atras. Evidentemente, a teoria estava solidamente baseada na experi-
mentacao, e por causa disso era muito segura dentro dos limites do seu campo
de aplicacao original. No entanto, mesmo um exito tao grande nao garante
a validade num outro domınio, por exemplo, no interior de uma molecula.
Dois fatos ajudam a explicar importancia contınua da teoria classica do
eletromagnetismo na fısica moderna. Primeiro, a relatividade restrita nao
exigiu nenhuma revisao do eletromagnetismo classico. Cronologicamente, a
relatividade especial nasceu do eletromagnetismo classico e das experiencias
inspiradas por ele. As equacoes de Maxwell, deduzidas muito antes dos tra-
balhos de Lorentz e Einstein revelaram-se inteiramente compatıvel com a
relatividade. Em segundo lugar, as modificacoes quanticas das forcas eletro-
magneticas revelaram-se sem importancia ate distancias da ordem de 10−10
cm, cem vezes menores que o atomo. Podemos descrever a repulsao e atracao
de partıculas no atomo utilizando as mesmas leis que se aplicam as falhas
de um eletroscopio, embora necessitemos da mecanica quantica para prever
o comportamento sob acao dessas forcas.
Segundos relatos historicos, ja ao tempo da Grecia Antiga se tinha conhe-
cimento de que o ambar (uma especie de resina denominada de eletron na
lıngua grega), uma vez friccionado com la, adquiria a propriedade de atrair
pequenos fragmentos de papel, fiapos de tecidos, etc. Nenhum progresso
1.2. PROPRIEDADES DA CARGA ELETRICA 13
substancial ocorreu todavia nesse assunto ate o seculo XVIII, quando se des-
cobriu que o vidro friccionado com um pano de seda tambem apresentava
propriedades semelhantes a do ambar. Estas observacoes levaram a admitir
duas especies de eletricidade: a vıtrea e a resinosa.
Ainda dessas observacoes decorram as leis elementares da eletrostatica, a
saber: a) Eletricidades de mesmo nome se repelem b) Eletricidades de nomes
diferentes se atraem.
Benjamin Franklin foi o primeiro a falar em eletricidade positiva (a vıtrea)
e eletricidade negativa (a resinosa).
Hoje sabemos que esses efeitos sao devidos a existencia do que chamamos
de carga eletrica. Embora a carga eletrica nao seja definida sabemos que ela
e uma caracterıstica das partıculas fundamentais que constituem os atomos.
1.2 Propriedades da carga eletrica
Uma propriedade fundamental da carga eletrica e a sua existencia nas duas
especies que ha muito tempo foram chamadas de positivas e negativas. Observou-
se o fato de que todas as partıculas eletrizadas podem ser divididas em duas
classes, de tal forma que todos os componentes de uma classe se repelem
entre si, a o passo que atraem is componentes de outra classe.
Se A e B repelem-se e A atrai um terceiro corpo eletrizado C, entao B
atraiu C.
Nao podemos dizer com certeza, porque prevalece esta lei universal. Mas
hoje os fısicos tendem a considerar as cargas positivas e negativas, fundamen-
talmente como manifestacoes opostas de uma qualidade assim como direito
e esquerdo, manifestacoes opostas de lado.
O que nos chamamos de carga negativa poderia ter sido chamada de
positiva e vice-versa. A escolha foi um acidente historico.
A segunda propriedade e um dos princıpios fundamentais da Fısica: O
Princıpio da conservacao da carga eletrica. Esse princıpio e equivalente ao
14 CAPITULO 1. INTRODUCAO
POSTULADO DA TEORIA.
A carga total, num sistema isolado, nunca varia. (sistema isolado =
nenhuma materia atravessa os limites do sistema).
Observacao 1.1. Podemos ter a criacao de pares de cargas positivas e negati-
vas, mas uma carga positiva e negativa, mas uma carga positiva ou negativa
nao pode simplesmente desaparecer ou aparecer por si so.
A terceira propriedade esta relacionada com a quantidade da carga.
A experiencia da gota de oleo de Millikan, e diversas outras, demonstram
que a carga eletrica aparece a natureza em multiplos de um unico valor
unitario. Essa intensidade e representada por e 1 , a carga eletronica.
Experiencias mostram que a carga do proton e do eletron sao iguais com
uma precisao de 1 para 10−20. De acordo com as odeias atuais, o eletron e
o proton e o proton sao tao diferentes entre si como o podem ser quaisquer
outras partıculas elementares. Ninguem entende ainda porque suas cargas
devam ser iguais ate um grau tao fantastico de precisao.
Evidentemente a quantizacao da carga e uma lei profunda e universal da
natureza. Todas as partıculas elementares eletrizadas, ate o ponto em que
podemos determinar, tem cargas de magnitudes rigorosamente iguais.
Observacao 1.2. Nada na eletrodinamica requer que as cargas sejam quanti-
zadas este e um fato.
Observacao 1.3. Protons e neutrons sao compostos de tres quarks, cada qual
com cargas fracionadas ±23
e e ±13
e . No entanto, quarks livres parecem
nao existir na natureza, de qualquer forma isto nao alteraria o fato da carga
ser quantizada, so reduziria o modulo da unidade basica.
Observacao 1.4. Por outro lado, a nao-conservacao da carga (Propriedade
2) seria totalmente incompatıvel com a estrutura da teoria eletromagnetica
atual.
1e= 1, 6.10−19C
Capıtulo 2
Lei de Coulomb
2.1 A Lei de Coulomb
Voce provavelmente ja sabe que a interacao de cargas eletricas em repouso e
regida pela lei de Coulomb, que nos diz que entre duas cargas em repouso
ha uma forca diretamente proporcional ao produto das cargas e inversamente
proporcional ao quadrado da distancia que as separa. A forca se da na direcao
da reta que une as duas cargas.
→F1=
1
4πεo
q1q2
r21,2
r1,2 = −→F2 (2.1)
→F1 = forca que age sobre a partıcula 1
r1,2= versor na direcao de q1 e q2
r1,2 = distancia entre q1 e q2
No sistema CGS ou MES: k0 vale aproximadamente um (1)[→F]
= dina
1C = 2, 998.109 MES
Quando temos mais de duas cargas devemos complementar a lei de Cou-
lomb com outro jeito da natureza: o princıpio da superposicao.
15
16 CAPITULO 2. LEI DE COULOMB
Figura 2.1: Forca eletrica entre duas cargas
2.2 Princıpio de Superposicao
Considere o sistema constituıdo de n cargas puntiformes q0, q1, q2....qn . Po-
demos calcular a forca eletrica resultante sobre qualquer uma das cargas
aplicando o Princıpio da Superposicao. Suponha que desejamos calcular o
vetor forca eletrica resultante sobre a carga q0 . Para isso, determinaremos a
forca que cada uma das cargas exerce sobre q0 e em seguida somamos todas
as contribuicoes.
A forca resultante sobre q0 sera:
→F0=
→F0,1 +
→F0,2 +....+
→F0,n (2.2)
Sendo→F0,n a forca devido a qn
O Princıpio da Superposicao estabelece que a interacao entre quaisquer
duas cargas nao e afetada pela presenca das outras.
Assim,
→F0= K0q0
n∑i=1
qir2
0,i
r0,i (2.3)
Reescrevendo:
2.2. PRINCIPIO DE SUPERPOSICAO 17
→F0= K0q0
n∑i=1
qi
| →r i −→r 0 |3
(→r i −
→r 0) (2.4)
18 CAPITULO 2. LEI DE COULOMB
Capıtulo 3
Campo Eletrico
3.1 O Campo Eletrico
Suponhamos uma distribuicao de cargas q1, q2,..., qn fixas no espaco, e ve-
jamos nao as forcas que elas exercem ente si, mas apenas os efeitos que
produzem sobre alguma outra carga q0 que seja trazida as suas proximida-
des.
Sabemos que a forca sobre q0 e:
~Fo = Ko
n∑i=1
qoqir2o,i
ro,i
Assim, se dividirmos→F 0 por q0 teremos:
~Foqo
= Ko
n∑i=1
qir2o,i
ro,i (3.1)
uma grandeza vetorial que depende apenas da estrutura do sistema ori-
ginal de cargas q1, q2,..., qn e da posicao do ponto (x,y,z). Chamamos essa
funcao vetorial de x,y e z de campo eletrico criado por q1, q2,..., qn e usa-
mos o sımbolo→E . As cargas sao chamadas fontes do campo. Desta forma
19
20 CAPITULO 3. CAMPO ELETRICO
definimos o campo eletrico de uma distribuicao de cargas no ponto (x,y,z):
~E(x, y, z) = Ko
n∑i=1
qir2o,i
ro,i (3.2)
~Fo = qo ~E (3.3)
Note que utilizamos como condicao que as cargas fontes do campo es-
tavam fixas, ou seja, que colocar a carga q0 no espaco nao perturbara as
posicoes ou movimento de todas as outras cargas responsaveis pelos campos.
Muitas pessoas, as vezes, definem o campo impondo a q0 a condicao de
ser uma carga infinitesimal e tomando→E como: lim
qo→0
~Fqo
Cuidado! Na realidade este rigor matematico e falso. Lembre-se que no
mundo real nao ha carga menor que e!
Se considerarmos a Equacao 3.2 como definicao de→E , sem referencia
a uma carga de prova, nao surge problema algum e as fontes nao precisam
ser fixas. Casa a introducao de uma nova carga cause deslocamento das
cargas fontes, entao ela realmente produzira modificacoes no campo eletrico
e se quisermos prever a forca sobre a nova carga, devemos utilizar o campo
eletrico para calcula-la.
Conceito de campo: um campo e qualquer quantidade fısica que pos-
sue valores diferentes em pontos diferentes no espaco. Temperatura, por
exemplo, e um campo. Nesse caso um campo escalar, o qual nos escrevemos
como T(x,y,z). A temperatura poderia tambem variar com o tempo, e nos
poderıamos dizer que a temperatura e um campo dependente do tempo e
escrever T(x,y,z,t). Outro exemplo e o campo de velocidade de um lıquido
fluindo. Nos escrevemos→v =(x,y,z,t) para a velocidade do lıquido para cada
ponto no espaco no tempo t. esse e um campo vetorial. Existem varias ideias
criadas com a finalidade de ajudar a visualizar o comportamento dos campos.
A mais correta e tambem a mais abstrata: nos simplesmente considerarmos
os campos como funcoes matematicas da posicao e tempo.
3.2. DISTRIBUICOES CONTINUAS DE CARGA 21
O campo e uma grandeza vetorial e na unidade no SI eN
C(Newton/Coulumb).
Se tivermos somente uma carga:
~E =Koq
r2r
Observacao 3.1. Campo eletrico e radial e cai com a distancia ao quadrado
O Princıpio da superposicao tambem e aplicado para os campos eletricos,
ou seja, o campo eletrico resultante em um ponto P qualquer sera a soma
dos campos eletricos que cada uma das cargas do sistema gera nesse ponto.
~E = ~E1 + ~E2 + ...+ ~En
3.2 Distribuicoes Contınuas de Carga
Figura 3.1: Distribuicoes contınuas de carga
Usando o Princıpio da Superposicao: ~E =∫d ~E =Ko
∫dqr2r
3.2.1 Tipos de Distribuicoes:
a) linear: carga distribuıda ao longo de um comprimento (ex: fio, barra,
anel).
Densidade linear de carga = λ =dq
dldq = λdl
22 CAPITULO 3. CAMPO ELETRICO
~E = Ko
∫λdlr2r
b) superficial: carga distribuıda ao longo de uma superfıcie(ex: disco,placa).
Densidade superficial de carga = σ =dq
dsdq = λds
~E = Ko
∫σdsr2r
c) volumetrica: carga distribuıda no interior de um volume(ex: esfera,
cubo, cilindro).
Densidade volumetrica de carga = ρ =dq
dvdq = ρdv
~E = Ko
∫ρdvr2r
Exercıcio 3.1. Determinar o campo eletrico no ponto P.
Figura 3.2: Determinacao do campo no ponto P
Resolucao. Se tomarmos limite quando b>>L temos:∣∣∣ ~EP ∣∣∣ = KoλL
b2= KoQ
b2NC
= carga pontual
3.2. DISTRIBUICOES CONTINUAS DE CARGA 23
Colocando uma carga q no ponto P, a forca e dada por:
~F = q ~EP = qKoλL
b(b− L)iN
Quando lim b >> L temos:
~F = KoqQ
b2i = forca de Coulomb entre duas cargas pontuais q e Q
Observacao 3.2. So funciona para materias isolantes. Com os metais terıamos
uma redistribuicao de carga no condutor quando a presenca da carga q.
Exercıcio 3.2. Determinar o campo eletrico no ponto P.
Figura 3.3: Determinacao do campo no ponto P
24 CAPITULO 3. CAMPO ELETRICO
Exercıcio 3.3. Calcular o campo eletrico a uma distancia z de um anel de
raio R
Figura 3.4: Anel de raio R
Resolucao.
‖~r‖ = z2 +R2 dl = Rdθ
dEz = dE cosα =λRdθ
z2 +R2
z√z2 +R2
Por simetria so teremos componente na direcao z.
~E = k0
2π∫0
z√z2 +R2
λRdθ
z2 +R2k ⇒ ~E = k0
zRλ2π
(z2 +R2)32
k
~E =2πk0λRz
(z2 +R2)32
k
(N
C
)=
Qzλ
(z2 +R2)32
k
Analisando os limites R →∞ e z >> R:
3.2. DISTRIBUICOES CONTINUAS DE CARGA 25
z >> R : E =2πλRk0z
z3=k0Q
z2= carga puntual
R→∞:E→ 0, com1
R3se Q for fixa
com1
R3se λ constante
Exercıcio 3.4. Calcular o campo eletrico a uma distancia z de um disco
com densidade de carga σ.
Figura 3.5: Anel de raio R
Resolucao. Pela simetria so temos componente na direcao z.
26 CAPITULO 3. CAMPO ELETRICO
ds = rdθdr
dEz = dE cosα = dEz√
r2 + z2
Ez = k0
2π∫0
R∫0
zσrdθdr√r2 + z2 (r2 + z2)
= k0zσ2π
R∫0
rdr
(r2 + z2)32
r2 + z2 = u du = 2rdr
Ez = k0zσ2π
R2+z2∫z2
du
(u)32
= k0zσπu−12
−12
∣∣∣∣∣R2+z2
z2
Ez = −k0zσ2π
(1√
R2 + z2− 1
|z|
)= 2πk0σ
(z
|z|− z√
R2 + z2
)
Analisando os limites:
z << R : Ez =σ
2ε0
z
|z|
~E =
σ
2ε0
, z > 0
− σ
2ε0
, z < 0
z >> R :
1− z√z2 +R2
= 1 +
(1 +
R2
z2
)− 12
= 1−(
1− 1
2
R2
z2+ ...
)≈ 1
2
R2
z2
⇒ Ez =σ
2ε0
R2
2z2=
σπR2
4πε0z2=
Q
4πε0z2
3.2. DISTRIBUICOES CONTINUAS DE CARGA 27
Ez =
σ
2ε0
(1− z√
z2 +R2
), z > 0
σ
2ε0
(−1− z√
z2 +R2
), z < 0
Fazendo os graficos:
z << R
Figura 3.6: Grafico para z << R
z >> R
Figura 3.7: Grafico para z >> R
28 CAPITULO 3. CAMPO ELETRICO
3.3 Linhas de Forcas
Os esquemas mais utilizados para a representacao e visualizacao de um campo
eletrico sao:
a) Uso de vetores associamos um vetor a cada ponto do espaco
Figura 3.8: Linhas de forca-vetores
Quando q > 0 o campo e divergente.
Simples campo radial proporcional ao inverso do quadrado da distancia.
b) Desenhar as linhas de campo:
Linhas de forca de um campo, ou simplesmente linhas de campo sao retas
ou curvas imaginarias desenhadas numa regiao do espaco, de tal modo que, a
tangente em cada ponto fornece a direcao e o sentido do vetor campo eletrico
resultante naquele ponto.
As linhas de campo fornecem a direcao e o sentido, mas nao o modulo. No
entanto, e possıvel ter uma ideia qualitativa do modulo analisando as linhas.
A magnitude do campo e indicada pela densidade de linhas de campo.
Exemplo 3.1. carga puntual +q
Atencao: o desenho esta definido em duas dimensoes, mas na realidade
representa as tres dimensoes.
3.3. LINHAS DE FORCAS 29
Figura 3.9: Linhas de forca de um campo
Figura 3.10: Carga pontual + q
Se considerassemos duas dimensoes, a densidade de linhas que passam
atraves de uma circunferencia seria igual a
n
2πr
, o que faria com que
E ∝ 1
r
Caso 3D a densidade seria igual a
n
4πr2
e
E ∝ 1
r2
30 CAPITULO 3. CAMPO ELETRICO
, o que e correto.
Existem algumas regras para desenhar as linhas:
1) As linhas de campo nunca se cruzam. Caso contrario, terıamos dois
sentidos diferentes para o campo no mesmo ponto. Isto nao faz sentido pois
o campo que elas significam e sempre o resultante.
2) As linhas de campo comecam na carga positiva e terminam na carga
negativa, ou no infinito.
3) O numero de linhas e proporcional ao modulo das cargas.
Q1
Q2
=n1
n2
Figura 3.11: Linhas de Campo
Exemplo 3.2.
3.4 Fluxo
Consideremos uma regiao no espaco, onde existe um campo eletrico como na
figura abaixo:
Uma superfıcie de area A perpendicular a direcao de E.
O fluxo atraves desta superfıcie e: f = EA
3.4. FLUXO 31
Figura 3.12: Fluxo na area A
Se esta superfıcie estiver na mesma direcao de
~E(~a⊥ ~E
)
Figura 3.13: Fluxo na area A
Se esta superfıcie estiver inclinada em relacao as linhas de campo em um
angulo θ
Considere agora, uma superfıcie fechada qualquer. Divida a superfıcie em
pedacinhos, de tal forma que cada um possa ser considerado plano e o vetor
32 CAPITULO 3. CAMPO ELETRICO
Figura 3.14: Fluxo na area A
campo nao varie apreciavelmente sobre um trecho.
Nao deixe que a superfıcie seja muito rugosa nem que essa passe por uma
singularidade. (ex: carga puntiforme)
Figura 3.15: Superfıcie
A area de cada trecho tem certo valor e cada uma define univocamente
uma direcao e sentido, a normal a superfıcie orientada para fora. Para cada
trecho, temos um vetor→a j que define sua area e orientacao.
3.5. LEI DE GAUSS 33
O fluxo atraves desse pedaco de superfıcie e dado por: Φ =→Ej .
→a j
E o fluxo atraves de toda a superfıcie: Φ =∑j
→Ej .
→a j
Tornando os trechos menores, temos: Φ =∫ →E .d
→a em toda a superfıcie
3.5 Lei de Gauss
Tomemos o caso mais simples possıvel: o campo de uma unica carga punti-
forme. Qual e o fluxo Φ atraves de uma esfera de raio r centrada em q?
Figura 3.16: Fluxo devido a uma carga puntiforme
34 CAPITULO 3. CAMPO ELETRICO
~E = k0q
r2r
d~a = r2senθdθdϕr
Φ =
∮s
~E · d~a =
∫∫©s
k0q
r2r2senθdθdϕr
= k0q
π∫0
2π∫0
senθdθdϕ =
= 4πk0q =4πq
4πε0
=q
ε0
Ou simplesmente:
E × area total = k0q
r24πr2 =
q
ε0
Portanto o fluxo nao depende do tamanho da superfıcie gaussiana.
Agora imagine uma segunda superfıcie, ou balao, mas nao esferica envol-
vendo a superfıcie anterior. O fluxo atraves desta superfıcie e o mesmo do
que atraves da esfera.
Figura 3.17: Fluxo devido a uma carga puntiforme
3.5. LEI DE GAUSS 35
Para ver isto podemos considerar a definicao de linhas de campo:
O numero de linhas que atravessam as duas superfıcies e o mesmo.
Ou entao podemos considerar um cone com vertice em q.
Figura 3.18: Comparacao de fluxos
O fluxo de um campo eletrico atraves de qualquer superfıcie que envolve
uma carga puntiforme eq
εo
Corolario 3.1. Fluxo atraves de uma superfıcie fechada e nulo quando a carga
e externa a superfıcie.
O fluxo atraves de uma superfıcie fechada deve ser independente do seu
tamanho e forma se a carga interna nao variar.
Superposicao:
Considere um certo numero de fontes q1, q2, ..., qn e os campos de cada
uma~E1, ~E2, ..., ~En
O fluxo Φ , atraves de uma superfıcie fechada S, do campo total pode ser
escrito:
36 CAPITULO 3. CAMPO ELETRICO
Φ =
∮S
~E · d~s =
∮S
( ~E1 + ~E2 + ...+ ~En)·d~s
∮S
~Ei · d~s =qiε0
⇒ Φ =q1 + q2 + ...+ qn
ε0
=qint
ε0
LEI DE GAUSS:
O fluxo do campo eletrico→E atraves de qualquer superfıcie fechada e igual
a carga interna dividida por ε0 .∮S
~Ei · d~s =qint
ε0
Pergunta: A lei de Gauss seria valida se∣∣∣ ~E∣∣∣ ∝ 1
r3
?
Nao, pois:
Φ = ~E · ~A = EAtotal = k0q
r34πr2 =
q
ε0r
Por meio da lei de Gauss e possıvel calcular a carga existente numa regiao
dado um campo. Esta lei simplifica problemas complicados, porem limitados
a sistemas que possuem alta simetria.
3.5.1 Aplicando A Lei De Gauss:
1) Identifique as regioes para as quais E deve ser calculado.
2) Escolha superfıcies gaussianas observando a simetria do problema,
preferencialmente com E perpendicular e constante ou→E paralelo.
3) Calcule
Φ =
∮S
~Ei · d~s
3.6. APLICACOES DA LEI DE GAUSS 37
4) Calcule qint
5) Aplique a Lei de Gauss para obter→E
Figura 3.19: Simetrias mais comuns
3.6 Aplicacoes da Lei de Gauss
E essencial que a distribuicao tenha elemento de simetria (plana, axial,
esferica) de tal forma que se possa exprimir o fluxo tatalo atraves de uma
superfıcie gaussiana fechada judiciosamente escolhida para aproveitar a sime-
tria, em termos de magnitude do campo, a mesma em qualquer ponto desta
superfıcie.
Plano Uniformemente Carregado
Fio Cilındrico de densidade linear λ
Casca Esferica
O campo eletrico externo a camada e o mesmo que se toda a carga da
esfera estivesse concentrada no seu centro.
CAMPO ELETRICO NA SUPERFICIE DE UM CONDUTOR
A carga pode deslocar-se livremente no interior de um meio condutor.
No equilıbrio nao pode haver cargas no interior do condutor, pois as cargas
se deslocariam sob a acao do campo, rompendo o equilıbrio estatico. So e
possıvel ter componente do campo normal a superfıcie.
38 CAPITULO 3. CAMPO ELETRICO
Figura 3.20: Plano Uniformemente Carregado
Figura 3.21: Fio Cilındrico de densidade linear λ
3.7 Divergencia de um vetor e Equacao de
Poisson
A lei de Gauss e um indicador global de presenca de cargas:
Φ =
∮S
~E · d~s =qint
ε0
3.7. DIVERGENCIA DE UM VETOR E EQUACAO DE POISSON 39
Figura 3.22: Casca esferica
Queremos agora achar um indicador local que analise a presenca de fontes
num ponto P.
Considere um ponto P:
Vamos colocar uma gaussiana ∆Σ de volume infinitesimal ∆V, a carga
dentro deste volume e ρ∆V, entao:
Φ∆Σ =
∮∆Σ
~E.d~s =qint
ε0
=
∫V
ρ∆V
ε0
⇒ 1
∆V
∮~E.d~s =
1
∆V
∫V
ρ∆V
ε0
lim∆V→0
1
∆V
∮∆Σ
~E.d~s =ρ(P )
ε0
(3.4)
Este limite caracteriza que a densidade de fontes do campo em P inde-
pende de ∆Σ e e uma caracterıstica local do campo.
Para um vetor qualquer, definimos a divergencia como sendo:
div~v(P ) = ~∇.~v = lim∆V→0
1
∆V
∮~v.d~s
onde ∆V e um volume arbitrario que envolve o ponto P e d→s (elemento
orientado de superfıcie).
De acordo com a Equacao 3.4
40 CAPITULO 3. CAMPO ELETRICO
Figura 3.23: Esquema para aplicacao da Lei de Gauss
3.7. DIVERGENCIA DE UM VETOR E EQUACAO DE POISSON 41
Figura 3.24: Continuacao
Figura 3.25: Gaussiana e volume infinitesimal
~∇. ~E =ρ
εo
Equacao de Poisson ou a forma local da Lei de Gauss
O divergente de→E num ponto P e o fluxo para fora de
→E por unidade de
volume nas vizinhancas do ponto P.
Mas sempre que for calcular o divergente nos temos que calcular pela
definicao?
42 CAPITULO 3. CAMPO ELETRICO
Figura 3.26: Paralelepıpedo infinitesimal
~∇.~v = lim∆V→0
1
∆V
∮~v.d~s
Nao. Vamos ver a forma do~∇.~v
em coordenadas cartesianas:
Segundo a definicao ∆V e qualquer. Vamos considerar um paralelepıpedo
de lados ∆x, ∆y e ∆z centrado no ponto P (x,y,z).
Vamos calcular o fluxo de→v na face 2:
vx(2).∆y.∆z
3.7. DIVERGENCIA DE UM VETOR E EQUACAO DE POISSON 43
Fluxo→v na face 1:
−vx(1).∆y.∆z
Observe que vx(2) 6= vx(1)
vx(2) = vx(x+1
2∆x, y, z) = vx(x+ y + z) +
1
2
∂vx∂x
∆x
vx(1) = vx(x−1
2∆x, y, z) = vx(x+ y + z)− 1
2
∂vx∂x
∆x
Fluxo sobre 1 e 2:
∑fluxos =
∂vx∂x
∆x∆y∆z
Da mesma forma se considerarmos as outras faces:
Φtotal =(∂vx∂x
+ ∂vy∂y
+ ∂vz∂z
)∆x∆y∆z
Φtotal =(∂vx∂x
+ ∂vy∂y
+ ∂vz∂z
)∆V
Φtotal = ∂∮~v • d~s =
(∂vx∂x
+ ∂vy∂y
+ ∂vz∂z
)∆V
Superfıcie infinitesimal = ∆Σ
~∇~v =∂vx∂x
+∂vy∂y
+∂vz∂z
Por outro lado se somarmos para todos os elementos:
~∇~v∆V =
∫V
~∇~vdV
Ao somarmos os fluxos sobre todos os elementos notamos que contri-
buicoes as superfıcies internas sao iguais a zero.
44 CAPITULO 3. CAMPO ELETRICO
∑i
∮∆
Pi
~vd~s =
∮S
~vd~s
∫V
~∇~vdV =
∮S
~vd~s
Vimos que a definicao de divergente e:
div~v(P ) = ~∇.~v = lim∆Vi→0
1
Vi
∮Si
~v.d~si
sendo→v um campo vetorial qualquer, Vi e o volume que inclui o ponto
em questao e Si a superfıcie que envolve este volume Vi.
Significado de→∇ .
→v :
a) Fluxo por unidade de volume que sai de Vi no caso limite de Vi infi-
nitesimo;
b) Densidade de fluxo desse valor atraves da regiao;
c) Grandeza escalar que pode variar de ponto para ponto.
3.8 Teorema de Gauss e forma diferencial da
Lei de Gauss
Φ =
∮S
~Fd~s =n∑i=1
∮Si
~Fd~si =n∑i=1
∆Vi
∮Si
~Fd~si
∆Vi
Fazendo limN→∞
e Vi −→ 0∮S
~Fd~s =
∫V
~∇~FdV
Teorema de Gauss ou Teorema de Divergencia
Ja tınhamos visto a equacao de Poisson:
3.8. TEOREMA DE GAUSS E FORMA DIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS45
~∇. ~E =ρ
εo
Vamos usar o teorema da divergencia para chegar neste resultado:
∮s
~Ed~s =
∫V
ρdV
ε0
Pelo teorema da divergencia:∮s
~Ed~s =
∫V
~∇ ~EdV =1
ε0
∫V
ρdV
Como o volume e qualquer, temos:
~∇. ~E =ρ
εo
sendo a relacao local entre densidade de carga e campo eletrico
O DIVERGENTE EM COORDENADAS CARTESIANAS:
Figura 3.27: Divergente
46 CAPITULO 3. CAMPO ELETRICO
~F = Fxi+ Fy j + Fzk
~∇~F = limVi→0
1
Vi
∮si
~Fd~si
Queremos saber o→∇ .
→F no ponto P
Sabemos que:
∂Fy∂y
=Fy(x, y + ∆y, z)− Fy(x, y, z)
∆y
Fy(x, y + ∆y/2, z) = Fy(x, y, z) +∂Fy∂y
∆y
2
Fluxo por 2:
~F ~A = Fy(x, y + ∆y/2, z)∆x∆z =
(Fy(x, y, z) +
∂Fy∂y
∆y
2
)∆x∆z
Fluxo por 1:
~F ~A = −Fy(x, y −∆y/2, z)∆x∆z = −(Fy(x, y, z)− ∂Fy
∂y
∆y
2
)∆x∆z
Somando fluxo 1 + fluxo 2:
∂Fy∂y
∆x∆y∆
Somando fluxo 3 + fluxo 4:
∂Fx∂x
∆x∆y∆z
Somando fluxo 5 + fluxo 6:
3.8. TEOREMA DE GAUSS E FORMA DIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS47
∂Fz∂z
∆x∆y∆z
Figura 3.28: Superfıcies consideradas
Fluxo total que sai do volume Vi(∂Fx∂x
+∂Fy∂y
+∂Fz∂z
)∆x∆y∆z
~∇~F = lim∆Vi→0
1
∆Vi
(∂Fx∂x
+∂Fy∂y
+∂Fz∂z
)∆Vi =
∂Fx∂x
+∂Fy∂y
+∂Fz∂z
~F = Fxi+ Fy j + Fzk
Operador nabla: ~∇ =∂
∂xi+
∂
∂yj +
∂
∂zk
Em coordenadas esfericas: (r,θ,ϕ):
~∇~F =1
r2
∂
∂r(r2Fr) +
1
rsenθ
∂
∂θ(senθFθ) +
1
rsenθ
∂Fϕ∂ϕ
Em coordenadas cilındricas: (r,ϕ,z):
~∇~F =1
r
∂
∂r(rFr) +
1
ρ
∂Fϕ∂ϕ
+∂Fz∂z
48 CAPITULO 3. CAMPO ELETRICO
Exemplo 3.3. Seja um cilindro com densidade volumetrica de cargas posi-
tivas uniforme.
Figura 3.29: Cilindro com densidade volumetrica de cargas uniforme
Resolucao.
E2πrL =ρπr2L
ε0
↔ E2πrL =ρπa2L
ε0
−→E =
ρr
2ε0
r (r < a)↔ E2πrL =ρπa2L
ε0
~∇ ~E (r < a) =1
r
∂
∂r(rEr) =
1
r
∂
∂r
(rρr
2ε0
)
~∇ ~E =ρ
ε0
~∇ ~E (r > a) =1
r
∂
∂r(rEr) =
1
r
∂
∂r
(rρa2
2ε0r
)
~∇ ~E = 0
3.8. TEOREMA DE GAUSS E FORMA DIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS49
O divergente do campo so e diferente de zero onde ha carga!
CARGA PONTIFORME
~E =1
4πε0
q
r2r
~∇ ~E =q
4πε0
1
r2
∂
∂r(r2Er) = 0 , r 6= 0
Nao faz sentido calcular o campo em cima dela mesma (a carga), ja que
ela gera o campo.
50 CAPITULO 3. CAMPO ELETRICO
Capıtulo 4
Potencial Eletrostatico
4.1 Introducao
A utilizacao do campo eletrico, como visto no capıtulo anterior, para re-
solucao de problemas pode ser bastante complexa, principalmente devido ao
fato de o campo eletrico ser um campo vetorial. Dessa forma, o potencial
eletrico entra como uma excelente forma de simplificar os calculos a serem
realizados e possibilitar a resolucao de problemas ainda mais omplexos de
eletrostatica.
Inicialmente, porem, relembremos alguns conceitos basicos:
4.1.1 Recordacao da Mecanica
Sendo P1 e P2 pontos e c um caminho que liga P1 a P2. O trabalho realizado
por uma forca ao longo deste caminho de P1 a P2 e:
W(c)P1→P2
=
P2∫P1(c)
~F ·d~l
Dessa forma, pelo teorema do trabalho-energia cinetica temos:
51
52 CAPITULO 4. POTENCIAL ELETROSTATICO
∆T = W(c)P1→P2
T2 − T1 = W(c)P1→P2
Ou seja, o trabalho e igual a variacao da energia cinetica entre os pontos.
Assim temos que, se a forca ~F for conservativa, pela conservacao da energia
mecanica temos:
∆V + ∆T = cte = ∆Emec = 0
WP1→P2= −∆U
∆U = −P2∫P1
~F ·d~l
Que so depende dos pontos inicial e final.
4.2 Definicao do Potencial eletrostatico
Logo, assim como associamos a forca Peso um campo escalar U da energia
potencial gravitacional, podemos associar a forca eletrostatica um campo
escalar V, pois esse se trata tambem de um campo conservativo, da seguinte
forma:
W =
B∫A
~Fele · d~l
∆U = −B∫A
q ~E · d~l (4.1)
4.2. DEFINICAO DO POTENCIAL ELETROSTATICO 53
O que nos leva a
∆V =∆U
q= −−
B∫A
~E · d~l (4.2)
Ou seja
Potencial =EnergiaPotencialEletrostatica
carga
Porem a escolha do nıvel o qual o potencial e nulo e arbitrario, sendo
normalmente escolhido o infinito, assim, e conveniente escolher V (∞) = 0.
Exemplo:
4.2.1 Calculo do pontencial eletrostatico gerado por
uma carga pontual q
Sabe-se que:
~E =1
4πε0
q
r2r
Logo:
V (r2)− V (r1) = −P2∫P1
~E·d~l = −P2∫P1
1
4πε0
q
r2dr =
q
4πε0
(1
r2
− 1
r1
)
Entao, estabelecendo r1 →∞ e V (∞) = 0 temos que:
V (r) =q
4πε0
1
r
54 CAPITULO 4. POTENCIAL ELETROSTATICO
4.3 Calculo do Campo a partir do potencial
Como vimos, definimos o potencial eletrostatico atraves do campo eletrico,
mas, dado o potencial e possıvel obter o campo eletrico?
A resposta e sim, da seguinte forma:
Sabe-se pelo teorema do gradiente que:
∆V = −P2∫P1
~∇V ·d~l
Mas:
∆V = −P2∫P1
~E·d~l
Logo, como a igualdade e verdadeira para quaisquer pontos P1 e P2,
temos:
~E = −~∇V (4.3)
que nos da o vetor campo eletrico a partir do campo escalar V. Vale notar
que isso so e possıvel devido ao fato de o campo eletrico ser conservativo.
4.3.1 Equipontenciais
Nesse momento, faz-se necessario introduzir o conceito de equipontenciais.
Basicamente, as equipotenciais sao regioes com o mesmo potencial eletrostatico.
Alem disso, deve-se notar que a equacao dV = ~E · d~l implica que, se ~E⊥d~l:
dV = 0⇒ V = cte
Logo, as equipotenciais sao perpendiculares ao campo.
4.4. POTENCIAL DE UMA DISTRIBUICAO DE CARGAS 55
4.4 Potencial de uma distribuicao de cargas
O calculo do potencial e, muitas vezes, menos trabalhoso que o calculo do
campo eletrico. Dessa forma, veremos a seguir diversas formas de calcular
o potencial eletrostatico e alguns exemplos de aplicacao. Sempre lembrando
que ~E = −~∇VSabe-se, como o princıpio da superposicao e valido para o campo eletrico,
o mesmo acontece para o campo eletrostatico, assim temos que:
Figura 4.1: Esquema
V (P ) =n∑i=1
qi4πε0ri
Logo:
V (P ) =1
4πε0
∫dq
r(4.4)
Que, Para uma distribuicao:
Volumetrica: dq = ρdv
Superficial: dq = σdS
Linear: dq = λdl
Agora, vejamos alguns exemplos de aplicacao:
56 CAPITULO 4. POTENCIAL ELETROSTATICO
4.4.1 Anel isolante uniformemente carregado
Figura 4.2: Anel isolante carregado com densidade linear λ
Assim:
V (P ) =1
4πε0
2π∫0
λρdθ
(ρ2 + z2)1/2
V (P ) =Q
4πε0 (ρ2 + z2)1/2
Assim, como ~E = −~∇V , entao:
~E =Qz
4πε0 (ρ2 + z2)3/2z
4.4.2 Disco uniformemente carregado: a uma distancia
z do centro
Como dq = σds = σr′dr′dθ e r = (z2 + r′2)1/2 entao:
V =1
4πε0
2π∫0
R∫0
σr′dr′dθ
(z2 + r′2)1/2=
πσ
4πε0
R∫0
2r′dr′
(z2 + r′2)1/2
4.4. POTENCIAL DE UMA DISTRIBUICAO DE CARGAS 57
Figura 4.3: disco isolante carregado com densidade superficial σ
V =σ
4ε0
[2(z2 + r′2)1/2
]R0
=σ
2ε0
[√z2 +R2 − |z|
]Vale notar que, se lim |z| >> R entao:
√z2 +R2 = |z|
(1 +
(R
z
)2)1/2
= |z|(
1 +1
2
R2
z2+ ...
)Logo:
V ≈ σ
2ε0
R2
z |z|=
1
4πε0
Q
|z|Ou seja, caso observemos o disco de muito longe, ele ira se comportar
cada vez mais com uma carga pontual. Alem disso podemos obter ~E:
~E = − ∂
∂zV =
σ
2ε0
[z
|z|− z√
R2 + z2
]Desse exemplo nos podemos tirar algumas conclusoes:
58 CAPITULO 4. POTENCIAL ELETROSTATICO
⇒ Normalmente e mais difıcil achar o potencial em outros pontos fora do
eixo de simetria, pois a integral nao e tao simples apesar de bem conhecida
e tabelada (integrais elıpticas).
⇒ O campo, assim como o potencial, pode ser difıcil de calcular caso nao
haja simetria. Alem disso, ambos o potencial e o campo eletrico se aproxi-
mam daqueles gerados por cargas pontuais com o aumento da distancia.
Calculemos agora o exemplo do potencial no bordo do disco:
4.4.3 Disco uniformemente carregado: Calculo no Bordo
Figura 4.4: disco isolante carregado com densidade superficial σ
Assim:
dq = σr(2θ)dr
V =1
4πε0
∫dq
r
V =1
4πε0
∫σ(2θ)dr
4.4. POTENCIAL DE UMA DISTRIBUICAO DE CARGAS 59
Porem, pela geometria do triangulo:
r = 2R cos θ
dr = −2Rsenθdθ
Logo:
V =1
4πε0
0∫π/2
σ2θ(−2Rsenθ)dθ =Rσ
πε0
π/2∫0
θsenθdθ =Rσ
πε0
[senθ − θ cos θ]π/20
Vborda =Rσ
πε0
4.4.4 Casca esferica
Temos:
r2 = z2 +R2 − 2zR cos θ
dq = σds = σR2senθdθdφ
Assim:
V (z) =1
4πε0
2π∫0
π∫0
σR2senθdθdφ
(z2 +R2 − 2zR cos θ)1/2
V (z) =2πσR22
4πε02zR
[(z2 +R2 − 2zR cos θ)1/2
]π0
V (z) =σR
ε02z
[√z2 +R2 + 2zR−
√z2 +R2 − 2zR
]=
σR
ε02z
[√(z +R)2 −
√(z −R)2
]sez > R⇒ z −R > 0⇒
√(z −R)2 = z −R⇒ V (z) =
σR2
ε0z
sez < R⇒ z−R < 0⇒√
(z −R)2 = −(z−R)⇒ V (z) =σR
2ε0z[z +R− (R− z)] =
σR
ε0
60 CAPITULO 4. POTENCIAL ELETROSTATICO
Figura 4.5: disco isolante carregado com densidade superficial σ
O potencial dentro da esfera e constante. Assim temos:
V (z) =
{σR2
εoz= Q
4πεoz,r > R
σRεo
= Q4πεoR
,r < Re E(z) =
{Q
4πεoz2,r > R
0,r < R
Podemos entao, construir os graficos de E e V em funcao de r obtendo
assim:
4.5 Dipolo eletrico e expansao multipolar dos
campos eletricos
Por definicao, um dipolo eletrico esta relacionado com o potencial eletrico
gerado por um sistema de duas cargas.
Exemplo: Encontre o potencial eletrico em um ponto arbitrario no eixo
x.
4.5. DIPOLO ELETRICO E EXPANSAO MULTIPOLAR DOS CAMPOS ELETRICOS61
Figura 4.6: grafico de E e V por r
Figura 4.7: Esquema
Assim:
V (x) =1
4πε0
q
|x− a|+
1
4πε0
(−q)|x− a|
=q
4πε0
[1
|x− a|− 1
|x− a|
]Que, sendo V0 = q
4πε0aentao:
V (x)
V0
=1∣∣x
a− 1∣∣ − 1∣∣x
a− 1∣∣
Assim pode-se construir o grafico:
62 CAPITULO 4. POTENCIAL ELETROSTATICO
Figura 4.8: Grafico de V/V0 em funcao de x
Que diverge no local onde as cargas se encontram.
Agora, iremos analisar o caso anterior, mas com a posicao de referencia
sendo em qualquer ponto do plano. Assim temos:
Figura 4.9: Esquema
V =q
4πε0
[1
r+
− 1
r−
]Mas r2
± = r2 + a2∓ 2ra cos θ. Considerando uma posicao na qual r >> a
4.5. DIPOLO ELETRICO E EXPANSAO MULTIPOLAR DOS CAMPOS ELETRICOS63
temos:
1
r±=(r2 + a2 ∓ 2ra cos θ
)−1/2 =1
r
1 +(ar
)2
∓ 2a
rcos θ︸ ︷︷ ︸
x
−1/2
mas se x << 1 entao (1 + x)−1/2 ' 1− 1
2x, e como a
r<< 1 entao:
1
r±=
1
r
(1− 1
2
(ar
)2
± a
rcos θ
)Logo:
V ≈ q
4πε0r
[1− 1
2
(ar
)2
+a
rcos θ − 1 +
1
2
(ar
)2
+a
rcos θ
]≈ q2a cos θ
4πε0r2=p cos θ
4πε0r2=
⇀p·r
4πε0r2
Na qual⇀p = 2aqk e o momento dipolo eletrico.
Vale notar tambem que V cai com r2 e nao com r, o que e razoavel, que
V decresca mais rapido que o potencial de uma unica carga, pois conforme
estamos mais e mais longe do dipolo, este parece mais e mais com uma
pequena unidade de carga zero.
Calculando o campo, sabendo que o gradiente em coordenadas esfericas
e dado por:
~∇ =∂
∂rr +
1
r
∂
∂θθ +
1
r sin θ
∂
∂ϕϕ
Entao:
Er = −∂V∂r
= +p cos θ
2πε0r3, Eθ = −1
r
∂V
∂θ= +
1
r
p sin θ
4πε0r2= +
p sin θ
4πε0r3
64 CAPITULO 4. POTENCIAL ELETROSTATICO
~E =p cos θ
2πε0r3r +
p sin θ
4πε0r3θ
A seguir faremos uma analise mais aprofundada do assunto, aplicando o
mesmo raciocınio anterior, poderemos deduzir que:
Em monopolo V cai com 1/r
Em um dipolo V cai com 1/r2
Em um quadripolo V cai com 1/r3
E assim sucessivamente...
Consideremos agora uma distribuicao de cargas na vizinhanca na ori-
gem do sistema de coordenadas, finita, e pode ser totalmente encenada por
uma esfera de raio a que e pequeno comparado a distancia ate o ponto de
observacao. Assim temos que:
Figura 4.10: Esquema
Na qual ρ = ρ(r′). Logo:
V (r) =1
4πε0
∫V
ρ(r′)
|~r − ~r′|dv′
Mas,se r >> r′
4.5. DIPOLO ELETRICO E EXPANSAO MULTIPOLAR DOS CAMPOS ELETRICOS65
|~r − ~r′|−1= (r2 − 2~r.~r′ + r′2)−
1/2 =1
r
(1− 2
~r.~r′
r2+
(r′
r
)2)−1/2
|~r − ~r′|−1 ≈ 1
r
(1− 1
2
(−2
~r.~r′
r2+r′2
r2
))≈ 1
r︸︷︷︸Potencialdemonopolo
+~r.~r′
r3︸︷︷︸Potencialdedipolo,sendo~p=~r′q→ ~p.r
r2
+...
Logo, O potencial devido a uma distribuicao de carga arbitraria pode
sempre ser expresso em termos de uma expansao de multipolos. Assim, pela
Lei dos Cossenos: |~r′ − ~r|︸ ︷︷ ︸r
2
= r2 + r′2 − 2rr′ cos θ′
Note que foram definidos duas distancias, uma r e outra r nao se confunda!
r2 = r2
(1 +
(r′
r
)2
− 2r′
rcos θ′
)
r = r
(1 +
(r′
r
)2
− 2r′
rcos θ′
)1/2
r = r (1+ ∈)1/2 , ∈=
(r′
r
)2
− 2r′
rcos θ′
Logo:
1
r=
1
r(1+ ∈)−
1/2 =1
r
[1− 1
2∈ +
3
8∈2 − 5
16∈3 +...
]
66 CAPITULO 4. POTENCIAL ELETROSTATICO
=1
r
[1− 1
2
(r′
r
)2
+r′
rcos θ′ +
3
8
(r′
r
)4
+3
2
(r′
r
)2
cos2 θ′ − 3
2
(r′
r
)3
cos θ′ + ...
]
=1
r
[1 +
r′
rcos θ′ +
(r′
r
)2(3 cos2 θ′ − 1)
2+ ...
]Que, utilizando entao os polinomios de Legendre:
Pl(x) =1
2ll!
(d
dx
)l (x2 − 1
)lPodemos escrever:
1
r=
1
r
∞∑n=0
Pn (cos θ′)
(r′
r
)nLogo:
V (r) =1
4πε0
∫ρ(r′)dv′
r
∞∑n=0
Pn (cos θ′)
(r′
r
)n
V (r) =1
4πε0
∞∑n=0
1
rn+1
∫(r′)
nPn (cos θ′) ρ(r′)dv′
Note que temos agora a expansao multipolar do potencial em termos de
1/r, na qual: n = 0, contribuicao de monopolo
n = 1, dipolo
n = 2, quadrupolo
Com o menor termo nao nulo da expansao nos da aproximadamente o
potencial a grandes distancias, e os termos sucessivos aumentam a precisao
do resultado.
Nota-se tambem que o termo de dipolo e dado por:
Vdip =1
4πεo
1
r2r ·∫~r′ρ (r′) dr′︸ ︷︷ ︸
~p=momentodedipolodadistribuicao
4.6. CIRCULACAO DO CAMPO ELETRICO 67
pois r′ cos θ = ~r′ · r
4.6 Circulacao do campo eletrico
Como visto no capıtulo zero sabemos que:∮Γi
~c.d~l =(~∇x~c
).n∆S
Onde ~c e um campo vetorial qualquer.
Dessa forma, como sabemos que∮Γ
~E.d~l = 0,∀Γ
Entao: ∫S
(~∇x ~E
).d~s = 0,∀S
~∇x ~E = 0
Essa equacao resume basicamente toda a eletrostatica, visto que, ela mos-
tra que o campo eletrico e conservativo (na eletrostatica) e permite que o
campo eletrico seja o gradiente de uma funcao potencial, visto que ~∇x~∇V = 0
(o rotacional de um gradiente e sempre nulo).
68 CAPITULO 4. POTENCIAL ELETROSTATICO
Capıtulo 5
Equacoes da Eletrostatica e
Energia
5.1 Introducao
Neste momento, ja foram vistas praticamente todas as equacoes e formulas
referentes a eletrostatica. Dessa forma, nesse capıtulo estudaremos algumas
das relacoes entre o potencial eletrostatico, o campo eletrico e as densidades
de carga dos corpos. Alem disso, serao abordadas as equacoes de Laplace
e Poisson, que oferecem mais uma forma de efetuar calculos, as condicoes
de contorno da eletrostatica e as equacoes que fornecem a energia potencial
eletrostatica de um configuracao de cargas
5.2 Equacoes de Laplace e Poisson
Como ja vimos:~∇× ~E = 0 (5.1)
~∇· ~E =ρ
ε0
(5.2)
69
70 CAPITULO 5. EQUACOES DA ELETROSTATICA E ENERGIA
Alem disso, vimos que:
~∇× ~E = 0Permite→ ~E = −~∇V (5.3)
Assim, substituindo 5.3 em 5.2, obtemos:
~∇·~∇V = − ρ
ε0
~∇2V = − ρ
ε0
(5.4)
A equacao acima e chamada equacao de Poisson e relaciona o potencial
eletrostatico com a densidade de carga pontual. Com ela e possıvel calcular,
em cada ponto, o potencial eletrostatico, desde que se conhecam as condicoes
de contorno do problema, de forma a resolver as equacoes diferenciais que
serao obtidas.
A equacao de Laplace vem diretamente da equacao de Poisson, quando
ρ = 0. Assim:
~∇2V = 0 (5.5)
5.3 Resumo das equacoes da eletrostatica
A partir de duas observacoes experimentais, notadamente o princıpio da
superposicao e a Lei de Coulomb, foi possıvel depreender todas as outras
formulas da eletrostatica. Abaixo, segue um resumo de todas as equacoes
vistas ate aqui:
5.4 Condicoes de Contorno
Definidas as equacoes de Laplace e Poisson, devemos agora verificar de que
forma as grandezas involvidas se comportam. Vale ressaltar que algumas
5.4. CONDICOES DE CONTORNO 71
Figura 5.1: Equacoes da eletrostatica
dessas formas ja foram comentadas.
5.4.1 Relacao entre campos logo acima e abaixo de
uma superfıcie carregada
Nos notamos estudando alguns exemplos que o campo eletrico apresenta em
alguns casos uma descontinuidade. Isto ocorre quando temos uma superfıcie
carregada. Imagine uma superfıcie arbitraria
Considere a gaussiana desenhada com area A extremamente pequena e
espessura ε. Assim, pela lei de Gauss temos:∮S
~E·d~S =qint
ε0
=σA
ε0
Os lados nao contribuem para o fluxo, somente o topo e o fundo. De
forma que quando ε→ 0:
Em particular, quando nao ha uma superfıcie carregada E⊥ e contınua,
72 CAPITULO 5. EQUACOES DA ELETROSTATICA E ENERGIA
Figura 5.2: Esquema de uma superfıcie carregada com uma gaussiana
Figura 5.3: A componente normal de ~E e descontınua
exemplo: esfera solida uniformemente carregada.
Consideremos agora a circulacao de E na mesma superfıcie:∮~E·d~l = 0
quando ε→ 0. Assim:
~E‖acima·d~l1 + ~E
‖abaixo·d~l2 = 0
5.4. CONDICOES DE CONTORNO 73
d~l1 = −d~l2 → ~E‖acima = ~E
‖abaixo
Logo a componente paralela do campo e contınua, entao:
~Eacima− ~Eabaixo =σ
ε0
n (5.6)
onde n e o vetor unitario perpendicular a superfıcie de cima para baixo.
5.4.2 Relacao entre os potenciais
Ao contrario do que acontece com o campo, o potencial e contınuo, pois:
∆V = −b∫
a
~E·d~l
Vb − Va = −b∫
a
~E·d~l
E quando ε→ 0 entaob∫a
~E·d~l→ 0, Logo
Vb = Va → Vabaixo = Vacima (5.7)
5.4.3 Alguns outros comentarios
Alem das condicoes ja mencionadas, vale lembrar tambem de alguns pontos:
* Ja vimos que, na maioria dos casos V (∞) = 0 * Quando ha distribuicao
de cargas nao pontual V 6=∞
74 CAPITULO 5. EQUACOES DA ELETROSTATICA E ENERGIA
5.5 Exemplos de aplicacao das Equacoes de
Poisson e Laplace
Com as condicoes de contorno em maos, somos capazes de aplicar as equacoes
de Poisson e Laplace para alguns exemplos.
5.5.1 Exemplo 1
Considere duas placas infinitas paralelas, condutoras, uma colocada em x = 0
e outra em x = L. Seja o potencial em x > 0 igual a V0 e em x = L igual
a zero. Determinar o potencial e o campo entre as placas considerando duas
situacoes: Densidade de carga entre as placas igual a zero; Densidade de
carga entre as placas e contante igual a ρ.
Figura 5.4: Esquema
No primeiro caso temos ρ = 0 assim, pela equacao de Laplace:
∇2V =d2V
dx2= 0
Logo:
V = ax+ b
Assim, pelas condicoes do problema, como para x = 0, V = V0, entao:
5.5. EXEMPLOS DE APLICACAO DAS EQUACOES DE POISSON E LAPLACE75
b = V
Alem disso, como para x = L, V = 0, entao
a = −V0
L
Logo:
V (x) = −V0
L+ V
Podemos calcular tambem o campo, assim:
~E = − d
dx
(−V0
Lx+ V0
)i =
V0
Li
No segundo caso temos ρ = ρ0, assim, pela equacao de Poisson:
∇2V = −ρ0
ε0
→ d2V
dx2= −ρ0
ε0
Logo:
V = −ρ0x2
2ε0
+ ax+ b
Aplicando as condicoes de contorno:
{V (0) = V0 → b = V0
V (L) = 0→ a = −V0
L+ ρ0L
2ε0
Logo:
V (x) = −ρ0x2
2ε0
+
(−V0
L+ρ0L
2ε0
)x+ V0
Tambem podemos calcular o potencial, assim:
76 CAPITULO 5. EQUACOES DA ELETROSTATICA E ENERGIA
~E = − d
dx
(−ρ0x
2
2ε0
+
(−V0
L+ρ0L
2ε0
)x+ V0
)i =
(ρ0
2ε0
x+V0
L− ρ0L
2ε0
)i
5.6 Energia Potencial Eletrostatica
Nos vimos que U = qV para uma carga q num ponto de um campo pre-
estabelecido de potencial V. Mas e para uma distribuicao qualquer de cargas?
5.6.1 Energia Potencial Eletrostatica de uma distri-
buicao de cargas
Vamos imaginar um conjunto de cargas no infinito e vamos trazer as car-
gas uma a uma do infinito (considera-se V (∞) = 0 para as suas posicoes,
formando uma configuracao escolhida, assim:
Para trazer a primeira carga q1, W = 0
Para trazer a segunda carga, como:
V = −r∫∞
~E·d~l =1
4πε0
q
r
temos; W = 14πε0
q1q2r12
Para a terceira temos:W = q34πε0
(q1r13
+ q2r23
)Assim sucessivamente...
Logo, obtemos a energia potencial da configuracao qualquer de cargas
pontuais:
U =1
4πε0
∑i<j
qiqjrij
=1
4πε0
1
2
∑i
∑j 6=i
qiqjrij
(5.8)
Na qual o 1/2 surge para compensar o fato de que, no somatorio duplo,
temos os termos qiqj e qjqi que sao contados duas vezes.
5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTATICA 77
Percebe-se pela formula 5.8 porem, que:
∑j 6=i
1
4πε0
qjrij
Representa o potencial de todas as outras cargas na posicao da carga i.
Assim:
U =1
2
∑i
qiVi
representa a energia potencial eletrostatica na posicao i. Logo, caso te-
nhamos uma distribuicao contınua, podemos extender o somatorio para:
U =1
2
∫ρV dv (5.9)
5.6.2 Exemplo
Uma esfera de raio R possui uma densidade de carga ρ(r) = kr (onde k e
uma constante). Ache a energia da configuracao.
Para calcular a energia, devemos inicialmente obter o potencial. Esse
pode ser obtido de duas formas, ou seja, utilizando V (r) = −r∫∞
~E·d~l ou pelas
equacoes de Poisson e Laplace.
Resolvendo por V (r) = −r∫∞
~E·d~l temos:
∫S
~E·d~S =qint
ε0
E4πr2 =1
ε0
R∫0
kr4πr2dr
Efora =k
ε0
R4
4r2r
78 CAPITULO 5. EQUACOES DA ELETROSTATICA E ENERGIA
Alem disso;
E =k
ε0
r4
4r2→ Edentro =
kr2
4ε0
r
Precisamos de V para valores de r < R, assim:
V (r) = −r∫∞
~E·d~l = −R∫∞
~Efora·d~l −r∫
R
~Eentre·d~l
V (r) = −R∫∞
kR4
4ε0r2dr −
r∫R
kr2
4ε0
dr =k
12ε0
(4R3 − r3)
Com o potencial em maos, podemos aplicar a equacao 5.9, assim:
U =1
2
∫ρV dv
U =1
2
R∫0
2π∫0
π∫0
krV (r)r2 sin θdθdϕdr (5.10)
Logo:
U =1
2
R∫0
4πk2r3
12ε0
(4R3 − r3)dr =πk2
7ε0
R7
Caso quisessemos calcular pelas equacoes de Laplace e Poisson, temos:
Para r < R:
∇2V = − ρ
ε0
Para r > R:
∇2V = 0
Para o primeiro caso r < R temos:
5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTATICA 79
V = V (r)→ ∂V
∂θ=∂V
∂ϕ= 0
Mas o termo em r do operador ∇2 em coordenadas esfericas, com a con-
sideracao acima, e dado por:
∇2V =1
r2
∂
∂r
(r2∂V
∂r
)Logo:
∇2V =1
r2
d
dr
(r2dV
dr
)= − ρ
ε0
Assim, temos que:
1
r2
d
dr
(r2dV
dr
)= −kr
ε0
→ d
dr
(r2dV
dr
)= −kr
3
ε0
r2dV
dr= −kr
4
4ε0
+ A→ dV
dr= −kr
2
4ε0
+A
r2
Logo:
Vdentro(r) = − kr3
12ε0
− A
r+B
Para r > R, temos que:
∇2V = 0
1
r2
d
dr
(r2dV
dr
)= 0→ r2dV
dr= C
Vfora(r) = −Cr
+D
Aplicando as condicoes de contorno:{Vfora(∞) = 0
Vfora(R) = Vdentro(R)
80 CAPITULO 5. EQUACOES DA ELETROSTATICA E ENERGIA
Alem disso, como se trata de uma distribuicao volumetica:{Efora(R) = Edentro(R)⇒ V ′fora(R) = V ′dentro(R)
V (0) 6=∞
Assim:
Vfora(∞) = 0→ D = 0
Vdentro(0) 6=∞→ A = 0
Vdentro(R) = Vfora(R)→ − kr2
4ε0
∣∣∣r=R
= Cr2
∣∣r=R→ C = −kr4
4ε0
Logo:
B =kR4
4ε0R+kR3
12ε0
=kR3
3ε0
Dessa forma:
Vdentro(r) = − kr3
12ε0
+kR3
3ε0
=k
12ε0
(4R3 − r3)
Vfora(r) =kR4
4ε0r
Para o calculo de U procede-se da mesma forma que no caso 5.10, encontrando-
se o mesmo resultado
5.6.3 Relacao entre Energia e Campo Eletrico
Uma pergunta interessante de se fazer e onde esta localizada a energia ele-
trostatica?
Tambem poderıamos perguntar: e o que importa? Qual o significado
de uma pergunta como essa? Se temos um par de cargas interagindo, a
combinacao tem certa energia. E necessario dizermos que a energia esta
localizada em uma das cargas ou na outra, ou em ambas, ou no meio? Pode
ser que estas perguntas nao facam sentido, porque realmente so sabemos que a
energia se conserva. A ideia de que a energia esta localizada em alguma parte
5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTATICA 81
nao e necessaria tambem pode aparecer. Mas sera mesmo que a pergunta
nao tem nenhuma utilidade?
Vamos supor que tenha sentido dizer, em geral, que a energia esta locali-
zada em certo lugar, como ocorre com a energia termica. Entao poderıamos
estender o princıpio da conservacao da energia com a ideia de que se a ener-
gia contida dentro de um volume dado varia, poderıamos explicar a variacao
mediante o fluxo de energia que entra ou sai deste volume. Poderıamos cha-
mar de princıpio de conservacao local de energia. Esse princıpio diria que a
energia dentro de qualquer volume varia unicamente da quantidade que flui
para fora ou para dentro deste volume. Terıamos, portanto, uma lei muito
mais detalhada que o simples enunciado da conservacao de energia total.
Tambem ha uma causa fısicapara que possamos decidir onde esta locali-
zada a energia. De acordo com a teoria da gravitacao, toda massa e uma fonte
de atracao gravitacional. Tambem sabemos que se E=mc2, entao massa e
energia sao equivalentes. Toda energia e uma fonte de forca gravitacional. Se
nao pudessemos localizar todas as massas nao poderıamos dizer onde estao
localizadas as fontes de campo gravitacional, a teoria da gravitacao estaria
incompleta. Se nos restringimos a eletrostatica, nao ha maneira de decidir
onde esta a energia se na carga ou no campo.
Porem, com o atual conhecimento, nao somos ainda capazes de responder
a esses questionamentos, as equacoes de Maxwell para a eletrodinamica sao
necessarias para nos dar mais informacoes. Por enquanto ficaremos somente
com esta resposta:
A energia esta localizada no espaco onde esta o campo eletrico. O que
e razoavel, pois quando as cargas aceleram elas irradiam campos eletricos.
Quando a luz ou as ondas de radio viajam de um ponto a outro, transpor-
tam sua energia com elas. Mas nao ha carga nas ondas. Desta forma, e
interessante localizar a energia no campo eletromagnetico e nao nas cargas.
Dessa forma, torna-se conveniente encontrar a energia eletrostatica em
funcao do campo eletrico, assim, como:
82 CAPITULO 5. EQUACOES DA ELETROSTATICA E ENERGIA
∇2V = − ρ
ε0
entao:
U =1
2
∫ρV dv = −ε0
2
∫V∇2V dv
Mas, matematicamente temos:
V∇2V = V(∂2V∂x2 + ∂2V
∂y2+ ∂2V
∂z2
)=
= ∂∂x
(V ∂V
∂x
)−(∂V∂x
)2+ ∂
∂y
(V ∂V
∂y
)−(∂V∂y
)2
+ ∂∂z
(V ∂V
∂z
)−(∂V∂z
)2=
= ~∇·(V ~∇V )− (~∇V )·(~∇V )
Logo;
U =ε0
2
∫(~∇V )·(~∇V )dv − ε0
2
∫~∇·(V ~∇V )dv
Mas, pelo teorema da divergencia, temos:∫v
~∇·(V ~∇V )dv =
∮s
(V ~∇V )·d~s
Agora, devemos fazer uma rapida analise. Para uma distribuicao finita
de cargas, sabemos que: V ∝ 1/r na melhor das hipoteses (Se a carga total
for zero, V ∝ 1/r2 ou mais...). Alem disso, ∇V ∝ 1/r2 e ds ∝ r2 portanto a
integral:
−ε0
2
∫~∇·(V ~∇V )dv
e proporcional a 1/r, assim, caso integremos no espaco, teremos que essa
integral se anula e:
U =ε0
2
∫R3
(~∇V )·(~∇V )dv
5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTATICA 83
Logo, como ∇V = ~E, entao:
U =ε0
2
∫R3
~E· ~Edv (5.11)
Nos da a energia potencial eletrostatica da configuracao em funcao do
Campo eletrico. Vale notar tambem que devemos integrar em todo o espaco,
e nao so na regiao que contem
5.6.4 Princıpio da Superposicao
Vimos que campo e potencial obedecem o chamado princıpio da superposicao,
porem, devido ao fato da energia ser quadratica nos campos, ela nao obe-
dece o princıpio da superposicao, temos, pois, que:
Wtotal =ε0
2
∫E2dv =
ε0
2
∫( ~E1 + ~E2)2dv (5.12)
Vejamos um exemplo:
Considere duas cascas esfericas concentricas de raio a e b. Suponha que a
interna possui uma carga q e a externa -q ambas uniformemente distribuıdas
na superfıcie. Calcule a energia desta configuracao. Assim:
U =ε0
2
∫R3
E2dv
Mas
E =
0, r < a
q4πε0
1r2,a < r < b
0, r > b
Logo:
84 CAPITULO 5. EQUACOES DA ELETROSTATICA E ENERGIA
U =ε0
2
b∫a
q2
16π2ε20
1
r4r24πdr → U =
q2
8πε0
(1
a− 1
b
)Percebe-se contudo que, se calcularmos: U1 = ε0
2
∫R3
E21dv e U2 = ε0
2
∫R3
E22dv
U 6= U1 + U2
Como era de se esperar, o princıpio da superposicao nao foi valido.
Capıtulo 6
Condutores
6.1 Breve Introducao
Em um mau condutor, como vidro ou borracha, cada eletron esta preso a um
particular atomo. Num condutor metalico, de forma diferente, um ou mais
eletrons por atomo nao possuem restricoes quanto a movimentacao atraves
do material. Eles estao livres para estar na parte do condutor que desejarem.
( Em condutores lıquidos, como a agua com cloreto de sodio, agua com sal
de cozinha, sao os ıons que fazem esse movimento.
Um condutor perfeito poderia ser um material que possuısse a proprie-
dade de ser uma fonte ilimitada de cargas livres. Na vida real, nao existem
condutores perfeitos, mas muitas substancias estao muito proximas de ser.
A partir dessa pequena definicao, pode-se descobrir algumas propriedades
eletrostaticas de condutores ideais. Elas serao listadas logo abaixo.
6.2 Propriedades dos Condutores
Essas propriedades estao relacionadas com condutores em equilıbrio ele-
trostatico, ou seja, quando nao ha movimento ordenado de cargas eletricas
no seu interior e na sua superfıcie. Seus eletrons livres encontram-se em
85
86 CAPITULO 6. CONDUTORES
movimento aleatorio.
Propriedade 1 (Propriedade Basica). Um condutor e um solido que possui
muitos eletrons livres. Os eletrons podem se deslocar no interior da materia,
mas nao deixar a superfıcie.
Propriedade 2. O Campo eletrico dentro do condutor em equilıbrio
eletrostatico e nulo. ( E = 0 dentro do condutor )
Se tivesse campo dentro do condutor os eletrons iriam se mover e nao es-
tariam na situacao eletrostatica. Quando colocamos um condutor na presenca
de um campo externo as cargas dentro do condutor tenderao a se distribuir
de forma que o campo no interior do condutor cancele o campo externo.
Figura 6.1
Propriedade 3. A densidade volumetrica de carga dentro do con-
dutor e zero.( ρ = 0 dentro do condutor )~∇ · ~E = ρ
ε0, se ~E = 0→ ρ = 0, no interior do condutor nao ha cargas.
Propriedade 4. As cargas ficam localizadas na superfıcie do con-
dutor.
Propriedade 5. O condutor e uma equipotencial.
Se ~E = 0 dentro do condutor, entao ~E = −~∇V
Propriedade 6. ~E e perpendicular a superfıcie.
Se tivesse uma componente paralela a carga se moveria. Como, E = 0,∮~E · d~l = 0→ Va = Vb.
6.3. CARGA INDUZIDA 87
Figura 6.2
Propriedade 7. Vimos que a descontinuidade de E era ?/?0. Como
Edentro = 0, entao o campo imediatamente fora e proporcional
a densidade de carga local.
~E =σ
ε0
n
Em termos de potencial: σ = ε0
(−∂V
∂n
)Observacao 6.1. Esta equacao permite calcular a densidade de carga super-
ficial de um condutor.
6.3 Carga Induzida
Um condutor e um solido que possui muitos eletrons livres. Os eletrons
podem se deslocar livremente. Quando se aproxima uma carga eletrica de
um condutor carregado eletricamente, devido as fenomenos de atracao e re-
pulsao eletrostaticas, observa-se uma nova distribuicao das cargas eletricas
no condutor. A figura abaixo exemplifica o processo:
6.3.1 O campo numa cavidade de um condutor
Consideremos um condutor com uma cavidade vazia de forma arbitraria.
Consideremos uma superfıcie gaussiana S. Em todo ponto de S temos que E
= 0 (campo dentro do condutor = 0). Entao o fluxo atraves de S = 0, logo
a carga total dentro de S e zero.
88 CAPITULO 6. CONDUTORES
Figura 6.3
Figura 6.4
Mas se a carga total e igual a zero, poderıamos dizer que ha igual quan-
tidade de cargas positivas e negativas, havendo, assim, a presenca de um
campo eletrico. Se tivessemos esta situacao,∮Γ
~E · d~l 6= 0, o que nao pode
ser. Portanto, nao pode haver campo dentro da cavidade, nem cargas na
superfıcie interna.
Nenhuma distribuicao estatica de cargas externas pode produzir campo
no interior do condutor.
Agora vamos considerar uma cavidade com uma carga q dentro dela.
Teremos cargas induzidas na superfıcie interna, afim de cancelar o campo
dentro do condutor ( Edentro = 0 ), Tracando uma gaussiana S que
contem a cavidade, percebe-se que o fluxo nessa gaussiana e zero, porem,
6.3. CARGA INDUZIDA 89
Figura 6.5
Figura 6.6
tracando-se outra gaussiana, contida na cavidade, percebe-se que o campo
na cavidade nao e zero.
Fato Importante:
Campo dentro do condutor e zero!
A cavidade e seu conteudo estao eletricamente isolados do mundo ex-
terno ao condutor. Nenhum campo externo penetra no condutor. Ele sera
cancelado pela carga induzida na superfıcie externa ( da mesma forma que a
cavidade vazia ). A cavidade esta isolada do mundo externo ao condutor.
Exemplo 6.1. Uma esfera condutora neutra centrada na origem possui uma
cavidade de formato desconhecido. Dentro da cavidade ha uma carga q. Qual
e o campo fora?
Havera dependencia com a forma da cavidade?
Resolucao. A carga +q induzida, por sua vez, na superfıcie externa ira se
90 CAPITULO 6. CONDUTORES
Figura 6.7
distribuir uniformemente na superfıcie da esfera. (a influencia assimetrica da
carga +q interna foi cancelada pela carga -q induzida na superfıcie interna).
O campo externo sera igual ao produzido pela superfıcie esferica carregada
com carga +q.
~E =q
4πε0r2r
O condutor, dessa forma, cria uma barreira, nao deixando passar ne-
nhuma informacao sobre como e a cavidade, revelando somente a carga total
que a mesma possui.
6.4 Metodo das Imagens
Suponha uma carga q a uma distancia d de um plano condutor aterrado.
Pergunta: Qual e o potencial na regiao acima do plano?
Nao e so q4πε0r
, pois havera carga induzida no plano condutor e nao
sabemos quanta carga e induzida e como ela esta distribuıda.
Outra situac~ao: : Carga e uma esfera condutora.
6.4. METODO DAS IMAGENS 91
Figura 6.8
Figura 6.9
Antes de atacarmos este problema vamos recordar um problema muito
mais simples que ja estudamos: duas cargas +q e -q ; e A e B superfıcies
equipotenciais.
Figura 6.10
Considere a superfıcie equipotencial A. Suponha que pegamos uma folha
fina de metal da forma desta superfıcie. Se a colocarmos exatamente no
lugar da superfıcie equipotencial e ajustamos o seu potencial a um valor
92 CAPITULO 6. CONDUTORES
apropriado de forma que nada mudasse, nos nao darıamos conta de que a
superfıcie metalica estaria ali.
Terıamos a solucao do novo problema:
Figura 6.11
O campo no exterior ao condutor e exatamente o mesmo campo de duas
cargas pontuais!
Dentro ~E = 0 e ~E e perpendicular a superfıcie.
Entao, para calcularmos os campos das situacoes discutidas, basta calcu-
lar o campo devido a uma carga q e uma carga -q imaginaria localizada em
um ponto apropriado.
Caso mais simples:
6.4.1 Carga e o Plano Condutor Aterrado
Figura 6.12
V (x, y, z) =1
4πεo
q(x2 + (y − d)2 + z2
) 12
− q(x2 + (y + d)2 + z2
) 12
6.4. METODO DAS IMAGENS 93
Figura 6.13
, para y ≥ 0.
Condicao de contorno
V (x, 0, z) = 0
V → 0parar→∞
6.4.2 Densidade De Carga Induzida Na Superfıcie Do
Plano
σ = −εo∂V
∂n= −εo
∂V
∂y
∣∣∣∣y=0
σ (x, y, z) = − εoq
4πεo
∂
∂y
1(x2 + (y − d)2 + z2
) 12
− 1(x2 + (y + d)2 + z2
) 12
∣∣∣∣∣∣y=0
σ (x, y, z) = − q
4π
2 (y − d)(−1
2
)(x2 + (y − d)2 + z2
) 32
−2 (y + d)
(−1
2
)(x2 + (y + d)2 + z2
) 32
∣∣∣∣∣∣y=0
σ (x, y, z) = − q
2π
d
(x2 + d2 + z2)32
94 CAPITULO 6. CONDUTORES
⇒ σ e negativa como esperado.
A carga total induzida
Qinduzida =
∫σds = −ε0k2qd
∫ds
(x2 + y2 + z2)32
x2 + z2 = d2
ds = rdθdr
Qinduzida = −ε0k2qd
∞∫0
2π∫0
rdθdr
(r2 + d2)32
Qinduzida = −ε0kqd2π
∞∫d2
du
(u)32
=−ε0kqd
4πε0
2π
(2
d
)= −q
r2 + d2 = u
du = 2rdr
A carga q e atraıda pelo plano, pois ha carga negativa induzida.
Forca de atracao ~F = − q2
4πεo(2d)2j
Nos assumimos tudo igual ao sistema de duas cargas, mas cuidado, nem
tudo e igual.
A energia:
U =1
2
∫E2dv
Uduascargas = − 1
4πεo
q2
2d
6.5. PODER DAS PONTAS 95
Ucargaeplanocondutor = − 18πεo
q2
2dque e a metade. Por que?
Somente a regiao de y¿0 possui E 6= 0
A integral U = 12
∞∫0
E2dv = 12
12
∞∫−∞
E2dv
Tudo isso foi possıvel, pois:
Dado uma configuracao de condicoes de contorno, a solucao da equacao de
Laplace e unica, de modo que, se alguem obtiver uma solucao V (x, y, z) por
qualquer meio e se este V satisfizer todas as condicoes de contorno, ter-se-a
encontrado entao uma solucao completa do problema.
6.5 Poder das Pontas
Figura 6.14
Figura 6.15
VAαQ′ARA
VBαQ′BRB
96 CAPITULO 6. CONDUTORES
VA = VB ⇒
Q′ARA
=Q′BRB
Q′ARA
=4πR2
Aσ′A
RA
=4πR2
Bσ′B
RB
⇒RAσ
′A = RBσ
′B
⇒σ′Aσ′B
=RB
RA
⇒σ′A =
RB
RA
σ′B
6.6 Carga Na Superfıcie e Forca Em Um Con-
dutor
Ja vimos que ~E = σεon (Campo externo ) e vimos que σ = −εo ∂V∂n .
Na presenca de um campo eletrico, uma superfıcie carregada ira sentir
uma forca.
⇒ Forca por unidade de area ~f = σ ~E.
Mas temos um problema: o campo e descontınuo na superfıcie. Qual devo
usar: ~Eacima, ~Eabaixo
Resposta: Voce deve usar a media dos dois:
~f = σ ~Emedia =1
2σ(~Eacima + ~Eabaixo
)
Capıtulo 7
Capacitores
7.1 Introducao
Capacitor e um dispositivo que armazena energia potencial.
Capacitores variam em forma e tamanho, mas a configuracao basica con-
siste de dois condutores de cargas opostas.
O exemplo mais simples de um capacitor consiste de dois condutores
planos de area A paralelos entre si e separados por uma distancia d.
Figura 7.1
A experiencia mostra que a quantidade de carga Q num capacitor e line-
armente proporcional a diferenca de potencial entre as placas.
Q ∝ |∆V |
Q = C |∆V |
97
98 CAPITULO 7. CAPACITORES
em que
C - constante de proporcionalidade chamada capacitancia
[C] = F (Farad)
Fisicamente, capacitancia e a medida da capacidade de armazenar carga
eletrica para uma diferenca de potencial ∆V .
Observacao 7.1. Lembremos que se chama de carga de um capacitor a carga
de uma de suas placas em valor absoluto, pois a carga total e zero.
Observacao 7.2. 1F e uma unidade muito grande como veremos adiante nos
exemplos.
Figura 7.2
Observacao 7.3. Se considerarmos o encerramento completo de um condutor
pelo outro, teremos a capacitancia independente de qualquer fator externo.
Se tivessemos, ao inves disso, diante de duas placas assimetricas nao encerra-
das uma na outra, como mostra a figura acima, poderıamos estar intrigados
com a seguinte questao;
qual e a carga que faz o papel de Q, em funcao da qual se deve
definir a capacitancia?
A resposta e: a carga que deveria ser transferida do condutor 1 ao
condutor 2 para igualar seus potenciais.
7.2. ENERGIA DE UM CAPACITOR CARREGADO 99
7.2 Energia de um capacitor carregado
Considere um capacitor de placas paralelas, inicialmente descarregado. Pau-
latinamente, este capacitor esta sendo carregado, por meio da transferencia
de cargas de uma placa para a outra.
Seja, q a quantidade de carga transferida ate um instante qualquer t.
Neste instante a capacitancia e dada por: C = q∆V
, sendo ∆V a diferenca
de potencial entre as placas.
Num instante posterior o trabalho necessario para a transferencia de uma
carga dq e:
dW = ∆V dq =q
Cdq
O trabalho total realizado na transferencia de uma carga Q sera:
W =
Q∫0
q
Cdq =
1
2
Q2
C
W =1
2CV 2
em que
W - trabalho realizado para carregar o capacitor de uma carga Q.
E igual a energia que o capacitor possui quando tem uma carga Q.
V - Diferenca de potencial final entra as placas.
7.3 Calculos de Capacitancias
7.3.1 Capacitor de placas paralelas
C =Q
|∆V |
100 CAPITULO 7. CAPACITORES
Figura 7.3
Q = σA
∆V = Ed =σd
εo
C =Q
|∆V |=σAεoσd
C =Aεod
So depende de fatores geometricos!!
⇒ Capacitancia aumenta com a area A⇒ quanto maior for a area, maior
armazenamento de carga
⇒ Capacitancia inversamente proporcional a distancia d.
C = 1F, d = 1mm,A =?
A ≈ 100Km2
Energia:
U =ε0
2
∫E2dv =
ε0E2
2V =
ε0
2
σ2
ε20
Ad
Como : C =ε0A
de V 2 =
σ2d2
ε20
U =1
2CV 2
7.3. CALCULOS DE CAPACITANCIAS 101
7.3.2 Capacitor Cilındrico
Figura 7.4
L >> b− a
C =?
∆V = −b∫
a
~E · d~l
~E =?
Figura 7.5
∮~E.d~s =
Qint
ε0
E2πrL =Q
εo⇒ ~E =
Q
2πεoL
1
rr
∆V = − Q
2πεoLln (r)|ba = − Q
2πεoLln
(b
a
)
102 CAPITULO 7. CAPACITORES
|∆V | = Q
2πεoLln
(b
a
)
C =Q
|∆V |=
2πεoL
ln(ba
)Sendo b = d+ a⇒ ln
(ba
)= ln
(da
+ 1)≈ d
a
C =2πεoLa
d=εoA
d
7.3.3 Capacitor Esferico
Figura 7.6
∆V = −b∫
a
~E · d~l
∮~E.d~s =
Qint
ε0
E4πr2 =Q
εo⇒ ~E =
1
4πεo
Q
r2r
∆V = − Q
4πεo
1
r
∣∣∣∣ba
=Q
4πεo
(a− b)ab
⇒ |∆V | = Q
4πεo
(b− a)
ab
7.4. ASSOCIACAO DE CAPACITORES 103
C =4πεoab
(b− a)
limites
b− a = d << a
7.4 Associacao de Capacitores
7.4.1 Capacitores em Paralelo
Figura 7.7
Mesmo potencial:
Q1 = C1V
Q2 = C2V
Q3 = C3V
Q1 +Q2 +Q3 = (C1 + C2 + C3)V
Q = CeqV
104 CAPITULO 7. CAPACITORES
Ceq = C1 + C2 + C3
Para n capacitores em paralelo:
Ceq =n∑i=1
Ci
7.4.2 Capacitores em Serie
Figura 7.8
V = V1 + V2
Q = CeqV = Ceq (V1 + V2) = Ceq
(Q1
C1
+Q2
C2
)Mas:
Q1 +Q2 = Q⇒ Q
Ceq=
Q
C1
+Q
C2
1
Ceq=
1
C1
+1
C2
Para n capacitores em serie :
7.4. ASSOCIACAO DE CAPACITORES 105
1
Ceq=
n∑i=1
1
Ci
Exercıcio 7.1. Um capacitor tem placas quadradas de lado a, que formam
um angulo θ entre si. Mostrar que para θ pequeno, a capacitancia e dada
por
εoa2
d
(1− aθ
2d
)
Figura 7.9
Suponha que o capacitor em questao e o capacitor equivalente de uma
associacao de capacitores em paralelo.
Figura 7.10
≡
106 CAPITULO 7. CAPACITORES
Figura 7.11
Figura 7.12
Ci =εoA
di=εoadx
di
sendo
di = d+ xtgθ
Ceq =∑i
Ci = εoa
a∫0
dx
d+ xtgθ=εoa
tgθln (d+ xtgθ)|a0
Ceq =εoa
tgθln
(d+ atgθ
d
)
7.4. ASSOCIACAO DE CAPACITORES 107
θpequeno⇒ tgθ ≈ θ
C =εoa
θln
(1 +
aθ
d
)Mas aθ
de pequeno e ln (1 + x) = x− x2
2+ x3
3+ ...−1 ≤ x ≤ 1
C =εoa
θ
(aθ
d− a2θ2
2d2
)=εoa
2
d
(1− aθ
2d
)Se θ = 0 voltamos ao resultado inicial para capacitores de placas paralelas:
C =εoa
2
d
108 CAPITULO 7. CAPACITORES
Capıtulo 8
Dieletricos
8.1 Introducao
Ate agora, so discutimos campos eletricos no vacuo ou na presenca de con-
dutores, dentro dos quais ~E = 0. Porem, o que acontece se trabalharmos
com isolantes?
Cavendish, em 1773, e Faraday, independentemente, em 1837 1 desco-
briram que a capacitancia de um capacitor aumenta caso seja colocado um
isolante entre as placas, a capacitancia aumenta por um fator que depende
tao somente do tipo de material colocado. Mas por qual motivo isso ocorre?
Nesse capıtulo estudaremos mais profundamente as propriedades desses
materiais dieletricos, e a sua aplicacao na construcao de capacitores, alem de
estudar alguns dos fenomenos relacionados, como a polarizacao.
8.2 Campo no interior de um dieletrico
Nessa secao veremos mais a fundo o motivo que leva a esse aumento da
capacitancia, dessa forma, devemos considerar dois tipos de materiais, os
compostos por moleculas polares e os apolares:
1Nussenzveig, Herch Moyses, Curso de Fısica basica - Volume 3, 1a Edicao, pag 86
109
110 CAPITULO 8. DIELETRICOS
8.2.1 moleculas polares
As moleculas polares sao aquelas que apresentam um momento de dipolo
permanente ~p. Esse dipolo, quando colocado na presenca de um campo
eletrico tende a se alinhar com este devido a um torque resultante, que pode
ser observado na figura abaixo:
Figura 8.1: Dipolo molecular imerso em um campo
O alinhamento das moleculas do material na direcao do campo eletrico
externo e chamado de polarizacao eletrica.
8.2.2 moleculas apolares
Essas moleculas nao apresentam momento dipolo permanente, porem, tambem
estao sujeitas a uma polarizacao, devido ao surgimento de um dipolo indu-
zido:
8.3. POLARIZACAO 111
Figura 8.2: Ao ser imersa em um campo, surge um dipolo induzido namolecula
8.3 Polarizacao
Com o que vimos na Secao 8.2 existem dois tipos de dipolo, um induzido (no
caso das moleculas apolares), ou um permanente (caso das moleculas polares,
como a agua). Esses dipolos podem ser entao polarizados pela presenca de
um campo eletrico, como percebe-se na figura abaixo:
Figura 8.3: Material polarizado
Assumimos aqui que todos os dipolos estao alinhados com o eixo do ci-
lindro, o que nem sempre e verdade. Dessa forma, precisamos descobrir a
influencia desses dipolos no campo eletrico resultante.
8.3.1 Definicao do vetor Polarizacao
Definimos o vetor polarizacao como sendo:
112 CAPITULO 8. DIELETRICOS
−→P =
1
V
N∑i=1
~pi (8.1)
Na qual ~pi sao os dipolos, induzidos ou permanentes, presentes nos ma-
teriais. Perceba que ~P possui sentido que aponta das cargas negativas para
as positivas.
No caso do cilindro apresentado, considerando N dipolos orientados ~p
podemos dizer que:
−→P =
1
V
N∑i=1
~pi
Dessa forma, no total, terıamos que as cargas de cada dipolo iriam se anu-
lar dentro do cilindro, restando somente as cargas externas. Assim terıamos:
Figura 8.4: Esquema
Mas como podemos calcular Qp, ou seja, a carga polarizada?
Considerando um grande momento dipolo igual a soma de todos os vetors
dipolo menores Np. Assim, pela definicao de vetor dipolo: Qph = Np. Mas
Qp = σpA. Dessa forma, podemos dizer que, no caso das placas paralelas:
σp = ~P (8.2)
Caso as placas nao sejam paralelas, sendo A′ a nova area e A a area do
8.3. POLARIZACAO 113
caso paralelo, considerando o vetor n perpendicular a superfıcie e o angulo θ
que este faz com o vetor hatk, temos:
A′cosθ = A⇒ σp =Qpcosθ
A= ~Pcosθ = ~P · n (8.3)
Alem disso, pela lei de Gauss, como ~E = −~P/ε0 podemos dizer que:
Qp = −∮
~P · d~s (8.4)
Que, pelo teorema da divergencia:
∇ · ~P = −ρp (8.5)
Dessa forma, precebe-se a importancia do vetor polarizacao, visto que
ele permite o calculo da densidade superficial de carga polarizada, sem a
necessidade do conhecimento dos dipolos moleculares. Alem disso, podemos
dizer que:
~Ep = −~P
εo(8.6)
Dessa forma, o campo total ~E e dado por:
~E = ~Eexterno −~P
εo→ ~E < ~Eexterno (8.7)
O que mostra que a polarizacao diminui o campo eletrico final, causando
assim, o efeito observado por Cavendish (vide Secao 8.1).
8.3.2 Susceptibilidade Eletrica e constante dieletrica
Agora, sabemos que o vetor polarizacao pode nos ajudar a descobrir alguns
dos efeitos macroscopicos causados pelo uso de dieletricos. Como ja dito,
foi observado que a capacitancia variava por um valor que dependia basica-
mente da natureza do material estudado. Assim, pode-se montar a seguinte
114 CAPITULO 8. DIELETRICOS
equacao:
~P = χ~E (8.8)
Alem disso, foi observado que χ e normalmente linear, sendo denominado
susceptibilidade eletrica. Com isso, pela equacao 8.7, chamando Eexterno de
E0 temos:
~Eo = ~E +~P
εo= ~E
(1 +
χ
εo
)︸ ︷︷ ︸
K
(8.9)
Dessa forma, temos a relacao entre a susceptibilidade eletrica e a cons-
tante dieletrica, definida a partir da razao entre as diferentes capacitancias
observadas com e sem dieletricos nos capacitores, ou seja:
k =ε
ε0→ ε = ε0 + χ (8.10)
Onde ε e chamada a permissividade eletrica do meio.
Observacao: Ha varios livros que definem:
~P = εoχe ~E
Logo, temos que: χ = χeεo
e, nesse caso:
ε = εo (1 + χe)︸ ︷︷ ︸K
(8.11)
8.4 Lei de Gauss e vetor deslocamento eletrico
Como o campo nao se mantem o mesmo na presenca de um dieletrico, como
e possıvel equaciona-la?
Primeiramente relembremos a lei de Gauss:
8.4. LEI DE GAUSS E VETOR DESLOCAMENTO ELETRICO 115
∮~E·d~s =
Qint
εo(8.12)
Mas a carga eletrica e composta pela carga livre inicial mais a carga
polarizada, assim: ∮~E·d~s =
Q+Qp
εo(8.13)
Aplicando no caso especıfico de um capacitor temos:
EA =
(Q+Qp
εo
)⇒ E =
(σ + σpεo
)Mas, ja vimos que:
E =EoK
=σ
εoK=σ
ε
Logo, como :σ+σpεo
= σε, entao:∮
ε ~E · d~s = Qlivre (8.14)
Difinindo o vetor deslocamento eletrico como sendo ~D = ε ~E obtemos:∮~D · d~s = Qlivre (8.15)
Alem disso, sabemos que:
~D = ε ~E = εoK ~E = εo (1 + χe) ~E = εo ~E + ~P
Logo:~D = εo ~E + ~P (8.16)
Alem disso, pelo teorema da divergencia, podemos obter que:
~∇ · ~D = ρlivre (8.17)
116 CAPITULO 8. DIELETRICOS
Outra forma de chegarmos a mesma resposta seria, partindo da equacao
8.13, e sabendo da equacao 8.4 obtemos que:∮ (εo ~E + ~P
)· d~s = Qlivre (8.18)
Assim, definindo ~D = ~Eε+ ~P obteremos a equacao 8.15
Vale notar tambem que o vetor deslocamento eletrico e igual ao vetor
ε0~E0, ou seja, o campo externo vezes a permissividade do vacuo. Logo, ~D
depende tao somente das cargas externas e nao da natureza do material, for-
necendo assim, uma excelente ferramenta de calculo para os casos envolvendo
dieletricos. Alem disso, a relacao existente entre ~D e ~E, nos da condicoes,
conhecida a permissividade eletrica do meio ε, de descobrir tanto o proprio
campo ~E quanto o vetor polarizacao, podendo assim, obter as cargas polari-
zadas e as finais. Um outro fator interessante e que as equacoes que utilizam o
vetor deslocamento podem ser utilizadas mesmo que nao haja meio dieletrico,
mas elas cairao nas equacoes ja vistas em capıtulos anteriores.
8.5 Energia eletrostatica em dieletricos
Analisaremos agora qual o comportamento da energia eletrostatica armaze-
nada no campo caso exista um dieletrico no meio. Assim, sabemos que:
U =1
2
∫v
ρeV dv
Mas ρe =−→∇ .−→D
Assim, temos que:
U =1
2
∫(−→∇ .−→D)V dv (8.19)
Mas−→∇ .(−→DV ) = (
−→∇ .−→D)V +
−→D.−→∇V Logo:
8.6. CONDICOES DE CONTORNO 117
U =1
2
∫(−→∇ .−→D)V dv =
1
2
∫ −→∇ .(−→DV )dv − 1
2
∫ −→D.−→∇V dv
Porem−→E = −
−→∇V . Assim, como fizemos no caso da energia eletrostatica
sem dieletricos, podemos fazer v →∞. Assim:
U =1
2
∫R3
−→D.−→Edv (8.20)
8.6 Condicoes de Contorno
Da mesma forma que definimos algumas condicoes de contorno para pro-
blemas de eletrostatica, devemos agora rever essas condicoes para o caso da
presenca de um dieletrico. Assim, recordando:
Figura 8.5: Esquema
Vimos que:
E⊥acima − E⊥abaixo =σ
ε0
Era obtido a partir da Lei de Gauss. Assim, com a Lei reescrita, podemos
obter:
118 CAPITULO 8. DIELETRICOS
Figura 8.6: Esquema 2
D⊥acimaA−D⊥abaixoA = σlA
Logo:
D⊥acima −D⊥abaixo = σl (8.21)
Porem, pela circulacao, obtemos:
E//acima = E
//abaixo
Mas, como:
−→E =
−→D
ε0
−−→P
ε0
Entao, obtem-se:
D⊥acimaA−D⊥abaixoA = P//acima − P
//abaixo (8.22)
Dessa forma, temos agora todas as ferramentas necessarias para realizar
o estudo de muitos dos problemas de eletrostatica, inclusive os que envol-
vem dieletricos, principalmente, aqueles que envolvem o calculo de capa-
8.6. CONDICOES DE CONTORNO 119
citancias de diversos capacitores, totalmente ou parcialmente preenchidos
com dieletricos.
120 CAPITULO 8. DIELETRICOS
Capıtulo 9
Corrente eletrica e Resistencia
9.1 Transporte de Carga e Densidade de Cor-
rente
As correntes eletricas sao causadas pelo movimento de portadores de carga.
A corrente eletrica num fio e a medida da quantidade de carga que passa por
um ponto do fio por unidade de tempo.
I =dq
dt
[I] = A (Ampere)
9.1.1 Conceito De Densidade De Corrente
Consideremos uma area a .
Perguntamos: Quantas partıculas carregadas passam por unidade de
tempo?
Consideremos inicialmente que cada partıcula possui carga q e velocidade
~u e temos n partıculas por m3.
121
122 CAPITULO 9. CORRENTE ELETRICA E RESISTENCIA
Figura 9.1
Para o intervalo de tempo ∆t temos que a resposta sera:
todas as partıculas dentro de um volume de prisma.
V olume = base× altura
V olume=~a · ~u∆t = au∆t cos θ
Densidade de partıculas = n, entao o numero de partıculas,∆N , que
passa pela area a no intervalo ∆t e:
∆N = n~a · ~u∆t
Considerando que cada partıcula possui carga q :
∆Q = nq~a · ~u∆t
corrente =∆Q
∆t= nq~a · ~u = I (a)
Caso geral:
9.1. TRANSPORTE DE CARGA E DENSIDADE DE CORRENTE 123
Consideremos que ha partıculas diferentes com cargas diferentes, veloci-
dades diferentes em numero diferente. Entao a corrente sera dada por:
I (a) = n1q1~a · ~u1 + n2q2~a · ~u2 + ...+ nNqN~a · ~uN
I (a) =N∑i=1
niqi~a · ~ui =
I (a) = ~a ·N∑i=1
niqi~ui
ChamamosN∑i=1
niqi~ui de densidade de corrente ~J .
N∑i=1
niqi~ui = Densidade de corrente
~J =N∑i=1
niqi~ui
[~J]
=A
m2
I (a) = ~a · ~J
Examinemos agora a contribuicao da densidade de corrente para o caso
de eletrons que podem ter diferentes velocidades.
qi = −e
~J = −eN∑i=1
ni~ui
A velocidade media dos eletrons e dada por:
124 CAPITULO 9. CORRENTE ELETRICA E RESISTENCIA
〈~ue〉 =1
Ne
∑i
ni~ui
Ne = Numero de eletrons por unidade de volume
~Je = −eNe 〈~ue〉
A corrente de eletrons que passara atraves da area a dependera somente
da velocidade media dos portadores (lembrando que esta de trata de
uma media vetorial).
A corrente I que atravessa qualquer superfıcie S e exatamente igual a
integral de superfıcie:
I =
∫S
~J · d~s
I e o ”fluxo”associado ao vetor ~J
9.2 Equacao da Continuidade da Carga eletrica
Figura 9.2
Consideremos uma superfıcie fechada qualquer S, que delimita um volume
V.
Dentro do volume V temos uma quantidade de carga total igual a:
9.2. EQUACAO DA CONTINUIDADE DA CARGA ELETRICA 125
∫V
ρdv
Como∮S
~J · d~s e igual a vazao instantanea de carga para fora do volume.
∮S
~J · d~s = − d
dt
∫V
ρdv
Usando o Teorema de Gauss temos:
∮V
~∇ · ~Jdv = − d
dt
∫V
ρdv
Mas como ρ = ρ (x, y, z, t) e a superfıcie que limita o volume permanece
no mesmo lugar:
d
dt
∫ρdv =
∫∂ρ
∂tdv
Entao:
∫V
~∇ · ~Jdv =
∫V
(−∂ρ∂t
)dv
Como a equacao e valida para qualquer V :
~∇ · ~J = −∂ρ∂t
Equac~ao da Continuidade da carga
Portanto, O Princıpio da Conservacao da Carga e traduzidos pelas
equacoes:
∮S
~J · d~s = − d
dt
∫V
ρdv (9.1)
126 CAPITULO 9. CORRENTE ELETRICA E RESISTENCIA
e
~∇ · ~J = −∂ρ∂t
(9.2)
9.2.1 Caso De Corrente Estacionaria
Corrente nao varia com o tempo!!!
Figura 9.3
Suponha que temos um fio por onde passa uma corrente estacionaria (nao
varia com o tempo). Se considerarmos o volume V, a quantidade de carga
∆Q que entra num intervalo de tempo ∆t deve ser igual a que sai no mesmo
intervalo.∆Q∆t
dentro do volume = 0 ⇒ ∂ρ∂t
= 0
~∇ · ~J = 0
Esta equacao nada mais e do que a 1a Lei de Kirchoff , tambem co-
nhecida como Lei dos Nos, da teoria de circuitos eletricos.
Figura 9.4
9.3. CONDUTIVIDADE ELETRICA E A LEI DE OHM 127
Figura 9.5
9.3 Condutividade Eletrica e a Lei de Ohm
Consideremos que a corrente eletrica e produzida pela presenca de um campo
eletrico.
~E produz uma forca no portador de carga → se movimenta ⇒ corrente
eletrica
Se ha corrente eletrica ou nao, depende da natureza fısica do sistema em
que o campo atua, ou seja, o meio.
Uma das mais antigas descobertas experimentais sobre a corrente eletrica
na materia foi feita por G. S. Ohm, em um trabalho publicado em 1827
intitulado: ”Die Galvanische Ketle Mattematisch Bearbeitet”, e e expressa
atraves da Lei de Ohm:
V = RI
Observacao 9.1. ( OBSERVACAO IMPORTANTE )
Esta equacao provem da observacao experimental do comportamento de
muitas substancias familiares, nos nao a deduzimos das leis fundamentais do
eletromagnetismo.
9.3.1 Um Modelo Para a Conducao Eletrica
⇒ Modelo De Drude = Modelo Classico
Linha do tempo:
128 CAPITULO 9. CORRENTE ELETRICA E RESISTENCIA
1827 - Ohm 1897 - J.J. Thompson → descoberta do eletron.
Impacto imediato nas teorias da estrutura da materia e sugeriu um me-
canismo para a conducao em metais.
1900 - Drude construiu sua teoria para a condutividade eletrica utilizando
a teoria cinetica dos gases para um metal, considerando um gas de eletrons
livres.
(Annalen der Phynik 1, 566 (1900) e Annalen der Phynik 3, 369 (1900))
Suposicoes:
Figura 9.6
Cada atomo contribui com z eletrons para a conducao → carga = -ez
Na ausencia de campo eletrico os eletrons se movem em todas as direcoes,
ao acaso, com velocidades que sao determinadas pela temperatura.
O eletron devera se mover em linha reta ate que sofra uma colisao.
As colisoes no modelo de Drude, como na teoria cinetica, sao eventos
instantaneos que alteram abruptamente a velocidade do eletron.
Nao ha relacao (tanto em modulo quanto em direcao e sentido) entre a
velocidade ~u do eletron em t = 0 e sua velocidade depois da passagem de um
certo intervalo de tempo.
Isto corresponde a dizer que apos um tempo t o vetor velocidade do
9.3. CONDUTIVIDADE ELETRICA E A LEI DE OHM 129
eletron podera ser encontrado apontando em qualquer direcao independente
da direcao que tinha em t = 0.
A probabilidade de um eletron sofrer uma colisao em um intervalo de
tempo dt e dtτ
, onde τ = tempo medio entre as colisoes.
Agora vamos aplicar um campo eletrico uniforme ~E ao sistema.
Com a presenca de um campo eletrico, o eletron ficara sujeito a uma forca
eletrica.
Figura 9.7
Seja:
~u = velocidade imediatamente apos a colisao.
Apos um determinado t, o eletron sofre um incremento de momento igual
a:
~pt = −e ~Et
Momento original logo apos a colisao era:
~po = me~u
me = massa do eletron
Entao, momento total apos um determinado tempo t deve ser:
130 CAPITULO 9. CORRENTE ELETRICA E RESISTENCIA
~p = me~u− e ~Et
Com isso, o momento total do sistema sera:
∑~p =
∑i
me~ui +∑i
(−e ~E
)ti
O momento medio de todos os eletrons:
〈~p〉 =1
Ne
∑~p
〈~p〉 =1
Ne
∑i
(me~ui − e ~Eti
)
〈~p〉 = me
(1
Ne
∑i
~ui
)− e ~E
(1
Ne
∑i
ti
)Mas:1Ne
∑i
~ui = velocidade media dos eletrons imediatamente apos a colisao
→ deve ser igual a zero, pois ~ui tem as direcoes distribuıdas totalmente ao
acaso e, portanto, tem contribuicao nula para a media.1Ne
∑i
ti = tempo medio entre as colisoes = τ
〈~p〉 = −e ~Eτ
〈~u〉 = − eτme~E = velocidade media = velocidade de drift ou de ”arrasto”.
Ja vimos que a densidade de corrente pode ser escrita como:
~J = −Nee 〈~u〉
~J =Nee
2τ
me
~E
Seja:
9.3. CONDUTIVIDADE ELETRICA E A LEI DE OHM 131
σ =e2Neτ
me
Entao: Lei de Ohm
~J = σ ~E
onde σ = condutividade eletrica.
Vejamos que escrever ~J = σ ~E e equivalente a escrever V = RI.
Consideremos um fio de seccao transversal A:
Figura 9.8
V = El
e
I = JA
J = σE = σV
l
I
A= σ
V
l⇒ V =
l
σA︸︷︷︸R
I
Entao:
132 CAPITULO 9. CORRENTE ELETRICA E RESISTENCIA
V = Ri
Definimos resistividade como sendo o inverso da condutividade:
ρ =1
σ
Temos:
R =ρl
A
⇒ De fato a resistencia deve ser diretamente proporcional a l e inversa-
mente proporcional a A.
R =comprimento× resistividade
areadasecaotransversal
Na realidade a resistividade de um material varia com a temperatura T.
ρ = ρo [1 + α (T − To)]
α = coeficiente de temperatura da resistividade
α > 0 para metais
α < 0 para semicondutores
Figura 9.9
9.4. ASSOCIACAO DE RESISTORES 133
9.4 Associacao de Resistores
9.4.1 Associacao em Paralelo
Figura 9.10
V = ReqIeq
Req =V
I1 + I2 + I3
1
Req
=I1
V+I2
V+I3
V=
1
R1
+1
R2
+1
R3
1
Req
=N∑i=1
1
Ri
9.4.2 Associacao em Serie
V = V1 + V2 = R1I +R2I
V = (R1 +R2) I
Req = (R1 +R2)
134 CAPITULO 9. CORRENTE ELETRICA E RESISTENCIA
Figura 9.11
Req =N∑i=1
Ri
Exercıcio 9.1. Um material condutor possui condutividade dada por:
σ(x) = σa +(σb − σa)
lx
onde σa e σb sao constantes.
O condutor possui comprimento l e area de seccao transversal constante.
Determine a resistencia entre as faces A e B do condutor.
Figura 9.12
R =ρl
A⇒ R(x) =
l
σ(x)A
9.4. ASSOCIACAO DE RESISTORES 135
Figura 9.13
Req =n
Σi=1
Ri ⇒ R =
l∫0
dx
σ(x)A=
1
A
l∫0
dx
σa +(σb−σal
)x⇒
R =l
A(σb − σa)ln
(σbσa
)Exercıcio 9.2. Um material condutor e moldado na forma de um tronco de
cone. O raio da base menor e a e o raio da base maior e b. O comprimento
e l e a resistividade e uniforme. Determine a resistencia entre as bases.
Figura 9.14
R =∫dR⇒dR = ρdx
πr2(x)⇒ r (x) = a+ b−a
lx
R =ρ
π
l∫0
dx(a+
(b−al
)x)2 ⇒ R =
ρ
π
(l
b− a
)(−1
b+
1
a
)⇒
R =ρl
πabse a = b ⇒ R =
ρl
πa2
136 CAPITULO 9. CORRENTE ELETRICA E RESISTENCIA
Exercıcio 9.3. Um material e moldado na forma de uma cunha, como ilus-
tra a figura abaixo. O material possui uma resistividade ρR. Determine a
resistencia entre as faces A e B
Figura 9.15
R =
∫dR dR =
ρdx(a+ (b−a)
lx)w
R =ρ
w
l∫0
dx
a+(b−al
)x⇒ R =
ρ
w
l
(b− a)ln
(b
a
)
se b→ a, (b− a)→ 0⇒ ln(ba
)= ln
(b−aa
+ 1)≈ b−a
a
⇒ R =ρl
w (b− a)
(b− a)
a=
ρl
aw
9.5 Forca Eletromotriz
E necessario se gastar energia eletrica para manter uma corrente constante
em um circuito fechado. A fonte de energia e chamada de fonte de forca
eletromotriz (fem - sımbolo ε ).
Exemplos: baterias, celulas solares, etc
Matematicamente: ε ≡ dwdq
Ou seja, o trabalho para mover uma unidade de carga na direcao do
potencial mais alto.
9.5. FORCA ELETROMOTRIZ 137
[ε] = V (volt)
Considere o circuito:
Figura 9.16
Assumindo que a bateria nao possui resistencia interna, entao a diferenca
de potencial VA − VB = V = ε
Corrente: I = εR
No entanto, uma bateria real sempre possui um resistencia interna r.
Neste caso, a diferenca de potencial nos terminais da bateria e:
Vc − Va = ∆V = ε− rI
Figura 9.17
No circuito todo:
ε− rI −RI = 0⇒ I =ε
r +R
138 CAPITULO 9. CORRENTE ELETRICA E RESISTENCIA
Figura 9.18
. Voltagem cai ao passar por cada resistor.
. Nos fios e constante.
9.5.1 Potencia
A potencia e dada por:
dW
dt= V
dq
dt
Taxa de Transferencia de Energia
Como P = V I e sempre valido:
Usando a Lei de Ohm:
→ P = I2R
A potencia gasta pela bateria:
P = Iε = I (IR + Ir) = I2R + I2r
Potencia da fonte e igual a Potencia dissipada em R + Potencia
dissipada em r.
9.5.2 Potencia Maxima Transmitida
P = RI2
9.6. LEIS DE KIRCHOFF 139
Figura 9.19
I =ε
R + r
P =Rε2
(R + r)2
dP
dR= 0→ dP
dR=
ε2
(R + r)2 −2Rε2
(R + r)3 = 0
⇒ R + r = 2R
R = r
9.6 Leis de Kirchoff
As leis de Kirchoff:
1- Dos nos: ΣIentram = ΣIsaem
2- Das malhas: Σcircuitofechado
∆V = 0
Nos circuitos temos:
Va > Vb ⇒ ∆V = Vb − Va = −RI
140 CAPITULO 9. CORRENTE ELETRICA E RESISTENCIA
Figura 9.20
Figura 9.21
Va < Vb ⇒ ∆V = Vb − Va = +ε
Exercıcio 9.4. Qual o valor de I1, I2 e I3?
Figura 9.22
Consideremos que o sentido das correntes sao como mostrados na figura.
Pela lei das malhas:
Comecando em A:
V1 −R1I1 −R3I1 +R3I2 = 0
Comecando em B:
−R3I2 +R3I1 −R2I2 + V2 = 0
9.7. CIRCUITO R-C 141
Temos duas equacoes e duas incognitas, I1 e I2
I3 = I1 − I2
Se I1 der negativo, entao o sentido da corrente e oposto ao que supomos
inicialmente, o mesmo para I2.
9.7 Circuito R-C
9.7.1 Carregando um capacitor
Considere o circuito abaixo:
Figura 9.23
Bateria com uma fem ε constante e resistencia interna nula.
Inicialmente o capacitor esta completamente descarregado q( t=0 ) = 0
e a chave passa para a posicao (1).
A corrente comeca a circular: I (0) = εR
A medida que o tempo passa ( t ¿ 0 ), o capacitor vai carregando ate
atingir a carga maxima ( t = tf ) Q = Cε
Analisemos o que ocorre entre os dois instantes ( 0 ¡ t ¡ tf ).
Pela Lei da Malhas: ε− I (t)R− q(t)C
= 0
Podemos resolver a equacao em termos da corrente ou da carga.
Escolhendo a carga:
142 CAPITULO 9. CORRENTE ELETRICA E RESISTENCIA
Figura 9.24
ε−RI (t)− q (t)
C= 0
I (t) =dq (t)
dt⇒ ε−Rdq
dt− q
C= 0
⇒ dq
dt=
1
R
(ε− q
C
)⇒ dq
εC − q=
dt
RC
Integrando ambos os lados, temos:
q∫0
dq
q − εC= − 1
RC
t∫0
dt⇒ ln
(q − εC−εC
)= − t
RC
q − εC = −εC e−( tRC ) ⇒ q (t) = εC
(1− e−( t
RC ))
q (t) = Q(
1− e−tRC
)Onde Q e a carga maxima armazenada no capacitor.
I (t) =dq
dtq (t) = Q
(1− e
−tRC
)
I (t) =Q
RCe−tRC =
εC
RCe−tRC
9.7. CIRCUITO R-C 143
Figura 9.25
I (t) =ε
Re−tRC
Figura 9.26
τ = RC e uma medida do tempo de decaimento da funcao exponencial.
Depois de t = τ a corrente cai de um fator de 1e
= 0, 368.
Tensao no Capacitor
Vc (t) =q (t)
C=Q
C
(1− e−
tRC
)= ε
(1− e−
tRC
)
t→∞⇒
q (t→∞) = Cε = Q
Vc (t→∞) = ε
I (t→∞) = 0
144 CAPITULO 9. CORRENTE ELETRICA E RESISTENCIA
Figura 9.27
Depois de um tempo t = τ a diferenca de potencial entre os capacitores
aumenta de um valor igual a (1− e−1) = 0, 632 do seu valor final.
Vc (τ) = 0, 632ε
9.7.2 Descarregando um capacitor
Considerando que a chave permaneceu por um longo tempo na posicao (1),
vamos mudar a chave para a posicao (2).
Figura 9.28
Podemos prever que a corrente tera o mesmo comportamento que o pro-
cesso anterior, com a diferenca que mudara de sentido.
Idescarga (t) = −Icarga (t) = − εRe−
tRC
Montando a equacao:
9.7. CIRCUITO R-C 145
q (t)
C−RI (t) = 0
I (t) = −dqdt
q (t)
C−Rdq (t)
dt= 0
dq (t)
dt= −q (t)
RC⇒ dq
q= − dt
RC⇒
q∫Q
dq
q= −
t∫0
dt
RC
ln
(q
Q
)= − t
RC⇒
q (t) = Qe−tRC
Vc (t) =q (t)
C=Q
Ce−
tRC = εe−
tRC
I (t) = −dqdt
=ε
Re−
tRC
Figura 9.29
146 CAPITULO 9. CORRENTE ELETRICA E RESISTENCIA
Figura 9.30
Figura 9.31
Figura 9.32
t < 0⇒ Req = R1 +R2
9.7. CIRCUITO R-C 147
τ = ReqC = (R1 +R2)C
q (t) = εC(
1− e−( tτ ))
Figura 9.33
Figura 9.34
τ ′ = R2C
q′ (t) = εCe−tτ ′
Corrente entre A e B como funcao do tempo depois que o circuito e
fechado.
148 CAPITULO 9. CORRENTE ELETRICA E RESISTENCIA
ε = R1I1 ⇒ I1 =ε
R1
q (t)
C−R2I2 (t) = 0
q (t)
C+R2
dq2 (t)
dt= 0
Figura 9.35
dq2(t)
q2
= − dt
R2C⇒ q2 (t) = εCe
− tR2C
I2 (t) = − ε
R2
e− tR2C
I = I1 + I2 =ε
R1
+ε
R2
e− tR2C
Capıtulo 10
Magnetostatica
10.1 Campo Magnetico
Por meio de experimentos, notou-se que os portadores de carga sofriam in-
fluencias de outra forca, fora aquela resultante da acao do campo eletrico.
Tal forca dependia nao so da posicao da partıcula mas tambem da velocidade
de seu movimento, e ela recebeu o nome de forca magnetica.
Portanto, Em todo ponto do espaco temos duas quantidades vetoriais que
determinam a forca resultante que atua sobre uma carga:
• A primeira delas e a forca eletrica, a qual fornece uma componente
da forca independente do movimento da carga. E possıvel descreve-la,
como ja foi visto, em termos do campo eletrico.
• A segunda quantidade e uma componente adicional a forca denominada
forca magnetica, que sera apresentada a seguir.
Foi visto que o campo eletrico pode ser definido como a forca eletrica por
unidade de carga:
~E =~Feq
(10.1)
149
150 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
Isso pode ser feito devido a existencia de monopolos eletricos. Porem o
ser humano nao observou, ate hoje, monopolos magneticos: Todos os corpos
magnetizados possuem um polo Norte e um polo Sul. Por causa disso, o
campo magnetico deve ser definido de outra maneira.
Observando o movimento de cargas eletricas em campos magneticos,
notou-se que:
• A forca magnetica e proporcional a carga da partıcula:
Fm ∝ q
• A forca magnetica e sempre perpendicular ao sentido de deslocamento
da partıcula:~Fm · ~v = 0
• Se o deslocamento da partıcula e paralelo a uma direcao fixa, a forca
magnetica e nula. Caso contrario, a forca magnetica e proporcional
a componente da velocidade que e perpendicular a essa direcao. Em
sıntese: sendo θ o angulo entre o vetor velocidade (~v) e essa direcao
fixa:
Fm ∝ v sin θ (10.2)
Todo esse comportamento pode ser descrito por meio da definicao do vetor
campo magnetico ~B1, cuja direcao especifica simultaneamente a direcao fixa
mencionada e a constante de proporcionalidade com a velocidade e a carga.
~Fm = q(~v × ~B
)(10.3)
Utilizando as equacoes 10.1 e 10.3, demonstra-se que a forca resultante
1Unidade do campo magnetico:[~B]
= T (tesla). 1T = 104G (gauss)=wb
m2(weber)
10.2. FORCA MAGNETICA EM FIOS 151
aplicada sobre uma carga eletrica e dada por:
~F = ~Fe + ~Fm (10.4)
~F = q(~E + ~v × ~B
)(10.5)
A equacao 10.5 representa a Forca de Lorentz, um dos axiomas da teoria
eletromagnetica. Sua importancia advem do fato dela ser a ponte entre a
dinamica e o eletromagnetismo.
Observacao: A forca magnetica NAO realiza trabalho, pois ela e sempre
perpendicular ao deslocamento da partıcula.
dW = ~Fm · d~l = q(~v × ~B
)· ~v dt = 0
Segue que a forca magnetica nao pode alterar apenas a direcao da veloci-
dade da carga (~v). Fica entao a pergunta: Como um ıma pode mover outro?
Veremos isso mais adiante.
10.2 Forca magnetica em fios
Vamos considerar um condutor pelo qual passa uma corrente eletrica I,
imerso em um campo magnetico ~B. Pode-se dizer que a quantidade de carga
que passa pela seccao transversal do fio em um tempo dt e:
dq = I dt (10.6)
De acordo com a equacao 10.3, a forca magnetica aplicada nesse elemento
de carga e:
d ~Fm = dq(~v × ~B
)(10.7)
Substituındo 10.6 em 10.7, temos:
152 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
d ~Fm = I dt(~v × ~B
)d ~Fm = I
(~v dt× ~B
)d ~Fm = I
(d~l × ~B
)(10.8)
Onde ~dl possui a mesma direcao e sentido da corrente. Entao integrando
a equacao 10.8 ao longo do comprimento do fio, encontramos a forca aplicada
nesse corpo:
~Fm =
∫Γ
I(
d~l × ~B)
(10.9)
Figura 10.1: Fio imerso em campo magnetico
Como exemplo, facamos uma analise para o caso no qual a corrente e o
campo sao constantes.
Como I e ~B nao variam, a integral apresentada em 10.9 fica da seguinte
maneira:
~Fm = I
∫Γ
(d~l)× ~B
(10.10)
Se somarmos todos os vetores elementares de comprimento ( d~l) de um
fio, obtemos como resultado o vetor ~l, que liga as duas extremidades desse
10.3. TORQUE EM ESPIRAS 153
objeto. Portanto, a equacao 10.10 torna-se:
~Fm = I(~l × ~B
)(10.11)
Nota-se que, para fios fechados (espiras), o vetor ~l e nulo, portanto a forca
magnetica resultante e zero.
Figura 10.2: Forca resultante na espira fechada e nula
Observacao: A forca magnetica resultante e nula, mas o torque nao o e!
10.3 Torque em espiras
Considere uma espira retangular imersa em um campo magnetico ~B de tal
forma que seus fios estejam paralelos aos vetores do campo, como mostrado
na figura 10.3. Vamos calcular a forca em cada lado da espira:
Figura 10.3: Espira retangular
154 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
Lado 1:~F1 = I
(~l1 × ~B
)= 0
Lado 2:~F2 = I
(~l2 × ~B
)= IBa
(−i× j
)~F2 = −IBak
Lado 3:~F3 = I
(~l3 × ~B
)= 0
Lado 4:~F4 = I
(~l4 × ~B
)= IBa
(i× j
)~F4 = IBak
Agora e possıvel calcular o torque das forcas ~F2 e ~F4 em relacao ao eixo que
passa pelo centro da espira e e perpendicular aos fios 1 e 3, como mostrado
na Figura 10.4.
Figura 10.4: Calculo do torque
Lado 2:
~τ2 = ~r2 × ~F2 =
(− b
2j
)×(−IBak
)~τ2 =
IBab
2i
Lado 4:
~τ4 = ~r4 × ~F4 =
(b
2j
)×(IBak
)
10.3. TORQUE EM ESPIRAS 155
~τ4 = −IBab2
i
Entao, o torque total e:
~τ = ~τ2 + ~τ4 = IBabi
Nota-se que o produto ab e a area da propria espira. Pode-se estender
o resultado acima para uma espira qualquer de area A percorrida por uma
corrente I. Sendo ~A um vetor normal a superfıcie da espira com modulo igual
a A, o torque nesse objeto e dado por:
~τ = I ~A× ~B (10.12)
Para uma espira com N voltas, temos:
~τ = NI ~A× ~B (10.13)
Observando-se a importancia do primeiro fator do membro direito da
equacao 10.13 , define-se o momento de dipolo magnetico ~µ como sendo:
~µ = NI ~A (10.14)
Logo a equacao 10.13 pode ser escrita como2:
~τ = ~µ× ~B (10.15)
Exercıcio 10.1. Em um dado instante, percebeu-se que uma bobina de N
voltas imersa em um campo magnetico ~B apresentou uma aceleracao angular
de rotacao igual a α. Sendo I seu momento de inercia, calcule a area da
bobina. Considere θ como sendo o angulo entre o plano da bobina e o vetor~B
Podemos calcular o torque de duas maneiras:
2analogia com a equacao do momento de dipolo para a eletrostatica
156 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
Figura 10.5: Espira imersa no campo magnetico
τ = Iα
~τ = ~µ× ~B
Logo:
Iα =∥∥∥~µ× ~B
∥∥∥ (10.16)
Calculando o momento de dipolo magnetico:
µ = i ~A = NiA~n (10.17)
Substituındo 10.17 em 10.16 :
Iα = NiAB∥∥∥~n×~j∥∥∥
Iα = NiAB cos θ
Entao a area e:
A =Iα
NiB cos θ
10.4. O MOVIMENTO CYCLOTRON 157
10.4 O Movimento Cyclotron
Um dos mecanismos utilizados em aceleradores de partıculas emprega campos
magneticos para que elas descrevam movimentos circulares. Tais aceleradores
sao conhecidos como Cyclotrons.
Uma partıcula lancada em um campo magnetico ~B com uma velocidade ~v
perpendicular a ~B, como mostrado na Figura 10.6, realizara esse tipo de mo-
vimento, no qual a forca magnetica desempenha o papel de forca centrıpeta.
Pode-se dizer entao que:
Figura 10.6: Movimento de uma partıcula no Cyclotron
Fm = qvB =mv2
R(10.18)
Os aceleradores de partıculas permitem a obtencao de certas caracterısticas
importantes desses corpos, tais como o momento linear. Sendo p = mv o mo-
mento linear de uma partıcula, pode-se manipular a equacao 10.18 e chegar
ao seguinte resultado:
p = qBR (10.19)
Desse modo, basta lancar a partıcula no campo e medir o raio de seu
158 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
movimento para medir o seu momento linear.
Sabe-se que a frequencia angular do movimento circular e ω = v/R.
Manipulando a equacao 10.18, tambem e possıvel determinar a frequencia
cyclotron:
ω =qB
m(10.20)
Outro aspecto interessante relativo a esse movimento e que, caso a partıcula
apresente uma componente da velocidade paralela ao campo magnetico, ela
descrevera uma trajetoria helicoidal.
Figura 10.7: Movimento helicoidal
Exercıcio 10.2. Um feixe de partıculas transitando por uma regiao com
campo magnetico ~B e campo eletrico ~E nao sofre aceleracoes. Depois,
retirou-se o campo magnetico, entao as partıculas passaram a executar um
movimento circular uniforme de raio R. De a relacao carga/massa dessas
partıculas
No primeiro caso, as forcas eletricas e magneticas devem equilibrar-se
para que nao haja aceleracoes. Ou seja, a Forca de Lorentz deve ser nula:
~F = q(~E + ~v × ~B
)= 0
~E + ~v × ~B = 0
E = vB
v =E
B(10.21)
Para o segundo caso, temos um movimento cyclotron. De acordo com
10.5. A AUSENCIA DE MONOPOLOS MAGNETICOS 159
a equacao que fornece o momento linear das partıculas nesse movimento,
temos:
mv = qBR
q
m=
v
BR(10.22)
Encontramos a relacao carga/massa por meio da substituicao de 10.21
em 10.22:
q
m=
E
B2R
Esse foi o processo pelo qual J. J. Thomson descobriu o eletron estudando
o comportamento de raios catodicos, em 1897.
10.5 A Ausencia de monopolos magneticos
Como foi dito anteriormente, nunca observaram-se monopolos magneticos, e
tal fenomeno foi tomado como outro axioma da teoria eletromagnetica. Isso
pode ser descrito matematicamente do seguinte modo, sendo S uma superfıcie
fechada e V o volume delimitado por essa superfıcie:∮S
~B · d~S = 0
Aplicando o Teorema de Gauss, encontramos que:∮S
~B · d~S =
∫V
~∇ · ~B dV = 0
~∇ · ~B = 0 (10.23)
A equacao 10.23 pertence as equacoes de Maxwell. Os principais signifi-
cados contidos nessa equacao sao:
160 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
• Ausencia de monopolos magneticos
• As linhas do campo magnetico sempre sao fechadas
Na eletrostatica, vimos que ~∇ · ~E =ρ
ε0. Conclui-se que nao ha analogo
magnetico para a carga eletrica. Nao ha cargas magneticas por onde o campo
magnetico possa emergir (nunca divergem de nenhum ponto!), pois ele so
surge na presenca de correntes eletricas. Observa-se tambem que as linhas
de campo magnetico sao sempre fechadas. Alem disso, pelo fato de o fluxo
atraves de uma superfıcie fechada ser igual a zero, todas as linhas que entram
nessa superfıcie devem sair. As linhas nunca comecam ou terminam em algum
lugar.
10.6 O Efeito Hall
Em 1979, E.H. Hall tentou determinar se a resistencia de um fio aumentava
quando este estava na presenca de um campo magnetico, uma vez que os
portadores de carga deveriam se acumular num lado do fio. Vamos analisar
tal fenomeno por meio da experiencia ilustrada na Figura 10.8.
Figura 10.8: Efeito Hall
Considere um condutor no qual o sentido da corrente e perpendicular ao
campo magnetico. Os portadores de carga negativa acumular-se-ao em uma
das extremidades do condutor, logo a extremidade oposta apresentara uma
carga positiva, o que resultara no surgimento de um campo eletrico ~EH no
interior do condutor. Os eletrons serao deslocados ate que as forcas eletricas
e magneticas entrem em equilıbrio, ou seja:
10.6. O EFEITO HALL 161
~Fe = ~Fm
Aplicando as equacoes 10.1 e 10.3, temos:
−e ~EH = −e(~v × ~B
)~EH = ~v × ~B (10.24)
Considerando o campo constante no interior do condutor, podemos medir
a diferenca de potencial entre as duas extremidades, denominada ddp Hall,
como sendo:
εH = EHd (10.25)
Nota-se que essa voltagem existe no sentido transversal a corrente.
E possıvel utilizar o Efeito Hall para investigar a natureza dos portadores
de carga no condutor, como mostrado nas Figuras 10.9 e 10.10, uma vez que
podemos prever como as cargas devem se comportar sob acao de campos
magneticos.
Figura 10.9: Efeito Hall para portadores de carga negativa
162 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
Figura 10.10: Efeito Hall para portadores de carga positiva
10.7 A Lei de Biot Savart
10.7.1 Introducao
Na eletrostatica, a Lei de Coulomb permite analisar como se da a relacao
entre o campo eletrico e as cargas eletricas. Sera que existe uma lei corres-
pondente para a magnetostatica? A resposta e sim, e ela e conhecida como
a Lei de Biot-Savart, que sera discutida a seguir.
Como foi visto anteriormente, definimos o campo magnetico por meio da
forca magnetica. Agora queremos defini-lo por meio de sua fonte, que e a
corrente eletrica.
Figura 10.11: Movimento da carga em relacao a um ponto P
Observe a Figura 10.11. Experimentalmente, pode-se constatar que:
B ∝ qv
r2
~B⊥~v
~B⊥~r
10.7. A LEI DE BIOT SAVART 163
Com base nisso, pode-se dizer que o elemento do campo magnetico produ-
zido por um elemento de de carga em movimento obedece a seguinte relacao:
d ~B ∝ dq~v × rr2
(10.26)
d ~B ∝ dqd~l
dt× r
r2
d ~B ∝ dq
dt
d~l × rr2
d ~B ∝ Id~l × rr2
d ~B =µ0
4πI
d~l × rr2
~B =µ0
4π
∫I
d~l × rr2
(10.27)
A equacao 10.27 e denominada lei de Biot-Savart.
A escolha da constante de proporcionalidade foi feita de modo a facilitar
os calculos subsequentes. No sistema MKS:
µ0
4π= 10−7 N
A2
Onde µ0 e a permeabilidade magnetica do vacuo.
10.7.2 Formas Alternativas
A Lei de Biot-Savart tambem pode ser escrita em termos da distribuicao de
corrente. Sabendo que I = j dS, a equacao 10.27 fica da seguinte maneira:
~B =µ0
4π
∫jdS
d~l × rr2
(10.28)
Vamos aplicar a equacao 10.28 para a situacao ilustrada na Figura ???x.
Neste caso, o sistema Oxyz e um referencial fixo, enquanto o sistema Ox′y′z′
164 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
estao situados no elemento de carga em estudo. Observe que ~R = ~r − ~r′.
Como ~j e d~l possuem a mesma direcao, podemos dizer que j d~l = ~j dl. Alem
disso, sabendo que dl dS = dV , pode-se dizer que a Lei de Biot-Savart fica
da seguinte maneira:
~B (~r) =µ0
4π
∫ ~j(~r′)× R
R2dv′
Vamos aplicar o divergente em relacao ao sistema Oxyz:
~∇ · ~B (~r) =µ0
4π
∫~∇ ·
~j(~r′)× R
R2
dv′ (10.29)
Aplicando a regra do divergente do produto vetorial3 ao divergente pre-
sente no membro direito da equacao 10.29 :
~∇ ·
~j(~r′)× R
R2
= −~j(~r′)· ~∇×
(R
R2
)+
R
R2· ~∇×~j
(~r′)
Nota-se queR
R2= ~∇
(− 1
R
). Logo ~∇×
(R
R2
)= 0 pois o rotacional do
gradiente e sempre nulo. Alem disso ~∇ × ~j(~r′)
= 0 pois o rotacional esta
aplicado em Oxyz enquanto ~j refere-se ao sistema Ox′y′z′. Obtemos entao
que:
~∇ · ~B = 0
Isso corrobora a validade da Lei de Biot-Savart.
3~∇ ·(~A× ~B
)= − ~A ·
(~∇× ~B
)+ ~B ·
(~∇× ~A
)
10.7. A LEI DE BIOT SAVART 165
10.7.3 Aspectos Interessantes
Um resultando interessante pode ser obtido ao combinar a Lei de Biot-Savart
com a equacao 10.3 na seguinte situacao: imagine uma carga q1 movendo-se
com velocidade ~v1 tendo ao seu redor uma outra carga q movendo-se com
velocidade ~v. Qual a forca magnetica que q imprimira em q1?
A analise inicia-se por meio da integracao da equacao 10.26, empregando,
antes, a constante de proporcionalidade. Encontramos entao que:
~B =µ0
4πq~v × rr2
(10.30)
Substituındo a equacao 10.30 na equacao 10.3 aplicada para a carga q1:
~Fm = q1~v1 × ~B = q1~v1 ×(µ0
4πq~v × rr2
)Multiplicando e dividindo o membro direito por µ0:
~Fm = µ0ε0~v1 ×(~v × qq1r
4πε0r2
)Mas, pela Lei de Coulomb:
~Fe =qq1r
4πε0r2
Alem disso, sabendo que c2 = µ−10 ε−1
0 , temos:
~Fm =~v1
c×(~v
c× ~Fe
)Se considerarmos v << c, encontramos que:
~Fm ≤vv1
c2~Fe (10.31)
A equacao 10.31 diz que para velocidades pequenas comparadas com a
velocidade da luz, a interacao magnetica sera muito menor que a interacao
166 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
eletrica. Como Fm << Fe, pode parecer, a primeira vista, que a forca
magnetica poderia ser desprezada em comparacao com a forca eletrica, porem
existem sistemas de partıculas onde isso nao e assim. De fato, numa corrente
de conducao, onde estao presentes cargas positivas e negativas em iguais den-
sidades, o campo eletrico macroscopico e nulo, porem o campo magnetico das
cargas em movimento nao o e.
Outro aspecto importante que pode ser derivado por meio da Lei de Biot-
Savart e uma relacao entre o campo eletrico e o campo magnetico gerado
por uma mesma partıcula. Multiplicando o numerador e o denominador da
equacao 10.30 por ε0:
~B =µ0ε04πε0
q~v × rr2
~B =~v × ~E
c2
10.7.4 Aplicacoes da Lei de Biot-Savart
Agora vejamos alguns exemplos nos quais se aplica a Lei de Biot-Savart:
Exercıcio 10.3. Calcule, por meio da Lei de Biot Savart, o campo eletrico
nas vizinhancas de um fio reto.
Figura 10.12: Campo gerado por um fio reto
10.7. A LEI DE BIOT SAVART 167
Podemos escrever a Lei de Biot-Savart do seguinte modo:
~B =µ0
4π
∫Id~l × rr2
=µ0
4π
∫Id~l × ~rr3
Para o fio reto, vale:
d~l = dxi
~r = −xi+ dj
Entao, fazendo as devidas substituicoes:
~B =µ0
4π
l/2∫−l/2
Idxi× r
(−xi+ dj
)(x2 + d2)
3/2
~B =µ0
4π
l/2∫−l/2
Iddx
(x2 + d2)3/2k
~B =µ0Id
4π
1
d2
x
(x2 + d2)1/2
∣∣∣∣∣∣l
2
−l2
Logo o campo e:
~B =µ0I
4πd
l(l2
4+ d2
)1/2k
Note que se considerarmos o fio como sendo infinito (l >> d), o campo
sera:
168 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
~B =µ0I
2πdk
Exercıcio 10.4. Calcule, por meio da Lei de Biot Savart, o campo eletrico
no eixo de uma espira circular.
Figura 10.13: Campo gerado por uma espira circular
Podemos escrever a Lei de Biot-Savart do seguinte modo:
~B =µ0
4π
∫Id~l × rr2
=µ0
4π
∫Id~l × ~rr3
Para a espira, vale:
d~l = a dθθ
~r = −ai+ zj
Pela simetria do problema, so teremos campo paralelo ao eixo da espira.
Logo precisamos calcular apenas uma componente do campo gerado por cada
elemento de corrente:
d ~B = d ~B1 cosα
10.7. A LEI DE BIOT SAVART 169
Onde:
cosα =a√
a2 + z2
Entao, aplicando a Lei de Biot-Savart (para calcular apenas o elemento
de campo):
d ~B =µ0
4πI
d~l × ~rr3
cosα
Fazendo as devidas substituicoes:
d ~B =µ0
4π
Ia
(z2 + a2)3/2adθk
Integrando de 0 a 2π para cobrir toda a espira, encontramos o campo
desejado:
~B =µ0Ia
2
2 (a2 + z2)3/2k
Exercıcio 10.5. Para criar regioes com campos magneticos constantes em
laboratorio, empregam-se as bobinas de Helmholtz, esquematizadas na Fi-
gura 10.14.Calcule o valor do campo ao longo do eixo das bobinas e o ponto
no qual o campo e magnetico e maximo :
O campo gerado por uma espira circular e:
~B (z) =µ0Ia
2
2 (a2 + z2)3/2k
Entao, usando o princıpio da superposicao para as duas espiras, o campo
ao longo do eixo e:
~B (z) =µ0Ia
2
2
1
(a2 + z2)3/2
+1(
a2 + (2b− z)2)3/2
k
170 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
Figura 10.14: Bobinas de Helmholtz
Para calcular o ponto no qual o campo magnetico apresenta valor maximo,
basta encontrarmos o valor de z tal que a derivada da funcao acima se anula:
d ~B (z)
dz=µ0Ia
2
2
−3
2
2z
(a2 + z2)5/2− 3
2
2 (2b− z) (−1)(a2 + (2b− z)2)5/2
kVemos que:
d ~B (z)
dz= 0⇒ z = b
Agora veremos a condicao para que o campo nesse ponto seja aproxima-
damente constante. Derivando mais uma vez a funcao do campo magnetico:
d2 ~B (z)
dz2
∣∣∣∣∣z=b
= 0⇒ a2 − 4b2 = 0⇒ 2b = a
A condicao e que a separacao das bobinas seja igual ao raio.
Fazendo a expansao em series de Taylor, e possıvel calcular o quao proximo
esse campo esta de um campo constante:
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPERE 171
Sabendo que B′′(a/2) = B′′′(a/2) = 0, a expansao fica:
~B (z) ≈ B(a
2
)+
1
24
(z − a
2
)4 ∂4B
∂z4
∣∣∣∣z=a
2
+ ...
~B (z) = B(a
2
)[1− 144
125
(z − a/2a
)4]
A partir desse resultado, e possıvel inferir que, para |z − a/2| < a/10 ⇒B (z) 6= B (a/2), o campo varia em menos de uma parte e meia em dez mil.
10.8 A Lei Circuital de Ampere
10.8.1 Introducao
As experiencias de Oersted, alem de comprovarem que correntes eletricas
geram campos magneticos ao seu redor, motivou a comunidade cientıfica a
compreeender a relacao entre fenomenos eletricos e magneticos. Apos tais
experimentos, uma semana foi tempo suficiente para que Ampere deduzisse
a apresentasse sua lei. Enquanto que a Lei de Biot-Savart corresponde a Lei
de Coulomb, a Lei de Ampere faz a vez da Lei de Gauss na magnetostatica.
Considere um fio infinito por onde passa uma corrente I, como mostrado
na Figura 10.15. Utilizando a Lei de Biot-Savart, demonstrou-se que o campo
gerado nesse caso e dado por:
Figura 10.15: Fio infinito
172 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
~B =µ0I
2πrθ
Calcularemos a circulacao do campo magnetico por meio de varios cami-
nhos ao redor do fio.
Considerando, inicialmente, o caminho como sendo um cırculo:
Figura 10.16: Caminho ao redor do fio para calculo da circulacao
∮Γ
~B · d~l =µ0I
2πr2πr = µ0I
Vamos calcular a circulacao pora outro caminho:
Figura 10.17: Caminho ao redor do fio para calculo da circulacao
∮Γ
~B · d~l =
∮Γ1
~B · d~l +
∮Γ2
~B · d~l +
∮Γ3
~B · d~l +
∮Γ4
~B · d~l
Como os vetores ~B e d~l sao paralelos para os fios 2 e 4, as integrais para
Γ2 e Γ4 sao nulas. Logo temos o seguinte resultado:
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPERE 173
∮Γ
~B · d~l =µ0I
2πr1
πr1 + 0 +µ0I
2πr2
πr2 = µ0I
Mais um caminho para calcular:
Figura 10.18: Caminho ao redor do fio para calculo da circulacao
∮Γ
~B · d~l =
∮Γ1
~B · d~l +
∮Γ2
~B · d~l +
∮Γ3
~B · d~l +
∮Γ4
~B · d~l
A mesma observacao feita para os fios 2 e 4 anteriormente valem para
esse caso. Entao temos:∮Γ
~B · d~l =µ0I
2πr1
θr1 + 0 +µ0I
2πr2
(2π − θ) r2 = µ0I
Obsevou a semelhanca dos resultados? Entao vamos generaliza-los para
um caminho qualquer.
Figura 10.19: Caminho ao redor do fio para calculo da circulacao
174 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
Em coordenadas cilındricas:
d~l = drr + r dθθ + dzk
Sabendo que ~B = Bθ, encontramos que:
~B · d~l = Br dθ =µ0I
2πrr dθ =
µ0I
2πdθ
Fazendo a integral ao redor do fio:
∮Γ
~B · d~l =
∮Γ
µ0I
2πdθ =
2π∫0
µ0I
2πdθ =
µ0I
2π2π
Disso resulta a Lei de Ampere:∮Γ
~B · d~l = µ0Iint (10.32)
Observacao: Na Lei de Coulomb, utilizavamos SUPERFICIES que en-
volviam as cargas para fazer o calculo do campo eletrico, mas na Lei de
Ampere, precisamos criar CURVAS que envolvam os condutores a fim de
calcular o campo magnetico.
Assim como a Lei de Coulomb, a Lei de Ampere sempre e valida. No
entanto sua maior utilidade se da em casos nos quais e possıvel notar simetria
no campo magnetico, como sera mostrado no exercıcios mais adiante.
10.8.2 A forma diferencial da Lei de Ampere
Aplicando o Teorema de Stokes no membro esquerdo da equacao 10.32:∮Γ
~B · d~l =
∫S
∫ (~∇× ~B
)· d~S (10.33)
Analisando o membro direito da equacao 10.32:
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPERE 175
µ0I = µ0
∫S
∫~j · d~S (10.34)
Pela propria Lei de Ampere, podemos igualar 10.33 e 10.34, encontrando
que: ∫S
∫ (~∇× ~B
)· d~S = µ0
∫S
∫~j · d~S
Finalmente, temos a forma diferencial da Lei de Ampere:
~∇× ~B = µ0~j (10.35)
Se aplicarmos o divergente na equacao 10.35
~∇ ·(~∇× ~B
)= µ0
~∇ ·~j
~∇ ·~j = 0
Percebe-se algo importante diante desse resultado: a Lei de Ampere e
valida apenas para correntes estacionarias4
10.8.3 Aplicacoes da Lei de Ampere
Seguem alguns exemplos nos quais e fundamental a aplicacao da Lei de
Ampere para a resolucao dos problemas:
Exercıcio 10.6. Calcule o campo magnetico, em todo o espaco, gerado por
um ciclindro infinito percorrido por uma corrente I.
Devido a simetria cilındrica do problema, podemos escolher amperianas
circulares para calcular o campo no interior e ao redor do fio, pois o campo
magnetico sera constante ao longo de toda a curva, facilitando a integracao.
4corrente estacionaria:dρdt
= 0
176 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
Figura 10.20: Cilindro condutor
• Para r > R (Figura 10.21):
Figura 10.21: Amperiana fora do cilindro
∮Γ1
~B · d~l = µ0I → B2πr = µ0I
~B =µ0I
2πrθ
• Para r < R (Figura 10.22):
∮Γ2
~B · d~l = µ0Iint → B2πr = µ0Iπr2
πR2
~B =µ0Ir
2πR2θ
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPERE 177
Figura 10.22: Amperiana dentro do cilindro
Sintetizando os resultados na forma de um grafico:
Figura 10.23: Campo magnetico gerado por um cilindro infinito
Exercıcio 10.7. Calcule o campo magnetico, em todo o espaco, gerado por
um cabo coaxial percorrido por correntes de mesma intensidade mas de sen-
tidos opostos em cada face.
Vamos dividir o espaco em 4 regioes e aplicar a Lei de Ampere para cada
uma delas:
• Para r < a:
Para determinar a corrente interna a amperiana, vamos considerar que
178 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
Figura 10.24: Cabo coaxial
a densidade de corrente ao longo do cabo e constante e igual a j, logo
sendo πr2 a area delimintada pela amperiana:
j =Iintπr2
=I
πa2
Iint =r2
a2
Aplicando a Lei de Ampere:
B2πr = µ0Ir2
a2→ ~B =
µ0Ir
2πa2θ
• Para a < r < b:
A corrente interna a amperiana sera sempre a corrente total que passa
pelo cabo interno, logo pela Lei de Ampere:
B2πr = µ0I → ~B =µ0I
2πrθ
• Para b < r < c:
A corrente interna a amperiana sera a corrente total que passa pelo
cabo interno menos a corrente que passa pela porcao do cabo externo
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPERE 179
delimitada pela curva. Considerando tambem a densidade de corrente
constante no cabo externo:
Iint = I − r2 − b2
c2 − b2
Aplicando a Lei de Ampere:
B2πr = µ0I −µ0Iπ (r2 − b2)
π (c2 − b2)θ → ~B =
µ0I
2πr
(1− r2 − b2
c2 − b2
)θ
~B = µ0I
(c2 − r2
c2 − b2
)θ
• Para r > c:
A corrente interna a amperiana sera a soma das correntes que passam
pelo cabo interno e pelo cabo externo. Como as duas correntes possuem
a mesma intensidade mas possuem sentidos opostos, a soma sempre sera
nula. Entao, pela Lei de Ampere:
~B = 0
Exercıcio 10.8. Considere dois solenoides infinitos concentricos de raios a
e b. Calcule o campo magnetico em todo o espaco. As correntes de cada
solenoide possuem mesma intensidade mas tem sentidos contrarios.
Primeiro vamos analisar o campo gerado por um solenoide para depois
empregar o princıpio da superposicao
Observa-se que a corrente no interior da amperiana (Figura: 10.26) de-
pende do numero de espiras englobadas:
Iint = NI
Aplicando entao a Lei de Ampere:
180 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
Figura 10.25: Solenoides
Figura 10.26: Amperiana no interior do solenoide
∫Γ
~B · d~l =
∫Γ1
~B · d~l
︸ ︷︷ ︸=0pois ~B=0
+
∫Γ2
~B · d~l
︸ ︷︷ ︸=0pois ~B⊥d~l
+
∫Γ3
~B · d~l +
∫Γ4
~B · d~l
︸ ︷︷ ︸=0pois ~B⊥ d~l
Logo:
∫Γ
~B · d~l = µ0I → Bdentrol = µ0NI → Bdentro = µ0N
lI = µ0nI
onde n =N
lindica a densidade de espiras do solenoide
Agora, facamos uma amperiana para calcular o campo fora do solenoide
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPERE 181
(Figura: 10.27) :
Figura 10.27: Amperiana externa ao solenoide
Note que, neste caso, a corrente interna a curva e zero. Portanto o campo
magnetico fora do solenoide infinite e nulo:
Bfora = 0
Agora, vamos usar o princıpio da superposicao para calcular o campo
para os dois solenoides.
• Para r < a :
Neste caso, temos a influencia dos campos dos dois solenoides. Sendo~B1 o campo gerado pelo solenoide interno e ~B2 o campo gerado pelo
solenoide externo:
~B = ~B1 − ~B2 = µ0In1 − µ0In2
~B = µoI (n1 − n2)
• Para a < r < b :
Aqui, temos influencia apenas do solenoide externo
182 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
~B = −µ0In2 (10.36)
• Para r > b :
Como estamos fora de ambos os solenoides, o campo neste caso e nulo
~B = 0
Exercıcio 10.9. Considere um cilindro de raio a com uma cavidade cilındrica
de raio b. A distancia entre os centros dos cilindros e d. Sendo j a densidade
de corrente no condutor, qual e o campo magnetico no interior da cavidade?
Figura 10.28: Condutor com cavidade
Considere como sendo ~x a posicao do ponto em questao em relacao ao
eixo do condutor e ~y como sendo a posicao do ponto em relacao ao eixo da
cavidade:
Para resolver esse exercıcio, sera necessaria a utilizacao do princıpio da
superposicao. Observe que a configuracao final do sistema pode ser obtida se
somarmos dois cilindros com sentidos de correntes opostos, como apresentado
na Figura 10.30 :
Portanto, devemos calcular o campo gerado pelo cilindro maior em um
ponto que dista x do seu eixo e somar com o campo gerado pelo cilindro
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPERE 183
Figura 10.29: Posicionamento do ponto
Figura 10.30: Princıpio da superposicao
menor em um ponto que dista y de seu centro.
• Cilindro maior
Figura 10.31: Lei de Ampere para cilindro maior
184 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
∮Γ
−→B · d
−→l = µ0Iint
B12πx = µ0jπx2
~B1 =µ0jx
2
−→θ
~Bx =µ0
2
(−→j ×−→x
)• Cilindro menor
Figura 10.32: Lei de Ampere para cilindro menor
∮Γ
−→B · d
−→l = µ0Iint
B22πy = µ0jπy2
~B2 =µ0jy
2−→ϕ
~B2 =µ0
2
(−→j ×−→y
)Como os sentidos das correntes sao opostos, o campo resutante sera:
−→B =
−→B 1 −
−→B 2
−→B =
µ0
2
(−→j ×−→x
)− µ0
2
(−→j ×−→y
)−→B =
µ0
2
(−→j × (−→x −−→y )
)Mas a seguinte relacao sempre e valida: ~x − ~y = ~d . Portanto o campo
no interior da cavidade e constante e igual a:
−→B =
µ0
2
(−→j ×−→d)
10.9. POTENCIAL VETOR 185
Exercıcio 10.10. Calcule o campo no centro da secao circular de um toroide
de N espiras.
Figura 10.33: Toroide
Vamos passar uma amperiana no interior do toroide
Figura 10.34: Amperiana no toroide
Temos que a corrente interna a amperiana sera Iint = NI. Logo∫~B · d~l = µ0Iint → B2πr = µ0NI → ~B =
µ0NI
2πrθ
10.9 Potencial Vetor
As 4 equacoes que sintetizam a teoria eletromagnetica vistas ate agora sao:
ELETROSTATICA
~∇ · ~E =ρ0
ε0(10.37)
~∇× ~E = 0 (10.38)
186 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
MAGNETOSTATICA
~∇ · ~B = 0 (10.39)
~∇× ~B = µ0~j (10.40)
Para a eletrostatica, devido a equacao 10.38, percebe-se que o campo
eletrico e um campo conservativo. Logo foi possıvel definir o potencial eletrico
da seguinte forma:
~∇× ~E = 0⇒ ~E =(−~∇V
)Aplicando esse resultado a equacao 10.38:
~∇ · ~E = ~∇ ·(−~∇V
)= −∇2V
Segue que:
∇2V = −ρ0
ε0
Sera que e possıvel definir um potencial analogo para o campo magnetico?
Sabe-se que ~∇ · ~B = 0. A partir disso, pode-se inferir que ~B e um campo
rotacional. Em outras palavras, e possıvel encontrar um campo vetorial tal
que seu rotacional resulta no campo magnetico. Esse campo e denominado
potencial vetorial(~A)
, que e definido do seguinte modo:
~∇ · ~B = 0⇒ ~B =(~∇× ~A
)(10.41)
Aplicando esse resultado a equacao 10.40:
~∇× ~B = ~∇×(~∇× ~A
)= ~∇
(~∇ · ~A
)−∇2 ~A
Como pode-se determinar mais de um campo que satisfaca a equacao
10.41, e permitido escolher adequadamente um campo ~A tal que ~∇ · ~A = 05.
5Denomina-se isso como escolha de calibre, ou escolha de gauge
10.9. POTENCIAL VETOR 187
Segue entao que:
~∇× ~B = −∇2 ~A
∇2 ~A = −µ0~j (10.42)
Observacao: ∇2 ~A nao e o operador Laplaciano, pois esta sendo aplicado
a um campo vetorial. Na verdade, temos que:
∇2 ~A = ~∇(~∇ · ~A
)− ~∇×
(~∇× ~A
)Particularmente, para coordenadas cartesianas:
∇2Ax = −µ0jx
∇2Ay = −µ0jy
∇2Az = −µ0jz
Outras formas de expressar o potencial vetor em funcao das densidades
de corrente6 sao:
• Densidade volumetrica
~A (~r) =µ0
4π
∫ ~j(~r′)
dv′∣∣∣~r − ~r′∣∣∣ (10.43)
• Densidade superficial
~A (~r) =µ0
4π
∫ ~k(~r′)
ds′∣∣∣~r − ~r′∣∣∣ (10.44)
6~r:posicao do ponto em relacao ao referencial fixo. ~r′: posicao do ponto em relacao aum elemento de carga. (ver Figura 10.11)
188 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
• Densidade linear
~A (~r) =µ0
4π
∫ ~I(~r′)
dl′∣∣∣~r − ~r′∣∣∣ (10.45)
Facamos alguns exemplos:
Exercıcio 10.11. Calcule o potencial vetor para um fio finito percorrido por
uma corrente I.
Figura 10.35: Fio finito
Vamos aplicar a equacao que fornece o potencial vetor em funcao da
densidade linear de carga (equacao 10.45 ):
~A =µ0
4π
∫ ~Idzkr
, comr =√z2 + s2
~A =µ0I
4π
∫ dz√z2 + s2
k → ~A =µ0I
4πln(z +√z2 + s2
)∣∣z2z1k → ~A =
µ0I
4πln
(z2 +
√z2
2 + s2
z1 +√z2
1 + s2
)k
Observe que se aplicarmos o rotacional ao resultado, obtemos o vetor ~B:
10.10. CONDICOES DE CONTORNO NA MAGNETOSTATICA 189
~∇× ~A =
(∂As∂z− ∂Az
∂s
)θ.Assim,
~B = ~∇× ~A = −∂Az∂s
θ = − ∂
∂s
[µ0I
4πln
(z2 +
√z2
2 + s2
z1 +√z2
1 + s2
)]θ
~B
Exercıcio 10.12. (Griffths, pag , ex: 5.23) Qual densidade de corrente pro-
duziria um vetor potencial ~A = k ˆphi, em coordenadas cilındricas (k e cons-
tante)?
Para resolver esse exercıcio, primeiro aplicaramos o rotacional em ~A para
determinar o campo magnetico. Depois aplicaremos o rotacional em ~B para
determinar a densidade de corrente, de acordo com as equacoes da magne-
tostatica.
Observacao: aplicar o rotacional em coordendadas cilındricas
Aφ = k ⇒ ~B = ~∇× ~A =1
ρ
∂
∂ρ(ρAρ) k =
Aφk
ρ=k
ρk ~B = Bzk
~∇× ~B = µ0~J ⇒ ~j =
1
µ0
(~∇× ~B
)=
1
µ0
(−∂Bz
∂ρ
)φ = +
k
µ0ρ2φ
10.10 Condicoes de Contorno na Magnetostatica
Vimos que existe uma descontinuidade no campo eletrico em de superfıcies
carregadas, no sentido perpendicular a essa superfıcie. Da mesma forma, o
campo magnetico tambem e descontınuo numa superfıcie de corrente. Para
facilitar a analise desse fenomemo, vamos dividı-lo em 3 etapas, uma para
cada componente do campo magnetico7:
7B⊥ = B⊥superficie, B//// = B
//corrente//corrente , B//
⊥ = B//superficie⊥corrente
190 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
10.10.1 Componente perpendicular a superfıcie
Considere uma superfıcie percorrida por uma corrente I, cuja densidade su-
perficial e ~k. Vamos envolver uma porcao dessa superfıcie por um retangulo
cujas faces possuem area A, como mostrado na Figura 10.36.
Figura 10.36: Superfıcie fechada para calculo do fluxo de B⊥
Como nao ha monopolos magneticos:∮S
~B · d~S = 0
Considerando apenas a componente do campo perpendicular a superfıcie,
teremos fluxo apenas na face superior e inferior do retangulo, portanto:∮S
~B · d~S = B⊥acimaA−B⊥abaixoA = 0
B⊥acima = B⊥abaixo
Logo essa componente e contınua.
10.10.2 Componente paralela a superfıcie e paralela a
direcao da corrente
Para a mesma superfıcie descrita anteriormente, vamos tracar uma amperi-
ana da forma como esta apresentada na Figura 10.37 .
10.10. CONDICOES DE CONTORNO NA MAGNETOSTATICA 191
Figura 10.37: Amperiana para calculo de B////
Nota-se que a corrente que passa pelo interior da amperiana e nula. Entao,
aplicando a Lei de Ampere (10.32):∮Γ
~B · d~l = B////acimal −B
////abaixol = 0
B////acima = B
////abaixo
Logo essa componente tambem e contınua.
10.10.3 Componente paralela a superfıcie e perpendi-
cular a direcao da corrente
Agora, ainda na mesma superfıcie, tracaremos uma outra amperiana, desta
vez em outra direcao, como mostrado na Figura 10.38 .
Figura 10.38: Amperiana para calculo de B⊥//
A corrente que passa pelo interor da amperiana e Iint = kl. Aplicando a
192 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
Lei de Ampere (10.32) encontramos que:∮Γ
~B · d~l = B//⊥acimal −B
//⊥abaixol = µ0Iint
B//⊥acimal −B
//⊥abaixol = µ0kl
B//⊥acima −B
//⊥abaixo = µ0k
~B//⊥acima − ~B
//⊥abaixo = µ0
(~k × ~n
)Conclui-se que o campo magnetico, na direcao paralela a superfıcie e
perpendicular ao sentido da corrente, e descontınuo.
10.11 Expansao em multipolos
Assim como foi feito para o campo eletrico, buscaremos uma forma de expres-
sar o potencial vetorial em uma serie de potencias de1
r, onde r e a distancia
do multipolo ate o ponto em questao. A ideia e que esta equacao seja util
para analisar o comportamento do campo magnetic a grandes distancias.
Considere a espira apresentada na Figura 10.39 .
Figura 10.39: Posicao do ponto P em relacao a espira
Vimos na Secao 10.9 que o potencial vetor, para densidades lineares, e
dado por:
10.11. EXPANSAO EM MULTIPOLOS 193
~A (~r) =µ0
4π
∮Γ
~I(~r′)
dl′∣∣∣~r − ~r′∣∣∣ (10.46)
Podemos reescrever o denominador do integrando da seguinte maneira:
1∣∣∣−→r −−→r′ ∣∣∣ =1√
r2 + r′2 − 2rr′ cos θ′=
1
r
∞∑n=0
(r′
r
)npn cos θ′ (10.47)
Onde pn e o Polinomio de Legendre8. Considerando a corrente cons-
tante e substituındo 10.47 em 10.46 , encontramos a expressao de multipolos
magneticos:
~A (~r) =µ0I
4π
∞∑n=0
1
rn+1
∮Γ
(r′)npn cos (θ′) d~l′
E interessante notar que o termo correspondente ao monopolo (n=0) e1
r
∮Γ
d~l′ = 0, o que esta de acordo com os observacoes. Entao, o termo mais
importante da sequencia corresponde ao dipolo magnetico (n=1):
~Adipolo =µ0I
4πr2
∮Γ
(r · ~r′
)d~l′ =
µ0
4πr2~µ× r
Onde µ e o momento de dipolo magnetico definido na equacao 10.14.
8Pn(x) =1
2nn!
(d
dx
)n (x2 − 1
)n
194 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
Capıtulo 11
Lei da Inducao
Com as experiencias de Oersted, viu-se que correntes eletricas geram campos
magneticos. Ficou entao a seguinte duvida: Pode o campo magnetico gerar
corrente? Michael Faraday (1791-1867), um dos maiores fısicos experimen-
tais, interessou-se em descobrir e estudar essa relacao.
Em 1831, Faraday montou dois solenoides, com 70 metros de fio de co-
bre em cada. Os dois foram concatenados, mas um foi ligado a um gerador,
enquanto o outro foi conectado a um galvanometro, como mostrado na Fi-
gura 11.1 .
Figura 11.1: Solenoides concatenados
195
196 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
Notou-se quando uma corrente contınua passava pelo solenoide 1, o gal-
vanometro nao acusava passagem de corrente. No entanto, sempre que a
chave era ligada ou desligada, surgia uma corrente no circuito 2. Isso le-
vou Faraday a supor que a forca eletromotriz no circuito 2 resultava de uma
variacao do campo magnetico no interior dos solenoides. Continuando seus
experimentos, ele construiu o circuito apresentado na Figura 11.2 .
Figura 11.2: Experimento de Faraday
Quando um ıma era aproximado ou afastado do solenoide, observava-se
uma deflexao do galvanometro. Se o ıma permanecesse imovel em relacao ao
circuito, a deflexao era nula. Ainda nesse experimento, Faraday notou que a
area dos solenoides tambem influenciava na forca eletromotriz induzida.
Suas descobertas podem ser sintetizadas em termos matematicos da se-
guinte maneira:
εind ∝dB
dt
εind ∝ A
Para melhor compreender esse fenomeno, precisamos definir o que e fluxo
magnetico.
11.1 O Fluxo Magnetico
Vimos que a forca eletromotriz depende tanto da variacao do campo magnetico
quanto da area dos solenoides. A grandeza que relaciona o vetor ~B e a area
11.2. A LEI DE LENZ 197
S permeada por esse campo e denominada de fluxo magnetico , e e definida
como:
φB = ~B · ~S = BS cos θ (11.1)
Ate agora, tendo em vista as constatacoes de Faraday, podemos dizer que:
|εind| =dφBdt
(11.2)
Substituındo 11.1 em 11.2 :
|εind| =dB
dtA cos θ +B
dA
dt−BA sen θ
dθ
dt(11.3)
Percebe-se entao que e possıvel induzir corrente em uma espira imersa em
um campo magnetico por meio dos seguintes metodos:
• variando a intensidade do campo.
• variando a area como tempo
• variando o angulo entre os vetores ~A e ~B com o tempo
Ainda podemos analisar o fenomeno da inducao levando em conta a cor-
rente induzida. Sabe-se que εind = RIind, logo:
Iind =1
R
∣∣∣∣ dφBdt
∣∣∣∣11.2 A Lei de Lenz
Vimos que a variacao do fluxo magnetico gera corrente eletrica em conduto-
res. Mas o que determina o sentido da corrente induzida? Isso e explicado
pela Lei de Lenz:
A corrente induzida produz um campo magnetico que tende
se opor a variacao do fluxo magnetico que a gerou
198 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
Considere o exemplo da Figura 11.3. Se o ıma aproxima-se da espira, o
fluxo magnetico no interior desta aumentara, entao deve surgir uma corrente
no sentido anti-horario para reduzir o fluxo. Caso o ıma afaste-se da espira, o
fluxo no interior desta diminuira, logo, pela Lei de Lenz, surge uma corrente
no sentido horario.
Figura 11.3: Deflexao do galvanometro
Se aplicarmos a Lei de Lenz na 11.2 , teremos a Lei de Faraday:
εind = − dφBdt
(11.4)
O sinal negativo representa a resistencia que o circuito apresenta a va-
riacao do fluxo magnetico
E interessante notar que se fizermos a integral de linha do campo eletrico
na espira, teremos: ∮Γ
~E · d~l = εind (11.5)
Ora, vimos na eletrostatica que essa integral de linha deveria ser nula
sempre! Qual sera a inconsistencia?
Na verdade, nao ha inconsistencia. Ocorre que o campo eletrico estudado
na eletrostatica tem natureza diferente do campo eletrico induzido.
O campo eletrico oriundo de cargas eletricas sempre e conservativo, por
isso a integral de linha em um circuito fachado e nula. Mas, devido a equacao
11.5, nota-se que o campo eletrico induzido pela variacao de fluxo magnetico
11.2. A LEI DE LENZ 199
nao e conservativo. Por isso, e importante distinguir os dois tipos campos
eletricos.
Seguem alguns exemplos da aplicacao da Lei de Lenz:
Exercıcio 11.1. Suponha uma barra condutora, deslizando sem atrito sobre
um trilho condutor, em meio a um campo magnetico perpendicular ao plano
dos trilhos, conforme mostrado na Figura 11.4 . Calcule: a forca eletromotriz
induzida, a corrente induzida a forca magnetica e a velocidade da barra em
funcao do tempo.
Figura 11.4: Trilho magnetico
• Forca eletromotriz
Temos que o fluxo magnetico na barra e dado por:
φB = BA = Blx
portanto a forca eletromotriz e:
|εind| =dφBdt
= Bldx
dt= Blv
• Corrente induzida:
Iind =εindR
=Blv
R
• Forca magnetica:
Temos que a forca em fios e dada por:
200 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
~F = I~l × ~B = IindBl =B2l2v
R− i (11.6)
• Velocidade do fio:
Aplicando a segunda lei de Newton ao reultado da equacao 11.6 :
mdv
dt=B2l2v
R
Resolvendo essa equacao diferencial separavel:
∫ v(t)
v0
dv
v= −
∫ t0
B2l2
Rmdt→ ln
(v(t)
v0
)= −B
2l2
Rmt
v(t) = v0e−B
2l2t/Rm
Vemos entao que a forca tende a frear a barra.
Exercıcio 11.2. Considere um campo magnetico uniforme que aponta pra
dentro da folha e esta confinado numa regiao circular de raio R. Suponha que
a magnitude de ~B aumenta com o tempo. Calcule o campo eletrico induzido
em todo o espaco:
Figura 11.5: Campo magnetico
Vimos que o campo eletrico induzido pode ser calculado por:∮Γ
~Eind · d~l = εind = − dφBdt
11.2. A LEI DE LENZ 201
Entao precisaremos descrever curvas fechadas para calcular o campo eletrico
induzido. Pela simetria do problema, fazermos circunferencias de raio r.
• Para r < R :
Figura 11.6: Curva para calculo do campo induzido
Como a circunferencia aborda apenas uma porcao do campo, a variacao
fluxo no seu interior sera:
φB = Bπr2 → dφBdt
=dB
dtπr2
Logo:
∮Γ
~Eind · d~l =dB
dtπr2
Eind2πr =dB
dtπr2 → Eind =
dB
dt
r
2
• Para r > R :
Como a circunferencia aborda todo o campo, a variacao fluxo no seu
interior sera:
φB = BπR2 → dφBdt
=dB
dtπR2
Logo:
202 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
Figura 11.7: Curva para calculo do campo induzido
∮Γ
~Eind · d~l =dB
dtπR2
Eind2πr =dB
dtπR2 → Eind =
dB
dt
R2
2r
Sintetizando os resultados na forma de um grafico;
Figura 11.8: Campo induzido vs distancia
11.3 Geradores
As experiencias de Faraday lancaram os princıpios de funcionamento de mo-
tores eletricos e geradores de eletricidade.
Considere uma espira imersa em um campo magnetico ~B rotacionando
com uma velocidade angular constante ω =θ
t. Substiuındo θ na equacao
11.3 , temos que:
11.4. EFEITOS MECANICOS 203
|εind| = ωBA senωt
Em termos de corrente induzida:
Iind =ωBA
Rsenωt
Calculando a potencia gerada para N espiras:
P = I|εind| =(NBAω sin(ωt))2
R
Observa-se que a bobina gerara corrente alternada. Para evitar isso,
empregam-se comutadores no circuito.
Isso que foi visto e o princıpio de funcionamento de varios tipos de usinas
de geracao de energia, como as hidreletricas, termoeletricas, eolicas e nucle-
ares. Todas elas envolvem a transferencia de energia mecanica de um fluido
(agua, vento) para a bobina, fazendo-a girar.
11.4 Efeitos Mecanicos
A inducao magnetica, quando aliada a outros fenomenos fısicos, pode resultar
em efeitos interessantes. Vejamos alguns exemplos
11.4.1 As correntes de Foucault
Considere uma chapa metalica e um pente metalico, inicialmente em movi-
mento uniforme, entrando em cum campo magnetico, conforme esquemati-
zado na Figura 11.9 .
Experimentalmente, observa-se que o chapa metalica sobre uma reducao
de velocidade mais acentuada que o pente. Por que?
Isso ocorre pois, durante a imersao no campo magnetico, a variacao do
fluxo magnetico no interior da chapa e maior do que no pente. Logo a corrente
204 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
Figura 11.9: Objetos aproximando-se de um campo magnetico
induzida, a corrente de Foucault nesse caso, na chapa e superior. Mas a acao
do campo magnetico sobre a corrente induzida gera uma forca que tende a
frear o objeto, portanto a chapa sofre uma maior reducao de velocidade.
Figura 11.10: Correntes de Foucault
Pode-se dizer tambem que as correntes de Foucault resultam em uma
maior dissipacao por efeito Joule, aquecendo o material que imerge em um
campo magnetico.
11.4.2 Atrito Magnetico
Se uma espira condutora e solta em queda livre sobre um ima permanente, a
corrente induzida criara um dipolo magnetico que tende a ser repelido pelo
ima, produzindo uma forca de freamento da espira analoga a uma forca de
atrito viscoso (ver Figura 11.11) .
11.5. INDUTANCIA MUTUA 205
Figura 11.11: Comportamento da espira em queda
11.4.3 Canhao Magnetico
Considere um solenoide enrolado em um eixo isolante e, acoplado nesse
mesmo eixo, uma espira. Quando uma corrente passar pela espira, o fluxo
do campo magnetico no interior da espira sera alterado. A corrente induzida
fara com que a espira seja lancada no sentido oposto ao do solenoide.
Figura 11.12: Canhao Magnetico
11.5 Indutancia Mutua
Induntancia mutua refere-se ao surgimento de uma corrente induzida em um
circuito em funcao da passagem de corrente eletrica em um outro circuito.
Considere duas espiras em repouso. Se aplicarmos uma corrente I1 na
espira 1, ocorrera uma variacao do fluxo de campo magneticodφ21
dtna espira
2, surgindo entao uma forca eletromotriz induzida ε2 dada por:
206 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
Figura 11.13: Exemplo de indutancia mutua
ε2 = − dφ21
dt
Mas a variacao do fluxo do campo magnetico depende de uma variacao
de corrente na espira 1:
dφ21
dt∝ dI1
dt
Entao podemos substituir essa proporcionalidade por uma igualdade por
meio da definicao da constante de inducao mutua M211:
dφ21
dt= M21
dI1
dt(11.7)
M21 =dφ21
dI1
(11.8)
Experimentalmente, observa-se que a constante de inducao mutua de-
pende apenas da geometria das espiras e tambem da distancia entre elas.
Neumann deduziu uma formula que permite determinar essa constante.
Temos que o fluxo do campo magnetico pode ser calculado por:
1[M21] = H(henry) =Tm2
A
11.5. INDUTANCIA MUTUA 207
φ21 =
∫S2
∫~B · d~S2 =
∫S2
∫ (~∇× ~A1
)· d~S2
Aplicando o Teorema de Stokes:
φ21 =
∫S2
∫ (~∇× ~A1
)· d~S2 =
∮Γ2
~A1 · d~l2
Pela equacao 10.45 :
φ21 =µ0
4πI1
∮ ∮d~l1 · d~l2
r
φ21
dt=µ0
4π
∮ ∮d~l1 · d~l2
r
dI1
dt(11.9)
Comparando as equacoes 11.9 e 11.7 encontramos a Formula de Neumann:
M21 =µ0
4π
∮ ∮d~l1 · d~l2
r(11.10)
Como podemos comutar os fatores da formula, conclui-se que:
M12 = M21 = M
Isso indica que, independentemente das formas e posicoes das espiras, o
fluxo atraves de 2 quando uma corrente I passa em 1 e identico ao fluxo
atraves de 1 quando a passamos a corrente I ao redor de 2.
No entanto, ainda e mais interessante calcular M por meio da equacao
11.8 do que pela Formula de Neumann, como veremos nos exemplos a seguir.
Exercıcio 11.3. Calcule a indutancia mutua entre duas espirar coplanares
e concentricas de raios R1 e R2, com R1 >> R2.
Para calcular a indutancia mutua, precisamos calcular uma relacao entre
a variacao de corrente em uma espira e a variacao do fluxo magnetico na
208 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
Figura 11.14: Espiras coplanares e concentricas
outra espira.
Sabemos que a campo magnetico no centro de uma espira circular e B =µ0I
2R1
. Como R1 >> R2, pode-se considerar que o campo no interior da espira
2 e constante, logo o fluxo no seu interior sera:
φ21 = BA =µ0I
2R1
πR22
Entao temos que:
dφ21
dI=
µ0
2R1
πR22
Logo a indutancia mutua e:
M =µ0
2R1
πR22
Exercıcio 11.4. Calcule a indutancia mutua entre dois solenoides concentricos
de desnsidades de espiras n1 e n2.
Para calcular a indutancia mutua, precisamos calcular uma relacao entre
a variacao de corrente em um solenoide e a variacao do fluxo magnetico no
outro.
Sabemos que a campo magnetico no interior do solenoide 1 e B = µ0In1.
Como o campo no interior do solenoide 2 e constante, o fluxo no seu interior
sera:
11.5. INDUTANCIA MUTUA 209
Figura 11.15: Solenoides concentricos
φ21 = BAn2l = µ0In1n2lπR22
Entao temos que:
dφ21
dI= µ0n1n2lπR
22
Logo a indutancia mutua e:
M = µ0n1n2lπR22
Exercıcio 11.5. Calcule a indutancia mutua entre dois toroides concatena-
dos com N1 e N2 enrolamentos.
Figura 11.16: Toroides concatenados
Para calcular a indutancia mutua, precisamos calcular uma relacao entre
a variacao de corrente em um toroide e a variacao do fluxo magnetico no
outro.
210 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
Sabemos que a campo magnetico no interior do toroide 1 e B =µ0N1I
2πr.
Considerando que o campo no interior do toroide apresenta simetria cilındrica,
o fluxo no seu interior deve ser calculado por meio a seguinte integral:
Figura 11.17: Elemento de area na secao do toroide
φ21 = N2
∫~B1 · d~s2 = N2
b∫a
µ0N1I1
2πrhdr
φ21 =µ0N1N2I1
2πh ln(
b
a)I
Entao temos que:
dφ21
dI=µ0N1N2
2πh ln(
b
a)
Logo a indutancia mutua e:
M =µ0N1N2
2πh ln(
b
a)
11.6 Auto-Indutancia
Considere novamente uma espira de N voltas pela qual passa uma corrente
I. Se ocorre alguma alteracao na corrente, o fluxo atraves da espira varia
11.6. AUTO-INDUTANCIA 211
com o tempo, entao, de acordo com a lei de Faraday, uma forca eletromotriz
induzida surgira para gerar um campo no sentido oposto a variacao do fluxo
de ~B inicial. Entao podemos dizer que o proprio campo opoe-se a qualquer
mudanca da corrente, e assim temos o fenomeno da auto-indutancia.
Figura 11.18: Efeitos da auto-indutancia
Definimos matematicamente a auto-indutancia L2 da seguinte maneira:
dφBdt
=dφBdI
dI
dt= L
dI
dt
L =dφBdI
(11.11)
Do mesmo modo que a indutancia mutua, a auto indutancia depende
apenas de fatores geometricos da espira em questao.
Exercıcio 11.6. Calcule a auto-indutancia de um solenoide.
Figura 11.19: Solenoide
Para calcular a auto-indutancia, precisamos calcular como uma variacao
2[L] = H(henry)
212 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
de corrente no solenoide varia o fluxo magnetico no interior do proprio so-
lenoide.
Sabemos que a campo magnetico no interior desse objeto e B = µ0In.
Como o campo no interior do solenoide e constante, o fluxo no seu interior
sera:
φB = BAnl = µ0In2lπR2
Entao temos que:
dφBdI
= µ0n2lπR2
Logo a auto-indutancia e:
L = µ0n2lπR2
Exercıcio 11.7. Calcule a auto-indutancia de um toroide de secao retangu-
lar.
Figura 11.20: Toroide
Para calcular a auto-indutancia, precisamos calcular como uma variacao
de corrente no toroide varia o fluxo magnetico no interior do proprio toroide.
Sabemos que a campo magnetico no interior desse objeto e B =µ0NI
2πr.
Considerando que o campo no interior do toroide apresenta simetria cilındrica,
o fluxo no seu interior deve ser calculado por meio a seguinte integral:
11.7. ASSOCIACAO DE INDUTORES 213
Figura 11.21: Elemento de area na secao do toroide
φB = N
∫~B · d~s =
b∫a
µ0N2I
2πrhdr =
µ0N2I
2πh ln(
b
a)
Entao temos que:
dφ21
dI=µ0N
2
2πh ln(
b
a)
Logo a auto-indutancia e:
L =µ0N
2
2πh ln(
b
a)
11.7 Associacao de Indutores
Indutores sao componentes eletronicos que apresentam elevada indutancia.
Devido a Lei de Lenz, tais elementos evitam variacoes bruscas de corrente,
sendo essa uma das principais funcoes desempenhadas pelos indutores em
circuitos eletronicos. Sabe-se que a diferenca de potencial nos terminais de
um indutor tem a mesma magnitude da forca eletromotriz induzida nele, ou
214 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
seja:
V = LdI
dt(11.12)
Quando um circuito apresenta mais de um indutor associado, e possıvel
substituı-los por um indutor equivalente, a fim de simplificar os futuros
calculos relativos ao circuito. Mas para calcular a indutancia equivalente, de-
vemos levar em conta tanto os efeitos de auto-inducao quanto de indutancia
mutua entre os componentes da associacao.
Faremos, como exemplo, a associacao de dois indutores em serie e dois
indutores em paralelo.
11.7.1 Dois indutores em serie
Figura 11.22: Exemplo de indutancia mutua
Em uma associacao em serie, a corrente e a mesma em todos os indutores.
LdI
dt= L1
dI
dt+M
dI
dt+ L2
dI
dt+M
dI
dt= (L1 + L2 + 2M)
dI
dt
11.7. ASSOCIACAO DE INDUTORES 215
Observe que o primeiro e o terceiro termo referem-se as auto-indutancias
de 1 e 2, respectivamente, ja o segundo e o quarto termo referem-se as in-
dutancias mutuas. Segue entao que:
L = L1 + L2 + 2M (11.13)
11.7.2 Dois indutores em paralelo
Figura 11.23: Exemplo de indutancia mutua
Em uma associacao em paralelo, a diferenca de potencial e a mesma para
todos os indutores. Calculando a ddp para cada ramo:
V1 = L1dI1
dt+M
dI2
dt(11.14)
V2 = L2dI2
dt+M
dI1
dt(11.15)
Multiplicando as duas equacoes pela constante de indutancia mutua:
V1M = L1MdI1
dt+M2dI2
dt(11.16)
V2M = L2MdI2
dt+M2dI1
dt(11.17)
Multiplicando agora a equacao 11.14 por L2 e a 11.15 por L1:
216 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
V1L2 = L1L2dI1
dt+ML2
dI2
dt(11.18)
V2L1 = L2L1dI2
dt+ML1
dI1
dt(11.19)
Mas, da associacao em paralelo, temos que:
V = V1 = V2
I = I1 + I2
Logo, subtraındo 11.16 de 11.19 e 11.17 de 11.18, encontramos que:
V (L1 −M) = L1L2dI2
dt−M2 dI2
dt(11.20)
V (L2 −M) = L1L2dI1
dt−M2 dI1
dt(11.21)
Somando as equacoes 11.20 e 11.21:
V (L1 + L2 − 2M) =(L1L2 −M2
) dI
dt
L =L1L2 −M2
L1 + L2 − 2M(11.22)
Nota-se que, se desconsiderarmos os efeitos da indutancia mutua, a asso-
ciacao de indutores e identica a associacao de resistores.
11.8 Circuito R-L
Considere o circuito da Figura 11.24, com as condicoes iniciais:
11.8. CIRCUITO R-L 217
Figura 11.24: Circuito R-L
t = 0 , I(t) = 0
t =∞ , I(t) =V
R
A equacao do circuito e:
V −RI − LdIdt
= 0 (11.23)
V
R− I =
L
R
dI
dtt∫
0
−RLdt =
I(t)∫0
dI
I − VR
ln
(I − V
R
)I(t)0
= −RLt
I(t)− V
R= −V
R
−RLt
218 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
I(t) =V
R
(1− e−
RLt)
(11.24)
Quanto maior for a indutancia L do indutor no circuito, maior sera o
tempo para a corrente se aproximar da maxima Imax = V/R.
Figura 11.25: Grafico de corrente de um circuito R-L
11.9 Circuito L-C
Considere o circuito da Figura 11.26, com o capacitor inicialmente carregado
com uma carga Q0, ou seja, as condicoes iniciais:
t = 0 , Q(t = 0) = Q0
t = 0 , I(t = 0) = 0
A equacao do circuito e:
Q
C− L dI
dt= 0 (11.25)
Como o capacitor esta descarregando, I = −dQ/dt, e portanto:
11.9. CIRCUITO L-C 219
Figura 11.26: Circuito L-C
d2Q
dt2+
1
LCQ = 0 (11.26)
Que e a equacao de um oscilador harmonico, cuja solucao e:
Q(t) = Q0 cos(ωt) (11.27)
Onde:
ω2 =1
LC
I(t) = −dQdt
= ωQ0 sen(ωt)
I0 = Q0ω
Analise de energia:
220 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
Figura 11.27: Grafico de corrente e carga no capacitor em um circuito L-C
UE = Ucapacitor =1
2CV 2 =
Q2
2C
UE =Q2
2Ccos2(ωt)
UB = Uindutor =1
2LI2 =
L
2I2
0 sin2(ωt) =LQ2
0ω2
2sen2(ωt) =
Q20
2Csen2(ωt)
U = UE + UC =Q2
2C
Figura 11.28: Energia em um circuito L-C
11.10. ANALOGIA COM SISTEMA MECANICO 221
11.10 Analogia com sistema mecanico
Analogia com sistema mecanico massa-mola:
d2x
dt2+K
Mx = 0
d2Q
dt2+
1
LCQ = 0
U =1
2mv2 +
K
2x2 U =
1
2LI2 +
1
2CQ2
Figura 11.29: Analogia do circuito LC com sistema mecanico.
m L
1/k C
x Q
v = x I = Q
mv2/2 LI2/2kx2
2Q2
2C
222 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
md2x
dt2= −kx+mg L
dI
dt+Q
C= V
x(t) = h+ A cos(ω0t) q(t) = q1 + (q0 − q1) cos(ω0t)
x(0) = h+ A q(0) = q0
x(0) = 0 q(0) = 0
Molas em serie Capacitores em paralelo
x = x1 + x2 = F(
1K1
+ 1K2
)q = ε(C1 + C2)
Molas em paralelo Capacitores em serie
11.11 Circuito R-L-C
Considere o circuito da Figura 11.30, com o capacitor inicialmente com carga
Q0. A equacao do circuito e:
Q
C−RI − LdI
dt= 0
11.11. CIRCUITO R-L-C 223
Figura 11.30: Circuito R-L-C
Fazendo I = −dQdt
:
d2Q
dt2+R
L
dQ
dt+
Q
LC= 0 (11.28)
Com a condicao inicial: Q(0) = Q0
O analogo mecanico a este circuito e o oscilador amortecido:
d2x
dt2+ 2β
dx
dt+ ω2
0x = 0 (11.29)
Cuja solucao e dada por:
x(t) = e−βt[A1 exp(
√β2 − ω2
0t) + A2 exp(−√β2 − ω2
0t)
](11.30)
A analise deve ser dividida em tres casos:
• ω20 > β: subcrıtico
• ω20 = β: crıtico
• ω20 < β: supercrıtico
224 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
Figura 11.31: Comportamentos do oscilador amortecido.
11.11.1 Subcrıtico
ω21 = ω2
0 − β2, ω21 > 0
Q(t) = e−βt [A1 exp(iω1t) + A2 exp(−iω1t)]
A solucao pode ser reescrita como:
Q(t) = Ae−βt cos(ω1t− δ)
Que corresponde a uma oscilacao de frequencia angular ω1, com uma
amplitude decrescente com o tempo de um fator e−βt.
11.11.2 Crıtico
Q(t) = (A+Bt)e−βt
11.11.3 Supercrıtico
Q(t) = e−βt [A1 exp(ω2t) + A2 exp(−ω2t)]
11.12. ENERGIA EM CAMPOS MAGNETICOS 225
Figura 11.32: Oscilador amortecido subcrıtico.
11.12 Energia em Campos Magneticos
Vimos anteriormente que a energia eletrica podia ser escrita em termos do
campo eletrico, o que nos fornecia a interpretacao da energia armazenada no
campo. Agora vejamos como seria a energia magnetica em termos do campo.
Sabemos que:
φB = LI
Por outro lado:
φB =
∫S
~B · d~s =
∫S
(~∇× ~A) · d~s
Aplicando o Teorema de Stokes:
226 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
∫S
(~∇× ~A) · d~s =
∮Γ
~A · d~l
φB =
∮Γ
~A · d~l = LI
A energia magnetica e dada por:
U =1
2LI2 =
I
2
∮Γ
~A · d~l
Sabendo que Id~l = ~Jdv:
U =I
2
∫V
( ~A · ~J)dv
Mas ~∇× ~B = µ0~J , entao:
U =1
2µ0
∫V
~A · (~∇× ~B)dv
Utilizando a identidade:
~∇ · ( ~A× ~B) = ~B · (~∇× ~A)− ~A · (~∇× ~B)
~A · (~∇× ~B) = ~B · (~∇× ~A)− ~∇ · ( ~A× ~B) = ~B · ~B − ~∇ · ( ~A× ~B)
Temos:
U =1
2µ0
∫V
~B · ~B −∫V
~∇ · ( ~A× ~B)dv
11.12. ENERGIA EM CAMPOS MAGNETICOS 227
Aplicando o teorema da divergencia:
U =1
2µ0
∫V
~B · ~B − 1
2µ0
∫S
( ~A× ~B)d~s
Fazendo V → todo espaco, o segundo termo tende a zero, portanto:
UB =1
2µ0
∫R3
B2dv (11.31)
A densidade de energia do campo magnetico e dado por:
uB =B2
2µ0
(11.32)
Note a similaridade das energias dos campos eletrico e magnetico:
UE = 12
∫V
ρV dv =ε
2
∫3
E2dv
UB = 12
∫V
(~A · ~J
)dv =
1
2µ0
∫3
B2dv
Exemplo 11.1. Cabo coaxial.
Calcular a energia armazenada em uma secao de comprimento l.
Resolucao. Pela lei de Ampere, o campo magnetico no cabo e dado por:
228 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
∮~B · d~l = µ0I
B2πr = µ0I
B =µ0I
2πr
B =
µ0I
2πrθ , a < r < b
0 , r < a ou r > b
A densidade de energia e dada por:
u =B2
2µ0
=µ2
0I2
2µ04π2r2=
µ0I2
8π2r2
A energia armazenada em um trecho sera:
U =
∫∫∫µ0I
2
8µ0π2r2rdθdrdz,
0 ≤ θ ≤ 2π
a ≤ r ≤ b
0 ≤ z ≤ l
U =µ0I
2
8π22πl
b∫a
1
rdr =
µ0I2
4πl ln
(b
a
)
Pelo metodo anterior, terıamos que, primeiro, calcular a auto-indutancia:
11.12. ENERGIA EM CAMPOS MAGNETICOS 229
φ =
∫~B · d~s =
∫∫µ0I
2πrdrdz,
{a ≤ r ≤ b
o ≤ z ≤ l
φ =µ0I
2πl ln
(b
a
)L =
dφ
dI=µ0l
2πln
(b
a
)A energia armazenada sera entao:
U =LI2
2
U =µ0I
2
4πl ln
(b
a
)
230 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
Capıtulo 12
Equacoes de Maxwell
12.1 Introducao
Ate Faraday, o campo eletrico e o campo magnetico eram tratados indepen-
dentemente. Com a Lei da inducao de Faraday, vimos que a variacao do
campo magnetico com o tempo gera campo eletrico.
∮Γ
~E · d~l = − d
dt
∫S
~B · d~s
O campo eletrico e magnetico nao sao mais tratados independentemente,
sendo assim chamado de campo eletromagnetico. Em aproximadamente 1860
J.C. Maxwell constatou uma inconsistencia entre as equacoes ate entao e na
equacao da continuidade.
As equacoes que conhecemos ate agora, na forma diferencial, sao:
231
232 CAPITULO 12. EQUACOES DE MAXWELL
~∇× ~E = −∂~B
∂t~∇× ~B = µ0
~J
~∇ · ~E =ρ
ε0
~∇ · ~B = 0
E a equacao da continuidade (Equacao 9.2):
~∇ · ~J +∂ρ
∂t= 0
Se aplicarmos o divergente na lei de Ampere, temos:
~∇ · (~∇× ~B) = µ0~∇ · ~J
~∇ · ~J = 0
Ou seja, a lei de Ampere, na forma atual, nao e sempre valida, mas
somente para corrente estacionaria.
E possıvel tambem verificar a inconsistencia a partir da forma integral da
lei de Ampere.
12.2. MODIFICACAO NA LEI DE AMPERE 233
Considere o carregamento do capacitor na figura.Vamos aplicar a Lei de
Ampere, mas vamos considerar duas superfıcies abertas e distintas, ambas
delimitadas pela mesma curva γ:
(a)∮~B · d~l = µ0
~I (b)∮~B · d~l = 0
Figura 12.1: Duas superfıcies possıveis para aplicar a lei de Ampere.
As duas integrais deveriam ter o mesmo valor, pois tem o mesmo bordo!
Assim, ha uma inconsistencia na lei de Ampere, que requer uma modificacao
feita por Maxwell.
12.2 Modificacao na lei de Ampere
Podemos encontrar essa modificacao de duas formas.
Primeira Forma
Retomando o exemplo anterior, vimos que:∮S1
~J · d~s1 −∮S2
~J · d~s2 6= 0
Entao, considerando o sentido de d~S1 e d~S2 e que S1 e S2 juntas formam
uma superfıcie fechada, utilizando a equacao da continuidade:
234 CAPITULO 12. EQUACOES DE MAXWELL
(a)∮~B · d~l = µ0
~I (b)∮~B · d~l = 0
Figura 12.2: Duas superfıcies possıveis para aplicar a lei de Ampere.
∮S
~J · d~s = − d
dt
∫ρdv 6= 0
A corrente de transporte, ou de conducao, nao se anula, pois a carga esta
se acumulando no capacitor, ou seja ∂ρ∂t6= 0.
A lei de Ampere original implica em∇· ~J = 0, mas nesse caso,∇· ~J = −∂ρ∂t
.
Entao algo dever ser adicionado a lei de Ampere para torna-la consistente
com a conservacao da carga neste caso.
Podemos calcular ρ da lei de Gauss:
12.2. MODIFICACAO NA LEI DE AMPERE 235
~∇ · ~E =ρ
ε0
⇒ ρ = ε0~∇ · ~E
~∇ · ~J = −ε0∂
∂t~∇ · ~E = ~∇ ·
(−ε0
∂ ~E
∂t
)
~∇ ·
(~J + ε0
∂ ~E
∂t
)= 0
Maxwell entao substituiu ~J da Lei de Ampere por ~J ′ = ~J + ε0∂ ~E∂t
. Entao,
chegamos na lei de Ampere-Maxwell:
~∇× ~B = µ0~J + µ0ε0
∂ ~E
∂t(12.1)
Ou, na forma integral:
∮~B · d~l = µ0I + µ0ε0
∂
∂t
∫~E · d~s (12.2)
Entao:
∮~B · d~l = µ0I + µ0ε0
dφEdt
O termo adicional µ0ε0dφEdt
, Maxwell chamou de corrente de desloca-
mento, apesar dela nao significar corrente no sentido que conhecemos.
Significado: A variacao de campo eletrico, mesmo na ausencia de cor-
rente, gera campo magnetico
Segunda Forma
Novamente considerando S1 e S2, no caso de um capacitor de placas paralelas.
236 CAPITULO 12. EQUACOES DE MAXWELL
C =Q
V= ε0
A
d⇒ ε0A = Q d
V⇒ ε0E = Q
A
dQ
dt= ε0A
dE
dt
~JD =1
A
dQ
dt= ε0
dE
dt
Enquanto o capacitor esta carregando o campo eletrico varia no tempo.
O fluxo de ~E por S2 varia no tempo:
12.3. EQUACOES DE MAXWELL 237
~∇× ~B = µ0( ~J+?)⇒ ~∇× ~B = µ0( ~J + ~JD)
~∇× ~B = µ0~J + µ0ε0
∂ ~E
∂t
Desta forma, Maxwell construiu uma teoria unificada e consistente. Ao
conjunto formado pela Lei de Ampere modificada e as outras 3 ja conhecidas,
da-se o nome de Equacoes de Maxwell.
12.3 Equacoes de Maxwell
As equacoes de Maxwell no vacuo sao:
12.3.1 Forma diferencial
~∇ · ~E =ρ
ε0
~∇ · ~B = 0
~∇× ~E = −∂~B
∂t
~∇× ~B = µ0~J + µ0ε0
∂ ~E
∂t
238 CAPITULO 12. EQUACOES DE MAXWELL
12.3.2 Forma integral
∮~E · d~s =
Qint
ε0∮~B · d~s = 0∮~E · d~l = − d
dt
∫S
~B · d~s
∮~B · d~l = µ0I + µ0ε0
∂
∂t
∫~E · d~s
Estas equacoes formam a base de todos os fenomenos eletromagneticos
e em conjunto com a equacao da forca de Lorentz e a 2a lei de Newton
descrevem de forma completa a dinamica classica da interacao de partıculas
carregadas e seus campos eletromagneticos.
12.4 Equacoes de Onda
As equacoes de Maxwell, para ρ = 0 e ~J = ~0 sao:
~∇ · ~E = 0 (I)
~∇ · ~B = 0 (II)
~∇× ~E = −∂~B
∂t(III)
~∇× ~B = µ0ε0∂ ~E
∂t(IV)
Aplicando o rotacional em III, temos:
12.4. EQUACOES DE ONDA 239
~∇× ~∇× ~E = − ∂
∂t~∇× ~B
~∇× ~∇× ~E = ~∇ · (~∇ · ~E)− ~∇2 ~E ⇒ −~∇2 ~E = − ∂
∂t
(µ0ε0
∂ ~E
∂t
)
~∇2 ~E − ∂
∂t
(µ0ε0
∂ ~E
∂t
)= 0
Que e a equacao de onda para o campo eletrico:
v =1
√µ0ε0
= c
~∇2 ~E − 1
c2
∂2 ~E
∂t2= 0
~∇2 ~E − 1
c2
∂2 ~E
∂t2= 0 (12.3)
O campo eletromagnetico no vacuo se propaga a velocidade da luz, o
que foi uma das principais evidencias para se concluir que a luz e uma onda
eletromagnetica.
Para ~B, basta aplicar o rotacional em IV:
~∇× ~∇× ~B = ~∇ · ~∇ · ~B − ~∇2 ~B
−~∇2 ~B = µ0ε0∂
∂t~∇× ~E
~∇2 ~B − µ0ε0∂2 ~B
∂t2= 0
240 CAPITULO 12. EQUACOES DE MAXWELL
~∇2 ~B − 1
c2
∂2 ~B
∂t2= 0 (12.4)
O campo magnetico se propaga no vacuo com velocidade c.
Isso mostra que a luz e uma onda eletromagnetica, caracterizando assim
a natureza ondulatoria da luz. Maxwell fez a unificacao de dois campos da
fısica ate entao distintos, o Eletromagnetismo e na Optica. Sem Maxwell nao
entenderıamos radiacao eletromagnetica. A relatividade restrita originou-se
dos Equacoes de Maxwell.
Capıtulo 13
Materiais Magneticos
13.1 Propriedades Magneticas da Materia
Apresentaremos neste topico uma discussao qualitativa tentando nao usar a
mecanica quantica. No entanto, devemos ter em mente que:
Nao e possıvel compreender os efeitos magneticos da materia
do ponto de vista da fısica classica! As propriedades magneticas dos
materiais sao fenomenos completamente quanticos.
Apesar disso, faremos uso de descricoes classicas, embora erradas, para
termos uma visao, ainda que muito limitada, do que esta acontecendo.
Inicialmente, vamos pressupor ja conhecidos alguns conceitos:
1. Atomo: nucleo no centro e eletrons orbitando ao seu redor;
2. Eletron e negativamente carregado
3. O eletron possui um momento angular intrınseco que e denominado
spin.
Vejamos entao inicialmente:
241
242 CAPITULO 13. MATERIAIS MAGNETICOS
Figura 13.1: Producao de campo magnetico pelo eletron.
Efeitos devido as orbitas dos eletrons
- Eletrons nos atomos produzem campos magneticos.
Os eletrons giram ao redor do nucleo em orbitas, o que e o mesmo se
tivessemos espiras de corrente. Por outro lado, correntes produzem campo
magnetico.
Normalmente, no entanto, este e um efeito pequeno, pois no total ha um
cancelamento, visto que as orbitas estao aleatoriamente orientadas.
- O que acontece entao se colocarmos o material na presenca de um campo
externo ~B? Pelo que ja estudamos sabemos que, pela lei de Lenz, teremos
correntes induzidas, de sentido tal a se opor ao aumento do campo. Desta
forma, os momentos magneticos induzidos nos atomos sao opostos ao campo
magnetico.
Desta forma o efeito resultante e: o campo magnetico total resultante e
menor.
13.2. MOMENTOS MAGNETICOS E MOMENTO ANGULAR 243
13.2 Momentos magneticos e Momento an-
gular
Consideremos uma carga q se movendo numa orbita circular.
Figura 13.2: Carga em orbita circular.
O momento angular classico orbital e:
~L = ~r × ~p
|~L| = mvr
Por outro lado, sabemos que a corrente e:
I =carga
tempo=
q2πrv
=qv
2πr
Sabemos tambem que o momento magnetico e:
µ = IA = Iπr2 =qv
2πrπr2 =
qvr
2
Das equacoes acima, temos:
~µ =q
2
~L
m(13.1)
No caso do eletron, temos:
244 CAPITULO 13. MATERIAIS MAGNETICOS
Figura 13.3: Momento magnetico da orbita do eletron.
~µ = − e~L
2me
(13.2)
Isto e o que se espera classicamente e como milagre tambem vale quanti-
camente.
Alem do momento angular orbital, eletrons possuem um momento angular
intrınseco (spin), que associado a este ha um momento magnetico:
~µs = − e
me
~S (13.3)
Algumas propriedades:
• Lei de Lenz nao se aplica, pois este campo esta associado ao eletron
por si mesmo.
• O proprio ~S nao pode ser medido. Entretanto, sua componente ao
longo de qualquer eixo pode ser medida.
• Uma componente medida de ~S e quantizada.
Quantizacao de Sz:
13.2. MOMENTOS MAGNETICOS E MOMENTO ANGULAR 245
Sz = ms~
ms = ±1
2
~ =h
2π
Sendo h a constante de Plank, cujo valor e de 6, 63× 10−34J.s.
Portanto, o momento magnetico de spin sera dado por:
µs,z = −ems~me
= ± e~2me
= ±µB
µB =e~
2me
=eh
4πme
= 9, 27× 10−24 J
T
A constante µB e chamada magneton de Bohr. Momentos magneticos de
spins de eletrons e de outras partıculas sao entao expressos em termos de µB.
Da mesma forma que o spin, o momento angular orbital ~L nao pode ser
medido, apenas a sua componente ao longo de qualquer eixo.
L = ml~
ml = 0,±1,±2, · · ·
Onde ml e o numero quantico magnetico orbital.
µ = − eL
2me
= −eml~2me
= −mlµB
Vimos durante o nosso curso que se colocassemos uma espira passando
corrente num campo magnetico, esta sentia uma forca, e observamos a tendencia
do alinhamento do momento magnetico ~µ com ~B.
246 CAPITULO 13. MATERIAIS MAGNETICOS
Figura 13.4: Torque causado por um campo magnetico em uma espira.
~τ = ~µ× ~B
Desta forma, se colocarmos um material composto por atomos que pos-
suem um momento magnetico permanente, inicialmente orientado em direcoes
distribuıdas ao acaso, na presenca de um campo magnetico, esses momentos
magneticos se orientarao na direcao do campo, resultando em uma mag-
netizacao diferente de zero. Entao como resultado teremos que o campo
magnetico resultante sera maior que o original.
A grandeza magnetizacao e definida como o dipolo magnetico por uni-
dade de volume:
~M = lim∆v→0
1
∆v
∑i
~µi =d~µ
dv(13.4)
O que implica em:
~µtotal =
∫v
~Mdv
Analise dimensional:
13.3. MATERIAIS DIAMAGNETICOS 247
[~M]
=momento magne tico
volume=
corrente x a rea
comprimento=A
m=
[~B]
µ0
(13.5)
Perceba que esta grandeza e analoga a polarizacao de materiais dieletricos.
Resumo ate entao
• Lei de Lenz nas orbitas dos eletrons se opoe ao aumento do campo no
material. Isto pode ser pensado como se o eletron fosse acelerado ou
retardado em sua orbita.
• Torque magnetico agindo em eletrons individualmente aumentando o
campo magnetico no material.
Ou seja, temos dois comportamentos opostos. Qual deles e mais impor-
tante? Isto dependera das propriedades do material (estrutura quımica, se
ha eletrons livres, etc). Podemos, no entanto notar que e muito mais custoso
mudar as orbitas dos eletrons que seus spins.
A este respeito, podemos separar os materiais em tres categoriais:
1. Materiais diamagneticos;
2. Materiais paramagneticos;
3. Materiais ferromagneticos.
13.3 Materiais Diamagneticos
Sao materiais que apresentam uma magnetizacao oposta ao campo magnetico.
• O campo magnetico no interior do material e menos intenso que o
externo.
248 CAPITULO 13. MATERIAIS MAGNETICOS
Figura 13.5: Substancias diamagneticas sao repelidas do campo magnetico,deslocando-se para a regiao de campo magnetico menos intenso.
• Lei de Lenz ganha do efeito do spin.
O diamagnetismo e muito fraco e difıcil de se ver.
A Lei de Lenz sempre esta presente em todos os materiais. O efeito do
spin, se estiver presente, sera sempre mais forte. Logo, os materiais dia-
magneticos sao aqueles onde nao ha o efeito do spin.
Exemplos de materiais diamagneticos:
• Orbitais que possuem os eletrons emparelhados ⇒ nao ha momento
magnetico resultante.
13.4 Materiais Paramagneticos
Sao materiais nos quais a magnetizacao aumenta na presenca de um campo
externo.
• O campo magnetico no interior do material e mais intenso que o ex-
terno.
• Efeito de spin ganha da Lei de Lenz.
Os atomos possuem um momento magnetico resultante e permanente
~µ. Na ausencia de campo externo estes momentos estao orientados de forma
13.5. MAGNETIZACAO E O CAMPO ~H 249
Figura 13.6: Substancias paramagneticas sao atraıdas para regiao de campomagnetico mais intenso.
aleatoria, e o momento de dipolo magnetico resultante do material e nulo. En-
tretanto, se uma amostra do material for colocada em um campo magnetico
externo, os momentos tendem a se alinhar com o campo, o que da um mo-
mento magnetico total ~µtotal nao nulo na direcao do campo externo ~Bext.
13.5 Magnetizacao e o campo ~H
Relembrando a definicao de magnetizacao (Equacao 13.4):
~M =d~µ
dv=
momento de dipolo magne tico
unidade de volume
Definimos um novo campo magnetico ~H , tal que:
~B = µ0
(~H + ~M
)(13.6)
~H ≡~B
µ0
− ~M (13.7)
• ~B: campo magnetico total = inducao magnetica
• ~H: campo magnetico devido as correntes externas
250 CAPITULO 13. MATERIAIS MAGNETICOS
• ~M : magnetizacao, componente de ~B devido as propriedades do mate-
rial.
Voce pode estar se perguntando, mas esta formula de ~H caiu do ceu?
Podemos chegar nela da seguinte forma:
Como um dos exercıcios da lista, voce deve ter obtido que o potencial
vetor de um unico dipolo e dado por:
~A (~r) =µ0
4π
~µ× RR
Se pensarmos num material, entao cada elemento de volume possui um
momento de dipolo magnetico ~M dv, logo:
~A (~r) =µ0
4π
∫ ~M (~r′)× RR2
dv′
Utilizando a identidade:
~∇′(
1
R
)=
R
R2
Temos:
~A (~r) =µo4π
∫ [~M (~r′)× ~∇′
(1
R
)]dv′
Utilizando a identidade:
~∇×(f ~M
)= f
(~∇× ~M
)− ~M ×
(~∇f)
⇒ ~M ×(~∇f)
= f(~∇× ~M
)− ~∇×
(f ~M
)
Ficamos com:
13.5. MAGNETIZACAO E O CAMPO ~H 251
~A (~r) =µ0
4π
∫
1
R
(~∇′ × ~M (~r′)
)dv′ −
∫~∇′ ×
(~M (~r′)
R
)dv′
~A (~r) =
µ0
4π
∫ ~∇′ × ~M (~r′)
Rdv′ +
µ0
4π
∮ ~M (~r′)× n′
Rds′
Relembrando, tınhamos escrito:
~A (~r) =µ0
4π
∫ ~J (~r′)
Rds′
Desta forma, podemos identificar dois termos:
~A (~r) =µ0
4π
∫ ~JM (~r′)
Rdv′ +
µ0
4π
∮~κM (~r′)
Rdv′
• ~JM (~r′) = ~∇′ × ~M (~r′): Densidade de corrente de magnetizacao;
• ~κM (~r′) = ~M (~r′) × n′: Densidade superficial de corrente de magne-
tizacao.
Similar a:
ρp = −~∇ · ~P
σp = ~p · n
Havendo corrente de magnetizacao e, simultaneamente, correntes livres
(que nao podemos controlar), o campo de inducao magnetica tem a sua
origem em ambas:
252 CAPITULO 13. MATERIAIS MAGNETICOS
~∇× ~B = µ0
(~Jlivre + ~JM
)︸ ︷︷ ︸
densidade de corrente total
~∇× ~B = µ0
(~Jlivre + ~∇× ~M
)~∇× ~B − ~∇× µ0
~M = µ0~Jlivre
~∇×(~B − µ0
~M)
︸ ︷︷ ︸µ0~H
= µ0~Jlivre
~∇× µ0~H = µ0
~Jlivre
~∇× ~H = ~Jlivre (13.8)
Entao agora a nomenclatura ficou:
• ~B: campo de inducao magnetica;
• ~H: campo magnetico proveniente da contribuicao devida as correntes
livres;
• ~M : magnetizacao devido as corrente de magnetizacao.
Podemos determinar um campo a partir de seu gradiente e de seu rotaci-
onal. Ja obtemos o rotacional, e podemos determinar seu gradiente a partir
de sua definicao (Equacao 13.7):
~H =~B
µ0
− ~M
÷ ~H =÷ ~Bµ0
−÷ ~M
÷ ~H = −÷ ~M
13.6. MATERIAIS MAGNETICOS LINEARES 253
Observacao 13.1. Deve-se tomar cuidado com a analogia entre os campos ~H
e ~B. Apesar da similaridade entre as expressoes de seus rotacionais, deve-
mos lembrar que um campo nao e determinado somente pelo seu rotacional.
Em especial, mesmo que nao haja nenhuma corrente livre, na presenca de
materiais magneticos, o campo ~H pode ser nao nulo.
13.6 Materiais Magneticos Homogeneos, Li-
neares e Isotropicos
Neste caso, a magnetizacao ~M do material varia linearmente com o campo
magnetico ~H:
~M = χM ~H
Onde χM e a susceptibilidade magnetica do meio, que e uma grandeza
adimensional.
Assim:
~B = µo
(~H + ~M
)= µo
(~H + χM ~H
)= µo (1 + χM) ~H
= µoµr ~H
~B = µ ~H
Cuidado com a notacao: Aqui, µ e a permeabilidade magnetica do meio
(nao confundir com o momento magnetico).
O sinal de χM depende do tipo de material:
~B = µo (1 + χM) ~H
254 CAPITULO 13. MATERIAIS MAGNETICOS
• Em materiais diamagneticos, B < H, e portanto:
χM < 0
• Em materiais paramagneticos, B > H, e portanto:
χM > 0
13.7 Materiais Ferromagneticos
A nao linearidade entre ~M e ~H o distingue do paramagnetismo. Em materiais
ferromagneticos, ~M e ~H nao possuem uma relacao simples. A magnetizacao
permanece mesmo apos o campo magnetico ser desligado.
Razao: Mecanica Quantica ⇒ termo de troca ⇒ interacao dos spins de
atomos.
A interacao de troca produz um forte alinhamento de dipolo atomico ad-
jacente em um material ferromagnetico. Os momentos magneticos de muitos
atomos tendem a se alinhar em pequenas regioes iguais a domınios ( 0.1mm),
no entanto estes domınios, se nenhum campo magnetico externo for aplicado,
estao alinhados aleatoriamente orientados, resultando numa magnetizacao do
material nula. Por isso que o ferro nao atrai nenhum metal a princıpio.
Fe: solido policristalino
Se magnetizarmos uma amostra de Fe colocando-a em um campo magnetico
externo de intimidade gradualmente crescente, havera um crescimento em ta-
manho dos domınios que estao orientados ao longo do campo externos.
A curva que descreve a relacao entre H e B para um material ferro-
magnetico e chamada de histerese ou ciclo de histerese.
De a ate b mostra o comportamento da amostra se magnetizando. Apos
H1 diminui-se H ate H = 0 (ponto c): valor de B diminui conforme b → c
muito mais lentamente do que inicialmente tinha aumentado. Em c, ha uma
13.7. MATERIAIS FERROMAGNETICOS 255
(a) Antes: ~M = 0 (b) Apos: ~M 6= 0
Figura 13.7: Orientacao dos domınios de um material ferromagnetico napresenca de campo magnetico.
Figura 13.8: Alinhamento dos domınios do material na presenca de campomagnetico externo.
magnetizacao remanescente B 6= 0. Para se conseguir B = 0 aplica-se um
campo ~H com sentido inverso. Se aumentar ~H em modulo atinge-se o ponto
d. Se zerar ~H novamente, B diminui em modulo de acordo com d → e, e
mesmo em e, B 6= 0.
Temperatura de Curie
A temperatura de Curie TC e a temperatura acima da qual o material ferro-
magnetico perde a sua magnetizacao.
• T > TC : fase desordenada paramagnetica
256 CAPITULO 13. MATERIAIS MAGNETICOS
Figura 13.9: Ciclo de histerese de materiais ferromagneticos.
• T < TC : fase ordenada ferromagnetico
A transicao de fase e abrupta.
Para T > TC , o movimento aleatorio dos momentos magneticos se torna
tao forte que eles nao conseguem mais se alinhar para formar os domınios.
Para o Fe, TC = 770oC. A Tabela 13.1 mostra a temperatura de Curie para
outros materiais ferromagneticos.
Material Temperatura de Curie (K)Co 1388Fe 1043
MnBi 630Ni 627
MnSb 587CrO2 386MnAs 318
Gd 292
Tabela 13.1: Temperatura de Curie de materiais ferromagneticos
13.8. ENERGIA EM MEIOS MAGNETICOS 257
13.8 Energia armazenada no campo magnetico
na presenca de meios magneticos
Vimos que:
Um =1
2
∫V
~Jlivre · ~Adv
Mas ~Jl = ~∇× ~H, entao:
Um =1
2
∫V
(~∇× ~H
)· ~Adv
Aplicando a identidade:
~∇ ·(~A× ~H
)=(~∇× ~A
)· ~H −
(~∇× ~H
)· ~A
Chegamos em:
Um =1
2
∫V
(~∇× ~A
)· ~Hdv − 1
2
∫V
~∇ ·(~A× ~H
)dv
Um =1
2
∫V
~B · ~Hdv − 1
2
∫V
~∇ ·(~A× ~H
)dv
Fazendo V → todo espaco, o segundo termo tende a zero, portanto:
UB =1
2
∫R3
~B · ~Hdv (13.9)