notas de aula de projeto em fadiga

Universidade Federal Fluminense Pólo Universitário de Volta Redonda, R.J. Departamento de Engenharia Mecânica

Atualizado em 07/11/2009 Página 1 de 47

Notas de Aula de Projeto em Fadiga Prof.: Jorge A. R. Durán Sala 9.4, Tels.: 24-3344-3012 e-mail: [email protected] internet: http://www.professores.uff.br/duran/

Conteúdo

SÍMBOLOS E DEFINIÇÕES 1

INTRODUÇÃO 2

PROJETO À FADIGA BASEADO NAS TENSÕES (MÉTODO “SN”) 6

Resistência à fadiga do material e da peça 6

Análise das Tensões 16

Acúmulo de Dano 30

UMA METODOLOGIA ESPECÍFICA PARA O PROJETO À FADIGA DE EIX OS DE TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA 32

Análise das Tensões e Resistência à Fadiga 33

Resumo de passos para o projeto 35

Deflexões em Eixos. Métodos de Integração. Erro! Indicador não definido.

Deflexões em Eixos. Método Energético de Castiglian o. Erro! Indicador não definido.

PROBLEMAS 42

REFERÊNCIAS 47

Símbolos e Definições Sf – Resistência à fadiga, uma função do número de ciclos N do carregamento aplicado. S’L – Limite de fadiga do material. Para aços S’L = Sf (1e6 ciclos) e estima-se ≅ 0,5 Su, onde Su é o limite de resistência (em tração monotônica) do material. R – razão de carga = carga mínima/carga máxima. B, C – constantes de ajuste da curva SN na forma da Eq. 4. Kt, Kf – fatores de concentração das tensões normais, geométrico (da teoria da elasticidade) e específico para fadiga, respectivamente. Para tensões cisalhantes utiliza-se o subscrito “s”. σai, τai, σmi, τmi – Componentes alternadas e médias das tensões normais e cisalhantes do i-éssimo ½ ciclo (reversão) do carregamento. Igual definição aplica-se às tensões equivalentes de mises σ~ σar – Neste caso o subscrito “r” especifica uma razão de carga completamente reversa (R = − 1) para a tensão alternada σa.



Introdução A fadiga é um processo de fratura progressiva que depende fortemente dos detalhes locais nos pontos críticos das peças e que ocorre pela aplicação de um carregamento (de amplitude constante ou não) variável com o tempo. As falhas por fadiga geralmente começam a partir de uma ou várias trincas geradas em regiões de alta concentração de tensões. A Figura 2 mostra a superfície de fratura de um eixo de transmissão de potência, enquanto que a Figura 2 apresenta detalhes da fratura.

Figura 1 – Foto da superfície fraturada do eixo mostrando algumas características macroscópicas típicas das falhas por fadiga.

A superfície da fratura do eixo mostra algumas características macroscópicas próprias das falhas por fadiga. Distinguem-se claramente duas regiões: uma região de propagação de trincas por fadiga que ocupa quase toda a borda e grande parte do interior do eixo e uma região de fratura final. Ondulações superficiais concêntricas (as chamadas bandas de crescimento ou marcas de praia), na região de propagação, indicam que várias trincas elípticas foram crescendo da superfície para o interior do eixo, perpendiculares à máxima tensão trativa. As diferentes colorações nas bandas de crescimento estão associadas a diferentes níveis de carregamento, correspondendo as mais escuras aos maiores níveis de tensão máxima. Esta região é predominantemente plana sem qualquer evidência de deformação macro-plástica. De fato, as trincas por fadiga são o resultado de processos de deformação micro-plástica reversa. O grande número de trincas indica a presença de um elevado kt na superfície do eixo. Geralmente a iniciação e crescimento de uma única trinca dão-se no “weakest link” onde ocorre a pior combinação de fatores tais como orientação cristalográfica, rugosidade superficial, etc. A nucleação em um único ponto é típica de corpos de prova. A sobreposição dessas trincas leva ao surgimento de linhas verticais na direção de propagação. Estas linhas constituem pequenos degraus na superfície de fratura, devido a que as trincas cresceram inicialmente em planos ligeiramente escalonados.



Figura 2 – Detalhes da superfície de fratura do eixo mostrado na Figura 1. As tensões nos pontos críticos de peças submetidas a carregamento variável (de amplitude constante) variam de acordo com uma função senoidal. É possível modelar estes ciclos de acordo com uma relação do tipo:

( )tsenam ⋅⋅+= ωσσσ Eq. 1

Onde σa e σm são a amplitude e a média das tensões, ω é a freqüência e t o tempo. Os outros parâmetros que caracterizam os ciclos de fadiga se mostram na Figura 3.. Introduzindo a razão de carga R = σmin/σmax, algumas relações podem ser deduzidas:

( ) ( )

( ) ( )

( )( )R1

R1

R1R2

R122

R

2

R1R2

R122

R

2

R

m

a

minmaxmaxmaxminmaxm

minmaxmaxmaxminmaxa

am

am

max

min

+−=

+=+=⋅+=+=

−=−=⋅−=−=

+−==

σσ

σσσσσσσ

σσσσσσσ

σσσσ

σσ

Eq. 2

Atualizado em 07/11/2009

Figura 3 – Parâmetros par Observe que das seis componentes apenas duas são independentes, ou seja, duas variáveis bastam para descrever completamente os ciclos. Nos ensaios de fadiga sob carregamentos de amplitude constante gtensão média σm para este fim.com uma das outras duas variáveis (descrever os ciclos de fadiga, como most

( )( ) ( )

( )( ) ( )

⋅+−+=

⋅+−+=

tsenR1

R1

tsenR1

R11

a

m

ωσσ

ωσσ

Alguns dos conceitos fundamentais que ajudam no entendimento dos padrões observados no comportamento à fadiga são resumidos por Juvinall

• As falhas por fadiga resultam de processos de deformação plástica cíclica, como no caso da flexão alternada de um clipe, por exemplo. Sem o escoamento plástico repetido a fadiga não ocorre.

• Enquanto que um arame pode ser quebrado após uns poucoescoamento severo, as falhas por fadiga ocorrem tipicammilhares ou ainda milhões de ciclos de escoamento em pequena escala, as vezes microscópica. As falhas por fadiga podem ocorrer em níveis de tensões bem abaixo do limite de escoamento.

• Devido a que o escoamento plástico altamente localizado pode ser o início de uma trinca por fadiga, corresponde ao engenheiro prestar uma atenção especial em todos os pontos potencialmente vulneráveis

• Se o escoamento local for muito pequeresistência (encruar) interrompendo o processo de escoamento. A peça então se beneficiaria desta pequena sobrecarga. No entanto, se o escoamento local continua a ocorrer de forma cíclica haverá um esgotamento da ductilcom a conseguinte fratura.

• A trinca de fadiga inicial geralmente provoca um incremento na concentração local das tensões. Na medida em que a trinca progride o material na sua frente é submetido a ciclos destrutivos de escoamento reverso. A t


Parâmetros para descrever os ciclos de fadiga de amplitude constante.

Observe que das seis componentes apenas duas são independentes, ou seja, duas variáveis bastam para descrever completamente os ciclos. Nos ensaios de fadiga sob carregamentos de amplitude constante geralmente se utilizam a tensão amplitude

para este fim. É possível também utilizar o parâmetro com uma das outras duas variáveis (σa ou σm) para, a partir das seguintes relaçõesdescrever os ciclos de fadiga, como mostrado na Figura 4:

Alguns dos conceitos fundamentais que ajudam no entendimento dos padrões observados no comportamento à fadiga são resumidos por Juvinall [4]:

As falhas por fadiga resultam de processos de deformação plástica cíclica, como no caso da flexão alternada de um clipe, por exemplo. Sem o escoamento plástico repetido a fadiga não ocorre. Enquanto que um arame pode ser quebrado após uns poucos ciclos de escoamento severo, as falhas por fadiga ocorrem tipicamente depois de alguns

ou ainda milhões de ciclos de escoamento em pequena escala, as vezes microscópica. As falhas por fadiga podem ocorrer em níveis de tensões bem

e de escoamento. Devido a que o escoamento plástico altamente localizado pode ser o início de uma trinca por fadiga, corresponde ao engenheiro prestar uma atenção especial em todos os pontos potencialmente vulneráveis. Se o escoamento local for muito pequeno o material pode até aumentar a sua resistência (encruar) interrompendo o processo de escoamento. A peça então se beneficiaria desta pequena sobrecarga. No entanto, se o escoamento local continua a ocorrer de forma cíclica haverá um esgotamento da ductilcom a conseguinte fratura. A trinca de fadiga inicial geralmente provoca um incremento na concentração local das tensões. Na medida em que a trinca progride o material na sua frente é submetido a ciclos destrutivos de escoamento reverso. A taxa de propagação

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a descrever os ciclos de fadiga de amplitude constante.

Observe que das seis componentes apenas duas são independentes, ou seja, duas variáveis bastam para descrever completamente os ciclos. Nos ensaios de fadiga sob

eralmente se utilizam a tensão amplitude σa e a É possível também utilizar o parâmetro R em conjunto

a partir das seguintes relações,

Eq. 3

Alguns dos conceitos fundamentais que ajudam no entendimento dos padrões :

As falhas por fadiga resultam de processos de deformação plástica cíclica, como no caso da flexão alternada de um clipe, por exemplo. Sem o escoamento plástico

s ciclos de ente depois de alguns

ou ainda milhões de ciclos de escoamento em pequena escala, as vezes microscópica. As falhas por fadiga podem ocorrer em níveis de tensões bem

Devido a que o escoamento plástico altamente localizado pode ser o início de uma trinca por fadiga, corresponde ao engenheiro prestar uma atenção especial em

no o material pode até aumentar a sua resistência (encruar) interrompendo o processo de escoamento. A peça então se beneficiaria desta pequena sobrecarga. No entanto, se o escoamento local continua a ocorrer de forma cíclica haverá um esgotamento da ductilidade no ponto

A trinca de fadiga inicial geralmente provoca um incremento na concentração local das tensões. Na medida em que a trinca progride o material na sua frente é

axa de propagação



aumenta com a profundidade da trinca até que o ligamento residual não suporta mais um único evento de carga e a fratura, geralmente de acordo com os princípios da mecânica da fratura, ocorre.

• As metodologias de projeto à fadiga atualmente em uso se baseiam largamente em dados experimentais acumulados ao longo dos anos.

Figura 4 – Esquema de variação dos ciclos de tensões em função da razão de carga R e do tempo t (para ω = 1 Hz) mantendo constante a tensão média σm (a) ou a tensão

amplitude σa (b). A seguir será discutido o método de projeto à fadiga baseado nas tensões, também chamado de método SN.

(a) (b)



Projeto à fadiga baseado nas tensões (Método “SN”) De acordo com a filosofia do método de projeto à fadiga baseado nas tensões, o trincamento por fadiga deve se iniciar nos pontos críticos das peças que satisfazem a relação resistência x vida (Sf x N) do material. Esta relação se mede em corpos de prova padronizados e de acordo com procedimentos estabelecidos em normas. Para fins de estudo o dimensionamento em fadiga por este método pode ser dividido em três partes:

• Resistência à fadiga do material e da peça • História das tensões que atuam nos pontos críticos, incluindo os efeitos da

concentração das tensões. • O dano à fadiga acumulado nos ciclos de carregamento.

Nos seguintes tópicos discutem-se os aspectos indispensáveis para o projeto seguro em fadiga das três partes mencionadas. Resistência à fadiga do material e da peça Os resultados de vários testes sob controle das cargas são representados em curvas resistência à fadiga versus número de ciclos para a iniciação da trinca (Sf x N) em escala log-log. Na Figura 5 se mostra uma curva Sf N para um aço com 120 Bhn . As curvas Sf N podem ser plotadas em termos de qualquer uma das tensões mostradas na Figura 3. É mais comum, no entanto, utilizar a amplitude das tensões σσσσa ou a tensão máxima σσσσmax (como no caso da Figura 5) no eixo das ordenadas. A tensão que causa falha por fadiga após certo número de ciclos se conhece como a resistência à fadiga correspondente àquele número de ciclos Sf(N). Geralmente os ensaios da fadiga são feitos com uma razão de carga R = −−−− 1 e nestes casos Sf(N) = σσσσar(N) onde σσσσar é a amplitude da tensão totalmente reversa aplicada ao espécime.

Figura 5 – Curva SN de um aço com uma dureza de 120 HB [4]. Na Figura 6 se mostra uma máquina padronizada (R.R. Moore) para ensaios de fadiga. A flexão simétrica de 4 pontos provoca flexão pura (zero cortante) na região central do espécime. A tensão em qualquer ponto das “fibras” extremas do corpo de prova (CP)



varia de uma forma senoidal com σσσσm = 0 e com uma freqüência que depende da velocidade de giro do motor.

Figura 6 – Esquema da máquina padronizada de R.R. Moore para ensaios de fadiga [4]. Os resultados de numerosos testes na máquina de Moore indicam que os materiais ferrosos apresentam um limite de fadiga em flexão rotativa S’L (chamado de endurance limit S’n na Figura 5) que se define como o maior valor de tensão que pode ser suportado indefinidamente pelo material sem falhar por fadiga. O cotovelo das curvas (de materiais com S’L bem definido) ocorre geralmente entre 106 e 107 ciclos. Para materiais ferrosos considera-se, conservativamente, que o limite de fadiga corresponde a 106 ciclos. Devido a que as falhas por fadiga se originam em pontos localizados os resultados dos testes são bem mais dispersos quando comparados com testes estáticos. Por exemplo, o coeficiente de variação V = σσσσ/µµµµ (desvio padrão/média) do limite de fadiga varia na faixa de 4 a 9 %. Com freqüência considera-se um desvio de 8 % do limite de fadiga nominal como uma estimativa conservativa. Extensos programas de fadiga conduzidos nas últimas décadas mostram que o comportamento á fadiga de materiais ferrosos segue alguns padrões. O mas utilizado destes padrões se mostra na Figura 7. Conhecendo a dureza (HB [kg/mm 2]) pode se determinar a resistência à tração do material (Su [MPa]=3.4 HB , Su [Ksi]=0.495 HB ) e obter uma boa aproximação de S’L=0.5 Su. Estas estimativas são válidas para HB<400. Acima desse valor o limite de fadiga pode ou não continuar aumentando como mostrado na Figura 8. Para aços com dureza superior aos 400 HB ou Su > 1400 MPa considera-se S’L = 700 MPa. A resistência à fadiga dos ferros fundidos é similar à dos aços, com a diferença que o limite de fadiga corresponde a 0.4 (e não 0.5) vezes a Su. Para ligas de alumínio forjado a resistência à fadiga Sf(5E8) = f(Su) se calcula de acordo com os dados da Figura 9. Se ao invés de flexão rotativa aplicássemos flexão alternada a espécimes Sf N, as chances de surgimento de uma trinca são menores pois as tensões máximas e mínimas não se distribuem uniformemente em toda a periferia da seção crítica. A resistência à



fadiga em flexão alternada deve ser, por tanto, maior do que aquela medida em flexão rotativa. Na prática estas diferenças são pequenas e geralmente desprezadas. Assim, para problemas envolvendo flexão alternada se utilizam os dados de flexão rotativa com um pequeno e conservativo erro introduzido deliberadamente.

Figura 7 – Curva Sf N normalizada com dados de vários aços [4]. Em carregamento axial alternado toda a seção transversal estará submetida à tensão máxima. Pelos mesmos motivos mencionados acima os testes fornecem um limite de fadiga menor (~10%). Para considerar também o incremento Mc/I nas tensões P/A em um dos lados de espécimes em tração alternada com pequenas excentricidades de carga (inevitáveis durante os ensaios), muitas vezes o limite de fadiga de flexão rotativa se reduz entre 20 e 30% para carregamento axial. Devido a que as reduções mencionadas acima estão relacionadas com o gradiente de tensões, Juvinall [4] introduz o fator de correção do gradiente CG onde CG = 0.9 para carregamento axial puro e CG = 0.7−−−−0.9 para carregamento axial de peças com pouca precisão, onde as chances da existência do fletor superposto são maiores. Observe que o fator CG modifica apenas o limite de fadiga S’L de espécimes de flexão rotativa (testados na máquina de Moore). Em geral para uma queda mais acentuada do nível das tensões a partir da superfície (maior gradiente) maior a resistência à fadiga. Espécimes de diâmetro maior do que o padrão (7,6 mm ) em flexão ou torção alternada apresentam gradientes desfavoráveis, como mostrado na Figura 10. Para peças a partir dos 10 mm de diâmetro, em flexão e torção alternada, recomenda-se um CG = 0.9, o mesmo que para carregamento axial. Para seções não circulares o fator CG se define em termos de uma seção circular equivalente que tem o mesmo gradiente das tensões. Por exemplo, para uma seção retangular em flexão, se as fibras tracionadas e comprimidas estão separadas uma distância >10 mm deve-se usar CG = 0.9. Sendo o gradiente das tensões também o responsável pela resistência à fadiga em 1000 ciclos , considera-se Sf(1E3)axial = 0.75 Su.



Figura 8 – Limite de fadiga versus dureza para quatro ligas de aços [4]. Observe que HB≈≈≈≈10HRC (de 20−−−−64 HRC)

Figura 9 – Resistência à fadiga Sf (5E8) de algumas ligas de alumínio forjado [4]. Como as falhas por fadiga estão relacionadas com o escoamento plástico localizado e a teoria da energia de distorção máxima tem se mostrado efetiva para explicar o escoamento em metais dúcteis, não é surpresa que esta teoria sirva também para prever o limite de fadiga S’L de materiais dúcteis sob várias combinações de estados tensionais biaxiais reversos, incluindo o de cisalhamento puro, como mostrado na Figura 11. Assim, para materiais dúcteis, o limite de fadiga em torção alternada é ~58% do S’L em flexão



rotativa (S’L_torção = CL S’L= 0.58 S’L), onde CL é o fator de carga. Como as tensões de torção tem gradientes similares às tensões de flexão, em 1000 ciclos a resistência à fadiga é também considerada igual a 0.9 vezes o limite de resistência ao cisalhamento Sf(1E3)torção = 0.9 Sus. Se não há valores de Sus disponíveis estes podem ser aproximados por Sus = 0.8 Su para materiais dúcteis.

Figura 10 – Gradientes de tensão em função do diâmetro para flexão e torção [4].

Figura 11 – Limite de fadiga para materiais dúcteis e carregamento biaxial completamente reverso, conjuntamente com a elipse de Mises [4]



As observações anteriores estão resumidas na Figura 12. As curvas são estimativas para espécimes de aço polidos e ignoram o escoamento localizado nos pontos críticos. Existem poucos dados para indicar um procedimento padrão para estimar as curvas Sf N em torção para materiais frágeis. Entretanto, às vezes assume-se um S’L = 0,8 S’L (uma aproximação que corresponde de alguma forma com a teoria de Mohr) e Sf(1E3) = 0,9 Sus.

Figura 12 – Curvas SN generalizadas para espécimes de aço de 0.3 in. (7,6 mm ) polidos [4].

Para materiais frágeis e estados de tensão biaxiais Juvinall [4] recomenda o uso da teoria de Mohr para obter uma tensão alternada equivalente considerada como a tensão de flexão rotativa da curva SN. Para considerar a influência do estado da superfície de peças reais na resistência à fadiga do material se introduz o fator de acabamento superficial Cs. A Figura 13 mostra os valores de Cs em função de Su. Em todos os casos se multiplica o limite de fadiga do material S’L pelo fator Cs para obter o limite de fadiga da peça com a rugosidade superficial definida pelo processo de fabricação ou usinagem. Não se aplica esta correção ao S(1E3) devido a que a resistência estática do material Su é pouco sensível ao acabamento superficial. Na forma analítica é possível calcular o Cs de acordo com as recomendações de Shigley e Mischke [1] para aços. Para Su em MPa ou Ksi e dependendo do estado da superfície os fatores CS se mostram na Tabela 1. Infelizmente há pouca informação publicada sobre o Cs em materiais diferentes do aço. Para uma confiabilidade diferente de 50% (que é a utilizada nas curvas Sf N padrão) o limite de fadiga deve ser afetado pelo fator de confiabilidade CR. A distribuição de Sf(N) é considerada gaussiana. A partir desta consideração é possível construir a Tabela 2 com os coeficientes CR para diferentes coeficientes de variação V(Sf) e probabilidades de falha.



Figura 13 – Fatores de acabamento superficial Cs para aços [4].

Tabela 1 – Expressões analíticas para os fatores de superfície CS [1].

Fatores de Superfície C S [1] Estado da Superfície Su [MPa] Su [Ksi]

Polimento 1 1 Retificado 1,58 Su

−−−−0,086 1,34 Su −−−−0,086

Laminado a frio ou usinado 4,45 Su −−−−0,265 2,67 Su

−−−−0,265 Laminado a quente 56,1 Su

−−−−0,719 14,5 Su −−−−0,719

Forjado 271 Su −−−−0,995 39,8 Su

−−−−0,995 Tabela 2 – Coeficiente de confiabilidade CR da resistência à fadiga Sf(N) para diferentes

coeficientes de variação V(Sf) e probabilidades de falha.

Valores de C R(R) para várias confiabilidades e coeficientes de v ariação V(S f)

Fração da probabilidade

de falha

Probabilidade de falha P [%]

Conf. R [%]=1-P

Z(R) Coeficiente de variação

V(Sf)=σσσσ(Sf)/µµµµ(Sf)

3% 6% 8% 10%

1/2 50 50 0 1 1 1 1

1/10 10 90 −1.28 0.962 0.923 0.898 0.872

1/100 1 99 −2.33 0.930 0.860 0.814 0.767

1/1000 0.1 99.9 −3.09 0.907 0.815 0.753 0.691

1/10000 0.01 99.99 −3.72 0.888 0.777 0.702 0.628



Por último, quando a temperatura de trabalho for superior aos 350oC e inferior aos 500oC Shigley [1] recomenda um fator de temperatura CT = 0.5 que deve afetar os dois pontos da curva Sf N. Resumo do procedimento para determinação da curva d e resistência à fadiga. Da discussão anterior pode-se concluir que a resistência à fadiga para materiais dúcteis em flexão rotativa e sob razão de carga R=−−−−1 pode ser descrita pela relação parabólica:

CSN Bf =

Eq. 4 onde B e C são constantes de ajuste, as assim chamadas propriedades do material. Alguns fatores devem ser aplicados aos dois pontos significativos da curva (Sf(1E3); S’L), com o objetivo de aproximar os resultados de laboratório com o comportamento esperado da peça em serviço. Após estas modificações as constantes B e C podem ser consideradas propriedades da peça e a curva de fadiga pode ser utilizada para o projeto mecânico em fadiga. Na ausência de dados mais específicos, os pontos extremos da curva Sf N (1E3, Sf(1E3)) e (1E6, SL), para aços, podem ser estimados pelas relações:

( )( ) LTRSGLLf

uTf

'SCCCCCS6E1S

SC9.03E1S

==

=

Eq. 5 Devido à maior disponibilidade de informações experimentais, os fatores de correção da carga CL, do gradiente CG, de superfície CS e de confiabilidade CR são mais confiáveis para aços. A Tabela 3 mostra um resumo destes fatores para materiais dúcteis. Em todos os casos, considerar o tipo de carregamento para a curva de resistência à fadiga da peça é útil apenas quando existe um único tipo de carregamento aplicado. Se por exemplo, uma peça sofre principalmente esforço torçor, deve-se utilizar a curva de fadiga da peça em carregamento torcional puro (Figura 9). Quando o carregamento é combinado, devem-se calcular as componentes alternadas e médias de Mises (ver Análise das Tensões) e utilizar, para a resistência, a curva de flexão rotativa da Figura 9.

Tabela 3 – Resistência à Fadiga de materiais dúcteis [4]. a) Resistência em 106 ciclos (limite de fadiga)a Flexão: SL = CL CG CS S’L Axial: SLA = CL CG CS S’L Torção: SLS = CL CG CS S’L onde S’L é o limite de fadiga em flexão rotativa (≈≈≈≈ 0,5 Su ≈≈≈≈ 0,5 (3.4 HB) ≈≈≈≈ 1,73 HB (Su

em MPa) para aços, na ausência de melhores dados) Flexão Axial Torção Fator de Carga CL 1 1 0.58 Fator do gradiente das tensões



CGb

diâmetro < 10 mm 1 0.7 a 0.9 1 10 mm≤ diâmetro ≤ 50 mm 0.9 0.7 a 0.9 0.9 Fator de superfície CS ver Figura 13 ou Tabela 1. b) Resistência em 103 ciclos Flexão Sf (1E3) = 0.9 Su = 3.1 HB

(em MPa)

Axial Sf (1E3) = 0.75 Su Torção Sf (1E3) = 0.9 Sus

c Notas: 1 – Para confiabilidades nos dados SN diferentes de 50 %, multiplicar os SL`s por

CR, onde CR(50%) = 1, CR(90%) = 0.897, CR(95%) = 0.868, CR(99%) = 0.814, CR(99.9%) = 0.753 para um coeficiente de variação de 8% nos dados do limite de fadiga.

a) Para materiais que não apresentam limite de fadiga bem definido, aplicar os fatores à resistência em 108 ou 5 x 108 ciclos.

b) Para diâmetros entre 50 e 100 mm reduzir os fatores em 0.1 e para diâmetros até 150 mm reduzir em 0.2.

c) Sus = 0.8 Su para aços; Sus = 0.7 Su para outros metais dúcteis. Exemplo 1 – Encontre expressões para as constantes de ajuste da curva de fadiga de uma peça cujos pontos extremos podem ser estimados pela Eq. 5 (NSf

B = C). Nota: Em todos os exemplos destas notas de aula a curva de fadiga do material em flexão rotativa pode ser aproximada pelos pontos (103; 0,9 Su) e (106; 0,5 Su) . São válidas também as aproximações HB ≅≅≅≅ 10 HRC, Su [MPa] = 3,4 HB e Su [KSi] = 0,495 HB . Solução: Como a reta (em coordenadas log-log) da equação NSf

B = C passa pelos pontos (1E3, 0.9 Su) e (1E6, SL) e a constante C é única temos:

( ) ( )

=⇒=

⇒==

L

u

B

L

uBL

Bu

S

S9.0log

3B3E1

S

S9.0S6E1S9.03E1C

Eq. 6 Exemplo 2 – Calcule a resistência à fadiga em 2E5 ciclos com 99% de confiabilidade de uma peça de aço com 36HRC, usinada, com uma seção crítica de 18x36mm e que trabalha sob flexão alternada. Solução: Primeiramente estimamos a resistência à ruptura estática do material a partir da dureza: Su = 34·36 = 1224 MPa. Com este valor encontramos a seguir o ponto Sf(1E3) = 0.9⋅⋅⋅⋅Su = 1166 MPa. Pela Tabela 3 selecionamos para carregamento de flexão rotativa (considerando, conservativamente, que os efeitos da flexão alternada são iguais aos de flexão rotativa) CL = 1. Como o tamanho da peça está acima dos 10 mm utilizaremos CG = 0.9. Para superfície usinada na Figura 13 teremos CS ≈≈≈≈ 0.68 (observe que um resultado similar



pode ser obtido pela estimativa analítica da Tabela 1 (CS = 4.45·Su

−−−−0.265 = 4.45·(1224)−−−−0.265 = 0.68). Por último, para 99% de confiabilidade CR = 0.814. O limite de fadiga da peça será: SL = (1)(0.9)(0.68)(0.814)·0.5·Su = 305 MPa. Tendo os dois pontos da curva de fadiga da peça calculamos as constantes B e C pelas equações desenvolvidas no Exemplo 1:

( ) 20E22.0S9.03E1C

;38.5

305

1166log

3

S

S9.0log

3B

Bu

L

u

==

=

=

=

A resistência à fadiga desta peça em 1E5 ciclos será:

MPa4685E1

C)5E1(S

B

1

f =

=



Análise das Tensões Por ser a fadiga um tipo de falha local não é necessário, em geral, fazer uma análise global das tensões na peça. Os conhecimentos básicos de cursos de mecânica dos materiais são suficientes para conduzir a análise local das tensões devidas aos esforços internos. É claro que em configurações mais complexas será necessário utilizar métodos numéricos para a determinação das tensões. No método SN assume-se um comportamento linear elástico, logo as tensões se relacionam com as deformações pela lei de Hooke em 3D. Por esse motivo nas aplicações práticas, quando não se conhecem com precisão as cargas atuantes, as tensões podem ser estimadas a partir de leituras extensométricas. Por exemplo, para rosetas de 45º com leituras εεεεa, εεεε45 = εεεεb e εεεε90 = εεεεc, as deformações principais εεεε1 e εεεε2 e as tensões principais σσσσ1 e σσσσ2 no ponto de interesse podem ser calculadas pelas conhecidas fórmulas:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )12222121

2cab

2caca2,1

1

E

1

E

22

1

νεεν

σνεεν

σ

εεεεεεεε

+−

=+−

=

−−+−±+=

Eq. 7 As trincas são geradas pela movimentação cíclica das discordâncias, logo as tensões que as provocam devem ser calculadas pelos critérios de escoamento. Isto explica a boa correspondência exibida pelos dados da Figura 11 entre a teoria da energia de distorção e o limite de fadiga (em alto ciclo) de materiais dúcteis submetidos a diversas combinações de carregamento alternado biaxial. Por este motivo alguns autores recomendam, para materiais dúcteis, transformar a amplitude das tensões biaxiais em uma amplitude uniaxial equivalente aσ~ (por Mises) e relacionar esta tensão com a curva Sf N do material para

flexão rotativa. Observe que esta recomendação só será válida para as σσσσa ou ττττa devido a que os dados da Figura 11 correspondem a R = −−−− 1. Em fadiga é importante considerar o efeito da concentração de tensões em diferentes tipos de descontinuidades da peça. Estas descontinuidades serão genericamente chamadas de entalhes. O seguinte tópico trata em detalhes deste problema. Concentração das tensões em fadiga É comum ignorar os efeitos de concentração de tensões em materiais dúcteis submetidos a cargas estáticas devido a que após o escoamento a inclinação da curva σσσσεεεε diminui evitando um incremento excessivo das tensões. A Figura 14 mostra o comportamento característico dos fatores de concentração das tensões e deformações em entalhes de materiais dúcteis em carregamento estático. Após o escoamento localizado as deformações crescem muito mais do que as tensões, como o demonstram as curvas Kεεεε/Kt e Kσσσσ/Kt. Em carregamento alternado de amplitude constante ou variável os concentradores das tensões reduzem a resistência à fadiga dos componentes de engenharia, como



conseqüência das elevadas tensões e deformações locais que provocam o início das trincas.

Figura 14 – Comportamento dos fatores de concentração das tensões Kσσσσ = σσσσ/σσσσn e das deformações Kεεεε = εεεε/εεεεn (onde σσσσn e εεεεn são as tensões e deformações nominais e σσσσ e εεεε são

as tensões e deformações locais), antes e depois do escoamento em entalhes [10]. O valor de Kt (ou de Kts onde o subscrito s se utiliza para tensões cisalhantes) não depende do material da peça, apenas da geometria e do tipo de solicitação. A Figura 15 mostra um exemplo de um gráfico adimensional para calcular o Kt em função da geometria e do tipo de carregamento. Muitos outros gráficos e expressões analíticas para calcular o Kt ou o Kts, para diferentes combinações de geometrias e carregamentos, estão disponíveis nas referências. É importante definir se a tensão nominal está referida à área liquida ou à área total. O mais comum é definir σσσσn em termos da área líquida, como é o caso da Figura 15. Em fadiga e no regime elástico, a amplitude da tensão local σσσσa = Kt σσσσna e ττττa = Kts ττττan.

Figura 15 – Fator de concentração das tensões Kt para uma barra retangular de espessura t submetida a um fletor M [2].

1

1

Kεεεε/KtKσσσσ/Kt

raiz doentalheelástica

escoamentona raiz doentalhe

Ktσσσσn/Sy1

1




Ktσσσσn/Sy1

1




Ktσσσσn/Sy




Ktσσσσn/Sy



Imagine dois espécimes submetidos à mesma tensão local σσσσa, porém um deles liso ou com uma pequena curvatura de maneira que o Kt = 1, ou seja, com σσσσa = σσσσan, e outro entalhado com σσσσa = Kt σσσσan. Em fadiga os dois espécimes deverão ter a mesma vida já que experimentam as mesmas σσσσa. Em coordenadas σσσσan x N a resistência à fadiga deverá ser Kt vezes menor para o espécime entalhado. Na prática, no entanto, não é isto o que se verifica. Principalmente na região do limite de fadiga e para entalhes afiados, as curvas tensão nominal (Sf ou σσσσan) versus número de ciclos N, diferem por um fator Kf < Kt, como mostrado na Figura 16. As diferenças entre Kf e Kt são principalmente atribuídas ao gradiente das tensões no ponto crítico da peça. Se este ponto está localizado em uma superfície plana ou no fundo de um entalhe arredondado o valor da tensão máxima nas fibras extremas define o limite de fadiga. Para raios de entalhe pequenos a tendência é ao aumento destas diferenças, como mostrado na Figura 17. Para estes entalhes afiados com elevados gradientes das tensões as teorias de Peterson [8] e Neuber [7] consideram que o material não seria sensível à amplitude local máxima das tensões e sim a uma tensão média em uma região bem pequena, porém finta, na frente do entalhe, chamada de zona de processamento (zp) ou distância crítica.

Figura 16 – Curvas Sf N para espécimes de aço lisos e entalhados. O Kf se define formalmente apenas para vida infinita.

A metodologia clássica para tratar da concentração das tensões em fadiga baseia-se no fator de sensibilidade ao entalhe q, definido pela equação:

1K

1Kq

t

f

−−

=

Eq. 8 onde q varia entre zero (resultando em Kf = 1 ou mínima sensibilidade) e a unidade (resultando em Kf = Kt ou máxima sensibilidade). Os valores de q e consequentemente de Kf podem ser estimados a partir de constantes empíricas propostas por Peterson cP e Neuber cN.


ρρNP c

1

1q

c1

1q

+=

+=

Figura 17 – Dados de Kf (no limite de fadiga)

Substituindo a Eq. 9 na Eq. 8 Neuber:

ρP

tf c

1

1K1K

+

−+= Peterson

ρN

tf

c1

1K1K

+

−+= Neuber

onde cP e cN (em unidades de comprimento) resistência à tração Su do material.carregamento axial e de flexão


N

(no limite de fadiga) para vários rádios de entalhe em espécimes de aço em flexão rotativa [9].

é possível obter expressões para o Kf por Peterson e

Peterson

(em unidades de comprimento) são constantes empíricas do material. A constante proposta por Peterson

carregamento axial e de flexão, se calcula pela seguinte expressão:

Página 19 de 47

Eq. 9

para vários rádios de entalhe em espécimes

por Peterson e

Eq. 10

Eq. 11

empíricas que dependem da Peterson cP, para aços em



( )MPa2070S34510mm,c

01103.0S3E309.1S7E654.2clog

uclog

P

u2

uP

P ≤≤=

+−−−=

Eq. 12 Para torção é necessário multiplicar os valores de cP da Eq. 12 por 0.6. Para alumínios Peterson fornece um valor fixo de cP = 0.51 mm . A Figura 18 mostra o fator q de acordo com Peterson.

Figura 18 – Curvas de sensibilidade ao entalhe [4]. A expressão para a constante de Neuber cN para aços e para alumínios, respectivamente, está dada pelas equações Eq. 13 e Eq. 14:

( )MPa1725S34510mm,c

6404.0S3E74.3S6E74.2S9E079.1clog

uclog

N

u2

u3

uN

N ≤≤=

+−−−+−−=

Eq. 13

NclogNu

2u

3uN 10mm,c;451.1S3E24.8S5E422.1S9E402.9clog =+−−−+−−=

Eq. 14 Uma diferença fundamental entre os dois métodos é que Neuber não faz distinção entre os carregamentos de flexão e torção, como o faz Peterson (Figura 18). Isto de certa forma facilita os cálculos pois, dependendo apenas do material, haverá um único q para flexão e torção. Para aços, a Figura 19 mostra uma comparação entre os fatores de sensibilidade ao entalhe por Peterson e Neuber, de acordo com as equações Eq. 12 e Eq. 13, respectivamente.



Entalhes bem mais afiados, quase trincas, devem ser tratados pela mecânica da fratura. A referência [11] pode ser consultada para mais detalhes. Nos exemplos destas notas de aula utilizaremos indistintamente os fatores de sensibilidade ao entalhe de Peterson e Neuber.

Figura 19 – Comparação entre os fatores de sensibilidade ao entalhe por Peterson (Eq. 12) e Neuber (Eq. 13), para aços.



Cargas médias em fadiga Curvas de resistência à fadiga como a da Figura 7 geralmente são obtidas para uma razão de carga R = −−−− 1. Quando as cargas médias são diferentes de zero as curvas Sf N seguem o padrão mostrado na Figura 20. Uma mesma vida em fadiga só poderá ser obtida para razões de carga R crescentes diminuindo a amplitude das tensões aplicadas. Esta forma de interpretar os dados da Figura 20 se mostra na Figura 21. Curvas como a da Figura 20 não estão geralmente disponíveis. Cada uma das curvas que compõem esta figura consome cerca de 50 corpos de prova o que gera custos elevados. Ainda que fosse barato e fácil obter uma curva σσσσa x σσσσm, ela nem sempre corresponderia exatamente com a tensão média atuante no componente de interesse. Uma forma diferente de analisar os dados da Figura 20 consiste em plotar os pares de valores (σσσσa, σσσσm) que produzem as mesmas vidas. O resultado são curvas que correspondem a uma mesma vida em fadiga (daí o nome de diagramas de vida constante DVC) em coordenadas σσσσa x σσσσm como mostrado na Figura 22. É mais fácil visualizar na Figura 22 a necessária queda na amplitude das tensões para obter uma mesma vida quando a tensão média cresce no sentido trativo. Os dados da Figura 22 ainda podem ser apresentados de uma forma adimensional dividindo a amplitude das tensões para qualquer razão de carga σσσσa(R) pela amplitude em R = −−−− 1, já definida acima como σσσσar. O resultado se mostra na Figura 23. Desta forma é possível consolidar os dados correspondentes a vários níveis de tensões médias e de vidas em uma única curva, cujo ajuste fornece uma equação representativa do efeito das cargas médias na resistência à fadiga. Observe que a tensão média σσσσm deve se aproximar do limite de ruptura do material Su quando a amplitude das tensões aplicadas se aproxima de zero. Por este motivo a interseção no eixo das abscissas do diagrama de vida constante normalizado deve acontecer em σσσσm/Su = 1.

Figura 20 – Curvas Sf N em carregamento axial para várias cargas médias σσσσm em espécimes lisos Kt = 1. Cada curva une as resistências médias para diferentes lotes do

material [9].



Figura 21 – Ciclos de carregamento que provocam o inicio de uma trinca por fadiga em igual número de ciclos. Na medida que a razão de carga R cresce, uma menor amplitude

de carga pode ser aplicada para obter a mesma vida em fadiga [4]. Os diagramas de vida constante fornecem a amplitude da tensão totalmente reversa σσσσar que causa o mesmo dano na peça do que as combinações ma σσ ~,~ (o til acima dos símbolos indica tensões equivalentes) para um dado material com Su conhecido. Diversas equações têm sido propostas para ajustar os dados da Figura 23. Duas delas, a reta de Goodman (Eq. 15) e a parábola de Gerber (Eq. 16) se mostram na figura.

Figura 22 – Diagrama de vida constante para o alumínio 7075 − T6 a partir dos dados da Figura 20 [9].



Figura 23 – Diagrama de vida constante normalizado para os dados do alumínio 7075-T6 da Figura 22 [9]. O mesmo diagrama pode ser aplicado a estados tensionais biaxiais,

trocando-se as σσσσa, σσσσm pelas respectivas tensões equivalentes ma σσ ~,~ .

Goodman1S

~FS~FS

u

m

ar

a =+ σσ

σ

Eq. 15

Gerber1S

~FS~FS2

u

m

ar

a =

+ σ

σσ

Eq. 16 Uma melhor correspondência com dados de materiais dúcteis se consegue substituindo o limite de resistência Su pela resistência à fratura (em termos da tensão verdadeira) corrigida fBσ~ ou pela constante σσσσ’ f. Para as definições destas propriedades e uma

discussão sobre outras equações que permitem ajustar os DVC normalizados, os alunos podem consultar a referência [9]. Se as constantes de ajuste B e C da Eq. 4 correspondem a dados obtidos com R = −−−− 1, como ocorre geralmente, sobretudo no caso de curvas estimadas para aços a partir das tendências observadas na Figura 7, na Eq. 4 a igualdade Sf = σσσσar é válida. Nestes casos a partir das equações (Eq. 4, Eq. 15 e Eq. 16) podemos obter uma relação tensão x vida mais general, incluindo o efeito das tensões médias trativas:

GoodmanN

C

S

~FS1

FS

1~B/1

u

ma

−= σσ

Eq. 17



GerberN

C

S

~FS1

FS

1~B/12

u

ma

−= σσ

Eq. 18 Observe que as equações Eq. 18 e Eq. 19 são reconhecidamente equações de projeto mecânico em fadiga que permitem calcular uma das seguintes incógnitas:

• Número de ciclos para a falha de um componente mecânico por fadiga. • Fator de segurança para um carregamento conhecido e para uma determinada

vida em fadiga. • Máximo carregamento que pode ser aplicado a um componente sem que o mesmo

falhe por fadiga com um determinado fator de segurança. • Geometria necessária no componente para suportar o carregamento aplicado sem

falhar por fadiga. É claro que para poder utilizar as equações de projeto precisamos definir as expressões das tensões equivalentes. Este será o assunto do próximo tópico.



Tensões equivalentes Como discutido acima para estados biaxiais a amplitude da tensão equivalente de Mises tem se mostrado efetiva para prever o limite de fadiga em R = −−−− 1 de materiais dúcteis. Além do subscrito a (de amplitude), a expressão para a aσ~ em fadiga difere da bem conhecida equação da tensão equivalente de Mises para carregamento estático (com uma das componentes de tensões normais igual a zero), pelo fato de incluir os efeitos da concentração das tensões:

( ) ( )2afs

2afa K3K~ τσσ +=

Eq. 19 No caso de carregamentos médios superpostos às aσ~ o efeito na amplitude equivalente necessária para provocar a falha já foi visualizado na Figura 23. Se estes carregamentos médios forem estáticos (amplitude zero) a metodologia recomendada consiste em considerar que a variável que controla o efeito das cargas médias mσ~ é proporcional ao valor estático da tensão normal hidrostática:

zmymxmm3m2m1m~ σσσσσσσ ++=++=

Eq. 20 A justificativa para não calcular também o mσ~ por Mises é que esta teoria fornece a mesma tensão equivalente em tração e compressão, sendo que as tensões médias compressivas não têm o mesmo efeito de reduzir a aσ~ admissível que têm as tensões trativas, como mostrado na Figura 23. Juvinall [4] propõe utilizar apenas a tensão principal máxima, resultante da superposição de todas as tensões médias existentes:

( )2mfs

2

mfmfm K

2

K

2

K~ τσσ

σ +

+=

Eq. 21 O procedimento recomendado acima para calcular as tensões equivalentes deve ser utilizado primariamente sob as seguintes condições:

• Carregamentos periódicos, da mesma freqüência e em fase. • Eixos principais fixos (θθθθp = cte ) para as componentes alternadas e médias.

Estas condições são satisfeitas, por exemplo, no caso de um cilindro de paredes finas com tampas, submetido a uma pressão interna variável com o tempo e a um fletor constante superposto às tensões σσσσ2, como mostrado na Figura 24. Neste caso as σσσσm geradas pelos ciclos de σσσσ1 e σσσσ2 podem ser tratadas como estáticas, calculando o valor de

mσ~ pela Eq. 20 ou pela Eq. 21.


Uma boa revisão sobre diverssubmetidos a histórias de carregamento não proporcionais (na referência [13].

Figura 24 – Superposição de pressãocom tampas. As direções principais são constantes [

Exemplo 3 – A viga em balanço mostrada na figura é (Su = 80 Ksi, S’L = 40 Ksi), de seção circular maciça e está submetida a um carregamento cíclico senoidal entre − F e 3Fsuportar para vida infinita em fadiga (por Gerber), com Considere apenas a região da mudança de diâmetros para os cálculos. O de 1,38.

Figura Solução:


Uma boa revisão sobre diversos outros modelos para projeto de elementos de máquinas submetidos a histórias de carregamento não proporcionais (θθθθp = f(t) ) pode ser encontrada

de pressão cíclica e fletor constante em tubo de parede fina com tampas. As direções principais são constantes [

A viga em balanço mostrada na figura é de aço 1025 laminado a frio ), de seção circular maciça e está submetida a um carregamento

3F. Calcule o valor máximo de F que este membro pode em fadiga (por Gerber), com 99 % de confiabilidade e

penas a região da mudança de diâmetros para os cálculos. O

Figura 25 – Corresponde ao Exemplo 3.

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os outros modelos para projeto de elementos de máquinas ) pode ser encontrada

cíclica e fletor constante em tubo de parede fina com tampas. As direções principais são constantes [9].

de aço 1025 laminado a frio ), de seção circular maciça e está submetida a um carregamento

que este membro pode de confiabilidade e FS = 2.

penas a região da mudança de diâmetros para os cálculos. O kf nesta seção é



Resistência à Fadiga: O estudante deve conferir os valores dos seguintes fatores: CL = 1; CG = 0.9, CS = 0.83 e CR = 0.814. O limite de fadiga da peça será: SL = 24497 psi. Análise das Tensões: Considere uma carga F atuando para baixo na extremidade esquerda da viga. O momento fletor na seção AB provocado por esta carga F será MAB = F⋅l, onde l = 5”. Como F varia de Fmin =− F até Fmáx = 3F o fletor irá variar também entre Mmin = − MAB e Mmax = 3MAB, logo com uma componente média Mm = (Mmax + Mmin)/2 = MAB e uma alternada Ma = (Mmax − Mmin)/2 = 2MAB. De acordo com as Eq. 19 e Eq. 21 teremos:

ππσ

ππσ

F8.3532

d

M32k~

F4.1766

d

M32k~

3a

fa

3m

fm

==

==

Substituindo em Gerber e resolvendo teremos:

lb7.10F180000

F4.17662

24497

F353221

S

~FS

S

~FS22

u

m

L

a =⇒=

⋅+⋅⇒=

+

ππσσ

Exemplo 4 – Um corpo de prova de aço de seção retangular 5 x 10 mm, com uma dureza de 300 HB, é submetido a um ensaio de fadiga de alto ciclo em carregamento axial. Por motivos operacionais não foi possível aplicar um carregamento senoidal completamente reverso, optando-se por ciclos pulsantes (R = 0). Estime por Gerber a carga axial máxima que, com um fator de segurança FS = 1, pode ser colocada na máquina de maneira que as tensões aplicadas sejam equivalentes ao limite de fadiga do material. Solução: Para carregamento axial “puro” as tensões aplicadas são iguais às equivalentes. Em um corpo de prova “decentemente” usinado espera-se que kf = 1. Note também que para um carregamento senoidal com R = 0 a componente alternada das tensões é igual à média σa = σm, o que permite reduzir a expressão de Gerber para:

( ) ( )2

S8S2

2

S4S2S2

0SS21SS

2

2

S'S

1S'S

0R1S'S

uu2u

2uu

a

2uau

2a

2

u

a

u

auL

2

u

a

L

ama

2

u

m

L

a

±−=−−±−

=

=−+⇒=

+⇒=

=

+⇒=⇒==

+

σ

σσσσ

σσσσσσ

Como σa não pode ser negativo teremos:

( ) ( ) uuuuuu

a S122

12S2

2

S22S2

2

S8S2−=

−=

+−=

+−=σ



As tensões serão σa = Pa/A, onde A = 50 mm2 é a área do espécime. Em R = 0 Pmáx = 2 Pa logo σa = ½ P máx/A. Substituindo na equação acima teremos:

( ) ( ) umáxumáx

a S12A2PS12A2

P −=⇒−==σ

Lembrando agora da relação Su = 3,4 HB teremos:

( ) ( ) KN25,423004,312502HB4,312A2Pmáx =⋅−⋅=−=


Acúmulo de Dano Cargas de amplitude constante podem atuar durante esquematicamente na Figura pode ocorrer em cada reversão do carregamento, como mostrado na

Figura 26 – Esquema ciclos de tensões de amplitude constante (esquerda) e va

Nestes casos, para fins de projeto se utiliza a proposta independentemente por Palmgren na Suécia (1924) e por Miner nos Estados Unidos (1945). O conceito subjacente é muito simples: se uma peça falha em sob um carregamento Fi, cada ciclo deste carregamento consome uma parte em A falha por fadiga deve ocorrer quando o matemáticos, seja ni o número de ciclos em que apenas Fi atuasse (pelos métodos já descritos), então a falha deverá acontecer quando:

∑ =

=++++

i i

i

i

i

3

3

2

2

1

1

1N

n

1N

n...

N

n

N

n

N

n

Onde ni é o número de ciclos de aplicação do iuma situação em que seja possível identificar teremos:

∑ =i i

i 1N

nβ

Pode-se aplicar diretamente a regra de Palmgrenesquerda. Já o carregamento identificar o conjunto {ni, σai, σ


Cargas de amplitude constante podem atuar durante n ciclos, como mostrado Figura 26 (esquerda). De igual forma, a variação da amplitude

pode ocorrer em cada reversão do carregamento, como mostrado na Figura

ciclos de tensões de amplitude constante (esquerda) e va(direita).

Nestes casos, para fins de projeto se utiliza a regra linear de acúmulo de danoproposta independentemente por Palmgren na Suécia (1924) e por Miner nos Estados Unidos (1945). O conceito subjacente é muito simples: se uma peça falha em

, cada ciclo deste carregamento consome uma parte em A falha por fadiga deve ocorrer quando o 100 % da vida for gasta. Em termos

o número de ciclos em que Fi atua e seja Ni a vida calculada caatuasse (pelos métodos já descritos), então a falha deverá acontecer quando:

é o número de ciclos de aplicação do i-éssimo evento de carregamento ossível identificar ββββ blocos de um mesmo carregamento

se aplicar diretamente a regra de Palmgren-Miner a blocos como o da esquerda. Já o carregamento da Figura 26 à direita requer de um método que perm

σmi}. A melhor maneira de fazer isto é mediante uma

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ciclos, como mostrado . De igual forma, a variação da amplitude

Figura 26 à direita.

ciclos de tensões de amplitude constante (esquerda) e variável

regra linear de acúmulo de dano , proposta independentemente por Palmgren na Suécia (1924) e por Miner nos Estados Unidos (1945). O conceito subjacente é muito simples: se uma peça falha em Ni ciclos

, cada ciclo deste carregamento consome uma parte em Ni ciclos. da vida for gasta. Em termos

a vida calculada caso atuasse (pelos métodos já descritos), então a falha deverá acontecer quando:

Eq. 22

éssimo evento de carregamento Fi. Para blocos de um mesmo carregamento

Eq. 23

Miner a blocos como o da Figura 26 à à direita requer de um método que permita

}. A melhor maneira de fazer isto é mediante uma



contagem Rain-Flow. A contagem Rain-Flow deve ser realizada seguindo 3 regras simples [10]:

1. Numerar sequencialmente todos os picos e vales. 2. Iniciar a contagem em seqüência de cada pico e vale parando quando:

• Encontrar um pico ≥ ou um vale ≤ do que o ponto inicial • Uma contagem iniciada anteriormente • Acabar a história do carregamento

3. Contar ½ ciclo entre o ponto inicial e o maior contrário encontrado na contagem. Vários outros métodos para contagem de ciclos em fadiga sob cargas de amplitude variável são discutidos na norma ASTM E 1049-85 “Standard Practices for Cycle Counting in Fatigue Analysis”.



Uma metodologia específica para o projeto à fadiga de eixos de transmissão de potência Eixos são elementos de máquinas que giram e transmitem a potência a través das engrenagens, polias, e rodas denteadas a ele acopladas. É possível também que o eixo não gire e nem transmita potência, como no caso em que este se utiliza para suportar as rodas não motrizes de um automóvel. Os eixos que suportam engrenagens intermediárias podem ou não girar junto com elas, dependendo da forma em que a engrenagem se acopla ao eixo. Se este acoplamento ocorre por chavetas ou pinos, ambos os elementos giram juntos, mas quando da utilização de rolamentos o eixo permanece fixo e a engrenagem gira em torno dele. Como em todos os elementos de máquinas a metodologia de projeto está em função do mecanismo de falha predominante. Os eixos estão submetidos a várias combinações de esforços axiais, fletores e torçores que podem ou não variar com o tempo. Estes carregamentos induzem estados tensionais complexos nos pontos críticos dos eixos, com direções principais que podem ser fixas ou variáveis com o tempo. É necessário estabelecer uma metodologia de projeto que garanta a resistência à fadiga dos pontos críticos durante a vida útil do eixo. Além da resistência à fadiga o projeto de eixos deve estabelecer limites para as deflexões lineares e angulares. Um eixo com pouca rigidez afeta o funcionamento dos elementos que lhe são acoplados e diminui as velocidades críticas. Em resumo, o projeto de eixos deve incluir principalmente os seguintes tópicos:

• Análise das Tensões e Resistência à Fadiga • Deflexões • Velocidades Críticas

A seguir algumas dicas de projeto de eixos:

� Para minimizar tanto as deflexões quanto as tensões, o eixo deverá ser tão curto quanto possível, minimizando as partes em balanço.

� Obviamente que uma viga em balanço terá uma deflexão maior do que uma apoiada, por isso devemos, sempre que possível, preferir eixos apoiados. A polia no extremo direito da próxima figura é um exemplo no qual é preferível deixar uma parte em balanço pois facilita a troca da correia.

� Um eixo oco tem uma melhor relação rigidez / massa e freqüências naturais mais altas, quando comparado com um eixo sólido da mesma resistência e rigidez, mas será mais caro e precisará de um diâmetro maior.

� Tente localizar os concentradores de tensões longe das regiões de maior momento fletor e minimizar os efeitos arredondando os cantos vivos.

� Se a preocupação principal de projeto é minimizar as deflexões é preferível utilizar para o eixo um aço carbono, devido a que a rigidez é a mesma e quando se projeta para pouca deflexão haverá baixas tensões.

� As deflexões nas engrenagens não devem exceder os 120 µm. � As deflexões angulares nos mancais de rolamentos não auto-alinhantes não

devem superar os 0.04º ou 6.98E−4 radianos. � Se há cargas axiais deveremos usar apenas um rolamento axial em cada direção

da carga. Não dividir a carga axial em diferentes rolamentos axiais devido a que a expansão térmica do eixo pode sobrecarregar os rolamentos.


� A primeira freqüência natural do eixo deve ser como mínimo três vezes tão alta quanto a maior freqüência forçada esperada em serviço (de preferência 10x).

Análise das Tensões e Resistência à Fadiga Basicamente os eixos são solicitados por combinações de fletoconstantes (ou alternados). Se considerarmos que estes carregamentos estão em fase, as tensões resultantes podem ser de dois tipos, como esquematicamente representado na Figura 27. Se o eixo gira em um único sentido, por exemplo, o torque constante gera uma componente média das tensões cisalhantes que provoca uma variação direções principais τθ 22tg p =análise de tensões do método SN na forma vista anteriormente. O projeto em fadiga de eixos solicitados por esta combinação de fletores e torçores, ou inclusive, aqueles solicitados também por um torçor variável no tempo, se faz utilizando uma metodologia particular elaborada pela SAE [ De acordo com o método SAE considerasubmetido a um carregamento que esteja dentro das elipses mostradas na Neste caso σσσσa é a amplitude da tensão normal de flexão (completamente reversa), limite de fadiga em flexão pura (da peça, neste caso do eixo), alternada e média da tensão cpura (estático) e SLS é o limite de fadiga em torção pura. Os ensaios da correspondem aos esquemas da

Figura 27 - Esquema da variação das tensões normais crítico(s) de


meira freqüência natural do eixo deve ser como mínimo três vezes tão alta quanto a maior freqüência forçada esperada em serviço (de preferência 10x).

Resistência à Fadiga

Basicamente os eixos são solicitados por combinações de fletores alternados e torçores constantes (ou alternados). Se considerarmos que estes carregamentos estão em fase, as tensões resultantes podem ser de dois tipos, como esquematicamente representado

xo gira em um único sentido, por exemplo, o torque constante gera uma componente média das tensões cisalhantes que provoca uma variação

στ / . Isto cria uma situação que dificulta a aplicação da

tensões do método SN na forma vista anteriormente. O projeto em fadiga de eixos solicitados por esta combinação de fletores e torçores, ou inclusive, aqueles solicitados também por um torçor variável no tempo, se faz utilizando uma metodologia

laborada pela SAE [12] e baseada em numerosos resultados experimentais.

De acordo com o método SAE considera-se seguro contra a falha por fadiga o eixo submetido a um carregamento que esteja dentro das elipses mostradas na

é a amplitude da tensão normal de flexão (completamente reversa), limite de fadiga em flexão pura (da peça, neste caso do eixo), ττττa e ττττm são as componentes alternada e média da tensão cisalhante de torção, Sys é o limite de escoamento em torção

é o limite de fadiga em torção pura. Os ensaios da correspondem aos esquemas da Figura 27 na mesma ordem.

Esquema da variação das tensões normais σσσσ e cisalhantes crítico(s) de eixos de transmissão de potência.

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meira freqüência natural do eixo deve ser como mínimo três vezes tão alta quanto a maior freqüência forçada esperada em serviço (de preferência 10x).

res alternados e torçores constantes (ou alternados). Se considerarmos que estes carregamentos estão em fase, as tensões resultantes podem ser de dois tipos, como esquematicamente representado

xo gira em um único sentido, por exemplo, o torque constante gera uma componente média das tensões cisalhantes que provoca uma variação no tempo das

. Isto cria uma situação que dificulta a aplicação da

tensões do método SN na forma vista anteriormente. O projeto em fadiga de eixos solicitados por esta combinação de fletores e torçores, ou inclusive, aqueles solicitados também por um torçor variável no tempo, se faz utilizando uma metodologia

] e baseada em numerosos resultados experimentais.

se seguro contra a falha por fadiga o eixo submetido a um carregamento que esteja dentro das elipses mostradas na Figura 28.

é a amplitude da tensão normal de flexão (completamente reversa), SL é o são as componentes

é o limite de escoamento em torção é o limite de fadiga em torção pura. Os ensaios da Figura 28 a) e b)

e cisalhantes ττττ no ponto(s)



Figura 28 – Resultados de testes de fadiga em eixos de vários materiais sob diversas combinações de flexão completamente reversa mais a) torção estática e b) torção

completamente reversa (em fase com a flexão) [1]. A partir destes resultados as equações de projeto de eixos para os casos a) e b) da Figura 28 serão respectivamente:

)b(FS

1

SS

)a(FS

1

SS

2

2

LS

a

2

L

a

2

2

ys

m

2

L

a

=

+

=

+

τσ

τσ

Eq. 24 Onde FS é o fator de segurança. Os limites de fadiga da peça em flexão SL e torção puras SLS podem ser obtidos da Tabela 3. Já o limite de escoamento em torção pura (estático) Sys = 0.58 Sy, de acordo com o critério de Mises, onde Sy é o limite de escoamento em tração uniaxial. Em termos geométricos um fator de segurança positivo implica em que o estado de tensões situa-se dentro das elipses da Figura 28. Devemos lembrar que as tensões devidas ao fletor e ao torçor em seções circulares maciças se calculam pelas conhecidas fórmulas:

3m

fsm3a

fsa

3m

fm3a

fa

d

T16K

d

T16K

d

M32K

d

M32K

πτ

πτ

πσ

πσ

==

==

Eq. 25



Resumo de passos para o projeto A seqüência de cálculos para o projeto de eixos no quesito “resistência à fadiga”, para cada evento do carregamento, pode ser resumida da seguinte forma:

1. Definir o diagrama de corpo livre do eixo e os diagramas de distribuição dos esforços fletores e torçores.

2. Encontrar o Kt, o q e o Kf nos potenciais pontos de geração e posterior crescimento de trincas por fadiga. Dependendo do Kf estes pontos podem ou não pertencer às seções críticas. Observar que teremos um Kf para tensões normais e um Kfs para tensões cisalhantes.

3. Calcular as tensões normais e cisalhantes pelas equações Eq. 25 nos pontos críticos.

4. Encontrar os limites de fadiga da peça em flexão SL e torção SLS da Tabela 3 e o limite de escoamento em torção pura (estático) Sys = 0.58 Sy.

5. Substituir as solicitações (passo 3) e resistências (passo 4) da peça nas equações de projeto Eq. 24, tendo previamente definido em qual dos casos da Figura 27 se encaixa o projeto em questão.

6. Acumular o dano caso algum dos eventos do carregamento provoque uma vida finita.



Exemplo 5 – A) Encontre o fator de segurança contra a fadiga na seção de um eixo de geometria conhecida (ver Figura 29) submetido a um fletor M = 20E6 N⋅mm e a um torque T = 75E5 N⋅mm, ambos constantes no tempo. O material é um aço martensítico AISI 431 temperado e revenido, com limite de escoamento Sy = 743 MPa e limite de ruptura Su = 965 MPa = 140 Ksi. O acabamento superficial do eixo corresponde a um retificado de qualidade comercial. Utilize uma confiabilidade de 99 % nos testes de fadiga. B) Calcule também o FS para o caso em que o torque flutue (R = 0.1, Tmax= T) em fase com a rotação do eixo. Solução: A) FS para o caso em que o torque permanece constante: Neste exemplo o primeiro passo da seqüência recomendada de projeto já foi completado. O segundo passo consiste em calcular os fatores de concentração das tensões e para isto utilizamos as figuras A-5-6 e A-15-8 da referência [2], reproduzidas como Figura 30 e Figura 31 destas notas de aula. É muito importante observar que nos dois casos o diâmetro utilizado para definir a tensão nominal é o diâmetro menor.

Figura 29 – Esquema da mudança de diâmetros e do tipo de carregamento para o eixo do

Exemplo 5. Os dados geométricos são: D = 145 mm , d = 124 mm , r = 5 mm . Começaremos determinando o Kfs para as tensões cisalhantes devidas ao torque. Entrando na Figura 30 com r/d = 5/124 = 0.04 e D/d = 1.17 obtemos Kts ≈ 1.6. Observamos que na Figura 18 (Peterson) para r > 4 mm, carregamento de torção e aço com Su = 140 Ksi o fator de sensibilidade ao entalhe q tende a 0.9. Substituindo na Eq. 8 obtemos kfs = 1 + q (Kt − 1 ) = 1 + 0.9 (1.6 − 1 ) = 1.57. Um resultado bem próximo (ligeiramente menos conservativo) pode ser obtido utilizando diretamente a Eq. 11 e a Eq. 13 (Neuber):

04.010,

38.16404.0374.3674.29079.1loglog

23

==

−=+−−−+−−=Nc

N

uuuN

mmc

SESESEc

( ) ( ) 55.116.191.0111

91.05

04.011

11

=−⋅+=−⋅+=

=

+=

+=

−−

tsfs

N

KqK

cq

ρ

Para o caso do fletor entramos na Figura 31 com as relações r/d = 5/124 = 0.04 e D/d = 1.17, o que nos permite obter Kt ≈ 1.95. A sensibilidade ao entalhe q tende para 0.9 na Figura 18 e kf = 1 + q (Kt − 1 ) = 1 + 0.9 (1.95 − 1 ) = 1.86. Por Neuber obteríamos Kf = 1.87. Substituindo nas equações Eq. 25 para M = 20E6 N⋅mm, Ta = 0 e T = 75E5 N⋅mm temos:



MPaE

MPaE

ma

a

31124

5751655.10

200124

6203287.1

3

3

=⋅==

=⋅=

πττ

πσ

Figura 30 – Fatores de concentração das tensões em torção para a geometria mostrada [2].

Figura 31 – Fatores de concentração das tensões em flexão para a geometria mostrada [2].

Continuando com a seqüência de projeto recomendada procederemos agora ao cálculo das propriedades em fadiga do material da peça. Como o carregamento do eixo é de flexão completamente alternada e torção constante utilizaremos a Figura 28 (a) e a equação Eq. 24 (a):

2

2

ys

m

2

L

a

FS

1

SS=

+

τσ

Onde:

MPa3049655.09.07.01S5.0CCCS uSGLL =⋅⋅⋅⋅== Os fatores modificadores do limite de fadiga do material foram obtidos da Tabela 3. O fator de carga CL = 1 já que estamos interessados em calcular o limite de fadiga da peça



em flexão SL. Como 100 mm< d < 150 mm CG = 0.7. Na Figura 13 obtemos CS = 0.9, para Su = 140 Ksi e retificado de qualidade comercial. Como dito anteriormente, de acordo com a teoria da máxima energia de distorção de Mises Sys = 0.58 Sy = 0.58 ⋅ 743 = 431 MPa. Por fim, o fator de segurança será:

5.1

431

31

304

200

112222

=

+

=

+

=

ys

m

L

a

SS

FSτσ

B) FS para o caso em que o torque flutue (R = 0.1, Tmax=T) em fase com a rotação do eixo. Utilizaremos os resultados experimentais da Figura 28 (b), que correspondem à superposição de flexão e torção completamente alternadas, embora a torção no nosso problema tenha um R ǂ − 1. Mais adiante demonstraremos que, para este caso particular, esta aproximação é válida. A seguinte equação de projeto será utilizada:

2

2

LS

a

2

L

a

FS

1

SS=

+

τσ

Primeiramente calculamos o limite de fadiga da peça em torção pura:

MPaSCCCS uSGLLS 1769655.09.07.058.05.0 =⋅⋅⋅⋅== Utilizando as Eq. 2 podemos encontrar as componentes alternada e média do torque e as tensões cisalhantes por ele geradas:

( )

( ) MPaE

d

TkmmNE

ER

TT

MPaE

d

TkmmNE

ER

TT

mfsmm

afsaa

17124

525.411655.1

16.525.411.1

2575

12

14124

575.331655.1

16.575.339.0

2575

12

33max

33max

=⋅

⋅=⋅⋅=⇒==+=

=⋅

⋅=⋅⋅=⇒==−=

ππτ

ππτ

Seguidamente calculamos o fator de segurança (Eq. 24 (b)):

5.1

1762.14

304200

112222 =

+

=

+

=

LS

a

L

a

SS

FSτσ

Este resultado é idêntico ao obtido anteriormente para flexão alternada e torção constante. Podemos verificar que, mantendo o torque máximo Tmax = constante, a razão de carga R pode variar de R = −1 → τa = τmax = 32 MPa até R = 1 → τa =0, τm = 32 MPa (que corresponde à letra A deste exemplo), sem que o FS seja severamente afetado, como mostrado na Figura 32. Plotando a equação de FS (acima) para 100 MPa ≤ σa ≤ 300 MPa (lembrar que o σa aplicado é 200 MPa) e 0 ≤ τa ≤ 32 MPa, observa-se que a influência de τa no FS é pequena quando comparada com a influência



de σa (Figura 32). Devemos insistir em que este estudo se limita ao exemplo atual e não deve ser estendido a outros casos, principalmente porque a variação de R nos ciclos de fadiga deve ser analisada aplicando o método SN e não o método específico da SAE para eixos.

Figura 32 – Influência da amplitude das tensões cisalhantes τa e normais σa no fator de segurança para os dados do Exemplo 5.



Exemplo 6 – (Prob. 8.44 do Juvinall 3ª ed.). A figura mostra parte de uma bomba que é movida por engrenagens a velocidade e carga constantes. O eixo está apoiado em mancais na carcaça da bomba e é de aço com Su = 1 GPa e Sy = 800 MPa. As forças na interface da engrenagem bem como os fatores de concentração das tensões se mostram na figura. A superfície do eixo no entalhe está polida. Verifique se o diâmetro do eixo é suficiente para evitar a falha por fadiga no entalhe. Utilize uma confiabilidade de 99 %.

Figura 33 – Corresponde ao Exemplo 6. (Prob. 8.44 do Juvinall 3ª ed.) Solução: Neste problema está implícito que se deseja vida infinita, logo o procedimento resumido consiste em determinar a resistência à fadiga da peça, calcular a amplitude e a média das tensões equivalentes de mises no(s) ponto(s) crítico(s) e resolver para dmin na correspondente elipse de projeto (Figura 28 ou Eq. 24), considerando FS = 1. É claro que utilizar o diâmetro do eixo na equação de projeto e resolver para FS conduz aos mesmos resultados. Neste exemplo optamos por resolver para dmin apenas para mostrar um procedimento diferente ao do Exemplo 5. Analisamos primeiramente a resistência à fadiga da peça na seção crítica. Os fatores de correção do limite de fadiga, de acordo com a Tabela 3 serão:

• Fator de carga CL = 1 porque o estado das tensões no(s) ponto(s) crítico(s) é combinado e utilizaremos, para comparação com as solicitações, a curva de resistência à fadiga em flexão rotativa.

• Fator de gradiente das tensões CG = 0,9 já que o diâmetro 10 ≤ 25 ≤ 50. • Fator de superfície CS = 1 já que o acabamento do eixo é polido. • Fator de confiabilidade CR = 0.814 para 1 % de chances de falha.

Seguidamente calculamos o limite de fadiga da peça: SL = (1)⋅(0,9)⋅(1)⋅(0.841)⋅0,5 Su = 378 MPa.



Na parte de análise das tensões é melhor definir primeiramente o estado das tensões no(s) ponto(s) crítico(s) e depois analisar o comportamento, no tempo, destas tensões. É evidente neste exemplo que a seção crítica encontra-se no apoio do eixo com a carcaça. Em outros casos pode ser necessário definir a seção crítica a partir dos diagramas de esforços internos. Definindo as forças na interface da engrenagem como Wa = 500 N, Wr = 750 N e Wt = 2000 N, as distâncias dg = 250 mm, r = dg/2 =125 mm e l = 50 mm, pode-se construir a seguinte tabela com as forças internas na seção crítica (desprezando o cortante) e as tensões que estas forças provocam. Observe que o subscrito “a” se utiliza para identificar a componente axial da força resultante W na interface de engrenagens cilíndricas helicoidais (e também o fator de concentração das tensões em fadiga para o esforço axial kfa) e que não tem qualquer relação, neste caso, com a amplitude da carga.

Tensões Axial

Fletor na Horizontal

Fletor na Vertical

Fletor Resultante Torçor

Wa Mh = Wa⋅r + Wr⋅l Mv = Wt⋅l 2v

2hR MMM += T = Wt⋅r

σ 2a

fad

W4k

π

3h

fd

M32k

π

3v

fd

M32k

π 3

Rf

d

M32k

π −

τ − − − − 3fsd

T16k

π

Consideramos que a tensão cisalhante de torção seja constante no tempo logo

3fsmad

T16k,0

πττ == . O ponto crítico estará submetido também a uma tensão normal fletora

completamente reversa 0,d

M32k m3

Rfa == σ

πσ . Devido ao esforço axial a tensão normal

média será 2a

famd

W4k

πσ = . Esta tensão, no entanto, não é considerada no método da

SAE [12]. Utilizaremos a elipse da Figura 28 (a) e a equação Eq. 24 (a):

2

2

y

3fs

2

L

3R

f

2

2

ys

m

2

L

a

FS

1

S58.0

d

T16k

S

d

M32k

FS

1

SS

=

⋅+

=

+

ππ

τσ

Substituindo valores e resolvendo para d obtemos dmin = 20.5 mm, ou seja, o diâmetro de eixo é seguro contra a fadiga. O estudante deve verificar que utilizando o método SN (que

considera a componente média das tensões normais 2a

fam d

W4k

πσ = ) os resultados são

dmin_goodman = 21.2 mm e dmin_gerber = 20 mm.



Problemas Problema 1 – Na Figura 34 se mostra uma barra lisa e uma entalhada com a mesma seção transversal. As duas foram usinadas a partir de aço com Su = 1246 MPa. Para cada barra estimar a) o valor de P estático que causa fratura, b) o valor de ±±±± P que provocaria o início de uma trinca por fadiga após uma quantidade de ciclos entre 106 e 5x106 e c) o valor de P que, para ciclos com Pm = 2 P e Pa = P, provocaria o início de uma trinca por fadiga após uma quantidade de ciclos entre 106 e 5x106. (resp.: ver tabela abaixo)

Figura 34 – Corresponde ao Problema 1. Problema 2 – Segundo o critério de Goodman, qual é a carga σσσσar totalmente alternada que equivale à combinação σσσσa = 500 MPa, σσσσm = −−−− 500 MPa se Su = 1000 MPa e FS = 1. (resp.: 333 MPa) Problema 3 – Por Gerber, qual é a carga trativa pulsante (σσσσa = σσσσm) equivalente ao limite de fadiga SL de um aço com 62 HRC para FS = 1. (resp: 636 MPa) Problema 4 – Um eixo de aço usinado com Su = 1200 MPa, d = 15 mm , Kt = 2,1 e r = 1 mm é fletido entre 60 e 90 N·m. Qual é o seu fator de segurança contra o início de uma falha por fadiga segundo Goodman e Gerber para 99,9 % de confiabilidade? (resp.: FSgoodman = 1,42; FSgerber = 1,75). Explique por que, sendo o critério de Goodman mais conservativo do que o de Gerber, o FSgoodman < FSgerber. Problema 5 – Um eixo entalhado como o mostrado na Figura 35 é usinado a partir de um aço com 180 Bhn e Su = 89 ksi . As dimensões são D = 1,1 in. , d = 1,0 in. e r = 0,05 in . A superfície do eixo, apenas no entalhe, está com um polimento comercial. Com um FS = 2 e 99,9 % de confiabilidade estimar o torque máximo por Gerber (em lb ⋅⋅⋅⋅in ) que pode ser



aplicado para vida infinita quando a carga torsional flutuante consiste de a) torção completamente reversa com o torque variando entre –T e +T e b) um torque estacionário T com um torque alternado sobreposto de 2 T, ou seja, Tmin = –T e Tmax = +3T. (resp.: 1037 lb·in., 514 lb·in.)

Figura 35 – Corresponde ao Problema 5. Problema 6 – Durante o serviço o eixo mostrado na Figura 36 experimenta torção completamente reversa (entre –T e +T). O eixo foi usinado a partir de um aço com uma dureza de 150 Bhn . Com um FS = 2, 99% de confiabilidade e coeficiente de variação de 8% dos dados de resistência à fadiga, estimar por Goodman ou Gerber o valor do torque reverso que pode ser aplicado sem causar falha por fadiga. (resp.: 47 N·m). Para um coeficiente de variação de 8% construa um gráfico que mostre a variação deste torque reverso admissível com a confiabilidade nos dados de fadiga (para 90%, 99%, 99,9% e 99,99%) e comente os resultados. Lembre-se que a função de densidade da probabilidade da resistência à fadiga SL em testes de fadiga pode ser considerada do tipo normal ou gaussiana. Repita o gráfico para coeficientes de variação de 3%, 6% e 10% e comente os resultados. (resp.: ver Figura 37)

Figura 36 – Corresponde à Problema 6.



Figura 37 – Resposta da Problema 6. Problema 7 – Uma barra de aço retangular laminada a quente, com 140 Bhn , tem 10 mm de espessura, 60 mm de largura e um furo central de 12 mm de diâmetro (ver Figura 38). Estimar a força máxima de tração que pode ser aplicada nas bordas da placa para que tenha vida infinita em fadiga com 99,9 % de confiabilidade e FS = 1,3: a) se a força é completamente alternada e b) se a força varia entre zero e o valor máximo. (resp.: 17,5 KN, 33,3 KN) Problema 8 – Verifique a resistência à fadiga da viga de aço 1015 com Su = 420 MPa supondo que o carregamento é pulsante entre zero e o valor máximo mostrado na figura. (Nota: Recomendo checar na transição alma-flange) Problema 9 – Um eixo escalonado conforme mostrado na Figura 40 tem as dimensões D = 2 in. , d = 1 in. e r = 0,1 in . Ele foi usinado de um aço AISI com dureza de 200 Bhn . O carregamento é de torção e durante uma operação típica de 30 s, sob condições de sobrecarga, a tensão nominal (Tc/J ) atuante na seção cujo diâmetro é de 1 in. foi medida e registrada conforme mostrado na Figura 41. Estime por Gerber a vida (em horas) do eixo quando operado continuamente nessas condições para FS=1.0 e 90 % de confiabilidade. (resp.: ≈ 12 horas e 20 min)


30

35

40

45

50

55

60

90 92 94 96 98 100

Confiabilidade [%]

Tad

m [N

m] 3% de coef. de variação

6% de coef. de variação






Figura 40 – Corresponde à Problema 9. Problema 10 – O eixo mostrado transmite 10 HP da polia P para a engrenagem G a 900 rpm. O diâmetro da polia e o diâmetro primitivo da engrenagem são 10,0 in. Tanto a polia como a engrenagem pesam 30 lb. Despreze o peso do eixo. A relação entre as tensões na correia é T1/T2 = 2,5. O ângulo de pressão da engrenagem é de 20º. O material tem Su = 1360 MPa, Sy = 1088 MPa e SL = 308 MPa. Considere que tanto para a chaveta como para os degraus do eixo a concentração das tensões é kf = 1.5 e kfs = 1.3. Calcule o diâmetro necessário.




Figura 42 – Corresponde ao Problema 10.



Referências

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2. Shigley, J.E. Mischke, C.R., Budynas, R.G. (2004). “Projeto de Engenharia Mecânica”. 7a ed., Artmed Ed. S.A., Porto Alegre RS.

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4. Juvinall, R. C. (2000). “Fundamentals of Machine Component Design”. John Wiley & Sons, Inc. 3ed., United States.

5. Crandall, S.H., Dahl, N.C., Lardner, T.J. (1978). “An Introduction to the Mechanics of Solids”, 3a ed., McGraw-Hill Inc., Tokyo, Japan.

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Fatigue. New York: McGraw-Hill. p. 293–306. 9. Dowling, N.E. (2007). Mechanical Behavior of Materials. Pearson Prentice Hall, Inc,

3d ed., New Jersey, U.S.A. 10. Castro, J.T.P., Meggiolaro, M.A. (2009). “Fadiga: Técnicas e Práticas de

Dimensionamento Estrutural sob Cargas Reais de Serviço”, vol. I e II. Disponível em www.amazon.com.

11. Durán, J.R., Amorim, G.B., Lopes, L.C.R., (2008). “A hipótese da densidade de energia de deformação equivalente modificada para estimar o limite de fadiga em entalhes afiados”, In: 63º Congresso Anual da ABM, 28 de julho a 1º de agosto de 2008, Santos, S.P. Brasil.

12. B106.1M – 1985 “Design of Transmission Shafting”. ANSI/ASME. 13. Meggiolaro, M.A., Castro, J.T.P. (2005). “Comparação entre métodos de previsão

de vida à fadiga sob cargas multiaxiais I: Modelos tensão vida e deformação vida”, In: 60 Congresso Anual da ABM, 25 – 28 de 2005, Belo Horizonte, M.G., Brasil.

notas de aula de projeto em fadiga

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