notas de aula de análise funcional

NOTAS DE AULA DE ANLISE FUNCIONAL

OLIVAINE S. DE QUEIROZDepartamento de Matemtica

Instituto de Matemtica, Estatstica e Computao CientficaUNICAMP

Campinas2013

Captulo 1

Espaos normados e os fundamentos deAnlise Funcional

Neste captulo introduziremos alguns dos principais conceitos a serem trabalhados no curso: espaos de Banach eoperadores lineares contnuos entre tais espaos. A exposio aqui segue as linhas, por exemplo, de [5].

Primeira aula

1.1 Espaos vetoriais normados e de Banach

Denotemos por F o corpo dos nmeros reais R ou dos nmeros complexos C e seja X um espao vetorial sobre F.Em boa parte do que estudaremos, no far muita diferena se o corpo de escalares real ou complexo. Quandofor necessrio, deixaremos explcito em qual corpo estaremos trabalhando.

Uma semi norma em X uma funo x 7 x, de X em [0,), que satisfaz as seguintes propriedades:

(desigualdade triangular) x+ y x+y, para quaisquer x,y X ; (homogeneidade) x= | |x, para qualquer x X e todo F.

Observemos que a homogeneidade da semi norma implica que 0= 0, isto , a norma do vetor nulo em X zero. Uma semi norma em um espao vetorial chamada de norma se x= 0 somente no caso em que x = 0.Um espao vetorial equipado com uma norma chamado de espao vetorial normado.

Um fato simples de se verificar que, em um espao vetorial normado X , a norma define uma mtrica natural

(x,y) := x y.

A topologia induzida em X por esta mtrica chamada de topologia da norma.Um espao normado X que tambm um espao mtrico completo com a mtrica induzida pela norma

chamado de espao de Banach. Dito de outra forma, X um espao de Banach se, e somente se, toda sequnciade Cauchy em X converge e seu limite ainda um elemento de X.

um fato bsico de anlise elementar que os espaos vetoriais Rn (sobre R) e Cn (sobre C) so espaos deBanach (com a norma cannica euclidiana, no caso de Rn). Daremos a seguir alguns exemplos importantes e maisinteressantes para o curso.

Exemplo 1.1.1 Dado um conjunto compacto A em um espao mtrico M, o espao vetorial das funes contnuasem A com valores em R denotado por C(A). Tal espao esquipado com a norma

f := supxA| f (x)|

1

2 CAPTULO 1. FUNDAMENTOS

completo. Isto garantido pelo fato que limite uniforme de uma sequncia de funes contnuas ainda umafuno contnua.

Exemplo 1.1.2 Seja p [1,) e definamos o espao vetorial sobre R dado por:

lp(N) :={

x = (xn)n=1 | xn R e xlp =( n=1|xn|p

)p<

}.

No caso p = definimos:

l(N) :={

x = (xn)n=1 | xn R e x = sup |xn|< }.

um exerccio natural demonstrar que lp , de fato, uma norma em lp. Faremos isso em uma situao maisgeral adiante. Seja c0 l o subespao vetorial definido por

c0(N) :={

x = (xn)n=1 | xn R e limxn = 0}.

Um outro subespao interessante de l

c00(N) :={

x = (xn)n=1 | xn R,xn = 0 exceto para um nmero finito de valores de n N}.

Observemos que, para 1 p < ,c00 lp c0 l.

Com isso, a expresso tambm define uma norma no subespao lp, 1 p

1.1. ESPAOS DE BANACH 3

Proposio 1.1.3 Se X um espao vetorial de dimenso finita, ento todas as normas em X so equivalentes.

Demonstrao. Seja {e1, . . . ,en} uma base do espao vetorial X de dimenso finita. Para cada x X , existem1, . . .n F de tal sorte que

x =n

i=1

iei.

Definimos

x0 =n

i=1|i|.

Tal expresso define uma norma em X . Demonstremos que qualquer norma em X equivalente 0.Seja qualquer outra norma em X . Ento estimamos

x= n

i=1iei

ni=1|i|ei (max

1inei)

n

i=1i=Cx0.

Suponhamos para efeito de contradio que a desigualdade reversa no satisfeita, isto , para cada constanteL > 0, existe xL X com

xL0 > LxL.Obviamente devemos ter xL 6= 0 para esta desigualdade ocorrer. Dividimos ambos os lados por xL0 e definimosyL = xL/xL0 obtendo

1 = yL0 > LyL.Lembremos que a bola fechada B1 compacta em dimenso finita. Segue que existe uma subsequncia (yL j)convergindo para y X na norma 0. Segue da continuidade da norma que y0 = 1 e, usando a primeira parteda demonstrao, chegamos ao seguinte:

y y yL j+yL j Cy yL j0+1L j.

Passando ao limite quando j obtemos que y = 0 e portanto y = 0, o que uma contradio com o fato dey0 = 1.

Concluimos que e 0 so equivalentes. Como a primeira norma qualquer, o resultado segue portransitividade.

Observao 1.1.4 O fato de bolas fechadas serem compactas em espaos de dimenso finita foi essencial nademonstrao da Proposio 1.1.3.

Veremos mais adiante que todo espao normado est de uma certa maneira contido em um espao deBanach (seu completamento). Por hora, apresentaremos um critrio para completude de um espao normado.Antes porm, necessitamos de algumas definies.

Se (xn) uma sequncia no espao normado X , ento dizemos que a srie

n=1

xn (1.2)

converge para x X na norma selim

N

Nn=1

xn x= 0.

Dizemos que srie em (1.2) converge absolutamente, ou absolutamente convergente, se

n=1xn< .


Teorema 1.1.5 Um espao vetorial normado X de Banach se, e somente se, toda srie absolutamente conver-gente em X uma srie convergente.

Demonstrao. Suponhamos incialmente que X Banach e que (xn) seja uma sequncia tal que

n=1xn< .

A Nsima soma parcial desta sequncia dada por

SN =N

n=1

xn.

Para N,M N com N > M vemos que

SNSm= N

n=M+1xn N

n=M+1xn 0, quando M .

Assim, (SN) uma sequncia de Cauchy e, portanto, convergente em X . Equivalentemente, a srie associada a(xn) converge em X .

Reciprocamente, suponhamos que toda srie absolutamente convergente em X seja convergente e fixemosuma sequncia de Cauchy (xn) X qualquer. possvel selecionar

n1 < n2 < .. . ,

de maneira quexn xm< 2 j, para quaisquer n,m n j.

Agora, tomemos y1 = xn1 e, para j > 1,y j = xn j xn j1 .

Entok

j=1

y j = xnk ,

e

j=1y j y1+

j=2xn j xn j1 y1+

j=1

2 j = y1+1 < .

Por hiptese, existe o limite

limxnk =

j=1

y j.

Assim, a sequncia de Cauchy (xn) possui uma subsequncia que converge. Logo, (xn) deve tambm convergir.De fato: seja a = limxnk ; dado > 0, tomemos n0 tal que

xnk xn j< /2, para quaisquer j,k n0,

e tambmxnk a< /2, para qualquer k n0.

Segue que, para n n0,xna xn xn0+xn0 a< .

Isto finaliza a demonstrao.

1.2. OPERADORES LIMITADOS 5

1.2 Operadores lineares limitados

Um operador linear T : X Y entre dois espaos normados X e Y chamado limitado se existe uma constanteC 0 tal que

T xY CxX , para todo x X .Incluimos o sub ndice na notao das normas para no criarmos confuso entre os espaos.

Teorema 1.2.1 Se X e Y so espaos vetoriais normados e T : X Y um operador linear, ento as seguintesafirmaes so equivalentes:

a T contnuo;

b T contnuo em algum ponto x X;c T limitado.

Demonstrao. trivial que a implica em b.Suponhamos que T seja contnuo em algum x0 X e seja M um subconjunto limitado de X com M BR(0)

para algum R > 0. Por continuidade em x0, existe = (1,x0) tal que

x x0X implica em T (x x0)= T xT x0 1. (1.3)

Dito de outra forma, (1.3) nos diz que

yX < implica em TyY 1.

Consequentemente, se yY R, ento:

TyY =R T(Ry)Y = R T(Ry)Y R ,

pois R

y .

Concluso:T (M) BR/ (0).

Assim, b implica em c.Agora verifiquemos que c implica em a. Suponhamos ento que T aplica subconjuntos limitados de X em

limitados de Y. Em particular, existe R > 0 tal que

T (B1(0)) BR(0).

Seja > 0 qualquer e tomemos = /R. Suponhamos ento que

x x0X .

Por homogeneidade, 1 (x x0)X 1,o que nos d

1T xT x0Y =

T( 1 (x x0)) R,ou seja,

T xT x0Y .Portanto, T contnuo no ponto arbitrrio x0 X , finalizando a demonstrao.


Denotamos por B(X ,Y ) o conjunto dos operadores lineares limitados de X em Y. um fato bsico delgebra Linear queB(X ,Y ) tambm um espao vetorial com as operaes de soma de operadores e produto deum operador por um escalar em F usuais.

Ser comum utilizarmos as seguintes notaes:

B(X ,X) =B(X), B(X ,F) = X.

Observao 1.2.2 Como diriam as aeromoas da Azul, j sabemos, mas no custa lembrar que a limitao acimadefinida diferente da limitao de funes. De fato, se T x C para todo x X , ento, para qualquer escalar F, temos

| |T x= T (x) C.Concluimos que T x = 0 dividindo a ltima desigualdade acima por | | e considerando o limite . Como x qualquer, T deve ser a aplicao nula. Na verdade, dizer que um operador linear T : X Y limitado significaque ele aplica subconjuntos limitados de X em subconjuntos limitados de Y .

Segunda aula

Dado T B(X ,Y ), a expressoT= sup{T xY | x 1} (1.4)

est bem definida pelo Teorema 1.2.1 e define uma norma emB(X ,Y ).

Proposio 1.2.3 Sejam X e Y espaos normados. Ento a expresso (1.4) define uma norma em B(X ,Y ) queainda pode ser caracterizada por

T= supx=1

T xY = supx 6=0T xYxX . (1.5)

Alm disso, se Y for Banach, entoB(X ,Y ) tambm ser Banach com esta norma.

Demonstrao. Faremos a demonstrao do fato interessante queB(X ,Y ) Banach sempre que Y Banach. Osdemais fatos ficam como exerccio. importante observar que a ltima caracterizao da norma deixa claro que

T xY TxX .Consideremos ento uma sequncia de Cauchy (Tn) B(X ,Y ) e procedemos com a demonstrao que esta se-quncia converge para um operador neste espao.

Fixado x X e m,n N ns estimamosTnxTmxY TnTmxX ,

o que nos diz que (Tnx) Y uma sequncia de Cauchy em Y. Sendo Y Banach, existe um elemento que deno-taremos por T x, tal que Tnx T x. Assim, construimos uma aplicao de X em Y por

x 7 T x.

Afirmao 1: T linear. De fato, observe:

T (x+ y) = lim(Tn(x+ y)) = lim(Tnx+Tny) = limTnx+ limTny = T x+Ty, x,y X ,T (x) = limTn(x) = limTnx = T x, x X , F.

Afirmao 2: T limitado. Isto segue do fato de toda sequncia de Cauchy ser limitada. Assim, existe C > 0 talque T C. Disso segue que:

T xY = limTnxY limsupTnxX Cx.

1.3. EXERCCIOS 7

Afirmao 3: TnT 0 em B(X ,Y ). Dado > 0, seja n0 tal que TnTm sempre que n,m n0. Parax B1(0) temos que

T xTnx= limTmxTnx limTmTnx x .

Isto implica que Tn T emB(X ,Y ) e conclui a demonstrao do resultado.

1.3 Exerccios

Exerccio 1 Seja X um espao vetorial e lembremos que uma base algbrica (ou base de Hamel) de X umsubconjunto (ei)iI , tal que todo x X pode ser escrito de maneira nica como

x =jJ

x je j,

para algum subconjunto finito J I, onde x j F,, j J. Uma aplicao do Lema de Zorn (Lema 3.1.2) implicaque todo espao vetorial E possui uma base de Hamel (ei)iI .

Toda base de Hamel de um espao vetorial X fixado possui a mesma cardinalidade. No caso em que I finito, dizemos que X possui dimenso finita.

Demonstre que todo espao vetorial pode ser normado.Sugesto: demonstrao da Proposio 1.1.3.

Exerccio 2 Se uma mtrica em um espao mtrico X induzida por uma norma, ento

(x+ z,y+ z) = (x,y), para quaisquer x,y,z X ,

e(x,y) = | |(x,y), para quaisquer x,y X e todo F.

Exerccio 3 Dado um espao vetorial X, no qual est definida uma mtrica d, necessariamente verdade queexiste uma norma 1 em X tal que d(x,y) = x y1 para quaisquer x,y X?

Exerccio 4 Demonstre que todo espao mtrico M, com mtrica d, isomtrico a um subconjunto de um espaonormado. De fato, tal espao normado pode ser tomado como sendo o conjunto das funes contnuas e limitadasem M, denotado por CB(M), com a norma do sup .Sugesto: fixe x M e considere a aplicao de M em CB(M), dada por y 7 f , com f (z) = d(x,z)d(y,z).

Exerccio 5 Em um espao normado X sobre F, as operaes de adio e multiplicao por um escalar socontnuas de XX em X. Alm disso, a norma satisfaz:

|xy| x y,

isto , a norma uma funo contnua de X em F.

Exerccio 6 Seja Rn um subconjunto compacto. Demonstre que (C(), ) um espao de Banach. PeloTeorema de StoneWeierstrass, o espao vetorial dos polinmios com coeficientes reais denso em C([a,b]). Segueque C() possui dimenso infinita.

Exerccio 7 Verificaremos que, ao contrrio do que diz a Proposio 1.1.3 para espaos normados de dimensofinita, espaos normado de dimenso infinita nunca possuem uma nica topologia induzida por norma. Seja X umespao normado com dimX = e com norma .

a) construa um operador linear no limitado e injetivo T de (X , ) em si mesmo.


c) Seja x1 = T x para x X . Demonstre que 1 uma norma, que T : (X , 1) (X , ) umisomorfismo isomtrico e que (X , 1) Banach se, e somente se, (X , ) Banach.

c) Demonstre que as topologias induzidas por 1 e por so diferentes.

Exerccio 8 Seja Ck([0,1]) o espao das funes em [0,1] possuindo derivadas contnuas at ordem k em [0,1],incluindo as derivadas laterais em 0 e em 1.

a Se f C([0,1]), ento f Ck([0,1]) se, e somente se, f kvezes continuamente diferencivel em (0,1) eos limites

limx0+

f ( j)(x) e limx1

f ( j)(x), j k,existem (use o Teorema do Valor Mdio).

b A expresso

fk, =k

j=0 f ( j)

define uma norma em Ck([0,1]) que faz deste um espao de Banach.

Sugesto: use induo em k; o ponto essencial que se ( fn) C1([0,1]), fn f uniformemente e f n guniformemente, ento f C1([0,1]) e f = g; para isto demonstre que

f (x) f (0) = x

0g(t)dt.

Exerccio 9 Dado 0 < 1, seja C0,(Rn) o espao das funes limitadas em Rn tais que

supx 6=y| f (x) f (y)||x y| < .

Observe que f necessariamente contnua. Alis, as funes de C0,(Rn) so chamadas de Hlder contnuas deexpoente . O caso = 1 o das funes Lipschitz contnuas.

Uma norma em C0,(Rn) pode ser definida por

fC0, = supxRn| f (x)|+ sup

x 6=y| f (x) f (y)||x y| .

O espao C0,(Rn) com a norma C0, de Banach.

Exerccio 10 Demonstre que, se > 1, as nicas funes de C0,(Rn) so as constantes.Motivados por este fato, definimos Ck, (Rn) como sendo a classe das funes f em Rn cujas as derivadas

parciais de ordem menor ou igual a k pertencem a C0, (Rn). Aqui, k N e 0 < 1. Demonstre que Ck, (Rn)equipado com a norma

fCk, := |a|k a f

C0,

um espao de Banach.Acima, a = (a1, . . . ,an) um multi ndice com entradas inteiras e positivas e |a|= a1+ . . .+an. A expreso

a f significa a1+...+an f

a1x1 . . . anxn.

Exerccio 11 Demonstre que (lp, lp), 1 p , um espao de Banach.

Exerccio 12 Para i, j N, seja i j o smbolo de Kronecker, isto , ii = 1 e i j = 0 se i 6= j. Defina uma sequnciaem lp por yn = (n j)j=1. Use esta sequncia para demonstrar que em lp, 1 p , existem conjuntos fechados elimitados que no so compactos.

1.3. EXERCCIOS 9

Exerccio 13 Um conjunto C em um espao vetorial sobre F convexo se, sempre que x,y C, entotx+(1 t)y C, para qualquer t [0,1].

Demonstre que se (X , ) um espao normado, ento, para qualquer r > 0 e qualquer x X, a bolaBr(x) := {y X | x y< r}

convexa.

Exerccio 14 Demonstre que, se 0 < p < 1, ento p no uma norma em lp.

Exerccio 15 Seja X um espao de Banach e E X um subespao de dimenso finita. Demonstre que E fechado.

Exerccio 16 Demonstre que se X um espao normado , ento o fecho de qualquer subespao de X ainda umsubespao de X .

Exerccio 17 Se X e Y so espaos normados. Ento em XY podemos definir a norma produto(x,y)= max{xX ,yY},

que equivalente s normas xX +yY ou (x2X +y2Y )1/2.

Exerccio 18 Se M um subespao vetorial de X , definimos uma relao de equivalncia em X como segue: x yse, e somente se, x y M. A classe de equivalncia de x X denotada por x+M e o conjunto das classes deequivalncia, ou espao quociente, denotado por X/M. A estrutura de espao vetorial vem das definies:

(x+M)+(y+M) = (x+ y)+M e (x+M) = (x)+M, x,y X , F.Suponhamos que X seja normado e que M seja um subespao prprio fechado de X.

a A expressox+M= inf

yMx+ y

define o que chamamos de norma do quociente em X/M.

b Para qualquer > 0, existe x X com x= 1 e x+M 1 .c A projeo pi(x) = x+M de X em X/M possui norma igual a 1.

d Se X Banach, ento X/M tambm ser Banach (use a caracterizao por sries absolutamente conver-gentes).

Exerccio 19 Se uma semi norma no espao vetorial X , definamosM = {x X | x= 0}.

Demonstre que M um subespao de X e que a aplicao x+M 7 x uma norma em X/M.

Exerccio 20 Suponha que X e Y sejam espaos vetoriais normados e T B(X ,Y ). Consideremos o ncleo deT :

kerT := {x X | T x = 0}.

a kerT um subespao fechado de X .

b Existe um nico operador S B(X/kerT,Y ) tal que T = Spi, onde pi a projeo. Alm disso, T= S.

Exerccio 21 Sejam E um espao vetorial normado de dimenso finita e X um espao de Banach. Demonstre quetoda aplicao linear T : E X necessariamente contnua.


Exerccio 22 Sejam X ,Y e Z espaos vetoriais normados com T : XY e S : Y Z operadores lineres limitados.Ento a composio de operadores ST limitada e ST ST.

Exerccio 23 Seja Mnm o conjunto das matrizes com coeficientes reais ai j, 1 i n, 1 j m. Definamos

A := maxxRm

|Ax||x| .

Demonstre que (Mnm, ) um espao vetorial normado. Alm disso, demonstre que

A= max|x|=|y|=1

ytAx.

Exerccio 24 Se X e Y so espaos normados, demonstre que a aplicao (T,x) 7 T x contnua deB(X ,Y )Xem Y, isto , se Tn T e xn X , ento Tnxn T x.

Exerccio 25 Seja = (n)nN l e defina o operador T : lp lp por

T (xn) = (1x1,2x2, . . .).

Demonstre que T um operador linear limitado e T= l .Verifique que se 6 l ento T (xn) 6 lp para alguma sequncia (xn) lp.

Exerccio 26 Seja X um espao de Banach.

a Se T B(X ,X) e IT< 1, com I sendo a identidade, ento T inversvel; de fato, a srie

n=0

(IT )n

converge emB(X) para T1.

b Se T B(X) inversvel e ST< T11, ento S inversvel. Em particular, o conjunto dos opera-dores lineares inversveis aberto emB(X).

Exerccio 27 Sejam A R e k : [0,1] [0,1] R definida por

k(x,y) = Asen(x y).

Demonstre que se |A|< 1, ento, para qualquer f C([0,1]), existe uma nica g : C([0,1]) tal que

g(x) = f (x)+ 1

0k(x,y)g(y)dy.

Exerccio 28 Considere o espao

C0([0,1]) = {u : [0,1] R, | u contnua, u(0) = 0}

com a norma do sup . Definamos T : C0([0,1]) R por

Tu := 1

0u(t)dt.

Demonstre que T= 1. possvel encontrar u C0([0,1]) com u= 1 e Tu = T?

1.3. EXERCCIOS 11

Exerccio 29 Considere c0(N) com a norma . Para cada y = (yn) c0(N) definamos

F(y) =

n=1

yn2n.

Demonstre que F : c0(N) R um elemento deB(c0(N),R) e encontre F. possvel encontrar y c0(N) tal que F(y) = F?

Exerccio 30 Seja X um espao vetorial com duas normas 1 e 2. Suponha ainda que estas duas normassejam equivalentes. Demonstre que (X , 1) completo se, e somente se, (X , 2) completo.

Exerccio 31 Sejam 1 e 2 mtricas em R definidas por

1(x,y) = |x y|, 2(x,y) = |(x)(y)|, (t) = t1+ |t| .

Demonstre que estas mtricas geram a mesma topologia em R. Entretanto, (R,1) completo e (R,2) no completo.

Exerccio 32 Seja a = (an) uma sequncia real e definamos para cada x = (xn) c00(N) a expresso:

xa :=

n=1|an||xn|.

a Demonstre que a uma norma em c00(N) se, e somente se, an 6= 0 para todo n N.b Na notao anterior, demonstre que duas normas a e b em c00(N) so equivalentes se, e somente se,

0 < infnN|an||bn| supnN

|an||bn| < .

Exerccio 33 Sejam E,F e G espaos normados. Um operador bilinear R : EF G chamado de conjunta-mente limitado se

R := sup{R(x,y)G;xE 1,yF 1}< ,e separadamente limitado se, para cada x E e cada y F, os operadores Rx : F G e Ry : E G dados pory 7 R(x,y) e x 7 R(x,y) respectivamente, so limitados.

a) Demonstre que todo operador conjuntamente limitado separadamente limitado.

b) Suponhamos que R : EFG conjuntamente limitado e linear e que (xn) E e (yn) F so sequnciascom xn x e yn y, ento R(xn,yn) R(x,y).

c) Seja f : c00 c00 R o operador bilinear definido por

f (x,y) =

n=1

nxnyn.

Demonstre que f separadamente limitado mas no conjuntamente limitado.

Exerccio 34 Seja : [0,1] [0,1] [0,) uma funo contnua tal que 1 existe e contnua em [0,1] [0,1].Demonstre que o operador U : C([0,1])C([0,1]) definido por

(U f )(x) = 1

0(x, t) f (t)dt

linear e contnuo com

U= 1

0(1, t)dt.


Exerccio 35 Demonstre que o operador U : C([0,1])C([0,1]) definido por

(U f )(x) = 1

0ext f (t)dt

linear e contnuo comU= e1.

Sugesto: Exerccio 34.

Exerccio 36 Considere novamente o operador U : C([0,1])C([0,1]) definido por

(U f )(x) = 1

0ext f (t)dt.

Demonstre que se Vn,Un : C([0,1])C([0,1]) so definidos por

(Un f )(x) = 1

0

( nk=0

(tx)k

k!

)f (t)dt, (1.6)

(Vn f )(x) = 11/n

1/next f (t)dt, (1.7)

ento UUn 0 e UVn 0.

Exerccio 37 (Operadores de Hardy em lp) a) Sejam 1 < p < , n N, a1 0, . . .an 0. Demonstre quen

k=1

(a1+ . . .+akk

)p pp1

( nk=1

(a1+ . . .+akk

)p1ak)

e que ( nk=1

(a1+ . . .+akk

)p)1/p pp1

( nk=1

apk)1/p

.

b) Seja H : lp lp o operador de Hardy definido por

H((xn)) = (yn),

ondeyn =

x1+ . . .+ xnn

.

Demonstre que H linear e contnuo com

H= pp1 .

Captulo 2

Espaos Lp definio e propriedadesbsicas

Os espaos funes da forma Lp tm um papel central em vrias questes de Anlise. Esta importncia se deve aofato de eles serem uma generalizao dos espaos L2, de fundamental importncia em Anlise de Fourier. Vamosnos concentrar neste captulo nas propriedades estruturais bsicas desses esoaos. Em particular, veremos que elesso uma classe interessante de exemplos de espaos de Banach.

2.1 Resultados da Teoria de Integrao

Nesta seo vamos recordar algumas definies e resultados de teoria da medida que sero essenciais no estudodos espaos Lp.

A terna (X ,M ,) chamada de espao de medida finito se X for um conjunto e tivermos:

i) M uma lgebra em X , isto , uma sub coleo de subconjuntos de X tal que:

/0 M ; se a M ento Ac M ; se Ai M , i N,, ento iNAi M ;

ii) uma medida, isto , : M [0,] satisfaz o seguinte: ( /0) = 0; se Ai M , i N,, ento ( jJA j) = jJ (A j) sempre que (A j) jJ M for uma famlia enu-

mervel;

iii) X finito, isto , existe uma famlia enumervel (Xn)M tal que X = Xn e (Xn)< para todo n.A propriedade iii) acima no estritamente essencial, mas vamos assumi-la aqui.Os elementos de M so chamados de conjuntos mensurveis. J os conjuntos E M tais que (E) = 0

so chamados de conjuntos nulos. Uma propriedade que vale em X exceto em um conjunto de medida nula ditavaler em quase todo ponto (abrevidamente q.t.p. em X).

Denotamos por L1(X ,), ou somente L1(X) quando a medida estiver clara no contexto, o espao das funesf : X R que so integrveis, isto ,

X| f |d < .

Lembremos que L1(X ,) na verdade o conjunto das classes de funes que coincidem a menos de um conjuntode medida nula. Para a teoria de integrao, sugerimos o Captulo 2 de [5]. Usamos a notao

fL1 = f1 =

X| f |d.

13

14 CAPTULO 2. ESPAOS LP

Um exemplo bsico de espao de medida que pode ser fixado quando X = Rn,M formado pelossubconjuntos Lebesgue mensurveis de e a medida de Lebesgue.

Passamos agora a enunciar os resultados bsicos de teoria da medida.

Teorema 2.1.1 (Convergncia montona de Beppo-Levi) Seja ( fn) uma sequncia de funes em L1(X ,) cres-cente e limitada na norma L1 , isto ,

f1 f2 f3 , . . . , supnN

X

fnd < .

Ento, para quase todo x X , fn(x) converge para um nmero finito f (x). Alm disso, temos que f L1(X ,) e fn fL1 0, quando n .

Teorema 2.1.2 (Convergncia dominada de Lebesgue) Seja ( fn) uma sequncia de funes em L1(X ,) quesatisfaz o seguinte:

fn(x) f (x) em quase todo ponto x X (convergencia pontual); existe uma funo g L1(X ,) tal que | fn(x)| g(x) em quase todo ponto x X .

Ento f L1(X ,) e fn fL1 0 quando n .

Lema 2.1.3 (Lema de Fatou) Seja ( fn) uma sequncia de funes em L1(X ,) com fn 0 em quase todo pontode X e para todo n N. Suponha ainda que

supnN

X

fnd < .

Para quase todo x X podemos definirf (x) := liminf

n fn(x) .

Ento f L1(X ,) e X

f d liminfn

X

fnd.

Teorema 2.1.4 (Teorema de FubiniTonelli) Suponhamos que (X ,M ,) e (Y,N ,) sejam dois espaos de me-dida finitos.

a (Tonelli) Se f : XY R uma funo mensurvel satisfazendoY| f (x,y)|d < para quase todo x X ,

e X

Y| f (x,y)|dd < ,

ento f L1(XY, ), onde o completamento da medida produto .b (Fubini) Suponha que f L1(XY, ). Ento, para quase todo x X ,

f (x, ) L1(Y,), e

Yf (x,y)d L1(X ,).

Similarmente, para quase todo y Y,

f (,y) L1(X ,), e

Xf (x,y)d L1(Y,).

Alm disso, X

Y

f (x,y)dd =

Y

X

f (x,y)dd =

XYf (x,y)d .

2.2. ESPAOS LP 15

2.2 Definio e propriedades elementares de Lp

Com a notao da Seo anterior, seja (X ,M ,) um espao de medida finito. Para 1 p < definimos

Lp(X ,M ,) :={

f : X R mensurveis com

X| f (x)|pd <

}.

Usamos novamente a notao simplificada: Lp(X ,) ou Lp(X).Se f Lp(X ,) definimos

fLp :=(

X| f (x)|pd

)1/p.

O caso em que X = Rn e a medida de Lebesgue comumente usado e convm mante-lo comoexemplo tpico.

Se A qualquer conjunto e se a medida da contagem, denotamos Lp(A,) por lp(A). Em particular,quando A = N temos os espaos usuais do Exemplo 1.1.2.

Um resultado essencial da teoria do espaos Lp a desigualdade de Hlder. Para demonstr-la, necessitamosde uma generalizao do fato simples que diz que a mdia geomtrica de dois nmeros positivos majorada pelamdia aritmtica.

Lema 2.2.1 Se a,b, R com a,b 0 e 0 1, entoab1 a+(1)b.

Demonstrao. Observe que podemos supor b 6= 0. Definamosf (x) := x x (1), x 0.

Ento f (x) = (x1 1) e f crescente em 0 x 1 e decrescente em x 1. Segue que x = 1 ponto demximo da funo contnua f . Assim, para qualquer A 0,

f (A) f (1) = 0,ou seja,

A A+(1).Tomando A = ab1 vemos que

ab ab1+(1)e o resultado segue multiplicando esta desigualdade por b.

Dois nmeros p,q [0,] so chamados de expoentes conjugados se tivermos o seguinte:1p+

1q= 1,

onde estamos assumindo que p = 1 quando q = e vice versa.

Teorema 2.2.2 (Desigualdade de Hlder) Suponha que p,q (1,) so expoentes conjugados. Se f Lp(X ,)e g Lq(X ,), ento f g L1(X ,) e

f gL1 fLpgLq .

Demonstrao. Se fLp = 0 ou gLq = 0 ento teremos que f = 0 ou g = 0 respectivamente. Sendo assim, emqualquer um destes casos f g = 0 e a desigualdade vlida. Assim, suponhamos que nenhuma dessas normas seanulam e, alm disso, que fLp = gLq = 1. Ento precisamos verificar que f gL1 1. Para tanto, aplicamoso Lema 2.2.1 com a = | f (x)|p, b = |g(x)|q e = 1/p. Segue que 1 = 1/q e

| f (x)g(x)| 1p| f (x)|p+ 1

q|g(x)|q.


Intengrando esta desigualdade em X obtemos f gL1 1.

O caso geral segue aplicando este caso particular f/ fLp e g/gLq .

Podemos agora demonstrar outra desigualdade importante que implica, em particular, que Lp um espaovetorial e que Lp uma norma se p 1.

Teorema 2.2.3 (Desigualdade de Minkowski) Se 1 p < e f ,g Lp(X), ento f +g Lp(X) e

f +gLp fLp +gLp .

Demonstrao. No caso p = 1 basta integramos a desigualdade

| f (x)+g(x)| | f (x)|+ |g(x)|.

Se 1 < p < , ento verificamos inicialmente que

| f (x)+g(x)|p (2max{| f (x)|, |g(x)|})p 2p(| f (x)|p+ |g(x)|p),

o que implica que f +g Lp(X). seguir, vemos que

| f (x)+g(x)|p = | f (x)+g(x)|| f (x)+g(x)|p1 | f (x)|| f (x)+g(x)|p1+ |g(x)|| f (x)+g(x)|p1. (2.1)

Como (p1)q = p, podemos aplicar a Desigualdade de Hlder e obter:X| f (x)|| f (x)+g(x)|p1d

(X| f (x)|pd

)1/p(X| f (x)+g(x)|(p1)qd

)1/q,

X|g(x)|| f (x)+g(x)|p1d

(X|g(x)|pd

)1/p(X| f (x)+g(x)|(p1)qd

)1/q.

Assim, integrando (2.1) obtemos

f +gpLp fLp( f +g)p1Lq +gLp( f +g)p1Lq . (2.2)

Observemos que

( f +g)p1Lq =(

X| f (x)+g(x)|(p1)qd

)1/q=(

X| f (x)+g(x)|pd

)p/pq= f +gp/qLp . (2.3)

Podemos supor que f + gLp > 0 pois, caso contrrio, o resultado trivial. Logo, substituindo (2.3) em(2.2) e dividindo a desigualdade resultante por f +gp/qLp obtemos

f +gLp fLp +gLp ,

que finaliza a demonstrao.

O Teorema 2.2.3 implica que Lp satisfaz a desigualdade triangular na definio de norma. A homogenei-dade dessa expresso bvia. Estamos a um passo de dizer que Lp(X ,) com Lp um espao normado.Observemos porm que se f Lp(X ,) e fLp = 0, ento f = 0 somente em quase todo ponto de X (para amedida ). Assim, introduzimos uma relao de equivalncia nos espaos Lp na qual f e g so equivalentes sef = g em quase todo ponto de X . Com isso, a definio precisa de Lp(X ,) que este o conjunto das classesde equivalncia para esta relao. Na prtica, entretanto, no perdemos muito em pensar que os elementos deLp(X ,) so funes ao invs de classe de equivalncia de funes.

2.2. ESPAOS LP 17

Observao 2.2.4 Sejam a,b> 0 e 0< p< 1. Da, t p1 > (a+t)p1 para todo t > 0. Integrando de 0 a b obtemosque

ap+bp > (a+b)p.

Por outro lado, se E e F so subconjuntos disjuntos de X de medida finita e se fixarmos

a = (E)1/p, b = (F)1/p,

obtemosE +FLp = (ap+bp)1/p > a+b = ELp +FLp ,

onde A a funo caracterstica de A :

A(x) =

{1 se x A,0 se x 6 A.

Isto implica que a desigualdade triangular no vlida em Lp(X ,) se 0 < p < 1.

Terceira aula

Teorema 2.2.5 (Riesz-Fischer) Para 1 p < , Lp(X ,) um espao de Banach.

Demonstrao. Vamos demonstrar que toda srie absolutamente convergente em Lp(X) converge na norma Lp . Seja

( f j) Lp(X),

j=1 f jLp = A < .

Definamos

Gn(x) :=n

j=1| f j(x)|, G(x) :=

j=1| f j(x)|.

Observemos que (Gn) uma sequncia crescente e que, usando a desigualdade triangular,

GnLp n

j=1 f jLp A, para todo n N.

Segue do Teorema da Convergncia Montona (Teorema 2.1.1) queX

Gpd = lim

XGpnd Ap.

Assim, G Lp(X) e, em particular, G(x)


Mas isso o mesmo que dizer que a srie associada sequncia ( f j) converge na norma Lp . O resultado seguedo Teorema 1.1.5.

possvel estudar as relaes de incluso entre os vrios espaos Lp. O caso em que a medida do domnio finita segue da Desigualdade de Hlder.

Proposio 2.2.6 Suponhamos que (X)< e que p0 p1. Ento

Lp1(X) Lp0(X).

Alm disso, para toda f Lp1(X), fLp0 (X)

1p0 1p1 fLp1 ,

ou seja, a incluso de Lp1(X) em Lp0(X) um operador limitado.

Demonstrao. Podemos assumir que p1 > p0. Suponhamos ento que f Lp1(X) e definamos F := | f |p0 Lp1/p0(X). Seja p = p1/p0 > 1 e seu expoente conjugado, isto ,

1q= 1 p0

p1, q =

p1p1 p0 .

Aplicamos a Desigualdade de Hlder:X

F.1d (

X1d

)1/q(X

F pd)1/p

(X)1p0p1

(X| f |p1 d

)p0/p1= (X)1

p0p1 fp0Lp1 .

Mas, por outro lado, X

Fd =

X| f |p0d = fp0Lp0 ,

ou seja,

fp0Lp0 (X)1 p0p1 fp0Lp1 .

O resultado segue ao elevarmos ambos os lados dessa desigualdade a 1/p0.

Se X no possuir medida finita a incluso acima no vlida em geral. Na verdade, em um caso especficovale a incluso inversa.

Proposio 2.2.7 Seja X = N equipado com a medida da contagem . Se p0 p1 ento

lp0 lp1e alm disso,

flp1 flp0 .

Demonstrao. Se f lp0 , ento f = ( fn) e

fp0lp0 =

n=1| fn|p0 .

Tambm temos quesupnN| fn| flp0 .

2.2. ESPAOS LP 19

Observe que

n=1| fn|p1 =

n=1| fn|p0 | fn|p1p0

(supnN| fn|)p1p0 fp0lp0

fp1lp0 .

Assim, f lp1 e a desigualdade enunciada vlida.

Agora passamos a estudar o caso que nos resta: p = . Se uma funo f : X R mensurvel, definimos: fL := inf

{a 0 | ({x : | f (x)|> a}) = 0},

com a conveno de que inf /0 = . A expresso fL chamada de supremo essencial e s vezes escrevemos fL = esssupxX | f (x)|.

DefinimosL(X ,M ,) = L(X ,) := { f : X R | f mensurvel e fL < },

com a conveno de que duas funes que so iguais em quase todo ponto de X representam o mesmo elementode L(X ,).

Os resultados que foram demonstrados para 1 p < podem ser extendidos para p = .

Teorema 2.2.8 L(X ,) um espao de Banach com a norma L . Alm disso, se f ,g : X R so funesmensurveis, ento

f gL1 fL1gL .A igualdade f gL1 = fL1gL ocorre se, e somente se, |g(x)|= gL em quase todo ponto no conjunto ondef (x) 6= 0.

Demonstrao. Verificaremos somente que L(X) um espao completo. Os demais fatos ficam como exerccio.Seja ( f j) L(X) uma sequncia de Cauchy. Dado qualquer k N, existe nk N tal que

fn fmL 1k , para quaisquer m,n nk.

Consequentemente, existe Ek X com (Ek) = 0 tal que

| fn(x) fm(x)| 1k , para todo x X \Ek, e para quaisquer m,n nk. (2.4)

Se considerarmos E = kNEk, teremos que (E) = 0 e que, para todo x X \E, a sequncia real ( f j(x)) ser deCauchy em R. Assim, f j(x) f (x) para todo x X \E. Fazendo n em (2.4) obtemos

| f (x) fm(x)| 1k , para todo x X \E, e para qualquer m nk.

Segue que f L(X) e que f fmL 1/k para todo m nk. Portanto, f j f na norma L .

O espao L pode ser visto, a grosso modo, como o caso limite de Lp, quando p. Para verificarmos estefato necessitamos de um lema que possui outras aplicaes.

Lema 2.2.9 (Desigualdade de Chebyshev) Se f Lp(X ,), 0 < p < , ento, para qualquer > 0,

({x : | f (x)|> })( fLp

)p


Demonstrao. Seja E = {x : | f (x)|> }. Ento,

fpLp =

X| f |pd

E| f |pd p

E

d = p(E),

e o resultado segue.

Proposio 2.2.10 Suponha que f L(X ,) seja tal que o suporte de f esteja contido em um conjunto demedida finita. Ento f Lp(X ,) para todo p < e

fLp fL , quando p .

Demonstrao. Seja E um subconjunto mensurvel de X com (E) < e tal que f se anula fora de E. Se(E) = 0, ento fL = fLp = 0 e o resultado segue. Caso contrrio:

fLp =(

X| f |pd

)1/p fL(X

d)1/p

= fL(E)1/p.

Como (E)1/p 1 quando p , vemos que

limsupp

fLp fL .

Por outro lado, dado > 0, existe > 0 tal que

({x : | f (x)| fL }) .

Utilizando a Desigualdade de Chebyshev (Lema 2.2.9),X| f |pd ( fL )p.

Portanto,liminf

p fLp fL .

Como > 0 arbitrrio, temos que o limitelimp fLp

existe e igual a fL .

Exemplo Espaos de Hardy

Fixemos 1 p e seja T = {z C | |z| = 1}. Definamos X como sendo o conjunto das funes com valorescomplexos definidas em T com a propriedade de que se g : [pi,pi) C definida por g(t) = f (eit), ento g Lp[pi,pi). Duas funes f1, f2 X so consideradas iguais se f1(eit) = f2(eit) para quase todo t [pi,pi). ComoLp[pi,pi) um espao de Banach, temos que X tambm ser Banach com as operaes bvias que o tornamespao vetorial e com a norma

fp =( 1

2pi

pipi| f (eit)|pdt

)1/p, 1 p < , f = gL ,

para g como anteriormente. O espao X com esta estrutura de espao de Banach denotado por Lp(T). Essencial-mente, Lp(T) o espao Lp[pi,pi), exceto que [pi,pi) est sendo identificado com T e a medida de Lebesgue dtest sendo normalizada pela medida (2pi)1dt, de maneira que a medida de T 1.

Suponhamos que f Lp(T). Para cada n Z, o nsimo coeficiente de Fourier de f , denotado por f (n), definido pela frmula

f (n) =1

2pi

pipi

f (eit)eintdt.

2.3. EXERCCIOS 21

Observemos que se n Z e se ( f j) Lp(T) uma sequncia que converge para f Lp(T), ento

| f j(n) f (n)| f j f1 f j fp 0, quando j .

Segue que o conjunto{ f Lp(T) | f (n) = 0 sempre que n < 0}

um subespao fechado de Lp(T) e, consequentemente, um espao de Banach com a norma induzida. Este espaode Banach chamado de espao de Hardy Hp.

2.3 Exerccios

Exerccio 38 Consideremos os espaos Lp(Rn) com a medida de Lebesgue. Definamos

f0(x) ={ |x| se |x|< 1,

0 se |x| 1, f(x) ={ |x| se |x| 1,

0 se |x|< 1.

a Demonstre que f0 Lp(Rn) se, e somente se, p < n.b Demonstre que f Lp(Rn) se, e somente se, n < p.

Exerccio 39 Se f Lp(X) e g Lq(X) so ambas no identicamente nulas, demonstre que a igualdade acontecena Desigualdade de Hlder se, e somente se, existem constantes no nulas a,b > 0 tais que a| f (x)|= b|g(x)| paraquase todo x X .

Exerccio 40 Demonstre que:

a as funes simples so densas em L(X) se (X)< ;

b as funes simples so densas em Lp(X), 1 p < .

Observao: uma funo simples em X uma funo da forma

f (x) =d

j=1

a jE j ,

onde (E j)< para i = 1, . . . ,d e A a funo caracterstica do conjunto A.Sugesto: para a utilize

El j = {x X |Ml/ j f (x)M(l+1)/ j},onde j l j e M = fL . Ento considere as funes f j que so iguais a Ml/ j em El j. Para b use umaconstruo anloga.

Exerccio 41 Demonstre que, se 1 p < :

a o conjunto das funes contnuas com suporte compacto denso em Lp(Rn) e que, de fato:

b o conjunto das funes infinitamente diferenciveis com suporte compacto denso em Lp(Rn).

Exerccio 42 Suponha que 1 p < . Demonstre que se f Lp(Rn), ento

f (+h) fLp 0, quando |h| 0.

Sugesto: use que as funes contnuas com suporte compacto so densas em Lp(Rn) para 1 p < .


Exerccio 43 Seja

A = { f L2([0,1]) | existe I f [0,1],1/2 I f , f (x) = 0 para quase todo x I f }.

O conjunto A fechado em L2([a,b])?

Exerccio 44 Se 1 p < q < r , demonstre que

Lq(X) Lp(X)+Lr(X),

isto , cada funo f Lq(X) soma de uma funo em Lp(X) com um funo em Lr(X).

Exerccio 45 Se 1 p < q < r , demonstre que

Lp(X)Lr(X) Lq(X)

e que fLq fLp f1Lr ,

onde (0,1) satisfazq1 = p1+( 1)r1.

Exerccio 46 Se 1 p < q , demonstre que em Lp(X)Lq(X) a expresso

fLpLq := fLp + fLq

define uma norma e que Lp(X)Lq(X) equipado com esta norma Banach.

Exerccio 47 Seja n : R R definida por

n(t) =[0,n](t)

n,

para cada n N. Demonstre que n 0 uniformemente, mas n no converge em L1(R). Adapte para o caso deLp(R), 1 < p < .

Exerccio 48 O propsito desse exerccio demonstrar que, quando 1 p < , temos que (Lp) = Lq, com qsendo o conjugado de p.

a) Suponha que 1 p e seja q o conjugado de p, isto ,1p+

1q= 1.

Para cada g Lq(X ,), defina Lg : Lp(X ,) R por

Lg( f ) :=

Xf (x)g(x)d.

Demonstre que Lg linear limitado e queLg gLq .

b) Demonstre que, se 1 p e g Lq(X ,), com q sendo o conjugado de p, ento

gLq = sup f1

X

f (x)g(x)d= Lg.

2.3. EXERCCIOS 23

Sugesto: se q = 1 e p = , considere f (x) = sgn(g(x)), onde

sgn(t) =

1 se t > 0,1 se t < 0,0 se t = 0;se 1 < p < (1 < q < ), considere f (x) = |g(x)|q1 sgn(g(x))/gq1Lq ; finalmente, se p = 1 e q = , considere > 0 e E com 0 < (E)< tal que |g(x)| gL para ento considerar f (x) = E sgn(g(x))/(E).

c) Suponha que g seja integrvel em qualquer subconjunto de X de medida finita e seja

S := { f : X R | f uma funo simples}.

Suponha ainda que

sup fLp1, fS

X

f (x)g(x)d= M < .

Ento g Lq(X ,) e gLq = M.Sugesto: considere uma sequncia de funes simples (gn) tais que |gn(x)| |g(x)| com gn g pontualmente.Da, divida nos casos:

se p > 1, defina fn(x) = |gn(x)|q1 sgn(g(x))/gnq1Lq ; se p = 1, defina fn(x) = sgn(g(x))En(x), onde (En) uma sequncia crescente de conjuntos com medida

finita e X = En.

d) Suponha que (X)< e seja F (Lp(X ,)). Defina

(E) = F(E),

onde E X um subconjunto mensurvel. Demonstre que

|(E)| F((E))1/p.

Demonstre ainda que uma medida enumeravelmente finita e absolutamente contnua com relao a .

e) Supondo ainda (X) < , use o Teorema de LebesgueRadonNykodim para garantir a existncia de umafuno g integrvel tal que

(E) =

Eg(x)d.

Conclua que

F(E) =

XEg(x)d

e que a representao

F( f ) =

Xf (x)g(x)d

vlida para toda funo simples f . Usando que as funes simples formam um conjunto denso em Lp(X ,),demonstre que esta representao vale para toda f Lp(X ,), 1 p < . Conclua ainda que gLq = F.

A concluso que, se (X)


para qualquer f Lp(X ,), e ainda gLq = F.

f) Demonstre que a caracterizao anterior vlida mesmo se (X) = . Para tanto, considere uma sequnciacrescente (En), com (En)< e X = En. Da, para cada n, considere gn dada pela letra e) com En no lugar deX e finalmente g = limgn.

Exerccio 49 (Desigualdade de Minkowski para integrais) Suponha que (X1,1) e (X2,2) sejam dois espaosde medida e que 1 p . Demosntre que se f (x1,x2) mensurvel em X1X2 e nonegativa, ento

X2f (x1,x2)d2

Lp(X1)

X2 f (x1,x2)Lp(X1)d2.

Exerccio 50 Sejam f1, . . . , fk funes com fi Lpi(X), com 1 pi ek

i=1

1pi=

1p 1.

Seja

f (x) =k

i=1

fi(x).

Demonstre que f Lp(X) e que fLp

k

i=1 fiLpi .

Sugesto: induo finita.

Exerccio 51 Seja (X ,) um espao de medida e suponha que : [0,) seja uma funo convexa, contnua ecrescente com (0) = 0. Definamos

L (X) :={

f : X R |

X(| f (x)|/M)d < , para algum M > 0

},

e fL := inf

{M > 0 |

X(| f (x)|/M)d 1

}.

Demonstre que:

a L (X) um espao vetorial;

b L uma norma;c L (X) Banach.

Os espaos L (X) so chamados de espaos de Orlicz. Notemos que Lp(X) = L (X) se (t) = t p, 1 p < .Sugesto: talvez seja importante notar que se f L (X), ento

limN

X(| f (x)|/N)d = 0.

Alm disso, existem A > 0 e > 0 tais que (t) At, para todo t .

Exerccio 52 Seja C1([0,1]) o conjunto das funes reais contiuamente diferenciveis em [0,1] (veja o Exerccio8). Note que C1([0,1]) L2(0,1). Assim, podemos restringir a norma de L2(0,1) a C1([0,1]). Verifique o operadorD : C1([0,1]) L2(0,1) definido por

(D f )(t) = f (t)

no limitado quando a norma do primeiro espao L2 .Sugesto: considere fn(t) = sen(npit).

2.3. EXERCCIOS 25

Exerccio 53 Seja X =C([0,1]) ou X = L1([0,1]). Para cada f X , definimos T : X X por

T ( f )(t) = t

0f (s)ds.

Demonstre que tal operador limitado de X em X e encontre sua norma.Observao: tente resolver este exerccio no caso em que X = L2([0,1]) e verifique o que acontece.

Captulo 3

Os Teoremas de HahnBanach eaplicaes

Quarta aulaNeste captulo estudaremos os funcionais lineares e os Teoremas de HahnBanach tanto de uma maneira

analtica quanto suas formas geomtricas.

3.1 Forma analtica do Teorema de Hahn-Banach

Seja X um espao vetorial sobre um corpo F. Dizemos que p : X [0,) sublinear se, para quaisquer x,y Xe todo 0, tivermos:

p(x) = p(x),p(x+ y) p(x)+ p(y).

Observe que se um funcional sublinear satisfaz a propriedade que

p(x) = | |p(x), para todo F,ento p uma semi norma.

Lembremos que, dado um subconjunto S do espao vetorial X , o subespao vetorial gerado por S, denotadopor [S], a interseco de todos os supespaos W de X tais que SW. Equivalentemente,

[S] ={ ki=1

ixi | k N,i F,xi S}.

O lema a seguir o ponto chave em um processo indutivo que faremos para a demonstrao da primeiraverso do Teorema de HahnBanach.

Lema 3.1.1 Seja X um espao vetorial sobre R e F X um subespao com F 6= X . Seja p um funcional sublinearem X e f : X R um funcional linear tal que

f (x) p(x), para todo x F. (3.1)Dado qualquer x0 X \F, definamos

F := [{F,x0}] = F +Rx0 = {x+x0 | x F, R}.Ento, existe um funcional linear f : F R tal que

fF = f e p(x) f (x) p(x), (3.2)

para todo x F .

27

28 CAPTULO 3. HAHNBANACH

Demonstrao. Observemos inicialmente que basta encontrarmos f com f (x) p(x) pois

f (x) = f (x) p(x).

Passo 1: suponhamos que um funcional f como no enunciado do lema exista e verifiquemos como ele poderia sercaracterizado. Para isso, seja y = y+x0 F . Ento, usando a linearidade:

f (y) = f (y)+ f (x0) = f (y)+, onde = f (x0). (3.3)

Sendo assim, um tal funcional f , quando existir, est completamente caracterizado pelo nmero real .Passo 2: Reciprocamente, a escolha de R satisfazendo (3.3) determina um funcional linear bem definido. Defato, observe que se tivermos

y = y+x0 = y+ x0,

entoy y = ( )x0;

como yy F e x0 6 F , devemos ter = 0. Assim, = e y= y. Conclumos que a representao de y naforma y+x0 nica e, portanto, a escolha de = f (x0) determina um nico funcional linear usando a frmula(3.3).Passo 3: nos resta verificar que podemos escolher R de maneira que (3.2) seja satisfeita. Isto o mesmo queperguntar se a expresso

f (y)+ = f (y+x0) p(y+x0) (3.4) vlida para quaisquer y F e R. Ora, se = 0 ento (3.4) vlida por (3.1). Caso contrrio, tomamosx =y/ e (3.4) se torna

( f (x)) p( (x x0)).Usando as propriedades do funcional sublinear p devemos ter, para todo x F :

f (x) p(x x0), se < 0,( f (x)) p( (x x0)), se > 0.

Equivalentemente,p(x0 x) f (x) p(x x0), para todo x F,

ou ainda,f (x) p(x x0) f (x)+ p(x0 x), para todo x F. (3.5)

Assim, uma escolha de R satisfazendo (3.5) nos d, via (3.3), um funcional linear f com a propriedadedesejada.Passo 4: existe satisfazendo (3.5)? Para responder a esta questo tomemos

a := supxF

f (x) p(x x0),

b := infxF

f (x)+ p(x0 x).

Se a b, ento poder ser escolhido como qualquer elemento em [a,b]. Observe que, para quaisquer x,y F,

f (x) f (y) = f (x y) p(x y) p(x x0)+ p(x0 y).

Assim,f (x) p(x x0) f (y)+ p(x0 y).

Fixando y F e usando que x F qualquer obtemos

supxF

f (x) p(x x0) f (y)+ p(x0 y).

3.1. FORMA ANALTICA 29

Agora tomamos o nfimo em y F para obtermos

supxF

f (x) p(x x0) infyF

f (y)+ p(x0 y).

Isto implica que a b e conlcui, finalmente, a demonstrao.

Gostaramos agora de estender sucessivamente f , uma dimenso de cada vez, ao espao X preservando apropriedade (3.1). Se X \F fosse de dimenso finita, ento poderamos proceder como no Lema 3.1.1. Se por outrolado o espao X \F tivesse uma base enumervel, poderamos usar induo finita e chegar no mesmo resultado.Entretanto, existem espaos vetoriais normados que possuem base possivelmente no enumervel. Assim, parademonstrarmos o resultado de uma maneira geral necessitamos de tcnicas de induo transfinita.

Uma ordem parcial em um conjunto C 6= /0 uma relao R em C com as seguintes propriedades:

reflexividade: xRx para todo x;

anti simetria: se xRy e yRx, ento x = y;

transitividade: se xRy e yRz, ento xRz.

Uma ordem linear ou total uma ordem parcial R em C que satisfaz tambm o seguinte:

se x,y C , ento xRy ou yRx.

Um exemplo tpico o caso em que A qualquer conjunto e consideramos E =P(A), que o conjuntodas partes de A. Temos que P(A) parcialmente ordenado pela incluso de conjuntos. Um outro caso simples quando E = R e a relao dada por . Note que R com a relao linearmente ordenado.

Sendo este ltimo caso o mais conhecido, adotamos como notao para uma relao de ordem geral R eescrevemos x < y para indicar que x y e x 6= y.

Se E parcialmente ordenado por , um elemento maximal (resp. minimal) de E um elemento x E talque o nico y E satisfazendo x y (resp. y x) o prprio x. Observe que elementos maximais ou minimaispodem no existir ou, quando existirem, no serem nicos, a menos que a ordem seja total.

Se F E, um limite superior (resp. inferior) para F um elemento x E tal que y x (resp. x y) paratodo y F. Um limite superior ou inferior para F no precisa pertencer a F e, a menos que F seja totalmenteordenado, um elemento maximal de F no precisa ser um limite superior para F.

Se E linearmente ordenado por e todo subconjunto no vazio de E possui um elemento minimal (nonecessariamente nico), dizemos que E est bem ordenado por ou que uma boa ordem em E.

A seguir apresentamos um princpio fundamental da teoria dos conjuntos.

Princpio maximal de Hausdorff. Todo conjunto parcialmente ordenado possui um subconjunto linearmenteordenado maximal.

Assim, se E parcialmente ordenado por , existe F E que linearmente ordenado por e que nenhumsubconjunto de E que est contido propriamente em F linearmente ordenado. A verso deste princpio queutilizaremos ser enunciada a seguir.

Lema 3.1.2 (de Zorn) Se E um conjunto parcialmente ordenado e todo subconjunto de E linearmente ordenadopossui um limite superior, ento E possui um elemento maximal.

Um estudo mais detalhado do Lema de Zorn e do Princpio Maximal de Hausdorff pode ser encontradoem [5]. Estes dois resultados so, na verdade, equivalentes entre si e ao Axioma da Escolha. Um argumentosimplificado para se demonstrar esta ltima equivalncia pode ser encontrado em [7].

Nosso intuito demonstrar o teorema abaixo utilizando o Lema de Zorn.


Teorema 3.1.3 (HahnBanach na forma analtica; Helly) Seja X um espao vetorial sobre R, F X um subes-pao e p : X R um funcional sublinear. Suponhamos que f : F R seja um funcional linear tal que

f (x) p(x) para todo x F.Ento, existe um funcional linear f : X R que uma extenso de f , isto ,

fF = f ,

e que satisfazp(x) f (x) p(x) para todo x X .

Demonstrao. Seja S o conjunto de todos os funcionais lineares g : D(g) R, com D(g) X , satisfazendogF = f e g(x) p(x) para todo x D(g). Note que S 6= /0, pois f S. Vamos definir uma ordem parcial em S.

Diremos que g h para g,h S se D(g) D(h) e se g(x) = h(x) sempre que x D(g). Seja C S linearmenteordenado e definamos

D = gCD(g).Ento, como C linearmente ordenado, D um subespao vetorial de X . Definamos ainda gC : D R por

gC(x) = g(x), x D(g).Novamente o fato de C ser linearmente ordenado implica que gC est bem definido. Alm disso, gC linear.Consequentemente, gC S e um limite superior para C. Aplicando o Lema de Zorn (Lema 3.1.2) podemosconcluir que S possui um elemento maximal, o qual denotamos por f . Note que f uma extenso linear de f quesatisfaz f (x) p(x) para todo x D( f ). Falta verificarmos que D( f ) = E.

Suponhamos que x E \D( f ). Ento, pelo Lema 3.1.1, podemos extender f ao espao F =D( f )+Rx. Masisso contradiz a maximalidade de f e finaliza a demonstrao.

Quinta aula

O Teorema de HahnBanach tambm possui uma verso para espaos vetoriais complexos.

Teorema 3.1.4 (HahnBanach na forma complexa) Suponhamos que X seja um espao vetorial sobre F=R ouF= C, que F seja um subespao vetorial de X e que p seja uma semi norma em X . Se f : F F um funcionallinear tal que

| f (x)| p(x) para todo x F,ento existe um funcional linear f : X F com

fF = f

e ainda| f (x)| p(x) para todo x X .

Demonstrao. Para f como na hiptese escrevemos f (x) = g(x)+ ih(x), x F, isto , escrevemos f em termosde suas partes real e imaginria. Para quaisquer x,y F,

g(x)+ ih(x)+g(y)+ ih(y) = f (x)+ f (y) = f (x+ y) = g(x+ y)+ ih(x+ y),

e para todo R,g(x)+ ih(x) = f (x) = f (x) = g(x)+ ih(x).

Igualando a parte real e imaginria obtemos que g e h so lineares sobre R. Alm disso,

g(ix)+ ih(ix) = f (ix) = i f (x) = ig(x)h(x) =h(x)+ ig(x).Segue que

g(ix) =h(x),

3.1. FORMA ANALTICA 31

o que nos df (x) = g(x) ig(ix), para todo x F. (3.6)

Como g a parte real de f obtemos que, para todo x F,

|g(x)| | f (x)| p(x). (3.7)

Assim, estamos nas hipteses do Teorema 3.1.3 quando consideramos X como um espao sobre R. Segue queexiste uma extenso g de g tal que g Rlinear em X e satisfaz

|g(x)| p(x), para todo x X .

Definimos f usando (3.6):f (x) = g(x) ig(ix).

Verifiquemos que f Clinear. Como ele Rlinear, basta mostrar que f (ix) = i f (x). Isto verdade pois:

f (ix) = g(ix) ig(x) = g(ix)+ ig(x) = i(g(x) ig(ix))= i f (x).Por outro lado, para cada x X , podemos escrever f (x) = rei para algum r 0 e algum ngulo . Assim:

| f (x)|= r = ei f (x) = f (ei x).

Como f (ei x) R, obtemos que

| f (x)|= f (ei x) = g(ei x) p(ei x) = |ei |p(x) = p(x),

pois p uma semi norma. O resultado segue.

Antes de passarmos a algumas consequncias do Teorema de HahnBanach, lembremos que se X normado,B(X ,F) denotado por X e este espao de Banach. Alm disso, uma norma em X pode ser definida por

fX = supxX ,xX1

| f (x)|.

Corolrio 3.1.5 (HahnBanach para espaos vetoriais normados) Seja X um espao normado sobre F e Y umsubespao de X . Seja ainda f Y um funcional linear contnuo. Ento existe f X tal que

fY = f e fX = fY .

Demonstrao. Observando que| f (x)| fY xY = p(x),

para todo x Y, basta aplicarmos o Teorema 3.1.4 ao funcional f usando a seminorma p(x) = fY xY . Dateremos que a extenso f

| f (x)| fY xXpara todo x X . Em particular,

supxX ,xX1

| f (x)| fY

Mas, usando que f uma extenso de f , obtemos

fX supxY,xX1

| f (x)|= fY ,

e o resultado segue.

Agora vamos apresentar algumas consequncias interessantes do Teorema de HahnBanach.


Corolrio 3.1.6 Seja X um espao normado e x0 X . Ento existe f0 X tal que

f0X = x0X e f0(x0) = x02X .

Demonstrao. Basta aplicarmos o Corolrio 3.1.5 com Y = [{x0}] e f (x0) = x02 e observar que, parax = x0 Y,

| f (x)|= | f (x0)|= |x02X |= x0Xx0X ,o que implica que fY = x0.

Observao 3.1.7 O elemento f0 X do Corolrio 3.1.6 no nico em geral.

Corolrio 3.1.8 Seja X um espao normado. Para todo x X , temos que

xX = supfX, f1

| f (x)|= maxfX, f1

| f (x)|.

Em particular, se x 6= 0, existe f X com fX = 1 e com f (x) = xX .

Demonstrao. O resultado bvio se x = 0. Assumindo x 6= 0, obtemos

supfX, f1

| f (x)| xX .

Por outro lado, pelo Corolrio 3.1.6 existe f0 X tal que f0(x) = x2X . Seja f1 = f0/xX , de maneira que f1= 1 e f1(x) = xX . Isto implica que

supfX, f1

| f (x)| xX

e conclui a demonstrao.

Corolrio 3.1.9 Seja X um espao normado. Ento X separa pontos de X .

Demonstrao. Sejam x,x2 X com x1 x2 6= 0. Ento, pelo Corolrio 3.1.8 existe f X tal que

f (x1 x2) 6= 0.

Por linearidade, f (x1) 6= f (x2).

Corolrio 3.1.10 Seja X um espao normado e x0 X tal que f (x0) = 0 para todo f X. Ento x0 = 0.

Demonstrao. Se x0 6= 0, ento pelo Corolrio 3.1.9 deveria existir f X com f (x0) 6= f (0) = 0.

3.2 Completamento e reflexividade

Proposio 3.2.1 Seja X um espao normado. Para x X definamos x : X F por

x( f ) := f (x).

Ento a aplicao x 7 x uma isometria linear de X em X (o dual de X).

Demonstrao. Inicialmente vemos que x de fato um funcional linear. Alm disso, para qualquer f X,

|x( f )|= | f (x)| xX fX .

3.3. FORMAS GEOMTRICAS 33

Segue que x limitado. Alm disso, esta desigualdade tambm implica que xX xX . Por outro lado, peloCorolrio 3.1.8, existe f X, fX = 1, tal que

xX = | f (x)|= |x( f )| xX fX = xX .Segue que xX = xX e a aplicao x 7 x uma isometria.

A aplicao J : X X definida na Proposio 3.2.1 e dada por Jx = x chamada de aplicao cannica(ou imerso cannica) de X em X. Definamos

X := J(X) = {x : X F | x = Jx,x X}.

Como X um espao de Banach, temos que o fecho X ser tambm Banach, pois fechado em X. Alm disso,J uma imerso isomtrica de X em X como um subespao denso. O espao X chamado de completamento deX . Em particular, se X j Banach, temos que X = X .

Dizemos que o espao de Banach X reflexivo se X = X, isto , se a aplicao cannica J sobrejetora.Usualmente, se identifica x e x e, por abuso de linguagem, se considera X como subespao de X.Qualquer espao vetorial de dimenso finita reflexivo. Uma demonstrao simples deste fato poder ser

obtida quando definirmos espaos uniformente convexos.Um exemplo mais interessante o dos espaos Lp, 1< p .

Suponha que f (x0)< e seja r > 0 tal que Br(x0) E \H.Afirmao 2: f (x)< para todo x Br(x0).

Para demonstrarmos esta afirmao, suponhamos o contrrio, isto , que existe x1 Br(x0) com f (x1)> .Observemos inicialmente que o conjunto

[x0,x1] := {xt = (1 t)x0+ tx1 | 0 t 1}


est inteiramente contido em Br(x0). Consideremos ento a funo : [0,1] R definida por(t) = f ((1 t)x0+ tx1).

Observemos que contnua, pois

(t) = (1 t) f (x0)+ t f (x1) = f (x0)+ t( f (x1) f (x0)),e ainda

(0) = f (x0)< e (1) = f (x1)> .Segue do Teorema do Valor Intermedirio que existe t1 [0,1] tal que

(t1) = = f (xt1),

o que absurdo pois xt1 Br(x0).Tendo demonstrado a Afirmao 2, a reescrevemos como

f (x0+ rz)< , para todo z B1(0).

Afirmao 3: f limitado (e portanto, contnuo) e

fX 1r ( f (x0)).

Demonstremos esta afirmao. Para tanto, notemos que

f (x0+ rz) = f (x0)+ r f (z)< .

Por linearidade,

f (z) 0 tal que

f (x) para todo x A e f (x) + para todo x B.Lembremos que um conjunto C X dito convexo se

tx+(1 t)y Csempre que x,y C e para todo t [0,1]. Associado com um conjunto convexo em um espao vetorial temos oconceito de funo calibre, que discutiremos com mais detalhes no prximo lema.

3.3. FORMAS GEOMTRICAS 35

Lema 3.3.2 Seja C X um convexo aberto com 0 C. Para cada x X definimos

p(x) = inf{ > 0 | 1x C}.

Ento p um funcional sublinear e existe M > 0 tal que

0 p(x)MxX ,

para todo x X . Alm disso,C = {x X | p(x)< 1}.

Observao 3.3.3 O funcional p definido no Lema 3.3.2 chamado de funo calibre de Minkowski associadaao convexo C.

Demonstrao do Lema 3.3.2. Notemos inicialmente que, como estamos supondo que 0 C, para cada x Xexiste > 0 tal que 1x C. Consequentemente, p est bem definido.

Verifiquemos que p caracteriza C. Se x C, ento x/(1 ) C para algum > 0, j que C aberto. Issoimplica que p(x) < 1. Reciprocamente, se p(x) < 1, ento x = (1 )x para algum > 0 e algum x C. Masento x = (1 )x+ 0, e x C por convexidade.

Para verificarmos a sublinearidade, notemos que (x1 + x2)/(1 +2) pertence a C se x1/1 e x2/2 per-tencem ambos a C. De fato, basta usarmos a definio de convexidade com t = 2/(1 +2) e 1 t = 1/(1 +2).

Por ltimo, seja Br(0)C. Ento, se x X e x 6= 0, temos querx

2xX Br(0)C.

Portanto, para todo x 6= 0, temos quep(x) 2

rxX .

Como p(0) = 0, podemos tomar M = 2/r e seguir que

p(x)MxX ,

para todo x X .

Lema 3.3.4 Seja C X um convexo, aberto, no vazio e x0 6C. Ento existe f X tal que f (x) < f (x0) paratodo x C. Em particular, o hiperplano de equao [ f = f (x0)] separa {x0} e C.

Demonstrao. Suponhamos inicialmente que 0 C e seja p o funcional de Minkowski de C. Consideremos osubespao G X gerado por x0, isto , G = Rx0. Definamos um funcional g em G por

g(tx0) = t, t R.

Observemos que, se x = tx0 e t > 0,

p(x) = t p(x0) t1 = t = g(tx0) = g(x),

e se t 0,p(x) = p(t(x0)) =t p(x0) 0 t = g(tx0) = g(x).

Conclumos queg(x) p(x), para todo x G.

Utilizando o Teorema 3.1.3 com g e p garantimos a existncia de um funcional linear f em X que uma extensode g e que ainda satisfaz

f (x) p(x), para todo x X .


Em particular, f (x0) = g(1x0) = 1 e tambm

f (x) = f (x) p(x), para todo x X .

Segue que| f (x)| p(x)MxX ,

isto , f contnuo. Alm disso, para todo x C,

f (x) p(x)< 1 = f (x0),

o que finaliza a demonstrao do lema.

Estamos em posio de demonstrar a primeira forma geomtrica do Teorema de HahnBanach.

Teorema 3.3.5 (HahnBanach, primeira forma geomtrica) Sejam A,BX dois conjuntos convexos, no vaziose disjuntos. Suponhamos que A seja aberto. Ento existe um hiperplano fechado que separa A e B no sentido fraco.

Demonstrao. Consideremos o conjunto C = AB, de forma que 0 6C, j que AB= /0. Temos que C abertopois C = yB(A y) e cada A y aberto. Alm disso, C convexo: se x1,x2 A, y1,y2 B e 0 t 1, ento

t(x1 y1)+(1 t)(x2 y2) = (tx1+(1 t)x2) (ty1+(1 t)y2) AB.

Pelo Lema 3.3.4 existe f linear em X , contnuo, tal que

f (z)< f (0) = 0, para todo z C.

Em particular,f (x)< f (y),

para todo x A e todo y B. Segue quesupxA

f (x) infyB

f (y).

Escolhemos R tal quesupxA

f (x) infyB

f (y).

Portanto, o hiperplano de equao [ f = ] separa A e B no sentido fraco e fechado pois f contnuo.

Se impormos mais condies nos convexos A e B obtemos que estes conjuntos podem ser separados nosentido estrito. Este o contedo da segunda forma geomtrica do Teorema de HahnBanach.

Teorema 3.3.6 (HahnBanach, segunda forma geomtrica) Sejam A,B X dois convexos no vazios tais queAB= /0. Suponhamos que A seja fechado e que B seja compacto. Ento existe um hiperplano fechado que separaA e B no sentido estrito.

Demonstrao. Para > 0 definamos

A = A+B(0) = aA(B(0)+a),B = B+B(0) = bB(B(0)+b).

Temos que A e B so convexos, abertos e no vazios.Afirmao: para > 0 suficientemente pequeno, A e B so disjuntos. De fato, se esta afirmao fosse falsaexistiria uma sequncia n 0 com An Bn 6= /0 para todo n N. Assim, para cada n N, existe zn An Bncom

zn = xn+an = yn+bn, an A, bn B, xn,yn B(0).

3.4. ORTOGONALIDADE 37

Com isso,anbnE an znE +bn znE = xnE +ynE < 2n.

Sendo B compacto, existe uma subsequncia (bn j) de (bn) com bn j b B. Mas dessa forma,an j bn jE < 2n j ,

o que implica que an j y. Como A fechado, y A. Assim AB 6= /0 e temos um absurdo. Isso demonstra aafirmao.

Pelo Teorema 3.3.5, existe um hiperplano fechado de equao [ f = ] que separa A e B no sentido fraco,isto ,

f (x+ z1) f (y+ z2),sempre que x A, y B, e para quaisquer z1,z2 B1(0). Por linearidade podemos escrever

f (x)+ supze1

f (z) f (y)+ infzE1

f (z).

Segue que

f (x) f, para todo x A,f (y) + f, para todo y B,

ou seja, f separa A e B no sentido estrito.

As formas geomtricas do Teorema de HahnBanach possuem aplicaes interessantes como o prximocorolrio. Ele nos diz que se F um subespao do espao normado X e se o nico funcional linear contnuo quese anula em F o funcional nulo em X , ento F denso em X .

Corolrio 3.3.7 Seja F X um subespao vetorial tal que F 6= X . Ento existe f X, f 6= 0, de forma quef (x) = 0 para todo x F.

Demonstrao. Seja x0 X \F e consideremos o convexo fechado A = F e o convexo compacto B = {x0}. PeloTeorema 3.3.6 existe f X e R de maneira que o hiperplano de equao [ f = ] separa A e B no sentidoestrito. Portanto, existe > 0 tal que

f (x)+ f (x0) , pata todo x F .Em particular,

f (x)< < f (x0), pata todo x F.Mas da f um funcional linear limitado no espao vetorial F, e portanto f (x) = 0 para todo x F. Consequente-mente:

0 < < f (x0).

Isto finaliza a demonstrao.

3.4 Ortogonalidade

Vamos introduzir nesta seo o conceito de ortogonalidade e utilizar os teoremas de HahnBanach para verificaras primeiras propriedades relativas a este conceito.

Dado um espao vetorial normado X e um subespao M X , definimos o conjuntoM := { f X | f (x) = 0 para todo x M}.

Se N X um subespao, definimosN := {x X | f (x) = 0 para todo f N}.


Dizemos que M e N so os anuladores ou ortogonais de M e N respectivamente. Tanto M quanto N

so subespaos fechados de X e X respectivamente. De fato, observe que se f M, tomando uma sequncia( fn)M com fn f , teremos que 0 = lim fn(x) = f (x) para todo x M, ou seja, f M. O raciocnio no casode N anlogo.

Proposio 3.4.1 Sejam M X e N X subespaos vetoriais. Ento(M) = M e N (N).

Demonstrao. Se x M, segue que f (x) = 0 para todo f M. Mas isso o mesmo que dizer que x (M).Assim, M (M) e, como (M) fechado, M (M). A incluso inversa demonstrada por contradio.Suponhamos que exista x0 (M) \M. Podemos ento separar {x0} e M por um hiperplano de equao [ f = ]no sentido estrito. Em particular,

f (x)< < f (x0), para todo x M. (3.8)A primeira desigualdade implica que f aplica o espao vetorial M em um subconjunto limitado, o que nos dfM = 0. Em outras palavras, f M. Como x0 (M), devemos ter f (x0) = 0. Estes ltimos fatos nos do

uma contradio com (3.8).Finalmente, se f N, segue que f (x) = 0 para todo x N. Dito de outra forma, f (N) e, como

anteriormente, N (N).

3.5 Exerccios

Exerccio 54 Demonstre que o Princpio Maximal de Hausdorff e o Lema de Zorn so equivalentes.

Exerccio 55 Demonstre que todo conjunto no vazio C pode ser bem ordenado.

Exerccio 56 Demonstre o Axioma da escolha: se {X}A uma coleo no vazia de conjuntos no vazios,ento

A

X 6= /0.

Em particular, demonstre que existe um conjunto Y AX tal que Y X 6= /0 contm precisamente um ele-mento para cada A.

Exerccio 57 Demonstre, utilizando o Lema de Zorn, que todo espao vetorial normado de dimenso infinitapossui uma base de Hamel {ei}iI com ei= 1 para todo i I.

Exerccio 58 Seja X um espao vetorial normado de dimenso infinita. Construa um funcional linear f : X Rque no seja contnuo.

Exerccio 59 Seja X um espao vetorial e Y X um subespao. Demonstre que todo funcional linear f : Y Fpossui uma extenso linear f : X F.Observao: no precisa utilizar HahnBanach.

Exerccio 60 Demonstre que um funcional linear f X fica completamente determinado por seus valores em umsubconjunto D denso em X .

Exerccio 61 (Princpio de extenso) Demonstre que um funcional linear limitado em um espao vetorial nor-mado X pode ser estendido a um funcional linear limitado em X . Esta extenso nica e a norma preservadana extenso.

Exerccio 62 Seja X um espao normado e {x1, . . . ,xn} um subconjunto finito de X linearmente independente.Demonstre que, para quaisquer 1, . . . ,n F, existe f X tal que (xi) = i, 1 = 1, . . . ,n.

3.5. EXERCCIOS 39

Exerccio 63 Seja X um espao normado, M X um subespao fechado e x X \M. Demonstre que se = inf

yMx yX ,

ento existe f X tal que fX = 1 e f (x) = . Em particular, fM = 0.

Exerccio 64 Demonstre que um funcional f em um espao normado limitado se, e somente se, f1({0}) fechado.Observao: tente demonstrar este resultado utilizando o Exerccio 18, letra b, que seria uma alternativa demonstrao feita na Proposio 3.3.1.

Exerccio 65 Seja X um espao normado.

a Se M X um subespao fechado e x X \M, ento M+Fx fechado.b Todo subespao de X de dimenso finita fechado.

Exerccio 66 Seja X um espao normado de dimenso infinita.

a Existe uma sequncia (x j) X tal quex jX = 1

para todo j e

x j xkX 12para j 6= k

b X no localmente compacto.

Sugesto: construa (x j) indutivamente usando o Exerccio 18, letra b, e o Exerccio 65.

Exerccio 67 Seja X um espao normado e M X um subespao de dimenso finita. Ento, existe um subespaofechado N X tal que

MN = {0} e M+N = X .

Exerccio 68 Seja X um espao vetorial real e P X um subconjunto satisfazendo o seguinte:

se x,y P, ento x+ y P; se x P e 0, ento x P; se x P e x P, ento x = 0.

a Demonstre que a relao definida por x y se, e somente se, y x P uma ordem parcial em X .b Teorema da extenso de Krein Suponha que M X seja um subespao tal que, para cada x X , existe

y M com x y. Se f um funcional linear em M tal que f (x) 0 para x M P, existe um funcionallinear f X tal que

f (x) 0 para todo x P e f M = f .Sugesto: considere p(x) = inf{ f (y) | y M e x y}.

Exerccio 69 Seja E um espao vetorial sobreC e BX . Dizemos que B balanceado se para todo xB, o discofechado {x | | | 1} est contido em B. Demonstre que um conjunto C uma bola unitria fechada para algumasemi norma em E se, e somente se, C convexo, balanceado e, para todo x E, o conjunto { C | x C} fechado e contm uma vizinhana de zero em C.Sugesto: nestas condies, o funcional de Minkowski de C uma semi norma.


Exerccio 70 Demonstre que uma topologia em um espao vetorial E gerada por uma semi norma se, e somentese, existe um conjunto U E satisfazendo as seguintes condies:

U convexo, balanceado e todo supespao unidimensional de E possui pelo menos um vetor no nulo de U ; uma famlia de conjuntos Uxt = {x+ ty | y U}, onde x E e t > 0, uma base desta topologia.

Sugesto: procure por uma semi norma que o funcional de Minkowski de U.

Exerccio 71 Um espao vetorial normado E separvel se, e somente se, existe um subespao vetorial E0 Eque possui base enumervel e que denso em E.Demonstre o Teorema de HahnBanach para um espao separvelE sem utilizar o Lema de Zorn.

Exerccio 72 Consideremos em R2 as normas

(x,y)1 := |x|+ |y|, (x,y) := sup{|x|, |y|}, (x,y)p := (|x|p+ |y|p)1/p,

com 1 < p < . Seja E0 um subespao unidimensional de R2 e f0 um funcional em E0 com norma 1.

a) Se a norma for 1 e se E0 for um dos eixos coordenados, ento f0 possui vrias extenses que preservamnorma.

b) O mesmo acontece se a norma for e se E0 for uma das diagonais principais.c) Se a norma for p e se E0 for um subespao arbitrrio, ento a extenso de f0 que preserva norma

nica.

Exerccio 73 Seja E o espao vetorial das funes (ou classe de funes) em [0,1] que so Lebesgue mensurveis.Considere em E a mtrica

d(x,y) := 1

0

|x(t) y(t)|1+ |x(t) y(t)|dt.

Observe que a convergncia com relao a esta mtrica a convergncia em medida. Demonstre que no existefuncional linear no nulo e contnuo em E com relao a esta mtrica.

Exerccio 74 Os espaos normados c0, l1 e C([a,b]) no so reflexivos.

Exerccio 75 Demonstre que se o espao vetorial E reflexivo, ento E reflexivo.

Exerccio 76 SejaM = { f L2([0,1]) | f ([0,1]) [0,1] quase sempre}.

Demonstre que M um convexo fechado de L2([0,1]).

Exerccio 77 Sejam E um espao vetorial normado, H E um hiperplano e V E um subespao afim que contmH. Demonstre que ou V = H ou V = E. Conclua que H ou fechado ou denso em E.

Exerccio 78 Sejam E um espao vetorial normado e C E convexo.

a) Demonstre que C e IntC so convexos.

b) Dado x C e y IntC, demonstre que tx+(1 t)y IntC, sempre que t (0,1).c) Deduza que C = IntC se IntC 6= /0.

Exerccio 79 Seja E um espao vetorial normado com norma E . Demonstre que se C E for aberto, convexoe simtrico (C =C) e se p for a funo calibre de C, ento p uma norma equivalente E .

3.5. EXERCCIOS 41

Exerccio 80 Considere C([0,1]) com a norma e defina

C :={

u C([0,1]); 1

0u(t)dt < 1

}a) Verifique que C convexo e simtrico com 0 C.b) O conjunto C limitado na norma ?c) Encontre a funo calibre p associada a C e demonstre que p uma norma em C([0,1]).

d) p equivalente ?

Exerccio 81 Sejam X um espao normado e I qualquer conjunto de ndices. Considere dois conjuntos: (xi)iI X e (i)iI R. Demonstre que as seguintes afirmaes so equivalentes:

a) existe f X tal que f (xi) = i para todo i I;b) existe uma constante M 0 tal que, para cada subconjunto finito J I e toda escolha de nmeros reais

(i)iJ , temos que iJ

iiM

iJixi.

Sugesto: defina f primeiro no espao gerado por (xi)iI .

Exerccio 82 Sejam X um espao normado e M > 0 uma constante. Fixe n elementos f1, . . . , fn X e n nmerosreais 1, . . . ,n. Demonstre que as seguintes afirmaes so equivalentes:

a) para todo > 0, existe x X tal que

x M+ e fi(x) = i, i = 1, . . . ,n.

b) para quaisquer 1, . . . ,n R temos que ni=1

iiM n

i=1i fi.

Exerccio 83 Se A um conjunto arbitrrio, l(A) denota o conjunto de todas as funes limitadas de A em R.Neste espao pode-se considerar a norma do sup . Demonstre que, para cada espao vetorial normado E, existeuma isometria J0 : E l(A), para algum conjunto A.Sugesto: tome A como sendo a esfera unitria fechada em E e defina J0(x) : A R por J0(x) f = f (x) e useHahnBanach.

Exerccio 84 Para todo espao normado E existe uma isometria de E emB(l2(A)), para algum conjunto A, ondel2(A) = L2(A,), como sendo a medida da contagem.Sugesto: para cada conjunto A, associe a cada x A o operador Tx : l2(A) l2(A) por Tx(y)(t) = x(t)y(t);verifique que Tx= x; utilize o Exerccio 83.

Exerccio 85 Seja X = l1 de maneira que X = l. Considere c0 como sendo um subespao fechado de X.Encontre N e (N) e verifique que (N) 6= N.

Captulo 4

O teorema da categoria de Baire eaplicaes

Stima aula

Neste captulo apresentamos o importante Teorema da Categoria de Baire e ento deduzimos os importantesresultados: Teoremas da Aplicao Aberta e do Grfico Fechado e o Princpio da Limitao Uniforme, conhecidotambm como Teorema de BanachSteinhaus.

4.1 O Teorema de Baire

Nesta seo apresentamos um importante teorema sobre espaos mtricos completos demonstrado por Baire. No-tavelmente, este teorema vem sido utilizado para demonstrar que certos fenmenos em anlise, primeiramenteobservados em certos exemplos especficos, so de fato ocorrncias genricas.

Para enunciar o resultado principal desta seo necessitamos antes uma lista de definies. O contexto oseguinte: consideraremos um espao mtrico M com mtrica e topologia induzida por esta mtrica. Suponhaque E seja um subconjunto de M. Lembremos que E denso em M se E = M. O conjunto E nunca denso se ointerior de seu fecho vazio, isto , IntE = /0.

A unio de um nmero finito de conjuntos nunca densos um conjunto nunca denso. Contudo, a unioenumervel de conjuntos nunca denso no necessariamente nunca denso. Um ponto em Rn nunca denso emRn. Alm disso, o conjunto de Cantor nunca denso em R. Entretanto, os racionais Q no so nunca densos em Rj que Q= R. Em geral, E fechado e nunca denso se, e somente se, O = M \E aberto e denso.

Um conjunto E M dito de primeira categoria em M se E unio enumervel de conjuntos nunca densosem M. Um conjunto de primeira categoria as vezes chamado de magro.

Um conjunto E M que no de primeira categoria em M dito de segunda categoria em M.Dizemos que E M genrico se seu complemento de primeira categoria em M.A ideia de categoria a de descrever pequens em termos puramente topolgicos, isto , envolvendo fecho,

interior, etc. Basicamente, um conjunto de primeira categoria deve ser pensado como excepcional, enquanto umconjunto genrico deve ser considerado tpico.

bom observar que unio enumervel de conjuntos de primeira categoria de primeira categoria, enquantoa interseco enumervel de conjuntos genricos um conjunto genrico. Alm disso, qualquer conjunto aberto edenso genrico.

Teorema 4.1.1 (O Teorema da Categoria de Baire) Todo espao mtrico completo M de segunda categoria emsi mesmo, isto , M no pode ser escrito como unio enumervel de conjuntos nunca densos.

Demonstrao. O argumento que apresentaremos por contradio. Para tanto, suponhamos que M a unio

43

44 CAPTULO 4. CATEGORIA DE BAIRE E APLICAES

enumervel de conjuntos nunca densos Fn,

M =

n=1

Fn.

Trocando cada Fn pelo seu fecho, podemos assumir que cada Fn fechado. Ser ento suficiente encontrar x Mcom x 6 Fn.

Sendo F1 fechado e nunca denso, temos que F1 6= M. Segue que existe uma bola aberta Br1 com Br1 Fc1 .Como F2 fechado e nunca denso, a bola Br1 no pode estar contida inteiramente em F2, caso contrrio

F2 teria interior no vazio. Sendo ainda F2 fechado, podemos escolher uma bola Br2 de maneira que Br2 Br1 etambm Br2 Fc2 . Escolhemos ainda r2 < r1/2.

Continuando desta maneira, obtemos uma sequncia de bolas (Brn) tais que

rn 0, quando n , Brn+1 Brn , FnBrn = /0.

Para cada n N escolhemos qualquer ponto xn Brn e formamos a sequncia (xn), a qual de Cauchy pelaspropriedades listadas. Como M completo, existe x M com xn x quando n . Observe que x Brn paratodo n e, consequentemente, para cada n, x 6 Fn. Isto nos d a contradio e demonstra o Teorema da Categoria deBaire.

Corolrio 4.1.2 Em um espao mtrico completo, um conjunto genrico denso.

Demonstrao. Suponha que E M seja um subconjunto genrico que no denso no espao mtrico M. Ento,existe uma bola fechada B que no intercepta E. Como E genrico, podemos escrever

Ec =

n=1

Fn,

onde cada Fn nunca denso em M. Consequentemente,

B =

n=1

(FnB).

Mas observemos que Fn B nunca denso. Assim, aplicando o Teorema 4.1.1 ao espao mtrico completo Bchegamos a uma contradio.

4.2 Princpio da Limitao Uniforme

Vamos nesta seo apresentar uma consequncia importante do Teorema da Categoria de Baire. A concluso prin-cipal que se uma sequncia de operadores lineares contnuos pontualmente limitada em um conjunto grande,ento esta sequncia ser, de fato, limitada. Este fato nos possibilita deduzir estimativas uniformes por meio deestimativas pontuais em certas situaes.

Teorema 4.2.1 (Princpio da Limitao Uniforme, HellySaks) Sejam X e Y dois espaos vetoriais normadose A B(X ,Y ).

a) Sesup

TAT x<

para todo x em um subconjunto no magro de X, ento

supTAT< .

4.2. PRINCPIO DA LIMITAO UNIFORME 45

b) Se X for Banach esup

TAT x<

para todo x X , entosup

TAT< .

Demonstrao. a) Definamos, para cada n N,An := {x X | T x n para todo T A }

e seja N X o conjunto no magro da hiptese. Segue que cada x N pertence a algum An, de maneira queN = nNAn. Como N no magro, temos que ao menos um An tal que An possui interior no vazio, isto ,contm uma bola no trivial Br(x0). Observemos que An = An para cada n. De fato, suponha que (x j) An e quex j x; como T x j n para todo T A e cada T A contnuo, temos T x j T x e T x n.

Com as implicaes do pargrafo anterior vemos que, na verdade, An contm uma bola Br(x0), para algumn. Segue que, se x X e x r, ento

T x= T (x+ x0)T x0 T (x+ x0)+T x 2n,para todo T A . Mas da, para todo y B1(0),

Ty= 1rT (ry) 2n

r.

Assim,

supTAT 2n

r.

b) Para este item, basta usar a mesma construo dos conjuntos An do item a), verificar que X = nNAn e usar oTeorema da Categoria de Baire, j que X completo.

Uma outra maneira de enunciar o Princpio da Limitao Uniforme pode ser da seguinte maneira: ousupTA T< ou supTA T x= para algum x.

A primeira demonstrao do Teorema 4.2.1 foi dada por Helly para o espao C([a,b]). Mais tarde, Saksutilizou o Teorema da Categoria de Baire. Banach e Steinhaus utilizaram tcnicas diferentes na demonstraooriginal.

Apresentamos a seguir um parente prximo do Princpio da Limitao Uniforme

Teorema 4.2.2 (BanachSteinhaus) Suponhamos que (Tn) seja uma sequncia de operadores limitados de X emY, ambos espaos de Banach. Suponhamos que, para todo x X , limTnx existe. Ento, se definirmos T x = limTnxtemos que T : X Y linear e limitado.

Demonstrao. Deixaremos os detalhes de que T linear como exerccio. Como (Tnx) converge em X para cadax e sequncias convergentes so limitadas (em espaos mtricos), temos que supn Tnx


Exemplo 4.2.4 O Teorema 4.2.2 e o Princpio da Limitao Uniforme podem no valer se o domnio dos opera-dores no for completo. De fato, seja Tn : c00 l dado por

Tn(x) = (0, . . . ,0,nxn,0, . . .).

Para cada x c00 temos que Tn(x) 0 quando n . Assim, T 0 o operador limite de (Tn). EntretantoTn .

O prximo resultado o dual do Princpio da Limitao Uniforme.

Teorema 4.2.5 Seja X um espao linear normado e A X . SesupxA| f (x)|< ,

para cada f X fixado, ento A limitado.

Demonstrao. Considere a aplicao cannica J : X X que aplica x em x. Assim, J(A) uma coleo defuncionais lineares limitados em X. Definamos

A = {J(x) = x | x A}.Observemos que

supxA|x( f )|= sup

xA| f (x)|<

para cada f X. Assim, pelo Teorema 4.2.1,supxAx< .

Entretanto, como J uma isometria, concluimos que

supxAx< .

Isto conclui a demonstrao do teorema.

Vamos dar um exemplo simples para ilustrar uma aplicao do Teorema 4.2.2.

Exemplo 4.2.6 Seja (an) uma sequncia de nmeros reais tal que a srie

n=1

anbn

convergente para toda sequncia (bn) c0. Vamos demonstrar que

n=1|an|< .

Para isso, definamos para cada k N o funcional linear Tk : c0 R por

Tk(bn) =k

j=1

a jb j.

Observemos que cada Tk um funcional linear limitado em c0 com

Tk k

j=1|a j|.

4.2. PRINCPIO DA LIMITAO UNIFORME 47

Melhor ainda, se aplicarmos Tk no elemento(a1/|a1|, . . . ,ak/|ak|,0, . . .

) c0,

(com o ajuste bvio se algum ak for zero), ento veremos que

Tk=k

j=1|a j|.

Por hiptese, para cada (bn) c0, temos quelimk

Tk(bn) existe.

Em particular,sup

k|Tk(bn)|< ,

para cada (bn) c0. Pelo Teorema 4.2.2, supk Tk< , ou seja,

j=1|a j|< .

Oitava aula

4.2.1 Divergncia da srie de Fourier

Nesta subseo apresentaremos uma aplicao do Princpio da Limitao Uniforme na teoria de sries de Fourier.Uma funo contnua no crculo unitrio T pode ser identificada com uma funo contnua em [pi,pi] com

f (pi) = f (pi) (veja a Subseo 2.2 para mais detalhes). Uma tal funo possui srie de Fourier

k=

akeikx,

ondeak = f (k) =

12pi

pipi

f (t)eiktdt.

conhecido que a srie de Fourier de f converge para f na norma de L2(T). Assim, a menos de uma subsequncia,a convergncia pontual em quase todo ponto de T. Isto na verdade vlido para toda f L2(T), no somenteaquelas contnuas. De fato, Carleson demonstrou o que era conhecido como conjectura de Lusin, que afirmava quea srie de Fourier de qualquer funo em L2(T) (portanto de uma funo contnua) converge pontualmente para fem quase todo ponto.

Definamos a soma parcial simtrica associada srie de Fourier de f por

sN( f , t) :=N

k=N

f (k)eikt .

Utilizaremos o Princpio da Limitao Uniforme para demonstrar que existe f C(T) tal que sN( f ,0) no convergepara f (0). Comeamos com uma caracterizao da soma parcial que ser til. Escrevemos:

sN( f , t) =N

k=N

( 12pi

pipi

f (x)eikxdx)

eikt

=1

2pi

pipi

f (x)N

k=N

eik(tx)dx

=1

2pi

pipi

f (x)DN(t x)dx,


onde

DN(s) :=N

k=N

eiks

chamado de Ncleo de Dirichlet. Afirmamos agora que

DN(s) =sen(N+1/2)s

sens/2

quando s 6= 0 e DN(0) = 2N+1. No caso s = 0 este fato claro. Caso contrrio, temos queN

k=N

eiks = eiNs2N

k=0

eiks = eiNs1 ei(2N+1)s

1 eis .

Multiplicando e dividindo por eis/2 e usando a identidade

eiy eiy = 2isenyobtemos o resultado da afirmao.

O ncleo DN possui dois comportamentos ruins: no positivo e DNL1 no limitada em N. Para verifi-carmos este ltimo fato vamos estimar esta norma. Temos:

DNL1 =1

2pi

pipi|sen(N+1/2)s||sens/2| ds

=1pi

pi0

|sen(N+1/2)s||sens/2| ds.

Usando que 0 sen t t para 0 t pi/2 e a substituio u = (N+1/2)s obtemos

DNL1 2pi

pi0

|sen(N+1/2)s|t

ds

=2pi

pi(N+1/2)0

|senu|u

du

2pi

N

k=1

kpi(k1)pi

|senu|kpi

du

=4pi2

N

k=1

1k 4pi2

log(N+1).

Lembremos agora que C(T) com a norma do sup Banach. Definamos o funcional N : C(T) C por

N( f ) = sN( f ,0) =1

2pi

pipi

f (x)DN(x)dx.Observemos que cada N linear e

|N( f )| 12pi pipi| f (x)||DN(x)|dx fDNL1 .

Isto implica que NDNL1 .Afirmamos que, na verdade, N= DNL1 . Para verificar este fato fixamos N edefinamos g(x) = sgn(DN(x)). Ento, existe uma sequncia de funes contnuas ( f j)C(T) com1 f j(x) 1com f j g pontualmente em T= [pi,pi]. Pelo Teorema da Convergncia Dominada,

limj

12pi

pipi

f j(x)DN(x)dx = 12pi pipi

g(x)DN(x)dx = 12pi pipi|DN(x)|dx = DNL1 .

Como f j 1, isto nos mostra que N DNL1 .Finalmente estamos em posio de aplicar o Princpio da Limitao Uniforme. Por este teorema, ou N

M para alguma constante M > 0 e para todo N, ou existe f C(T) tal que supN |N( f )| = . Como N =DNL1 , obtemos ento que existe f C(T) tal que

supN|N f |= sup

N|sN( f ,0)|=

e a srie de Fourier de f diverge em 0.

4.3. TEOREMAS DA APLICAO ABERTA E DO GRFICO FECHADO 49

4.3 Teoremas da Aplicao Aberta e do Grfico Fechado

Nesta seo vamos demonstrar o Teorema da Aplicao Aberta utilizando o Teorema da Categoria de Baire edepois deuziremos o Teorema do Grfico Fechado.

Sejam X e Y dois espaos de Banach com normas X e Y respectivamente, e T : X Y uma aplicao.Lembremos que T contnua se, esomente se, T1(O) aberto em X sempre que O aberto em Y. Isto verdadeindependente de T ser linear ou no. Em particular, se T possui uma inversa T1 : Y X que contnua, entotemos que a imagem por T de qualquer conjunto aberto em X aberto em Y. Dizemos que T aberta se T aplicaabertos de X em aberttos de Y.

De uma maneira geral, se T : X Y linear e bijetiva, ento existe T1 e este operador tambm linear,mas no necessariamente contnuo.

Teorema 4.3.1 (Teorema da Aplicao Aberta) Sejam X e Y espaos de Banach e T B(X ,Y ). Se T sobre-jetiva, ento T aberta.

Antes de discutirmos a demonstrao do Teorema da Aplicao Aberta, vamos apresentar uma importanteconsequncia deste resultado.

Corolrio 4.3.2 (Teorema de Aplicao Inversa) Sejam X e Y espaos de Banach e T B(X ,Y ) bijetiva. Entoa aplicao T1 linear e limitada, isto , T1 B(Y,X). Em particular, existem constantes c,C > 0 tais que

cxX T xY CxX .

Demonstrao. Que T1 linear um simples fato algbrico. A demonstrao de que T1 linear segue dadiscusso que precedeu o Teorema 4.3.1.

Corolrio 4.3.3 Seja V um espao vetorial equipado com duas normas 1 e 2. Se existe uma constanteC > 0 tal que

v1 Cv2para todo v V e se V for completo com relao s duas normas, ento estas normas so equivalentes.

Demonstrao. Com essas hipteses temos que a aplicao identidade I : (V, 2) (V, 1) contnua e,como I claramente bijetiva, sua inversa I : (V, 1) (V, 2) tambm contnua. Consequentemente, existec > 0 tal que

cv2 v1,para todo v V.

Agora nos concentraremos na demonstrao do Teorema de Aplicao Aberta, a qual seguir do teorema aseguir.

Teorema 4.3.4 Sejam X e Y dois espaos de Banach e denotemos por BX e BY as bolas de centro zero e raio umem X e Y respectivamente. Suponhamos que A B(X ,Y ) seja sobrejetiva. Ento, existe uma constante > 0 talque

BY A(BX ),ou seja, dado y Y com yY < , existe x X , com xX < 1 e Ax = y.

Antes de demonstrarmos o Teorema 4.3.4, vamos mostrar como ele pode ser utilizado para se demonstrar oTeorema da Aplicao Aberta.

Demonstrao do Teorema 4.3.1. Seja G um subconjunto aberto de X e x0 G. Precisamos demonstrar que T (G)contm uma bola aberta em torno de T x0. Para isso, consideremos G = G x0. Ento G um aberto que contm0. Podemos ento encontrar t > 0 tal que tBX G. Pelo Teorema 4.3.4, temos que

T (G) T (tBX ) = tT (BX ) tBY ,


para alguma constante > 0. Por linearidade,

T (G) = T (G)+T x0 tBY +T x0,

ou seja, a bola de raio t centrada em T x0 est i

notas de aula de análise funcional

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