notas de aula de alcv profª drª ana paula marins chiaradia · elíptico hiperbólico • se...
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• A equação geral do 2º grau nas três variáveis x, y e z:
ax2 + by2 + cz2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + mx + ny + pz + q= 0
com pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e ou f ≠ 0, representa uma superfície quádrica ou simplesmente umaquádrica.
• Desta equação pode derivar:Uma cônica, quando a superfície quádrica for cortada por um plano.
Ex: plano xy (z=0)ax2 + by2 + 2dxy + mx + ny + q =0
• A interseção de uma superfície com um plano échamado traço da superfície no plano.
• a) Elipsóides
• b) Hiperbolóides
• c) Cones
• d) Parabolóides
• e) Cilindro
Hiperbolóides de uma folha
Hiperbolóides de duas folhas
elípticohiperbólico
• Se nenhum dos coeficientes for nulo, a equação padrão de uma superfícies quádrica centrada é:
• Desta equação podem ser originadas três superfícies, de acordo com a variação dos sinais (+,+,+), (+,+,-) e (+,-,-):– Elipsóide (+,+,+)– Hiperbolóide (+,+,-) – Hiperbolóide de duas folhas (+,-,-)
12
2
2
2
2
2=±±±
c
z
b
y
a
x
• Todos os coeficientes na equação são positivos e a, b e c são positivos:
12
2
2
2
2
2=++
c
z
b
y
a
x
Denomina-se Elipsóide, já que seus traços são elipses:
elipse 1 0 x 2
2
2
2=+�=
c
z
b
ySe
elipse 1 0 y 2
2
2
2=+�=
c
z
a
xSe
elipse 1 0 z 2
2
2
2=+�=
b
y
a
xSe
��������������
� � ������ ����������������������������� �������� �
� ���������������� ����������������������������������������������� ��� ���������� ��������������
Elipsóide de revolução �quando pelo menos dois dos valores de a, b ou csão iguais.
Ex: a = c = 2, b = 4 e C (0,0,0)
14
2
16
2
4
2=++ zyx
Quando a = b= c: neste caso a equação tem a forma:
x2 + y2 + z2 = a2,
isto é, uma superfície esférica de C(0,0,0) e raio a.
Se a = b = c e centro (h,k,l),
(x-h)2 + (y-k)2 + (z-l)2 = a2
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A partir da equação inicial:
deriva-se o hiperbolóide de uma folha, com dois coeficientes positivos e um negativo.
12
2
2
2
2
2=±±±
c
z
b
y
a
x
12
2
2
2
2
2=−+
c
z
b
y
a
x
Sinal negativo em z: figura no eixo z. Analogamente, para sinal (-) em x e y.
Denomina-se Hiperbolóide de uma folha:
hipérbole 1 0 x 2
2
2
2=−�=
c
z
b
ySe
hipérbole 1 0 y 2
2
2
2=−�=
c
z
a
xSe
elipse 1 0 z 2
2
2
2=+�=
b
y
a
xSe
12
2
2
2
2
2=±±±
c
z
b
y
a
x
��������������
� � ������ ����������������������������� ��������
� ��������������� �� ������������������!"��� ��������
� ��������������� �� �����������������"!������!���� ��#���$����
����%$�#���$��&�� �������������� ���������!�
A partir da equação inicial:
deriva-se o hiperbolóide de duas folhas, com dois coeficientes negativos e um positivo.
12
2
2
2
2
2=±±±
c
z
b
y
a
x
Sinal positivo em x: figura no eixo x. Analogamente, para sinal (+) em y e z.
12
2
2
2
2
2
=−−cz
by
ax
Denomina-se Hiperbolóide de duas folhas:
hipérbole 1c
z 0 x 2
2
2
2=−�=
b
ySe
hipérbole 1c
z 0 y
2
2
2
2=−�=
a
xSe
gráfico.existeNão!!!!impossível1a
x0z 2
2
2
2�=−−�=
b
ySe
12
2
2
2
2
2=±±±
c
z
b
y
a
x
��������������
� '�� ������������� ������������� ��������������������������������� ����������� �
� (������������������ ���������������������!"��� ���������� ���������������)�����������
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• É uma superfície gerada por uma reta que se move apoiada numa curva plana qualquer e passando sempre por um ponto não situado no plano desta curva.
• Reta: geratriz• Curva plana: diretriz• Ponto Fixo: vértice da superfície cônica.
• Características:– Traço no plano xOz é
constituído por duas retas que passam pela origem;
– Os traços nos planos z=k são elipses;
– Se a = b, são circunferências, obtendo-se a superfície cônica circular reta.
Denomina-se Cone:
retas Duas cb
y 2
2
2
2 0 xSe z
c
z
b
y =�=�=
retas Duas ca
x 2
2
2
2 0y Se z
c
z
a
x =�=�=
(0,0,0) ponto0 0z Se 2
2
2
2
�=+�=by
ax
ncia)circunferê b, a (Se Elipse k z Se2
2
2
2
2
2
=�=+�=ck
by
ax
OBS: Os traços nos planos x = k e y = k são hipérboles.
• Podem ser representadas pelas equações:Ax2 +By2 +Rz = 0Ax2 +Ry + Cz2 = 0Rx +By2 + Cz2 = 0
Derivadas das equações acima onde nenhum dos coeficientes é nulo, são denominadas forma canônica ou
padrão de uma superfície quádrica não centrada.
• A superfície quádricacom a equação:
czb
y
a
x =+ 2
2
2
2
byc
z
a
x =+ 2
2
2
2
axc
z
b
y =+ 2
2
2
2
ao longo do eixo z
ao longo do eixo y
ao longo do eixo x
• Denominam-se Parabolóides elípticos. Seus traços são:
parábola 0 x 222
2zcbycz
b
ySe =�=�=
parábola 0y 222
2zcaxcz
a
xSe =�=�=
(0,0,0) 00z 2
2
2
2ponto
b
y
a
xSe �=+�=
ncia)circunferê b,a (se Elipsekz 2
2
2
2
=�=+�= ckby
ax
Se
OBS: Se c > 0, a superfície situa-se inteiramente acima do plano xOy.
Se c < 0, a superfície está inteiramente abaixo deste plano.
• Características:– É simétrica relativamente
aos planos coordenados xOz e yOz;
– A sua interseção com o plano paralelo a xOy é uma elipse;
– A sua interseção com o plano paralelo a xOz ou yOz é uma parábola;
Se a = b, o parabolóide é de revolução em torno do eixo Oz.
• A superfície quádricacom a equação:
czax
by =−
2
2
2
2 ao longo do eixo z
ao longo do eixo y
ao longo do eixo x
bya
x
c
z =− 2
2
2
2
axb
y
c
z =− 2
2
2
2
• Denominam-se Parabolóides hiperbólico. Seus traços são:
OBS: Se c > 0, a superfície está voltada para cima do planoxOy. Se c < 0, a superfície está voltada para baixo deste plano.
cima para côncava parábola 0 x 222
2zcbycz
b
ySe =�=�=
baixo para côncava parábola 0y 222
2zcaxcz
a
xSe −=�−=�=
esconcorrent retas depar 00z 2
2
2
2�=−�=
b
y
a
xSe
y eixo 0,k Se xeixo 0,k Se
hipérbolekz 2
2
2
2
���
<>
�=−�= ckb
y
a
xSe
• Características:– As Parábolas tem o eixo z
como eixo de simetria. E concavidade para baixo e para cima, respectivamente;
– Traço no plano z = k é uma hipérbole cujo eixo real é paralelo ao eixo dos y se k > 0 e paralelo ao eixo dos x se k < 0.
• Seja C uma curva plana e f uma reta fixa não contida nesse plano.
• Superfície cilíndrica é a superfície gerada por uma reta r que se move paralelamente à reta fixa f em contato permanente com a curva plana C.
• A reta r que se move é denominada geratriz e a curva C é a diretriz da superfície cilíndrica.
• Ex: – Diretriz: Parábola
– Equação da superfície cilíndrica parabólica:
– Geratriz: paralela ao eixo z
yx 22 =
yx 22 =
De modo geral:
Diretriz: circunferência, elipse, hipérbole ou parábola.
Superfície: circular, elíptica, hiperbólica ou parabólica.