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Profª Drª Ana Paula Marins Chiaradia NOTAS DE AULA DE ALCV

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Profª Drª Ana Paula Marins Chiaradia

NOTAS DE AULA DE ALCV

• A equação geral do 2º grau nas três variáveis x, y e z:

ax2 + by2 + cz2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + mx + ny + pz + q= 0

com pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e ou f ≠ 0, representa uma superfície quádrica ou simplesmente umaquádrica.

• Desta equação pode derivar:Uma cônica, quando a superfície quádrica for cortada por um plano.

Ex: plano xy (z=0)ax2 + by2 + 2dxy + mx + ny + q =0

• A interseção de uma superfície com um plano échamado traço da superfície no plano.

• a) Elipsóides

• b) Hiperbolóides

• c) Cones

• d) Parabolóides

• e) Cilindro

Hiperbolóides de uma folha

Hiperbolóides de duas folhas

elípticohiperbólico

• Se nenhum dos coeficientes for nulo, a equação padrão de uma superfícies quádrica centrada é:

• Desta equação podem ser originadas três superfícies, de acordo com a variação dos sinais (+,+,+), (+,+,-) e (+,-,-):– Elipsóide (+,+,+)– Hiperbolóide (+,+,-) – Hiperbolóide de duas folhas (+,-,-)

12

2

2

2

2

2=±±±

c

z

b

y

a

x

• Todos os coeficientes na equação são positivos e a, b e c são positivos:

12

2

2

2

2

2=++

c

z

b

y

a

x

Denomina-se Elipsóide, já que seus traços são elipses:

elipse 1 0 x 2

2

2

2=+�=

c

z

b

ySe

elipse 1 0 y 2

2

2

2=+�=

c

z

a

xSe

elipse 1 0 z 2

2

2

2=+�=

b

y

a

xSe

��������������

� � ������ ����������������������������� �������� �

� ���������������� ����������������������������������������������� ��� ���������� ��������������

Elipsóide de revolução �quando pelo menos dois dos valores de a, b ou csão iguais.

Ex: a = c = 2, b = 4 e C (0,0,0)

14

2

16

2

4

2=++ zyx

Quando a = b= c: neste caso a equação tem a forma:

x2 + y2 + z2 = a2,

isto é, uma superfície esférica de C(0,0,0) e raio a.

Se a = b = c e centro (h,k,l),

(x-h)2 + (y-k)2 + (z-l)2 = a2

19

2

16

2

4

2=++ zyx

������������������������������������ �������� �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �

� �� � � � �� �� �� �� � ��� �� �� �� � � � �� �� �� �� � ��� �� �� �� � � � �� �� �� �� � ��� �� �� �� � � � �� �� �� �� � ��� �� � � � � � � � � � � � ��� � � � � � ��� � � � � � ��� � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ ������ ������ ���������

A partir da equação inicial:

deriva-se o hiperbolóide de uma folha, com dois coeficientes positivos e um negativo.

12

2

2

2

2

2=±±±

c

z

b

y

a

x

12

2

2

2

2

2=−+

c

z

b

y

a

x

Sinal negativo em z: figura no eixo z. Analogamente, para sinal (-) em x e y.

Denomina-se Hiperbolóide de uma folha:

hipérbole 1 0 x 2

2

2

2=−�=

c

z

b

ySe

hipérbole 1 0 y 2

2

2

2=−�=

c

z

a

xSe

elipse 1 0 z 2

2

2

2=+�=

b

y

a

xSe

12

2

2

2

2

2=±±±

c

z

b

y

a

x

��������������

� � ������ ����������������������������� ��������

� ��������������� �� ������������������!"��� ��������

� ��������������� �� �����������������"!������!���� ��#���$����

����%$�#���$��&�� �������������� ���������!�

14

222 =−+ z

yx

A partir da equação inicial:

deriva-se o hiperbolóide de duas folhas, com dois coeficientes negativos e um positivo.

12

2

2

2

2

2=±±±

c

z

b

y

a

x

Sinal positivo em x: figura no eixo x. Analogamente, para sinal (+) em y e z.

12

2

2

2

2

2

=−−cz

by

ax

Denomina-se Hiperbolóide de duas folhas:

hipérbole 1c

z 0 x 2

2

2

2=−�=

b

ySe

hipérbole 1c

z 0 y

2

2

2

2=−�=

a

xSe

gráfico.existeNão!!!!impossível1a

x0z 2

2

2

2�=−−�=

b

ySe

12

2

2

2

2

2=±±±

c

z

b

y

a

x

��������������

� '�� ������������� ������������� ��������������������������������� ����������� �

� (������������������ ���������������������!"��� ���������� ���������������)�����������

� (������������������ �� �������������������������"!�����!���� ��#���$����

����%$���������������������������#���$��&������������������������������������������� ��#���$����� ��������������!�

14

222 =−− y

xz

• É uma superfície gerada por uma reta que se move apoiada numa curva plana qualquer e passando sempre por um ponto não situado no plano desta curva.

• Reta: geratriz• Curva plana: diretriz• Ponto Fixo: vértice da superfície cônica.

• A superfície quádricaque tem por equação:

02

2

2

2

2

2=−+

c

z

b

y

a

x

• Características:– Traço no plano xOz é

constituído por duas retas que passam pela origem;

– Os traços nos planos z=k são elipses;

– Se a = b, são circunferências, obtendo-se a superfície cônica circular reta.

Denomina-se Cone:

retas Duas cb

y 2

2

2

2 0 xSe z

c

z

b

y =�=�=

retas Duas ca

x 2

2

2

2 0y Se z

c

z

a

x =�=�=

(0,0,0) ponto0 0z Se 2

2

2

2

�=+�=by

ax

ncia)circunferê b, a (Se Elipse k z Se2

2

2

2

2

2

=�=+�=ck

by

ax

OBS: Os traços nos planos x = k e y = k são hipérboles.

4

222 y

xz +=

• Podem ser representadas pelas equações:Ax2 +By2 +Rz = 0Ax2 +Ry + Cz2 = 0Rx +By2 + Cz2 = 0

Derivadas das equações acima onde nenhum dos coeficientes é nulo, são denominadas forma canônica ou

padrão de uma superfície quádrica não centrada.

• São elas:

02

2

2

2=−−

b

y

a

xz

02

2

2

2=−+

b

y

a

xz

• A superfície quádricacom a equação:

czb

y

a

x =+ 2

2

2

2

byc

z

a

x =+ 2

2

2

2

axc

z

b

y =+ 2

2

2

2

ao longo do eixo z

ao longo do eixo y

ao longo do eixo x

• Denominam-se Parabolóides elípticos. Seus traços são:

parábola 0 x 222

2zcbycz

b

ySe =�=�=

parábola 0y 222

2zcaxcz

a

xSe =�=�=

(0,0,0) 00z 2

2

2

2ponto

b

y

a

xSe �=+�=

ncia)circunferê b,a (se Elipsekz 2

2

2

2

=�=+�= ckby

ax

Se

OBS: Se c > 0, a superfície situa-se inteiramente acima do plano xOy.

Se c < 0, a superfície está inteiramente abaixo deste plano.

• Características:– É simétrica relativamente

aos planos coordenados xOz e yOz;

– A sua interseção com o plano paralelo a xOy é uma elipse;

– A sua interseção com o plano paralelo a xOz ou yOz é uma parábola;

Se a = b, o parabolóide é de revolução em torno do eixo Oz.

zyx =+94

22

• A superfície quádricacom a equação:

czax

by =−

2

2

2

2 ao longo do eixo z

ao longo do eixo y

ao longo do eixo x

bya

x

c

z =− 2

2

2

2

axb

y

c

z =− 2

2

2

2

• Denominam-se Parabolóides hiperbólico. Seus traços são:

OBS: Se c > 0, a superfície está voltada para cima do planoxOy. Se c < 0, a superfície está voltada para baixo deste plano.

cima para côncava parábola 0 x 222

2zcbycz

b

ySe =�=�=

baixo para côncava parábola 0y 222

2zcaxcz

a

xSe −=�−=�=

esconcorrent retas depar 00z 2

2

2

2�=−�=

b

y

a

xSe

y eixo 0,k Se xeixo 0,k Se

hipérbolekz 2

2

2

2

���

<>

�=−�= ckb

y

a

xSe

• Características:– As Parábolas tem o eixo z

como eixo de simetria. E concavidade para baixo e para cima, respectivamente;

– Traço no plano z = k é uma hipérbole cujo eixo real é paralelo ao eixo dos y se k > 0 e paralelo ao eixo dos x se k < 0.

zxy =−94

22

• Seja C uma curva plana e f uma reta fixa não contida nesse plano.

• Superfície cilíndrica é a superfície gerada por uma reta r que se move paralelamente à reta fixa f em contato permanente com a curva plana C.

• A reta r que se move é denominada geratriz e a curva C é a diretriz da superfície cilíndrica.

• Ex: – Diretriz: Parábola

– Equação da superfície cilíndrica parabólica:

– Geratriz: paralela ao eixo z

yx 22 =

yx 22 =

De modo geral:

Diretriz: circunferência, elipse, hipérbole ou parábola.

Superfície: circular, elíptica, hiperbólica ou parabólica.

Circular ou elíptica Hiperbólica Parabólica