Notas de Aula

      

Movimento em 2 e 3 Dimensões

FÍSICA

2018

Professor Gomes

CAPÍTULO

                            3 Neste Capítulo

1 Introdução 2 Vetor posição e vetor velocidade 3 Vetor aceleração 4 Movimento de um projétil 5 Movimento circular 6 Velocidade relativa

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 1 

 

NOTA DE AULA PROF. JOSÉ GOMES RIBEIRO FILHO 

 

MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES

 1 INTRODUÇÃO 

Quando um jogador de futebol dá um chute em uma bola, o que determina onde a bola irá parar? Como você descreve  o movimento  do  carro  de  uma montanha‐russa  ao  longo  de  uma  curva  ou  o  voo  de  uma  águia  circulando sobre um campo aberto? Caso você largue uma bola da sua janela, ela leva o mesmo tempo para atingir o solo que uma bola lançada horizontalmente do mesmo ponto? 

Não podemos  responder a estas questões usando as  técnicas do capítulo 2, onde consideramos partículas  se movendo somente ao longo de uma linha reta. Em vez disto, devemos levar em conta a realidade de nosso mundo em três dimensões. Para entender a trajetória curva de uma bola, o movimento orbital de um satélite ou a trajetória de um projétil,  é  necessário estender a descrição do movimento para duas e  três dimensões. Usaremos ainda as  grandezas vetoriais  deslocamento,  velocidade  e  aceleração,  porém  agora  não mais  vamos  considerar movimentos  ao  longo  de uma  linha  reta, mas  sim movimentos em duas e  três dimensões. Verificaremos que muitos movimentos  importantes ocorrem  em  duas  dimensões,  ou  seja,  estão  contidos  em  um  plano.  Para  estes  movimentos  necessitamos  de  duas coordenadas e duas componentes para a velocidade e para a aceleração. 

Será  necessário  também  considerar  como  o  movimento  de  uma  partícula  é  descrito  por  observadores  que possuem movimentos  relativos  entre  si. O  conceito  de  velocidade  relativa  contém a  base  para  entender  a  teoria  da relatividade especial, mas este assunto será tratado posteriormente. 

Este capítulo une a  linguagem vetorial que aprendemos no primeiro capítulo  com a  linguagem cinemática do capítulo anterior. Como antes, estamos interessados em descrever o movimento, e não em analisar suas causas. Porém, a linguagem que você aprenderá aqui será uma ferramenta essencial para capítulos posteriores quando você usar as leis do movimento de Newton para estudar a relação entre força e movimento.  2 VETOR POSIÇÃO E VETOR VELOCIDADE 

Para descrever o movimento de uma partícula no espaço, necessitamos inicialmente estar aptos a descrever a posição  da  partícula.  Considere  uma  partícula  que  esteja  em  um  ponto  P  em  dado  instante.  O  vetor  posição  r

  da 

partícula neste instante é um vetor que vai da origem do sistema de coordenadas até o ponto P (figura 1). Essa figura 

também mostra que as coordenadas cartesianas x, y e z do ponto P são os componentes x, y e z do vetor  r.  

 

     

FIGURA 1 O vetor posição  r com origem no 

ponto P tem componentes x, y e z.  

Usando os vetores unitários introduzidos no primeiro capítulo, podemos escrever ˆˆ ˆr xi yj zk

                                            [1] 

Quando uma partícula se desloca no espaço, a trajetória descrita normalmente é uma curva (figura 2). Durante 

um intervalo de tempo Δt a partícula se move de um ponto P1, onde o vetor posição é  1r até um ponto P2, onde o vetor 

posição é  2r. A variação da posição (o deslocamento) durante esse intervalo de tempo é  2 1r  r   r

.  

2 2 2 1 1 1ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆr x i y j z k x i y j z k

                     

 2 

ou 

2 1 2 1 2 1ˆˆ ˆr (x x )i (y y )j (z z )k

 

ˆˆ ˆr x i yj zk

 Definimos  a  velocidade  média  mv

  identicamente  ao  que  fizemos  no  capítulo  anterior  para  um  movimento 

retilíneo, como o deslocamento dividido pelo intervalo de tempo: 

2 1m

2 1

r r rv

t t t

                                        [2] 

Note  que  dividir  um  vetor  por  um  escalar  é  um  caso  particular  de multiplicar  o  vetor  por  um escalar,  como 

descrito no primeiro capítulo; a velocidade média  mv

 é igual ao vetor deslocamento  rmultiplicado por 1/Δt, o inverso 

do intervalo de tempo. Agora definimos a velocidade instantânea tal como o fizemos no capítulo anterior: ela é o limite da velocidade 

média  quando o  intervalo  de  tempo  tende  a  zero,  sendo  igual  à  taxa de  variação do  vetor  posição  com o  tempo. A diferença fundamental é que agora a posição r e a velocidade instantânea v são vetores: 

t 0

r drv lim

t dt

                                                 [3] 

O módulo do vetor  v em qualquer instante é a velocidade escalar v da partícula no referido instante. A direção 

e o sentido de  v em qualquer instante é a mesma direção e sentido em que ela se move no referido instante. 

Note que quando Δt → 0, o ponto P1 da figura 2 fica cada vez mais próximo do ponto P2.  

 

   

FIGURA  2  A  velocidade  média  mv

  entre 

os pontos P1 e P2 possui a mesma direção e  o  mesmo  sentido  do  vetor deslocamento  r

. 

 

Neste  limite, o vetor  r  torna‐se  tangente à curva. A direção e sentido do vetor  r

 neste  limite é  também 

igual  à  direção  e  sentido  da  velocidade  instantânea  v.  Isto  leva  a  uma  conclusão  importante:  o  vetor  velocidade 

instantânea é tangente à trajetória em cada um dos seus pontos (figura 3).  

 

    FIGURA  3  A  velocidade  instantânea  v

 

em  cada  pouco  é  tangente  à  trajetória no referido ponto.  

Normalmente  é  mais  fácil  calcular  o  vetor  velocidade  instantânea  usando  componentes.  Durante  qualquer deslocamento  r

 as variações Δx, Δy e Δz das três coordenadas da partícula são os componentes de  r

. Daí se conclui 

que os componentes  x y zv , v  e  v  

da velocidade instantânea  v são simplesmente as derivadas das coordenadas x, y e z 

em relação ao tempo. Ou seja, 

x

y

z

dx ˆv idtdy ˆv jdt

dz ˆv kdt

 

  [4] 

 3 

Podemos também obter esse resultado derivando a equação (1). Os vetores unitários  ˆˆ ˆi,  j e k  possuem módulo, direção 

e sentido constantes, logo suas derivadas são nulas, e encontramos 

dx dy dz ˆˆ ˆv i j kdt dt dt

                                         [5] Isso mostra novamente que os componentes de  v

 são dx/dt, dy/dt e dz/dt. O módulo do vetor velocidade instantânea 

v — isto é, a velocidade escalar — é dado em termos dos componentes  x y zv , v  e  v  

pelo teorema de Pitágoras 

2 2 2

x y zv v v v v

 

A figura 4 mostra a situação quando a partícula se move no plano xy.  

 

    FIGURA 4 Os dois  componentes  da velocidade para um movimento no plano xy.  

Nesse caso, z e vz  são nulos. Então, a velocidade escalar  (o módulo do vetor  v) é  2 2

x yv v v e a direção da 

velocidade instantânea  v é dada pelo ângulo α indicado nessa figura. Vemos que  y

x

vtan

v . 

O  vetor  velocidade  instantânea  geralmente  é mais  útil  do  que  o  vetor  velocidade média.  A  partir  de  agora, quando mencionarmos a palavra "velocidade" queremos nos referir ao vetor velocidade instantânea  v

 (em vez do vetor 

velocidade média). Normalmente, não se costuma dizer que  v é um vetor; cabe a você lembrar‐se de que velocidade é 

uma grandeza vetorial que possui módulo, direção e sentido.  3 VETOR ACELERAÇÃO 

Vamos agora considerar o vetor aceleração de uma partícula que se move no espaço. Analogamente ao caso do movimento  retilíneo,  a  aceleração  indica  como  a  velocidade  de  uma  partícula  está  variando.  Porém  agora  vamos generalizar o  conceito de aceleração para  incluir  variações do módulo da velocidade  (isto é, da velocidade escalar) e variações da direção da velocidade (isto é, da direção e do sentido do movimento no espaço). 

Na figura 5a, um móvel está se movendo ao longo de uma trajetória curva.  

 FIGURA 5 a) O vetor  ma   v / t 

representa a aceleração média entre os pontos P1 e P2 b) Construção para obtermos 

2 1v  v    v

, c) A aceleração instantânea  a no ponto P1. O vetor  v

 é tangente à trajetória e o vetor  a

 aponta para o 

lado côncavo da trajetória.  

Os  vetores  1 2v e  v  

representam,  respectivamente,  o  vetor  velocidade  instantânea  do  móvel  no  instante  t1 

quando ela está no ponto P1, e o vetor velocidade instantânea do móvel  no instante t2 quando ele está no ponto P2. As 

duas  velocidades  podem  possuir  módulos  e  direções  diferentes.  Definimos  o  vetor  aceleração  média  ma

  do  móvel 

quando ele se move de P1 a P2 como a variação vetorial da velocidade,  2 1v  v    v

dividida pelo intervalo de tempo Δt 

= t2 ‐ t1; 

 4 

2 1m

2 1

v v va

t t t

                                            [6] 

A aceleração média é uma grandeza vetorial que possui a mesma direção e sentido do vetor  v;  (figura 5a). 

Observe que  2v  

 é a soma vetorial de  1v, com a variação  v

 (figura 5b). 

Como no capítulo anterior, definimos a aceleração instantânea a no ponto P1 como o limite da aceleração média quando  o  ponto  P2  se  aproxima  do  ponto  P1  e  Δv  e  Δt  tendem  simultaneamente  a  zero;  a  aceleração  instantânea também é  igual  à  taxa de  variação da  velocidade  instantânea  com o  tempo.  Como não estamos nos  restringindo ao movimento retilíneo, a aceleração instantânea é agora uma grandeza vetorial: 

t 0 t 0

v v(t t) v(t) dva lim lim

t t dt

                      [7] 

Conforme vimos, o vetor velocidade  v é tangente à trajetória do móvel. Porém, a construção indicada na figura 

5c mostra que o vetor aceleração instantânea  a de uma partícula em movimento sempre aponta para o lado côncavo 

de  uma  trajetória  curva —  ou  seja,  para  o  lado  interno  de  qualquer  volta  que  a  partícula  esteja  fazendo.  Podemos também notar que quando uma partícula se move ao longo de uma trajetória curva sua aceleração é sempre diferente de zero, mesmo quando sua velocidade escalar for constante. Essa conclusão pode parecer contrária à nossa intuição, porém ela é contrária apenas ao uso cotidiano da palavra "aceleração" que significa aumento de velocidade. A definição mais precisa da equação (7) mostra que pode existir aceleração diferente de zero quando houver qualquer variação do vetor  velocidade,  incluindo  apenas  variação  da  direção  deste  vetor  sem  variação  da  velocidade  escalar  ou,  então, variação simultânea da direção e da velocidade escalar. 

Para  você  se  convencer  de que  uma partícula  possui  aceleração diferente de  zero quando ela  descreve uma trajetória curva com velocidade constante,  lembre‐se da sua sensação quando está viajando em um carro. Quando o carro  acelera,  você  tende  a  se  mover  no  interior  do  carro  em  um  sentido  contrário  ao  da  aceleração  do  carro. (Explicaremos a razão desse comportamento no Capítulo chamado Leis de Newton.) Logo, você tende a ser empurrado para a traseira do carro quando ele acelera para a frente (aumenta de velocidade) e para a frente do carro quando ele acelera  para  trás  (diminui  de  velocidade).  Quando  o  carro  faz  uma  curva  em  uma  estrada  plana,  você  tende  a  ser empurrado para fora da curva; portanto o carro possui uma aceleração para dentro da curva. 

Normalmente  estamos  interessados  no  vetor  aceleração  instantânea  e  não  na  aceleração média.  A  partir  de 

agora, quando mencionarmos a palavra "aceleração" queremos nos referir ao vetor aceleração instantânea  a. 

Cada componente do vetor aceleração  instantânea é dado pela derivada do  respectivo componente do vetor velocidade: 

yx zx y z

dvdv dva , a e a

dt dt dt                                   [8] 

Em termos dos vetores unitários, 

yx zx y z

dvdv dv ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆa i j k a i a j a kdt dt dt

                     [9] A figura 6 mostra um exemplo do vetor aceleração que tem componentes tanto em x como em y. 

      

   FIGURA  6  Quando  uma  rã  salta,  acelera tanto  na  direção  horizontal  como  na direção vertical.  

Como  cada  componente da  velocidade é dado pela derivada da  respectiva  coordenada da posição,  podemos 

escrever os componentes ax, ay e az do vetor aceleração  a do seguinte modo 

2 2 2

x y z2 2 2

d x d y d za , a e a

dt dt dt                                   [10] 

e o vetor aceleração  a do seguinte modo 

2 2 2

2 2 2

d x d y d z ˆˆ ˆa i j kdt dt dt

                                               [11] 

 

 5 

OS COMPONENTES PERPENDICULARES E PARALELOS DA ACELERAÇÃO Podemos também representar a aceleração de uma partícula que se move em uma trajetória curva em termos 

de componentes perpendiculares e paralelos ao vetor velocidade em cada ponto (figura 7).  

 

   FIGURA 7 A aceleração pode  ser decomposta 

na  componente  a   paralelo  à  trajetória  (e  à 

velocidade)  e  à  componente  a ortogonal  à 

trajetória  (ou  seja,  ao  longo  da  normal  à trajetória).  

Nessa  figura,  esses  componentes  são  indicados  com  os  símbolos  a   e  a .  Para  entendermos  por  que  esses 

componentes  são  úteis,  vamos  considerar  dois  casos  especiais.  Na  figura  8a,  o  vetor  aceleração  é  paralelo  ao  vetor 

velocidade 1v. A variação de  v

 durante um pequeno intervalo de tempo Δt é o vetor  v

 que é paralelo ao vetor  a

 e, 

portanto, é paralelo a  1v. A velocidade  2v

 no  final do  intervalo Δt, dada por 2 1v  v     v

, é um vetor paralelo a  1v

 

possuindo porém módulo maior. Em outras palavras, durante o  intervalo de tempo Δt a partícula se moveu em linha reta com velocidade crescente. 

Na  figura  8b  a  aceleração  a  é  perpendicular  ao  vetor  velocidade  v

.  A  variação  de  v

  durante  um  pequeno 

intervalo  de  tempo  Δt  é  o  vetor  v;  aproximadamente  perpendicular  a  1v

  conforme  indicado.  Novamente, 

2 1v  v     v

, porém neste caso  1v e  2v possuem direções diferentes. Quando o intervalo de tempo Δt tende a zero, o 

ângulo φ na figura também tende a zero e  vtorna‐se perpendicular a ambos os vetores,  1v

 e 2v, os quais possuem o 

mesmo módulo.  Em  outras  palavras,  a  velocidade  escalar  permanece  constante,  porém  a  trajetória  da  partícula  se encurva. 

Quando  a  é  paralelo  (ou  antiparalelo)  a ,o  módulo  de  v

  varia,  mas  sua  direção  não  varia;  quando  a

  é 

ortogonal a  v, a direção de  v

 varia, mas o módulo da velocidade não varia. No caso geral,  a

 pode ter componentes em 

ambas as direções, mas as afirmações anteriores continuam válidas para cada componente de  v separadamente. Em 

particular,  quando  uma  partícula  descreve  uma  trajetória  curva  com  velocidade  escalar  constante,  sua  aceleração  é sempre perpendicular a  v

 em todos os pontos da curva. 

 

FIGURA  8  a)  Quando  a  é  paralelo  a  v

,  o 

módulo  de  v  cresce mas  sua  direção  não 

varia.  A  partícula  se  move  em  linha  reta com  velocidade  escalar  crescente,  b) 

Quando  a é ortogonal a  v

, a direção de  v

 

varia,  mas  o  módulo  da  velocidade  não varia.  A  partícula  se  move  em  uma trajetória  curva  com  velocidade  escalar constante.  

A  figura  9 mostra  uma  partícula  descrevendo  uma  trajetória  curva  em  três  situações  diferentes:  velocidade 

escalar constante, velocidade escalar crescente e velocidade escalar decrescente. Quando a velocidade é constante,  a é 

perpendicular, ou normal, a  v e à trajetória e aponta para o lado côncavo da curva (figura 9a). Quando a velocidade é 

crescente, ainda existe um componente de  a perpendicular, porém existe também um componente paralelo que possui 

a  mesma  direção  de  v  (figura  9b).  Então  a

  aponta  para  a  frente  da  normal  à  trajetória.  Quando  a  velocidade  é 

decrescente, o componente paralelo possui direção oposta à direção de  v, e  a aponta para trás da normal à trajetória 

(figura 9c). 

 6 

 FIGURA 9 Vetor velocidade e vetor aceleração em um ponto P de uma partícula que se move em uma trajetória curva com a) velocidade escalar constante, b) velocidade escalar crescente e c) velocidade escalar decrescente.  4 MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL 

Um  projétil  é  qualquer  corpo  lançado  com  uma  velocidade  inicial  e  que  segue  uma  trajetória  determinada, exclusivamente pela aceleração da gravidade e pela resistência do ar. Uma bola de beisebol batida, uma bola de futebol chutada, um pacote largado de um avião e uma bala atirada por uma arma de fogo são exemplos de projéteis. A curva descrita durante o movimento do projétil é a sua trajetória. 

A fim de analisarmos este tipo comum de movimento, começaremos com um modelo idealizado, representando o projétil  como uma partícula  com aceleração  (devida  à  gravidade)  constante em módulo,  direção e  sentido.  Iremos desprezar  os  efeitos  de  resistência  do  ar  e  a  curvatura  e  rotação da  Terra.  Como  todo modelo,  este  possui  algumas limitações. A curvatura da Terra tem de ser considerada no movimento de um míssil de longo alcance e a resistência do ar é de importância fundamental para o movimento de um paraquedista. Contudo, podemos aprender muito da análise deste modelo simplificado. No restante deste capítulo, a frase "movimento de um projétil" implica que desprezamos os efeitos de  resistência do ar. No capítulo “Leis de Newton” veremos o que ocorre quando não podemos desprezar os efeitos da resistência do ar. 

Notamos  inicialmente  que  o  movimento  de  um  projétil  está  sempre  confinado  em  um  plano  vertical determinado pela direção da velocidade inicial (figura 10).  

 

  FIGURA  10  O movimento  de  um  projétil ocorre em um plano vertical  contendo o vetor velocidade inicial  v

0. 

 

Isso  ocorre  porque  a  aceleração  da  gravidade  é  sempre  vertical;  a  gravidade  não  pode  produzir movimento lateral  do  projétil.  Logo,  o  movimento  de  um  projétil  ocorre  em  duas  dimensões.  O  plano  do  movimento  será considerado o plano xy, sendo o eixo Ox horizontal, e o eixo Oy vertical e orientado de baixo para cima. 

A chave para analisar o movimento de um projétil é tratar as componentes x e y separadamente. O componente x da aceleração é igual a zero e o componente y é constante e igual a ‐g. (Lembre‐se de que, por definição, g é sempre positivo, e com a nossa escolha do sentido do eixo, Oy é negativo.) Dessa forma, podemos considerar o movimento de um projétil como a combinação de um movimento horizontal com velocidade constante e um movimento vertical com aceleração  constante.  A  figura  11  mostra  dois  projéteis  com  diferentes  movimentos  no  eixo  Ox,  mas  idênticos movimentos  no  eixo  Oy;  um  corresponde  ao  movimento  de  uma  bola  largada  sem  velocidade  inicial  e  o  outro  foi lançado  horizontalmente  do  mesmo  ponto,  porém  ambos  caem  verticalmente  à  mesma  distância  em  intervalos  de tempo iguais. 

 

FIGURA  11  Independência  entre  o  movimento  na  vertical  e  na horizontal.  A  bola  da  esquerda  é  largada  verticalmente  sem velocidade  inicial.  Simultaneamente  a  bola  da  direita  é  lançada horizontalmente  do  mesmo  ponto;  as  imagens  sucessivas  desta fotografia  estroboscópica  são  registradas  em  intervalos  de  tempo iguais.  Para  cada  intervalo  de  tempo  as  duas  bolas  possuem  os mesmos  componentes  y  da  posição,  da  velocidade  e  da  aceleração, embora  os  componentes  x  da  posição  e  da  velocidade  sejam diferentes.  

 7 

Podemos então expressar todas as relações vetoriais para a posição, velocidade e aceleração usando equações separadas  para  os  componentes  horizontais  e  verticais.  O  movimento  efetivo  do  projétil  é  a  superposição  destes 

movimentos separados. Os componentes de  a são 

ax = 0,  ay = ‐g               [12] Normalmente  usaremos  g  =  9,8  m/s2.  Uma  vez  que  os  componentes  x  e  y  da  aceleração  são  constantes, 

podemos usar as equações estudas no capítulo anterior:  v = v0 +at x = x0 + v0t + at

2/2 Por exemplo, suponha que no instante t = 0 a partícula esteja em repouso no ponto (x0, y0) e que nesse instante 

sua velocidade inicial possua componentes v0x e v0y. Os componentes da aceleração são ax = 0 e ay = ‐g. Considerando inicialmente o movimento no eixo Ox, substituindo v por vx, v0 por v0x e a por 0 nas equações acima, achamos vx = v0x,                 [13] x = x0 + v0xt.                             [14] 

Para o movimento no eixo Oy, substituindo x por y, v por vy, v0 por v0y e a por ‐g, achamos vy = v0y ‐ gt,                            [15] y = y0 + v0yt ‐ gt

2/2                      [16] Normalmente  é mais  simples  considerar  a  posição  inicial  (t  =  0)  como a origem. Nesse  caso  x0  =  y0  =  0.  Este 

ponto poderia ser, por exemplo, a posição da mão quando lançamos uma bola ou a posição de uma bala quando ela deixa o cano da arma. 

A figura 12 mostra a trajetória de um projétil que começa na (ou atravessa) origem em dado instante t = 0. Os componentes da posição, da velocidade e da aceleração são indicados para intervalos de tempo iguais. O componente x da aceleração é igual a zero, portanto vx é constante. O componente y da aceleração é constante e não nulo, de modo que vy varia de quantidades iguais em intervalos de tempo iguais. No ponto mais elevado da sua trajetória, vy = 0. 

Podemos  também  representar  a  velocidade  inicial  0v  por  seu módulo  v0  (a  velocidade  escalar  inicial)  e  seu 

ângulo α com o sentido positivo do eixo Ox. Em termos destas grandezas, os componentes v0x e v0y da velocidade inicial são v0x = v0 cosα,  v0y = v0 senα. 

Usando  este  resultado  nas  relações  indicadas  pela  equação  (13)  até  a  equação  (16)  e  fazendo  x0  =  y0  =  0, obtemos x = (v0cosα)t                        [17] y = (v0senα)t – gt

2/2          [18] vx = v0cosα                        [19] vy = v0senα – gt             [20] 

 FIGURA  12  Trajetória  de  um  corpo  lançado  com  velocidade  inicial  0v

  formando  um  ângulo  α0  acima  da  horizontal, 

desprezando a resistência do ar.   

Essas equações descrevem a posição e a velocidade de um projétil na figura 12 em qualquer instante t. Dessas relações podemos extrair muitas informações. Por exemplo, em qualquer instante, a distância r entre o 

projétil e a origem (o módulo do vetor posição  r) é dada por 

 8 

2 2r x y                              [21]

 

A velocidade escalar do projétil (o módulo de sua velocidade) em qualquer instante é dada por 2 2

x yv v v                             [22]

 

A direção e o sentido da velocidade em termos do ângulo α que ela faz com o sentido positivo do eixo Ox são dados por 

y

x

vtan

v

                                   [23]

 

O vetor velocidade  v em cada ponto é tangente à trajetória no referido ponto. Podemos deduzir a equação da 

forma da trajetória em termos de x e de y eliminando t. Pelas equações (17) e (18), que supõem x0 = y0 = 0, encontramos t = x/(v0 cosα) e 

2

2 2

0

gy (tan )x x

2v cos

                          [24]

 

Não se preocupe com os detalhes desta equação; o ponto importante é sua forma geral. As grandezas v0, tanα, cosα e g são constantes, de modo que esta equação tem a forma y = bx ‐ cx2 onde b e c são constantes. Trata‐se da equação de uma parábola. A trajetória do movimento de um projétil, com nosso modelo simplificado, é sempre uma parábola.  ALCANCE HORIZONTAL E ALTURA MÁXIMA DE UM PROJÉTIL 

Vamos  supor  que  um  projétil  seja  lançado  sobre  um  solo  plano  a  partir  da  origem  em  t  =  0  com  uma componente vy positiva, como na figura 13.  

 

   FIGURA 13 Projétil  lançado sobre um solo plano a partir da origem.  

Existem dois  pontos  especiais  que  são  interessantes  de  analisar:  o  ponto mais  alto  A,  que  tem  coordenadas cartesianas (R/2, h),e o ponto B quando ele atinge o solo, tendo coordenadas (R,0). Em virtude da simetria da trajetória, o projétil está em sua altura máxima h quando sua posição x é metade de seu alcance R. Vamos achar h e R em termos de θ e g.  

Podemos  determinar  h  notando  que  no  topo,  vyA,  =  0.  Portanto,  a  equação  (20)  pode  ser  utilizada  para determinar o tempo t1 necessário para se alcançar o topo: 

i1

v sent

g

 

Substituindo essa expressão para t1 na equação (18) e substituindo y por h, temos h em termos de v0 e de θ. 2

i ii

2 2

i

v sen v sen1h (v sen ) g

g 2 g

v senh [25]

2g

                                 

Observe, a partir da representação matemática, como você pode aumentar a altura de topo h: você pode lançar o projétil  com uma velocidade  inicial maior,  a um ângulo maior, ou de um  local  com uma aceleração de queda  livre menor, tal como na Lua.  

O alcance R é a distância horizontal percorrida no dobro do tempo necessário para alcançar o topo, isto é, em um tempo 2t1. Isso pode ser visto colocando‐se y = 0 na equação (18) e resolvendo‐se a equação quadrática para t. Uma solução dessa equação quadrática é t = 0, e a segunda solução é t = 2t1.) Utilizando a equação (17) e observando que x = R em t = 2t1, encontramos 

2

i ii 1 i

2v sen 2v sen cosR (v cos )2t (v cos )

g g

 

 9 

Como sen2θ = 2senθ.cosθ, R pode ser escrito da forma mais compacta 2

iv sen2R

g

                                                [26] 

Observe, a partir da expressão matemática, como você pode aumentar o alcance R: você pode lançar o projétil com uma velocidade inicial maior ou de um local com uma aceleração de queda livre menor, como na Lua.  

O alcance também depende do ângulo que o vetor velocidade inicial faz com a horizontal.  Da equação 26 temos que o maior valor possível de R é dado por Rmáx = v

2/g. Esse resultado vem do fato de que o valor máximo de sen2θ é igual a 1, que ocorre quando 2θ = 90°. Portanto, R é máximo quando θ = 45°. 

A figura 14 ilustra várias trajetórias para um projétil com uma velocidade escalar inicial dada. Como você pode ver, o alcance é máximo para θ = 45°. Além disso, para qualquer θ diferente de 45°, um ponto com coordenadas (R,0) pode t alcançado utilizando qualquer um dos dois valores complementares de θ tais como 75° e 15°. É claro que a altura máxima e o tempo de voo serão diferentes para esses dois valores de θ. 

 

    FIGURA  14  Um  projétil  lançado  da  origem com uma velocidade escalar inicial de 50 m/s com  vários  ângulos  de  projeção.  Observe que valores complementares de θ resultarão no mesmo valor de R.  

 5 MOVIMENTO CIRCULAR 

Quando uma partícula se move ao longo de uma trajetória curva, a direção de sua velocidade varia. Como vimos na seção 3, isso significa que a partícula deve possuir um componente da aceleração perpendicular à trajetória, mesmo quando a velocidade escalar for constante. Nesta seção calcularemos a aceleração para este importante caso especial de movimento circular.  MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME 

Quando uma partícula se move ao longo de uma circunferência com velocidade escalar constante, dizemos que ela  descreve  um movimento  circular  uniforme.  Um  carro  percorrendo  uma  curva  de  raio  constante  com  velocidade constante, um satélite movendo‐se numa órbita circular e um patinador descrevendo uma circunferência em uma pista de gelo com velocidade constante são exemplos de movimento circular uniforme. Não existe nenhum componente da aceleração  paralelo  (tangente)  à  trajetória;  caso  houvesse,  a  velocidade  escalar  seria  variável.  O  componente  da aceleração perpendicular (normal) à trajetória, que produz variação da direção da velocidade, é relacionado de forma simples com a velocidade da partícula e o raio do círculo. Nosso próximo objetivo é deduzir essa relação. 

Notamos inicialmente que esse problema é diferente do movimento de um projétil considerado na seção 4, no qual a aceleração era constante em módulo (g), direção (vertical) e sentido (de cima para baixo). No movimento circular uniforme, a aceleração é perpendicular à velocidade em cada instante; à medida que a direção da velocidade varia, a direção  da  aceleração  também  varia.  Como  veremos,  o  vetor  aceleração  em  cada  ponto  da  trajetória  circular  é orientado para o interior do círculo. 

A  figura  15a mostra  a  trajetória  de  uma  partícula  que  se move  com  velocidade  constante  ao  longo  de  uma circunferência de raio R com centro em O. A partícula se move de P1 a P2 em um intervalo de tempo Δt. A variação do vetor velocidade Δ v

; durante esse intervalo de tempo é indicada na figura 15b. 

Os ângulos designados por Δ nas  figuras 15a e 15b são  iguais porque  1v é perpendicular à  linha OP1 e  2v

 é 

perpendicular à linha OP2. Portanto, os triângulos OP1P2 (figura 15a) e OP1P2 (figura 15b) são semelhantes. 

 10 

 

  FIGURA  15  Cálculo  da  variação  da  velocidade  v 

de 

uma  partícula  que  se  move  com  velocidade  constante em um círculo.  

As razões entre lados correspondentes são iguais, logo 

1

1

v vsou v s

v R R

 

O módulo am da aceleração média durante o intervalo de tempo Δt é, portanto, 

1m

v v sa

t R t

 

O módulo a da aceleração instantânea  a no ponto P1 é o limite desta expressão quando o ponto P2 tende a se 

superpor ao ponto P1. 

1 1m

t 0 t 0

v vs sa lim lim

R t R t

 

Porém, o limite Δs/Δt é a velocidade escalar v1 no ponto P1. Mas P1 pode ser qualquer ponto da trajetória, de modo que podemos retirar o índice inferior e designar por v a velocidade escalar em qualquer ponto. Logo 

2

rad

va

R                                              [27] 

Introduzimos um índice inferior "rad" para lembrar que a direção da aceleração instantânea em cada ponto da trajetória é sempre orientada radialmente para dentro do círculo. Isso está de acordo com nossa discussão da seção 3: o vetor aceleração aponta para o  lado côncavo da trajetória circular, ou seja, para dentro do círculo  (nunca para  fora). Como a velocidade escalar é constante, a aceleração é sempre perpendicular ao vetor velocidade  instantânea.  Isso é indicado na figura 15c; compare‐a com a figura 9a. 

Concluímos:  No  movimento  circular  uniforme,  o  módulo  da  aceleração  instantânea  é  igual  ao  quadrado  da velocidade escalar v dividido pelo raio R do círculo. Sua direção é perpendicular a  v

 e aponta para dentro do círculo ao 

longo do raio. Como a aceleração é orientada para dentro do círculo, ela é também chamada de aceleração centrípeta. A palavra centrípeta deriva do grego e significa "que se dirige para o centro". A figura 16 mostra o vetor velocidade e o vetor  aceleração  em diversos  pontos  da  trajetória  de  uma  partícula  que  se move  com  velocidade  constante  em um círculo. Compare esse resultado com o movimento de um projétil indicado na figura 12, no qual a aceleração é sempre constante e orientada para baixo e não perpendicular à trajetória, exceto em um único ponto. 

Podemos  também  expressar  o  módulo  da  aceleração  em  um  movimento  circular  uniforme  em  termos  do período T do movimento, o  tempo que a partícula  leva para  fazer uma  revolução  (uma volta  completa em  torno do círculo). Em um  intervalo de tempo T, a partícula se desloca a uma distância  igual ao comprimento da circunferência 2πR, de modo que sua velocidade escalar é 

2 Rv

T

                                         [28] 

 

  FIGURA  16  Para  uma  partícula  que descreve  um  movimento  circular uniforme,  a  velocidade  é  tangente  à circunferência  em  cada  ponto  e  a aceleração  é  dirigida  radialmente  para dentro do círculo.  

 MOVIMENTO CIRCULAR NÃO UNIFORME 

Consideramos nesta seção que a velocidade escalar da partícula permanecia constante durante o movimento. Quando esta velocidade varia, a partícula descreve um movimento circular não uniforme. Um exemplo é o movimento 

 11 

do carro de uma montanha‐russa que diminui de velocidade quando sobe e aumenta de velocidade quando desce em torno  de  uma  volta  vertical.  Em  um movimento  circular  não  uniforme,  a  equação  (27)  ainda  fornece  a  componente radial  da  aceleração,  arad  =  v

2/R,  que  é  sempre  perpendicular  à  velocidade  instantânea  e  aponta  para  o  interior  do círculo. Porém, como a velocidade escalar v da partícula possui diversos valores em diferentes pontos da trajetória, o valor de arad não é constante. A aceleração radial (centrípeta) assume o valor máximo no ponto da circunferência para o qual a velocidade escalar possui seu valor máximo. 

Em um movimento circular não uniforme existe também um componente da aceleração paralelo à velocidade 

instantânea. Trata‐se do componente paralelo  a  mencionado na seção 3; esse componente será agora designado por 

atan para enfatizar que ele é  tangente à circunferência. Pela discussão no  final da seção 3, vemos que o componente tangencial da aceleração atan é dado pela taxa de variação da velocidade escalar. Logo 

2

rad tan

d vva e a

R dt

                               [29] 

O vetor aceleração de uma partícula que se desloca em um círculo com velocidade escalar variável é dado pela soma  vetorial  do  componente  tangencial  da  aceleração  com  o  componente  paralelo  da  aceleração.  O  componente tangencial  da  aceleração  possui  direção  paralela  à  direção  do  vetor  velocidade,  com  o  mesmo  sentido  deste  vetor quando a velocidade escalar aumenta, e sentido contrário quando a velocidade escalar diminui (figura 17). 

No movimento circular uniforme não existe componente tangencial da aceleração, mas o componente radial da aceleração é dado pelo módulo de dv/dt. Comentamos anteriormente que ld v

/dtl é em geral diferente de dl v

l/dt. No 

movimento circular uniforme, dl vl/dt = 0 e  ld v

/dtl = v2/R.   

 

  FIGURA  17  Partícula movendo‐se  em  um  círculo  vertical, como um carro de uma montanha‐russa,  com velocidade variável.  O  componente  radial  da  aceleração  arad  possui valor máximo quando a  velocidade escalar  é máxima  (na parte  inferior)  e  mínima  quando  a  velocidade  escalar  é mínima  (na parte  superior). O  componente  tangencial da aceleração atan possui direção paralela à direção do vetor velocidade,  com  o mesmo  sentido  deste  vetor  quando  a velocidade  escalar  aumenta  (na  descida)  e  sentido contrário quando a velocidade escalar diminui (na subida).  

 6 VELOCIDADE RELATIVA 

Certamente você já deve ter observado que um carro que se desloca para a frente parece se deslocar para trás quando você o ultrapassa. Em geral, quando dois observadores medem a velocidade de um objeto que se move, eles obtêm  resultados  diferentes  se  um  observador  se  move  em  relação  ao  outro.  A  velocidade  medida  por  um  dos observadores  denomina‐se  velocidade  relativa  ao  observador  considerado,  ou  simplesmente  velocidade  relativa. Inicialmente  vamos  estudar  a  velocidade  relativa  ao  longo  de  uma  linha  reta  e  depois  generalizar  para  a  velocidade relativa  em  um  plano.  Note  que  para movimento  retilíneo  (uma  dimensão)  podemos  usar  o  termo  velocidade  para designar o componente da velocidade ao longo da reta, podendo ser positiva, negativa ou nula. 

 

   Os  pilotos  de  uma  exibição  aérea  enfrentam  um  problema  complicado  de movimento relativo. Eles devem considerar a velocidade relativa do ar sobre as asas (para que a força de sustentação atinja valores apropriados), a velocidade relativa entre os aviões (para evitar colisões) e a velocidade relativa em relação ao público (para que eles possam ser vistos).  

 12 

VELOCIDADE RELATIVA EM UMA DIMENSÃO Uma mulher caminha com velocidade de 1,0 m/s no interior de um trem que se move com velocidade de 3,0 

m/s (figura 18a), qual é a velocidade da mulher? Trata‐se de uma questão bastante simples, mas que não possui uma resposta  única.  Em  relação  a  um  passageiro  sentado  no  trem,  ela  se move  a  1,0 m/s.  Uma  pessoa  parada  em  uma bicicleta ao lado do trem vê a mulher se deslocar com velocidade 1,0 m/s + 3,0 m/s = 4,0 m/s. Um observador em outro trem movendo‐se  em  sentido oposto daria  ainda outra  resposta.  É  necessário  especificar  a  velocidade  relativa  a um observador particular. A velocidade da mulher em relação ao trem é 1,0 m/s, sua velocidade relativa ao ciclista é 4,0 m/s e assim por diante. Cada observador equipado com uma régua e um cronômetro em princípio constitui um sistema de referência. Logo, um sistema de referência é um sistema de coordenadas acrescido de uma escala de tempo. 

Vamos designar por A o sistema de referência do ciclista e por B o sistema de referência do trem (figura 18b). Para um movimento retilíneo, a posição de um ponto P em relação ao sistema de referência A é dada pela distância xP/A (posição de P em relação a A), e a posição em relação ao sistema de referência B é dada pela distância xP/B. A distância entre a origem de A e a origem de B (posição de B em relação a A) é xB/A. Podemos ver pela figura que xP/A = xP/B + xB/A                                               [30] 

Isto nos  informa que a distância  total entre a origem de A e o ponto P é a distância entre a origem de B e o ponto P mais a distância entre a origem de A e a origem de B. 

A  velocidade  relativa de P em  relação a A,  designada por  vP/A,  é  a derivada de  xP/A  em  relação ao  tempo. As demais velocidades são obtidas de modo análogo. Logo, derivando a equação (30), obtemos a seguinte relação entre as várias velocidades: 

P/A P/B B/Adx dx dx   

dt dt dt  

ou 

P/A P/B B/Av  v  v                                            [31] 

 

 FIGURA 18  (a) A mulher  caminhando no  interior do  trem.  (b) No  instante  indicado a posição da mulher  (partícula P) relativa um sistema de referência A é diferente de sua posição relativa a um sistema de referência B.  

Voltando  ao  caso  da mulher  caminhando  no  trem,  A  é  o  sistema  de  referência  do  ciclista,  B  é  o  sistema  de referência do trem, e o ponto P representa a mulher. Usando a notação anterior, temos vP/B = 1,0 m/s,       vB/A = 3,0 m/s. Pela equação (31), a velocidade da mulher vP/A relativa ao ciclista é dada por vP/A = 1,0 m/s + 3,0 m/s = 4,0 m/s, como já sabíamos. 

Neste exemplo, as duas velocidades são orientadas da esquerda para a direita, e implicitamente adotamos este sentido  como positivo. Caso a mulher  caminhasse para  a  esquerda em  relação ao  trem, então  vP/B  =  ‐1,0 m/s,  e  sua velocidade  relativa  ao  ciclista  seria  2,0 m/s. A  soma  indicada na  equação  (31)  deve  ser  encarada  sempre  como uma soma algébrica, e qualquer termo pode ser negativo. 

Quando  a  mulher  olha  para  fora  da  janela,  o  ciclista  parado  no  solo  parece  se  mover  para  trás;  podemos designar a velocidade relativa do ciclista em relação à mulher por vA/P. E claro que ela é igual e contrária a vP/A. Em geral, quando A e B são dois pontos ou sistemas de referência, vA/B =‐vB/A            [32]  VELOCIDADE RELATIVA EM DUAS OU TRÊS DIMENSÕES 

Podemos  estender  o  conceito  de  velocidade  relativa  para  incluir  movimento  em  um  plano  ou  no  espaço mediante o uso da regra da soma vetorial para as velocidades. Suponha que a mulher na figura 18a em vez de se mover ao  longo  do  eixo  do  trem  esteja  se movendo  lateralmente  dentro  do  trem  com  velocidade  de  1,0 m/s  (figura  19a). 

 13 

Podemos descrever  a posição da mulher P em  relação a dois  sistemas de  referência,  o  sistema A para o observador parado no  solo e B para o  trem em movimento. Porém, em vez da  coordenada x usamos o vetor posição  r

  porque 

agora o problema envolve duas dimensões. Então, conforme mostra a figura 19b, 

P/A P/B B/Ar  r  r

                                              [33] 

Analogamente  ao  método  usado  antes,  derivamos  essa  equação  para  obter  uma  relação  entre  as  diversas 

velocidades  relativas;  a  velocidade  de  P  relativa  a  A  é  dada  por  P/Av

=  d P/Ar

/dt  e  assim  por  diante  para  as  outras 

velocidades. Obtemos 

P/A P/B B/Av  v  v

                                        [34] 

Quando todas as três velocidades relativas são paralelas à mesma linha reta, então a equação (34) se reduz à equação (31) para os componentes da velocidade ao longo dessa linha. 

Se  a  velocidade  relativa do  trem em  relação ao  solo possui módulo  vB/A  =  3,0 m/s e  a  velocidade  relativa da mulher em relação ao trem possui módulo vP/B =1,0 m/s, então seu vetor velocidade relativa vP/A em relação ao solo é obtido conforme indicado na figura 19c. O teorema de Pitágoras fornece 

2 2P/Av 3 1 3,2m/ s  

Também podemos observar neste diagrama que a direção do vetor velocidade relativa da mulher em relação ao 

solo faz um ângulo com o vetor velocidade relativa do trem  B/Av

, onde  

P/B

B/A

v 1tag

v 3

18

 

Como no caso de um movimento retilíneo, temos a seguinte regra geral válida em qualquer caso em que A e B são dois pontos ou sistemas de referência, 

A/B B/Av =‐v

            [35] 

A velocidade relativa da mulher em relação ao trem é igual e contrária à velocidade relativa do trem em relação à mulher e assim por diante. 

 FIGURA 19 (a) A mulher caminha lateralmente dentro do trem. (b) O vetor posição depende do sistema de referência, (c) Diagrama vetorial para a velocidade da mulher relativa ao solo.  

Ao  deduzirmos  as  equações  para  as  velocidades  relativas,  imaginamos  que  todos  os  observadores  usavam escalas de  tempo  iguais.  Esse é o ponto em que a  teoria da  relatividade de Einstein difere da  física de Newton e de Galileu.  Quando  as  velocidades  são  próximas  da  velocidade  da  luz,  designada  por  c,  a  equação  de  composição  das velocidades relativas deve ser modificada. Caso a mulher da figura 19 pudesse andar na direção do eixo do trem com velocidade 0,30c e o trem se movesse com velocidade 0,90c, então sua velocidade em relação ao solo não seria 1,20c, mas, sim, 0,94c; nada pode se deslocar com velocidade maior do que a velocidade da luz!  EXERCÍCIOS RESOLVIDOS  01 O pedal que aumenta a velocidade em um automóvel é chamado comumente acelerador. Existem outros controles que também podem ser considerados como aceleradores? SOLUÇÃO O pedal que aumenta a velocidade em um automóvel é chamado acelerador em virtude do fato de que o uso comum da palavra aceleração  refere‐se a um aumento na velocidade escalar. Contudo, a definição científica é que a aceleração ocorre  sempre  que  a  velocidade  se  modifica  de  qualquer  maneira.  Assim,  o  pedal  de  freio  também  pode  ser 

 14 

considerado  um  acelerador,  pois  ele  faz  que  o  carro  torne‐se  mais  lento.  O  volante  do  automóvel  também  é  um acelerador, pois ele modifica a direção do vetor velocidade.  

02 A posição de uma partícula que se move em um plano xy é dada por 3 4ˆ ˆr  2t –  5 t i    6  – 7t j

, com r em metros 

e t em segundos. Calcule em t = 2s: 

a) r,  

b)  ve  

c)  a. 

SOLUÇÃO a) Em t = 2 s a posição ( r

) da partícula vale: 

3 4ˆ ˆr  2(2) –  5 (2) i    6  – 7(2) j

 

ˆ ˆr  6i   106 j

m 

b) A velocidade instantânea  v é a derivada primeira de  r

 em relação ao tempo: 

3 4dr d ˆ ˆv   2(t) –  5 (t) i    6  – 7(t) jdt dt

 

2 3ˆ ˆv  6t –  5 i    28t j

 

Substituindo‐se o valor de t = 2 s: 2 3ˆ ˆv  6(2) –  5 i    28(2) j

ˆ ˆv  19i   224 j

 

c) A aceleração instantânea  a é a derivada primeira de  v

 em relação ao tempo: 

2 3

2

dv d ˆ ˆa   6(t) –  5 i    28(t) jdt dt

ˆ ˆa 12ti   84t j

 

Substituindo‐se o valor de t = 2 s: 2ˆ ˆa 12(2)i   84(2) j

ˆ ˆa 24i   336 j

 

 

03 Seja  2 3ˆ ˆr  bt i   ct j

onde b e c são constantes positivas. Em que instante o vetor velocidade faz um ângulo de 45,0° 

com os eixos Ox e Oy? SOLUÇÃO v dr / dt

. Este vetor fará um ângulo de 45 ° com ambos os eixos quando seus componentes x e y forem iguais 

2

x y

v 2bti 3ct j

v v

 

o que dá t = 2b/3c  04 Uma bola rola do alto de uma escada com velocidade horizontal de módulo v0 = 4 m/s. Cada degrau tem 50 cm de largura e 50 cm de altura. Desprezando a influência do ar, determine que degrau a bola tocará primeiro. Considere g = 10 m/s2. 

 SOLUÇÃO  

 15 

 

Equação da parábola: x = 4t ⇒ t = x/4 y = 5 t2 y = 5 x2/16 Interseção da parábola com a reta y = x: x = 5 x2/16 ⇒ x = 0 e x = 3,2 m Portanto, a bola tocará primeiro o sétimo degrau. 

05 Observe o lançamento indicado na figura abaixo. Encontre o tempo que a bola leva para percorrer o caminho de A para B. Considere g = 10 m/s2. 

   SOLUÇÃO 

   

Na horizontal (MRU): d = vt 3x = 15t  x = 5t     (1) O tempo t na vertical e na horizontal são iguais. Na vertical: H = v0yt + ½ gt

2 4x = 5t2   (2) De (1) e (2) 4.(5t) = 5t2 t = 2 s 

 06 Você arremessa uma bola em direção a uma parede com uma velocidade de 25 m/s fazendo um ângulo de 37° acima da horizontal (figura abaixo). A parede está a 20 m do ponto de lançamento da bola.  a) A que distância acima do ponto de lançamento a bola bate na parede?  b) Quais são as componentes horizontal e vertical da sua velocidade quando ela bate na parede?  c) Quando ela bate, ela já passou do ponto mais alto da sua trajetória? (use g =10 m/s2, cos 37°= 0,8) 

 SOLUÇÃO a) Chamaremos de tf o instante (final) quando a bola bate na parede. Precisaremos saber este instante para calcularmos a posição final y(tf). O tempo de voo da bola é igual ao tempo que a bola gasta para percorrer 20 m na horizontal com uma velocidade v0x = v0cos(θ) = 20 m/s: 

o x

0

x

x   x    v t 

x x 20t 1s

v 20

 

Então, a posição yf da bola que é dada por  yf = y0 + v0yt + 1/2gt

2  com v0y = v0sen(θ) = 15 m/s será: yf = 0 + 15.1 + 1/2.10.1

2  

 16 

yf = 20m b) As componentes de  fv

são: 

vfx = v0x = 20m/s vfy = v0y ‐ gtf = (15 ‐10×1) m/s = 5 m/s c) Como a componente y da velocidade final é positiva, então concluímos que a bola ainda está subindo. Logo a bola ainda não passou pelo máximo.  07 Quando o projétil da figura seguinte é lançado da posição A no solo, passa pela posição B a 15 m de altura com uma 

velocidade de  Bˆ ˆv   8 m / s i     10 m / s j

. Considere g = 10 m/s2. 

a) Determine o vetor velocidade  Avno instante do lançamento.  

b) Quanto tempo o projétil permanece no ar (tempo de voo) até atingir o solo no mesmo nível?  c) Qual a altura máxima atingida pelo projétil?  

d) Determine o  vetor  velocidade média  CDv

desde o  instante que o projétil  passa pelo ponto de altura máxima até o 

instante que ele atinge o solo. 

 SOLUÇÃO a) O projétil está a 15 m do solo em dois instantes diferentes: na subida e na descida. Entretanto, como a componente y 

da velocidade  Bv

é positiva, concluímos que o projétil ainda está subindo. Desta forma, podemos calcular a componente 

vAy. 2 2

By Ay B A

2

Ay By B A

Ay

Ay

v v 2g(y y )

v v 2g(y y )

v 100 2.10.15

v 20m/ s

 

Desta forma,  Aˆ ˆv   8 m / s i     20 m / s j

 

b) Como o projétil atinge o solo no mesmo nível em que foi  lançado, a componente y da velocidade final será  igual à componente y inicial, com sentido contrário (vDy = – vAy). Então, vDy = vAy ‐ gtvoo com vDy = ‐vAy Portanto, 

Ay

voo

2vt 4s

g

 c) A altura máxima alcançada pelo projétil é yC. Neste instante a componente y da velocidade é nula. Assim temos: 

2 2

Cy Ay C A

2

Ay

C

v v 2g(y y )

vy 20m

2g

 

d) A velocidade média  CDv

 é dada por: 

D CCD

r rv

t

 

Com 

D Ax vooˆ ˆ ˆr Ri v .t i (32m)i

 

Com R = A(Alcance) 

C

R ˆ ˆ ˆ ˆr i Hj (16m)i (20m)j2

 Finalmente, 

 17 

CD

(16m)i (20m)j ˆ ˆv (8m/ s)i (10m/ s)j2s

 

08 Um projétil é disparado com velocidade de 600 m/s, num ângulo de 60° com a horizontal. Calcular a) o alcance horizontal,  b) a altura máxima,  c) a velocidade e a altura 30 s após o disparo. SOLUÇÃO As equações para este movimento são 

x

x o

o

a 0

v    v cos

x   (v cos )t  

 

y

y o

2

o

a g

v    v sen gt

1y  (v sen )t  gt

2

 

a) Seja t = tA o instante em que o projétil atinge o ponto x = A(Alcance do projétil), que é obtida fazendo‐se y(tA) = 0. Assim, da expressão para y(t), encontramos 

2

o

o

1y  (v sen )t  gt 0

2

1v sen gt t 0

2

 

0

então,

2v sent 0 e t

g

 

Estas  duas  raízes  correspondem  às  duas  situações  em  que  o  projétil  se  encontra  em  y  =  0,  uma  no  instante  de lançamento, t = t0 = 0, e a outra ao atingir o solo no ponto x = A, t = tA = 2v0 sen θ/g . Portanto, substituindo os valores, encontra‐se 

2.600.sen60t 106s

9,8

 Para calcular o alcance basta substituir este tempo em x(t), x(tA) = A, ou seja, A = (v0 cos θ) tA = 600 . cos 60° . 106 = 31. 800 m = 31, 8 km b) Demonstramos em classe que tA = 2tm. Logo o tempo para atingir a altura máxima vale tm = 53s. Assim, y(tm) = ym, ou seja 

2 2

m o m m

1 3 1y   (v sen )t   gt 600. .53 .9,8.53 13775,5m

2 2 2

 c) Para calcular a velocidade, vamos primeiro calcular as componentes 

x o

y o

v (30s)   v cos60 600.0,5 300m / s

3v (30s)   v sen60 gt 600. 9,8.30 225,6m / s

2

 

Como  x yˆ ˆv   v i  v j

 então 

2 2 2 2

x yv v v 300 225,6 375,4m/ s  

y

x

v 225,6arctg arctg arctg(0,75) 37

v 300

 

A altura y(30s) vale 

21y(30s)  600.sen60 .30  9,8.30 11,2km

2

  09 Um avião voa horizontalmente na altitude de 1 km com a velocidade de 200 km/h. Ele deixa cair uma bomba sobre um navio que se move no mesmo sentido e com a velocidade de 20 km/h.  a) Calcule a distância horizontal entre o avião e o navio, no  instante do  lançamento, para que este seja atingido pela bomba.  b) Resolver o mesmo problema para o caso de o avião e o navio terem movimentos de sentidos contrários. SOLUÇÃO As equações que usaremos serão 

 18 

x

x o

o

a 0

v    v cos

x   (v cos )t  

 

y

y o

2

0 o

a g

v    v sen gt

1y  y (v sen )t  gt

2

 

 a) A bomba é deixada cair de um avião que voa a 56 m/s. Portanto, a bomba é lançada horizontalmente (θ = 0°) com velocidade inicial v0x = 56m/s v0y = 0 vn = 56m/s Para atingir o navio, a bomba deve ser lançada sobre o ponto O, que está a uma distância horizontal d do navio (figura (a)). Observe nesta figura que A = d + xn, onde A é o alcance do projétil e xn é a distância percorrida pelo navio desde o instante  do  lançamento  da  bomba  e  d  é  a  distância  procurada. Mas,  o  tempo  que  o  projétil  leva  para  percorrer  a distância x = A (alcance) é obtido fazendo y(t) = 0 para t = tA, ou seja, 

2

0 o

2

1y(t)  y (v sen )t  gt

2

0  1000 4,9t

t 14,3s

 

e, portanto, tA = 14,3 s. Logo, 

A

0 A

A x(t )

A (v cos0 )t 56.14,3 800m

 Por outro lado, neste intervalo de tempo tA o navio percorreu uma distância xn (MRU) dada por xn = vntA = 5,6 . 14, 3 = 80 m Desta maneira, usando a identidade A = d ‐ xn encontramos d = A − xn = 800 − 80 = 720 m. b) Neste caso o navio está em movimento em sentido contrário ao do avião (figura (b)). Nesta figura observamos que d = A + xn. Como os valores são os mesmos, encontramos d = 800 + 80 = 880 m.  10 Um macaco esperto escapa do jardim zoológico. O guarda do zoológico o encontra em uma árvore. Depois de desistir de fazer o macaco descer, o guarda aponta a espingarda com um dardo tranquilizante na direção do macaco e atira (ver figura abaixo). O macaco, desejando escapar do dardo,  larga o galho e cai no mesmo instante em que o dardo sai da espingarda. Mostre que o dardo sempre atinge o macaco, qualquer que seja a velocidade do dardo quando ele sai da boca da arma (desde que seja suficiente para o dardo chegar ao macaco antes de ele atingir o solo). SOLUÇÃO Escolhemos o sistema de coordenadas na saída da boca da arma com o dardo tranquilizante. Para mostrar que o dardo atinge o macaco, devemos mostrar que existe um instante no qual as coordenadas x e y do dardo e do macaco são as mesmas. Vamos primeiro verificar quando as coordenadas do macaco xM e as coordenadas do dardo xD são as mesmas. O macaco cai verticalmente, de modo que sempre xM = d. Para o dardo,  xD = (v0.cosα)t. Quando essas coordenadas x são iguais, d = (v0 cosα)t ou 

0

dt

v cos

 

 19 

 Vamos agora verificar se para esse instante as coordenadas do macaco vM e as coordenadas do dardo yD são as mesmas; se elas  fossem  iguais, o dardo atingiria o macaco. O macaco está em queda  livre em uma dimensão; sua posição em qualquer instante é dada pela equação y = y0 + v0yt ‐ gt

2/2, fazendo‐se as mudanças de símbolos necessárias. A figura mostra que a altura inicial do macaco é d.tanα (o lado oposto ao ângulo α de um triângulo retângulo cujo lado adjacente é d), logo 

2

M

1y d.tan gt

2  

Para o dardo, usamos a equação  2

0 0

1y (v .sen )t gt

2 . 

Vemos, portanto, que d.tanα = (v0.senα)t no instante em que as duas coordenadas x são iguais; caso yD = yM, o dardo atinge o macaco.  Para mostrar  que  isso  realmente  ocorre,  substituímos  t  por  d/(v0.cosα),  o  instante  em que  xD  =xM; então 

0 0

0

d(v .sen )t v .sen d.tan

v .cos

 

Provamos que no instante em que as coordenadas x são iguais, as coordenadas y também são iguais;  logo, um dardo apontado para a posição inicial do macaco sempre o atingirá, qualquer que seja o valor de v0. Esse resultado também não depende do valor de g, a aceleração da gravidade. Se não houvesse gravidade (g = 0), o macaco ficaria em repouso e o dardo seguiria uma trajetória retilínea para atingi‐lo. Com a gravidade, ambos "caem" a mesma distância  (1/2)gt2 abaixo da posição correspondente a g = 0 e o dardo sempre atinge o macaco.  11  Um  dardo  é  lançado  a  partir  do  ponto  A  com  uma  velocidade  vo  =  100  m/s  a  um  ângulo  de  53°  em  relação  à horizontal  e  colide  no  ponto  B  perpendicular  ao  plano  inclinado  que  faz  um  ângulo  de  45°  com  a  horizontal,  como mostrado na figura. Calcule o tempo de movimento do dardo. Considere g = 10 m/s2. 

    SOLUÇÃO 

   

  Verticalmente, usamos a equação: vf = vi + gt Substituindo os dados: ‐ 60 = 80 + (10)t Então: t = 14 s  

 20 

12  Uma  pedra  é  lançada  obliquamente  a  partir  do  nível  do  solo.  Ela  passa  rente  por  três  paredes  com  distâncias sucessivas entre elas de r e 2r. A parede  interna é 15/7 vezes mais alta que as paredes exteriores que são  iguais em altura. O alcance horizontal total é nr, onde n é um número inteiro. O Professor Gomes pede que se determine n. SOLUÇÃO Vamos considerar que ambas as paredes exteriores são iguais em altura h e estão a igual distância dos pontos  extremos c da trajetória parabólica como pode ser mostrado na figura abaixo: 

 A equação da parábola é y = bx − cx2                                (1)  y = 0 e x = nr = R Onde R é o alcance do movimento. Usando esses valores na equação (1) obtemos b = cnr              (2) Agora, o alcance R é R = a + r + 2r + a = nr Isto dá a = (n ‐ 3) r/2      (3) A trajetória da pedra passa através da parte superior das três paredes cujas coordenadas são (a, h), (a + r, 15/7 h), (a + 3r, h) Usando estas coordenadas na equação (1) encontramos h = ab ‐ ca2         (4) 15/7 h = b (a + r) ‐c (a + r)2      (5) h = b(a + 3r) ‐ c(a + 3r)2            (6) Depois de combinar (2), (3), (4), (5) e (6) e resolvendo, obtemos n = 4.  13 Considere que α é o ângulo de lançamento, A o alcance, h a altura máxima, T o tempo de voo, de um objeto lançado obliquamente a partir do solo. Mostre que a) tan α = 4h/A e  b) h = gT2/8 SOLUÇÃO Como  

2 2 2v sen2 v sen 2v.senA , h e T

g 2g g

, teremos: 

a) h 1 4h

tg tgA 4 A  

 

b) 2

2

h g gTh

8 8T  

 

14 Na superfície de um planeta, a aceleração da gravidade é g =  ˆ ˆ[4i 2 j]  m/s2. Uma pequena esfera é  lançada nesse 

planeta  como  indicado  na  figura  abaixo.  Determine  a  velocidade  da  esfera  5  s  após  seu  lançamento.  Considere  a velocidade com que a esfera é lançada como sendo v0 = 25 m/s. 

 21 

    SOLUÇÃO Graficamente: 

 

  Em x: v = v0 – at v = 20 – 4(5) = 0 Em y: v = v0 – at v = 15 – 2(5) = 5 m/s então a velocidade final será: 

2 2f x y

2 2f

f

v v v

v 0 5ˆv 5j m / s

 

 

 15 Na figura abaixo é mostrada a trajetória de uma bola de golfe lançada do ponto P a partir da superfície da Terra. Se a bola passa  rente a bandeira de altura h e,  em seguida,  colide no  solo em M, determine a altura máxima que a bola atinge (despreza a resistência do ar sobre a bola). 

 SOLUÇÃO Observe o esquema abaixo: 

 

Como a equação da trajetória é do tipo y = kx2 teremos: 2

máx

2

máx

(b a)H h k

4(b a)

H k4

 

então  se  dividirmos  a  primeira  equação  pela  segunda obtemos: 

2máx

2máx

H h (b a)

H (b a)

 

Resolvendo teremos: 2

máx

(b a)H h

4ab

 

 16 Na figura, se lança uma partícula com uma velocidade  ov

 de módulo 17 m/s. Calcular a altura h (em m) em que a 

partícula atinge a rampa AB. (g = 9,81 m/s2) 

 22 

   SOLUÇÃO A descrição cinemática de um lançamento obliquo é realizada mais facilmente quando se analisa o movimento de sua projeção vertical e horizontal. Na projeção horizontal temos um MRU porque não há forças horizontais externas e na vertical, um movimento de queda livre com aceleração g = ‐9,81m/s2. Decompomos a velocidade de lançamento ( ov

) em relação à horizontal e vertical: vx e voy . 

   Do gráfico teremos: 

x oy

17 17v m/ s; v 3 m/ s

2 2  

Considere que vx, é constante. Na vertical, como o objeto sobe e logo desce, será útil aplicar a equação vetorial. 

2oy

aH v t t

2

 

217 ( 9,81)(49,66 h) 3 t t

2 2

    (I) 

Na horizontal, teremos um MRU; logo, sua distância horizontal será definida por: d = vt 

17(49,66 h) 3 t

2  

2(49,66 h)t 3

17

        (II) 

substituimos (II) em (I) teremos: 2

17 2(49,66 h) ( 9,81) 2(49,66 h)(49,66 h) 3 3 3

2 17 2 17

 

Operando, obteremos h = 30,02 m.  17 Um trem viaja para o Sul a 28 m/s (relativamente ao chão), sob uma chuva que está sendo soprada para o sul pelo vento. A trajetória de cada gota de chuva faz um ângulo de 64° com a vertical, medida por um observador parado em relação  à  Terra.  Um  observador  no  trem,  entretanto,  observa  traços  perfeitamente  verticais  das  gotas  na  janela  do trem. Determine a velocidade das gotas em relação à Terra. SOLUÇÃO Considere  o  seguinte  esquema  vetorial  de  velocidades,  onde  vT  é  a  velocidade  do  trem  em  relação  Terra,  vG  é  a velocidade das gotas de chuva em relação à Terra e vGT é a velocidade das gotas de chuva em relação ao trem: 

 23 

 Os vetores vT e vGT são definidos como: 

T Tˆv v i

                          [1] 

GT Gˆv v cos j

                [2] 

De acordo com o esquema, temos: 

G T GTv v v

                     [3] 

Substituindo‐se (1) e (2) em (3): 

G T Gˆ ˆv v i v cos j

         [4] 

O esquema mostra que vG é definido por: 

G G Gˆ ˆv v sen i v cos j

   [5] 

Comparando‐se (4) e (5), conclui‐se que: 

G T

TG

v sen v

vv

sen

                [6] 

Substituindo‐se (6) em (4): 

TG T

vˆ ˆv v i jtan

 

O módulo de vG é dado por: 2

2 TG T

vv v 31,1525m/ s

tan

 

 18  A  figura  abaixo  mostra  a  trajetória  e  a  velocidade  de  uma  ave  em  relação  ao  condutor  do  carro.  Determinar  a 

velocidade da ave em relação a terra. Considere que a velocidade do carro com relação a terra é de  ˆ4i  m/s. 

 SOLUÇÃO 

A velocidade da ave com relação ao carro ( A/Cv

) se determina como  A/C A Cv v ( v )

. Graficamente 

 Agora aplicamos o triângulo de vetores para achar vA. 

 

 24 

A

A

v ( 4i 6j)m/ s

v 2 13m/ s

 

 19 Na figura abaixo, o Professor Gomes gasta 40 s para  ir de A até B ao seguir uma trajetória retilínea; ao fazer esse trajeto,  o  Professor  Gomes  deve  cruzar  uma  plataforma.  Determine  o  valor  de  sua  velocidade  relativamente  à plataforma,  se  para  uma  pessoa  na  terra,  o  Professor  Gomes  mantém  sua  velocidade  constante  de  valor  5  m/s. (Despreze o tempo para passar pela plataforma). 

 SOLUÇÃO Observando o esquema abaixo, temos: 

 dAB = vGtAB dAB = (5)(40) = 200 m 

É pedido  G/P G Pv v ( v )

, de onde tiramos graficamente que: 

 

G/Pv 10m/ s  

 20 Uma bola é lançada verticalmente para cima uma velocidade de 10 m/s e cai a 6 m do ponto de lançamento. Calcule a aceleração constante na pedra produzida pelo vento. (g = 10 m/s2) SOLUÇÃO Observe a figura 

 25 

 O movimento vertical é de queda livre, assim usamos a equação: vf = vi + gt Substitui os dados: ‐10 = 10 + (10) t → t = 2 s O movimento horizontal é MRUV, assim usamos a equação: d = vit + ½ at

2 Substitui os dados: 6 = 0.2 + ½ a(2)2 Finalmente: a = 3 m/s2  21 As gotas de chuva caem com uma velocidade constante de 10 m/s e a um ângulo de 37° com a vertical. Encontre a velocidade com que deve correr um homem usando um chapéu como indicado na figura abaixo, para que se molhe o mínimo possível. 

   SOLUÇÃO O homem com chapéu vai  ficar molhado o mínimo possível quando a velocidade da chuva com relação ao homem é vertical. Do triângulo abaixo, conclui‐se que a velocidade constante com que deve correr o homem é de 6 m/s para a esquerda. 

    22 Uma criança gira uma pedra em um círculo horizontal a 1,9 m acima do chão, por meio de uma corda de 1,4 m de comprimento.  A  corda  arrebenta  e  a  pedra  sai  horizontalmente,  caindo  no  chão  a  11  m  de  distância.  Qual  era  a aceleração centrípeta enquanto estava em movimento circular? SOLUÇÃO Considere o seguinte esquema: 

 A aceleração centrípeta procurada é dada por: 

2

c

va

r               [1] 

Análise do movimento no eixo horizontal (x): x = x0 + vx.t d = 0 + v.t 

 26 

t = d/v                [2] Análise do movimento no eixo vertical (y): y = y0 + vy0 + at

2/2 0 = h + 0 – gt2/2 h = gt2/2                       [3] Substituindo‐se (2) em (3): h = gd2/2v2 v2 = gd2/2h                      [4] Substituindo‐se (4) em (1): 

2

c

gda

2rh  

O que nos dá: 2

2

c

9,81.(11)a 223,122m/ s

2.(1,4).(1,9)  

 23 As coordenadas de um corpo são x = 2cosωt, y = 2senωt onde x e y são medidos em metros.  a) Obter a equação cartesiana da trajetória,  b) Calcular o valor da velocidade num instante qualquer,  c) Calcular as componentes tangencial e normal da aceleração num instante qualquer. Identificar o tipo de movimento descrito pelas equações acima. SOLUÇÃO a) Para obter a equação da trajetória em coordenadas cartesianas, vamos eliminar ωt entre as equações para x e y. Ou seja, 

2 2

2 2

2 2

x ycos t e sen t

2 2

cos t sen t 1

x y1 x y 4

2 2

 

ou seja, a equação da trajetória no sistema Oxy é x2 + y2 = 4 que é a equação de uma circunferência de raio r = 2 m com origem no ponto O (figura abaixo). 

 b)  Para  calcular  o  módulo  da  velocidade  num  instante  qualquer,  basta  usar  a  expressão  em  termos  de  suas componentes no sistema Oxy. As componentes são, 

x

y

dx dv (2cos t) 2 sen t

dt dtdy d

v (2sen t) 2 cos tdt dt

 

onde usamos as identidades, 

d(cos t) sen t

dtd(sen t) cos t

dt

 

para as derivadas de cos ωt e sen ωt, respectivamente. Logo, o módulo da velocidade em qualquer tempo, é dado por: 2 2 2 2 2 2 2

x yv(t) v v ( 2 sen t) (2 cos t) 4 (sen t cos t) 2 m/ s  

mostrando que é independente do tempo. 

 27 

c) As acelerações tangencial e normal são dadas por 

T

2 2

N

dva 0

dt

v 4a

R R

 

onde aT = 0, reflete o fato de que v(t) = constante. Na última equação, R é o raio de curvatura da curva no ponto P, cujas coordenadas  são  (x,  y). Mas,  a  equação  da  trajetória,  obtida  no  item  (a),  dada  por  x2  +  y2  =  4  é  a  equação  de  uma circunferência de  raio  r = 2  com centro na origem O  (figura acima).  Sendo uma circunferência, o  raio de curvatura é constante em todos os pontos, de modo que podemos fazer R = r = 2 na expressão de aN para obter finalmente 

T

2 22 2

N

a 0

4 4a 2 m/ s

R 2

 

o que resulta numa aceleração total de módulo igual a 2 2 2 2

T Na a a 2 m / s  

 24 Três cilindros A, B e C foram pendurados no sistema de duas roldanas como mostra a figura abaixo. Num instante, a velocidade do bloco A é vA = 3 m/s, para  cima, e a  sua aceleração é aA = 2   m/s2, para baixo; no mesmo  instante,  a velocidade  e  aceleração  do  bloco  C  são:  vC  =  3 m/s,  para  baixo,  aC  =  4   m/s2,  para  cima.  Determine  a  velocidade  e aceleração do bloco B, no mesmo instante, indicando se são para cima ou para baixo. 

   SOLUÇÃO Definem‐se 4 variáveis yA, yB, yC  e yR para medir as posições dos cilindros e da roldana móvel, em relação a algo fixo, por exemplo o teto, tal como mostra a figura abaixo: 

 Como o cilindro A e a roldana móvel estão ligados por um fio, então yA + yR = constante e a ligação dos cilindros B e C com outro fio que passa pela roldana móvel implica em (yB – yR)+ (yC – yR) = constante. Derivando essas duas equações em ordem ao tempo, obtêm‐se as relações para as velocidades: vA + vR = 0 e vB + vC – 2vR = 0 então: vB = – 2vA – vC  Como as distâncias y aumentam quando os objetos descem, então as velocidades para baixo são positivas e para cima são negativas. Assim sendo, as velocidades dadas no enunciado são vA = ‐3 e vC = 1 e a equação acima dá  vB = 5; ou seja, 

 28 

a velocidade do cilindro B é 5 m/s, para baixo. Derivando novamente a relação entre as velocidades obtém‐se a relação entre as acelerações: aB = – 2aA – aC. Substituindo os valores dados, aA = 2  e aC = ‐4 , obtém‐se aB = 0 ; ou seja, a aceleração do cilindro B é nula.  EXERCÍCIOS PARA RESOLVER  

01 A velocidade de uma partícula que se move no plano xy é dada por  2 ˆ ˆv    6t  –  4t i   8j

, sendo  v em metros por 

segundo e t (> 0) em segundos.  a) Qual é a aceleração quando t = 3 s?  b) Quando (eventualmente) sua aceleração será nula?  c) Quando (eventualmente) sua velocidade será nula? Nessas condições qual sua posição? d) Quando (eventualmente) a velocidade escalar será de 10 m/s?  02 Um projétil descreve uma parábola cuja equação paramétrica em função do parâmetro tempo é dada por: x = ‐30t y = 50t – 4t2 onde x e y são dados em metros e t em segundos, e as constantes possuem dimensões apropriadas com unidades do MKS. Determine:  a) o módulo da velocidade para t = 1s;  b) o módulo da aceleração para t = 2s.   03  É  dada uma  tacada em uma bola de  golfe na beirada de um barranco.  Suas  coordenadas  x  e  y  como  funções do tempo são dadas pelas seguintes expressões: x = (18,0 m/s)t     e     y = (4,00 m/s)t ‐ (4,90 m/s2)t2 

a) Obtenha uma expressão vetorial para a posição da bola  como  função do  tempo, usando os vetores unitários ˆ ˆi e j . 

Fazendo as derivadas, obtenha expressões para  b) o vetor velocidade  v

como função do tempo e  

c) o vetor aceleração como função do tempo. Utilize em seguida a notação de vetor unitário para obter expressões para  d) a posição, a velocidade, e a aceleração da bola de golfe, todos em t = 3,00 s.  04 A equação da trajetória de uma partícula e dada por; x = 3 cos ωt y = 4 sen ωt onde ω é constante e todas as unidades são do sistema MKS.  a) Determine a equação da trajetória no plano Oxy;  b) Determine o módulo da aceleração.   

05 Uma partícula se move de modo que sua posição em função do tempo, em unidades SI, é  2 ˆˆ ˆr t     i   4t j   tk.

 

Escreva expressões em função do tempo para  a) sua velocidade e  b) sua aceleração.   06  Em  t  =  0,  uma  partícula  em  movimento  no  plano  xy  com  aceleração  constante  tem  uma  velocidade 

0ˆ ˆv     3,00 –  2,00 i j

m/s  e  está  na  origem.  Em  t  =  3,00  s,  a  velocidade  da  partícula  é  ˆ ˆv   9,00i   7,00 j

m/s. 

Encontre  a) a aceleração da partícula e  b) suas coordenadas em qualquer tempo t.  

07 O vetor posição de uma partícula varia no tempo de acordo, com a expressão r = 3,00 i  — 6,00t2 j , onde r é dado em 

metros e t em segundos,  a) Encontre uma expressão para a velocidade da partícula como função do tempo,  b) Determine a aceleração da partícula como função do tempo,  c) Calcule a posição e velocidade da partícula em t = 1,00 s.  

 29 

08 Uma partícula localizada inicialmente na origem tem uma aceleração de  ˆa   3,00 j

m/s2 e uma velocidade inicial de 

iˆv    5,00i

m/s. Encontre  

a) o vetor posição e a velocidade em qualquer tempo t e  b) as coordenadas e velocidade escalar da partícula em t = 2,00 s.  09 Um projétil é lançado de tal modo que seu alcance horizontal é igual a três vezes sua altura máxima. Qual é o ângulo de lançamento?  10 Enquanto um projétil está em movimento em sua trajetória parabólica, há algum ponto ao longo de sua trajetória em que os vetores velocidade e aceleração são  a) perpendiculares entre si?  b) paralelos entre si?  11 Um canhão que lança balas com uma velocidade escalar de 1 000 m/s é utilizado para iniciar uma avalanche em uma montanha inclinada. O alvo está a 2 000 m do canhão horizontalmente e a 800 m acima do canhão. A que ângulo acima da horizontal o canhão deve ser disparado?  12 Uma estratégia em uma guerra com bolas de neve é jogar uma bola de neve a um ângulo grande acima do nível do solo.  Enquanto  seu  oponente  está  olhando  para  a  primeira  bola,  uma  segunda  é  arremessada  a  um  ângulo  baixo, programada para chegar antes ou ao mesmo tempo que a primeira. Suponha que as duas bolas de neve sejam lançadas com uma velocidade escalar de 25,0 m/s. A primeira é lançada a um ângulo de 70,0° com relação a horizontal a) Com que ângulo deve a segunda bola de neve ser lançada para chegar no mesmo ponto que a primeira?  b) Quantos segundos mais tarde deve a segunda bola ser lançada após a primeira para que chegue no mesmo instante que a primeira?  13 A velocidade de um projétil no ponto mais alto de sua trajetória vale  2 / 5  da sua velocidade quando ele passa pela 

metade da altura máxima da trajetória. Calcule o ângulo formado entre a velocidade inicial do projétil e a horizontal.  14 Um dia após sua graduação, você decidiu  lançar um fósforo aceso no topo de uma  lixeira cilíndrica  (diâmetro D e altura 2D) cheia de papéis velhos com exercícios para casa. Para tornar esse evento mais esportivo, a parte inferior da lixeira está no mesmo nível do ponto em que o fósforo deixa a sua mão, e a lixeira está a uma distância horizontal de 6D do ponto em que o fósforo deixa a sua mão. Você lança o fósforo com ângulo de 45,0° acima da horizontal. Ache o valor máximo e o valor mínimo da velocidade inicial do lançamento para que o fósforo entre pela parte superior da lixeira. Despreze a resistência do ar e dê sua resposta em termos de g e de D.  15 Dois projéteis são lançados com uma velocidade inicial de mesmo módulo, um a um ângulo θ em relação ao nível do solo e o outro a um ângulo 90° ‐ θ. Os dois projéteis vão alcançar o solo à mesma distância do ponto de partida. Terão os dois projéteis permanecido no ar pelo mesmo intervalo de tempo?    16 A velocidade escalar de um projétil quando ele alcança sua altura máxima tem a metade do valor de sua velocidade escalar quando ele está na metade de sua altura máxima. Qual é o ângulo de projeção inicial do projétil?  17 a)  Prove  que  um projétil  lançado  em um  ângulo  α0,  possui  o mesmo  alcance  horizontal  de  outro  lançado  com  a mesma velocidade em um ângulo (90° ‐ α0) b) Uma  rã pula  com uma velocidade de 2,2 m/s e chega ao  solo a 25 cm de distância de  seu ponto  inicial. Para que ângulos acima da horizontal ela poderia ter pulado?  18 O Professor Gomes lança um projétil em direção a um plano inclinado (ângulo de inclinação θ) com uma velocidade escalar inicial v0 a um ângulo Ø, com relação ao plano inclinado (Ø > θ), como mostrado na figura.  

 a) Mostre que o projétil viaja a uma distância d ao longo do plano inclinado, em que  

 30 

20

2

2v cos sen( )d

gcos

 

b) Para qual valor de Ø é máxima a distância d, e qual é esse valor máximo?  19 Uma bola rola horizontalmente do alto de uma escada com uma velocidade de 1,52 m/s. Os degraus têm 20,3 cm de altura e 20,3 cm de largura. Em que degrau a bola bate primeiro?  20 Você deseja jogar uma bola para um amigo segurá‐la no meio do seu quarto. A distância entre o chão e o teto é igual 

a D e você lança a bola com velocidade VQ =  6gD . Qual é a distância horizontal máxima (em termos de D) que a bola 

pode se deslocar sem que ela seja rebatida pelo teto? (Suponha que a bola tenha sido lançada do chão.)  21  Um  rojão  de  fogo  de  artifício  explode  em  uma  altura  h,  do  topo  de  sua  trajetória  vertical.  Ele  lança  fragmemos queimando  em  todas  as  direções, mas  todos  com  a mesma  velocidade  escalar  v.  Os  fragmentos  caem  ao  solo  sem resistência do ar. Encontre o menor ângulo que a velocidade final de um fragmento tocando o solo faz com a horizontal.  22 Considere o lançamento de um projétiI.  a)   Determine uma  relação para o  cálculo  do  ângulo de  arremesso,  supondo que o  alcance horizontal D  seja  igual  à altura máxima h atingida pelo projétil.  b) Calcule o valor deste ângulo.   23 Um garoto chamado CAIO, situado a uma distância D de uma árvore, deseja derrubar uma fruta que se encontra a uma altura H. Para isto, ele lança uma pedra com uma atiradeira. Se ele apontar a atiradeira na direção da fruta, a pedra não atingirá o alvo. Calcule o ângulo que a atiradeira deve fazer com a horizontal para que a pedra atinja o alvo.   24 Um jogador de basquete lança uma bola de uma altura h formando um ângulo θ com a horizontal. A cesta está a uma altura H. A distância horizontal entre o  jogador e o ponto verticalmente abaixo da cesta é  igual a d. Mostre como se calcula a velocidade v0 da bola para que ela entre na cesta.  25 Uma linda menina chamada Melissa deseja jogar uma bola para o outro lado de um muro de altura h = 6 m. A força muscular da Melissa permite uma velocidade máxima de v0 = 12 m/s.  a) Determine analiticamente a distância máxima d entre a Melissa e o muro para que seja ainda possível o arremesso da bola para o outro lado.  b) Calcule o ângulo de arremesso mínimo.  c) Calcule o valor desta distância.   26 O Professor Gomes atira uma bola de uma rocha para baixo com velocidade inicial de 8 m/s, inclinada de 20° abaixo da horizontal. Encontre o deslocamento horizontal e o deslocamento vertical da bola 3 s mais tarde.   27 Uma bola de neve rola do telhado de um celeiro que possui uma inclinação para baixo igual a 40°.  

   A extremidade do telhado está situada a 14,0 m acima do solo e a bola de neve possui velocidade de 7,00 m/s quando ela abandona o telhado. Despreze a resistência do ar,  a) A que distância do celeiro a bola de neve atingirá o solo caso não colida com nada durante sua queda?  b) Faça diagramas xt, yt, vxt e vyt para o movimento da parte (a). c) Um homem de 1,9 m de altura está parado a uma distância de 4,0 m da extremidade do celeiro. Ele será atingido pela bola de neve?  

 31 

28  Uma  pedra  é  atirada  do  telhado  de  um  edifício  com  velocidade  v0,  formando  um  ângulo  α0  com  a  horizontal. Despreze a resistência do ar. Determine o módulo, a direção e o sentido da velocidade da pedra imediatamente antes de atingir o solo e mostre que essa velocidade não depende de ângulo α0.  29 Um  canhão  é  posicionado  para  atirar  projéteis  com  velocidade  inicial  v0  diretamente  acima  de  uma  elevação  de ângulo β, como mostrado na figura. Que ângulo o canhão deve fazer com a horizontal de forma a ter o alcance máximo possível acima da elevação? 

  30 Uma partícula A se move ao longo da linha y = 30 m com velocidade constante  v

 de módulo v = 3,0 m/s paralela ao 

eixo x positivo. Uma segunda partícula B parte da origem com velocidade nula e aceleração constante  a (a = 0,40 m/s2) 

no mesmo instante em que a partícula A passa pelo eixo y. Para que ângulo θ, entre  a e o eixo positivo y, haverá colisão 

entre essas duas partículas? 

    31  O  coiote  determinado  está mais  uma  vez  perseguindo  o  papa‐léguas. O  coiote  usa  um par  de  patins  a  jato,  que fornecem uma aceleração constante de 15,0 m/s2.  

 O coiote parte do repouso a 70,0 m da beira de um precipício no instante em que o papa‐léguas passa correndo por ele na direção do precipício. a) Se o papa‐léguas está em movimento, com velocidade escalar constante, determine a velocidade escalar mínima que ele precisa ter para alcançar o precipício antes do coiote.  Na beirada do precipício o papa‐léguas escapa fazendo uma curva rapidamente, enquanto o coiote continua em linha reta.  Seus  patins  permanecem horizontais  e  continuam a  funcionar  enquanto  ele  está  em  voo,  de  forma que  a  ace‐

leração do coiote fica sendo  ˆ ˆ15,0i  –  9,80 j m/s2. 

b) Se o precipício está a 100 m acima da superfície plana de um vale, determine onde o coiote vai alcançar o vale.  c) Determine as componentes da velocidade de impacto do coiote.  

32 Um projétil é atirado da superfície de um terreno plano segundo um ângulo  0  acima da horizontal. 

 

 32 

Mostre que o ângulo de elevação θ do ponto mais alto, visto do ponto de lançamento, está relacionado com  0  por tan 

1

2  tan  0 ; veja a figura. 

 33 Um jogador chuta uma bola, que descreve uma trajetória parabólica. Se a bola permanecer no ar um tempo de 6 segundos, que altura máxima a bola atinge? (g = 10 m/s2)  34 Uma bola é lançada com uma velocidade escalar inicial  iv

 e um ângulo θ, com a horizontal. O alcance horizontal da 

bola é R, e a bola alcança uma altura máxima de R/6. Encontre em termos de R e de g  a) o tempo em que a bola está em movimento,  b) a velocidade escalar da bola no topo de sua trajetória,  c) a componente vertical inicial de sua velocidade,  d) sua velocidade escalar inicial, e  e) o ângulo θi.  Suponha que a bola seja arremessada com a mesma velocidade escalar inicial encontrada em d), mas com um ângulo apropriado para alcançar a maior altura possível.  f) Encontre essa altura.  Suponha que a bola seja arremessada com a mesma velocidade escalar  inicial, mas a um ângulo para atingir o maior alcance possível,  g) Encontre esse alcance horizontal máximo.  35 O Professor Gomes parado no alto de um rochedo hemisférico de raio R chuta uma bola (inicialmente em repouso no alto da rocha) fornecendo‐lhe uma velocidade horizontal  iv

como na figura.   

 a) Qual tem de ser a velocidade escalar inicial mínima da bola para que ela nunca alcance o rochedo depois de chutada?  b) Com essa velocidade escalar inicial, a que distância da base do rochedo a bola atinge o solo?   36 Uma partícula se encontra no alto de um tambor cilíndrico de raio R. A partícula recebe um impulso e adquire uma velocidade perpendicular ao eixo do cilindro e numa direção paralela. Considere um sistema de coordenadas Oxy, com centro na parte superior do cilindro e com o eixo Oy orientado verticalmente de cima para baixo,  a) Determine a equação da trajetória em função da velocidade inicial v0.  b)  Qual  deve  ser  o menor  valor  de  v0,  para  que  a  partícula,  ao  sair  da  superfície  em  sua  parte  superior,  não  atinja nenhum ponto do cilindro em sua trajetória?  37 Uma equipe de demolição usa dinamite para explodir um edifício velho. Fragmentos da explosão voam em todas as direções,  e mais  tarde  são  encontrados  num  raio  de  50 m  da  explosão.  Faça  uma  estimativa  da  velocidade máxima atingida pelos fragmentos da explosão. Descreva todas as hipóteses que você usar.  38 No lançamento mostrado na figura abaixo, o Professor Gomes pede que se determine a relação H/D. 

  

 33 

39 Dois projéteis são lançados do mesmo ponto e com a mesma velocidade de 110 m/s, mas com um certo intervalo de tempo Δt; o primeiro é lançado segundo um ângulo de 60°, e o segundo com um ângulo de 53°. Determine Δt para que os projéteis se choquem durante o voo.  40 Observe o lançamento de um objeto como na figura abaixo: 

 Mostre que para um ângulo θ vale a reação: 

tan 1 1

h a b

 

 41 Se disparam dois projéteis com a mesma velocidade “v” com ângulos iniciais de (45° + β) e (45° ‐ β), onde 0° < β < 45°. Qual é a relação entre o alcance máximo em ambos os casos?  42 Calcular o alcance horizontal de um projétil  lançado obliquamente e que atinge uma altura máxima "H",  sabendo que, se for lançado verticalmente para cima com a mesma velocidade inicial, a sua altura máxima seria "5H".  43 São lançados dois projéteis a partir do mesmo ponto e com o mesmo ângulo com a horizontal. Se um alcance é 80% maior  que  o  outro,  o  Professor  Gomes  pede  que  se  determine  a  razão  entre  as  alturas  máximas  atingidas  pelos projéteis.  44 No instante em que um projétil A é disparado obliquamente a partir da superfície da terra, uma pedra B é deixada cair da altura "H". Determine o ângulo que se deve disparar o projétil para que intercepte a pedra num ponto situado a uma distância horizontal “D” do ponto de disparo.  45  Dois  projéteis  A  e  B  são  lançados  com  inclinações  de  53°  e  37°  respectivamente  alcançando  as  mesmas  alturas máximas. O projétil A experimenta um alcance horizontal de 9 m. Qual alcance horizontal experimenta o projétil B? 

  46 Se os projéteis A e B são  lançados simultaneamente a partir das posições  indicadas na  figura abaixo e colidem no ponto P, qual a relação entre os ângulos θ e ε. 

  47 Determine a  relação entre os ângulos α e β para que os dois projéteis  lançados simultaneamente como na  figura abaixo, colidam no ponto P. 

 34 

  48 Na figura abaixo é mostrado o mesmo instante em que a pequena esfera A é abandonada e se lança uma pequena esfera B com velocidade  0v

. Determine o ângulo θ de lançamento de tal modo que as esferas A e B colidam no ponto P. 

  

49 Um projétil é lançado com uma velocidade v0 = 20 3  m/s num plano inclinado, como mostrado na figura. Determine 

o deslocamento AB sobre um plano inclinado. (Considere g = 10 m/s2) 

  50 A figura mostra um campo gravitacional representada por linhas de força de intensidade g = 10 m/s2. Um projétil é lançado perpendicularmente à superfície com velocidade v0 = 40 m/s. Determinar o deslocamento experimentado pelo projétil ao longo do plano. 

 51 Dois partículas A e B são lançadas simultaneamente das posições indicadas na figura abaixo com velocidades de 20 e 10 m/s respectivamente. Determinar o instante em que a distância de separação entre eles é mínima. (Considere g = 10 m/s2) 

  52 Duas partículas A e B são lançadas simultaneamente a partir das posições indicadas na figura abaixo com a mesma velocidade  0v

, mas com diferentes ângulos de lançamento. Se estes ângulos ε e θ são complementares, determinar a 

distância mínima entre as partículas. 

 35 

  53 Um pneu com raio de 0,500 m gira a uma taxa constante de 200  rev/min. Encontre a velocidade escalar e a ace‐leração de uma pedra pequena alojada na banda de rodagem do pneu (em sua extremidade externa).   54 Uma hélice de ventilador completa 1.200 revoluções a cada minuto. Considere um ponto na ponta da lâmina, que tem raio de 0,15m.  a) Qual a distância percorrida pelo ponto em uma revolução?  b) Qual a velocidade do ponto?  c) Qual sua aceleração? d) Qual é o período do movimento?  55 A figura representa a aceleração total de uma partícula em movimento no sentido dos ponteiros do relógio em um circulo de raio 2,50 m em um certo instante.  

 Nesse instante, encontre  a) a aceleração radial,  b) a velocidade escalar da partícula, e  c) sua aceleração tangencial.  56 Uma bola oscila em um círculo vertical na extremidade de uma corda com 1,50 m de comprimento. Quando a bola 

está a 36,9° além do ponto mais baixo indo para cima, sua aceleração total é de  ˆ ˆ22,5i   20,2j m/s2. Nesse instante,  

a) esboce um diagrama vetorial mostrando as componentes de sua aceleração,  b) determine o módulo de sua aceleração radial, e  c) determine a velocidade escalar e a velocidade da bola.  57 Um carro move‐se para o  leste  com velocidade de 50,0 km/h. Pingos de  chuva  caem verticalmente em  relação à Terra  com  velocidade  constante.  Os  traços  da  chuva  nas  janelas  laterais  do  carro  fazem  um  ângulo  de  60,0°  com  a vertical. Ache a velocidade da chuva com relação  a) ao carro e  b) à Terra.  58 Uma partícula A se desloca em relação a outra partícula B com velocidade relativa: 

A,B ˆ ˆv 2i   j

 

A partícula B se desloca em relação a uma partícula C com uma velocidade relativa: 

B,C ˆ ˆv   i   2j

 

Determine a velocidade da partícula A em relação à partícula C.   

 36 

59  Dois  objetos  são  lançados  horizontalmente  em  direções  opostas  do  topo  de  uma  torre  com  velocidades  u1  e  u2. Encontre  o  tempo  em  que  os  vetores  velocidade  são  perpendiculares  entre  si  e  a  distância  de  separação  naquele instante.  60 Um artista de cinema, ao gravar uma das cenas de um filme de aventura, vai de um extremo ao outro de um vagão de um trem, que se move em trilhos retilíneos com velocidade constante de 36 km/h, gastando 20 s. Sabendo que o vagão tem comprimento de 100 m e que o artista se move no mesmo sentido do movimento do trem, calcule: a) a intensidade da velocidade do artista em relação ao trem; b) o intervalo de tempo necessário para que o artista percorra 60 m em relação ao solo.  61 A cidade de Belo Horizonte (BH)  localiza‐se a 300 km ao norte da cidade de Volta Redonda. Se um avião sai desta cidade rumo a BH num dia de vento soprando na direção leste‐oeste, no sentido de oeste para leste, com velocidade de módulo 60 km/h, pergunta‐se: em que direção o piloto deve aproar o eixo longitudinal do seu avião para manter o rumo sul‐norte e completar seu percurso em 0,50 h? Considere que o voo ocorre com velocidade constante.  62  Um  garoto  chamado CAIO  vai  da  base  até  o  topo  de  uma  escada  rolante  e  volta  do  topo  até  a  base  da mesma, gastando um intervalo de tempo total de 12 s. A velocidade dos degraus da escada rolante em relação ao solo é de 0,50 m/s e a velocidade do CAIO em relação aos degraus é de 1,5 m/s. Desprezando o intervalo de tempo gasto por CAIO na inversão do sentido do seu movimento, calcule o comprimento da escada rolante.  63  Uma  balsa  percorre  o  rio  Cuiabá  de  Porto  Cercado  a  Porto  Jofre  (Pantanal  mato‐grossense),  gastando  9,0  h  na descida e 18 h na subida. O motor da balsa funciona sempre em regime de potência máxima, tal que a velocidade da embarcação em relação às águas pode ser considerada constante. Admitindo que a velocidade das águas também seja constante,  responda: quanto tempo uma rolha,  lançada na água em Porto Cercado e movida sob a ação exclusiva da correnteza, gastará para chegar até Porto Jofre?  64 Um trem dotado de janelas laterais retangulares de dimensões 80 cm (base) × 60 cm (altura) viaja ao longo de uma ferrovia  retilínea  e  horizontal  com  velocidade  constante  de  intensidade  40  km/h.  Ao mesmo  tempo,  cai  uma  chuva vertical (chuva sem vento), de modo que as gotas apresentam, em relação ao solo, velocidade constante de intensidade v. Sabendo que o trajeto das gotas de chuva observado das janelas laterais do trem tem a direção da diagonal dessas janelas, determine: a) o valor de v; b) a intensidade da velocidade das gotas de chuva em relação a um observador no trem.  65 O Professor Gomes ao pilotar seu avião nota que a bússola  indica que o avião está  indo para oeste. A velocidade escalar  do  avião  em  relação  ao  ar  é  de  150  km/h.  Se  há  um  vento  de  30,0  km/h  em  direção  ao  norte,  encontre  a velocidade do avião em relação ao solo.  66 Um trem viaja em direção ao sul a 30 m/s (em relação ao solo), sob uma chuva que está caindo, também em direção ao  sul,  sob  a  ação  do  vento.  As  trajetórias  das  gotas  de  chuva  formam um  ângulo  de  70°  com  a  vertical,  conforme registrado por um observador parado no solo. Entretanto, um observador no trem vê as gotas caírem exatamente na vertical. Determine a velocidade da chuva em relação ao solo.  67 A neve está caindo verticalmente com uma velocidade constante de 8,0 m/s. Com que ângulo, em relação à vertical, os flocos de neve parecem estar caindo do ponto de vista do motorista de um carro que viaja em uma estrada plana e retilínea a uma velocidade de 50 km/h?  68 Um homem parado em uma escada rolante leva 10 s para descê‐la em sua totalidade. O mesmo homem leva 15 s para  subir  toda  a  escada  rolante  de  volta,  caminhando  contra  o movimento  dos  degraus.  Quanto  tempo  o  homem levará para descer a mesma escada  rolante,  caminhando com velocidade  relativa de mesmo módulo do que quando subiu?  69 Uma pessoa sobe em 90s uma escada rolante desligada, com 15 m de comprimento. Em operação, a escada rolante transporta  uma  pessoa  parada  sobre  ela  em  60  s,  no mesmo  trajeto. Quanto  tempo  levaria  essa  pessoa  para  subir, andando sobre a escada rolante em funcionamento? Sua resposta depende do comprimento da escada?  

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70 Um barco motorizado desenvolve, em relação às águas de um rio, velocidade constante de módulo v. Esse barco está subindo  um  trecho  retilíneo  do  rio  quando  o  piloto  é  informado  de  que  um  container  flutuante,  encerrando  uma preciosa carga, caiu na água há exatamente uma hora. Nesse intervalo de tempo, a embarcação percorreu 16 km em relação às margens. Prontamente, o piloto inverte o sentido do movimento do barco e passa a descer o rio em busca do material perdido. Sabendo que as águas correm com velocidade constante de móduo 4,0 km/h, que o container adquire velocidade igual à das águas imediatamente após sua queda e que ele é resgatado pela tripulação do barco, determine: a) a distância percorrida pelo container desde o instante de sua queda na água até o instante do resgate;  b) o valor de v.  71 Um rio tem uma velocidade escalar constante de 0,500 m/s. O Professor Gomes nada rio acima a uma distância de 1,00 km e depois nada de volta ao ponto de partida. Se o Professor Gomes pode nadar a uma velocidade escalar de 1,20 m/s em água parada, quanto tempo vai levar para ir e voltar? Compare esse resultado com o tempo que levaria para ir e voltar com a água parada.  72 Uma coluna de atletas realiza um MRU, cada um dos quais avança com 4 m/s, separados por 2 m como indicado na figura abaixo. Um jovem que está em P quer atravessar a coluna, mas sem bater em qualquer atleta. Se o jovem corre em MRU a 3 m/s, determine a distância d necessária que  deve correr. 

  73 Se o bloco B tem uma velocidade para a esquerda de 1,2 m/s, determine a velocidade do cilindro A. 

  74 Determine a equação de restrição que relaciona as acelerações dos corpos A e B. Suponha que a superfície superior do corpo A permaneça na horizontal.  

  

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75 Para o sistema de roldanas  ilustrado, a cada um dos cabos em A e B é dado uma velocidade de 2 m/s na direção indicada. Determine a velocidade ascendente v da carga m. 

  

Respostas  

01 a)   a= ‐18 m/s² i     b) t = 0,75 s    c) Nunca    d) t = 2,2 s. 

02 a) 51,61 m/s     b) 8 m/s2 

03 a)  r = 18,0t i  + (4,00t – 4,90t2) j     b)  v

 = 18,0 i  +[4,00 − (9,80)t] j    c)  a

 = −9,80j m/s2 

d)  r(3,00 s) = (54,0 m) i  − (32,1 m) j     v

 (3,00 s) = (18,0 m/s) i  − (25,4 m/s) j   a

 (3,00s) = (−9,80 m/s2) j  

04 a) 2 2x y

19 16     b) a = ω2r onde  2 2r x y  

05 a) 8t j  +  k     b) 8 j  

06 a) a = 2 i  + 3 j  m/s2    b) x = 3t + t2 e y = ‐2t + (3/2)t2 

07 a) ‐12t j  m/s     b) ‐12 j  m/s2     c)  r = (3 i  – 6 j ) m: v = 12 j  m/s 

08 a)  r = 5,00t i + 1,50t2 j  e  v

= 5,00 i + 3,00 t j    b) x = 10 m e y = 6 m: v = 7,81 m/s 

09 θ = 53,1° 10 a) No topo do seu voo, v é horizontal e a é vertical. Esse é o único ponto no qual os vetores velocidade e aceleração são perpendiculares.  b)  Se  o  corpo  for  arremessado  verticalmente  para  cima  ou  para  baixo,  então  v  e  a  serão  paralelos  durante  todo  o movimento para baixo. De outra forma, os vetores velocidade e aceleração nunca são paralelos. 11 22,4° ou 89,4° 12 a) 20°    b) 2,9 s 13 60° 

14  mínv 3 gD  e  máxv 3,13 gD  

15 Não 16 67,8° 17 a) Demonstração    b) 15° ou 75° 

18 a) Demonstração    b) Ø = 45 ‐ θ/2 e 20

2

v (1 sen )d

gcos

 

19 No terceiro 

20 xmáx =  4 2D  

21  1 2ghtag

v

 

22 a) sen2(θ)/2 = sen(2θ)    b) θ = 75,9° 23 tg α = y/D onde y = H + gt2/2 sendo t = D/v0cosα 24 Demonstração 

25 a)  20 mínd v sen(2 ) / 2g  onde θmín é o ângulo abaixo do qual a bola não passa para o outro lado. 

b) sen2 θmín = 2gh/20v , logo θmín = 64,6°     c) d = 5,7 m 

26 x = 22,4 m e y = 53,5 m 

 39 

27 a) x = 6,91 m b)  

 c) Não 

28  20v v 2gh  

29 1(2 )

4  

30 θ = 60° 31 a) 22,9 m/s      b) x = 360 m    c) vx = 114 m/s e vy = 44,3 m/s 32 Demonstração 33 45 m 

34 a) R

23g

  b) 1

3gR2

  c) gR

3   d) 

13gR

12  e)  33,7   f) 

13R

24    g) 

13R

12 

35 a)  0v gR       b)  x R ( 2 1)R  

36 a) y = gx2/2 20v     b)  mínv gR /2  

37 v = 22 m/s. Nós assumimos que os detritos foram lançados em todos os ângulos, incluindo o ângulo de 45 ° que dá o alcance máximo. 

38 H 1

tagD 4  

39 t = 2,4 s 40 Demonstração 41 A1/A2 = 1 42 A = 8H 43 H2/H1 = 1,8  

44  1 HtagA

 

45 x = 16 m 46 tag θ = 3tagε 47 tag α = 2tagβ 48 θ = 53° 49 80 m 50 x = 300 m 51 t = 0,6 s 

52  mín

hd

2  

53 v = 10,5 m/s e a = 219 m/s2 54 a) 0,94 m    b) 19 m/s    c) 2,4.103 m/s2    d) 50 ms 55 a) 13 m/s2    b) 5,70 m/s    c) 7,5 m/s2 56 a)  

 b) 29,7 m/s2    c) 6,67 m/s 57 a) vwc = 57,7 km/h com 60° a oeste da vertical    b) vwe = 28,9 km/h para baixo 58 vAC = 3i – 3j 

 40 

59  1 2

1t u .u

g  e  1 2

12 1 2

(u u )r u .u

g

 

60 Δt = 4 s 61 A 5,7° ao norte como na figura abaixo: 

 62 8 m 63 Δt = 36 h 64 a) v = 30 km/h    b) v = 50 km/h 65 153 km/h 66 v = 32 m/s 67 θ = 60° 68 Δt = 3,75 s 69 36 s. Não 70 a) 8 km      b) 20 km/h 77 2,02.103 s 72 1,5 m 73 v = 0,4 m/s 74 7aA + aB = 0 75 v = 1,5 m/s