notas das reuniões do picme combinatória...

Click here to load reader

Post on 05-Oct-2018

214 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • NOTAS DAS REUNIES DO PICMECOMBINATRIA E OTIMIZAO

    Primeiro semestre de 2015

    ANOTADO POR: Fabrcio Caluza Machado

    25 de junho de 2015

  • Sumrio

    1 Trs Problemas Geomtricos 21.1 Separando ovelhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.2 Simplexos vizinhentos (Neighbourly simplices) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.3 Politopos vizinhentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.4 Simplexos vizinhentos (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.5 Politopos vizinhentos (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2 Matrides 92.1 Definies e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2.2 Algoritmos gulosos sobre um matride ponderado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    2.3 Problema da rvore geradora mnima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    3 Um milho de dgitos de 133.1 Dificuldades Computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    3.2 Clculo do n-simo dgito hexadecimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    3.3 Escrevendo na base decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    4 Removendo arestas para tornar um grafo bipartido 164.1 Notao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    4.2 Tornando grafos bipartidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    5 Grupos, Nmeros e a Conjectura de Artin 215.1 Reviso de Teoria dos Nmeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    5.2 Introduo Teoria dos Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    5.3 A funo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    5.4 Razes primitivas e a Conjectura de Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    6 Conexes entre Topologia e Combinatria 296.1 Introduo Topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    6.2 Complexos Simpliciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    6.3 O Teorema de Borsuk-Ulam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    1

  • 1 Trs Problemas Geomtricos

    17/03/2015 - Yoshiharu Kohayakawa

    A seguir, veremos trs problemas geomtricos. Discutiremos o primeiro em maior detalhe e como ltimo, veremos um resultado surpreendente.

    1.1 Separando ovelhas

    Problema 1.1. Considere um pasto com ovelhas brancas e negras paradas. Suponha que paraquaisquer quatro ovelhas, podemos separar as ovelhas de mesma cor com uma reta. Ento podemosseparar todas as ovelhas brancas e negras.

    Figura 1: esquerda, quatro ovelhas que podem ser separadas. direita, quatro que no podem (umaconfigurao proibida).

    Seja A o conjunto das ovelhas brancas e B o conjunto das ovelhas negras. Podemos trat-loscomo subconjuntos finitos do plano, A,B R2.

    Afirmao 1.2. Separar as ovelhas equivalente a separar o fecho convexo de A e B.

    Definio 1.3. Um ponto (vetor) x dito combinao convexa de pontos x1 e x2 se existe [0, 1] tal que x = x1 + (1 )x2.O segmento de reta que une dois pontos o conjunto de todos os pontos que so combinaoconvexa destes.

    Dizemos que um conjunto C convexo se para quaisquer dois pontos x1, x2 C, C contmo segmento de reta que une estes pontos.

    O fecho convexo de um conjuntoX , denotado convX , a interseco de todos os conjuntosconvexos que contm X . convX :=

    C convexo, CX C.

    Afirmao 1.4. Dois conjuntos convexos fechados (polgonos, no nosso caso) so separveis se,e somente se, so disjuntos.

    Demonstrao. (esboo)

    Sejam P,Q os dois polgonos. Definamos d(P,Q) = inf{d(p, q) : p P, q Q}.Como P e Q so polgonos (fechados), p P, q Q tais que d(p, q) = d(P,Q).Considere o segmento pq e uma reta perpendicular ao segmento passando pelo meio deste. Se ela

    no separasse P,Q poderamos encontrar pontos em P e Q com distncia menor.

    2

  • Exerccio 1.5. Se convena da ltima afirmao na demonstrao anterior com um desenho e emseguida prove-a analiticamente.

    Afirmao 1.6. Se dois polgonos se intersectam, existem 4 pontos (vrtices) que violam a hip-tese.

    Demonstrao.

    Considere lados que se cruzam.

    Agora vamos pensar no problema anlogo em Rn.Queremos uma afirmao do tipo: "Sejam A,B Rn finitos. Se podemos separar quaisquer s

    pontos com um hiperplano, ento podemos separar todos". Mas qual deve ser o melhor valor paras = s(n)?

    Se s = 2(n + 1), a prova fcil. Particione cada poliedro em simplexos1 e caso convA convB 6= , considere os vrtices dos simplexos que se cruzam. Mas para n = 2, temos s = 6, e jsabemos que 4 basta...

    Figura 2: A partio de um poliedro bidimensional em tringulos.

    A estimava correta s = n+ 2:

    Teorema 1.7 (Kirchberger 1903)Sejam A,B Rn conjuntos finitos com |A| + |B| n + 2. Suponha que A A e B B

    com |A| + |B| n + 2, h um hiperplano que separa A de B estritamente. Ento existe umhiperplano que separa A de B estritamente.

    Demonstrao.

    Sabemos que se convA convB = , a concluso vale. Suponhamos portanto que convA convB 6= . Sem perda de generalidade, podemos supor que 0 convA convB.

    Seja A A e B B com |A|+ |B| mnimo tal que 0 convA convB.Pelo teorema de Carathodory2, temos |A| n+ 1 e |B| n+ 1.Suponha |A| = r e |B| = s. Temos que r + s n + 3, caso contrrio A e B poderiam ser

    1Simplexos so tringulos quando n = 2, tetraedros quando n = 3 e o fecho convexo de n + 1 pontos afim indepen-dentes, em geral. Veja as notas de aula do PICME, primeiro semestre de 2014, dia 03/06/2014 para uma discusso maisdetalhada.

    2O teorema de Carathodory diz que se X Rn e x convX , x pode ser escrito como combinao convexa den+1 pontos de X . Uma demonstrao deste teorema tambm pode ser encontrada nas notas de aula do PICME, primeirosemestre de 2014, exerccio resolvido 1.4.8.

    3

  • separados pela hiptese. Seja U o espao gerado por A, U = A e W o espao gerado por B,W = B.

    Temos dimU = r1 e dimW = s1, mas (r1)+(s1) n+1 e portanto dim(UW ) 1e U W contm uma reta.

    Seja p 6= 0 um ponto nesta reta (reta = {p , R}).Seja o menor real no negativo com p (convA) (convB) e p convA para algum

    A A, A 6= A (ou p convB para algum B B, B 6= B).Ento A, B (ou A, B) contradizem a escolha de A, B.

    1.2 Simplexos vizinhentos (Neighbourly simplices)

    Comecemos com o caso n = 2.

    Consideramos dois tringulos, com interiores disjuntos, vizinhos se eles possuem um segmentode aresta em comum (interseco de vrtice com aresta no basta).

    Pergunta 1.8. Qual a maior configurao de tringulos dois a dois vizinhos no plano?

    Figura 3: esquerda, trs tringulos mutuamente vizinhos. direita, quatro.

    As figuras anteriores mostram que possvel 4 tringulos mutuamente vizinhos. Ser possvelmais?

    No. Se construirmos um grafo com um vrtice em cada tringulo e uma aresta entre cada parde tringulos vizinhos, obtemos um grafo planar. Mas o K5 (grafo completo com 5 vrtices) no planar.

    Agora vejamos o caso n 3:

    Definio 1.9. Uma configurao C de n-simplexos no Rn vizinhenta se c1, c2 C, c1 c2tem dimenso n 1 e (int c1) (int c2) = .

    Pergunta 1.10. Quanto vale f(n) = max{|C| : C conjunto vizinhento de n-simplexos}?

    Bagemihl mostrou em 1956 que 8 f(3) 17. O limitante inferior vem de uma construoderivada da exibida na figura 3 e a cota superior obtida considerando um tetraedro e usando f(2) = 4em cada face.

    4

  • Bagemihl conjecturou ainda que f(3) = 8. Baston mostrou f(3) 9 e Zak mostrou f(3) = 8 eainda que f(n) 2n. Perles mostrou na dcada de 80, com um argumento simples, que f(n) 2n+1e hoje em dia ainda uma conjectura se f(n) = 2n.

    1.3 Politopos vizinhentos

    Definio 1.11. Um politopo o fecho convexo de um conjunto finito de pontos. 3

    Podemos definir o conceito de vizinhento e criar um problema semelhante ao anterior.

    Definio 1.12. Uma configurao P de politopos no Rn vizinhenta se P1, P2 P , P1 P2tem dimenso n 1 e (intP1) (intP2) = .

    Pergunta 1.13. Quanto vale g(n) = max{|P| : P conjunto vizinhento de politopos}?

    Aqui, podemos nos restringir ao caso n = 3. claro que g(3) f(3) = 8, mas na verdade:

    Teorema 1.14 (Tietze / Besicovitch)

    g(3) =

    24/03/2015 - Yoshiharu Kohayakawa

    Agora, veremos em maior detalhe os dois ltimos problemas abordados na aula passada.

    1.4 Simplexos vizinhentos (II)

    Comecemos relembrando alguns conceitos j vistos na seo 1.2:

    Um n-simplexo o fecho convexo de n + 1 pontos afim independentes (ou, igualmente, em "po-sio geral", se estiverem contidos em um espao de dimenso pelo menos n. Isto significa que noexiste um hiperplano de dimenso k, k < n, que contenha k + 2 destes pontos: no h 3 pontoscolineares, nem 4 pontos coplanares, etc ...). Um 2-simplexo um tringulo e um 3-simplexo umtetraedro.

    Dois n-simplexos so vizinhos se eles compartilham um pedao de face n 1 dimensional e tminteriores disjuntos (figura 4).

    Figura 4: esquerda, dois tringulos vizinhos. direita, tringulos que no so vizinhos.

    3Esta definio corresponde ao que intuitivamente entendemos como poliedro. Entretanto, poliedros costumam serdefinidos como a interseco de um nmero finito de semiespaos, o que os permitem serem ilimitados. Nesse contexto,politopo pode ser entendido como um poliedro limitado.

    5

  • Definimos f(n) := max |S|, onde S uma famlia de n-simplexos em Rn dois-a-dois vizinhos.No final da seo 1.2, vimos tambm uma reviso sobre o que se sabe sobre f(n).

    Proposio 1.15 (Bagemihl56). f(3) 8

    Demonstrao.

    Esta cota inferior vem de