notas das reuniões do picme combinatória...

NOTAS DAS REUNIES DO PICMECOMBINATRIA E OTIMIZAO

Primeiro semestre de 2015

ANOTADO POR: Fabrcio Caluza Machado

25 de junho de 2015

Sumrio

1 Trs Problemas Geomtricos 21.1 Separando ovelhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Simplexos vizinhentos (Neighbourly simplices) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Politopos vizinhentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Simplexos vizinhentos (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Politopos vizinhentos (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Matrides 92.1 Definies e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Algoritmos gulosos sobre um matride ponderado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Problema da rvore geradora mnima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Um milho de dgitos de 133.1 Dificuldades Computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Clculo do n-simo dgito hexadecimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3 Escrevendo na base decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Removendo arestas para tornar um grafo bipartido 164.1 Notao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2 Tornando grafos bipartidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Grupos, Nmeros e a Conjectura de Artin 215.1 Reviso de Teoria dos Nmeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.2 Introduo Teoria dos Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.3 A funo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.4 Razes primitivas e a Conjectura de Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6 Conexes entre Topologia e Combinatria 296.1 Introduo Topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.2 Complexos Simpliciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.3 O Teorema de Borsuk-Ulam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

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1 Trs Problemas Geomtricos

17/03/2015 - Yoshiharu Kohayakawa

A seguir, veremos trs problemas geomtricos. Discutiremos o primeiro em maior detalhe e como ltimo, veremos um resultado surpreendente.

1.1 Separando ovelhas

Problema 1.1. Considere um pasto com ovelhas brancas e negras paradas. Suponha que paraquaisquer quatro ovelhas, podemos separar as ovelhas de mesma cor com uma reta. Ento podemosseparar todas as ovelhas brancas e negras.

Figura 1: esquerda, quatro ovelhas que podem ser separadas. direita, quatro que no podem (umaconfigurao proibida).

Seja A o conjunto das ovelhas brancas e B o conjunto das ovelhas negras. Podemos trat-loscomo subconjuntos finitos do plano, A,B R2.

Afirmao 1.2. Separar as ovelhas equivalente a separar o fecho convexo de A e B.

Definio 1.3. Um ponto (vetor) x dito combinao convexa de pontos x1 e x2 se existe [0, 1] tal que x = x1 + (1 )x2.O segmento de reta que une dois pontos o conjunto de todos os pontos que so combinaoconvexa destes.

Dizemos que um conjunto C convexo se para quaisquer dois pontos x1, x2 C, C contmo segmento de reta que une estes pontos.

O fecho convexo de um conjuntoX , denotado convX , a interseco de todos os conjuntosconvexos que contm X . convX :=

C convexo, CX C.

Afirmao 1.4. Dois conjuntos convexos fechados (polgonos, no nosso caso) so separveis se,e somente se, so disjuntos.

Demonstrao. (esboo)

Sejam P,Q os dois polgonos. Definamos d(P,Q) = inf{d(p, q) : p P, q Q}.Como P e Q so polgonos (fechados), p P, q Q tais que d(p, q) = d(P,Q).Considere o segmento pq e uma reta perpendicular ao segmento passando pelo meio deste. Se ela

no separasse P,Q poderamos encontrar pontos em P e Q com distncia menor.

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Exerccio 1.5. Se convena da ltima afirmao na demonstrao anterior com um desenho e emseguida prove-a analiticamente.

Afirmao 1.6. Se dois polgonos se intersectam, existem 4 pontos (vrtices) que violam a hip-tese.

Demonstrao.

Considere lados que se cruzam.

Agora vamos pensar no problema anlogo em Rn.Queremos uma afirmao do tipo: "Sejam A,B Rn finitos. Se podemos separar quaisquer s

pontos com um hiperplano, ento podemos separar todos". Mas qual deve ser o melhor valor paras = s(n)?

Se s = 2(n + 1), a prova fcil. Particione cada poliedro em simplexos1 e caso convA convB 6= , considere os vrtices dos simplexos que se cruzam. Mas para n = 2, temos s = 6, e jsabemos que 4 basta...

Figura 2: A partio de um poliedro bidimensional em tringulos.

A estimava correta s = n+ 2:

Teorema 1.7 (Kirchberger 1903)Sejam A,B Rn conjuntos finitos com |A| + |B| n + 2. Suponha que A A e B B

com |A| + |B| n + 2, h um hiperplano que separa A de B estritamente. Ento existe umhiperplano que separa A de B estritamente.

Demonstrao.

Sabemos que se convA convB = , a concluso vale. Suponhamos portanto que convA convB 6= . Sem perda de generalidade, podemos supor que 0 convA convB.

Seja A A e B B com |A|+ |B| mnimo tal que 0 convA convB.Pelo teorema de Carathodory2, temos |A| n+ 1 e |B| n+ 1.Suponha |A| = r e |B| = s. Temos que r + s n + 3, caso contrrio A e B poderiam ser

1Simplexos so tringulos quando n = 2, tetraedros quando n = 3 e o fecho convexo de n + 1 pontos afim indepen-dentes, em geral. Veja as notas de aula do PICME, primeiro semestre de 2014, dia 03/06/2014 para uma discusso maisdetalhada.

2O teorema de Carathodory diz que se X Rn e x convX , x pode ser escrito como combinao convexa den+1 pontos de X . Uma demonstrao deste teorema tambm pode ser encontrada nas notas de aula do PICME, primeirosemestre de 2014, exerccio resolvido 1.4.8.

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separados pela hiptese. Seja U o espao gerado por A, U = A e W o espao gerado por B,W = B.

Temos dimU = r1 e dimW = s1, mas (r1)+(s1) n+1 e portanto dim(UW ) 1e U W contm uma reta.

Seja p 6= 0 um ponto nesta reta (reta = {p , R}).Seja o menor real no negativo com p (convA) (convB) e p convA para algum

A A, A 6= A (ou p convB para algum B B, B 6= B).Ento A, B (ou A, B) contradizem a escolha de A, B.

1.2 Simplexos vizinhentos (Neighbourly simplices)

Comecemos com o caso n = 2.

Consideramos dois tringulos, com interiores disjuntos, vizinhos se eles possuem um segmentode aresta em comum (interseco de vrtice com aresta no basta).

Pergunta 1.8. Qual a maior configurao de tringulos dois a dois vizinhos no plano?

Figura 3: esquerda, trs tringulos mutuamente vizinhos. direita, quatro.

As figuras anteriores mostram que possvel 4 tringulos mutuamente vizinhos. Ser possvelmais?

No. Se construirmos um grafo com um vrtice em cada tringulo e uma aresta entre cada parde tringulos vizinhos, obtemos um grafo planar. Mas o K5 (grafo completo com 5 vrtices) no planar.

Agora vejamos o caso n 3:

Definio 1.9. Uma configurao C de n-simplexos no Rn vizinhenta se c1, c2 C, c1 c2tem dimenso n 1 e (int c1) (int c2) = .

Pergunta 1.10. Quanto vale f(n) = max{|C| : C conjunto vizinhento de n-simplexos}?

Bagemihl mostrou em 1956 que 8 f(3) 17. O limitante inferior vem de uma construoderivada da exibida na figura 3 e a cota superior obtida considerando um tetraedro e usando f(2) = 4em cada face.

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Bagemihl conjecturou ainda que f(3) = 8. Baston mostrou f(3) 9 e Zak mostrou f(3) = 8 eainda que f(n) 2n. Perles mostrou na dcada de 80, com um argumento simples, que f(n) 2n+1e hoje em dia ainda uma conjectura se f(n) = 2n.

1.3 Politopos vizinhentos

Definio 1.11. Um politopo o fecho convexo de um conjunto finito de pontos. 3

Podemos definir o conceito de vizinhento e criar um problema semelhante ao anterior.

Definio 1.12. Uma configurao P de politopos no Rn vizinhenta se P1, P2 P , P1 P2tem dimenso n 1 e (intP1) (intP2) = .

Pergunta 1.13. Quanto vale g(n) = max{|P| : P conjunto vizinhento de politopos}?

Aqui, podemos nos restringir ao caso n = 3. claro que g(3) f(3) = 8, mas na verdade:

Teorema 1.14 (Tietze / Besicovitch)

g(3) =

24/03/2015 - Yoshiharu Kohayakawa

Agora, veremos em maior detalhe os dois ltimos problemas abordados na aula passada.

1.4 Simplexos vizinhentos (II)

Comecemos relembrando alguns conceitos j vistos na seo 1.2:

Um n-simplexo o fecho convexo de n + 1 pontos afim independentes (ou, igualmente, em "po-sio geral", se estiverem contidos em um espao de dimenso pelo menos n. Isto significa que noexiste um hiperplano de dimenso k, k < n, que contenha k + 2 destes pontos: no h 3 pontoscolineares, nem 4 pontos coplanares, etc ...). Um 2-simplexo um tringulo e um 3-simplexo umtetraedro.

Dois n-simplexos so vizinhos se eles compartilham um pedao de face n 1 dimensional e tminteriores disjuntos (figura 4).

Figura 4: esquerda, dois tringulos vizinhos. direita, tringulos que no so vizinhos.

3Esta definio corresponde ao que intuitivamente entendemos como poliedro. Entretanto, poliedros costumam serdefinidos como a interseco de um nmero finito de semiespaos, o que os permitem serem ilimitados. Nesse contexto,politopo pode ser entendido como um poliedro limitado.

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Definimos f(n) := max |S|, onde S uma famlia de n-simplexos em Rn dois-a-dois vizinhos.No final da seo 1.2, vimos tambm uma reviso sobre o que se sabe sobre f(n).

Proposio 1.15 (Bagemihl56). f(3) 8

Demonstrao.

Esta cota inferior vem de