1- Introdução

Este resumo não trata exatamente sobre física, é sobre uma das formas que expressamos os resultados

numéricos em ciências em geral (e na física em particular).

O fato é que em física lidamos com uma grande gama de valores. Trabalhamos com números

gigantescos tais como a massa da Terra ou a quantidade de átomos em 1g de hidrogênio, ou com números

muito pequenos entre os quais podemos citar o tamanho de um átomo ou a massa de um elétron.

Consideremos por exemplo a massa da Terra, cerca de 6 sextilhões de toneladas (este é um valor

aproximado). Quantos zeros possui este número? Expresso em toneladas este número possui 21 zeros,

expresso em quilogramas este número possui 24 zeros.

kg 0000.000.000.000.000.006.000.000.mTerra

Há obviamente um grande inconveniente em ficar escrevendo este número gigantesco. Além disto,

escrito desta forma, ele não faz nenhum sentido físico (veja o porquê no item 4). E imagine a dificuldade

em se fazer operações com números deste tamanho! O mesmo acontece com números muito pequenos.

Tomemos por exemplo a massa de um elétron, um valor muito comum na física atômica:

kg 09 000 000 000 000 000 000 000 000 000 0000melétron ,

Não precisa se dar ao trabalho de contar quantos zeros há após a vírgula, são 31 zeros entre a ela e o

número 9 (este valor da massa é um valor aproximado cuja função é apenas ilustrativa). As objeções a

respeito deste número são as mesmas discutidas acima.

O que vamos ver agora é uma maneira mais simples de se escrever tais números. Porém cabe aqui um

alerta: a discussão inicial é puramente matemática, não física. No ultimo item discutiremos algumas

sutilezas a respeito destes números e, principalmente por que não faz sentido físico escrever a massa da

Terra, ou do elétron, com esta quantidade absurda de zeros.

2-Potências de 10

A notação científica é fundamentada no uso de certas características das potências de 10. De fato

escrever 10 elevado a qualquer número inteiro é muito simples. Observe a tabela a seguir:

Potências positivas Potências negativas

100 1 10

0 1

101 10 10

-1 0,1

102 100 10

-2 0,01

103 1.000 10

-3 0,001

104 10.000 10

-4 0,0001

105 100.000 10

-5 0,00001

Podemos ver que o expoente positivo indica quantos zeros devemos colocar à esquerda do 1, enquanto

os expoentes negativos indicam quantos zeros há à direita do número 1 (ou dito de outra forma, o

expoente negativo nos diz quantas casas há após a vírgula).

3-Notação Científica

Resumo de Aula:

Notação científica.

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2

A notação cientifica se utiliza destas propriedades das potencias para reescrever os grandes ou

pequenos números da ciência. A idéia básica é escrever estes zeros como uma potência de dez, com

expoentes positivos ou negativos.

Não há uma regra rígida de como se deve escrever números nesta notação. Veremos aqui a regra geral,

mas há muitas exceções. Vamos à regra então: escreva o número de tal forma que à esquerda da vírgula

tenha apenas números entre 1 e 9, quaisquer outros números devem ficar a direita, se necessário “ande”

com a virgula para a direita ou para esquerda chegar a este padrão (veja a figura a seguir).

Vamos ver alguns exemplos reescrevendo os números a seguir

a) 5000

Resolução:

Perceba que o número 5000 pode ser escrito como

5 x 1000

Agora escrevemos 1000 como uma potência de 10

5 x 103

Pronto, o número 5000 foi escrito em notação científica!

Apesar deste método ser simples há um método ainda mais simples, reescreveremos o número

colocando uma virgula em um lugar inofensivo

5000 = 5000,0

Agora vamos utilizar a regra da vírgula, toda vez

que a vírgula anda uma casa para a esquerda do zero

aumentamos 1 no expoente. cada vez que a vírgula

anda uma casa para a direita diminui-se um no

expoente. Esquematicamente teremos:

Para escrevermos nosso número em notação

científica faremos a vírgula andar três casas para a

esquerda e somamos 3 no expoente. Como não há

expoente então basta escrevermos 5,0 x 103.

b) 25000

Resolução:

Escrevemos o número como 25000,0 e movemos a

vírgula quatro casas para direita e escrevemos:

Quadro 1-Prefixos.

É usual simplificarmos o uso da notação

cientifica com o uso de prefixos das

grandezas. Por exemplo, o “k” utilizado em

kg e kg significa 1000, ou em notação

científica, 103.

Outro exemplo é o m utilizado em mm , ml ou

mg, que significa 0,001 ou 10-3

.

As tabelas a seguir fornecem alguns prefixos,

seus nomes e a potencia a que se referem.

Potência nome símbolo

103 kilo k

106 Mega M

109 Giga G

1012

Tera T

Potência nome símbolo

10-2

deci d

10-3

mili m

10-6

micro

10-9

nano n

10-12

pico p

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3

b) 172000

Resolução:

Escreva o número como 172000,0 e ande 5 casas para a direita, teremos: 1,72 x 105

c) 1235,7

Resolução:

Este número já possui vírgula, mais fácil. Ande 3 casas para a direita e escreva 1,2357 x 103

d) 256,12 x 103

Resolução:

Este número possui uma vírgula e já tem uma potência de 10. Vamos andar duas casas para a direita e

somar 2 no expoente. Ficaremos com 2,5612 x 105.

e) 0,03

Resolução:

Este caso é diferente, para que este número fique no padrão da notação cientifica temos que andar duas

casas para a direita, e o expoente será negativo: 3,0 x 10-2

Seguindo este raciocínio podemos resolver os demais facilmente:

f) 0,000325 = 3,25 x 10-4

g) 0,02 x 10-2

= 2 x 10-4

h) 0,003 x 107 = 3 x 10

4

i) 5322 x 10-2

= 5,322 x 101

4-Operações

(i) multiplicação

A multiplicação de números escritos na forma de notação cientifica é simples, multiplicamos as

potências entre si e os números entre si, acertando a vírgula da resposta final caso seja necessário. A

multiplicação das potencias segue a regra matemática sobre produto de potencias de mesma base:

conservamos a base e somamos os expoentes.

Exemplos:

a) 2,0 x 103 . 3,0 x10

6 = 6,0 x 10

3+6 = 6,0 x 10

9

b) 2,5 x 102 . 3,0 x10

5 = 7,5 x 10

2+5 = 7,5 x 10

7

c) 3,5 x 102 . 4,0 x10

6 = 14,0 x 10

2+6 = 14,0 x 10

8 = 1,4 x 10

9

d) 2,3 x 106 . 3,0 x10

-2 = 6,9 x 10

6+(-2) = 6,9 x 10

6-2 = 6,9 x 10

4

e) 4,2 x 10-7

. 5,0 x10-3

= 21,0 x 10-7+(-3)

= 21,0 x 10-7-3

=21,0 x 10-10

= 2,1 x 10-9

(ii) divisão

Na divisão procederemos da mesma forma, mas lembrando que na divisão de potências de mesma

base nós conservamos a base e subtraímos os expoentes.

Exemplos:

562-8

2

8

33-6

3

6

10 x 6,0 10 x 0,6 10 x 0,6 10 x 2

10 x 1,2 b)

10 x 2 10 x 2 10 x 4

10 x 8 a)

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4

3484-(-8)-4-

8-

4-

2-46-(-4)-6-

4-

6-

862(-6)-2

6-

2

10 x 510 x 0,510 x 0,5 10 x 0,510 x 7

10 x 3,5 e)

10 x 2,510 x 2,5 10 x 2,5 10 x 2

10 x 5 d)

10 x 2 10 x 2 10 x 210 x 3,5

10 x 7 c)

(iii) Adição e subtração

Neste caso devemos lembrar que só podemos somar ou subtrair “coisas” semelhantes, neste caso só

podemos somar e subtrair quando as potencias de 10 são iguais. Este é o caso dos exemplos a e b a seguir.

333 10 x 510 x 3 10 x 2 a)

5444 10 x 2110 x 1210 x 7 10 x 5 b) ,

Porem pode acontecer que as potencias não sejam iguais, neste caso usaremos o truque de andar com a

vírgula para igualá-las. No exemplo a seguir transformaremos 6 x 103 em 0,6 x 10

4 movendo a vírgula

uma casa para a esquerda:

43 10 x 2 10 x 6 c) = 44 10 x 2 10 x 0,6 = 410 x 2,6

Veja agora outros exemplos: -22 10 x 2 - 10 x 3 d) = 22 10 x 0,0002 - 10 x 3 = 210 x 2,9998

-5-5-5-5-7 10 x 2,0310 x 2 10 x 0,03 10 x 2 10 x 3 e)

2,9980,002 - 310 x 2 - 3 f) -3

4- Notação científica e precisão.

De um ponto de vista matemático não há diferença entre escrever um número de maneira

convencional e escreve-lo em notação científica. Porém em física há. Pode parecer estranho, mas tal

diferença tem haver com o que chamamos de precisão dos resultados.

Considere, por exemplo, que você queira escrever a distância entre sua casa e o supermercado.

Digamos que esta distância seja próxima a 1200 m. A pergunta é: o quanto eu tenho certeza deste valor?

Será que a distância é exatamente 1200 m? Ou 1230 m? Ou 1232 m? Ou serão 1247 m? Será que tem

sentido dizer que a distância é de, exatamente, 1242,425 m?

A notação científica nos permite escrever a distância e fornecer a idéia de quão preciso é o resultado.

Digamos por exemplo que você ache que a distância é próxima a 1000 m (pode ser 1100 m ou 1200 m),

então você pode escrever d = 1 x 103 m. Isto significa que eu sei que este 1 é garantido, o resto dos

números não se tem certeza.

Para ter um melhor resultado você pode medir a distância com maior cuidado e chegar a conclusão

que a distância é próxima a 1100 m, mas não sabe dizer se é 1120m ou 1130m. Então escreva

d = 1,1 x 103 m.

Neste caso você está dizendo que você tem certeza dos dois números que você colocou. Agora se você

escrever d= 1,100 x 103m o que isto significa? Significa que você tem certeza que a distância entre sua

casa e o supermercado é de exatamente 1100 m, e que não este valor não está errado nem por um metro!

Matematicamente falando, os números 1,1 x103, 1,10 x 10

3 e 1,100 x 10

3 são idênticos. Mas

fisicamente não. O número 1,100 x103 diz que seu resultado não está errado nem por um metro.

Na introdução deste texto foi citada, como exemplo, a massa da Terra, vamos escrevê-la novamente:

kg .00000.000.000.000.000.024.000.000mTerra

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Por que foi dito que este número não tem sentido físico? Por que, com todos estes zeros, este número

diz que sabemos a massa da Terra sem errar nem por um quilo! Claro que isto não faz sentido.

Provavelmente você não sabe nem a sua massa com esta precisão. Como procedemos então? Escrevemos

em notação científica fornecendo apenas os números que temos alguma certeza que estão certos

(chamamos estes números de “algarismos significativos”):

kg x106m 24

Terra

Além de ser uma maneira mais compacta e operacional de se escrever este valor, a notação científica

fornece uma maneira mais lógica de se escrevê-lo.

Em física é comum termos números escritos com várias casas após a vírgula, mas os físicos só fazem

isto quando tem certeza que estão certos, então, ao se deparar com um número com vários algarismos

após a virgula, saiba que estes estão lá por que os cientistas tem certeza que aquele é o lugar deles.

Para finalizar este resumo com um exemplo gostaria de escrever novamente a massa do elétron, desta

vez em notação científica e com todos os algarismos significativos (os que temos certeza!), isto dará uma

boa idéia de como se usa notação científica e de quão preciso pode ser um resultado experimental. Para

ser bem preciso ao escrever este número vou deixar claro que há uma imprecisão igual a 40 nas duas

ultimas casas decimais, ou seja este número possui um erro próximo de uma parte em 25 milhões!

kg 91x10 382 109,9m -31elétron

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