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Nota de esclarecimento tradutor: O presente ensaio pressupe o conhecimento do conceito da seo urea,

uma proporo que nosso senso esttico expervive como sendo a mais harmoniosa e encontrada em muitos feitios e designs da natureza e obras humanas. Trata-se de uma relao em que a parte menor esta em proporo igual a uma parte maior como a maior est para a soma das duas partes, e expressa pela frmula:

Menor = maior A = B Maior todo B A+B Com ajuda da geometria relativamente fcil secionar uma determinada linha

nesta proporo. Basta, num triangulo reto cujo cateto menor tem o dobro do maior, projetar o menor na hipotenusa, e projetar essa seo ao cateto maior conforme a figura

Contudo, aritmeticamente, obtm-se um nmero irracional, pois o lugar do corte das duas sees no se deixa determinar por um ponto exato, mas passa sempre entre dois pontos de uma linha. Temos, portanto, algo parecido como a raiz quadrada de 2, ou a razo entre o raio e a circunferncia de um crculo. Os valores correspondentes s podem ser expressos aproximadamente, ou por fraes decimais designados por , sendo no caso do raio do crculo, 3,14..., e na seo urea, 1,618.... A matemtica clssica que ainda no contava com o recurso da apreenso do 0, usava como recurso da aproximao infinita a soma de seqncias de fraes ordinrias, como est sendo usado neste ensaio.

O professor R. Castelan, da Universidade Federal de Santa Catarina, diz sobre a seo rea no seu ensaio A Geometria e a Natureza: A vida deixava de ser algo mecnico para se revestir de mistrio, uma forma de arte. A razo irracional da seo urea mostrava que h um lado impalpvel e infinito em nosso mundo.

Outro sim, temos de tomar em considerao que este ensaio foi escrito h meio sculo adirs quando ainda no se operava com o conhecimento do cdigo gentico. Hoje, explicam-se as padres da insero foliar como sendo um fator hereditria o que entretanto no explica as leis que simultaneamente encontramos no mundo vegetal, no cosmo e alias tambm na estrutura dos tomos.

Joachim Schmidt, foi durante anos o editor do Calendrio de Estrelas, uma publicao da seo matemtica-astronmica do Goetheanum, Sua cede da Geral Sociedade Antroposfica. Seus trabalhos sempre foram tidos como uma valiosa contribuio como as cincias orientadas pela Antroposofia de Rudolf Steiner no se baseiam em preceitos astrolgicos, mas sim em fenmenos astronmicos.

Botucatu, outubro de 2002, Bernardo Thomas Sixel

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As Posies das Folhas no Reino Vegetal Como Expresso de Leis Csmicas

Extrado dos Anais da Seo de Cincias naturais do Goetheanum 1949 Joachim Schmidt

Traduo: Bernardo Thomas Sixel

Goethe, no seu ensaio aforstico Sobre a Tendncia de Espirais dos Vegetais chama ateno para uma regularidade que atravessa todo o reino vegetal, mas que at ento, fora mencionado s incidentalmente pelos botnicos da sua poca. Goethe descreve o sistema vertical e o sistema de espirais: como duas tendncias principais ou, se quiser, como os dois sistemas vitais, pelos quais a vida vegetal pelo crescimento se arremata. A configurao desta Idia foi baseada em um impulso que partiu do botnico de Munique, Karl von Martius. Desde 1823 Goethe estava em correspondncia com Martius, tratando principalmente de questes botnicas . Em 1827 Martius ministrou uma palestra sobre a Arquitetura das Flores que chamou muita ateno dos pesquisadores. Martius mostrou na ocasio, como na: Construo da disposio das ptalas, anteras e carpelos muitas flores seguem uma tendncia ntida de linhas espiraladas ou helicoidais. Os exemplos mais conhecidos encontram-se nas flores das ninfas e magnlias. Martius viu nisso uma indicao geral de que o posicionamento dos rgos florais deve coincidir com as mesmas leis da ordenao de espirais das folhas, dos caules e ramos. E assim ele considerava a construo da flor como um ramo onde folhas so reunidas em um ponto. Aqui, em um nvel superior, as folhas que no caule esto distribudas em seqncia helicoidal, esto agrupadas na mesma altura de maneira uniforme. Neste fato Martius tambm enxergava uma nova confirmao da idia fundamental de Goethe, segundo a qual todos os rgos vegetais so uma configurao metamorfoseada do mesmo arque-orgo (rgo primordial) da folha. Quando Goethe teve noticia dessa considerao de Martius, logo a acolheu: O pensamento sobre as leis da atuao de espirais durante a configurao e formao da planta ocupou-me no primeiro momento quando tive notcias do mesmo. Mas Goethe ampliou esse pensamento a uma considerao muito mais ampla, ligando-a imediatamente com a imagem da dilatao e concentrao pela qual a metamorfose das plantas passa. Ele reconheceu na tendncia de espirais e na tendncia vertical intimamente conectada a essa, os princpios fundamentais da configurao vital, os quais no somente se expressam como atuantes nas diferentes partes isoladas dos vegetais, mas que determinam e formam o direcionamento da construo espacial da planta inteira. Contudo, o significado de determinadas direes, como por exemplo, o que est em cima e o que est em baixo para a feio exterior e a formao interna da planta e seus respectivos rgos, somente no decorrer do sculo 19, foi reconhecido e pesquisado detalhadamente pela cincia natural, como algo essencial. Rudolf Steiner afirma diversas vezes em suas anotaes1, que Goethe na sua Metamorfose de Plantas j falava, se bem que com outras palavras, da mesma tendncia fundamental. Assim, ele via no pensamento novo, uma 1 Escritos de Cincia natural de Goethe, Volume I editado por Rudolf Steiner

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formao que leva em considerao mais o espacial (vertical, espiral) da sua idia expressada, em 1790, no seu escrito sobre a Metamorfose das Plantas. L, por exemplo, a tendncia vertical j foi caracterizada, quando se diz que o crescimento vegetal mantm em si a possibilidade de continuar passo a passo at o infinito..No seu ensaio, Goethe designa a tendncia vertical como um basto espiritual em volta do qual a espiral se enlaa.

O sistema vertical se expressa principalmente na formao linear do caule como fora dominante a qual conserva os rgos perifricos unidos ao centro. Aposto ao vertcal est o sistema espiral que a expanso perifrica da planta dentro da expanso horizontal. O desdobramento ou o desfraldamento da rea das folhas uma expresso da tendncia espiral na qual Goethe via o que aperfeioa, multiplica e alimenta a formao vegetal. Neste sistema de aperfeioamento e multiplicao... desenvolve-se gema aps gema e, por isso, com ele relaciona-se intimamente tambm a disposio dos primeiros rgos e o aparecimento sucessivo de folha por folha no broto em crescimento.

Entretanto, Goethe sempre acentuava a atuao conjunta das duas tendncias formativas na realidade da natureza: Nenhum dos dois sistemas pode ser pensado por si s, eles esto eternamente ligados; mas em um equilbrio perfeito, eles fazem surgir o que o mais perfeito na vegetao.

Por ser o princpio multiplicador, intimamente conectado com a tendncia espiral e, portanto, com a formao rtmica das disposies folhares, faz se valer agora aqui, a introduo do elemento numrico na organizao vegetal. Isto acontece de uma maneira to caracterstica dentro do plano de construo das diferentes plantas que se poderia falar, em conexo a uma palavra de Rudolf Steiner, de um sentido numrico da planta que domina e ordena as foras formadoras

Agora, quais so as relaes matemticas que este senso numrico realiza dentro do organismo vegetal? Primeiramente, seja mostrado com dois exemplos de plantas superiores, como as diferentes espcies vegetais percorrem de maneira bem diferente seu caminho evolutivo em relao s propores numricas. Por certo, a ordem numrica que aparece no domnio das folhas e na flor, determina por meio de sinais essencialmente caractersticos, o inteiro habitus (veste configurao) e carter de uma planta. A ordem numrica d planta seu cunho tpico.

Como representante das dicotiledneas (que germinam com duas folhas) seja escolhido o linho comum. Das sementes lisas com brilho marrom desabrocha o broto com os cotildones. O caule se eleva verticalmente com determinao. Ele desprovido de brotos laterais mas em volta do eixo esto dispostas inmeras folhas ordenadas helicoidalmente. Uma observao mais acurada mostra que as propores numricas so dominadas por um jogo livre. As folhas inferiores esto colocadas muitas vezes de dois em dois, parecidas com os cotildones, em pares cruzados. Depois, em direo ao alto, o caule seguido por ordenaes nas quais, uma aps outra, podem ser vistos os nmeros 3, 5, e 8 em conformidade com as colocaes 1/3,

2/5, 3/8 cuja significao ser ainda explicada a seguir. Na

flor mostra-se uma construo totalmente pentagonal com o nmero das spalas, das ptalas azuis, das anteras etc., como tambm da cpsula de sementes com cinco cantos e por dentro com 10 reparties.

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Colocamos por acaso ao seu lado a ris aqutica (ris pseudacorus) de flores amarelas, como um exemplo tpico de relaes numricas que encontramos nas monocotiledneas. A partir dos rizomas rasteiros irrompem as folhas parecidas com espadas que esto colocadas quase no mesmo nvel, abraando pela direita e esquerda o caule em posio de montagem cavalgar. A partir desta seqncia foliar de 2 nmeros ergue-se a formao floral cujos rgos so construdos segundo o princpio do nmero 3, e seu desdobramento, o nmero 6.

Estes exemplos mostram como o desenvolvimento do crescimento vegetal sempre segue paralelamente a um certo caminho evolutivo por meio de seqncias numricas. Muitas vezes acontece um salto de mudana numrica quando a planta perfaz as passagens morfolgicas do domnio foliar para a formao da flor, e depois novamente para a formao dos frutos e sementes.

Alm disso, mostra-se o fato importante de que nos diferentes gneros de uma mesma fam

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