NOME:NOME:Daiana,Daniela,Josiane,LinDaiana,Daniela,Josiane,Lin

domar,Suenia,Tatiane.domar,Suenia,Tatiane.NUMEROS:NUMEROS:N:10. N:10. N:11. N:18. N:20. N:22. N:23.N:11. N:18. N:20. N:22. N:23.SERIESERIE::88

anoC.anoC.MATERIAMATERIA:Matematica.:Matematica.ProfProf::GEOVANIAGEOVANIA

Numeros inteirosNumeros inteiros

Os Os números inteirosnúmeros inteiros são são constituídos dos constituídos dos números naturaisnúmeros naturais {0, 1, 2, ...} e dos seus simétricos {0, 1, 2, ...} e dos seus simétricos

{0, -1, -2, ...}{0, -1, -2, ...}

• Observe, porem que um computador Observe, porem que um computador pode apenas representar um pode apenas representar um subconjunto dos inteiros com estes subconjunto dos inteiros com estes tipos, já que os inteiros são infinitos e tipos, já que os inteiros são infinitos e uma quantidade de bits fixa limita a uma quantidade de bits fixa limita a representação a um máximo de 2 à representação a um máximo de 2 à potência do número de bits (28 para potência do número de bits (28 para bytes, 232 para 32-bit arquitecturas, bytes, 232 para 32-bit arquitecturas, etc). etc).

• O O conjuntoconjunto de todos os inteiros é de todos os inteiros é denominado por denominado por ZZ (Mais (Mais apropriadamente, um Z em apropriadamente, um Z em blackboard boldblackboard bold, ), que vem do , ), que vem do alemãoalemão ZahlenZahlen, que significa , que significa números, algarismos.números, algarismos.

• No entanto, o uso de técnicas de No entanto, o uso de técnicas de Inteligência ArtificialInteligência Artificial permitem que permitem que computadores representem e computadores representem e raciocinem sobre o conjunto dos raciocinem sobre o conjunto dos inteirosinteiros

• Os resultados das operações de Os resultados das operações de soma, subtração e multiplicação soma, subtração e multiplicação entre dois Inteiros são inteiros. Dois entre dois Inteiros são inteiros. Dois inteiros admitem relações binárias inteiros admitem relações binárias como =, > e <.como =, > e <.

• Matemáticos expressam o facto de Matemáticos expressam o facto de que todas as leis usuais da que todas as leis usuais da aritmética são válidas nos inteiros aritmética são válidas nos inteiros dizendo que (dizendo que (ZZ, +, *) é um , +, *) é um anelanel comutativocomutativo

• A ordem de A ordem de ZZ é dada por ... < -2 < -1 é dada por ... < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < ... e faz de < 0 < 1 < 2 < ... e faz de ZZ uma uma ordenação totalordenação total sem limite superior sem limite superior ou inferior. ou inferior.

• Chama-se de inteiro Chama-se de inteiro positivopositivo os os inteiros maiores que zero ; o próprio inteiros maiores que zero ; o próprio zero não é considerado um positivo. zero não é considerado um positivo. A ordem é compatível com as A ordem é compatível com as operações algébricas no seguinte operações algébricas no seguinte sentido:sentido:

• 11tão se tão se aa < < bb e e cc < < dd, en, enaa + + cc < < bb + + dd

• 22se se aa < < bb e 0 < e 0 < cc, então , então acac < < bcbc

• Como os números naturais, os Como os números naturais, os inteiros formam um conjunto inteiros formam um conjunto infinito contávelinfinito contável..

• Os inteiros não formam um Os inteiros não formam um corpocorpo já já que, por exemplo, não existe um que, por exemplo, não existe um inteiro inteiro xx tal que 2 tal que 2xx = 1. O menor = 1. O menor corpo que contém os inteiros são os corpo que contém os inteiros são os números racionaisnúmeros racionais..

• Uma importante propriedade dos Uma importante propriedade dos inteiros é a inteiros é a divisão com restodivisão com resto: dados : dados dois inteiros dois inteiros aa e e bb com com bb≠0, ≠0, podemos sempre achar inteiros podemos sempre achar inteiros qq e e rr tais que:tais que:aa = = bb qq + + rr e tal que 0 <= e tal que 0 <= rr < |< |bb| (veja | (veja módulomódulo ou ou valor absolutovalor absoluto).).

• qq é chamado o é chamado o quocientequociente e e rr o o restoresto da da divisão de divisão de aa por por bb. Os números . Os números qq e e rr são unicamente determinados por são unicamente determinados por aa e e bb. Esta divisão torna possível o . Esta divisão torna possível o Algoritmo EuclidianoAlgoritmo Euclidiano para calcular o para calcular o máximo divisor comummáximo divisor comum, que também , que também mostra que o máximo divisor comum mostra que o máximo divisor comum de dois inteiros pode ser escrito como de dois inteiros pode ser escrito como a soma de múltiplos destes dois a soma de múltiplos destes dois inteiros.inteiros.

• qq é chamado o é chamado o quocientequociente e e rr o o restoresto da da divisão de divisão de aa por por bb. Os números . Os números qq e e rr são unicamente determinados por são unicamente determinados por aa e e bb. Esta divisão torna possível o . Esta divisão torna possível o Algoritmo EuclidianoAlgoritmo Euclidiano para calcular o para calcular o máximo divisor comummáximo divisor comum, que também , que também mostra que o máximo divisor comum mostra que o máximo divisor comum de dois inteiros pode ser escrito como de dois inteiros pode ser escrito como a soma de múltiplos destes dois a soma de múltiplos destes dois inteiros.inteiros.

• é chamado o é chamado o quocientequociente e e rr o o restoresto da da divisão de divisão de aa por por bb. Os números . Os números qq e e rr são unicamente determinados por são unicamente determinados por aa e e bb..

• Esta divisão torna possível o Esta divisão torna possível o Algoritmo EuclidianoAlgoritmo Euclidiano para calcular o para calcular o máximo divisor comummáximo divisor comum, que também , que também mostra que o máximo divisor comum mostra que o máximo divisor comum de dois inteiros pode ser escrito de dois inteiros pode ser escrito como a soma de múltiplos destes como a soma de múltiplos destes dois inteiros.dois inteiros.

• udo isto pode ser resumido dizendo udo isto pode ser resumido dizendo que que ZZ é um é um domínio euclidianodomínio euclidiano. Isto . Isto implica que implica que ZZ é um é um domínio de ideal domínio de ideal principalprincipal e que todo número inteiro e que todo número inteiro podem ser escrito como produto de podem ser escrito como produto de números primosnúmeros primos de forma única de forma única (desde que o 1 não seja considerado (desde que o 1 não seja considerado primo).primo).

Este é o Este é o Teorema Fundamental da Teorema Fundamental da AritméticaAritmética..

• O ramo da O ramo da matemáticamatemática que estuda que estuda os inteiros é chamado de os inteiros é chamado de teoria dos teoria dos númerosnúmeros..

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•OBRIGADO!OBRIGADO!!!!!