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ldquoTradiccedilatildeo em formar Profissionais com Qualidaderdquo
Avenida XV de Novembro 413-Centro - Ferraz de Vasconcelos ndashSP-CEP 08500-405
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COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
Noccedilotildees Gerais
de
Matemaacutetica
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Tradiccedilatildeo em formar Profissionais com Qualidade
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COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
SUMAacuteRIO
Tabuada01
Situaccedilotildees de Aprendizagem 1 Operaccedilotildees Matemaacutetica02
Situaccedilotildees de Aprendizagem 2 Vamos Praticar Exerciacutecios de Subtraccedilatildeo02
Situaccedilotildees de Aprendizagem 3 Trabalhar as Operaccedilotildees Multiplicativas03
Situaccedilotildees de Aprendizagem 4 Operaccedilotildees com Nuacutemeros Decimais05
Situaccedilotildees de Aprendizagem 5 Regra de Sinais07
Situaccedilotildees de Aprendizagem 6 Interpretaccedilatildeo matemaacutetica Testes08
Situaccedilotildees de Aprendizagem 7 Conjuntos Numeacutericos10
Situaccedilotildees de Aprendizagem 8 Transformaccedilotildees de Tempo ou de Espaccedilo12
Situaccedilotildees de Aprendizagem 9 Meacutetodo de Arredondamento14
Situaccedilotildees de Aprendizagem 10 Proporccedilotildees16
Situaccedilotildees de Aprendizagem 11 Regra de Trecircs18
Situaccedilotildees de Aprendizagem 12 ATIVIDADE PARA NOTA20
Situaccedilotildees de Aprendizagem 13 Situaccedilotildees Sequenciais23
Situaccedilotildees de Aprendizagem 14 Sucessor e Antecessor26
Situaccedilotildees de Aprendizagem 15 Os Juros e os Impostos27
Situaccedilotildees de Aprendizagem 16 Equaccedilatildeo do Primeiro Grau29
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Situaccedilotildees de Aprendizagem 17 Fraccedilotildees31
Situaccedilotildees de Aprendizagem 18 Equaccedilatildeo do 2ordm Grau ou Bhaskara34
Situaccedilotildees de Aprendizagem 19 Expressatildeo Algeacutebrica36
Curiosidades38
Referecircncias Bibliograacuteficas e Agradecimentos40
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TABUADA
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Situaccedilotildees de aprendizagem 1
Vamos praticar algumas operaccedilotildees matemaacuteticas
1) Encontre o resultado das operaccedilotildees
a) 452 + 267 + 12= e) 4 + 00003 + 101=
b) 6 + 057 = f) 0075 + 02 + 10=
c) 255 + 3 + 91 = g) 121 + 0009 + 04 =
d) 82 + 371 + 0002 = h) 275 + 0002 + 00001=
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Situaccedilotildees de aprendizagem 2
Vamos praticar alguns exerciacutecios de subtraccedilatildeo
2) Encontre o resultado das operaccedilotildees
a) 65 ndash 26
b) 65 - 26 =
c) 9 - 082 =
d) 81 - 304 =
e) 555 - 015 =
f) 2287 ndash 15 =
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g) 144 - 26 =
Situaccedilotildees de aprendizagem 3
Trabalhar as Operaccedilotildees Multiplicativas
Vamos relembrar um pouco das multiplicaccedilotildees
Iniciaremos multiplicando decimais naturais e outros
2113x10= 21130 (caso simplifique o 0)=2113
2113x100= 211300 ( caso elimine o 0) = 2113
2113x1000 = 2113000 (caso elimine 0) =2113
Para multiplicar dois nuacutemeros decimais multiplique os nuacutemeros da mesma forma que
multiplicamos os nuacutemeros naturais Coloque a viacutergula no resultado obtido o nuacutemero
de suas casas decimais eacute a soma dos nuacutemeros das casas decimais dos fatores
-1
5125 x 33= 169125 - Faccedila a multiplicaccedilatildeo normalmente e come as casas decimais para a
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colocaccedilatildeo da viacutergula no resultado
5125 ndash 2 casas decimais
x33---1 casa decimal
=169125 (No caso andamos trecircs casa decimais onde localizo a viacutergula corretamente
Vamos praticar um pouco da multiplicaccedilatildeo
1) Vamos fazer alguns caacutelculos com nuacutemeros decimais
a) 0004 x 10 = b) 0004 x 100 =
c) 0004 x 1000 = d) 2205 x 10 =
e) 3405 x 100 = f)3105 x 1000 =
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g) 874 x 10 = h) 223 x 10 =
Situaccedilotildees de aprendizagem 4
Resolva as operaccedilotildees com nuacutemeros decimais
1 Sabemos que um nuacutemero racional pode ser escrito na forma de decimal Os nuacutemeros
decimais satildeo bastante utilizados no caacutelculo de medicaccedilatildeo vamos relembraacute-los com muita
atenccedilatildeo Esta eacute uma maneira um pouco modificada utilizando a viacutergula e eacute usada ateacute os
nossos dias Conhecidas como nuacutemeros decimais vejamos alguns exemplos
Para que serve a viacutergula Para separar as unidades inteiras das partes que satildeo menores
que a unidade ou seja a parte fracionaacuteria
a) 710= b) 143100=
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c) 45= d) 178=
e) 54= f) 79=
g) 2613 h) 1610
Exerciacutecios para fazer em casa
1- Trabalhar com a divisatildeo ao maacuteximo
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1) 210=
2) 873100= 3) 5100= 4) 3100= 5) 8100= 6) 6410=
7) 834100=
8) 4310= 9) 810= 10) 25= 11) 304= 12) 3624=
13) 1308480=
14) 400160= 15) 1748= 16) 04100= 17) 28= 18) 14365=
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 5
Regra de Sinais
Indique o resultado das operaccedilotildees trabalhando com regra de sinais
a) (+12) + (-8) =
b) (-1) + (+9) =
c) - (-7) - (+2) =
d) (+10) - (-55) =
e) (-3) + (+3) =
f) ndash (+5) ndash ( - 7) =
Situaccedilotildees de aprendizagem 6
Interpretaccedilatildeo Matemaacutetica ldquoTestesrdquo
1) Em um trem viajavam na primeira classe 376 passageiros e na segunda classe 598
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Quantos passageiros viajavam no trem
2) Um tonel continha 378 litros de oacuteleo Desse total foram vendidos 142 litros de oacuteleo
pelo vendedor Joatildeo e 53 pelo vendedor Joseacute Quantos litros de oacuteleo ainda haacute no tonel
3) Um termocircmetro marcava 4ordmC (graus) pela manhatilde poreacutem agrave tarde a temperatura
aumentou para 6degC Houve portanto houve uma variaccedilatildeo de temperatura de quanto
4) Rogeacuterio queria comprar um carro usado no valor de R$ 1270000 ao chegar agrave agecircncia
gostou de um carro zero quilocircmetro que custava R$ 1956000 Quantos reais o novo
carro custa a mais que o carro usado
5) Uma camisa de R$ 7400 estaacute sendo vendida com 12 de desconto Quanto passaraacute a
custar estaacute camisa
6) O serviccedilo de energia eleacutetrica cobra uma multa de 15 se a conta eacute paga com atraso
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Qual deveraacute ser o preccedilo pago no dia 13 por uma conta de luz de R$ 4800 que venceu
no dia 10
7) Em uma turma de 10 meninos e 15 meninas A fraccedilatildeo que pode representar relaccedilatildeo
entre o nuacutemero de meninos e o total de estudantes dessa turma eacute
8) Em uma obra sobraram 9K de cimentos quatro operaacuterios iram dividir entre si
igualmente o cimento restante A quantidade de cimento que cada um levaraacute eacute
9) Um bicho preguiccedila estaacute subindo em um poste que tem de altura 10 metros durante o
dia ele sobe dois metros mas durante a noite ele para para dormir e escorrega um
metro Quanto tempo ele vai demorar a escalar esse poste ateacute o topo
10) Emprestei para Sr Miguel R$ 2220000 a uma taxa de 24 ano durante 4 anos Quanto
vou receber de juro por esta quantia emprestada a Sr Miguel
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11) O salaacuterio de um funcionaacuterio teve um acreacutescimo de 120 sabendo-se que o novo
salaacuterio deste funcionaacuterio seraacute de R$ 135300 Qual era o salaacuterio anterior dele
12) O salaacuterio de Joatildeo teve um acreacutescimo de 17 sabendo-se que o salaacuterio era de R$
60000 o novo salaacuterio passou a ser de quanto
Situaccedilatildeo de aprendizagem 7
Conjuntos Numeacutericos Regularidades Numeacutericas e Geomeacutetricas
Para lembrar
Conjuntos dos nuacutemeros naturais N=012345
Conjuntos dos nuacutemeros inteiros Z=-4-3-2-101234
O que eacute conjunto E o que eacute elemento Conjunto satildeo todas as letras maiuacutesculas que indica
a informaccedilatildeo que usa ateacute mesmo como uma demonstraccedilatildeo o iniacutecio de uma frase ou de um
conjunto tanto numeacuterico que haacute sempre uma separaccedilatildeo ou uma escrita matemaacutetica utilizando
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a demonstraccedilotildees
Os conjuntos satildeo representados por letras maiuacutesculas ABCD
Os nuacutemeros dos conjuntos satildeo indicados geralmente por letras minuacutesculas abcd
Sendo V o conjunto das vogais representamos V=aeiou
Sendo I o conjunto de nuacutemeros iacutempares menores que 20 I=[135720
Dados os conjuntos seguintes descritos em linguagem cotidiana encontre em cada caso
seus elementos e traduza a descriccedilatildeo dada agrave linguagem matemaacutetica
Responda os exerciacutecios
a) O conjunto A eacute formado por nuacutemeros naturais maiores do que 4 e menores ou iguais a
11
b) O conjunto B eacute formado por nuacutemeros naturais menores ou iguais a 6
c) O conjunto C eacute formado por nuacutemeros inteiro maiores ou iguais a -3 e menores do que 5
d) D o conjunto dos nuacutemeros naturais que satildeo divisiacuteveis por 4
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e) E eacute o conjunto de nuacutemeros naturais maiores do que 7
f) F eacute o conjunto de nuacutemeros inteiros que elevado ao quadrado resultam em um nuacutemero
menor do que 10
g) G eacute o conjunto de nuacutemeros naturais que quando dobrado e somado a 1 resultam em um
nuacutemero maior do que 7
h) Quais satildeo os nuacutemeros naturais compreendidos entre 20 e 31
i) Nuacutemeros naturais pares compreendido de 15 e 24
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 8
Transformaccedilotildees de tempo ou de espaccedilo
Encontra em KM ou em metros por segundos
1KM =1000M E 1 H = 60 60 = 3600s
Resoluccedilotildees de algumas transformaccedilotildees
54 KM H= 54X10001x3600 utilizar sempre a simplificaccedilatildeo ao maacuteximo entatildeo
54036=15ms
Tente resolver as transformaccedilotildees trabalhando com a divisatildeo multiplicaccedilatildeo e com a
simplificaccedilatildeo
a) 36 kmh =
b) 18 kmh =
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C) 720 kmh =
d) 90 kmh =
e) 1800 kmh =
f) 45 kmh =
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g) 702 kmh
Situaccedilatildeo de aprendizagem 9
Meacutetodo de Arredondamento
Em algumas situaccedilotildees no caacutelculo de medicaccedilatildeo precisamos agraves vezes arredondar os nuacutemeros
decimais neste caso existe uma regra bem faacutecil
Se o algarismo que vai ser eliminado for maior ou igual a 5 o primeiro algarismo substitui o
primeiro algarismo que estaacute a sua esquerda pelo seu sucessor
ndash O nuacutemero que vai ser eliminado (7) eacute ((igual ou maior ) neste caso eacute
maior que 5 portanto o 3 eacute substituiacutedo por 4
Vamos praticar o arredondamento
1) Arredondando ateacute as casa dos deacutecimos
a) 583= f) 477=
b) 675= g) 165=
c) 388= h) 708=
d) 293= i) 303=
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2) Arredondamento ateacute as casas das unidades
a) 273= b)155= c)402
d) 407= e) 203= f) 353=
g) 253= h) 259= i) 268
3) Arredonde ateacute as casas dos centeacutesimos
a) 142292= b) 28855= c) 27823=
d) 42195= e) 364567= f) 13406=
g) 28704= h) 28522= i) 24333=
Situaccedilatildeo de aprendizagem 10
Proporccedilotildees
Introduccedilatildeo
Propriedade fundamental das proporccedilotildees
Axd = bxc eacute muito importante ter esta propriedade em mente pois com ela saberemos se
certos nuacutemeros satildeo proporcionais ou natildeo
Exemplo
ldquo
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Rogeriatildeo e Claudinho passeiam com seus cachorros Rogeriatildeo pesa 120kg e seu catildeo 40kg
Claudinho por sua vez pesa 48kg e seu catildeo 16kg
Observe a razatildeo entre o peso dos dois rapazes
Observe agora a razatildeo entre o peso dos cachorros
Verificamos que as duas razotildees satildeo iguais Nesse caso podemos afirmar que a igualdade
eacute uma proporccedilatildeo Proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre duas razotildees
12 e 16 satildeo proporcionais a 9 e 12
Utilizando a propriedade fundamental temos
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1216 = 912 utilizar o formato em cruz = 12x12 =16x9
Entatildeo teremos= 144 =144
Vamos praticar
1) Utilize a propriedade em formato de cruz
a) 48 e 1224 =
b) 3018 e 6036 =
c) 824 e 2030=
d) 1824 e 912=
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e) 54 e 108 =
f) 23 e 69 =
g) 46 e 818 =
h) 24X e 42120 =
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i) 2100 e 16X =
Situaccedilatildeo de aprendizagem 11
Regra de Trecircs
Vamos trabalhar um pouco com regra de trecircs
1) Se 150g de um medicamento custava R$ 300 00 quanto irei pagar por 700 g desse
medicamento
2) Se em 10 h uma maacutequina produz 240 peccedilas quantas peccedilas ela produziraacute em 8 h
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3) Com 100 kg de trigo eacute possiacutevel fazer 85 kg de farinha Quantos Kg de trigo seratildeo
necessaacuterios para fabricar 425 kg de farinha
4) Uma lata de cerveja de 350 ml tem 10 ml de aacutelcool Quanto ingeriu de aacutelcool uma
pessoa que bebeu 11 latas de cerveja
5) Um padeiro faz 40 patildees em uma hora Quantas horas ele gastaraacute para fazer 480 patildees
6) Haroldo comeu 5 esfirras em 4 minutos Quantos minutos ele precisaraacute para comer 15
esfirras
7) Uma maacutequina faz 40 litros de soro por minuto Quantos minutos ira gastar para fazer
800 litros de soro
ldquo
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8) Uma enfermeira verificou que dentro de um vidro de remeacutedio tem 180 ml sabendo que dessa
quantia ela vai aplicar 13 em seu paciente Quantos ml iratildeo restar no frasco
9) Em uma feira de ciecircncia escolar os alunos montaram uma maquete em que o edifiacutecio de 25
metros de altura eacute representado por uma caixa de foacutesforos de 5 centiacutemetros de altura Para obter a
altura do preacutedio quantas caixas de foacutesforos seriam necessaacuterio
Situaccedilatildeo de aprendizagem 12
ATIVIDADE PARA NOTA
ldquo
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1) Um determinado jogo de futebol teve dois tempos de exatos 45 minutos cada Durante 40
do 1ordm tempo a bola esteve em poder do time A e em 20 do 2ordm tempo em poder do time B
Em relaccedilatildeo ao jogo todo o tempo em que a bola permaneceu com o time A representa em
porcentagem
2) Em um depoacutesito haacute vaacuterias caixas todas de mesmo tamanho Se forem feitas pilhas
contendo em cada uma delas 6 ou 8 ou 10 caixas sempre sobraratildeo 0 caixas O nuacutemero
miacutenimo de caixas nesse depoacutesito eacute
(A) 123 (B) 120 (C) 117 (D) 105 (E) 99
3) A meacutedia das alturas de trecircs amigos eacute 160 m Se mais um amigo que mede 2 m entrar
nesse grupo qual seraacute a nova meacutedia das alturas
ldquo
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4) Um funcionaacuterio de uma loja percebeu que 8 caixas fechadas de canetas menos 40 canetas
contecircm a mesma quantidade que 7 caixas fechadas mais 10 canetas O nuacutemero de canetas de
uma caixa eacute quanto
5) Em uma casa a aacuterea de um quarto eacute 12 da aacuterea da sala ambos retangulares e de medidas
indicadas nas figuras Nessas condiccedilotildees pode-se afirmar que o periacutemetro do quarto em
relaccedilatildeo ao periacutemetro da sala eacute
(A) o mesmo (B) a metade (C) 18 m maior (D) 52 m menor (E) 52 m maior
ldquo
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6) Em um terreno com 200 m2 de aacuterea foram construiacutedos um barracatildeo e uma casa A casa
ocupa 35 da aacuterea total do terreno e o barracatildeo ocupa 25 da aacuterea restante Em relaccedilatildeo agrave aacuterea
total do terreno o barracatildeo e a casa ocupam juntos
(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)
70
7) Uma caixa drsquoaacutegua com capacidade para 1 000 litros que estava completamente vazia seraacute
cheia por uma mangueira que despeja 02 L de aacutegua por segundo O tempo necessaacuterio para
encher completamente essa caixa eacute
(A) 1 hora 23 minutos e 20 segundos
(B) 1 hora 23 minutos e 33 segundos
ldquo
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 13
Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
ldquo
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
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wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
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SUMAacuteRIO
Tabuada01
Situaccedilotildees de Aprendizagem 1 Operaccedilotildees Matemaacutetica02
Situaccedilotildees de Aprendizagem 2 Vamos Praticar Exerciacutecios de Subtraccedilatildeo02
Situaccedilotildees de Aprendizagem 3 Trabalhar as Operaccedilotildees Multiplicativas03
Situaccedilotildees de Aprendizagem 4 Operaccedilotildees com Nuacutemeros Decimais05
Situaccedilotildees de Aprendizagem 5 Regra de Sinais07
Situaccedilotildees de Aprendizagem 6 Interpretaccedilatildeo matemaacutetica Testes08
Situaccedilotildees de Aprendizagem 7 Conjuntos Numeacutericos10
Situaccedilotildees de Aprendizagem 8 Transformaccedilotildees de Tempo ou de Espaccedilo12
Situaccedilotildees de Aprendizagem 9 Meacutetodo de Arredondamento14
Situaccedilotildees de Aprendizagem 10 Proporccedilotildees16
Situaccedilotildees de Aprendizagem 11 Regra de Trecircs18
Situaccedilotildees de Aprendizagem 12 ATIVIDADE PARA NOTA20
Situaccedilotildees de Aprendizagem 13 Situaccedilotildees Sequenciais23
Situaccedilotildees de Aprendizagem 14 Sucessor e Antecessor26
Situaccedilotildees de Aprendizagem 15 Os Juros e os Impostos27
Situaccedilotildees de Aprendizagem 16 Equaccedilatildeo do Primeiro Grau29
ldquo
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Situaccedilotildees de Aprendizagem 17 Fraccedilotildees31
Situaccedilotildees de Aprendizagem 18 Equaccedilatildeo do 2ordm Grau ou Bhaskara34
Situaccedilotildees de Aprendizagem 19 Expressatildeo Algeacutebrica36
Curiosidades38
Referecircncias Bibliograacuteficas e Agradecimentos40
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TABUADA
ldquo
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Tel (11) 4678-5508- colegiosaobentouolcombr
COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
Situaccedilotildees de aprendizagem 1
Vamos praticar algumas operaccedilotildees matemaacuteticas
1) Encontre o resultado das operaccedilotildees
a) 452 + 267 + 12= e) 4 + 00003 + 101=
b) 6 + 057 = f) 0075 + 02 + 10=
c) 255 + 3 + 91 = g) 121 + 0009 + 04 =
d) 82 + 371 + 0002 = h) 275 + 0002 + 00001=
ldquo
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Situaccedilotildees de aprendizagem 2
Vamos praticar alguns exerciacutecios de subtraccedilatildeo
2) Encontre o resultado das operaccedilotildees
a) 65 ndash 26
b) 65 - 26 =
c) 9 - 082 =
d) 81 - 304 =
e) 555 - 015 =
f) 2287 ndash 15 =
ldquo
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g) 144 - 26 =
Situaccedilotildees de aprendizagem 3
Trabalhar as Operaccedilotildees Multiplicativas
Vamos relembrar um pouco das multiplicaccedilotildees
Iniciaremos multiplicando decimais naturais e outros
2113x10= 21130 (caso simplifique o 0)=2113
2113x100= 211300 ( caso elimine o 0) = 2113
2113x1000 = 2113000 (caso elimine 0) =2113
Para multiplicar dois nuacutemeros decimais multiplique os nuacutemeros da mesma forma que
multiplicamos os nuacutemeros naturais Coloque a viacutergula no resultado obtido o nuacutemero
de suas casas decimais eacute a soma dos nuacutemeros das casas decimais dos fatores
-1
5125 x 33= 169125 - Faccedila a multiplicaccedilatildeo normalmente e come as casas decimais para a
ldquo
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colocaccedilatildeo da viacutergula no resultado
5125 ndash 2 casas decimais
x33---1 casa decimal
=169125 (No caso andamos trecircs casa decimais onde localizo a viacutergula corretamente
Vamos praticar um pouco da multiplicaccedilatildeo
1) Vamos fazer alguns caacutelculos com nuacutemeros decimais
a) 0004 x 10 = b) 0004 x 100 =
c) 0004 x 1000 = d) 2205 x 10 =
e) 3405 x 100 = f)3105 x 1000 =
ldquo
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g) 874 x 10 = h) 223 x 10 =
Situaccedilotildees de aprendizagem 4
Resolva as operaccedilotildees com nuacutemeros decimais
1 Sabemos que um nuacutemero racional pode ser escrito na forma de decimal Os nuacutemeros
decimais satildeo bastante utilizados no caacutelculo de medicaccedilatildeo vamos relembraacute-los com muita
atenccedilatildeo Esta eacute uma maneira um pouco modificada utilizando a viacutergula e eacute usada ateacute os
nossos dias Conhecidas como nuacutemeros decimais vejamos alguns exemplos
Para que serve a viacutergula Para separar as unidades inteiras das partes que satildeo menores
que a unidade ou seja a parte fracionaacuteria
a) 710= b) 143100=
ldquo
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c) 45= d) 178=
e) 54= f) 79=
g) 2613 h) 1610
Exerciacutecios para fazer em casa
1- Trabalhar com a divisatildeo ao maacuteximo
ldquo
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1) 210=
2) 873100= 3) 5100= 4) 3100= 5) 8100= 6) 6410=
7) 834100=
8) 4310= 9) 810= 10) 25= 11) 304= 12) 3624=
13) 1308480=
14) 400160= 15) 1748= 16) 04100= 17) 28= 18) 14365=
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 5
Regra de Sinais
Indique o resultado das operaccedilotildees trabalhando com regra de sinais
a) (+12) + (-8) =
b) (-1) + (+9) =
c) - (-7) - (+2) =
d) (+10) - (-55) =
e) (-3) + (+3) =
f) ndash (+5) ndash ( - 7) =
Situaccedilotildees de aprendizagem 6
Interpretaccedilatildeo Matemaacutetica ldquoTestesrdquo
1) Em um trem viajavam na primeira classe 376 passageiros e na segunda classe 598
ldquo
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Quantos passageiros viajavam no trem
2) Um tonel continha 378 litros de oacuteleo Desse total foram vendidos 142 litros de oacuteleo
pelo vendedor Joatildeo e 53 pelo vendedor Joseacute Quantos litros de oacuteleo ainda haacute no tonel
3) Um termocircmetro marcava 4ordmC (graus) pela manhatilde poreacutem agrave tarde a temperatura
aumentou para 6degC Houve portanto houve uma variaccedilatildeo de temperatura de quanto
4) Rogeacuterio queria comprar um carro usado no valor de R$ 1270000 ao chegar agrave agecircncia
gostou de um carro zero quilocircmetro que custava R$ 1956000 Quantos reais o novo
carro custa a mais que o carro usado
5) Uma camisa de R$ 7400 estaacute sendo vendida com 12 de desconto Quanto passaraacute a
custar estaacute camisa
6) O serviccedilo de energia eleacutetrica cobra uma multa de 15 se a conta eacute paga com atraso
ldquo
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Qual deveraacute ser o preccedilo pago no dia 13 por uma conta de luz de R$ 4800 que venceu
no dia 10
7) Em uma turma de 10 meninos e 15 meninas A fraccedilatildeo que pode representar relaccedilatildeo
entre o nuacutemero de meninos e o total de estudantes dessa turma eacute
8) Em uma obra sobraram 9K de cimentos quatro operaacuterios iram dividir entre si
igualmente o cimento restante A quantidade de cimento que cada um levaraacute eacute
9) Um bicho preguiccedila estaacute subindo em um poste que tem de altura 10 metros durante o
dia ele sobe dois metros mas durante a noite ele para para dormir e escorrega um
metro Quanto tempo ele vai demorar a escalar esse poste ateacute o topo
10) Emprestei para Sr Miguel R$ 2220000 a uma taxa de 24 ano durante 4 anos Quanto
vou receber de juro por esta quantia emprestada a Sr Miguel
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11) O salaacuterio de um funcionaacuterio teve um acreacutescimo de 120 sabendo-se que o novo
salaacuterio deste funcionaacuterio seraacute de R$ 135300 Qual era o salaacuterio anterior dele
12) O salaacuterio de Joatildeo teve um acreacutescimo de 17 sabendo-se que o salaacuterio era de R$
60000 o novo salaacuterio passou a ser de quanto
Situaccedilatildeo de aprendizagem 7
Conjuntos Numeacutericos Regularidades Numeacutericas e Geomeacutetricas
Para lembrar
Conjuntos dos nuacutemeros naturais N=012345
Conjuntos dos nuacutemeros inteiros Z=-4-3-2-101234
O que eacute conjunto E o que eacute elemento Conjunto satildeo todas as letras maiuacutesculas que indica
a informaccedilatildeo que usa ateacute mesmo como uma demonstraccedilatildeo o iniacutecio de uma frase ou de um
conjunto tanto numeacuterico que haacute sempre uma separaccedilatildeo ou uma escrita matemaacutetica utilizando
ldquo
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a demonstraccedilotildees
Os conjuntos satildeo representados por letras maiuacutesculas ABCD
Os nuacutemeros dos conjuntos satildeo indicados geralmente por letras minuacutesculas abcd
Sendo V o conjunto das vogais representamos V=aeiou
Sendo I o conjunto de nuacutemeros iacutempares menores que 20 I=[135720
Dados os conjuntos seguintes descritos em linguagem cotidiana encontre em cada caso
seus elementos e traduza a descriccedilatildeo dada agrave linguagem matemaacutetica
Responda os exerciacutecios
a) O conjunto A eacute formado por nuacutemeros naturais maiores do que 4 e menores ou iguais a
11
b) O conjunto B eacute formado por nuacutemeros naturais menores ou iguais a 6
c) O conjunto C eacute formado por nuacutemeros inteiro maiores ou iguais a -3 e menores do que 5
d) D o conjunto dos nuacutemeros naturais que satildeo divisiacuteveis por 4
ldquo
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e) E eacute o conjunto de nuacutemeros naturais maiores do que 7
f) F eacute o conjunto de nuacutemeros inteiros que elevado ao quadrado resultam em um nuacutemero
menor do que 10
g) G eacute o conjunto de nuacutemeros naturais que quando dobrado e somado a 1 resultam em um
nuacutemero maior do que 7
h) Quais satildeo os nuacutemeros naturais compreendidos entre 20 e 31
i) Nuacutemeros naturais pares compreendido de 15 e 24
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 8
Transformaccedilotildees de tempo ou de espaccedilo
Encontra em KM ou em metros por segundos
1KM =1000M E 1 H = 60 60 = 3600s
Resoluccedilotildees de algumas transformaccedilotildees
54 KM H= 54X10001x3600 utilizar sempre a simplificaccedilatildeo ao maacuteximo entatildeo
54036=15ms
Tente resolver as transformaccedilotildees trabalhando com a divisatildeo multiplicaccedilatildeo e com a
simplificaccedilatildeo
a) 36 kmh =
b) 18 kmh =
ldquo
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C) 720 kmh =
d) 90 kmh =
e) 1800 kmh =
f) 45 kmh =
ldquo
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g) 702 kmh
Situaccedilatildeo de aprendizagem 9
Meacutetodo de Arredondamento
Em algumas situaccedilotildees no caacutelculo de medicaccedilatildeo precisamos agraves vezes arredondar os nuacutemeros
decimais neste caso existe uma regra bem faacutecil
Se o algarismo que vai ser eliminado for maior ou igual a 5 o primeiro algarismo substitui o
primeiro algarismo que estaacute a sua esquerda pelo seu sucessor
ndash O nuacutemero que vai ser eliminado (7) eacute ((igual ou maior ) neste caso eacute
maior que 5 portanto o 3 eacute substituiacutedo por 4
Vamos praticar o arredondamento
1) Arredondando ateacute as casa dos deacutecimos
a) 583= f) 477=
b) 675= g) 165=
c) 388= h) 708=
d) 293= i) 303=
ldquo
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2) Arredondamento ateacute as casas das unidades
a) 273= b)155= c)402
d) 407= e) 203= f) 353=
g) 253= h) 259= i) 268
3) Arredonde ateacute as casas dos centeacutesimos
a) 142292= b) 28855= c) 27823=
d) 42195= e) 364567= f) 13406=
g) 28704= h) 28522= i) 24333=
Situaccedilatildeo de aprendizagem 10
Proporccedilotildees
Introduccedilatildeo
Propriedade fundamental das proporccedilotildees
Axd = bxc eacute muito importante ter esta propriedade em mente pois com ela saberemos se
certos nuacutemeros satildeo proporcionais ou natildeo
Exemplo
ldquo
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Rogeriatildeo e Claudinho passeiam com seus cachorros Rogeriatildeo pesa 120kg e seu catildeo 40kg
Claudinho por sua vez pesa 48kg e seu catildeo 16kg
Observe a razatildeo entre o peso dos dois rapazes
Observe agora a razatildeo entre o peso dos cachorros
Verificamos que as duas razotildees satildeo iguais Nesse caso podemos afirmar que a igualdade
eacute uma proporccedilatildeo Proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre duas razotildees
12 e 16 satildeo proporcionais a 9 e 12
Utilizando a propriedade fundamental temos
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1216 = 912 utilizar o formato em cruz = 12x12 =16x9
Entatildeo teremos= 144 =144
Vamos praticar
1) Utilize a propriedade em formato de cruz
a) 48 e 1224 =
b) 3018 e 6036 =
c) 824 e 2030=
d) 1824 e 912=
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e) 54 e 108 =
f) 23 e 69 =
g) 46 e 818 =
h) 24X e 42120 =
ldquo
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i) 2100 e 16X =
Situaccedilatildeo de aprendizagem 11
Regra de Trecircs
Vamos trabalhar um pouco com regra de trecircs
1) Se 150g de um medicamento custava R$ 300 00 quanto irei pagar por 700 g desse
medicamento
2) Se em 10 h uma maacutequina produz 240 peccedilas quantas peccedilas ela produziraacute em 8 h
ldquo
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3) Com 100 kg de trigo eacute possiacutevel fazer 85 kg de farinha Quantos Kg de trigo seratildeo
necessaacuterios para fabricar 425 kg de farinha
4) Uma lata de cerveja de 350 ml tem 10 ml de aacutelcool Quanto ingeriu de aacutelcool uma
pessoa que bebeu 11 latas de cerveja
5) Um padeiro faz 40 patildees em uma hora Quantas horas ele gastaraacute para fazer 480 patildees
6) Haroldo comeu 5 esfirras em 4 minutos Quantos minutos ele precisaraacute para comer 15
esfirras
7) Uma maacutequina faz 40 litros de soro por minuto Quantos minutos ira gastar para fazer
800 litros de soro
ldquo
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8) Uma enfermeira verificou que dentro de um vidro de remeacutedio tem 180 ml sabendo que dessa
quantia ela vai aplicar 13 em seu paciente Quantos ml iratildeo restar no frasco
9) Em uma feira de ciecircncia escolar os alunos montaram uma maquete em que o edifiacutecio de 25
metros de altura eacute representado por uma caixa de foacutesforos de 5 centiacutemetros de altura Para obter a
altura do preacutedio quantas caixas de foacutesforos seriam necessaacuterio
Situaccedilatildeo de aprendizagem 12
ATIVIDADE PARA NOTA
ldquo
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1) Um determinado jogo de futebol teve dois tempos de exatos 45 minutos cada Durante 40
do 1ordm tempo a bola esteve em poder do time A e em 20 do 2ordm tempo em poder do time B
Em relaccedilatildeo ao jogo todo o tempo em que a bola permaneceu com o time A representa em
porcentagem
2) Em um depoacutesito haacute vaacuterias caixas todas de mesmo tamanho Se forem feitas pilhas
contendo em cada uma delas 6 ou 8 ou 10 caixas sempre sobraratildeo 0 caixas O nuacutemero
miacutenimo de caixas nesse depoacutesito eacute
(A) 123 (B) 120 (C) 117 (D) 105 (E) 99
3) A meacutedia das alturas de trecircs amigos eacute 160 m Se mais um amigo que mede 2 m entrar
nesse grupo qual seraacute a nova meacutedia das alturas
ldquo
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4) Um funcionaacuterio de uma loja percebeu que 8 caixas fechadas de canetas menos 40 canetas
contecircm a mesma quantidade que 7 caixas fechadas mais 10 canetas O nuacutemero de canetas de
uma caixa eacute quanto
5) Em uma casa a aacuterea de um quarto eacute 12 da aacuterea da sala ambos retangulares e de medidas
indicadas nas figuras Nessas condiccedilotildees pode-se afirmar que o periacutemetro do quarto em
relaccedilatildeo ao periacutemetro da sala eacute
(A) o mesmo (B) a metade (C) 18 m maior (D) 52 m menor (E) 52 m maior
ldquo
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6) Em um terreno com 200 m2 de aacuterea foram construiacutedos um barracatildeo e uma casa A casa
ocupa 35 da aacuterea total do terreno e o barracatildeo ocupa 25 da aacuterea restante Em relaccedilatildeo agrave aacuterea
total do terreno o barracatildeo e a casa ocupam juntos
(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)
70
7) Uma caixa drsquoaacutegua com capacidade para 1 000 litros que estava completamente vazia seraacute
cheia por uma mangueira que despeja 02 L de aacutegua por segundo O tempo necessaacuterio para
encher completamente essa caixa eacute
(A) 1 hora 23 minutos e 20 segundos
(B) 1 hora 23 minutos e 33 segundos
ldquo
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 13
Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
ldquo
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
ldquo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
ldquo
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
ldquo
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
ldquo
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
ldquo
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
ldquo
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
ldquo
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
ldquo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
ldquo
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
ldquo
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
ldquo
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
ldquo
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
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wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
ldquo
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Situaccedilotildees de Aprendizagem 17 Fraccedilotildees31
Situaccedilotildees de Aprendizagem 18 Equaccedilatildeo do 2ordm Grau ou Bhaskara34
Situaccedilotildees de Aprendizagem 19 Expressatildeo Algeacutebrica36
Curiosidades38
Referecircncias Bibliograacuteficas e Agradecimentos40
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TABUADA
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Situaccedilotildees de aprendizagem 1
Vamos praticar algumas operaccedilotildees matemaacuteticas
1) Encontre o resultado das operaccedilotildees
a) 452 + 267 + 12= e) 4 + 00003 + 101=
b) 6 + 057 = f) 0075 + 02 + 10=
c) 255 + 3 + 91 = g) 121 + 0009 + 04 =
d) 82 + 371 + 0002 = h) 275 + 0002 + 00001=
ldquo
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Situaccedilotildees de aprendizagem 2
Vamos praticar alguns exerciacutecios de subtraccedilatildeo
2) Encontre o resultado das operaccedilotildees
a) 65 ndash 26
b) 65 - 26 =
c) 9 - 082 =
d) 81 - 304 =
e) 555 - 015 =
f) 2287 ndash 15 =
ldquo
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g) 144 - 26 =
Situaccedilotildees de aprendizagem 3
Trabalhar as Operaccedilotildees Multiplicativas
Vamos relembrar um pouco das multiplicaccedilotildees
Iniciaremos multiplicando decimais naturais e outros
2113x10= 21130 (caso simplifique o 0)=2113
2113x100= 211300 ( caso elimine o 0) = 2113
2113x1000 = 2113000 (caso elimine 0) =2113
Para multiplicar dois nuacutemeros decimais multiplique os nuacutemeros da mesma forma que
multiplicamos os nuacutemeros naturais Coloque a viacutergula no resultado obtido o nuacutemero
de suas casas decimais eacute a soma dos nuacutemeros das casas decimais dos fatores
-1
5125 x 33= 169125 - Faccedila a multiplicaccedilatildeo normalmente e come as casas decimais para a
ldquo
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colocaccedilatildeo da viacutergula no resultado
5125 ndash 2 casas decimais
x33---1 casa decimal
=169125 (No caso andamos trecircs casa decimais onde localizo a viacutergula corretamente
Vamos praticar um pouco da multiplicaccedilatildeo
1) Vamos fazer alguns caacutelculos com nuacutemeros decimais
a) 0004 x 10 = b) 0004 x 100 =
c) 0004 x 1000 = d) 2205 x 10 =
e) 3405 x 100 = f)3105 x 1000 =
ldquo
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g) 874 x 10 = h) 223 x 10 =
Situaccedilotildees de aprendizagem 4
Resolva as operaccedilotildees com nuacutemeros decimais
1 Sabemos que um nuacutemero racional pode ser escrito na forma de decimal Os nuacutemeros
decimais satildeo bastante utilizados no caacutelculo de medicaccedilatildeo vamos relembraacute-los com muita
atenccedilatildeo Esta eacute uma maneira um pouco modificada utilizando a viacutergula e eacute usada ateacute os
nossos dias Conhecidas como nuacutemeros decimais vejamos alguns exemplos
Para que serve a viacutergula Para separar as unidades inteiras das partes que satildeo menores
que a unidade ou seja a parte fracionaacuteria
a) 710= b) 143100=
ldquo
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SAtildeO BENTO
c) 45= d) 178=
e) 54= f) 79=
g) 2613 h) 1610
Exerciacutecios para fazer em casa
1- Trabalhar com a divisatildeo ao maacuteximo
ldquo
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1) 210=
2) 873100= 3) 5100= 4) 3100= 5) 8100= 6) 6410=
7) 834100=
8) 4310= 9) 810= 10) 25= 11) 304= 12) 3624=
13) 1308480=
14) 400160= 15) 1748= 16) 04100= 17) 28= 18) 14365=
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 5
Regra de Sinais
Indique o resultado das operaccedilotildees trabalhando com regra de sinais
a) (+12) + (-8) =
b) (-1) + (+9) =
c) - (-7) - (+2) =
d) (+10) - (-55) =
e) (-3) + (+3) =
f) ndash (+5) ndash ( - 7) =
Situaccedilotildees de aprendizagem 6
Interpretaccedilatildeo Matemaacutetica ldquoTestesrdquo
1) Em um trem viajavam na primeira classe 376 passageiros e na segunda classe 598
ldquo
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Quantos passageiros viajavam no trem
2) Um tonel continha 378 litros de oacuteleo Desse total foram vendidos 142 litros de oacuteleo
pelo vendedor Joatildeo e 53 pelo vendedor Joseacute Quantos litros de oacuteleo ainda haacute no tonel
3) Um termocircmetro marcava 4ordmC (graus) pela manhatilde poreacutem agrave tarde a temperatura
aumentou para 6degC Houve portanto houve uma variaccedilatildeo de temperatura de quanto
4) Rogeacuterio queria comprar um carro usado no valor de R$ 1270000 ao chegar agrave agecircncia
gostou de um carro zero quilocircmetro que custava R$ 1956000 Quantos reais o novo
carro custa a mais que o carro usado
5) Uma camisa de R$ 7400 estaacute sendo vendida com 12 de desconto Quanto passaraacute a
custar estaacute camisa
6) O serviccedilo de energia eleacutetrica cobra uma multa de 15 se a conta eacute paga com atraso
ldquo
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Qual deveraacute ser o preccedilo pago no dia 13 por uma conta de luz de R$ 4800 que venceu
no dia 10
7) Em uma turma de 10 meninos e 15 meninas A fraccedilatildeo que pode representar relaccedilatildeo
entre o nuacutemero de meninos e o total de estudantes dessa turma eacute
8) Em uma obra sobraram 9K de cimentos quatro operaacuterios iram dividir entre si
igualmente o cimento restante A quantidade de cimento que cada um levaraacute eacute
9) Um bicho preguiccedila estaacute subindo em um poste que tem de altura 10 metros durante o
dia ele sobe dois metros mas durante a noite ele para para dormir e escorrega um
metro Quanto tempo ele vai demorar a escalar esse poste ateacute o topo
10) Emprestei para Sr Miguel R$ 2220000 a uma taxa de 24 ano durante 4 anos Quanto
vou receber de juro por esta quantia emprestada a Sr Miguel
ldquo
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11) O salaacuterio de um funcionaacuterio teve um acreacutescimo de 120 sabendo-se que o novo
salaacuterio deste funcionaacuterio seraacute de R$ 135300 Qual era o salaacuterio anterior dele
12) O salaacuterio de Joatildeo teve um acreacutescimo de 17 sabendo-se que o salaacuterio era de R$
60000 o novo salaacuterio passou a ser de quanto
Situaccedilatildeo de aprendizagem 7
Conjuntos Numeacutericos Regularidades Numeacutericas e Geomeacutetricas
Para lembrar
Conjuntos dos nuacutemeros naturais N=012345
Conjuntos dos nuacutemeros inteiros Z=-4-3-2-101234
O que eacute conjunto E o que eacute elemento Conjunto satildeo todas as letras maiuacutesculas que indica
a informaccedilatildeo que usa ateacute mesmo como uma demonstraccedilatildeo o iniacutecio de uma frase ou de um
conjunto tanto numeacuterico que haacute sempre uma separaccedilatildeo ou uma escrita matemaacutetica utilizando
ldquo
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a demonstraccedilotildees
Os conjuntos satildeo representados por letras maiuacutesculas ABCD
Os nuacutemeros dos conjuntos satildeo indicados geralmente por letras minuacutesculas abcd
Sendo V o conjunto das vogais representamos V=aeiou
Sendo I o conjunto de nuacutemeros iacutempares menores que 20 I=[135720
Dados os conjuntos seguintes descritos em linguagem cotidiana encontre em cada caso
seus elementos e traduza a descriccedilatildeo dada agrave linguagem matemaacutetica
Responda os exerciacutecios
a) O conjunto A eacute formado por nuacutemeros naturais maiores do que 4 e menores ou iguais a
11
b) O conjunto B eacute formado por nuacutemeros naturais menores ou iguais a 6
c) O conjunto C eacute formado por nuacutemeros inteiro maiores ou iguais a -3 e menores do que 5
d) D o conjunto dos nuacutemeros naturais que satildeo divisiacuteveis por 4
ldquo
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e) E eacute o conjunto de nuacutemeros naturais maiores do que 7
f) F eacute o conjunto de nuacutemeros inteiros que elevado ao quadrado resultam em um nuacutemero
menor do que 10
g) G eacute o conjunto de nuacutemeros naturais que quando dobrado e somado a 1 resultam em um
nuacutemero maior do que 7
h) Quais satildeo os nuacutemeros naturais compreendidos entre 20 e 31
i) Nuacutemeros naturais pares compreendido de 15 e 24
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 8
Transformaccedilotildees de tempo ou de espaccedilo
Encontra em KM ou em metros por segundos
1KM =1000M E 1 H = 60 60 = 3600s
Resoluccedilotildees de algumas transformaccedilotildees
54 KM H= 54X10001x3600 utilizar sempre a simplificaccedilatildeo ao maacuteximo entatildeo
54036=15ms
Tente resolver as transformaccedilotildees trabalhando com a divisatildeo multiplicaccedilatildeo e com a
simplificaccedilatildeo
a) 36 kmh =
b) 18 kmh =
ldquo
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C) 720 kmh =
d) 90 kmh =
e) 1800 kmh =
f) 45 kmh =
ldquo
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g) 702 kmh
Situaccedilatildeo de aprendizagem 9
Meacutetodo de Arredondamento
Em algumas situaccedilotildees no caacutelculo de medicaccedilatildeo precisamos agraves vezes arredondar os nuacutemeros
decimais neste caso existe uma regra bem faacutecil
Se o algarismo que vai ser eliminado for maior ou igual a 5 o primeiro algarismo substitui o
primeiro algarismo que estaacute a sua esquerda pelo seu sucessor
ndash O nuacutemero que vai ser eliminado (7) eacute ((igual ou maior ) neste caso eacute
maior que 5 portanto o 3 eacute substituiacutedo por 4
Vamos praticar o arredondamento
1) Arredondando ateacute as casa dos deacutecimos
a) 583= f) 477=
b) 675= g) 165=
c) 388= h) 708=
d) 293= i) 303=
ldquo
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2) Arredondamento ateacute as casas das unidades
a) 273= b)155= c)402
d) 407= e) 203= f) 353=
g) 253= h) 259= i) 268
3) Arredonde ateacute as casas dos centeacutesimos
a) 142292= b) 28855= c) 27823=
d) 42195= e) 364567= f) 13406=
g) 28704= h) 28522= i) 24333=
Situaccedilatildeo de aprendizagem 10
Proporccedilotildees
Introduccedilatildeo
Propriedade fundamental das proporccedilotildees
Axd = bxc eacute muito importante ter esta propriedade em mente pois com ela saberemos se
certos nuacutemeros satildeo proporcionais ou natildeo
Exemplo
ldquo
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Rogeriatildeo e Claudinho passeiam com seus cachorros Rogeriatildeo pesa 120kg e seu catildeo 40kg
Claudinho por sua vez pesa 48kg e seu catildeo 16kg
Observe a razatildeo entre o peso dos dois rapazes
Observe agora a razatildeo entre o peso dos cachorros
Verificamos que as duas razotildees satildeo iguais Nesse caso podemos afirmar que a igualdade
eacute uma proporccedilatildeo Proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre duas razotildees
12 e 16 satildeo proporcionais a 9 e 12
Utilizando a propriedade fundamental temos
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1216 = 912 utilizar o formato em cruz = 12x12 =16x9
Entatildeo teremos= 144 =144
Vamos praticar
1) Utilize a propriedade em formato de cruz
a) 48 e 1224 =
b) 3018 e 6036 =
c) 824 e 2030=
d) 1824 e 912=
ldquo
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e) 54 e 108 =
f) 23 e 69 =
g) 46 e 818 =
h) 24X e 42120 =
ldquo
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i) 2100 e 16X =
Situaccedilatildeo de aprendizagem 11
Regra de Trecircs
Vamos trabalhar um pouco com regra de trecircs
1) Se 150g de um medicamento custava R$ 300 00 quanto irei pagar por 700 g desse
medicamento
2) Se em 10 h uma maacutequina produz 240 peccedilas quantas peccedilas ela produziraacute em 8 h
ldquo
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3) Com 100 kg de trigo eacute possiacutevel fazer 85 kg de farinha Quantos Kg de trigo seratildeo
necessaacuterios para fabricar 425 kg de farinha
4) Uma lata de cerveja de 350 ml tem 10 ml de aacutelcool Quanto ingeriu de aacutelcool uma
pessoa que bebeu 11 latas de cerveja
5) Um padeiro faz 40 patildees em uma hora Quantas horas ele gastaraacute para fazer 480 patildees
6) Haroldo comeu 5 esfirras em 4 minutos Quantos minutos ele precisaraacute para comer 15
esfirras
7) Uma maacutequina faz 40 litros de soro por minuto Quantos minutos ira gastar para fazer
800 litros de soro
ldquo
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8) Uma enfermeira verificou que dentro de um vidro de remeacutedio tem 180 ml sabendo que dessa
quantia ela vai aplicar 13 em seu paciente Quantos ml iratildeo restar no frasco
9) Em uma feira de ciecircncia escolar os alunos montaram uma maquete em que o edifiacutecio de 25
metros de altura eacute representado por uma caixa de foacutesforos de 5 centiacutemetros de altura Para obter a
altura do preacutedio quantas caixas de foacutesforos seriam necessaacuterio
Situaccedilatildeo de aprendizagem 12
ATIVIDADE PARA NOTA
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1) Um determinado jogo de futebol teve dois tempos de exatos 45 minutos cada Durante 40
do 1ordm tempo a bola esteve em poder do time A e em 20 do 2ordm tempo em poder do time B
Em relaccedilatildeo ao jogo todo o tempo em que a bola permaneceu com o time A representa em
porcentagem
2) Em um depoacutesito haacute vaacuterias caixas todas de mesmo tamanho Se forem feitas pilhas
contendo em cada uma delas 6 ou 8 ou 10 caixas sempre sobraratildeo 0 caixas O nuacutemero
miacutenimo de caixas nesse depoacutesito eacute
(A) 123 (B) 120 (C) 117 (D) 105 (E) 99
3) A meacutedia das alturas de trecircs amigos eacute 160 m Se mais um amigo que mede 2 m entrar
nesse grupo qual seraacute a nova meacutedia das alturas
ldquo
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4) Um funcionaacuterio de uma loja percebeu que 8 caixas fechadas de canetas menos 40 canetas
contecircm a mesma quantidade que 7 caixas fechadas mais 10 canetas O nuacutemero de canetas de
uma caixa eacute quanto
5) Em uma casa a aacuterea de um quarto eacute 12 da aacuterea da sala ambos retangulares e de medidas
indicadas nas figuras Nessas condiccedilotildees pode-se afirmar que o periacutemetro do quarto em
relaccedilatildeo ao periacutemetro da sala eacute
(A) o mesmo (B) a metade (C) 18 m maior (D) 52 m menor (E) 52 m maior
ldquo
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6) Em um terreno com 200 m2 de aacuterea foram construiacutedos um barracatildeo e uma casa A casa
ocupa 35 da aacuterea total do terreno e o barracatildeo ocupa 25 da aacuterea restante Em relaccedilatildeo agrave aacuterea
total do terreno o barracatildeo e a casa ocupam juntos
(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)
70
7) Uma caixa drsquoaacutegua com capacidade para 1 000 litros que estava completamente vazia seraacute
cheia por uma mangueira que despeja 02 L de aacutegua por segundo O tempo necessaacuterio para
encher completamente essa caixa eacute
(A) 1 hora 23 minutos e 20 segundos
(B) 1 hora 23 minutos e 33 segundos
ldquo
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 13
Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
ldquo
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
ldquo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
ldquo
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
ldquo
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
ldquo
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COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
ldquo
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
ldquo
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
ldquo
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
ldquo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
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wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
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TABUADA
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Situaccedilotildees de aprendizagem 1
Vamos praticar algumas operaccedilotildees matemaacuteticas
1) Encontre o resultado das operaccedilotildees
a) 452 + 267 + 12= e) 4 + 00003 + 101=
b) 6 + 057 = f) 0075 + 02 + 10=
c) 255 + 3 + 91 = g) 121 + 0009 + 04 =
d) 82 + 371 + 0002 = h) 275 + 0002 + 00001=
ldquo
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Situaccedilotildees de aprendizagem 2
Vamos praticar alguns exerciacutecios de subtraccedilatildeo
2) Encontre o resultado das operaccedilotildees
a) 65 ndash 26
b) 65 - 26 =
c) 9 - 082 =
d) 81 - 304 =
e) 555 - 015 =
f) 2287 ndash 15 =
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g) 144 - 26 =
Situaccedilotildees de aprendizagem 3
Trabalhar as Operaccedilotildees Multiplicativas
Vamos relembrar um pouco das multiplicaccedilotildees
Iniciaremos multiplicando decimais naturais e outros
2113x10= 21130 (caso simplifique o 0)=2113
2113x100= 211300 ( caso elimine o 0) = 2113
2113x1000 = 2113000 (caso elimine 0) =2113
Para multiplicar dois nuacutemeros decimais multiplique os nuacutemeros da mesma forma que
multiplicamos os nuacutemeros naturais Coloque a viacutergula no resultado obtido o nuacutemero
de suas casas decimais eacute a soma dos nuacutemeros das casas decimais dos fatores
-1
5125 x 33= 169125 - Faccedila a multiplicaccedilatildeo normalmente e come as casas decimais para a
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colocaccedilatildeo da viacutergula no resultado
5125 ndash 2 casas decimais
x33---1 casa decimal
=169125 (No caso andamos trecircs casa decimais onde localizo a viacutergula corretamente
Vamos praticar um pouco da multiplicaccedilatildeo
1) Vamos fazer alguns caacutelculos com nuacutemeros decimais
a) 0004 x 10 = b) 0004 x 100 =
c) 0004 x 1000 = d) 2205 x 10 =
e) 3405 x 100 = f)3105 x 1000 =
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g) 874 x 10 = h) 223 x 10 =
Situaccedilotildees de aprendizagem 4
Resolva as operaccedilotildees com nuacutemeros decimais
1 Sabemos que um nuacutemero racional pode ser escrito na forma de decimal Os nuacutemeros
decimais satildeo bastante utilizados no caacutelculo de medicaccedilatildeo vamos relembraacute-los com muita
atenccedilatildeo Esta eacute uma maneira um pouco modificada utilizando a viacutergula e eacute usada ateacute os
nossos dias Conhecidas como nuacutemeros decimais vejamos alguns exemplos
Para que serve a viacutergula Para separar as unidades inteiras das partes que satildeo menores
que a unidade ou seja a parte fracionaacuteria
a) 710= b) 143100=
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c) 45= d) 178=
e) 54= f) 79=
g) 2613 h) 1610
Exerciacutecios para fazer em casa
1- Trabalhar com a divisatildeo ao maacuteximo
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1) 210=
2) 873100= 3) 5100= 4) 3100= 5) 8100= 6) 6410=
7) 834100=
8) 4310= 9) 810= 10) 25= 11) 304= 12) 3624=
13) 1308480=
14) 400160= 15) 1748= 16) 04100= 17) 28= 18) 14365=
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 5
Regra de Sinais
Indique o resultado das operaccedilotildees trabalhando com regra de sinais
a) (+12) + (-8) =
b) (-1) + (+9) =
c) - (-7) - (+2) =
d) (+10) - (-55) =
e) (-3) + (+3) =
f) ndash (+5) ndash ( - 7) =
Situaccedilotildees de aprendizagem 6
Interpretaccedilatildeo Matemaacutetica ldquoTestesrdquo
1) Em um trem viajavam na primeira classe 376 passageiros e na segunda classe 598
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Quantos passageiros viajavam no trem
2) Um tonel continha 378 litros de oacuteleo Desse total foram vendidos 142 litros de oacuteleo
pelo vendedor Joatildeo e 53 pelo vendedor Joseacute Quantos litros de oacuteleo ainda haacute no tonel
3) Um termocircmetro marcava 4ordmC (graus) pela manhatilde poreacutem agrave tarde a temperatura
aumentou para 6degC Houve portanto houve uma variaccedilatildeo de temperatura de quanto
4) Rogeacuterio queria comprar um carro usado no valor de R$ 1270000 ao chegar agrave agecircncia
gostou de um carro zero quilocircmetro que custava R$ 1956000 Quantos reais o novo
carro custa a mais que o carro usado
5) Uma camisa de R$ 7400 estaacute sendo vendida com 12 de desconto Quanto passaraacute a
custar estaacute camisa
6) O serviccedilo de energia eleacutetrica cobra uma multa de 15 se a conta eacute paga com atraso
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Qual deveraacute ser o preccedilo pago no dia 13 por uma conta de luz de R$ 4800 que venceu
no dia 10
7) Em uma turma de 10 meninos e 15 meninas A fraccedilatildeo que pode representar relaccedilatildeo
entre o nuacutemero de meninos e o total de estudantes dessa turma eacute
8) Em uma obra sobraram 9K de cimentos quatro operaacuterios iram dividir entre si
igualmente o cimento restante A quantidade de cimento que cada um levaraacute eacute
9) Um bicho preguiccedila estaacute subindo em um poste que tem de altura 10 metros durante o
dia ele sobe dois metros mas durante a noite ele para para dormir e escorrega um
metro Quanto tempo ele vai demorar a escalar esse poste ateacute o topo
10) Emprestei para Sr Miguel R$ 2220000 a uma taxa de 24 ano durante 4 anos Quanto
vou receber de juro por esta quantia emprestada a Sr Miguel
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11) O salaacuterio de um funcionaacuterio teve um acreacutescimo de 120 sabendo-se que o novo
salaacuterio deste funcionaacuterio seraacute de R$ 135300 Qual era o salaacuterio anterior dele
12) O salaacuterio de Joatildeo teve um acreacutescimo de 17 sabendo-se que o salaacuterio era de R$
60000 o novo salaacuterio passou a ser de quanto
Situaccedilatildeo de aprendizagem 7
Conjuntos Numeacutericos Regularidades Numeacutericas e Geomeacutetricas
Para lembrar
Conjuntos dos nuacutemeros naturais N=012345
Conjuntos dos nuacutemeros inteiros Z=-4-3-2-101234
O que eacute conjunto E o que eacute elemento Conjunto satildeo todas as letras maiuacutesculas que indica
a informaccedilatildeo que usa ateacute mesmo como uma demonstraccedilatildeo o iniacutecio de uma frase ou de um
conjunto tanto numeacuterico que haacute sempre uma separaccedilatildeo ou uma escrita matemaacutetica utilizando
ldquo
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SAtildeO BENTO
a demonstraccedilotildees
Os conjuntos satildeo representados por letras maiuacutesculas ABCD
Os nuacutemeros dos conjuntos satildeo indicados geralmente por letras minuacutesculas abcd
Sendo V o conjunto das vogais representamos V=aeiou
Sendo I o conjunto de nuacutemeros iacutempares menores que 20 I=[135720
Dados os conjuntos seguintes descritos em linguagem cotidiana encontre em cada caso
seus elementos e traduza a descriccedilatildeo dada agrave linguagem matemaacutetica
Responda os exerciacutecios
a) O conjunto A eacute formado por nuacutemeros naturais maiores do que 4 e menores ou iguais a
11
b) O conjunto B eacute formado por nuacutemeros naturais menores ou iguais a 6
c) O conjunto C eacute formado por nuacutemeros inteiro maiores ou iguais a -3 e menores do que 5
d) D o conjunto dos nuacutemeros naturais que satildeo divisiacuteveis por 4
ldquo
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e) E eacute o conjunto de nuacutemeros naturais maiores do que 7
f) F eacute o conjunto de nuacutemeros inteiros que elevado ao quadrado resultam em um nuacutemero
menor do que 10
g) G eacute o conjunto de nuacutemeros naturais que quando dobrado e somado a 1 resultam em um
nuacutemero maior do que 7
h) Quais satildeo os nuacutemeros naturais compreendidos entre 20 e 31
i) Nuacutemeros naturais pares compreendido de 15 e 24
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 8
Transformaccedilotildees de tempo ou de espaccedilo
Encontra em KM ou em metros por segundos
1KM =1000M E 1 H = 60 60 = 3600s
Resoluccedilotildees de algumas transformaccedilotildees
54 KM H= 54X10001x3600 utilizar sempre a simplificaccedilatildeo ao maacuteximo entatildeo
54036=15ms
Tente resolver as transformaccedilotildees trabalhando com a divisatildeo multiplicaccedilatildeo e com a
simplificaccedilatildeo
a) 36 kmh =
b) 18 kmh =
ldquo
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C) 720 kmh =
d) 90 kmh =
e) 1800 kmh =
f) 45 kmh =
ldquo
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g) 702 kmh
Situaccedilatildeo de aprendizagem 9
Meacutetodo de Arredondamento
Em algumas situaccedilotildees no caacutelculo de medicaccedilatildeo precisamos agraves vezes arredondar os nuacutemeros
decimais neste caso existe uma regra bem faacutecil
Se o algarismo que vai ser eliminado for maior ou igual a 5 o primeiro algarismo substitui o
primeiro algarismo que estaacute a sua esquerda pelo seu sucessor
ndash O nuacutemero que vai ser eliminado (7) eacute ((igual ou maior ) neste caso eacute
maior que 5 portanto o 3 eacute substituiacutedo por 4
Vamos praticar o arredondamento
1) Arredondando ateacute as casa dos deacutecimos
a) 583= f) 477=
b) 675= g) 165=
c) 388= h) 708=
d) 293= i) 303=
ldquo
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2) Arredondamento ateacute as casas das unidades
a) 273= b)155= c)402
d) 407= e) 203= f) 353=
g) 253= h) 259= i) 268
3) Arredonde ateacute as casas dos centeacutesimos
a) 142292= b) 28855= c) 27823=
d) 42195= e) 364567= f) 13406=
g) 28704= h) 28522= i) 24333=
Situaccedilatildeo de aprendizagem 10
Proporccedilotildees
Introduccedilatildeo
Propriedade fundamental das proporccedilotildees
Axd = bxc eacute muito importante ter esta propriedade em mente pois com ela saberemos se
certos nuacutemeros satildeo proporcionais ou natildeo
Exemplo
ldquo
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Rogeriatildeo e Claudinho passeiam com seus cachorros Rogeriatildeo pesa 120kg e seu catildeo 40kg
Claudinho por sua vez pesa 48kg e seu catildeo 16kg
Observe a razatildeo entre o peso dos dois rapazes
Observe agora a razatildeo entre o peso dos cachorros
Verificamos que as duas razotildees satildeo iguais Nesse caso podemos afirmar que a igualdade
eacute uma proporccedilatildeo Proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre duas razotildees
12 e 16 satildeo proporcionais a 9 e 12
Utilizando a propriedade fundamental temos
ldquo
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1216 = 912 utilizar o formato em cruz = 12x12 =16x9
Entatildeo teremos= 144 =144
Vamos praticar
1) Utilize a propriedade em formato de cruz
a) 48 e 1224 =
b) 3018 e 6036 =
c) 824 e 2030=
d) 1824 e 912=
ldquo
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e) 54 e 108 =
f) 23 e 69 =
g) 46 e 818 =
h) 24X e 42120 =
ldquo
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i) 2100 e 16X =
Situaccedilatildeo de aprendizagem 11
Regra de Trecircs
Vamos trabalhar um pouco com regra de trecircs
1) Se 150g de um medicamento custava R$ 300 00 quanto irei pagar por 700 g desse
medicamento
2) Se em 10 h uma maacutequina produz 240 peccedilas quantas peccedilas ela produziraacute em 8 h
ldquo
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3) Com 100 kg de trigo eacute possiacutevel fazer 85 kg de farinha Quantos Kg de trigo seratildeo
necessaacuterios para fabricar 425 kg de farinha
4) Uma lata de cerveja de 350 ml tem 10 ml de aacutelcool Quanto ingeriu de aacutelcool uma
pessoa que bebeu 11 latas de cerveja
5) Um padeiro faz 40 patildees em uma hora Quantas horas ele gastaraacute para fazer 480 patildees
6) Haroldo comeu 5 esfirras em 4 minutos Quantos minutos ele precisaraacute para comer 15
esfirras
7) Uma maacutequina faz 40 litros de soro por minuto Quantos minutos ira gastar para fazer
800 litros de soro
ldquo
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8) Uma enfermeira verificou que dentro de um vidro de remeacutedio tem 180 ml sabendo que dessa
quantia ela vai aplicar 13 em seu paciente Quantos ml iratildeo restar no frasco
9) Em uma feira de ciecircncia escolar os alunos montaram uma maquete em que o edifiacutecio de 25
metros de altura eacute representado por uma caixa de foacutesforos de 5 centiacutemetros de altura Para obter a
altura do preacutedio quantas caixas de foacutesforos seriam necessaacuterio
Situaccedilatildeo de aprendizagem 12
ATIVIDADE PARA NOTA
ldquo
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1) Um determinado jogo de futebol teve dois tempos de exatos 45 minutos cada Durante 40
do 1ordm tempo a bola esteve em poder do time A e em 20 do 2ordm tempo em poder do time B
Em relaccedilatildeo ao jogo todo o tempo em que a bola permaneceu com o time A representa em
porcentagem
2) Em um depoacutesito haacute vaacuterias caixas todas de mesmo tamanho Se forem feitas pilhas
contendo em cada uma delas 6 ou 8 ou 10 caixas sempre sobraratildeo 0 caixas O nuacutemero
miacutenimo de caixas nesse depoacutesito eacute
(A) 123 (B) 120 (C) 117 (D) 105 (E) 99
3) A meacutedia das alturas de trecircs amigos eacute 160 m Se mais um amigo que mede 2 m entrar
nesse grupo qual seraacute a nova meacutedia das alturas
ldquo
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4) Um funcionaacuterio de uma loja percebeu que 8 caixas fechadas de canetas menos 40 canetas
contecircm a mesma quantidade que 7 caixas fechadas mais 10 canetas O nuacutemero de canetas de
uma caixa eacute quanto
5) Em uma casa a aacuterea de um quarto eacute 12 da aacuterea da sala ambos retangulares e de medidas
indicadas nas figuras Nessas condiccedilotildees pode-se afirmar que o periacutemetro do quarto em
relaccedilatildeo ao periacutemetro da sala eacute
(A) o mesmo (B) a metade (C) 18 m maior (D) 52 m menor (E) 52 m maior
ldquo
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6) Em um terreno com 200 m2 de aacuterea foram construiacutedos um barracatildeo e uma casa A casa
ocupa 35 da aacuterea total do terreno e o barracatildeo ocupa 25 da aacuterea restante Em relaccedilatildeo agrave aacuterea
total do terreno o barracatildeo e a casa ocupam juntos
(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)
70
7) Uma caixa drsquoaacutegua com capacidade para 1 000 litros que estava completamente vazia seraacute
cheia por uma mangueira que despeja 02 L de aacutegua por segundo O tempo necessaacuterio para
encher completamente essa caixa eacute
(A) 1 hora 23 minutos e 20 segundos
(B) 1 hora 23 minutos e 33 segundos
ldquo
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 13
Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
ldquo
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
ldquo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
ldquo
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
ldquo
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
ldquo
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
ldquo
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
ldquo
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
ldquo
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
ldquo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
ldquo
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
ldquo
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COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
ldquo
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
ldquo
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
ldquo
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
ldquo
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wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
ldquo
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Situaccedilotildees de aprendizagem 1
Vamos praticar algumas operaccedilotildees matemaacuteticas
1) Encontre o resultado das operaccedilotildees
a) 452 + 267 + 12= e) 4 + 00003 + 101=
b) 6 + 057 = f) 0075 + 02 + 10=
c) 255 + 3 + 91 = g) 121 + 0009 + 04 =
d) 82 + 371 + 0002 = h) 275 + 0002 + 00001=
ldquo
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Situaccedilotildees de aprendizagem 2
Vamos praticar alguns exerciacutecios de subtraccedilatildeo
2) Encontre o resultado das operaccedilotildees
a) 65 ndash 26
b) 65 - 26 =
c) 9 - 082 =
d) 81 - 304 =
e) 555 - 015 =
f) 2287 ndash 15 =
ldquo
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g) 144 - 26 =
Situaccedilotildees de aprendizagem 3
Trabalhar as Operaccedilotildees Multiplicativas
Vamos relembrar um pouco das multiplicaccedilotildees
Iniciaremos multiplicando decimais naturais e outros
2113x10= 21130 (caso simplifique o 0)=2113
2113x100= 211300 ( caso elimine o 0) = 2113
2113x1000 = 2113000 (caso elimine 0) =2113
Para multiplicar dois nuacutemeros decimais multiplique os nuacutemeros da mesma forma que
multiplicamos os nuacutemeros naturais Coloque a viacutergula no resultado obtido o nuacutemero
de suas casas decimais eacute a soma dos nuacutemeros das casas decimais dos fatores
-1
5125 x 33= 169125 - Faccedila a multiplicaccedilatildeo normalmente e come as casas decimais para a
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colocaccedilatildeo da viacutergula no resultado
5125 ndash 2 casas decimais
x33---1 casa decimal
=169125 (No caso andamos trecircs casa decimais onde localizo a viacutergula corretamente
Vamos praticar um pouco da multiplicaccedilatildeo
1) Vamos fazer alguns caacutelculos com nuacutemeros decimais
a) 0004 x 10 = b) 0004 x 100 =
c) 0004 x 1000 = d) 2205 x 10 =
e) 3405 x 100 = f)3105 x 1000 =
ldquo
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g) 874 x 10 = h) 223 x 10 =
Situaccedilotildees de aprendizagem 4
Resolva as operaccedilotildees com nuacutemeros decimais
1 Sabemos que um nuacutemero racional pode ser escrito na forma de decimal Os nuacutemeros
decimais satildeo bastante utilizados no caacutelculo de medicaccedilatildeo vamos relembraacute-los com muita
atenccedilatildeo Esta eacute uma maneira um pouco modificada utilizando a viacutergula e eacute usada ateacute os
nossos dias Conhecidas como nuacutemeros decimais vejamos alguns exemplos
Para que serve a viacutergula Para separar as unidades inteiras das partes que satildeo menores
que a unidade ou seja a parte fracionaacuteria
a) 710= b) 143100=
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c) 45= d) 178=
e) 54= f) 79=
g) 2613 h) 1610
Exerciacutecios para fazer em casa
1- Trabalhar com a divisatildeo ao maacuteximo
ldquo
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1) 210=
2) 873100= 3) 5100= 4) 3100= 5) 8100= 6) 6410=
7) 834100=
8) 4310= 9) 810= 10) 25= 11) 304= 12) 3624=
13) 1308480=
14) 400160= 15) 1748= 16) 04100= 17) 28= 18) 14365=
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 5
Regra de Sinais
Indique o resultado das operaccedilotildees trabalhando com regra de sinais
a) (+12) + (-8) =
b) (-1) + (+9) =
c) - (-7) - (+2) =
d) (+10) - (-55) =
e) (-3) + (+3) =
f) ndash (+5) ndash ( - 7) =
Situaccedilotildees de aprendizagem 6
Interpretaccedilatildeo Matemaacutetica ldquoTestesrdquo
1) Em um trem viajavam na primeira classe 376 passageiros e na segunda classe 598
ldquo
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Quantos passageiros viajavam no trem
2) Um tonel continha 378 litros de oacuteleo Desse total foram vendidos 142 litros de oacuteleo
pelo vendedor Joatildeo e 53 pelo vendedor Joseacute Quantos litros de oacuteleo ainda haacute no tonel
3) Um termocircmetro marcava 4ordmC (graus) pela manhatilde poreacutem agrave tarde a temperatura
aumentou para 6degC Houve portanto houve uma variaccedilatildeo de temperatura de quanto
4) Rogeacuterio queria comprar um carro usado no valor de R$ 1270000 ao chegar agrave agecircncia
gostou de um carro zero quilocircmetro que custava R$ 1956000 Quantos reais o novo
carro custa a mais que o carro usado
5) Uma camisa de R$ 7400 estaacute sendo vendida com 12 de desconto Quanto passaraacute a
custar estaacute camisa
6) O serviccedilo de energia eleacutetrica cobra uma multa de 15 se a conta eacute paga com atraso
ldquo
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Qual deveraacute ser o preccedilo pago no dia 13 por uma conta de luz de R$ 4800 que venceu
no dia 10
7) Em uma turma de 10 meninos e 15 meninas A fraccedilatildeo que pode representar relaccedilatildeo
entre o nuacutemero de meninos e o total de estudantes dessa turma eacute
8) Em uma obra sobraram 9K de cimentos quatro operaacuterios iram dividir entre si
igualmente o cimento restante A quantidade de cimento que cada um levaraacute eacute
9) Um bicho preguiccedila estaacute subindo em um poste que tem de altura 10 metros durante o
dia ele sobe dois metros mas durante a noite ele para para dormir e escorrega um
metro Quanto tempo ele vai demorar a escalar esse poste ateacute o topo
10) Emprestei para Sr Miguel R$ 2220000 a uma taxa de 24 ano durante 4 anos Quanto
vou receber de juro por esta quantia emprestada a Sr Miguel
ldquo
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11) O salaacuterio de um funcionaacuterio teve um acreacutescimo de 120 sabendo-se que o novo
salaacuterio deste funcionaacuterio seraacute de R$ 135300 Qual era o salaacuterio anterior dele
12) O salaacuterio de Joatildeo teve um acreacutescimo de 17 sabendo-se que o salaacuterio era de R$
60000 o novo salaacuterio passou a ser de quanto
Situaccedilatildeo de aprendizagem 7
Conjuntos Numeacutericos Regularidades Numeacutericas e Geomeacutetricas
Para lembrar
Conjuntos dos nuacutemeros naturais N=012345
Conjuntos dos nuacutemeros inteiros Z=-4-3-2-101234
O que eacute conjunto E o que eacute elemento Conjunto satildeo todas as letras maiuacutesculas que indica
a informaccedilatildeo que usa ateacute mesmo como uma demonstraccedilatildeo o iniacutecio de uma frase ou de um
conjunto tanto numeacuterico que haacute sempre uma separaccedilatildeo ou uma escrita matemaacutetica utilizando
ldquo
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a demonstraccedilotildees
Os conjuntos satildeo representados por letras maiuacutesculas ABCD
Os nuacutemeros dos conjuntos satildeo indicados geralmente por letras minuacutesculas abcd
Sendo V o conjunto das vogais representamos V=aeiou
Sendo I o conjunto de nuacutemeros iacutempares menores que 20 I=[135720
Dados os conjuntos seguintes descritos em linguagem cotidiana encontre em cada caso
seus elementos e traduza a descriccedilatildeo dada agrave linguagem matemaacutetica
Responda os exerciacutecios
a) O conjunto A eacute formado por nuacutemeros naturais maiores do que 4 e menores ou iguais a
11
b) O conjunto B eacute formado por nuacutemeros naturais menores ou iguais a 6
c) O conjunto C eacute formado por nuacutemeros inteiro maiores ou iguais a -3 e menores do que 5
d) D o conjunto dos nuacutemeros naturais que satildeo divisiacuteveis por 4
ldquo
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e) E eacute o conjunto de nuacutemeros naturais maiores do que 7
f) F eacute o conjunto de nuacutemeros inteiros que elevado ao quadrado resultam em um nuacutemero
menor do que 10
g) G eacute o conjunto de nuacutemeros naturais que quando dobrado e somado a 1 resultam em um
nuacutemero maior do que 7
h) Quais satildeo os nuacutemeros naturais compreendidos entre 20 e 31
i) Nuacutemeros naturais pares compreendido de 15 e 24
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 8
Transformaccedilotildees de tempo ou de espaccedilo
Encontra em KM ou em metros por segundos
1KM =1000M E 1 H = 60 60 = 3600s
Resoluccedilotildees de algumas transformaccedilotildees
54 KM H= 54X10001x3600 utilizar sempre a simplificaccedilatildeo ao maacuteximo entatildeo
54036=15ms
Tente resolver as transformaccedilotildees trabalhando com a divisatildeo multiplicaccedilatildeo e com a
simplificaccedilatildeo
a) 36 kmh =
b) 18 kmh =
ldquo
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C) 720 kmh =
d) 90 kmh =
e) 1800 kmh =
f) 45 kmh =
ldquo
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g) 702 kmh
Situaccedilatildeo de aprendizagem 9
Meacutetodo de Arredondamento
Em algumas situaccedilotildees no caacutelculo de medicaccedilatildeo precisamos agraves vezes arredondar os nuacutemeros
decimais neste caso existe uma regra bem faacutecil
Se o algarismo que vai ser eliminado for maior ou igual a 5 o primeiro algarismo substitui o
primeiro algarismo que estaacute a sua esquerda pelo seu sucessor
ndash O nuacutemero que vai ser eliminado (7) eacute ((igual ou maior ) neste caso eacute
maior que 5 portanto o 3 eacute substituiacutedo por 4
Vamos praticar o arredondamento
1) Arredondando ateacute as casa dos deacutecimos
a) 583= f) 477=
b) 675= g) 165=
c) 388= h) 708=
d) 293= i) 303=
ldquo
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2) Arredondamento ateacute as casas das unidades
a) 273= b)155= c)402
d) 407= e) 203= f) 353=
g) 253= h) 259= i) 268
3) Arredonde ateacute as casas dos centeacutesimos
a) 142292= b) 28855= c) 27823=
d) 42195= e) 364567= f) 13406=
g) 28704= h) 28522= i) 24333=
Situaccedilatildeo de aprendizagem 10
Proporccedilotildees
Introduccedilatildeo
Propriedade fundamental das proporccedilotildees
Axd = bxc eacute muito importante ter esta propriedade em mente pois com ela saberemos se
certos nuacutemeros satildeo proporcionais ou natildeo
Exemplo
ldquo
Tradiccedilatildeo em formar Profissionais com Qualidade
Avenida XV de Novembro 413-Centro - Ferraz de Vasconcelos ndashSP-CEP 08500-405
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COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
Rogeriatildeo e Claudinho passeiam com seus cachorros Rogeriatildeo pesa 120kg e seu catildeo 40kg
Claudinho por sua vez pesa 48kg e seu catildeo 16kg
Observe a razatildeo entre o peso dos dois rapazes
Observe agora a razatildeo entre o peso dos cachorros
Verificamos que as duas razotildees satildeo iguais Nesse caso podemos afirmar que a igualdade
eacute uma proporccedilatildeo Proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre duas razotildees
12 e 16 satildeo proporcionais a 9 e 12
Utilizando a propriedade fundamental temos
ldquo
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1216 = 912 utilizar o formato em cruz = 12x12 =16x9
Entatildeo teremos= 144 =144
Vamos praticar
1) Utilize a propriedade em formato de cruz
a) 48 e 1224 =
b) 3018 e 6036 =
c) 824 e 2030=
d) 1824 e 912=
ldquo
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e) 54 e 108 =
f) 23 e 69 =
g) 46 e 818 =
h) 24X e 42120 =
ldquo
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i) 2100 e 16X =
Situaccedilatildeo de aprendizagem 11
Regra de Trecircs
Vamos trabalhar um pouco com regra de trecircs
1) Se 150g de um medicamento custava R$ 300 00 quanto irei pagar por 700 g desse
medicamento
2) Se em 10 h uma maacutequina produz 240 peccedilas quantas peccedilas ela produziraacute em 8 h
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3) Com 100 kg de trigo eacute possiacutevel fazer 85 kg de farinha Quantos Kg de trigo seratildeo
necessaacuterios para fabricar 425 kg de farinha
4) Uma lata de cerveja de 350 ml tem 10 ml de aacutelcool Quanto ingeriu de aacutelcool uma
pessoa que bebeu 11 latas de cerveja
5) Um padeiro faz 40 patildees em uma hora Quantas horas ele gastaraacute para fazer 480 patildees
6) Haroldo comeu 5 esfirras em 4 minutos Quantos minutos ele precisaraacute para comer 15
esfirras
7) Uma maacutequina faz 40 litros de soro por minuto Quantos minutos ira gastar para fazer
800 litros de soro
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8) Uma enfermeira verificou que dentro de um vidro de remeacutedio tem 180 ml sabendo que dessa
quantia ela vai aplicar 13 em seu paciente Quantos ml iratildeo restar no frasco
9) Em uma feira de ciecircncia escolar os alunos montaram uma maquete em que o edifiacutecio de 25
metros de altura eacute representado por uma caixa de foacutesforos de 5 centiacutemetros de altura Para obter a
altura do preacutedio quantas caixas de foacutesforos seriam necessaacuterio
Situaccedilatildeo de aprendizagem 12
ATIVIDADE PARA NOTA
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1) Um determinado jogo de futebol teve dois tempos de exatos 45 minutos cada Durante 40
do 1ordm tempo a bola esteve em poder do time A e em 20 do 2ordm tempo em poder do time B
Em relaccedilatildeo ao jogo todo o tempo em que a bola permaneceu com o time A representa em
porcentagem
2) Em um depoacutesito haacute vaacuterias caixas todas de mesmo tamanho Se forem feitas pilhas
contendo em cada uma delas 6 ou 8 ou 10 caixas sempre sobraratildeo 0 caixas O nuacutemero
miacutenimo de caixas nesse depoacutesito eacute
(A) 123 (B) 120 (C) 117 (D) 105 (E) 99
3) A meacutedia das alturas de trecircs amigos eacute 160 m Se mais um amigo que mede 2 m entrar
nesse grupo qual seraacute a nova meacutedia das alturas
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4) Um funcionaacuterio de uma loja percebeu que 8 caixas fechadas de canetas menos 40 canetas
contecircm a mesma quantidade que 7 caixas fechadas mais 10 canetas O nuacutemero de canetas de
uma caixa eacute quanto
5) Em uma casa a aacuterea de um quarto eacute 12 da aacuterea da sala ambos retangulares e de medidas
indicadas nas figuras Nessas condiccedilotildees pode-se afirmar que o periacutemetro do quarto em
relaccedilatildeo ao periacutemetro da sala eacute
(A) o mesmo (B) a metade (C) 18 m maior (D) 52 m menor (E) 52 m maior
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6) Em um terreno com 200 m2 de aacuterea foram construiacutedos um barracatildeo e uma casa A casa
ocupa 35 da aacuterea total do terreno e o barracatildeo ocupa 25 da aacuterea restante Em relaccedilatildeo agrave aacuterea
total do terreno o barracatildeo e a casa ocupam juntos
(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)
70
7) Uma caixa drsquoaacutegua com capacidade para 1 000 litros que estava completamente vazia seraacute
cheia por uma mangueira que despeja 02 L de aacutegua por segundo O tempo necessaacuterio para
encher completamente essa caixa eacute
(A) 1 hora 23 minutos e 20 segundos
(B) 1 hora 23 minutos e 33 segundos
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 13
Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
ldquo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
ldquo
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
ldquo
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
ldquo
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
ldquo
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
ldquo
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
ldquo
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
ldquo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
ldquo
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
ldquo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
ldquo
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
ldquo
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
ldquo
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
ldquo
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
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Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
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Situaccedilotildees de aprendizagem 2
Vamos praticar alguns exerciacutecios de subtraccedilatildeo
2) Encontre o resultado das operaccedilotildees
a) 65 ndash 26
b) 65 - 26 =
c) 9 - 082 =
d) 81 - 304 =
e) 555 - 015 =
f) 2287 ndash 15 =
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g) 144 - 26 =
Situaccedilotildees de aprendizagem 3
Trabalhar as Operaccedilotildees Multiplicativas
Vamos relembrar um pouco das multiplicaccedilotildees
Iniciaremos multiplicando decimais naturais e outros
2113x10= 21130 (caso simplifique o 0)=2113
2113x100= 211300 ( caso elimine o 0) = 2113
2113x1000 = 2113000 (caso elimine 0) =2113
Para multiplicar dois nuacutemeros decimais multiplique os nuacutemeros da mesma forma que
multiplicamos os nuacutemeros naturais Coloque a viacutergula no resultado obtido o nuacutemero
de suas casas decimais eacute a soma dos nuacutemeros das casas decimais dos fatores
-1
5125 x 33= 169125 - Faccedila a multiplicaccedilatildeo normalmente e come as casas decimais para a
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colocaccedilatildeo da viacutergula no resultado
5125 ndash 2 casas decimais
x33---1 casa decimal
=169125 (No caso andamos trecircs casa decimais onde localizo a viacutergula corretamente
Vamos praticar um pouco da multiplicaccedilatildeo
1) Vamos fazer alguns caacutelculos com nuacutemeros decimais
a) 0004 x 10 = b) 0004 x 100 =
c) 0004 x 1000 = d) 2205 x 10 =
e) 3405 x 100 = f)3105 x 1000 =
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g) 874 x 10 = h) 223 x 10 =
Situaccedilotildees de aprendizagem 4
Resolva as operaccedilotildees com nuacutemeros decimais
1 Sabemos que um nuacutemero racional pode ser escrito na forma de decimal Os nuacutemeros
decimais satildeo bastante utilizados no caacutelculo de medicaccedilatildeo vamos relembraacute-los com muita
atenccedilatildeo Esta eacute uma maneira um pouco modificada utilizando a viacutergula e eacute usada ateacute os
nossos dias Conhecidas como nuacutemeros decimais vejamos alguns exemplos
Para que serve a viacutergula Para separar as unidades inteiras das partes que satildeo menores
que a unidade ou seja a parte fracionaacuteria
a) 710= b) 143100=
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c) 45= d) 178=
e) 54= f) 79=
g) 2613 h) 1610
Exerciacutecios para fazer em casa
1- Trabalhar com a divisatildeo ao maacuteximo
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1) 210=
2) 873100= 3) 5100= 4) 3100= 5) 8100= 6) 6410=
7) 834100=
8) 4310= 9) 810= 10) 25= 11) 304= 12) 3624=
13) 1308480=
14) 400160= 15) 1748= 16) 04100= 17) 28= 18) 14365=
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 5
Regra de Sinais
Indique o resultado das operaccedilotildees trabalhando com regra de sinais
a) (+12) + (-8) =
b) (-1) + (+9) =
c) - (-7) - (+2) =
d) (+10) - (-55) =
e) (-3) + (+3) =
f) ndash (+5) ndash ( - 7) =
Situaccedilotildees de aprendizagem 6
Interpretaccedilatildeo Matemaacutetica ldquoTestesrdquo
1) Em um trem viajavam na primeira classe 376 passageiros e na segunda classe 598
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Quantos passageiros viajavam no trem
2) Um tonel continha 378 litros de oacuteleo Desse total foram vendidos 142 litros de oacuteleo
pelo vendedor Joatildeo e 53 pelo vendedor Joseacute Quantos litros de oacuteleo ainda haacute no tonel
3) Um termocircmetro marcava 4ordmC (graus) pela manhatilde poreacutem agrave tarde a temperatura
aumentou para 6degC Houve portanto houve uma variaccedilatildeo de temperatura de quanto
4) Rogeacuterio queria comprar um carro usado no valor de R$ 1270000 ao chegar agrave agecircncia
gostou de um carro zero quilocircmetro que custava R$ 1956000 Quantos reais o novo
carro custa a mais que o carro usado
5) Uma camisa de R$ 7400 estaacute sendo vendida com 12 de desconto Quanto passaraacute a
custar estaacute camisa
6) O serviccedilo de energia eleacutetrica cobra uma multa de 15 se a conta eacute paga com atraso
ldquo
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Qual deveraacute ser o preccedilo pago no dia 13 por uma conta de luz de R$ 4800 que venceu
no dia 10
7) Em uma turma de 10 meninos e 15 meninas A fraccedilatildeo que pode representar relaccedilatildeo
entre o nuacutemero de meninos e o total de estudantes dessa turma eacute
8) Em uma obra sobraram 9K de cimentos quatro operaacuterios iram dividir entre si
igualmente o cimento restante A quantidade de cimento que cada um levaraacute eacute
9) Um bicho preguiccedila estaacute subindo em um poste que tem de altura 10 metros durante o
dia ele sobe dois metros mas durante a noite ele para para dormir e escorrega um
metro Quanto tempo ele vai demorar a escalar esse poste ateacute o topo
10) Emprestei para Sr Miguel R$ 2220000 a uma taxa de 24 ano durante 4 anos Quanto
vou receber de juro por esta quantia emprestada a Sr Miguel
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11) O salaacuterio de um funcionaacuterio teve um acreacutescimo de 120 sabendo-se que o novo
salaacuterio deste funcionaacuterio seraacute de R$ 135300 Qual era o salaacuterio anterior dele
12) O salaacuterio de Joatildeo teve um acreacutescimo de 17 sabendo-se que o salaacuterio era de R$
60000 o novo salaacuterio passou a ser de quanto
Situaccedilatildeo de aprendizagem 7
Conjuntos Numeacutericos Regularidades Numeacutericas e Geomeacutetricas
Para lembrar
Conjuntos dos nuacutemeros naturais N=012345
Conjuntos dos nuacutemeros inteiros Z=-4-3-2-101234
O que eacute conjunto E o que eacute elemento Conjunto satildeo todas as letras maiuacutesculas que indica
a informaccedilatildeo que usa ateacute mesmo como uma demonstraccedilatildeo o iniacutecio de uma frase ou de um
conjunto tanto numeacuterico que haacute sempre uma separaccedilatildeo ou uma escrita matemaacutetica utilizando
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a demonstraccedilotildees
Os conjuntos satildeo representados por letras maiuacutesculas ABCD
Os nuacutemeros dos conjuntos satildeo indicados geralmente por letras minuacutesculas abcd
Sendo V o conjunto das vogais representamos V=aeiou
Sendo I o conjunto de nuacutemeros iacutempares menores que 20 I=[135720
Dados os conjuntos seguintes descritos em linguagem cotidiana encontre em cada caso
seus elementos e traduza a descriccedilatildeo dada agrave linguagem matemaacutetica
Responda os exerciacutecios
a) O conjunto A eacute formado por nuacutemeros naturais maiores do que 4 e menores ou iguais a
11
b) O conjunto B eacute formado por nuacutemeros naturais menores ou iguais a 6
c) O conjunto C eacute formado por nuacutemeros inteiro maiores ou iguais a -3 e menores do que 5
d) D o conjunto dos nuacutemeros naturais que satildeo divisiacuteveis por 4
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e) E eacute o conjunto de nuacutemeros naturais maiores do que 7
f) F eacute o conjunto de nuacutemeros inteiros que elevado ao quadrado resultam em um nuacutemero
menor do que 10
g) G eacute o conjunto de nuacutemeros naturais que quando dobrado e somado a 1 resultam em um
nuacutemero maior do que 7
h) Quais satildeo os nuacutemeros naturais compreendidos entre 20 e 31
i) Nuacutemeros naturais pares compreendido de 15 e 24
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 8
Transformaccedilotildees de tempo ou de espaccedilo
Encontra em KM ou em metros por segundos
1KM =1000M E 1 H = 60 60 = 3600s
Resoluccedilotildees de algumas transformaccedilotildees
54 KM H= 54X10001x3600 utilizar sempre a simplificaccedilatildeo ao maacuteximo entatildeo
54036=15ms
Tente resolver as transformaccedilotildees trabalhando com a divisatildeo multiplicaccedilatildeo e com a
simplificaccedilatildeo
a) 36 kmh =
b) 18 kmh =
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C) 720 kmh =
d) 90 kmh =
e) 1800 kmh =
f) 45 kmh =
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g) 702 kmh
Situaccedilatildeo de aprendizagem 9
Meacutetodo de Arredondamento
Em algumas situaccedilotildees no caacutelculo de medicaccedilatildeo precisamos agraves vezes arredondar os nuacutemeros
decimais neste caso existe uma regra bem faacutecil
Se o algarismo que vai ser eliminado for maior ou igual a 5 o primeiro algarismo substitui o
primeiro algarismo que estaacute a sua esquerda pelo seu sucessor
ndash O nuacutemero que vai ser eliminado (7) eacute ((igual ou maior ) neste caso eacute
maior que 5 portanto o 3 eacute substituiacutedo por 4
Vamos praticar o arredondamento
1) Arredondando ateacute as casa dos deacutecimos
a) 583= f) 477=
b) 675= g) 165=
c) 388= h) 708=
d) 293= i) 303=
ldquo
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2) Arredondamento ateacute as casas das unidades
a) 273= b)155= c)402
d) 407= e) 203= f) 353=
g) 253= h) 259= i) 268
3) Arredonde ateacute as casas dos centeacutesimos
a) 142292= b) 28855= c) 27823=
d) 42195= e) 364567= f) 13406=
g) 28704= h) 28522= i) 24333=
Situaccedilatildeo de aprendizagem 10
Proporccedilotildees
Introduccedilatildeo
Propriedade fundamental das proporccedilotildees
Axd = bxc eacute muito importante ter esta propriedade em mente pois com ela saberemos se
certos nuacutemeros satildeo proporcionais ou natildeo
Exemplo
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Rogeriatildeo e Claudinho passeiam com seus cachorros Rogeriatildeo pesa 120kg e seu catildeo 40kg
Claudinho por sua vez pesa 48kg e seu catildeo 16kg
Observe a razatildeo entre o peso dos dois rapazes
Observe agora a razatildeo entre o peso dos cachorros
Verificamos que as duas razotildees satildeo iguais Nesse caso podemos afirmar que a igualdade
eacute uma proporccedilatildeo Proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre duas razotildees
12 e 16 satildeo proporcionais a 9 e 12
Utilizando a propriedade fundamental temos
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1216 = 912 utilizar o formato em cruz = 12x12 =16x9
Entatildeo teremos= 144 =144
Vamos praticar
1) Utilize a propriedade em formato de cruz
a) 48 e 1224 =
b) 3018 e 6036 =
c) 824 e 2030=
d) 1824 e 912=
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e) 54 e 108 =
f) 23 e 69 =
g) 46 e 818 =
h) 24X e 42120 =
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i) 2100 e 16X =
Situaccedilatildeo de aprendizagem 11
Regra de Trecircs
Vamos trabalhar um pouco com regra de trecircs
1) Se 150g de um medicamento custava R$ 300 00 quanto irei pagar por 700 g desse
medicamento
2) Se em 10 h uma maacutequina produz 240 peccedilas quantas peccedilas ela produziraacute em 8 h
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3) Com 100 kg de trigo eacute possiacutevel fazer 85 kg de farinha Quantos Kg de trigo seratildeo
necessaacuterios para fabricar 425 kg de farinha
4) Uma lata de cerveja de 350 ml tem 10 ml de aacutelcool Quanto ingeriu de aacutelcool uma
pessoa que bebeu 11 latas de cerveja
5) Um padeiro faz 40 patildees em uma hora Quantas horas ele gastaraacute para fazer 480 patildees
6) Haroldo comeu 5 esfirras em 4 minutos Quantos minutos ele precisaraacute para comer 15
esfirras
7) Uma maacutequina faz 40 litros de soro por minuto Quantos minutos ira gastar para fazer
800 litros de soro
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8) Uma enfermeira verificou que dentro de um vidro de remeacutedio tem 180 ml sabendo que dessa
quantia ela vai aplicar 13 em seu paciente Quantos ml iratildeo restar no frasco
9) Em uma feira de ciecircncia escolar os alunos montaram uma maquete em que o edifiacutecio de 25
metros de altura eacute representado por uma caixa de foacutesforos de 5 centiacutemetros de altura Para obter a
altura do preacutedio quantas caixas de foacutesforos seriam necessaacuterio
Situaccedilatildeo de aprendizagem 12
ATIVIDADE PARA NOTA
ldquo
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1) Um determinado jogo de futebol teve dois tempos de exatos 45 minutos cada Durante 40
do 1ordm tempo a bola esteve em poder do time A e em 20 do 2ordm tempo em poder do time B
Em relaccedilatildeo ao jogo todo o tempo em que a bola permaneceu com o time A representa em
porcentagem
2) Em um depoacutesito haacute vaacuterias caixas todas de mesmo tamanho Se forem feitas pilhas
contendo em cada uma delas 6 ou 8 ou 10 caixas sempre sobraratildeo 0 caixas O nuacutemero
miacutenimo de caixas nesse depoacutesito eacute
(A) 123 (B) 120 (C) 117 (D) 105 (E) 99
3) A meacutedia das alturas de trecircs amigos eacute 160 m Se mais um amigo que mede 2 m entrar
nesse grupo qual seraacute a nova meacutedia das alturas
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4) Um funcionaacuterio de uma loja percebeu que 8 caixas fechadas de canetas menos 40 canetas
contecircm a mesma quantidade que 7 caixas fechadas mais 10 canetas O nuacutemero de canetas de
uma caixa eacute quanto
5) Em uma casa a aacuterea de um quarto eacute 12 da aacuterea da sala ambos retangulares e de medidas
indicadas nas figuras Nessas condiccedilotildees pode-se afirmar que o periacutemetro do quarto em
relaccedilatildeo ao periacutemetro da sala eacute
(A) o mesmo (B) a metade (C) 18 m maior (D) 52 m menor (E) 52 m maior
ldquo
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6) Em um terreno com 200 m2 de aacuterea foram construiacutedos um barracatildeo e uma casa A casa
ocupa 35 da aacuterea total do terreno e o barracatildeo ocupa 25 da aacuterea restante Em relaccedilatildeo agrave aacuterea
total do terreno o barracatildeo e a casa ocupam juntos
(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)
70
7) Uma caixa drsquoaacutegua com capacidade para 1 000 litros que estava completamente vazia seraacute
cheia por uma mangueira que despeja 02 L de aacutegua por segundo O tempo necessaacuterio para
encher completamente essa caixa eacute
(A) 1 hora 23 minutos e 20 segundos
(B) 1 hora 23 minutos e 33 segundos
ldquo
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 13
Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
ldquo
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
ldquo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
ldquo
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
ldquo
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
ldquo
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
ldquo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
ldquo
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
ldquo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
ldquo
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
ldquo
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
ldquo
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
ldquo
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wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
ldquo
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g) 144 - 26 =
Situaccedilotildees de aprendizagem 3
Trabalhar as Operaccedilotildees Multiplicativas
Vamos relembrar um pouco das multiplicaccedilotildees
Iniciaremos multiplicando decimais naturais e outros
2113x10= 21130 (caso simplifique o 0)=2113
2113x100= 211300 ( caso elimine o 0) = 2113
2113x1000 = 2113000 (caso elimine 0) =2113
Para multiplicar dois nuacutemeros decimais multiplique os nuacutemeros da mesma forma que
multiplicamos os nuacutemeros naturais Coloque a viacutergula no resultado obtido o nuacutemero
de suas casas decimais eacute a soma dos nuacutemeros das casas decimais dos fatores
-1
5125 x 33= 169125 - Faccedila a multiplicaccedilatildeo normalmente e come as casas decimais para a
ldquo
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colocaccedilatildeo da viacutergula no resultado
5125 ndash 2 casas decimais
x33---1 casa decimal
=169125 (No caso andamos trecircs casa decimais onde localizo a viacutergula corretamente
Vamos praticar um pouco da multiplicaccedilatildeo
1) Vamos fazer alguns caacutelculos com nuacutemeros decimais
a) 0004 x 10 = b) 0004 x 100 =
c) 0004 x 1000 = d) 2205 x 10 =
e) 3405 x 100 = f)3105 x 1000 =
ldquo
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SAtildeO BENTO
g) 874 x 10 = h) 223 x 10 =
Situaccedilotildees de aprendizagem 4
Resolva as operaccedilotildees com nuacutemeros decimais
1 Sabemos que um nuacutemero racional pode ser escrito na forma de decimal Os nuacutemeros
decimais satildeo bastante utilizados no caacutelculo de medicaccedilatildeo vamos relembraacute-los com muita
atenccedilatildeo Esta eacute uma maneira um pouco modificada utilizando a viacutergula e eacute usada ateacute os
nossos dias Conhecidas como nuacutemeros decimais vejamos alguns exemplos
Para que serve a viacutergula Para separar as unidades inteiras das partes que satildeo menores
que a unidade ou seja a parte fracionaacuteria
a) 710= b) 143100=
ldquo
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c) 45= d) 178=
e) 54= f) 79=
g) 2613 h) 1610
Exerciacutecios para fazer em casa
1- Trabalhar com a divisatildeo ao maacuteximo
ldquo
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1) 210=
2) 873100= 3) 5100= 4) 3100= 5) 8100= 6) 6410=
7) 834100=
8) 4310= 9) 810= 10) 25= 11) 304= 12) 3624=
13) 1308480=
14) 400160= 15) 1748= 16) 04100= 17) 28= 18) 14365=
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 5
Regra de Sinais
Indique o resultado das operaccedilotildees trabalhando com regra de sinais
a) (+12) + (-8) =
b) (-1) + (+9) =
c) - (-7) - (+2) =
d) (+10) - (-55) =
e) (-3) + (+3) =
f) ndash (+5) ndash ( - 7) =
Situaccedilotildees de aprendizagem 6
Interpretaccedilatildeo Matemaacutetica ldquoTestesrdquo
1) Em um trem viajavam na primeira classe 376 passageiros e na segunda classe 598
ldquo
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Quantos passageiros viajavam no trem
2) Um tonel continha 378 litros de oacuteleo Desse total foram vendidos 142 litros de oacuteleo
pelo vendedor Joatildeo e 53 pelo vendedor Joseacute Quantos litros de oacuteleo ainda haacute no tonel
3) Um termocircmetro marcava 4ordmC (graus) pela manhatilde poreacutem agrave tarde a temperatura
aumentou para 6degC Houve portanto houve uma variaccedilatildeo de temperatura de quanto
4) Rogeacuterio queria comprar um carro usado no valor de R$ 1270000 ao chegar agrave agecircncia
gostou de um carro zero quilocircmetro que custava R$ 1956000 Quantos reais o novo
carro custa a mais que o carro usado
5) Uma camisa de R$ 7400 estaacute sendo vendida com 12 de desconto Quanto passaraacute a
custar estaacute camisa
6) O serviccedilo de energia eleacutetrica cobra uma multa de 15 se a conta eacute paga com atraso
ldquo
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Qual deveraacute ser o preccedilo pago no dia 13 por uma conta de luz de R$ 4800 que venceu
no dia 10
7) Em uma turma de 10 meninos e 15 meninas A fraccedilatildeo que pode representar relaccedilatildeo
entre o nuacutemero de meninos e o total de estudantes dessa turma eacute
8) Em uma obra sobraram 9K de cimentos quatro operaacuterios iram dividir entre si
igualmente o cimento restante A quantidade de cimento que cada um levaraacute eacute
9) Um bicho preguiccedila estaacute subindo em um poste que tem de altura 10 metros durante o
dia ele sobe dois metros mas durante a noite ele para para dormir e escorrega um
metro Quanto tempo ele vai demorar a escalar esse poste ateacute o topo
10) Emprestei para Sr Miguel R$ 2220000 a uma taxa de 24 ano durante 4 anos Quanto
vou receber de juro por esta quantia emprestada a Sr Miguel
ldquo
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11) O salaacuterio de um funcionaacuterio teve um acreacutescimo de 120 sabendo-se que o novo
salaacuterio deste funcionaacuterio seraacute de R$ 135300 Qual era o salaacuterio anterior dele
12) O salaacuterio de Joatildeo teve um acreacutescimo de 17 sabendo-se que o salaacuterio era de R$
60000 o novo salaacuterio passou a ser de quanto
Situaccedilatildeo de aprendizagem 7
Conjuntos Numeacutericos Regularidades Numeacutericas e Geomeacutetricas
Para lembrar
Conjuntos dos nuacutemeros naturais N=012345
Conjuntos dos nuacutemeros inteiros Z=-4-3-2-101234
O que eacute conjunto E o que eacute elemento Conjunto satildeo todas as letras maiuacutesculas que indica
a informaccedilatildeo que usa ateacute mesmo como uma demonstraccedilatildeo o iniacutecio de uma frase ou de um
conjunto tanto numeacuterico que haacute sempre uma separaccedilatildeo ou uma escrita matemaacutetica utilizando
ldquo
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a demonstraccedilotildees
Os conjuntos satildeo representados por letras maiuacutesculas ABCD
Os nuacutemeros dos conjuntos satildeo indicados geralmente por letras minuacutesculas abcd
Sendo V o conjunto das vogais representamos V=aeiou
Sendo I o conjunto de nuacutemeros iacutempares menores que 20 I=[135720
Dados os conjuntos seguintes descritos em linguagem cotidiana encontre em cada caso
seus elementos e traduza a descriccedilatildeo dada agrave linguagem matemaacutetica
Responda os exerciacutecios
a) O conjunto A eacute formado por nuacutemeros naturais maiores do que 4 e menores ou iguais a
11
b) O conjunto B eacute formado por nuacutemeros naturais menores ou iguais a 6
c) O conjunto C eacute formado por nuacutemeros inteiro maiores ou iguais a -3 e menores do que 5
d) D o conjunto dos nuacutemeros naturais que satildeo divisiacuteveis por 4
ldquo
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e) E eacute o conjunto de nuacutemeros naturais maiores do que 7
f) F eacute o conjunto de nuacutemeros inteiros que elevado ao quadrado resultam em um nuacutemero
menor do que 10
g) G eacute o conjunto de nuacutemeros naturais que quando dobrado e somado a 1 resultam em um
nuacutemero maior do que 7
h) Quais satildeo os nuacutemeros naturais compreendidos entre 20 e 31
i) Nuacutemeros naturais pares compreendido de 15 e 24
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 8
Transformaccedilotildees de tempo ou de espaccedilo
Encontra em KM ou em metros por segundos
1KM =1000M E 1 H = 60 60 = 3600s
Resoluccedilotildees de algumas transformaccedilotildees
54 KM H= 54X10001x3600 utilizar sempre a simplificaccedilatildeo ao maacuteximo entatildeo
54036=15ms
Tente resolver as transformaccedilotildees trabalhando com a divisatildeo multiplicaccedilatildeo e com a
simplificaccedilatildeo
a) 36 kmh =
b) 18 kmh =
ldquo
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C) 720 kmh =
d) 90 kmh =
e) 1800 kmh =
f) 45 kmh =
ldquo
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g) 702 kmh
Situaccedilatildeo de aprendizagem 9
Meacutetodo de Arredondamento
Em algumas situaccedilotildees no caacutelculo de medicaccedilatildeo precisamos agraves vezes arredondar os nuacutemeros
decimais neste caso existe uma regra bem faacutecil
Se o algarismo que vai ser eliminado for maior ou igual a 5 o primeiro algarismo substitui o
primeiro algarismo que estaacute a sua esquerda pelo seu sucessor
ndash O nuacutemero que vai ser eliminado (7) eacute ((igual ou maior ) neste caso eacute
maior que 5 portanto o 3 eacute substituiacutedo por 4
Vamos praticar o arredondamento
1) Arredondando ateacute as casa dos deacutecimos
a) 583= f) 477=
b) 675= g) 165=
c) 388= h) 708=
d) 293= i) 303=
ldquo
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2) Arredondamento ateacute as casas das unidades
a) 273= b)155= c)402
d) 407= e) 203= f) 353=
g) 253= h) 259= i) 268
3) Arredonde ateacute as casas dos centeacutesimos
a) 142292= b) 28855= c) 27823=
d) 42195= e) 364567= f) 13406=
g) 28704= h) 28522= i) 24333=
Situaccedilatildeo de aprendizagem 10
Proporccedilotildees
Introduccedilatildeo
Propriedade fundamental das proporccedilotildees
Axd = bxc eacute muito importante ter esta propriedade em mente pois com ela saberemos se
certos nuacutemeros satildeo proporcionais ou natildeo
Exemplo
ldquo
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Rogeriatildeo e Claudinho passeiam com seus cachorros Rogeriatildeo pesa 120kg e seu catildeo 40kg
Claudinho por sua vez pesa 48kg e seu catildeo 16kg
Observe a razatildeo entre o peso dos dois rapazes
Observe agora a razatildeo entre o peso dos cachorros
Verificamos que as duas razotildees satildeo iguais Nesse caso podemos afirmar que a igualdade
eacute uma proporccedilatildeo Proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre duas razotildees
12 e 16 satildeo proporcionais a 9 e 12
Utilizando a propriedade fundamental temos
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1216 = 912 utilizar o formato em cruz = 12x12 =16x9
Entatildeo teremos= 144 =144
Vamos praticar
1) Utilize a propriedade em formato de cruz
a) 48 e 1224 =
b) 3018 e 6036 =
c) 824 e 2030=
d) 1824 e 912=
ldquo
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e) 54 e 108 =
f) 23 e 69 =
g) 46 e 818 =
h) 24X e 42120 =
ldquo
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i) 2100 e 16X =
Situaccedilatildeo de aprendizagem 11
Regra de Trecircs
Vamos trabalhar um pouco com regra de trecircs
1) Se 150g de um medicamento custava R$ 300 00 quanto irei pagar por 700 g desse
medicamento
2) Se em 10 h uma maacutequina produz 240 peccedilas quantas peccedilas ela produziraacute em 8 h
ldquo
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3) Com 100 kg de trigo eacute possiacutevel fazer 85 kg de farinha Quantos Kg de trigo seratildeo
necessaacuterios para fabricar 425 kg de farinha
4) Uma lata de cerveja de 350 ml tem 10 ml de aacutelcool Quanto ingeriu de aacutelcool uma
pessoa que bebeu 11 latas de cerveja
5) Um padeiro faz 40 patildees em uma hora Quantas horas ele gastaraacute para fazer 480 patildees
6) Haroldo comeu 5 esfirras em 4 minutos Quantos minutos ele precisaraacute para comer 15
esfirras
7) Uma maacutequina faz 40 litros de soro por minuto Quantos minutos ira gastar para fazer
800 litros de soro
ldquo
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8) Uma enfermeira verificou que dentro de um vidro de remeacutedio tem 180 ml sabendo que dessa
quantia ela vai aplicar 13 em seu paciente Quantos ml iratildeo restar no frasco
9) Em uma feira de ciecircncia escolar os alunos montaram uma maquete em que o edifiacutecio de 25
metros de altura eacute representado por uma caixa de foacutesforos de 5 centiacutemetros de altura Para obter a
altura do preacutedio quantas caixas de foacutesforos seriam necessaacuterio
Situaccedilatildeo de aprendizagem 12
ATIVIDADE PARA NOTA
ldquo
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1) Um determinado jogo de futebol teve dois tempos de exatos 45 minutos cada Durante 40
do 1ordm tempo a bola esteve em poder do time A e em 20 do 2ordm tempo em poder do time B
Em relaccedilatildeo ao jogo todo o tempo em que a bola permaneceu com o time A representa em
porcentagem
2) Em um depoacutesito haacute vaacuterias caixas todas de mesmo tamanho Se forem feitas pilhas
contendo em cada uma delas 6 ou 8 ou 10 caixas sempre sobraratildeo 0 caixas O nuacutemero
miacutenimo de caixas nesse depoacutesito eacute
(A) 123 (B) 120 (C) 117 (D) 105 (E) 99
3) A meacutedia das alturas de trecircs amigos eacute 160 m Se mais um amigo que mede 2 m entrar
nesse grupo qual seraacute a nova meacutedia das alturas
ldquo
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4) Um funcionaacuterio de uma loja percebeu que 8 caixas fechadas de canetas menos 40 canetas
contecircm a mesma quantidade que 7 caixas fechadas mais 10 canetas O nuacutemero de canetas de
uma caixa eacute quanto
5) Em uma casa a aacuterea de um quarto eacute 12 da aacuterea da sala ambos retangulares e de medidas
indicadas nas figuras Nessas condiccedilotildees pode-se afirmar que o periacutemetro do quarto em
relaccedilatildeo ao periacutemetro da sala eacute
(A) o mesmo (B) a metade (C) 18 m maior (D) 52 m menor (E) 52 m maior
ldquo
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6) Em um terreno com 200 m2 de aacuterea foram construiacutedos um barracatildeo e uma casa A casa
ocupa 35 da aacuterea total do terreno e o barracatildeo ocupa 25 da aacuterea restante Em relaccedilatildeo agrave aacuterea
total do terreno o barracatildeo e a casa ocupam juntos
(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)
70
7) Uma caixa drsquoaacutegua com capacidade para 1 000 litros que estava completamente vazia seraacute
cheia por uma mangueira que despeja 02 L de aacutegua por segundo O tempo necessaacuterio para
encher completamente essa caixa eacute
(A) 1 hora 23 minutos e 20 segundos
(B) 1 hora 23 minutos e 33 segundos
ldquo
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 13
Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
ldquo
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
ldquo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
ldquo
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
ldquo
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
ldquo
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
ldquo
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
ldquo
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
ldquo
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
ldquo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
ldquo
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wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
ldquo
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colocaccedilatildeo da viacutergula no resultado
5125 ndash 2 casas decimais
x33---1 casa decimal
=169125 (No caso andamos trecircs casa decimais onde localizo a viacutergula corretamente
Vamos praticar um pouco da multiplicaccedilatildeo
1) Vamos fazer alguns caacutelculos com nuacutemeros decimais
a) 0004 x 10 = b) 0004 x 100 =
c) 0004 x 1000 = d) 2205 x 10 =
e) 3405 x 100 = f)3105 x 1000 =
ldquo
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g) 874 x 10 = h) 223 x 10 =
Situaccedilotildees de aprendizagem 4
Resolva as operaccedilotildees com nuacutemeros decimais
1 Sabemos que um nuacutemero racional pode ser escrito na forma de decimal Os nuacutemeros
decimais satildeo bastante utilizados no caacutelculo de medicaccedilatildeo vamos relembraacute-los com muita
atenccedilatildeo Esta eacute uma maneira um pouco modificada utilizando a viacutergula e eacute usada ateacute os
nossos dias Conhecidas como nuacutemeros decimais vejamos alguns exemplos
Para que serve a viacutergula Para separar as unidades inteiras das partes que satildeo menores
que a unidade ou seja a parte fracionaacuteria
a) 710= b) 143100=
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c) 45= d) 178=
e) 54= f) 79=
g) 2613 h) 1610
Exerciacutecios para fazer em casa
1- Trabalhar com a divisatildeo ao maacuteximo
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1) 210=
2) 873100= 3) 5100= 4) 3100= 5) 8100= 6) 6410=
7) 834100=
8) 4310= 9) 810= 10) 25= 11) 304= 12) 3624=
13) 1308480=
14) 400160= 15) 1748= 16) 04100= 17) 28= 18) 14365=
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 5
Regra de Sinais
Indique o resultado das operaccedilotildees trabalhando com regra de sinais
a) (+12) + (-8) =
b) (-1) + (+9) =
c) - (-7) - (+2) =
d) (+10) - (-55) =
e) (-3) + (+3) =
f) ndash (+5) ndash ( - 7) =
Situaccedilotildees de aprendizagem 6
Interpretaccedilatildeo Matemaacutetica ldquoTestesrdquo
1) Em um trem viajavam na primeira classe 376 passageiros e na segunda classe 598
ldquo
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Quantos passageiros viajavam no trem
2) Um tonel continha 378 litros de oacuteleo Desse total foram vendidos 142 litros de oacuteleo
pelo vendedor Joatildeo e 53 pelo vendedor Joseacute Quantos litros de oacuteleo ainda haacute no tonel
3) Um termocircmetro marcava 4ordmC (graus) pela manhatilde poreacutem agrave tarde a temperatura
aumentou para 6degC Houve portanto houve uma variaccedilatildeo de temperatura de quanto
4) Rogeacuterio queria comprar um carro usado no valor de R$ 1270000 ao chegar agrave agecircncia
gostou de um carro zero quilocircmetro que custava R$ 1956000 Quantos reais o novo
carro custa a mais que o carro usado
5) Uma camisa de R$ 7400 estaacute sendo vendida com 12 de desconto Quanto passaraacute a
custar estaacute camisa
6) O serviccedilo de energia eleacutetrica cobra uma multa de 15 se a conta eacute paga com atraso
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Qual deveraacute ser o preccedilo pago no dia 13 por uma conta de luz de R$ 4800 que venceu
no dia 10
7) Em uma turma de 10 meninos e 15 meninas A fraccedilatildeo que pode representar relaccedilatildeo
entre o nuacutemero de meninos e o total de estudantes dessa turma eacute
8) Em uma obra sobraram 9K de cimentos quatro operaacuterios iram dividir entre si
igualmente o cimento restante A quantidade de cimento que cada um levaraacute eacute
9) Um bicho preguiccedila estaacute subindo em um poste que tem de altura 10 metros durante o
dia ele sobe dois metros mas durante a noite ele para para dormir e escorrega um
metro Quanto tempo ele vai demorar a escalar esse poste ateacute o topo
10) Emprestei para Sr Miguel R$ 2220000 a uma taxa de 24 ano durante 4 anos Quanto
vou receber de juro por esta quantia emprestada a Sr Miguel
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11) O salaacuterio de um funcionaacuterio teve um acreacutescimo de 120 sabendo-se que o novo
salaacuterio deste funcionaacuterio seraacute de R$ 135300 Qual era o salaacuterio anterior dele
12) O salaacuterio de Joatildeo teve um acreacutescimo de 17 sabendo-se que o salaacuterio era de R$
60000 o novo salaacuterio passou a ser de quanto
Situaccedilatildeo de aprendizagem 7
Conjuntos Numeacutericos Regularidades Numeacutericas e Geomeacutetricas
Para lembrar
Conjuntos dos nuacutemeros naturais N=012345
Conjuntos dos nuacutemeros inteiros Z=-4-3-2-101234
O que eacute conjunto E o que eacute elemento Conjunto satildeo todas as letras maiuacutesculas que indica
a informaccedilatildeo que usa ateacute mesmo como uma demonstraccedilatildeo o iniacutecio de uma frase ou de um
conjunto tanto numeacuterico que haacute sempre uma separaccedilatildeo ou uma escrita matemaacutetica utilizando
ldquo
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a demonstraccedilotildees
Os conjuntos satildeo representados por letras maiuacutesculas ABCD
Os nuacutemeros dos conjuntos satildeo indicados geralmente por letras minuacutesculas abcd
Sendo V o conjunto das vogais representamos V=aeiou
Sendo I o conjunto de nuacutemeros iacutempares menores que 20 I=[135720
Dados os conjuntos seguintes descritos em linguagem cotidiana encontre em cada caso
seus elementos e traduza a descriccedilatildeo dada agrave linguagem matemaacutetica
Responda os exerciacutecios
a) O conjunto A eacute formado por nuacutemeros naturais maiores do que 4 e menores ou iguais a
11
b) O conjunto B eacute formado por nuacutemeros naturais menores ou iguais a 6
c) O conjunto C eacute formado por nuacutemeros inteiro maiores ou iguais a -3 e menores do que 5
d) D o conjunto dos nuacutemeros naturais que satildeo divisiacuteveis por 4
ldquo
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e) E eacute o conjunto de nuacutemeros naturais maiores do que 7
f) F eacute o conjunto de nuacutemeros inteiros que elevado ao quadrado resultam em um nuacutemero
menor do que 10
g) G eacute o conjunto de nuacutemeros naturais que quando dobrado e somado a 1 resultam em um
nuacutemero maior do que 7
h) Quais satildeo os nuacutemeros naturais compreendidos entre 20 e 31
i) Nuacutemeros naturais pares compreendido de 15 e 24
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 8
Transformaccedilotildees de tempo ou de espaccedilo
Encontra em KM ou em metros por segundos
1KM =1000M E 1 H = 60 60 = 3600s
Resoluccedilotildees de algumas transformaccedilotildees
54 KM H= 54X10001x3600 utilizar sempre a simplificaccedilatildeo ao maacuteximo entatildeo
54036=15ms
Tente resolver as transformaccedilotildees trabalhando com a divisatildeo multiplicaccedilatildeo e com a
simplificaccedilatildeo
a) 36 kmh =
b) 18 kmh =
ldquo
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C) 720 kmh =
d) 90 kmh =
e) 1800 kmh =
f) 45 kmh =
ldquo
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g) 702 kmh
Situaccedilatildeo de aprendizagem 9
Meacutetodo de Arredondamento
Em algumas situaccedilotildees no caacutelculo de medicaccedilatildeo precisamos agraves vezes arredondar os nuacutemeros
decimais neste caso existe uma regra bem faacutecil
Se o algarismo que vai ser eliminado for maior ou igual a 5 o primeiro algarismo substitui o
primeiro algarismo que estaacute a sua esquerda pelo seu sucessor
ndash O nuacutemero que vai ser eliminado (7) eacute ((igual ou maior ) neste caso eacute
maior que 5 portanto o 3 eacute substituiacutedo por 4
Vamos praticar o arredondamento
1) Arredondando ateacute as casa dos deacutecimos
a) 583= f) 477=
b) 675= g) 165=
c) 388= h) 708=
d) 293= i) 303=
ldquo
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2) Arredondamento ateacute as casas das unidades
a) 273= b)155= c)402
d) 407= e) 203= f) 353=
g) 253= h) 259= i) 268
3) Arredonde ateacute as casas dos centeacutesimos
a) 142292= b) 28855= c) 27823=
d) 42195= e) 364567= f) 13406=
g) 28704= h) 28522= i) 24333=
Situaccedilatildeo de aprendizagem 10
Proporccedilotildees
Introduccedilatildeo
Propriedade fundamental das proporccedilotildees
Axd = bxc eacute muito importante ter esta propriedade em mente pois com ela saberemos se
certos nuacutemeros satildeo proporcionais ou natildeo
Exemplo
ldquo
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Rogeriatildeo e Claudinho passeiam com seus cachorros Rogeriatildeo pesa 120kg e seu catildeo 40kg
Claudinho por sua vez pesa 48kg e seu catildeo 16kg
Observe a razatildeo entre o peso dos dois rapazes
Observe agora a razatildeo entre o peso dos cachorros
Verificamos que as duas razotildees satildeo iguais Nesse caso podemos afirmar que a igualdade
eacute uma proporccedilatildeo Proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre duas razotildees
12 e 16 satildeo proporcionais a 9 e 12
Utilizando a propriedade fundamental temos
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1216 = 912 utilizar o formato em cruz = 12x12 =16x9
Entatildeo teremos= 144 =144
Vamos praticar
1) Utilize a propriedade em formato de cruz
a) 48 e 1224 =
b) 3018 e 6036 =
c) 824 e 2030=
d) 1824 e 912=
ldquo
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e) 54 e 108 =
f) 23 e 69 =
g) 46 e 818 =
h) 24X e 42120 =
ldquo
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i) 2100 e 16X =
Situaccedilatildeo de aprendizagem 11
Regra de Trecircs
Vamos trabalhar um pouco com regra de trecircs
1) Se 150g de um medicamento custava R$ 300 00 quanto irei pagar por 700 g desse
medicamento
2) Se em 10 h uma maacutequina produz 240 peccedilas quantas peccedilas ela produziraacute em 8 h
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3) Com 100 kg de trigo eacute possiacutevel fazer 85 kg de farinha Quantos Kg de trigo seratildeo
necessaacuterios para fabricar 425 kg de farinha
4) Uma lata de cerveja de 350 ml tem 10 ml de aacutelcool Quanto ingeriu de aacutelcool uma
pessoa que bebeu 11 latas de cerveja
5) Um padeiro faz 40 patildees em uma hora Quantas horas ele gastaraacute para fazer 480 patildees
6) Haroldo comeu 5 esfirras em 4 minutos Quantos minutos ele precisaraacute para comer 15
esfirras
7) Uma maacutequina faz 40 litros de soro por minuto Quantos minutos ira gastar para fazer
800 litros de soro
ldquo
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8) Uma enfermeira verificou que dentro de um vidro de remeacutedio tem 180 ml sabendo que dessa
quantia ela vai aplicar 13 em seu paciente Quantos ml iratildeo restar no frasco
9) Em uma feira de ciecircncia escolar os alunos montaram uma maquete em que o edifiacutecio de 25
metros de altura eacute representado por uma caixa de foacutesforos de 5 centiacutemetros de altura Para obter a
altura do preacutedio quantas caixas de foacutesforos seriam necessaacuterio
Situaccedilatildeo de aprendizagem 12
ATIVIDADE PARA NOTA
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1) Um determinado jogo de futebol teve dois tempos de exatos 45 minutos cada Durante 40
do 1ordm tempo a bola esteve em poder do time A e em 20 do 2ordm tempo em poder do time B
Em relaccedilatildeo ao jogo todo o tempo em que a bola permaneceu com o time A representa em
porcentagem
2) Em um depoacutesito haacute vaacuterias caixas todas de mesmo tamanho Se forem feitas pilhas
contendo em cada uma delas 6 ou 8 ou 10 caixas sempre sobraratildeo 0 caixas O nuacutemero
miacutenimo de caixas nesse depoacutesito eacute
(A) 123 (B) 120 (C) 117 (D) 105 (E) 99
3) A meacutedia das alturas de trecircs amigos eacute 160 m Se mais um amigo que mede 2 m entrar
nesse grupo qual seraacute a nova meacutedia das alturas
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4) Um funcionaacuterio de uma loja percebeu que 8 caixas fechadas de canetas menos 40 canetas
contecircm a mesma quantidade que 7 caixas fechadas mais 10 canetas O nuacutemero de canetas de
uma caixa eacute quanto
5) Em uma casa a aacuterea de um quarto eacute 12 da aacuterea da sala ambos retangulares e de medidas
indicadas nas figuras Nessas condiccedilotildees pode-se afirmar que o periacutemetro do quarto em
relaccedilatildeo ao periacutemetro da sala eacute
(A) o mesmo (B) a metade (C) 18 m maior (D) 52 m menor (E) 52 m maior
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6) Em um terreno com 200 m2 de aacuterea foram construiacutedos um barracatildeo e uma casa A casa
ocupa 35 da aacuterea total do terreno e o barracatildeo ocupa 25 da aacuterea restante Em relaccedilatildeo agrave aacuterea
total do terreno o barracatildeo e a casa ocupam juntos
(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)
70
7) Uma caixa drsquoaacutegua com capacidade para 1 000 litros que estava completamente vazia seraacute
cheia por uma mangueira que despeja 02 L de aacutegua por segundo O tempo necessaacuterio para
encher completamente essa caixa eacute
(A) 1 hora 23 minutos e 20 segundos
(B) 1 hora 23 minutos e 33 segundos
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 13
Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
ldquo
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
ldquo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
ldquo
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
ldquo
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
ldquo
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
ldquo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
ldquo
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
ldquo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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SAtildeO BENTO
Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
ldquo
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
ldquo
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
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wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
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g) 874 x 10 = h) 223 x 10 =
Situaccedilotildees de aprendizagem 4
Resolva as operaccedilotildees com nuacutemeros decimais
1 Sabemos que um nuacutemero racional pode ser escrito na forma de decimal Os nuacutemeros
decimais satildeo bastante utilizados no caacutelculo de medicaccedilatildeo vamos relembraacute-los com muita
atenccedilatildeo Esta eacute uma maneira um pouco modificada utilizando a viacutergula e eacute usada ateacute os
nossos dias Conhecidas como nuacutemeros decimais vejamos alguns exemplos
Para que serve a viacutergula Para separar as unidades inteiras das partes que satildeo menores
que a unidade ou seja a parte fracionaacuteria
a) 710= b) 143100=
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c) 45= d) 178=
e) 54= f) 79=
g) 2613 h) 1610
Exerciacutecios para fazer em casa
1- Trabalhar com a divisatildeo ao maacuteximo
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1) 210=
2) 873100= 3) 5100= 4) 3100= 5) 8100= 6) 6410=
7) 834100=
8) 4310= 9) 810= 10) 25= 11) 304= 12) 3624=
13) 1308480=
14) 400160= 15) 1748= 16) 04100= 17) 28= 18) 14365=
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 5
Regra de Sinais
Indique o resultado das operaccedilotildees trabalhando com regra de sinais
a) (+12) + (-8) =
b) (-1) + (+9) =
c) - (-7) - (+2) =
d) (+10) - (-55) =
e) (-3) + (+3) =
f) ndash (+5) ndash ( - 7) =
Situaccedilotildees de aprendizagem 6
Interpretaccedilatildeo Matemaacutetica ldquoTestesrdquo
1) Em um trem viajavam na primeira classe 376 passageiros e na segunda classe 598
ldquo
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Quantos passageiros viajavam no trem
2) Um tonel continha 378 litros de oacuteleo Desse total foram vendidos 142 litros de oacuteleo
pelo vendedor Joatildeo e 53 pelo vendedor Joseacute Quantos litros de oacuteleo ainda haacute no tonel
3) Um termocircmetro marcava 4ordmC (graus) pela manhatilde poreacutem agrave tarde a temperatura
aumentou para 6degC Houve portanto houve uma variaccedilatildeo de temperatura de quanto
4) Rogeacuterio queria comprar um carro usado no valor de R$ 1270000 ao chegar agrave agecircncia
gostou de um carro zero quilocircmetro que custava R$ 1956000 Quantos reais o novo
carro custa a mais que o carro usado
5) Uma camisa de R$ 7400 estaacute sendo vendida com 12 de desconto Quanto passaraacute a
custar estaacute camisa
6) O serviccedilo de energia eleacutetrica cobra uma multa de 15 se a conta eacute paga com atraso
ldquo
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Qual deveraacute ser o preccedilo pago no dia 13 por uma conta de luz de R$ 4800 que venceu
no dia 10
7) Em uma turma de 10 meninos e 15 meninas A fraccedilatildeo que pode representar relaccedilatildeo
entre o nuacutemero de meninos e o total de estudantes dessa turma eacute
8) Em uma obra sobraram 9K de cimentos quatro operaacuterios iram dividir entre si
igualmente o cimento restante A quantidade de cimento que cada um levaraacute eacute
9) Um bicho preguiccedila estaacute subindo em um poste que tem de altura 10 metros durante o
dia ele sobe dois metros mas durante a noite ele para para dormir e escorrega um
metro Quanto tempo ele vai demorar a escalar esse poste ateacute o topo
10) Emprestei para Sr Miguel R$ 2220000 a uma taxa de 24 ano durante 4 anos Quanto
vou receber de juro por esta quantia emprestada a Sr Miguel
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11) O salaacuterio de um funcionaacuterio teve um acreacutescimo de 120 sabendo-se que o novo
salaacuterio deste funcionaacuterio seraacute de R$ 135300 Qual era o salaacuterio anterior dele
12) O salaacuterio de Joatildeo teve um acreacutescimo de 17 sabendo-se que o salaacuterio era de R$
60000 o novo salaacuterio passou a ser de quanto
Situaccedilatildeo de aprendizagem 7
Conjuntos Numeacutericos Regularidades Numeacutericas e Geomeacutetricas
Para lembrar
Conjuntos dos nuacutemeros naturais N=012345
Conjuntos dos nuacutemeros inteiros Z=-4-3-2-101234
O que eacute conjunto E o que eacute elemento Conjunto satildeo todas as letras maiuacutesculas que indica
a informaccedilatildeo que usa ateacute mesmo como uma demonstraccedilatildeo o iniacutecio de uma frase ou de um
conjunto tanto numeacuterico que haacute sempre uma separaccedilatildeo ou uma escrita matemaacutetica utilizando
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a demonstraccedilotildees
Os conjuntos satildeo representados por letras maiuacutesculas ABCD
Os nuacutemeros dos conjuntos satildeo indicados geralmente por letras minuacutesculas abcd
Sendo V o conjunto das vogais representamos V=aeiou
Sendo I o conjunto de nuacutemeros iacutempares menores que 20 I=[135720
Dados os conjuntos seguintes descritos em linguagem cotidiana encontre em cada caso
seus elementos e traduza a descriccedilatildeo dada agrave linguagem matemaacutetica
Responda os exerciacutecios
a) O conjunto A eacute formado por nuacutemeros naturais maiores do que 4 e menores ou iguais a
11
b) O conjunto B eacute formado por nuacutemeros naturais menores ou iguais a 6
c) O conjunto C eacute formado por nuacutemeros inteiro maiores ou iguais a -3 e menores do que 5
d) D o conjunto dos nuacutemeros naturais que satildeo divisiacuteveis por 4
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e) E eacute o conjunto de nuacutemeros naturais maiores do que 7
f) F eacute o conjunto de nuacutemeros inteiros que elevado ao quadrado resultam em um nuacutemero
menor do que 10
g) G eacute o conjunto de nuacutemeros naturais que quando dobrado e somado a 1 resultam em um
nuacutemero maior do que 7
h) Quais satildeo os nuacutemeros naturais compreendidos entre 20 e 31
i) Nuacutemeros naturais pares compreendido de 15 e 24
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 8
Transformaccedilotildees de tempo ou de espaccedilo
Encontra em KM ou em metros por segundos
1KM =1000M E 1 H = 60 60 = 3600s
Resoluccedilotildees de algumas transformaccedilotildees
54 KM H= 54X10001x3600 utilizar sempre a simplificaccedilatildeo ao maacuteximo entatildeo
54036=15ms
Tente resolver as transformaccedilotildees trabalhando com a divisatildeo multiplicaccedilatildeo e com a
simplificaccedilatildeo
a) 36 kmh =
b) 18 kmh =
ldquo
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C) 720 kmh =
d) 90 kmh =
e) 1800 kmh =
f) 45 kmh =
ldquo
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g) 702 kmh
Situaccedilatildeo de aprendizagem 9
Meacutetodo de Arredondamento
Em algumas situaccedilotildees no caacutelculo de medicaccedilatildeo precisamos agraves vezes arredondar os nuacutemeros
decimais neste caso existe uma regra bem faacutecil
Se o algarismo que vai ser eliminado for maior ou igual a 5 o primeiro algarismo substitui o
primeiro algarismo que estaacute a sua esquerda pelo seu sucessor
ndash O nuacutemero que vai ser eliminado (7) eacute ((igual ou maior ) neste caso eacute
maior que 5 portanto o 3 eacute substituiacutedo por 4
Vamos praticar o arredondamento
1) Arredondando ateacute as casa dos deacutecimos
a) 583= f) 477=
b) 675= g) 165=
c) 388= h) 708=
d) 293= i) 303=
ldquo
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2) Arredondamento ateacute as casas das unidades
a) 273= b)155= c)402
d) 407= e) 203= f) 353=
g) 253= h) 259= i) 268
3) Arredonde ateacute as casas dos centeacutesimos
a) 142292= b) 28855= c) 27823=
d) 42195= e) 364567= f) 13406=
g) 28704= h) 28522= i) 24333=
Situaccedilatildeo de aprendizagem 10
Proporccedilotildees
Introduccedilatildeo
Propriedade fundamental das proporccedilotildees
Axd = bxc eacute muito importante ter esta propriedade em mente pois com ela saberemos se
certos nuacutemeros satildeo proporcionais ou natildeo
Exemplo
ldquo
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Rogeriatildeo e Claudinho passeiam com seus cachorros Rogeriatildeo pesa 120kg e seu catildeo 40kg
Claudinho por sua vez pesa 48kg e seu catildeo 16kg
Observe a razatildeo entre o peso dos dois rapazes
Observe agora a razatildeo entre o peso dos cachorros
Verificamos que as duas razotildees satildeo iguais Nesse caso podemos afirmar que a igualdade
eacute uma proporccedilatildeo Proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre duas razotildees
12 e 16 satildeo proporcionais a 9 e 12
Utilizando a propriedade fundamental temos
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1216 = 912 utilizar o formato em cruz = 12x12 =16x9
Entatildeo teremos= 144 =144
Vamos praticar
1) Utilize a propriedade em formato de cruz
a) 48 e 1224 =
b) 3018 e 6036 =
c) 824 e 2030=
d) 1824 e 912=
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e) 54 e 108 =
f) 23 e 69 =
g) 46 e 818 =
h) 24X e 42120 =
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i) 2100 e 16X =
Situaccedilatildeo de aprendizagem 11
Regra de Trecircs
Vamos trabalhar um pouco com regra de trecircs
1) Se 150g de um medicamento custava R$ 300 00 quanto irei pagar por 700 g desse
medicamento
2) Se em 10 h uma maacutequina produz 240 peccedilas quantas peccedilas ela produziraacute em 8 h
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3) Com 100 kg de trigo eacute possiacutevel fazer 85 kg de farinha Quantos Kg de trigo seratildeo
necessaacuterios para fabricar 425 kg de farinha
4) Uma lata de cerveja de 350 ml tem 10 ml de aacutelcool Quanto ingeriu de aacutelcool uma
pessoa que bebeu 11 latas de cerveja
5) Um padeiro faz 40 patildees em uma hora Quantas horas ele gastaraacute para fazer 480 patildees
6) Haroldo comeu 5 esfirras em 4 minutos Quantos minutos ele precisaraacute para comer 15
esfirras
7) Uma maacutequina faz 40 litros de soro por minuto Quantos minutos ira gastar para fazer
800 litros de soro
ldquo
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8) Uma enfermeira verificou que dentro de um vidro de remeacutedio tem 180 ml sabendo que dessa
quantia ela vai aplicar 13 em seu paciente Quantos ml iratildeo restar no frasco
9) Em uma feira de ciecircncia escolar os alunos montaram uma maquete em que o edifiacutecio de 25
metros de altura eacute representado por uma caixa de foacutesforos de 5 centiacutemetros de altura Para obter a
altura do preacutedio quantas caixas de foacutesforos seriam necessaacuterio
Situaccedilatildeo de aprendizagem 12
ATIVIDADE PARA NOTA
ldquo
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1) Um determinado jogo de futebol teve dois tempos de exatos 45 minutos cada Durante 40
do 1ordm tempo a bola esteve em poder do time A e em 20 do 2ordm tempo em poder do time B
Em relaccedilatildeo ao jogo todo o tempo em que a bola permaneceu com o time A representa em
porcentagem
2) Em um depoacutesito haacute vaacuterias caixas todas de mesmo tamanho Se forem feitas pilhas
contendo em cada uma delas 6 ou 8 ou 10 caixas sempre sobraratildeo 0 caixas O nuacutemero
miacutenimo de caixas nesse depoacutesito eacute
(A) 123 (B) 120 (C) 117 (D) 105 (E) 99
3) A meacutedia das alturas de trecircs amigos eacute 160 m Se mais um amigo que mede 2 m entrar
nesse grupo qual seraacute a nova meacutedia das alturas
ldquo
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4) Um funcionaacuterio de uma loja percebeu que 8 caixas fechadas de canetas menos 40 canetas
contecircm a mesma quantidade que 7 caixas fechadas mais 10 canetas O nuacutemero de canetas de
uma caixa eacute quanto
5) Em uma casa a aacuterea de um quarto eacute 12 da aacuterea da sala ambos retangulares e de medidas
indicadas nas figuras Nessas condiccedilotildees pode-se afirmar que o periacutemetro do quarto em
relaccedilatildeo ao periacutemetro da sala eacute
(A) o mesmo (B) a metade (C) 18 m maior (D) 52 m menor (E) 52 m maior
ldquo
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6) Em um terreno com 200 m2 de aacuterea foram construiacutedos um barracatildeo e uma casa A casa
ocupa 35 da aacuterea total do terreno e o barracatildeo ocupa 25 da aacuterea restante Em relaccedilatildeo agrave aacuterea
total do terreno o barracatildeo e a casa ocupam juntos
(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)
70
7) Uma caixa drsquoaacutegua com capacidade para 1 000 litros que estava completamente vazia seraacute
cheia por uma mangueira que despeja 02 L de aacutegua por segundo O tempo necessaacuterio para
encher completamente essa caixa eacute
(A) 1 hora 23 minutos e 20 segundos
(B) 1 hora 23 minutos e 33 segundos
ldquo
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 13
Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
ldquo
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
ldquo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
ldquo
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
ldquo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
ldquo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
ldquo
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
ldquo
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
ldquo
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
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wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
ldquo
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c) 45= d) 178=
e) 54= f) 79=
g) 2613 h) 1610
Exerciacutecios para fazer em casa
1- Trabalhar com a divisatildeo ao maacuteximo
ldquo
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Tel (11) 4678-5508- colegiosaobentouolcombr
COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
1) 210=
2) 873100= 3) 5100= 4) 3100= 5) 8100= 6) 6410=
7) 834100=
8) 4310= 9) 810= 10) 25= 11) 304= 12) 3624=
13) 1308480=
14) 400160= 15) 1748= 16) 04100= 17) 28= 18) 14365=
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 5
Regra de Sinais
Indique o resultado das operaccedilotildees trabalhando com regra de sinais
a) (+12) + (-8) =
b) (-1) + (+9) =
c) - (-7) - (+2) =
d) (+10) - (-55) =
e) (-3) + (+3) =
f) ndash (+5) ndash ( - 7) =
Situaccedilotildees de aprendizagem 6
Interpretaccedilatildeo Matemaacutetica ldquoTestesrdquo
1) Em um trem viajavam na primeira classe 376 passageiros e na segunda classe 598
ldquo
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Quantos passageiros viajavam no trem
2) Um tonel continha 378 litros de oacuteleo Desse total foram vendidos 142 litros de oacuteleo
pelo vendedor Joatildeo e 53 pelo vendedor Joseacute Quantos litros de oacuteleo ainda haacute no tonel
3) Um termocircmetro marcava 4ordmC (graus) pela manhatilde poreacutem agrave tarde a temperatura
aumentou para 6degC Houve portanto houve uma variaccedilatildeo de temperatura de quanto
4) Rogeacuterio queria comprar um carro usado no valor de R$ 1270000 ao chegar agrave agecircncia
gostou de um carro zero quilocircmetro que custava R$ 1956000 Quantos reais o novo
carro custa a mais que o carro usado
5) Uma camisa de R$ 7400 estaacute sendo vendida com 12 de desconto Quanto passaraacute a
custar estaacute camisa
6) O serviccedilo de energia eleacutetrica cobra uma multa de 15 se a conta eacute paga com atraso
ldquo
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Qual deveraacute ser o preccedilo pago no dia 13 por uma conta de luz de R$ 4800 que venceu
no dia 10
7) Em uma turma de 10 meninos e 15 meninas A fraccedilatildeo que pode representar relaccedilatildeo
entre o nuacutemero de meninos e o total de estudantes dessa turma eacute
8) Em uma obra sobraram 9K de cimentos quatro operaacuterios iram dividir entre si
igualmente o cimento restante A quantidade de cimento que cada um levaraacute eacute
9) Um bicho preguiccedila estaacute subindo em um poste que tem de altura 10 metros durante o
dia ele sobe dois metros mas durante a noite ele para para dormir e escorrega um
metro Quanto tempo ele vai demorar a escalar esse poste ateacute o topo
10) Emprestei para Sr Miguel R$ 2220000 a uma taxa de 24 ano durante 4 anos Quanto
vou receber de juro por esta quantia emprestada a Sr Miguel
ldquo
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11) O salaacuterio de um funcionaacuterio teve um acreacutescimo de 120 sabendo-se que o novo
salaacuterio deste funcionaacuterio seraacute de R$ 135300 Qual era o salaacuterio anterior dele
12) O salaacuterio de Joatildeo teve um acreacutescimo de 17 sabendo-se que o salaacuterio era de R$
60000 o novo salaacuterio passou a ser de quanto
Situaccedilatildeo de aprendizagem 7
Conjuntos Numeacutericos Regularidades Numeacutericas e Geomeacutetricas
Para lembrar
Conjuntos dos nuacutemeros naturais N=012345
Conjuntos dos nuacutemeros inteiros Z=-4-3-2-101234
O que eacute conjunto E o que eacute elemento Conjunto satildeo todas as letras maiuacutesculas que indica
a informaccedilatildeo que usa ateacute mesmo como uma demonstraccedilatildeo o iniacutecio de uma frase ou de um
conjunto tanto numeacuterico que haacute sempre uma separaccedilatildeo ou uma escrita matemaacutetica utilizando
ldquo
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a demonstraccedilotildees
Os conjuntos satildeo representados por letras maiuacutesculas ABCD
Os nuacutemeros dos conjuntos satildeo indicados geralmente por letras minuacutesculas abcd
Sendo V o conjunto das vogais representamos V=aeiou
Sendo I o conjunto de nuacutemeros iacutempares menores que 20 I=[135720
Dados os conjuntos seguintes descritos em linguagem cotidiana encontre em cada caso
seus elementos e traduza a descriccedilatildeo dada agrave linguagem matemaacutetica
Responda os exerciacutecios
a) O conjunto A eacute formado por nuacutemeros naturais maiores do que 4 e menores ou iguais a
11
b) O conjunto B eacute formado por nuacutemeros naturais menores ou iguais a 6
c) O conjunto C eacute formado por nuacutemeros inteiro maiores ou iguais a -3 e menores do que 5
d) D o conjunto dos nuacutemeros naturais que satildeo divisiacuteveis por 4
ldquo
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e) E eacute o conjunto de nuacutemeros naturais maiores do que 7
f) F eacute o conjunto de nuacutemeros inteiros que elevado ao quadrado resultam em um nuacutemero
menor do que 10
g) G eacute o conjunto de nuacutemeros naturais que quando dobrado e somado a 1 resultam em um
nuacutemero maior do que 7
h) Quais satildeo os nuacutemeros naturais compreendidos entre 20 e 31
i) Nuacutemeros naturais pares compreendido de 15 e 24
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 8
Transformaccedilotildees de tempo ou de espaccedilo
Encontra em KM ou em metros por segundos
1KM =1000M E 1 H = 60 60 = 3600s
Resoluccedilotildees de algumas transformaccedilotildees
54 KM H= 54X10001x3600 utilizar sempre a simplificaccedilatildeo ao maacuteximo entatildeo
54036=15ms
Tente resolver as transformaccedilotildees trabalhando com a divisatildeo multiplicaccedilatildeo e com a
simplificaccedilatildeo
a) 36 kmh =
b) 18 kmh =
ldquo
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C) 720 kmh =
d) 90 kmh =
e) 1800 kmh =
f) 45 kmh =
ldquo
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g) 702 kmh
Situaccedilatildeo de aprendizagem 9
Meacutetodo de Arredondamento
Em algumas situaccedilotildees no caacutelculo de medicaccedilatildeo precisamos agraves vezes arredondar os nuacutemeros
decimais neste caso existe uma regra bem faacutecil
Se o algarismo que vai ser eliminado for maior ou igual a 5 o primeiro algarismo substitui o
primeiro algarismo que estaacute a sua esquerda pelo seu sucessor
ndash O nuacutemero que vai ser eliminado (7) eacute ((igual ou maior ) neste caso eacute
maior que 5 portanto o 3 eacute substituiacutedo por 4
Vamos praticar o arredondamento
1) Arredondando ateacute as casa dos deacutecimos
a) 583= f) 477=
b) 675= g) 165=
c) 388= h) 708=
d) 293= i) 303=
ldquo
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2) Arredondamento ateacute as casas das unidades
a) 273= b)155= c)402
d) 407= e) 203= f) 353=
g) 253= h) 259= i) 268
3) Arredonde ateacute as casas dos centeacutesimos
a) 142292= b) 28855= c) 27823=
d) 42195= e) 364567= f) 13406=
g) 28704= h) 28522= i) 24333=
Situaccedilatildeo de aprendizagem 10
Proporccedilotildees
Introduccedilatildeo
Propriedade fundamental das proporccedilotildees
Axd = bxc eacute muito importante ter esta propriedade em mente pois com ela saberemos se
certos nuacutemeros satildeo proporcionais ou natildeo
Exemplo
ldquo
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Rogeriatildeo e Claudinho passeiam com seus cachorros Rogeriatildeo pesa 120kg e seu catildeo 40kg
Claudinho por sua vez pesa 48kg e seu catildeo 16kg
Observe a razatildeo entre o peso dos dois rapazes
Observe agora a razatildeo entre o peso dos cachorros
Verificamos que as duas razotildees satildeo iguais Nesse caso podemos afirmar que a igualdade
eacute uma proporccedilatildeo Proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre duas razotildees
12 e 16 satildeo proporcionais a 9 e 12
Utilizando a propriedade fundamental temos
ldquo
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1216 = 912 utilizar o formato em cruz = 12x12 =16x9
Entatildeo teremos= 144 =144
Vamos praticar
1) Utilize a propriedade em formato de cruz
a) 48 e 1224 =
b) 3018 e 6036 =
c) 824 e 2030=
d) 1824 e 912=
ldquo
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e) 54 e 108 =
f) 23 e 69 =
g) 46 e 818 =
h) 24X e 42120 =
ldquo
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i) 2100 e 16X =
Situaccedilatildeo de aprendizagem 11
Regra de Trecircs
Vamos trabalhar um pouco com regra de trecircs
1) Se 150g de um medicamento custava R$ 300 00 quanto irei pagar por 700 g desse
medicamento
2) Se em 10 h uma maacutequina produz 240 peccedilas quantas peccedilas ela produziraacute em 8 h
ldquo
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3) Com 100 kg de trigo eacute possiacutevel fazer 85 kg de farinha Quantos Kg de trigo seratildeo
necessaacuterios para fabricar 425 kg de farinha
4) Uma lata de cerveja de 350 ml tem 10 ml de aacutelcool Quanto ingeriu de aacutelcool uma
pessoa que bebeu 11 latas de cerveja
5) Um padeiro faz 40 patildees em uma hora Quantas horas ele gastaraacute para fazer 480 patildees
6) Haroldo comeu 5 esfirras em 4 minutos Quantos minutos ele precisaraacute para comer 15
esfirras
7) Uma maacutequina faz 40 litros de soro por minuto Quantos minutos ira gastar para fazer
800 litros de soro
ldquo
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8) Uma enfermeira verificou que dentro de um vidro de remeacutedio tem 180 ml sabendo que dessa
quantia ela vai aplicar 13 em seu paciente Quantos ml iratildeo restar no frasco
9) Em uma feira de ciecircncia escolar os alunos montaram uma maquete em que o edifiacutecio de 25
metros de altura eacute representado por uma caixa de foacutesforos de 5 centiacutemetros de altura Para obter a
altura do preacutedio quantas caixas de foacutesforos seriam necessaacuterio
Situaccedilatildeo de aprendizagem 12
ATIVIDADE PARA NOTA
ldquo
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1) Um determinado jogo de futebol teve dois tempos de exatos 45 minutos cada Durante 40
do 1ordm tempo a bola esteve em poder do time A e em 20 do 2ordm tempo em poder do time B
Em relaccedilatildeo ao jogo todo o tempo em que a bola permaneceu com o time A representa em
porcentagem
2) Em um depoacutesito haacute vaacuterias caixas todas de mesmo tamanho Se forem feitas pilhas
contendo em cada uma delas 6 ou 8 ou 10 caixas sempre sobraratildeo 0 caixas O nuacutemero
miacutenimo de caixas nesse depoacutesito eacute
(A) 123 (B) 120 (C) 117 (D) 105 (E) 99
3) A meacutedia das alturas de trecircs amigos eacute 160 m Se mais um amigo que mede 2 m entrar
nesse grupo qual seraacute a nova meacutedia das alturas
ldquo
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4) Um funcionaacuterio de uma loja percebeu que 8 caixas fechadas de canetas menos 40 canetas
contecircm a mesma quantidade que 7 caixas fechadas mais 10 canetas O nuacutemero de canetas de
uma caixa eacute quanto
5) Em uma casa a aacuterea de um quarto eacute 12 da aacuterea da sala ambos retangulares e de medidas
indicadas nas figuras Nessas condiccedilotildees pode-se afirmar que o periacutemetro do quarto em
relaccedilatildeo ao periacutemetro da sala eacute
(A) o mesmo (B) a metade (C) 18 m maior (D) 52 m menor (E) 52 m maior
ldquo
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6) Em um terreno com 200 m2 de aacuterea foram construiacutedos um barracatildeo e uma casa A casa
ocupa 35 da aacuterea total do terreno e o barracatildeo ocupa 25 da aacuterea restante Em relaccedilatildeo agrave aacuterea
total do terreno o barracatildeo e a casa ocupam juntos
(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)
70
7) Uma caixa drsquoaacutegua com capacidade para 1 000 litros que estava completamente vazia seraacute
cheia por uma mangueira que despeja 02 L de aacutegua por segundo O tempo necessaacuterio para
encher completamente essa caixa eacute
(A) 1 hora 23 minutos e 20 segundos
(B) 1 hora 23 minutos e 33 segundos
ldquo
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 13
Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
ldquo
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
ldquo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
ldquo
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
ldquo
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
ldquo
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
ldquo
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COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
ldquo
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
ldquo
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
ldquo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
ldquo
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
ldquo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
ldquo
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
ldquo
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
ldquo
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
ldquo
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
ldquo
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
ldquo
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wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
ldquo
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1) 210=
2) 873100= 3) 5100= 4) 3100= 5) 8100= 6) 6410=
7) 834100=
8) 4310= 9) 810= 10) 25= 11) 304= 12) 3624=
13) 1308480=
14) 400160= 15) 1748= 16) 04100= 17) 28= 18) 14365=
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 5
Regra de Sinais
Indique o resultado das operaccedilotildees trabalhando com regra de sinais
a) (+12) + (-8) =
b) (-1) + (+9) =
c) - (-7) - (+2) =
d) (+10) - (-55) =
e) (-3) + (+3) =
f) ndash (+5) ndash ( - 7) =
Situaccedilotildees de aprendizagem 6
Interpretaccedilatildeo Matemaacutetica ldquoTestesrdquo
1) Em um trem viajavam na primeira classe 376 passageiros e na segunda classe 598
ldquo
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Quantos passageiros viajavam no trem
2) Um tonel continha 378 litros de oacuteleo Desse total foram vendidos 142 litros de oacuteleo
pelo vendedor Joatildeo e 53 pelo vendedor Joseacute Quantos litros de oacuteleo ainda haacute no tonel
3) Um termocircmetro marcava 4ordmC (graus) pela manhatilde poreacutem agrave tarde a temperatura
aumentou para 6degC Houve portanto houve uma variaccedilatildeo de temperatura de quanto
4) Rogeacuterio queria comprar um carro usado no valor de R$ 1270000 ao chegar agrave agecircncia
gostou de um carro zero quilocircmetro que custava R$ 1956000 Quantos reais o novo
carro custa a mais que o carro usado
5) Uma camisa de R$ 7400 estaacute sendo vendida com 12 de desconto Quanto passaraacute a
custar estaacute camisa
6) O serviccedilo de energia eleacutetrica cobra uma multa de 15 se a conta eacute paga com atraso
ldquo
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Qual deveraacute ser o preccedilo pago no dia 13 por uma conta de luz de R$ 4800 que venceu
no dia 10
7) Em uma turma de 10 meninos e 15 meninas A fraccedilatildeo que pode representar relaccedilatildeo
entre o nuacutemero de meninos e o total de estudantes dessa turma eacute
8) Em uma obra sobraram 9K de cimentos quatro operaacuterios iram dividir entre si
igualmente o cimento restante A quantidade de cimento que cada um levaraacute eacute
9) Um bicho preguiccedila estaacute subindo em um poste que tem de altura 10 metros durante o
dia ele sobe dois metros mas durante a noite ele para para dormir e escorrega um
metro Quanto tempo ele vai demorar a escalar esse poste ateacute o topo
10) Emprestei para Sr Miguel R$ 2220000 a uma taxa de 24 ano durante 4 anos Quanto
vou receber de juro por esta quantia emprestada a Sr Miguel
ldquo
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11) O salaacuterio de um funcionaacuterio teve um acreacutescimo de 120 sabendo-se que o novo
salaacuterio deste funcionaacuterio seraacute de R$ 135300 Qual era o salaacuterio anterior dele
12) O salaacuterio de Joatildeo teve um acreacutescimo de 17 sabendo-se que o salaacuterio era de R$
60000 o novo salaacuterio passou a ser de quanto
Situaccedilatildeo de aprendizagem 7
Conjuntos Numeacutericos Regularidades Numeacutericas e Geomeacutetricas
Para lembrar
Conjuntos dos nuacutemeros naturais N=012345
Conjuntos dos nuacutemeros inteiros Z=-4-3-2-101234
O que eacute conjunto E o que eacute elemento Conjunto satildeo todas as letras maiuacutesculas que indica
a informaccedilatildeo que usa ateacute mesmo como uma demonstraccedilatildeo o iniacutecio de uma frase ou de um
conjunto tanto numeacuterico que haacute sempre uma separaccedilatildeo ou uma escrita matemaacutetica utilizando
ldquo
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a demonstraccedilotildees
Os conjuntos satildeo representados por letras maiuacutesculas ABCD
Os nuacutemeros dos conjuntos satildeo indicados geralmente por letras minuacutesculas abcd
Sendo V o conjunto das vogais representamos V=aeiou
Sendo I o conjunto de nuacutemeros iacutempares menores que 20 I=[135720
Dados os conjuntos seguintes descritos em linguagem cotidiana encontre em cada caso
seus elementos e traduza a descriccedilatildeo dada agrave linguagem matemaacutetica
Responda os exerciacutecios
a) O conjunto A eacute formado por nuacutemeros naturais maiores do que 4 e menores ou iguais a
11
b) O conjunto B eacute formado por nuacutemeros naturais menores ou iguais a 6
c) O conjunto C eacute formado por nuacutemeros inteiro maiores ou iguais a -3 e menores do que 5
d) D o conjunto dos nuacutemeros naturais que satildeo divisiacuteveis por 4
ldquo
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e) E eacute o conjunto de nuacutemeros naturais maiores do que 7
f) F eacute o conjunto de nuacutemeros inteiros que elevado ao quadrado resultam em um nuacutemero
menor do que 10
g) G eacute o conjunto de nuacutemeros naturais que quando dobrado e somado a 1 resultam em um
nuacutemero maior do que 7
h) Quais satildeo os nuacutemeros naturais compreendidos entre 20 e 31
i) Nuacutemeros naturais pares compreendido de 15 e 24
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 8
Transformaccedilotildees de tempo ou de espaccedilo
Encontra em KM ou em metros por segundos
1KM =1000M E 1 H = 60 60 = 3600s
Resoluccedilotildees de algumas transformaccedilotildees
54 KM H= 54X10001x3600 utilizar sempre a simplificaccedilatildeo ao maacuteximo entatildeo
54036=15ms
Tente resolver as transformaccedilotildees trabalhando com a divisatildeo multiplicaccedilatildeo e com a
simplificaccedilatildeo
a) 36 kmh =
b) 18 kmh =
ldquo
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C) 720 kmh =
d) 90 kmh =
e) 1800 kmh =
f) 45 kmh =
ldquo
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g) 702 kmh
Situaccedilatildeo de aprendizagem 9
Meacutetodo de Arredondamento
Em algumas situaccedilotildees no caacutelculo de medicaccedilatildeo precisamos agraves vezes arredondar os nuacutemeros
decimais neste caso existe uma regra bem faacutecil
Se o algarismo que vai ser eliminado for maior ou igual a 5 o primeiro algarismo substitui o
primeiro algarismo que estaacute a sua esquerda pelo seu sucessor
ndash O nuacutemero que vai ser eliminado (7) eacute ((igual ou maior ) neste caso eacute
maior que 5 portanto o 3 eacute substituiacutedo por 4
Vamos praticar o arredondamento
1) Arredondando ateacute as casa dos deacutecimos
a) 583= f) 477=
b) 675= g) 165=
c) 388= h) 708=
d) 293= i) 303=
ldquo
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2) Arredondamento ateacute as casas das unidades
a) 273= b)155= c)402
d) 407= e) 203= f) 353=
g) 253= h) 259= i) 268
3) Arredonde ateacute as casas dos centeacutesimos
a) 142292= b) 28855= c) 27823=
d) 42195= e) 364567= f) 13406=
g) 28704= h) 28522= i) 24333=
Situaccedilatildeo de aprendizagem 10
Proporccedilotildees
Introduccedilatildeo
Propriedade fundamental das proporccedilotildees
Axd = bxc eacute muito importante ter esta propriedade em mente pois com ela saberemos se
certos nuacutemeros satildeo proporcionais ou natildeo
Exemplo
ldquo
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SAtildeO BENTO
Rogeriatildeo e Claudinho passeiam com seus cachorros Rogeriatildeo pesa 120kg e seu catildeo 40kg
Claudinho por sua vez pesa 48kg e seu catildeo 16kg
Observe a razatildeo entre o peso dos dois rapazes
Observe agora a razatildeo entre o peso dos cachorros
Verificamos que as duas razotildees satildeo iguais Nesse caso podemos afirmar que a igualdade
eacute uma proporccedilatildeo Proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre duas razotildees
12 e 16 satildeo proporcionais a 9 e 12
Utilizando a propriedade fundamental temos
ldquo
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1216 = 912 utilizar o formato em cruz = 12x12 =16x9
Entatildeo teremos= 144 =144
Vamos praticar
1) Utilize a propriedade em formato de cruz
a) 48 e 1224 =
b) 3018 e 6036 =
c) 824 e 2030=
d) 1824 e 912=
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e) 54 e 108 =
f) 23 e 69 =
g) 46 e 818 =
h) 24X e 42120 =
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i) 2100 e 16X =
Situaccedilatildeo de aprendizagem 11
Regra de Trecircs
Vamos trabalhar um pouco com regra de trecircs
1) Se 150g de um medicamento custava R$ 300 00 quanto irei pagar por 700 g desse
medicamento
2) Se em 10 h uma maacutequina produz 240 peccedilas quantas peccedilas ela produziraacute em 8 h
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3) Com 100 kg de trigo eacute possiacutevel fazer 85 kg de farinha Quantos Kg de trigo seratildeo
necessaacuterios para fabricar 425 kg de farinha
4) Uma lata de cerveja de 350 ml tem 10 ml de aacutelcool Quanto ingeriu de aacutelcool uma
pessoa que bebeu 11 latas de cerveja
5) Um padeiro faz 40 patildees em uma hora Quantas horas ele gastaraacute para fazer 480 patildees
6) Haroldo comeu 5 esfirras em 4 minutos Quantos minutos ele precisaraacute para comer 15
esfirras
7) Uma maacutequina faz 40 litros de soro por minuto Quantos minutos ira gastar para fazer
800 litros de soro
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8) Uma enfermeira verificou que dentro de um vidro de remeacutedio tem 180 ml sabendo que dessa
quantia ela vai aplicar 13 em seu paciente Quantos ml iratildeo restar no frasco
9) Em uma feira de ciecircncia escolar os alunos montaram uma maquete em que o edifiacutecio de 25
metros de altura eacute representado por uma caixa de foacutesforos de 5 centiacutemetros de altura Para obter a
altura do preacutedio quantas caixas de foacutesforos seriam necessaacuterio
Situaccedilatildeo de aprendizagem 12
ATIVIDADE PARA NOTA
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1) Um determinado jogo de futebol teve dois tempos de exatos 45 minutos cada Durante 40
do 1ordm tempo a bola esteve em poder do time A e em 20 do 2ordm tempo em poder do time B
Em relaccedilatildeo ao jogo todo o tempo em que a bola permaneceu com o time A representa em
porcentagem
2) Em um depoacutesito haacute vaacuterias caixas todas de mesmo tamanho Se forem feitas pilhas
contendo em cada uma delas 6 ou 8 ou 10 caixas sempre sobraratildeo 0 caixas O nuacutemero
miacutenimo de caixas nesse depoacutesito eacute
(A) 123 (B) 120 (C) 117 (D) 105 (E) 99
3) A meacutedia das alturas de trecircs amigos eacute 160 m Se mais um amigo que mede 2 m entrar
nesse grupo qual seraacute a nova meacutedia das alturas
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4) Um funcionaacuterio de uma loja percebeu que 8 caixas fechadas de canetas menos 40 canetas
contecircm a mesma quantidade que 7 caixas fechadas mais 10 canetas O nuacutemero de canetas de
uma caixa eacute quanto
5) Em uma casa a aacuterea de um quarto eacute 12 da aacuterea da sala ambos retangulares e de medidas
indicadas nas figuras Nessas condiccedilotildees pode-se afirmar que o periacutemetro do quarto em
relaccedilatildeo ao periacutemetro da sala eacute
(A) o mesmo (B) a metade (C) 18 m maior (D) 52 m menor (E) 52 m maior
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6) Em um terreno com 200 m2 de aacuterea foram construiacutedos um barracatildeo e uma casa A casa
ocupa 35 da aacuterea total do terreno e o barracatildeo ocupa 25 da aacuterea restante Em relaccedilatildeo agrave aacuterea
total do terreno o barracatildeo e a casa ocupam juntos
(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)
70
7) Uma caixa drsquoaacutegua com capacidade para 1 000 litros que estava completamente vazia seraacute
cheia por uma mangueira que despeja 02 L de aacutegua por segundo O tempo necessaacuterio para
encher completamente essa caixa eacute
(A) 1 hora 23 minutos e 20 segundos
(B) 1 hora 23 minutos e 33 segundos
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 13
Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
ldquo
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
ldquo
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
ldquo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
ldquo
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
ldquo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
ldquo
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
ldquo
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
ldquo
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
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Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 5
Regra de Sinais
Indique o resultado das operaccedilotildees trabalhando com regra de sinais
a) (+12) + (-8) =
b) (-1) + (+9) =
c) - (-7) - (+2) =
d) (+10) - (-55) =
e) (-3) + (+3) =
f) ndash (+5) ndash ( - 7) =
Situaccedilotildees de aprendizagem 6
Interpretaccedilatildeo Matemaacutetica ldquoTestesrdquo
1) Em um trem viajavam na primeira classe 376 passageiros e na segunda classe 598
ldquo
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Quantos passageiros viajavam no trem
2) Um tonel continha 378 litros de oacuteleo Desse total foram vendidos 142 litros de oacuteleo
pelo vendedor Joatildeo e 53 pelo vendedor Joseacute Quantos litros de oacuteleo ainda haacute no tonel
3) Um termocircmetro marcava 4ordmC (graus) pela manhatilde poreacutem agrave tarde a temperatura
aumentou para 6degC Houve portanto houve uma variaccedilatildeo de temperatura de quanto
4) Rogeacuterio queria comprar um carro usado no valor de R$ 1270000 ao chegar agrave agecircncia
gostou de um carro zero quilocircmetro que custava R$ 1956000 Quantos reais o novo
carro custa a mais que o carro usado
5) Uma camisa de R$ 7400 estaacute sendo vendida com 12 de desconto Quanto passaraacute a
custar estaacute camisa
6) O serviccedilo de energia eleacutetrica cobra uma multa de 15 se a conta eacute paga com atraso
ldquo
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Qual deveraacute ser o preccedilo pago no dia 13 por uma conta de luz de R$ 4800 que venceu
no dia 10
7) Em uma turma de 10 meninos e 15 meninas A fraccedilatildeo que pode representar relaccedilatildeo
entre o nuacutemero de meninos e o total de estudantes dessa turma eacute
8) Em uma obra sobraram 9K de cimentos quatro operaacuterios iram dividir entre si
igualmente o cimento restante A quantidade de cimento que cada um levaraacute eacute
9) Um bicho preguiccedila estaacute subindo em um poste que tem de altura 10 metros durante o
dia ele sobe dois metros mas durante a noite ele para para dormir e escorrega um
metro Quanto tempo ele vai demorar a escalar esse poste ateacute o topo
10) Emprestei para Sr Miguel R$ 2220000 a uma taxa de 24 ano durante 4 anos Quanto
vou receber de juro por esta quantia emprestada a Sr Miguel
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11) O salaacuterio de um funcionaacuterio teve um acreacutescimo de 120 sabendo-se que o novo
salaacuterio deste funcionaacuterio seraacute de R$ 135300 Qual era o salaacuterio anterior dele
12) O salaacuterio de Joatildeo teve um acreacutescimo de 17 sabendo-se que o salaacuterio era de R$
60000 o novo salaacuterio passou a ser de quanto
Situaccedilatildeo de aprendizagem 7
Conjuntos Numeacutericos Regularidades Numeacutericas e Geomeacutetricas
Para lembrar
Conjuntos dos nuacutemeros naturais N=012345
Conjuntos dos nuacutemeros inteiros Z=-4-3-2-101234
O que eacute conjunto E o que eacute elemento Conjunto satildeo todas as letras maiuacutesculas que indica
a informaccedilatildeo que usa ateacute mesmo como uma demonstraccedilatildeo o iniacutecio de uma frase ou de um
conjunto tanto numeacuterico que haacute sempre uma separaccedilatildeo ou uma escrita matemaacutetica utilizando
ldquo
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a demonstraccedilotildees
Os conjuntos satildeo representados por letras maiuacutesculas ABCD
Os nuacutemeros dos conjuntos satildeo indicados geralmente por letras minuacutesculas abcd
Sendo V o conjunto das vogais representamos V=aeiou
Sendo I o conjunto de nuacutemeros iacutempares menores que 20 I=[135720
Dados os conjuntos seguintes descritos em linguagem cotidiana encontre em cada caso
seus elementos e traduza a descriccedilatildeo dada agrave linguagem matemaacutetica
Responda os exerciacutecios
a) O conjunto A eacute formado por nuacutemeros naturais maiores do que 4 e menores ou iguais a
11
b) O conjunto B eacute formado por nuacutemeros naturais menores ou iguais a 6
c) O conjunto C eacute formado por nuacutemeros inteiro maiores ou iguais a -3 e menores do que 5
d) D o conjunto dos nuacutemeros naturais que satildeo divisiacuteveis por 4
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e) E eacute o conjunto de nuacutemeros naturais maiores do que 7
f) F eacute o conjunto de nuacutemeros inteiros que elevado ao quadrado resultam em um nuacutemero
menor do que 10
g) G eacute o conjunto de nuacutemeros naturais que quando dobrado e somado a 1 resultam em um
nuacutemero maior do que 7
h) Quais satildeo os nuacutemeros naturais compreendidos entre 20 e 31
i) Nuacutemeros naturais pares compreendido de 15 e 24
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 8
Transformaccedilotildees de tempo ou de espaccedilo
Encontra em KM ou em metros por segundos
1KM =1000M E 1 H = 60 60 = 3600s
Resoluccedilotildees de algumas transformaccedilotildees
54 KM H= 54X10001x3600 utilizar sempre a simplificaccedilatildeo ao maacuteximo entatildeo
54036=15ms
Tente resolver as transformaccedilotildees trabalhando com a divisatildeo multiplicaccedilatildeo e com a
simplificaccedilatildeo
a) 36 kmh =
b) 18 kmh =
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C) 720 kmh =
d) 90 kmh =
e) 1800 kmh =
f) 45 kmh =
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g) 702 kmh
Situaccedilatildeo de aprendizagem 9
Meacutetodo de Arredondamento
Em algumas situaccedilotildees no caacutelculo de medicaccedilatildeo precisamos agraves vezes arredondar os nuacutemeros
decimais neste caso existe uma regra bem faacutecil
Se o algarismo que vai ser eliminado for maior ou igual a 5 o primeiro algarismo substitui o
primeiro algarismo que estaacute a sua esquerda pelo seu sucessor
ndash O nuacutemero que vai ser eliminado (7) eacute ((igual ou maior ) neste caso eacute
maior que 5 portanto o 3 eacute substituiacutedo por 4
Vamos praticar o arredondamento
1) Arredondando ateacute as casa dos deacutecimos
a) 583= f) 477=
b) 675= g) 165=
c) 388= h) 708=
d) 293= i) 303=
ldquo
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2) Arredondamento ateacute as casas das unidades
a) 273= b)155= c)402
d) 407= e) 203= f) 353=
g) 253= h) 259= i) 268
3) Arredonde ateacute as casas dos centeacutesimos
a) 142292= b) 28855= c) 27823=
d) 42195= e) 364567= f) 13406=
g) 28704= h) 28522= i) 24333=
Situaccedilatildeo de aprendizagem 10
Proporccedilotildees
Introduccedilatildeo
Propriedade fundamental das proporccedilotildees
Axd = bxc eacute muito importante ter esta propriedade em mente pois com ela saberemos se
certos nuacutemeros satildeo proporcionais ou natildeo
Exemplo
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Rogeriatildeo e Claudinho passeiam com seus cachorros Rogeriatildeo pesa 120kg e seu catildeo 40kg
Claudinho por sua vez pesa 48kg e seu catildeo 16kg
Observe a razatildeo entre o peso dos dois rapazes
Observe agora a razatildeo entre o peso dos cachorros
Verificamos que as duas razotildees satildeo iguais Nesse caso podemos afirmar que a igualdade
eacute uma proporccedilatildeo Proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre duas razotildees
12 e 16 satildeo proporcionais a 9 e 12
Utilizando a propriedade fundamental temos
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1216 = 912 utilizar o formato em cruz = 12x12 =16x9
Entatildeo teremos= 144 =144
Vamos praticar
1) Utilize a propriedade em formato de cruz
a) 48 e 1224 =
b) 3018 e 6036 =
c) 824 e 2030=
d) 1824 e 912=
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e) 54 e 108 =
f) 23 e 69 =
g) 46 e 818 =
h) 24X e 42120 =
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i) 2100 e 16X =
Situaccedilatildeo de aprendizagem 11
Regra de Trecircs
Vamos trabalhar um pouco com regra de trecircs
1) Se 150g de um medicamento custava R$ 300 00 quanto irei pagar por 700 g desse
medicamento
2) Se em 10 h uma maacutequina produz 240 peccedilas quantas peccedilas ela produziraacute em 8 h
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3) Com 100 kg de trigo eacute possiacutevel fazer 85 kg de farinha Quantos Kg de trigo seratildeo
necessaacuterios para fabricar 425 kg de farinha
4) Uma lata de cerveja de 350 ml tem 10 ml de aacutelcool Quanto ingeriu de aacutelcool uma
pessoa que bebeu 11 latas de cerveja
5) Um padeiro faz 40 patildees em uma hora Quantas horas ele gastaraacute para fazer 480 patildees
6) Haroldo comeu 5 esfirras em 4 minutos Quantos minutos ele precisaraacute para comer 15
esfirras
7) Uma maacutequina faz 40 litros de soro por minuto Quantos minutos ira gastar para fazer
800 litros de soro
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8) Uma enfermeira verificou que dentro de um vidro de remeacutedio tem 180 ml sabendo que dessa
quantia ela vai aplicar 13 em seu paciente Quantos ml iratildeo restar no frasco
9) Em uma feira de ciecircncia escolar os alunos montaram uma maquete em que o edifiacutecio de 25
metros de altura eacute representado por uma caixa de foacutesforos de 5 centiacutemetros de altura Para obter a
altura do preacutedio quantas caixas de foacutesforos seriam necessaacuterio
Situaccedilatildeo de aprendizagem 12
ATIVIDADE PARA NOTA
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1) Um determinado jogo de futebol teve dois tempos de exatos 45 minutos cada Durante 40
do 1ordm tempo a bola esteve em poder do time A e em 20 do 2ordm tempo em poder do time B
Em relaccedilatildeo ao jogo todo o tempo em que a bola permaneceu com o time A representa em
porcentagem
2) Em um depoacutesito haacute vaacuterias caixas todas de mesmo tamanho Se forem feitas pilhas
contendo em cada uma delas 6 ou 8 ou 10 caixas sempre sobraratildeo 0 caixas O nuacutemero
miacutenimo de caixas nesse depoacutesito eacute
(A) 123 (B) 120 (C) 117 (D) 105 (E) 99
3) A meacutedia das alturas de trecircs amigos eacute 160 m Se mais um amigo que mede 2 m entrar
nesse grupo qual seraacute a nova meacutedia das alturas
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4) Um funcionaacuterio de uma loja percebeu que 8 caixas fechadas de canetas menos 40 canetas
contecircm a mesma quantidade que 7 caixas fechadas mais 10 canetas O nuacutemero de canetas de
uma caixa eacute quanto
5) Em uma casa a aacuterea de um quarto eacute 12 da aacuterea da sala ambos retangulares e de medidas
indicadas nas figuras Nessas condiccedilotildees pode-se afirmar que o periacutemetro do quarto em
relaccedilatildeo ao periacutemetro da sala eacute
(A) o mesmo (B) a metade (C) 18 m maior (D) 52 m menor (E) 52 m maior
ldquo
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6) Em um terreno com 200 m2 de aacuterea foram construiacutedos um barracatildeo e uma casa A casa
ocupa 35 da aacuterea total do terreno e o barracatildeo ocupa 25 da aacuterea restante Em relaccedilatildeo agrave aacuterea
total do terreno o barracatildeo e a casa ocupam juntos
(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)
70
7) Uma caixa drsquoaacutegua com capacidade para 1 000 litros que estava completamente vazia seraacute
cheia por uma mangueira que despeja 02 L de aacutegua por segundo O tempo necessaacuterio para
encher completamente essa caixa eacute
(A) 1 hora 23 minutos e 20 segundos
(B) 1 hora 23 minutos e 33 segundos
ldquo
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 13
Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
ldquo
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
ldquo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
ldquo
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
ldquo
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
ldquo
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
ldquo
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
ldquo
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
ldquo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
ldquo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
ldquo
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
ldquo
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
ldquo
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wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
ldquo
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Quantos passageiros viajavam no trem
2) Um tonel continha 378 litros de oacuteleo Desse total foram vendidos 142 litros de oacuteleo
pelo vendedor Joatildeo e 53 pelo vendedor Joseacute Quantos litros de oacuteleo ainda haacute no tonel
3) Um termocircmetro marcava 4ordmC (graus) pela manhatilde poreacutem agrave tarde a temperatura
aumentou para 6degC Houve portanto houve uma variaccedilatildeo de temperatura de quanto
4) Rogeacuterio queria comprar um carro usado no valor de R$ 1270000 ao chegar agrave agecircncia
gostou de um carro zero quilocircmetro que custava R$ 1956000 Quantos reais o novo
carro custa a mais que o carro usado
5) Uma camisa de R$ 7400 estaacute sendo vendida com 12 de desconto Quanto passaraacute a
custar estaacute camisa
6) O serviccedilo de energia eleacutetrica cobra uma multa de 15 se a conta eacute paga com atraso
ldquo
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Qual deveraacute ser o preccedilo pago no dia 13 por uma conta de luz de R$ 4800 que venceu
no dia 10
7) Em uma turma de 10 meninos e 15 meninas A fraccedilatildeo que pode representar relaccedilatildeo
entre o nuacutemero de meninos e o total de estudantes dessa turma eacute
8) Em uma obra sobraram 9K de cimentos quatro operaacuterios iram dividir entre si
igualmente o cimento restante A quantidade de cimento que cada um levaraacute eacute
9) Um bicho preguiccedila estaacute subindo em um poste que tem de altura 10 metros durante o
dia ele sobe dois metros mas durante a noite ele para para dormir e escorrega um
metro Quanto tempo ele vai demorar a escalar esse poste ateacute o topo
10) Emprestei para Sr Miguel R$ 2220000 a uma taxa de 24 ano durante 4 anos Quanto
vou receber de juro por esta quantia emprestada a Sr Miguel
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11) O salaacuterio de um funcionaacuterio teve um acreacutescimo de 120 sabendo-se que o novo
salaacuterio deste funcionaacuterio seraacute de R$ 135300 Qual era o salaacuterio anterior dele
12) O salaacuterio de Joatildeo teve um acreacutescimo de 17 sabendo-se que o salaacuterio era de R$
60000 o novo salaacuterio passou a ser de quanto
Situaccedilatildeo de aprendizagem 7
Conjuntos Numeacutericos Regularidades Numeacutericas e Geomeacutetricas
Para lembrar
Conjuntos dos nuacutemeros naturais N=012345
Conjuntos dos nuacutemeros inteiros Z=-4-3-2-101234
O que eacute conjunto E o que eacute elemento Conjunto satildeo todas as letras maiuacutesculas que indica
a informaccedilatildeo que usa ateacute mesmo como uma demonstraccedilatildeo o iniacutecio de uma frase ou de um
conjunto tanto numeacuterico que haacute sempre uma separaccedilatildeo ou uma escrita matemaacutetica utilizando
ldquo
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a demonstraccedilotildees
Os conjuntos satildeo representados por letras maiuacutesculas ABCD
Os nuacutemeros dos conjuntos satildeo indicados geralmente por letras minuacutesculas abcd
Sendo V o conjunto das vogais representamos V=aeiou
Sendo I o conjunto de nuacutemeros iacutempares menores que 20 I=[135720
Dados os conjuntos seguintes descritos em linguagem cotidiana encontre em cada caso
seus elementos e traduza a descriccedilatildeo dada agrave linguagem matemaacutetica
Responda os exerciacutecios
a) O conjunto A eacute formado por nuacutemeros naturais maiores do que 4 e menores ou iguais a
11
b) O conjunto B eacute formado por nuacutemeros naturais menores ou iguais a 6
c) O conjunto C eacute formado por nuacutemeros inteiro maiores ou iguais a -3 e menores do que 5
d) D o conjunto dos nuacutemeros naturais que satildeo divisiacuteveis por 4
ldquo
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e) E eacute o conjunto de nuacutemeros naturais maiores do que 7
f) F eacute o conjunto de nuacutemeros inteiros que elevado ao quadrado resultam em um nuacutemero
menor do que 10
g) G eacute o conjunto de nuacutemeros naturais que quando dobrado e somado a 1 resultam em um
nuacutemero maior do que 7
h) Quais satildeo os nuacutemeros naturais compreendidos entre 20 e 31
i) Nuacutemeros naturais pares compreendido de 15 e 24
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 8
Transformaccedilotildees de tempo ou de espaccedilo
Encontra em KM ou em metros por segundos
1KM =1000M E 1 H = 60 60 = 3600s
Resoluccedilotildees de algumas transformaccedilotildees
54 KM H= 54X10001x3600 utilizar sempre a simplificaccedilatildeo ao maacuteximo entatildeo
54036=15ms
Tente resolver as transformaccedilotildees trabalhando com a divisatildeo multiplicaccedilatildeo e com a
simplificaccedilatildeo
a) 36 kmh =
b) 18 kmh =
ldquo
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C) 720 kmh =
d) 90 kmh =
e) 1800 kmh =
f) 45 kmh =
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g) 702 kmh
Situaccedilatildeo de aprendizagem 9
Meacutetodo de Arredondamento
Em algumas situaccedilotildees no caacutelculo de medicaccedilatildeo precisamos agraves vezes arredondar os nuacutemeros
decimais neste caso existe uma regra bem faacutecil
Se o algarismo que vai ser eliminado for maior ou igual a 5 o primeiro algarismo substitui o
primeiro algarismo que estaacute a sua esquerda pelo seu sucessor
ndash O nuacutemero que vai ser eliminado (7) eacute ((igual ou maior ) neste caso eacute
maior que 5 portanto o 3 eacute substituiacutedo por 4
Vamos praticar o arredondamento
1) Arredondando ateacute as casa dos deacutecimos
a) 583= f) 477=
b) 675= g) 165=
c) 388= h) 708=
d) 293= i) 303=
ldquo
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2) Arredondamento ateacute as casas das unidades
a) 273= b)155= c)402
d) 407= e) 203= f) 353=
g) 253= h) 259= i) 268
3) Arredonde ateacute as casas dos centeacutesimos
a) 142292= b) 28855= c) 27823=
d) 42195= e) 364567= f) 13406=
g) 28704= h) 28522= i) 24333=
Situaccedilatildeo de aprendizagem 10
Proporccedilotildees
Introduccedilatildeo
Propriedade fundamental das proporccedilotildees
Axd = bxc eacute muito importante ter esta propriedade em mente pois com ela saberemos se
certos nuacutemeros satildeo proporcionais ou natildeo
Exemplo
ldquo
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Rogeriatildeo e Claudinho passeiam com seus cachorros Rogeriatildeo pesa 120kg e seu catildeo 40kg
Claudinho por sua vez pesa 48kg e seu catildeo 16kg
Observe a razatildeo entre o peso dos dois rapazes
Observe agora a razatildeo entre o peso dos cachorros
Verificamos que as duas razotildees satildeo iguais Nesse caso podemos afirmar que a igualdade
eacute uma proporccedilatildeo Proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre duas razotildees
12 e 16 satildeo proporcionais a 9 e 12
Utilizando a propriedade fundamental temos
ldquo
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1216 = 912 utilizar o formato em cruz = 12x12 =16x9
Entatildeo teremos= 144 =144
Vamos praticar
1) Utilize a propriedade em formato de cruz
a) 48 e 1224 =
b) 3018 e 6036 =
c) 824 e 2030=
d) 1824 e 912=
ldquo
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e) 54 e 108 =
f) 23 e 69 =
g) 46 e 818 =
h) 24X e 42120 =
ldquo
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i) 2100 e 16X =
Situaccedilatildeo de aprendizagem 11
Regra de Trecircs
Vamos trabalhar um pouco com regra de trecircs
1) Se 150g de um medicamento custava R$ 300 00 quanto irei pagar por 700 g desse
medicamento
2) Se em 10 h uma maacutequina produz 240 peccedilas quantas peccedilas ela produziraacute em 8 h
ldquo
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3) Com 100 kg de trigo eacute possiacutevel fazer 85 kg de farinha Quantos Kg de trigo seratildeo
necessaacuterios para fabricar 425 kg de farinha
4) Uma lata de cerveja de 350 ml tem 10 ml de aacutelcool Quanto ingeriu de aacutelcool uma
pessoa que bebeu 11 latas de cerveja
5) Um padeiro faz 40 patildees em uma hora Quantas horas ele gastaraacute para fazer 480 patildees
6) Haroldo comeu 5 esfirras em 4 minutos Quantos minutos ele precisaraacute para comer 15
esfirras
7) Uma maacutequina faz 40 litros de soro por minuto Quantos minutos ira gastar para fazer
800 litros de soro
ldquo
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8) Uma enfermeira verificou que dentro de um vidro de remeacutedio tem 180 ml sabendo que dessa
quantia ela vai aplicar 13 em seu paciente Quantos ml iratildeo restar no frasco
9) Em uma feira de ciecircncia escolar os alunos montaram uma maquete em que o edifiacutecio de 25
metros de altura eacute representado por uma caixa de foacutesforos de 5 centiacutemetros de altura Para obter a
altura do preacutedio quantas caixas de foacutesforos seriam necessaacuterio
Situaccedilatildeo de aprendizagem 12
ATIVIDADE PARA NOTA
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1) Um determinado jogo de futebol teve dois tempos de exatos 45 minutos cada Durante 40
do 1ordm tempo a bola esteve em poder do time A e em 20 do 2ordm tempo em poder do time B
Em relaccedilatildeo ao jogo todo o tempo em que a bola permaneceu com o time A representa em
porcentagem
2) Em um depoacutesito haacute vaacuterias caixas todas de mesmo tamanho Se forem feitas pilhas
contendo em cada uma delas 6 ou 8 ou 10 caixas sempre sobraratildeo 0 caixas O nuacutemero
miacutenimo de caixas nesse depoacutesito eacute
(A) 123 (B) 120 (C) 117 (D) 105 (E) 99
3) A meacutedia das alturas de trecircs amigos eacute 160 m Se mais um amigo que mede 2 m entrar
nesse grupo qual seraacute a nova meacutedia das alturas
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4) Um funcionaacuterio de uma loja percebeu que 8 caixas fechadas de canetas menos 40 canetas
contecircm a mesma quantidade que 7 caixas fechadas mais 10 canetas O nuacutemero de canetas de
uma caixa eacute quanto
5) Em uma casa a aacuterea de um quarto eacute 12 da aacuterea da sala ambos retangulares e de medidas
indicadas nas figuras Nessas condiccedilotildees pode-se afirmar que o periacutemetro do quarto em
relaccedilatildeo ao periacutemetro da sala eacute
(A) o mesmo (B) a metade (C) 18 m maior (D) 52 m menor (E) 52 m maior
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6) Em um terreno com 200 m2 de aacuterea foram construiacutedos um barracatildeo e uma casa A casa
ocupa 35 da aacuterea total do terreno e o barracatildeo ocupa 25 da aacuterea restante Em relaccedilatildeo agrave aacuterea
total do terreno o barracatildeo e a casa ocupam juntos
(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)
70
7) Uma caixa drsquoaacutegua com capacidade para 1 000 litros que estava completamente vazia seraacute
cheia por uma mangueira que despeja 02 L de aacutegua por segundo O tempo necessaacuterio para
encher completamente essa caixa eacute
(A) 1 hora 23 minutos e 20 segundos
(B) 1 hora 23 minutos e 33 segundos
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 13
Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
ldquo
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
ldquo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
ldquo
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
ldquo
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
ldquo
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
ldquo
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
ldquo
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
ldquo
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
ldquo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
ldquo
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
ldquo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
ldquo
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
ldquo
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
ldquo
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
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wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
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Qual deveraacute ser o preccedilo pago no dia 13 por uma conta de luz de R$ 4800 que venceu
no dia 10
7) Em uma turma de 10 meninos e 15 meninas A fraccedilatildeo que pode representar relaccedilatildeo
entre o nuacutemero de meninos e o total de estudantes dessa turma eacute
8) Em uma obra sobraram 9K de cimentos quatro operaacuterios iram dividir entre si
igualmente o cimento restante A quantidade de cimento que cada um levaraacute eacute
9) Um bicho preguiccedila estaacute subindo em um poste que tem de altura 10 metros durante o
dia ele sobe dois metros mas durante a noite ele para para dormir e escorrega um
metro Quanto tempo ele vai demorar a escalar esse poste ateacute o topo
10) Emprestei para Sr Miguel R$ 2220000 a uma taxa de 24 ano durante 4 anos Quanto
vou receber de juro por esta quantia emprestada a Sr Miguel
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11) O salaacuterio de um funcionaacuterio teve um acreacutescimo de 120 sabendo-se que o novo
salaacuterio deste funcionaacuterio seraacute de R$ 135300 Qual era o salaacuterio anterior dele
12) O salaacuterio de Joatildeo teve um acreacutescimo de 17 sabendo-se que o salaacuterio era de R$
60000 o novo salaacuterio passou a ser de quanto
Situaccedilatildeo de aprendizagem 7
Conjuntos Numeacutericos Regularidades Numeacutericas e Geomeacutetricas
Para lembrar
Conjuntos dos nuacutemeros naturais N=012345
Conjuntos dos nuacutemeros inteiros Z=-4-3-2-101234
O que eacute conjunto E o que eacute elemento Conjunto satildeo todas as letras maiuacutesculas que indica
a informaccedilatildeo que usa ateacute mesmo como uma demonstraccedilatildeo o iniacutecio de uma frase ou de um
conjunto tanto numeacuterico que haacute sempre uma separaccedilatildeo ou uma escrita matemaacutetica utilizando
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a demonstraccedilotildees
Os conjuntos satildeo representados por letras maiuacutesculas ABCD
Os nuacutemeros dos conjuntos satildeo indicados geralmente por letras minuacutesculas abcd
Sendo V o conjunto das vogais representamos V=aeiou
Sendo I o conjunto de nuacutemeros iacutempares menores que 20 I=[135720
Dados os conjuntos seguintes descritos em linguagem cotidiana encontre em cada caso
seus elementos e traduza a descriccedilatildeo dada agrave linguagem matemaacutetica
Responda os exerciacutecios
a) O conjunto A eacute formado por nuacutemeros naturais maiores do que 4 e menores ou iguais a
11
b) O conjunto B eacute formado por nuacutemeros naturais menores ou iguais a 6
c) O conjunto C eacute formado por nuacutemeros inteiro maiores ou iguais a -3 e menores do que 5
d) D o conjunto dos nuacutemeros naturais que satildeo divisiacuteveis por 4
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e) E eacute o conjunto de nuacutemeros naturais maiores do que 7
f) F eacute o conjunto de nuacutemeros inteiros que elevado ao quadrado resultam em um nuacutemero
menor do que 10
g) G eacute o conjunto de nuacutemeros naturais que quando dobrado e somado a 1 resultam em um
nuacutemero maior do que 7
h) Quais satildeo os nuacutemeros naturais compreendidos entre 20 e 31
i) Nuacutemeros naturais pares compreendido de 15 e 24
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 8
Transformaccedilotildees de tempo ou de espaccedilo
Encontra em KM ou em metros por segundos
1KM =1000M E 1 H = 60 60 = 3600s
Resoluccedilotildees de algumas transformaccedilotildees
54 KM H= 54X10001x3600 utilizar sempre a simplificaccedilatildeo ao maacuteximo entatildeo
54036=15ms
Tente resolver as transformaccedilotildees trabalhando com a divisatildeo multiplicaccedilatildeo e com a
simplificaccedilatildeo
a) 36 kmh =
b) 18 kmh =
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C) 720 kmh =
d) 90 kmh =
e) 1800 kmh =
f) 45 kmh =
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g) 702 kmh
Situaccedilatildeo de aprendizagem 9
Meacutetodo de Arredondamento
Em algumas situaccedilotildees no caacutelculo de medicaccedilatildeo precisamos agraves vezes arredondar os nuacutemeros
decimais neste caso existe uma regra bem faacutecil
Se o algarismo que vai ser eliminado for maior ou igual a 5 o primeiro algarismo substitui o
primeiro algarismo que estaacute a sua esquerda pelo seu sucessor
ndash O nuacutemero que vai ser eliminado (7) eacute ((igual ou maior ) neste caso eacute
maior que 5 portanto o 3 eacute substituiacutedo por 4
Vamos praticar o arredondamento
1) Arredondando ateacute as casa dos deacutecimos
a) 583= f) 477=
b) 675= g) 165=
c) 388= h) 708=
d) 293= i) 303=
ldquo
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2) Arredondamento ateacute as casas das unidades
a) 273= b)155= c)402
d) 407= e) 203= f) 353=
g) 253= h) 259= i) 268
3) Arredonde ateacute as casas dos centeacutesimos
a) 142292= b) 28855= c) 27823=
d) 42195= e) 364567= f) 13406=
g) 28704= h) 28522= i) 24333=
Situaccedilatildeo de aprendizagem 10
Proporccedilotildees
Introduccedilatildeo
Propriedade fundamental das proporccedilotildees
Axd = bxc eacute muito importante ter esta propriedade em mente pois com ela saberemos se
certos nuacutemeros satildeo proporcionais ou natildeo
Exemplo
ldquo
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Rogeriatildeo e Claudinho passeiam com seus cachorros Rogeriatildeo pesa 120kg e seu catildeo 40kg
Claudinho por sua vez pesa 48kg e seu catildeo 16kg
Observe a razatildeo entre o peso dos dois rapazes
Observe agora a razatildeo entre o peso dos cachorros
Verificamos que as duas razotildees satildeo iguais Nesse caso podemos afirmar que a igualdade
eacute uma proporccedilatildeo Proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre duas razotildees
12 e 16 satildeo proporcionais a 9 e 12
Utilizando a propriedade fundamental temos
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1216 = 912 utilizar o formato em cruz = 12x12 =16x9
Entatildeo teremos= 144 =144
Vamos praticar
1) Utilize a propriedade em formato de cruz
a) 48 e 1224 =
b) 3018 e 6036 =
c) 824 e 2030=
d) 1824 e 912=
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e) 54 e 108 =
f) 23 e 69 =
g) 46 e 818 =
h) 24X e 42120 =
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i) 2100 e 16X =
Situaccedilatildeo de aprendizagem 11
Regra de Trecircs
Vamos trabalhar um pouco com regra de trecircs
1) Se 150g de um medicamento custava R$ 300 00 quanto irei pagar por 700 g desse
medicamento
2) Se em 10 h uma maacutequina produz 240 peccedilas quantas peccedilas ela produziraacute em 8 h
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3) Com 100 kg de trigo eacute possiacutevel fazer 85 kg de farinha Quantos Kg de trigo seratildeo
necessaacuterios para fabricar 425 kg de farinha
4) Uma lata de cerveja de 350 ml tem 10 ml de aacutelcool Quanto ingeriu de aacutelcool uma
pessoa que bebeu 11 latas de cerveja
5) Um padeiro faz 40 patildees em uma hora Quantas horas ele gastaraacute para fazer 480 patildees
6) Haroldo comeu 5 esfirras em 4 minutos Quantos minutos ele precisaraacute para comer 15
esfirras
7) Uma maacutequina faz 40 litros de soro por minuto Quantos minutos ira gastar para fazer
800 litros de soro
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8) Uma enfermeira verificou que dentro de um vidro de remeacutedio tem 180 ml sabendo que dessa
quantia ela vai aplicar 13 em seu paciente Quantos ml iratildeo restar no frasco
9) Em uma feira de ciecircncia escolar os alunos montaram uma maquete em que o edifiacutecio de 25
metros de altura eacute representado por uma caixa de foacutesforos de 5 centiacutemetros de altura Para obter a
altura do preacutedio quantas caixas de foacutesforos seriam necessaacuterio
Situaccedilatildeo de aprendizagem 12
ATIVIDADE PARA NOTA
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1) Um determinado jogo de futebol teve dois tempos de exatos 45 minutos cada Durante 40
do 1ordm tempo a bola esteve em poder do time A e em 20 do 2ordm tempo em poder do time B
Em relaccedilatildeo ao jogo todo o tempo em que a bola permaneceu com o time A representa em
porcentagem
2) Em um depoacutesito haacute vaacuterias caixas todas de mesmo tamanho Se forem feitas pilhas
contendo em cada uma delas 6 ou 8 ou 10 caixas sempre sobraratildeo 0 caixas O nuacutemero
miacutenimo de caixas nesse depoacutesito eacute
(A) 123 (B) 120 (C) 117 (D) 105 (E) 99
3) A meacutedia das alturas de trecircs amigos eacute 160 m Se mais um amigo que mede 2 m entrar
nesse grupo qual seraacute a nova meacutedia das alturas
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4) Um funcionaacuterio de uma loja percebeu que 8 caixas fechadas de canetas menos 40 canetas
contecircm a mesma quantidade que 7 caixas fechadas mais 10 canetas O nuacutemero de canetas de
uma caixa eacute quanto
5) Em uma casa a aacuterea de um quarto eacute 12 da aacuterea da sala ambos retangulares e de medidas
indicadas nas figuras Nessas condiccedilotildees pode-se afirmar que o periacutemetro do quarto em
relaccedilatildeo ao periacutemetro da sala eacute
(A) o mesmo (B) a metade (C) 18 m maior (D) 52 m menor (E) 52 m maior
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6) Em um terreno com 200 m2 de aacuterea foram construiacutedos um barracatildeo e uma casa A casa
ocupa 35 da aacuterea total do terreno e o barracatildeo ocupa 25 da aacuterea restante Em relaccedilatildeo agrave aacuterea
total do terreno o barracatildeo e a casa ocupam juntos
(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)
70
7) Uma caixa drsquoaacutegua com capacidade para 1 000 litros que estava completamente vazia seraacute
cheia por uma mangueira que despeja 02 L de aacutegua por segundo O tempo necessaacuterio para
encher completamente essa caixa eacute
(A) 1 hora 23 minutos e 20 segundos
(B) 1 hora 23 minutos e 33 segundos
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
ldquo
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Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
ldquo
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
ldquo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
ldquo
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
ldquo
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
ldquo
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
ldquo
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
ldquo
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
ldquo
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
ldquo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
ldquo
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wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
ldquo
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11) O salaacuterio de um funcionaacuterio teve um acreacutescimo de 120 sabendo-se que o novo
salaacuterio deste funcionaacuterio seraacute de R$ 135300 Qual era o salaacuterio anterior dele
12) O salaacuterio de Joatildeo teve um acreacutescimo de 17 sabendo-se que o salaacuterio era de R$
60000 o novo salaacuterio passou a ser de quanto
Situaccedilatildeo de aprendizagem 7
Conjuntos Numeacutericos Regularidades Numeacutericas e Geomeacutetricas
Para lembrar
Conjuntos dos nuacutemeros naturais N=012345
Conjuntos dos nuacutemeros inteiros Z=-4-3-2-101234
O que eacute conjunto E o que eacute elemento Conjunto satildeo todas as letras maiuacutesculas que indica
a informaccedilatildeo que usa ateacute mesmo como uma demonstraccedilatildeo o iniacutecio de uma frase ou de um
conjunto tanto numeacuterico que haacute sempre uma separaccedilatildeo ou uma escrita matemaacutetica utilizando
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a demonstraccedilotildees
Os conjuntos satildeo representados por letras maiuacutesculas ABCD
Os nuacutemeros dos conjuntos satildeo indicados geralmente por letras minuacutesculas abcd
Sendo V o conjunto das vogais representamos V=aeiou
Sendo I o conjunto de nuacutemeros iacutempares menores que 20 I=[135720
Dados os conjuntos seguintes descritos em linguagem cotidiana encontre em cada caso
seus elementos e traduza a descriccedilatildeo dada agrave linguagem matemaacutetica
Responda os exerciacutecios
a) O conjunto A eacute formado por nuacutemeros naturais maiores do que 4 e menores ou iguais a
11
b) O conjunto B eacute formado por nuacutemeros naturais menores ou iguais a 6
c) O conjunto C eacute formado por nuacutemeros inteiro maiores ou iguais a -3 e menores do que 5
d) D o conjunto dos nuacutemeros naturais que satildeo divisiacuteveis por 4
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e) E eacute o conjunto de nuacutemeros naturais maiores do que 7
f) F eacute o conjunto de nuacutemeros inteiros que elevado ao quadrado resultam em um nuacutemero
menor do que 10
g) G eacute o conjunto de nuacutemeros naturais que quando dobrado e somado a 1 resultam em um
nuacutemero maior do que 7
h) Quais satildeo os nuacutemeros naturais compreendidos entre 20 e 31
i) Nuacutemeros naturais pares compreendido de 15 e 24
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 8
Transformaccedilotildees de tempo ou de espaccedilo
Encontra em KM ou em metros por segundos
1KM =1000M E 1 H = 60 60 = 3600s
Resoluccedilotildees de algumas transformaccedilotildees
54 KM H= 54X10001x3600 utilizar sempre a simplificaccedilatildeo ao maacuteximo entatildeo
54036=15ms
Tente resolver as transformaccedilotildees trabalhando com a divisatildeo multiplicaccedilatildeo e com a
simplificaccedilatildeo
a) 36 kmh =
b) 18 kmh =
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C) 720 kmh =
d) 90 kmh =
e) 1800 kmh =
f) 45 kmh =
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g) 702 kmh
Situaccedilatildeo de aprendizagem 9
Meacutetodo de Arredondamento
Em algumas situaccedilotildees no caacutelculo de medicaccedilatildeo precisamos agraves vezes arredondar os nuacutemeros
decimais neste caso existe uma regra bem faacutecil
Se o algarismo que vai ser eliminado for maior ou igual a 5 o primeiro algarismo substitui o
primeiro algarismo que estaacute a sua esquerda pelo seu sucessor
ndash O nuacutemero que vai ser eliminado (7) eacute ((igual ou maior ) neste caso eacute
maior que 5 portanto o 3 eacute substituiacutedo por 4
Vamos praticar o arredondamento
1) Arredondando ateacute as casa dos deacutecimos
a) 583= f) 477=
b) 675= g) 165=
c) 388= h) 708=
d) 293= i) 303=
ldquo
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2) Arredondamento ateacute as casas das unidades
a) 273= b)155= c)402
d) 407= e) 203= f) 353=
g) 253= h) 259= i) 268
3) Arredonde ateacute as casas dos centeacutesimos
a) 142292= b) 28855= c) 27823=
d) 42195= e) 364567= f) 13406=
g) 28704= h) 28522= i) 24333=
Situaccedilatildeo de aprendizagem 10
Proporccedilotildees
Introduccedilatildeo
Propriedade fundamental das proporccedilotildees
Axd = bxc eacute muito importante ter esta propriedade em mente pois com ela saberemos se
certos nuacutemeros satildeo proporcionais ou natildeo
Exemplo
ldquo
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Rogeriatildeo e Claudinho passeiam com seus cachorros Rogeriatildeo pesa 120kg e seu catildeo 40kg
Claudinho por sua vez pesa 48kg e seu catildeo 16kg
Observe a razatildeo entre o peso dos dois rapazes
Observe agora a razatildeo entre o peso dos cachorros
Verificamos que as duas razotildees satildeo iguais Nesse caso podemos afirmar que a igualdade
eacute uma proporccedilatildeo Proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre duas razotildees
12 e 16 satildeo proporcionais a 9 e 12
Utilizando a propriedade fundamental temos
ldquo
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1216 = 912 utilizar o formato em cruz = 12x12 =16x9
Entatildeo teremos= 144 =144
Vamos praticar
1) Utilize a propriedade em formato de cruz
a) 48 e 1224 =
b) 3018 e 6036 =
c) 824 e 2030=
d) 1824 e 912=
ldquo
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e) 54 e 108 =
f) 23 e 69 =
g) 46 e 818 =
h) 24X e 42120 =
ldquo
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i) 2100 e 16X =
Situaccedilatildeo de aprendizagem 11
Regra de Trecircs
Vamos trabalhar um pouco com regra de trecircs
1) Se 150g de um medicamento custava R$ 300 00 quanto irei pagar por 700 g desse
medicamento
2) Se em 10 h uma maacutequina produz 240 peccedilas quantas peccedilas ela produziraacute em 8 h
ldquo
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3) Com 100 kg de trigo eacute possiacutevel fazer 85 kg de farinha Quantos Kg de trigo seratildeo
necessaacuterios para fabricar 425 kg de farinha
4) Uma lata de cerveja de 350 ml tem 10 ml de aacutelcool Quanto ingeriu de aacutelcool uma
pessoa que bebeu 11 latas de cerveja
5) Um padeiro faz 40 patildees em uma hora Quantas horas ele gastaraacute para fazer 480 patildees
6) Haroldo comeu 5 esfirras em 4 minutos Quantos minutos ele precisaraacute para comer 15
esfirras
7) Uma maacutequina faz 40 litros de soro por minuto Quantos minutos ira gastar para fazer
800 litros de soro
ldquo
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8) Uma enfermeira verificou que dentro de um vidro de remeacutedio tem 180 ml sabendo que dessa
quantia ela vai aplicar 13 em seu paciente Quantos ml iratildeo restar no frasco
9) Em uma feira de ciecircncia escolar os alunos montaram uma maquete em que o edifiacutecio de 25
metros de altura eacute representado por uma caixa de foacutesforos de 5 centiacutemetros de altura Para obter a
altura do preacutedio quantas caixas de foacutesforos seriam necessaacuterio
Situaccedilatildeo de aprendizagem 12
ATIVIDADE PARA NOTA
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1) Um determinado jogo de futebol teve dois tempos de exatos 45 minutos cada Durante 40
do 1ordm tempo a bola esteve em poder do time A e em 20 do 2ordm tempo em poder do time B
Em relaccedilatildeo ao jogo todo o tempo em que a bola permaneceu com o time A representa em
porcentagem
2) Em um depoacutesito haacute vaacuterias caixas todas de mesmo tamanho Se forem feitas pilhas
contendo em cada uma delas 6 ou 8 ou 10 caixas sempre sobraratildeo 0 caixas O nuacutemero
miacutenimo de caixas nesse depoacutesito eacute
(A) 123 (B) 120 (C) 117 (D) 105 (E) 99
3) A meacutedia das alturas de trecircs amigos eacute 160 m Se mais um amigo que mede 2 m entrar
nesse grupo qual seraacute a nova meacutedia das alturas
ldquo
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4) Um funcionaacuterio de uma loja percebeu que 8 caixas fechadas de canetas menos 40 canetas
contecircm a mesma quantidade que 7 caixas fechadas mais 10 canetas O nuacutemero de canetas de
uma caixa eacute quanto
5) Em uma casa a aacuterea de um quarto eacute 12 da aacuterea da sala ambos retangulares e de medidas
indicadas nas figuras Nessas condiccedilotildees pode-se afirmar que o periacutemetro do quarto em
relaccedilatildeo ao periacutemetro da sala eacute
(A) o mesmo (B) a metade (C) 18 m maior (D) 52 m menor (E) 52 m maior
ldquo
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6) Em um terreno com 200 m2 de aacuterea foram construiacutedos um barracatildeo e uma casa A casa
ocupa 35 da aacuterea total do terreno e o barracatildeo ocupa 25 da aacuterea restante Em relaccedilatildeo agrave aacuterea
total do terreno o barracatildeo e a casa ocupam juntos
(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)
70
7) Uma caixa drsquoaacutegua com capacidade para 1 000 litros que estava completamente vazia seraacute
cheia por uma mangueira que despeja 02 L de aacutegua por segundo O tempo necessaacuterio para
encher completamente essa caixa eacute
(A) 1 hora 23 minutos e 20 segundos
(B) 1 hora 23 minutos e 33 segundos
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 13
Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
ldquo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
ldquo
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
ldquo
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
ldquo
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
ldquo
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
ldquo
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
ldquo
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
ldquo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
ldquo
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
ldquo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
ldquo
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
ldquo
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
ldquo
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COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
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wwwmatematicadidaticacombr
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Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
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a demonstraccedilotildees
Os conjuntos satildeo representados por letras maiuacutesculas ABCD
Os nuacutemeros dos conjuntos satildeo indicados geralmente por letras minuacutesculas abcd
Sendo V o conjunto das vogais representamos V=aeiou
Sendo I o conjunto de nuacutemeros iacutempares menores que 20 I=[135720
Dados os conjuntos seguintes descritos em linguagem cotidiana encontre em cada caso
seus elementos e traduza a descriccedilatildeo dada agrave linguagem matemaacutetica
Responda os exerciacutecios
a) O conjunto A eacute formado por nuacutemeros naturais maiores do que 4 e menores ou iguais a
11
b) O conjunto B eacute formado por nuacutemeros naturais menores ou iguais a 6
c) O conjunto C eacute formado por nuacutemeros inteiro maiores ou iguais a -3 e menores do que 5
d) D o conjunto dos nuacutemeros naturais que satildeo divisiacuteveis por 4
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e) E eacute o conjunto de nuacutemeros naturais maiores do que 7
f) F eacute o conjunto de nuacutemeros inteiros que elevado ao quadrado resultam em um nuacutemero
menor do que 10
g) G eacute o conjunto de nuacutemeros naturais que quando dobrado e somado a 1 resultam em um
nuacutemero maior do que 7
h) Quais satildeo os nuacutemeros naturais compreendidos entre 20 e 31
i) Nuacutemeros naturais pares compreendido de 15 e 24
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 8
Transformaccedilotildees de tempo ou de espaccedilo
Encontra em KM ou em metros por segundos
1KM =1000M E 1 H = 60 60 = 3600s
Resoluccedilotildees de algumas transformaccedilotildees
54 KM H= 54X10001x3600 utilizar sempre a simplificaccedilatildeo ao maacuteximo entatildeo
54036=15ms
Tente resolver as transformaccedilotildees trabalhando com a divisatildeo multiplicaccedilatildeo e com a
simplificaccedilatildeo
a) 36 kmh =
b) 18 kmh =
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C) 720 kmh =
d) 90 kmh =
e) 1800 kmh =
f) 45 kmh =
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g) 702 kmh
Situaccedilatildeo de aprendizagem 9
Meacutetodo de Arredondamento
Em algumas situaccedilotildees no caacutelculo de medicaccedilatildeo precisamos agraves vezes arredondar os nuacutemeros
decimais neste caso existe uma regra bem faacutecil
Se o algarismo que vai ser eliminado for maior ou igual a 5 o primeiro algarismo substitui o
primeiro algarismo que estaacute a sua esquerda pelo seu sucessor
ndash O nuacutemero que vai ser eliminado (7) eacute ((igual ou maior ) neste caso eacute
maior que 5 portanto o 3 eacute substituiacutedo por 4
Vamos praticar o arredondamento
1) Arredondando ateacute as casa dos deacutecimos
a) 583= f) 477=
b) 675= g) 165=
c) 388= h) 708=
d) 293= i) 303=
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2) Arredondamento ateacute as casas das unidades
a) 273= b)155= c)402
d) 407= e) 203= f) 353=
g) 253= h) 259= i) 268
3) Arredonde ateacute as casas dos centeacutesimos
a) 142292= b) 28855= c) 27823=
d) 42195= e) 364567= f) 13406=
g) 28704= h) 28522= i) 24333=
Situaccedilatildeo de aprendizagem 10
Proporccedilotildees
Introduccedilatildeo
Propriedade fundamental das proporccedilotildees
Axd = bxc eacute muito importante ter esta propriedade em mente pois com ela saberemos se
certos nuacutemeros satildeo proporcionais ou natildeo
Exemplo
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Rogeriatildeo e Claudinho passeiam com seus cachorros Rogeriatildeo pesa 120kg e seu catildeo 40kg
Claudinho por sua vez pesa 48kg e seu catildeo 16kg
Observe a razatildeo entre o peso dos dois rapazes
Observe agora a razatildeo entre o peso dos cachorros
Verificamos que as duas razotildees satildeo iguais Nesse caso podemos afirmar que a igualdade
eacute uma proporccedilatildeo Proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre duas razotildees
12 e 16 satildeo proporcionais a 9 e 12
Utilizando a propriedade fundamental temos
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1216 = 912 utilizar o formato em cruz = 12x12 =16x9
Entatildeo teremos= 144 =144
Vamos praticar
1) Utilize a propriedade em formato de cruz
a) 48 e 1224 =
b) 3018 e 6036 =
c) 824 e 2030=
d) 1824 e 912=
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e) 54 e 108 =
f) 23 e 69 =
g) 46 e 818 =
h) 24X e 42120 =
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i) 2100 e 16X =
Situaccedilatildeo de aprendizagem 11
Regra de Trecircs
Vamos trabalhar um pouco com regra de trecircs
1) Se 150g de um medicamento custava R$ 300 00 quanto irei pagar por 700 g desse
medicamento
2) Se em 10 h uma maacutequina produz 240 peccedilas quantas peccedilas ela produziraacute em 8 h
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3) Com 100 kg de trigo eacute possiacutevel fazer 85 kg de farinha Quantos Kg de trigo seratildeo
necessaacuterios para fabricar 425 kg de farinha
4) Uma lata de cerveja de 350 ml tem 10 ml de aacutelcool Quanto ingeriu de aacutelcool uma
pessoa que bebeu 11 latas de cerveja
5) Um padeiro faz 40 patildees em uma hora Quantas horas ele gastaraacute para fazer 480 patildees
6) Haroldo comeu 5 esfirras em 4 minutos Quantos minutos ele precisaraacute para comer 15
esfirras
7) Uma maacutequina faz 40 litros de soro por minuto Quantos minutos ira gastar para fazer
800 litros de soro
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8) Uma enfermeira verificou que dentro de um vidro de remeacutedio tem 180 ml sabendo que dessa
quantia ela vai aplicar 13 em seu paciente Quantos ml iratildeo restar no frasco
9) Em uma feira de ciecircncia escolar os alunos montaram uma maquete em que o edifiacutecio de 25
metros de altura eacute representado por uma caixa de foacutesforos de 5 centiacutemetros de altura Para obter a
altura do preacutedio quantas caixas de foacutesforos seriam necessaacuterio
Situaccedilatildeo de aprendizagem 12
ATIVIDADE PARA NOTA
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1) Um determinado jogo de futebol teve dois tempos de exatos 45 minutos cada Durante 40
do 1ordm tempo a bola esteve em poder do time A e em 20 do 2ordm tempo em poder do time B
Em relaccedilatildeo ao jogo todo o tempo em que a bola permaneceu com o time A representa em
porcentagem
2) Em um depoacutesito haacute vaacuterias caixas todas de mesmo tamanho Se forem feitas pilhas
contendo em cada uma delas 6 ou 8 ou 10 caixas sempre sobraratildeo 0 caixas O nuacutemero
miacutenimo de caixas nesse depoacutesito eacute
(A) 123 (B) 120 (C) 117 (D) 105 (E) 99
3) A meacutedia das alturas de trecircs amigos eacute 160 m Se mais um amigo que mede 2 m entrar
nesse grupo qual seraacute a nova meacutedia das alturas
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4) Um funcionaacuterio de uma loja percebeu que 8 caixas fechadas de canetas menos 40 canetas
contecircm a mesma quantidade que 7 caixas fechadas mais 10 canetas O nuacutemero de canetas de
uma caixa eacute quanto
5) Em uma casa a aacuterea de um quarto eacute 12 da aacuterea da sala ambos retangulares e de medidas
indicadas nas figuras Nessas condiccedilotildees pode-se afirmar que o periacutemetro do quarto em
relaccedilatildeo ao periacutemetro da sala eacute
(A) o mesmo (B) a metade (C) 18 m maior (D) 52 m menor (E) 52 m maior
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6) Em um terreno com 200 m2 de aacuterea foram construiacutedos um barracatildeo e uma casa A casa
ocupa 35 da aacuterea total do terreno e o barracatildeo ocupa 25 da aacuterea restante Em relaccedilatildeo agrave aacuterea
total do terreno o barracatildeo e a casa ocupam juntos
(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)
70
7) Uma caixa drsquoaacutegua com capacidade para 1 000 litros que estava completamente vazia seraacute
cheia por uma mangueira que despeja 02 L de aacutegua por segundo O tempo necessaacuterio para
encher completamente essa caixa eacute
(A) 1 hora 23 minutos e 20 segundos
(B) 1 hora 23 minutos e 33 segundos
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 13
Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
ldquo
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
ldquo
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
ldquo
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
ldquo
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
ldquo
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
ldquo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
ldquo
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
ldquo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
ldquo
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
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wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
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e) E eacute o conjunto de nuacutemeros naturais maiores do que 7
f) F eacute o conjunto de nuacutemeros inteiros que elevado ao quadrado resultam em um nuacutemero
menor do que 10
g) G eacute o conjunto de nuacutemeros naturais que quando dobrado e somado a 1 resultam em um
nuacutemero maior do que 7
h) Quais satildeo os nuacutemeros naturais compreendidos entre 20 e 31
i) Nuacutemeros naturais pares compreendido de 15 e 24
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 8
Transformaccedilotildees de tempo ou de espaccedilo
Encontra em KM ou em metros por segundos
1KM =1000M E 1 H = 60 60 = 3600s
Resoluccedilotildees de algumas transformaccedilotildees
54 KM H= 54X10001x3600 utilizar sempre a simplificaccedilatildeo ao maacuteximo entatildeo
54036=15ms
Tente resolver as transformaccedilotildees trabalhando com a divisatildeo multiplicaccedilatildeo e com a
simplificaccedilatildeo
a) 36 kmh =
b) 18 kmh =
ldquo
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C) 720 kmh =
d) 90 kmh =
e) 1800 kmh =
f) 45 kmh =
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g) 702 kmh
Situaccedilatildeo de aprendizagem 9
Meacutetodo de Arredondamento
Em algumas situaccedilotildees no caacutelculo de medicaccedilatildeo precisamos agraves vezes arredondar os nuacutemeros
decimais neste caso existe uma regra bem faacutecil
Se o algarismo que vai ser eliminado for maior ou igual a 5 o primeiro algarismo substitui o
primeiro algarismo que estaacute a sua esquerda pelo seu sucessor
ndash O nuacutemero que vai ser eliminado (7) eacute ((igual ou maior ) neste caso eacute
maior que 5 portanto o 3 eacute substituiacutedo por 4
Vamos praticar o arredondamento
1) Arredondando ateacute as casa dos deacutecimos
a) 583= f) 477=
b) 675= g) 165=
c) 388= h) 708=
d) 293= i) 303=
ldquo
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2) Arredondamento ateacute as casas das unidades
a) 273= b)155= c)402
d) 407= e) 203= f) 353=
g) 253= h) 259= i) 268
3) Arredonde ateacute as casas dos centeacutesimos
a) 142292= b) 28855= c) 27823=
d) 42195= e) 364567= f) 13406=
g) 28704= h) 28522= i) 24333=
Situaccedilatildeo de aprendizagem 10
Proporccedilotildees
Introduccedilatildeo
Propriedade fundamental das proporccedilotildees
Axd = bxc eacute muito importante ter esta propriedade em mente pois com ela saberemos se
certos nuacutemeros satildeo proporcionais ou natildeo
Exemplo
ldquo
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Rogeriatildeo e Claudinho passeiam com seus cachorros Rogeriatildeo pesa 120kg e seu catildeo 40kg
Claudinho por sua vez pesa 48kg e seu catildeo 16kg
Observe a razatildeo entre o peso dos dois rapazes
Observe agora a razatildeo entre o peso dos cachorros
Verificamos que as duas razotildees satildeo iguais Nesse caso podemos afirmar que a igualdade
eacute uma proporccedilatildeo Proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre duas razotildees
12 e 16 satildeo proporcionais a 9 e 12
Utilizando a propriedade fundamental temos
ldquo
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1216 = 912 utilizar o formato em cruz = 12x12 =16x9
Entatildeo teremos= 144 =144
Vamos praticar
1) Utilize a propriedade em formato de cruz
a) 48 e 1224 =
b) 3018 e 6036 =
c) 824 e 2030=
d) 1824 e 912=
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e) 54 e 108 =
f) 23 e 69 =
g) 46 e 818 =
h) 24X e 42120 =
ldquo
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i) 2100 e 16X =
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Regra de Trecircs
Vamos trabalhar um pouco com regra de trecircs
1) Se 150g de um medicamento custava R$ 300 00 quanto irei pagar por 700 g desse
medicamento
2) Se em 10 h uma maacutequina produz 240 peccedilas quantas peccedilas ela produziraacute em 8 h
ldquo
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3) Com 100 kg de trigo eacute possiacutevel fazer 85 kg de farinha Quantos Kg de trigo seratildeo
necessaacuterios para fabricar 425 kg de farinha
4) Uma lata de cerveja de 350 ml tem 10 ml de aacutelcool Quanto ingeriu de aacutelcool uma
pessoa que bebeu 11 latas de cerveja
5) Um padeiro faz 40 patildees em uma hora Quantas horas ele gastaraacute para fazer 480 patildees
6) Haroldo comeu 5 esfirras em 4 minutos Quantos minutos ele precisaraacute para comer 15
esfirras
7) Uma maacutequina faz 40 litros de soro por minuto Quantos minutos ira gastar para fazer
800 litros de soro
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8) Uma enfermeira verificou que dentro de um vidro de remeacutedio tem 180 ml sabendo que dessa
quantia ela vai aplicar 13 em seu paciente Quantos ml iratildeo restar no frasco
9) Em uma feira de ciecircncia escolar os alunos montaram uma maquete em que o edifiacutecio de 25
metros de altura eacute representado por uma caixa de foacutesforos de 5 centiacutemetros de altura Para obter a
altura do preacutedio quantas caixas de foacutesforos seriam necessaacuterio
Situaccedilatildeo de aprendizagem 12
ATIVIDADE PARA NOTA
ldquo
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1) Um determinado jogo de futebol teve dois tempos de exatos 45 minutos cada Durante 40
do 1ordm tempo a bola esteve em poder do time A e em 20 do 2ordm tempo em poder do time B
Em relaccedilatildeo ao jogo todo o tempo em que a bola permaneceu com o time A representa em
porcentagem
2) Em um depoacutesito haacute vaacuterias caixas todas de mesmo tamanho Se forem feitas pilhas
contendo em cada uma delas 6 ou 8 ou 10 caixas sempre sobraratildeo 0 caixas O nuacutemero
miacutenimo de caixas nesse depoacutesito eacute
(A) 123 (B) 120 (C) 117 (D) 105 (E) 99
3) A meacutedia das alturas de trecircs amigos eacute 160 m Se mais um amigo que mede 2 m entrar
nesse grupo qual seraacute a nova meacutedia das alturas
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4) Um funcionaacuterio de uma loja percebeu que 8 caixas fechadas de canetas menos 40 canetas
contecircm a mesma quantidade que 7 caixas fechadas mais 10 canetas O nuacutemero de canetas de
uma caixa eacute quanto
5) Em uma casa a aacuterea de um quarto eacute 12 da aacuterea da sala ambos retangulares e de medidas
indicadas nas figuras Nessas condiccedilotildees pode-se afirmar que o periacutemetro do quarto em
relaccedilatildeo ao periacutemetro da sala eacute
(A) o mesmo (B) a metade (C) 18 m maior (D) 52 m menor (E) 52 m maior
ldquo
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6) Em um terreno com 200 m2 de aacuterea foram construiacutedos um barracatildeo e uma casa A casa
ocupa 35 da aacuterea total do terreno e o barracatildeo ocupa 25 da aacuterea restante Em relaccedilatildeo agrave aacuterea
total do terreno o barracatildeo e a casa ocupam juntos
(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)
70
7) Uma caixa drsquoaacutegua com capacidade para 1 000 litros que estava completamente vazia seraacute
cheia por uma mangueira que despeja 02 L de aacutegua por segundo O tempo necessaacuterio para
encher completamente essa caixa eacute
(A) 1 hora 23 minutos e 20 segundos
(B) 1 hora 23 minutos e 33 segundos
ldquo
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 13
Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
ldquo
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
ldquo
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
ldquo
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
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wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 8
Transformaccedilotildees de tempo ou de espaccedilo
Encontra em KM ou em metros por segundos
1KM =1000M E 1 H = 60 60 = 3600s
Resoluccedilotildees de algumas transformaccedilotildees
54 KM H= 54X10001x3600 utilizar sempre a simplificaccedilatildeo ao maacuteximo entatildeo
54036=15ms
Tente resolver as transformaccedilotildees trabalhando com a divisatildeo multiplicaccedilatildeo e com a
simplificaccedilatildeo
a) 36 kmh =
b) 18 kmh =
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C) 720 kmh =
d) 90 kmh =
e) 1800 kmh =
f) 45 kmh =
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g) 702 kmh
Situaccedilatildeo de aprendizagem 9
Meacutetodo de Arredondamento
Em algumas situaccedilotildees no caacutelculo de medicaccedilatildeo precisamos agraves vezes arredondar os nuacutemeros
decimais neste caso existe uma regra bem faacutecil
Se o algarismo que vai ser eliminado for maior ou igual a 5 o primeiro algarismo substitui o
primeiro algarismo que estaacute a sua esquerda pelo seu sucessor
ndash O nuacutemero que vai ser eliminado (7) eacute ((igual ou maior ) neste caso eacute
maior que 5 portanto o 3 eacute substituiacutedo por 4
Vamos praticar o arredondamento
1) Arredondando ateacute as casa dos deacutecimos
a) 583= f) 477=
b) 675= g) 165=
c) 388= h) 708=
d) 293= i) 303=
ldquo
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2) Arredondamento ateacute as casas das unidades
a) 273= b)155= c)402
d) 407= e) 203= f) 353=
g) 253= h) 259= i) 268
3) Arredonde ateacute as casas dos centeacutesimos
a) 142292= b) 28855= c) 27823=
d) 42195= e) 364567= f) 13406=
g) 28704= h) 28522= i) 24333=
Situaccedilatildeo de aprendizagem 10
Proporccedilotildees
Introduccedilatildeo
Propriedade fundamental das proporccedilotildees
Axd = bxc eacute muito importante ter esta propriedade em mente pois com ela saberemos se
certos nuacutemeros satildeo proporcionais ou natildeo
Exemplo
ldquo
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SAtildeO BENTO
Rogeriatildeo e Claudinho passeiam com seus cachorros Rogeriatildeo pesa 120kg e seu catildeo 40kg
Claudinho por sua vez pesa 48kg e seu catildeo 16kg
Observe a razatildeo entre o peso dos dois rapazes
Observe agora a razatildeo entre o peso dos cachorros
Verificamos que as duas razotildees satildeo iguais Nesse caso podemos afirmar que a igualdade
eacute uma proporccedilatildeo Proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre duas razotildees
12 e 16 satildeo proporcionais a 9 e 12
Utilizando a propriedade fundamental temos
ldquo
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1216 = 912 utilizar o formato em cruz = 12x12 =16x9
Entatildeo teremos= 144 =144
Vamos praticar
1) Utilize a propriedade em formato de cruz
a) 48 e 1224 =
b) 3018 e 6036 =
c) 824 e 2030=
d) 1824 e 912=
ldquo
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e) 54 e 108 =
f) 23 e 69 =
g) 46 e 818 =
h) 24X e 42120 =
ldquo
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i) 2100 e 16X =
Situaccedilatildeo de aprendizagem 11
Regra de Trecircs
Vamos trabalhar um pouco com regra de trecircs
1) Se 150g de um medicamento custava R$ 300 00 quanto irei pagar por 700 g desse
medicamento
2) Se em 10 h uma maacutequina produz 240 peccedilas quantas peccedilas ela produziraacute em 8 h
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3) Com 100 kg de trigo eacute possiacutevel fazer 85 kg de farinha Quantos Kg de trigo seratildeo
necessaacuterios para fabricar 425 kg de farinha
4) Uma lata de cerveja de 350 ml tem 10 ml de aacutelcool Quanto ingeriu de aacutelcool uma
pessoa que bebeu 11 latas de cerveja
5) Um padeiro faz 40 patildees em uma hora Quantas horas ele gastaraacute para fazer 480 patildees
6) Haroldo comeu 5 esfirras em 4 minutos Quantos minutos ele precisaraacute para comer 15
esfirras
7) Uma maacutequina faz 40 litros de soro por minuto Quantos minutos ira gastar para fazer
800 litros de soro
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8) Uma enfermeira verificou que dentro de um vidro de remeacutedio tem 180 ml sabendo que dessa
quantia ela vai aplicar 13 em seu paciente Quantos ml iratildeo restar no frasco
9) Em uma feira de ciecircncia escolar os alunos montaram uma maquete em que o edifiacutecio de 25
metros de altura eacute representado por uma caixa de foacutesforos de 5 centiacutemetros de altura Para obter a
altura do preacutedio quantas caixas de foacutesforos seriam necessaacuterio
Situaccedilatildeo de aprendizagem 12
ATIVIDADE PARA NOTA
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1) Um determinado jogo de futebol teve dois tempos de exatos 45 minutos cada Durante 40
do 1ordm tempo a bola esteve em poder do time A e em 20 do 2ordm tempo em poder do time B
Em relaccedilatildeo ao jogo todo o tempo em que a bola permaneceu com o time A representa em
porcentagem
2) Em um depoacutesito haacute vaacuterias caixas todas de mesmo tamanho Se forem feitas pilhas
contendo em cada uma delas 6 ou 8 ou 10 caixas sempre sobraratildeo 0 caixas O nuacutemero
miacutenimo de caixas nesse depoacutesito eacute
(A) 123 (B) 120 (C) 117 (D) 105 (E) 99
3) A meacutedia das alturas de trecircs amigos eacute 160 m Se mais um amigo que mede 2 m entrar
nesse grupo qual seraacute a nova meacutedia das alturas
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4) Um funcionaacuterio de uma loja percebeu que 8 caixas fechadas de canetas menos 40 canetas
contecircm a mesma quantidade que 7 caixas fechadas mais 10 canetas O nuacutemero de canetas de
uma caixa eacute quanto
5) Em uma casa a aacuterea de um quarto eacute 12 da aacuterea da sala ambos retangulares e de medidas
indicadas nas figuras Nessas condiccedilotildees pode-se afirmar que o periacutemetro do quarto em
relaccedilatildeo ao periacutemetro da sala eacute
(A) o mesmo (B) a metade (C) 18 m maior (D) 52 m menor (E) 52 m maior
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6) Em um terreno com 200 m2 de aacuterea foram construiacutedos um barracatildeo e uma casa A casa
ocupa 35 da aacuterea total do terreno e o barracatildeo ocupa 25 da aacuterea restante Em relaccedilatildeo agrave aacuterea
total do terreno o barracatildeo e a casa ocupam juntos
(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)
70
7) Uma caixa drsquoaacutegua com capacidade para 1 000 litros que estava completamente vazia seraacute
cheia por uma mangueira que despeja 02 L de aacutegua por segundo O tempo necessaacuterio para
encher completamente essa caixa eacute
(A) 1 hora 23 minutos e 20 segundos
(B) 1 hora 23 minutos e 33 segundos
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 13
Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
ldquo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
ldquo
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
ldquo
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
ldquo
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
ldquo
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
ldquo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
ldquo
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
ldquo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
ldquo
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
ldquo
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
ldquo
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
ldquo
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
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Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
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C) 720 kmh =
d) 90 kmh =
e) 1800 kmh =
f) 45 kmh =
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g) 702 kmh
Situaccedilatildeo de aprendizagem 9
Meacutetodo de Arredondamento
Em algumas situaccedilotildees no caacutelculo de medicaccedilatildeo precisamos agraves vezes arredondar os nuacutemeros
decimais neste caso existe uma regra bem faacutecil
Se o algarismo que vai ser eliminado for maior ou igual a 5 o primeiro algarismo substitui o
primeiro algarismo que estaacute a sua esquerda pelo seu sucessor
ndash O nuacutemero que vai ser eliminado (7) eacute ((igual ou maior ) neste caso eacute
maior que 5 portanto o 3 eacute substituiacutedo por 4
Vamos praticar o arredondamento
1) Arredondando ateacute as casa dos deacutecimos
a) 583= f) 477=
b) 675= g) 165=
c) 388= h) 708=
d) 293= i) 303=
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2) Arredondamento ateacute as casas das unidades
a) 273= b)155= c)402
d) 407= e) 203= f) 353=
g) 253= h) 259= i) 268
3) Arredonde ateacute as casas dos centeacutesimos
a) 142292= b) 28855= c) 27823=
d) 42195= e) 364567= f) 13406=
g) 28704= h) 28522= i) 24333=
Situaccedilatildeo de aprendizagem 10
Proporccedilotildees
Introduccedilatildeo
Propriedade fundamental das proporccedilotildees
Axd = bxc eacute muito importante ter esta propriedade em mente pois com ela saberemos se
certos nuacutemeros satildeo proporcionais ou natildeo
Exemplo
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Rogeriatildeo e Claudinho passeiam com seus cachorros Rogeriatildeo pesa 120kg e seu catildeo 40kg
Claudinho por sua vez pesa 48kg e seu catildeo 16kg
Observe a razatildeo entre o peso dos dois rapazes
Observe agora a razatildeo entre o peso dos cachorros
Verificamos que as duas razotildees satildeo iguais Nesse caso podemos afirmar que a igualdade
eacute uma proporccedilatildeo Proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre duas razotildees
12 e 16 satildeo proporcionais a 9 e 12
Utilizando a propriedade fundamental temos
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1216 = 912 utilizar o formato em cruz = 12x12 =16x9
Entatildeo teremos= 144 =144
Vamos praticar
1) Utilize a propriedade em formato de cruz
a) 48 e 1224 =
b) 3018 e 6036 =
c) 824 e 2030=
d) 1824 e 912=
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e) 54 e 108 =
f) 23 e 69 =
g) 46 e 818 =
h) 24X e 42120 =
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i) 2100 e 16X =
Situaccedilatildeo de aprendizagem 11
Regra de Trecircs
Vamos trabalhar um pouco com regra de trecircs
1) Se 150g de um medicamento custava R$ 300 00 quanto irei pagar por 700 g desse
medicamento
2) Se em 10 h uma maacutequina produz 240 peccedilas quantas peccedilas ela produziraacute em 8 h
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3) Com 100 kg de trigo eacute possiacutevel fazer 85 kg de farinha Quantos Kg de trigo seratildeo
necessaacuterios para fabricar 425 kg de farinha
4) Uma lata de cerveja de 350 ml tem 10 ml de aacutelcool Quanto ingeriu de aacutelcool uma
pessoa que bebeu 11 latas de cerveja
5) Um padeiro faz 40 patildees em uma hora Quantas horas ele gastaraacute para fazer 480 patildees
6) Haroldo comeu 5 esfirras em 4 minutos Quantos minutos ele precisaraacute para comer 15
esfirras
7) Uma maacutequina faz 40 litros de soro por minuto Quantos minutos ira gastar para fazer
800 litros de soro
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8) Uma enfermeira verificou que dentro de um vidro de remeacutedio tem 180 ml sabendo que dessa
quantia ela vai aplicar 13 em seu paciente Quantos ml iratildeo restar no frasco
9) Em uma feira de ciecircncia escolar os alunos montaram uma maquete em que o edifiacutecio de 25
metros de altura eacute representado por uma caixa de foacutesforos de 5 centiacutemetros de altura Para obter a
altura do preacutedio quantas caixas de foacutesforos seriam necessaacuterio
Situaccedilatildeo de aprendizagem 12
ATIVIDADE PARA NOTA
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1) Um determinado jogo de futebol teve dois tempos de exatos 45 minutos cada Durante 40
do 1ordm tempo a bola esteve em poder do time A e em 20 do 2ordm tempo em poder do time B
Em relaccedilatildeo ao jogo todo o tempo em que a bola permaneceu com o time A representa em
porcentagem
2) Em um depoacutesito haacute vaacuterias caixas todas de mesmo tamanho Se forem feitas pilhas
contendo em cada uma delas 6 ou 8 ou 10 caixas sempre sobraratildeo 0 caixas O nuacutemero
miacutenimo de caixas nesse depoacutesito eacute
(A) 123 (B) 120 (C) 117 (D) 105 (E) 99
3) A meacutedia das alturas de trecircs amigos eacute 160 m Se mais um amigo que mede 2 m entrar
nesse grupo qual seraacute a nova meacutedia das alturas
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4) Um funcionaacuterio de uma loja percebeu que 8 caixas fechadas de canetas menos 40 canetas
contecircm a mesma quantidade que 7 caixas fechadas mais 10 canetas O nuacutemero de canetas de
uma caixa eacute quanto
5) Em uma casa a aacuterea de um quarto eacute 12 da aacuterea da sala ambos retangulares e de medidas
indicadas nas figuras Nessas condiccedilotildees pode-se afirmar que o periacutemetro do quarto em
relaccedilatildeo ao periacutemetro da sala eacute
(A) o mesmo (B) a metade (C) 18 m maior (D) 52 m menor (E) 52 m maior
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6) Em um terreno com 200 m2 de aacuterea foram construiacutedos um barracatildeo e uma casa A casa
ocupa 35 da aacuterea total do terreno e o barracatildeo ocupa 25 da aacuterea restante Em relaccedilatildeo agrave aacuterea
total do terreno o barracatildeo e a casa ocupam juntos
(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)
70
7) Uma caixa drsquoaacutegua com capacidade para 1 000 litros que estava completamente vazia seraacute
cheia por uma mangueira que despeja 02 L de aacutegua por segundo O tempo necessaacuterio para
encher completamente essa caixa eacute
(A) 1 hora 23 minutos e 20 segundos
(B) 1 hora 23 minutos e 33 segundos
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 13
Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
ldquo
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
ldquo
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
ldquo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
ldquo
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
ldquo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
ldquo
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
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wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
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g) 702 kmh
Situaccedilatildeo de aprendizagem 9
Meacutetodo de Arredondamento
Em algumas situaccedilotildees no caacutelculo de medicaccedilatildeo precisamos agraves vezes arredondar os nuacutemeros
decimais neste caso existe uma regra bem faacutecil
Se o algarismo que vai ser eliminado for maior ou igual a 5 o primeiro algarismo substitui o
primeiro algarismo que estaacute a sua esquerda pelo seu sucessor
ndash O nuacutemero que vai ser eliminado (7) eacute ((igual ou maior ) neste caso eacute
maior que 5 portanto o 3 eacute substituiacutedo por 4
Vamos praticar o arredondamento
1) Arredondando ateacute as casa dos deacutecimos
a) 583= f) 477=
b) 675= g) 165=
c) 388= h) 708=
d) 293= i) 303=
ldquo
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2) Arredondamento ateacute as casas das unidades
a) 273= b)155= c)402
d) 407= e) 203= f) 353=
g) 253= h) 259= i) 268
3) Arredonde ateacute as casas dos centeacutesimos
a) 142292= b) 28855= c) 27823=
d) 42195= e) 364567= f) 13406=
g) 28704= h) 28522= i) 24333=
Situaccedilatildeo de aprendizagem 10
Proporccedilotildees
Introduccedilatildeo
Propriedade fundamental das proporccedilotildees
Axd = bxc eacute muito importante ter esta propriedade em mente pois com ela saberemos se
certos nuacutemeros satildeo proporcionais ou natildeo
Exemplo
ldquo
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Rogeriatildeo e Claudinho passeiam com seus cachorros Rogeriatildeo pesa 120kg e seu catildeo 40kg
Claudinho por sua vez pesa 48kg e seu catildeo 16kg
Observe a razatildeo entre o peso dos dois rapazes
Observe agora a razatildeo entre o peso dos cachorros
Verificamos que as duas razotildees satildeo iguais Nesse caso podemos afirmar que a igualdade
eacute uma proporccedilatildeo Proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre duas razotildees
12 e 16 satildeo proporcionais a 9 e 12
Utilizando a propriedade fundamental temos
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1216 = 912 utilizar o formato em cruz = 12x12 =16x9
Entatildeo teremos= 144 =144
Vamos praticar
1) Utilize a propriedade em formato de cruz
a) 48 e 1224 =
b) 3018 e 6036 =
c) 824 e 2030=
d) 1824 e 912=
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e) 54 e 108 =
f) 23 e 69 =
g) 46 e 818 =
h) 24X e 42120 =
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i) 2100 e 16X =
Situaccedilatildeo de aprendizagem 11
Regra de Trecircs
Vamos trabalhar um pouco com regra de trecircs
1) Se 150g de um medicamento custava R$ 300 00 quanto irei pagar por 700 g desse
medicamento
2) Se em 10 h uma maacutequina produz 240 peccedilas quantas peccedilas ela produziraacute em 8 h
ldquo
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3) Com 100 kg de trigo eacute possiacutevel fazer 85 kg de farinha Quantos Kg de trigo seratildeo
necessaacuterios para fabricar 425 kg de farinha
4) Uma lata de cerveja de 350 ml tem 10 ml de aacutelcool Quanto ingeriu de aacutelcool uma
pessoa que bebeu 11 latas de cerveja
5) Um padeiro faz 40 patildees em uma hora Quantas horas ele gastaraacute para fazer 480 patildees
6) Haroldo comeu 5 esfirras em 4 minutos Quantos minutos ele precisaraacute para comer 15
esfirras
7) Uma maacutequina faz 40 litros de soro por minuto Quantos minutos ira gastar para fazer
800 litros de soro
ldquo
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8) Uma enfermeira verificou que dentro de um vidro de remeacutedio tem 180 ml sabendo que dessa
quantia ela vai aplicar 13 em seu paciente Quantos ml iratildeo restar no frasco
9) Em uma feira de ciecircncia escolar os alunos montaram uma maquete em que o edifiacutecio de 25
metros de altura eacute representado por uma caixa de foacutesforos de 5 centiacutemetros de altura Para obter a
altura do preacutedio quantas caixas de foacutesforos seriam necessaacuterio
Situaccedilatildeo de aprendizagem 12
ATIVIDADE PARA NOTA
ldquo
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1) Um determinado jogo de futebol teve dois tempos de exatos 45 minutos cada Durante 40
do 1ordm tempo a bola esteve em poder do time A e em 20 do 2ordm tempo em poder do time B
Em relaccedilatildeo ao jogo todo o tempo em que a bola permaneceu com o time A representa em
porcentagem
2) Em um depoacutesito haacute vaacuterias caixas todas de mesmo tamanho Se forem feitas pilhas
contendo em cada uma delas 6 ou 8 ou 10 caixas sempre sobraratildeo 0 caixas O nuacutemero
miacutenimo de caixas nesse depoacutesito eacute
(A) 123 (B) 120 (C) 117 (D) 105 (E) 99
3) A meacutedia das alturas de trecircs amigos eacute 160 m Se mais um amigo que mede 2 m entrar
nesse grupo qual seraacute a nova meacutedia das alturas
ldquo
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4) Um funcionaacuterio de uma loja percebeu que 8 caixas fechadas de canetas menos 40 canetas
contecircm a mesma quantidade que 7 caixas fechadas mais 10 canetas O nuacutemero de canetas de
uma caixa eacute quanto
5) Em uma casa a aacuterea de um quarto eacute 12 da aacuterea da sala ambos retangulares e de medidas
indicadas nas figuras Nessas condiccedilotildees pode-se afirmar que o periacutemetro do quarto em
relaccedilatildeo ao periacutemetro da sala eacute
(A) o mesmo (B) a metade (C) 18 m maior (D) 52 m menor (E) 52 m maior
ldquo
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6) Em um terreno com 200 m2 de aacuterea foram construiacutedos um barracatildeo e uma casa A casa
ocupa 35 da aacuterea total do terreno e o barracatildeo ocupa 25 da aacuterea restante Em relaccedilatildeo agrave aacuterea
total do terreno o barracatildeo e a casa ocupam juntos
(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)
70
7) Uma caixa drsquoaacutegua com capacidade para 1 000 litros que estava completamente vazia seraacute
cheia por uma mangueira que despeja 02 L de aacutegua por segundo O tempo necessaacuterio para
encher completamente essa caixa eacute
(A) 1 hora 23 minutos e 20 segundos
(B) 1 hora 23 minutos e 33 segundos
ldquo
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
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Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
ldquo
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
ldquo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
ldquo
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
ldquo
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
ldquo
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
ldquo
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
ldquo
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
ldquo
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
ldquo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
ldquo
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
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wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
ldquo
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2) Arredondamento ateacute as casas das unidades
a) 273= b)155= c)402
d) 407= e) 203= f) 353=
g) 253= h) 259= i) 268
3) Arredonde ateacute as casas dos centeacutesimos
a) 142292= b) 28855= c) 27823=
d) 42195= e) 364567= f) 13406=
g) 28704= h) 28522= i) 24333=
Situaccedilatildeo de aprendizagem 10
Proporccedilotildees
Introduccedilatildeo
Propriedade fundamental das proporccedilotildees
Axd = bxc eacute muito importante ter esta propriedade em mente pois com ela saberemos se
certos nuacutemeros satildeo proporcionais ou natildeo
Exemplo
ldquo
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Rogeriatildeo e Claudinho passeiam com seus cachorros Rogeriatildeo pesa 120kg e seu catildeo 40kg
Claudinho por sua vez pesa 48kg e seu catildeo 16kg
Observe a razatildeo entre o peso dos dois rapazes
Observe agora a razatildeo entre o peso dos cachorros
Verificamos que as duas razotildees satildeo iguais Nesse caso podemos afirmar que a igualdade
eacute uma proporccedilatildeo Proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre duas razotildees
12 e 16 satildeo proporcionais a 9 e 12
Utilizando a propriedade fundamental temos
ldquo
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1216 = 912 utilizar o formato em cruz = 12x12 =16x9
Entatildeo teremos= 144 =144
Vamos praticar
1) Utilize a propriedade em formato de cruz
a) 48 e 1224 =
b) 3018 e 6036 =
c) 824 e 2030=
d) 1824 e 912=
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e) 54 e 108 =
f) 23 e 69 =
g) 46 e 818 =
h) 24X e 42120 =
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i) 2100 e 16X =
Situaccedilatildeo de aprendizagem 11
Regra de Trecircs
Vamos trabalhar um pouco com regra de trecircs
1) Se 150g de um medicamento custava R$ 300 00 quanto irei pagar por 700 g desse
medicamento
2) Se em 10 h uma maacutequina produz 240 peccedilas quantas peccedilas ela produziraacute em 8 h
ldquo
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3) Com 100 kg de trigo eacute possiacutevel fazer 85 kg de farinha Quantos Kg de trigo seratildeo
necessaacuterios para fabricar 425 kg de farinha
4) Uma lata de cerveja de 350 ml tem 10 ml de aacutelcool Quanto ingeriu de aacutelcool uma
pessoa que bebeu 11 latas de cerveja
5) Um padeiro faz 40 patildees em uma hora Quantas horas ele gastaraacute para fazer 480 patildees
6) Haroldo comeu 5 esfirras em 4 minutos Quantos minutos ele precisaraacute para comer 15
esfirras
7) Uma maacutequina faz 40 litros de soro por minuto Quantos minutos ira gastar para fazer
800 litros de soro
ldquo
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8) Uma enfermeira verificou que dentro de um vidro de remeacutedio tem 180 ml sabendo que dessa
quantia ela vai aplicar 13 em seu paciente Quantos ml iratildeo restar no frasco
9) Em uma feira de ciecircncia escolar os alunos montaram uma maquete em que o edifiacutecio de 25
metros de altura eacute representado por uma caixa de foacutesforos de 5 centiacutemetros de altura Para obter a
altura do preacutedio quantas caixas de foacutesforos seriam necessaacuterio
Situaccedilatildeo de aprendizagem 12
ATIVIDADE PARA NOTA
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1) Um determinado jogo de futebol teve dois tempos de exatos 45 minutos cada Durante 40
do 1ordm tempo a bola esteve em poder do time A e em 20 do 2ordm tempo em poder do time B
Em relaccedilatildeo ao jogo todo o tempo em que a bola permaneceu com o time A representa em
porcentagem
2) Em um depoacutesito haacute vaacuterias caixas todas de mesmo tamanho Se forem feitas pilhas
contendo em cada uma delas 6 ou 8 ou 10 caixas sempre sobraratildeo 0 caixas O nuacutemero
miacutenimo de caixas nesse depoacutesito eacute
(A) 123 (B) 120 (C) 117 (D) 105 (E) 99
3) A meacutedia das alturas de trecircs amigos eacute 160 m Se mais um amigo que mede 2 m entrar
nesse grupo qual seraacute a nova meacutedia das alturas
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4) Um funcionaacuterio de uma loja percebeu que 8 caixas fechadas de canetas menos 40 canetas
contecircm a mesma quantidade que 7 caixas fechadas mais 10 canetas O nuacutemero de canetas de
uma caixa eacute quanto
5) Em uma casa a aacuterea de um quarto eacute 12 da aacuterea da sala ambos retangulares e de medidas
indicadas nas figuras Nessas condiccedilotildees pode-se afirmar que o periacutemetro do quarto em
relaccedilatildeo ao periacutemetro da sala eacute
(A) o mesmo (B) a metade (C) 18 m maior (D) 52 m menor (E) 52 m maior
ldquo
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6) Em um terreno com 200 m2 de aacuterea foram construiacutedos um barracatildeo e uma casa A casa
ocupa 35 da aacuterea total do terreno e o barracatildeo ocupa 25 da aacuterea restante Em relaccedilatildeo agrave aacuterea
total do terreno o barracatildeo e a casa ocupam juntos
(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)
70
7) Uma caixa drsquoaacutegua com capacidade para 1 000 litros que estava completamente vazia seraacute
cheia por uma mangueira que despeja 02 L de aacutegua por segundo O tempo necessaacuterio para
encher completamente essa caixa eacute
(A) 1 hora 23 minutos e 20 segundos
(B) 1 hora 23 minutos e 33 segundos
ldquo
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 13
Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
ldquo
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
ldquo
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
ldquo
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
ldquo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
ldquo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
ldquo
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
ldquo
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
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wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
ldquo
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Rogeriatildeo e Claudinho passeiam com seus cachorros Rogeriatildeo pesa 120kg e seu catildeo 40kg
Claudinho por sua vez pesa 48kg e seu catildeo 16kg
Observe a razatildeo entre o peso dos dois rapazes
Observe agora a razatildeo entre o peso dos cachorros
Verificamos que as duas razotildees satildeo iguais Nesse caso podemos afirmar que a igualdade
eacute uma proporccedilatildeo Proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre duas razotildees
12 e 16 satildeo proporcionais a 9 e 12
Utilizando a propriedade fundamental temos
ldquo
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1216 = 912 utilizar o formato em cruz = 12x12 =16x9
Entatildeo teremos= 144 =144
Vamos praticar
1) Utilize a propriedade em formato de cruz
a) 48 e 1224 =
b) 3018 e 6036 =
c) 824 e 2030=
d) 1824 e 912=
ldquo
Tradiccedilatildeo em formar Profissionais com Qualidade
Avenida XV de Novembro 413-Centro - Ferraz de Vasconcelos ndashSP-CEP 08500-405
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e) 54 e 108 =
f) 23 e 69 =
g) 46 e 818 =
h) 24X e 42120 =
ldquo
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i) 2100 e 16X =
Situaccedilatildeo de aprendizagem 11
Regra de Trecircs
Vamos trabalhar um pouco com regra de trecircs
1) Se 150g de um medicamento custava R$ 300 00 quanto irei pagar por 700 g desse
medicamento
2) Se em 10 h uma maacutequina produz 240 peccedilas quantas peccedilas ela produziraacute em 8 h
ldquo
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3) Com 100 kg de trigo eacute possiacutevel fazer 85 kg de farinha Quantos Kg de trigo seratildeo
necessaacuterios para fabricar 425 kg de farinha
4) Uma lata de cerveja de 350 ml tem 10 ml de aacutelcool Quanto ingeriu de aacutelcool uma
pessoa que bebeu 11 latas de cerveja
5) Um padeiro faz 40 patildees em uma hora Quantas horas ele gastaraacute para fazer 480 patildees
6) Haroldo comeu 5 esfirras em 4 minutos Quantos minutos ele precisaraacute para comer 15
esfirras
7) Uma maacutequina faz 40 litros de soro por minuto Quantos minutos ira gastar para fazer
800 litros de soro
ldquo
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8) Uma enfermeira verificou que dentro de um vidro de remeacutedio tem 180 ml sabendo que dessa
quantia ela vai aplicar 13 em seu paciente Quantos ml iratildeo restar no frasco
9) Em uma feira de ciecircncia escolar os alunos montaram uma maquete em que o edifiacutecio de 25
metros de altura eacute representado por uma caixa de foacutesforos de 5 centiacutemetros de altura Para obter a
altura do preacutedio quantas caixas de foacutesforos seriam necessaacuterio
Situaccedilatildeo de aprendizagem 12
ATIVIDADE PARA NOTA
ldquo
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1) Um determinado jogo de futebol teve dois tempos de exatos 45 minutos cada Durante 40
do 1ordm tempo a bola esteve em poder do time A e em 20 do 2ordm tempo em poder do time B
Em relaccedilatildeo ao jogo todo o tempo em que a bola permaneceu com o time A representa em
porcentagem
2) Em um depoacutesito haacute vaacuterias caixas todas de mesmo tamanho Se forem feitas pilhas
contendo em cada uma delas 6 ou 8 ou 10 caixas sempre sobraratildeo 0 caixas O nuacutemero
miacutenimo de caixas nesse depoacutesito eacute
(A) 123 (B) 120 (C) 117 (D) 105 (E) 99
3) A meacutedia das alturas de trecircs amigos eacute 160 m Se mais um amigo que mede 2 m entrar
nesse grupo qual seraacute a nova meacutedia das alturas
ldquo
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4) Um funcionaacuterio de uma loja percebeu que 8 caixas fechadas de canetas menos 40 canetas
contecircm a mesma quantidade que 7 caixas fechadas mais 10 canetas O nuacutemero de canetas de
uma caixa eacute quanto
5) Em uma casa a aacuterea de um quarto eacute 12 da aacuterea da sala ambos retangulares e de medidas
indicadas nas figuras Nessas condiccedilotildees pode-se afirmar que o periacutemetro do quarto em
relaccedilatildeo ao periacutemetro da sala eacute
(A) o mesmo (B) a metade (C) 18 m maior (D) 52 m menor (E) 52 m maior
ldquo
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6) Em um terreno com 200 m2 de aacuterea foram construiacutedos um barracatildeo e uma casa A casa
ocupa 35 da aacuterea total do terreno e o barracatildeo ocupa 25 da aacuterea restante Em relaccedilatildeo agrave aacuterea
total do terreno o barracatildeo e a casa ocupam juntos
(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)
70
7) Uma caixa drsquoaacutegua com capacidade para 1 000 litros que estava completamente vazia seraacute
cheia por uma mangueira que despeja 02 L de aacutegua por segundo O tempo necessaacuterio para
encher completamente essa caixa eacute
(A) 1 hora 23 minutos e 20 segundos
(B) 1 hora 23 minutos e 33 segundos
ldquo
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 13
Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
ldquo
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
ldquo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
ldquo
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
ldquo
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
ldquo
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
ldquo
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
ldquo
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
ldquo
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
ldquo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
ldquo
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
ldquo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
ldquo
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
ldquo
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
ldquo
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
ldquo
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SAtildeO BENTO
coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
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Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
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1216 = 912 utilizar o formato em cruz = 12x12 =16x9
Entatildeo teremos= 144 =144
Vamos praticar
1) Utilize a propriedade em formato de cruz
a) 48 e 1224 =
b) 3018 e 6036 =
c) 824 e 2030=
d) 1824 e 912=
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e) 54 e 108 =
f) 23 e 69 =
g) 46 e 818 =
h) 24X e 42120 =
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i) 2100 e 16X =
Situaccedilatildeo de aprendizagem 11
Regra de Trecircs
Vamos trabalhar um pouco com regra de trecircs
1) Se 150g de um medicamento custava R$ 300 00 quanto irei pagar por 700 g desse
medicamento
2) Se em 10 h uma maacutequina produz 240 peccedilas quantas peccedilas ela produziraacute em 8 h
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3) Com 100 kg de trigo eacute possiacutevel fazer 85 kg de farinha Quantos Kg de trigo seratildeo
necessaacuterios para fabricar 425 kg de farinha
4) Uma lata de cerveja de 350 ml tem 10 ml de aacutelcool Quanto ingeriu de aacutelcool uma
pessoa que bebeu 11 latas de cerveja
5) Um padeiro faz 40 patildees em uma hora Quantas horas ele gastaraacute para fazer 480 patildees
6) Haroldo comeu 5 esfirras em 4 minutos Quantos minutos ele precisaraacute para comer 15
esfirras
7) Uma maacutequina faz 40 litros de soro por minuto Quantos minutos ira gastar para fazer
800 litros de soro
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8) Uma enfermeira verificou que dentro de um vidro de remeacutedio tem 180 ml sabendo que dessa
quantia ela vai aplicar 13 em seu paciente Quantos ml iratildeo restar no frasco
9) Em uma feira de ciecircncia escolar os alunos montaram uma maquete em que o edifiacutecio de 25
metros de altura eacute representado por uma caixa de foacutesforos de 5 centiacutemetros de altura Para obter a
altura do preacutedio quantas caixas de foacutesforos seriam necessaacuterio
Situaccedilatildeo de aprendizagem 12
ATIVIDADE PARA NOTA
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1) Um determinado jogo de futebol teve dois tempos de exatos 45 minutos cada Durante 40
do 1ordm tempo a bola esteve em poder do time A e em 20 do 2ordm tempo em poder do time B
Em relaccedilatildeo ao jogo todo o tempo em que a bola permaneceu com o time A representa em
porcentagem
2) Em um depoacutesito haacute vaacuterias caixas todas de mesmo tamanho Se forem feitas pilhas
contendo em cada uma delas 6 ou 8 ou 10 caixas sempre sobraratildeo 0 caixas O nuacutemero
miacutenimo de caixas nesse depoacutesito eacute
(A) 123 (B) 120 (C) 117 (D) 105 (E) 99
3) A meacutedia das alturas de trecircs amigos eacute 160 m Se mais um amigo que mede 2 m entrar
nesse grupo qual seraacute a nova meacutedia das alturas
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4) Um funcionaacuterio de uma loja percebeu que 8 caixas fechadas de canetas menos 40 canetas
contecircm a mesma quantidade que 7 caixas fechadas mais 10 canetas O nuacutemero de canetas de
uma caixa eacute quanto
5) Em uma casa a aacuterea de um quarto eacute 12 da aacuterea da sala ambos retangulares e de medidas
indicadas nas figuras Nessas condiccedilotildees pode-se afirmar que o periacutemetro do quarto em
relaccedilatildeo ao periacutemetro da sala eacute
(A) o mesmo (B) a metade (C) 18 m maior (D) 52 m menor (E) 52 m maior
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6) Em um terreno com 200 m2 de aacuterea foram construiacutedos um barracatildeo e uma casa A casa
ocupa 35 da aacuterea total do terreno e o barracatildeo ocupa 25 da aacuterea restante Em relaccedilatildeo agrave aacuterea
total do terreno o barracatildeo e a casa ocupam juntos
(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)
70
7) Uma caixa drsquoaacutegua com capacidade para 1 000 litros que estava completamente vazia seraacute
cheia por uma mangueira que despeja 02 L de aacutegua por segundo O tempo necessaacuterio para
encher completamente essa caixa eacute
(A) 1 hora 23 minutos e 20 segundos
(B) 1 hora 23 minutos e 33 segundos
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 13
Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
ldquo
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
ldquo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
ldquo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
ldquo
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
ldquo
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
ldquo
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
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wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
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e) 54 e 108 =
f) 23 e 69 =
g) 46 e 818 =
h) 24X e 42120 =
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i) 2100 e 16X =
Situaccedilatildeo de aprendizagem 11
Regra de Trecircs
Vamos trabalhar um pouco com regra de trecircs
1) Se 150g de um medicamento custava R$ 300 00 quanto irei pagar por 700 g desse
medicamento
2) Se em 10 h uma maacutequina produz 240 peccedilas quantas peccedilas ela produziraacute em 8 h
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3) Com 100 kg de trigo eacute possiacutevel fazer 85 kg de farinha Quantos Kg de trigo seratildeo
necessaacuterios para fabricar 425 kg de farinha
4) Uma lata de cerveja de 350 ml tem 10 ml de aacutelcool Quanto ingeriu de aacutelcool uma
pessoa que bebeu 11 latas de cerveja
5) Um padeiro faz 40 patildees em uma hora Quantas horas ele gastaraacute para fazer 480 patildees
6) Haroldo comeu 5 esfirras em 4 minutos Quantos minutos ele precisaraacute para comer 15
esfirras
7) Uma maacutequina faz 40 litros de soro por minuto Quantos minutos ira gastar para fazer
800 litros de soro
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8) Uma enfermeira verificou que dentro de um vidro de remeacutedio tem 180 ml sabendo que dessa
quantia ela vai aplicar 13 em seu paciente Quantos ml iratildeo restar no frasco
9) Em uma feira de ciecircncia escolar os alunos montaram uma maquete em que o edifiacutecio de 25
metros de altura eacute representado por uma caixa de foacutesforos de 5 centiacutemetros de altura Para obter a
altura do preacutedio quantas caixas de foacutesforos seriam necessaacuterio
Situaccedilatildeo de aprendizagem 12
ATIVIDADE PARA NOTA
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1) Um determinado jogo de futebol teve dois tempos de exatos 45 minutos cada Durante 40
do 1ordm tempo a bola esteve em poder do time A e em 20 do 2ordm tempo em poder do time B
Em relaccedilatildeo ao jogo todo o tempo em que a bola permaneceu com o time A representa em
porcentagem
2) Em um depoacutesito haacute vaacuterias caixas todas de mesmo tamanho Se forem feitas pilhas
contendo em cada uma delas 6 ou 8 ou 10 caixas sempre sobraratildeo 0 caixas O nuacutemero
miacutenimo de caixas nesse depoacutesito eacute
(A) 123 (B) 120 (C) 117 (D) 105 (E) 99
3) A meacutedia das alturas de trecircs amigos eacute 160 m Se mais um amigo que mede 2 m entrar
nesse grupo qual seraacute a nova meacutedia das alturas
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4) Um funcionaacuterio de uma loja percebeu que 8 caixas fechadas de canetas menos 40 canetas
contecircm a mesma quantidade que 7 caixas fechadas mais 10 canetas O nuacutemero de canetas de
uma caixa eacute quanto
5) Em uma casa a aacuterea de um quarto eacute 12 da aacuterea da sala ambos retangulares e de medidas
indicadas nas figuras Nessas condiccedilotildees pode-se afirmar que o periacutemetro do quarto em
relaccedilatildeo ao periacutemetro da sala eacute
(A) o mesmo (B) a metade (C) 18 m maior (D) 52 m menor (E) 52 m maior
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6) Em um terreno com 200 m2 de aacuterea foram construiacutedos um barracatildeo e uma casa A casa
ocupa 35 da aacuterea total do terreno e o barracatildeo ocupa 25 da aacuterea restante Em relaccedilatildeo agrave aacuterea
total do terreno o barracatildeo e a casa ocupam juntos
(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)
70
7) Uma caixa drsquoaacutegua com capacidade para 1 000 litros que estava completamente vazia seraacute
cheia por uma mangueira que despeja 02 L de aacutegua por segundo O tempo necessaacuterio para
encher completamente essa caixa eacute
(A) 1 hora 23 minutos e 20 segundos
(B) 1 hora 23 minutos e 33 segundos
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 13
Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
ldquo
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
ldquo
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
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I) 5X-6 = 30 - X
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Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
ldquo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
ldquo
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
ldquo
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
ldquo
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
ldquo
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
ldquo
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
ldquo
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wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
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i) 2100 e 16X =
Situaccedilatildeo de aprendizagem 11
Regra de Trecircs
Vamos trabalhar um pouco com regra de trecircs
1) Se 150g de um medicamento custava R$ 300 00 quanto irei pagar por 700 g desse
medicamento
2) Se em 10 h uma maacutequina produz 240 peccedilas quantas peccedilas ela produziraacute em 8 h
ldquo
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3) Com 100 kg de trigo eacute possiacutevel fazer 85 kg de farinha Quantos Kg de trigo seratildeo
necessaacuterios para fabricar 425 kg de farinha
4) Uma lata de cerveja de 350 ml tem 10 ml de aacutelcool Quanto ingeriu de aacutelcool uma
pessoa que bebeu 11 latas de cerveja
5) Um padeiro faz 40 patildees em uma hora Quantas horas ele gastaraacute para fazer 480 patildees
6) Haroldo comeu 5 esfirras em 4 minutos Quantos minutos ele precisaraacute para comer 15
esfirras
7) Uma maacutequina faz 40 litros de soro por minuto Quantos minutos ira gastar para fazer
800 litros de soro
ldquo
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8) Uma enfermeira verificou que dentro de um vidro de remeacutedio tem 180 ml sabendo que dessa
quantia ela vai aplicar 13 em seu paciente Quantos ml iratildeo restar no frasco
9) Em uma feira de ciecircncia escolar os alunos montaram uma maquete em que o edifiacutecio de 25
metros de altura eacute representado por uma caixa de foacutesforos de 5 centiacutemetros de altura Para obter a
altura do preacutedio quantas caixas de foacutesforos seriam necessaacuterio
Situaccedilatildeo de aprendizagem 12
ATIVIDADE PARA NOTA
ldquo
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1) Um determinado jogo de futebol teve dois tempos de exatos 45 minutos cada Durante 40
do 1ordm tempo a bola esteve em poder do time A e em 20 do 2ordm tempo em poder do time B
Em relaccedilatildeo ao jogo todo o tempo em que a bola permaneceu com o time A representa em
porcentagem
2) Em um depoacutesito haacute vaacuterias caixas todas de mesmo tamanho Se forem feitas pilhas
contendo em cada uma delas 6 ou 8 ou 10 caixas sempre sobraratildeo 0 caixas O nuacutemero
miacutenimo de caixas nesse depoacutesito eacute
(A) 123 (B) 120 (C) 117 (D) 105 (E) 99
3) A meacutedia das alturas de trecircs amigos eacute 160 m Se mais um amigo que mede 2 m entrar
nesse grupo qual seraacute a nova meacutedia das alturas
ldquo
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4) Um funcionaacuterio de uma loja percebeu que 8 caixas fechadas de canetas menos 40 canetas
contecircm a mesma quantidade que 7 caixas fechadas mais 10 canetas O nuacutemero de canetas de
uma caixa eacute quanto
5) Em uma casa a aacuterea de um quarto eacute 12 da aacuterea da sala ambos retangulares e de medidas
indicadas nas figuras Nessas condiccedilotildees pode-se afirmar que o periacutemetro do quarto em
relaccedilatildeo ao periacutemetro da sala eacute
(A) o mesmo (B) a metade (C) 18 m maior (D) 52 m menor (E) 52 m maior
ldquo
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6) Em um terreno com 200 m2 de aacuterea foram construiacutedos um barracatildeo e uma casa A casa
ocupa 35 da aacuterea total do terreno e o barracatildeo ocupa 25 da aacuterea restante Em relaccedilatildeo agrave aacuterea
total do terreno o barracatildeo e a casa ocupam juntos
(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)
70
7) Uma caixa drsquoaacutegua com capacidade para 1 000 litros que estava completamente vazia seraacute
cheia por uma mangueira que despeja 02 L de aacutegua por segundo O tempo necessaacuterio para
encher completamente essa caixa eacute
(A) 1 hora 23 minutos e 20 segundos
(B) 1 hora 23 minutos e 33 segundos
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 13
Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
ldquo
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
ldquo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
ldquo
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
ldquo
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
ldquo
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
ldquo
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
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EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
ldquo
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
ldquo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
ldquo
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
ldquo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
ldquo
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
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wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
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3) Com 100 kg de trigo eacute possiacutevel fazer 85 kg de farinha Quantos Kg de trigo seratildeo
necessaacuterios para fabricar 425 kg de farinha
4) Uma lata de cerveja de 350 ml tem 10 ml de aacutelcool Quanto ingeriu de aacutelcool uma
pessoa que bebeu 11 latas de cerveja
5) Um padeiro faz 40 patildees em uma hora Quantas horas ele gastaraacute para fazer 480 patildees
6) Haroldo comeu 5 esfirras em 4 minutos Quantos minutos ele precisaraacute para comer 15
esfirras
7) Uma maacutequina faz 40 litros de soro por minuto Quantos minutos ira gastar para fazer
800 litros de soro
ldquo
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8) Uma enfermeira verificou que dentro de um vidro de remeacutedio tem 180 ml sabendo que dessa
quantia ela vai aplicar 13 em seu paciente Quantos ml iratildeo restar no frasco
9) Em uma feira de ciecircncia escolar os alunos montaram uma maquete em que o edifiacutecio de 25
metros de altura eacute representado por uma caixa de foacutesforos de 5 centiacutemetros de altura Para obter a
altura do preacutedio quantas caixas de foacutesforos seriam necessaacuterio
Situaccedilatildeo de aprendizagem 12
ATIVIDADE PARA NOTA
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1) Um determinado jogo de futebol teve dois tempos de exatos 45 minutos cada Durante 40
do 1ordm tempo a bola esteve em poder do time A e em 20 do 2ordm tempo em poder do time B
Em relaccedilatildeo ao jogo todo o tempo em que a bola permaneceu com o time A representa em
porcentagem
2) Em um depoacutesito haacute vaacuterias caixas todas de mesmo tamanho Se forem feitas pilhas
contendo em cada uma delas 6 ou 8 ou 10 caixas sempre sobraratildeo 0 caixas O nuacutemero
miacutenimo de caixas nesse depoacutesito eacute
(A) 123 (B) 120 (C) 117 (D) 105 (E) 99
3) A meacutedia das alturas de trecircs amigos eacute 160 m Se mais um amigo que mede 2 m entrar
nesse grupo qual seraacute a nova meacutedia das alturas
ldquo
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4) Um funcionaacuterio de uma loja percebeu que 8 caixas fechadas de canetas menos 40 canetas
contecircm a mesma quantidade que 7 caixas fechadas mais 10 canetas O nuacutemero de canetas de
uma caixa eacute quanto
5) Em uma casa a aacuterea de um quarto eacute 12 da aacuterea da sala ambos retangulares e de medidas
indicadas nas figuras Nessas condiccedilotildees pode-se afirmar que o periacutemetro do quarto em
relaccedilatildeo ao periacutemetro da sala eacute
(A) o mesmo (B) a metade (C) 18 m maior (D) 52 m menor (E) 52 m maior
ldquo
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6) Em um terreno com 200 m2 de aacuterea foram construiacutedos um barracatildeo e uma casa A casa
ocupa 35 da aacuterea total do terreno e o barracatildeo ocupa 25 da aacuterea restante Em relaccedilatildeo agrave aacuterea
total do terreno o barracatildeo e a casa ocupam juntos
(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)
70
7) Uma caixa drsquoaacutegua com capacidade para 1 000 litros que estava completamente vazia seraacute
cheia por uma mangueira que despeja 02 L de aacutegua por segundo O tempo necessaacuterio para
encher completamente essa caixa eacute
(A) 1 hora 23 minutos e 20 segundos
(B) 1 hora 23 minutos e 33 segundos
ldquo
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 13
Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
ldquo
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
ldquo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
ldquo
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
ldquo
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
ldquo
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
ldquo
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
ldquo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
ldquo
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
ldquo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
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wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
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8) Uma enfermeira verificou que dentro de um vidro de remeacutedio tem 180 ml sabendo que dessa
quantia ela vai aplicar 13 em seu paciente Quantos ml iratildeo restar no frasco
9) Em uma feira de ciecircncia escolar os alunos montaram uma maquete em que o edifiacutecio de 25
metros de altura eacute representado por uma caixa de foacutesforos de 5 centiacutemetros de altura Para obter a
altura do preacutedio quantas caixas de foacutesforos seriam necessaacuterio
Situaccedilatildeo de aprendizagem 12
ATIVIDADE PARA NOTA
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1) Um determinado jogo de futebol teve dois tempos de exatos 45 minutos cada Durante 40
do 1ordm tempo a bola esteve em poder do time A e em 20 do 2ordm tempo em poder do time B
Em relaccedilatildeo ao jogo todo o tempo em que a bola permaneceu com o time A representa em
porcentagem
2) Em um depoacutesito haacute vaacuterias caixas todas de mesmo tamanho Se forem feitas pilhas
contendo em cada uma delas 6 ou 8 ou 10 caixas sempre sobraratildeo 0 caixas O nuacutemero
miacutenimo de caixas nesse depoacutesito eacute
(A) 123 (B) 120 (C) 117 (D) 105 (E) 99
3) A meacutedia das alturas de trecircs amigos eacute 160 m Se mais um amigo que mede 2 m entrar
nesse grupo qual seraacute a nova meacutedia das alturas
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4) Um funcionaacuterio de uma loja percebeu que 8 caixas fechadas de canetas menos 40 canetas
contecircm a mesma quantidade que 7 caixas fechadas mais 10 canetas O nuacutemero de canetas de
uma caixa eacute quanto
5) Em uma casa a aacuterea de um quarto eacute 12 da aacuterea da sala ambos retangulares e de medidas
indicadas nas figuras Nessas condiccedilotildees pode-se afirmar que o periacutemetro do quarto em
relaccedilatildeo ao periacutemetro da sala eacute
(A) o mesmo (B) a metade (C) 18 m maior (D) 52 m menor (E) 52 m maior
ldquo
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6) Em um terreno com 200 m2 de aacuterea foram construiacutedos um barracatildeo e uma casa A casa
ocupa 35 da aacuterea total do terreno e o barracatildeo ocupa 25 da aacuterea restante Em relaccedilatildeo agrave aacuterea
total do terreno o barracatildeo e a casa ocupam juntos
(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)
70
7) Uma caixa drsquoaacutegua com capacidade para 1 000 litros que estava completamente vazia seraacute
cheia por uma mangueira que despeja 02 L de aacutegua por segundo O tempo necessaacuterio para
encher completamente essa caixa eacute
(A) 1 hora 23 minutos e 20 segundos
(B) 1 hora 23 minutos e 33 segundos
ldquo
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 13
Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
ldquo
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
ldquo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
ldquo
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
ldquo
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
ldquo
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
ldquo
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SAtildeO BENTO
b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
ldquo
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
ldquo
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
ldquo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
ldquo
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
ldquo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
ldquo
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
ldquo
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
ldquo
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
ldquo
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
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wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
ldquo
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1) Um determinado jogo de futebol teve dois tempos de exatos 45 minutos cada Durante 40
do 1ordm tempo a bola esteve em poder do time A e em 20 do 2ordm tempo em poder do time B
Em relaccedilatildeo ao jogo todo o tempo em que a bola permaneceu com o time A representa em
porcentagem
2) Em um depoacutesito haacute vaacuterias caixas todas de mesmo tamanho Se forem feitas pilhas
contendo em cada uma delas 6 ou 8 ou 10 caixas sempre sobraratildeo 0 caixas O nuacutemero
miacutenimo de caixas nesse depoacutesito eacute
(A) 123 (B) 120 (C) 117 (D) 105 (E) 99
3) A meacutedia das alturas de trecircs amigos eacute 160 m Se mais um amigo que mede 2 m entrar
nesse grupo qual seraacute a nova meacutedia das alturas
ldquo
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4) Um funcionaacuterio de uma loja percebeu que 8 caixas fechadas de canetas menos 40 canetas
contecircm a mesma quantidade que 7 caixas fechadas mais 10 canetas O nuacutemero de canetas de
uma caixa eacute quanto
5) Em uma casa a aacuterea de um quarto eacute 12 da aacuterea da sala ambos retangulares e de medidas
indicadas nas figuras Nessas condiccedilotildees pode-se afirmar que o periacutemetro do quarto em
relaccedilatildeo ao periacutemetro da sala eacute
(A) o mesmo (B) a metade (C) 18 m maior (D) 52 m menor (E) 52 m maior
ldquo
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6) Em um terreno com 200 m2 de aacuterea foram construiacutedos um barracatildeo e uma casa A casa
ocupa 35 da aacuterea total do terreno e o barracatildeo ocupa 25 da aacuterea restante Em relaccedilatildeo agrave aacuterea
total do terreno o barracatildeo e a casa ocupam juntos
(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)
70
7) Uma caixa drsquoaacutegua com capacidade para 1 000 litros que estava completamente vazia seraacute
cheia por uma mangueira que despeja 02 L de aacutegua por segundo O tempo necessaacuterio para
encher completamente essa caixa eacute
(A) 1 hora 23 minutos e 20 segundos
(B) 1 hora 23 minutos e 33 segundos
ldquo
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 13
Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
ldquo
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
ldquo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
ldquo
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
ldquo
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
ldquo
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
ldquo
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SAtildeO BENTO
b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
ldquo
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
ldquo
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
ldquo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
ldquo
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
ldquo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
ldquo
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
ldquo
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
ldquo
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wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
ldquo
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4) Um funcionaacuterio de uma loja percebeu que 8 caixas fechadas de canetas menos 40 canetas
contecircm a mesma quantidade que 7 caixas fechadas mais 10 canetas O nuacutemero de canetas de
uma caixa eacute quanto
5) Em uma casa a aacuterea de um quarto eacute 12 da aacuterea da sala ambos retangulares e de medidas
indicadas nas figuras Nessas condiccedilotildees pode-se afirmar que o periacutemetro do quarto em
relaccedilatildeo ao periacutemetro da sala eacute
(A) o mesmo (B) a metade (C) 18 m maior (D) 52 m menor (E) 52 m maior
ldquo
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6) Em um terreno com 200 m2 de aacuterea foram construiacutedos um barracatildeo e uma casa A casa
ocupa 35 da aacuterea total do terreno e o barracatildeo ocupa 25 da aacuterea restante Em relaccedilatildeo agrave aacuterea
total do terreno o barracatildeo e a casa ocupam juntos
(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)
70
7) Uma caixa drsquoaacutegua com capacidade para 1 000 litros que estava completamente vazia seraacute
cheia por uma mangueira que despeja 02 L de aacutegua por segundo O tempo necessaacuterio para
encher completamente essa caixa eacute
(A) 1 hora 23 minutos e 20 segundos
(B) 1 hora 23 minutos e 33 segundos
ldquo
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 13
Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
ldquo
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
ldquo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
ldquo
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
ldquo
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
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R$100 foi dado um desconto de R$1000
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jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
ldquo
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SAtildeO BENTO
i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
ldquo
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SAtildeO BENTO
Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
ldquo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
ldquo
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
ldquo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
ldquo
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
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wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
ldquo
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6) Em um terreno com 200 m2 de aacuterea foram construiacutedos um barracatildeo e uma casa A casa
ocupa 35 da aacuterea total do terreno e o barracatildeo ocupa 25 da aacuterea restante Em relaccedilatildeo agrave aacuterea
total do terreno o barracatildeo e a casa ocupam juntos
(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E)
70
7) Uma caixa drsquoaacutegua com capacidade para 1 000 litros que estava completamente vazia seraacute
cheia por uma mangueira que despeja 02 L de aacutegua por segundo O tempo necessaacuterio para
encher completamente essa caixa eacute
(A) 1 hora 23 minutos e 20 segundos
(B) 1 hora 23 minutos e 33 segundos
ldquo
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 13
Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
ldquo
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
ldquo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
ldquo
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
ldquo
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
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EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
ldquo
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COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
ldquo
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SAtildeO BENTO
I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
ldquo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
ldquo
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
ldquo
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wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
ldquo
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(C) 1 hora 33 minutos e 30 segundos
(D) 2 horas 38 minutos e 20 segundos
(E) 2 horas 38 minutos e 33 segundos
8) Em uma cidade vivem 5000 habitantes Desses 45 satildeo mulheres tendo 28 das mulheres
mais de 18 anos Jaacute entre os homens os maiores de 18 anos representam 42 da populaccedilatildeo
a) Quantos habitantes dessa cidade satildeo homens
b) Quantos satildeo os homens com menos de 18 anos
c) Quantos satildeo as mulheres com mais de 18 anos
d) Quantos habitantes no geral tecircm mais de 18 anos
ldquo
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 13
Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
ldquo
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
ldquo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
ldquo
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
ldquo
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
ldquo
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
ldquo
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Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
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b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
ldquo
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
ldquo
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
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wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
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Situaccedilatildeo de aprendizagem 13
Situaccedilotildees Sequumlecircncias
Sequumlecircncia eacute todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estatildeo escritos em uma
determinada ordem
No estudo da matemaacutetica estudamos um tipo de sequumlecircncia a sequumlecircncia numeacuterica Essa
sequumlecircncia que estudamos em matemaacutetica eacute composta por nuacutemeros que estatildeo dispostos em
uma determinada ordem preacute-estabelecida
Ao representarmos uma sequumlecircncia numeacuterica devemos colocar seus elementos entre
parecircnteses Veja alguns exemplos de sequumlecircncias numeacutericas
bull (2 4 6 8 10 12 ) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros pares positivos
bull (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros naturais
bull (10 20 30 40 50) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 10
bull (10 15 20 30) eacute uma sequumlecircncia de nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que cinco e menores
que 35
Essas sequumlecircncias satildeo separadas em dois tipos
bull Sequumlecircncia finita eacute uma sequumlecircncia numeacuterica na qual os elementos tecircm fim como por
exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros muacuteltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35
bull Sequumlecircncia infinita eacute uma sequumlecircncia que natildeo possui fim ou seja seus elementos seguem ao
infinito por exemplo a sequumlecircncia dos nuacutemeros naturais
Em uma sequumlencia numeacuterica qualquer o primeiro termo eacute representado por a1 o segundo
termo eacute a2 o terceiro a3 e assim por diante Em uma sequumlecircncia numeacuterica finita desconhecida
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
ldquo
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
ldquo
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
ldquo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
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a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
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Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
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2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
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usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
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salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
ldquo
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
ldquo
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
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Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
ldquo
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o uacuteltimo elemento eacute representado por an A letra n determina o nuacutemero de elementos da
sequumlecircncia
(a1 a2 a3 a4 an ) sequumlecircncia infinita
(a1 a2 a3 a4 an) sequumlecircncia finita
Para obtermos os elementos de uma sequumlecircncia eacute preciso ter uma lei de formaccedilatildeo da sequumlecircncia
Por exemplo
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequumlecircncia tal que an = 10n + 1
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Portanto a sequumlecircncia seraacute (11 101 1001 10001 100001)
Abaixo satildeo dadas trecircs sequumlecircncias numeacutericas infinitas Observando cada uma delas Encontre
o que se pede
a 11111 Qual eacute o 100deg termo
b 112112112112112 Qual e o 92ordm termo
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c 548135481354813 Qual eacute o 25deg termo
d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
ldquo
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
ldquo
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
ldquo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
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Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
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estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
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d Observe a sequumlecircncia (112331123311233) suponha que permaneccedila a lei
de formaccedilatildeo dessa sequumlecircncia determine o 38deg e o 149deg termo
e Hoje eacute quarta-feira Devo pagar uma diacutevida daqui a exatamente 90 dias Em que dia da
semana cairaacute o 90deg dia
f Um processo de reflorestamento previa a plantaccedilatildeo de certo nuacutemero x de mudas de
aacutervores No primeiro dia foram plantadas 120 aacutervores e planejou-se que nos dias
seguintes seriam plantadas por dia 10 aacutervores a mais do que teria no dia anterior isso
sendo feito Quantas aacutervores seratildeo plantadas no seacutetimo dia
g Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo dia havia sido plantada a metade do total
previsto inicialmente
ldquo
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COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
ldquo
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
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COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
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wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
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h Qual eacute o nuacutemero x se no final do deacutecimo segundo dia havia sido plantado um terccedilo do
total previsto inicialmente
Situaccedilatildeo de aprendizagem 14
Sucessor e antecessor
Nuacutemeros sucessor e antecessor
O sucessor eacute todos aqueles nuacutemeros que vem depois antecessor eacute tudo aquilo vem antes
entatildeo os proacuteprios nomes jaacute dizem
o
O nuacutemero 6 seu sucessor 7
Quem eacute o antecessor de 5 eacute o 4
1) Indique entatildeo o sucessor e o antecessor
a) O sucessor de 1
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
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Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
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uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
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j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
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EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
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resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
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I) 5X-6 = 30 - X
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Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
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nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
Tradiccedilatildeo em formar Profissionais com Qualidade
Avenida XV de Novembro 413-Centro - Ferraz de Vasconcelos ndashSP-CEP 08500-405
Tel (11) 4678-5508- colegiosaobentouolcombr
COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
ldquo
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
ldquo
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
ldquo
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
ldquo
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
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wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
ldquo
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b) O antecessor de -1
c) O sucessor de 999
d) O sucessor de - 36
e) O antecessor de -101
f) O antecessor de 100
Situaccedilatildeo de aprendizagem 15
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a eacutepoca dos primeiros registros de civilizaccedilotildees
existentes na Terra Um dos primeiros indiacutecios apareceu na jaacute na Babilocircnia no ano de 2000
aC Nas citaccedilotildees mais antigas os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniecircncias emprestadas os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens
Muitas das praacuteticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empreacutestimo e devoluccedilatildeo
de sementes e de outros produtos agriacutecolas
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
ldquo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
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coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
ldquo
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
ldquo
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
ldquo
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
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Tradiccedilatildeo em formar Profissionais com Qualidade
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Tel (11) 4678-5508- colegiosaobentouolcombr
COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
ldquo
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A Histoacuteria tambeacutem revela que a ideacuteia se tinha tornado tatildeo bem estabelecida que jaacute existia
uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC com os escritoacuterios centrais na Babilocircnia
Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o
financiamento do comeacutercio internacional O juro natildeo eacute apenas uma das nossas mais antigas
aplicaccedilotildees da Matemaacutetica Financeira e Economia mas tambeacutem seus usos sofreram poucas
mudanccedilas atraveacutes dos tempos
Porcentagem
Eacute frequumlente o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos
medicamentos nuacutemeros ou quantidades sempre tomando por base 100 unidades
Alguns exemplos
A gasolina teve um aumento de 15 Significa que em cada R$10000 houve um
acreacutescimo de R$1500
O cliente recebeu um desconto de 10 em todas as mercadorias Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$1000
Dos jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques Significa que em cada 100
jogadores que jogam no Grecircmio 90 satildeo craques
Responda
a) Quantos satildeo 100 de 100 reais
ldquo
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COLEacuteGIO TEacuteCNICO
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
ldquo
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
ldquo
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SAtildeO BENTO
Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
ldquo
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SAtildeO BENTO
A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
ldquo
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I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
ldquo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
ldquo
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
ldquo
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
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b) Quantos satildeo 50 de 100 reais
c) Quantos satildeo 5 de 100 reais
d) Quantos satildeo 3 de 400 reais
e) Quantos satildeo 6 de 400 reais
f) Quantos satildeo 10 de 400 reais
g) Quantos satildeo 17 de 300 reais
h) Quantos satildeo 33 de 300 reais
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i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
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EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
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Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
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EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
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coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
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Expressatildeo algeacutebrica
ldquo
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
ldquo
Tradiccedilatildeo em formar Profissionais com Qualidade
Avenida XV de Novembro 413-Centro - Ferraz de Vasconcelos ndashSP-CEP 08500-405
Tel (11) 4678-5508- colegiosaobentouolcombr
COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
ldquo
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Avenida XV de Novembro 413-Centro - Ferraz de Vasconcelos ndashSP-CEP 08500-405
Tel (11) 4678-5508- colegiosaobentouolcombr
COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
ldquo
Tradiccedilatildeo em formar Profissionais com Qualidade
Avenida XV de Novembro 413-Centro - Ferraz de Vasconcelos ndashSP-CEP 08500-405
Tel (11) 4678-5508- colegiosaobentouolcombr
COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
ldquo
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COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
i) Quantos satildeo 37 de 300 reais
j) Quantos satildeo 3 de 300 reais
Situaccedilatildeo de aprendizagem 16
EQUACcedilAtildeO DO 1ordm GRAU
Equaccedilatildeo eacute qualquer igualdade que soacute eacute satisfeita para alguns valores dos seus domiacutenios
Ex 2x ndash 5 = 3 raquo o nuacutemero desconhecido x recebe o nome de incoacutegnita
De princiacutepio sem conhecer o valor da incoacutegnita x natildeo podemos afirmar se essa igualdade eacute
verdadeira ou falsa Poreacutem podemos verificar facilmente que a equaccedilatildeo acima se torna
verdadeira para x = 4
2x ndash 5 = 3 raquo 2x = 8 raquo x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto soluccedilatildeo (S) eacute 4
Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees do 1ordm grau
ldquo
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COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
ldquo
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SAtildeO BENTO
A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
ldquo
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COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
ldquo
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SAtildeO BENTO
Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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SAtildeO BENTO
a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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SAtildeO BENTO
Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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SAtildeO BENTO
Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
ldquo
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
ldquo
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SAtildeO BENTO
No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
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Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
ldquo
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
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ldquo
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Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
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Resolver uma equaccedilatildeo significa encontrar valores de seus domiacutenios que a satisfazem Para
resolver equaccedilotildees do 1ordm grau basta colocar as incoacutegnitas de um lado do sinal (=) e os
nuacutemeros do outro Para assimilarmos vamos resolver alguns exemplos
Determine o valor da incoacutegnita x
a) 2x ndash 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 raquo V = 9
b) 3 ndash 7(1-2x) = 5 ndash (x+9)
3 ndash7 + 14x = 5 ndash x ndash 9
14x + x = 5 ndash 9 ndash 3 + 7
15x= 0
x = 0 raquo V= 0
Resolva as atividades como o exemplo
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A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
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Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
ldquo
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
ldquo
Tradiccedilatildeo em formar Profissionais com Qualidade
Avenida XV de Novembro 413-Centro - Ferraz de Vasconcelos ndashSP-CEP 08500-405
Tel (11) 4678-5508- colegiosaobentouolcombr
COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
ldquo
Tradiccedilatildeo em formar Profissionais com Qualidade
Avenida XV de Novembro 413-Centro - Ferraz de Vasconcelos ndashSP-CEP 08500-405
Tel (11) 4678-5508- colegiosaobentouolcombr
COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
ldquo
Tradiccedilatildeo em formar Profissionais com Qualidade
Avenida XV de Novembro 413-Centro - Ferraz de Vasconcelos ndashSP-CEP 08500-405
Tel (11) 4678-5508- colegiosaobentouolcombr
COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
ldquo
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COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
A) 2X+3=17
B) 2X+4 = 20
C) 2X-2 = 2
D) 2X-2 = 12
E)- 12 = ndash 4X +4
F) 3X-3 = 6
G) 4A+3 = 20
H) -10 = X -8
ldquo
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COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
I) 5X-6 = 30 - X
Situaccedilatildeo de aprendizagem 17
Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
ldquo
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COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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SAtildeO BENTO
Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
ldquo
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SAtildeO BENTO
b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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SAtildeO BENTO
e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
ldquo
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SAtildeO BENTO
No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
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Multiplique 4
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Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
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estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
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REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
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CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
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a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
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Fraccedilotildees
O que eacute uma fraccedilatildeo
Fraccedilatildeo eacute um nuacutemero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade
ou um inteiro Assim por exemplo se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro
partes iguais cada parte representaraacute uma fraccedilatildeo da pizza
Qual o significado de uma fraccedilatildeo
ldquo
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Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
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coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
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Expressatildeo algeacutebrica
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
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Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
ldquo
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
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a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
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ldquo
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Avenida XV de Novembro 413-Centro - Ferraz de Vasconcelos ndashSP-CEP 08500-405
Tel (11) 4678-5508- colegiosaobentouolcombr
COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
ldquo
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SAtildeO BENTO
Uma fraccedilatildeo significa dividir algo em partes iguais Assim ab indica a b sendo a e b
nuacutemeros naturais e b diferente de 0 a representa o numerador e b o denominador
Fraccedilotildees equivalentes satildeo fraccedilotildees que representam a mesma parte de um todo como o proacuteprio
nome jaacute diz satildeo equivalentes
Simplificaccedilatildeo de fraccedilotildees Para simplificarmos uma fraccedilatildeo devemos dividir o numerador e o
denominador por um mesmo nuacutemero inteiro Observem comparando com os quadradinhos
acima
Exerciacutecios
1-Vamos fazer algumas simplificaccedilotildees de fraccedilatildeo
ldquo
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COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
ldquo
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COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
ldquo
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
ldquo
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
ldquo
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COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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SAtildeO BENTO
c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
ldquo
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
ldquo
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SAtildeO BENTO
coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
ldquo
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a) 616=
b) 2530= c) 936= d) 1530= e) 610=
f) 2436=
g) 836= h) 1545= i) 390= j) 40100=
2- Vamos representar algumas fraccedilotildees ldquoparte pintadardquo
a) _____ b ) ______
c) ___________ d) _______
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
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representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
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2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
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A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
ldquo
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estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
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Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
ldquo
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Alguns exerciacutecios de fraccedilatildeo
1 ndash Sabendo que um sexto de uma pizza custa 3 reais quanto custa
aTrecircs sexto da pizza
b Cinco sexto da pizza
c A pizza toda
2- Se 37 do que eu tenho eacute 195 reais a quanto corresponde 45 do que eu tenho
Situaccedilatildeo de aprendizagem 18
EQUACcedilAtildeO DO 2ordm GRAU ou BHASKARA
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
ldquo
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SAtildeO BENTO
b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
ldquo
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
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representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
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Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
ldquo
Tradiccedilatildeo em formar Profissionais com Qualidade
Avenida XV de Novembro 413-Centro - Ferraz de Vasconcelos ndashSP-CEP 08500-405
Tel (11) 4678-5508- colegiosaobentouolcombr
COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
ldquo
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Avenida XV de Novembro 413-Centro - Ferraz de Vasconcelos ndashSP-CEP 08500-405
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COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
ldquo
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Denomina-se equaccedilatildeo do segundo grau toda a equaccedilatildeo do tipo axsup2+bx+c com
coeficientes numeacutericos ab e c com a diferente 0
Exemplos
Vamos utilizar a Equaccedilatildeo do 2deg Grau ou Bhaskara
1deg FORMULA =
2deg FORMULA=
1) Vamos resolver os exerciacutecios com a explicaccedilatildeo do professor
a)2x2 + x -10 = 0
a = 2 b = 1 c = (- 10)
ldquo
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
Situaccedilatildeo de aprendizagem 19
Expressatildeo algeacutebrica
ldquo
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COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
ldquo
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Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
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estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
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b) 3x2 -7x +2 = 0
a = b = c =
c) X2 = 0
d) 3x2 - 10x + 3 = 0
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e) 2x2-3x ndash 2 = 0
f) x2 ndash 5x + 6 = 0
J) - x2 ndash x ndash 20 = 0
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usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
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Adicione 2
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A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
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estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
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usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
disponiacutevel e T eacute o valor do troco entatildeo temos uma expressatildeo algeacutebrica do tipo V-(1x+1y)=T
Conceitos de nuacutemeros inteiros com expressotildees algeacutebricas usando a soma multiplicaccedilatildeo
divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
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Divida 2
Subtraia o inicial
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Multiplique 4
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Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
ldquo
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
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ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
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BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
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No cotidiano muitas vezes usamos expressotildees sem perceber que as mesmas
representam expressotildees algeacutebricas ou numeacutericas
Numa papelaria quando calculamos o preccedilo de um caderno somado ao preccedilo de duas canetas
usamos expressotildees como 1x+2y onde x representa o preccedilo do caderno e y o preccedilo de cada
caneta
Num coleacutegio ao comprar um lanche somamos o preccedilo de um refrigerante com o preccedilo de um
salgado usando expressotildees do tipo 1x+1y onde x representa o preccedilo do salgado e y o preccedilo
do refrigerante
Usamos a subtraccedilatildeo para saber o valor do troco Por exemplo se V eacute o valor total de dinheiro
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divisatildeo e a subtraccedilatildeo
1) De acordo com a tabela abaixo resolva as operaccedilotildees seguintes
b c p q y
10 15 18 25 36
a) b c +8 =
b) q q -2 =
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d) 3c + 025 =
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Divida 2
ldquo
Tradiccedilatildeo em formar Profissionais com Qualidade
Avenida XV de Novembro 413-Centro - Ferraz de Vasconcelos ndashSP-CEP 08500-405
Tel (11) 4678-5508- colegiosaobentouolcombr
COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
Subtraia
inicialmente
Curiosidades
Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
ldquo
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COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
Graduado em Matemaacutetica
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
ZANINI AC e OGAS Farmacologia aplicada Satildeo Paulo Atheneu 1979
ASPERHENMK Farmacologia para Enfermagem ed Rio de Janeiro
BONGIOVANNIV ETal Matemaacutetica e vida Satildeo Paulo Aacutetica1990
CASTRUCCIB ETAL Conquista da matemaacutetica teoria e aplicaccedilatildeo Satildeo Paulo
SERVICcedilO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL (matemaacutetica baacutesica para
a mecacircnica Satildeo Paulo SENAICETDIE1982
Sites de ajuda a pesquisa de Matemaacutetica
wwwsomatematicacombr
ldquo
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Avenida XV de Novembro 413-Centro - Ferraz de Vasconcelos ndashSP-CEP 08500-405
Tel (11) 4678-5508- colegiosaobentouolcombr
COLEacuteGIO TEacuteCNICO
SAtildeO BENTO
wwwmatematicadidaticacombr
wwwmundoeducacaocombr
Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
ldquo
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c) 2 p b +1 =
d) 3c + 025 =
Quatro operaccedilotildees
2) Trabalhando com a tabela todas as funccedilotildees
ndeg inicial 2 4 6 8
Multiplique 2
adicione4
Divida 2
Subtraia o inicial
Ndeg inicial 4 6 8 1
Multiplique 4
Adicione 2
Divida 2
ldquo
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Pressatildeo Sanguiacutenea
A Matemaacutetica e a Fiacutesica satildeo responsaacuteveis pela explicaccedilatildeo de inuacutemeros fatos ocorridos na natureza
Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
A alta da pressatildeo arterial ocorre mediante a diminuiccedilatildeo do diacircmetro das arteacuterias pois nesse caso o
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coraccedilatildeo deve aumentar a forccedila do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo Esse
estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
Por Marcos Noeacute
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REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAFICAS
STAUTNS ET al Manual de Drogas e Soluccedilotildees Satildeo Paulo EPU1986
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Agradecimentos
Agradecemos a toda equipe do Coleacutegio Teacutecnico Satildeo Bento e em especial ao Professor
Fabio Desideacuterio que participou da revisatildeo desta apostila
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Um processo vital para o ser humano eacute a circulaccedilatildeo de sangue pelo corpo Ao bater o coraccedilatildeo
impulsiona o sangue oxigenado pelas arteacuterias para todas as partes do corpo retornando ao proacuteprio
coraccedilatildeo carregado de gaacutes carbocircnico (orientado pelas veias) que por sua vez eacute bombeado ao pulmatildeo
visando agraves trocas gasosas
Ao circular o sangue encontra o atrito das paredes arteriais por isso o coraccedilatildeo bate
sistematicamente em intervalos regulares Temos dois tipos de pressatildeo uma decorrente da forccedila
imposta pelo coraccedilatildeo e outra imposta pelo calibre arterial A forccedila realizada pelo coraccedilatildeo para
impulsionar o sangue eacute denominada de sistoacutelica (pressatildeo maacutexima) e a resistecircncia oferecida pelas
paredes arteriais ao sangue impulsionado eacute chamada de diastoacutelica (pressatildeo miacutenima)
Quando medimos nossa pressatildeo arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanocircmetro e
detectamos por exemplo o valor de 11 por 7 estamos sendo informados que nossa pressatildeo maacutexima eacute
de 110 mmHg (miliacutemetros de mercuacuterio) e a pressatildeo miacutenima eacute de 70 mmHg O coraccedilatildeo impulsiona o
sangue a uma forccedila de 110 e a resistecircncia da parede arterial eacute de 70 Esse valor utilizado como
exemplo eacute considerado como uma pressatildeo sanguiacutenea normal
A unidade de medida da pressatildeo arterial dada por mmHg foi criada em 1643 por Evangelista
Torricelli fiacutesico e matemaacutetico italiano A medida de 1 mmHg corresponde a 13332 Pa (Pascal) 133
mb (Milibar) e 000131578947368 atm (Atmosfera) que satildeo unidades de medidas de pressatildeo de
acordo com o SI (Sistema Internacional de Medidas)
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estreitamento das arteacuterias pode ser de origem natural ou devido agrave alimentaccedilatildeo rica em gorduras e
sal que se alojam na parede das arteacuterias proacuteximas ao coraccedilatildeo As bebidas alcooacutelicas e o cigarro
tambeacutem influenciam no aumento da pressatildeo
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