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NEEJA: NÚCLEO DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS

CONSTRUINDO UM NOVO MUNDO”

APOSTILA DE MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO

MÓDULO - 7

PROFESSOR: Suzerly Fatima Bonotto

Ano: 2015

2

NEEJA-NÚCLEO ESTADUAL DE EDUCAÇÃODE JOVENS E ADULTOS “CULTURA POPULAR CONSTRUINDO UM NOVO MUNDO”

APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO

MÓDULO 7

ÁLGEBRA-

A álgebra trata de fatos genéricos da aritmética dos números, das matrizes,

dos vetores, dos polinômios, para citar apenas alguns. Assim como aritmética dos

números, a álgebra também trata de operações ‘e de suas propriedades. A palavra

“aritmética” origina-se do grego arithmos, que quer dizer números.

A álgebra vai trabalhar com a linguagem matemática como instrumento de

comunicação a serviço do desenvolvimento científico e tecnológico. Por ser

universalmente utilizada e compreendida, e por causa do uso crescente da tecnologia

(computadores, telefones celulares, entre outras), a linguagem matemática é cada vez

mais necessária. Atualmente o conhecimento matemático vem se tornando fundamental

para quase todas as atividades profissionais, para a compreensão da informação e para

que haja maior intercâmbio entre os povos de várias línguas. Além disso, várias

ciências, como a Física e a Química, exprimem suas leis e resultados de pesquisa

utilizando a linguagem algébrica. Você sabe o que significa a expressão x+1? Saberia

dizer o valor de x, se x+1=5? Qual é o nome que se dá a essa última expressão? E o

resultado x+2x+4+5x?

A seguir, estudaremos equações do 1°grau (nome dado a essas expressões),

começando com expressões mais simples, para facilitar a compreensão. Leia o quadro

ao lado e conheça um pouco do termo álgebra e sua utilização. Tente descobrir o que

está sendo feito na tabela a seguir:

Cálculo do valor numérico de expressões:

Expressão Variável Valor

numérico, se a

variável vale 1

Valor

numérico, se a

variável vale 2

Valor

numérico, se a

variável vale 0

x+1 x 1+1=2 2+1=3 0+1=1

p-4 p 1-4=-3 2-4=-2 0-4=-4

2y+5 y 2.1+1+5=7 2.2+5=9 2.0+5=5

z²-z z 1²-1=1-1=0 2²-2=4-2 0²-0=0

3t+t t 3.1+1=4 3.2+2=8 3.0+0=0

3

Você deve ter repara do que a letra em cada expressão é atribuída pelo valor

indicado. Nesse caso, os valores são 0,1 e 2.Vale lembrar que uma expressão algébrica

pode representar constantes, variáveis ou uma combinação delas por meio de uma

seqüência de Operações matemáticas (adição, subtração, multiplicação, divisão,

radiciação, potenciação). Ou seja, números e letras são unidos por meio de operações

matemáticas. As letras podem assumir qualquer valor numérico e, sendo assim,

constituem a parte variável da expressão. Por isso podemos chamá-las de variável.

1. Expresse, usando a linguagem algébrica:

a) O dobro da idade de João.

b) A idade de meu avô é o triplo da minha idade.

c)Soma de um número com314 é igual a 4765.

d) A soma de dos números desconhecidos.

e)O número de meninas numa turma de 46 alunos, dos quais 25 são meninos.

2. Determine o valor numérico das expressões algébricas:

a )x+4 para x=4

b)p-4 para p=4

c )2k-3 para k=1

d)4-y para y=0

e)5t+6 para t=2

3. Calcule o valor de x nas equações:

a) 3x=90 g) 2=7y-5

b) 2x+80=3x h) 5c+2=3-9

c) x+50=3x+20 d) x-5=8 e) x-5=8 f) 3x+6=12

FUNÇÕES

4

O estudo das funções é importante, uma vez que elas podem ser aplicadas em

diferentes circunstâncias: nas engenharias, no cálculo estatístico de animais em

extinção, etc. O significado de função é intrínseco à matemática, permanecendo o

mesmo para qualquer tipo de função, seja ela do 1° ou do 2° grau, ou uma função

exponencial ou logarítmica. Portanto, a função é utilizada para relacionar valores

numéricos de uma determinada expressão algébrica de acordo com cada valor que a

variável x assume. Sendo assim, a função do 1° grau relacionará os valores numéricos

obtidos de expressões algébricas do tipo (ax + b), constituindo, assim, a função f(x) = ax

+ b.

Note que para definir a função do 1° grau, basta haver uma expressão algébrica

do 1° grau. Como dito anteriormente, o objetivo da função é relacionar para cada valor

de x um valor para o f(x). Vejamos um exemplo para a função f(x)= x – 2.

x = 1, temos que f(1) = 1 – 2 = – 1

x = 4 temos que f(4) = 4 – 2 = 2

Note que os valores numéricos mudam conforme o valor de x é alterado, sendo

assim obtemos diversos pares ordenados, constituídos da seguinte maneira: (x, f(x)).

Veja que para cada coordenada x, iremos obter uma coordenada f(x). Isso auxilia na

construção de gráficos das funções.

Portanto, para que o estudo das funções do 1° grau seja realizado com sucesso,

compreenda bem a construção de um gráfico e a manipulação algébrica das incógnitas e

dos coeficientes.

Exemplo- 1

1-Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B.

Condições dos planos:

Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 140,00 e R$ 20,00 por consulta num certo

período.

Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 110,00 e R$ 25,00 por consulta num certo

período.

Temos que o gasto total de cada plano é dado em função do número de consultas x

dentro do período pré – estabelecido.

Vamos determinar:

5

a) A função correspondente a cada plano.

b) Em qual situação o plano A é mais econômico; o plano B é mais econômico; os dois

se equivalem.

a) Plano A: f(x) = 20x + 140

Plano B: g(x) = 25x + 110

b) Para que o plano A seja mais econômico:

g(x) > f(x)

25x + 110 > 20x + 140

25x – 20x > 140 – 110

5x > 30

x > 30/5

x > 6

Para que o Plano B seja mais

Econômico:

g(x) < f(x)

25x+110<20x+140

25x-20x<140-110

5x<30 x<30/5 x< 6

Para que eles sejam equivalentes:

g(x) = f(x)

25x + 110 = 20x + 140

25x – 20x = 140-110

5x = 30

x = 30/5 x = 6

O plano mais econômico será:

Plano A = quando o número de consultas for maior que 6.

Plano B = quando número de consultas for menor que 6.

Os dois planos serão equivalentes quando o número de consultas for igual a 6.

Exemplo 2-

6

Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$ 16,00 mais um custo

variável de R$ 1,50 por unidade produzida. Sendo x o número de peças unitárias

produzidas, determine:

a) A lei da função que fornece o custo da produção de x peças;

b) Calcule o custo de produção de 400 peças.

Respostas

a) f(x) = 1,5x + 16

b) f(x) = 1,5x + 16

f(400) = 1,5 x 400 + 16

f(400) = 600 + 16

f(400) = 616

O custo para produzir 400 peças será de R$ 616,00.

Exemplo 3

3- Em uma determinada cidade, os táxis comuns cobram R$3,20 pela bandeirada e

R$1,20 pelo quilômetro rodado. Sendo y o valor a ser pago e x os quilômetros

percorridos:

1. Quanto o passageiro pagará caso percorra somente 1 km?

2. E se ele percorrer 3 km?

3. E se percorrer 5 km?

4. Sendo A o conjunto dos elementos x e B o conjunto dos elementos y, construa um

diagrama de flechas.

5. Qual a relação matemática que indica a relação entre y(valor a ser pago) e x

(quilômetros percorridos)?

Agora veja a solução dos exercícios:

1. Aqui, o valor da bandeira é fixo e a quantidade de quilômetros rodados irá variar.

Assim temos: y=3,20+1,20. 1=4,40(caso o passageiro percorra somente 1km).

2. Caso percorra 3 km, temos y=3,20+1,20. 3= R$6,80

3. Caso ele percorra 5 km, temos y=3,20+1,20. 5=9,204.

7

4 A partir dos valores de x(quilômetros percorridos) indicados em A, podemos construir

o seguinte diagrama de flechas:

5. A função que estabelece essa relação entre y(valor pago) e x (quilômetros

percorridos) é: y= 3,20+ 1,20 x.

Exemplo 4-Sabendo que o preço da passagem de ônibus urbano comum era de São

Paulo era de R$2,70 em setembro de 2010, observe a tabela e tente responder a questão.

x

Passagens 1 2 4 7

Valor pago 1.2,70=2,70 2.2,70=5,40 4.2,70=10,80 7.2,70=18,90

Quantas passagens foram utilizadas se foi gasto R$40,50?

Conseguiu responder? Vamos verificar?

Se cada passagem custa R$2, 70, e R$40,50 é o total gasto com n passagens (número

desconhecido que queremos descobrir), temos a seguinte situação:

2,70. n=40,50 n=40,50/2,70 =15

A partir desses cálculos, é possível responder o que é constante e o que é

variável nessa situação?

De fato, o preço da passagem é constante, visto que ele não muda

independentemente do número de passagens. Entretanto, o valor a ser pago na compra

das passagens é variável, pois depende do número de passagens compradas.

Aqui, temos um exemplo concreto de uma função do 1° Grau, que pode ser

expressa pela lei p(x)=2,70, onde p é o valor a ser pago pela compra de passagens e x é

a quantidade de passagens compradas.neste caso, p é variável dependente e x , a

independente. Podemos dizer que essa é uma função crescente, pois à medida que x

(quantidade de passagens) aumenta p (valor a ser pago pela compra dessas passagens)

também aumenta.

1

5

15

4,40

9,20

21,20

8

NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO

A ideia de função aparece sempre que relacionamos duas grandezas que podem

variar seu valor. Por exemplo: Observe a tabela que relaciona a medida do lado de um

quadrado com a sua área:

Lado 1 2 3 4 L

Área 1 4 9 16 L2

Sabemos que, nesse caso: Área = (lado)2. Temos então que a área de um quadrado

depende do seu lado, ou seja, a área de um quadrado é calculada EM FUNÇÃO do seu

lado.

Exercícios

1. A tabela abaixo mostra o preço que certa companhia telefônica cobra pelo tempo que

seus clientes utilizam o celular em ligações locais:

Tempo (minutos) Preço (reais)

1 0,95

2 1,90

3 2,85

4 0,80

5 4,75

Responda:

a )O que é dado em função de que?

b) Escreva a fórmula que relaciona o tempo do telefonema e o preço.

c) Quanto custa uma ligação de 35 minutos? E de 45 minutos?

d) Se um cliente teve sua conta calculada em R$ 123,50, por quanto tempo ele utilizou o

celular em horas?

Exercício 2

Hoje muito se fala na produção de álcool combustível, em virtude de vários aspectos,

em especial a preservação do meio ambiente. Em um determinado mês do ano, o litro

do álcool custava R$0,98. Tomando como base esse dado, complete a tabela e

estabeleça uma função matemática que indica a relação entre y (quantidade a pagar) e x

(quantidade de álcool).

Quantidade de álcool (em litros) Quantidade a pagar (em reais)

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DEFININDO O CONCEITO DE FUNÇÃO ATRAVÉS DOS CONJUNTOS

DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO:

Dados dois conjuntos A e B, uma função de A em B é uma regra que diz como associar

cada elemento de A com um elemento de B. Vamos considerar novamente a tabela que

relaciona a área de um quadrado com o seu lado. Seja então A um conjunto que contém

os valores do lado do quadrado e B o conjunto que contém os valores da área do

quadrado. Teremos que:

Lado 1 2 3 4 L

Área 1 4 9 16 L

2

O diagrama de flecha representa uma função que leva os elementos de A ao seu

quadrado em B.

É importante observar que todos os elementos de A têm correspondente em B e que, só

sai uma flecha de cada elemento de A.

Sendo assim, nesse nosso caso, temos uma função de A em B (Notação: )

que pode ser escrita pela expressão y = x2 ou f(x) = x

2.

Como reconhecer uma função pelo diagrama de flechas

Uma relação f de A em B é uma função se, e somente se, de cada elemento de (A) partir

uma única flecha. Observe:

1 0,98

15

22

1

2

3

4

1

4

9

16

10

Temos que:

Nos casos 1 e 2: O diagrama de flechas representa uma função;

Nos casos 3 e 4: O diagrama de flechas não representa uma função.

Exercícios

2. Considerando os conjuntos de cada item e a correspondência que os relaciona,

desenhe um diagrama de flechas e responda se a correspondência f é uma função de A

em B.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Domínio, Contradomínio e Conjunto Imagem de uma função.

Vamos considerar uma função f de A em B.

Temos que:

A é o domínio da função f (Notação: )

B é o contradomínio da função f (Notação: )

Para cada , o elemento chama-se imagem de x pela função f e o

representamos por (lê-se f de x). O conjunto de todos os y obtidos por f é

chamado de conjunto imagem de f (Notação: ).

Observe:

11

Seja e , vamos considerar a função

que transforma em .

Temos que:

é definida por ou ;

ou ;

ou ;

;

, , , .

Exercícios

3. Considere a função f dada pelo diagrama e determine:

a) D(f)

b) CD(f)

c) Im(f)

d) f(3)

e) f(4)

f) x quando y=8

g) y quando x=3

h) f(x) quando x=4

4. Seja a função onde f(x) = 4x + 2 e o domínio

. Determine a imagem de f.

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5. Seja a função dada por . Determine a imagem do

número 5.

6. Dada a função . Determine e .

7. Se e , calcule m sabendo que

SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

Se duas retas se cruzam e formam um ângulo de 90º elas são perpendiculares. A

perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal.

As duas retas são chamadas de eixos:

Eixo das abscissas: reta x.

Eixo das coordenadas: reta y.

Onde as retas x e y se encontram é formado um ponto, que é chamado de ponto de origem.

O sistema cartesiano ortogonal é dividido em quatro partes e cada uma é um quadrante.

Um ponto no sistema cartesiano ortogonal é formado por dois pontos, um do eixo das

abscissas e outro do eixo das ordenadas.

O ponto no sistema cartesiano ortogonal é chamado de par ordenado.

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O ponto X possui um número x que é a abscissa do ponto P.

O ponto Y possui um número y que é a ordenada do ponto P.

(x, y) é chamado de par ordenado do ponto P.

Portanto, para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal é preciso que as

abscissas e as ordenadas sejam dadas.

Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estão indicados.

O ponto A (1, 1) encontra-se no 1° quadrante.

O ponto B (3, 0) encontra-se no eixo das abscissas x.

O ponto C (5, -4) encontra-se no 4º quadrante.

O ponto D (-3, -3) encontra-se no 3º quadrante.

O ponto E (0, 4) encontra-se no eixo das ordenadas

O ponto F (4, 3) encontra-se no 1º quadrante.

O ponto G (-2, 3) encontra-se no 2° quadrante.

Toda função pode ser representada graficamente, e a função do 1º grau é formada por uma

reta. Essa reta pode ser crescente ou decrescente, dependendo do sinal de a.

Quando a > 0

Isso significa que a será positivo. Por exemplo, dada a função: f(x) = 2x – 1 ou y =

2x - 1, onde a = 2 e b = -1. Para construirmos seu gráfico devemos atribuir valores reais

para x, para que possamos achar os valores correspondentes em y.

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x y

-2 -5

-1 -3

0 -1

1/2 0

1 1

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y também

aumenta, então dizemos que quando a > 0 a função é crescente. Com os valores de x e y

formamos as coordenadas, que são pares ordenados que colocamos no plano cartesiano

para formar a reta.

Veja:

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x.

Quando a < 0

Isso indica que a será negativo. Por exemplo, dada a função f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1,

onde a = -1 e b = 1. Para construirmos seu gráfico devemos atribuir valores reais para x,

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para que possamos achar os valores correspondentes em y.

x y

-2 3

-1 2

0 1

1 0

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui, então dizemos

que quando a < 0 a função é decrescente.

Com os valores de x e y formamos as coordenadas que são pares ordenados que colocamos

no plano cartesiano para formar a reta. Veja:

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de

x.···.

Características de um gráfico de uma função do 1º grau.

• Com a> 0 o gráfico será crescente.

• Com a < 0 o gráfico será decrescente.

• O ângulo α formado com a reta e com o eixo x será agudo (menor que 90°) quando a > 0.

• O ângulo α formado com reta e com o eixo x será obtuso (maior que 90º) quando a < 0.

• Na construção de um gráfico de uma função do 1º grau basta indicar apenas dois valores

pra x, pois o gráfico é uma reta e uma reta é formada por, no mínimo, 2 pontos.

• Apenas um ponto corta o eixo x, e esse ponto é a raiz da função.

• Apenas um ponto corta o eixo y, esse ponto é o valor de b.

FUNÇÃO QUADRÁTICA

DEFINIÇÃO:

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR

em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a

0.

Vejamos alguns exemplos de funções quadráticas:

f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1

f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1

f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5

f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0

f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

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Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma

curva chamada parábola.

Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:

Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y,

em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

x Y

-3 6

-2 2

-1 0

0 0

1 2

2 6

Observação:

Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:

se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;

se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

ZEROS E EQUAÇÃODO 2º Grau

Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os

números reais x tais que f(x) = 0.

Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax

2 +

bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

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Temos:

Observação

A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o

radicando , chamado discriminante, a saber:

quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;

quando é zero, há só uma raiz real;

quando é negativo, não há raiz real.

1) Achar as raízes das equações:

a) x2–x - 20 = 0 b) x

2 - 3x -4 = 0 c) x

2 - 8x + 7 = 0

2) Determine, se existirem, os zeros reais das funções seguintes:

a) f(x)= 3x² - 7x + 2b) f(x)= -x² + 3x – 4c) f(x)= -x² + 3/2x + 1

d) f(x)= x² -4e) f(x)= 3x²

O domínio dessa função 2x² - x – 3. São os números reais. Para cada

elemento do domínio existe uma imagem, portanto, para cada número x, vai existir um

f(x).

Exemplo: f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)

f(1) = -2

f(2) = 3

PROBLEMAS COM EQUAÇÃO DO 2° GRAU.

1) A soma de um numero com o seu quadrado é 90. Calcule esse numero. (R:9 e-10)

2) A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse número

(Resposta: 3 e -4)

3) O quadrado menos o dobro de um número é igual a -1. Calcule esse número. (R:1)4) A

diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse número

(Resposta: 10 e -8)

5) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número. Calcule

esse número (R: 5)

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6) A soma do quadrado de um número com o seu triplo é igual a 7 vezes esse número.

Calcule esse número. (R: 0 e 4)

Resolver as equações do segundo grau, classificando quanto às raízes:

a)

b) +x-30=0

c) +3x+8=0

d) -7x+12=0

Dada a função definida por f(x)= -3x-2, calcule o valor de:

a)f(-2)=

b)f(0)=

c)f(3)=

d)f(-4)=

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita se encontra no expoente de pelo

menos uma potência. A forma de resolução de uma equação exponencial permite que as

funções exponenciais sejam também resolvidas de forma prática. Esse tipo de função

apresenta características individuais na análise de fenômenos que crescem ou e crescem

rapidamente. Elas desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências

envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia,

Psicologia entre outras.

1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32, Como 32=2

5 então 2

x=32=2

5, portanto

x=5.

2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1. Como 1=2

0 então 2

x=1=2

0, portanto x=0

3-Resolver a equação 27x = 243. Como 27=3

3 e 243=3

5 então 3

3x=(3

3)

x=27

x=243=3

5,

portanto 3x=5 de onde segue que x=5/3

4-Resolver a equação 625x = 25. Como 625=5

4 e 25=5

2 então 5

4x =(5

4)

x=625

x=25=5

2,

portanto 4x=2 de onde segue que x=1/2.

Os exercícios foram selecionados visando apresentar técnicas de soluções diferenciadas.

19

2) = 64

=

+x=6

x²+ x -6 = 0

√

x= -3, 2

3) 3 . = 48

=

= 16

=

x-2 = 4

x = 4 +2

x =6

Resolva as equações exponenciais:

1) = 128

2) = 243

3) = 256

4) =81

5) =512

6) =27

7) =

8) =

9) = 1000

10)2. = 16

11)3. = 192

20

TRIGONOMETRIA

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo retângulo, assunto

comum na oitava série do Ensino Fundamental. Também dispomos de uma página mais aprofundada

sobre o assunto tratado no âmbito do Ensino Médio.

A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da

trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns.

CATETOS E HIPOTENUSA

Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes de

catetos.

Observe a figura:

Hipotenusa:

Catetos: e

SENO, COSSENO E TANGENTE

Considere um triângulo retângulo BAC:

Hipotenusa: , m( ) = a.

Catetos: , m( ) = b.

, m( ) = c.

Ângulos: , e .

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Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razões

trigonométricas:

Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da

hipotenusa.

Assim:

Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da

hipotenusa.

Assim:

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RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

Tangente

Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente

a esse ângulo.

Assim:

Exemplo:

23

As razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º Resumindo

x senx cosx tgx

30º

45º

60º

1-Calcula o valor de x em cada um dos triângulos retângulos:

2-Qual é a distância percorrida pelo berlinde.

24

265 cm = 2,65 m

3-Se a distância entre uma pessoa e uma torre é 100 m e o ângulo formado pelo topo da torre e o

chão é30o, qual a altura da torre em metros?

Solução:

AB = distância entre o homem e a torre = 100 m

BC = altura da torre = h (a ser calculada)

A função trigonométrica que usa AB e BC é tangA , onde A = 30o.

4-Do alto da torre de uma plataforma marítima de petróleo, de 45 m de altura, o ângulo de depressão

em relação à proa de um barco é de 60º. A que distância o barco está da plataforma?

5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado. Quanto ele recebe em cada transporte que faz

altura, localizada numa ilha, avista-se a praia sob um ângulo de 45º em relação ao plano horizontal.

Para transportar material da praia até a ilha, um barqueiro cobra R$ 0,20 por viagem.

TEOREMA DE PITÁGORAS

O Teorema de Pitágoras refere-se aos triângulos retângulos. Um triângulo é chamado de triângulo

retângulo quando um de seus ângulos é um ângulo reto (90°).O lado maior de um triângulo retângulo,

oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa.Os outros dois

lados são chamados de catetos.

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Hipotenusa: , m( ) = a.

Catetos: , m( ) = b.

, m( ) = c.

Ângulos: , e .

Com essas indicações, o Teorema de Pitágoras pode ser representado na forma de uma sentença

matemática:

a²= b² + c²

Hoje em dia, a aplicação do teorema pode ser feita de maneira algébrica e por meio de cálculos. Para

calcular o valor de x, que no caso a seguir é a medida da hipotenusa do triângulo retângulo, constrói-se

a equação s partir da relação de Pitágoras:

x²= 24² +7²

x²=576 +49

x²=625

x²=√625

x=25

Calcule o valor de x indicado nos seguintes triângulos retângulos:

13 x 12 221 29

12 13 x

x 7

5

X

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2.Verifique, em casa em cada caso, se a, b, e c são medidas dos lados de um triângulo

retângulo.Justifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitágoras:

a=6cm b=2cm c= 4cm

a=8cm b=3cm c=7cm

a=5,4cm b=4,2cm c=1,5cm

a=2,5cm b=2,4cm c=0,7cm