nada nao.txt

7/25/2019 nada nao.txt

1/4

ITULO 8. APROXIMAC AO DE FUNC OES: M ETODO DOS MINIMOS QUADRADOS 249-6@@@@ @??????????-0 234xf(x)Devemos determinar entao F(x) tal que:f(x) ' a0 + a1 cos x + b1 sen x = F(x) .Observe que integrar de -a e igual a integrar de 0 a 2e que a funcao dada e uma par,logo b1 = 0 e portanto:f(x) ' a0 + a1 cos x = F(x) .Assim:a0 =12Z 2

0f(x) dx =22Z 0x dx = 2a1 =1Z 20

x cos x dx =2Z 0x cos x dx=2x sen x]0 -Z

0sen x dx= 0 +2cos x0= -


2/4

4.Portanto, obtemos que a aproximacao trigonometrica de ordem 1 para a funcao dada f(x) '2 -4cos x .Exercicios:8.9 - Mostre que o conjunto das funcoes:{1, cos t, sen t, cos 2t, sen 2t, . . . , sen mt} ,e um sistema ortogonal em [-, ].CAPITULO 8. APROXIMAC AO DE FUNC OES: M ETODO DOS MINIMOS QUADRADOS 2508.10 - Considere a funcao:y(t) =-1 , -t 0 ;1 , 0 t .Verificar que a aproximacao trigonometrica de grau 2:y(t) = a0 + a1 cos t + b1 sen t + a2 cos 2t + b2 sen 2tpara y(t) e dada por: y(t) = 4sen2t.

Obs: Estenda y(t) a uma funcao impar de periodo 2.8.3.2 Caso DiscretoConsideremos uma funcao f(x) conhecida nos N pontos distintos:xk =2kN, k = 1, 2, . . . ,N .Desejamos aproximar f(x), por uma funcao do tipo:f(x) ' a0 + a1 cos x + b1 sen x + a2 cos 2x + b2 sen 2x+ . . . + aL cos Lx + bL sen Lx = SL(x) .(8.11)com L N2; de tal modo que a distancia de f a SL seja minima.

Adotando o produto escalar:(f, g) =XNk=1f(xk) g(xk) . (8.12)nosso objetivo e minimizar:Q = k f - SL k2 =XNk=1(f(xk) - SL(xk))2 .Evidentemente, tal objetivo sera alcancado quando SL for a projecao ortogonal de f obre o subespacogerado por:

{1, cos x, sen x, cos 2x, sen 2x, . . . , cos Lx, sen Lx} . (8.13)Assim, os coeficientes: a0, a1, b1, . . . , aL, bL sao determinados resolvendo-seo sistema (8.10), onde oproduto escalar e dado por (8.12).A sequencia (8.13) e ortogonal em [0, 2], isto e:XNk=1sen pxk cos qxk = 0, (8.14)CAPITULO 8. APROXIMAC AO DE FUNC OES: M ETODO DOS MINIMOS QUADRADOS 251e temos:


3/4

XNk=1sen pxk sen qxk =8>>>>>>:0 p 6= q ,N p = q 6= 0 ,N2p = q = 0 .Observe que o sistema normal aqui e o mesmo do caso continuo, o que muda e o produto escalar, poisnesse caso temos a funcao tabelada. Portanto o sistema normal se reduz a:0BBBB@NN2

. . [email protected]

=0BBB@(f, 1)(f, cos x)...(f, sen Lx)1CCCA,cuja solucao e dada por:a0 =1

NXNk=1f(xk) ,aj =2NXNk=1f(xk) cos jxk , k = 1, 2, . . . ,L ,


4/4

bj =2NXNk=1f(xk) sen jxk , k = 1, 2, . . . ,L .Exemplo 8.5 - Obter aproximacao trigonometrica de ordem 1, para a funcao dada pelabela :x 4234 543274 2f(x) 126 159 191 178 183 179 176 149usando o metodo dos minimos quadrados.Solucao: Note que os pontos tabelados sao: xk = 2k8 , k = 1, 2, . . . , 8.Devemos determinar entao SL(x) tal que:f(x) ' a0 + a1 cos x + b1 sen x = S1(x) .

CAPITULO 8. APROXIMAC AO DE FUNC OES: M ETODO DOS MINIMOS QUADRADOS 252

nada nao.txt

Documents