MuseCode(1) Uma abordagem aritmética à música tonal(2) À procura da linearidade na música tonal

José Carlos L. Ramalho(Junho de 2010)

(rev. Novembro 2011, Março 2012)

Motivação

• Fazemos muitos cálculos para:

– calcular intervalos,

– construir escalas,

– construir acordes,

– fazer transposições,

– Verificar regras em contrapontos

– …

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Linearidade

• Fazer contas com inteiros é fácil:

5+6 = 11

-7+3 = -4

-3 – (-7) = 4

• Todos os elementos do domínio de trabalhoestão à mesma distância do elementoseguinte;

• O domínio é linear.

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Problema

• Tudo se resolve se conseguirmos representarnum eixo uniforme as notas musicais;

• Problema: a sequência de notas numa escalanão é uniforme, existem dois meios tons;

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Solução

• O que poderá identificar univocamente umanota musical?

• A tonalidade maior associada a uma nota tem uma característica única: a sequência de intervalos que a caracteriza.

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Convenções

• No trabalho que se segue vamos assumir que:

– Uma nota musical pode ser alterada de duasmaneiras;

– Através de uma contracção da distância para o elemento anterior (bemol): vamos associar a estaalteração um valor negativo;

– Através de uma expansão da distância para o elemento anterior (sustenido): vamos associar a esta alteração um valor positivo.

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Codificação de Notas

• Exemplo: Dó Maior (Cmajor)

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Nenhuma alteração: valor 0

Codificação de Notas

• Exemplo: Sol Maior (Gmajor)

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Uma alteração de expansão: valor +1

Codificação de Notas

• Exemplo: Si Maior (Bmajor)

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Cinco alterações de expansão: valor +5

Codificação de Notas

• Exemplo: FáMaior (Fmajor)

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Uma alteração de contracção: valor -1

b

Exercício: Como será codificado o Láb? E o Mi#?

Codificação de Notas

• Solução: Láb Maior (Ab major)

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Quatro alterações de contracção: valor -4

bbbb

E o Mi#? Solução: +11

Codificação de Notas

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Tabela 1

Notas Valor

Cb -7

C 0

C# 7

Db -5

D 2

D# 9

Eb -3

E 4

E# 11

Fb -8

F -1

F# 6

Gb -6

G 1

G# 8

Ab -4

A 3

A# 10

Bb -2

B 5

B# 12

Tabela 2

Valor Notas

-8 Fb

-7 Cb

-6 Gb

-5 Db

-4 Ab

-3 Eb

-2 Bb

-1 F

0 C

1 G

2 D

3 A

4 E

5 B

6 F#

7 C#

8 G#

9 D#

10 A#

11 E#

12 B#

Intervalo

• Distância entre duas notas musicais: 4P, 5d, 7m, 8P, 2m, mtc, …

• O intervalo é usado para:

– Construir escalas;

– Construir acordes;

– Realizar transposições;

– Resolver exercícios de contraponto;

• Vamos verificar se o referencial construído paraas notas serve para identificar os intervalos.

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Identificando os intervalos

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2M = +2 – 0 = 23M = +4 – 0 = 44P = -1 – 0 = -15P = ?6M = +3 – 0 = 37M = +5 – 0 = +58P = ?

7m = ?6m = ?3m = ?2m = ?

7m = Sib – Dó = -2 - 0 = -26m = Láb – Dó = -4 – 0 = -43m = Mib – Dó = -3 – 0 = -32m = Fá – Mi = -1 -4 = -5

Parece que temos um bom referencial!

Codificação de Notas e IntervalosTabela 3

Intervalo Valor

uníssono 0

m.t.cr. 7

2m -5

2M 2

3m -3

3M 4

4d -8

4P -1

4A 6

5d -6

5P 1

5A 8

6m -4

6M 3

7m -2

7M 5

8P 0

Tabela 4

Valor Intervalo

-8 4d

-6 5d

-5 2m

-4 6m

-3 3m

-2 7m

-1 4P

0 uníssono

0 8P

1 5P

2 2M

3 6M

4 3M

5 7M

6 4A

7 m.t.cr.

8 5A

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Não estão aqui todos osintervalos possíveis. Mas agora é fácil completar o exercício…

Exemplo: enarmoniaRéb – Dó# = -5 -7 = -12Dó – Si# = 0 – 12 = -12Fá – Mi# = -1 – 11 = -12

Aplicações

• Cálculo de Intervalos;

• Construção de Escalas;

• Cálculo de intervalos;

• Cosntrução de Acordes;

• Transposições;

• Construção semi-automática de cadências.

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Aplicações: cálculo de intervalos

• Cálculo de Intervalos:

– Dadas 2 notas: C e G#;

– Subtrair a mais alta à mais baixa (Tab1): 8-0 = 8;

– Consultar Tab4 para o intervalo correspondente a 8: 5A.

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Exemplo: testes de FM

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Mi = +4

Si# = +12

Intervalo = 12 – 4 = 8 = 5A

Fá# = +6 Mi# = +11

Intervalo = 6 – 11 = -5 = 2m

Aplicações: construção de escalas

• Construção de escalas (blues): – sequência de intervalos: 3m, 2M, mt cr., 2m, 3m;– Da Tab.3: -3, 2, 7, -5, -3;– Somam-se os intervalos a partir de C (0):

• 0 : -3 : -1 : 6 : 1 : -2

– O que dá a escala de blues em C:• C : Eb : F : F# : G : Bb

– Escala de blues a partir de G(1):• 1 : -2 : 0 : 7 : 2 : -1 = G : Bb : C : C# : D : F

– Escala de blues a partir de Bb(-2):• -2 : -5 : -3 : 4 : -1 : -4 = Bb : Db : Eb : E : F : Ab

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Construção de Escalas

Escala Sequência de Intervalos Vector

Maior [2M,2M,2m,2M,2M,2M,2m] [2,2,-5,2,2,2,-5]

Menor Natural [2M,2m,2M,2M,2m,2M,2M] [2,-5,2,2,-5,2,2]

Menor Harmónica [2M,2m,2M,2M,2m,2A,2m] [2,-5,2,2,-5,9,-5]

Menor Melódica Asc. [2M,2m,2M,2M,2M,2M,2m] [2,-5,2,2,2,2,-5]

Menor Melódica Desc. [2M,2M,2m,2M,2M,2m,2M] [2,2,-5,2,2,-5,2]

Pentatónica [2M,2M,3m,2M,3m] [2,2,-3,2,-3]

Hexáfona [2M,2M,2M,2M,2M,2M] [2,2,2,2,2,2]

Pentatónica de Blues [3m,2M,mtcr,2m,3m,2M] [-3,2,7,-5,-3,2]

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Construção de Escalas: exemplos

Designação Vector Nota + Vector Escala

Ré M [2,2,-5,2,2,2,-5] [2,4,6,1,3,5,7,2] [Ré,Mi,Fá#,Sol,Lá,Si,Dó#,Ré]

Si m natural [2,-5,2,2,-5,2,2] [5,7,2,4,6,1,3,5] [Si,Dó#,Ré,Mi,Fá#,Sol,Lá,Si]

Si m harmónica [2,-5,2,2,-5,9,-5] [5,7,2,4,6,1,10,5] [Si,Dó#,Ré,Mi,Fá#,Sol,Lá#,Si]

Si b Blues [2,-5,2,2,2,2,-5] [-2,-5,-3,4,-1,-4,-2] [Sib,Réb,Mib,Mi,Fá,Láb,Sib]

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Exercício: Construa a escala de Sol# m harmónica

Aplicações (cont.)

• Construção de Acordes:

– Intervalos em causa: 3m e 3M;

– Valores da Tab3: 3m=-3 e 3M=4;

– Acorde menor com nota base C (3m, 3M):

• Ao valor da nota somo -3 e obtenho a segunda nota, àsegunda somo 4 e obtenho a terceira (ou somo os 2 intervalos à primeira nota:

– 0 – 3 = -3(Eb) + 4 = 1 (G) (C,Eb,G)

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Aplicações (cont.)

• Construção de Acordes:

– Intervalos em causa: 3m e 3M;

– Valores da Tab3: 3m=-3 e 3M=4;

– Acorde Maior com nota base C (3M, 3m):

• Ao valor da nota somo 4 e obtenho a segunda nota, àsegunda somo -3 e obtenho a terceira (ou somo os 2 intervalos à primeira nota:

• 0 + 4 = 4(E) + -3 = 1 (G) (C,E,G)

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Aplicações (cont.)

• Construção de Acordes:

– Intervalos em causa: 3m e 3M;

– Valores da Tab3: 3m=-3 e 3M=4;

– Acorde diminuto com nota base C (3m, 3m):

• Ao valor da nota somo -3 e obtenho a segunda nota, àsegunda somo -3 e obtenho a terceira (ou somo os 2 intervalos à primeira nota:

• 0 + -3 = -3(Eb) + -3 = -6 (Gb) (C,Eb,Gb)

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Aplicações (cont.)

• Construção de Acordes:

– Intervalos em causa: 3m e 3M;

– Valores da Tab3: 3m=-3 e 3M=4;

– Acorde Aumentado com nota base C (3M, 3M):

• Ao valor da nota somo 4 e obtenho a segunda nota, àsegunda somo 4 e obtenho a terceira (ou somo os 2 intervalos à primeira nota:

• 0 + 4 = 4(E) + 4 = 8 (G#) (C,E,G#)

– O mesmo raciocínio pode ser aplicado à inversão de acordes tendo em conta os intervalos nas inversões.

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Construção de AcordesAcorde Sequência de Intervalos Vector

(M)aior [3M,3m] [4,-3]

(m)enor [3m,3M] [-3,4]

(d)iminuto [3m,3m] [-3,-3]

(A)umentado [3M,3M] [4,4]

M 1ª inv. (M6) [3m,4P] [-3,-1]

M 2ª inv. (M6/4) [4P,3M] [-1,4]

m 1ª inv. (m6) [3M,4P] [4,-1]

m 2ª inv. (m6/4) [4P,3m] [-1,-3]

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Exercício: Construa a sequência do acorde de 7ª da dominante

Construção de Acordes: exemplos

Nota Base Cifra Vector Nota + Vector Acorde

Ré M5 [4,-3] [2,6,3] [Ré,Fá#,Lá]

Ré m5 [-3,4] [2,-1,3] [Ré,Fá,Lá]

Ré d [-3,-3] [2,-1,-4] [Ré,Fá,Láb]

Ré A [4,4] [2,6,10] [Ré,Fá#,Lá#]

Ré 7+ Vector [2,?,?,?] [Ré,?,?,?]

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Aplicações: transposições

• Transposições:

– Dada uma nota no piano: A;

– Calcular a mesma nota no saxofone (em Eb):

• Subtraio ao valor da nota a transpôr (Tab1) o valor do intervalo (3m, Tab3) : 3(A) - -3 (3m) = 6

• Consulto a Tab2 e 6 é F#

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Aplicação: contraponto

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-1 +1 +3 -1+2 +4 -1

-1+4

+2-1

0 +3 +50

+5 +2 0 +5 0

+1-1

+4 +2

Restrição: Consonâncias nos tempos fortes

Dissonâncias: 2ªs, 4ªs, 7ªs = (-5, 2), (-8, -1, 6), (-2, 5)

Conclusão

• Objectivo atingido: uma simples operaçãoaritmética permite-nos fazer todas as “operações” musicais;

• Criou-se um referencial uniforme para as notas musicais capaz de as distinguir pelassuas características tonais;

• Apresentaram-se alguns cenários de aplicação.

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